Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1113989 1112100 2026-09-01T15:07:41Z Bert Niehaus 20843 /* Stammfunktionen und messbare Mengen */ 1113989 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 53gh6dgpbeceffdtylz7pko6ebrxqc8 1113992 1113989 2026-09-01T15:10:51Z Bert Niehaus 20843 /* Singularität und Residuen */ 1113992 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 0t3sc3lxr8rs0pzqjl71rjiwn0x28hl 2 19388 1114003 1113750 2026-09-01T16:19:48Z Bocardodarapti 2041 1114003 wikitext text/x-wiki [[/Jupyter/Github/Binder/Test]] check: [[Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil II]] [[/Differentialgeometrie]] [[/Monomiale Syzygien/Beispiel]] [[/Simpliziale Komplexe]] [[/Analysis III]] [[/Algebraische Zahlentheorie]] [[/Algebraische Topologie]] [[/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[/Elliptisches]] [[/Riemannsche Flächen]] [[/Funktionentheorie]] [[/Diskrete Mathematik]] [[/Kommutative Algebra]] [[/Invariantentheorie]] [[/Differentialoperatoren]] [[/Trigonometrische Summen]] [[Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt]] [[/Cogni/Papers]] [[/Sonderaufgaben]] [[/Z/Modulschema]] [[/Positive Charakteristik]] [[Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel]] [[Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln]] [[Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt]] [[Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt]] [[/Lineare Algebra]] [[/BEU]] [[/Lineare Algebra]] [[/Homologische Algebra]] [[/Modallogik]] [[/Affine Situation/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Knotenkurve/Textabschnitt]] == == [[Benutzer:Bocardodarapti/Rockettutor/Bemerkung]] [[Benutzer:Bocardodarapti/Didaktischer Populismus]] [[/Parameter/Tabellen]] [[/Sonstiges]] [[Hilfsparameter/Durchnummeriert/400]] https://www.geogebra.org/m/vWMCKYbV https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-simplification-calculator http://classes.lt.unt.edu/Summer_MA_2013/CECS_5200_080/gmm0101/CECS5200/assign3/articles/Inclass%20multitasking.pdf http://blog.reyjunco.com/wp-content/uploads/2010/03/JuncoCottenMultitaskingFBTextCAE2012.pdf http://www.psychologytoday.com/files/attachments/40095/anempiricalexaminationoftheeducationalimpactoftextmessage-inducedtaskswitchingintheclassroom-educati.pdf == [[Projekt:Semantische Vorlagen]] == {{:Benutzer:Bocardodarapti/Vorlagendiagramm|Vorlagendiagramm}} [[:Kategorie:Mathematische Diagrammvorlagen]] === [[Benutzer:Bocardodarapti/monobook.js]] === === [[:Kategorie:Latex-Vorspann|Latex-Vorspänne]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Grundvorspann in Latex|Grund]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Vortragshandvorspann in Latex|Hand]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Skriptvorspann in Latex|Skript]] === [[Projekt:Semantische Vorlagen/Tabellen mit benannten Parametern/Latex|Tabellen mit benannten Parametern]] [[Projekt:Semantische_Vorlagen/Aufgabenblatt/Stauchung/Latex]] === [[:Kategorie:Vorlagen zur Kursgestaltung]] === ==== [[/Kursaufbau/Reihenfolge]] ==== === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Verlinkungshilfe/Standardkurse]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Bereits kategorisiert]] === == Admin == [[Spezial:Spezialseiten]] == Sonstiges == [https://github.com/JonathanSteinbuch/sheafstability] [[/Sonstiges]] [[/Vom Fliegen]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)]] [[/Wiki-Seminar/Konzeption]] [[Graduiertenkolleg Osnabrück: Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie]] [[Benutzer:Mgausmann]] == [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie]] == [[/Hilfstabellen]] [[/Hilfstabelle/1/20]] [[/Hilfstabelle/1/30]] [[/Hilfstabelle/2/20]] [[/Hilfstabelle/6/20]] [[/Hilfstabelle/7/20]] [[/Hilfstabelle/9/2]] == [[w:Wikipedia:Hilfe]] == === [[w:Hilfe:Vorlagenprogrammierung]] === [[commons:Category:Mathematics|Commons]] [[commons:Category:MediaWiki_edit_toolbar|Buttons]] == [[Benutzer:Bocardodarapti/Sonstiges|Sonstiges]] == == Check == [[:Kategorie:Mathematischer Text/check]] 4f45i6swlst2dikqap53sg1630wcoei 3 39908 1114009 1109754 2026-09-01T17:54:53Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* This Month in Education: August 2026 */ 1114009 wikitext text/x-wiki == Hinweis == FYI: Du hast Mail. :)--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 13:43, 30. Mär. 2013 (CET) * Hallo, ich stelle meine Inhalte von Moodle gerne zur Verfügung! Was müsste ich denn tun? Und ich habe heute bereits begonnen, mit anderen KollegInnen zu sprechen. --[[Benutzer:Birkenkrahe|msb]] ([[Benutzer Diskussion:Birkenkrahe|Diskussion]]) 17:56, 11. Apr. 2013 (CEST) ::Das einfachste wäre es, Kontakt mit Jan Luca aufzunehmen, dass er aus einer Sicherung eines ersten Moodle-Kurses eine Kopie in der moodle-Sandbox des WMFlabs-Servers implementiert. So habe ich es mit meinem Kurs "Freies Wissen" gemacht. Ich würde mir den Kurs dann ansehn; dann sollten wir eine Strategie entwickeln, welche Inhalte in welcher Form auf Wikiversity kopiert und dann zur Integration in Kurse anderer Nutzer integriert werden können. Aus diesem Beispiel könnten wir dann eine Kurzanleitung für das uploaden von Kursinhalten entwickeln. --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 12:32, 12. Apr. 2013 (CEST) :::Unser plugin in Moodle selbst funktioniert jetzt, d.h. wir können Wikiversity-Inhalte in Moodle anbieten. Das ist eigentlich genau das, was ich brauche. Unsere IT sagt: «das PlugIn funktioniert. Ihr könnt es Euch hier anschauen: (...) Nach Rücksprache mit D würden wir es auf das Produktivsystem übernehmen, sobald das Plugin reviewed und über Moodle.org verfügbar ist. Es handelt sich hier technisch gesehen um einen Filter, der Performanceeinbußen hervorrufen könnte – wir behalten das also im Blick. ;-)»--[[Benutzer:Birkenkrahe|msb]] ([[Benutzer Diskussion:Birkenkrahe|Diskussion]]) 15:07, 24. Apr. 2013 (CEST) == This Month in Education: April 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 4, April 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Survey research and design in psychology - Example of a Wikiversity resource|Survey research and design in psychology - Example of a Wikiversity resource]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2013/Wikimedia Argentina's educational strategic plan|Wikimedia Argentina's educational strategic plan]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Wikiversity and Moodle|Wikiversity and Moodle]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Czech program flourishes|Czech program flourishes]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Egypt program celebrates end of second term|Egypt program celebrates end of second term]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:35, 15. Apr. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0414 --> =@Löschvorgang= ''Hallo Chi-Vinh, von Dir wurde in 2011 der [[Kurs:Advanced_Corporate_Finance]],[[Kurs:Business_English_1]] angelegt. Die Seite ist allerdings leer. Kann die Seite gelöscht werden? --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 09:30, 13. Mai 2013 (CEST)'' Die Inhalte sind in den Menüpunkten. Können wir es zu meiner Benutzerseite verschieben ? [[Benutzer:Chi-Vinh|Chi-Vinh]] ([[Benutzer Diskussion:Chi-Vinh|Diskussion]]) 01:10, 15. Mai 2013 (CEST) == This Month in Education: May 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 5, May 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/First ever medical school education program pilot begins at UCSF|First ever medical school education program pilot begins at UCSF]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/7th grade Wikipedia project in Geneva|7th grade Wikipedia project in Geneva]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Wiki Education Foundation proposed|Wiki Education Foundation proposed]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Wikiversity-Moodle project is moving on|Wikiversity-Moodle project is moving on]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Principles of radiation astronomy in Wikiversity|Principles of radiation astronomy in Wikiversity]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Trophy Case highlights good student work|Trophy Case highlights good student work]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 19:00, 15. Mai 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0449 --> == This Month in Education: June 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 6, June 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Growing contributions from wikiArS initiative|Growing contributions from wikiArS initiative]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/German Wikiversity continues its relaunch|German Wikiversity continues its relaunch]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/English Wikipedia program seeks Ambassadors|English Wikipedia program seeks Ambassadors]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Italian nursing students and Wikipedia|Italian nursing students and Wikipedia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 16:15, 17. Jun. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0492 --> == This Month in Education: July 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 7, July 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013/Students' articles nominated for Featured Article|Students' articles nominated for Featured Article]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 00:45, 17. Jul. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0526 --> == This Month in Education: August 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 8, August 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/EduWiki Conference 2013 - Call for Proposals|EduWiki Conference 2013 - Call for Proposals]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/The Singapore Management University Constitutional and Administrative Law Wikipedia Project – putting accurate and free information about Singapore law on the Internet|The Singapore Management University Constitutional and Administrative Law Wikipedia Project – putting accurate and free information about Singapore law on the Internet]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Videos from Open Educational Resources conference|Videos from Open Educational Resources conference]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Welcome to Sophie Österberg and Tighe Flanagan|Welcome to Sophie Österberg and Tighe Flanagan]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. 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Aug. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0561 --> == This Month in Education: September 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 9, September 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Wikimania pre-conference draws crowd|Wikimania pre-conference draws crowd]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Student leader achieves Featured Article|Student leader achieves Featured Article]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Spanish-as-a-foreign-language students at ITESM-Mexico City Campus upload photographs on Mexico to Commons|Spanish-as-a-foreign-language students at ITESM-Mexico City Campus upload photographs on Mexico to Commons]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. 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Sep. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0585 --> == This Month in Education: October 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 10, October 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Students to Uganda, Swedish for Immigrants, university staff and researchers and a group of principals|Students to Uganda, Swedish for Immigrants, university staff and researchers and a group of principals]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Connect with others using Wikipedia in education – invitation to EduWiki Conference 2013|Connect with others using Wikipedia in education – invitation to EduWiki Conference 2013]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Two project starts in October for Tec de Monterrey, Mexico City campus|Two project starts in October for Tec de Monterrey, Mexico City campus]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/WikiProject Open launches on English Wikipedia|WikiProject Open launches on English Wikipedia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Demystifying Wikipedia at Singapore Management University|Demystifying Wikipedia at Singapore Management University]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Provide feedback on Welcome to Wikipedia brochure|Provide feedback on Welcome to Wikipedia brochure]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 21:10, 15. Okt. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0605 --> == This Month in Education: November 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 11, November 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/EduWiki Conference 2013 convenes in Cardiff|EduWiki Conference 2013 convenes in Cardiff]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Notes from Tec de Monterrey-Mexico City Campus|Notes from Tec de Monterrey-Mexico City Campus]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/"Students Write Wikipedia" in the Czech Republic again|"Students Write Wikipedia" in the Czech Republic again]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Plagiarism study results released|Plagiarism study results released]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/More than 50 gather to celebrate third Egypt term|More than 50 gather to celebrate third Egypt term]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Feedback sought on new Welcome to Wikipedia draft|Feedback sought on new Welcome to Wikipedia draft]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Wikimedia Diversity Conference 2013 in Berlin|Wikimedia Diversity Conference 2013 in Berlin]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:35, 18. Nov. 2013 (CET) </div> <!-- EdwardsBot 0655 --> == This Month in Education: December 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 12, December 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/International Seminar Wikipedia and University: Research and Teaching Experiences|International Seminar Wikipedia and University: Research and Teaching Experiences]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Final report on "Silberwissen" available in English|Final report on "Silberwissen" available in English]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Planning the future of course pages|Planning the future of course pages]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Day of the Dead photo contest winners|Day of the Dead photo contest winners]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]].</div> |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=6449078 --> == This Month in Education: January 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 1, January 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Wikimedia Deutschland starts alliance for Open Educational Resources (OER) Berlin discusses introduction of OER in schools|Wikimedia Deutschland starts alliance for Open Educational Resources (OER); Berlin discusses introduction of OER in schools]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Next EduWiki conference slated for Serbia|Next EduWiki conference slated for Serbia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Presentation on Wikipedia at the 8th Congress of Innovation and Educational Technology in Monterrey, Mexico|Presentation on Wikipedia at the 8th Congress of Innovation and Educational Technology in Monterrey, Mexico]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Presentation on Wikipedia at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne|Presentation on Wikipedia at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. </div> |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=6946416 --> == This Month in Education: February 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 2, February 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wikimania still accepting submissions for Education related presentations|Wikimania still accepting submissions for Education related presentations]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wikimedia Deutschland: Summany of activities in January 2014|Wikimedia Deutschland: Summany of activities in January 2014]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wiki Borregos begin Spring 2014 projects|Wiki Borregos begin Spring 2014 projects]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Free online course: Writing Wikipedia Articles|Free online course: Writing Wikipedia Articles]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Turning senior Czech citizens into Wikipedians|Turning senior Czech citizens into Wikipedians]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Editing Wikipedia brochure helps newbies learn basics|Editing Wikipedia brochure helps newbies learn basics]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/New features for course pages released|New features for course pages released]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Interactive elements added to editing tutorials|Interactive elements added to editing tutorials]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=7433275 --> == This Month in Education: March 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 3, March 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Education Cooperative Kickoff Meeting in Prague|Education Cooperative Kickoff Meeting in Prague]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Frank Schulenburg selected as Wiki Ed executive director|Frank Schulenburg selected as Wiki Ed executive director]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in February 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in February 2014]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Teaching students to use Wikipedia critically as a first source in research|Teaching students to use Wikipedia critically as a first source in research]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Welcome, Floor Koudijs!|Welcome, Floor Koudijs!]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=7867845 --> == This Month in Education: April 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/April 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 4, April 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Consolidation of Portals and newsletter for the Global Education Program|Consolidation of Portals and newsletter for the Global Education Program]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Remembering Adrianne Wadewitz|Remembering Adrianne Wadewitz]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Remembering Cynthia Ashley-Nelson|Remembering Cynthia Ashley-Nelson]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Engineering students in Panama work on Spanish Wikipedia|Engineering students in Panama work on Spanish Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Jisc/ Wikimedia UK partnership|Jisc/ Wikimedia UK partnership]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Wikimedia Sverige: New resource for Swedish teachers on Wikiversity|Wikimedia Sverige: New resource for Swedish teachers on Wikiversity]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in March 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in March 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Happenings at Tec de Monterrrey, Mexico City Campus|Happenings at Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Educational programming continues on Wikinews|Educational programming continues on Wikinews]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Welcome, Anna Koval!|Welcome, Anna Koval!]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Exploratory research started for setting up a Wikpedia Education program in the Netherlands|Exploratory research started for setting up a Wikipedia Education program in the Netherlands]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/LiAnna Davis joins Wiki Ed as head of communications and external relations|LiAnna Davis joins Wiki Ed as head of communications and external relations]] </div></div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[User:AKoval (WMF)|Anna Koval (WMF)]] ([[user talk:AKoval (WMF)|talk]]) 23:45, 15. Apr. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8163849 --> == This Month in Education: May 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/May 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 5, May 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wiki Camp 2014 at Vanadzor|Wiki Camp 2014 at Vanadzor]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/EduWiki Conference in Belgrade 2014|EduWiki Conference in Belgrade 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Participation of "Servicio Social" students in Wikipedia grows at Tec de Monterrey|Participation of "Servicio Social" students in Wikipedia grows at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in April 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in April 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wikimedia Sverige: Meeting the educators|Wikimedia Sverige: Meeting the educators]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Egyptian students and professors celebrate last term's accomplishments|Egyptian students and professors celebrate last term's accomplishments]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] </div></div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:08, 15. Mai 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8517082 --> == This Month in Education: June 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 18pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/June 2014|<font color="black">This Month in Education – Volume 3, Issue 6, June 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 15pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 15pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikipedia Education Project in Uruguay|Wikipedia Education Project in Uruguay]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Sanothimi Campus celebrates 12 years of Nepali Wikipedia|Sanothimi Campus celebrates 12 years of Nepali Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikipedia Primary School Project|Wikipedia Primary School Project]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Israeli Ministry of Education and Wikipedia collaboration: teachers and students will be trained to write Wikipedia articles|Israeli Ministry of Education and Wikipedia collaboration: teachers and students will be trained to write Wikipedia articles]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Serbia teacher education course accredited by the Republic of Serbia|Wikimedia Serbia teacher education course accredited by the Republic of Serbia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Geneva education department produces two films on Wikipedia editing by students|Geneva education department produces two films on Wikipedia editing by students]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Busy 2014 for Education at Wikimedia UK, so far|Busy 2014 for Education at Wikimedia UK, so far]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Getting ready for WikiCamp 2014 Armenia|Getting ready for WikiCamp 2014 Armenia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/News from Tec de Monterrey, Mexico City Campus|News from Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in May 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in May 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Czech senior citizen program supported by a WMF grant|Czech senior citizen program supported by a WMF grant]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Sverige: Classrooms and ambassadors|Wikimedia Sverige: Classrooms and ambassadors]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wiki Education Foundation attends WikiConference USA|Wiki Education Foundation attends WikiConference USA]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Update on the education portal|Update on the education portal]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] </div></div> |- | style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;" | <center><small>'''[[outreach:Education/Newsletter/June_2014/Highlights|Highlights]] {{·}} [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Single|Single page edition]]'''</small></center> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 90%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 07:12, 16. Jun. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|please update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8872797 --> == This Month in Education: July 2014 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr/> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2014|<font color="black">This Month in Education – Volume 3, Issue 7, July 2014</font>]]</div> <hr /> <div style="text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July_2014|Headlines]] • [[outreach:Education/Newsletter/July_2014/Highlights|Highlights]] • [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Single|Single page edition]]</div> <hr/> <br> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Macedonian internet marketing students learn about Wikipedia and suggest ways to improve its fundraising|MACEDONIA: Internet marketing students learn about Wikipedia and suggest ways to improve its fundraising]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Haifa University students write Wikipedia articles for academic credit|ISRAEL: Haifa University students write Wikipedia articles for academic credit]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Editing about Literary Theory in UNAM|MEXICO: Editing about Literary Theory in UNAM]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Professor training continues as part of the Wiki Learning program|MEXICO: Professor training continues as part of the Wiki Learning program]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Czech education program presented at BarCamp, a free conference of Czech language|CZECH REPUBLIC: Education program presented at BarCamp]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in June 2014|GERMANY: Wikimedia Deutschland June Activities]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/6th International Integrity and Plagiarism Conference|UK: 6th International Integrity and Plagiarism Conference]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/VLE content reuse at Wikimania|UK: VLE content reuse at Wikimania]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/The Wikipedia Library|TWL: The Wikipedia Library]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Wikimedia Learning & Evaluation will launch a quarterly newsletter|WMF: Learning & Evaluation to publish quarterly newsletter]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Updates from Wikipedia Education Program and the Education Collaborative|WMF: Updates from the Wikipedia Education Program and the Wikipedia Education Collaborative]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Brazil, South Africa, The Signpost, and more]] </div> <div style="padding: 0.5em; text-align: center; font-size: 0.9em;"><br> To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|in the archives]]. </div></div></div> 16:07, 15. Jul. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9198271 --> == ''This Month in Education'': August 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Wikimania: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Education at Wikimania|Education at Wikimania]] * U.S & Canada: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/U.S. and Canada Program Spring 2014 wrap-up|U.S. and Canada Program Spring 2014 wrap-up]] * Taiwan: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Taiwan dreams of Open Knowledge|Wikimedia Taiwan dreams of Open Knowledge]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Vanadzor again welcomes WikiCamp|Vanadzor, Armenia again welcomes WikiCamp]] * Netherlands: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Pilot project by Wikimedia Nederland|Education pilot projects by Wikimedia Nederland]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Sweden creates Open Badges|Wikimedia Sverige creates Open Badges for education program]] * Germany: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Deutschland's July report|Wikimedia Deutschland's July education activities]] * Tech: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/VisualEditor for students|VisualEditor for students and educators]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Israel, India, Armenia, Ukraine]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 23:39, 19. Aug. 2014 (CEST) </div></div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9576931 --> == ''This Month in Education'': September 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Wikipedia Education Collaborative welcomes five new members|Wikipedia Education Collaborative welcomes five new members]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Wikimedia Deutschlands recent activities: events, events and more events|Wikimedia Deutschlands recent activities: events, events and more events]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Working with Wikipedia expands at Tec de Monterrey|Working with Wikipedia expands at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Digital agenda for education and open badges to be tested|Digital agenda for education and open badges to be tested]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Most successful Czech course continues again this year|Most successful Czech course continues again this year]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 17:19, 17. Sep. 2014 (CEST) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9888493 --> == This Month in Education: October 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Swedish teacher wins national award for teaching with Wikimedia projects|Sweden: Swedish teacher wins national award for teaching with Wikimedia projects]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Greek university giving credit for translation of Wikipedia articles|Greece: Greek university giving credit for translation of Wikipedia articles]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Wikipedia in Secondary and Adult Education: presentation at CIE2014 in Corfu, Greece|Greece: Wikipedia in Secondary and Adult Education: presentation at CIE2014 in Corfu, Greece]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Wikicamp 2014 in Serbia and Hungary brings chapters together|Serbia & Hungary: Wikicamp 2014 in Serbia and Hungary brings chapters together]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Bulgarian students will explore Wikipedia in a new lecture course on "New Media and Participatory Culture"|Bulgaria: Bulgarian college students will explore Wikipedia in a new lecture course on "New Media and Participatory Culture"]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Bulgarian college teachers "became nodes" in the Wikipedia Network|Bulgaria: Bulgarian college teachers "became nodes" in the Wikipedia Network]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/9th grade students in Be'er Sheva, Israel conclude a year-long project on Wikipedia|Israel: 9th grade students in Be'er Sheva, Israel conclude a year-long project on Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/New classes and activities at Tec de Monterrey|Mexico: New classes and activities at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Catalan Wikipedia|Catalonia: Education Program Extension enabled on Catalan Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Ukrainian Wikipedia|Ukraine: Education Program Extension enabled on Ukrainian Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Dutch Wikipedia|Netherlands: Education Program Extension enabled on Dutch Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Data Collection Round II has started: be part|WMF: Data Collection Round II has started: be part]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Poland, Philippines, United States, WikiProject Medicine, Jimmy Wales, and more]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/October_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:55, 3. Dez. 2014 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10450833 --> == This Month in Education: November 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Wikimedia France obtains an agreement from the French Ministry of Education|France: Wikimedia France obtains an agreement from the French Ministry of Education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Tec de Monterrey wrapping up semester projects|Mexico: Tec de Monterrey wrapping up semester projects]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/A student in Mexico makes the best of her study to edit Wikipedia|Mexico: A student in Mexico makes the best of her study to edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Egyptian Student invites his colleagues at Al-Azhar University to edit Wikipedia|Egypt: Egyptian Student invites his colleagues at Al-Azhar University to edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Successful Wikipedia assignments presented by faculty at national conference in Sweden|Sweden: Successful Wikipedia assignments presented by faculty at national conference in Sweden]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Wikipedia Education Collaborative members meet in Edinburgh|Global: Wikipedia Education Collaborative members meet in Edinburgh]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Iberoconf discusses Wikipedia in education|Global: Iberoconf discusses Wikipedia in education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Welcoming new WMF staff supporting education|Global:Welcoming new WMF staff supporting education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: MIT, Myanmar, and Jimmy Wales]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/November_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:57, 3. Dez. 2014 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10450833 --> == This Month in Education: December 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Wikipedia Education Program Celebration in Uruguay|Wikipedia Education Program Celebration in Uruguay]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Egyptian students wrap up their 5th term on Wikipedia with great success|Egyptian students wrap up their 5th term on Wikipedia with great success]] * Serbia: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/First Wikipedia Ambassador at the University of Belgrade|First Wikipedia ambassador at the University of Belgrade]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Swedish Wikimini 1 year anniversary|Swedish Wikimini 1 year anniversary]] * UK: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Wikimedia UK processing EduWiki 2014|Wikimedia UK processing EduWiki 2014]] * Regional: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Eastern European education programs presented at regional conference|Eastern European education programs presented at regional conference]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Korea, Australia, the Gender Gap, the Wikipedia Library, WikiProject Medicine, Adrianne Wadewitz, Jimmy Wales, and Wikibombs]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:27, 6. Jan. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10863442 --> == This Month in Education: [January 2015] == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Young Czech scientists upload pictures at Fluorescent Night|Young Czech scientists upload pictures at Fluorescent Night]] * India: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/100+ Indian college students will contribute to Wikipedia to support national pilgrimage|100+ Indian college students will contribute to Wikipedia to support national pilgrimage]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Master students design prototypes for categorizing images on Wikimedia Commons|Master students design prototypes for categorizing images on Wikimedia Commons]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Wikipedia Education Program expands to new campuses in Cairo|Wikipedia Education Program expands to new campuses in Cairo]] * Syria: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Pilot Wikipedia Education Program in Syria|Pilot Wikipedia Education Program in Syria]] * Wikimania: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Get a scholarship to attend Wikimania 2015 and discuss education with the worldwide movement|Get a scholarship to attend Wikimania 2015 and discuss education with the worldwide movement]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Wiki Learning expands to three campuses at Tec de Monterrey|Wiki Learning expands to three campuses at Tec de Monterrey]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Open Badges in the Education Program in Sweden|Open Badges in the Education Program in Sweden]] * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Senior citizens learn to edit Wikipedia in the Czech Republic|Senior citizens learn to edit Wikipedia in the Czech Republic]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Egypt, India, Armenia, Books, Jimmy Wales, and more]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/January_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 05:16, 1. Feb. 2015 (CET) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11078510 --> == This Month in Education: [February 201 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Wikimedia Armenia run WikiCamps with great success|Wikimedia Armenia runs WikiCamps with great success]] * Greece: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Greek adult school starts a project on writing articles in Wikipedia|Corfu adult school piloting WikiExpeditions and article writing on Wikipedia]] * Serbia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Serbian high school student advocates for the Education Program|High school student advocates for Education Program]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Education Program in Sweden succeeds with high school students|Education Program succeeds with high school students]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Armenian students contribute more than 300,000 bytes to Armenian Wiktionary in a month|WikiClub contributes more than 300,000 bytes to Armenian Wiktionary in a month]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New campus ambassador serving a new translation class in Egypt's Education Program|New campus ambassador and new Chinese translation class]] * Resources: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New education toolkit to help program leaders develop their programs at all levels|New education toolkit helps program leaders develop their programs]] * Resources: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New education learning patterns answer many of your questions|New education learning patterns answer many of your questions]] * Communications: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Wikipedia Education Program is now on Facebook|Wikipedia Education Program is now on Facebook]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Australia, Ireland, Black History Month, WikiWomen and Jimmy Wales]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/February_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> <noinclude>[[Category:This Month in Education]]</noinclude> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:25, 28. Feb. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11318733 --> == This Month in Education: March 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/A new edition of Wikipedia Education Program kicks off in Uruguay|A new edition of Wikipedia Education Program kicks off in Uruguay]] * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Czech senior citizen program scales up|Czech senior citizen program scales up]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Cairo University students wrap up their sixth term on Wikipedia|Cairo University students wrap up their sixth term on Wikipedia]] * Israel: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Educator conference successfully concludes teachers' online courses|Education/Newsletter/March 2015/Educator conference successfully concludes teachers' online courses]] * Argentina: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Wikimedia Argentina reinforces gender diversity on Wikipedia with several women targeted events|Wikimedia Argentina reinforces gender diversity on Wikipedia with several women targeted events]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Novel photo projects related to editathon at Tec de Monterrey|Novel photo projects related to editathon at Tec de Monterrey]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Events commemorating WikiWomen History Month, WikiMed and Black History editathons]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:31, 1. Apr. 2015 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11528793 --> == This Month in Education: April 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * WMF: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Quarterly update from the education team|Quarterly update from the education team]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Teachers and journalists of Armenian community in Lebanon joined Wikipedia and Wikipedia Education program|Teachers and journalists of Armenian community in Lebanon joined Wikipedia and Wikipedia Education program]] * Ukraine: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/First round of WikiStudia wraps up with success|First round of WikiStudia wraps up with success]] * Greece: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Greek Adult school completes wikiexpedition on Greek villages|Greek Adult school completes wikiexpedition on Greek villages]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/New to Wikipedia: A personal perspective|New to Wikipedia: A personal perspective]] * Latvia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Education Program Extension enabled on Latvian Wikipedia|Education Program Extension enabled on Latvian Wikipedia]] * Russia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Education Program Extension enabled on Russian Wikipedia|Education Program Extension enabled on Russian Wikipedia]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Students nominated for their MOOC on Swedish Wikiversity|Students nominated for their MOOC on Swedish Wikiversity]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Studies and news from Harvard to Cambridge, women events and history editathons]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/April_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 17:17, 1. Mai 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12056134 --> == This Month in Education: May 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Tunisia: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Rachidia music school celebrates 80 years of love and art by editing Wikipedia|Rachidia music school celebrates 80 years of love and art by editing Wikipedia]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Five new classes begin experimenting with Wikipedia|Five new classes begin experimenting with Wikipedia]] * Arab World: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Arab World Education Program at WikiArabia 2015|Arab World Education Program at WikiArabia 2015]] * China: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Chinese students commemorate deceased philanthropist Run Run Shaw|Chinese students commemorate deceased philanthropist Run Run Shaw]] * Argentina: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Editathon for young students to edit articles about their school|Editathon for young students to edit articles about their school]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Maria enjoys editing Wikipedia as her community service|Maria enjoys editing Wikipedia as her community service]] * Global: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Registration for Wikimania Education Pre-Conference in Mexico City is now open!|Registration for Wikimania Education Pre-Conference in Mexico City is now open!]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Wikimedia conference 2015: better understanding for Wikipedia in Education|Wikimedia conference 2015: better understanding for Wikipedia in Education]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: School editathons, medical research, Jimmy wales and new Wiki]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/May_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> <noinclude>[[Category:This Month in Education]]</noinclude> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:44, 1. Jun. 2015 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12357013 --> == This Month in Education: June 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/A Wikipedia project in foreign languages receives a teaching award in Uruguay|A Wikipedia project in foreign languages receives a teaching award]] * Hong Kong: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/The First Wikipedia Education Program in Hong Kong|The First Wikipedia Education Program in Hong Kong]] * Greece: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Greek adult school graduates learn to edit Wikipedia and inspire their peers|Adult school graduates learn to edit Wikipedia and inspire their peers]] * Sweden: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Mid-year Summary from the Wikipedia Education Program in Sweden|Mid-year Summary from the Wikipedia Education Program]] * Mexico: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/New video tutorial for Commons created by students|New video tutorial for Commons created by students]] * Armenia: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Wikimedia Armenia New Office, Annual Conference, and WikiCamp 2015|Wikimedia Armenia New Office, Annual Conference, and WikiCamp 2015]] * Argentina: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Argentina contributes to a massive cross-border course of free knowledge in Spanish-speaking countries|Argentina contributes to a massive cross-border course of free knowledge in Spanish-speaking countries]] * Israel: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Education Program Extension enabled on Hebrew Wiktionary|Education Program Extension enabled on Hebrew Wiktionary]] * Global: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/New recognition certificates for program students, teachers and leaders|New recognition certificates for program students, teachers and leaders]] * Media [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Uk, India, Palestine and more]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:07, 30. Jun. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12525637 --> ==verwaist== [[Kurs:Freies Wissen]] [[Kurs:Freies Wissen/Einführung]] [[Kurs:Software Engineering II]] == This Month in Education: July 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Israel: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikimedia Israel's annual conference helps expanding its education activity|Wikimedia Israel's annual conference helps expanding its education activity]] * Community: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Join the Community Health learning campaign on Meta|Join the Community Health learning campaign on Meta]] * Global: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikimania 2015: education highlights|Wikimania 2015: education highlights]] * Education Collaborative: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikipedia Education Collaborative is changing. Be part of the movement!|Wikipedia Education Collaborative is changing. Be part of the movement!]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Wikimania, Wikipedians in residence and public domain value]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/July_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 01:02, 2. Aug. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12853406 --> == This Month in Education: August 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/The benefits of teaching with Wikipedia broadcasted on Swedish National Radio|The benefits of teaching with Wikipedia broadcasted on Swedish National Radio]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Summer term ends with great success and Fall begins at Tec de Monterrey|Summer term ends with great success and Fall begins at Tec de Monterrey]] * Newsletter: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/On its third birthday, a retrospective of This Month In Education and proposed changes to the publication process|On its third birthday, a retrospective of This Month In Education and proposed changes to the publication process]] * Newsletter: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Call for volunteers - This Month In Education|Call for volunteers - This Month In Education]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Israel, Mexico and Australia]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 16:59, 1. Sep. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=13014597 --> == Wikimedia Education Newsletter: December 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Arab World Education Program at WISE Doha 2015|'''Arab World:''' Arab World Education Program at WISE Doha 2015]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities|'''Argentina:''' Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?|'''Argentina:''' The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Armenian students inspire their teachers to join Wikipedia|'''Armenia:''' Armenian students inspire their teachers to join Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia Education Program participants commemorated the creation/discovery of the Armenian alphabet in Beirut|'''Armenia:''' Wikipedia Education Program participants commemorated the creation/discovery of the Armenian alphabet in Beirut]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Bangladesh's new secondary school education program aims to increase Bangla Wikipedia readers|'''Bangladesh:''' Wikimedia Bangladesh's new secondary school education program aims to increase Bangla Wikipedia readers]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/First Wiki Education Workshop in Bulgaria|'''Bulgaria:''' First Wiki Education Workshop in Bulgaria]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Education Program at Wikimedia CEE Meeting 2015 in Estonia|'''Central and Eastern Europe:''' Education Program at Wikimedia CEE Meeting 2015 in Estonia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Collaboration with Masaryk University turns official|'''Czech Republic:''' Collaboration with Masaryk University turns official]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content|'''Egypt:''' Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/A portal for teachers and education institutions on the French Wikipedia|'''France:''' A portal for teachers and education institutions on the French Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Two Wikimedian adult educators and an adult student present paper on Wikimedia editing at CIE2015 in Greece|'''Greece:''' Two Wikimedian adult educators and an adult student present paper on Wikimedia editing at CIE2015 in Greece]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The very first Wikipedia Education Program of Wikimedia Hong Kong|'''Hong Kong:''' The very first Wikipedia Education Program of Wikimedia Hong Kong]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University|'''Israel:''' Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Israel: Dozens of articles were created by dint of a structured teaching process that incorporates new training tools and involvement of scientists|'''Israel:''' Dozens of articles were created by dint of a structured teaching process that incorporates new training tools and involvement of scientists]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico|'''Mexico:''' Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia|'''Norway:''' Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/What I Learned: Wiki Photo School in Serbia|'''Serbia:''' What I Learned: Wiki Photo School in Serbia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Teachers in Serbia professionally trained to use Wikipedia in the classroom by Wikimedians|'''Serbia:''' Teachers in Serbia professionally trained to use Wikipedia in the classroom by Wikimedians]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Science Outreach on Wikipedia has impact on the Education Program in Sweden|'''Sweden:''' Science Outreach on Wikipedia has impact on the Education Program in Sweden]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Education students in Uruguay reflect on Wikipedia as a learning tool|'''Uruguay:''' Education students in Uruguay reflect on Wikipedia as a learning tool]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The Wikipedia Education Program now on Twitter|'''Global:''' The Wikipedia Education Program now on Twitter]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Recent improvements to the Wikipedia Education Collaborative bear fruit|'''Global:''' Recent improvements to the Wikipedia Education Collaborative bear fruit]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 20:10, 7. Dez. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=14461758 --> == This Month in Education: [March 2016] == <h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Arab World Education Program at WISE Doha 2015|Arab World Education Program at WISE Doha 2015]]</h2> By [[User:لا روسا|Walaa Abdel Manaem (Wikipedia Education Program Egypt) & (Egypt Wikimedians user group)]] [[File:WISE 2015 00 (3).JPG|thumbnail|Walaa with Mr. Rashid El Telwaty and Ms. Suad Alhalwachi|right]] [[File:WISE 2015 00 (5).JPG|thumbnail|Walaa with Dr. Sherifa Atallah|right]] [[File:WISE 2015 00 (4).JPG|thumbnail|left|Walaa with Mr. Rashid El Telwaty, Ms. Bonnie Chiu, Mr. Jake and Ms. Naadiya Moosajee.]] '''Snippet:''' Education Leaders at WISE Doha 2015 introducing Wikipedia Education Program in Egypt to WISE Conference attendees, as an example of a program in the Arab World, to share their experience to inspire other universities and institutions starting new programs in the area. WISE 2015 Sessions and Plenaries were designed around three main pillars such as the UN Sustainable Development Goals; education and the economy; fostering innovation in education systems. Each pillar examined a variety of key topics including: the linkages between education, employment, and entrepreneurship; education reform and innovation in the MENA region and Qatar; emerging models of education financing, attracting, rewarding and retaining quality teachers; and the importance of investing in early childhood development. Representatives of [[outreach:Education/Countries/Egypt|Wikipedia Education Program]] [[user:لا روسا|Walaa Abdel Manaem]] and [[user:Reem Al-Kashif|Reem Al-Kashif]] participated in [https://www.wise-qatar.org/2015-summit-education-invest-impact WISE Doha 2015] in Qatar, the annual World Innovation Summit for Education is the premier international platform dedicated to innovation and creative action in education where top decision-makers share insights with on-the-ground practitioners and collaborate to rethink education. Also, WISE 2015 was the first global education conference following the ratification of the UN Sustainable Development Goals (SDGs) in September 2015. Contributions ranged from [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arabic_Brochure_of_Editing_Wikipedia,_WALAA.pdf Arabic Brochure of Editing Wikipedia for students in WEP in Egypt and everybody who would like to edit Wikipedia without ‎problems], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Welcome2WP_Arabic_082310.pdf The Arabic version of Welcome to Wikipedia reference guideline], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikipedia-in-Arabic-Education-Program.pdf PDF of brochure handed out during Arabic Wikipedia Convening, Doha, Qatar, 2011] and [https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:%D9%85%D9%82%D8%AF%D9%85%D8%A9_%D8%B9%D9%86_%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7.pdf Introduction to Wikipedia]. These contributions are related to show a case study of Wikipedia Education program in Egypt and how it worked since February 2012 till the November 2015, as the seventh edition ended last October. All discussions were about the program's mechanism and what were the motivations keeping it going. The program helped increasing gender diversity and supported the featured content on Arabic Wikipedia. Wikipedia Education Program, like any other initiative, has achievements and dark sides, for that reason, the representatives had to locate both of them and how they influence the Arabic community and how the community interact with this phenomenon. ''[[outreach:Education/Countries/Egypt|Read more about the Wikipedia Education Program in Egypt here.]]'' ''[[:ar:ويكيبيديا:برنامج ويكيبيديا للتعليم|Read more about the Wikipedia Education program in the Arab World here (in Arabic).]]'' {{clear}} <h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University|Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University]]</h2> By [[User:esh77|Shani Evenstein (WMIL)]] [[File:Amir Aharoni explains about the new translation tool to students.jpg|thumbnail|right|300px|Amir explains about the new translation tool to students]] '''Snippet:''' A first-of-its-kind, for-credit, elective course that focuses on contributing to Wikipedia has opened at Tel Aviv University and is now available to all B.A. students on campus On October 19th a new for-credit elective course called "Wikipedia: Skills for producing and consuming knowledge"<ref>Link to the course page at the TAU website (in Hebrew) - http://www2.tau.ac.il/yedion/syllabus.asp?course=1880180101&year=2015</ref> has opened at Tel Aviv University (TAU). The semester-long course (13 weeks) is available to all B.A. students on campus and this semester about 50 students from various disciplines are taking part in this first-of-its-kind course in Israel. [[File:Working in small groups 3.jpg|thumbnail|right|300px|Working in small groups to correct copyrights and Non-NPOV violations]] The course draws from "flipped classroom" concepts and uses "blended learning" methods, which practically means combining in-class lectures, workshops and small-group activities, as well as online individual learning. Both the Moodle learning management system (LMS) and the Wikipedia Education Extension are used to monitor the students' work and progress throughout the course. The course has 2 main assignments - expanding an existing stub, as well as writing a new article, in the hopes that the content added during the course will assist not only the students themselves, but also future generations of learners as well as the general public. Though the course focuses on adding quality content to Wikipedia, it also aims to help students sharpen their academic skills and their 21st century skills, highlighting collaborative learning, joint online research and interdisciplinary collaborations in the process of constructing knowledge. This course was initiated and is led by Shani Evenstein, an educator, Wikimedian and member of the [[Education/Wikipedia Education Collaborative|Wikipedia Education Collaborative]], in collaboration with the Orange Institute for Internet Studies, as well as the School of Education at TAU. The syllabus for the new course builds on the success of [http://blog.wikimedia.org/2014/02/13/wiki-med-israel-wikipedia-education-course/#cite_note-7 Wiki-Med], a for-credit elective course, which was designed in 2013 and is led by Evenstein at the Sackler school of Medicine for the third consecutive year. While Wiki-med is focused on contributing medical content to Wikipedia and is only available to Medical Students on campus, the new course is designed to accommodate students from different academic disciplines and varying backgrounds. [[File:Wikipedia course for BA students at Tel Aviv University - Course Logo.png|thumbnail|right|75px]] The course was chosen to be part of TAU's cross-discipline elective courses system ("Kelim Shluvim") and was approved by the Vice-Rector, who heads the program. In that, the course marks an important precedent in the collaboration between Academia and the Wikipedia Education Program, as it is the first time a higher institution acknowledges the importance of a course focusing on Wikipedia ''on a university level'', offering it to all students, rather than a faculty level or individual lecturers as mostly practiced. It is our hope that other higher education institutions will follow this example and offer similar courses to students both in Israel and around the world. ''[[outreach:Education/Countries/Israel|Read more about the Wikipedia Education Program in Israel here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?|The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?]]</h2> By [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta]], Wikimedia Argentina '''Snippet:''' University professors become Wikipedians in an online course during just a week. [[File:MOOC UBA II 2015.jpg|thumb|How to be a Wikipedian in a week ([http://www.escenariostec.citep.rec.uba.ar/2015/ educactional MOOC] for university professors) ]] Educators with different profiles and from different latin america countries, but most of them professors at the [[:en:University_of_Buenos_Aires|University of Buenos Aires]] (UBA) from different faculties, have just participated in the online training and free course "Educational scenarios with technology. Among the real and the possible" organized by the [http://citep.rec.uba.ar/ Center for Innovation in Technology and Pedagogy] (CITEP) of this university. Different educational activities were carried out simultaneously. During the week and under the topic “Open movement”, Wikimedia Argentina participated with three different proposals: starting with an interview of [[:es:Usuario:Patricio.lorente|Patricio Lorente]] accompanied with a short text to know more about the movement. To make an immersive experience we designed " Knowing Wikipedia by first-hand or Wikipedia in the first person" to work directly on the platform translating articles from english to spanish from a list created especially for that purpose. Along with this specific proposal, educators participated in a [https://www.youtube.com/watch?v=uT5u0h2luac&feature=youtu.be videoconference with Galileo Vidoni (available in Spanish)], where participants could talk and learn more about how are the first steps to become a Wikipedian and the importance of the movement at the local and regional level. [[File:MOOC UBA I 2015.jpg|thumb|A professor´s educational experience with Wikipedia explained with a tweet. He said: "I´m translating, enjoying and learning with Wikipedia". Know more experiences on [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba Storify].]] With only seven days and without being mandatory, different educators discovered how to edit on Wikipedia, indeed many of them mentioned that they had it as a pending to learn and participate on the free encyclopedia, but never had the time or the real chance. The enthusiasm was also present on social networks, where they shared the experience with the [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba hashtag #escenariostec]. '''<u>The result</u>''' '''More than 100 educators got involved''' and exchanged their experience in an online forum with '''more of 280 messages''' that reflected their learning process while experiencing with the activity. '''80 of them were new users''', and '''they created 61 new articles''' [[:es:Wikipedia:Wikimedia_Argentina/MOOC_UBA|in spanish]]. An important fact: '''78 of them were women''', which means that working with educators is a key issue '''to continue closing the digital gender gap'''. Finally from CITEP, they shared the following insights regarding the question that ran through all the activities that took place during the week dedicated to the open movement. Some thoughts can be sum up as follows:<blockquote>''The collaborative production in open environments: chaos or construction? (...) For the teacher also means accepting new challenges: encourage students to produce knowledge in an environment of divergent nature, it requires permanent operations and convergence. In a space that fosters interventions unmarked, the teacher needs to frame depending on the purpose of education and teaching purposes. (…) Wikipedia is the best example of the challenges posed by the digital era in the educational field, it forces us to rethink the relationship between technology and the production of knowledge and allows us to confirm that the collaborative work does not lead to chaos, if not to the construction. (. ..) [Authors: Angeles Solectic and Miri Latorre]''</blockquote>We share some of the voices of the protagonists in social networks with [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba storify] (available in Spanish). ''[[outreach:Education/Countries/Argentina|Read more about the Wikipedia Education Program in Argentina here.]]''<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Collaboration with Masaryk University turns official|Collaboration with Masaryk University turns official]]</h2> By [[User:Vojtěch Dostál|Vojtěch Dostál (Wikimedia Czech Republic)]] [[File:Seminář pro zaměstnance MU 09.jpg|thumbnail|right|300px|Masaryk University employees are being trained in using and editing Wikipedia]] [[File:Brno-Masarykova-univerzita-ujíždí-na-Wikipedii2015Marek-Blahuš2.jpg|thumb|right|300px|Marek Blahuš, Wikipedian in residence at Masaryk University]] '''Snippet:''' The second largest university in the Czech Republic has employed a Wikipedian in residence, leading to a boom of Wikimedia activities in the city of Brno. Collaboration between Wikipedia and Czech institutions has always been a priority for Wikimedia Czech Republic, but the year 2015 has taken this to another level. First, an official memorandum of collaboration with the [[:cs:Národní památkový ústav|National Heritage Institute]] (NPÚ) was signed in May 2015, to be followed by official collaboration with [[:cs:Masarykova univerzita|Masaryk University]] in Brno (the second largest city and university in the Czech Republic), which was contracted in November 2015. In fact, Wikimedia activities in Brno have been blooming for several years now, mainly as a result of the community's own development, but aided substantially by the external interest in Wikipedia by [http://www.spolek.muni.cz/ Masaryk University alumni society], demonstrated as early as March 2013. In February 2015, the university employed one of the most experienced Czech Wikipedians – Marek Blahuš ([[:cs:User:Blahma|Blahma]]) – who was appointed to become the university's first "[[Wikipedian in Residence|Wikipedian in residence]]". Marek Blahuš has been in the center of the Wikimedia community in Brno for about two years, organizing regular Wikipedia meetups, the 2014 edition of the annual [[:cs:Wikipedie:Wikikonference/2014|WikiConference]] ([{{fullurl:File:WM_CZ_-_Annual_Report_2014.pdf|page=7}} more in English here]) and creating the [[:cs:Wikipedie:WikiProjekt Česko-slovenská Wikipedie|Czech-Slovak Wikipedia translation tool]], which has famously led to the creation of >9000 articles on Czech and Slovak Wikipedias ([{{fullurl:File:WM_CZ_-_Annual_Report_2014.pdf|page=9}} more in English here]). His current work as Wikipedian in residence is funded by Masaryk University and runs under the patronage of Wikimedia Czech Republic as well as Masaryk University's rector [[:cs:Mikuláš Bek|Mikuláš Bek]]. Since February, Wikipedia has taken a prominent role within Masaryk University. Marek Blahuš started a "Masaryk University Wikipedians team", gathering local Wikipedians and facilitating contacts with the university, aided by his status of a graduate and current employee in its language center. Articles about Masaryk University alumni and faculties have been identified and improved after consultations with Masaryk University archives and libraries which provided helpful resources. Wikipedia citation templates can now be directly generated from the university's [http://is.muni.cz/thesis/?lang=en on-line archive of theses]. In September, a public conference called "[[:cs:Wikipedie:Masarykova univerzita/Masarykova univerzita ujíždí na Wikipedii|Masaryk University Is Getting High on Wikipedia]]" took place on university grounds, featuring the experienced Wikipedian [[:en:Jan Sokol (philosopher)|Jan Sokol]] ([[:cs:user:Sokoljan|Sokoljan]]), who is a philosopher, university teacher and a former presidential candidate. The talks focused on the use of Wikipedia in university education, in line with the successful Czech "[https://blog.wikimedia.org/2012/05/22/the-czech-ambassador-program-at-one-year/ Students Write Wikipedia]" program. One of the teachers, Jiří Rambousek, expressed his desire to organize a Wikipedia Club as a regular meetup where articles would be improved in a collaborative effort and new editors introduced to Wikipedia. The program is actively preparing for 2016 when we expect Wikimedia Czech Republic to take a more active role in overseeing the initiatives as well as the creation of a position of a "Wikipedian in Brno" – person officially in charge of the wide array of Wikimedia activities happening in the city. The chapter's annual plan includes initiatives to increase the number of university courses which incorporate Wikipedia into the curriculum, public presentations of Wikipedia at various events, scanning and uploading of images from institutional and personal archives, and much more. Let's wish that our plans come true! ''[[outreach:Education/Countries/Czech Republic|Read more about the Wikipedia Education Program in the Czech Republic here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico|Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico]]</h2> By [[User:Thelmadatter|Leigh Thelmadatter (Wiki Learning-Tec de Monterrey)]] [[File:StudentsRetoWikimediaSept2015 01.JPG|thumb|Group photo of Reto Wikimedia participants at Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] '''Snippet:''' Student participation is more than just text! For the Fall 2015 Wiki Learning-Tec de Monterrey held two wiki expeditions in Mexico City and began a collaboration with the Museo de Arte Popular. We also received our first grant! ===Wiki expeditions=== The 32-campus [[Education/Countries/México/Tec de Monterrey|Tec de Monterrey system]] has each semester an event called "Semana i" (i Week), when students forego normal classes for an entire week to work on challenging projects called "retos." For the [[:en:Monterrey Institute of Technology and Higher Education, Mexico City|Mexico City]] and [[:en:Tecnológico de Monterrey, Campus Santa Fe|Santa Fe]] campuses, one option for students was to work with Wikimedia, with the aptly named projects "[https://commons.wikimedia.org/wiki/Reto_Wikimedia_Semana_i_Fall_2015 Reto Wikimedia]." Both campuses opted to do wiki-expeditions to different parts of Mexico City. The Mexico City campus had the larger group with almost 90 students registered, who covered the two southern boroughs of [[:en:Xochimilco|Xochimilco]] and [[:en:Tlalpan|Tlalpan]]. The Santa Fe group had 35 participants, and covered the [[:en:San Ángel|San Ángel]] neighborhood found not far from this campus. Both campus took photos of landmarks with the Mexico City campus also focusing on photos of everyday life in the south of the city. The Mexico City campus tallied 5264 photos, 8 videos and 36 articles, including articles related to the area into French, Swedish and Danish. The Santa Fe group tallied 605 photos, and ten articles in Spanish on landmarks in San Ángel. In addition, the Mexico City campus had a special speaker the borough chronicler of Xochmilco, Sebastián Flores Farfán. A short montage video of the event is in the works. Some student photos: <gallery> File:Day4RetoWikimediaFall2015 008.JPG File:Building003.JPG File:Nahui ollin.JPG File:Cruce del canal.JPG File:Lagarto "barisia imbricata" criadero Xochimilco.JPG File:Puerta principal de la capilla Santa Cruz, Xochimilco, México.JPG File:Mural 001.JPG File:Oratorio de Amaxalco4.JPG File:Parque ecológico de la ciudad de México 12.jpg File:Santuario Parroquial de nuestra señora de los dolores 3.JPG </gallery> Some video clips of the event: <gallery> File:Clip of Sebastian Flores Farfán.webm File:SaraStudentRetoWikimediaFall2015CCM.webm File:JoelStudentFrenchRetoWikimedia.webm </gallery> ===Animation clips with the Museo de Arte Popular=== [[File:Alebrijes wikilearning.webm|thumb|Animation about alebrijes]] Wikiservicio, students working with Wikimedia for their community service requirement, added a new component. To attract more students and encourage more students to do all of their community service hours with Wikimedia, a collaboration was set up with the Museo de Arte Popular (MAP)... the first of many we hope! Six students from the digital art and animation major (see [https://outreach.wikimedia.org/wiki/Education/Newsletter/August_2015/Summer_term_ends_with_great_success_and_Fall_begins_at_Tec_de_Monterrey last newsletter]) have continued working with Wikimedia, but focusing their efforts in creating short animation clips in relation to the mission of promoting and preserving Mexican folk art. One clip has been completed and can be see to the right of this text. So far, the video has subtitles in English, German, French and Punjabi. A second clip is nearing completion at the time of this writing. ===Classes and Wikimetrics=== Fifteen students completed work with Wikiservicio doing translations, writing new articles and doing photography projects. As of this date, 7 have indicated interest in working with Wikiservicio on campus and another six with MAP. Five university level classes and one high school class on the Mexico City (South) campus have had projects, all in writing and translation, with some video work. Wikimetrics for the semester are: ''According to Wikimetrics tool....'' *'''9,589,918 bytes to Spanish Wikipedia''' *'''3,098 edits to the mainspace of Spanish Wikipedia''' *'''367 pages created in the mainspace of Spanish Wikipedia''' ''Manual count'' *'''302 student and teacher participants''' *'''281 Spanish Wikipedia articles created or expanded''' *'''6,057 photographs''' *'''10 videos''' *'''9 articles in English Wikipedia''' *'''2 articles in French Wikipedia''' *'''1 article in Swedish Wikipedia''' *'''1 article in Danish Wikipedia''' '''First grant''' Wiki Learning received its first grant from the Wikimedia Foundation. The long-term goal of this grant is to establish a system for financing Wiki Learning. The grant, which totals a modest 12,500 Mexican pesos, will be used for swag, such as t shirts, stickers, buttons, etc, especially for Semana i activities and promotion of wiki activities to other campus. The money will also be used for incidental travel expenses, especially for projects needing to move expensive camera equipment. ''[[outreach:Education/Countries/México|Read more about the Wikipedia Education Program in Mexico here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities|Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities]]</h2> By [[User:Christian Cariño|Christian Cariño (Wikimedia México)]] and [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta (Wikimedia Argentina)]] [[File:Learning to educate digital free magazine.jpg|thumb|[http://issuu.com/cristinavdls/docs/edicion_12 Wikipedia Education Program in Argentina]]] '''Snippet''': Aprender para Educar writes about Wikipedia Education Program in Argentina. The digital free magazine ''Aprender para Educar'' (Learning to educate) of the [[w:es:Universidad Tecnológica Nacional|National Technological University (UTN]]) is recognized in the community of education and technology in Argentina to write about innovation issues in Spanish, which is not common in the academic dissemination and teacher training field. Cristina Velazquez, general editor of the magazine invited Wikimedia Argentina to write an article that generally describes their activities in the Education Program, after reading the proposal she decided to publish it as the [http://issuu.com/cristinavdls/docs/edicion_12 main article] of the 12th edition. To describe the education program, WMAR wrote two notes completing one another, as doing a zoom: from the local to the global and from the global to the local, showing how a movement of this magnitude does not stand alone, it is part of a huge network. [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta]], education manager in WMAR and [[user:Patricio.lorente|Patricio Lorente]], chair of the Wikimedia Foundation Board of Trustees wrote those two notes.The first one focuses on the Education Program, implementation, challenges and obstacles that they had at the beginning, plans to integrate it into the classrooms in Argentina and how different Wikimedia Projects are also relevant in education. The most important thing, Melina adds, is to strengthen the values that inspire them, show how the free culture give meaning to education in general and digital culture in particular. Meanwhile in the second part, Lorente focuses on the global movement, the community pillars, the agenda of today's challenges and the effort of their volunteers as protagonists. It is not easy show the world what drives us and why we work as volunteers in different countries. In education very few people understand the value of building free knowledge. There is still a great prejudice or negative perceptions of Wikipedia in the classroom because teachers ignore how Wikipedia is built. Everybody reads Wikipedia, but few people edit it. We can change this fact by spreading in spaces such as the Journal of the UTN and inviting more people to collaborate and be the protagonist of this huge collective work for humanity. ''[[outreach:Education/Countries/Argentina|Read more about the Wikipedia Education Program in Argentina here.]]''<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content|Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content]]</h2> By [[User:لا روسا|Walaa Abdel Manaem (Wikipedia Education Program Egypt) & (Egypt Wikimedians user group)]] [[File:Wiki Arabia 2015 - Day 1 DSC 9802 (cropped).jpg|250px|thumbnail|right|Bassem Fleifel]] '''Snippet:''' Online ambassador helped spanish students course in Cairo University to nominate their articles, scoring an [[Commons:File:Education_program-_Figures_and_Statistics.pdf|exceptional record of WEP excellent content]]. [[:ar:مستخدم:باسم|Bassem Fleifel]], an online ambassador of [[:ar:برنامج التعليم:جامعة القاهرة - كلية الآداب/ترجمة من الإسبانية (صيف 2015)|Cairo university spanish course]], played a prominent role to help all students to encourage them to nominate their excellent content to be a featured and good articles in Arabic Wikipedia. Those articles are [[:ar:تاريخ الخبز|History of bread]] (Featured article); [[:ar:والت ديزني|Walt Disney]]; [[:ar:دانيال رادكليف|Daniel Radcliffe]]; Al-[[:ar:الأندلس|Andalus]]; [[:ar:شاعر في نيويورك|Poet in New York]]; and [[:ar:بوبول فو|Popol Vuh]]. The seventh term, the program started in Cairo University with promoting posts on Wikipedia and social media websites to help new participants understand the general idea of the program as well as holding meetings with professors from the departments of History, chinese, English language and Spanish language. Walaa Abdel Manaem (program leader in Cairo University) and Bassem Fleifel (online ambassador) have held some workshops in campus and online for the whole students to teach them "How to edit Wikipedia". On the other hand, Prof. Abeer Abdel-Hafiz has exerted great efforts with her students in addition to introducing Walaa to new classes of senior students for whom she has organized general seminars about Wikipedia and the education program. At the same time Walaa was assigning her Spanish department students of the first and second year to edit Wikipedia. This term, Prof. Abeer let the chance to her students to choose any articles they would like to translate from the Spanish Wikipedia to the Arabic Wikipedia or working on articles about history. They already have chosen some articles to translate with the target of nominating them to be a featured and good articles. Most of students worked on articles about different topics like history, writers, actors, history of food and drink, mayan literature, islam and politics, etc. This course itself achieved an exceptional record of [[:ar:ويكيبيديا:برنامج ويكيبيديا للتعليم/لوحة الشرف/محتوى متميز|Wikipedia Education program excellent]] content and the best term ever in the history of [[Education/Countries/Egypt|WEP in Egypt]] in general and in the Faculty of Arts, Cairo University in specific. Walaa has held 2 online webinars to follow up with her students in addition to the workshops held at the campus. Regarding numbers, 38 students joined this course, of which 35 are female and 3 are male students. They worked on 1748 articles adding more than 12,282,943 million bytes to the article namespace on the Arabic Wikipedia, with the help of the online ambassador, who also participated as a student. ''[[:ar:برنامج التعليم:جامعة القاهرة - كلية الآداب/ترجمة من الإسبانية (صيف 2015)|See the course page of this group on the Arabic Wikipedia here.]]'' ''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Education_program-_Figures_and_Statistics.pdf Full statistics of WEP in Egypt the first term in 2012 till the seventh term in 2015 which include numbers of created articles, featured and good articles, featured portals and lists.]'' ''[[outreach:Education/Countries/Egypt|Read more about the Wikipedia Education Program in Egypt here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia|Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia]]</h2> By [[User:WMNOjorid|Jorid Martinsen]] (Wikimedia Norge) [[File:Jorid Martinsen at the University of Oslo.png|thumbnail|Jorid Martinsen teaching students at the University of Oslo about Wikipedia.]] '''Snippet''': This fall masters students in History and Archeology at the University of Oslo take on the task of Wikipedia editing as one of the main parts in a subject on communication of History. The University of Oslo is Norway’s largest higher education institution, and it is the first time Wikimedia Norway collaborates with this University in forming and using Wikipedia editing as a integrated part of higher education. The collaboration started by Wikimedia Norway contacting assistant professor John McNicol, who already had gotten some media attention on his eagerness to make students skilled in knowledge sharing. Starting off with a two hour lecture on the secret world of Wikipedia and a two hour editing workshop in mid-September, and in October the students will evaluate the life of their articles. Has there been many additional edits on their articles? Discussions? Request to delete everything? For Wikimedia Norge it is fun to see the students both engaging in Wikipedia editing and using the ways of Wikipedia to discuss how knowledge is formed. ''[[outreach:Education/Countries/Norway|Read more about the Wikipedia Education Program in Norway here.]]'' {{clear}}[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 09:26, 1. Mär. 2016 (CET). <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rberchie@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15329308 --> == This Month in Education: [March 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 1, Issue 2, March 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Educational hackathon about digital sources, big data, and Wikipedia|'''Argentina:''' Educational hackathon about digital sources, big data, and Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/First mentoring program between the Argentine and Mexican chapters|'''Argentina and Mexico:''' First mentoring program between the Argentine and Mexican chapters]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Czech education program turns professional with a new education manager|'''Czech Republic:''' Czech education program turns professional with a new education manager]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Egyptian Wikimedians celebrate the seventh conference of WEP|'''Egypt:''' Egyptian Wikimedians celebrate the seventh conference of WEP]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Wikipedia workshop for students of Fountain University|'''Nigeria:''' Wikipedia workshop for students of Fountain University]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Teacher celebrated for excellent pedagogy with Wikipedia|'''Sverige:''' Teacher celebrated for excellent pedagogy with Wikipedia]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Taiwanese students use Spoken Wikipedia as their service learning|'''Taiwan:''' Taiwanese students use Spoken Wikipedia as their service learning]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Education Program Historic Data Campaign|'''Global:''' Education Program Historic Data Campaign]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We apologize for an earlier distribution that mistakenly took on the older content. We hope you enjoy the newest issue of the newsletter we are sharing now.--[[en:User:Saileshpat|Sailesh Patnaik (Distribution leader)]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 19:44, 2. Mär. 2016 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15399206 --> == This Month in Education: [June 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 1, Issue 3, June 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/A New Online Course in a New Virtual Campus‎|'''Argentina:''' A New Online Course in a New Virtual Campus]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/How to survive the Big Bang in your education program|'''Czech Republic:''' How to survive the Big Bang in your education program]] * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/An online elective course on Wikipedia for high school pupils in Estonia‎|'''Estonia:''' An online elective course on Wikipedia for high school pupils in Estonia‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Argostoli Evening School students and a Wikitherapy participant turn Wiktionary project into Android app|'''Greece:''' Argostoli Evening School students and a Wikitherapy participant turn Wiktionary project into Android app]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/New training materials in Arabic by WMIL‎‎|'''Israel:''' New training materials in Arabic by WMIL‎‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Luz María Silva's students and their adventure editing Spanish Wikipedia|'''Mexico:''' Luz María Silva's students and their adventure editing Spanish Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Spring semester wiki activities end at Tec de Monterrey, Mexico City‎|'''Mexico:''' Spring semester wiki activities end at Tec de Monterrey, Mexico City‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Maastricht University 40 years|'''Netherlands:''' Maastricht University 40 years]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Students in Sweden edit Somali Wikipedia‎|'''Sweden:''' Students in Sweden edit Somali Wikipedia‎]] * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/Visualizations of relationships among knowledge? Try WikiSeeker!|'''Taiwan:''' Visualizations of relationships among knowledge? Try WikiSeeker!]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Education at Wikimania‎|'''Wikimania 2016:''' Education at Wikimania‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Education Program surveys are here!|'''Wikimedia Foundation:''' Education Program surveys are here!]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Vahid Masrour joins the education team at the Wikimedia Foundation|'''Wikimedia Foundation:''' Vahid Masrour joins the education team at the Wikimedia Foundation]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Programs and Events Dashboard Update|'''Global:''' Programs and Events Dashboard Update]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We hope you enjoy the newest issue of the Education Newsletter.--[[en:User:Saileshpat|Sailesh Patnaik (Distribution leader)]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 18:53, 1. Jun. 2016 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15665751 --> == This Month in Education: [September 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 5, Issue 3, September 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Armenian students inspire their parents to join Wikipedia|'''Armenia:''' Armenian students inspire their parents to join Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Brazilian Wikimedians interview editor of academic journal ''Wiki Studies''|'''Brazil:''' Brazilian Wikimedians interview editor of academic journal ''Wiki Studies'']] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Cairo University students wrap up their eighth term and start their ninth term on WEP|'''Egypt:''' Cairo University students wrap up their eighth term and start their ninth term on WEP]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Egyptian Wikimedians celebrate eighth WEP conference|'''Egypt:''' Egyptian Wikimedians celebrate eighth WEP conference]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Online wiki training for educators in Greece|'''Greece:''' Online wiki training for educators in Greece]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Outcomes report on a Wikipedia Course “Skills for Producing and Consuming Knowledge”, Tel Aviv University|'''Israel:''' Outcomes report on a Wikipedia Course “Skills for Producing and Consuming Knowledge”, Tel Aviv University]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Wikipedia as a Teaching and Learning Tool in Medical Education at IAMSE Medical Education Conference|'''Israel:''' Wikipedia as a Teaching and Learning Tool in Medical Education at IAMSE Medical Education Conference]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/"Writing a new article is a special experience that feels new every time"|'''Israel:''' "Writing a new article is a special experience that feels new every time"]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Video projects redefine student Wiki work and student community service|'''Mexico:''' Video projects redefine student Wiki work and student community service]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Wiki Workshop at Saint Petersburg Internet Conference 2016 in Russia|'''Russia:''' Wiki Workshop at Saint Petersburg Internet Conference 2016 in Russia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Swedish National Agency of Education endorses Wikipedia Education Program|'''Sweden:''' Swedish National Agency of Education endorses Wikipedia Education Program]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Psychology students of Uludag University are very proud of contributing Turkish Wikipedia|'''Turkey:''' Psychology students of Uludag University are very proud of contributing Turkish Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/West African schools will test Kiwix, the offline Wikipedia reader|'''West Africa:''' West African schools will test Kiwix, the offline Wikipedia reader]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Programs and Events Dashboard Update|'''Global:''' Programs and Events Dashboard Update]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We hope you enjoy the newest issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 15:00, 1. Sep. 2016 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15874487 --> == This Month in Education: December 2016 == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"><hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016|<font color="black">Wikimedia Education Newsletter – Volume 5, Issue 4, December 2016</font>]]</div> <hr /> <div style="text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016|Headlines]] • [[outreach:Education/Newsletter/December 2016/Highlights|Highlights]] • [[outreach:Education/Newsletter/December 2016/Single|Single page edition]]</div> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Greek_schools_collaborate_to_write_local_history_about_Corfu|'''Greece:''' Greek schools collaborate to write on local history]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/It’s a win win project: An interview with Sivan Lerer, a teacher at the Hebrew University of Jerusalem|'''Israel:''' It’s a win win project: An interview with Sivan Lerer, a teacher at the Hebrew University of Jerusalem]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Open Science Fellows Program launched in Germany|'''Germany:''' Open Science Fellows Program launched in Germany]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Students go wikipedian in the Basque Country|'''Basque Country:''' Students go wikipedian in the Basque Country]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Third term of Wikipedia editing at the University of Oslo|'''Norway:''' Third term of Wikipedia editing at the University of Oslo]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/First Wiki Club in Macedonia|'''Macedonia:''' First Wiki Club in Macedonia]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] </div> <div style="padding: 0.5em; text-align: center; font-size: 0.9em;"> <br> To get involved with the newsletter, please visit [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|the newsroom]]. To browse past issues, please visit [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/Archives|the archives]]. </div></div><section end="education-newsletter"/> [[outreach:Education/News|Home]] • [[m:Global message delivery/Targets/Wikimedia Education Newsletter|Subscribe]] • [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] • [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] - The newsletter team 19:51, 22. Dez. 2016 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16170520 --> == This Month in Education: [February 2017] == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|left]] <div style="text-align: left; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:60px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: center; direction: ltr; margin-left"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:20px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 1 | February 2017</span> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/Feb_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> <div style=text-align:center; direction: ltr"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;"> {{anchor|back}} In This Issue </span></div> === === {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |style="width: 60%; font-size:16px; font-family:times new roman"| <!-- Enter the title of the articles for this issue --> [[Outreach:Education/News/Drafts/newsletter_update|Newsletter update]] [[Outreach:Education/News/Drafts/time_is_not_an_unlimited_resource|Common Challenges: Time is not an unlimited resource]] |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/News/Drafts/Medical_students%27_contributions_reach_200_articles_in_an_innovative_elective_course_at_Tel_Aviv_University.| Medical Students' contributions reach 200 articles in innovative elective course at Tel Aviv University]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Wikilesa:_Working_with_university_students_on_human_rights| Wikilesa: working with university students on human rights]] [[Outreach:Education/News/Drafts/An_auspicious_beginning_at_university| An auspicious beginning at university in Basque Country]] [[Outreach:Education/News/Drafts/The_Wikipedia_Education_Program_kicks_off_in_Finland| The Wikipedia Education Program kicks off in Finland]] [[Outreach:Education/News/Drafts/The_Brief_Story_of_Mrgavan_WikiClub| The Brief Story of Mrgavan WikiClub]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Citizen_Science_and_biodiversity_in_school_projects_on_Wikispecies,_Wikidata_and_Wikimedia_Commons| Citizen Science and biodiversity in school projects on Wikispecies, Wikidata and Wikimedia Commons]] </span> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/News/Drafts/ACTC2017| WMF Education Program to be featured at the Asian Conference for Technology in the Classroom]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Opportunities_to_grow_in_Oman|Opportunities to grow in Oman]] [[Outreach:Education/News/Drafts/hundred_words_campaign|An invitation to participate in the "Hundred Words" campaign!]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Education_Collab_adopts_new_membership_criteria#The_Education_Collab_adopts_new_membership_criteria|Education Collab updates membership criteria]] </span> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#In the News|In the News]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [http://www.npr.org/sections/ed/2017/02/22/515244025/what-students-can-learn-by-writing-for-wikipedia|What Students Can Learn By Writing For Wikipedia] [http://www.businessinsider.com/career-benefits-sharing-knowledge-2017-2| Online communities are supercharging people's careers] [https://www.linux.com/news/2017/2/using-open-source-empower-students-tanzania| Using open source to empower students in Tanzania] [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Wikipedia_Signpost/2017-02-27/Recent_research| Signpost Special Issue: Wikipedia in Education] </span> |} We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:54, 28. Feb. 2017 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16360344 --> == This Month in Education: [March 2017] == <div> <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|centre]] <div style="text-align: center; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:40px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-centre"> <center> <span style="text-align: center; font-weight: bold; color: #006699; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 2 |March 2017</span> </center> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> <center> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/March_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> </center> <div style="text-align:center; direction: ltr"> <center> <span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:800px;"> {{anchor|back}} In This Issue </center> <hr /> </div> {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |style="width: 60%; font-size:16px; font-family:times new roman"|[[Outreach:Education/News/Drafts/newsletter_update|Newsletter update]] <hr /> [[Outreach: Education/Newsletter/March 2017/Overview on Wikipedia Education Program 2016 in Taiwan|Overview on Wikipedia Education Program 2016 in Taiwan]] <hr /></span> |- <hr /> |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/High School and Collegiate Students Enhance Waray Wikipedia during Edit-a-thons|High School and Collegiate Students Enhance Waray Wikipedia during Edit-a-thons]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Approaching History students as pilot of Education program in Iran|Approaching History students as pilot of Education program in Iran]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/An experience with middle school students in Ankara|An experience with middle school students in Ankara]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Wikishtetl: Commemorating Jewish communities that perished in the Holocaust|Wikishtetl: Commemorating Jewish communities that perished in the Holocaust]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/UCSF Students Visit WMF Office as they start their Wikipedia editing journey|UCSF Students Visit WMF Office as they start their Wikipedia editing journey]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Meet the team|Meet the team]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#In the News|In the News]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [http://lararnastidning.se/fran-dammiga-arkiv-till-artiklar-pa-natet%7C| Från dammiga arkiv till artiklar på nätet] </span> <hr /> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> The new issue of the newsletter is out! Thanks to everyone who submitted stories and helped with the publication. We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[User:Saileshpat|Saileshpat]] ([[User talk:Saileshpat|talk]]) 19:07, 1 April 2017 (UTC) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16517453 --> == This Month in Education: [April 2017] == <div> <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|centre]] <div style="text-align: center; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:40px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-centre"> <center> <span style="text-align: center; font-weight: bold; color: #006699; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 3 | April 2017</span> </center> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> <center> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/March_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> </center> <div style="text-align:center; direction: ltr"> <center> <span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:800px;"> {{anchor|back}} In This Issue </center> <hr /> </div> {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> <hr /> [[Outreach: Education/Newsletter/April 2017/How responsible should teachers be for student contributions?|How responsible should teachers be for student contributions?]] <hr /></span> |- <hr /> |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Cairo and Al-Azhar Universities students wrap up their ninth term and start their tenth term on WEP|Cairo and Al-Azhar Universities students wrap up their ninth term and start their tenth term on WEP]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Glimpse of small language Wikipedia incubation partnership in Taiwan|Glimpse of small language Wikipedia incubation partnership in Taiwan]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Key to recruiting seniors as Wikipedians is long-term work|Key to recruiting seniors as Wikipedians is long-term work]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Education at WMCON17|Education at WMCON17]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/OER17|OER17]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Western Armenian WikiCamper promotes Wikiprojects in his school|Western Armenian WikiCamper promotes Wikiprojects in his school]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Building a global network for Education|Building a global network for Education]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Mobile Learning Week 2017|Mobile Learning Week 2017]] </span> </span> <hr /> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> The new issue of the newsletter is out! Thanks to everyone who submitted stories and helped with the publication. We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:18, 1. Mai 2017 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16627464 --> == This Month in Education: September 2017 == <div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left]] <div style="text-align: left; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:60px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: center; direction: ltr; margin-left"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:20px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 8 | September 2017</span> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter| subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction: ltr"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;"> In This Issue </span></div> {| style="width: 60%;" | style="width: 50%; font-size:20px; font-family:times new roman;" | Featured Topic | style="width: 50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/September 2017/Wikipedia - Here and Now|"Wikipedia – Here and Now": 40 students in the Summer School "I Can – Here and Now" in Bulgaria heard more about Wikipedia]] |- | colspan="3" | ---- |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Community | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/News/September 2017/Klexikon|Klexikon: the German 'childrens' Wikipedia' in Montréal]] [[outreach:Education/News/September 2017/Wikipedia is now a part of Textbook in Informatics|Wikipedia is now a part of Textbook in Informatics]] |} </div> <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · [[:m:User:Romaine|Romaine]] 04:24, 1. Okt. 2017 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17258722 --> == This Month in Education: October 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 9 | October 2017 </span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; font-size:20px; font-family:times new roman;" | Featured Topic | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 1|Your community should discuss to implement the new P&E Dashboard functionalities]] |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Community | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 2|Wikidata implemented in Wikimedia Serbia Education Programe]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 3|Hundred teachers trained in the Republic of Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 4|Basque Education Program makes a strong start]] |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Education Team | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 8|WikiConvention Francophone 2017]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 9|CEE Meeting 2017]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:05, 2. Nov. 2017 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17368194 --> == This Month in Education: November 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 10 | November 2017</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 1|Hashemite University continues its strong support of Education program activities]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 2|Wikicontest for high school students]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 3|Exploring Wikiversity to create a MOOC]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 4|Wikidata in the Classroom at the University of Edinburgh]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 5|How we defined what secondary education students need]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 6|Wikipedia Education Program in Bangkok,Thailand]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 7|Shaken but not deterred]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 8|Wikipedia workshop against human trafficking in Serbia]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 9|The WikiChallenge Ecoles d'Afrique kicks in 4 francophones African countries]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 10|A Proposal for Education Team endorsement criteria]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 11|Student perceptions of writing with Wikipedia in Australian higher education]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:23, 1. Dez. 2017 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17496082 --> == This Month in Education: December 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 11 | December 2017</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 2|Wikimedia Serbia has established cooperation with three new faculties within the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 3|Updates to Programs & Events Dashboard]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 4|Wiki Camp Berovo 2017]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 5|WM User Group Greece organises Wikipedia e-School for Educators]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 6|Corfupedia records local history and inspires similar projects]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 7|Wikipedia learning lab at TUMO Stepanakert]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 8|Wikimedia CH experiments a Wikipedia's treasure hunt during "Media in Piazza"]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 9|Creating digitally minded educators at BETT 2017]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 10|Things My Professor Never Told Me About Wikipedia]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 11|"Academia and Wikipedia: Critical Perspectives in Education and Research" Conference in Ireland]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 12|Science is shaped by Wikipedia]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 20:31, 5. Jan. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17597557 --> == This Month in Education: January 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 1 | January 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> {{anchor|back}} <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | <!-- Enter the title of the articles for this issue --> [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 1|Bertsomate: using Basque oral poetry to illustrate math concepts]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 2|Wikimedia Serbia celebrated 10 years from the first article written within the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 3|WikiChallenge Ecoles d'Afrique update]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 4|The first Swedish Master's in Digital Humanities partners with Wikimedia Sverige]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 5|How we use PetScan to improve partnership with lecturers and professors]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 6|The Education Survey Report is out!]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 7|Education Extension scheduled shutdown]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:42, 1. Feb. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17696217 --> == This Month in Education: February 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 2 | February 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 2|WikiProject Engineering Workshop at IIUC,Chittagong]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 3|What did we learn from Wikibridges MOOC?]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 4|Wikimedia Serbia launched Wiki scholar project]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 5|Wiki Club in Ohrid, Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 6|Karvachar’s WikiClub: When getting knowledge is cool]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 7|More than 30 new courses launched in the University of the Basque Country]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 8|Review meeting on Christ Wikipedia Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 9|The Multidisciplinary Choices of High School Students: The Arabic Education Program; Wikimedia Israel]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 10|The Education Extension is being deprecated (second call)]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 11|The 2017 survey report live presentation is available for viewing]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:53, 1. Mär. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17757914 --> == This Month in Education: March 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 3 | March 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 1|Education Programs Itinerary]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 2|Animated science educational videos in Basque for secondary school student]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 3|Beirut WikiClub: Wikijourney that has enriched our experiences]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 4|Students of the Faculty of Biology in Belgrade edit Wikipedia for the first time]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 5|The role of Wikipedia in education - Examples from the Wiki Education Foundation]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 6|Multilingual resource for Open education projects]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 7|Wikipedia: examples of curricular integration in Portugal]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 8|Resources and Tips to engage with Educators]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 9|Education Session at WMCON 2018]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:33, 4. Apr. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17882222 --> == This Month in Education: April 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 4 | April 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 1|Wikimedia at the Open Educational Resources Conference 2018]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 2|Global perspectives from Western Norway]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 3|Togh's WikiClub: Wikipedia is the 8th wonder of the world!]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 4|Aboriginal Volunteers in Taiwan Shared Experience about Incubating Minority Language Wikipedia in Education Magazine]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 5|Workshops with Wiki Clubs members in the Republic of Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 6|Celebrating Book's Day in the University of the Basque Country: is Wikipedia the largest Basque language book?]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 7|Txikipedia is born and you'll love it]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 8|Students Write Wiktionary]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 9|Presenting the Wikipedia Education Program at the Open Education Global Conference]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:33, 4. Mai 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17992472 --> == This Month in Education: May 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 5 | May 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 2|Creating and reusing OERs for a Wikiversity science journalism course from Brazil]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 3|Inauguration Ceremony of Sri Jayewardenepura University Wiki Club]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 4|Wiki Education publishes evaluation of Fellows pilot]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 5|The first students of Russia with diplomas of Wikimedia and Petrozavodsk State University]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 6|Selet WikiSchool]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 8|A lofty vision for the Education Team]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 9|UNESCO Mobile Learning Week 2018, Digital Skills for Life and Work]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 23:44, 4. Jun. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=18071070 --> == This Month in Education: June 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 6 | June 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 1|Academia and Wikipedia: the first Irish conference on Wikipedia in education]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 2|Ashesi Wiki Club: Charting the cause for Wikipedia Education Program in West Africa]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 3|Wikimedia Serbia has received a new accreditation for the Accredited seminars for teachers]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 4|Côte d'Ivoire: Wikipedia Classes 2018 are officially up and running]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 5|Basque secondary students have now better coverage for main topics thanks to the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 6|What lecturers think about their first experience in the Basque Education Program]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 7|Education Extension scheduled deprecation]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 8|Wikipedia calls for participation to boost content from the continent]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 9|Wikipedia in the History Classroom]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 10|Wikipedia as a Pedagogical Tool Complicating Writing in the Technical Writing Classroom]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 11|When the World Helps Teach Your Class: Using Wikipedia to Teach Controversial Issues]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:03, 30. Jun. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18158878 --> == This Month in Education: July 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 7 | July 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 1|Wikipedia+Education Conference 2019: Community Engagement Survey]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 2|Young wikipedian: At WikiClub you get knowledge on your own will]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 3|Wikipedia in schools project at the "New Technologies in Education" Conference]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 4|Basque Education Program: 2017-2018 school year report]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 10|UNESCO ICT in Education Prize call for nominations opens]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 11|An educator's overview of Wikimedia (in short videos format)]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:32, 2. Aug. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18263925 --> == This Month in Education: August 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 8 | August 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 2|The reconnection of Wikimedia Projects in Brazil]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 3|Christ (DU) students enrolls for 3rd Wikipedia certificate course]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 4|Educational wiki-master-classes at International "Selet" forum]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 5|54 students help enrich the digital Arabic content]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 6|Mapping education in the Wikimedia Movement]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:12, 2. Sep. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18288215 --> == This Month in Education: September 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 9 | September 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 1|Edu Wiki Camp 2018: New Knowledge for New Generation]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 2|Education loves Monuments: A Brazilian Tale]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 3|“I have always liked literature, now I like it even more thanks to Wikipedia”. Literature is in the air of WikiClubs․]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 4|History of Wikipedia Education programme at Christ (Deemed to be University)]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 5|Preparation for the autumn educational session of Selet WikiSchool is started]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 6|Wiki Camp Doyran 2018]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 7|Wikicamp Czech Republic 2018]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 8|Wikipedia offline in rural areas of Colombia]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 9|Presentation on mapping education in the Wikimedia Movement]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:14, 9. Okt. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18394865 --> == This Month in Education: November 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 10 | October 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 1|A new academic course featuring Wikidata at Tel Aviv University]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 2|How we included Wikipedia edition into a whole University department curriculum]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 3|Meet the first board of the UG Wikipedia & Education]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 4|The education program has kicked off as the new academic year starts]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 5|The education program has kicked off as the new academic year starts in Albania]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 6|The first Wikimedia+Education conference will happen on April 5-7 at Donostia-Saint Sebastian]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 7|Using ORES to assign articles in Basque education program]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 8|What to write for Wikipedia about? Monuments!]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 9|Wikifridays: editing Wikipedia in the university]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 10|Writing articles on Wikipedia is our way of leaving legacy to the next generations]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 06:55, 12. Nov. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18504430 --> == This Month in Education: November 2018 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em; direction:ltr;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 4 &bull; Issue 10 &bull; October 2018</span> ------ <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/November 2018|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/November 2018/Single page|Single page view]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ------- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/November 2018/WikiEducation - Report from Wikimedians of Albanian Language UG |WikiEducation - Report from Wikimedians of Albanian Language UG]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia Education Program in ICETC 2018 , Japan |Wikipedia Education Program in ICETC 2018, Japan]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia has become the inseparable part of my daily life |Wikipedia has become the inseparable part of my daily life]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia is a world in which anyone of us has his own place |Wikipedia is a world in which anyone of us has his own place]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wiki conference for teachers in Ohrid |Wiki conference for teachers in Ohrid]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Our baby is 3! |Our baby is 3!]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/highlighting work of Sailesh Patnaik |Highlighting work of Sailesh Patnaik]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Important updates from Wikimedia Education Team |Important updates from Wikimedia Education Team]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Welcome Melissa to the Education Team |Welcome Melissa to the Education Team]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/What has the education team been up to? Year end review and updates! |What has the education team been up to? Year end review and updates! ]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:18, 30. Nov. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18673623 --> == This Month in Education: January 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &bull; Issue 1 &bull; January 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2019|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/January 2019/Headlines|Headlines]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/January 2019/Registration for Wikimedia+Education Conference is open|Registration for Wikimedia+Education Conference is open]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Collaboration with Yerevan State University of Languages and Social Sciences after V. Brusov|Collaboration with Yerevan State University of Languages and Social Sciences after V. Brusov]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Meet the first Programs & Events Dashboard sysops|Meet the first Programs & Events Dashboard sysops]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/More than a hundred students gathered in Ecuador to edit Wikipedia|More than a hundred students gathered in Ecuador to edit Wikipedia]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Selet WikiSchool continues to teach young Tatar language Wikipedians|Selet WikiSchool continues to teach young Tatar language Wikipedians]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/The WikiClub contributes to the development of our human qualities |The WikiClub contributes to the development of our human qualities]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Third prize for Wikipedia in schools project|Third prize for Wikipedia in schools project]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/We've updated the design of Education space!|We've updated the design of Education space!]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019|The WikiChallenge Ecoles d'Afrique is back]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wiki Advanced Training at VVIT|Wiki Advanced Training at VVIT]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiEducation in Albania from WoALUG|Creating our first WikiClub]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiClubs participate in edit-a-thon of cartoons|WikiClubs participate in edit-a-thon of cartoons]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wikimedia and Education in Portugal: Where are we now|Wikimedia and Education in Portugal: Where are we now]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wikimedia Israel: “Wikipedia Ambassadors” program for Arabic-speaking schools is launched|Wikimedia Israel: “Wikipedia Ambassadors” program for Arabic-speaking schools is launched]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:41, 29. Jan. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18816770 --> == This Month in Education: February 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 2 &#x2022; February 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/February 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia User Group Nigeria in Collaboration with AfroCrowd Celebrate Black Month History with a 2Day Editathon|Wikimedia User Group Nigeria in Collaboration with AfroCrowd Celebrate Black Month History with a 2Day Editathon]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia+Education Programme announced|Wikimedia+Education Programme announced]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikipedia in Education, Uruguay|Wikipedia in Education, Uruguay]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Oslo Metropolitan University hires “Wikipedia-assistants”|Oslo Metropolitan University hires “Wikipedia-assistants”]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Basque Education Program: 2018 in review|Basque Education Program: 2018 in review]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia Israel introduces Wikidata to Education|Wikimedia Israel introduces Wikidata to Education]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia Serbia made tutorials in Serbian language on editing Wikipedia|Wikimedia Serbia made tutorials in Serbian language on editing Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Seminar on wikis in education|Seminar on wikis in education]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia, Tourism and Education: Launching project ISAL|Wikimedia, Tourism and Education: Launching project ISAL]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/The Swiss Lab: Wikipedia as a game|The Swiss Lab: Wikipedia as a game]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Meet Hungary|Meet Hungary]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:52, 27. Feb. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18903920 --> == This Month in Education: March 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 3 &#x2022; March 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/March 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wikimedia at MLW2019|Wikimedia at UNESCO Mobile Learning Week 2019]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wiki Education publishes evaluation on how to get subject matter experts to edit|Wiki Education publishes evaluation on how to get subject matter experts to edit]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/WikiGap brings editors to close WikiGap|WikiGap brings editors to close WikiGap and open Wiki Pathshala]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Education Mapping exercise is open for public review|Education Mapping exercise is open for public review]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wikimedia movement projects and activities presented at EDU RUSSIA 2019 forum|Wikimedia movement projects and activities presented at EDU RUSSIA 2019 forum]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/“Edit-a-thons give us opportunity to distract from common interests” The club members write articles about New Year|“Edit-a-thons give us opportunity to distract from common interests” The club members write articles about New Year]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/WikiClub as a non-formal educational centre in rural communities|WikiClub as a non-formal educational centre in rural communities]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Mini-MWT at VVIT (Feb 2019)|Mini MediaWiki Training at VVIT]]</div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 07:32, 28. Mär. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18959709 --> == Bring your idea for Wikimedia in Education to life! Launch of the Wikimedia Education Greenhouse == {|border="0" cellspacing="2" cellpadding="10" width="100%" style="background:transparent;font-size:1.0em;line-height:normal" |-valign="top" |style="{{pre style}};width:100%"| '''<center>Apply for Education Greenhouse</center>'''<br><br> [[File:Wikimedia Education Greenhouse logo button.svg|frameless|left|120px]] Are you passionate about open education? Do you have an idea to apply Wikimedia projects to an education initiative but don’t know where to start? Join the the Wikimedia & Education Greenhouse! It is an immersive co-learning experience that lasts 9 months and will equip you with the skills, knowledge and support you need to bring your ideas to life. You can apply as a team or as an individual, by May 12th. Find out more <big> [[:outreach:Education/Greenhouse|Education Greenhouse]].</big> For more information reachout to mguadalupe{{@}}wikimedia.org |} —[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 13:16, 5. Apr. 2019 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18981257 --> == This Month in Education: April 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 4 &#x2022; April 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/April 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/April 2019/Launch of the Wikimedia & Education Greenhouse!|Launch of the Wikimedia & Education Greenhouse!]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikipedia Student Scholar|Wikipedia Student Scholar]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikimedia Commons: a highly hostile place for multimedia students contributions|Wikimedia Commons: a highly hostile place for multimedia students contributions]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikimedia+Education Conference highlights|Wikimedia+Education Conference highlights]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:27, 24. Apr. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19034809 --> == This Month in Education: May 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 5 &#x2022; May 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[Outreach:Education/Newsletter/May 2019|Contents]] &#x2022; [[Outreach:Education/Newsletter/May 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Education in Wales|Education in Wales]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia & Education Greenhouse: Applications closed!|Wikimedia & Education Greenhouse: Applications closed!]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Meet Germany|Wiki Camp 'Meet Germany']] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Seniors also count!|Seniors also count!]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Mandatory internship at Wikimedia Armenia|Mandatory internship at Wikimedia Armenia]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia Experience Survey by VVIT WikiConnect|Wikimedia Experience Survey by VVIT WikiConnect]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/OFWA Wikipedia Education Highlights April 2019|OFWA Wikipedia Education Highlights April 2019]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia Education at "Wikicamp Chattogram 2019"|Wikimedia Education at "Wikicamp Chattogram 2019"]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Edit a thon about flora and fauna to celebrate the earth day|Edit a thon about flora and fauna to celebrate the earth day]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:16, 29. Mai 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19113682 --> == This Month in Education: June 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 6 &#x2022; June 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/June 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[outreach:Education/News/June 2019/The introduction of the Wikipedia into the educational program has expanded|The introduction of the Wikipedia into the educational program has expanded]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Welcome Vasanthi|Welcome Vasanthi to the Education Team!]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikimedia Education SAARC Conference happening in India|Wikimedia Education SAARC Conference happening in India]] *[[outreach:Education/News/June 2019/"Won't somebody please think of the children?"|"Won't somebody please think of the children?"]] *[[outreach:Education/News/June 2019/The first Annual Report of VVIT WikiConnect|The first Annual Report of VVIT WikiConnect]] *[[outreach:Education/News/June 2019/An effective collaboration of WikiClubs and schools|An effective collaboration of WikiClubs and schools]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikiclassroom: New way for students' inspiration|Wikiclassroom: New way for students' inspiration]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikipedia as a classroom activity kicks off in Kosovo|Wikipedia as a classroom activity kicks off in Kosovo]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:40, 6. Jul. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19174995 --> == This Month in Education: July 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 7 &#x2022; July 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/July 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/July 2019/First WikiEducation gathering in Mexico|First WikiEducation gathering in Mexico]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/SEABA school in India has hired a Wikimedian to teach Wikimedia project in their school.|SEABA school in India has hired a Wikimedian to teach Wikimedia project in their school.]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Selet WikiSchool: results of first half of 2019|Selet WikiSchool: results of first half of 2019]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Students Use Archival Documents in a Competition, WMIL|Students Use Archival Documents in a Competition, WMIL]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Stepanakert WikiClub: Meeting with the Speaker of the Artsakh Parliament - Ashot Ghoulian|Stepanakert WikiClub: Meeting with the Speaker of the Artsakh Parliament - Ashot Ghoulian]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Collaboration with American University of Armenia|Collaboration with American University of Armenia]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Finalizing the Collaboration with Armenian Education Foundation|Finalizing the Collaboration with Armenian Education Foundation]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Wikimedia Education SAARC Conference Journey|Wikimedia Education SAARC Conference Journey]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 11:53, 30. Jul. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19221452 --> == This Month in Education: August 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 8 &#x2022; August 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/August 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2019/Summer WikiCamp for secondary school students 2019 in Armenia|Summer WikiCamp for secondary school students 2019 in Armenia]] * [[outreach:Education/News/August 2019/Together, we can create an environment that promotes Quality Education|Together, we can create an environment that promotes Quality Education]] * [[outreach:Education/News/August 2019/International Days and pop culture motivate primary and secondary education students to write on Wikipedia and Wikidata|International Days and pop culture motivate primary and secondary education students to write on Wikipedia and Wikidata]] * [[outreach:Education/News/August 2019/Quality learning and recruiting students at Edu Wiki camp|Quality learning and recruiting students at Edu Wiki camp]] * [[outreach:Education/News/August 2019/We spend such wonderful days in WikiCamps that noone wants to return home|We spend such wonderful days in WikiCamps that noone wants to return home]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:00, 5. Sep. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19308048 --> == This Month in Education: September 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 9 &#x2022; September 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/September 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/September 2019/Learning history by expanding articles about novels|Learning history by expanding articles about novels]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Organizing the Education space at Wikimania 2019 - A conversation with Shani Evenstein|Organizing the Education space at Wikimania 2019 - A conversation with Shani Evenstein]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wiki Goes to School is back in three cities in Indonesia|Wiki Goes to School is back in three cities in Indonesia]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikipedia workshop at the Summer IT School for Teachers|Wikipedia workshop at the Summer IT School for Teachers]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019 is over|WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019 is over]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikipedia Education Program launched in Bangladesh|Wikipedia Education Program held at Netrokona Government College, Bangladesh]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Stepanakert WikiClub turns 4!|Stepanakert WikiClub turns 4!]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikimedia Indonesia trained the trainers through WikiPelatih 2019|Wikimedia Indonesia trained the trainers through WikiPelatih 2019]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Students learning Wikipedia editing by attending Wikicamp at Nabran|Students learning Wikipedia editing by attending Wikicamp at Nabran]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:34, 1. Okt. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19418815 --> == This Month in Education: October 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 10 &#x2022; October 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/October 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia Chile launched its new online course for school teachers|Wikimedia Chile launched its new online course for school teachers]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia Norway is developing an education program for Sámi students and universities teaching Sámi subjects|Wikimedia Norway is developing an education program for Sámi students and universities teaching Sámi subjects]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Teachers Association of the Republic of Indonesia (PGRI) Keeps Improving Teachers’ Digital Literacy Through the Use of Wikipedia|Teachers Association of the Republic of Indonesia (PGRI) Keeps Improving Teachers’ Digital Literacy Through the Use of Wikipedia]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Lectures on Wikipedia at the the University of Warsaw|Lectures on Wikipedia at the the University of Warsaw]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikicamp in Armenia through the Eyes of Foreigners| Wikicamp in Armenia through the Eyes of Foreigners]] *[[outreach:Education/News/October 2019/New Wiki Education evaluation report of Wikidata courses published|New Wiki Education evaluation report of Wikidata courses published courses.]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Youth Salon by VVIT WikiConnect along with Wikipedia & Education user group|Wikimedia 2030 Strategoy Youth Salon by VVIT WikiConnect]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the first unit of the online course|Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the first unit of the online courses.]] *[[outreach:Education/News/September 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 10:30, 25. Okt. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19436525 --> == This Month in Education: November 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 11 &#x2022; November 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/October 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/November 2019/GOES for Ghana|Wikimedians aim to make a difference in the lives of students in Ghana with support from the Wikimedia & Education Greenhouse]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/The Third "Editatón WikiUNAM"|The Third "Editatón WikiUNAM"]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/Spreading Free Knowledge in the Land of Minangkabau|Spreading Free Knowledge in the Land of Minangkabau]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/What can we learn from the Open Education movement about attaining educational SDG in the digital age?|What can we learn from the Open Education movement about attaining educational SDG in the digital age?]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/We are highlighting the work User:Ixocactus for his contributions in Wikimedia & Education‎| We are highlighting the work of User:Ixocactus this month‎]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/“Olympic sports through history” on Serbian Wikipedia|“Olympic sports through history” on Serbian Wikipedia courses.]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/Workshops with Wiki Club members|Workshops with Wiki Club members]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/"Learning about other Culture" SEABA School, Lehragaga|"Learning about other Culture" SEABA School, Lehragaga.]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 04:15, 29. Nov. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19589002 --> == This Month in Education: January 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &bull; Issue 1 &bull; January 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2019|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/January 2019/Headlines|Headlines]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/January 2020/Featured education community member of January 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: User:Parvathisri]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Alva's college collaboration|Alva's college collaboration]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/EtnoWiki strikes again!|EtnoWiki strikes again in Poland!]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Internship program: Engaging New Volunteers to Join the Community|Internship program: Engaging New Volunteers to Join the Community]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Joint translations as language studying tool in Karvachar’s Wikiclub|Joint translations as language studying tool in Karvachar’s Wikiclub]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Selet WikiSchool introduces Wikinews and other Wikimedia projects|Selet WikiSchool introduces Wikinews and other Wikimedia projects]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Training of Trainers for Teachers in South Sulawesi Was Organized For the First Time|Training of Trainers for Teachers in South Sulawesi Was Organized For the First Time]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Twenty video tutorials in Serbian language on editing Wikipedia|Twenty video tutorials in Serbian language on editing Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Updates from Wikimedia Education database edit-a-thon|Updates from Wikimedia Education database edit-a-thon]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wiki Club Ohrid grows|Wiki Club Ohrid grows]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wiki Masuk Sekolah (Wiki Goes to School) Involved the Students in Producing and Sharing Knowledge Through Wikipedia|Wiki Masuk Sekolah (Wiki Goes to School) Involved the Students in Producing and Sharing Knowledge Through Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wikiclassroom as a New Means of Gaining Knowledge|Wikiclassroom as a New Means of Gaining Knowledge]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the second unit of the online course|Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the second unit of the online course]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/WoALUG collaboration with educational institution BONEVET in Prishtina|WoALUG collaboration with educational institution BONEVET in Prishtina]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:26, 3. Feb. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19722205 --> == This Month in Education: February 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 1 &#x2022; February 2020</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/February 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/February 2020/Featured education community member of February 2020|Featured education community member of February 2020]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Wikipedia in Mayan Language|Wikipedia in Mayan Language]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Open Education Week - events with Wikimedia Poland|Open Education Week - events with Wikimedia Poland]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Youngest wikimedians ever editing Txikipedia|Youngest wikimedians ever editing Txikipedia]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Fashion and digital citizenship at Bath Spa University|Fashion and digital citizenship at Bath Spa University]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/WoALUG and REC Albania continue their collaboration in Wikimedia Education|WoALUG and REC Albania continue their collaboration in Wikimedia Education]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Respati Project|Respati Project]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 23:06, 3. Mär. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19845865 --> == This Month in Education: March 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 3 &#x2022; March 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/March 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/March 2020/An Update on Wikimedia Indonesia’s Education Program|An Update on Wikimedia Indonesia’s Education Program]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Education Program in CUC Sur, Jalisco, México|Education Program in CUC Sur, Jalisco, México]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Featured education community member of March 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Amber Berson]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Enhancing Armenian Wikipedia with professional articles|Enhancing Armenian Wikipedia with professional articles]] * [[outreach:Education/News/March 2020/How collaborations and perseverance contributed to an especially impactful educational project|How collaborations and perseverance contributed to an especially impactful educational project]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Wikimedia Argentina carried out the first training program in education and Human Rights for the Wikimedia Movement|Wikimedia Argentina carried out the first training program in education and Human Rights for the Wikimedia Movement]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 17:30, 30. Mär. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19864438 --> == This Month in Education: April 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 4 &#x2022; April 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/April 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/April 2020/ Wikipedia Reveals New Sides of Translation|Wikipedia Reveals New Sides of Translation]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Education Webinars organized by Wikimedia México|Education Webinars organized by Wikimedia México]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Fact checking tool with library under cc-license|Fact checking tool with library under cc-license]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Fast help for schools: An interactive platform for Open Educational Resources|Fast help for schools: An interactive platform for Open Educational Resources]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Featured education community member of April 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wiki Club Ashesi Welcomes Onboard a New Patron|Wiki Club Ashesi Welcomes Onboard a New Patron]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wiki-school project with Wikimedia Poland|Wiki-school. A new program for teachers in Poland]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wikimedia Serbia was organized action on improving students assignments on Wikipedia|Wikimedia Serbia was organized action on improving students assignments on Wikipedia]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:45, 5. Mai 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20024483 --> == This Month in Education: May 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 5 &#x2022; May 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/May 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/May 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/May 2020/EduWiki challenge México by Wikimedia México|EduWiki challenge México by Wikimedia México]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Featured education community member of May 2020|Featured education community member of May 2020]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Sharing Wikimedia Education Projects in the Philippines|Sharing Wikimedia Education Projects in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Turkish professors are giving Wikipedia assignments during Covid-19 days|Turkish professors are giving Wikipedia assignments during Covid-19 days]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Wikidata introduced in Faculty of Economics, University of Belgrade|Wikidata introduced in Faculty of Economics, University of Belgrade]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Wikipedia as career counseling tool for teenagers|Wikipedia as career counseling tool for teenagers]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:39, 10. Jun. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20130275 --> == This Month in Education: June 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 6 &#x2022; June 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/June 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/June 2020/Understanding Wikimedia Affiliates Evaluation in Education Report|Understanding Wikimedia Affiliates Evaluation in Education Report]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Understanding Wikimedia Community as Research Fellows|Understanding Wikimedia Community as Research Fellows]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Participants of Wiki/Ponder online workshop in Kosovo edit Wikipedia|Participants of Wiki/Ponder online workshop in Kosovo edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Wikimedia & Education Greenhouse – Celebrating the final unit of the online course!|Wikimedia & Education Greenhouse – Celebrating the final unit of the online course!]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Wikipedia in schools competing for innovations in teaching award|Wikipedia in schools competing for innovations in teaching award]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Featured education community member of June 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Oleh Kushch]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:54, 24. Jun. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20166080 --> == This Month in Education: July 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 7 &#x2022; July 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/July 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/July 2020/About Education at the Wikimedia Polska Conference|About Education at the Wikimedia Polska Conference]] * [[outreach:Education/News/July 2020/Featured education community member of July 2020|Featured education community member]] * [[outreach:Education/News/July 2020/The importance of having an Education and Human Rights Program|The importance of having an Education and Human Rights Program]] * [[outreach:Education/News/July 2020/The Welsh Wiki-Education project|The Welsh Wiki-Education project]] * [[outreach:Education/News/July 2020/Wikimedia Chile faces the challenge of mandatory virtuality|Wikimedia Chile faces the challenge of mandatory virtuality]] * [[outreach:Education/News/July 2020/WoALUG and Canadian Institute of Technology write about women in tech|WoALUG and Canadian Institute of Technology write about women in tech]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 07:27, 5. Aug. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20337242 --> == This Month in Education: August 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 8 • August 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/August 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2020/Collaboration between Karvachar Armath laboratory and Karvachar’s Wikiclub as a new educational platform for the teenagers|Collaboration between Karvachar Armath laboratory and Karvachar’s Wikiclub as a new educational platform for the teenagers]] * [[outreach:Education/News/August 2020/Education cycle “Wikipedia, the free encyclopedia: an instructional strategy for the teaching practice” organized by the Faculty of Education Sciences of the Universidad Autónoma de Tlaxcala and Wikimedia México.|Education cycle “Wikipedia, the free encyclopedia: an instructional strategy for the teaching practice”]] * [[outreach:Education/News/August 2020/3rd edition of Wikipedia Education Program in Hebron, Palestine. (COVID-19 edition)|3rd edition of Wikipedia Education Program in Hebron, Palestine. (COVID-19 edition)]] * [[outreach:Education/News/August 2020/Introductory Wikipedia Workshop with Future Engineers: First Step of Education Program|Introductory Wikipedia Workshop with Future Engineers: First Step of Education Program]] * [[outreach:Education/News/August 2020/A picture is worth a thousand words: history students research pictures on Commons|A picture is worth a thousand words: history students research pictures on Commons]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 15:33, 23. Aug. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20345269 --> == This Month in Education: September 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 9 • September 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2020/Active autumn in the Polish wiki-education|Active autumn in the Polish wiki-education]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"|Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Featured education community member of September 2020|Featured education community member of September 2020]] * [[outreach:Education/News/September 2020/The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines|The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia|Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 14:49, 23. Sep. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20463283 --> == This Month in Education: September 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 9 • September 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2020/Active autumn in the Polish wiki-education|Active autumn in the Polish wiki-education]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"|Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Featured education community member of September 2020|Featured education community member of September 2020]] * [[outreach:Education/News/September 2020/The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines|The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia|Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 16:46, 23. Sep. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20463283 --> == This Month in Education: October 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 10 • October 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2020/Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon|Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Digital skills using Wikimedia Art + Feminism|Digital skills using Wikimedia Art + Feminism]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)|Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Education news bytes|Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Featured education community member of October 2020|Featured education community member of October 2020]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament|Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 13:59, 25. Okt. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20514345 --> == This Month in Education: October 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 10 • October 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2020/Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon|Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Digital skills using Wikimedia Art + Feminism|Digital skills using Wikimedia Art + Feminism]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)|Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Education news bytes|Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Featured education community member of October 2020|Featured education community member of October 2020]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament|Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:03, 25. Okt. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20514345 --> == This Month in Education: November 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 11 • November 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/November 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/November 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/November 2020/Celebrating 10 years of student editing in the United States and Canada|Celebrating 10 years of student editing in the United States and Canada]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Cooperation in digital education – Wikimedia Polska conference|Cooperation in digital education – Wikimedia Polska conference]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Education Team 2020 Year End Review|Education Team 2020 Year End Review]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Featured education community members of 2020|Featured education community members of 2020]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Fifteen years of implementation of the Wikipedia Education Program in Serbia|Fifteen years of implementation of the Wikipedia Education Program in Serbia]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Hablon User Group and UP Internet Freedom Network Wikipedia Edit-a-thon|Hablon User Group and UP Internet Freedom Network Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Online trainings on Wikipedia with high school students of Kosova|Online trainings on Wikipedia with high school students of Kosova]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Photographics and free culture training in Cameroon and Switzerland|Photographics and free culture training in Cameroon and Switzerland]] * [[outreach:Education/News/November 2020/The article about Wiki-education in the science magazine|The article about Wiki-education in the science magazine]] * [[outreach:Education/News/November 2020/The first Online EduWiki Camp in Serbia|The first Online EduWiki Camp in Serbia]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Wikimedia Mexico’s Education Program celebrates Open Access Week 2020|Wikimedia Mexico’s Education Program celebrates Open Access Week 2020]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Wikipedia as a Tool to Educate and to Be Educated|Wikipedia as a Tool to Educate and to Be Educated]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:15, 17. Dez. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20831200 --> == This Month in Education: January 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 1 • January 2021</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/January 2021/Headlines|Headlines]] • [[metawiki:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/January 2021/Featured education community member of January 2021|Featured education community member of January 2021]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Open Education Global 2020 Conference|Open Education Global 2020 Conference]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Reading Wikipedia in Bolivia|Reading Wikipedia in Bolivia]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert|The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines|The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa|Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:26, 23. Jan. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20974633 --> == This Month in Education: January 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 1 • January 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/January 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/January 2021/Featured education community member of January 2021|Featured education community member of January 2021]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Open Education Global 2020 Conference|Open Education Global 2020 Conference]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Reading Wikipedia in Bolivia|Reading Wikipedia in Bolivia]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert|The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines|The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa|Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 16:35, 24. Jan. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21000945 --> == This Month in Education: February 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 2 • February 2021</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/February 2021/Headlines|Headlines]] • [[metawiki:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/February 2021/Education news bytes|Wikimedia Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Featured education community member of February 2021|Featured education community member of February 2021]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Karvachar Wikiclub continues its activities online|Karvachar Wikiclub continues its activities online]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Over 4,000 references added|Over 4,000 more references added! 1Lib1Ref campaign in Poland]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Philippines Climate Change Translate-a-thon|Philippines Climate Change Translate-a-thon]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 08:34, 24. Feb. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21035028 --> == This Month in Education: March 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 3 • March 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/March 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/March 2021/A Wikipedia Webinar for Indonesian Women Teachers|A Wikipedia Webinar for Indonesian Women Teachers]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Educational program of GLAM Macedonia|Educational program of GLAM Macedonia]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Filling Gaps - the Conference about Education in Poland|Filling the Gaps & Open Education Week]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Featured education community member of March 2021|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Bara'a Zama'reh]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Using Wikipedia and Bridging the Gender Gap: In-Service training for Teachers in Philippines|Using Wikipedia and Bridging the Gender Gap: In-Service training for Teachers in Philippines]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:46, 26. Mär. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21247888 --> == This Month in Education: April 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 4 • April 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/April 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/April 2021/Collaboration with Brusov State University|Collaboration with Brusov State University]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Editing contest "Meet Russia"|Editing contest "Meet Russia"]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Educational project: Wikipedia at the University with the University Center for Economic-Administrative Sciences|Educational project: Wikipedia at the University with the University Center for Economic-Administrative Sciences (Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas (CUCEA)) of the University of Guadalajara]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Regional Meeting of Latin American Education by the EWOC|Regional Meeting of Latin American Education by the EWOC]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Students of the Faculty of Philosophy in Belgrade have started an internship program|Students of the Faculty of Philosophy in Belgrade have started an internship program]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 00:48, 26. Apr. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21372399 --> == This Month in Education: May 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 5 • May 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/May 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/May 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/May 2021/A Multimedia-Rich Wikiversity MOOC from Brazil|A Multimedia-Rich Wikiversity MOOC from Brazil]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Featured education community member of May 2021|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Maria Weronika Kmoch]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Offline workshop with Nikola Koperniku High School in Albania|Offline workshop with Nikola Koperniku High School in Albania]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wiki Education Program Organized with the University Students for the First time in Bangladesh|Wiki Education Program Organized with the University Students for the First time in Bangladesh]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wikimedia Commons workshop with high school students in Kosovo; Workshop with telecommunication students at University of Prishtina|Wikimedia Commons workshop with high school students in Kosovo]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wikipedia training for the Safeguardians of the Intangible Cultular Heritage|Wikipedia training for the Bearers of Intangible Cultural Heritage in Poland]] * [[outreach:Education/News/May 2021/“Writing a Wikipedia article isn’t as difficult and unimaginable as it seems”: A case for Wikipedia Education Program in Ukraine|“Writing a Wikipedia article isn’t as difficult and unimaginable as it seems”: A case for Wikipedia Education Program in Ukraine]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:38, 27. Mai 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21425406 --> == This Month in Education: June 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 6 • June 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/June 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/June 2021/Children writing for an encyclopedia – is it possible?|Can children write articles for a wiki encyclopedia?]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Editing contest "Biosphere reserves in the world"|Editing contest "Biosphere reserves in the world"]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Training & workshop on Wikidata and Wikimedia Commons with students from Municipal Learning Center, Gurrakoc|Training & workshop on Wikidata and Wikimedia Commons with students from Municipal Learning Center, Gurrakoc]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Wiki for Human Rights Campaign in the Philippines|Wiki for Human Rights Campaign in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Wiki-School program in Poland at the end of school year|Wikipedia makes children and teachers happy!]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Workshop with students of Language Faculty of Philology, University of Prishtina "Hasan Prishtina"|Workshop with the students of Language Faculty of Philology, University of Prishtina "Hasan Prishtina"]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:57, 23. Jun. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21553405 --> == This Month in Education: July 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 7 • July 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/July 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/July 2021/UHI Editathon celebrates 10 years as a university|University celebrates 10th anniversary with an Editathon]] * [[outreach:Education/News/July 2021/A paper on Students' Attitudes Towards the Use of Wikipedia|A paper on Students' Attitudes Towards the Use of Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/July 2021/Announcing the Training of Trainers program for Reading Wikipedia in the Classroom!|Announcing the Training of Trainers program for "Reading Wikipedia in the Classroom"]] * [[outreach:Education/News/July 2021/MOOC Conocimiento Abierto y Software Libre|MOOC Conocimiento Abierto y Software Libre]] * [[outreach:Education/News/July 2021/Leamos Wikipedia en Bolivia|Updates on the Leamos Wikipedia en Bolivia 2021]] * [[outreach:Education/News/July 2021/E-lessons on Wikipedia from Wikimedia Polska|Virtual lessons on Wikipedia from Wikimedia Polska for schools]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:32, 3. Aug. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21829196 --> == This Month in Education: August 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 8 • August 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/August 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2021/Workshop for the Teachers from Poland|GLAM-wiki Summer in the City: Polish Teachers met in Warsaw]] * [[outreach:Education/News/August 2021/Wikipedia for School – our largest article contest for Ukrainian teachers|Wikipedia for School – our largest article contest for Ukrainian teachers]] * [[outreach:Education/News/August 2021/The importance of Social Service: Modality of educational linkage with ITESM, Querétaro campus and Wikimedia Mexico|The importance of Social Service: Modality of educational linkage with ITESM, Querétaro campus and Wikimedia Mexico]] * [[outreach:Education/News/August 2021/"Searching for the unschooling vibes around Wikipedia" at the Wikimania 2021|Wikimania 2021 and the unschooling vibes around Wikipedia by Wikimedia Polska, Education team]] * [[outreach:Education/News/August 2021/Open Foundation West Africa Introduces KIWIX Offline to the National Association of Graduate Teachers|Open Foundation West Africa Introduces KIWIX Offline to the National Association of Graduate Teachers]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 15:38, 25. Aug. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21914750 --> == This Month in Education: September 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 9 • September 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2021/Cultural history on Wikipedia|Cultural history on Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Education program in Ukraine is finally back to offline|Education program in Ukraine is finally back to offline!]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Reading Wikipedia in the Classroom Module Distribution in the Philippines|Reading Wikipedia in the Classroom Module Distribution in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Senior Citizens WikiTown 2021: Týn nad Vltavou|Senior Citizens WikiTown 2021: Týn nad Vltavou]] * [[outreach:Education/News/September 2021/WikiXLaEducación: New contest to include articles about education on Wikipedia|#WikiXLaEducación: New contest to include articles about education on Wikipedia]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:43, 26. Sep. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22072998 --> == This Month in Education: October 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 10 • October 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2021/1st joint contest Wikimedia UG Georgia and the Ministry of Education of Georgia.|1st joint contest Wikimedia UG Georgia and the Ministry of Education of Georgia]] * [[outreach:Education/News/October 2021/Promoting more inclusive and equitable support for the Wikimedia Education community|Promoting more inclusive and equitable support for the Wikimedia Education community]] * [[outreach:Education/News/October 2021/The Second Online EduWiki Camp in Serbia|The Second Online EduWiki Camp in Serbia]] * [[outreach:Education/News/October 2021/University courses in the UK|Higher and further education courses in the UK]] * [[outreach:Education/News/October 2021/Wikipedia on Silesia Cieszyn in Poland|Wikipedia on Silesia Cieszyn in Poland and in Czech Republic]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:41, 26. Okt. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22208730 --> == This Month in Education: November 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 11 • November 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Education/Newsletter/November 2021|Contents]] • [[m:Education/Newsletter/November 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Education/News/November 2021/We talked about EduWiki Outreach Collaborators and how Wikimedia Serbia played a role being a part of it|We talked about EduWiki Outreach Collaborators and how Wikimedia Serbia played a role being a part of it]] * [[m:Education/News/November 2021/Welcome to Meta!|Welcome to Meta!]] * [[m:Education/News/November 2021/Wikipedia Education Program in Ukraine in 2021|Wikipedia Education Program in Ukraine in 2021]] * [[m:Education/News/November 2021/Wikipedia and Education Mentorship Program-Serbia and Philippines Partnership|Wikipedia and Education Mentorship Program-Serbia and Philippines Partnership]] * [[m:Education/News/November 2021/Launch of the Wikimedia Research Fund!|Launch of the Wikimedia Research Fund!]] * [[m:Education/News/November 2021/Education projects in the Land of Valencia|Education projects in the Land of Valencia]] * [[m:Education/News/November 2021/A Hatch-Tyap-Wikipedia In-person Training Event|A Hatch-Tyap-Wikipedia In-person Training Event]] * [[m:Education/News/November 2021/Celebrating Sq Wikipedia Birthday with the Vasil Kamami High School students|Celebrating Sq Wikipedia Birthday with the Vasil Kamami High School students]] * [[m:Education/News/November 2021/Celebrating Wikidata with the Nikola Koperniku High School students|Celebrating Wikidata with the Nikola Koperniku High School students]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:19, 21. Nov. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22360687 --> == This Month in Education: January 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Dieser Monat im Bildungswesen</span><br/> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Band 11 • Ausgabe 1 • Januar 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In dieser Ausgabe</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/30-h Wikipedia Article Writing Challenge|Wikipedia-Herausforderung: Artikel schreiben innerhalb von 30 Stunden]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Announcing Wiki Workshop 2022|Ankündigung von Wiki Workshop 2022!]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Final exhibition about Cieszyn Silesia region|Abschlussausstellung der Region Cieszyn/Schlesien]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Join us this February for the EduWiki Week|Nimm diesen Februar an der Eduwiki-Woche teil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Offline Education project WikiChallenge closed its third edition|Dritte Ausgabe des offline-Bildungsprojekt WikiChallenge beendet]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Reading Wikipedia in the Classroom ToT Experience of a Filipina Wikimedian|Wikipedia im Klassenzimmer: Technologietransfererfahrungen einer phillipinischen Wikimedian]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Welcoming new trainers of the Reading Wikipedia in the Classroom program|Begrüßung neuer Ausbilder für das Projekt Wikipedia im Klassenzimmer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Wikimedia Israel’s education program: Students enrich Hebrew Wiktionary with Biblical expressions still in use in modern Hebrew|Wikimedia Israels Bildungsprojekt: Studenten bereichern hebräisches Wiktionary mit weiterhin gebräuchlichen biblischen Redewendungungen]] </div></div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:29, 24. Jan. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22669905 --> == This Month in Education: January 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Dieser Monat im Bildungswesen</span><br/> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Band 11 • Ausgabe 1 • Januar 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In dieser Ausgabe</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/30-h Wikipedia Article Writing Challenge|Wikipedia-Herausforderung: Artikel schreiben innerhalb von 30 Stunden]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Announcing Wiki Workshop 2022|Ankündigung von Wiki Workshop 2022!]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Final exhibition about Cieszyn Silesia region|Abschlussausstellung der Region Cieszyn/Schlesien]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Join us this February for the EduWiki Week|Nimm diesen Februar an der Eduwiki-Woche teil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Offline Education project WikiChallenge closed its third edition|Dritte Ausgabe des offline-Bildungsprojekt WikiChallenge beendet]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Reading Wikipedia in the Classroom ToT Experience of a Filipina Wikimedian|Wikipedia im Klassenzimmer: Technologietransfererfahrungen einer phillipinischen Wikimedian]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Welcoming new trainers of the Reading Wikipedia in the Classroom program|Begrüßung neuer Ausbilder für das Projekt Wikipedia im Klassenzimmer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Wikimedia Israel’s education program: Students enrich Hebrew Wiktionary with Biblical expressions still in use in modern Hebrew|Wikimedia Israels Bildungsprojekt: Studenten bereichern hebräisches Wiktionary mit weiterhin gebräuchlichen biblischen Redewendungungen]] </div></div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 22:14, 24. Jan. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22669905 --> == This Month in Education: February 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English ... {{int:please-translate}} <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 2 • February 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</div> </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Open Foundation West Africa Expands Open Movement With UHAS|Open Foundation West Africa Expands Open Movement With UHAS]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Celebrating the 18th anniversary of Ukrainian Wikipedia|Celebrating the 18th anniversary of Ukrainian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Integrating Wikipedia in the academic curriculum in a university in Mexico|Integrating Wikipedia in the academic curriculum in a university in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Results of "Reading Wikipedia" workshop in the summer school of Plan Ceibal in Uruguay|Results of "Reading Wikipedia" workshop in the summer school of Plan Ceibal in Uruguay]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/WikiFundi, offline editing plateform : last release notes and how-tos|WikiFundi, offline editing plateform : last release notes and how-tos]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Writing Wikipedia as an academic assignment in STEM fields|Writing Wikipedia as an academic assignment in STEM fields]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/The Learning and Connection – 1Lib1Ref with African Librarians|The Learning and Connection – 1Lib1Ref with African Librarians]] </div> </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:09, 28. Feb. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22886200 --> == This Month in Education: March 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English... Please help translate to your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 3 • March 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Arte+Feminismo Pilipinas:Advocacy on Women Empowerment|Arte+Feminismo Pilipinas:Advocacy on Women Empowerment]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/The edit-a-thon on Serbian Wikipedia on the occasion of Edu Wiki Week|The edit-a-thon on Serbian Wikipedia on the occasion of Edu Wiki Week]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Call for Participation: Higher Education Survey|Call for Participation: Higher Education Survey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Collection of Good Practices in Wikipedia Education|Collection of Good Practices in Wikipedia Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Conversation: Open education in the Wikimedia Movement views from Latin America|Conversation: Open education in the Wikimedia Movement views from Latin America]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/EduWiki Week 2022, celebrations and learnings|EduWiki Week 2022, celebrations and learnings]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/EduWiki Week in Armenia|EduWiki Week in Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Open Education Week at the Universidad Autónoma de Nuevo León|Open Education Week at the Universidad Autónoma de Nuevo León]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Wikipedia + Education Talk With Leonard Hagan|Wikipedia + Education Talk With Leonard Hagan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Wikimedia Israel cooperates with Yad Vashem in developing a training course for teachers|Wikimedia Israel cooperates with Yad Vashem in developing a training course for teachers]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:58, 25. Mär. 2022 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23020683 --> == This Month in Education: April 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English... Please help translate to your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 4 • April 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Audio-Educational Seminar of Wikimedia Mexico|Audio-Educational Seminar of Wikimedia Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Dagbani Wikimedians using digital TV broadcast to train Wikipedia contributors in Ghana|Dagbani Wikimedians using digital TV broadcast to train Wikipedia contributors in Ghana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Digital Education & The Open Space With Herbert Acheampong|Digital Education & The Open Space With Herbert Acheampong]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/HerStory walks as a part of edit-a-thons|HerStory walks as a part of edit-a-thons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Join us for Wiki Workshop 2022|Join us for Wiki Workshop 2022]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/The youngest member of Tartu Wikiclub is 15-year-old student|The youngest member of Tartu Wikiclub is 15-year-old student]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 14:52, 24. Apr. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23177152 --> == This Month in Education: May 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 5 • May 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Education/News/May 2022/Wiki Hackathon in Kwara State|Wiki Hackathon in Kwara State]] * [[Education/News/May 2022/Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete|Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete]] * [[Education/News/May 2022/Education in Kosovo|Education in Kosovo]] * [[Education/News/May 2022/Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes|Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes]] * [[Education/News/May 2022/Tyap Wikipedia Goes Live|Tyap Wikipedia Goes Live]] * [[Education/News/May 2022/Spring 1Lib1Ref edition in Poland|Spring 1Lib1Ref edition in Poland]] * [[Education/News/May 2022/Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop|Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop]] * [[Education/News/May 2022/Wikibooks project in teaching|Wikibooks project in teaching]] * [[Education/News/May 2022/Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković|Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković]] * [[Education/News/May 2022/My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah|My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education| Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:43, 1. Jun. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23282386 --> == This Month in Education: May 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 5 • May 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Education/News/May 2022/Wiki Hackathon in Kwara State|Wiki Hackathon in Kwara State]] * [[m:Education/News/May 2022/Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete|Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete]] * [[m:Education/News/May 2022/Education in Kosovo|Education in Kosovo]] * [[m:Education/News/May 2022/Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes|Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes]] * [[m:Education/News/May 2022/Tyap Wikipedia Goes Live|Tyap Wikipedia Goes Live]] * [[m:Education/News/May 2022/Spring 1Lib1Ref edition in Poland|Spring 1Lib1Ref edition in Poland]] * [[m:Education/News/May 2022/Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop|Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop]] * [[m:Education/News/May 2022/Wikibooks project in teaching|Wikibooks project in teaching]] * [[m:Education/News/May 2022/Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković|Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković]] * [[m:Education/News/May 2022/My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah|My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education| Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:54, 1. Jun. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23351176 --> == This Month in Education: June 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 6 • June 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Black Lunch Table: Black History Month with Igbo Wikimedians User Group|Black Lunch Table: Black History Month with Igbo Wikimedians User Group]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Bolivian Teachers Welcomed Wikipedia in their Classroom|Bolivian Teachers Welcomed Wikipedia in their Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Educational program & Wikivoyage in Ukrainian University|Educational program & Wikivoyage in Ukrainian University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The Great Learning and Connection: Experience from AFLIA|The Great Learning and Connection: Experience from AFLIA]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/New Mexico Students Join Wikimedia Movement Through WikiForHumanRights Campaign|New Mexico Students Join Wikimedia Movement Through WikiForHumanRights Campaign]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The school wiki-project run by a 15 year old student came to an end|The school wiki-project run by a 15 year old student came to an end]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The students of Kadir Has University, Istanbul contribute Wikimedia projects in "Civic Responsibility Project" course|The students of Kadir Has University, Istanbul contribute Wikimedia projects in "Civic Responsibility Project" course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wiki Trip with Vasil Kamami Wikiclub to Berat, the town of one thousand windows|Wiki Trip with Vasil Kamami Wikiclub to Berat, the town of one thousand windows]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikiclubs in Albania|Wikiclubs in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikidata in the classroom FGGC Bwari Experience|Wikidata in the classroom FGGC Bwari Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikipedia and Secondary Schools in Aotearoa New Zealand|Wikipedia and Secondary Schools in Aotearoa New Zealand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/А large-scale online course for teaching beginners to work in Wikipedia has been developed in Russia|А large-scale online course for teaching beginners to work in Wikipedia has been developed in Russia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:50, 4. Jul. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23406065 --> == This Month in Education: July 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 7 • July 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia Chile launched a teacher guidebook with Wiki tools for Heritage Education|Wikimedia Chile launched a teacher guidebook with Wiki tools for Heritage Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia Serbia received a new accreditation for the professional development program|Wikimedia Serbia received a new accreditation for the professional development program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia for Illiterate Persons|Wikimedia for Illiterate Persons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/EtnoWiki edit-a-thon in Poland|Polish Wikipedia is enriched with new EtnoWiki content]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Career Education through Wikipedia|Career Education through Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:39, 3. Aug. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23607963 --> == This Month in Education: August 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 8 • August 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/The Making of a Certified Trainer of Reading Wikipedia in the Classroom|The Making of a Certified Trainer of Reading Wikipedia in the Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wikimania SDGs 2022: The Kwara Experience|Wikimania SDGs 2022: The Kwara Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/An adapted Module teacher’s guide in Yoruba and English about Reading Wikipedia in the Classroom in Nigeria is now available on Commons|An adapted Module teacher’s guide in Yoruba and English about Reading Wikipedia in the Classroom in Nigeria is now available on Commons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Reading Wikipedia in the Classroom Kwara, Nigeria: The Trainers Experience|Reading Wikipedia in the Classroom Kwara, Nigeria: The Trainers Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Edu Wiki Camp 2022 in Serbia: Together again|Edu Wiki Camp 2022 in Serbia: Together again]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Reading Wikipedia in the Classroom Program Nigeria: The Teacher experience |Reading Wikipedia in the Classroom Program Nigeria: The Teacher experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wiki For Senior Citizens|Wiki For Senior Citizens]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/WikiLoves SDGs Nigeria Tours Kwara State University Malete|WikiLoves SDGs Nigeria Tours Kwara State University Malete]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wikiteka project in Poland - summertime|Wikiteka project in Poland - summertime]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 7. Sep. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23758285 --> == This Month in Education: September 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 9 • September 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/OpenEdu.ch: centralising training documents, a platform for the teachers' community in Switzerland|OpenEdu.ch: centralising training documents, a platform for the teachers' community in Switzerland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Senior Citizens WikiTown 2022: Exploring Olomouc and its heritage|Senior Citizens WikiTown 2022: Exploring Olomouc and its heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikimedia Research Fund|Wikimedia Research Fund]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikimedia Youths Commemorate the International Youth Day 2022 in an exciting way across the globe|Wikimedia Youths Commemorate the International Youth Day 2022 in an exciting way across the globe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikipedia, Education, and the Crisis of Information|Wikipedia, Education, and the Crisis of Information]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:55, 3. Okt. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23879722 --> == This Month in Education: End of the 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 10 • October–November 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/End of the 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/End of the 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/2nd Latin American Regional Meeting on Education|2nd Latin American Regional Meeting on Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Adopting Wikipedia for Secondary School Students in Nigeria Classroom|Adopting Wikipedia for Secondary School Students in Nigeria Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Celebrating 2022 Vibrance in Kwara State University Malete|Celebrating 2022 Vibrance in Kwara State University Malete]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Celebrating the Wikipedia and Wikidata Birthday in school|Celebrating the Wikipedia and Wikidata Birthday in school]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Report on school libraries in Poland for the Wikiteka project|Report on school libraries in Poland for the Wikiteka project]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Wiki For Senior Citizens Network|Wiki For Senior Citizens Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/WikiEducation, Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources|WikiEducation, Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Wikimedia & Education Workshops: a Wiki Movimento Brasil initiative|Wikimedia & Education Workshops: a Wiki Movimento Brasil initiative]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/An event at the National History Museum in Tirana|An event at the National History Museum in Tirana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Students 24-hour competition on Wikipedia article writing|Students 24-hour competition on Wikipedia article writing]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wiki-Data a Giant at 10|Wiki-Data a Giant at 10]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/WikiGraphers: Visualizing Open Knowledge|WikiGraphers: Visualizing Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Israel’s Educational Innovation: “Students Write Wikipedia” as a Matriculation-Exam Alternative|Wikimedia Israel’s Educational Innovation: “Students Write Wikipedia” as a Matriculation-Exam Alternative]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Morocco User Group Empowers Moroccan Teachers to Use Wikipedia in the Classroom |Wikimedia Morocco User Group Empowers Moroccan Teachers to Use Wikipedia in the Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Russia has released the "Introduction to Wikipedia" textbook|Wikimedia Russia has released the "Introduction to Wikipedia" textbook]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/“Wikipedia for School” contest was held in Ukraine for the third time|“Wikipedia for School” contest was held in Ukraine for the third time]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Announcing the Wikipedia & Education User Group Election Results|Announcing the Wikipedia & Education User Group Election Results]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:56, 19. Dez. 2022 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24091294 --> == This Month in Education: January 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 1 • January 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Educational Projects 2023-1 in Mexico|Educational Projects 2023-1 in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Integration of Wikipedia in Ukrainian universities – teacher-led and student-led|Integration of Wikipedia in Ukrainian universities – teacher-led and student-led]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Transitional Justice in Kosovo edit-a-thon and Partnership with Faculty of Electrical and Computer Engineering - University of Prishtina|Transitional Justice in Kosovo edit-a-thon and Partnership with Faculty of Electrical and Computer Engineering - University of Prishtina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Wikidata Citation Hunt Program for secondary school students, Dubai|Wikidata Citation Hunt Program for secondary school students, Dubai]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Wikipedia edit-a-thon with students from Art Faculty - University of Prishtina|Wikipedia edit-a-thon with students from Art Faculty - University of Prishtina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Тeacher from Belgrade got a reward for using Wikibooks in teaching|Тeacher from Belgrade got a reward for using Wikibooks in teaching]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:32, 6. Feb. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24472891 --> == This Month in Education: February 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 2 • February 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/A Strategic Direction for a Massive Online Course for Educators in Brazil|A Strategic Direction for a Massive Online Course for Educators in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Alliance Funding for Wikipedia as a school resource in Tāmaki Makaurau Auckland, New Zealand|Alliance Funding for Wikipedia as a school resource in Tāmaki Makaurau Auckland, New Zealand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Call for Submissions to Wiki Workshop 2023|Call for Submissions to Wiki Workshop 2023]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Collaboration with Charles University on the creation of Czech Wikipedia started in January|Collaboration with Charles University on the creation of Czech Wikipedia started in January]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Open Education Week 2023 in the Wikimedia Mexico Education Program|Open Education Week 2023 in the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Wikiclubs with different schools in Albania |Wikiclubs with different schools in Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 22:08, 12. Mär. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24706239 --> == This Month in Education: March 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 3 • March 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Audio-seminar project of the Wikimedia Mexico Education Program|Audio-seminar project of the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Empowering Nigerian Female Artists: Through Art & Feminism Edith-A-Thon at KWASU Fan Club|Empowering Nigerian Female Artists: Through Art & Feminism Edith-A-Thon at KWASU Fan Club]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Exploring How Wikipedia Works|Exploring How Wikipedia Works]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Florida graduate students complete Library History edit-a-thon for credit|Florida graduate students complete Library History edit-a-thon for credit]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Improving hearing health content in Brazil|Improving hearing health content in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Media Literacy Portal to become a key resource for media education in Czech Libraries |Media Literacy Portal to become a key resource for media education in Czech Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikeys in the Albanian language|Wikeys in the Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimarathon is an opportunity to involve students and teachers in creating and editing articles in Wikipedia|Wikimarathon is an opportunity to involve students and teachers in creating and editing articles in Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimedia Polska short report|Wikimedia Polska short report]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimedia Serbia participated in the State Seminar of the The Mathematical Society of Serbia|Wikimedia Serbia participated in the State Seminar of the The Mathematical Society of Serbia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:45, 8. Apr. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24824837 --> == This Month in Education: April 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 4 • April 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Auckland Museum Alliance fund project update|Auckland Museum Alliance fund project update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Introducing Wikipedia to Kusaal Language Teachers|Introducing Wikipedia to Kusaal Language Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/KWASU Fan Club Leads the Way in 21st Century Learning with Wiki in School Program|KWASU Fan Club Leads the Way in 21st Century Learning with Wiki in School Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/On-line Courses for Educators in Poland|On-line Courses for Educators in Poland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Online meeting of Ukrainian educators working with Wikipedia – four perspectives|Online meeting of Ukrainian educators working with Wikipedia – four perspectives]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikiclubs Editathon in Elbasan, Albania |Wikiclubs Editathon in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikipedia at the Brazilian Linguistics Olympiad|Wikipedia at the Brazilian Linguistics Olympiad]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikipedia at the University of Łódź Information Management Conference|Wikipedia at the University of Łódź Information Management Conference]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:27, 23. Mai 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24999562 --> == This Month in Education: June 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 5 • June 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Africa Day 2023: Abuja Teachers celebrates|Africa Day 2023: Abuja Teachers celebrates]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/From editing articles to civic power – Wikimedia UK's research on democracy and Wikipedia|From editing articles to civic power – Wikimedia UK's research on democracy and Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Reading Wikipedia in the Classroom Program in Yemen Brings Positive Impact to Yemeni Teachers|Reading Wikipedia in the Classroom Program in Yemen Brings Positive Impact to Yemeni Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Using Wikipedia in education: students' and teachers' view|Using Wikipedia in education: students' and teachers' view]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/The Journey of Reading Wikipedia in the Classroom Lagos State|The Journey of Reading Wikipedia in the Classroom Lagos State]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/WMB goes to Serbia |WMB goes to Serbia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/But we don't want it to end!|But we don't want it to end!]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 10:44, 4. Jul. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25147408 --> == This Month in Education: July 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 7 • July 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia Kaduna Connect Campaign|Wikimedia Kaduna Connect Campaign]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia Serbia published a paper Promoting Equity in Access to Open Knowledge: An Example of the Wikipedia Educational Program|Wikimedia Serbia published a paper Promoting Equity in Access to Open Knowledge: An Example of the Wikipedia Educational Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia and Education Kailali Multiple campus|Wikimedia and Education Kailali Multiple campus]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/WikiCamp in Istog, Kosovo: Promoting Knowledge and Nature Appreciation|WikiCamp in Istog, Kosovo: Promoting Knowledge and Nature Appreciation]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wiki at the Brazilian National History Symposium|Wiki at the Brazilian National History Symposium]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/US & Canada program reaches 100M words added |US & Canada program reaches 100M words added]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Renewed Community Wikiconference brought together experienced Wikipedians and newcomers|Renewed Community Wikiconference brought together experienced Wikipedians and newcomers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Kusaal Wikipedia Workshop at Ajumako Campus, University of Education, Winneba|Kusaal Wikipedia Workshop at Ajumako Campus, University of Education, Winneba]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Join us to celebrate the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program Graduation Ceremony|Join us to celebrate the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program Graduation Ceremony]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Activities that took place during the presentation of the WikiEducation book|Activities that took place during the presentation of the WikiEducation book. Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources in Xalala, Veracruz from the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/62+ Participants Graduates from the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program|62+ Participants Graduates from the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/“Reading Wikipedia in the Classroom” course launched in Ukraine|“Reading Wikipedia in the Classroom” course launched in Ukraine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/OFWA and Goethe Institute Host Wiki Skills For Librarians Workshop-Ghana|OFWA and Goethe Institute Host Wiki Skills For Librarians Workshop-Ghana]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:33, 14. Aug. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25457946 --> == This Month in Education: September 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 7 • September 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Inauguration of the Kent Wiki Club at the Wikimania 2023 Conference|Inauguration of the Kent Wiki Club at the Wikimania 2023 Conference]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Letter Magic: Supercharging Your WikiEducation Programs|Letter Magic: Supercharging Your WikiEducation Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Réseau @pprendre (Learning Network) : The Initiative for Educational Change in Francophone West Africa|Réseau @pprendre (Learning Network) : The Initiative for Educational Change in Francophone West Africa]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/WikiChallenge Ecoles d’Afrique closes its 5th edition with 13 winning schools|WikiChallenge Ecoles d’Afrique closes its 5th edition with 13 winning schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/WikiConecta: connecting Brazilian university professors and Wikimedia|WikiConecta: connecting Brazilian university professors and Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Wikimedia Germany launches interactive event series Open Source AI in Education |Wikimedia Germany launches interactive event series Open Source AI in Education]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:01, 10. Okt. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25700976 --> == This Month in Education: October 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Volume 12 • Issue 8 • October 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/3 Generations at Wikipedia Education Program in Türkiye|3 Generations at Wikipedia Education Program in Türkiye]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/CBSUA Launches Wiki Education in Partnership with PhilWiki Community and Bikol Wikipedia Community|CBSUA Launches Wiki Education in Partnership with PhilWiki Community and Bikol Wikipedia Community]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Celebrating Wikidata’s Birthday in Elbasan|Celebrating Wikidata’s Birthday in Elbasan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Edu Wiki Camp 2023 - together in Sremski Karlovci|Edu Wiki Camp 2023 - together in Sremski Karlovci]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/PhilWiki Community promotes language preservation and cultural heritage advocacies at ADNU|PhilWiki Community promotes language preservation and cultural heritage advocacies at ADNU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/PunjabWiki Education Program: A Wikipedia Adventure in Punjab|PunjabWiki Education Program: A Wikipedia Adventure in Punjab]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/WikiConference on Education ignites formation of Wikimedia communities|WikiConference on Education ignites formation of Wikimedia communities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikimedia Estonia talked about education at CEE meeting in Tbilisi|Wikimedia Estonia talked about education at CEE meeting in Tbilisi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikimedia in Brazil is going to be a book|Wikimedia in Brazil is going to be a book]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikipedian Editor Project: Arabic Sounds Workshop 2023|Wikipedian Editor Project: Arabic Sounds Workshop 2023]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:34, 8. Nov. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25784366 --> == This Month in Education: November 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 9 • November 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/4th WikiUNAM Editathon: Community knowledge strengthens education|4th WikiUNAM Editathon: Community knowledge strengthens education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Edit-a-thon at the Faculty of Medical Sciences of Santa Casa de São Paulo|Edit-a-thon at the Faculty of Medical Sciences of Santa Casa de São Paulo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/EduWiki Nigeria Community: Embracing Digital Learning Through Wikipedia|EduWiki Nigeria Community: Embracing Digital Learning Through Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Evening Wikischool offers Czech seniors further education on Wikipedia|Evening Wikischool offers Czech seniors further education on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Expansion of Wikipedia Education Program through Student Associations at Iranian Universities|Expansion of Wikipedia Education Program through Student Associations at Iranian Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Exploring Wikipedia through Wikiclubs and the Wikeys board game in Albania |Exploring Wikipedia through Wikiclubs and the Wikeys board game in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/First anniversary of the game Wikeys|First anniversary of the game Wikeys]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Involve visiting students in education programs|Involve visiting students in education programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Iranian Students as Wikipedians: Using Wikipedia to Teach Research Methodology and Encyclopedic Writing|Iranian Students as Wikipedians: Using Wikipedia to Teach Research Methodology and Encyclopedic Writing]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Kiwix4Schools Nigeria: Bridging Knowledge Gap through Digital Literacy|Kiwix4Schools Nigeria: Bridging Knowledge Gap through Digital Literacy]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Lire wikipedia en classe à Djougou au Bénin|Lire wikipedia en classe à Djougou au Bénin]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Tyap Wikimedians Zaria Outreach|Tyap Wikimedians Zaria Outreach]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Art Outreach at Aje Compreshensive Senior High School 1st November 2023, Lagos Mainland|Art Outreach at Aje Comprehensive Senior High School 1st November 2023, Lagos Mainland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/PhilWiki Community holds a meet-up to advocate women empowerment|PhilWiki Community holds a meet-up to advocate women empowerment]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:24, 14. Dez. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25919737 --> == This Month in Education: January 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 1 • January 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Cross-Continental Wikimedia Activities: A Dialogue between Malaysia and Estonia|Cross-Continental Wikimedia Activities: A Dialogue between Malaysia and Estonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Czech programme SWW in 2023 – how have we managed to engage students|Czech programme SWW in 2023 – how have we managed to engage students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Extending Updates on Wikipedia in Education – Elbasan, Albania|Extending Updates on Wikipedia in Education – Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Reading Wikipedia in the Classroom Teacher’s guide – now available in Bulgarian language|Reading Wikipedia in the Classroom Teacher’s guide – now available in Bulgarian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Summer students at Auckland Museum|Summer students at Auckland Museum]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/WikiDunong: EduWiki Initiatives in the Philippines Project|WikiDunong: EduWiki Initiatives in the Philippines Project]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Wikimedia Armenia's Educational Workshops|Wikimedia Armenia's Educational Workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Wikimedia Foundation publishes its first Child Rights Impact Assessment|Wikimedia Foundation publishes its first Child Rights Impact Assessment]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 11:02, 10. Feb. 2024 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26091771 --> == This Month in Education: February 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 2 • February 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/2 new courses in Students Write Wikipedia Starting this February|2 new courses in Students Write Wikipedia Starting this February]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/More two wiki-education partnerships|More two wiki-education partnerships]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Open Education Week 2024 in Mexico|Open Education Week 2024 in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Reading Wikipedia in Bolivia, the community grows|Reading Wikipedia in Bolivia, the community grows]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Education Philippines promotes OERs utilization|Wiki Education Philippines promotes OERs utilization]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Loves Librarians, Kaduna|Wiki Loves Librarians, Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Workshop 2024 CfP - Call for Papers Research track|Wiki Workshop 2024 CfP – Call for Papers Research track]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:38, 20. Mär. 2024 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26310117 --> == This Month in Education: March 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 3 • March 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Reading Wikipedia in the classroom, Kaduna|Reading Wikipedia in the classroom, Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Reading Wikipedia in Ukraine – the course for educators is now available on demand|Reading Wikipedia in Ukraine – the course for educators is now available on demand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Wiki Movement Brazil will once again support the Brazilian Linguistics Olympiad|Wiki Movement Brazil will once again support the Brazilian Linguistics Olympiad]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Wikipedia within the Education Setting in Albania|Wikipedia within the Education Setting in Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:28, 28. Apr. 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26659969 --> == This Month in Education: April 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Diesen Monat im Bildungswesen</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Band 13 • Ausgabe 4 • April 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2024|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2024/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In dieser Ausgabe</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/EduWiki Updates From Uganda|Neuigkeiten von EduWiki aus Uganda]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Good news from Bolivia: Reading Wikipedia Program continues in 2024|Gute Nachrichten aus Bolivien: Das Wikipedia-Leseprogramm wird 2024 fortgesetzt]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Hearing Health Project: Impactful partnership with Wiki Movement Brazil|Hörgesundheitsprojekt: Wirkungsvolle Partnerschaft mit Wiki Movement Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Wikimedia Spain, Amical Wikimedia and the University of Valencia develop Wikipedia educational project|Wikimedia Spanien, Amical Wikimedia und die Universität von Valencia entwickeln Wikipedia-Bildungsprojekt]]</div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|Über ''Diesen Monat im Bildungswesen'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren/Deabonnieren]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Globale Nachrichtenverteilung]] · Für das Team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 05:20, 14. Mai 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26698909 --> == This Month in Education: May 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 5 • May 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Albania - Georgia Wikimedia Cooperation 2024|Albania - Georgia Wikimedia Cooperation 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Aleksandër Xhuvani University Editathon in Elbasan|Aleksandër Xhuvani University Editathon in Elbasan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Central Bicol State University of Agriculture LitFest features translation and article writing on Wikipedia|Central Bicol State University of Agriculture LitFest features translation and article writing on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Empowering Youth Council in Bulqiza through editathons|Empowering Youth Council in Bulqiza through editathons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/We left a piece of our hearts at Arhavi|We left a piece of our hearts at Arhavi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Wiki Movimento Brasil at Tech Week and Education Speaker Series |Wiki Movimento Brasil at Tech Week and Education Speaker Series]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Wikimedia MKD trains new users in collaboration with MYLA|Wikimedia MKD trains new users in collaboration with MYLA]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:30, 15. Jun. 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26854161 --> == This Month in Education: June 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 6 • June 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/From a Language Teacher to a Library Support Staff: The Wikimedia Effect|From a Language Teacher to a Library Support Staff: The Wikimedia Effect]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/5th WikiEducation 2024 Conference in Mexico|5th WikiEducation 2024 Conference in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Lviv hosted a spring wikischool for Ukrainian high school students|Lviv hosted a spring wikischool for Ukrainian high school students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/First class of teachers graduated from Reading Wikipedia in the Classroom 2024|First class of teachers graduated from Reading Wikipedia in the Classroom 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Empowering Digital Citizenship: Unlocking the Power of Open Knowledge with Participants of the LIFE Legacy|Empowering Digital Citizenship: Unlocking the Power of Open Knowledge with Participants of the LIFE Legacy]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Wiki Movimento Brazil supports online and in-person courses and launches material to guide educators in using Wikimedia projects |Wiki Movimento Brazil supports online and in-person courses and launches material to guide educators in using Wikimedia projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Where to find images for free? Webinar for librarians answered many questions|Where to find images for free? Webinar for librarians answered many questions]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Wikimedia MKD and University of Goce Delchev start a mutual collaboration|Wikimedia MKD and University of Goce Delchev start a mutual collaboration]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 08:58, 9. Jul. 2024 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 7 • August 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Cross-Cultural Knowledge Sharing: Wikipedia's New Frontier at University of Tehran|Cross-Cultural Knowledge Sharing: Wikipedia's New Frontier at University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Let's Read Wikipedia in Bolivia reaches teachers in Cochabamba|Let's Read Wikipedia in Bolivia reaches teachers in Cochabamba]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Results of the 2023 “Wikipedia for School” Contest in Ukraine|Results of the 2023 “Wikipedia for School” Contest in Ukraine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Edu Wiki Camp in Serbia, 2024|Edu Wiki Camp in Serbia, 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wikimedia Human Rights Month this year engaged schools in large amount|Wikimedia Human Rights Month this year engaged schools in large amount]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Strengthening Education Programs at Wikimania 2024: A Global Leap in Collaborative Learning|Strengthening Education Programs at Wikimania 2024: A Global Leap in Collaborative Learning]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wiki Education programs are featured in a scientific outreach magazine, and Wiki Movimento Brasil offers training for researchers in the Amazon|Wiki Education programs are featured in a scientific outreach magazine, and Wiki Movimento Brasil offers training for researchers in the Amazon]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wiki Movimento Brasil aims to adapt a game about Wikipedia, organize an academic event for scientific dissemination, and host the XXXIII Wiki-Education Workshop|Wiki Movimento Brasil aims to adapt a game about Wikipedia, organize an academic event for scientific dissemination, and host the XXXIII Wiki-Education Workshop]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:22, 11. Sep. 2024 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: October 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 8 • October 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/CBSUA Wiki Education turns 1 year|CBSUA Wiki Education turns 1 year]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/7th Senior WikiTown took place in Becov nad Teplou, Czech Republic|7th Senior WikiTown took place in Becov nad Teplou, Czech Republic]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Edit-a-thon about Modern Architecture in Kosovo|Edit-a-thon about Modern Architecture in Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Edu_Wiki_in_South_Sudan:_Creating_a_better_future_in_education|Empowering Digital Literacy through Wikimedia in South Sudan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Many new articles and contributions in September and October for Wikimedia MKD|Many new articles and contributions in September and October for Wikimedia MKD]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/New Record: 5 Events in Municipal Library within a Month |New Record: 5 Events in Municipal Library within a Month]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wiki-Education programs in Brazil are centered around the Wikidata and Wikisource platforms|Wiki-Education programs in Brazil are centered around the Wikidata and Wikisource platforms]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/WikiChallenge African Schools wins the “Open Pedagogy” Award 2024 from OE Global|WikiChallenge African Schools wins the “Open Pedagogy” Award 2024 from OE Global]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wikipedia helps in improving cognitive skills|Wikipedia helps in improving cognitive skills]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wikipedia in Graduate Studies: Expanding Research Impact|Wikipedia in Graduate Studies: Expanding Research Impact]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/WiLMa PH establishes a Wiki Club|WiLMa PH establishes a Wiki Club]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:57, 12. Nov. 2024 (CET)</div> </div> == This Month in Education: November 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 9 • November 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Auckland Museum Wikipedia Student Programme|Auckland Museum Wikipedia Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Citizenship and free knowledge on Wikipedia in Albanian language|Citizenship and free knowledge on Wikipedia in Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Engaging students with Wikipedia and Wikidata at Hasanuddin University’s Wikimedia Week|Engaging students with Wikipedia and Wikidata at Hasanuddin University’s Wikimedia Week]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Minigrant initiative by empowering the Rrëshen community in Albania|Minigrant initiative by empowering the Rrëshen community in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikidata birthday in Albania, 2024|Wikidata birthday in Albania, 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikidata birthday in School |Wikidata birthday in School]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikimedia Education Workshop at Lumbini Technological University|Wikimedia Education Workshop at Lumbini Technological University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikimedia MKD's new collaborations and new content|Wikimedia MKD's new collaborations and new content]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Improving Historical Knowledge on Persian Wikipedia through a continuous Wikimedia Education Program: Shahid Beheshti University Wikipedia Education Program|Improving Historical Knowledge on Persian Wikipedia through a continuous Wikimedia Education Program: Shahid Beheshti University Wikipedia Education Program]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:13, 10. Dez. 2024 (CET)</div> </div> == This Month in Education: January 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 1 • January 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey|Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress|Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Celebrating 10 Years of Wiki Education|Celebrating 10 Years of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran|Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra|Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey |Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania|Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia|Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia|Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wikimedia and Scientific Events in Brazil|Wikimedia and Scientific Events in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wiki Workshop- Call for Contributions|Wiki Workshop- Call for Contributions]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:56, 5. Feb. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: February 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 2 • February 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute|Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs|Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students|Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen|Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wiki Workshop in Mitrovica |Wiki Workshop in Mitrovica]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles|Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar|Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 10:04, 12. Mär. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: March 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 3 • March 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia|A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia|Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Faculty of Social Sciences Workshop in Albania|Faculty of Social Sciences Workshop in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme|Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March|Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:04, 10. Apr. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: April 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 4 • April 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia|Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil|The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools|EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja|Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues |Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage in Has region, Northern Albania|Wikivoyage in Has region, Northern Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage workshop in Bulqiza|Wikivoyage workshop in Bulqiza]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:48, 10. Mai 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: May 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 5 • May 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania|Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania|Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May|Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program|Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop|Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia |The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje|Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:58, 28. Mai 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: June 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 6 • June 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Albanian high school students at the Wikimedia Youth Conference 2025 in Prague|Albanian high school students at the Wikimedia Youth Conference 2025 in Prague]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Bolivia has 20 new teachers graduated from the Let's Read Wikipedia in the Classroom program|Bolivia has 20 new teachers graduated from the Let's Read Wikipedia in the Classroom program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Brazil was present at the EduWiki Conference 2025 in Bogota|Brazil was present at the EduWiki Conference 2025 in Bogota]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Does Wikipedia has future in the times of Chat-GPT|Does Wikipedia has future in the times of Chat-GPT]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/PhilWiki Community promotes accessible multilingual stories for children|PhilWiki Community promotes accessible multilingual stories for children]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Reading and Editing Wikipedia in a Bangladeshi College|Reading and Editing Wikipedia in a Bangladeshi College]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Wikimedia MKD's Workshops in June|Wikimedia MKD's Workshops in June]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Wikipedia meets 2500 Ukrainian educators at the country’s biggest education festival|Wikipedia meets 2500 Ukrainian educators at the country’s biggest education festival]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:19, 27. Jun. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: July 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 7 • July 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Crafting Impactful Education Newsletters: Shared Insights from EduWiki 2025|Crafting Impactful Education Newsletters: Shared Insights from EduWiki 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Educational Outreach with Youth Centers in Albania|Educational Outreach with Youth Centers in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Discussing educational resources at WikiCon Brasil 2025|Discussing educational resources at WikiCon Brasil 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Enhancing Mobile-Friendly Contribution in Wikimedia Education Programs|Enhancing Mobile-Friendly Contribution in Wikimedia Education Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/The second semester of Leamos Wikipedia begins in Bolivia with challenges and learning|The second semester of Leamos Wikipedia begins in Bolivia with challenges and learning]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/When Travel Fails, Learning Continues: A Reflection from EduWiki 2025 |When Travel Fails, Learning Continues: A Reflection from EduWiki 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Wiki club in Kumanovo - the newest Wiki club of Wikimedia MKD|Wiki club in Kumanovo - the newest Wiki club of Wikimedia MKD]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Jaroslav Mašek: How KISK FF MU students used AI to write Wikipedia|Jaroslav Mašek: How KISK FF MU students used AI to write Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Various programmes up and rolling with Charles University Prague|Various programmes up and rolling with Charles University Prague]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 05:01, 1. Aug. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 8 • August 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Bootcamp Wikipedia in Classroom|Bootcamp Wikipedia in Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Brazil launches campaign about Open Science on Wiki|Brazil launches campaign about Open Science on Wiki]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Breaking Barriers: Yoruba Wikipedia Fan Club Offa's Historic Wins|Breaking Barriers: Yoruba Wikipedia Fan Club Offa's Historic Wins]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Emerging Voices in Free Knowledge: The Journey of Wiki Club SATI|Emerging Voices in Free Knowledge: The Journey of Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/From a Curious Student to a Wikimedia Leader|From a Curious Student to a Wikimedia Leader]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/From webinars to conferences: Wikimedia Ukraine’s approach to events for educators|From webinars to conferences: Wikimedia Ukraine’s approach to events for educators]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Higher education with Wikipedia in Spain|Higher education with Wikipedia in Spain]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Scientific Contribution from Serbia: Wikipedia in Education Research Published in a Prestigious Journal|Scientific Contribution from Serbia: Wikipedia in Education Research Published in a Prestigious Journal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Teachers with Wikipedia. What if we create a Spanish-speaking collaboration network|Teachers with Wikipedia. What if we create a Spanish-speaking collaboration network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/The brains behind Wikipedia|The brains behind Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Why EduWiki Should Be Considered by Policymakers|Why EduWiki Should Be Considered by Policymakers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikimedia Chile in Visviri: Free knowledge and education at Chile’s starting point|Wikimedia Chile in Visviri: Free knowledge and education at Chile’s starting point]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikipedia as a tool presented at Media Education Summer School for Teachers|Wikipedia as a tool presented at Media Education Summer School for Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikipedia vs AI at La Trobe University|Wikipedia vs AI at La Trobe University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/St Aloysius University – Wikipedia training session for newcomers|St Aloysius University – Wikipedia training session for newcomers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wiki Loves Academics, WUGN Kaduna|Wiki Loves Academics, WUGN Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/In Just 3 Minutes: The Power of Wiki Education|In Just 3 Minutes: The Power of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Sensing Cebu: Fieldnotes of an Academic as a Wiki Volunteer|Sensing Cebu: Fieldnotes of an Academic as a Wiki Volunteer]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:16, 2. Sep. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: September 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 9 • September 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Brazil organizes seminar to discuss open science and scientific dissemination|Brazil organizes seminar to discuss open science and scientific dissemination]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/CBSUA Recognizes Wiki Training Completers, Awards Feminism & Folklore 2025 Winners|CBSUA Recognizes Wiki Training Completers, Awards Feminism & Folklore 2025 Winners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/2nd International Conference on Wikimedia, Education, and Digital Cultures Mexico 2025|2nd International Conference on Wikimedia, Education, and Digital Cultures Mexico 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Accredited seminar for teachers in Veliko Gradište|Accredited seminar for teachers in Veliko Gradište]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Breaking Barriers, Why open Knowledge matters|Breaking Barriers, Why open Knowledge matters]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Cross-Continental Knowledge Exchange: Offa Youth Impact Initiative and St Aloysius University in 3D Education Outreach |Cross-Continental Knowledge Exchange: Offa Youth Impact Initiative and St Aloysius University in 3D Education Outreach]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Igbo Language Audio Project in the Igbo Wiki Fan Club IMSU & Alvan|Igbo Language Audio Project in the Igbo Wiki Fan Club IMSU & Alvan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Let's Read Wikipedia reached teachers of the Weenhayek indigenous nation in Bolivia|Let's Read Wikipedia reached teachers of the Weenhayek indigenous nation in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Monográfico sobre Wikipedia en el aula, Revista Docere|Monograph on Wikipedia in the classroom, Docere Magazine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/The Third Training Course of the “Reading Wikipedia in the Classroom” Program in Jordan|The Third Training Course of the “Reading Wikipedia in the Classroom” Program in Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/The Ukrainian Educators’ Wikimedia Conference 2025|The Ukrainian Educators’ Wikimedia Conference 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Wikimedia MKD's edit-a-thon: Lakes|Wikimedia MKD's edit-a-thon: Lakes]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Cultura libre en las aulas|Free culture in the classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Wikimedia Rwanda Wiki clubs|Wikimedia Rwanda Wiki clubs]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:10, 2. Okt. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: October 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 10 • October 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/"WikiDonne Internship: Wikimedia Platforms for Open Education and Inclusive Culture!" winner at the Open Education Awards 2025|"WikiDonne Internship: Wikimedia Platforms for Open Education and Inclusive Culture!" winner at the Open Education Awards 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/A Proud Chapter in My Wikimedia Journey 🇳🇬: From Editor to Organizer|A Proud Chapter in My Wikimedia Journey 🇳🇬: From Editor to Organizer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Debating open science and scientific dissemination in Brazil|Debating open science and scientific dissemination in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Enhancing Academic Articles on Wikipedia with the State University of Jakarta|Enhancing Academic Articles on Wikipedia with the State University of Jakarta]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/India’s Students and Educators Lead the Way in the Wiki Science Competition 2025|India’s Students and Educators Lead the Way in the Wiki Science Competition 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/JDACA & Amman Arab University|JDACA & Amman Arab University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/New starting page for Wikipedia users had been launched in September|New starting page for Wikipedia users had been launched in September]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Teaching Evidence Synthesis Automation with the Wikipedia–Kaggle Dataset|Teaching Evidence Synthesis Automation with the Wikipedia–Kaggle Dataset]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikimedia MKD’s Education Program activities for October|Wikimedia MKD’s Education Program activities for October]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikimedia Serbia prepares eight annual Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia prepares eight annual Edu Wiki camp]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikivoyage editathon in Peshkopia, Albania|Wikivoyage editathon in Peshkopia, Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:05, 2. Nov. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: November 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 11 • November 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Auckland Museum's Wiki Summer Student Programme is back for 2025 & 2026|Auckland Museum's Wiki Summer Student Programme is back for 2025 & 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Edu Wiki camp 2025 in Belgrade, Serbia|Edu Wiki camp 2025 in Belgrade, Serbia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wikidata na Escola: estudantes da zona rural de Minas Gerais contribuem com dados sobre mulheres negras brasileiras|Wikidata na Escola: estudantes da zona rural de Minas Gerais contribuem com dados sobre mulheres negras brasileiras]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/190 students from Oteitza Lizeoa create 48 articles on the history of the Basque Country for Txikipedia in one day|190 students from Oteitza Lizeoa create 48 articles on the history of the Basque Country for Txikipedia in one day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/2nd International Congress Wikimedia, 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Highlights from Loyola College, Karnataka|Kannada Wikipedia Asian Month 2025: Edit-a-thon & Workshop Highlights from Loyola College, Karnataka]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Kosovo Wikivoyage Editathons in Gjakova and Krusha e Madhe|Kosovo Wikivoyage Editathons in Gjakova and Krusha e Madhe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Ukrainian educators create open lesson plans based on the «Reading Wikipedia in the Classroom» course|Ukrainian educators create open lesson plans based on the «Reading Wikipedia in the Classroom» course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/United Architects of the Philippines Student Auxiliary – University of Nueva Caceres joins Wikisource Training|United Architects of the Philippines Student Auxiliary – University of Nueva Caceres joins Wikisource Training]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Videos on Teaching Experiences with Wikipedia, Wikidata, Commons, and OSM|Videos on Teaching Experiences with Wikipedia, Wikidata, Commons, and OSM]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki as a tool for technological empowerment of indigenous knowledge|Wiki as a tool for technological empowerment of indigenous knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki Science Competition in Albania and Kosovo|Wiki Science Competition in Albania and Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki Workshop 2026 Call for Contributions|Wiki Workshop 2026 Call for Contributions]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wikipedia Contribution with Faculty of Mathematical and Natural Sciences Students in Kosovo|Wikipedia Contribution with Faculty of Mathematical and Natural Sciences Students in Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Impact of Wikimedia Rwanda Wiki Clubs in Growth of Wikimedia User Group Rwanda Community|Impact of Wikimedia Rwanda Wiki Clubs in Growth of Wikimedia User Group Rwanda Community]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 14:47, 30. Nov. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: December 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 12 • December 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WikiLatih Wiktionary with the Goethe-Institut: Strengthening the Digital Presence of Indonesia’s Local Languages|WikiLatih Wiktionary with the Goethe-Institut: Strengthening the Digital Presence of Indonesia’s Local Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Wiki in schools - Architecture and Open Heritage|Wiki in schools - Architecture and Open Heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/What are the challenges and opportunities in scientific dissemination? Reflecting on the topic in the Brazilian context|What are the challenges and opportunities in scientific dissemination? Reflecting on the topic in the Brazilian context]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WikipediaxAI: Wikipedia, AI, and the future of knowledge|WikipediaxAI: Wikipedia, AI, and the future of knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Wikipedia at University Another year of working alongside higher education institutions in Argentina|Wikipedia at University Another year of working alongside higher education institutions in Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WAM - Tulu Edit-a-thon & Workshop in St Aloysius University |WAM - Tulu Edit-a-thon & Workshop in St Aloysius University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Visibilizando memórias negras: estudantes da UFRGS ampliam a Wikipédia com foco na imprensa e no associativismo pós-abolição|Visibilizando memórias negras: estudantes da UFRGS ampliam a Wikipédia com foco na imprensa e no associativismo pós-abolição]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Transforming Education Through Wikimedia in Kosovo: 2025|Transforming Education Through Wikimedia in Kosovo: 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/New WikiClubs and educational partnership in Albania|New WikiClubs and educational partnership in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/New WikiClub with the Dibra Youth Center in Albania|New WikiClub with the Dibra Youth Center in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Landmark Educational Initiatives and Wikimedia Programs Transform Learning in 2025|Landmark Educational Initiatives and Wikimedia Programs Transform Learning in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Knowledge in the Digital Age: A WMUK Collaborative Workshop|Knowledge in the Digital Age: A WMUK Collaborative Workshop]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:22, 17. Dez. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: January 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 1 • January 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026|Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan|Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia Education Program - Train The Trainer in Nepal|Wikipedia Education Program – Train The Trainer in Nepal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU|Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program|CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth|WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Updates on Auckland Museum Summer Student Programme|Updates on Auckland Museum Summer Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network|Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge|Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025|Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme|Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Envisioning an Open Future together - WikiForAll|Envisioning an Open Future together – WikiForAll]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025|A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge|A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/¡Celebrando 25 años de conocimiento libre! El Proyecto "25x25" llega a las aulas de Córdoba, Argentina|Celebrating 25 years of free knowledge! The '25x25' Project reaches the classrooms of Córdoba, Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A atuação em rede da Universidade Federal de Juiz de Fora para a difusão do conhecimento livre na Wikipédia|The collaborative efforts of the Federal University of Juiz de Fora for the dissemination of free knowledge on Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:26, 28. Jan. 2026 (CET)</div> </div> == This Month in Education: February 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 2 • February 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces|Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan|Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Encontro da Rede Latino Americana de Inteligência Artificial Feminista: construindo futuros possíveis|Meeting of the Latin American Network of Feminist Artificial Intelligence: building possible futures]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Farewelling the Auckland Museum Summer Students|Farewelling the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi|Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana |Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade|Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics|Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia|LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/New online workshops for the German language Wikipedia|New online workshops for the German language Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors|Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects|The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day|Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages|Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026|Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity|Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia|WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops|Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiPatrimoine Senghor : Valorisation du patrimoine culturel africain à l'Université Senghor|WikiPatrimoine Senghor : Valuation of African cultural heritage at the University Senghor]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future|Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:56, 3. Mär. 2026 (CET)</div> </div> == This Month in Education: March 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 3 • March 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona|Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG|Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources|Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe|Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Inside Wikimedia Ukraine's education program|Inside Wikimedia Ukraine's education program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026|Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/One School, One Article Campaign Wrap Up|One School, One Article Campaign Wrap Up]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN|Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology|Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries|The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia CR published updated guide for beginners|Wikimedia CR published updated guide for beginners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia goes back to the classroom in Brazil|Wikimedia goes back to the classroom in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI|Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities|“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikipedia & Libraries: Building New Contributors|Wikipedia & Libraries: Building New Contributors]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:21, 1. Apr. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: April 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 4 • April 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update|Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh|WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War|Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course|Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools|Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia|University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania|Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan|Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria|Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites|Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/A month full of encounters with students in Brazil|A month full of encounters with students in Brazil]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 27. Apr. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: May 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 5 • May 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities|Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania|Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Debating free license in Brazil|Debating free license in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India|Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects|Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges|Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem|Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria|Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia MKD's Education News & Activities|Wikimedia MKD's Education News & Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year|Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:53, 1. Jun. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: June 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 6 • June 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wikipedia Editathon at Dinajpur Govt. College: Empowering Graduate Students in the Open Knowledge Movement|Wikipedia Editathon at Dinajpur Govt. College: Empowering Graduate Students in the Open Knowledge Movement]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wikimedia Serbia prepares for Edu Wiki camp 2026|Wikimedia Serbia prepares for Edu Wiki camp 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wiki Digi-Youth Clubs pilot explores challenge-based learning across three countries|Wiki Digi-Youth Clubs pilot explores challenge-based learning across three countries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Why the EduWiki Hub Starter Kit Matters for the Future of Education|Why the EduWiki Hub Starter Kit Matters for the Future of Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Portuguese Universities adopt free knowledge tools: Wikipedia is the favorite|Portuguese Universities adopt free knowledge tools: Wikipedia is the favorite]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Translating on Wikipedia used as extra – credit assignment in University of Prishtina, Kosovo|Translating on Wikipedia used as extra – credit assignment in University of Prishtina, Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Strengthening Wikimedia Education Through Community Learning and Digital Literacy Initiatives|Strengthening Wikimedia Education Through Community Learning and Digital Literacy Initiatives]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Small Group, Big Impact: Building Skills Through the Wikimedia Volunteer Focus Group in Botswana|Small Group, Big Impact: Building Skills Through the Wikimedia Volunteer Focus Group in Botswana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/"25x25 Project – Celebrating Wikipedia" in Córdoba, Argentina|"25x25 Project – Celebrating Wikipedia" in Córdoba, Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Mapping and gathering educational activities on Wiki in Brazilian universities|Mapping and gathering educational activities on Wiki in Brazilian universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Growing Wiki Education in the Philippines: Highlights from Bikol WikiConference 2026|Growing Wiki Education in the Philippines: Highlights from Bikol WikiConference 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/From Mentee to Builder: Six Months in the EduWiki Hub Mentorship Program|From Mentee to Builder: Six Months in the EduWiki Hub Mentorship Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/EduWiki Hub publishes its first Community Newsletter|EduWiki Hub publishes its first Community Newsletter]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Click, Capture, and Contribute: Scaling Open Knowledge Through Mobile Photography|Click, Capture, and Contribute: Scaling Open Knowledge Through Mobile Photography]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Education in Action: Limkokwing School Adoption Program 2026 and Wikimedia Learning Outcomes|Education in Action: Limkokwing School Adoption Program 2026 and Wikimedia Learning Outcomes]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Impact of Wiki Digi youth Clubs initiative in education of Rwanda|Impact of Wiki Digi youth Clubs initiative in education of Rwanda]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 06:15, 28. Jun. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: July 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 7 • July 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Practical Wikipedia Training for Teachers Held in Tetovo, Macedonia|Practical Wikipedia Training for Teachers Held in Tetovo, Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Wikimedia Ukraine at the Teachers of the Future Festival|Wikimedia Ukraine at the Teachers of the Future Festival]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Six Months of Growth, Learning, and Impact: My Journey as an EduWiki Mentor|Six Months of Growth, Learning, and Impact: My Journey as an EduWiki Mentor]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/PhilWiki Community pays homage to Antoine de Saint-Exupéry at Wikimania Paris 2026|PhilWiki Community pays homage to Antoine de Saint-Exupéry at Wikimania Paris 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Google25 Expands Tamil Wikipedia Community|Google25 Expands Tamil Wikipedia Community]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Edu Wiki camp gathers Serbian youth around the topic of open knowledge|Edu Wiki camp gathers Serbian youth around the topic of open knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Cátedra Glaciares: A Collaborative Experience for the Study and Conservation of Colombia’s Cryosphere|Cátedra Glaciares: A Collaborative Experience for the Study and Conservation of Colombia’s Cryosphere]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Continuing Wiki education partnerships in Brazil|Continuing Wiki education partnerships in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Building EduWiki in Albania: From school outreach to student contributions in Wikimedia projects|Building EduWiki in Albania: From school outreach to student contributions in Wikimedia projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/1Lib1Ref WUGN Kaduna, 2026|1Lib1Ref WUGN Kaduna, 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/We create the first master class on access to knowledge and open technology in collaboration with National Autonomous University of Mexico, UNAM|We create the first master class on access to knowledge and open technology in collaboration with National Autonomous University of Mexico, UNAM]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 21:48, 30. Jul. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 8 • August 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Coordinating Wikimedia's Presence in Iraqi Universities|Coordinating Wikimedia's Presence in Iraqi Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/The EduWiki Hub Starter Kit Is Now Available in Spanish|The EduWiki Hub Starter Kit Is Now Available in Spanish]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Wiki and democracy campaign launches in Brazil|Wiki and democracy campaign launches in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Wiki Clubs strengthen youth participation in open knowledge in the Philippines|Wiki Clubs strengthen youth participation in open knowledge in the Philippines]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Wikidata for research in the UI1|Wikidata for research in the UI1]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Nupe Wikipedia Hits 1,000 Articles: The Next Chapter in Our Knowledge Journey |Nupe Wikipedia Hits 1,000 Articles: The Next Chapter in Our Knowledge Journey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Recruiting newcomers to preserve Yiddish using Wiktionary as a tool|Recruiting newcomers to preserve Yiddish using Wiktionary as a tool]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Voices in Our Hands: How Nigerian Kids are Documenting Nigerian Sign Language for the World|Voices in Our Hands: How Nigerian Kids are Documenting Nigerian Sign Language for the World]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Wiki in Schools, Architecture and Open Heritage|Wiki in Schools, Architecture and Open Heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/More than 200 registrations, 22 speakers, and seven hours of shared experience: Wikimedia Ukraine’s Education Community Conference 2026|More than 200 registrations, 22 speakers, and seven hours of shared experience: Wikimedia Ukraine’s Education Community Conference 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Launch of Wikifying a Conference handbook|Launch of Wikifying a Conference handbook]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/EduWiki Hub Updates: Working Groups Feedback Session and a New Roundtable for Program Officers|EduWiki Hub Updates: Working Groups Feedback Session and a New Roundtable for Program Officers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Curiosity through academic inquiry - learning by writing Wikipedia articles in Serbia|Curiosity through academic inquiry - learning by writing Wikipedia articles in Serbia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:54, 1. Sep. 2026 (CEST)</div> </div> tg9wyct9g6hzjiek1ru4t49371w2mnh 0 93482 1114018 1078243 2026-09-02T08:51:32Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 */ 1114018 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3er Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math> <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,... für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nur auf Farbbilder, wobei Sie Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> rgp8wwsni99h3q60mgiu4zki3buboho 1114019 1114018 2026-09-02T08:54:49Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung */ 1114019 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math> <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,... für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nur auf Farbbilder, wobei Sie Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> bal9yqc2jlmuacdnxgcl9bsj8lf9xbj 1114020 1114019 2026-09-02T08:55:13Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen */ 1114020 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>, <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,... für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nur auf Farbbilder, wobei Sie Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> n1hsyrvlxvgp1479ddi6qk21qmwjf7p 1114021 1114020 2026-09-02T08:55:51Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen */ 1114021 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>, <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra dar mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,... für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nur auf Farbbilder, wobei Sie Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> dsofbygjac2oqfd6yex3nur7qutmt88 1114022 1114021 2026-09-02T09:10:15Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe für Studierende */ 1114022 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>, <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra dar mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,...) für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nur auf Farbbilder, wobei Sie Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> k7z4a4v7m6injidu8kjxh9fkmvu8nig 1114023 1114022 2026-09-02T09:12:00Z ~2026-47548-34 41860 /* Konvexkombination für Farbbilder */ 1114023 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>, <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra dar mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,...) für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nun auf Farbbilder, wobei die Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> 49ob0nnzsfta53lp9sytm23iy4aqjlg 1114024 1114023 2026-09-02T09:15:14Z ~2026-47548-34 41860 /* Konvexkombination für Farbbilder */ 1114024 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>, <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra dar mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,...) für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nun auf Farbbilder, wobei die Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]). Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> 9brphuqmmlxne1imbey1eazw3219v6a 0 94615 1114043 1111224 2026-09-02T11:50:19Z ~2026-47548-34 41860 /* Identifikation der komplexen Zahlen IR2 */ 1114043 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der folgenden Lerneinheit wird zunächst eine Identifikation der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> mit dem zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}^2</math> vorgenommen und die klassischen reellen partiellen Ableitungen und die Jacobi-Matrix betrachtet und eine Beziehung zwischen komplexer Differenzierbarkeit und partiellen Ableitung von Komponentenfunktionen einer Abbildung von <math>\mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{R}^2</math> betrachtet. Danach werden die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen mit den Vorüberlegungen bewiesen. == Identifikation der komplexen Zahlen IR²== Sei <math>\mathcal{R}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^2, \ x+iy \mapsto \mathcal{R}(x+iy) = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math>. Da die Abbildung <math>\mathcal{R}</math> bijektiv ist, kann man mit der Umkehrabbildung : <math> \mathcal{R}^{-1}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}, \ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \mathcal{R}^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x+iy </math> Vektoren aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> eineindeutig wieder eine komplexen Zahl zuordnen. [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio0.ogg|Identifikation <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math> ]] === Realteil- und Imaginärteilfunktion === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f:U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u: U_{_\mathcal{R}} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>v: U_R \rightarrow \mathbb{R}</math> mit <math>U_{_\mathcal{R}} \subset \mathbb{R}^2</math> und <math>U = \{x+iy\in\mathbb{C} \ | \ (x,y) \in U_{_\mathcal{R}}\}</math>, so hat die totale Ableitung der Funktion <math>f_{_\mathcal{R}}: U_{_\mathcal{R}}\rightarrow \mathbb{R}^2, (x,y)\mapsto \begin{pmatrix} u\left(x,y\right) \\ v\left(x,y\right) \end{pmatrix} </math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio1.ogg]] == Aufgabe == Geben Sie für die komplexwertige Funktion <math>f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}, \ z \mapsto f(z)=z^3</math> die Abbildungen <math>u,v</math> mit <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> konkret an. Siehe auch Definition von [[Maxima CAS/Partielle Ableitung|Ableitungen in Maxima]]. [[Datei:Cauchy Riemann DGL Aufgabe audio2.ogg|Aufgabe]] === Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt === Dabei liefert die Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt <math>(x_o,y_o)\in \mathbb{R}^2</math> die totale Ableitung in dem Punkt <math>x_o + iy_o \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) & \frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o) & \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)\end{pmatrix} </math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL Auswertung Jacobi audio3.ogg|Auswertung der partiellen Ableitungen in einem Punkt]] === Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen === Eine Funktion <math>f</math> ist in <math>z_o:=x_o+iy_o</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> mit <math>u: U_{_\mathcal{R}} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>v: U_{_\mathcal{R}} \rightarrow \mathbb{R}</math> mit <math>U_{_\mathcal{R}} \subset \mathbb{R}^2</math> die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen :<math>\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) = -\frac{\partial v}{\partial x} (x_o,y_o) </math> erfüllt sind. [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio4.ogg|Cauchy-Riemann-DGL]] == Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen == In dem folgenden Erläuterungen wird die Definition der Differenzierbarkeit in <math>\mathbb{C}</math> auf Eigenschaften der partiellen Ableitungen in der Jacobimatrix zurückgeführt. === Teil 1 === Wenn der folgende Limes für <math>f:G\rightarrow \mathbb{C}</math> für <math>z_o\in G</math> mit <math>G\subset \mathbb{C}</math> offen existiert :<math>f'(z_o) = \lim_{z\rightarrow z_o} \frac{f(z)-f(z_o)}{z-z_o}</math>, bedeutet <math>\lim_{z\rightarrow z_o} ...</math>, dass für beliebige Folgen <math>(z_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}</math> mit <math>\lim_{n\rightarrow \infty} z_n = z_o</math> auch :<math>f'(z_o) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f(z_n)-f(z_o)}{z_n - z_o}</math> erfüllt ist. [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio5.ogg|Folgen Differenzenquotient]] === Teil 2 === Man betrachtet nun von diesen beliebigen Folgen nur die Folgen für die beiden folgenden Grenzwertprozessen mit <math>h\in \mathbb{R}</math>: :<math>f'(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{(z_o+h)-z_o} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h}</math>, :<math>f'(z_o) = \lim_{ih\rightarrow 0} \frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{(z_o+ih)-z_o} = \lim_{ih\rightarrow 0} \frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{ih}</math>, [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio6.ogg|Realteil- und Imaginärfolgen]] === Teil 3: Grenzwertprozess Realteil === Durch Einsetzen der Komponentenfunktionen für den Realteil und Imaginärteil <math>u,v</math> ergibt sich mit <math>h\in \mathbb{R}</math> :<math>f'(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h} = </math> ::<math> = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{u(x_o+h,y_o)-u(x_o,y_o)}{h} + i \lim_{h\rightarrow 0} \frac{v(x_o+h,y_o)-v(x_o,y_o)}{h}</math> ::<math> = \frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o)</math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio7.ogg|Grenzwertwertprozess in Richtung des Realteils]] === Teil 4: Grenzwertprozess Imaginärteil === Bei der Anwendung auf die zweite Gleichung erhält man mit <math>h\in \mathbb{R}</math> :<math>f'(z_o) = \lim_{ih\rightarrow 0} \frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{ih} </math> ::<math> = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{u(x_o,y_o+h)-u(x_o,y_o)}{ih} + i \lim_{h\rightarrow 0} \frac{v(x_o,y_o+h)-v(x_o,y_o)}{ih} </math> ::<math>= -i \lim_{h\rightarrow 0} \frac{u(x_o,y_o+h)-u(x_o,y_o)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0} \frac{v(x_o,y_o+h)-v(x_o,y_o)}{h} </math>, ::<math>= -i \frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) + \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)</math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio8.ogg|Grenzwertprozess in Richtung Imaginärteil]] === Bemerkung zu Teil 4 === Im ersten Summanden wird der Bruch mit <math>i</math> erweitert und im zweiten Summanden wird das <math>i</math> gekürzt, damit der Nenner reellwertig wird und <math>h</math> entspricht. === Teil 5: Realteil- und Imaginärteilvergleich === Durch Gleichsetzung der Terme von (3) und (4) und Vergleich von Realteil und Imaginärteil erhält man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. * Realteil: <math>\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)</math> * Imaginärteil: <math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) = -\frac{\partial v}{\partial x} (x_o,y_o) </math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio9.ogg|Vergleich von Realteil und Imaginärteil der Ableitungen]] == Reelle partielle Ableitung - komplexe Richtungsableitung == Die Verwendung von den Funktionen <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> bzw. <math>v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> werden als reelle partielle Ableitungen betrachtet. Die können auch als Richtungsableitung in <math>\mathbb{C}</math> betrachtet werden. === Teil 1: Partielle Ableitung in Richtung Realteil === Die partiellen Ableitungen in <math>\mathbb{R}^2</math> der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in <math>\mathbb{C}</math> dargestellt werden mit <math>f:= \mathfrak{Re}(f) + i \mathfrak{Im}(f)</math>, <math>\mathfrak{Re}(f): \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>\mathfrak{Im}(f): \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>h \in \mathbb{R}</math>. :<math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h}\in \mathbb{C}</math>, :<math>\frac{\partial \mathfrak{Re}(f)}{\partial x}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\mathfrak{Re}(f)(z_o+h)-\mathfrak{Re}(f)(z_o)}{h}\in \mathbb{R}</math>, :<math>\frac{\partial \mathfrak{Im}(f)}{\partial x}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\mathfrak{Im}(f)(z_o+h)-\mathfrak{Im}(f)(z_o)}{h} \in \mathbb{R}</math>, [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio10.ogg|Partielle Ableitung in Realteilrichtung]] === Teil 2: Partielle Ableitung in Richtung Imaginärteil === Die partiellen Ableitungen in <math>\mathbb{R}^2</math> der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in <math>\mathbb{C}</math> dargestellt werden mit <math>f:= \mathfrak{Re}(f) + i \mathfrak{Im}(f)</math>, <math>\mathfrak{Re}(f): \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>\mathfrak{Im}(f): \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>h\in \mathbb{R}</math>. :<math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{h}\in \mathbb{C}</math>, <!-- :<math>\frac{\partial f_x}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f_x(z_o+ih)-f_x(z_o)}{h}\in \mathbb{R}</math>, :<math>\frac{\partial f_y}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f_y(z_o+ih)-f_y(z_o)}{h} \in \mathbb{R}</math>, --> :<math>\frac{\partial \mathfrak{Re}(f)}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\mathfrak{Re}(f)(z_o+ih)-\mathfrak{Re}(f)(z_o)}{h}\in \mathbb{R}</math>, :<math>\frac{\partial \mathfrak{Im}(f)}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\mathfrak{Im}(f)(z_o+ih)-\mathfrak{Im}(f)(z_o)}{h} \in \mathbb{R}</math>. [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio10.ogg|Partielle Ableitung in Imaginärteilrichtung]] === Teil 3: Cauchy-Riemann-DGL für komplexwertige Funktionen === Die partiellen Ableitungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in <math>\mathbb{C}</math> dargestellt werden mit <math>f:= f_x + i f_y</math>, <math>f_x:= \mathfrak{Re}(f)</math>, <math>f_y:= \mathfrak{Im}(f)</math>: * Realteil: <math>\frac{\partial \mathfrak{Re}(f)}{\partial x}(z_o) = \frac{\partial \mathfrak{Im}(f)}{\partial y}(z_o)</math> * Imaginärteil: <math>\displaystyle\frac{\partial \mathfrak{Re}(f)}{\partial y}(z_o) = -\frac{\partial \mathfrak{Im}(f)}{\partial x} (z_o) </math> ==Theorem - Cauchy Riemann-DGL == Sei <math display="inline"> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Teilmenge. Eine Funktion <math display="inline"> f = u + i v </math> ist genau dann in einem Punkt <math display="inline"> z = x+iy \in G </math> komplex differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen von <math display="inline"> u </math> und <math display="inline"> v </math> in dem <math display="inline"> \left( x,y \right) \in \mathbb{R}^2 </math> stetig sind und die folgenden Cauchy-Riemannschen-Diffentialgleichungen gelten: <math display="block"> \dfrac{\partial u}{\partial x} \left( x,y \right) = \dfrac{\partial v}{\partial y} \left( x,y \right) </math> <math display="block"> \dfrac{\partial u}{\partial y} \left( x,y \right) = - \dfrac{\partial v}{\partial x} \left( x,y \right) </math> === Bemerkung CR-DGL=== In diesem Fall kann die Ableitung von <math display="inline"> f </math> in dem Punkt <math display="inline"> z\in \mathbb{C} </math> auf zwei Arten durch die Komponentenfunktionen <math display="inline"> u </math> und <math display="inline"> v </math> dargestellt werden. <math display="block"> f'\left( z \right) = \dfrac{\partial u}{\partial x} \left( x,y \right) - i \dfrac{\partial u}{\partial y} \left( x,y \right) = \dfrac{\partial v}{\partial y} \left( x,y \right) + i \dfrac{\partial v}{\partial x} \left( x,y \right) </math> Im Beweis der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung wird der Real- und Imaginärteilvergleich verwendet, um die obigen beiden Gleichungen zu erhalten. ==Beweis== In dem Beweis werden zwei Richtungsableitungen betrachtet: * (DG1) die Ableitung in Richtung des Realteiles und * (DG2) die Ableitung in Richtung des Imaginärteiles. Da diese bei komplexer Differenzierbarkeit überstimmen, erhält man über Gleichsetzung und Vergleich von Real- und Imaginärteil die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. === Beweisschritt 1 - Ableitung in Richtung des Realteiles === In dem ersten Beweisteil lässt man <math>h\in \mathbb{C} </math> in Richtung des Realteiles gegen 0 konvergieren. Dazu wählt man <math display="inline"> h := h_1+i\cdot 0 </math> mit <math display="inline"> h_1 \in \mathbb{R} </math>. Die Zerlegung der Funktion <math display="inline"> f = u + i v </math> in die Realteilfunktion <math>u</math> und <math>v</math> liefert dann (DG1). === Beweisschritt 2 - Berechnung der Ableitung - Realteil === <math display="block"> \begin{array}{rcl} f'\left( z \right) & = & \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( z+h \right) - f\left( z \right)}{h} \\ & = &\lim\limits_{h_1 \to 0} \dfrac{u\left( x+h_1,y \right) + iv\left(x+h_1,y \right) -u\left( x,y \right) -iv\left( x,y \right) }{h_1} \\ & = &\lim\limits_{h_1 \to 0} \dfrac{u\left( x+h_1 ,y \right) - u\left( x,y \right) }{h_1} +i\dfrac{v\left( x+h_1 ,y \right) - v\left( x,y \right) }{h_1} \\ & = & \dfrac{\partial u}{\partial x} \left( x,y \right) + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \left( x,y \right) \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Ableitung in Richtung des Imaginärteiles === Analog kann man die partielle Ableitung für den Imaginärteil betrachten <math display="inline"> h := 0+i\cdot h_2 </math> mit <math display="inline"> h_2 \in \mathbb{R} </math>. Dann erhält man die Gleichung (DG2) === Beweisschritt 4 - Berechnung der Ableitung - Imaginärteil === <math display="inline"> \begin{array}{rcl} f'\left( z \right) & = & \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( z+h \right) - f\left( z \right)}{h}\\ & = &\lim\limits_{h_2 \to 0} \dfrac{u\left( x,y+h_2 \right) + iv\left(x,y+h_2 \right) -u\left( x,y \right) -iv\left( x,y \right) }{i\cdot h_2}\\ & = &\lim\limits_{h_2 \to 0} \dfrac{1}{i}\dfrac{u\left( x,y+h_2 \right) - u\left( x,y \right) }{h_2} +\dfrac{v\left( x,y+h_2 \right) - v\left( x,y \right) }{h_2}\\ & = & \dfrac{\partial v}{\partial y} \left( x,y \right) - i\dfrac{\partial u}{\partial y} \left( x,y \right) \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Gleichsetzung der Ableitungen === Über die Gleichsetzung der beiden Ableitungen kann auch den Realteil und Imaginärteil der beiden Ableitungen (DG1) und (DG2) vergleichen: <math display="block"> f'\left( z \right) =\dfrac{\partial u}{\partial x} \left( x,y \right) + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \left( x,y \right) = \dfrac{\partial v}{\partial y} \left( x,y \right) - i\dfrac{\partial u}{\partial y} \left( x,y \right) </math> === Beweisschritt 6 - Realteil- und Imaginärteilvergleich === Zwei komplexe Zahlen stimmen genau dann überein, wenn der Real- und Imaginärteile beider komplexen Zahlen übereinstimmen. Damit erhält man die Cauchy-Riemann-Diffentialgleichungen. Die beiden Darstellungsformel folgt aus der obigen Zeile und den Cauchy-Riemann-Gleichungen. === Beweisschritt 7 - Umkehrung === Sind die partiellen Ableitung der Komponentenfunktionen <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> für Realteil und Imaginärteil mit <math>f=u+iv</math> [[w:de:stetig differenzierbar|stetig differenzierbar]], so ist die gesamte Funktion [[w:de:totale Differenzierbarkeit|total differenzierbar]] und die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] für <math>f_R = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}</math> hat in <math>z_o = x_o+iy_o \in \mathbb{C}</math> die folgende Struktur: :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) & \frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) \\ -\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) & \frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o)\end{pmatrix}.</math> === Beweisschritt 8 - Komplexe Differenzierbarkeit === <math>f</math> ist in <math>z_0</math> komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert <math>f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}</math> existiert, wobei <math>h \in \mathbb{C}</math> gilt. === Beweisschritt 9 - Darstellung der Funktion === Sei <math>f(z) = u(x,y) + iv(x,y)</math> mit <math>z = x + iy</math>. Dann ist: :<math> \begin{array}{rcl} f(z_0 + h) & = & f((x_0 + iy_0) + (\underbrace{h_x + ih_y}_{=h})) \\ & = & f((x_0 + h_x) + i(y_0 + h_y)) \\ & = & u(x_0 + h_x, y_0 + h_y) + iv(x_0 + h_x, y_0 + h_y) \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Taylor-Entwicklung === Da <math>u</math> und <math>v</math> stetig partiell differenzierbar sind, kann man die Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ordnung für die Darstellung verwenden ==== Beweisschritt 10.1 - Taylor-Entwicklung ==== Taylor-Entwicklung für <math>u:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> lautet: :<math> \begin{array}{rcl} u(x_0 + h_x, y_0 + h_y) & = & u(x_0, y_0) \\ & & + \frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) h_x + \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) h_y \\ & & + R_u(h_x, h_y) \end{array} </math> wobei <math>\frac{R_u(h_x, h_y)}{|h|} \to 0</math> für <math>|h| \to 0</math> gilt. ==== Beweisschritt 10.2 - Taylor-Entwicklung ==== Taylor-Entwicklung für <math>v:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> lautet :<math> \begin{array}{rcl} v(x_0 + h_x, y_0 + h_y) & = & v(x_0, y_0) \\ & & + \frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot h_x + \frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot h_y \\ & & + R_v(h_x, h_y) \end{array}, </math> wobei <math>\frac{R_v(h_x, h_y)}{|h|} \to 0</math> für <math>|h| \to 0</math> gilt. === Beweisschritt 11 - Bildung des Differenzenquotienten === <math>\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{\overbrace{(u + iv)(x_0 + h_x, y_0 + h_y)}^{f(z_0 + h)=} - \overbrace{(u + iv)(x_0, y_0)}^{f(z_0)=}}{h}</math> <math>= \frac{\big(u(x_0 + h_x, y_0 + h_y) - u(x_0, y_0)\big) + i\big( v(x_0 + h_x, y_0 + h_y) - v(x_0, y_0)\big)}{h}</math> <math>= \frac{\left(\frac{\partial u}{\partial x} h_x + \frac{\partial u}{\partial y} h_y + R_u\right) + i\left(\frac{\partial v}{\partial x} h_x + \frac{\partial v}{\partial y} h_y + R_v\right)}{h}</math> <math>R_u</math> bzw. <math>R_v</math> sind dabei die Taylor-Restglieder der entsprechenden Taylor-Entwicklungen. === Beweisschritt 12 - Anwendung der Cauchy-Riemann-Gleichungen === Man setzt nun die Cauchy-Riemann-Gleichungen in die obige Gleichung ein: * <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> * <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> Dann wird: <math>\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{\left(\frac{\partial u}{\partial x} h_x - \frac{\partial v}{\partial x} h_y + R_u\right) + i\left(\frac{\partial v}{\partial x} h_x + \frac{\partial u}{\partial x} h_y + R_v\right)}{h}</math> <math>= \frac{\frac{\partial u}{\partial x}(h_x + ih_y) - \frac{\partial v}{\partial x}(h_y - ih_x) + R_u + iR_v}{h}</math> <math>= \frac{\frac{\partial u}{\partial x}(h_x + ih_y) + i\frac{\partial v}{\partial x}(h_x + ih_y) + R_u + iR_v}{h}</math> <math>= \left(\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}\right) \frac{h}{h} + \frac{R_u + iR_v}{h}</math> <math>= \left(\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}\right) + \frac{R_u + iR_v}{h}</math> === Beweisschritt 13 - Grenzübergang === Da <math>R_u, R_v = o(|h|)</math>, gilt: <math>\frac{R_u + iR_v}{h} \to 0 \quad \text{für} \quad h \to 0</math> Damit folgt: <math>\lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Beweisschritt 14 - Identifikation der Ableitung === Die komplexe Ableitung entspricht also der Summe partiellen Ableitungen der Realteil- und Imaginärteilfunktion: :<math>f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}</math> <math>\Box</math> == Bemerkung - Stetigkeit der partiellen Ableitungen == Die Cauchy-Riemann-Gleichungen sind '''notwendig''' für komplexe Differenzierbarkeit, aber '''nicht hinreichend'''. Für die '''hinreichende''' Bedingung benötigt man zusätzlich die Stetigkeit der partiellen Ableitungen. == Beispiel: == Sei <math>f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Dann: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math>, <math>v(x,y) = 2xy</math> Partielle Ableitungen: * <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math>, <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y</math> * <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 2y</math>, <math>\frac{\partial v}{\partial y} = 2x</math> Prüfung der Cauchy-Riemann-Gleichungen: * <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}</math> * <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> Also ist <math>f(z) = z^2</math> komplex differenzierbar mit :<math>f'(z) = 2x + i2y = 2(\underbrace{x+iy}_{=z})= 2z</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger Ableitungen bzw. Wirtinger Kalkül]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Komplexe_Zahl#Realteil-_und_Imaginärteilfunktion|Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> <noinclude>[[en:Cauchy-Riemann-Differential equation]]</noinclude> 8gkl2m42stfmk4zx477kuak0v93nzlp 1114044 1114043 2026-09-02T11:51:42Z ~2026-47548-34 41860 /* Realteil- und Imaginärteilfunktion */ 1114044 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der folgenden Lerneinheit wird zunächst eine Identifikation der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> mit dem zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}^2</math> vorgenommen und die klassischen reellen partiellen Ableitungen und die Jacobi-Matrix betrachtet und eine Beziehung zwischen komplexer Differenzierbarkeit und partiellen Ableitung von Komponentenfunktionen einer Abbildung von <math>\mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{R}^2</math> betrachtet. Danach werden die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen mit den Vorüberlegungen bewiesen. == Identifikation der komplexen Zahlen IR²== Sei <math>\mathcal{R}: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^2, \ x+iy \mapsto \mathcal{R}(x+iy) = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math>. Da die Abbildung <math>\mathcal{R}</math> bijektiv ist, kann man mit der Umkehrabbildung : <math> \mathcal{R}^{-1}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{C}, \ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \mathcal{R}^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x+iy </math> Vektoren aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> eineindeutig wieder eine komplexen Zahl zuordnen. [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio0.ogg|Identifikation <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math> ]] === Realteil- und Imaginärteilfunktion === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f:U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u: U_{_\mathcal{R}} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>v: U_{_\mathcal{R}} \rightarrow \mathbb{R}</math> mit <math>U_{_\mathcal{R}} \subset \mathbb{R}^2</math> und <math>U = \{x+iy\in\mathbb{C} \ | \ (x,y) \in U_{_\mathcal{R}}\}</math>, so hat die totale Ableitung der Funktion <math>f_{_\mathcal{R}}: U_{_\mathcal{R}}\rightarrow \mathbb{R}^2, (x,y)\mapsto \begin{pmatrix} u\left(x,y\right) \\ v\left(x,y\right) \end{pmatrix} </math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio1.ogg]] == Aufgabe == Geben Sie für die komplexwertige Funktion <math>f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}, \ z \mapsto f(z)=z^3</math> die Abbildungen <math>u,v</math> mit <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> konkret an. Siehe auch Definition von [[Maxima CAS/Partielle Ableitung|Ableitungen in Maxima]]. [[Datei:Cauchy Riemann DGL Aufgabe audio2.ogg|Aufgabe]] === Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt === Dabei liefert die Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt <math>(x_o,y_o)\in \mathbb{R}^2</math> die totale Ableitung in dem Punkt <math>x_o + iy_o \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) & \frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o) & \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)\end{pmatrix} </math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL Auswertung Jacobi audio3.ogg|Auswertung der partiellen Ableitungen in einem Punkt]] === Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen === Eine Funktion <math>f</math> ist in <math>z_o:=x_o+iy_o</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> mit <math>u: U_{_\mathcal{R}} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>v: U_{_\mathcal{R}} \rightarrow \mathbb{R}</math> mit <math>U_{_\mathcal{R}} \subset \mathbb{R}^2</math> die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen :<math>\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) = -\frac{\partial v}{\partial x} (x_o,y_o) </math> erfüllt sind. [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio4.ogg|Cauchy-Riemann-DGL]] == Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen == In dem folgenden Erläuterungen wird die Definition der Differenzierbarkeit in <math>\mathbb{C}</math> auf Eigenschaften der partiellen Ableitungen in der Jacobimatrix zurückgeführt. === Teil 1 === Wenn der folgende Limes für <math>f:G\rightarrow \mathbb{C}</math> für <math>z_o\in G</math> mit <math>G\subset \mathbb{C}</math> offen existiert :<math>f'(z_o) = \lim_{z\rightarrow z_o} \frac{f(z)-f(z_o)}{z-z_o}</math>, bedeutet <math>\lim_{z\rightarrow z_o} ...</math>, dass für beliebige Folgen <math>(z_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}</math> mit <math>\lim_{n\rightarrow \infty} z_n = z_o</math> auch :<math>f'(z_o) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f(z_n)-f(z_o)}{z_n - z_o}</math> erfüllt ist. [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio5.ogg|Folgen Differenzenquotient]] === Teil 2 === Man betrachtet nun von diesen beliebigen Folgen nur die Folgen für die beiden folgenden Grenzwertprozessen mit <math>h\in \mathbb{R}</math>: :<math>f'(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{(z_o+h)-z_o} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h}</math>, :<math>f'(z_o) = \lim_{ih\rightarrow 0} \frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{(z_o+ih)-z_o} = \lim_{ih\rightarrow 0} \frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{ih}</math>, [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio6.ogg|Realteil- und Imaginärfolgen]] === Teil 3: Grenzwertprozess Realteil === Durch Einsetzen der Komponentenfunktionen für den Realteil und Imaginärteil <math>u,v</math> ergibt sich mit <math>h\in \mathbb{R}</math> :<math>f'(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h} = </math> ::<math> = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{u(x_o+h,y_o)-u(x_o,y_o)}{h} + i \lim_{h\rightarrow 0} \frac{v(x_o+h,y_o)-v(x_o,y_o)}{h}</math> ::<math> = \frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) + i \frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o)</math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio7.ogg|Grenzwertwertprozess in Richtung des Realteils]] === Teil 4: Grenzwertprozess Imaginärteil === Bei der Anwendung auf die zweite Gleichung erhält man mit <math>h\in \mathbb{R}</math> :<math>f'(z_o) = \lim_{ih\rightarrow 0} \frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{ih} </math> ::<math> = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{u(x_o,y_o+h)-u(x_o,y_o)}{ih} + i \lim_{h\rightarrow 0} \frac{v(x_o,y_o+h)-v(x_o,y_o)}{ih} </math> ::<math>= -i \lim_{h\rightarrow 0} \frac{u(x_o,y_o+h)-u(x_o,y_o)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0} \frac{v(x_o,y_o+h)-v(x_o,y_o)}{h} </math>, ::<math>= -i \frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) + \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)</math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio8.ogg|Grenzwertprozess in Richtung Imaginärteil]] === Bemerkung zu Teil 4 === Im ersten Summanden wird der Bruch mit <math>i</math> erweitert und im zweiten Summanden wird das <math>i</math> gekürzt, damit der Nenner reellwertig wird und <math>h</math> entspricht. === Teil 5: Realteil- und Imaginärteilvergleich === Durch Gleichsetzung der Terme von (3) und (4) und Vergleich von Realteil und Imaginärteil erhält man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. * Realteil: <math>\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)</math> * Imaginärteil: <math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) = -\frac{\partial v}{\partial x} (x_o,y_o) </math> [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio9.ogg|Vergleich von Realteil und Imaginärteil der Ableitungen]] == Reelle partielle Ableitung - komplexe Richtungsableitung == Die Verwendung von den Funktionen <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> bzw. <math>v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> werden als reelle partielle Ableitungen betrachtet. Die können auch als Richtungsableitung in <math>\mathbb{C}</math> betrachtet werden. === Teil 1: Partielle Ableitung in Richtung Realteil === Die partiellen Ableitungen in <math>\mathbb{R}^2</math> der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in <math>\mathbb{C}</math> dargestellt werden mit <math>f:= \mathfrak{Re}(f) + i \mathfrak{Im}(f)</math>, <math>\mathfrak{Re}(f): \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>\mathfrak{Im}(f): \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>h \in \mathbb{R}</math>. :<math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h}\in \mathbb{C}</math>, :<math>\frac{\partial \mathfrak{Re}(f)}{\partial x}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\mathfrak{Re}(f)(z_o+h)-\mathfrak{Re}(f)(z_o)}{h}\in \mathbb{R}</math>, :<math>\frac{\partial \mathfrak{Im}(f)}{\partial x}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\mathfrak{Im}(f)(z_o+h)-\mathfrak{Im}(f)(z_o)}{h} \in \mathbb{R}</math>, [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio10.ogg|Partielle Ableitung in Realteilrichtung]] === Teil 2: Partielle Ableitung in Richtung Imaginärteil === Die partiellen Ableitungen in <math>\mathbb{R}^2</math> der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in <math>\mathbb{C}</math> dargestellt werden mit <math>f:= \mathfrak{Re}(f) + i \mathfrak{Im}(f)</math>, <math>\mathfrak{Re}(f): \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>\mathfrak{Im}(f): \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>h\in \mathbb{R}</math>. :<math>\frac{\partial f}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{h}\in \mathbb{C}</math>, <!-- :<math>\frac{\partial f_x}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f_x(z_o+ih)-f_x(z_o)}{h}\in \mathbb{R}</math>, :<math>\frac{\partial f_y}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f_y(z_o+ih)-f_y(z_o)}{h} \in \mathbb{R}</math>, --> :<math>\frac{\partial \mathfrak{Re}(f)}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\mathfrak{Re}(f)(z_o+ih)-\mathfrak{Re}(f)(z_o)}{h}\in \mathbb{R}</math>, :<math>\frac{\partial \mathfrak{Im}(f)}{\partial y}(z_o) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\mathfrak{Im}(f)(z_o+ih)-\mathfrak{Im}(f)(z_o)}{h} \in \mathbb{R}</math>. [[Datei:Cauchy Riemann DGL audio10.ogg|Partielle Ableitung in Imaginärteilrichtung]] === Teil 3: Cauchy-Riemann-DGL für komplexwertige Funktionen === Die partiellen Ableitungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in <math>\mathbb{C}</math> dargestellt werden mit <math>f:= f_x + i f_y</math>, <math>f_x:= \mathfrak{Re}(f)</math>, <math>f_y:= \mathfrak{Im}(f)</math>: * Realteil: <math>\frac{\partial \mathfrak{Re}(f)}{\partial x}(z_o) = \frac{\partial \mathfrak{Im}(f)}{\partial y}(z_o)</math> * Imaginärteil: <math>\displaystyle\frac{\partial \mathfrak{Re}(f)}{\partial y}(z_o) = -\frac{\partial \mathfrak{Im}(f)}{\partial x} (z_o) </math> ==Theorem - Cauchy Riemann-DGL == Sei <math display="inline"> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Teilmenge. Eine Funktion <math display="inline"> f = u + i v </math> ist genau dann in einem Punkt <math display="inline"> z = x+iy \in G </math> komplex differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen von <math display="inline"> u </math> und <math display="inline"> v </math> in dem <math display="inline"> \left( x,y \right) \in \mathbb{R}^2 </math> stetig sind und die folgenden Cauchy-Riemannschen-Diffentialgleichungen gelten: <math display="block"> \dfrac{\partial u}{\partial x} \left( x,y \right) = \dfrac{\partial v}{\partial y} \left( x,y \right) </math> <math display="block"> \dfrac{\partial u}{\partial y} \left( x,y \right) = - \dfrac{\partial v}{\partial x} \left( x,y \right) </math> === Bemerkung CR-DGL=== In diesem Fall kann die Ableitung von <math display="inline"> f </math> in dem Punkt <math display="inline"> z\in \mathbb{C} </math> auf zwei Arten durch die Komponentenfunktionen <math display="inline"> u </math> und <math display="inline"> v </math> dargestellt werden. <math display="block"> f'\left( z \right) = \dfrac{\partial u}{\partial x} \left( x,y \right) - i \dfrac{\partial u}{\partial y} \left( x,y \right) = \dfrac{\partial v}{\partial y} \left( x,y \right) + i \dfrac{\partial v}{\partial x} \left( x,y \right) </math> Im Beweis der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung wird der Real- und Imaginärteilvergleich verwendet, um die obigen beiden Gleichungen zu erhalten. ==Beweis== In dem Beweis werden zwei Richtungsableitungen betrachtet: * (DG1) die Ableitung in Richtung des Realteiles und * (DG2) die Ableitung in Richtung des Imaginärteiles. Da diese bei komplexer Differenzierbarkeit überstimmen, erhält man über Gleichsetzung und Vergleich von Real- und Imaginärteil die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. === Beweisschritt 1 - Ableitung in Richtung des Realteiles === In dem ersten Beweisteil lässt man <math>h\in \mathbb{C} </math> in Richtung des Realteiles gegen 0 konvergieren. Dazu wählt man <math display="inline"> h := h_1+i\cdot 0 </math> mit <math display="inline"> h_1 \in \mathbb{R} </math>. Die Zerlegung der Funktion <math display="inline"> f = u + i v </math> in die Realteilfunktion <math>u</math> und <math>v</math> liefert dann (DG1). === Beweisschritt 2 - Berechnung der Ableitung - Realteil === <math display="block"> \begin{array}{rcl} f'\left( z \right) & = & \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( z+h \right) - f\left( z \right)}{h} \\ & = &\lim\limits_{h_1 \to 0} \dfrac{u\left( x+h_1,y \right) + iv\left(x+h_1,y \right) -u\left( x,y \right) -iv\left( x,y \right) }{h_1} \\ & = &\lim\limits_{h_1 \to 0} \dfrac{u\left( x+h_1 ,y \right) - u\left( x,y \right) }{h_1} +i\dfrac{v\left( x+h_1 ,y \right) - v\left( x,y \right) }{h_1} \\ & = & \dfrac{\partial u}{\partial x} \left( x,y \right) + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \left( x,y \right) \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Ableitung in Richtung des Imaginärteiles === Analog kann man die partielle Ableitung für den Imaginärteil betrachten <math display="inline"> h := 0+i\cdot h_2 </math> mit <math display="inline"> h_2 \in \mathbb{R} </math>. Dann erhält man die Gleichung (DG2) === Beweisschritt 4 - Berechnung der Ableitung - Imaginärteil === <math display="inline"> \begin{array}{rcl} f'\left( z \right) & = & \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f\left( z+h \right) - f\left( z \right)}{h}\\ & = &\lim\limits_{h_2 \to 0} \dfrac{u\left( x,y+h_2 \right) + iv\left(x,y+h_2 \right) -u\left( x,y \right) -iv\left( x,y \right) }{i\cdot h_2}\\ & = &\lim\limits_{h_2 \to 0} \dfrac{1}{i}\dfrac{u\left( x,y+h_2 \right) - u\left( x,y \right) }{h_2} +\dfrac{v\left( x,y+h_2 \right) - v\left( x,y \right) }{h_2}\\ & = & \dfrac{\partial v}{\partial y} \left( x,y \right) - i\dfrac{\partial u}{\partial y} \left( x,y \right) \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Gleichsetzung der Ableitungen === Über die Gleichsetzung der beiden Ableitungen kann auch den Realteil und Imaginärteil der beiden Ableitungen (DG1) und (DG2) vergleichen: <math display="block"> f'\left( z \right) =\dfrac{\partial u}{\partial x} \left( x,y \right) + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \left( x,y \right) = \dfrac{\partial v}{\partial y} \left( x,y \right) - i\dfrac{\partial u}{\partial y} \left( x,y \right) </math> === Beweisschritt 6 - Realteil- und Imaginärteilvergleich === Zwei komplexe Zahlen stimmen genau dann überein, wenn der Real- und Imaginärteile beider komplexen Zahlen übereinstimmen. Damit erhält man die Cauchy-Riemann-Diffentialgleichungen. Die beiden Darstellungsformel folgt aus der obigen Zeile und den Cauchy-Riemann-Gleichungen. === Beweisschritt 7 - Umkehrung === Sind die partiellen Ableitung der Komponentenfunktionen <math>u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}</math> für Realteil und Imaginärteil mit <math>f=u+iv</math> [[w:de:stetig differenzierbar|stetig differenzierbar]], so ist die gesamte Funktion [[w:de:totale Differenzierbarkeit|total differenzierbar]] und die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] für <math>f_R = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}</math> hat in <math>z_o = x_o+iy_o \in \mathbb{C}</math> die folgende Struktur: :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o) & \frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) \\ -\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o) & \frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o)\end{pmatrix}.</math> === Beweisschritt 8 - Komplexe Differenzierbarkeit === <math>f</math> ist in <math>z_0</math> komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert <math>f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}</math> existiert, wobei <math>h \in \mathbb{C}</math> gilt. === Beweisschritt 9 - Darstellung der Funktion === Sei <math>f(z) = u(x,y) + iv(x,y)</math> mit <math>z = x + iy</math>. Dann ist: :<math> \begin{array}{rcl} f(z_0 + h) & = & f((x_0 + iy_0) + (\underbrace{h_x + ih_y}_{=h})) \\ & = & f((x_0 + h_x) + i(y_0 + h_y)) \\ & = & u(x_0 + h_x, y_0 + h_y) + iv(x_0 + h_x, y_0 + h_y) \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Taylor-Entwicklung === Da <math>u</math> und <math>v</math> stetig partiell differenzierbar sind, kann man die Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ordnung für die Darstellung verwenden ==== Beweisschritt 10.1 - Taylor-Entwicklung ==== Taylor-Entwicklung für <math>u:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> lautet: :<math> \begin{array}{rcl} u(x_0 + h_x, y_0 + h_y) & = & u(x_0, y_0) \\ & & + \frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) h_x + \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0) h_y \\ & & + R_u(h_x, h_y) \end{array} </math> wobei <math>\frac{R_u(h_x, h_y)}{|h|} \to 0</math> für <math>|h| \to 0</math> gilt. ==== Beweisschritt 10.2 - Taylor-Entwicklung ==== Taylor-Entwicklung für <math>v:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> lautet :<math> \begin{array}{rcl} v(x_0 + h_x, y_0 + h_y) & = & v(x_0, y_0) \\ & & + \frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot h_x + \frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot h_y \\ & & + R_v(h_x, h_y) \end{array}, </math> wobei <math>\frac{R_v(h_x, h_y)}{|h|} \to 0</math> für <math>|h| \to 0</math> gilt. === Beweisschritt 11 - Bildung des Differenzenquotienten === <math>\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{\overbrace{(u + iv)(x_0 + h_x, y_0 + h_y)}^{f(z_0 + h)=} - \overbrace{(u + iv)(x_0, y_0)}^{f(z_0)=}}{h}</math> <math>= \frac{\big(u(x_0 + h_x, y_0 + h_y) - u(x_0, y_0)\big) + i\big( v(x_0 + h_x, y_0 + h_y) - v(x_0, y_0)\big)}{h}</math> <math>= \frac{\left(\frac{\partial u}{\partial x} h_x + \frac{\partial u}{\partial y} h_y + R_u\right) + i\left(\frac{\partial v}{\partial x} h_x + \frac{\partial v}{\partial y} h_y + R_v\right)}{h}</math> <math>R_u</math> bzw. <math>R_v</math> sind dabei die Taylor-Restglieder der entsprechenden Taylor-Entwicklungen. === Beweisschritt 12 - Anwendung der Cauchy-Riemann-Gleichungen === Man setzt nun die Cauchy-Riemann-Gleichungen in die obige Gleichung ein: * <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}</math> * <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> Dann wird: <math>\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{\left(\frac{\partial u}{\partial x} h_x - \frac{\partial v}{\partial x} h_y + R_u\right) + i\left(\frac{\partial v}{\partial x} h_x + \frac{\partial u}{\partial x} h_y + R_v\right)}{h}</math> <math>= \frac{\frac{\partial u}{\partial x}(h_x + ih_y) - \frac{\partial v}{\partial x}(h_y - ih_x) + R_u + iR_v}{h}</math> <math>= \frac{\frac{\partial u}{\partial x}(h_x + ih_y) + i\frac{\partial v}{\partial x}(h_x + ih_y) + R_u + iR_v}{h}</math> <math>= \left(\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}\right) \frac{h}{h} + \frac{R_u + iR_v}{h}</math> <math>= \left(\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}\right) + \frac{R_u + iR_v}{h}</math> === Beweisschritt 13 - Grenzübergang === Da <math>R_u, R_v = o(|h|)</math>, gilt: <math>\frac{R_u + iR_v}{h} \to 0 \quad \text{für} \quad h \to 0</math> Damit folgt: <math>\lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}</math> === Beweisschritt 14 - Identifikation der Ableitung === Die komplexe Ableitung entspricht also der Summe partiellen Ableitungen der Realteil- und Imaginärteilfunktion: :<math>f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}</math> <math>\Box</math> == Bemerkung - Stetigkeit der partiellen Ableitungen == Die Cauchy-Riemann-Gleichungen sind '''notwendig''' für komplexe Differenzierbarkeit, aber '''nicht hinreichend'''. Für die '''hinreichende''' Bedingung benötigt man zusätzlich die Stetigkeit der partiellen Ableitungen. == Beispiel: == Sei <math>f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)</math> Dann: <math>u(x,y) = x^2 - y^2</math>, <math>v(x,y) = 2xy</math> Partielle Ableitungen: * <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math>, <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y</math> * <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 2y</math>, <math>\frac{\partial v}{\partial y} = 2x</math> Prüfung der Cauchy-Riemann-Gleichungen: * <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}</math> * <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> Also ist <math>f(z) = z^2</math> komplex differenzierbar mit :<math>f'(z) = 2x + i2y = 2(\underbrace{x+iy}_{=z})= 2z</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger Ableitungen bzw. Wirtinger Kalkül]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Komplexe_Zahl#Realteil-_und_Imaginärteilfunktion|Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> <noinclude>[[en:Cauchy-Riemann-Differential equation]]</noinclude> g52hsmx8dveswul2d9n9v49spse460g 106 102075 1114040 1058788 2026-09-02T11:02:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Schreibweise Technische Mechanik */ 1114040 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]] ist eine '''partielle Ableitung''' die Ableitung einer [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit mehreren Argumenten <math>(x_1,\ldots , x_n)</math> nach ''einem'' dieser Argumente <math>x_i</math> (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten. === Graph eine Funktion mit 2 Argumenten === [[Datei:Sin x plus cos y plot.gif|250px|center|Geogebra-Funktionsplot als GIF-Animation]] Plot der Funktion <math>f(x_1,x_2):=cos(x_1)+sin(x_2)</math> === Aufgabe zum Graph === Ordnen Sie den 3 Achsen mit den farbigen Markierung rot, grün und blau die Argumente bzw. den Funktionswert zu: * 1. Argument <math>x_1 \in \mathbb{R}</math> * 2. Argument <math>x_2 \in \mathbb{R}</math> * Funktionswert <math>f(x_1,x_2) \in \mathbb{R}</math> * Berechnen Sie die partiellen Ableitung an der Stelle <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> für die Funktion <math>f(x_1,x_2):=cos(x_1)+sin(x_2)</math> === Bezug zur Differenzierbarkeit mit einer Veränderlichen === Man betrachtet ein Punkt <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> im Definitionsbereich. Bei einer partiellen Ableitung nach <math>x_1</math> betrachtet man eine Schnitt des Graph mit einer Ebene, die parallel zur <math>x_1z</math>-Ebene liegt und durch den Punkt <math>(2,-1)</math> läuft. Die Schnittmenge des Graphen mit der Ebene erzeugt eine 2D-Graphen in der Ebene, den man wie in eindimensionale Analysis als Steigung der Tangente im Graph interpretieren kann. === Tangentensteigung mit einer Veränderlichen === Die folgenden Abbildung zeigt als Steigung einer Tangente im Graph als Animation. [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion (blau) besitzt an einer Stelle eine [[w:de:Tangente|Tangente]] an den Graph (rot). Die [[w:de:Steigung|Steigung]] der Tangente ist die Ableitung der Funktion an dem markierten Punkt - [https://www.geogebra.org/m/a4h74hub Interaktive Version]. [[Datei:Tangent dynamic.gif|250px|center|Animierte Tangentesteigung entlang des Graphen]] == Definition == Die folgende Ableitungsdefinition in der reellen Analysis mit einem Definitionsbereich als Teilmenge <math>U\subseteq \mathbb{R}</math> des eindimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}</math> :<math> f'(x_o) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_o) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x_o+h) - f(x_o)}{h} = \lim_{x\to x_o} \frac{f(x) - f(x_o)}{x-x_o} </math> wird nun auf partielle Ableitungen für Funktionen mit einem Definitionsbereich als Teilmenge vom <math>\R^n</math> erweitert. === 1. Ordnung === Sei <math>U</math> eine [[w:de:Offene Menge|offene Teilmenge]] des [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\R^n</math>, und <math>f\colon U\rightarrow \R</math> eine Funktion. Sei weiterhin ein Element <math>a=(a_1, \dotsc, a_n)</math> in <math>U</math> gegeben. Falls für die natürliche Zahl <math>i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> der Grenzwert :<math> \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) := \lim_{h\to 0} \frac{f(a_1,\dotsc,a_i+h,\dotsc,a_n) - f(a_1,\dotsc,a_i,\dotsc,a_n)}{h} </math> existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von <math>f</math> nach der <math>i</math>-ten Variablen <math>x_i</math> im Punkt <math>a</math>. Die Funktion <math>f</math> heißt dann im Punkt <math>a</math> partiell differenzierbar. === Sprechweise / Schreibweise=== Das Symbol <math>\partial</math> wird als <math>d</math> oder zur Unterscheidung auch ''del'' ausgesprochen. : <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> <math> \qquad</math> ''"d" "f" nach "d" <math>x_i</math> an der Stelle "a" Die Schreibweise <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> wurde durch Verwendung von [[w:de:Carl Gustav Jacob Jacobi|C. G. J. Jacobi]] bekannt.<ref>Heuser verweist auf ''J. f. reine u. angew. Math.'', Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 2.'', Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [http://jeff560.tripod.com/calculus.html].</ref> === Abkürzende Schreibweisen === Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> ist auch oft <math>\textstyle\partial_{x_i} f</math>, <math>\textstyle f_{x_i}</math> oder <math>D_i f</math> zu finden. === Schreibweise Technische Mechanik === Dem gegenüber existiert in der [[w:de:Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] eine andere Schreibweise bei der die Richtung mit einem Komma im Index angezeigt wird um von der Richtung zu unterscheiden: So ist die Ableitung der Verschiebung <math>u_{1}</math> (also die Verschiebung in <math>x_{1}</math>-Richtung) folgendermaßen äquivalent<math> \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} = u_{1,1}</math>. Analog: <math> \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} = u_{2,3}</math> wäre die Ableitung in <math>x_{3}</math>-Richtung einer Verschiebung in <math>x_{2}</math>-Richtung.<ref>{{Literatur | Autor=Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko | Titel=Ebene Flächentragwerke | TitelErg=Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten | Auflage= | Verlag=Springer | Ort=Berlin Heidelberg | Datum=2016 | ISBN=978-3-662-47230-9 | Seiten=25 ff |DOI=10.1007/978-3-662-47230-9 }}</ref> == Partielle Ableitungen als Funktion == Die partielle Ableitung nach <math>x_i</math> ist selbst wieder eine Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math>, falls <math>f</math> in ganz <math>U</math> nach <math>x_i</math> partiell differenzierbar ist. * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i} \in \mathcal{F}(U,\mathbb{R})</math> bezeichnet die Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math> und * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\in \mathbb{R}</math> bezeichnet die Steigung in Richtung <math>x_i</math> an der Stelle <math>a\in U </math>. === Höhere Ordnung === Ist die Funktion <math>f \colon U \to \R</math> in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen : <math>\frac{\partial f}{\partial x_i} \colon a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> wieder Funktionen von <math>U</math> nach <math>\R</math>, die wiederum auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> &nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp; <math>\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 } = \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> == Geometrische Deutung == In einem [[w:de:dreidimensional|dreidimensional]]en [[w:de:Koordinatensystem|Koordinatensystem]] wird der [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] einer Funktion <math>f \colon U \rightarrow \R</math> betrachtet. Der [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>U</math> sei eine offene Teilmenge der [[w:de:xy-Ebene|xy-Ebene]]. Ist <math>f</math> differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine [[w:de:Fläche (Mathematik)|Fläche]] über dem Definitionsbereich <math>U</math>. Für einen festen Wert von <math>x</math> ist dann <math>f</math> eine Funktion in <math>y</math>. Bei festem <math>x</math> ergeben die Punkte <math>\{(x,y): y\in \R \text{ mit } (x,y)\in U\}</math> eine [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] parallel zur <math>y</math>-Achse. Diese Strecke wird von <math>f</math> auf eine gekrümmte Linie auf dem Graph von <math>f</math> projiziert. Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt <math>f(x,y)</math>. == Sätze und Eigenschaften == === Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit === * [[w:de:Totale Differenzierbarkeit|Total differenzierbare]] Funktionen sind stetig. * Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar. * Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar. * Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar. === Satz von Schwarz === * Es gilt der [[w:de:Satz von Schwarz|Satz von Schwarz]]: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen: *:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} =\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\,.</math> == Verwendung == Die Verwendung von partiellen Ableitungen findet man u.a. bei * Gradient, * Hesse-Matrix, * mehrdimensionaler Taylorformel und * mehrdimensionalen Extremwertproblemen. === Gradient === Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor anordnen, dem [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] von <math>f</math>: :<math> \text{grad}\, f = \nabla f:= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T </math> Hierbei ist <math>\nabla</math> der [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]]. === Hesse-Matrix === Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix anordnen, der [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] :<math> \operatorname{H}_f= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{i,j \in\{1,\ldots , n\}}= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} </math> === Mehrdimensionale Taylor-Formel === Es gilt die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel im Mehrdimensionalen|Taylorformel]]: Wenn die Funktion <math>f\colon U \to \R</math> <math>k</math>-mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes <math>a = (a_1, \dots, a_n) \in U</math> durch ihre Taylor-Polynome approximieren: :<math>f(a + h) = \sum_{s =0}^k\,\sum_{j_1 + \dots + j_n =s} \frac{1}{j_1! \cdots j_n!}\,\frac{\partial^{s}f}{\partial x_1^{j_1} \cdots \partial x_n^{j_n}}(a) \, h_1^{j_1} \cdots h_n^{j_n} + r(a,h)</math> mit <math>h = (h_1, \dots, h_n)</math>, wobei das ''Restglied'' <math>r(a,h)</math> für <math>|h| \to 0</math> von höherer als <math>k</math>-ter Ordnung verschwindet, das heißt: ::<math>\lim_{|h| \to 0} \frac{|r(a,h)|}{|h|^k} = 0.</math> :Die Terme zu gegebenem &nu; ergeben die „Taylorapproximation <math>k</math>-ter Ordnung“. === Extremwertprobleme === Extremwertprobleme findet man in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bei der Berechnung von [[w:de:Extremwert|Maxima]] und [[w:de:Extremwert|Minima]] einer Funktion einer [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] [[w:de:Variable (Logik)|Variablen]] (vgl. hierzu den Artikel über [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]]). Die Verallgemeinerung des [[w:de:Differentialrechnung#Definition|Differentialquotienten]] auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderlichen, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt. === Differentialgeometrie === In der [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines [[w:de:Totales Differential|totalen Differentials]]. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der [[w:de:Thermodynamik|Thermodynamik]]. === Vektoranalysis === Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der [[w:de:Vektoranalysis|Vektoranalysis]]. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]]s, der [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] und der [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] in [[w:de:Skalarfeld|Skalar-]] und [[w:de:Vektorfeld|Vektorfeld]]ern. Sie treten auch in der [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] auf. == Beispiel 1 == Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 9</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 9</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung per Definition der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - x^2 -y^2}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(2x+h)\cdot h}{h} = 2x \\ \end{array} </math> In der letzten Gleichungszeile wurde die 3. binomische Formel verwendet. === Berechnung der partiellen Ableitung === Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - x^2 -y^2}{h} = 2 y \\ \end{array} </math> Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: === Bezug zur eindimensionalen reellen Analysis === Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen. == Beispiel 2 == Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle [[w:de:Ableitungsregel|Ableitungsregel]]n wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise :<math>f(x,y) = x^2 \sin(xy)</math>, ==== Anwendung der Produkt- und Kettenregel ==== Die partiellen Ableitung kann bzgl. einer Variablen über die [[w:de:Produktregel|Produkt-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] berechnen: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x \sin(xy) + x^2 y \cos(xy)</math>&nbsp;&nbsp; und :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = x^3 \cos(xy)</math>. == Beispiel 3 == [[Datei:Graph Paraboloid.gif|mini|Der Graph von <math>f(x,y):=x^2+y^2-2</math> ist ein [[w:en:Paraboloid|Paraboloid]] (Animation: GIF-Export Geogebra) ]] Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2-2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 7</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 7</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 x</math> Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 y</math> === Bemerkung === Diese Beispielen demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: * Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. * Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach dieser einen Variablen in die entsprechende Koordinatenrichtung. === Partielle und totale Ableitung nach der Zeit === In der [[w:de:Physik|Physik]] (vor allem in der [[w:de:Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]]) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion <math>f</math> von den Ortskoordinaten <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> und von der Zeit <math>t</math> ab. Man kann also die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial z}</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> gegeben. === Zeitliche Entwicklung === Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion :<math>t \mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)</math> beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit <math>t</math>, ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die ''totale'' oder ''vollständige Ableitung'' von <math>f</math> nach der Zeit <math>t</math> und schreibt dafür auch kurz <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math>. === Mehrdimensionale Kettenregel === Sie berechnet sich nach der [[w:de:Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] wie folgt: :<math>\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(x(t),y(t),z(t),t) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial t} </math> === Partielle Ableitung - totale Ableitung === Während bei der partiellen Ableitung <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> nach der Zeit nur die ''explizite'' Abhängigkeit der Funktion <math>f</math> von <math>t</math> berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math> auch die indirekte (oder ''implizite'') Abhängigkeit von <math>t</math>, die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen. === Strömungsmechanik === Indem man also die ''implizite'' Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von ''„substantieller“'' Zeitableitung, bzw. im Jargon der [[w:de:Strömungsmechanik|Strömungsmechanik]] von der ''Euler-Ableitung'' im Gegensatz zur ''Lagrange-Ableitung''. Für eine ausführlichere Darstellung siehe [[w:de:Totales Differential#Einfacher Fall|totales Differential]] == Verallgemeinerung: Richtungsableitung == Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen. == Siehe auch == * [[holomorphe_Funktion|Holomophie]] == Literatur == * Kurt Endl; Wolfgang Luh: ''Analysis II'', Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974 * Hans Grauert; Wolfgang Fischer: ''Differential- und Integralrechnung II'', 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978 == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Analysis]] [[Kategorie:Differentialoperator]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Partielle Ableitung] https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung * Datum: 9.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] g4rew8bbvxashvh7c5d65cwm7i76ja5 1114041 1114040 2026-09-02T11:43:08Z ~2026-47548-34 41860 /* Extremwertprobleme */ 1114041 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]] ist eine '''partielle Ableitung''' die Ableitung einer [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit mehreren Argumenten <math>(x_1,\ldots , x_n)</math> nach ''einem'' dieser Argumente <math>x_i</math> (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten. === Graph eine Funktion mit 2 Argumenten === [[Datei:Sin x plus cos y plot.gif|250px|center|Geogebra-Funktionsplot als GIF-Animation]] Plot der Funktion <math>f(x_1,x_2):=cos(x_1)+sin(x_2)</math> === Aufgabe zum Graph === Ordnen Sie den 3 Achsen mit den farbigen Markierung rot, grün und blau die Argumente bzw. den Funktionswert zu: * 1. Argument <math>x_1 \in \mathbb{R}</math> * 2. Argument <math>x_2 \in \mathbb{R}</math> * Funktionswert <math>f(x_1,x_2) \in \mathbb{R}</math> * Berechnen Sie die partiellen Ableitung an der Stelle <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> für die Funktion <math>f(x_1,x_2):=cos(x_1)+sin(x_2)</math> === Bezug zur Differenzierbarkeit mit einer Veränderlichen === Man betrachtet ein Punkt <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> im Definitionsbereich. Bei einer partiellen Ableitung nach <math>x_1</math> betrachtet man eine Schnitt des Graph mit einer Ebene, die parallel zur <math>x_1z</math>-Ebene liegt und durch den Punkt <math>(2,-1)</math> läuft. Die Schnittmenge des Graphen mit der Ebene erzeugt eine 2D-Graphen in der Ebene, den man wie in eindimensionale Analysis als Steigung der Tangente im Graph interpretieren kann. === Tangentensteigung mit einer Veränderlichen === Die folgenden Abbildung zeigt als Steigung einer Tangente im Graph als Animation. [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion (blau) besitzt an einer Stelle eine [[w:de:Tangente|Tangente]] an den Graph (rot). Die [[w:de:Steigung|Steigung]] der Tangente ist die Ableitung der Funktion an dem markierten Punkt - [https://www.geogebra.org/m/a4h74hub Interaktive Version]. [[Datei:Tangent dynamic.gif|250px|center|Animierte Tangentesteigung entlang des Graphen]] == Definition == Die folgende Ableitungsdefinition in der reellen Analysis mit einem Definitionsbereich als Teilmenge <math>U\subseteq \mathbb{R}</math> des eindimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}</math> :<math> f'(x_o) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_o) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x_o+h) - f(x_o)}{h} = \lim_{x\to x_o} \frac{f(x) - f(x_o)}{x-x_o} </math> wird nun auf partielle Ableitungen für Funktionen mit einem Definitionsbereich als Teilmenge vom <math>\R^n</math> erweitert. === 1. Ordnung === Sei <math>U</math> eine [[w:de:Offene Menge|offene Teilmenge]] des [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\R^n</math>, und <math>f\colon U\rightarrow \R</math> eine Funktion. Sei weiterhin ein Element <math>a=(a_1, \dotsc, a_n)</math> in <math>U</math> gegeben. Falls für die natürliche Zahl <math>i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> der Grenzwert :<math> \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) := \lim_{h\to 0} \frac{f(a_1,\dotsc,a_i+h,\dotsc,a_n) - f(a_1,\dotsc,a_i,\dotsc,a_n)}{h} </math> existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von <math>f</math> nach der <math>i</math>-ten Variablen <math>x_i</math> im Punkt <math>a</math>. Die Funktion <math>f</math> heißt dann im Punkt <math>a</math> partiell differenzierbar. === Sprechweise / Schreibweise=== Das Symbol <math>\partial</math> wird als <math>d</math> oder zur Unterscheidung auch ''del'' ausgesprochen. : <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> <math> \qquad</math> ''"d" "f" nach "d" <math>x_i</math> an der Stelle "a" Die Schreibweise <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> wurde durch Verwendung von [[w:de:Carl Gustav Jacob Jacobi|C. G. J. Jacobi]] bekannt.<ref>Heuser verweist auf ''J. f. reine u. angew. Math.'', Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 2.'', Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [http://jeff560.tripod.com/calculus.html].</ref> === Abkürzende Schreibweisen === Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> ist auch oft <math>\textstyle\partial_{x_i} f</math>, <math>\textstyle f_{x_i}</math> oder <math>D_i f</math> zu finden. === Schreibweise Technische Mechanik === Dem gegenüber existiert in der [[w:de:Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] eine andere Schreibweise bei der die Richtung mit einem Komma im Index angezeigt wird um von der Richtung zu unterscheiden: So ist die Ableitung der Verschiebung <math>u_{1}</math> (also die Verschiebung in <math>x_{1}</math>-Richtung) folgendermaßen äquivalent<math> \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} = u_{1,1}</math>. Analog: <math> \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} = u_{2,3}</math> wäre die Ableitung in <math>x_{3}</math>-Richtung einer Verschiebung in <math>x_{2}</math>-Richtung.<ref>{{Literatur | Autor=Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko | Titel=Ebene Flächentragwerke | TitelErg=Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten | Auflage= | Verlag=Springer | Ort=Berlin Heidelberg | Datum=2016 | ISBN=978-3-662-47230-9 | Seiten=25 ff |DOI=10.1007/978-3-662-47230-9 }}</ref> == Partielle Ableitungen als Funktion == Die partielle Ableitung nach <math>x_i</math> ist selbst wieder eine Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math>, falls <math>f</math> in ganz <math>U</math> nach <math>x_i</math> partiell differenzierbar ist. * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i} \in \mathcal{F}(U,\mathbb{R})</math> bezeichnet die Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math> und * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\in \mathbb{R}</math> bezeichnet die Steigung in Richtung <math>x_i</math> an der Stelle <math>a\in U </math>. === Höhere Ordnung === Ist die Funktion <math>f \colon U \to \R</math> in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen : <math>\frac{\partial f}{\partial x_i} \colon a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> wieder Funktionen von <math>U</math> nach <math>\R</math>, die wiederum auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> &nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp; <math>\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 } = \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> == Geometrische Deutung == In einem [[w:de:dreidimensional|dreidimensional]]en [[w:de:Koordinatensystem|Koordinatensystem]] wird der [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] einer Funktion <math>f \colon U \rightarrow \R</math> betrachtet. Der [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>U</math> sei eine offene Teilmenge der [[w:de:xy-Ebene|xy-Ebene]]. Ist <math>f</math> differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine [[w:de:Fläche (Mathematik)|Fläche]] über dem Definitionsbereich <math>U</math>. Für einen festen Wert von <math>x</math> ist dann <math>f</math> eine Funktion in <math>y</math>. Bei festem <math>x</math> ergeben die Punkte <math>\{(x,y): y\in \R \text{ mit } (x,y)\in U\}</math> eine [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] parallel zur <math>y</math>-Achse. Diese Strecke wird von <math>f</math> auf eine gekrümmte Linie auf dem Graph von <math>f</math> projiziert. Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt <math>f(x,y)</math>. == Sätze und Eigenschaften == === Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit === * [[w:de:Totale Differenzierbarkeit|Total differenzierbare]] Funktionen sind stetig. * Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar. * Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar. * Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar. === Satz von Schwarz === * Es gilt der [[w:de:Satz von Schwarz|Satz von Schwarz]]: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen: *:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} =\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\,.</math> == Verwendung == Die Verwendung von partiellen Ableitungen findet man u.a. bei * Gradient, * Hesse-Matrix, * mehrdimensionaler Taylorformel und * mehrdimensionalen Extremwertproblemen. === Gradient === Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor anordnen, dem [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] von <math>f</math>: :<math> \text{grad}\, f = \nabla f:= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T </math> Hierbei ist <math>\nabla</math> der [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]]. === Hesse-Matrix === Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix anordnen, der [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] :<math> \operatorname{H}_f= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{i,j \in\{1,\ldots , n\}}= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} </math> === Mehrdimensionale Taylor-Formel === Es gilt die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel im Mehrdimensionalen|Taylorformel]]: Wenn die Funktion <math>f\colon U \to \R</math> <math>k</math>-mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes <math>a = (a_1, \dots, a_n) \in U</math> durch ihre Taylor-Polynome approximieren: :<math>f(a + h) = \sum_{s =0}^k\,\sum_{j_1 + \dots + j_n =s} \frac{1}{j_1! \cdots j_n!}\,\frac{\partial^{s}f}{\partial x_1^{j_1} \cdots \partial x_n^{j_n}}(a) \, h_1^{j_1} \cdots h_n^{j_n} + r(a,h)</math> mit <math>h = (h_1, \dots, h_n)</math>, wobei das ''Restglied'' <math>r(a,h)</math> für <math>|h| \to 0</math> von höherer als <math>k</math>-ter Ordnung verschwindet, das heißt: ::<math>\lim_{|h| \to 0} \frac{|r(a,h)|}{|h|^k} = 0.</math> :Die Terme zu gegebenem &nu; ergeben die „Taylorapproximation <math>k</math>-ter Ordnung“. === Extremwertprobleme === Extremwertprobleme findet man in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bei der Berechnung von [[w:de:Extremwert|Maxima]] und [[w:de:Extremwert|Minima]] einer Funktion einer [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] [[w:de:Variable (Logik)|Variablen]] (vgl. hierzu den Artikel über [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]]). Die Verallgemeinerung des [[w:de:Differentialrechnung#Definition|Differentialquotienten]] auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderliche, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt. === Differentialgeometrie === In der [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines [[w:de:Totales Differential|totalen Differentials]]. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der [[w:de:Thermodynamik|Thermodynamik]]. === Vektoranalysis === Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der [[w:de:Vektoranalysis|Vektoranalysis]]. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]]s, der [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] und der [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] in [[w:de:Skalarfeld|Skalar-]] und [[w:de:Vektorfeld|Vektorfeld]]ern. Sie treten auch in der [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] auf. == Beispiel 1 == Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 9</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 9</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung per Definition der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - x^2 -y^2}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(2x+h)\cdot h}{h} = 2x \\ \end{array} </math> In der letzten Gleichungszeile wurde die 3. binomische Formel verwendet. === Berechnung der partiellen Ableitung === Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - x^2 -y^2}{h} = 2 y \\ \end{array} </math> Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: === Bezug zur eindimensionalen reellen Analysis === Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen. == Beispiel 2 == Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle [[w:de:Ableitungsregel|Ableitungsregel]]n wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise :<math>f(x,y) = x^2 \sin(xy)</math>, ==== Anwendung der Produkt- und Kettenregel ==== Die partiellen Ableitung kann bzgl. einer Variablen über die [[w:de:Produktregel|Produkt-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] berechnen: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x \sin(xy) + x^2 y \cos(xy)</math>&nbsp;&nbsp; und :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = x^3 \cos(xy)</math>. == Beispiel 3 == [[Datei:Graph Paraboloid.gif|mini|Der Graph von <math>f(x,y):=x^2+y^2-2</math> ist ein [[w:en:Paraboloid|Paraboloid]] (Animation: GIF-Export Geogebra) ]] Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2-2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 7</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 7</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 x</math> Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 y</math> === Bemerkung === Diese Beispielen demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: * Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. * Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach dieser einen Variablen in die entsprechende Koordinatenrichtung. === Partielle und totale Ableitung nach der Zeit === In der [[w:de:Physik|Physik]] (vor allem in der [[w:de:Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]]) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion <math>f</math> von den Ortskoordinaten <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> und von der Zeit <math>t</math> ab. Man kann also die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial z}</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> gegeben. === Zeitliche Entwicklung === Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion :<math>t \mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)</math> beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit <math>t</math>, ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die ''totale'' oder ''vollständige Ableitung'' von <math>f</math> nach der Zeit <math>t</math> und schreibt dafür auch kurz <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math>. === Mehrdimensionale Kettenregel === Sie berechnet sich nach der [[w:de:Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] wie folgt: :<math>\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(x(t),y(t),z(t),t) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial t} </math> === Partielle Ableitung - totale Ableitung === Während bei der partiellen Ableitung <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> nach der Zeit nur die ''explizite'' Abhängigkeit der Funktion <math>f</math> von <math>t</math> berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math> auch die indirekte (oder ''implizite'') Abhängigkeit von <math>t</math>, die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen. === Strömungsmechanik === Indem man also die ''implizite'' Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von ''„substantieller“'' Zeitableitung, bzw. im Jargon der [[w:de:Strömungsmechanik|Strömungsmechanik]] von der ''Euler-Ableitung'' im Gegensatz zur ''Lagrange-Ableitung''. Für eine ausführlichere Darstellung siehe [[w:de:Totales Differential#Einfacher Fall|totales Differential]] == Verallgemeinerung: Richtungsableitung == Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen. == Siehe auch == * [[holomorphe_Funktion|Holomophie]] == Literatur == * Kurt Endl; Wolfgang Luh: ''Analysis II'', Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974 * Hans Grauert; Wolfgang Fischer: ''Differential- und Integralrechnung II'', 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978 == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Analysis]] [[Kategorie:Differentialoperator]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Partielle Ableitung] https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung * Datum: 9.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] duxh5n5nslxesevrpr96oed0evxr6iy 1114042 1114041 2026-09-02T11:45:04Z ~2026-47548-34 41860 /* Anwendung der Produkt- und Kettenregel */ 1114042 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]] ist eine '''partielle Ableitung''' die Ableitung einer [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]] mit mehreren Argumenten <math>(x_1,\ldots , x_n)</math> nach ''einem'' dieser Argumente <math>x_i</math> (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten. === Graph eine Funktion mit 2 Argumenten === [[Datei:Sin x plus cos y plot.gif|250px|center|Geogebra-Funktionsplot als GIF-Animation]] Plot der Funktion <math>f(x_1,x_2):=cos(x_1)+sin(x_2)</math> === Aufgabe zum Graph === Ordnen Sie den 3 Achsen mit den farbigen Markierung rot, grün und blau die Argumente bzw. den Funktionswert zu: * 1. Argument <math>x_1 \in \mathbb{R}</math> * 2. Argument <math>x_2 \in \mathbb{R}</math> * Funktionswert <math>f(x_1,x_2) \in \mathbb{R}</math> * Berechnen Sie die partiellen Ableitung an der Stelle <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> für die Funktion <math>f(x_1,x_2):=cos(x_1)+sin(x_2)</math> === Bezug zur Differenzierbarkeit mit einer Veränderlichen === Man betrachtet ein Punkt <math>(2,-1) \in \mathbb{R}^2</math> im Definitionsbereich. Bei einer partiellen Ableitung nach <math>x_1</math> betrachtet man eine Schnitt des Graph mit einer Ebene, die parallel zur <math>x_1z</math>-Ebene liegt und durch den Punkt <math>(2,-1)</math> läuft. Die Schnittmenge des Graphen mit der Ebene erzeugt eine 2D-Graphen in der Ebene, den man wie in eindimensionale Analysis als Steigung der Tangente im Graph interpretieren kann. === Tangentensteigung mit einer Veränderlichen === Die folgenden Abbildung zeigt als Steigung einer Tangente im Graph als Animation. [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion (blau) besitzt an einer Stelle eine [[w:de:Tangente|Tangente]] an den Graph (rot). Die [[w:de:Steigung|Steigung]] der Tangente ist die Ableitung der Funktion an dem markierten Punkt - [https://www.geogebra.org/m/a4h74hub Interaktive Version]. [[Datei:Tangent dynamic.gif|250px|center|Animierte Tangentesteigung entlang des Graphen]] == Definition == Die folgende Ableitungsdefinition in der reellen Analysis mit einem Definitionsbereich als Teilmenge <math>U\subseteq \mathbb{R}</math> des eindimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>\mathbb{R}</math> :<math> f'(x_o) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_o) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x_o+h) - f(x_o)}{h} = \lim_{x\to x_o} \frac{f(x) - f(x_o)}{x-x_o} </math> wird nun auf partielle Ableitungen für Funktionen mit einem Definitionsbereich als Teilmenge vom <math>\R^n</math> erweitert. === 1. Ordnung === Sei <math>U</math> eine [[w:de:Offene Menge|offene Teilmenge]] des [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\R^n</math>, und <math>f\colon U\rightarrow \R</math> eine Funktion. Sei weiterhin ein Element <math>a=(a_1, \dotsc, a_n)</math> in <math>U</math> gegeben. Falls für die natürliche Zahl <math>i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> der Grenzwert :<math> \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) := \lim_{h\to 0} \frac{f(a_1,\dotsc,a_i+h,\dotsc,a_n) - f(a_1,\dotsc,a_i,\dotsc,a_n)}{h} </math> existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von <math>f</math> nach der <math>i</math>-ten Variablen <math>x_i</math> im Punkt <math>a</math>. Die Funktion <math>f</math> heißt dann im Punkt <math>a</math> partiell differenzierbar. === Sprechweise / Schreibweise=== Das Symbol <math>\partial</math> wird als <math>d</math> oder zur Unterscheidung auch ''del'' ausgesprochen. : <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> <math> \qquad</math> ''"d" "f" nach "d" <math>x_i</math> an der Stelle "a" Die Schreibweise <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> wurde durch Verwendung von [[w:de:Carl Gustav Jacob Jacobi|C. G. J. Jacobi]] bekannt.<ref>Heuser verweist auf ''J. f. reine u. angew. Math.'', Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 2.'', Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [http://jeff560.tripod.com/calculus.html].</ref> === Abkürzende Schreibweisen === Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> ist auch oft <math>\textstyle\partial_{x_i} f</math>, <math>\textstyle f_{x_i}</math> oder <math>D_i f</math> zu finden. === Schreibweise Technische Mechanik === Dem gegenüber existiert in der [[w:de:Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] eine andere Schreibweise bei der die Richtung mit einem Komma im Index angezeigt wird um von der Richtung zu unterscheiden: So ist die Ableitung der Verschiebung <math>u_{1}</math> (also die Verschiebung in <math>x_{1}</math>-Richtung) folgendermaßen äquivalent<math> \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} = u_{1,1}</math>. Analog: <math> \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}} = u_{2,3}</math> wäre die Ableitung in <math>x_{3}</math>-Richtung einer Verschiebung in <math>x_{2}</math>-Richtung.<ref>{{Literatur | Autor=Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko | Titel=Ebene Flächentragwerke | TitelErg=Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten | Auflage= | Verlag=Springer | Ort=Berlin Heidelberg | Datum=2016 | ISBN=978-3-662-47230-9 | Seiten=25 ff |DOI=10.1007/978-3-662-47230-9 }}</ref> == Partielle Ableitungen als Funktion == Die partielle Ableitung nach <math>x_i</math> ist selbst wieder eine Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math>, falls <math>f</math> in ganz <math>U</math> nach <math>x_i</math> partiell differenzierbar ist. * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i} \in \mathcal{F}(U,\mathbb{R})</math> bezeichnet die Funktion von <math>U</math> nach <math>\mathbb{R}</math> und * <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\in \mathbb{R}</math> bezeichnet die Steigung in Richtung <math>x_i</math> an der Stelle <math>a\in U </math>. === Höhere Ordnung === Ist die Funktion <math>f \colon U \to \R</math> in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen : <math>\frac{\partial f}{\partial x_i} \colon a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)</math> wieder Funktionen von <math>U</math> nach <math>\R</math>, die wiederum auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> &nbsp;&nbsp;und&nbsp;&nbsp; <math>\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 } = \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math> == Geometrische Deutung == In einem [[w:de:dreidimensional|dreidimensional]]en [[w:de:Koordinatensystem|Koordinatensystem]] wird der [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] einer Funktion <math>f \colon U \rightarrow \R</math> betrachtet. Der [[w:de:Definitionsbereich|Definitionsbereich]] <math>U</math> sei eine offene Teilmenge der [[w:de:xy-Ebene|xy-Ebene]]. Ist <math>f</math> differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine [[w:de:Fläche (Mathematik)|Fläche]] über dem Definitionsbereich <math>U</math>. Für einen festen Wert von <math>x</math> ist dann <math>f</math> eine Funktion in <math>y</math>. Bei festem <math>x</math> ergeben die Punkte <math>\{(x,y): y\in \R \text{ mit } (x,y)\in U\}</math> eine [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] parallel zur <math>y</math>-Achse. Diese Strecke wird von <math>f</math> auf eine gekrümmte Linie auf dem Graph von <math>f</math> projiziert. Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt <math>f(x,y)</math>. == Sätze und Eigenschaften == === Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit === * [[w:de:Totale Differenzierbarkeit|Total differenzierbare]] Funktionen sind stetig. * Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar. * Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar. * Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar. === Satz von Schwarz === * Es gilt der [[w:de:Satz von Schwarz|Satz von Schwarz]]: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen: *:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} =\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\,.</math> == Verwendung == Die Verwendung von partiellen Ableitungen findet man u.a. bei * Gradient, * Hesse-Matrix, * mehrdimensionaler Taylorformel und * mehrdimensionalen Extremwertproblemen. === Gradient === Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor anordnen, dem [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] von <math>f</math>: :<math> \text{grad}\, f = \nabla f:= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T </math> Hierbei ist <math>\nabla</math> der [[w:de:Nabla-Operator|Nabla-Operator]]. === Hesse-Matrix === Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix anordnen, der [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] :<math> \operatorname{H}_f= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)_{i,j \in\{1,\ldots , n\}}= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} </math> === Mehrdimensionale Taylor-Formel === Es gilt die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel im Mehrdimensionalen|Taylorformel]]: Wenn die Funktion <math>f\colon U \to \R</math> <math>k</math>-mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes <math>a = (a_1, \dots, a_n) \in U</math> durch ihre Taylor-Polynome approximieren: :<math>f(a + h) = \sum_{s =0}^k\,\sum_{j_1 + \dots + j_n =s} \frac{1}{j_1! \cdots j_n!}\,\frac{\partial^{s}f}{\partial x_1^{j_1} \cdots \partial x_n^{j_n}}(a) \, h_1^{j_1} \cdots h_n^{j_n} + r(a,h)</math> mit <math>h = (h_1, \dots, h_n)</math>, wobei das ''Restglied'' <math>r(a,h)</math> für <math>|h| \to 0</math> von höherer als <math>k</math>-ter Ordnung verschwindet, das heißt: ::<math>\lim_{|h| \to 0} \frac{|r(a,h)|}{|h|^k} = 0.</math> :Die Terme zu gegebenem &nu; ergeben die „Taylorapproximation <math>k</math>-ter Ordnung“. === Extremwertprobleme === Extremwertprobleme findet man in der [[w:de:Analysis|Analysis]] bei der Berechnung von [[w:de:Extremwert|Maxima]] und [[w:de:Extremwert|Minima]] einer Funktion einer [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] [[w:de:Variable (Logik)|Variablen]] (vgl. hierzu den Artikel über [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]]). Die Verallgemeinerung des [[w:de:Differentialrechnung#Definition|Differentialquotienten]] auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderliche, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt. === Differentialgeometrie === In der [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines [[w:de:Totales Differential|totalen Differentials]]. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der [[w:de:Thermodynamik|Thermodynamik]]. === Vektoranalysis === Partielle Ableitungen sind darüber hinaus ein wesentlicher Bestandteil der [[w:de:Vektoranalysis|Vektoranalysis]]. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des [[w:de:Laplace-Operator|Laplace-Operator]]s, der [[w:de:Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] und der [[w:de:Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] in [[w:de:Skalarfeld|Skalar-]] und [[w:de:Vektorfeld|Vektorfeld]]ern. Sie treten auch in der [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] auf. == Beispiel 1 == Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 9</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 9</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung per Definition der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - x^2 -y^2}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(2x+h)\cdot h}{h} = 2x \\ \end{array} </math> In der letzten Gleichungszeile wurde die 3. binomische Formel verwendet. === Berechnung der partiellen Ableitung === Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} \\ & = & \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - x^2 -y^2}{h} = 2 y \\ \end{array} </math> Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: === Bezug zur eindimensionalen reellen Analysis === Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen. == Beispiel 2 == Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle [[w:de:Ableitungsregel|Ableitungsregel]]n wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise :<math>f(x,y) = x^2 \sin(xy)</math>, ==== Anwendung der Produkt- und Kettenregel ==== Die partiellen Ableitung kann bzgl. einer Variablen kann man über die [[w:de:Produktregel|Produkt-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] berechnen: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x \sin(xy) + x^2 y \cos(xy)</math>&nbsp;&nbsp; und :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = x^3 \cos(xy)</math>. == Beispiel 3 == [[Datei:Graph Paraboloid.gif|mini|Der Graph von <math>f(x,y):=x^2+y^2-2</math> ist ein [[w:en:Paraboloid|Paraboloid]] (Animation: GIF-Export Geogebra) ]] Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2-2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt. === Funktion g mit einer Veränderlichen === Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z.&nbsp;B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab: :<math>f(x,3) = x^2 + 7</math> === Ableitung mit eindimensionalem Definitionsbereich === Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 7</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden :<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math> === Berechnung der partiellen Ableitung === Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 x</math> Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend: :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 y</math> === Bemerkung === Diese Beispielen demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt: * Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. * Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach dieser einen Variablen in die entsprechende Koordinatenrichtung. === Partielle und totale Ableitung nach der Zeit === In der [[w:de:Physik|Physik]] (vor allem in der [[w:de:Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]]) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion <math>f</math> von den Ortskoordinaten <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> und von der Zeit <math>t</math> ab. Man kann also die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial z}</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> gegeben. === Zeitliche Entwicklung === Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion :<math>t \mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)</math> beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit <math>t</math>, ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die ''totale'' oder ''vollständige Ableitung'' von <math>f</math> nach der Zeit <math>t</math> und schreibt dafür auch kurz <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math>. === Mehrdimensionale Kettenregel === Sie berechnet sich nach der [[w:de:Mehrdimensionale Kettenregel|mehrdimensionalen Kettenregel]] wie folgt: :<math>\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(x(t),y(t),z(t),t) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial t} </math> === Partielle Ableitung - totale Ableitung === Während bei der partiellen Ableitung <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> nach der Zeit nur die ''explizite'' Abhängigkeit der Funktion <math>f</math> von <math>t</math> berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math> auch die indirekte (oder ''implizite'') Abhängigkeit von <math>t</math>, die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen. === Strömungsmechanik === Indem man also die ''implizite'' Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von ''„substantieller“'' Zeitableitung, bzw. im Jargon der [[w:de:Strömungsmechanik|Strömungsmechanik]] von der ''Euler-Ableitung'' im Gegensatz zur ''Lagrange-Ableitung''. Für eine ausführlichere Darstellung siehe [[w:de:Totales Differential#Einfacher Fall|totales Differential]] == Verallgemeinerung: Richtungsableitung == Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die [[w:de:Richtungsableitung|Richtungsableitung]] dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen. == Siehe auch == * [[holomorphe_Funktion|Holomophie]] == Literatur == * Kurt Endl; Wolfgang Luh: ''Analysis II'', Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974 * Hans Grauert; Wolfgang Fischer: ''Differential- und Integralrechnung II'', 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978 == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Analysis]] [[Kategorie:Differentialoperator]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Partielle%20Ableitungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Partielle%20Ableitungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung Partielle Ableitung] https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle%20Ableitung * Datum: 9.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] j53hudzy0ro36pxfw8rme7fz1kty2os 0 111238 1113997 1012693 2026-09-01T15:19:51Z ~2026-47548-34 41860 /* Fundamentalsatz der Algebra */ 1113997 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == [[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]] == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \operatorname{Re}(z)</math> und <math>b = \operatorname{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keine Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprichen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)'''Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + ix_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + i</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> halurgc82l8pz3jkskrwgvdcn15vto1 1113998 1113997 2026-09-01T15:20:52Z ~2026-47548-34 41860 /* Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit */ 1113998 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == [[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]] == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \operatorname{Re}(z)</math> und <math>b = \operatorname{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprichen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)'''Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + ix_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + i</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> i7mtej6pvo3mnbi3dgpksj5tscmn4u0 1113999 1113998 2026-09-01T15:21:30Z ~2026-47548-34 41860 /* Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen */ 1113999 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == [[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]] == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \operatorname{Re}(z)</math> und <math>b = \operatorname{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)'''Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + ix_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + i</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> iw483ed0s7onb17r8dc3jczk4tmqjqh 1114000 1113999 2026-09-01T15:23:09Z ~2026-47548-34 41860 /* Eigenschaften */ 1114000 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == [[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]] == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \operatorname{Re}(z)</math> und <math>b = \operatorname{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + ix_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + i</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> b3u8ltj1naf6srmjcqfuj9ibyhk7n4f 1114001 1114000 2026-09-01T15:24:17Z ~2026-47548-34 41860 /* Division */ 1114001 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == [[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]] == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \operatorname{Re}(z)</math> und <math>b = \operatorname{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + ix_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + i</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> t7djxr4zqj9dloi120z9pysd1tchhr7 106 111462 1114025 1068626 2026-09-02T09:22:17Z ~2026-47548-34 41860 /* Konvergenz von Folgen */ 1114025 wikitext text/x-wiki == Einführung == Als '''Folge''' oder '''Sequenz''' wird in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine Auflistung ([[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]]) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit dem Index <math>n</math> wird <math>n</math>-tes Glied oder <math>n</math>-te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Folgen als Abbildungen == Betrachtet man eine Indexmenge <math>I</math> und einen Grundraum <math>G</math>, aus dem die Komponenten gewählt werden, dann kann man eine Folge <math>a</math> als Abbildung verstehen, die jedem Index <math>n \in I</math> ein Element <math>a_n \in G</math> aus dem Grundraum <math>G</math> zuordnet. Folgen notiert man in der Regel <math>(a_n)_{n\in I} \in G^{I}</math> (z.B. <math>I = \mathbb{N})</math> == Beispiele für Folgen == * <math>(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^{3}</math> endliche reelle Zahlenfolge bzw. <math>n</math>-[[w:de:Tupel|Tupel]] * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> ist eine reelle Zahlenfolge. * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{5+n}{n} + \frac{5+3n^2}{4n^2}i \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> ist eine komplexe Zahlenfolge. Im Folgenden betrachten wir unendliche Folgen mit der Indexmenge <math>I = \mathbb{N}</math> in den komplexen Zahlen. == Konvergenz von Folgen == Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Folgenkonvergenz definieren. Bei konvergenten Folgen <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen eine Grenzwert <math>a_0 \in G</math> läuft der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert gegen 0. === Notation === Für den Grenzwert <math>a_0 \in \mathbb{C}</math> einer Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt: : <math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 </math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math>. === Definition Folgenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>a_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz von <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>a_0</math> wird dann wie folgt definiert: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 \quad :\Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. === Notation - Schreibweise === Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise * <math>a_n\to a_0</math> ''für'' <math>n \to \infty</math> (gelesen als ''<math>a_n\;</math> konvergiert gegen <math>a_0\in \mathbb{C}</math> für <math>n</math> gegen unendlich'') oder * kurz <math>a_n\to a_0 \in \mathbb{C}</math> bzw. <math>a_n {}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{n \to \infty} a_0 \in \mathbb{C} </math> üblich. === Visualisierung der Konvergenz === [[Datei:Epsilon umgebung konvergenz.gif|350px|Epsilon-Umgebung und Konvergenz]] Für alle <math>\varepsilon > 0</math> gibt es eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon}</math>, ab der alle <math>a_n</math> mit <math>n \geq n_{\varepsilon}</math> in der <math>\varepsilon</math>-Umgebung liegen. === Semantik === Die Bedeutung der Definition kann man wie folgt versprachlichen: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. Man kann ein beliebig kleines <math>\varepsilon >0</math> wählen und dennoch kann man zu diesem <math>\varepsilon</math> immer eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}</math> findet, sodass alle Folgenglieder <math>a_n</math> mit größerem (oder gleichem) Index nicht weiter als <math>\varepsilon </math> von dem Grenzwert <math>a_0</math> entfernt sind (<math>\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>) == Reihen == Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> ist eine spezielle Folgen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, die aus einer gegebenen Folge <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> durch die Folge der Partialsummen <math>\left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> entsteht. === Konvergenz von Reihen === Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Metrik|Metrik]] oder Längen von Vektoren mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Norm|Norm]] messen kann, kann man die Reihenkonvergenz analog zur Folgenkonvergenz definieren. Eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Absolute Konvergenz === Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> heißt absolut konvergent, wenn die Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| </math> konvergiert, d.h., dass die Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n |a_k| \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Aufgabe === * Zeigen Sie, dass die komplexwertige Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{1}{k} \cdot i</math> konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Nutzen Sie dazu Sätze und Kenntnisse aus der reellen Analysis. * Überprüfen Sie die folgende Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (i)^k \cdot 2^{-k+2}</math> auf Konvergenz. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und tragen Sie diese in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] ein. Erläutern Sie, warum die Folge der Partialsummen diese geometrische Eigenschaften besitzt. Berechnen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe, wenn dieser existiert. === Reihe als mathematisches Objekt === Die Notation einer Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> bezeichnet algebraisch '''keine''' Folge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, sondern im Falle einer Konvergenz eine komplexe Zahl als Grenzwert der Folge der Partialsummen <math>s_0 := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k</math>. : <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k = s_0 := \lim_{n \to \infty} s_n </math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k .</math> === Notation === Für den Grenzwert <math>s_0 \in \mathbb{C}</math> einer Reihe <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> mit <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> schreibt man: : <math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 </math> === Reihenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>s_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz der Reihe bezeichnet die Konvergenz der Partialsummen <math>s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k</math> gegen <math>s_0</math>, d.h: :<math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|s_n-s_0 \right| < \varepsilon .</math> Dabei gilt <math>\left|s_n-s_0 \right| = \left|\sum_{k=1}^{n} a_k - s_0 \right| < \varepsilon</math>. == Konvergenz von Reihen mit Koeffizienten aus einer Algebra == Die Betrachtung von Reihenkonvergenz ist eine Spezialfall der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Reihenkonvergenz]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] bzw. auf einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]]. === Topologischer Vektorraum === Dabei liefert der [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorraum]] <math>V</math> * eine additive Verknüpfung, um Vektoren für die Partialsummen <math> s_n := \sum_{k=1}^{n} a_n </math> berechnen und * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], um auf Konvergenz der Folge von Partialsummen <math> (s_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> untersuchen zu können. === Aufgabe - Reihenkonverenz in einem topologischen Vektorraum === Sei <math> a_n := \begin{pmatrix} 2^{-n} \\ 3^{-n} \\ 4^{-n} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 </math>. Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe <math> g:= \sum_{k=0}^\infty a_n \in \mathbb{R}^3 </math> als einführendes Beispiel mit den Werkzeugen der Analysis! Erläutern Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Reihenkonvergenz in [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]] und dem Spezialfall <math>\mathbb{C}</math>. Übertragen Sie den Begriff der [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Konvergenz]] bzw. [[w:de:absolute Konvergenz|absoluten Konvergenz]] auf topologische Vektorräume, wenn der <math>(V,\|\cdot \|)</math> wie im Fall <math>V=\mathbb{R}^3 </math> ein normierte topologischer Vektorraum ist. === Topologische Algebra - Potenzreihen === Mit einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math> kann die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math> * topologisiert werden und der topologische Abschluss der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> betrachtet werden * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird dabei über Summation der gewichteten Vektorlängen von Kooeffizienten erzeugt, um dann die Vervollständigung des Raumes betrachten zu können, * additive und multiplikative Verknüpfung liefert über das Cauchy-Produkt auch eine Multiplikation auf der Polynomalgebra <math>A[t]</math> und die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math>. === Beispiel - Polynomalgebra und Konvexkombinationen === Betrachtet man [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> in dem Vektorraum <math>\mathbb{R}^3 </math>, so stellen diese Polynome der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen [[Konvexkombination]] der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] == Literatur == * [[w:de:Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]: ''Éléments de mathématique. Theorie des Ensembles'' II/ III, Paris 1970 * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner Verlag, Stuttgart <references/> == Weblinks == * [http://oeis.org/?language=german Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] * [http://www.mathematik-wissen.de/zahlenfolgen.htm Zahlenfolgen für Schüler erklärt] * [https://www.primaryresources.co.uk/maths/mathsB3.htm Folgen von numerischen und nicht-numerischen Objekten - Primary Resources] == Siehe auch == * [[w:de:Folge_(Mathematik)|Folgen in der Mathematik - Wikipedia]] * [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen bzw. komplexe Zahlenebene]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[topologische Algebra]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Grundlagen Grundlagen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Folge_(Mathematik)] https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) * Datum: 28.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?article=Folge_(Mathematik)&language=de&author=Kurs:Funktionentheorie https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Folgen und Reihen|!Folge]] <noinclude> [[en:Complex Analysis/Sequences and series]] </noinclude> g4ya9cg7hnyqc7l8nluoxhda7u95gz6 1114026 1114025 2026-09-02T09:23:32Z ~2026-47548-34 41860 /* Semantik */ 1114026 wikitext text/x-wiki == Einführung == Als '''Folge''' oder '''Sequenz''' wird in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] eine Auflistung ([[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]]) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten. Das Objekt mit dem Index <math>n</math> wird <math>n</math>-tes Glied oder <math>n</math>-te Komponente der Folge genannt. Endliche wie unendliche Folgen finden sich in allen Bereichen der Mathematik. Mit unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind, beschäftigt sich vor allem die [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Folgen als Abbildungen == Betrachtet man eine Indexmenge <math>I</math> und einen Grundraum <math>G</math>, aus dem die Komponenten gewählt werden, dann kann man eine Folge <math>a</math> als Abbildung verstehen, die jedem Index <math>n \in I</math> ein Element <math>a_n \in G</math> aus dem Grundraum <math>G</math> zuordnet. Folgen notiert man in der Regel <math>(a_n)_{n\in I} \in G^{I}</math> (z.B. <math>I = \mathbb{N})</math> == Beispiele für Folgen == * <math>(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^{3}</math> endliche reelle Zahlenfolge bzw. <math>n</math>-[[w:de:Tupel|Tupel]] * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> ist eine reelle Zahlenfolge. * <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} = \left( \frac{5+n}{n} + \frac{5+3n^2}{4n^2}i \right)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> ist eine komplexe Zahlenfolge. Im Folgenden betrachten wir unendliche Folgen mit der Indexmenge <math>I = \mathbb{N}</math> in den komplexen Zahlen. == Konvergenz von Folgen == Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer Metrik oder Längen von Vektoren mit einer Norm messen kann, kann man die Folgenkonvergenz definieren. Bei konvergenten Folgen <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen eine Grenzwert <math>a_0 \in G</math> läuft der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert gegen 0. === Notation === Für den Grenzwert <math>a_0 \in \mathbb{C}</math> einer Folge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> gibt es ein eigenes Symbol, man schreibt: : <math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 </math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math>. === Definition Folgenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>a_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz von <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>a_0</math> wird dann wie folgt definiert: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 \quad :\Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. === Notation - Schreibweise === Neben dieser Notation ist auch die Schreibweise * <math>a_n\to a_0</math> ''für'' <math>n \to \infty</math> (gelesen als ''<math>a_n\;</math> konvergiert gegen <math>a_0\in \mathbb{C}</math> für <math>n</math> gegen unendlich'') oder * kurz <math>a_n\to a_0 \in \mathbb{C}</math> bzw. <math>a_n {}_\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{n \to \infty} a_0 \in \mathbb{C} </math> üblich. === Visualisierung der Konvergenz === [[Datei:Epsilon umgebung konvergenz.gif|350px|Epsilon-Umgebung und Konvergenz]] Für alle <math>\varepsilon > 0</math> gibt es eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon}</math>, ab der alle <math>a_n</math> mit <math>n \geq n_{\varepsilon}</math> in der <math>\varepsilon</math>-Umgebung liegen. === Semantik === Die Bedeutung der Definition kann man wie folgt versprachlichen: :<math> \lim_{n \to \infty} a_n = a_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>. Man kann ein beliebig kleines <math>\varepsilon >0</math> wählen und dennoch kann man zu diesem <math>\varepsilon</math> immer eine Indexschranke <math>n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}</math> finden, sodass alle Folgenglieder <math>a_n</math> mit größerem (oder gleichem) Index nicht weiter als <math>\varepsilon </math> von dem Grenzwert <math>a_0</math> entfernt sind (<math>\left|a_n-a_0 \right| < \varepsilon </math>) == Reihen == Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> ist eine spezielle Folgen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, die aus einer gegebenen Folge <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> durch die Folge der Partialsummen <math>\left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> entsteht. === Konvergenz von Reihen === Wenn auf einem Grundraum Abstände mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Metrik|Metrik]] oder Längen von Vektoren mit einer [[Normen, Metriken, Topologie#Definition:_Norm|Norm]] messen kann, kann man die Reihenkonvergenz analog zur Folgenkonvergenz definieren. Eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|Reihe]] <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Absolute Konvergenz === Eine Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> heißt absolut konvergent, wenn die Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| </math> konvergiert, d.h., dass die Folge der Partialsummen <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}} := \left( \sum_{k=1}^n |a_k| \right)_{n\in \mathbb{N}}</math> konvergiert. === Aufgabe === * Zeigen Sie, dass die komplexwertige Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{1}{k} \cdot i</math> konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Nutzen Sie dazu Sätze und Kenntnisse aus der reellen Analysis. * Überprüfen Sie die folgende Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} (i)^k \cdot 2^{-k+2}</math> auf Konvergenz. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und tragen Sie diese in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] ein. Erläutern Sie, warum die Folge der Partialsummen diese geometrische Eigenschaften besitzt. Berechnen Sie ggf. den Grenzwert der Reihe, wenn dieser existiert. === Reihe als mathematisches Objekt === Die Notation einer Reihe <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> bezeichnet algebraisch '''keine''' Folge <math>(s_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>, sondern im Falle einer Konvergenz eine komplexe Zahl als Grenzwert der Folge der Partialsummen <math>s_0 := \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k</math>. : <math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k = s_0 := \lim_{n \to \infty} s_n </math> mit <math>s_n := \sum_{k=1}^n a_k .</math> === Notation === Für den Grenzwert <math>s_0 \in \mathbb{C}</math> einer Reihe <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> mit <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> schreibt man: : <math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 </math> === Reihenkonvergenz === Sei <math>(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}</math> eine komplexe Zahlenfolge und <math>s_0 \in \mathbb{C}</math>. Die Konvergenz der Reihe bezeichnet die Konvergenz der Partialsummen <math>s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k</math> gegen <math>s_0</math>, d.h: :<math> \sum_{n=1}^{\infty} a_n = s_0 :\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \; \exists n_{\varepsilon} \in\mathbb{N} \; \forall n \ge n_{\varepsilon}: \;\left|s_n-s_0 \right| < \varepsilon .</math> Dabei gilt <math>\left|s_n-s_0 \right| = \left|\sum_{k=1}^{n} a_k - s_0 \right| < \varepsilon</math>. == Konvergenz von Reihen mit Koeffizienten aus einer Algebra == Die Betrachtung von Reihenkonvergenz ist eine Spezialfall der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Reihenkonvergenz]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] bzw. auf einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]]. === Topologischer Vektorraum === Dabei liefert der [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorraum]] <math>V</math> * eine additive Verknüpfung, um Vektoren für die Partialsummen <math> s_n := \sum_{k=1}^{n} a_n </math> berechnen und * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]], um auf Konvergenz der Folge von Partialsummen <math> (s_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> untersuchen zu können. === Aufgabe - Reihenkonverenz in einem topologischen Vektorraum === Sei <math> a_n := \begin{pmatrix} 2^{-n} \\ 3^{-n} \\ 4^{-n} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 </math>. Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe <math> g:= \sum_{k=0}^\infty a_n \in \mathbb{R}^3 </math> als einführendes Beispiel mit den Werkzeugen der Analysis! Erläutern Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Reihenkonvergenz in [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräume]] und dem Spezialfall <math>\mathbb{C}</math>. Übertragen Sie den Begriff der [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Konvergenz]] bzw. [[w:de:absolute Konvergenz|absoluten Konvergenz]] auf topologische Vektorräume, wenn der <math>(V,\|\cdot \|)</math> wie im Fall <math>V=\mathbb{R}^3 </math> ein normierte topologischer Vektorraum ist. === Topologische Algebra - Potenzreihen === Mit einer [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>A</math> kann die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math> * topologisiert werden und der topologische Abschluss der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> betrachtet werden * eine [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird dabei über Summation der gewichteten Vektorlängen von Kooeffizienten erzeugt, um dann die Vervollständigung des Raumes betrachten zu können, * additive und multiplikative Verknüpfung liefert über das Cauchy-Produkt auch eine Multiplikation auf der Polynomalgebra <math>A[t]</math> und die Potenzreihenalgebra <math>\overline{A[t]}</math>. === Beispiel - Polynomalgebra und Konvexkombinationen === Betrachtet man [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> in dem Vektorraum <math>\mathbb{R}^3 </math>, so stellen diese Polynome der Ordnung <math>n \in \mathbb{N}</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}^3 </math> dar. Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen [[Konvexkombination]] der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] == Literatur == * [[w:de:Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]: ''Éléments de mathématique. Theorie des Ensembles'' II/ III, Paris 1970 * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner Verlag, Stuttgart <references/> == Weblinks == * [http://oeis.org/?language=german Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen] * [http://www.mathematik-wissen.de/zahlenfolgen.htm Zahlenfolgen für Schüler erklärt] * [https://www.primaryresources.co.uk/maths/mathsB3.htm Folgen von numerischen und nicht-numerischen Objekten - Primary Resources] == Siehe auch == * [[w:de:Folge_(Mathematik)|Folgen in der Mathematik - Wikipedia]] * [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen bzw. komplexe Zahlenebene]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[topologische Algebra]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] == Seiten-Information == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Grundlagen Grundlagen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Folgen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen&author=Grundlagen&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) Folge_(Mathematik)] https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik) * Datum: 28.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?article=Folge_(Mathematik)&language=de&author=Kurs:Funktionentheorie https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Folgen und Reihen|!Folge]] <noinclude> [[en:Complex Analysis/Sequences and series]] </noinclude> 427e58pevbzhysujyoxp54h7bp10od0 106 111816 1114027 1076503 2026-09-02T09:36:30Z ~2026-47548-34 41860 /* Additions und Multiplikation mit Skalaren */ 1114027 wikitext text/x-wiki == Definition == Unter einer '''Potenzreihe''' <math>p(z)</math> versteht man in der [[w:de:Analysis|Analysis]] eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|unendliche Reihe]] der Form :<math>p(z) = \sum_{n=0}^\infty p_n (z-z_0)^n</math> mit * einer beliebigen [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(p_n)_{n \in \mathbb N_0}</math> [[w:de:Reelle Zahl|reeller]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexer]] Zahlen * dem ''Entwicklungspunkt'' <math>z_0 \in \mathbb{R}</math> oder <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> der Potenzreihe. == Bezug zur reellen Analysis == Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und erlauben oft eine sinnvolle Fortsetzung [[w:de:Reelle Funktion|reeller Funktionen]] in die komplexe Zahlenebene. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert. Diese Frage führt zum Begriff des [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]]. == Konvergenzradius == Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt <math>x_0</math> ist die größte Zahl <math>r</math> definiert, für welche die Potenzreihe für alle <math>x</math> mit <math> r > |x-x_0|</math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Die [[w:de:Offene Menge#Metrischer Raum|offene Kugel]] <math>U_r(x_0)</math> mit Radius <math>r</math> um <math>x_0</math> nennt man ''Konvergenzkreis.'' Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle <math>x</math> konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für <math>x_0</math>, so ist der Konvergenzradius 0, die Reihe wird dann manchmal auch ''nirgends konvergent'' genannt. === Berechnung Konvergenzradius - Cauchy-Hadamard === Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius <math>r</math> mit der ''Formel von Cauchy-Hadamard'' berechnen. Es gilt: :<math>r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt[n]{|a_n|}}</math> In diesem Zusammenhang definiert man <math>\tfrac{1}{0} := +\infty</math> und <math>\tfrac{1}{\infty} := 0</math> === Berechnung Konvergenzradius - nichtverschwindenden Koeffizienten === In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nichtverschwindenden Koeffizienten auch einfacher berechnet werden. Es gilt nämlich :<math>r = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,</math> sofern dieser Grenzwert existiert. == Beispiele == Jede [[w:de:Polynom|Polynomfunktion]] lässt sich als Potenzreihe auffassen, bei der [[w:de:fast alle|fast alle]] Koeffizienten <math>a_n</math> gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] und [[w:de:Maclaurinsche Reihe|Maclaurinsche Reihe]]. Funktionen, die sich durch eine Potenzreihe darstellen lassen, werden auch [[w:de:analytische Funktion|analytische Funktion]]en genannt. Hier noch beispielhaft die Potenzreihendarstellung einiger bekannter Funktionen: === Exponentialfunktion === [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>exp:\mathbb{C} \to \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>: :<math>e^z = \exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = \frac{z^0}{0!} + \frac{z^1}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dotsb</math> für alle <math>x \in \mathbb{C}</math>, d.h., der Konvergenzradius ist unendlich. === Sinusfunktion/Kosinus === [[w:de:Sinus|Sinus]]: :<math>\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}\mp\dotsb </math> [[w:de:Kosinus|Kosinus]]: :<math>\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\mp\dotsb </math> === Animation der Approximation durch eine Taylor-Polynome === In der folgenden Animation wird gezeigt, wie der [[w:de:Kosinus|Kosinus]] schrittweise mit Taylor-Polynome mit wachsendem Grad approximiert wird. [[File:Taylor cos.gif|450px|center|Approximation of cos(z) with a Taylor sum as animation]] === Konvergenzradius für sin, cos, exp === Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist sowohl für den Sinus, Kosinus als auch für die Exponentialfunktion unendlich. Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der [[w:de:Eulersche Formel|eulerschen Formel]] aus der Exponentialfunktion. === Logarithmus === [[w:de:Logarithmus|Logarithmusfunktion]]: :<math>\ln(1+z) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{z^k}{k}= z-\frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} -\frac{z^4}{4}+ \dotsb</math> für <math>|z| < 1</math>, d.&nbsp;h.: Der Konvergenzradius ist 1, für <math>z=1</math> ist die Reihe konvergent, für <math>z=-1</math> divergent. === Wurzel === [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelfunktion]]: :<math>\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 \mp \dotsb </math> für <math>-1 \leq x \leq 1</math>, d.h., der Konvergenzradius in <math>\mathbb{R}</math> ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für <math>x=1</math> als auch für <math>x=-1</math>. == Eigenschaften == Die Potenzreihen ist in der Funktionentheorie von Bedeutung, weil holomorphe Funktionen sich immer lokal in Potenzreihen entwickeln lassen. In dem Kurs werden folgende Themen bearbeitet. === Stetigkeit - Differenzierbarkeit === Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzkreises [[w:de:Normale Konvergenz|normal konvergent]]. Daraus folgt direkt, dass jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist. Des Weiteren folgt daraus, dass auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] vorliegt. Dies rechtfertigt das gliedweise Differenzieren und Integrieren einer Potenzreihe und zeigt, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind. === Absolute Konvergenz === Innerhalb des Konvergenzkreises liegt [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] vor. Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Fällen erlaubt aber der [[w:de:Abelscher Grenzwertsatz|abelsche Grenzwertsatz]], eine Aussage zu treffen. === Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung === Die Potenzreihendarstellung einer Funktion um einen Entwicklungspunkt ist eindeutig bestimmt (Identitätssatz für Potenzreihen). Insbesondere ist für einen gegebenen Entwicklungspunkt die Taylorentwicklung die einzig mögliche Potenzreihenentwicklung. == Operationen mit Potenzreihen == Potenzreihen <math>p</math> kann man als Vektoren in einem Vektorraum <math>(\overline{\mathbb{C}[z]},+,\cdot,\mathbb{C})</math> auffassen. === Potenzreihen als Vektoren in einem Funktionenraum === Seien <math>f</math> und <math>g</math> Funktionen, die durch zwei Potenzreihen :<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n</math> :<math>g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n</math> mit dem Konvergenzradien <math>r_f, r_g > 0 </math> dargestellt werden. === Additions und Multiplikation mit Skalaren === Sind <math>f</math> und <math>g</math> durch zwei Potenzreihen und ist <math>c</math> eine feste komplexe Zahl, dann sind <math>f+g</math> und <math>\lambda \cdot f</math> in Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens <math>r=\min(r_f,r_g)</math> entwickelbar und es gilt: :<math>f(z)+g(z) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (z-z_0)^n</math> :<math>\lambda \cdot f(z) = \sum_{n=0}^\infty (\lambda \cdot a_n) (z-z_0)^n</math> === Multiplikation === Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius <math>r</math> ist eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens <math>r</math> ist. Da im Inneren des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vorliegt, gilt nach der [[w:de:Cauchy-Produktformel|Cauchy-Produktformel]]: :<math>\begin{align} f(z)g(z) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_0)^n\right)\\ &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (z-z_0)^{i+j} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left(\textstyle \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (z-z_0)^n \end{align}</math> ==== Bemerkung - Faltung ==== Dabei wird die durch <math>\textstyle c_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> definierte Folge <math>(c_n)</math> als [[w:de:Faltung (Mathematik)#Diskrete Faltung|Faltung]] oder Konvolution der beiden Folgen <math>(a_n)</math> und <math>(b_n)</math> bezeichnet. === Verkettung === Es gebe zu <math>f</math> und <math>g</math> zwei Potenzreihen :<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_1)^n \mbox{ und } g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_0)^n</math> mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft :<math>b_0 = g(z_0) = z_1</math>. Dann ist die Verkettung <math>f\circ g</math> beider Funktionen lokal wieder eine [[w:de:analytische Funktion|analytische Funktion]] und somit um <math>z_0</math> in eine Potenzreihe entwickelbar: :<math>(f\circ g)(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (z-z_0)^n</math> === Taylorreihe === Nach dem [[w:de:Satz von Taylor|Satz von Taylor]] gilt: :<math>c_n = \frac{(f\circ g)^{(n)}(z_0)}{n!}</math> ==== Anwendung der Formel von Faa die Bruno ==== Mit der [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben, da: :<math> \begin{align} f^{(n)}(g(z_0)) &= f^{(n)}(z_1) \\ &= n!\cdot a_n \\ g^{(m)}(z_0) &= m!\cdot b_m \end{align} </math> ==== Multiindex-Schreibweise ==== Man erhält mit [[w:de:Multiindex|Multiindex]]-Schreibweise: :<math> \begin{align} c_n &=\frac{(f\circ g)^{(n)}(z_0)}{n!} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{f^{(|\boldsymbol{k}|)}(g(z_0))}{\boldsymbol{k}!} \prod_{m=1\atop k_m\ge1}^n \left(\frac{g^{(m)}(z_0)}{m!}\right)^{k_m} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{|\boldsymbol{k}|! \cdot a_{|\boldsymbol{k}|}}{\boldsymbol{k}!} \prod_{ m=1\atop k_m\ge1}^n b_m^{k_m} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} {{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}} \, a_{|\boldsymbol{k}|} \prod_{ m=1\atop k_m\ge1}^n b_m^{k_m} \end{align} </math> ==== Multinomialkoeffizient ==== Dabei ist <math>{{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}}</math> der [[w:de:Multinomialkoeffizient|Multinomialkoeffizient]] zu <math>\boldsymbol{k}</math> und <math>T_{n}=\left\{ \boldsymbol{k}\in\mathbb{N}_{0}^{n} \, \Big | \, \sum_{j=1}^{n}j\cdot k_{j}=n\right\}</math> ist die Menge aller Partitionen von <math>n</math> (siehe [[w:de:Partitionsfunktion|Partitionsfunktion]]). === Differentiation und Integration === Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] ergibt sich durch gliedweise Differentiation: :<math> f^\prime(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n} </math> ==== Höhere Ableitungen ==== Hierbei ist <math>f</math> beliebig oft differenzierbar und es gilt: :<math> f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n </math> Der Konvergenzradius der Ableitung entspricht dem Konvergenzradius der ursprünglichen Reihe. ==== Stammfunktionen von Potenzreihen ==== Analog erhält man eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] durch gliedweise Integration einer Potenzreihe: :<math> \int f(x)\,\text{d}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C </math> Der Konvergenzradius der Stammfunktion entspricht dem Konvergenzradius der ursprünglichen Reihe. == Darstellung von Funktionen als Potenzreihen == Oft ist man zu einer gegebenen Funktion an einer Potenzreihendarstellung interessiert&nbsp;– insbesondere, um die Frage zu beantworten, ob die Funktion [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]] ist. Es gibt einige Strategien, um eine Potenzreihendarstellung zu bestimmen, die allgemeinste mittels der [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]]. Hier tritt aber oft das Problem auf, dass man eine geschlossene Darstellung für die Ableitungen benötigt, die oft schwer zu bestimmen ist. Für [[w:de:gebrochen rationale Funktion|gebrochen rationale Funktion]]en gibt es jedoch einige leichtere Strategien. Als Beispiel soll die Funktion :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}</math> betrachtet werden. ===Mittels der geometrischen Reihe=== Durch Faktorisieren des Nenners und anschließender Anwendung der Formel für Summe einer [[w:de:Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] erhält man eine Darstellung der Funktion als Produkt von unendlichen Reihen: :<math>f(z)=\frac{z^2}{(1-z)(3-z)}=\frac{z^2}{3}\cdot \frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}} = </math> :<math> = \frac{z^2}{3}\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty z^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right)= \frac{1}{3}\left(\sum_{n=2}^\infty z^n \right)\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right) </math> === Produkt der geometrischen Reihen === Beide Reihen sind Potenzreihen um den Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math> und können daher in der oben genannten Weise multipliziert werden. Dasselbe Ergebnis liefert auch die [[w:de:Cauchy-Produktformel|Cauchy-Produktformel]] :<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\sum_{k=0}^n a_k \cdot b_{n-k}}_{c_n} \bigg) \cdot z^n </math> === Koeffizienten der einzelnen Reihen === Es gilt :<math>a_k= \begin{cases} 0 & \text{ für } k\in\{0,1\} \\ 1 & \text{ sonst} \end{cases}</math> und :<math>b_k=\frac{1}{3^k}.</math> === Cauchy-Produktformel === Daraus folgt durch Anwendung der Formel für die Partialsumme einer [[w:de:Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] :<math>c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}= \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{3}\right)^{n-k}=\frac{1}{3^{n-2}}\sum_{k=0}^{n-2} 3^k= -\frac{1-3^{n-1}}{2 \cdot 3^{n-2}}</math> als geschlossene Darstellung für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe. Damit ist die Potenzreihendarstellung der Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gegeben durch :<math>f(z)= \sum_{n=2}^\infty \frac{3}{2} \cdot \left(1-\frac{1}{3^{n-1}} \right) \cdot z^n</math>. === Anwendung geometrischer Reihen oder Koeffizientenvergleich === Alternativ zu geometrische Reihe bietet sich als Alternative der [[w:de:Koeffizientenvergleich|Koeffizientenvergleich]] an: Man nimmt an, dass eine Potenzreihendarstellung für <math>f</math> existiert: :<math>f(z)= \frac{z^2}{z^2-4z+3}= \sum_{n=0}^\infty c_n z^n</math> ==== Unbekannte Koeffizientefolge der Potenzreihe ==== Dabei hat die Funktion <math>f</math> die unbekannte Koeffizientenfolge <math>(c_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>. Nach dem Durchmultiplizieren des Nenners und einer Indexverschiebung ergibt sich die Identität: :<math>\begin{align} z^2 & = (z^2-4z+3) \cdot\sum_{n=0}^\infty c_n z^n \end{align}</math> Dabei wird die Potenzreihe <math>g(z):=z^2=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n</math> als Potenzreihe aufgefasst, bei die Koeffizienten <math>a_n=0</math> für alle <math>n\not=2</math> und <math>a_2=1</math> gilt. ==== Koeffizientenvergleich 1 ==== Zwei Potenzreihen sind gleich, wenn diese koeffizientenweise übereinstimmen. Dies wird unter Anwendung einer Indexverschiebung für die Identität verwendet: :<math>\begin{align} z^2 & = (z^2-4z+3)\sum_{n=0}^\infty c_n z^n \\& = \sum_{n=2}^\infty c_{n-2} z^n - \sum_{n=1}^\infty 4c_{n-1} z^n + \sum_{n=0}^\infty 3c_n z^n \\& = 3c_0+z(3c_1-4c_0) + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2} -4 c_{n-1} +3 c_n)z^n \end{align}</math> ==== Koeffizientenvergleich 2 ==== Dabei wird die Potenzreihe <math>g(z):=z^2</math> mit der Potenzreihe <math>h(z):=3c_0+z(3c_1-4c_0) + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2} -4 c_{n-1} +3 c_n)z^n</math> verglichen. ==== Koeffizientenvergleich 3 - Entwicklungspunkt ==== Beide Potenzreihen haben den gleichen Entwicklungspunkt <math>z_o=0</math>. Daher müssen auch die Koeffizienten beider Potenzreihen übereinstimmen. Also als Kooeffizient von <math>z^0=1</math> muss gelten <math>0=3c_0</math>, für als Kooeffizient von <math>z^1</math> gilt <math>0=3c_1-4c_0</math>, ... ==== Rekursionsformel für Koeffizienten ==== Da aber zwei Potenzreihen genau dann gleich sind, wenn ihre Koeffizientenfolgen übereinstimmen, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich :<math>c_0=0,\ c_1=0,\ c_2=\frac{1}{3}</math> und die Rekursionsgleichung :<math>c_n=\frac{4c_{n-1} - c_{n-2}}{3}</math>, aus der mittels vollständiger Induktion die obige geschlossene Darstellung folgt. === Vorteile Koeffizientenvergleich === Das Vorgehen mittels Koeffizientenvergleiches hat auch den Vorteil, dass andere Entwicklungspunkte als <math>z_0=0</math> möglich sind. Betrachte als Beispiel den Entwicklungspunkt <math>z_1=-1 </math>. Zuerst muss die gebrochen rationale Funktion als Polynom in <math>(z-z_1)=(z+1)</math> dargestellt werden: :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=\frac{(z+1)^2-2(z+1)+1}{(z+1)^2-6(z+1)+8}</math> === Andere Entwicklungspunkte === Analog zu oben nimmt man nun an, dass eine formale Potenzreihe um den Entwicklungspunkt existiert mit unbekannter Koeffizientenfolge und multipliziert mit dem Nenner durch: :<math>\begin{align} (z+1)^2-2(z+1)+1 & = ((z+1)^2 - 6(z+1)+8)\sum_{n=0}^\infty c_n (z+1)^n \\ & = 8c_0+(z+1)(8c_1-6c_0) + \\ & \qquad + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2}-6c_{n-1}+8c_n)(z+1)^n \end{align}</math> Wieder ergibt sich mittels Koeffizientenvergleiches :<math>c_0=\frac{1}{8},\ c_1=-\frac{5}{32},\ c_2=-\frac{1}{128}</math> und als Rekursionsgleichung für die Koeffizienten: :<math>c_n=\frac{-c_{n-2}+6c_{n-1}}{8}</math> === Partialbruchzerlegung === Wendet man auf die gegebene Funktion zuerst [[w:de:Polynomdivision|Polynomdivision]] und dann die [[w:de:Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]] an, so erhält man die Darstellung :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=1+\frac{4z-3}{(z-1)(z-3)}= 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-z} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}</math>. Durch Einsetzen der geometrischen Reihe ergibt sich: :<math>{f(z)=1+\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty z^n - \frac{3}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}z^n = 1+\sum_{n=0}^\infty \frac{3}{2} \cdot\left( 1- \frac{1}{3^{n-1}} \right) z^n}</math> Die ersten drei Folgenglieder der Koeffizientenfolge sind alle null und damit stimmt die hier gegebene Darstellung mit der oberen überein. == Verallgemeinerungen == Potenzreihen lassen sich nicht nur für <math>x \in \mathbb{R}</math> definieren, sondern sind auch verallgemeinerbar. So sind z.&nbsp;B. das [[w:de:Matrixexponential|Matrixexponential]] und der [[w:de:Matrixlogarithmus|Matrixlogarithmus]] Verallgemeinerungen von Potenzreihen auf dem Raum der [[w:de:Matrix (Mathematik)|quadratischen Matrizen]]. Kommen in einer Reihe auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten vor, so spricht man von einer [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]. Erlaubt man den Exponenten, auch gebrochene Werte anzunehmen, handelt es sich um eine [[w:de:Puiseux-Reihe|Puiseux-Reihe]]. [[w:de:Formale Potenzreihe|Formale Potenzreihe]]n werden beispielsweise als [[w:de:erzeugende Funktion|erzeugende Funktion]]en in der [[w:de:Kombinatorik|Kombinatorik]] und der [[w:de:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]] (etwa als [[w:de:wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]]en) verwendet. In der [[w:de:Algebra|Algebra]] werden formale Potenzreihen über allgemeinen [[w:de:Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] untersucht. == Siehe auch == * [[Potenzreihe]] * [[Topologische Algebra#Potenzreihe|Potenzreihen in einer topologischen Algebra]] == Literatur == * Kurt Endl, Wolfgang Luh: ''Analysis II.'' Aula-Verlag 1973, 7. Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85–89, 99. * E. D. Solomentsev: [http://eom.springer.de/P/p074240.htm ''Power series.''] In: ''[[w:de:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]].'' [[Kategorie:Analytische Funktion]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe Potenzreihe] https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe * Datum: 7.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> <noinclude>[[en:Complex Analysis/Power series]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] mr7iyfchh74ha4sjo7ivi4q3j5cnhdg 1114028 1114027 2026-09-02T09:37:24Z ~2026-47548-34 41860 /* Additions und Multiplikation mit Skalaren */ 1114028 wikitext text/x-wiki == Definition == Unter einer '''Potenzreihe''' <math>p(z)</math> versteht man in der [[w:de:Analysis|Analysis]] eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|unendliche Reihe]] der Form :<math>p(z) = \sum_{n=0}^\infty p_n (z-z_0)^n</math> mit * einer beliebigen [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(p_n)_{n \in \mathbb N_0}</math> [[w:de:Reelle Zahl|reeller]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexer]] Zahlen * dem ''Entwicklungspunkt'' <math>z_0 \in \mathbb{R}</math> oder <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> der Potenzreihe. == Bezug zur reellen Analysis == Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und erlauben oft eine sinnvolle Fortsetzung [[w:de:Reelle Funktion|reeller Funktionen]] in die komplexe Zahlenebene. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert. Diese Frage führt zum Begriff des [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]]. == Konvergenzradius == Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt <math>x_0</math> ist die größte Zahl <math>r</math> definiert, für welche die Potenzreihe für alle <math>x</math> mit <math> r > |x-x_0|</math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Die [[w:de:Offene Menge#Metrischer Raum|offene Kugel]] <math>U_r(x_0)</math> mit Radius <math>r</math> um <math>x_0</math> nennt man ''Konvergenzkreis.'' Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle <math>x</math> konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für <math>x_0</math>, so ist der Konvergenzradius 0, die Reihe wird dann manchmal auch ''nirgends konvergent'' genannt. === Berechnung Konvergenzradius - Cauchy-Hadamard === Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius <math>r</math> mit der ''Formel von Cauchy-Hadamard'' berechnen. Es gilt: :<math>r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt[n]{|a_n|}}</math> In diesem Zusammenhang definiert man <math>\tfrac{1}{0} := +\infty</math> und <math>\tfrac{1}{\infty} := 0</math> === Berechnung Konvergenzradius - nichtverschwindenden Koeffizienten === In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nichtverschwindenden Koeffizienten auch einfacher berechnet werden. Es gilt nämlich :<math>r = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,</math> sofern dieser Grenzwert existiert. == Beispiele == Jede [[w:de:Polynom|Polynomfunktion]] lässt sich als Potenzreihe auffassen, bei der [[w:de:fast alle|fast alle]] Koeffizienten <math>a_n</math> gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] und [[w:de:Maclaurinsche Reihe|Maclaurinsche Reihe]]. Funktionen, die sich durch eine Potenzreihe darstellen lassen, werden auch [[w:de:analytische Funktion|analytische Funktion]]en genannt. Hier noch beispielhaft die Potenzreihendarstellung einiger bekannter Funktionen: === Exponentialfunktion === [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>exp:\mathbb{C} \to \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>: :<math>e^z = \exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = \frac{z^0}{0!} + \frac{z^1}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dotsb</math> für alle <math>x \in \mathbb{C}</math>, d.h., der Konvergenzradius ist unendlich. === Sinusfunktion/Kosinus === [[w:de:Sinus|Sinus]]: :<math>\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}\mp\dotsb </math> [[w:de:Kosinus|Kosinus]]: :<math>\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\mp\dotsb </math> === Animation der Approximation durch eine Taylor-Polynome === In der folgenden Animation wird gezeigt, wie der [[w:de:Kosinus|Kosinus]] schrittweise mit Taylor-Polynome mit wachsendem Grad approximiert wird. [[File:Taylor cos.gif|450px|center|Approximation of cos(z) with a Taylor sum as animation]] === Konvergenzradius für sin, cos, exp === Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist sowohl für den Sinus, Kosinus als auch für die Exponentialfunktion unendlich. Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der [[w:de:Eulersche Formel|eulerschen Formel]] aus der Exponentialfunktion. === Logarithmus === [[w:de:Logarithmus|Logarithmusfunktion]]: :<math>\ln(1+z) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{z^k}{k}= z-\frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} -\frac{z^4}{4}+ \dotsb</math> für <math>|z| < 1</math>, d.&nbsp;h.: Der Konvergenzradius ist 1, für <math>z=1</math> ist die Reihe konvergent, für <math>z=-1</math> divergent. === Wurzel === [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelfunktion]]: :<math>\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 \mp \dotsb </math> für <math>-1 \leq x \leq 1</math>, d.h., der Konvergenzradius in <math>\mathbb{R}</math> ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für <math>x=1</math> als auch für <math>x=-1</math>. == Eigenschaften == Die Potenzreihen ist in der Funktionentheorie von Bedeutung, weil holomorphe Funktionen sich immer lokal in Potenzreihen entwickeln lassen. In dem Kurs werden folgende Themen bearbeitet. === Stetigkeit - Differenzierbarkeit === Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzkreises [[w:de:Normale Konvergenz|normal konvergent]]. Daraus folgt direkt, dass jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist. Des Weiteren folgt daraus, dass auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] vorliegt. Dies rechtfertigt das gliedweise Differenzieren und Integrieren einer Potenzreihe und zeigt, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind. === Absolute Konvergenz === Innerhalb des Konvergenzkreises liegt [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] vor. Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Fällen erlaubt aber der [[w:de:Abelscher Grenzwertsatz|abelsche Grenzwertsatz]], eine Aussage zu treffen. === Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung === Die Potenzreihendarstellung einer Funktion um einen Entwicklungspunkt ist eindeutig bestimmt (Identitätssatz für Potenzreihen). Insbesondere ist für einen gegebenen Entwicklungspunkt die Taylorentwicklung die einzig mögliche Potenzreihenentwicklung. == Operationen mit Potenzreihen == Potenzreihen <math>p</math> kann man als Vektoren in einem Vektorraum <math>(\overline{\mathbb{C}[z]},+,\cdot,\mathbb{C})</math> auffassen. === Potenzreihen als Vektoren in einem Funktionenraum === Seien <math>f</math> und <math>g</math> Funktionen, die durch zwei Potenzreihen :<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n</math> :<math>g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n</math> mit dem Konvergenzradien <math>r_f, r_g > 0 </math> dargestellt werden. === Additions und Multiplikation mit Skalaren === Sind <math>f</math> und <math>g</math> durch zwei Potenzreihen und ist <math>c</math> eine feste komplexe Zahl, dann sind <math>f+g</math> und <math>\lambda \cdot f</math> in Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens <math>r</math> entwickelbar und es gilt: :<math>f(z)+g(z) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (z-z_0)^n</math> :<math>\lambda \cdot f(z) = \sum_{n=0}^\infty (\lambda \cdot a_n) (z-z_0)^n</math> === Multiplikation === Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius <math>r</math> ist eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens <math>r</math> ist. Da im Inneren des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vorliegt, gilt nach der [[w:de:Cauchy-Produktformel|Cauchy-Produktformel]]: :<math>\begin{align} f(z)g(z) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_0)^n\right)\\ &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (z-z_0)^{i+j} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left(\textstyle \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (z-z_0)^n \end{align}</math> ==== Bemerkung - Faltung ==== Dabei wird die durch <math>\textstyle c_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> definierte Folge <math>(c_n)</math> als [[w:de:Faltung (Mathematik)#Diskrete Faltung|Faltung]] oder Konvolution der beiden Folgen <math>(a_n)</math> und <math>(b_n)</math> bezeichnet. === Verkettung === Es gebe zu <math>f</math> und <math>g</math> zwei Potenzreihen :<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_1)^n \mbox{ und } g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_0)^n</math> mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft :<math>b_0 = g(z_0) = z_1</math>. Dann ist die Verkettung <math>f\circ g</math> beider Funktionen lokal wieder eine [[w:de:analytische Funktion|analytische Funktion]] und somit um <math>z_0</math> in eine Potenzreihe entwickelbar: :<math>(f\circ g)(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (z-z_0)^n</math> === Taylorreihe === Nach dem [[w:de:Satz von Taylor|Satz von Taylor]] gilt: :<math>c_n = \frac{(f\circ g)^{(n)}(z_0)}{n!}</math> ==== Anwendung der Formel von Faa die Bruno ==== Mit der [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben, da: :<math> \begin{align} f^{(n)}(g(z_0)) &= f^{(n)}(z_1) \\ &= n!\cdot a_n \\ g^{(m)}(z_0) &= m!\cdot b_m \end{align} </math> ==== Multiindex-Schreibweise ==== Man erhält mit [[w:de:Multiindex|Multiindex]]-Schreibweise: :<math> \begin{align} c_n &=\frac{(f\circ g)^{(n)}(z_0)}{n!} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{f^{(|\boldsymbol{k}|)}(g(z_0))}{\boldsymbol{k}!} \prod_{m=1\atop k_m\ge1}^n \left(\frac{g^{(m)}(z_0)}{m!}\right)^{k_m} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{|\boldsymbol{k}|! \cdot a_{|\boldsymbol{k}|}}{\boldsymbol{k}!} \prod_{ m=1\atop k_m\ge1}^n b_m^{k_m} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} {{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}} \, a_{|\boldsymbol{k}|} \prod_{ m=1\atop k_m\ge1}^n b_m^{k_m} \end{align} </math> ==== Multinomialkoeffizient ==== Dabei ist <math>{{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}}</math> der [[w:de:Multinomialkoeffizient|Multinomialkoeffizient]] zu <math>\boldsymbol{k}</math> und <math>T_{n}=\left\{ \boldsymbol{k}\in\mathbb{N}_{0}^{n} \, \Big | \, \sum_{j=1}^{n}j\cdot k_{j}=n\right\}</math> ist die Menge aller Partitionen von <math>n</math> (siehe [[w:de:Partitionsfunktion|Partitionsfunktion]]). === Differentiation und Integration === Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] ergibt sich durch gliedweise Differentiation: :<math> f^\prime(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n} </math> ==== Höhere Ableitungen ==== Hierbei ist <math>f</math> beliebig oft differenzierbar und es gilt: :<math> f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n </math> Der Konvergenzradius der Ableitung entspricht dem Konvergenzradius der ursprünglichen Reihe. ==== Stammfunktionen von Potenzreihen ==== Analog erhält man eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] durch gliedweise Integration einer Potenzreihe: :<math> \int f(x)\,\text{d}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C </math> Der Konvergenzradius der Stammfunktion entspricht dem Konvergenzradius der ursprünglichen Reihe. == Darstellung von Funktionen als Potenzreihen == Oft ist man zu einer gegebenen Funktion an einer Potenzreihendarstellung interessiert&nbsp;– insbesondere, um die Frage zu beantworten, ob die Funktion [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]] ist. Es gibt einige Strategien, um eine Potenzreihendarstellung zu bestimmen, die allgemeinste mittels der [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]]. Hier tritt aber oft das Problem auf, dass man eine geschlossene Darstellung für die Ableitungen benötigt, die oft schwer zu bestimmen ist. Für [[w:de:gebrochen rationale Funktion|gebrochen rationale Funktion]]en gibt es jedoch einige leichtere Strategien. Als Beispiel soll die Funktion :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}</math> betrachtet werden. ===Mittels der geometrischen Reihe=== Durch Faktorisieren des Nenners und anschließender Anwendung der Formel für Summe einer [[w:de:Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] erhält man eine Darstellung der Funktion als Produkt von unendlichen Reihen: :<math>f(z)=\frac{z^2}{(1-z)(3-z)}=\frac{z^2}{3}\cdot \frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}} = </math> :<math> = \frac{z^2}{3}\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty z^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right)= \frac{1}{3}\left(\sum_{n=2}^\infty z^n \right)\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right) </math> === Produkt der geometrischen Reihen === Beide Reihen sind Potenzreihen um den Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math> und können daher in der oben genannten Weise multipliziert werden. Dasselbe Ergebnis liefert auch die [[w:de:Cauchy-Produktformel|Cauchy-Produktformel]] :<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\sum_{k=0}^n a_k \cdot b_{n-k}}_{c_n} \bigg) \cdot z^n </math> === Koeffizienten der einzelnen Reihen === Es gilt :<math>a_k= \begin{cases} 0 & \text{ für } k\in\{0,1\} \\ 1 & \text{ sonst} \end{cases}</math> und :<math>b_k=\frac{1}{3^k}.</math> === Cauchy-Produktformel === Daraus folgt durch Anwendung der Formel für die Partialsumme einer [[w:de:Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] :<math>c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}= \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{3}\right)^{n-k}=\frac{1}{3^{n-2}}\sum_{k=0}^{n-2} 3^k= -\frac{1-3^{n-1}}{2 \cdot 3^{n-2}}</math> als geschlossene Darstellung für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe. Damit ist die Potenzreihendarstellung der Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gegeben durch :<math>f(z)= \sum_{n=2}^\infty \frac{3}{2} \cdot \left(1-\frac{1}{3^{n-1}} \right) \cdot z^n</math>. === Anwendung geometrischer Reihen oder Koeffizientenvergleich === Alternativ zu geometrische Reihe bietet sich als Alternative der [[w:de:Koeffizientenvergleich|Koeffizientenvergleich]] an: Man nimmt an, dass eine Potenzreihendarstellung für <math>f</math> existiert: :<math>f(z)= \frac{z^2}{z^2-4z+3}= \sum_{n=0}^\infty c_n z^n</math> ==== Unbekannte Koeffizientefolge der Potenzreihe ==== Dabei hat die Funktion <math>f</math> die unbekannte Koeffizientenfolge <math>(c_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>. Nach dem Durchmultiplizieren des Nenners und einer Indexverschiebung ergibt sich die Identität: :<math>\begin{align} z^2 & = (z^2-4z+3) \cdot\sum_{n=0}^\infty c_n z^n \end{align}</math> Dabei wird die Potenzreihe <math>g(z):=z^2=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n</math> als Potenzreihe aufgefasst, bei die Koeffizienten <math>a_n=0</math> für alle <math>n\not=2</math> und <math>a_2=1</math> gilt. ==== Koeffizientenvergleich 1 ==== Zwei Potenzreihen sind gleich, wenn diese koeffizientenweise übereinstimmen. Dies wird unter Anwendung einer Indexverschiebung für die Identität verwendet: :<math>\begin{align} z^2 & = (z^2-4z+3)\sum_{n=0}^\infty c_n z^n \\& = \sum_{n=2}^\infty c_{n-2} z^n - \sum_{n=1}^\infty 4c_{n-1} z^n + \sum_{n=0}^\infty 3c_n z^n \\& = 3c_0+z(3c_1-4c_0) + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2} -4 c_{n-1} +3 c_n)z^n \end{align}</math> ==== Koeffizientenvergleich 2 ==== Dabei wird die Potenzreihe <math>g(z):=z^2</math> mit der Potenzreihe <math>h(z):=3c_0+z(3c_1-4c_0) + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2} -4 c_{n-1} +3 c_n)z^n</math> verglichen. ==== Koeffizientenvergleich 3 - Entwicklungspunkt ==== Beide Potenzreihen haben den gleichen Entwicklungspunkt <math>z_o=0</math>. Daher müssen auch die Koeffizienten beider Potenzreihen übereinstimmen. Also als Kooeffizient von <math>z^0=1</math> muss gelten <math>0=3c_0</math>, für als Kooeffizient von <math>z^1</math> gilt <math>0=3c_1-4c_0</math>, ... ==== Rekursionsformel für Koeffizienten ==== Da aber zwei Potenzreihen genau dann gleich sind, wenn ihre Koeffizientenfolgen übereinstimmen, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich :<math>c_0=0,\ c_1=0,\ c_2=\frac{1}{3}</math> und die Rekursionsgleichung :<math>c_n=\frac{4c_{n-1} - c_{n-2}}{3}</math>, aus der mittels vollständiger Induktion die obige geschlossene Darstellung folgt. === Vorteile Koeffizientenvergleich === Das Vorgehen mittels Koeffizientenvergleiches hat auch den Vorteil, dass andere Entwicklungspunkte als <math>z_0=0</math> möglich sind. Betrachte als Beispiel den Entwicklungspunkt <math>z_1=-1 </math>. Zuerst muss die gebrochen rationale Funktion als Polynom in <math>(z-z_1)=(z+1)</math> dargestellt werden: :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=\frac{(z+1)^2-2(z+1)+1}{(z+1)^2-6(z+1)+8}</math> === Andere Entwicklungspunkte === Analog zu oben nimmt man nun an, dass eine formale Potenzreihe um den Entwicklungspunkt existiert mit unbekannter Koeffizientenfolge und multipliziert mit dem Nenner durch: :<math>\begin{align} (z+1)^2-2(z+1)+1 & = ((z+1)^2 - 6(z+1)+8)\sum_{n=0}^\infty c_n (z+1)^n \\ & = 8c_0+(z+1)(8c_1-6c_0) + \\ & \qquad + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2}-6c_{n-1}+8c_n)(z+1)^n \end{align}</math> Wieder ergibt sich mittels Koeffizientenvergleiches :<math>c_0=\frac{1}{8},\ c_1=-\frac{5}{32},\ c_2=-\frac{1}{128}</math> und als Rekursionsgleichung für die Koeffizienten: :<math>c_n=\frac{-c_{n-2}+6c_{n-1}}{8}</math> === Partialbruchzerlegung === Wendet man auf die gegebene Funktion zuerst [[w:de:Polynomdivision|Polynomdivision]] und dann die [[w:de:Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]] an, so erhält man die Darstellung :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=1+\frac{4z-3}{(z-1)(z-3)}= 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-z} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}</math>. Durch Einsetzen der geometrischen Reihe ergibt sich: :<math>{f(z)=1+\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty z^n - \frac{3}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}z^n = 1+\sum_{n=0}^\infty \frac{3}{2} \cdot\left( 1- \frac{1}{3^{n-1}} \right) z^n}</math> Die ersten drei Folgenglieder der Koeffizientenfolge sind alle null und damit stimmt die hier gegebene Darstellung mit der oberen überein. == Verallgemeinerungen == Potenzreihen lassen sich nicht nur für <math>x \in \mathbb{R}</math> definieren, sondern sind auch verallgemeinerbar. So sind z.&nbsp;B. das [[w:de:Matrixexponential|Matrixexponential]] und der [[w:de:Matrixlogarithmus|Matrixlogarithmus]] Verallgemeinerungen von Potenzreihen auf dem Raum der [[w:de:Matrix (Mathematik)|quadratischen Matrizen]]. Kommen in einer Reihe auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten vor, so spricht man von einer [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]. Erlaubt man den Exponenten, auch gebrochene Werte anzunehmen, handelt es sich um eine [[w:de:Puiseux-Reihe|Puiseux-Reihe]]. [[w:de:Formale Potenzreihe|Formale Potenzreihe]]n werden beispielsweise als [[w:de:erzeugende Funktion|erzeugende Funktion]]en in der [[w:de:Kombinatorik|Kombinatorik]] und der [[w:de:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]] (etwa als [[w:de:wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]]en) verwendet. In der [[w:de:Algebra|Algebra]] werden formale Potenzreihen über allgemeinen [[w:de:Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] untersucht. == Siehe auch == * [[Potenzreihe]] * [[Topologische Algebra#Potenzreihe|Potenzreihen in einer topologischen Algebra]] == Literatur == * Kurt Endl, Wolfgang Luh: ''Analysis II.'' Aula-Verlag 1973, 7. Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85–89, 99. * E. D. Solomentsev: [http://eom.springer.de/P/p074240.htm ''Power series.''] In: ''[[w:de:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]].'' [[Kategorie:Analytische Funktion]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe Potenzreihe] https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe * Datum: 7.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> <noinclude>[[en:Complex Analysis/Power series]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] i6765h0132npv4izzjhvyjz71ae84d6 0 128943 1114008 1113564 2026-09-01T17:27:40Z Jeb 26942 1. September 1114008 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 1. September == ; Tafellieder Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 6hvrcq78rfxza1fr3x9j0b2buodfvgs 106 129983 1114035 1065627 2026-09-02T10:01:27Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - reguläre / singuläre Elemente */ 1114035 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein topologische Algebra <math>A</math> ist zunächst einmal eine [[topologischer Vektorraum]], der zusätzliche innere Verknüpfung <math>\cdot : A \times A \to A</math> als Multiplikation auf <math>A</math>, auf der alle Verknüfungen stetig sind. Daher wird zunächst der Begriff topologischer Vektorraum definiert. == Definition: Topologischer Vektorraum == Ein topologischer [[w:de:Vektorraum#Definition|Vektorraum]] <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> über <math>\mathbb{K}</math> ist ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>, der eine [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|Topologie]] <math>\mathcal{T}</math> besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind. :<math> \begin{array}{rcl} \cdot : \mathbb{K} \times V &\longrightarrow & V \quad (\lambda,v) \longmapsto \lambda \cdot v \\ + : V \times V &\longrightarrow & V \quad (v,w) \longmapsto v+w \end{array} </math> Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die [[Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] vorausgesetzt sein. === Klassen von topologischen Vektorräumen === * <math>\mathcal{N}</math> [[Norm (Mathematik)|normierter Vektorraum]] * <math>\mathcal{P}</math> [[lokal beschränkt|lokal beschränkter Vektorraum]] * <math>\mathcal{LC}</math> [[lokalkonvex|lokalkonvexer Vektorraum]] * <math>\mathcal{PC}</math> [[pseudokonvex|pseudokonvexer Vektorraum]] * <math>\mathcal{MLC}</math> [[lokalkonvex|multiplikativer lokalkonvexer Vektorraum]] * <math>\mathcal{MPC}</math> [[pseudokonvex|multiplikativer pseudokonvexer Vektorraum]] === Wege in topologischen Vektorräumen === [[Stetigkeit|Stetige Abbildungen]] <math>\gamma:[a,b] \to V</math> von einem Intervall in den Vektorraum <math>V</math> nennt man [[Topologischer Vektorraum/Weg|Wege]], über die man auch in allgemeiner Form [[Wegintegral|Wegintegrale]] berechnen kann (siehe [[Topologischer Vektorraum/Weg|Wege in topologischen Vektorräumen]]). == Definition: Umgebungen== Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum mit einer Topologie <math>\mathcal{T}</math> als System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}\subset \wp(X)</math> und <math>a\in X</math>, dann bezeichnet * <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) := \left\{ U \subseteq X \, : \, \exists_{U_o \in \mathcal{T}} :\, a \in U_o \subseteq U \right\}</math> die Menge aller Umgebungen vom Punkt <math>a</math>, * <math>\stackrel{o}{\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}} (a):= \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) \cap \mathcal{T}</math> die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt <math>a</math>, * <math>\overline{\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}} (a) := \left\{ \overline{U} \, : \, U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) \right\}</math> die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt <math>a</math> === Bemerkung: Indizierung mit der Topologie === Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index <math>\mathcal{T}</math> als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben. === Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung === Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur <math>\varepsilon</math>-Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a)</math> eine Indexschranke <math>i_U\in I</math> eines Netzes <math>(x_i)_{i\in I}</math> finden, ab der alle <math>x_i \in U</math> liegen mit <math>i \geq i_U</math>. Da die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle <math>\varepsilon > 0</math> zu zeigen. == Konvergenz in topologischen Räumen == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum, <math>a\in X</math>, <math>I</math> eine Indexmenge (partielle Ordnung) und <math>(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}</math> ein Netz. Die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] von <math>(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}</math> gegen <math>a\in X</math> wird dann wie folgt definiert: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \displaystyle{\stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\in I}} \, x_i = a } & :\Longleftrightarrow & \underset{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a)}{\forall} \,\,\,\, \underset{i_U \in I}{\exists} \,\,\,\, \underset{i \succcurlyeq i_U}{\forall} \,\,\,\, x_i \in U \\ \end{array} </math>. (dabei ist "<math>\preccurlyeq</math>" für <math>I</math> die partiellle Ordnung auf der Indexmenge <math>I</math>). === Konvergenz über Gaugefunktionalsysteme === Sei <math>(V,\|\cdot \|_\mathcal{A})</math> ein topologischer Raum mit, <math>v_o\in V</math>, <math>I</math> eine Indexmenge (partielle Ordnung) und <math>(v_{i})_{i\in I}\in V^{I}</math> ein Netz. Die Konvergenz von <math>(v_{i})_{i\in I}\in V^{I}</math> gegen <math>v_o\in V</math> wird dann wie folgt definiert: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \displaystyle{\stackrel{,\|\cdot \|_\mathcal{A}}{\lim_{i\in I}} \, v_i = v_o } & :\Longleftrightarrow & \underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{i_{(\alpha,\varepsilon)} \in I}{\exists} \,\,\,\, \underset{i \succcurlyeq i_{(\alpha,\varepsilon)} }{\forall} \,\,\,\, \| x_i - v_o \| < \varepsilon \\ \end{array} </math>. (dabei ist "<math>\preccurlyeq</math>" für <math>I</math> die partiellle Ordnung auf der Indexmenge <math>I</math>). == Definiton: Umgebungsbasis == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum, <math>a\in X</math> und <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math> die Menge aller Umgebungen von <math>a\in X</math>. <math>\mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a) </math> heißt Umgebungsbasis von <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math>, wenn es zu jedem :<math>\mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a) \subseteq \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) \wedge \forall_{U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a)} \exists_{B \in \mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a)}: \, B \subseteq U</math> === Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen === Sei <math>(V,\| \cdot \|)</math> ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], dann bilden die <math>\varepsilon</math>-Kugeln :<math>B_\varepsilon^{\| \cdot \|}(a) := \left\{v\in V\, ; \, \|v-a\| < \varepsilon \right\}</math> eine Umgebungsbasis von <math>\mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a) </math> der Menge aller Umgebungen von <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math> von <math>a\in V</math>. === Aufgabe 1 === Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein [[Normen,_Metriken,_Topologie#Definition_-_Topologie|toplogischer Raum]] mit der chaotischen Topologie <math>\mathcal{T}:= \{\emptyset, X\}</math>. * Bestimmen Sie <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math> für ein beliebiges <math>a \in X</math>. * Zeigen Sie, dass jede Folge <math>(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}\in X^{\mathbb{N}}</math> in <math>(X,\mathcal{T})</math> gegen einen beliebigen Grenzwert <math>a \in X</math> konvergiert. === Aufgabe 2 === Sei <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik: :<math>d(x,y):= \left\{\begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ für } & x = y \\ 1 & \mbox{ für } & x \not= y \\ \end{array}\right.</math>. * Bestimmen Sie <math>\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (a) </math> für ein beliebiges <math>a \in X</math>. * Aus wie vielen Mengen besteht <math>\mathfrak{B}_{\mathcal{T}} (a) </math> minimal für ein beliebiges <math>a \in X</math>? * Geben Sie alle Folgen <math>(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}\in X^{\mathbb{N}}</math> in <math>(X,d)</math> formal an, die gegen einen Grenzwert <math>a \in X</math> konvergieren! == Definition: Offene Mengen == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]] und <math>\mathcal{T}\subseteq \wp(X)</math> ist das System der offenen Mengen, d.h.: :<math> U\subseteq X \mbox{ offen } :\Longleftrightarrow U \in \mathcal{T}</math> == Aufgabe == Sei <math>(\mathbb{R},\mathcal{T})</math> ein [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]] auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag <math>|\cdot |</math>, sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert. :<math> U \in \mathcal{T} \mbox{ offen } :\Longleftrightarrow U=\emptyset \mbox{ oder } U\subseteq \mathbb{R} \, \mbox{ mit } \, U^c \mbox{ abzählbar}</math> * Zeigen Sie, dass <math>(\mathbb{R},\mathcal{T})</math> die Eigenschaften eines [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raumes]] (T1), (T2), (T3) erfüllt. * Zeigen Sie, dass die Folge <math>\left( \frac{1}{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}</math> in dem topologischen Raum <math>(\mathbb{R},\mathcal{T})</math> nicht gegen <math>0</math> konvergiert. Dabei ist <math> U^c := \mathbb{R}\setminus U</math> das Komplement von <math>U</math> in <math>\mathbb{R}</math>. == Bemerkung: offen - abgeschlossen == Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie <math>\mathcal{T}\subseteq \wp(X)</math> sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente. == Definition: Abgeschlossene Mengen == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]] und <math>\mathcal{T}\subseteq \wp (X)</math> ist das System der offenen Mengen. :<math> M \subseteq X \mbox{ abgeschlossen } :\Longleftrightarrow \exists_{U \in \mathcal{T}} : \, M = U^c := X\setminus U</math> == Definition: Offener Kern == Sei <math>(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum und <math>M\subset V</math>, dann ist der offene Kern <math>\stackrel{\circ}{M}</math> von <math>M</math> die Vereinigung aller offenen Teilmengen von <math>M</math>. :<math display="block"> \stackrel{\circ}{M} := \bigcup_{U \in \mathcal{T}, U\subseteq M} U </math> == Definition: Abgeschlossene Hülle == Sei <math>(X,\mathcal{T})</math> ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle <math>\overline{M}</math> von <math>M</math> ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von <math>W= U^c</math>, die <math>M</math> enthalten und <math>U</math> offen ist. :<math display="block"> \overline{M} := \bigcap_{U \in \mathcal{T}, U^c := X\setminus U \supseteq M} U^c </math> == Definition: Rand einer Menge == Der topologische Rand <math>\partial M</math> von <math>M</math> ist wie folgt definiert: : <math display="block">\partial M := \overline{M} \backslash \stackrel{\circ}{M}</math> == Bemerkung: Folgen und Netze == In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern. == Netze und Konvergenz == Sei <math>T</math> ein topologischer Raum und <math>I</math> eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet <math>T^I</math> die Menge aller mit <math>I</math> indizierten Familien in <math>T</math>: :<math display="block"> T^I :=\{(t_i)_{i\in I}:t_i\in T \mbox{ für alle }i\in I\} </math> Siehe dazu auch [[Netze (Mathematik)|Netze]], [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und [[Konvergenz gegen Unendlich]]. == Definition: endliche Folgen == Sei <math>V</math> ein Vektorraum, dann bezeichnet <math>c_{oo}(V)</math> die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in <math>V</math>: :<math display="block"> c_{oo}(V):=\left\{ (v_n)_{n\in \mathbb{N}_0} \in V^{\mathbb{N}_0}: \exists_{\displaystyle N\in \mathbb{N}_0} \forall_{\displaystyle n\geq N} : \, v_n=0_{_V} \right\}. </math> Dabei ist <math>0_{_V}\in V</math> der [[w:de:Nullvektor|Nullvektor]] in <math>V</math>. Der Nullvektor in <math>c_{oo}(V)</math> ist <math>0_{oo}:= (0_{_V})_{n\in \mathbb{N}_0} \in V^{\mathbb{N}_0}</math>. == Definition: Algebra == Eine Algebra <math>A</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> ist ein Vektorraum über <math>\mathbb{K}</math>, in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung :<math display="block"> \cdot : A \times A \longrightarrow A \quad (v,w) \longmapsto v\cdot w </math> definiert ist, bei der für alle <math>x,y,z\in A</math> und <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> folgende Eigenschaften erfüllt sind: :<math> \begin{array}{rcl} x\cdot (y\cdot z) &=& (x\cdot y)\cdot z\\ x\cdot (y+z) &=& x\cdot y + x \cdot z \\ (x+y)\cdot z &=& x\cdot z + y\cdot z \\ \lambda \cdot (x\cdot y) &=& (\lambda \cdot x)\cdot y = x\cdot (\lambda \cdot y) \end{array} </math> == Definition: Topologische Algebra == Eine topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> ist ein [[topologischer Vektorraum|topologischer Vektorraum]] <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> über <math>\mathbb{K}</math>, bei dem auch die Multiplikation :<math display="block"> \cdot : A \times A \longrightarrow A \quad (v,w) \longmapsto v\cdot w </math> eine [[Stetigkeit|stetige]] innere Verknüfung ist. === Stetigkeit der Multiplikation === [[Stetigkeit]] der Multiplikation bedeutet dabei: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}\, (0)} \exists_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}\, (0)} : V\cdot V = V^2 \subset U </math> === Multiplikative Topologie - Stetigkeit === Die [[Normen, Metriken, Topologie#Topologie|Topologie]] nennt man multiplikativ, falls gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}\, (0)} \exists_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}\, (0)} : V^2 \subset V \subset U </math> === Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale === Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]], dass sich die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] auch durch ein System von [[Gaugefunktional|Gaugefunktionalen]] erzeugt werden kann. Bei multiplikativen Topologien kann man die Topologie [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikativen]] Gaugefunktionalen erzeugen, sodass für alle Gaugefunktionale <math>\|\cdot\|_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> und alle <math>x,y \in A</math> gilt: :<math> \|x\cdot y\|_\alpha \leq \|x\|_\alpha \cdot \|y\|_\alpha </math> :<math> </math> == Unitale Algebra == Für eine unitale Algebra <math>A</math> gibt es ein neutrales Element <math>e\in A</math> der Multiplikation :<math display="block"> \cdot : A \times A \longrightarrow A \quad (v,w) \longmapsto v\cdot w </math> Für unitale topologische Algebren gibt eine weitere notwendige Bedingung an die Topologie, damit zumindest der Nullvektor <math>0_{_A}\in A</math> und das neutrale Element der Multiplikation getrennt werden können. Dies wird durch die folgenden Definition präzisiert. === Definition - Unitale Algebra === Die Algebra <math>A</math> heißt ''unital'', falls diese ein neutrales Element <math>e\in A</math> der Multiplikation besitzt. <span id="unitale_topologische_Algebra"></span> === Definition - Unitale topologische Algebra === Die topologische Algebra <math>(A,\mathcal{T})</math> heißt ''unital'', falls diese ein neutrales Element <math>e\in A</math> der Multiplikation besitzt und eine [[Nullumgebung]] <math>U\in \mathcal{T}</math> mit <math> e\notin U</math> existiert. ==== Bemerkung - Topologische Trennung von Nullvektor und Einselement ==== Die Bedingung mit der Nullumgebung liefert, dass man den Nullvektor <math>0_{_A}</math> als neutrales Element der Addition und das Einselement <math>e</math> als neutrales Element der Multiplikation topologisch trennen kann. Die [[topologische Algebra]] insgesamt muss dabei nicht notwendig eine [[Hausdorff-Raum]] sein. === Definition - reguläre / singuläre Elemente === Sei <math>A</math> eine unitale Algebra mit dem neutralen Element <math>e\in A</math> der Multiplikation. Ein Element <math>z\in A</math> heißt ''invertierbar/regulär'', wenn es ein Element <math>\widehat{z\,}\in A</math> gibt mit: :<math> e = z\cdot \widehat{z\,} = \widehat{z\,}\cdot z </math> Bei Existenz des multiplikativen Inversern wird diese i.d.R. mit <math>z^{-1}</math> bezeichnet. Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit <math>{\mathcal{G}} (A)</math> bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär. === Definition - Potenzen von Elemente === Sei <math>A</math> eine unitale Algebra mit dem neutralen Element <math>e\in A</math> der Multiplikation. Potenzen werden auf der Algebra <math>A</math> induktiv definiert mit :<math>\underset{x\in A}{\forall} \,\,\,\,\, x^0:=e \,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\, x^{n+1} := x^{n} \cdot x</math> === Definition - Polynome in A === Sei <math>A</math> eine unitale Algebra mit dem neutralen Element <math>e\in A</math>. Ein Polynom <math>p</math> auf <math>A</math> mit Koeffizienten in <math>A</math> ist für <math>p_0,\ldots , p_n \in A</math> eine Abbildung: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & A & \rightarrow & A \\ & x & \mapsto & p(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n p_k \cdot x^k \end{array} </math> Die Menge aller Polynome mit Argument <math>x \in A</math> und Koeffizienten <math>p_k</math> in <math>A</math> wird mit <math>A[x]</math> bezeichnet. === Definition - Unitale topologische Algebra === Auf [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> mit einem Einselement <math>e\in A</math> als neutrales Element der Multiplikation heißt ''unitale topologische Algebra'', wenn es eine Nullumgebung <math>U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0_{_A})</math>, mit <math>e\notin U</math>. ==== Bemerkung - Trennung von Nullvektor und Einselement ==== In [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] <math>(A,\mathcal{T})</math> die zugleich auch ein [[Hausdorff-Raum]] ist, gilt die gefordert [[w:de:Trennungsaxiom|Trennungseigenschaft]] (<math>T_1</math>) in natürlicher Weise. Für eine topologische Algebra verlangt man aber nicht notwendigerweise bestimmt Trennungseigenschaften für den gesamten Raum, sondern nur für das Einselement <math>e</math> und den Nullvektor <math>0_{_A}\in A</math>. === Unitale topologische Algebra - Gaugefunktionalsystem === Gibt es auf [[topologische Algebra|topologischen Algebra]] <math>(A,\mathcal{T})</math> ein Gaugefunktionalsystem bzw. <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> den Nullvektor <math>0_{_A} \in A</math> und das Einselement <math>e\in A</math> trennen können, d.h. man muss einen <math>\alpha_e \in I</math> finden, für <math>\| e\|_{\alpha_e} > 0</math>. === LC-Algebra === Eine topologische Algebra heißt [[lokalkonvex]] bzw. <math>\mathcal{LC}</math>, wenn die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch ein [[Halbnorm|Halbnormensystem]] erzeugt wird. === PC-Algebra === Eine topologische Algebra heißt [[pseudokonvex]] bzw. <math>\mathcal{PC}</math>, wenn die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch ein [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikatives]] [[p-Halbnorm|p-Halbnormensystem]] erzeugt wird. === MLC-Algebra === Eine topologische Algebra heißt ''multiplikativ lokalkonvex'' bzw. <math>\mathcal{MLC}</math>, wenn die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch ein [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikatives]] [[Halbnorm|Halbnormensystem]] erzeugt wird. === MPC-Algebra === Eine topologische Algebra heißt ''multiplikativ pseudokonvex'' bzw. <math>\mathcal{MPC}</math>, wenn die Topologie <math>\mathcal{T}</math> durch ein [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikatives]] [[p-Halbnorm|p-Halbnormensystem]] erzeugt wird. === Aufgabe: Matrixalgebren === Betrachten Sie die Menge <math>V</math> der quadratischen <math>2\times 2</math>-Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen (<math>V</math> ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass <math>V</math> mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]]. === Faltung auf dem Funktionenraum === Siehe auch die [[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung von Funktionen]] als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum. == Definition: Mengen und Verknüpfungen == Sei <math>(A,\mathcal{T})</math> eine topologische Algebra über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>, <math>\Lambda\subset \mathbb{K}</math> und <math>M_1,M_2</math> Teilmengen von <math>A</math>, dann definiert man :<math> \begin{array}{rcl} M_1 \times M_2 &:=& \{ (m_1,m_2) \in A \times A \,:\, m_1\in M_1 \wedge m_2 \in M_2\} \\ M_1+ M_2 &:=& \{ m_1+m_2 \,:\, m_1\in M_1 \wedge m_2 \in M_2\} \\ M_1\cdot M_2 &:=& \{m_1\cdot m_2 \,:\, m_1\in M_1 \wedge m_2 \in M_2\}\\ \Lambda \cdot M_1 &.=& \{\lambda\cdot m_1 \,:\, m_1\in M_1 \wedge \lambda \in \Lambda\}. \\ \end{array} </math> === Aufgaben === Zeichnen Sie die folgenden Menge <math>M_k</math> der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem <math>\mathbb{R}^2</math> mit <math>M_1 := \left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \right\}</math> und <math>M_2 := \left\{ \begin{pmatrix} 3\\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \right\}</math> und den folgenden Intervallen <math>[a,b] \in \mathbb{R}</math>: * <math>[1,4] \times [2,3]</math> * <math> M_1+ M_2 </math> * <math> [1,2] \cdot M_1</math> == Potenzreihen == Sei <math>(A,\mathcal{T})</math> eine topologische Algebra mit Topologie <math>\mathcal{T}</math> mit einem neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math>. === Potenzen === Da eine innere multiplikative Verknüpfung <math>\cdot: V \times V \to V </math> existiert, kann man Potenzen induktiv definieren: * <math> z^0 := e </math> für alle <math> z \in A</math> * <math> z^{n+1} := z^n \cdot z </math> für alle <math> z \in A</math>. Insbesondere gilt dann <math>z^1 = z</math> für alle <math> z \in A</math>. === Polynome in A === Zusammen mit der Addition als innere Verknüpfung in <math>A</math> kann man Polynome <math>p</math> mit Koeffizienten in <math>A</math> definieren: :<math> p^{(n)}(z) := \sum_{k=0}^n p_k \cdot (z-z_o)^k </math> Das Polynom als Abbildung <math>p^{(n)}:A \to A</math> ist eine stetige Abbildung in der Algebra <math>A</math>, da die algebraischen Verknüpfungen auf einer topologischen Algebra selbst stetig sind. === Polynomalgebra mit Koeffizienten in A === Sei <math>(A,\mathcal{T})</math> eine topologische Algebra mit Topologie <math>\mathcal{T}</math> mit einem neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math>, dann wird die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>A</math> mit <math>A[z]</math> bezeichnet. Mit dem Cauchy-Produkt bildet <math>A[z]</math> eine [[Polynomalgebra]]. === Potenzreihe - Folge von Partialsummen 1 === Betrachtet man die Polynome :<math> p^{(n)}(z) := \sum_{k=0}^n p_k \cdot (z-z_o)^k </math> als Partialsumme einer Potenzreihe, so kann man untersuchen, ob für ein festes Element <math>z\in A</math> die Folge <math>(p^{(n)}(z))_{n\in \mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}} </math> in der auf <math>A</math> gegebenen Topologie <math>\mathcal{T}</math> konvergiert. === Potenzreihe - Folge von Partialsummen 2 === Liegt Konvergenz für <math>z\in A</math> vor, so kann man den Wert der Potenzreihe wie folgt definieren: :<math> p(z) := \sum_{k=0}^\infty p_k \cdot (z-z_o)^k = \lim_{n\to \infty} \underbrace{\sum_{k=0}^n p_k \cdot (z-z_o)^k}_{=p^{(n)}(z)} </math> === Potenzreihenalgebra mit Koeffizienten in A === Sei <math>(A,\mathcal{T})</math> eine topologische Algebra mit Topologie <math>\mathcal{T}</math> mit einem neutralen Element der Multiplikation <math>e\in A</math>, dann wird die Menge der Potenzreihen mit <math>\overline{A[z]}</math> bezeichnet. Mit dem Cauchy-Produkt bildet <math>\overline{A[z]}</math> eine [[Potenzreihenalgebra]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes_Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Beispiele für Vektorräume]] * [[Gaugefunktional]] * [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikatives Gaugefunktional]] * [[w:de:Hausdorff-Raum|Hausdorffeigenschaft]] * [[lokalkonvex|Lokalkonvexe Vektorräume]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung_Cauchy-Produkt_-_T-Regularität#Kaskadenlemma_-_Cauchy-Produkt|Lemma - Kaskadensummen Gaugefunktionale]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowski-Funktionale]] * [[Netze (Mathematik)]] * [[Norm (Mathematik)|normierter Vektorraum]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[pseudokonvex|Pseudokonvexe Vektorräume]] * [[Polynomalgebra]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Gaugefunktional/submultiplikativ|submultiplikative Gaugefunktionale]] * [[Normen,_Metriken,_Topologie#Topologie|Topologischer Raum]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] * [[topologische Algebra]] * [[Topologischer Vektorraum]] * [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] * [[Topologischer Vektorraum/Weg|Wege in topologischen Vektorräumen]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] [[Category:Analytische Funktion]] <noinclude> [[en:Inverse-producing_extensions_of_Topological_Algebras/topological_algebra]] </noinclude> c8pf4im0ykatlcqcafbbahqcfh90g19 0 147624 1114029 939096 2026-09-02T09:43:26Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - Hausdorff-Raum */ 1114029 wikitext text/x-wiki == Definition - Hausdorff-Raum == Sei <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> ein topologischer Raum mit <math>\mathcal{T}\subseteq \wp(X)</math> als System von offenen Mengen. <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> heißt Hausdorff-Raum bzw. <math>T_2</math>-Raum, wenn es für zwei beliebige Punkte <math>x,y \in X </math> mit <math>x< \neq y</math> offene Mengen <math>U , V \in \mathcal{T}_X </math> gibt, mit: :<math> x \in U \, \wedge \, y \in V \, \wedge \, U \cap V = \emptyset </math> === Graphische Darstellung der Hausdorff-Eigenschaft === [[Datei:Hausdorff space.png|350px|Hausdorff-Raum Visualisierung der Eigenschaft]] == Aufgaben == * Definieren Sie unterschiedliche Topologie auf der Menge der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> von dem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>, die die Hausdorff-Trennungseigenschaften besitzen. * Sei <math>\mathcal{I}([a,b],\mathbb{R})</math> die Menge der integrablen Funktion von dem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[Halbnorm]] ::<math>\|f\|_1 := \int_a^b |f(x)| \, dx. </math> : Zeigen Sie, dass <math>\mathcal{I}([a,b],\mathbb{R})</math> mit der durch <math>\|\cdot \|_1</math> definierten [[Halbnorm]], die Hausdorff-Trennungseigenschaften '''nicht''' besitzt. == Siehe auch == * [[Topologie/Topologischer Raum/Definition|Topologischer Raum]] * [[Halbnorm]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] pdunl98mg7n5v7725n5999501oxcdzc 1114030 1114029 2026-09-02T09:43:49Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - Hausdorff-Raum */ 1114030 wikitext text/x-wiki == Definition - Hausdorff-Raum == Sei <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> ein topologischer Raum mit <math>\mathcal{T}\subseteq \wp(X)</math> als System von offenen Mengen. <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> heißt Hausdorff-Raum bzw. <math>T_2</math>-Raum, wenn es für zwei beliebige Punkte <math>x,y \in X </math> mit <math>x \neq y</math> offene Mengen <math>U , V \in \mathcal{T}_X </math> gibt, mit: :<math> x \in U \, \wedge \, y \in V \, \wedge \, U \cap V = \emptyset </math> === Graphische Darstellung der Hausdorff-Eigenschaft === [[Datei:Hausdorff space.png|350px|Hausdorff-Raum Visualisierung der Eigenschaft]] == Aufgaben == * Definieren Sie unterschiedliche Topologie auf der Menge der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> von dem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>, die die Hausdorff-Trennungseigenschaften besitzen. * Sei <math>\mathcal{I}([a,b],\mathbb{R})</math> die Menge der integrablen Funktion von dem Intervall <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[Halbnorm]] ::<math>\|f\|_1 := \int_a^b |f(x)| \, dx. </math> : Zeigen Sie, dass <math>\mathcal{I}([a,b],\mathbb{R})</math> mit der durch <math>\|\cdot \|_1</math> definierten [[Halbnorm]], die Hausdorff-Trennungseigenschaften '''nicht''' besitzt. == Siehe auch == * [[Topologie/Topologischer Raum/Definition|Topologischer Raum]] * [[Halbnorm]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] fc94ln4zi0lpsj93grc146v2zi59wtf 0 167256 1114013 1111981 2026-09-02T08:33:25Z ~2026-47548-34 41860 /* Wegabhängigkeit - Risikofunktion */ 1114013 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der Substitutionregel in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math>. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]. Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion $R$ entlang $\gamma$ über $T$ wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. === == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>r</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>r</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2pt3xvyraujjyxvrtv8scpqjfydxq0k 1114014 1114013 2026-09-02T08:36:41Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - Genetische Algorithmen */ 1114014 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der Substitutionregel in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math>. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion $R$ entlang $\gamma$ über $T$ wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. === == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>r</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>r</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] evq6wu6hu9b5bpzde9bga3lixoud388 1114015 1114014 2026-09-02T08:37:18Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - Genetische Algorithmen */ 1114015 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der Substitutionregel in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion $R$ entlang $\gamma$ über $T$ wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. === == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>r</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>r</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] oyf3hcbcwqj1h7esaspkvjfw0u07i0a 1114016 1114015 2026-09-02T08:39:47Z ~2026-47548-34 41860 /* Wegintegral */ 1114016 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der Substitutionregel in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. === == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>r</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>r</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3r2u50i6dqxmklx79dxa2fi751laqg6 1114017 1114016 2026-09-02T08:42:28Z ~2026-47548-34 41860 /* Eigenschaften */ 1114017 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der Substitutionregel in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. === == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kgo41le04398crqgduhpf0yfm546nua 106 167874 1114036 1062330 2026-09-02T10:47:58Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1114036 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Anschaulich sind Mengen ''einfach zusammenhängend'' die keine "Löcher" haben. Der Begriff ''einfach zusammenhängend'' ist für die [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] im Zusammenhang mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]] wesentlich, da sich in "Löchern" Singularitäten befinden können, die bei der Umrundung einen Beitrag zum Integral liefern und deshalb die Bedingung :<math> \oint_\gamma f(z) \, dz = 0 </math> verletzen. === Veranschaulichung === Die Mengen <math>C</math> und das Komplement <math>C^c</math> sind jeweils einfach zusammenhängend. Für die Menge <math>C</math> liegt das an der rechts eingegfügten Trennlinie, die eine Umrundung des Komplementes unmöglich macht. Dagegen sind weder die Menge <math>D</math> noch das Komplement <math>D^c</math> ist einfach zusammenhängend. [[Datei:Connected and disconnected spaces cd.svg|200px|center|Zusammenhängende Menge C und nicht zusammenhängende Menge D]] === Topologie === Der Begriff "einfach zusammenhängend" wird in der Topologie für Mengen verwendet, falls diese * wegzusammenhängend sind und * sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt in der Menge zusammenziehen lässt (d.h. [[w:de:nullhomotop|nullhomotop]]). === Nullhomolog geschlossene Weg === In der Funktionentheorie hat man den Begriff der [[Umlaufzahl]] zur Verfügung und kann damit ausdrücken, dass ein geschlossener Weg in einem einfach zusammenhängende Gebiet <math> G</math> keine Element <math>z\in G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> umrunden kann. "Löcher" in der Menge erlauben das und verletzen die Eigenschaft. == Definition - nullhomolog == Ein Weg <math>\gamma : [a,b] \to G </math> heißt ''nullhomolog'', wenn für alle <math> z\in G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> gilt, dass die [[Umlaufzahl]] <math>n(\gamma,z) = 0</math> gilt. == Definition - einfach zusammenhängend == Sei <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> heißt einfach zusammenhängend, wenn jeder Weg <math>\gamma : [a,b] \to G </math> in G nullhomolog ist. == Definition - homologe Wege == Sei <math>U\subseteq{C}</math> offen und sind <math>\gamma_1\colon[a,b]\to U</math>, <math>\gamma_2\colon[a,b]\to U</math> zwei Wege in <math>U</math> mit <math>\gamma_1(a) = \gamma_2(a)</math> und <math>\gamma_1(b) = \gamma_2(b)</math>, dann heißen die Wege <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> homolog, wenn die [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] <math>\Gamma := \gamma_1 - \gamma_2</math> als geschlossener Weg nullhomolog ist. === Bemerkung - Wegintegral für homologe Wege === Zwei homologe Wege <math>\gamma_1\colon[a,b]\to U</math> und <math>\gamma_2\colon[a,b]\to U</math> liefern das gleiche Wegintegral: : <math>\int\limits_{\gamma_1 }f(z)\, dz=\int\limits_{\gamma_2 }f(z)\, dz</math> Siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]] (CIS). == Siehe auch == * [[Umlaufzahl]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]] * [[w:de:Zusammenhängender Raum|zusammenhängender Raum]] kly7fx2bln9ixcgz33284yywvvdcuy5 106 167875 1114037 1062309 2026-09-02T10:50:01Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1114037 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Gebiet <math>G</math> ist eine [[Normen, Metriken, Topologie|offene]] und wegzusammenhängende Menge in den komplexen Zahlen. Die [[Normen, Metriken, Topologie|Offenheit]] der Menge ist in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] wesentlich, damit um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine Umgebung <math>U:=D_r(z_0):= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \} </math> existiert, die ganz in <math>G</math> liegt. Die Eigenschaft "wegzusammenhängend" zu sein, ist für zentrale Aussagen aus der Funktionentheorie notwendig. So wäre die Aussage des [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatzes]] ohne den Wegzusammenhang nur für die [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] gültig, und nicht dem gesamten Definitionsbereich der [[Holomorphie|holomorphen Funktion]]. == Definition - wegzusammenhängend == Eine Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> heißt wegzusammenhängend, wenn es zwei beliebige Punkte <math>z_1,z_2 \in G</math> eine stetige Abbildung <math>\gamma :[a,b] \to G</math> gibt, mit <math>\gamma(a) = z_1</math> und <math>\gamma(b) = z_2</math>. == Definition - Gebiet == Eine Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> heißt Gebiet, wenn <math> G</math>: * offen und * wegzusammenhängend ist. == Siehe auch == * [[Wegintegral]] * [[Normen, Metriken, Topologie|offene Menge - Topologie]] 50rmlgpc8mdtcs0vpyxbw8yn16zs858 1114038 1114037 2026-09-02T10:51:00Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - wegzusammenhängend */ 1114038 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Gebiet <math>G</math> ist eine [[Normen, Metriken, Topologie|offene]] und wegzusammenhängende Menge in den komplexen Zahlen. Die [[Normen, Metriken, Topologie|Offenheit]] der Menge ist in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] wesentlich, damit um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine Umgebung <math>U:=D_r(z_0):= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \} </math> existiert, die ganz in <math>G</math> liegt. Die Eigenschaft "wegzusammenhängend" zu sein, ist für zentrale Aussagen aus der Funktionentheorie notwendig. So wäre die Aussage des [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatzes]] ohne den Wegzusammenhang nur für die [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] gültig, und nicht dem gesamten Definitionsbereich der [[Holomorphie|holomorphen Funktion]]. == Definition - wegzusammenhängend == Eine Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei beliebigen Punkte <math>z_1,z_2 \in G</math> eine stetige Abbildung <math>\gamma :[a,b] \to G</math> gibt, mit <math>\gamma(a) = z_1</math> und <math>\gamma(b) = z_2</math>. == Definition - Gebiet == Eine Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> heißt Gebiet, wenn <math> G</math>: * offen und * wegzusammenhängend ist. == Siehe auch == * [[Wegintegral]] * [[Normen, Metriken, Topologie|offene Menge - Topologie]] lljxtg7nw0733a2fruwryoxu4tcgc9h 1114039 1114038 2026-09-02T10:51:22Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - wegzusammenhängend */ 1114039 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Gebiet <math>G</math> ist eine [[Normen, Metriken, Topologie|offene]] und wegzusammenhängende Menge in den komplexen Zahlen. Die [[Normen, Metriken, Topologie|Offenheit]] der Menge ist in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] wesentlich, damit um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine Umgebung <math>U:=D_r(z_0):= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \} </math> existiert, die ganz in <math>G</math> liegt. Die Eigenschaft "wegzusammenhängend" zu sein, ist für zentrale Aussagen aus der Funktionentheorie notwendig. So wäre die Aussage des [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatzes]] ohne den Wegzusammenhang nur für die [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammenhangskomponente]] gültig, und nicht dem gesamten Definitionsbereich der [[Holomorphie|holomorphen Funktion]]. == Definition - wegzusammenhängend == Eine Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei beliebigen Punkten <math>z_1,z_2 \in G</math> eine stetige Abbildung <math>\gamma :[a,b] \to G</math> gibt, mit <math>\gamma(a) = z_1</math> und <math>\gamma(b) = z_2</math>. == Definition - Gebiet == Eine Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> heißt Gebiet, wenn <math> G</math>: * offen und * wegzusammenhängend ist. == Siehe auch == * [[Wegintegral]] * [[Normen, Metriken, Topologie|offene Menge - Topologie]] 5654c137poyxa0xbht5bf508dj6xv17 0 167965 1114033 1068167 2026-09-02T09:51:30Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis - Subadditivität p-Konvexität */ 1114033 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Für [[Norm (Mathematik)|Normen]] und <math>p</math>[[p-Norm|-Normen]] gilt die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]]. Im Kontext der [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] liefert die Dreiecksungleichung auch die Stetigkeit der Addition. == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> === Beweis - Subadditivität p-Konvexität === Der Beweis für das obige Lemma findet man bei [[P-konvexe_Subadditivität#Beweis_-_Subadditivität_-_p-Konvexität|pseudokonvexe Subadditivität]]. === Bemerkung - Dreiecksungleichungen von p-Halbnormen === Die pseudokonvexe Subadditivität ist eine hilfreiche Aussage, um auf komplexen zusammengesetzten Räumen (z.B. [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume#Folgenräume|Folgenräume]]) die Gültigkeit der [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] von <math>p</math>[[p-Norm|-Normen]] bzw. <math>p</math>[[p-Halbnorm|-Halbnormen]] nachzuweisen. == Siehe auch == * [[P-konvexe_Subadditivität#Beweis_-_Subadditivität_-_p-Konvexität|Lemma zur pseudokonvexen Subadditivität]] * [[Norm (Mathematik)|Normen]] * <math>p</math>[[p-Norm|-Normen]] und <math>p</math>[[p-Halbnorm|-Halbnormen]] * [[topologischer Vektorraum]] f71gi1lso6wgl1oowdizhbmrxhl5smu 0 167966 1114031 1063787 2026-09-02T09:47:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - lokal beschränkter topologischer Vektorraum */ 1114031 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit werden wir den Begriff ''"lokal beschränkter topologischer Vektorraum"'' erläutern und Beispiele dafür angeben. Lokal beschränkte topologische Vektorräume <math>\mathcal{P}</math> sind verallgemeinert [[Norm (Mathematik)|normierte Vektorräume]] in der Funktionalanalysis und spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. == Definition - lokal beschränkter topologischer Vektorraum == Ein [[topologischer Vektorraum]] <math> (V,\mathcal{T}) </math> mit der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] über einem Körper (<math> \mathbb{K} = \mathbb{R} </math> oder <math> \mathbb{K} = \mathbb{C} </math>), heißt ''lokal beschränkt'', wenn es eine [[beschränkte Menge|beschränkte]] Nullumgebung <math>U_o \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}\!\!\left(0_{_V}\right)</math>, sodass der mit einer Topologie ausgestattet ist, so dass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \big( \left\| x \right\| = 0 \,\,\,\Longrightarrow \,\,\, x = 0_{_V} \big) </math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man ein <math>p</math>-Norm auch zu einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{\left\| x \right\|} </math> Nur für <math>p\geq 1</math> bleibt beim Ziehen der <math>p</math>-ten Wurzel auch die Dreiecksungleichung in <math>(PN3)</math> erhalten. === Bemerkung - Topologischer Vektoraum === Mit der durch die <math>p</math>-Norm <math>\|\cdot \|: V\to \mathbb{R}_o^+</math> definierten [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird <math>(V,\|\cdot \|)</math> zu einem [[topologischer Vektorraum]]. * Mit (PN1) können die Vektoren in <math>V</math> getrennt werden (siehe [[Hausdorff-Raum]]) * Die Bedingung (PN2) ist äquivalent zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren (siehe [[absolut p-konvex|absolut p-konvexe]] Mengen), * Die Bedingung (PN3) als [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] ist äquivalent zur Stetigkeit der Addition (siehe [[Topologisierungslemma]]). == Beispiele - Lokal beschränkte Vektorräume == In den folgenden Beispielen werden lokal beschränkte Vektorräume genannt: * '''(Beispiel 1)''' [[Lokal_beschränkt#Beispiel_1_-_Lokal_beschränkter_Folgenraum|lokal beschränkter Folgenraum]] * '''(Beispiel 2)''' [[Lokal_beschränkt#Beispiel_2_-_Lokal_beschränkter_Fuktionenraum|lokal beschränkter Funktionenraum]] === Beispiel 1 - Lokal beschränkter Folgenraum === Für <math>1\leq p < \infty</math> ist, der folgende Folgenraum [[Norm (Mathematik)|normierbar]]. Daher wird <math> 0 < p < 1 </math> gewählt, damit der Folgenraum lokal beschränkt, aber nicht [[Norm (Mathematik)|normierbar]] ist. :<math> \ell_p(\mathbb{K}):= \{ (a_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \, | \, \sum_{n=1}^{\infty} | a_n|^p < \infty \} </math> Die Menge <math> \ell_p(\mathbb{K})</math> enthält alle Folgen in <math>\mathbb{K}</math>, die absolut-p-summierbar sind. ==== Trennungseigenschaft - Folgenraum ==== Sei <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> mit <math>\|a\|_p = 0</math>, dann gilt: :<math> 0 = \|a\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{| a_n|^p}_{= 0} </math> Damit gilt für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>| a_n|^p = 0</math> und <math>| a_n| = 0</math>. Also ist <math>a= (0)_{ n\in\mathbb{N}} = 0_{_V}</math> der Nullvektor in <math>\ell_p(\mathbb{K})</math> ==== Definition - p-Norm auf Folgenraum ==== Man definiert die <math>p</math>-Norm über die Reihe für eine <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> und für <math> 0 < p < 1 </math>: :<math> \|a\|_p := \big\|(a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} | a_n|^p </math> ==== Absolute p-Homogenität ==== Seien <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> beliebig gewählt, dann gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \|\lambda \cdot a\|_p & = & \big\|\lambda \cdot (a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \big\| (\lambda \cdot a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p \\ & = & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | \lambda \cdot a_n|^p = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | \lambda|^p \cdot |a_n|^p \\ & = & \displaystyle | \lambda|^p \cdot \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^p = \lambda \cdot \|a\|_p \\ \end{array} </math> ==== Dreiecksungleichung 1 ==== Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] folgt über die Verwendung der [[pseudokonvexe Subadditivität|pseudokonvexen Subadditivität]], die die folgende Ungleichung für <math display="inline"> 0 < p < 1 </math> und alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> liefert: :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> Diese Ungleichung wird nun auf die Summanden in der Reihe angewendet. ==== Dreiecksungleichung 2 ==== Seien <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> und <math>b:= (b_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> beliebig gewählt, dann gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \|a + b \|_p & = & \big\|(a_n)_{ n\in\mathbb{N}} + (b_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \big\| (a_n + b_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p \\ & = & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | a_n + b_n|^p \leq \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | a_n |^p + | b_n |^p \\ & = & \|a\|_p + \|b\|_p \\ \end{array} </math> Insgesamt gilt damit die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] <math> \|a + b \|_p \leq \|a\|_p + \|b\|_p </math> ==== Metrisierbarkeit ==== <math> \ell_p(\mathbb{K})</math> ist für <math> 0 < p < 1 </math> zwar nicht [[Norm (Mathematik)|normierbar]] aber nocht [[Normen, Metriken, Topologie|metrisierbar]] mit der folgenden [[w:de:Metrik|Metrik]]: :<math> d_p((a_n)_n, (b_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty |a_n-b_n|^p </math> === Lokalbeschränkter Funktionenraum === Sei <math>0 < p < 1</math> und der Definitionsbereich <math>[a,b]</math> macht den Raum <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden <math>p</math>-[[Normen, Metriken, Topologie|Norm]] :<math> \|f\|_p := \displaystyle \int_a^b | f(x) |^p\, dx </math> zu einem lokalbeschränkten [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] (siehe auch [[Normen, Metriken, Topologie]]). == Aufgabe für Studierende == * Zeigen Sie, dass der Raum <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden <math>p</math>-[[Normen, Metriken, Topologie|Norm]] ::<math> \|f\|_p := \displaystyle \int_a^b | f(x) |^p\, dx </math> : eine <math>p</math>-Norm auf <math>V</math> ist und <math>(\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}),\|\cdot \|_p)</math> zu einem lokalbeschränkten [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] * Zeigen Sie die [[Hausdorff-Raum|Trennungseigenschaft]], indem Sie aus der Existenz von eine <math>x_o\in [a,b]</math> mit <math>|f(x_o)| = y_o > 0</math> mit der Stetigkeit folgern, dass es ein <math>\delta > 0</math> gilt, sodass gilt insbesondere für <math>\textstyle \varepsilon := \frac{y_o}{3}</math> und <math> |x_o-x| < \delta </math>: ::<math> \varepsilon > |f(x_o)-f(x)| \geq |f(x_o)|-|f(x)| = y_o -|f(x)| </math> : Damit erhält man die Ungleichung ::<math> |f(x)| > y_o - \varepsilon = \textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o </math> : und man kann das Integral <math>\int_a^b | f(x) | \, dx \geq (2\cdot \delta) \cdot \big(\textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o \big) > 0</math> gegen den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Seitenlänge <math>2\cdot \delta</math> und <math>\textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o</math> abschätzen. * Zeigen Sie, dass der Funktionenraum mit der <math>p</math>-Norm nicht [[Vollständigkeit|vollständig]] ist! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Beispiele für Vektorräume]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[lokalkonvex]] * [[pseudokonvex]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Zusammenhang - p-Halbnorm - Quasihalbnorm]] - Korrespondenzlemma * [[Norm (Mathematik)]] * [[p-Halbnorm]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Topologisierungslemma]] * [[Vollständigkeit]] === Topologische Invertierbarkeitskriterien === * <math>\mathcal{B}</math>-[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|Regularität]] - Charakterisierung von <math>\mathcal{B}</math>-regulären Element in normierten topologischen Vektorräumen, * <math>\mathcal{P}</math>-[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|Regularität]] - Charakterisierung von <math>\mathcal{P}</math>-regulären Element in lokal beschränkte Topologien, === Vorlesungen === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] 7cismuq5nowjtknjkc07vwzzla7zzsc 1114032 1114031 2026-09-02T09:49:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Konkavitätsexponent */ 1114032 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit werden wir den Begriff ''"lokal beschränkter topologischer Vektorraum"'' erläutern und Beispiele dafür angeben. Lokal beschränkte topologische Vektorräume <math>\mathcal{P}</math> sind verallgemeinert [[Norm (Mathematik)|normierte Vektorräume]] in der Funktionalanalysis und spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. == Definition - lokal beschränkter topologischer Vektorraum == Ein [[topologischer Vektorraum]] <math> (V,\mathcal{T}) </math> mit der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] über einem Körper (<math> \mathbb{K} = \mathbb{R} </math> oder <math> \mathbb{K} = \mathbb{C} </math>), heißt ''lokal beschränkt'', wenn es eine [[beschränkte Menge|beschränkte]] Nullumgebung <math>U_o \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}\!\!\left(0_{_V}\right)</math>, sodass der mit einer Topologie ausgestattet ist, so dass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \big( \left\| x \right\| = 0 \,\,\,\Longrightarrow \,\,\, x = 0_{_V} \big) </math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man eine <math>p</math>-Norm auch zu einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{\left\| x \right\|} </math> Nur für <math>p\geq 1</math> bleibt beim Ziehen der <math>p</math>-ten Wurzel auch die Dreiecksungleichung in <math>(PN3)</math> erhalten. === Bemerkung - Topologischer Vektoraum === Mit der durch die <math>p</math>-Norm <math>\|\cdot \|: V\to \mathbb{R}_o^+</math> definierten [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird <math>(V,\|\cdot \|)</math> zu einem [[topologischer Vektorraum]]. * Mit (PN1) können die Vektoren in <math>V</math> getrennt werden (siehe [[Hausdorff-Raum]]) * Die Bedingung (PN2) ist äquivalent zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren (siehe [[absolut p-konvex|absolut p-konvexe]] Mengen), * Die Bedingung (PN3) als [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] ist äquivalent zur Stetigkeit der Addition (siehe [[Topologisierungslemma]]). == Beispiele - Lokal beschränkte Vektorräume == In den folgenden Beispielen werden lokal beschränkte Vektorräume genannt: * '''(Beispiel 1)''' [[Lokal_beschränkt#Beispiel_1_-_Lokal_beschränkter_Folgenraum|lokal beschränkter Folgenraum]] * '''(Beispiel 2)''' [[Lokal_beschränkt#Beispiel_2_-_Lokal_beschränkter_Fuktionenraum|lokal beschränkter Funktionenraum]] === Beispiel 1 - Lokal beschränkter Folgenraum === Für <math>1\leq p < \infty</math> ist, der folgende Folgenraum [[Norm (Mathematik)|normierbar]]. Daher wird <math> 0 < p < 1 </math> gewählt, damit der Folgenraum lokal beschränkt, aber nicht [[Norm (Mathematik)|normierbar]] ist. :<math> \ell_p(\mathbb{K}):= \{ (a_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \, | \, \sum_{n=1}^{\infty} | a_n|^p < \infty \} </math> Die Menge <math> \ell_p(\mathbb{K})</math> enthält alle Folgen in <math>\mathbb{K}</math>, die absolut-p-summierbar sind. ==== Trennungseigenschaft - Folgenraum ==== Sei <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> mit <math>\|a\|_p = 0</math>, dann gilt: :<math> 0 = \|a\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{| a_n|^p}_{= 0} </math> Damit gilt für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>| a_n|^p = 0</math> und <math>| a_n| = 0</math>. Also ist <math>a= (0)_{ n\in\mathbb{N}} = 0_{_V}</math> der Nullvektor in <math>\ell_p(\mathbb{K})</math> ==== Definition - p-Norm auf Folgenraum ==== Man definiert die <math>p</math>-Norm über die Reihe für eine <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> und für <math> 0 < p < 1 </math>: :<math> \|a\|_p := \big\|(a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} | a_n|^p </math> ==== Absolute p-Homogenität ==== Seien <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> beliebig gewählt, dann gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \|\lambda \cdot a\|_p & = & \big\|\lambda \cdot (a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \big\| (\lambda \cdot a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p \\ & = & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | \lambda \cdot a_n|^p = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | \lambda|^p \cdot |a_n|^p \\ & = & \displaystyle | \lambda|^p \cdot \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^p = \lambda \cdot \|a\|_p \\ \end{array} </math> ==== Dreiecksungleichung 1 ==== Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] folgt über die Verwendung der [[pseudokonvexe Subadditivität|pseudokonvexen Subadditivität]], die die folgende Ungleichung für <math display="inline"> 0 < p < 1 </math> und alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> liefert: :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> Diese Ungleichung wird nun auf die Summanden in der Reihe angewendet. ==== Dreiecksungleichung 2 ==== Seien <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> und <math>b:= (b_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> beliebig gewählt, dann gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \|a + b \|_p & = & \big\|(a_n)_{ n\in\mathbb{N}} + (b_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \big\| (a_n + b_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p \\ & = & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | a_n + b_n|^p \leq \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | a_n |^p + | b_n |^p \\ & = & \|a\|_p + \|b\|_p \\ \end{array} </math> Insgesamt gilt damit die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] <math> \|a + b \|_p \leq \|a\|_p + \|b\|_p </math> ==== Metrisierbarkeit ==== <math> \ell_p(\mathbb{K})</math> ist für <math> 0 < p < 1 </math> zwar nicht [[Norm (Mathematik)|normierbar]] aber nocht [[Normen, Metriken, Topologie|metrisierbar]] mit der folgenden [[w:de:Metrik|Metrik]]: :<math> d_p((a_n)_n, (b_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty |a_n-b_n|^p </math> === Lokalbeschränkter Funktionenraum === Sei <math>0 < p < 1</math> und der Definitionsbereich <math>[a,b]</math> macht den Raum <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden <math>p</math>-[[Normen, Metriken, Topologie|Norm]] :<math> \|f\|_p := \displaystyle \int_a^b | f(x) |^p\, dx </math> zu einem lokalbeschränkten [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] (siehe auch [[Normen, Metriken, Topologie]]). == Aufgabe für Studierende == * Zeigen Sie, dass der Raum <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden <math>p</math>-[[Normen, Metriken, Topologie|Norm]] ::<math> \|f\|_p := \displaystyle \int_a^b | f(x) |^p\, dx </math> : eine <math>p</math>-Norm auf <math>V</math> ist und <math>(\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}),\|\cdot \|_p)</math> zu einem lokalbeschränkten [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] * Zeigen Sie die [[Hausdorff-Raum|Trennungseigenschaft]], indem Sie aus der Existenz von eine <math>x_o\in [a,b]</math> mit <math>|f(x_o)| = y_o > 0</math> mit der Stetigkeit folgern, dass es ein <math>\delta > 0</math> gilt, sodass gilt insbesondere für <math>\textstyle \varepsilon := \frac{y_o}{3}</math> und <math> |x_o-x| < \delta </math>: ::<math> \varepsilon > |f(x_o)-f(x)| \geq |f(x_o)|-|f(x)| = y_o -|f(x)| </math> : Damit erhält man die Ungleichung ::<math> |f(x)| > y_o - \varepsilon = \textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o </math> : und man kann das Integral <math>\int_a^b | f(x) | \, dx \geq (2\cdot \delta) \cdot \big(\textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o \big) > 0</math> gegen den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Seitenlänge <math>2\cdot \delta</math> und <math>\textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o</math> abschätzen. * Zeigen Sie, dass der Funktionenraum mit der <math>p</math>-Norm nicht [[Vollständigkeit|vollständig]] ist! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Beispiele für Vektorräume]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[lokalkonvex]] * [[pseudokonvex]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Zusammenhang - p-Halbnorm - Quasihalbnorm]] - Korrespondenzlemma * [[Norm (Mathematik)]] * [[p-Halbnorm]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Topologisierungslemma]] * [[Vollständigkeit]] === Topologische Invertierbarkeitskriterien === * <math>\mathcal{B}</math>-[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|Regularität]] - Charakterisierung von <math>\mathcal{B}</math>-regulären Element in normierten topologischen Vektorräumen, * <math>\mathcal{P}</math>-[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|Regularität]] - Charakterisierung von <math>\mathcal{P}</math>-regulären Element in lokal beschränkte Topologien, === Vorlesungen === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] 2ocah9ut97qftyp0hdv2m1oyzpvqutt 1114034 1114032 2026-09-02T09:54:05Z ~2026-47548-34 41860 /* Metrisierbarkeit */ 1114034 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit werden wir den Begriff ''"lokal beschränkter topologischer Vektorraum"'' erläutern und Beispiele dafür angeben. Lokal beschränkte topologische Vektorräume <math>\mathcal{P}</math> sind verallgemeinert [[Norm (Mathematik)|normierte Vektorräume]] in der Funktionalanalysis und spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. == Definition - lokal beschränkter topologischer Vektorraum == Ein [[topologischer Vektorraum]] <math> (V,\mathcal{T}) </math> mit der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] über einem Körper (<math> \mathbb{K} = \mathbb{R} </math> oder <math> \mathbb{K} = \mathbb{C} </math>), heißt ''lokal beschränkt'', wenn es eine [[beschränkte Menge|beschränkte]] Nullumgebung <math>U_o \in \mathfrak{U}_\mathcal{T}\!\!\left(0_{_V}\right)</math>, sodass der mit einer Topologie ausgestattet ist, so dass die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation stetig sind. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als [[Konkavitätsmodul|Konkavitätsexponent]], falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \big( \left\| x \right\| = 0 \,\,\,\Longrightarrow \,\,\, x = 0_{_V} \big) </math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung - Konkavitätsexponent === Für <math>p \geq 1</math> kann man eine <math>p</math>-Norm auch zu einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{\left\| x \right\|} </math> Nur für <math>p\geq 1</math> bleibt beim Ziehen der <math>p</math>-ten Wurzel auch die Dreiecksungleichung in <math>(PN3)</math> erhalten. === Bemerkung - Topologischer Vektoraum === Mit der durch die <math>p</math>-Norm <math>\|\cdot \|: V\to \mathbb{R}_o^+</math> definierten [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] wird <math>(V,\|\cdot \|)</math> zu einem [[topologischer Vektorraum]]. * Mit (PN1) können die Vektoren in <math>V</math> getrennt werden (siehe [[Hausdorff-Raum]]) * Die Bedingung (PN2) ist äquivalent zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren (siehe [[absolut p-konvex|absolut p-konvexe]] Mengen), * Die Bedingung (PN3) als [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] ist äquivalent zur Stetigkeit der Addition (siehe [[Topologisierungslemma]]). == Beispiele - Lokal beschränkte Vektorräume == In den folgenden Beispielen werden lokal beschränkte Vektorräume genannt: * '''(Beispiel 1)''' [[Lokal_beschränkt#Beispiel_1_-_Lokal_beschränkter_Folgenraum|lokal beschränkter Folgenraum]] * '''(Beispiel 2)''' [[Lokal_beschränkt#Beispiel_2_-_Lokal_beschränkter_Fuktionenraum|lokal beschränkter Funktionenraum]] === Beispiel 1 - Lokal beschränkter Folgenraum === Für <math>1\leq p < \infty</math> ist, der folgende Folgenraum [[Norm (Mathematik)|normierbar]]. Daher wird <math> 0 < p < 1 </math> gewählt, damit der Folgenraum lokal beschränkt, aber nicht [[Norm (Mathematik)|normierbar]] ist. :<math> \ell_p(\mathbb{K}):= \{ (a_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \, | \, \sum_{n=1}^{\infty} | a_n|^p < \infty \} </math> Die Menge <math> \ell_p(\mathbb{K})</math> enthält alle Folgen in <math>\mathbb{K}</math>, die absolut-p-summierbar sind. ==== Trennungseigenschaft - Folgenraum ==== Sei <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> mit <math>\|a\|_p = 0</math>, dann gilt: :<math> 0 = \|a\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{| a_n|^p}_{= 0} </math> Damit gilt für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>| a_n|^p = 0</math> und <math>| a_n| = 0</math>. Also ist <math>a= (0)_{ n\in\mathbb{N}} = 0_{_V}</math> der Nullvektor in <math>\ell_p(\mathbb{K})</math> ==== Definition - p-Norm auf Folgenraum ==== Man definiert die <math>p</math>-Norm über die Reihe für eine <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> und für <math> 0 < p < 1 </math>: :<math> \|a\|_p := \big\|(a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \sum_{n=1}^{\infty} | a_n|^p </math> ==== Absolute p-Homogenität ==== Seien <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> beliebig gewählt, dann gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \|\lambda \cdot a\|_p & = & \big\|\lambda \cdot (a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \big\| (\lambda \cdot a_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p \\ & = & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | \lambda \cdot a_n|^p = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | \lambda|^p \cdot |a_n|^p \\ & = & \displaystyle | \lambda|^p \cdot \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^p = \lambda \cdot \|a\|_p \\ \end{array} </math> ==== Dreiecksungleichung 1 ==== Die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] folgt über die Verwendung der [[pseudokonvexe Subadditivität|pseudokonvexen Subadditivität]], die die folgende Ungleichung für <math display="inline"> 0 < p < 1 </math> und alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> liefert: :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> Diese Ungleichung wird nun auf die Summanden in der Reihe angewendet. ==== Dreiecksungleichung 2 ==== Seien <math>a:= (a_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> und <math>b:= (b_n)_{ n\in\mathbb{N}} \in \ell_p(\mathbb{K})</math> beliebig gewählt, dann gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \|a + b \|_p & = & \big\|(a_n)_{ n\in\mathbb{N}} + (b_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p = \big\| (a_n + b_n)_{ n\in\mathbb{N}}\big\|_p \\ & = & \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | a_n + b_n|^p \leq \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | a_n |^p + | b_n |^p \\ & = & \|a\|_p + \|b\|_p \\ \end{array} </math> Insgesamt gilt damit die [[w:de:Dreiecksungleichung|Dreiecksungleichung]] <math> \|a + b \|_p \leq \|a\|_p + \|b\|_p </math> ==== Metrisierbarkeit ==== <math> \ell_p(\mathbb{K})</math> ist für <math> 0 < p < 1 </math> zwar nicht [[Norm (Mathematik)|normierbar]] aber noch [[Normen, Metriken, Topologie|metrisierbar]] mit der folgenden [[w:de:Metrik|Metrik]]: :<math> d_p((a_n)_n, (b_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty |a_n-b_n|^p </math> === Lokalbeschränkter Funktionenraum === Sei <math>0 < p < 1</math> und der Definitionsbereich <math>[a,b]</math> macht den Raum <math>\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden <math>p</math>-[[Normen, Metriken, Topologie|Norm]] :<math> \|f\|_p := \displaystyle \int_a^b | f(x) |^p\, dx </math> zu einem lokalbeschränkten [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] (siehe auch [[Normen, Metriken, Topologie]]). == Aufgabe für Studierende == * Zeigen Sie, dass der Raum <math>V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit der folgenden <math>p</math>-[[Normen, Metriken, Topologie|Norm]] ::<math> \|f\|_p := \displaystyle \int_a^b | f(x) |^p\, dx </math> : eine <math>p</math>-Norm auf <math>V</math> ist und <math>(\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}),\|\cdot \|_p)</math> zu einem lokalbeschränkten [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] * Zeigen Sie die [[Hausdorff-Raum|Trennungseigenschaft]], indem Sie aus der Existenz von eine <math>x_o\in [a,b]</math> mit <math>|f(x_o)| = y_o > 0</math> mit der Stetigkeit folgern, dass es ein <math>\delta > 0</math> gilt, sodass gilt insbesondere für <math>\textstyle \varepsilon := \frac{y_o}{3}</math> und <math> |x_o-x| < \delta </math>: ::<math> \varepsilon > |f(x_o)-f(x)| \geq |f(x_o)|-|f(x)| = y_o -|f(x)| </math> : Damit erhält man die Ungleichung ::<math> |f(x)| > y_o - \varepsilon = \textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o </math> : und man kann das Integral <math>\int_a^b | f(x) | \, dx \geq (2\cdot \delta) \cdot \big(\textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o \big) > 0</math> gegen den Flächeninhalt des Rechtecks mit der Seitenlänge <math>2\cdot \delta</math> und <math>\textstyle \frac{2}{3} \cdot y_o</math> abschätzen. * Zeigen Sie, dass der Funktionenraum mit der <math>p</math>-Norm nicht [[Vollständigkeit|vollständig]] ist! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Beispiele für Vektorräume]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[lokalkonvex]] * [[pseudokonvex]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Zusammenhang - p-Halbnorm - Quasihalbnorm]] - Korrespondenzlemma * [[Norm (Mathematik)]] * [[p-Halbnorm]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Topologisierungslemma]] * [[Vollständigkeit]] === Topologische Invertierbarkeitskriterien === * <math>\mathcal{B}</math>-[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|Regularität]] - Charakterisierung von <math>\mathcal{B}</math>-regulären Element in normierten topologischen Vektorräumen, * <math>\mathcal{P}</math>-[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|Regularität]] - Charakterisierung von <math>\mathcal{P}</math>-regulären Element in lokal beschränkte Topologien, === Vorlesungen === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] cnabnpoligm0l4v0p76knziy2m726fd 0 168277 1113972 1068836 2026-09-01T14:30:45Z ~2026-47548-34 41860 /* Konvergenzeigenschaften */ 1113972 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, ab dem ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen müssen. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch als topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zu gleichmäßige Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen den Funktionen zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt ist. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] c1babp0w1w5qf9b81md16kdkzikgav5 1113973 1113972 2026-09-01T14:31:36Z ~2026-47548-34 41860 /* Bezeichnung der Funktionenfolge */ 1113973 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, ab dem ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen müssen. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch als topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zu gleichmäßige Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen den Funktionen zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt ist. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] k7q61cp22vm5fx9z4zir98tahak191u 1113974 1113973 2026-09-01T14:34:02Z ~2026-47548-34 41860 /* (K1) - Gleichmäßige Konvergenz */ 1113974 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen müssen. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch als topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zu gleichmäßige Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen den Funktionen zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt ist. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 9c1nafmb08ovyqixc86pc8kis9mt86m 1113975 1113974 2026-09-01T14:37:01Z ~2026-47548-34 41860 /* (K1) - Gleichmäßige Konvergenz */ 1113975 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch als topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zu gleichmäßige Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen den Funktionen zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt ist. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] ns22sjrhg6sh91788xp7vn8629861qn 1113976 1113975 2026-09-01T14:39:04Z ~2026-47548-34 41860 /* K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum */ 1113976 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zu gleichmäßige Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen den Funktionen zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt ist. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] ks6kq9q3o2f1np9c1ydpzkong2gmz8s 1113977 1113976 2026-09-01T14:40:07Z ~2026-47548-34 41860 /* (K2) - Punktweise Konvergenz */ 1113977 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen den Funktionen zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt ist. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] kdgpl3gtfmhurua94gfi4kci4pxbkr8 1113978 1113977 2026-09-01T14:42:48Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz */ 1113978 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt ist. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 8rqfldfz4slhu7fwkfprqyw1yyigbu9 1113979 1113978 2026-09-01T14:43:54Z ~2026-47548-34 41860 /* K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie */ 1113979 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktion konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 6z019hdjpsnob4q5ibh2hl7j4m6s5m3 1113980 1113979 2026-09-01T14:46:56Z ~2026-47548-34 41860 /* K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge */ 1113980 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math>. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 348j8nruq1luc0f4quw3wa7d5srrtda 1113981 1113980 2026-09-01T14:49:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz */ 1113981 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''', dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] qdnvgdpfa8r5qw7pkpug1skkkyksyom 1113982 1113981 2026-09-01T14:51:08Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiele - P-fast sichere Konvergenz */ 1113982 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1'''zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 335ktzlyqt335guq2moloimf4aa1f21 1113983 1113982 2026-09-01T14:51:32Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiele - P-fast sichere Konvergenz */ 1113983 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab., da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] jifdpl8arocbuitm4cmrcs79evolvea 1113984 1113983 2026-09-01T14:56:33Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P */ 1113984 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils obere und untere Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] nzs7e2ugmj4ibvj45dwrze9c149maz8 1113985 1113984 2026-09-01T14:58:55Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung */ 1113985 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion rot darstellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 1tuxbpzevq9q4awpasbaknt69o1qcoq 1113986 1113985 2026-09-01T15:01:08Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß */ 1113986 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und der Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] o7d8emk1f650irrvc5ghnjksajwj1ma 1113987 1113986 2026-09-01T15:05:51Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition der Folge von Zufallsgrößen */ 1113987 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes <math> i <\math>. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 9k9qu0g6kltrn3vmfy3ybe0yd78q6x2 1113988 1113987 2026-09-01T15:06:39Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition der Folge von Zufallsgrößen */ 1113988 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation kann man die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> ist die Intervallbreite der Sprungstelle <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] qxl0949hccim15c2w453ex707un6rn5 1113990 1113988 2026-09-01T15:08:37Z ~2026-47548-34 41860 /* (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung */ 1113990 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] fehs2sof5au0xmjmfv7v0w7bp5t68ba 1113991 1113990 2026-09-01T15:10:37Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - Konvergenz nach Verteilung */ 1113991 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen hgegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] d0868p8bt6i3isfa6ylgysw8kx79tk0 1113993 1113991 2026-09-01T15:11:01Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Schwache Konvergenz */ 1113993 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] qjqqro868ktt00zx9bwkgd5g8p2a5gi 1113994 1113993 2026-09-01T15:12:03Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Schwache Konvergenz */ 1113994 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit der zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] tusy0098l1xg6jpkd7vao6idjynh41u 1113995 1113994 2026-09-01T15:12:50Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung */ 1113995 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstelle von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] q9w1whtrd7fxoi6i78yxdd8brdt7yn9 1113996 1113995 2026-09-01T15:14:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Hinweis - Stetigkeitsstellen */ 1113996 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf <math>\mathbb{D}</math> Definitionsbereich <math> \ </math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 8gmlqr5nahhkbm2iwf3nljcobhnbgrz 106 169974 1113970 1078593 2026-09-01T13:53:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Nullmengen */ 1113970 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Wegintegraltypen === Folgende Wegintegrale kann man dabei unterscheiden: * '''(Wegintegral mit Wegableitung)''' Durch die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> in der Definition <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t))\cdot \gamma\,'(t) \, dz</math> erhält man die Wegunabhängigkeit. * '''(Wegintegral ohne Wegableitung)''' Ohne die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> ein Integral <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t)) \, dz</math> erhält man ein wegabhängiges Integral. Z.B. ist bei einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]] genau diese Wegabhänigkeit wesentlich, um den Weg mit kleinsten Risiko in einem Optimierungsprozess zu finden. === Flächenintegral === * '''(Doppenintegral über Real- und Imaginärteil)''' Dabei wird das komplexewertige Integral mit der Identifzierung von <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math> als mehrdimensionales Integral von <math>\mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{R}^2</math> aufgefasst. ::<math>\int_{a_2}^{b_2}\!\!\!\int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\,dy</math> * '''(Flächenintegral über orientierte Fläche)''' Eine [[orientierte Fläche]] ist eine Abbildung <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math>, wobei die Orientierung durch einen Gradienten <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> beschrieben wird, mit der Notation: ::<math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\!z</math> == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\iint_M f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\iint_M f_1(z) \, d^2\!z}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\iint_M f_2(z) \, d^2\!z}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] als Integral über eine messbare Menge <math>M \subseteq \mathbb{C}</math> bzgl. einer komplexwertigen Dichtefunktion <math>f</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot a_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\underbrace{\gamma_1(t_1)}_{=t_1})\cdot \underbrace{{\gamma_1}\!'(t_1)}_{=1} \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1+ia_2) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = a_1 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\underbrace{\gamma_2(t_2)}_{=a_1 + i\cdot t_2})\cdot \underbrace{{\gamma_2}\!'(t_2)}_{=i} \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(a_1 + i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das [[orientierte Fläche|orientierte]] Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(z) \, d^2\,z \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \iint_R f(z) \, d^2\,z = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \iint_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). ==== Bemerkung - orientierte Fläche ==== Bei einem Integral über eine [[orientierte Fläche]] spielt nicht nur die messbare Teilmenge <math>M\subseteq \mathbb{C}</math> und die Dichtefunktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bei dem Flächenintegral eine Rolle, sondern zusätzlich auch die Orientierung. Diesen Unterschied gab es analog auch beim [[Wegintegral]] über <math>\gamma : [a,b] \to G</math>. Die [[Spur eines Weges]] <math>Spur(\gamma)</math> entspricht der Menge <math>M</math> während <math>\gamma</math> eine Orientierung auf dem Weg induziert, wobei <math>\gamma(a)</math> der Anfangspunkt <math>\gamma(b)</math> der Endpunkt des Weges ist. == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijektive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\iint_{D} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Lemma für Rechteckintegrale]] - Berechnung über Flächenstammfunktionen * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 3mltd8iode0utrwhrwmkvnegn8dsthi 106 170548 1114002 1080164 2026-09-01T15:25:27Z Bocardodarapti 2041 1114002 wikitext text/x-wiki Dienstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 13.10.2026), Vorlesung, Ort: 32/110 Donnerstag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 15.10.2026), Vorlesung, Ort: 93/E06 Freitag: 10:00 - 12:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Übung, Ort: 69/117 Freitag: 12:00 - 14:00, wöchentlich (ab 16.10.2026), Übung, Ort: 69/117 <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information]]</noinclude> lhmp3lfuv3e4acr8rzd3ethbfgg1j6d 106 172585 1113971 1113396 2026-09-01T13:59:44Z ~2026-47548-34 41860 /* Wegableiutung */ 1113971 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für die Wegableitung Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> erfüllt folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] 57p29bg1iquq23tkujpn6c69ker5jkx 106 172617 1114004 2026-09-01T17:07:02Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114004 wikitext text/x-wiki == Spurüberdeckungslemmas == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein injektiver Weg. Dann gibt es für jede holomorphe Funktion <math> f : G \to \mathbb{C} </math> ein offene Umgebung <math> U \subset G </math> mit <math>Spur(\gamma)\subset U</math>, auf die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> durch endlich viele Potenzreihen <math>F_1, \ldots , F_n</math> als lokale Stammfunktionen von <math> f </math> dargestellt werden. === Bemerkung - Spur === Damit kann insbesondere auf der Spur von <math>Spur (\gamma) := \gamma([a,b])</math> für jeden Spurpunkt die Stammfunktion mit endlich vielen Potenzreihen ausdrücken. == Beweis == In endlich euklidische bzw. unitären Vektorräume kann man die Kompaktheit äquivalent durch die Abgeschlossenheit und Beschränktheit beschreiben. Für das Spurüberdeckungslemma macht es Sinn, die allgemeine Definition der [[Kompaktheit]] zu verwenden, bei der jede offene Überdeckung einer kompakten Menge <math>K</math> eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Als kompakte Menge wird die Spur von <math>\gamma</math> verwendet, die wegen der Stetigkeit von <math>\gamma</math> eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> ist. === Schritt 1 - Offene Kreisscheiben als Überdeckung der Spur === Sei <math> \gamma </math> injektiv, dann gilt für alle <math>t_1 , t_2 \in [a,b]</math> folgende Eigenschaft: :<math> t_1\not= t_2 \Longrightarrow \gamma(t_1) \not= \gamma(t_2) </math> Für jeden Spurpunkt <math>\gamma(t) \in Spur(\gamma)\subset G</math> gibt es wegen der Offenheit von <math>G</math> eine Kreisschreibe <math>\widetilde{D_t}\subset G</math> mit <math>\gamma(t) \in \widetilde{D_t}</math>. ==== Schritt 1.1 - Verkleinerung der Umgebung ==== Da <math>\gamma</math> injektiv ist, kann man den Radius von Kreisschreibe <math>\widetilde{D_t}\subset G</math> so verkleinern, dass für <math> I_t := [t-\delta , t+\delta] \cap [a,b] </math> gilt <math>\gamma(I_t)\subset D_t \subseteq \widetilde{D_t}</math> und <math> \gamma(I_t^c)\cap D_t = \emptyset</math> mit <math>I_t^c:= [a,b]\setminus I_t</math>. Ferner gilt <math>t\in I_t</math> und <math>\gamma(t)\in D_t \subseteq \widetilde{D_t}</math>. Ferner wurden der Kreisscheibenradius von <math>D_t</math> ohne Einschränkung so gewählt, dass auch der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_t}\subset G</math> ganz in <math> G </math>, diese Voraussetzung ist im weiteren Verlauf des Beweises wesentlich, damit man mit der [[Cauchy-Integralformel]] im Inneren der Kreisscheibe die Funktion <math>f</math> als Potenzreihe darstellen kann (siehe [[Cauchy-Kern]]). ==== Schritt 1.2 - Vereinigung der Kreisscheiben ==== Für jeden Punkt <math> \gamma(t) \in \gamma([a, b]) </math> wurde nun eine offene Kreisscheibe <math> D_t \subset G </math> mit <math>\gamma(t)\in D_t</math> gewählt. Die Vereinigung dieser Kreisscheiben <math> D_t </math> überdecken die Spur <math> \gamma([a, b]) </math>, d. h.: :<math> \bigcup_{t \in [a, b]} D_t \supset Spur(\gamma) = \gamma([a, b]) </math> ==== Schritt 1.3 - Kompaktheit der Spur ==== Da die Spur <math> \gamma([a, b]) \subset G \subseteq \mathbb{C}</math> als abgeschlossene und beschränkte Menge kompakt ist, besitzt die offene Überdeckung <math> \bigcup_{t \in [a, b]} D_t</math> der Spur von <math>\gamma </math> eine endliche Teilüberdeckung aus offenen Kreisscheiben. :<math> \underset{n \in \mathbb{N}}{\exists}\, \quad D_{t_1}, \ldots, D_{t_n} \subset U \text{ mit } \bigcup_{i=1}^n D_{t_i} \supset Spur(\gamma) = \gamma([a, b]) </math> === Schritt 2 - Eigenschaft der Argumente === Für die Punkte <math>t_1,\ldots , t_n</math> gelte folgende Eigenschaft: :<math> t_1 < t_2 < \ldots < t_n </math> Ferner haben die Kreisscheiben folgende Eigenschaft für alle <math>i\in \{1,\ldots , n-1\}</math>: :<math> D_{t_i} \cap D_{t_{i+1}} \not= \emptyset </math> === Schritt 3 - Entwicklung von f in Potenzreihen === Auf jeder Kreisscheibe <math> D_{t_i} </math> kann <math> f </math> durch eine Potenzreihe dargestellt werden, da <math> f </math> in <math> \overline{D_{t_i}} \subset G </math> holomorph ist und <math> D_{t_i}</math> eine offene Kreisscheibe in <math>G</math> ist. Sei nun darstellende Potenzreihe wie folgt definiert: :<math> f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{(k,i)} \cdot (z - \gamma(t_i))^k \quad \text{für } z \in D_i </math> wobei <math> \gamma(t_i) </math> der Mittelpunkt von <math> D_{t_i} </math> ist und <math> a_{(k,i)}</math> die Taylorkoeffizienten von <math>f</math> in dem Entwicklungspunkt <math>\gamma(t_i)</math>. === Schritt 4 - Stammfunktionen === Die Stammfunktion von <math> f </math> auf <math> D_{t_i} </math> ist durch die gleichmäßige Konvergenz auf abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_{t_i}} \subset G </math> der Potenzreihe : :<math> F_i(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{(k,i)}}{k+1} \cdot (z - \gamma(t_i))^{k+1} </math> Die Funktion <math>F_i</math> ist damit die Potenzreihenentwicklung als Stammfunktion <math>F</math> lokal in dem Punkt <math> \gamma(t_i)</math> definiert. === Schritt 5 - Vereinigung als Umgebung der Spur=== Da die Kreisscheiben <math> D_{t_i} </math> offen sind und die <math>Spur(\gamma)</math> wegen der Stetigkeit von <math>\gamma</math> eine zusammenhängende Menge ist, kann man eine Stammfunktion auf der Vereinigung der <math> D_{t_i} </math> mit <math> U:= \bigcup_{i=1}^n D_{t_i}</math> definieren. === Schritt 6 - Endliche Anzahl von Stammfunktionen === Wenn <math>z</math> ein Spurpunkt ist (d.h. <math> z \in \gamma([a, b]) </math>), dann liegt <math> z </math> in mindestens einem der Kreise <math> D_{t_i} </math> (maximal in zwei Kreisscheibe wegen Schritt 2). Sei <math> i </math> der kleinste Index des Kreises, in dem <math> z \in D_{t_i}\subseteq U</math> liegt. Dann gilt für die Stammfunktion auf <math>U</math>: :<math> F(z) = F_i(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{(k,i)}}{k+1} (z - \gamma(t_i))^{k+1} </math> ==== Schritt 7: Endlichkeit der Darstellung ==== Da die Anzahl der Kreisscheiben endlich ist (es gibt nur <math> n </math> Kreisscheiben, die die Spur überdecken), gibt es endlich viele Stammfunktionen <math> F_1, \ldots, F_n </math> als Potenzreihen, mit denen man die Stammfunktion <math>f</math> von <math>F</math> auf <math>U</math> darstellen kann. Die Definitionsbereiche der Potenzreihen <math>F_i</math> der Stammfunktion <math>F</math> überdecken die gesamte Spur <math> \gamma([a, b]) </math>. Damit hat man eine offene Umgebung der <math>Spur(\gamma)</math> und endlich viele Potenzreihen gefunden. === Zusammenfassung - Beweisschritte === * '''Injektiver Weg''': Die Injektivität von <math> \gamma </math> sorgt dafür, dass die Kreisscheiben die Spur des Weges <math>\gamma</math> in einer Sequenz von Kreisscheiben überdeckt werden, wobei sich zwei aufeinanderfolgende Kreisscheiben schneiden. * '''Kompaktheit der Spur''': Die Kompaktheit der Spur ermöglicht eine endliche Teilüberdeckung. * '''Holomorphie und Potenzreihen''': Die Holomorphie von <math> f </math> auf jeder Kreisscheibe erlaubt die Entwicklung in Potenzreihen. * '''Endlich viele Stammfunktionen als Potenzreihen''': Die Definitionsbereiche <math>D_{t_{i}} </math> und <math>D_{t_{i+1}} </math> zweier aufeinanderfolgender Stammfunktionen <math>F_{i}</math> und <math>F_{i+1}</math> haben einen gemeinsamen Schnitt, der als nichtleere Menge nicht diskret ist. Nach dem [[Identitätssatz]] sind damit bei Festlegung der Konstante für <math>F_1</math> auch alle anderen Potenzreihen der Stammfunktion eindeutig festgelegt. 89r8dov1gqkp34ib0p49qc1jyooj8z6 1114005 1114004 2026-09-01T17:08:05Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenfassung - Beweisschritte */ 1114005 wikitext text/x-wiki == Spurüberdeckungslemmas == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein injektiver Weg. Dann gibt es für jede holomorphe Funktion <math> f : G \to \mathbb{C} </math> ein offene Umgebung <math> U \subset G </math> mit <math>Spur(\gamma)\subset U</math>, auf die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> durch endlich viele Potenzreihen <math>F_1, \ldots , F_n</math> als lokale Stammfunktionen von <math> f </math> dargestellt werden. === Bemerkung - Spur === Damit kann insbesondere auf der Spur von <math>Spur (\gamma) := \gamma([a,b])</math> für jeden Spurpunkt die Stammfunktion mit endlich vielen Potenzreihen ausdrücken. == Beweis == In endlich euklidische bzw. unitären Vektorräume kann man die Kompaktheit äquivalent durch die Abgeschlossenheit und Beschränktheit beschreiben. Für das Spurüberdeckungslemma macht es Sinn, die allgemeine Definition der [[Kompaktheit]] zu verwenden, bei der jede offene Überdeckung einer kompakten Menge <math>K</math> eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Als kompakte Menge wird die Spur von <math>\gamma</math> verwendet, die wegen der Stetigkeit von <math>\gamma</math> eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> ist. === Schritt 1 - Offene Kreisscheiben als Überdeckung der Spur === Sei <math> \gamma </math> injektiv, dann gilt für alle <math>t_1 , t_2 \in [a,b]</math> folgende Eigenschaft: :<math> t_1\not= t_2 \Longrightarrow \gamma(t_1) \not= \gamma(t_2) </math> Für jeden Spurpunkt <math>\gamma(t) \in Spur(\gamma)\subset G</math> gibt es wegen der Offenheit von <math>G</math> eine Kreisschreibe <math>\widetilde{D_t}\subset G</math> mit <math>\gamma(t) \in \widetilde{D_t}</math>. ==== Schritt 1.1 - Verkleinerung der Umgebung ==== Da <math>\gamma</math> injektiv ist, kann man den Radius von Kreisschreibe <math>\widetilde{D_t}\subset G</math> so verkleinern, dass für <math> I_t := [t-\delta , t+\delta] \cap [a,b] </math> gilt <math>\gamma(I_t)\subset D_t \subseteq \widetilde{D_t}</math> und <math> \gamma(I_t^c)\cap D_t = \emptyset</math> mit <math>I_t^c:= [a,b]\setminus I_t</math>. Ferner gilt <math>t\in I_t</math> und <math>\gamma(t)\in D_t \subseteq \widetilde{D_t}</math>. Ferner wurden der Kreisscheibenradius von <math>D_t</math> ohne Einschränkung so gewählt, dass auch der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_t}\subset G</math> ganz in <math> G </math>, diese Voraussetzung ist im weiteren Verlauf des Beweises wesentlich, damit man mit der [[Cauchy-Integralformel]] im Inneren der Kreisscheibe die Funktion <math>f</math> als Potenzreihe darstellen kann (siehe [[Cauchy-Kern]]). ==== Schritt 1.2 - Vereinigung der Kreisscheiben ==== Für jeden Punkt <math> \gamma(t) \in \gamma([a, b]) </math> wurde nun eine offene Kreisscheibe <math> D_t \subset G </math> mit <math>\gamma(t)\in D_t</math> gewählt. Die Vereinigung dieser Kreisscheiben <math> D_t </math> überdecken die Spur <math> \gamma([a, b]) </math>, d. h.: :<math> \bigcup_{t \in [a, b]} D_t \supset Spur(\gamma) = \gamma([a, b]) </math> ==== Schritt 1.3 - Kompaktheit der Spur ==== Da die Spur <math> \gamma([a, b]) \subset G \subseteq \mathbb{C}</math> als abgeschlossene und beschränkte Menge kompakt ist, besitzt die offene Überdeckung <math> \bigcup_{t \in [a, b]} D_t</math> der Spur von <math>\gamma </math> eine endliche Teilüberdeckung aus offenen Kreisscheiben. :<math> \underset{n \in \mathbb{N}}{\exists}\, \quad D_{t_1}, \ldots, D_{t_n} \subset U \text{ mit } \bigcup_{i=1}^n D_{t_i} \supset Spur(\gamma) = \gamma([a, b]) </math> === Schritt 2 - Eigenschaft der Argumente === Für die Punkte <math>t_1,\ldots , t_n</math> gelte folgende Eigenschaft: :<math> t_1 < t_2 < \ldots < t_n </math> Ferner haben die Kreisscheiben folgende Eigenschaft für alle <math>i\in \{1,\ldots , n-1\}</math>: :<math> D_{t_i} \cap D_{t_{i+1}} \not= \emptyset </math> === Schritt 3 - Entwicklung von f in Potenzreihen === Auf jeder Kreisscheibe <math> D_{t_i} </math> kann <math> f </math> durch eine Potenzreihe dargestellt werden, da <math> f </math> in <math> \overline{D_{t_i}} \subset G </math> holomorph ist und <math> D_{t_i}</math> eine offene Kreisscheibe in <math>G</math> ist. Sei nun darstellende Potenzreihe wie folgt definiert: :<math> f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{(k,i)} \cdot (z - \gamma(t_i))^k \quad \text{für } z \in D_i </math> wobei <math> \gamma(t_i) </math> der Mittelpunkt von <math> D_{t_i} </math> ist und <math> a_{(k,i)}</math> die Taylorkoeffizienten von <math>f</math> in dem Entwicklungspunkt <math>\gamma(t_i)</math>. === Schritt 4 - Stammfunktionen === Die Stammfunktion von <math> f </math> auf <math> D_{t_i} </math> ist durch die gleichmäßige Konvergenz auf abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_{t_i}} \subset G </math> der Potenzreihe : :<math> F_i(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{(k,i)}}{k+1} \cdot (z - \gamma(t_i))^{k+1} </math> Die Funktion <math>F_i</math> ist damit die Potenzreihenentwicklung als Stammfunktion <math>F</math> lokal in dem Punkt <math> \gamma(t_i)</math> definiert. === Schritt 5 - Vereinigung als Umgebung der Spur=== Da die Kreisscheiben <math> D_{t_i} </math> offen sind und die <math>Spur(\gamma)</math> wegen der Stetigkeit von <math>\gamma</math> eine zusammenhängende Menge ist, kann man eine Stammfunktion auf der Vereinigung der <math> D_{t_i} </math> mit <math> U:= \bigcup_{i=1}^n D_{t_i}</math> definieren. === Schritt 6 - Endliche Anzahl von Stammfunktionen === Wenn <math>z</math> ein Spurpunkt ist (d.h. <math> z \in \gamma([a, b]) </math>), dann liegt <math> z </math> in mindestens einem der Kreise <math> D_{t_i} </math> (maximal in zwei Kreisscheibe wegen Schritt 2). Sei <math> i </math> der kleinste Index des Kreises, in dem <math> z \in D_{t_i}\subseteq U</math> liegt. Dann gilt für die Stammfunktion auf <math>U</math>: :<math> F(z) = F_i(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{(k,i)}}{k+1} (z - \gamma(t_i))^{k+1} </math> ==== Schritt 7: Endlichkeit der Darstellung ==== Da die Anzahl der Kreisscheiben endlich ist (es gibt nur <math> n </math> Kreisscheiben, die die Spur überdecken), gibt es endlich viele Stammfunktionen <math> F_1, \ldots, F_n </math> als Potenzreihen, mit denen man die Stammfunktion <math>f</math> von <math>F</math> auf <math>U</math> darstellen kann. Die Definitionsbereiche der Potenzreihen <math>F_i</math> der Stammfunktion <math>F</math> überdecken die gesamte Spur <math> \gamma([a, b]) </math>. Damit hat man eine offene Umgebung der <math>Spur(\gamma)</math> und endlich viele Potenzreihen gefunden. === Zusammenfassung - Beweisschritte === * '''Injektiver Weg''': Die Injektivität von <math> \gamma </math> sorgt dafür, dass die Kreisscheiben die Spur des Weges <math>\gamma</math> in einer Sequenz von Kreisscheiben überdeckt werden, wobei sich zwei aufeinanderfolgende Kreisscheiben schneiden. * '''Kompaktheit der Spur''': Die Kompaktheit der Spur ermöglicht eine endliche Teilüberdeckung. * '''Holomorphie und Potenzreihen''': Die Holomorphie von <math> f </math> auf jeder Kreisscheibe erlaubt die Entwicklung in Potenzreihen. * '''Endlich viele Stammfunktionen als Potenzreihen''': Die Definitionsbereiche <math>D_{t_{i}} </math> und <math>D_{t_{i+1}} </math> zweier aufeinanderfolgender Stammfunktionen <math>F_{i}</math> und <math>F_{i+1}</math> haben einen gemeinsamen Schnitt, der als nichtleere Menge nicht diskret ist. Nach dem [[Identitätssatz]] sind damit bei Festlegung der Konstante für <math>F_1</math> auch alle anderen Potenzreihen der Stammfunktion eindeutig festgelegt. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphie/Kriterien]] * [[Potenzreihe]] nr3vlsoktlj1knt22rbsklbfyoxi8l5 2 172618 1114006 2026-09-01T17:19:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114006 wikitext text/x-wiki Unter didaktischem Populismus verstehe ich einen didaktischen Diskurs, der demokratische Ausbildungsprozesse (Schule, Beruf, Universität) mit all ihrer Komplexität als fundamental fehlgeleitet anprangert, deligitimiert und dagegen einfache Lösungen propagiert. Man findet ihn in der Didaktik, aber auch in schulfremden Ansätzen (Portalen, Plattformen), die versprechen, das Lernen zu revolutionieren (zu befreien ...). Da es tendenziell eher antiautoritär und zukunftsorientiert ist, muss man wohl von links-populistisch sprechen. Typische Aspekte und Vorstellungen sind folgende: {{ Aufzählung15 |Schule wird als ein Herrschaftssystem verstanden. |Es herrscht ein starker Dualismus von gut und böse. Gut sind die reinen natürlichen Kinderseelen, böse sind das Establishment, die Eliten, die festgefahrenen Institutionen. Feindbild. |Missliebige Strukturen und Konzepte werden karikiert als autoritär, frontal, Lehrerzentriert etc., oft mit einer militärischen Metaphorik, um das eigene Gute deutlicher herausstellen zu können. |Es werden niedere Instinkte angesprochen, die an eigene schlechte Lernerfahrungen (oder solche der eigenen Kinder) anknüpfen. Dies wird verknüpft mit einem Heilsversprechen, dass es auch anders sein könnte. |Lehrer können nicht erklären. Dass Lerninhalte in sich komplex sein können, ist nicht vorstellbar. |Lerninhalte werden als lebensfern, praxisfern, unnötig, abgehoben, umständlich, veraltet, verkrustet bezeichnet. Dem entgegen sei doch eigentlich alles einfach. |Man vermutet sekundäre Lernziele wie Disziplin und Gehorsam als eigentlichen Sinn der Ausbildung. Ferner geht es darum, auszusieben. |Der eigentliche didaktische Diskurs wird durch politische Forderungen überlagert, es wird moralisiert und emotionalisiert. |Eine diffuse natürliche Kreativität von Kindern wird behauptet, die vom System unterdrückt wird. Das natürliche Lernen werde vom System korrumpiert. |Ein freier, kindorientierter Ansatz soll diese Kreativität zur Blüte bringen. |Begabungsunterschiede werden ignoriert und als Erklärung für Leistungsunterschiede abgelehnt. |Anstrengung wird als inhuman, Übung als Eintrichterung delegitimiert. |Empirische Leistungsvergleiche von klassischen gegen neueren Methoden werden abgelehnt. Wenn etwas nicht funktioniert, liegt es daran, dass noch nicht alle mitmachen, dass es noch nicht überwundene Rückständigkeiten und Widerstände gibt. Ideologie ist wichtiger als Wirksamkeit. |Reformen, Versuche, einzelne Verbesserungen sind im System unerwünscht und haben keine Chance. |Wer diesen Ansatz nicht mitträgt, verteidigt das System und stellt sich gegen den humanistischen Fortschritt. }} aefyhe4xtomipt1tw7ae6w7qrrpq15l 1114010 1114006 2026-09-02T06:35:17Z Bocardodarapti 2041 1114010 wikitext text/x-wiki Unter didaktischem Populismus verstehe ich einen didaktischen Diskurs, der demokratische Ausbildungsprozesse (Schule, Beruf, Universität) mit all ihrer Komplexität als fundamental fehlgeleitet anprangert, deligitimiert und dagegen einfache Lösungen propagiert. Man findet ihn in der Didaktik, aber auch in schulfremden Ansätzen (Portalen, Plattformen), die versprechen, das Lernen zu revolutionieren (zu befreien ...). Da es tendenziell eher antiautoritär und zukunftsorientiert ist, muss man wohl von links-populistisch sprechen. Typische Aspekte und Vorstellungen sind folgende: {{ Aufzählung15 |Schule wird als ein Herrschaftssystem verstanden. |Es herrscht ein starker Dualismus von gut und böse. Gut sind die reinen natürlichen Kinderseelen, böse sind das Establishment, die Eliten, die festgefahrenen Institutionen. Feindbild. |Missliebige Strukturen und Konzepte werden karikiert als autoritär, frontal, Lehrerzentriert etc., oft mit einer militärischen Metaphorik, um das eigene Gute deutlicher herausstellen zu können. |Es werden niedere Instinkte angesprochen, die an eigene schlechte Lernerfahrungen (oder solche der eigenen Kinder) anknüpfen. Dies wird verknüpft mit einem Heilsversprechen, dass es auch anders sein könnte. |Lehrer können nicht erklären. Dass Lerninhalte in sich komplex sein können, ist nicht vorstellbar. |Lerninhalte werden als lebensfern, praxisfern, unnötig, abgehoben, umständlich, veraltet, verkrustet bezeichnet. Dem entgegen sei doch eigentlich alles einfach. |Man vermutet sekundäre Lernziele wie Disziplin und Gehorsam als eigentlichen Sinn der Ausbildung. Ferner geht es darum, auszusieben. |Der eigentliche didaktische Diskurs wird durch politische Forderungen überlagert, es wird moralisiert und emotionalisiert. |Eine diffuse natürliche Kreativität von Kindern wird behauptet, die vom System unterdrückt wird. Das natürliche Lernen werde vom System korrumpiert. |Ein freier, kindorientierter Ansatz soll diese Kreativität zur Blüte bringen. |Begabungsunterschiede werden ignoriert und als Erklärung für Leistungsunterschiede abgelehnt. Leistungsunterschiede werden grundsätzlich als Ungerechtigkeiten interpretiert. |Anstrengung wird als inhuman, Übung als Eintrichterung delegitimiert. |Empirische Leistungsvergleiche von klassischen gegen neueren Methoden werden abgelehnt. Wenn etwas nicht funktioniert, liegt es daran, dass noch nicht alle mitmachen, dass es noch nicht überwundene Rückständigkeiten und Widerstände gibt. Ideologie ist wichtiger als Wirksamkeit. |Reformen, Versuche, einzelne Verbesserungen sind im System unerwünscht und haben keine Chance. |Wer diesen Ansatz nicht mitträgt, verteidigt das System und stellt sich gegen den humanistischen Fortschritt. }} 05qh3ck17zb24d576tz4hf0rmg6nw23 10 172619 1114007 2026-09-01T17:20:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114007 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\aufzaehlungzweireihe {\itemsieben {{{{1}}}} {{{{2}}}} {{{{3}}}} {{{{4}}}} {{{{5}}}} {{{{6}}}} {{{{7}}}} } {\itemsieben {{{{8}}}} {{{{9}}}} {{{{10}}}} {{{{11}}}} {{{{12}}}} {{{{13}}}} {{{{14}}}} {{{{15}}}} } |#default= <ol> <li>{{{1}}}</li> <li>{{{2}}}</li> <li>{{{3}}}</li> <li>{{{4}}}</li> <li>{{{5}}}</li> <li>{{{6}}}</li> <li>{{{7}}}</li> <li>{{{8}}}</li> <li>{{{9}}}</li> <li>{{{10}}}</li> <li>{{{11}}}</li> <li>{{{12}}}</li> <li>{{{13}}}</li> <li>{{{14}}}</li> <li>{{{15}}}</li> </ol> }}</includeonly><noinclude>{{Semantische Auflistungsvorlagen}}</noinclude> 0z8h38y7ejwje8kc362rac4jjtoonmu 2 172620 1114011 2026-09-02T06:51:48Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114011 wikitext text/x-wiki = Vorbereitung auf die Zwischenklausur = Nach den Herbstferien schreiben wir eine '''Zwischenklausur'''. Sie besteht aus zwei Teilen: == 1. Teil: Anwenden == Im ersten Teil geht es darum, dass Sie das Gelernte praktisch anwenden können. Zum Beispiel: * Aufgaben in '''Excel''' bearbeiten * Inhalte und Funktionen aus den bisherigen Lektionen anwenden == 2. Teil: Fragen beantworten == Im zweiten Teil beantworten Sie Fragen zu folgenden Themen: * '''Software''' * '''Hardware''' * '''Betriebssystem''' * '''Dateimanagement''' Heute können Sie sich gezielt auf diese Themen vorbereiten. = Ihre Aufgaben heute = == 1. Dateimanagement – Pflichtaufgabe == Als Erstes bearbeiten Sie die Aufgabe zum '''Dateimanagement'''. Sie erhalten einen '''ZIP-Ordner mit Ländern'''. Die Dateien bzw. Ordner sind falsch geordnet. '''Ihre Aufgabe:''' Entpacken Sie den ZIP-Ordner. Sortieren Sie die Länder korrekt. Kontrollieren Sie Ihre Ordnerstruktur. Diese Aufgabe ist gleichzeitig der '''Präsenznachweis für die erste Lektion'''. '''Bitte beginnen Sie mit dieser Aufgabe.''' == 2. Selbstständiges Arbeiten und Lernstationen == Nachdem Sie die Aufgabe zum Dateimanagement erledigt haben, können Sie Ihre Zeit selbstständig einteilen und Prioritäten setzen. Ihnen stehen folgende Möglichkeiten zur Verfügung: === Linux-Laptop === * Probieren Sie Linux aus. * Lernen Sie das Betriebssystem kennen. * Testen Sie verschiedene Funktionen. === Hardware-Laptop === * Bauen Sie den Laptop auseinander. * Lernen Sie die einzelnen Hardware-Komponenten kennen. * Versuchen Sie, die einzelnen Teile korrekt zu benennen. === Quizzes === Bearbeiten Sie Quizzes zu den Themen: * Software * Hardware * Betriebssystem * Dateimanagement Die Quizzes dienen zur Vorbereitung auf den Frageteil der Zwischenklausur. == Zeit für Ihre Arbeit == Herr Eugster hat Ihnen mitgeteilt, dass Sie Zeit für Ihre Arbeit benötigen. Deshalb können Sie nach der Pflichtaufgabe zum Dateimanagement selbst entscheiden, wie Sie Ihre Zeit nutzen. Sie können zwischen den verschiedenen Lernstationen wählen und Ihre eigenen Prioritäten setzen. = Reihenfolge = '''ZIP-Ordner sortieren''' → Pflichtaufgabe und Präsenznachweis '''Zeit für Ihre Arbeit einplanen''' '''Linux-Laptop ausprobieren''' '''Laptop auseinanderbauen und Hardware-Komponenten benennen''' '''Quizzes zur Vorbereitung auf die Zwischenklausur bearbeiten''' '''Ziel für heute:''' Bereiten Sie sich möglichst gut auf die Zwischenklausur vor und arbeiten Sie dabei selbstständig. rl1cs775azjjux9ru4egkyvor52bpqj 1114012 1114011 2026-09-02T07:16:09Z Paul Sutermeister 37610 1114012 wikitext text/x-wiki = Vorbereitung auf die Zwischenklausur = Nach den Herbstferien schreiben wir eine '''Zwischenklausur'''. Sie besteht aus zwei Teilen: == 1. Teil: Anwenden == Im ersten Teil geht es darum, dass Sie das Gelernte praktisch anwenden können. Zum Beispiel: * Aufgaben in '''Excel''' bearbeiten * Inhalte und Funktionen aus den bisherigen Lektionen anwenden * Dateimanagement == 2. Teil: Fragen beantworten == Im zweiten Teil beantworten Sie Fragen zu folgenden Themen: * '''Software''' * '''Hardware''' * '''Betriebssystem''' * '''Dateimanagement''' Heute können Sie sich gezielt auf eines dieser Themen vorbereiten. = Ihre Aufgaben heute = Dateimanagement. Sie finden auf OpenOlat den Ordner Weltreise.zip Diesen laden Sie herunter und sortieren die Länder und Kontinente richtig. Für Ihr Lieblingsland müssen Sie einen Ordner im richtigen Kontinent erstellen und ein schönes Foto dieses Land in diesen Ordner einfügen. Dann müssen Sie mir den Weltreise-Ordner gezippt unter dem Dateinamen Weltreise_IhrName.zip per Mail an paul.sutermeister@minerva-edu.ch schicken. Wenn Sie diese Aufgabe erfüllt haben, markiere ich Sie für diesen Vormittag als "präsent". <!-- == 1. Dateimanagement – Pflichtaufgabe == Als Erstes bearbeiten Sie die Aufgabe zum '''Dateimanagement'''. Sie erhalte '''ZIP-Ordner mit Ländern'''. Die Dateien bzw. Ordner sind falsch geordnet. '''Ihre Aufgabe:''' Entpacken Sie den ZIP-Ordner. Sortieren Sie die Länder korrekt. Kontrollieren Sie Ihre Ordnerstruktur. Diese Aufgabe ist gleichzeitig der '''Präsenznachweis für die erste Lektion'''. '''Bitte beginnen Sie mit dieser Aufgabe.''' == 2. Selbstständiges Arbeiten und Lernstationen == Nachdem Sie die Aufgabe zum Dateimanagement erledigt haben, können Sie Ihre Zeit selbstständig einteilen und Prioritäten setzen. Ihnen stehen folgende Möglichkeiten zur Verfügung: === Linux-Laptop === * Probieren Sie Linux aus. * Lernen Sie das Betriebssystem kennen. * Testen Sie verschiedene Funktionen. === Hardware-Laptop === * Bauen Sie den Laptop auseinander. * Lernen Sie die einzelnen Hardware-Komponenten kennen. * Versuchen Sie, die einzelnen Teile korrekt zu benennen. === Quizzes === Bearbeiten Sie Quizzes zu den Themen: * Software * Hardware * Betriebssystem * Dateimanagement Die Quizzes dienen zur Vorbereitung auf den Frageteil der Zwischenklausur. == Zeit für Ihre Arbeit == Herr Eugster hat Ihnen mitgeteilt, dass Sie Zeit für Ihre Arbeit benötigen. Deshalb können Sie nach der Pflichtaufgabe zum Dateimanagement selbst entscheiden, wie Sie Ihre Zeit nutzen. Sie können zwischen den verschiedenen Lernstationen wählen und Ihre eigenen Prioritäten setzen. = Reihenfolge = '''ZIP-Ordner sortieren''' → Pflichtaufgabe und Präsenznachweis '''Zeit für Ihre Arbeit einplanen''' '''Linux-Laptop ausprobieren''' '''Laptop auseinanderbauen und Hardware-Komponenten benennen''' '''Quizzes zur Vorbereitung auf die Zwischenklausur bearbeiten''' '''Ziel für heute:''' Bereiten Sie sich möglichst gut auf die Zwischenklausur vor und arbeiten Sie dabei selbstständig. bi4lw70afmjsdxeh4zjbdpom1yv5gku