Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1114138 1113992 2026-09-03T09:47:06Z Bert Niehaus 20843 /* Integralkorrespondenzsatz */ 1114138 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> czgialmk5ykf2x2mfdhz5mifbb9dr6i 0 94616 1114055 1060106 2026-09-02T13:23:01Z ~2026-47548-34 41860 /* Komplex differenzierare Funktionen */ 1114055 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) als Eigenschaft von bestimmten [[w:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] besitzt äquivalente Bedingungen, wie z.B. in reellen Analysis nicht gelten. Die Lernressource dient dazu, die in der [[w:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mathematik]] mit einzelnen Aufgaben zu behandeln und die Unterschiede zu reellen Analysis aufzuzeigen. === Wiki2Reveal === Diese Seite zum Thema ''Holomorphie'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. === Holomorphe Abbildung === Holomorphe Abbildungen als differenzierbar Deformation <math>f</math> der Ebene: [[Datei:Conformal map.svg|150px|zentriert|Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt.]] === Komplex differenzierare Funktionen === In dieser Lerneinheit werden Funktion <math>f: U \rightarrow \mathbb{C}</math> von einer [[w:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> in die komplexen Zahlen betrachtet <math></math>, die nach unten angegebener Definition holomorph sind. === Holomorphie als Umgebungseigenschaft === Im Gegensatz zur Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math> ist die Holomorphie keine punktuelle Eigenschaft in <math>z_o \in \mathbb{C}</math>, sondern eine Eigenschaft einer Umgebung <math>U_o\subset U</math> von <math>z_o</math> muss existieren, in der <math>f:U\to \mathbb{C}</math> in jedem Punkt <math>z \in U_o</math> komplex differenzierbar sein muss (und nicht nur im <math>z_o</math> selbst). === Bezug zu reellen Differenzierbarkeit === Auch wenn die Definition in <math>\mathbb{C}</math> analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln.<ref>„Holomorphe Funktion“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 20. April 2018, 16:16 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Holomorphe_Funktion&oldid=176709493 (Abgerufen: 26. Juli 2018, 09:15 UTC) </ref> == Unterkapitel == * [[/Kriterien/|Holomorphiekriterien]] == Definition - komplexe Differenzierbarkeit == Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> und <math>z_o+h \in U</math> existiert. Man bezeichnet den Grenzwert dann als <math>f'(z_0)</math>. == Definition (Alternative)- komplexe Differenzierbarkeit == Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{z \to z_o}\frac{f(z)-f(z_o)}{z-z_o}</math> mit <math>z\in U</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. == Definition - Holomorphie in einem Punkt == Die Funktion <math> f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. == Definition - Holomorphe Funktion == Ist <math>f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''holomorph''', wenn diese auf dem ganzen Definitionsbereich <math>U</math> holomorph ist. == Definition - Ganze Funktion == Eine Funktion <math> f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''[[w:ganze Funktion|ganze Funktion]]''', wenn <math>f</math> holomorph und <math>U=\mathbb{C}</math> ist. == Beispiele für ganze Funktionen == Die folgenden Funktionen sind Beispiel für ganze Funktionen: * Polynome <math>p(z)=\sum_{k=0}^n p_k \cdot z^k </math>, * Trigonometrische Funktionen <math> \sin(z) </math> und <math> \cos(z) </math>, * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. == Gegenbeispiele für ganze Funktionen == Die folgenden Funktionen sind keine ganzen Funktionen: * <math>f_1(z)=\frac{1}{z}</math> ist keine ganze Funktion, da <math>f_1</math> eine Singularität in 0 besitzt. * <math>f_2(z)=\frac{z+2i}{z^2+4}</math> ist keine ganze Funktion, da <math>f_2</math> eine Singularität bei <math>+2i</math> und <math>-2i</math> besitzt. == Aufgaben == Berechnen Sie den Limes des Differenzenquotienten (Differential) für die Funktionen: * <math>f_{0}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{0}(z)=c \in \mathbb{C}</math> * <math>f_{1}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{1}(z)=z</math> * <math>f_{2}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{2}(z)=z^2</math> (3. binomische Formel) * <math>f_{n}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{n}(z)=z^n</math> (vollständige Induktion) == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Holomorphie/Kriterien#Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterien]] * [[w:de:Holomorphe_Funktion|Holomorphe Funktion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]], * [[w:de:Wirtinger-Kalkül#Wirtinger-Kalk.C3.BCl|Wirtinger-Ableitungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]], == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphie https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9w09azq733sqlp101z5dr70n8iizv6g 0 98849 1114137 1061927 2026-09-03T08:52:30Z Carl Stiller 32616 /* 6.1.3. Der Aufstand des Ibn al-Aschʿath und die neuen religiös-politischen Parteien */ typographische Anführungsstriche 1114137 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|5 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07|>>> 7]] {{TOC nonum}} = 6. Die Desintegration des Dschihad-Staates und die Anfänge des Fiqh (692-750) = Die frühislamische Expansionsbewegung erlebt ihren Höhepunkt und Niedergang. Soziale Spannungen zwischen Arabern und Nicht-Arabern nehmen weiter zu. Als neue religiös-politische Parteien entstehen Murdschi'a, Qadarīya, Dschahmīya und Ibādīya. Darüber hinaus bildet sich mit dem Fiqh eine eigene islamische Normenlehre heraus, die in verschiedenen lokalen Schulen gepflegt wird. == 6.1. Dritte Expansionsphase: von ʿAbd al-Malik bis Sulaimān (692-717) == === 6.1.1. Konsolidierung des Staates und dritte Expansionsphase === [[File:First Umayyad gold dinar, Caliph Abd al-Malik, 695 CE (cropped).jpg|mini|links|hochkant|Unter [[w: Abd al-Malik (Umayyaden)|ʿAbd al-Malik]] geprägter Gold-[[w:Dinar|Dinar]] mit arabischer Legende.]] Nach Wiedergewinnung Arabiens nahm [[w: Abd al-Malik (Umayyaden)|ʿAbd al-Malik]] eine Verwaltungsreform (Einführung des Arabischen als Kanzleisprache) und Münzreform (Ablösung der sassanidischen und byzantinischen Prägungen durch Münzen mit arabisch-islamischer [[w: Legende (Numismatik)|Legende]]) vor. [[w:Al-Haddschādsch ibn Yūsuf|Al-Haddschādsch ibn Yūsuf]] wurde 694 als Gouverneur in den Irak entsandt und regierte von dort aus bis 715 den gesamten Ostteil des Reiches. 705 verlegte er seinen Regierungssitz in die neugegründete Stadt Wāsit („die Mittlere“) zwischen Kufa und Basra. Um einen Rückgang der staatlichen Einnahmen zu verhindern, führte er die Regel ein, dass auch solche [[w:Dhimma|Ahl adh-Dhimma]] die [[w:Dschizya|Dschizya]] entrichten mussten, die bereits zum Islam konvertiert waren. [[File:Invasionislámicaespaña.svg|mini|Die Eroberung der [[w:Iberische_Halbinsel|iberischen Halbinsel]] unter Tāriq ibn Ziyād und Mūsā ibn Nusair zwischen 711 und 714.]] Während der zweiten Fitna waren die Araber von den Byzantinern aus [[w:Ifrīqiya|Ifrīqiya]] zurückgedrängt worden. Zur Rückgewinnung des Gebiets stellte ʿAbd al-Malik dem neuernannten Gouverneur Ifrīqiyas, [[w:Hassān_ibn_an-Nuʿmān|Hassān ibn Nuʿmān]], das Steueraufkommen ganz Ägyptens zur Verfügung und ließ ihn eine Armee von 40.000 Mann anwerben. Den nach Westen vordringenden Arabern traten nun berberische Stämme aus dem Gebiet Nordostalgeriens unter Führung einer Frau entgegen, die in der muslimischen Geschichtsschreibung als die [[w:Kāhina|Kāhina]] („Priesterin“) bekannt geworden ist. Es war nicht ungewöhnlich, dass Frauen bei den Berbern politischen Einfluss hatten, denn sie waren zum Teil noch mutterrechtlich organisiert. Die Kāhina genoss den Ruf einer Prophetin und muss eine begabte Rednerin gewesen sein. Mit dem von ihr aufgebauten Stammesverband trat sie der Armee Hassāns entgegen und drängte ihn in die [[w:Cyrenaika|Cyrenaika]] zurück. Fast drei Jahre lang blieben die Muslime in der Defensive, unterdessen kehrten die Byzantiner wieder und besetzten [[w:Karthago|Karthago]] und andere Küstenfestungen. Erst um das Jahr 698 gelang es Hassān ibn Nuʿmān mit Unterstützung berberischer Stämme und arabischer Schiffsverbände, die Byzantiner endgültig aus Karthago und den anderen Küstenfestungen zu vertreiben. Die berberische Kāhina fiel im Kampf. [[w:Mūsā ibn Nusair|Mūsā ibn Nusair]] vollendete Anfang des 8. Jahrhunderts die Eroberung der nordafrikanischen Küste und setzte in Tingis, dem heutigen [[w:Tanger|Tanger]], einen berberischen Gouverneur ein, [[w:Tāriq ibn Ziyād|Tāriq ibn Ziyād]]. Unter [[w: al-Walid I.|al-Walīd]] (reg. 705-715) setzte sich die Expansion des islamischen Staates fort. Die wichtigsten Eroberungen fanden innerhalb weniger Monate statt. Im Westen setzte im Frühjahr 711 Tāriq ibn Ziyād in einer eigenmächtigen Aktion mit einer Armee von 7.000 ausschließlich berberischen Kämpfern nach Europa über. Der Berg, an dessen Fuß er mit seinen Truppen landete, trägt seither seinen Namen (arab. ''ǧabal Ṭāriq'' = „Berg Tāriqs“ → [[w:Gibraltar|Gibraltar]]). Nach dem Sieg über den [[w:Westgoten|Westgotenkönig]] [[w:Roderich|Roderich]] im Juli 711 konnten Tāriq ibn Ziyād und Mūsā ibn Nusair innerhalb weniger Jahre die gesamte iberische Halbinsel einnehmen. Unter dem Namen [[w:al-Andalus|al-Andalus]] wurde dieses Gebiet in das islamische Reich eingegliedert. Im Osten des islamischen Reiches eroberte im gleichen Jahr der junge Heerführer [[w:Muhammad ibn al-Qasim|Muhammad ibn al-Qāsim]] das Gebiet von [[w:Sindh|Sindh]] im heutigen Südpakistan mit der Stadt [[w:Multan|Multan]]. Und im Nordosten eroberte ein Jahr später [[w:Qutaiba ibn Muslim|Qutaiba ibn Muslim]], der Gouverneur von [[w:Chorasan|Chorasan]], [[w:Choresmien|Choresmien]] und Transoxanien mit den Städten [[w:Buxoro|Buchara]] und [[w:Samarkand|Samarkand]]. === 6.1.2. Staatliche Maßnahmen im religiösen Bereich === [[File:Mihrab, Umayyad Mosque.jpg|mini|Der [[w:Mihrāb|Mihrāb]] der Umaiyaden-Moschee von Damaskus heute. Die darüber stehenden arabischen Wörter sind ein Zitat aus dem Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/37 Sure 3:37]) und setzen den Bau zur koranischen Johannesgeschichte in Beziehung.]] Unter den beiden Kalifen ʿAbd al-Malik und al-Walīd wurden auch Maßnahmen im religiösen Bereich getroffen. Im Jahre 703 unternahm al-Haddschādsch eine eigene Initiative zur Vereinheitlichung der Orthographie der Koranschreibung. Damit alle Uneindeutigkeiten ausgeräumt waren, wurden alle Buchstaben mit ähnlichem Aussehen fortan mit diakritischen Zeichen versehen. Leiter der Kommission war der Gelehrte [[w:al-Hasan al-Basrī|al-Hasan al-Basrī]] (gest. 728). Al-Walīd setzte zwei anspruchsvolle religiöse Bauprojekte um: 1. in Damaskus ließ er die eigentlich vertraglich geschützte Johanneskirche im Zentrum der Stadt einreißen und in den bereits bestehenden Moscheekomplex einverleiben; an der Stelle wurde die noch heute bestehende [[w:Umayyaden-Moschee|Umaiyaden-Moschee]] errichtet; 2. in Medina ließ er von seinem Gouverneur die Prophetenmoschee abreißen und in größerem Maßstab wieder errichten. Die beiden Bauten erhielten als neues Architekturelement im Inneren eine Nische, die den Platz des Vorbeters und die [[w:Qibla|Qibla]] anzeigte. Diese Gebetsnische, die man in Anspielung an die koranische Erzählung von der Verkündung des Johannes ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/39 Q 3:39]) [[w:Mihrāb|Mihrāb]] genannt hat, ist später fester Bestandteil der Moscheearchitektur geworden. Allerdings gab es von Seiten traditionalistisch gesinnter Muslime noch lange Zeit Widerstand gegen den Mihrāb. So wird zum Beispiel berichtet, dass der irakische Traditionarier [[w:Yazīd ibn Hārūn|Yazīd ibn Hārūn]] (gest. 821) einmal bei einer Privatmoschee, die gerade im Bau war, den Mihrāb einreißen ließ, weil er diesen offenbar für eine [[w:Bidʿa|unrechtmäßige Neuerung]] hielt. Der Felsendom scheint allerdings noch eine Zeitlang seine Rolle als religiöses Heiligtum behalten zu haben. So wird berichtet, dass an ihm unter al-Walīd Rituale vollzogen wurden, die nicht typisch sind für eine Moschee. Es wurden 40 zur lokalen Bevölkerung gehörende Diener für das Gebäude abgestellt, die „Felswächter“ (''ḥurrās aṣ-ṣaḫra'') genannt wurden. In Schichten arbeitend, waren sie für das Öffnen und Schließen der Tore, die Lampen und die allgemeine Instandhaltung verantwortlich. Jeden Montag und Donnerstag fand ein spezieller Gottesdienst statt, der mit der Vorbereitung der Felsendiener, der Einsalbung des Felsens und Beweihräucherung des Gebäudes begann. Dann wurden die Gläubigen der Stadt durch einen Rufer aufgefordert, zum Gebet zu kommen. Nach dem Gebet wurde der Felsen von Felsendienern erneut gewaschen und abgetrocknet, die Türen wurden wieder verschlossen. === 6.1.3. Der Aufstand des Ibn al-Aschʿath und die neuen religiös-politischen Parteien === Auch nach innen bemühten sich die Kalifen, die Kontrolle des Staates auszuweiten. Nach dem Sieg über [[w:ʿAbdallāh ibn az-Zubair|ʿAbdallāh ibn az-Zubair]] trieben noch verschiedene charidschitische Gruppen im Irak und in Iran ihr Unwesen, darunter besonders die [[w:Azraqiten|Azraqiten]]. Sie überzogen unter ihrem Kalifen al-Qatarī ibn al-Fudschāʿa weite Gebiete Persiens mit Feuer und Schwert und setzten mehrere Jahre hindurch den zahlenmäßig weit überlegenen Regierungstruppen hartnäckigen Widerstand entgegen. Im Jahre 698 gelang es aber [[w:al-Muhallab ibn Abī Sufra|al-Muhallab ibn Abī Sufra]], sie endgültig zu vernichten. Um das Jahr 700 brach aber noch einmal ein Aufstand aus, der das arabische Reich fast zum Zusammensturz brachte. Auslöser dafür war das Verhalten von al-Haddschādsch ibn Yūsuf im Irak. Er ging sehr hart gegen die arabischen [[w:Scharīf|Stammesführer]] in Kufa vor und versuchte, ihre Macht zu brechen. Um 700 stellte sich der kinditische Stammesführer Ibn al-Aschʿath, ein Enkel von [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]] an die Spitze einer Aufstandsbewegung, die von Ostiran aus in Richtung Irak vorrückte und die Absetzung von al-Haddschādsch forderte. Nachdem al-Haddschādsch den Aufstand, der auch von den Schiiten von Kufa unterstützt wurde, niedergeschlagen hatte, ließ er seine Unterstützer erbarmungslos verfolgen. Einige Schiiten aus Kufa flohen darauf hin nach Iran und gründeten dort die Stadt [[w:Ghom|Qom]]. Sie wurde später zu einem der wichtigsten Zentren der Schia. Innerhalb der Schia spielte damals die [[w:Kaisānīya|Kaisānīya]] (siehe dazu oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05#5.3.3. Der schiitische Aufstand des Muchtār|5.3.3.]]) eine wichtige Rolle. Die Kaisāniten knüpften noch immer [[w:Soteriologie|soteriologische]] Erwartungen an [[w:Muhammad ibn al-Hanafīya|Muhammad ibn al-Hanafīya]], den früher von [[w:al-Muchtār ibn Abī ʿUbaid|al-Muchtār]] verkündeten [[w:Mahdi|Mahdī]], der selbst gar kein Mahdī sein wollte. Als Muhammad ibn al-Hanafīya im Jahre 700 starb, meinten viele von ihnen, er sei nicht wirklich gestorben, sondern nur der Welt entrückt; in Wahrheit weile er versteckt in den Schluchten des Berges Radwā nördlich von Medina, von Engeln bewacht und mit Speise aus dem Paradies ernährt; in naher Zukunft werde er aus seinem Versteck hervortreten, seine Anhänger um sich scharen, die Feinde zerschmettern und „die Erde mit Gerechtigkeit erfüllen, sowie sie mit Ungerechtigkeit erfüllt war“. Die Lehren der Kaisānīya, insbesondere das Modell der „Verborgenheit“ ([[w:Ghaiba|Ghaiba]]) und erwarteten Rückkehr (''raǧʿa'') des Mahdī wurde später von anderen Zweigen der Schia auf andere Personen übertragen, die Gestalt des Mahdī fand auch Eingang in die Lehren der nicht-schiitischen Muslime. Deswegen ist die Kaisānīya von großer religionsgeschichtlicher Bedeutung für den Islam. ;6.1.3.1. Murdschiiten Während Schiiten bei dem Aufstand des Ibn al-Aschʿath eigentlich nur eine marginale Rolle spielte, gab es eine andere Gruppe, die dabei erheblich stärker hervortrat, nämlich die Koranleser der Murdschi'a. Die religiös-politische Bewegung der [[w:Murdschi'a|Murdschi'a]] („Aufschieber“) geht auf Hasan, den Sohn Muhammad ibn al-Hanafīyas zurück. Er hatte in den frühen 690er Jahren einen offenen Brief verfasst, in dem er die Lehre entwickelte, dass entsprechend [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/106 Sure 9:106] das Urteil über die Menschen, die sich an der Fitna beteiligt hatten, also [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha]], az-[[w:Zubair ibn al-ʿAuwām|Zubair]], [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī]] und [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]], aufgeschoben werden müsse, bis Gott (im Jenseits) über sie entscheide. Da Gott über diese Menschen urteile, sollten sich die Muslime bis dahin jeglicher Parteinahme enthalten. Mit diesem Gedanken der Versöhnung und des Ausgleichs standen die Murdschi'a oder Murdschiiten, wie man sie auch nennt, den ''ahl as-sunna'' sehr nah. Dass sich trotz ihrer konzilianten Haltung so viele Murdschiiten in den Ibn-al-Aschʿath-Aufstand hineinziehen ließen, hat damit zu tun, dass viele von ihnen [[w:Mawālī|Mawālī]] waren und al-Haddschādsch eine Politik betrieb, die auf Bewahrung der politischen Vorrechte der Araber ausgerichtet war. So verfügte er, dass Nicht-Muslime, die zum Islam übertraten, trotzdem die [[w:Dschizya|Dschizya]] weiterzahlen mussten. Dass sich vor allem murdschiitische Koranleser der Ibn-al-Aschʿath-Revolte anschlossen, dürfte darin seinen Grund haben, dass al-Haddschādsch [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|Ibn Masʿūd]] und seine Koranlesung verspottete und der Bevölkerung in Kufa mit einem Massaker drohte, wenn sie nicht aufhören würden, den Koran nach seiner Lesung zu rezitieren. Viele der murdschiitischen Koranleser wurden nach der Niederschlagung des Aufstands durch al-Haddschādsch hingerichtet, andere flohen in den [[w:Haram_(heiliger_Bezirk)|Haram]] von Mekka. Jahre später, 713, wurden die nach Mekka geflüchteten Murdschiiten, die an den Aufstand des Ibn al-Aschʿath teilgenommen hatten, von dem mekkanischen Gouverneur [[w:Chālid al-Qasrī|Chālid al-Qasrī]] verhaftet und zur Hinrichtung an al-Haddschādsch ausgeliefert. Die Brutalität, mit der al-Walīd und seine Gouverneure gegen diese Oppositionellen vorgingen, entfremdete die frommen Milieus dem Umaiyadenstaat und verstärkte bei ihnen die Überzeugung, dass es sich um ein „Unrechtsregime“ handelte. ;6.1.3.2. Qadariten Neben den Murdschiiten gab es damals noch eine andere Gruppe, die auf religiös-politischer Ebene Kritik an den Herrschenden übte. Der Name dieser Gruppe geht auf den arabischen Begriff [[w:Qadar|Qadar]] zurück, der im Koran allgemein Akte der göttlichen Festlegung bezeichnet. Für die politisch-theologische Diskussion der Umaiyadenzeit über das Qadar war eine Koranstelle besonders bedeutsam, an der die von Muhammads Umgebung kritisierte Eheschließung mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] mit Qadar gerechtfertigt wird. Gottes Befehl dazu sei ''qadar maqdūr'' „von Gott bestimmte Festlegung“ gewesen, heißt es im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33:38]). Wie arabischen Quellen zu entnehmen ist, rechtfertigten auch die Umaiyaden ihre Unrechtstaten mit dem Qadar Gottes. Al-Hasan al-Basrī soll dies empört zurückgewiesen haben, was ihm offenbar einige politische Schwierigkeiten einbrachte. Diejenigen, die dieses Problem weiter thematisierten und die Eigenverantwortlichkeit der Menschen für ihr Tun betonten, wurden als [[w:Qadarīya|Qadariten]] bezeichnet. Niemand, so war ihre Auffassung, sollte seine Sünden mit der Behauptung rechtfertigen können, dass er dazu gezwungen sei, weil Gott die Sünden vorherbestimmt habe. Zu denjenigen, die sich in dieser Zeit gegen die Verwendung [[w:Prädestination|prädestinatianischer]] Formeln zur Rechtfertigung von Missetaten der politischen Machthaber gewandt haben, gehörte auch der ursprünglich aus Ostiran stammende Gelehrte [[w:Makhūl ibn Abī Muslim|Makhūl ibn Abī Muslim]] (gest. 731-37). Er vertrat die Auffassung, dass nur das Gute dem Menschen von Gott zugemessen werde, das Schlechte aber von ihm selbst komme. Derjenige, der eine große Sünde begangen hatte und nicht [[w:Tauba|bußfertig umkehrte]], war nach der Lehre der Qadariten ein [[w:Munāfiq|Munāfiq]] und somit zu ewigen Höllenqualen verdammt. Die Qadariten waren also in gewisser Weise ethische Rigoristen. Viele von ihnen gerieten in Konflikt mit der Staatsgewalt, weil sie bei ihrer Kritik an den Herrschenden kein Blatt vor den Mund nahmen. Anders als die Murdschiiten ließen sie sich aber niemals in politische Aufstände hineinziehen. Al-Hasan al-Basrī warnte davor, durch Rebellion gegen vermeintlich sündige Herrscher die einträchtige Gemeinschaft aufs Spiel zu setzen. Allerdings musste er sich selbst nach Kritik an al-Haddschādsch ibn Yūsuf aus dem öffentlichen Leben zurückziehen. Eine der bedeutendsten islamischen Ideen, die ursprünglich auf qadaritisches Milieu zurückgeht, ist die Vorstellung von der [[w:Bestrafung im Grab|Grabesstrafe]] (''ʿaḏāb al-qabr''), die der eigentlichen Bestrafung des Menschen im Jenseits vorausgehen soll. Schon al-Hasan al-Basrī soll dieses Konzept mit Verweis auf das Koranwort: „Wir werden sie zweimal strafen“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/101 Q 9:101]) propagiert haben. ;6.1.3.3. Das antisektarische Ideal Einige Muslime scheinen schon in dieser Zeit daran Anstoß genommen zu haben, dass sich die Qadariten und Murdschi'iten zu eigenen religiös-politischen Parteien entwickelten. Sie stellten sie als solche mit den Schiiten und Charidschiten auf eine Stufe. Als Beispiel kann man wiederum auf asch-Schaʿbī verweisen, der 699 in den Aufstand des Ibn al-Aschʿath hineingezogen worden war, sich danach aber mit den Umaiyaden versöhnte und als Prinzenerzieher wirkte. Von ihm wird folgender Leitspruch überliefert: „Wisse, dass die gute Tat von Gott kommt und die schlechte von dir, aber sei kein Qadarit. Liebe die Familie des Propheten Gottes, aber sei kein Schiit. Enthalte Dich bei den zweifelhaften Dingen des Urteils, aber sei kein ‚Aufschieber‘ (= Murdschiit). Handle nach dem Koran, aber sei kein Hārūrit (= Charidschit).“ Asch-Schaʿbī meinte also, dass die Prinzipien, die die verschiedenen Bewegungen seiner Zeit verfolgten, grundsätzlich richtig waren, jedoch ihr Sektierertum keine Nachahmung verdiente. Dieses antisektarische Ideal wurde später zu einem festen Bestandteil sunnitischer Identität. == 6.2. ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz und die Mawālī (717-720) == Unter den Kalifen [[w:Sulaimān ibn ʿAbd al-Malik|Sulaimān ibn ʿAbd al-Malik]] (715-717) und [[w:ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz|ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz]] (717-720) kam es zu einer Verlangsamung der Expansionsbewegung. Mit ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz kam ein Mann auf den Thron, der bereits seit seiner Jugendzeit in Medina in einem engen Verhältnis zur religiösen Gelehrsamkeit stand. Während des Kalifats al-Walīds hatte er dessen Herrschaft als Unrechtsregime kritisiert. Bei seinem Herrschaftsantritt soll er einen seiner Gouverneure dafür getadelt haben, dass er die Sunna des Propheten nicht befolgte und unrechtmäßige Neuerungen (''bidaʿ'') einführte. Dies lässt darauf schließen, dass er den ''ahl as-sunna'' sehr nahestand. Während seines Kalifats unterbrach ʿUmar die Offensivstrategie des Staates und wandte sich den im Inneren herrschenden Spannungen zu. Eine einjährige [[w:Belagerung von Konstantinopel (717–718)|Belagerung von Konstantinopel]] wurde 718 abgebrochen. Lediglich im Westen gab es in dieser Zeit noch territoriale Zugewinne: 719 nahm der [[w:as-Samh ibn Mālik al-Chaulānī|Gouverneur von al-Andalus]] die gallische Stadt [[w:Narbonne#Mittelalter|Narbonne]] ein. Der islamische Staat, der damals bereits ein Weltreich geworden war, wurde bis dahin immer noch als ein Bündnis arabischer Stämme geführt. Nicht-Araber, die zum Islam konvertiert waren, mussten deshalb zu Klienten ([[w:Mawālī|Mawālī]]) arabischer Stämme werden. Das Überlegenheitsgefühl der Araber gegenüber den nicht-arabischen Völkern zeigte sich auch auf dem Gebiet der Koranexegese. Bis zum frühen 8. Jahrhundert wurde der im Koran erwähnte Sohn [[w:Abraham im Islam|Abrahams]], der sich hinzugeben bereit war, als Gott seine Opferung verlangte (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/37/vers/102 Q 37:102-105]), in Anknüpfung an den biblischen Bericht allgemein mit [[w:Isaak|Isaak]], dem Stammvater der Juden, identifiziert. In der Zeit von ʿUmar II. kam zum ersten Mal die Vorstellung auf, dass es sich um [[w:Ismael|Ismāʿīl]], den Stammvater der Araber, handeln müsste. Diese Lehre hat sich später auch allgemein im Islam durchgesetzt. Die Murdschi'a-Bewegung, die ursprünglich vor allem auf die Wiederherstellung der Eintracht unter den Muslimen ausgerichtet war, übernahm Anfang des 8. Jahrhunderts eine neue politische Rolle, indem sie in [[w:Chorasan|Chorasan]] und [[w:Transoxanien|Transoxanien]] für die Rechte der Mawālī kämpfte. Im Jahre 718/9 beschwerte sich ein murdschi'itischer Klient, Abū s-Saidā', bei ʿUmar darüber, dass 20.000 Mawālī in Chorasan in der Armee ohne Sold dienten und eine ähnliche Zahl neuer Konvertiten zur Zahlung der Dschizya gezwungen sei. ʿUmar sorgte daraufhin dafür, dass diese neuen nicht-arabischen Konvertiten den Arabern gleichgestellt wurden. Jeder, der das Glaubensbekenntnis der Muslime sprach und zu ihrer [[w:Qibla|Qibla]] hin betete, wurde nach seiner Anordnung von der Bezahlung der Dschizya ausgenommen. Eine Frage, die in dieser Zeit viel diskutiert wurde, war die [[w:Zirkumzision|Beschneidung]] der Konvertiten. Müssen auch Männer, die sich im Erwachsenenalter zum Islam bekehrten, noch beschnitten werden? Während die umaiyadischen Gouverneure in Chorasan dies für notwendig hielten, urteilte Hasan al-Basrī, dass eine Beschneidung nicht vorgenommen werden sollte, wenn zu befürchten war, dass der Mann gesundheitliche Schäden davon tragen würde. ʿUmar ging sogar noch weiter und hob die Beschneidungspflicht für neu bekehrte Muslime vollständig auf. In diesem Zusammenhang wird von ihm der Ausspruch überliefert: „Gott hat Muhammad als Prediger entsandt, nicht aber als Beschneider.“ Um einen weiteren Anreiz für den Übertritt zum Islam zu schaffen, erlegte er umgekehrt den [[w:Dhimma|Dhimmīs]] den sogenannten Ghiyār auf, die Pflicht, eine bestimmte Kleidung zu tragen, die sie von den Muslimen unterschied. == 6.3. Yazīd II., Hischām und das Anwachsen der religiös-politischen Opposition (720-743) == === 6.3.1. Vierte Expansionsphase und das Ende des Dschihad-Staates === [[File:Conquête de l'Islam à la chute des Omeyyades de.svg|mini|Expansion des Islamischen Reichs bis zum Ende der Herrschaft von [[w: Hischām ibn ʿAbd al-Malik|Hischām ibn ʿAbd al-Malik]]]] ʿUmars Nachfolger, die Brüder [[w:Yazid II.|Yazīd ibn ʿAbd al-Malik]] (reg. 720-724) und [[w:Hischām ibn ʿAbd al-Malik|Hischām ibn ʿAbd al-Malik]] (reg. 724-743) nahmen die frühere Expansionspolitik wieder auf. 725 unterwarf der Gouverneur von al-Andalus, [[w: ʿAnbasa ibn Suhaim al-Kalbī|ʿAnbasa]], das Gebiet von [[w:Septimanien|Septimanien]] im Süden des heutigen Frankreichs und installierte arabische Garnisonen in den Städten des unteren [[w:Rhone|Rhone]]-Tals. Im Kaukasus eroberte 730 der Umaiyaden-Prinz [[w:Maslama|Maslama]] die Stadt [[w:Derbent|Derbent]] und siedelte dort 24.000 Araber an. Damit begann die nachhaltige [[w:Islam in Dagestan|Islamisierung Dagestans]]. 735 wurde im äußersten Westen Nordafrikas das zwischen [[w:Hoher Atlas|Hohem Atlas]], [[w:Antiatlas|Antiatlas]] und Atlantik liegende [[w: Souss-Ebene|Sūs-Tal]] eingenommen und die Bevölkerung zum Islam bekehrt. Doch gab es in dieser Zeit auch schon einige Gebietsverluste. Auf der iberischen Halbinsel unternahm 722 [[w:Pelayo|Pelayo]], ein westgotischer Militäradliger, einen Aufstand gegen die muslimische Herrschaft; das von ihm beherrschte Gebiet im äußersten Norden der Halbinsel konnte nie mehr zurückgewonnen werden. 727 musste der Versuch, die byzantinische Stadt [[w:İznik|Nikäa]] zu erobern, abgebrochen werden. Alle weiteren Vorstöße auf fränkisches und byzantinisches Gebiet endeten mit empfindlichen Niederlagen ([[w:Schlacht von Tours und Poitiers|Tours und Poitiers 732]], [[w:Schlacht bei Akroinon|Akroinon 740]]). Das Rhone-Tal ging 737 wieder verloren. Das islamische Reich geriet immer mehr in eine militärische Krise. Die Expansionspolitik ließ sich nicht mehr in gewohnter Weise fortsetzen. Grund für die Krise waren die Probleme bei der Verwaltung eines derart großen Reiches, die immer heftiger werdenden Rivalitäten zwischen verschiedenen arabischen Stämmen und der allgemeine politische Legitimitätsverlust des Umaiyadenhauses. Schon im Jahre 720 unternahm [[w:Yazīd ibn al-Muhallab|Yazīd ibn al-Muhallab]], der Sohn von [[w:Al-Muhallab_ibn_Abī_Sufra|al-Muhallab ibn Abī Sufra]], in Basra einen charidschitisch inspirierten Aufstand und rief im Namen des „Buches Gottes und der Sunna des Propheten“ zu einem Dschihad gegen die Umaiyaden auf. Immer mehr Gruppierungen, darunter auch Qadariten, stellten das Vorrecht dieser Familie auf die religiös-politische Führung der Umma in Frage. === 6.3.2. Die haschimidische Daʿwa und die Schiiten === [[File:Banu Haschim.png|mini|330px|Stammbaum der Banū Hāschim mit Aliden (grün) und Abbasiden (rötlich)]] Die Marwāniden, die seit 685 herrschten, waren zwar keine Nachkommen von Abū Sufyān mehr, sie gehörten aber immer noch dem mekkanischen Clan der ʿAbd Schams an. Gegen deren Vorherrschaft im islamischen Staat richtete sich eine Oppositionsbewegung, die für eine Vorherrschaft des Clans der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] kämpfte, dem ja auch der Prophet selbst angehört hatte. Die Propaganda ([[w:Daʿwa|Daʿwa]]) dieser Bewegung, die man als haschimidisch bezeichnete, wurde durch Werbeagenten (''duʿāt'', sing. ''dāʿī'') bis in die Garnisonen Ostirans getragen. Diese Werbeagenten wirkten im Verborgenen und traten nur mit Pseudonym auf, die Identität des künftigen Imam-Kalifen wurde noch nicht enthüllt, die Werbung vielmehr im Namen eines noch Namenlosen betrieben, „desjenigen aus dem Hause Muhammads, der Zustimmung findet“ (''ar-riḍā min āl Muḥammad''). Innerhalb dieser haschimidischen Daʿwa spielten die [[w:Abbasiden|Abbasiden]], die Nachkommen des Prophetenonkels [[w:al-ʿAbbās_ibn_ʿAbd_al-Muttalib|ʿAbbās]], die damals in [[w:en:Humayma|Humaima]], einem kleinen Ort in Südjordanien lebten, eine wichtige Rolle. Schon um das Jahr 718 hatten Angehörige dieser Familie Pläne entwickelt, die Macht im Kalifat zu ergreifen. Der erste Abbaside, der sich in der Daʿwa engagierte, war Muhammad ibn ʿAlī (gest. 743), ein Enkel von [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAbbās|ʿAbdallāh ibn ʿAbbās]]. Aber auch Anhänger der [[w:Aliden|Aliden]], die ja ebenfalls dem Clan der Banū Hāschim angehörten, beteiligten sich an der Daʿwa-Bewegung. Diese Schiiten sandten von Kufa aus eigene Werber nach Chorasan, die sich mit denjenigen der Abbasiden vermischten. Zeitweise verselbständigte sich der chorasanische Daʿwa-Apparat und verfolgte eigene Ziele. Welche politischen und religiösen Vorstellungen die kufischen Schiiten damals hegten, ist durch das sogenannte [[w:Kitāb Sulaim ibn Qais|Kitāb Sulaim ibn Qais]] dokumentiert, das als das älteste Buch der Schia gilt. Hier wird der Anspruch der Familie Muhammads auf die Herrschaft über die Muslime bekräftigt und ihre Verdrängung von der Macht als ein Komplott verschiedener Prophetengefährten interpretiert, das schon vor Muhammads Tod geschmiedet wurde. Unter den kufischen Schiiten gab es einige Persönlichkeiten, die [[w:Gnosis|gnostischen]] Vorstellungen anhingen. Zu ihnen gehörten insbesondere [[w:al-Mughīra ibn Saʿīd|al-Mughīra ibn Saʿīd]] und [[w:Abū Mansūr al-ʿIdschlī|Abū Mansūr al-ʿIdschlī]], die beide für sich das Prophetentum beanspruchten. Al-Mughīra entwickelte eine extrem anthropomorphistische Gotteslehre und lehrte, dass Gott die Welt durch Aussprechen des „größten Gottesnamen“ (''ism Allāh al-aʿẓam'') erschaffen habe. Dies leitete er aus dem Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/87/vers/1 Sure 87:1-2] ab, das er folgendermaßen las: „Preise den höchsten Namen deines Herrn, der erschuf und ebenmäßig formte“. Er behauptete auch, selbst den „größten Gottesnamen“ zu kennen und damit Tote zum Leben erwecken zu können. Nach Mughīra interessierten sich noch viele andere muslimische Gnostiker für diesen „größten Gottesnamen“ und maßen ihm magische Eigenschaften zu. ʿAlī und seinem Nachkommen [[w:Muhammad al-Bāqir|Muhammad al-Bāqir]] sprach al-Mughīra göttliche Eigenschaften zu und die beiden Kalifen Abū Bakr und ʿUmar erklärte er zu Ungläubigen, mit dem Argument, dass sie ihn nach dem Tode des Propheten davon abgehalten hatten, sein Kalifat anzutreten. Abū Mansūr al-ʿIdschlī führte das Prinzip der allegorischen Koranauslegung (''taʾwīl'') in den Islam ein. Er meinte, dass koranische Begriffe wie [[w:Dschanna|Dschanna]] („Garten“) und ''Nār'' („Feuer“) nur Personen bezeichneten, die es zu verehren bzw. zu bekämpfen galt. Auch die koranischen Gesetze und Verbote deutete er in dieser Weise, woraus sich eine [[w:Antinomismus|antinomistische]] Grundhaltung ergab. Selbst Morde an Gegnern hielt er für zulässig. Die schiitischen Imame betrachtete er als Propheten. Das Prophetentum ʿAlīs erklärte er damit, dass sich der Engel Gabriel geirrt habe, und die für ʿAlī bestimmte göttliche Botschaft fälschlicherweise Muhammad überbracht habe. Beide, al-Mughīra und Abū Mansūr wurden noch während Hischāms Kalifat hingerichtet. In der islamischen [[w:Doxographie|Doxographie]] werden Schiiten, die wie sie den Imamen göttliche Eigenschaften beimessen oder sie als Propheten verehren, als [[w:Ghulāt|Ghulāt]] („Übertreiber, Extremisten“) bezeichnet. [[File:Schiitische Gruppen.svg|mini|500px|Die Herausbildung der verschiedenen schiitischen Gruppierungen im Laufe der Jahrhunderte]] Eine andere schiitische Gruppe dieser Zeit war die Butrīya, die hinsichtlich der islamischen Frühgeschichte sehr gemäßigte Ansichten vertrat. ʿAlī hielten die Butriten zwar nach dem Propheten für den besten (''al-afḍal'') aller Muslime, doch erkannten sie das Kalifat Abū Bakrs und ʿUmars als rechtmäßig an, da ʿAlī ihnen gehuldigt hatte. Ähnliche Ansichten vertrat der in Medina lebende Husainide [[w:Zaid ibn ʿAlī|Zaid ibn ʿAlī]]. Als er sich im Jahre 739 nach Kufa begab und die Schiiten zur Rebellion gegen die Umaiyaden aufrief, kam es dort innerhalb der schiitischen Gemeinde zum Konflikt. Zaid konnte zwar zunächst mehrere Tausend Schiiten hinter sich versammeln, doch fielen die meisten von ihm wieder ab, als sie sahen, dass er nicht bereit war, die beiden ersten Kalifen zu schmähen. Diejenigen Schiiten, die auf Schmähung der beiden ersten Kalifen bestehen, werden seither in der islamischen Doxographie als [[w:Rāfida|Rāfida]] („Ablehner“; nämlich von Zaid ibn ʿAlī), bezeichnet, die anderen Schiiten, die das Imamat der beiden ersten Kalifen Abū Bakr und ʿUmar als rechtmäßig anerkennen und insofern eine gemäßigtere schiitische Lehre vertreten, wurden aufgrund ihrer Verbindung mit Zaid ibn ʿAlī unter dem Namen [[w:Zaiditen|Zaidīya]] geführt. Zaids Aufstand gegen den Kalifen Hischām im Jahre 740 schlug aufgrund der geringen Unterstützung durch die kufischen Schiiten fehl; Zaid fiel in Kufa im Straßenkampf gegen die Truppen des Statthalters. Zaids junger Sohn Yahyā floh nach [[w:Chorasan|Chorasan]], fiel aber in die Hand der Umaiyaden. Wieder freigelassen, suchte er sich in der Gegend von [[w:Herat|Herat]] (westliches Afghanistan) erneut zu erheben, fiel aber 743 im Kampf gegen die umaiyadischen Regierungstruppen. === 6.3.3. Die Sezession des Ibn Suraidsch und die Dschahmīya === [[File:Transoxiana_8th_century.svg|mini|links|Transoxanien, das Gebiet, in das sich al-Hārith ibn Suraidsch zurückzog.]] Im Jahre 734 zettelte der arabische Kämpfer al-Hārith ibn Suraidsch, ein Mann, der eng mit den Murdschi'iten von Abū s-Saidā' verbunden war, in Chorasan einen Aufstand gegen die Umaiyaden an. Ibn Suraidsch, der in einer öffentlichen Erklärung forderte, dass der Gouverneur von Chorasan durch eine [[w:Schūrā|Schūrā]] gewählt werden und gemäß dem Buch Gottes und der Sunna des Propheten handeln müsse, konnte die chorasanische Stadt Balch erobern. Nach einer Niederlage gegen umaiyadische Truppen verbündete er sich mit nicht-muslimischen türkischen Stammesführern, die in dieser Zeit von Transoxanien aus die Araber bekämpften. Zwar konnte der umaiyadische Gouverneur Ibn Suraidsch und seinen türkischen Verbündeten 737 eine Niederlage beibringen, doch gelang es ihm nicht, Ibn Suraidsch endgültig zu besiegen. Er zog sich für die folgenden Jahre in das nördliche Transoxanien zurück und lebte dort auf dem Gebiet türkischer Stammesverbände, die einem [[w:Buddhismus|buddhistischen]] Glauben anhingen. Sekretär von Ibn Suraidsch war ein gewisser [[w:Dschahm ibn Safwān|Dschahm ibn Safwān]]. Auf ihn wird eine eigene theologische Richtung des Islams zurückgeführt, die für ihre Tendenz, Gott von jeder Eigenschaft zu „entleeren“ (arab. ''taʿṭīl''), bekannt war. Dschahm unterschied in seiner Theologie in Anknüpfung an koranische Aussagen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/39/vers/63 Q 39:63] und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/42/vers/11 42:11]) scharf zwischen Gott und allem, was „Ding“ (''šaiʾ'') genannt wird und erschaffen ist, und verlangte auf dieser Grundlage, dass Gott keine Eigenschaften von erschaffenen Dingen und Wesen, also auch Menschen, zugeschrieben werden dürften. Diese Ablehung von jeglicher Form des Anthropomorphismus brachte Dschahm auch dazu, darauf zu beharren, dass die [[w:Rede Gottes|Rede Gottes]] erschaffen sein müsse. Denn da Gott keinen physischen Körper habe, so meinte er, könne er nicht selbst sprechen, sondern Rede, die von Menschen wahrgenommen wird, nur erschaffen. Da die Rede Gottes erschaffen ist, musste folgerichtig auch der [[w:Erschaffenheit des Korans|Koran erschaffen]] sein. Von Dschahm wird berichtet, dass er mit buddhistischen Mönchen, die in den Quellen als Sumanīya erscheinen, religiöse Streitgespräche führte. Gut möglich ist, dass er seinen streng abstrakten und [[w:Transzendenz|transzendenten]] Gottesbegriff in Auseinandersetzung mit dem Buddhismus, in dem das Konzept der Leere ([[w:Shunyata|Shunyata]]) eine wichtige Rolle spielt, entwickelt hat. Die Dschahmīya, also die von Dschahm ibn Safwān begründete Lehrrichtung, zeichnete sich noch durch einen anderen Zug aus, nämlich ihre spezielle [[w:Determinismus|deterministische]] Handlungstheorie. Demnach handelt der Mensch nicht wirklich selbst, sondern seine Handlungen werden durch Gott hervorgebracht. Diese Auffassung, die gewissermaßen die Gegenposition zur Qadarīya darstellt und auf Arabisch als [[w:Dschabrīya|Dschabrīya]] ("Zwang-Lehre") bezeichnet wird, wurde später in etwas abgeschwächter Form von anderen islamischen Gruppen übernommen. === 6.3.4. Die Charidschiten in Nordafrika === Seit Anfang des 8. Jahrhunderts fanden die Lehren der gemäßigten Charidschiten starken Zuspruch bei den Berbern des westlichen Nordafrika. Für sie waren diese Lehren ein geeignetes Mittel, um ihrem Widerstand gegen die arabische Vorherrschaft Ausdruck zu verleihen. Der sogenannte sufritische Zweig der charidschitischen Bewegung wurde im Maghreb zum „Sammelbecken politischer Opposition“ ([[w:Ulrich Rebstock|U. Rebstock]]). Um 739 gingen Berberstämme mit sufritischer Ausrichtung in der Region um [[w:Tanger|Tanger]] unter ihrem Kalifen Maisara zum [[w:Aufstand des Maysara|offenen Aufstand]] gegen die umaiyadische Herrschaft über. Sie nahmen Tanger ein und konnten in den folgenden drei Jahren ihre Rebellion in Richtung Osten bis nach [[w:Kairouan|Kairouan]] ausweiten. Weitere sufritische Führer aus [[w:Tlemcen|Tlemcen]] und [[w:Beja (Tunesien)|Beja]] schlossen sich mit ihren Berberstämmen dem Aufstand an, der 741 eine umaiyadische Armee in die Flucht schlug. Erst in der zweiten Hälfte der 740er Jahre gelang es ʿAbd ar-Rahmān ibn Habīb, einem in Ifrīqiya zu dieser Zeit unabhängig herrschenden Gouverneur der Umaiyaden, den Ansturm der sufritischen Berberstämme zu brechen und eine Phase der Ruhe einzuleiten. == 6.4. Fiqh: die islamische Normenlehre == Im Verlauf des 8. Jahrhunderts kam es im Bereich der islamischen Gelehrsamkeit zu einem bedeutenden Ausdifferenzierungsprozess. Der Begriff [[w:Fiqh|Fiqh]] (wörtl. „Verständnis, Kenntnis“), der im Anschluss an den koranischen Gebrauch (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/122 Q 9:122]), zunächst ganz allgemein die Kenntnis der Religion bezeichnete, wurde zum Namen einer eigenen Disziplin, die sich mit der ethischen und rechtlichen Bewertung von Handlungen befasst. Diejenigen, die sich mit dieser Disziplin auskennen, werden seither als ''fuqahāʾ'' (Singular: ''faqīh'') bezeichnet. Der Begriff wird üblicherweise mit „Rechtsgelehrte“ übersetzt, allerdings ist dieses Wort etwas irreführend, weil sich die Fuqahā' nicht nur mit weltlichem Recht befassen, sondern auch mit rituellen Fragen. === 6.4.1. Die lokalen Schulen === Innerhalb des Fiqh, das man als islamische Normenlehre bezeichnen kann, gab es um die Mitte des 8. Jahrhunderts insgesamt vier bedeutende Zentren: Medina, Basra, Syrien und Kufa. Bemerkenswert ist, dass in fast allen Zentren im Laufe der Zeit [[w:Mawālī|Mawālī]], also Nicht-Araber, die Führung der Gelehrsamkeit übernahmen. Im Folgenden werden die Besonderheiten dieser Gelehrtenzentren vorgestellt, wobei auch auf die Rolle von religiös-politischen Strömungen eingegangen wird. ;6.4.1.1. Medina Medina war der erste Ort, an dem sich eine Rechtsgelehrsamkeit herausbildete. Schon um die Wende zum 8. Jahrhundert gab es hier ein Kollegium von sieben fuqahāʾ, das bei rituellen, rechtlichen und ethischen Fragen konsultiert wurde. An seiner Spitze stand lange Zeit [[w:Saʿīd ibn al-Musaiyab|Saʿīd ibn al-Musaiyab]]. Er war ein hervorragender Kenner der Rechtsentscheidungen ʿUmars und stützt sich auch bei seinen Rechtsentscheiden auf sie. Um die Mitte des achten Jahrhunderts spielte der Husainide [[w:Dschaʿfar as-Sādiq|Dschaʿfar ibn Muhammad]] (gest. 765) eine wichtige Rolle. Er wurde nach dem Tod seines Vaters im Jahre 733 von vielen Schiiten auch als Imam betrachtet, blieb allerdings im Gegensatz zu seinem Cousin Zaid unpolitisch. Oberhaupt der Rechtsschule von Medina wurde später [[w:Mālik ibn Anas|Mālik ibn Anas]] (gest. 795). Er war der Auffassung, dass Medina als der Ort, in dem der Prophet seine religiöse Bewegung zur Entfaltung gebracht und einen Staat gegründet hatte, eine heilige, lebendige Tradition korrekter Praxis (''ʿamal'') verkörperte, die als Orientierungspunkt für die Bewertung rechtlicher Lehren dienen könnte. Das, was an Praktiken in Medina allgemein anerkannt war, wurde hier auch [[w:Idschmāʿ|Idschmāʿ]] („Konsens“) genannt. Mālik hat seinen Wissensschatz schriftlich in seinem Werk ''[[w:al-Muwatta'|al-Muwaṭṭā]]'' niedergelegt, dem ersten vollständig erhaltenen Werk der islamischen Normenlehre. Seine Rechtsschule verbreitete sich noch zu seinen Lebzeiten nach Ägypten. Dort, wo sie Fuß gefasst hat, ist auch die spezifisch medinische Lesart des Korans, die als die Lesart des Nāfiʿ bekannt ist, heimisch geworden. {{Anker|Abrogation}} ;6.4.1.2. Basra In Basra war das intellektuelle Klima stark von den [[w:Ibaditen|Ibaditen]], einer gemäßigten Untergruppe der Charidschiten, geprägt. Sie sind nach [[w:ʿAbdallāh ibn Ibād|ʿAbdallāh ibn Ibād]] benannt, einer Person, deren Identität allerdings im Dunkeln liegt. Als Selbstbezeichnung verwendeten die Ibaditen den Ausdruck ''ǧamāʿat al-muslimīn'' („Gemeinschaft der Muslime“), den anderen Muslimen erkannten sie nur den Status von ''ahl al-qibla'', Leuten, die in die richtige Gebetsrichtung beten, zu. Sie hielten sich allerdings die meiste Zeit bedeckt und verheimlichten ihr wahres Bekenntnis vor der Obrigkeit. Die beiden wichtigsten ibaditischen Fiqh-Autoritäten im frühen 8. Jahrhundert waren [[w:Dschābir ibn Zaid|Dschābir ibn Zaid]] (gest. zw. 711 u. 723) und [[w:Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma|Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma]]. Ansonsten galt der bereits genannte al-Hasan al-Basrī als die wichtigste Fiqh-Autorität in Basra. [[w:Qatāda ibn Diʿāma|Qatāda ibn Diʿāma as-Sadūsī]] (st. 736), ein Schüler al-Basrīs, verfasste eines der ersten Werke zur Lehre von der [[w:Abrogation (Islam)|Abrogation]] (''nasḫ''). Diese Lehre gibt eine Antwort auf die Frage, wie mit koranischen Vorschriften zu verfahren ist, die einander zu widersprechen scheinen. Nach der Abrogationslehre war in diesem Fall nur der zeitlich später anzusetzende Koranvers gültig, während der frühere in seiner Verbindlichkeit aufgehoben war. Qatāda vertrat zum Beispiel die Meinung, dass der Schwertvers ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]) und der Vers, der zum Kampf gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] auffordert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 9:29]), alle anderen Koranverse, die ein friedfertiges Verhalten gegenüber den Ungläubigen anempfehlen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/61 Q 8:61]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 29:46]), aufgehoben hätten. Später verfassten noch viele andere Gelehrte Werke zur Abrogationslehre, die zu einem der wichtigsten Teilbereiche der juristischen Koranexegese wurde. Zur Begründung dieser Lehre berief man sich auf [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/106 Sure 2:106]: „Wenn wir einen Vers tilgen oder in Vergessenheit geraten lassen, bringen wir einen besseren oder einen, der ihm gleich ist.“ Eine Entscheidung über die Aufhebung von bestimmten Versen durch andere setzte die Kenntnis der Chronologie der Suren und Verse voraus. Das Wissen hierzu wurde im frühen 8. Jahrhundert ebenfalls gesammelt und schriftlich in eigenständigen Werken zu den Offenbarungsanlässen ([[w:Asbāb an-nuzūl|Asbāb an-nuzūl]]) der verschiedenen Verse fixiert. {{Anker|Syrien}} ;6.4.1.3. Syrien Dominierende Gestalt des syrischen Fiqh im frühen 8. Jahrhundert war der bereits genannte Qadarit Makhūl ibn Abī Muslim (gest. 731). Er soll sich bei seinen Gutachten ganz auf eigenes „Urteil“ ([[w:Ra'y|Ra'y]]) gestützt haben. Wenn er Gutachten erteilte, soll er gesagt haben: „Es gibt keine Macht noch Stärke außer bei Gott. Das ist mein Urteil (''raʾy''). Und das Urteil geht fehl oder trifft das Richtige.“ Später wurde die syrische Schule, die in einem Näheverhältnis zur herrschenden Umaiyaden-Dynastie stand, von dem Gelehrten [[w:al-Auzāʿī|al-Auzāʿī]] (gest. 774) angeführt. Kennzeichnend für die syrische Rechtsschule ist das große Interesse an Fragen des Dschihad und der Beziehungen mit Nicht-Muslimen. Makhūl wird in der Traditionsliteratur mit der Aussage zitiert, dass der Dschihad eine Pflicht sei, die jedem einzelnen (männlichen und gesunden) Muslim obliege. Al-Auzāʿī ist dafür bekannt, dass er in einem Werk mit dem Titel ''Siyar'', das sich mit den Handlungsweisen (''siyar'', pl. zu ''sīra'') der Muslime in ihren Beziehungen mit den Ungläubigen befasst, zum ersten Mal im Islam eine Art [[w:Völkerrecht|Völkerrecht]] ausarbeitete. Grundlegend war dabei die Unterscheidung zwischen dem Gebiet, in dem die islamischen Normen gelten und das [[w:Dār_al-Islām|Dār al-islām]] („Haus des Islams“) genannt wird, und dem Gebiet, in dem der Dschihad gegen die Ungläubigen geführt werden muss und als [[w:Dār_al-Harb|Dār al-harb]] („Haus des Krieges“) bezeichnet wird. Bei den Ungläubigen wird dementsprechend zwischen dem [[w:Harbī|Harbī]], der auf feindlichem Gebiet wohnt, demjenigen, der kurzzeitig aufgrund einer Sicherheitsgarantie (''amān'') auf muslimischem Territorium weilt ([[w:Musta'min|Musta'min]]), und demjenigen, der auf muslimischem Territorium lebt und die Dschizya entrichtet ([[w:Dhimma|Dhimmī]]), unterschieden. Al-Auzāʿī hat außerdem Regeln festgelegt, wie man mit Apostaten und Rebellen umzugehen hat, wie die Beute im Krieg aufzuteilen ist, wie man sich als Muslim im Dār al-harb zu verhalten hat usw. Nach seinem Modell haben später noch mehrere andere arabische Gelehrte [[w:Siyar|Siyar]]-Werke verfasst. ;6.4.1.4. Kufa In dieser Stadt gab es zwei Juristengruppen. Die eine war stärker rationalistisch orientiert und sah neben dem Koran eigene Urteilsbemühung ([[w:Idschtihād|Idschtihād ar-ra'y]]) in Form von Analogieschluss ([[w:Qiyās|Qiyās]]) als das wichtigste Mittel zur Normenfindung an. Kennzeichnend für diese Gruppe, in der Mawālī dominierten, war außerdem, dass sie viele ihrer Rechtsentscheidungen auf die außerkanonischen Koranlesungen von [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]] und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]] stützte. Die andere Juristengruppe, die Anfang des achten Jahrhunderts von dem bereits erwähnten [[w:asch-Schaʿbī|asch-Schaʿbī]] angeführt wurde, war dagegen stärker an der Sunna orientiert und lehnte den Qiyās ab. Die rationalistische Schule, in der die Mawālī dominierten, gelangte um die Mitte des achten Jahrhunderts unter die Führung des aus Ostiran stammenden Gelehrten [[w:Abū Hanīfa|Abū Hanīfa]] (gest. 767). Er führte die pragmatische Erwägung (''istiḥsān'') als neues Instrument der Normenfindung in den Fiqh ein und entwickelte Rechtskniffe ([[w:Hiyal|Hiyal]]), um normative Beschränkungen des Korans und der Sunna zu umgehen. Als Oberhaupt der traditionalistischen Schule stand ihm der arabische Gelehrte [[w:Sufyān ath-Thaurī|Sufyān ath-Thaurī]] (gest. 778) gegenüber. {{Anker|Istithna}} Die Exponenten der beiden Schulen standen sich auch auf dogmatischer Ebene gegensätzlich gegenüber: Abū Hanīfa war Murdschi'it, Sufyān war Gegner der Murdschi'iten und betrachtete sie als Ketzer. Abū Hanīfa verteidigte sie gegen diesen Vorwurf und bestand darauf, dass sie in Wirklichkeit ''ahl as-sunna'' seien. Wie die Murdschi'iten zog er die Grenzen des Glaubens sehr weit. So lehrte er, dass ein muslimischer Konvertit, der sich zum Islam bekannte, ohne etwas vom Koran und den religiösen Pflichten des Islams zu kennen, ein wahrer Gläubiger ([[w:Mu'min|Mu'min]]) sei. Dies hatte auch politische Implikationen: Auf diese Weise konnten die Mawālī als vollwertige Muslime anerkannt werden. Sufyān ath-Thaurī zog dagegen die Grenzen des Glaubens sehr eng. Er meinte, dass man nicht einmal von sich selbst wissen könne, ob man ein Gläubiger sei, und verlangte, dass man eine solche Aussage immer mit dem ''istiṯnāʾ'', der Ausnahme-Formel: [[w:In schā' Allāh|„So Gott will“]], versehen müsste. Die beiden nahmen auch hinsichtlich der Koran-Frage unterschiedliche Positionen ein. Von Abū Hanīfa wird überliefert, dass er einer der ersten Gelehrten war, der die von Dschahm ibn Safwān aufgebrachte Lehre von der [[w:Erschaffenheit des Korans|Erschaffenheit des Korans]] im Irak öffentlich vertrat. Es wird berichtet, dass ihn der Gouverneur des Iraks wegen dieser Lehre zur [[w:Tauba|Tauba]] aufgefordert habe. Die Lehre von der Erschaffenheit des Korans erregte deswegen Anstoß, weil sich in dieser Zeit in der breiten Bevölkerung bereits die Vorstellung von einer Präexistenz des Korans durchgesetzt hatte. Auch Sufyān ath-Thaurī teilte diese Vorstellung. Er stellte den Glaubenssatz auf: „Der Koran ist die Rede Gottes, ungeschaffen, von ihm nahm er seinen Anfang und zu ihm kehrt er zurück.“ Diejenigen, die behaupteten, dass der Koran erschaffen sei, betrachtete er als Ungläubige. Abū Hanīfas Engagement im Kampf für die Gleichstellung von nicht-arabischen Neu-Muslimen sorgte dafür, dass sich seine Lehre, die [[w:Hanafiten|Hanafīya]], schon früh über den östlichen Iran, Transoxanien und besonders bei den konvertierten Türken verbreitete. === 6.4.2. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus im Fiqh === Im Fiqh wurden auch die Vorschriften zum islamischen Kultus weiter ausgearbeitet. So wurde zum Beispiel die Anzahl der täglichen Pflichtgebete – wahrscheinlich unter persischem Einfluss – auf fünf erhöht. Bezüglich des Zustands der [[w:Tahāra|Reinheit]], die Voraussetzung für die Gültigkeit von gottesdienstlichen Handlungen ist, wurde ein System von zwei Abstufungen der Unreinheit eingeführt, die jeweils unterschiedliche Waschungen erfordern. Die große Unreinheit (''[[w:Dschanāba|ǧanāba]]''), die durch Geschlechtsverkehr oder Samenerguss verursacht wird, erfordert demnach eine [[w:Ghusl|Ghusl]] genannte Vollwaschung, bei der alle Teile des Körpers vom Wasser berührt werden müssen. Die kleine Unreinheit (''ḥadaṯ'') hingegen, die durch Ereignisse wie Verrichtung der Notdurft oder Schlaf eintritt, erfordert nur eine kleine Waschung, [[w:Wudū'|Wudū']] genannt, die als obligatorische Elemente das Waschen des Gesichts, das Waschen der Unterarme bis zu den Ellbogen, das Streichen mit nassen Händen über den Kopf und das Waschen der Füße bzw. einschließt. Strittig war allerdings die Frage, ob anstelle des Waschens der Füße auch das [[w:al-Mash ʿalā l-chuffain|Überstreichen der Schuhe]] reicht. Für die Einleitung des Gebets wurde neben dem [[w:Adhān|Adhān]] noch ein zweiter Gebetsruf eingeführt, die sogenannte [[w:Iqāma|Iqāma]]. Er wird innerhalb der Moschee durchgeführt, bevor das Gebet beginnt. Bei der [[w:Salāt|Salāt]] setzte sich die Auffassung durch, dass sie mit einer [[w:Nīya|Nīya]], einer Absichtserklärung, zu beginnen habe, in der der Betende festhält, welche Salāt er verrichten will. Der Freitagsgottesdienst wurde um eine [[w:Chutba|Ansprache]] ergänzt, die vor dem Freitagsgebet abgehalten wird. Als [[w:Freitagspredigt|Freitagspredigt]] ist sie bis heute ein wichtiger Bestandteil des islamischen religiösen Lebens. Die Fiqh-Gelehrten machten sich auch darüber Gedanken, wann beim [[w:Ramadan|Ramadān]]-Fasten der richtige Zeitpunkt für den [[w:Sahūr|Sahūr]], die letzte Mahlzeit vor Tagesanbruch, ist, wie genau die Sichtung der Mondsichel (''ruʾyat hilāl''), die für die Bestimmung des Ramadān-Monatsanfangs notwendig ist, zu erfolgen hat, sowie über die Frage, für wen genau das Fasten obligatorisch ist. Hinsichtlich des letztgenannten Punktes wurde zum Beispiel festgelegt, dass Frauen während der Menstruation bzw. des Wochenbetts nicht fasten dürfen, dieses jedoch nachzuholen haben. === 6.4.3. Der Bereich des Strafrechts === Bei dem Delikt des außerehelichen Geschlechtsverkehrs ([[w:Zinā|Zinā]]) griffen die Rechtsgelehrten weiter auf die Steinigung als mögliche Strafform zurück, führten allerdings eine wichtige Abstufung ein: nur Personen, die sich im sogenannten [[w:Ihsān (Islamisches Strafrecht)|Ihsān]]-Status befinden, sollten im Falle von Zinā mit Steinigung bestraft werden, Personen, bei denen dieser Status nicht vorliegt, dagegen entsprechend der koranischen Regelung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]) nur hundert Peitschenhiebe erhalten. Hinsichtlich der Voraussetzungen für das Eintreten des Ihsān-Zustandes bestanden unter den Fiqh-Gelehrten große Meinungsverschiedenheiten. Allgemein wurde jedoch angenommen, dass dafür Geschlechtsreife, Freiheit und eine gültig vollzogene Ehe notwendig seien. Man meinte, dass diese Eigenschaften, wenn sie bei einer Person vorlägen, sie vor Zinā schützten – daher der Begriff ''iḥṣān'' („Immunisierung“) – und dementsprechend das Vergehen dann schärfer bestraft werden müsse. Im Ergebnis führte das Ihsān-Konzept, das von verschiedenen Koranstellen (u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/25 Sure 4:25]) abgeleitet wurde, zu einer starken Einschränkung der Steinigungsstrafe im Einzugsbereich des islamischen Rechts. == 6.5. Die dritte Fitna und der Sturz des umaiyadischen Kalifats (744-750) == === 6.5.1. Der Putsch Yazīds III. und die frühe Muʿtazila === [[File:Qusayr Amra.jpg|mini|Das Schloss [[w:Qusair ʿAmra|Qusair ʿAmra]], das sich der schöngeistig orientierte Kalif al-Walīd II in der jordanischen Wüste erbauen ließ.]] Nach dem Tode Hischāms im Jahre 743 ging die Herrschaft zunächst an den schöngeistig orientierten [[w:al-Walid II.|Walīd II]] über, doch wurde dieser schon bald durch einen anderen Umaiyaden beseitigt, [[w:Yazid III.|Yazīd ibn al-Walīd]]. Dieser Yazīd III., der im April 744 die Herrschaft antrat, war selbst Qadarit und zeigte asketische Neigungen. Sein Putsch war auch von einem religiös-politischen Programm getragen. In seiner Antrittsrede präsentierte er sich als Anwalt des Korans und der Sunna des Propheten und bot seinen Rücktritt für den Fall an, dass er sich nicht an das halte, was er versprochen habe. Auf den Parolen, die die Truppe Yazīds auf ihre Lanzen steckte, stand nicht nur, „Wir rufen euch auf zum Buch Gottes und zur Sunna des Propheten“, sondern auch in Verweis auf den Schūrā-Gedanken, „dass man sich untereinander berate“. Trotz seiner qadaritischen Neigungen, bemühte sich Yazīd III. auch um Unterstützung der Murdschiiten. So begnadigte er auf Fürsprache Abū Hanīfas den murdschiitischen Sezessionisten Ibn Suraidsch. Diese ausgleichende Position ist nicht ganz zufällig. Innerhalb der Qadarīya hatte sich in den 730er Jahren eine neue Strömung gebildet, die auf religiös-politischen Ausgleich bedacht war. Begründer dieser Denkrichtung war der basrische Prediger [[w:Wāsil ibn ʿAtā'|Wāsil ibn ʿAtā']]. Der angestrebte Ausgleich betraf vor allem die Beurteilung desjenigen, der eine schwere Sünde begangen hat, eine Frage, zu der insbesondere Charidschiten und Murdschiiten konträre Auffassungen vertraten. Während erstere meinten, dass die betreffende Person als Ungläubiger einzuordnen sei, betrachteten ihn letztere als vollwertigen Gläubigen. Indem Wāsil sich einer solchen Einordnung enthielt und ihn als „Frevler“ (''fāsiq'') auf eine Zwischenstufe (''manzila baina manzilatain'') stellte, versuchte er, einen Ausgleich zwischen Charidschiten und Murdschiiten herzustellen. Diese Position wurde als ''Iʿtizāl'' („Zurückhaltung“) bezeichnet, und diejenigen, die sich an sie hielten, als [[w:Muʿtazila|Muʿtazila]]. Wāsil sandte Prediger aus, die seine Lehre in den verschiedenen Regionen des islamischen Reiches verbreiteten. Auf dem Gebiet des heutigen Marokko fiel seine Lehre auf besonders fruchtbaren Boden. Dort sollen sich 100.000 Menschen der Wāsilīya angeschlossen haben. Von großer Bedeutung war auch, dass Wāsil [[w:ʿAmr ibn ʿUbaid|ʿAmr ibn ʿUbaid]], einen der angesehensten Schüler von al-Hasan al-Basrī, auf seine Seite ziehen konnte. Hieraufhin kam es zu einer Spaltung von al-Hasans Schülerkreis. Der loyalistisch gesinnte Traditionalist [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAun|ʿAbdallāh ibn ʿAun]] stellte jeden Kontakt zu ʿAmr ibn ʿUbaid ein und empfahl seinen Anhängern, sich ebenso zu verhalten. ʿAmr ibn ʿUbaid selbst konnte aber in den folgenden Jahren eine Anhängerschaft von ca. 30.000 Menschen aufbauen. Sowohl ʿAmr ibn ʿUbaid als auch Wāsil ibn ʿAtā' unterstützten das religiös-politische Reformprojekt Yazīds III., allerdings starb der Herrscher schon sechs Monate später, so dass dieses Projekt nur eine kurze Episode blieb. Nach seinem Tod im September 744 nahmen die tribalen Auseinandersetzungen und religiös-politische Erhebungen im Reich stark zu. Im Oktober 744 erhoben die kufischen Schiiten einen gewissen ʿAbdallāh ibn Muʿāwiya zum Imam. Er war kein Nachkomme ʿAlīs, sondern stammte von dessen Bruder [[w:Dschaʿfar ibn Abī Tālib|Dschaʿfar ibn Abī Tālib]] ab. Von seinen Anhängern unterstützt, konnte er große Gebiete Westirans unter seine Kontrolle bringen. Der Umaiyade [[w:Marwan II.|Marwān II.]], dem im Dezember 744 in Damaskus als neuem Kalifen gehuldigt wurde, musste sich mit zahlreichen Gegnern auseinandersetzen. Mit religiös-politischem Anspruch kämpften gegen ihn die [[w:Ibaditen|Ibaditen]] und die Anhänger der hāschimitischen Daʿwa. === 6.5.2. Das geheime Missionsnetzwerk der Ibaditen === Um die gleiche Zeit wurde auch der ibaditische Rechtsgelehrte [[w: Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma|Abū ʿUbaida]] politisch aktiv. Er machte Basra zum Zentrum einer Propagandabewegung, die an anderen Orten Aufstände vorbereiten sollte. Diese Aufstände sollten letztendlich ein universales ibaditisches Imamat herbeiführen, das auf den Ruinen des Umaiyadenstaates errichtet würde. Um sein Ziel zu erreichen, formte Abū ʿUbaida sein Lehrkolleg, das mittlerweile von Studierenden aus den verschiedensten Gebieten des islamischen Reiches besucht wurde, in eine geheime Propagandazentrale um. Er schickte ''ḥamalat al-ʿilm'' („Wissensträger“) genannte Werber in die verschiedenen Provinzen des islamischen Reiches, mit dem Auftrag, dort ibaditische Gemeinden zu gründen. Die Sendboten traten nicht nur in arabischen Gebieten wie dem Hidschāz oder Südarabien und Bahrain auf, sondern auch in Ägypten, Nordafrika, Chorasan, Choresm und sogar in Indien. Die meisten dieser Werber waren gleichzeitig als Händler tätig. Mit dem von ihnen erwirtschafteten Geld wurde in Basra eine Kasse gegründet, mit der die Gemeinschaft finanzielle Selbständigkeit erlangte. Die meisten Ibaditen gehörten arabischen Stämmen an, die nicht besonders angesehen waren, deswegen hatte das Ideal der Gleichheit einen hohen Stellenwert in ihrer Propaganda. Wie die anderen Charidschiten waren die Ibaditen der Auffassung, dass das Imamat nicht auf den Stamm der Quraisch beschränkt sei, sondern jedem zustehe, den die Muslime zur Führung ihres Staates auswählten. Mit dieser Vorstellung stießen sie vor allem bei den Berbern Nordafrikas auf viel Zustimmung. In den verschiedenen Außenposten der ibaditischen Gemeinde kam es ab 745 zu Aufständen. Im [[w:Hadramaut|Hadramaut]] wurde 746 ein erstes ibaditisches Imamat begründet, dessen Truppen 747 Sanʿāʾ, die Hauptstadt Südarabiens, sowie Mekka und Medina einnehmen konnten, aber 748 von umaiyadischen Truppen niedergeworfen werden. Ungefähr um 748 errichteten die Ibaditen außerdem in Tripolitanien ein eigenes Imamat. Und um 750 huldigten die Ibaditen von Oman al-Dschulandā ibn Masʿūd, einem Nachkommen der dortigen ehemaligen Herrscherfamilie, als erstem „Imam des Hervortretens“ (''imām aẓ-ẓuhūr''). Im basrischen Zentrum betrieben die Ibaditen dagegen Geheimhaltung (''kitmān''), um nicht die Aufmerksamkeit der Obrigkeit auf sich zu ziehen und die Bewegung besser steuern zu können. === 6.5.3. Der abbasidische Umsturz === Als nach dem Tod von al-Walīd II. der Zerfall des umaiyadischen Kalifats immer deutlicher geworden war, verstärkten auch die Haschimiden ihre Aktivitäten zur Übernahme der Herrschaft im Reich. Der [[w:Hasaniden|Hasanide]] ʿAbdallāh rief 744 die Angehörigen seiner Familie und verschiedene andere Gruppen, die mit ihr sympathisierten, darunter auch verschiedene Muʿtaziliten, in dem Ort al-Abwā im Hedschas zusammen und ließ sie seinem Sohn [[w:Muhammad an-Nafs az-Zakīya|Muhammad an-Nafs az-Zakīya]] als zukünftigem Herrscher huldigen. Erheblich erfolgreicher waren allerdings die Bemühungen des Abbasiden Ibrāhīm, der nach dem Tode seines Vaters Muhammad 743 die Führung der Abbasiden-Familie übernommen hatte. Er sandte in dieser Zeit zwei neue Propagandisten für die Abbasiden nach Chorasan, Abū Salama und [[w:Abū Muslim|Abū Muslim]], letzterer ein früherer Anhänger des Gnostikers Mughīra ibn Saʿīd. Abū Muslim schaffte es 747, die anti-umaiyadische Opposition in Chorasan hinter der hāschimidischen Daʿwa zu vereinen und daraus einen offenen Aufstand gegen das geschwächte Umaiyaden-Regime zu organisieren. Rasch konnte er seine Herrschaft über Ostiran festigen. Rivalisierende Aufständische wie den Tālibiden ʿAbdallah ibn Muʿāwiya ließ er beseitigen. [[File:Revolt.png|mini|In den Jahre 748/49 drang das Heer von Abū Muslim von Ostiran nach Westen in den Irak vor, was schließlich den Untergang des Umaiyaden-Reiches und die Machtergreifung der Abbasiden herbeiführte.]] Von der Stadt Marw aus, die noch 747 eingenommen wurde, trat Abū Muslims Heerführer Qahtaba mit dem Rebellenheer im Jahr 748 den Marsch nach Westen an. Nach mehreren Siegen überschritt er 749 den Tigris und Euphrat. Sein plötzlicher Tod in der Schlacht um Kufa und die Hinrichtung des Abbasiden Ibrāhīm, der die Fäden der Daʿwa in der Hand gehalten hatte, durch die Umaiyaden stürzten das Unternehmen jedoch kurzfristig in Verwirrung. Wer sollte nun die Position des Imāms einnehmen, für dessen Herrschaft das Rebellenheer gekämpft hatte? Nach dem siegreichen Einzug des Heeres in Kufa trug Abū Salama dieses Amt zunächst einem prominenten Aliden an, nämlich dem bereits erwähnten Husainiden Dschaʿfar ibn Muhammad, der in Medina als Fiqh-Gelehrter wirkte. Dieser lehnte jedoch ab, da er keinerlei politische Ambitionen hegte. Dafür aber reiste sehr bald die Abbasidenfamilie aus Humaima an und beanspruchte die Herrschaft für sich. Zum Kalifen selbst wurde der relativ schwache [[w: Abu l-Abbas as-Saffah|Abū l-ʿAbbās]], er ließ sich im November 749 in Kufa huldigen. Sein Onkel, [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAlī|ʿAbdallāh ibn ʿAlī]], fügte dem umaiyadischen Kalifen Marwān II. Anfang Februar 750 am Ufer des großen Zāb im Irak eine vernichtende Niederlage zu und verfolgte ihn anschließend durch Syrien und Palästina, wobei er zwischendurch Damaskus einnahm. Während seines Aufenthaltes in Palästina ließ er 80 Angehörige des Umaiyaden-Hauses auf einmal hinrichten, Marwān selbst wurde im August 750 in Oberägypten getötet. Damit endete die Umaiyaden-Dynastie im Vorderen Orient. == 6.6. Literatur == * Blankinship, Khalid Yahya: ''The End of the Jihâd State. The Reign of Hishām ibn ʿAbd al-Malik and the Collapse of the Umaiyads''. Albany 1994. * Bonner, Michael: ''Aristocratic Violence and Holy War. Studies in the Jihad and the Arab-Byzantine Frontier''. New Haven, Connecticut 1996. * Bouzenita, Anke: ''ʿAbdarraḥmān al-Auzāʿī - ein Rechtsgelehrter des 2. Jahrhunderts d.H. und sein Beitrag zu den Siyar erarbeitet auf der Grundlage des k. ar-Radd ʿalā siyar al-Auzāʿī.'' Berlin 2001. * Crone, Patricia and Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Daiber, Hans: ''Wāṣil ibn ʿAṭāʾ als Prediger und Theologe. Ein neuer Text aus dem 8. Jahrhundert n. Chr.'' Leiden 1988. * Ess, Josef van: ''Theologie und Gesellschaft im 2. und 3. Jahrhundert Hidschra. Eine Geschichte des religiösen Denkens im frühen Islam.'' Bd. I und II. Berlin 1991-1992. * Gramlich, Richard: ''Weltverzicht. Grundlagen und Weisen islamischer Askese.'' Wiesbaden 1997. * Hamdan, Omar: ''Studien zur Kanonisierung des Korantextes al-Ḥasan al-Başrīs. Beiträge zur Geschichte des Korans.'' Wiesbaden 2006. * Hawting, G.R.: ''The First Dynasty of Islam. The Umaiyad Caliphate AD 661-750.'' London 1986. * Juynboll, G.H.A.: ''Muslim Tradition. Studies in chronology, provenance and authorship of early ḥadīth.'' Cambridge 1983. * Levy-Rubin, Milka: ''Non-Muslims in the Early Islamic Empire. From Surrender to Coexistence.'' Cambridge 2011. * Motzki, Harald: ''Die Anfänge der islamischen Jurisprudenz. Ihre Entwicklung in Mekka bis zur Mitte des 2./8. Jahrhunderts.'' Stuttgart 1991. * Raddatz, Hans-Peter: ''Die Stellung und Bedeutung des Sufyān aṯ-Ṯaurī (gest. 778). Ein Beitrag zur Geistesgeschichte des frühen Islam.'' Bonn 1967. * Rebstock, Ulrich: ''Die Ibāḍiten im Maġrib (2./8.-4./10. Jh.). Die Geschichte einer Berberbewegung im Gewand des Islam.'' Berlin 1983. * Sayed, Redwan: ''Die Revolte des Ibn al-Ašʿaṯ und die Koranleser. Ein Beitrag zur Religions- und Sozialgeschichte der frühen Umaiyadenzeit.'' Freiburg i. Br. 1977. [https://menadoc.bibliothek.uni-halle.de/iud/content/titleinfo/247724 Digitalisat] * Tucker, William F.: ''Mahdis and millenarians. Shi’ite extremists in early Muslim Iraq.'' Cambridge 2011. * Watt, W. Montgomery und Michael Marmura: ''Der Islam II. Politische Entwicklungen und theologische Konzepte.'' Stuttgart u.a. 1985. S. 72-149. == 6.7. Fragen/Aufgaben == 1. Geben Sie einen Überblick über die frühe Entwicklung der Moschee. 2. Ein Streitpunkt in der frühen islamischen Theologie war die Stellung desjenigen, der eine schwere Sünde begangen hat. Welche Positionen standen sich gegenüber? 3. Umreißen Sie in groben Zügen die Geschichte der islamischen Expansion bis zum Ende der Umaiyadenzeit. 4. Wer war Dschahm ibn Safwān und welche theologischen Positionen vertrat er? 5. Welche lokalen Fiqh-Schulen entwickelten sich in der Umaiyadenzeit und durch welche Lehren zeichneten sie sich aus? 6. Was besagt die Abrogationslehre und welche Kenntnis setzt sie voraus? 7. Nennen Sie Regeln des islamischen Ritualgebets und erklären Sie, wie sie sich herausgebildet haben. 8. Wer sind die Banū Hāschim und welche politische Rolle spielten sie in der späten Umaiyadenzeit? {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} jbrrvlpvkpp3mn63sz9f7mo9af1smuy 1114155 1114137 2026-09-03T11:37:28Z Carl Stiller 32616 /* 6.3.3. Die Sezession des Ibn Suraidsch und die Dschahmīya */ typo 1114155 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|5 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07|>>> 7]] {{TOC nonum}} = 6. Die Desintegration des Dschihad-Staates und die Anfänge des Fiqh (692-750) = Die frühislamische Expansionsbewegung erlebt ihren Höhepunkt und Niedergang. Soziale Spannungen zwischen Arabern und Nicht-Arabern nehmen weiter zu. Als neue religiös-politische Parteien entstehen Murdschi'a, Qadarīya, Dschahmīya und Ibādīya. Darüber hinaus bildet sich mit dem Fiqh eine eigene islamische Normenlehre heraus, die in verschiedenen lokalen Schulen gepflegt wird. == 6.1. Dritte Expansionsphase: von ʿAbd al-Malik bis Sulaimān (692-717) == === 6.1.1. Konsolidierung des Staates und dritte Expansionsphase === [[File:First Umayyad gold dinar, Caliph Abd al-Malik, 695 CE (cropped).jpg|mini|links|hochkant|Unter [[w: Abd al-Malik (Umayyaden)|ʿAbd al-Malik]] geprägter Gold-[[w:Dinar|Dinar]] mit arabischer Legende.]] Nach Wiedergewinnung Arabiens nahm [[w: Abd al-Malik (Umayyaden)|ʿAbd al-Malik]] eine Verwaltungsreform (Einführung des Arabischen als Kanzleisprache) und Münzreform (Ablösung der sassanidischen und byzantinischen Prägungen durch Münzen mit arabisch-islamischer [[w: Legende (Numismatik)|Legende]]) vor. [[w:Al-Haddschādsch ibn Yūsuf|Al-Haddschādsch ibn Yūsuf]] wurde 694 als Gouverneur in den Irak entsandt und regierte von dort aus bis 715 den gesamten Ostteil des Reiches. 705 verlegte er seinen Regierungssitz in die neugegründete Stadt Wāsit („die Mittlere“) zwischen Kufa und Basra. Um einen Rückgang der staatlichen Einnahmen zu verhindern, führte er die Regel ein, dass auch solche [[w:Dhimma|Ahl adh-Dhimma]] die [[w:Dschizya|Dschizya]] entrichten mussten, die bereits zum Islam konvertiert waren. [[File:Invasionislámicaespaña.svg|mini|Die Eroberung der [[w:Iberische_Halbinsel|iberischen Halbinsel]] unter Tāriq ibn Ziyād und Mūsā ibn Nusair zwischen 711 und 714.]] Während der zweiten Fitna waren die Araber von den Byzantinern aus [[w:Ifrīqiya|Ifrīqiya]] zurückgedrängt worden. Zur Rückgewinnung des Gebiets stellte ʿAbd al-Malik dem neuernannten Gouverneur Ifrīqiyas, [[w:Hassān_ibn_an-Nuʿmān|Hassān ibn Nuʿmān]], das Steueraufkommen ganz Ägyptens zur Verfügung und ließ ihn eine Armee von 40.000 Mann anwerben. Den nach Westen vordringenden Arabern traten nun berberische Stämme aus dem Gebiet Nordostalgeriens unter Führung einer Frau entgegen, die in der muslimischen Geschichtsschreibung als die [[w:Kāhina|Kāhina]] („Priesterin“) bekannt geworden ist. Es war nicht ungewöhnlich, dass Frauen bei den Berbern politischen Einfluss hatten, denn sie waren zum Teil noch mutterrechtlich organisiert. Die Kāhina genoss den Ruf einer Prophetin und muss eine begabte Rednerin gewesen sein. Mit dem von ihr aufgebauten Stammesverband trat sie der Armee Hassāns entgegen und drängte ihn in die [[w:Cyrenaika|Cyrenaika]] zurück. Fast drei Jahre lang blieben die Muslime in der Defensive, unterdessen kehrten die Byzantiner wieder und besetzten [[w:Karthago|Karthago]] und andere Küstenfestungen. Erst um das Jahr 698 gelang es Hassān ibn Nuʿmān mit Unterstützung berberischer Stämme und arabischer Schiffsverbände, die Byzantiner endgültig aus Karthago und den anderen Küstenfestungen zu vertreiben. Die berberische Kāhina fiel im Kampf. [[w:Mūsā ibn Nusair|Mūsā ibn Nusair]] vollendete Anfang des 8. Jahrhunderts die Eroberung der nordafrikanischen Küste und setzte in Tingis, dem heutigen [[w:Tanger|Tanger]], einen berberischen Gouverneur ein, [[w:Tāriq ibn Ziyād|Tāriq ibn Ziyād]]. Unter [[w: al-Walid I.|al-Walīd]] (reg. 705-715) setzte sich die Expansion des islamischen Staates fort. Die wichtigsten Eroberungen fanden innerhalb weniger Monate statt. Im Westen setzte im Frühjahr 711 Tāriq ibn Ziyād in einer eigenmächtigen Aktion mit einer Armee von 7.000 ausschließlich berberischen Kämpfern nach Europa über. Der Berg, an dessen Fuß er mit seinen Truppen landete, trägt seither seinen Namen (arab. ''ǧabal Ṭāriq'' = „Berg Tāriqs“ → [[w:Gibraltar|Gibraltar]]). Nach dem Sieg über den [[w:Westgoten|Westgotenkönig]] [[w:Roderich|Roderich]] im Juli 711 konnten Tāriq ibn Ziyād und Mūsā ibn Nusair innerhalb weniger Jahre die gesamte iberische Halbinsel einnehmen. Unter dem Namen [[w:al-Andalus|al-Andalus]] wurde dieses Gebiet in das islamische Reich eingegliedert. Im Osten des islamischen Reiches eroberte im gleichen Jahr der junge Heerführer [[w:Muhammad ibn al-Qasim|Muhammad ibn al-Qāsim]] das Gebiet von [[w:Sindh|Sindh]] im heutigen Südpakistan mit der Stadt [[w:Multan|Multan]]. Und im Nordosten eroberte ein Jahr später [[w:Qutaiba ibn Muslim|Qutaiba ibn Muslim]], der Gouverneur von [[w:Chorasan|Chorasan]], [[w:Choresmien|Choresmien]] und Transoxanien mit den Städten [[w:Buxoro|Buchara]] und [[w:Samarkand|Samarkand]]. === 6.1.2. Staatliche Maßnahmen im religiösen Bereich === [[File:Mihrab, Umayyad Mosque.jpg|mini|Der [[w:Mihrāb|Mihrāb]] der Umaiyaden-Moschee von Damaskus heute. Die darüber stehenden arabischen Wörter sind ein Zitat aus dem Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/37 Sure 3:37]) und setzen den Bau zur koranischen Johannesgeschichte in Beziehung.]] Unter den beiden Kalifen ʿAbd al-Malik und al-Walīd wurden auch Maßnahmen im religiösen Bereich getroffen. Im Jahre 703 unternahm al-Haddschādsch eine eigene Initiative zur Vereinheitlichung der Orthographie der Koranschreibung. Damit alle Uneindeutigkeiten ausgeräumt waren, wurden alle Buchstaben mit ähnlichem Aussehen fortan mit diakritischen Zeichen versehen. Leiter der Kommission war der Gelehrte [[w:al-Hasan al-Basrī|al-Hasan al-Basrī]] (gest. 728). Al-Walīd setzte zwei anspruchsvolle religiöse Bauprojekte um: 1. in Damaskus ließ er die eigentlich vertraglich geschützte Johanneskirche im Zentrum der Stadt einreißen und in den bereits bestehenden Moscheekomplex einverleiben; an der Stelle wurde die noch heute bestehende [[w:Umayyaden-Moschee|Umaiyaden-Moschee]] errichtet; 2. in Medina ließ er von seinem Gouverneur die Prophetenmoschee abreißen und in größerem Maßstab wieder errichten. Die beiden Bauten erhielten als neues Architekturelement im Inneren eine Nische, die den Platz des Vorbeters und die [[w:Qibla|Qibla]] anzeigte. Diese Gebetsnische, die man in Anspielung an die koranische Erzählung von der Verkündung des Johannes ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/39 Q 3:39]) [[w:Mihrāb|Mihrāb]] genannt hat, ist später fester Bestandteil der Moscheearchitektur geworden. Allerdings gab es von Seiten traditionalistisch gesinnter Muslime noch lange Zeit Widerstand gegen den Mihrāb. So wird zum Beispiel berichtet, dass der irakische Traditionarier [[w:Yazīd ibn Hārūn|Yazīd ibn Hārūn]] (gest. 821) einmal bei einer Privatmoschee, die gerade im Bau war, den Mihrāb einreißen ließ, weil er diesen offenbar für eine [[w:Bidʿa|unrechtmäßige Neuerung]] hielt. Der Felsendom scheint allerdings noch eine Zeitlang seine Rolle als religiöses Heiligtum behalten zu haben. So wird berichtet, dass an ihm unter al-Walīd Rituale vollzogen wurden, die nicht typisch sind für eine Moschee. Es wurden 40 zur lokalen Bevölkerung gehörende Diener für das Gebäude abgestellt, die „Felswächter“ (''ḥurrās aṣ-ṣaḫra'') genannt wurden. In Schichten arbeitend, waren sie für das Öffnen und Schließen der Tore, die Lampen und die allgemeine Instandhaltung verantwortlich. Jeden Montag und Donnerstag fand ein spezieller Gottesdienst statt, der mit der Vorbereitung der Felsendiener, der Einsalbung des Felsens und Beweihräucherung des Gebäudes begann. Dann wurden die Gläubigen der Stadt durch einen Rufer aufgefordert, zum Gebet zu kommen. Nach dem Gebet wurde der Felsen von Felsendienern erneut gewaschen und abgetrocknet, die Türen wurden wieder verschlossen. === 6.1.3. Der Aufstand des Ibn al-Aschʿath und die neuen religiös-politischen Parteien === Auch nach innen bemühten sich die Kalifen, die Kontrolle des Staates auszuweiten. Nach dem Sieg über [[w:ʿAbdallāh ibn az-Zubair|ʿAbdallāh ibn az-Zubair]] trieben noch verschiedene charidschitische Gruppen im Irak und in Iran ihr Unwesen, darunter besonders die [[w:Azraqiten|Azraqiten]]. Sie überzogen unter ihrem Kalifen al-Qatarī ibn al-Fudschāʿa weite Gebiete Persiens mit Feuer und Schwert und setzten mehrere Jahre hindurch den zahlenmäßig weit überlegenen Regierungstruppen hartnäckigen Widerstand entgegen. Im Jahre 698 gelang es aber [[w:al-Muhallab ibn Abī Sufra|al-Muhallab ibn Abī Sufra]], sie endgültig zu vernichten. Um das Jahr 700 brach aber noch einmal ein Aufstand aus, der das arabische Reich fast zum Zusammensturz brachte. Auslöser dafür war das Verhalten von al-Haddschādsch ibn Yūsuf im Irak. Er ging sehr hart gegen die arabischen [[w:Scharīf|Stammesführer]] in Kufa vor und versuchte, ihre Macht zu brechen. Um 700 stellte sich der kinditische Stammesführer Ibn al-Aschʿath, ein Enkel von [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]] an die Spitze einer Aufstandsbewegung, die von Ostiran aus in Richtung Irak vorrückte und die Absetzung von al-Haddschādsch forderte. Nachdem al-Haddschādsch den Aufstand, der auch von den Schiiten von Kufa unterstützt wurde, niedergeschlagen hatte, ließ er seine Unterstützer erbarmungslos verfolgen. Einige Schiiten aus Kufa flohen darauf hin nach Iran und gründeten dort die Stadt [[w:Ghom|Qom]]. Sie wurde später zu einem der wichtigsten Zentren der Schia. Innerhalb der Schia spielte damals die [[w:Kaisānīya|Kaisānīya]] (siehe dazu oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05#5.3.3. Der schiitische Aufstand des Muchtār|5.3.3.]]) eine wichtige Rolle. Die Kaisāniten knüpften noch immer [[w:Soteriologie|soteriologische]] Erwartungen an [[w:Muhammad ibn al-Hanafīya|Muhammad ibn al-Hanafīya]], den früher von [[w:al-Muchtār ibn Abī ʿUbaid|al-Muchtār]] verkündeten [[w:Mahdi|Mahdī]], der selbst gar kein Mahdī sein wollte. Als Muhammad ibn al-Hanafīya im Jahre 700 starb, meinten viele von ihnen, er sei nicht wirklich gestorben, sondern nur der Welt entrückt; in Wahrheit weile er versteckt in den Schluchten des Berges Radwā nördlich von Medina, von Engeln bewacht und mit Speise aus dem Paradies ernährt; in naher Zukunft werde er aus seinem Versteck hervortreten, seine Anhänger um sich scharen, die Feinde zerschmettern und „die Erde mit Gerechtigkeit erfüllen, sowie sie mit Ungerechtigkeit erfüllt war“. Die Lehren der Kaisānīya, insbesondere das Modell der „Verborgenheit“ ([[w:Ghaiba|Ghaiba]]) und erwarteten Rückkehr (''raǧʿa'') des Mahdī wurde später von anderen Zweigen der Schia auf andere Personen übertragen, die Gestalt des Mahdī fand auch Eingang in die Lehren der nicht-schiitischen Muslime. Deswegen ist die Kaisānīya von großer religionsgeschichtlicher Bedeutung für den Islam. ;6.1.3.1. Murdschiiten Während Schiiten bei dem Aufstand des Ibn al-Aschʿath eigentlich nur eine marginale Rolle spielte, gab es eine andere Gruppe, die dabei erheblich stärker hervortrat, nämlich die Koranleser der Murdschi'a. Die religiös-politische Bewegung der [[w:Murdschi'a|Murdschi'a]] („Aufschieber“) geht auf Hasan, den Sohn Muhammad ibn al-Hanafīyas zurück. Er hatte in den frühen 690er Jahren einen offenen Brief verfasst, in dem er die Lehre entwickelte, dass entsprechend [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/106 Sure 9:106] das Urteil über die Menschen, die sich an der Fitna beteiligt hatten, also [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha]], az-[[w:Zubair ibn al-ʿAuwām|Zubair]], [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī]] und [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]], aufgeschoben werden müsse, bis Gott (im Jenseits) über sie entscheide. Da Gott über diese Menschen urteile, sollten sich die Muslime bis dahin jeglicher Parteinahme enthalten. Mit diesem Gedanken der Versöhnung und des Ausgleichs standen die Murdschi'a oder Murdschiiten, wie man sie auch nennt, den ''ahl as-sunna'' sehr nah. Dass sich trotz ihrer konzilianten Haltung so viele Murdschiiten in den Ibn-al-Aschʿath-Aufstand hineinziehen ließen, hat damit zu tun, dass viele von ihnen [[w:Mawālī|Mawālī]] waren und al-Haddschādsch eine Politik betrieb, die auf Bewahrung der politischen Vorrechte der Araber ausgerichtet war. So verfügte er, dass Nicht-Muslime, die zum Islam übertraten, trotzdem die [[w:Dschizya|Dschizya]] weiterzahlen mussten. Dass sich vor allem murdschiitische Koranleser der Ibn-al-Aschʿath-Revolte anschlossen, dürfte darin seinen Grund haben, dass al-Haddschādsch [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|Ibn Masʿūd]] und seine Koranlesung verspottete und der Bevölkerung in Kufa mit einem Massaker drohte, wenn sie nicht aufhören würden, den Koran nach seiner Lesung zu rezitieren. Viele der murdschiitischen Koranleser wurden nach der Niederschlagung des Aufstands durch al-Haddschādsch hingerichtet, andere flohen in den [[w:Haram_(heiliger_Bezirk)|Haram]] von Mekka. Jahre später, 713, wurden die nach Mekka geflüchteten Murdschiiten, die an den Aufstand des Ibn al-Aschʿath teilgenommen hatten, von dem mekkanischen Gouverneur [[w:Chālid al-Qasrī|Chālid al-Qasrī]] verhaftet und zur Hinrichtung an al-Haddschādsch ausgeliefert. Die Brutalität, mit der al-Walīd und seine Gouverneure gegen diese Oppositionellen vorgingen, entfremdete die frommen Milieus dem Umaiyadenstaat und verstärkte bei ihnen die Überzeugung, dass es sich um ein „Unrechtsregime“ handelte. ;6.1.3.2. Qadariten Neben den Murdschiiten gab es damals noch eine andere Gruppe, die auf religiös-politischer Ebene Kritik an den Herrschenden übte. Der Name dieser Gruppe geht auf den arabischen Begriff [[w:Qadar|Qadar]] zurück, der im Koran allgemein Akte der göttlichen Festlegung bezeichnet. Für die politisch-theologische Diskussion der Umaiyadenzeit über das Qadar war eine Koranstelle besonders bedeutsam, an der die von Muhammads Umgebung kritisierte Eheschließung mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] mit Qadar gerechtfertigt wird. Gottes Befehl dazu sei ''qadar maqdūr'' „von Gott bestimmte Festlegung“ gewesen, heißt es im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33:38]). Wie arabischen Quellen zu entnehmen ist, rechtfertigten auch die Umaiyaden ihre Unrechtstaten mit dem Qadar Gottes. Al-Hasan al-Basrī soll dies empört zurückgewiesen haben, was ihm offenbar einige politische Schwierigkeiten einbrachte. Diejenigen, die dieses Problem weiter thematisierten und die Eigenverantwortlichkeit der Menschen für ihr Tun betonten, wurden als [[w:Qadarīya|Qadariten]] bezeichnet. Niemand, so war ihre Auffassung, sollte seine Sünden mit der Behauptung rechtfertigen können, dass er dazu gezwungen sei, weil Gott die Sünden vorherbestimmt habe. Zu denjenigen, die sich in dieser Zeit gegen die Verwendung [[w:Prädestination|prädestinatianischer]] Formeln zur Rechtfertigung von Missetaten der politischen Machthaber gewandt haben, gehörte auch der ursprünglich aus Ostiran stammende Gelehrte [[w:Makhūl ibn Abī Muslim|Makhūl ibn Abī Muslim]] (gest. 731-37). Er vertrat die Auffassung, dass nur das Gute dem Menschen von Gott zugemessen werde, das Schlechte aber von ihm selbst komme. Derjenige, der eine große Sünde begangen hatte und nicht [[w:Tauba|bußfertig umkehrte]], war nach der Lehre der Qadariten ein [[w:Munāfiq|Munāfiq]] und somit zu ewigen Höllenqualen verdammt. Die Qadariten waren also in gewisser Weise ethische Rigoristen. Viele von ihnen gerieten in Konflikt mit der Staatsgewalt, weil sie bei ihrer Kritik an den Herrschenden kein Blatt vor den Mund nahmen. Anders als die Murdschiiten ließen sie sich aber niemals in politische Aufstände hineinziehen. Al-Hasan al-Basrī warnte davor, durch Rebellion gegen vermeintlich sündige Herrscher die einträchtige Gemeinschaft aufs Spiel zu setzen. Allerdings musste er sich selbst nach Kritik an al-Haddschādsch ibn Yūsuf aus dem öffentlichen Leben zurückziehen. Eine der bedeutendsten islamischen Ideen, die ursprünglich auf qadaritisches Milieu zurückgeht, ist die Vorstellung von der [[w:Bestrafung im Grab|Grabesstrafe]] (''ʿaḏāb al-qabr''), die der eigentlichen Bestrafung des Menschen im Jenseits vorausgehen soll. Schon al-Hasan al-Basrī soll dieses Konzept mit Verweis auf das Koranwort: „Wir werden sie zweimal strafen“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/101 Q 9:101]) propagiert haben. ;6.1.3.3. Das antisektarische Ideal Einige Muslime scheinen schon in dieser Zeit daran Anstoß genommen zu haben, dass sich die Qadariten und Murdschi'iten zu eigenen religiös-politischen Parteien entwickelten. Sie stellten sie als solche mit den Schiiten und Charidschiten auf eine Stufe. Als Beispiel kann man wiederum auf asch-Schaʿbī verweisen, der 699 in den Aufstand des Ibn al-Aschʿath hineingezogen worden war, sich danach aber mit den Umaiyaden versöhnte und als Prinzenerzieher wirkte. Von ihm wird folgender Leitspruch überliefert: „Wisse, dass die gute Tat von Gott kommt und die schlechte von dir, aber sei kein Qadarit. Liebe die Familie des Propheten Gottes, aber sei kein Schiit. Enthalte Dich bei den zweifelhaften Dingen des Urteils, aber sei kein ‚Aufschieber‘ (= Murdschiit). Handle nach dem Koran, aber sei kein Hārūrit (= Charidschit).“ Asch-Schaʿbī meinte also, dass die Prinzipien, die die verschiedenen Bewegungen seiner Zeit verfolgten, grundsätzlich richtig waren, jedoch ihr Sektierertum keine Nachahmung verdiente. Dieses antisektarische Ideal wurde später zu einem festen Bestandteil sunnitischer Identität. == 6.2. ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz und die Mawālī (717-720) == Unter den Kalifen [[w:Sulaimān ibn ʿAbd al-Malik|Sulaimān ibn ʿAbd al-Malik]] (715-717) und [[w:ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz|ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz]] (717-720) kam es zu einer Verlangsamung der Expansionsbewegung. Mit ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz kam ein Mann auf den Thron, der bereits seit seiner Jugendzeit in Medina in einem engen Verhältnis zur religiösen Gelehrsamkeit stand. Während des Kalifats al-Walīds hatte er dessen Herrschaft als Unrechtsregime kritisiert. Bei seinem Herrschaftsantritt soll er einen seiner Gouverneure dafür getadelt haben, dass er die Sunna des Propheten nicht befolgte und unrechtmäßige Neuerungen (''bidaʿ'') einführte. Dies lässt darauf schließen, dass er den ''ahl as-sunna'' sehr nahestand. Während seines Kalifats unterbrach ʿUmar die Offensivstrategie des Staates und wandte sich den im Inneren herrschenden Spannungen zu. Eine einjährige [[w:Belagerung von Konstantinopel (717–718)|Belagerung von Konstantinopel]] wurde 718 abgebrochen. Lediglich im Westen gab es in dieser Zeit noch territoriale Zugewinne: 719 nahm der [[w:as-Samh ibn Mālik al-Chaulānī|Gouverneur von al-Andalus]] die gallische Stadt [[w:Narbonne#Mittelalter|Narbonne]] ein. Der islamische Staat, der damals bereits ein Weltreich geworden war, wurde bis dahin immer noch als ein Bündnis arabischer Stämme geführt. Nicht-Araber, die zum Islam konvertiert waren, mussten deshalb zu Klienten ([[w:Mawālī|Mawālī]]) arabischer Stämme werden. Das Überlegenheitsgefühl der Araber gegenüber den nicht-arabischen Völkern zeigte sich auch auf dem Gebiet der Koranexegese. Bis zum frühen 8. Jahrhundert wurde der im Koran erwähnte Sohn [[w:Abraham im Islam|Abrahams]], der sich hinzugeben bereit war, als Gott seine Opferung verlangte (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/37/vers/102 Q 37:102-105]), in Anknüpfung an den biblischen Bericht allgemein mit [[w:Isaak|Isaak]], dem Stammvater der Juden, identifiziert. In der Zeit von ʿUmar II. kam zum ersten Mal die Vorstellung auf, dass es sich um [[w:Ismael|Ismāʿīl]], den Stammvater der Araber, handeln müsste. Diese Lehre hat sich später auch allgemein im Islam durchgesetzt. Die Murdschi'a-Bewegung, die ursprünglich vor allem auf die Wiederherstellung der Eintracht unter den Muslimen ausgerichtet war, übernahm Anfang des 8. Jahrhunderts eine neue politische Rolle, indem sie in [[w:Chorasan|Chorasan]] und [[w:Transoxanien|Transoxanien]] für die Rechte der Mawālī kämpfte. Im Jahre 718/9 beschwerte sich ein murdschi'itischer Klient, Abū s-Saidā', bei ʿUmar darüber, dass 20.000 Mawālī in Chorasan in der Armee ohne Sold dienten und eine ähnliche Zahl neuer Konvertiten zur Zahlung der Dschizya gezwungen sei. ʿUmar sorgte daraufhin dafür, dass diese neuen nicht-arabischen Konvertiten den Arabern gleichgestellt wurden. Jeder, der das Glaubensbekenntnis der Muslime sprach und zu ihrer [[w:Qibla|Qibla]] hin betete, wurde nach seiner Anordnung von der Bezahlung der Dschizya ausgenommen. Eine Frage, die in dieser Zeit viel diskutiert wurde, war die [[w:Zirkumzision|Beschneidung]] der Konvertiten. Müssen auch Männer, die sich im Erwachsenenalter zum Islam bekehrten, noch beschnitten werden? Während die umaiyadischen Gouverneure in Chorasan dies für notwendig hielten, urteilte Hasan al-Basrī, dass eine Beschneidung nicht vorgenommen werden sollte, wenn zu befürchten war, dass der Mann gesundheitliche Schäden davon tragen würde. ʿUmar ging sogar noch weiter und hob die Beschneidungspflicht für neu bekehrte Muslime vollständig auf. In diesem Zusammenhang wird von ihm der Ausspruch überliefert: „Gott hat Muhammad als Prediger entsandt, nicht aber als Beschneider.“ Um einen weiteren Anreiz für den Übertritt zum Islam zu schaffen, erlegte er umgekehrt den [[w:Dhimma|Dhimmīs]] den sogenannten Ghiyār auf, die Pflicht, eine bestimmte Kleidung zu tragen, die sie von den Muslimen unterschied. == 6.3. Yazīd II., Hischām und das Anwachsen der religiös-politischen Opposition (720-743) == === 6.3.1. Vierte Expansionsphase und das Ende des Dschihad-Staates === [[File:Conquête de l'Islam à la chute des Omeyyades de.svg|mini|Expansion des Islamischen Reichs bis zum Ende der Herrschaft von [[w: Hischām ibn ʿAbd al-Malik|Hischām ibn ʿAbd al-Malik]]]] ʿUmars Nachfolger, die Brüder [[w:Yazid II.|Yazīd ibn ʿAbd al-Malik]] (reg. 720-724) und [[w:Hischām ibn ʿAbd al-Malik|Hischām ibn ʿAbd al-Malik]] (reg. 724-743) nahmen die frühere Expansionspolitik wieder auf. 725 unterwarf der Gouverneur von al-Andalus, [[w: ʿAnbasa ibn Suhaim al-Kalbī|ʿAnbasa]], das Gebiet von [[w:Septimanien|Septimanien]] im Süden des heutigen Frankreichs und installierte arabische Garnisonen in den Städten des unteren [[w:Rhone|Rhone]]-Tals. Im Kaukasus eroberte 730 der Umaiyaden-Prinz [[w:Maslama|Maslama]] die Stadt [[w:Derbent|Derbent]] und siedelte dort 24.000 Araber an. Damit begann die nachhaltige [[w:Islam in Dagestan|Islamisierung Dagestans]]. 735 wurde im äußersten Westen Nordafrikas das zwischen [[w:Hoher Atlas|Hohem Atlas]], [[w:Antiatlas|Antiatlas]] und Atlantik liegende [[w: Souss-Ebene|Sūs-Tal]] eingenommen und die Bevölkerung zum Islam bekehrt. Doch gab es in dieser Zeit auch schon einige Gebietsverluste. Auf der iberischen Halbinsel unternahm 722 [[w:Pelayo|Pelayo]], ein westgotischer Militäradliger, einen Aufstand gegen die muslimische Herrschaft; das von ihm beherrschte Gebiet im äußersten Norden der Halbinsel konnte nie mehr zurückgewonnen werden. 727 musste der Versuch, die byzantinische Stadt [[w:İznik|Nikäa]] zu erobern, abgebrochen werden. Alle weiteren Vorstöße auf fränkisches und byzantinisches Gebiet endeten mit empfindlichen Niederlagen ([[w:Schlacht von Tours und Poitiers|Tours und Poitiers 732]], [[w:Schlacht bei Akroinon|Akroinon 740]]). Das Rhone-Tal ging 737 wieder verloren. Das islamische Reich geriet immer mehr in eine militärische Krise. Die Expansionspolitik ließ sich nicht mehr in gewohnter Weise fortsetzen. Grund für die Krise waren die Probleme bei der Verwaltung eines derart großen Reiches, die immer heftiger werdenden Rivalitäten zwischen verschiedenen arabischen Stämmen und der allgemeine politische Legitimitätsverlust des Umaiyadenhauses. Schon im Jahre 720 unternahm [[w:Yazīd ibn al-Muhallab|Yazīd ibn al-Muhallab]], der Sohn von [[w:Al-Muhallab_ibn_Abī_Sufra|al-Muhallab ibn Abī Sufra]], in Basra einen charidschitisch inspirierten Aufstand und rief im Namen des „Buches Gottes und der Sunna des Propheten“ zu einem Dschihad gegen die Umaiyaden auf. Immer mehr Gruppierungen, darunter auch Qadariten, stellten das Vorrecht dieser Familie auf die religiös-politische Führung der Umma in Frage. === 6.3.2. Die haschimidische Daʿwa und die Schiiten === [[File:Banu Haschim.png|mini|330px|Stammbaum der Banū Hāschim mit Aliden (grün) und Abbasiden (rötlich)]] Die Marwāniden, die seit 685 herrschten, waren zwar keine Nachkommen von Abū Sufyān mehr, sie gehörten aber immer noch dem mekkanischen Clan der ʿAbd Schams an. Gegen deren Vorherrschaft im islamischen Staat richtete sich eine Oppositionsbewegung, die für eine Vorherrschaft des Clans der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] kämpfte, dem ja auch der Prophet selbst angehört hatte. Die Propaganda ([[w:Daʿwa|Daʿwa]]) dieser Bewegung, die man als haschimidisch bezeichnete, wurde durch Werbeagenten (''duʿāt'', sing. ''dāʿī'') bis in die Garnisonen Ostirans getragen. Diese Werbeagenten wirkten im Verborgenen und traten nur mit Pseudonym auf, die Identität des künftigen Imam-Kalifen wurde noch nicht enthüllt, die Werbung vielmehr im Namen eines noch Namenlosen betrieben, „desjenigen aus dem Hause Muhammads, der Zustimmung findet“ (''ar-riḍā min āl Muḥammad''). Innerhalb dieser haschimidischen Daʿwa spielten die [[w:Abbasiden|Abbasiden]], die Nachkommen des Prophetenonkels [[w:al-ʿAbbās_ibn_ʿAbd_al-Muttalib|ʿAbbās]], die damals in [[w:en:Humayma|Humaima]], einem kleinen Ort in Südjordanien lebten, eine wichtige Rolle. Schon um das Jahr 718 hatten Angehörige dieser Familie Pläne entwickelt, die Macht im Kalifat zu ergreifen. Der erste Abbaside, der sich in der Daʿwa engagierte, war Muhammad ibn ʿAlī (gest. 743), ein Enkel von [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAbbās|ʿAbdallāh ibn ʿAbbās]]. Aber auch Anhänger der [[w:Aliden|Aliden]], die ja ebenfalls dem Clan der Banū Hāschim angehörten, beteiligten sich an der Daʿwa-Bewegung. Diese Schiiten sandten von Kufa aus eigene Werber nach Chorasan, die sich mit denjenigen der Abbasiden vermischten. Zeitweise verselbständigte sich der chorasanische Daʿwa-Apparat und verfolgte eigene Ziele. Welche politischen und religiösen Vorstellungen die kufischen Schiiten damals hegten, ist durch das sogenannte [[w:Kitāb Sulaim ibn Qais|Kitāb Sulaim ibn Qais]] dokumentiert, das als das älteste Buch der Schia gilt. Hier wird der Anspruch der Familie Muhammads auf die Herrschaft über die Muslime bekräftigt und ihre Verdrängung von der Macht als ein Komplott verschiedener Prophetengefährten interpretiert, das schon vor Muhammads Tod geschmiedet wurde. Unter den kufischen Schiiten gab es einige Persönlichkeiten, die [[w:Gnosis|gnostischen]] Vorstellungen anhingen. Zu ihnen gehörten insbesondere [[w:al-Mughīra ibn Saʿīd|al-Mughīra ibn Saʿīd]] und [[w:Abū Mansūr al-ʿIdschlī|Abū Mansūr al-ʿIdschlī]], die beide für sich das Prophetentum beanspruchten. Al-Mughīra entwickelte eine extrem anthropomorphistische Gotteslehre und lehrte, dass Gott die Welt durch Aussprechen des „größten Gottesnamen“ (''ism Allāh al-aʿẓam'') erschaffen habe. Dies leitete er aus dem Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/87/vers/1 Sure 87:1-2] ab, das er folgendermaßen las: „Preise den höchsten Namen deines Herrn, der erschuf und ebenmäßig formte“. Er behauptete auch, selbst den „größten Gottesnamen“ zu kennen und damit Tote zum Leben erwecken zu können. Nach Mughīra interessierten sich noch viele andere muslimische Gnostiker für diesen „größten Gottesnamen“ und maßen ihm magische Eigenschaften zu. ʿAlī und seinem Nachkommen [[w:Muhammad al-Bāqir|Muhammad al-Bāqir]] sprach al-Mughīra göttliche Eigenschaften zu und die beiden Kalifen Abū Bakr und ʿUmar erklärte er zu Ungläubigen, mit dem Argument, dass sie ihn nach dem Tode des Propheten davon abgehalten hatten, sein Kalifat anzutreten. Abū Mansūr al-ʿIdschlī führte das Prinzip der allegorischen Koranauslegung (''taʾwīl'') in den Islam ein. Er meinte, dass koranische Begriffe wie [[w:Dschanna|Dschanna]] („Garten“) und ''Nār'' („Feuer“) nur Personen bezeichneten, die es zu verehren bzw. zu bekämpfen galt. Auch die koranischen Gesetze und Verbote deutete er in dieser Weise, woraus sich eine [[w:Antinomismus|antinomistische]] Grundhaltung ergab. Selbst Morde an Gegnern hielt er für zulässig. Die schiitischen Imame betrachtete er als Propheten. Das Prophetentum ʿAlīs erklärte er damit, dass sich der Engel Gabriel geirrt habe, und die für ʿAlī bestimmte göttliche Botschaft fälschlicherweise Muhammad überbracht habe. Beide, al-Mughīra und Abū Mansūr wurden noch während Hischāms Kalifat hingerichtet. In der islamischen [[w:Doxographie|Doxographie]] werden Schiiten, die wie sie den Imamen göttliche Eigenschaften beimessen oder sie als Propheten verehren, als [[w:Ghulāt|Ghulāt]] („Übertreiber, Extremisten“) bezeichnet. [[File:Schiitische Gruppen.svg|mini|500px|Die Herausbildung der verschiedenen schiitischen Gruppierungen im Laufe der Jahrhunderte]] Eine andere schiitische Gruppe dieser Zeit war die Butrīya, die hinsichtlich der islamischen Frühgeschichte sehr gemäßigte Ansichten vertrat. ʿAlī hielten die Butriten zwar nach dem Propheten für den besten (''al-afḍal'') aller Muslime, doch erkannten sie das Kalifat Abū Bakrs und ʿUmars als rechtmäßig an, da ʿAlī ihnen gehuldigt hatte. Ähnliche Ansichten vertrat der in Medina lebende Husainide [[w:Zaid ibn ʿAlī|Zaid ibn ʿAlī]]. Als er sich im Jahre 739 nach Kufa begab und die Schiiten zur Rebellion gegen die Umaiyaden aufrief, kam es dort innerhalb der schiitischen Gemeinde zum Konflikt. Zaid konnte zwar zunächst mehrere Tausend Schiiten hinter sich versammeln, doch fielen die meisten von ihm wieder ab, als sie sahen, dass er nicht bereit war, die beiden ersten Kalifen zu schmähen. Diejenigen Schiiten, die auf Schmähung der beiden ersten Kalifen bestehen, werden seither in der islamischen Doxographie als [[w:Rāfida|Rāfida]] („Ablehner“; nämlich von Zaid ibn ʿAlī), bezeichnet, die anderen Schiiten, die das Imamat der beiden ersten Kalifen Abū Bakr und ʿUmar als rechtmäßig anerkennen und insofern eine gemäßigtere schiitische Lehre vertreten, wurden aufgrund ihrer Verbindung mit Zaid ibn ʿAlī unter dem Namen [[w:Zaiditen|Zaidīya]] geführt. Zaids Aufstand gegen den Kalifen Hischām im Jahre 740 schlug aufgrund der geringen Unterstützung durch die kufischen Schiiten fehl; Zaid fiel in Kufa im Straßenkampf gegen die Truppen des Statthalters. Zaids junger Sohn Yahyā floh nach [[w:Chorasan|Chorasan]], fiel aber in die Hand der Umaiyaden. Wieder freigelassen, suchte er sich in der Gegend von [[w:Herat|Herat]] (westliches Afghanistan) erneut zu erheben, fiel aber 743 im Kampf gegen die umaiyadischen Regierungstruppen. === 6.3.3. Die Sezession des Ibn Suraidsch und die Dschahmīya === [[File:Transoxiana_8th_century.svg|mini|links|Transoxanien, das Gebiet, in das sich al-Hārith ibn Suraidsch zurückzog.]] Im Jahre 734 zettelte der arabische Kämpfer al-Hārith ibn Suraidsch, ein Mann, der eng mit den Murdschi'iten von Abū s-Saidā' verbunden war, in Chorasan einen Aufstand gegen die Umaiyaden an. Ibn Suraidsch, der in einer öffentlichen Erklärung forderte, dass der Gouverneur von Chorasan durch eine [[w:Schūrā|Schūrā]] gewählt werden und gemäß dem Buch Gottes und der Sunna des Propheten handeln müsse, konnte die chorasanische Stadt Balch erobern. Nach einer Niederlage gegen umaiyadische Truppen verbündete er sich mit nicht-muslimischen türkischen Stammesführern, die in dieser Zeit von Transoxanien aus die Araber bekämpften. Zwar konnte der umaiyadische Gouverneur Ibn Suraidsch und seinen türkischen Verbündeten 737 eine Niederlage beibringen, doch gelang es ihm nicht, Ibn Suraidsch endgültig zu besiegen. Er zog sich für die folgenden Jahre in das nördliche Transoxanien zurück und lebte dort auf dem Gebiet türkischer Stammesverbände, die einem [[w:Buddhismus|buddhistischen]] Glauben anhingen. Sekretär von Ibn Suraidsch war ein gewisser [[w:Dschahm ibn Safwān|Dschahm ibn Safwān]]. Auf ihn wird eine eigene theologische Richtung des Islams zurückgeführt, die für ihre Tendenz, Gott von jeder Eigenschaft zu „entleeren“ (arab. ''taʿṭīl''), bekannt war. Dschahm unterschied in seiner Theologie in Anknüpfung an koranische Aussagen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/39/vers/63 Q 39:63] und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/42/vers/11 42:11]) scharf zwischen Gott und allem, was „Ding“ (''šaiʾ'') genannt wird und erschaffen ist, und verlangte auf dieser Grundlage, dass Gott keine Eigenschaften von erschaffenen Dingen und Wesen, also auch Menschen, zugeschrieben werden dürften. Diese Ablehnung von jeglicher Form des Anthropomorphismus brachte Dschahm auch dazu, darauf zu beharren, dass die [[w:Rede Gottes|Rede Gottes]] erschaffen sein müsse. Denn da Gott keinen physischen Körper habe, so meinte er, könne er nicht selbst sprechen, sondern Rede, die von Menschen wahrgenommen wird, nur erschaffen. Da die Rede Gottes erschaffen ist, musste folgerichtig auch der [[w:Erschaffenheit des Korans|Koran erschaffen]] sein. Von Dschahm wird berichtet, dass er mit buddhistischen Mönchen, die in den Quellen als Sumanīya erscheinen, religiöse Streitgespräche führte. Gut möglich ist, dass er seinen streng abstrakten und [[w:Transzendenz|transzendenten]] Gottesbegriff in Auseinandersetzung mit dem Buddhismus, in dem das Konzept der Leere ([[w:Shunyata|Shunyata]]) eine wichtige Rolle spielt, entwickelt hat. Die Dschahmīya, also die von Dschahm ibn Safwān begründete Lehrrichtung, zeichnete sich noch durch einen anderen Zug aus, nämlich ihre spezielle [[w:Determinismus|deterministische]] Handlungstheorie. Demnach handelt der Mensch nicht wirklich selbst, sondern seine Handlungen werden durch Gott hervorgebracht. Diese Auffassung, die gewissermaßen die Gegenposition zur Qadarīya darstellt und auf Arabisch als [[w:Dschabrīya|Dschabrīya]] ("Zwang-Lehre") bezeichnet wird, wurde später in etwas abgeschwächter Form von anderen islamischen Gruppen übernommen. === 6.3.4. Die Charidschiten in Nordafrika === Seit Anfang des 8. Jahrhunderts fanden die Lehren der gemäßigten Charidschiten starken Zuspruch bei den Berbern des westlichen Nordafrika. Für sie waren diese Lehren ein geeignetes Mittel, um ihrem Widerstand gegen die arabische Vorherrschaft Ausdruck zu verleihen. Der sogenannte sufritische Zweig der charidschitischen Bewegung wurde im Maghreb zum „Sammelbecken politischer Opposition“ ([[w:Ulrich Rebstock|U. Rebstock]]). Um 739 gingen Berberstämme mit sufritischer Ausrichtung in der Region um [[w:Tanger|Tanger]] unter ihrem Kalifen Maisara zum [[w:Aufstand des Maysara|offenen Aufstand]] gegen die umaiyadische Herrschaft über. Sie nahmen Tanger ein und konnten in den folgenden drei Jahren ihre Rebellion in Richtung Osten bis nach [[w:Kairouan|Kairouan]] ausweiten. Weitere sufritische Führer aus [[w:Tlemcen|Tlemcen]] und [[w:Beja (Tunesien)|Beja]] schlossen sich mit ihren Berberstämmen dem Aufstand an, der 741 eine umaiyadische Armee in die Flucht schlug. Erst in der zweiten Hälfte der 740er Jahre gelang es ʿAbd ar-Rahmān ibn Habīb, einem in Ifrīqiya zu dieser Zeit unabhängig herrschenden Gouverneur der Umaiyaden, den Ansturm der sufritischen Berberstämme zu brechen und eine Phase der Ruhe einzuleiten. == 6.4. Fiqh: die islamische Normenlehre == Im Verlauf des 8. Jahrhunderts kam es im Bereich der islamischen Gelehrsamkeit zu einem bedeutenden Ausdifferenzierungsprozess. Der Begriff [[w:Fiqh|Fiqh]] (wörtl. „Verständnis, Kenntnis“), der im Anschluss an den koranischen Gebrauch (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/122 Q 9:122]), zunächst ganz allgemein die Kenntnis der Religion bezeichnete, wurde zum Namen einer eigenen Disziplin, die sich mit der ethischen und rechtlichen Bewertung von Handlungen befasst. Diejenigen, die sich mit dieser Disziplin auskennen, werden seither als ''fuqahāʾ'' (Singular: ''faqīh'') bezeichnet. Der Begriff wird üblicherweise mit „Rechtsgelehrte“ übersetzt, allerdings ist dieses Wort etwas irreführend, weil sich die Fuqahā' nicht nur mit weltlichem Recht befassen, sondern auch mit rituellen Fragen. === 6.4.1. Die lokalen Schulen === Innerhalb des Fiqh, das man als islamische Normenlehre bezeichnen kann, gab es um die Mitte des 8. Jahrhunderts insgesamt vier bedeutende Zentren: Medina, Basra, Syrien und Kufa. Bemerkenswert ist, dass in fast allen Zentren im Laufe der Zeit [[w:Mawālī|Mawālī]], also Nicht-Araber, die Führung der Gelehrsamkeit übernahmen. Im Folgenden werden die Besonderheiten dieser Gelehrtenzentren vorgestellt, wobei auch auf die Rolle von religiös-politischen Strömungen eingegangen wird. ;6.4.1.1. Medina Medina war der erste Ort, an dem sich eine Rechtsgelehrsamkeit herausbildete. Schon um die Wende zum 8. Jahrhundert gab es hier ein Kollegium von sieben fuqahāʾ, das bei rituellen, rechtlichen und ethischen Fragen konsultiert wurde. An seiner Spitze stand lange Zeit [[w:Saʿīd ibn al-Musaiyab|Saʿīd ibn al-Musaiyab]]. Er war ein hervorragender Kenner der Rechtsentscheidungen ʿUmars und stützt sich auch bei seinen Rechtsentscheiden auf sie. Um die Mitte des achten Jahrhunderts spielte der Husainide [[w:Dschaʿfar as-Sādiq|Dschaʿfar ibn Muhammad]] (gest. 765) eine wichtige Rolle. Er wurde nach dem Tod seines Vaters im Jahre 733 von vielen Schiiten auch als Imam betrachtet, blieb allerdings im Gegensatz zu seinem Cousin Zaid unpolitisch. Oberhaupt der Rechtsschule von Medina wurde später [[w:Mālik ibn Anas|Mālik ibn Anas]] (gest. 795). Er war der Auffassung, dass Medina als der Ort, in dem der Prophet seine religiöse Bewegung zur Entfaltung gebracht und einen Staat gegründet hatte, eine heilige, lebendige Tradition korrekter Praxis (''ʿamal'') verkörperte, die als Orientierungspunkt für die Bewertung rechtlicher Lehren dienen könnte. Das, was an Praktiken in Medina allgemein anerkannt war, wurde hier auch [[w:Idschmāʿ|Idschmāʿ]] („Konsens“) genannt. Mālik hat seinen Wissensschatz schriftlich in seinem Werk ''[[w:al-Muwatta'|al-Muwaṭṭā]]'' niedergelegt, dem ersten vollständig erhaltenen Werk der islamischen Normenlehre. Seine Rechtsschule verbreitete sich noch zu seinen Lebzeiten nach Ägypten. Dort, wo sie Fuß gefasst hat, ist auch die spezifisch medinische Lesart des Korans, die als die Lesart des Nāfiʿ bekannt ist, heimisch geworden. {{Anker|Abrogation}} ;6.4.1.2. Basra In Basra war das intellektuelle Klima stark von den [[w:Ibaditen|Ibaditen]], einer gemäßigten Untergruppe der Charidschiten, geprägt. Sie sind nach [[w:ʿAbdallāh ibn Ibād|ʿAbdallāh ibn Ibād]] benannt, einer Person, deren Identität allerdings im Dunkeln liegt. Als Selbstbezeichnung verwendeten die Ibaditen den Ausdruck ''ǧamāʿat al-muslimīn'' („Gemeinschaft der Muslime“), den anderen Muslimen erkannten sie nur den Status von ''ahl al-qibla'', Leuten, die in die richtige Gebetsrichtung beten, zu. Sie hielten sich allerdings die meiste Zeit bedeckt und verheimlichten ihr wahres Bekenntnis vor der Obrigkeit. Die beiden wichtigsten ibaditischen Fiqh-Autoritäten im frühen 8. Jahrhundert waren [[w:Dschābir ibn Zaid|Dschābir ibn Zaid]] (gest. zw. 711 u. 723) und [[w:Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma|Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma]]. Ansonsten galt der bereits genannte al-Hasan al-Basrī als die wichtigste Fiqh-Autorität in Basra. [[w:Qatāda ibn Diʿāma|Qatāda ibn Diʿāma as-Sadūsī]] (st. 736), ein Schüler al-Basrīs, verfasste eines der ersten Werke zur Lehre von der [[w:Abrogation (Islam)|Abrogation]] (''nasḫ''). Diese Lehre gibt eine Antwort auf die Frage, wie mit koranischen Vorschriften zu verfahren ist, die einander zu widersprechen scheinen. Nach der Abrogationslehre war in diesem Fall nur der zeitlich später anzusetzende Koranvers gültig, während der frühere in seiner Verbindlichkeit aufgehoben war. Qatāda vertrat zum Beispiel die Meinung, dass der Schwertvers ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]) und der Vers, der zum Kampf gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] auffordert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 9:29]), alle anderen Koranverse, die ein friedfertiges Verhalten gegenüber den Ungläubigen anempfehlen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/61 Q 8:61]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 29:46]), aufgehoben hätten. Später verfassten noch viele andere Gelehrte Werke zur Abrogationslehre, die zu einem der wichtigsten Teilbereiche der juristischen Koranexegese wurde. Zur Begründung dieser Lehre berief man sich auf [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/106 Sure 2:106]: „Wenn wir einen Vers tilgen oder in Vergessenheit geraten lassen, bringen wir einen besseren oder einen, der ihm gleich ist.“ Eine Entscheidung über die Aufhebung von bestimmten Versen durch andere setzte die Kenntnis der Chronologie der Suren und Verse voraus. Das Wissen hierzu wurde im frühen 8. Jahrhundert ebenfalls gesammelt und schriftlich in eigenständigen Werken zu den Offenbarungsanlässen ([[w:Asbāb an-nuzūl|Asbāb an-nuzūl]]) der verschiedenen Verse fixiert. {{Anker|Syrien}} ;6.4.1.3. Syrien Dominierende Gestalt des syrischen Fiqh im frühen 8. Jahrhundert war der bereits genannte Qadarit Makhūl ibn Abī Muslim (gest. 731). Er soll sich bei seinen Gutachten ganz auf eigenes „Urteil“ ([[w:Ra'y|Ra'y]]) gestützt haben. Wenn er Gutachten erteilte, soll er gesagt haben: „Es gibt keine Macht noch Stärke außer bei Gott. Das ist mein Urteil (''raʾy''). Und das Urteil geht fehl oder trifft das Richtige.“ Später wurde die syrische Schule, die in einem Näheverhältnis zur herrschenden Umaiyaden-Dynastie stand, von dem Gelehrten [[w:al-Auzāʿī|al-Auzāʿī]] (gest. 774) angeführt. Kennzeichnend für die syrische Rechtsschule ist das große Interesse an Fragen des Dschihad und der Beziehungen mit Nicht-Muslimen. Makhūl wird in der Traditionsliteratur mit der Aussage zitiert, dass der Dschihad eine Pflicht sei, die jedem einzelnen (männlichen und gesunden) Muslim obliege. Al-Auzāʿī ist dafür bekannt, dass er in einem Werk mit dem Titel ''Siyar'', das sich mit den Handlungsweisen (''siyar'', pl. zu ''sīra'') der Muslime in ihren Beziehungen mit den Ungläubigen befasst, zum ersten Mal im Islam eine Art [[w:Völkerrecht|Völkerrecht]] ausarbeitete. Grundlegend war dabei die Unterscheidung zwischen dem Gebiet, in dem die islamischen Normen gelten und das [[w:Dār_al-Islām|Dār al-islām]] („Haus des Islams“) genannt wird, und dem Gebiet, in dem der Dschihad gegen die Ungläubigen geführt werden muss und als [[w:Dār_al-Harb|Dār al-harb]] („Haus des Krieges“) bezeichnet wird. Bei den Ungläubigen wird dementsprechend zwischen dem [[w:Harbī|Harbī]], der auf feindlichem Gebiet wohnt, demjenigen, der kurzzeitig aufgrund einer Sicherheitsgarantie (''amān'') auf muslimischem Territorium weilt ([[w:Musta'min|Musta'min]]), und demjenigen, der auf muslimischem Territorium lebt und die Dschizya entrichtet ([[w:Dhimma|Dhimmī]]), unterschieden. Al-Auzāʿī hat außerdem Regeln festgelegt, wie man mit Apostaten und Rebellen umzugehen hat, wie die Beute im Krieg aufzuteilen ist, wie man sich als Muslim im Dār al-harb zu verhalten hat usw. Nach seinem Modell haben später noch mehrere andere arabische Gelehrte [[w:Siyar|Siyar]]-Werke verfasst. ;6.4.1.4. Kufa In dieser Stadt gab es zwei Juristengruppen. Die eine war stärker rationalistisch orientiert und sah neben dem Koran eigene Urteilsbemühung ([[w:Idschtihād|Idschtihād ar-ra'y]]) in Form von Analogieschluss ([[w:Qiyās|Qiyās]]) als das wichtigste Mittel zur Normenfindung an. Kennzeichnend für diese Gruppe, in der Mawālī dominierten, war außerdem, dass sie viele ihrer Rechtsentscheidungen auf die außerkanonischen Koranlesungen von [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]] und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]] stützte. Die andere Juristengruppe, die Anfang des achten Jahrhunderts von dem bereits erwähnten [[w:asch-Schaʿbī|asch-Schaʿbī]] angeführt wurde, war dagegen stärker an der Sunna orientiert und lehnte den Qiyās ab. Die rationalistische Schule, in der die Mawālī dominierten, gelangte um die Mitte des achten Jahrhunderts unter die Führung des aus Ostiran stammenden Gelehrten [[w:Abū Hanīfa|Abū Hanīfa]] (gest. 767). Er führte die pragmatische Erwägung (''istiḥsān'') als neues Instrument der Normenfindung in den Fiqh ein und entwickelte Rechtskniffe ([[w:Hiyal|Hiyal]]), um normative Beschränkungen des Korans und der Sunna zu umgehen. Als Oberhaupt der traditionalistischen Schule stand ihm der arabische Gelehrte [[w:Sufyān ath-Thaurī|Sufyān ath-Thaurī]] (gest. 778) gegenüber. {{Anker|Istithna}} Die Exponenten der beiden Schulen standen sich auch auf dogmatischer Ebene gegensätzlich gegenüber: Abū Hanīfa war Murdschi'it, Sufyān war Gegner der Murdschi'iten und betrachtete sie als Ketzer. Abū Hanīfa verteidigte sie gegen diesen Vorwurf und bestand darauf, dass sie in Wirklichkeit ''ahl as-sunna'' seien. Wie die Murdschi'iten zog er die Grenzen des Glaubens sehr weit. So lehrte er, dass ein muslimischer Konvertit, der sich zum Islam bekannte, ohne etwas vom Koran und den religiösen Pflichten des Islams zu kennen, ein wahrer Gläubiger ([[w:Mu'min|Mu'min]]) sei. Dies hatte auch politische Implikationen: Auf diese Weise konnten die Mawālī als vollwertige Muslime anerkannt werden. Sufyān ath-Thaurī zog dagegen die Grenzen des Glaubens sehr eng. Er meinte, dass man nicht einmal von sich selbst wissen könne, ob man ein Gläubiger sei, und verlangte, dass man eine solche Aussage immer mit dem ''istiṯnāʾ'', der Ausnahme-Formel: [[w:In schā' Allāh|„So Gott will“]], versehen müsste. Die beiden nahmen auch hinsichtlich der Koran-Frage unterschiedliche Positionen ein. Von Abū Hanīfa wird überliefert, dass er einer der ersten Gelehrten war, der die von Dschahm ibn Safwān aufgebrachte Lehre von der [[w:Erschaffenheit des Korans|Erschaffenheit des Korans]] im Irak öffentlich vertrat. Es wird berichtet, dass ihn der Gouverneur des Iraks wegen dieser Lehre zur [[w:Tauba|Tauba]] aufgefordert habe. Die Lehre von der Erschaffenheit des Korans erregte deswegen Anstoß, weil sich in dieser Zeit in der breiten Bevölkerung bereits die Vorstellung von einer Präexistenz des Korans durchgesetzt hatte. Auch Sufyān ath-Thaurī teilte diese Vorstellung. Er stellte den Glaubenssatz auf: „Der Koran ist die Rede Gottes, ungeschaffen, von ihm nahm er seinen Anfang und zu ihm kehrt er zurück.“ Diejenigen, die behaupteten, dass der Koran erschaffen sei, betrachtete er als Ungläubige. Abū Hanīfas Engagement im Kampf für die Gleichstellung von nicht-arabischen Neu-Muslimen sorgte dafür, dass sich seine Lehre, die [[w:Hanafiten|Hanafīya]], schon früh über den östlichen Iran, Transoxanien und besonders bei den konvertierten Türken verbreitete. === 6.4.2. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus im Fiqh === Im Fiqh wurden auch die Vorschriften zum islamischen Kultus weiter ausgearbeitet. So wurde zum Beispiel die Anzahl der täglichen Pflichtgebete – wahrscheinlich unter persischem Einfluss – auf fünf erhöht. Bezüglich des Zustands der [[w:Tahāra|Reinheit]], die Voraussetzung für die Gültigkeit von gottesdienstlichen Handlungen ist, wurde ein System von zwei Abstufungen der Unreinheit eingeführt, die jeweils unterschiedliche Waschungen erfordern. Die große Unreinheit (''[[w:Dschanāba|ǧanāba]]''), die durch Geschlechtsverkehr oder Samenerguss verursacht wird, erfordert demnach eine [[w:Ghusl|Ghusl]] genannte Vollwaschung, bei der alle Teile des Körpers vom Wasser berührt werden müssen. Die kleine Unreinheit (''ḥadaṯ'') hingegen, die durch Ereignisse wie Verrichtung der Notdurft oder Schlaf eintritt, erfordert nur eine kleine Waschung, [[w:Wudū'|Wudū']] genannt, die als obligatorische Elemente das Waschen des Gesichts, das Waschen der Unterarme bis zu den Ellbogen, das Streichen mit nassen Händen über den Kopf und das Waschen der Füße bzw. einschließt. Strittig war allerdings die Frage, ob anstelle des Waschens der Füße auch das [[w:al-Mash ʿalā l-chuffain|Überstreichen der Schuhe]] reicht. Für die Einleitung des Gebets wurde neben dem [[w:Adhān|Adhān]] noch ein zweiter Gebetsruf eingeführt, die sogenannte [[w:Iqāma|Iqāma]]. Er wird innerhalb der Moschee durchgeführt, bevor das Gebet beginnt. Bei der [[w:Salāt|Salāt]] setzte sich die Auffassung durch, dass sie mit einer [[w:Nīya|Nīya]], einer Absichtserklärung, zu beginnen habe, in der der Betende festhält, welche Salāt er verrichten will. Der Freitagsgottesdienst wurde um eine [[w:Chutba|Ansprache]] ergänzt, die vor dem Freitagsgebet abgehalten wird. Als [[w:Freitagspredigt|Freitagspredigt]] ist sie bis heute ein wichtiger Bestandteil des islamischen religiösen Lebens. Die Fiqh-Gelehrten machten sich auch darüber Gedanken, wann beim [[w:Ramadan|Ramadān]]-Fasten der richtige Zeitpunkt für den [[w:Sahūr|Sahūr]], die letzte Mahlzeit vor Tagesanbruch, ist, wie genau die Sichtung der Mondsichel (''ruʾyat hilāl''), die für die Bestimmung des Ramadān-Monatsanfangs notwendig ist, zu erfolgen hat, sowie über die Frage, für wen genau das Fasten obligatorisch ist. Hinsichtlich des letztgenannten Punktes wurde zum Beispiel festgelegt, dass Frauen während der Menstruation bzw. des Wochenbetts nicht fasten dürfen, dieses jedoch nachzuholen haben. === 6.4.3. Der Bereich des Strafrechts === Bei dem Delikt des außerehelichen Geschlechtsverkehrs ([[w:Zinā|Zinā]]) griffen die Rechtsgelehrten weiter auf die Steinigung als mögliche Strafform zurück, führten allerdings eine wichtige Abstufung ein: nur Personen, die sich im sogenannten [[w:Ihsān (Islamisches Strafrecht)|Ihsān]]-Status befinden, sollten im Falle von Zinā mit Steinigung bestraft werden, Personen, bei denen dieser Status nicht vorliegt, dagegen entsprechend der koranischen Regelung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]) nur hundert Peitschenhiebe erhalten. Hinsichtlich der Voraussetzungen für das Eintreten des Ihsān-Zustandes bestanden unter den Fiqh-Gelehrten große Meinungsverschiedenheiten. Allgemein wurde jedoch angenommen, dass dafür Geschlechtsreife, Freiheit und eine gültig vollzogene Ehe notwendig seien. Man meinte, dass diese Eigenschaften, wenn sie bei einer Person vorlägen, sie vor Zinā schützten – daher der Begriff ''iḥṣān'' („Immunisierung“) – und dementsprechend das Vergehen dann schärfer bestraft werden müsse. Im Ergebnis führte das Ihsān-Konzept, das von verschiedenen Koranstellen (u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/25 Sure 4:25]) abgeleitet wurde, zu einer starken Einschränkung der Steinigungsstrafe im Einzugsbereich des islamischen Rechts. == 6.5. Die dritte Fitna und der Sturz des umaiyadischen Kalifats (744-750) == === 6.5.1. Der Putsch Yazīds III. und die frühe Muʿtazila === [[File:Qusayr Amra.jpg|mini|Das Schloss [[w:Qusair ʿAmra|Qusair ʿAmra]], das sich der schöngeistig orientierte Kalif al-Walīd II in der jordanischen Wüste erbauen ließ.]] Nach dem Tode Hischāms im Jahre 743 ging die Herrschaft zunächst an den schöngeistig orientierten [[w:al-Walid II.|Walīd II]] über, doch wurde dieser schon bald durch einen anderen Umaiyaden beseitigt, [[w:Yazid III.|Yazīd ibn al-Walīd]]. Dieser Yazīd III., der im April 744 die Herrschaft antrat, war selbst Qadarit und zeigte asketische Neigungen. Sein Putsch war auch von einem religiös-politischen Programm getragen. In seiner Antrittsrede präsentierte er sich als Anwalt des Korans und der Sunna des Propheten und bot seinen Rücktritt für den Fall an, dass er sich nicht an das halte, was er versprochen habe. Auf den Parolen, die die Truppe Yazīds auf ihre Lanzen steckte, stand nicht nur, „Wir rufen euch auf zum Buch Gottes und zur Sunna des Propheten“, sondern auch in Verweis auf den Schūrā-Gedanken, „dass man sich untereinander berate“. Trotz seiner qadaritischen Neigungen, bemühte sich Yazīd III. auch um Unterstützung der Murdschiiten. So begnadigte er auf Fürsprache Abū Hanīfas den murdschiitischen Sezessionisten Ibn Suraidsch. Diese ausgleichende Position ist nicht ganz zufällig. Innerhalb der Qadarīya hatte sich in den 730er Jahren eine neue Strömung gebildet, die auf religiös-politischen Ausgleich bedacht war. Begründer dieser Denkrichtung war der basrische Prediger [[w:Wāsil ibn ʿAtā'|Wāsil ibn ʿAtā']]. Der angestrebte Ausgleich betraf vor allem die Beurteilung desjenigen, der eine schwere Sünde begangen hat, eine Frage, zu der insbesondere Charidschiten und Murdschiiten konträre Auffassungen vertraten. Während erstere meinten, dass die betreffende Person als Ungläubiger einzuordnen sei, betrachteten ihn letztere als vollwertigen Gläubigen. Indem Wāsil sich einer solchen Einordnung enthielt und ihn als „Frevler“ (''fāsiq'') auf eine Zwischenstufe (''manzila baina manzilatain'') stellte, versuchte er, einen Ausgleich zwischen Charidschiten und Murdschiiten herzustellen. Diese Position wurde als ''Iʿtizāl'' („Zurückhaltung“) bezeichnet, und diejenigen, die sich an sie hielten, als [[w:Muʿtazila|Muʿtazila]]. Wāsil sandte Prediger aus, die seine Lehre in den verschiedenen Regionen des islamischen Reiches verbreiteten. Auf dem Gebiet des heutigen Marokko fiel seine Lehre auf besonders fruchtbaren Boden. Dort sollen sich 100.000 Menschen der Wāsilīya angeschlossen haben. Von großer Bedeutung war auch, dass Wāsil [[w:ʿAmr ibn ʿUbaid|ʿAmr ibn ʿUbaid]], einen der angesehensten Schüler von al-Hasan al-Basrī, auf seine Seite ziehen konnte. Hieraufhin kam es zu einer Spaltung von al-Hasans Schülerkreis. Der loyalistisch gesinnte Traditionalist [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAun|ʿAbdallāh ibn ʿAun]] stellte jeden Kontakt zu ʿAmr ibn ʿUbaid ein und empfahl seinen Anhängern, sich ebenso zu verhalten. ʿAmr ibn ʿUbaid selbst konnte aber in den folgenden Jahren eine Anhängerschaft von ca. 30.000 Menschen aufbauen. Sowohl ʿAmr ibn ʿUbaid als auch Wāsil ibn ʿAtā' unterstützten das religiös-politische Reformprojekt Yazīds III., allerdings starb der Herrscher schon sechs Monate später, so dass dieses Projekt nur eine kurze Episode blieb. Nach seinem Tod im September 744 nahmen die tribalen Auseinandersetzungen und religiös-politische Erhebungen im Reich stark zu. Im Oktober 744 erhoben die kufischen Schiiten einen gewissen ʿAbdallāh ibn Muʿāwiya zum Imam. Er war kein Nachkomme ʿAlīs, sondern stammte von dessen Bruder [[w:Dschaʿfar ibn Abī Tālib|Dschaʿfar ibn Abī Tālib]] ab. Von seinen Anhängern unterstützt, konnte er große Gebiete Westirans unter seine Kontrolle bringen. Der Umaiyade [[w:Marwan II.|Marwān II.]], dem im Dezember 744 in Damaskus als neuem Kalifen gehuldigt wurde, musste sich mit zahlreichen Gegnern auseinandersetzen. Mit religiös-politischem Anspruch kämpften gegen ihn die [[w:Ibaditen|Ibaditen]] und die Anhänger der hāschimitischen Daʿwa. === 6.5.2. Das geheime Missionsnetzwerk der Ibaditen === Um die gleiche Zeit wurde auch der ibaditische Rechtsgelehrte [[w: Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma|Abū ʿUbaida]] politisch aktiv. Er machte Basra zum Zentrum einer Propagandabewegung, die an anderen Orten Aufstände vorbereiten sollte. Diese Aufstände sollten letztendlich ein universales ibaditisches Imamat herbeiführen, das auf den Ruinen des Umaiyadenstaates errichtet würde. Um sein Ziel zu erreichen, formte Abū ʿUbaida sein Lehrkolleg, das mittlerweile von Studierenden aus den verschiedensten Gebieten des islamischen Reiches besucht wurde, in eine geheime Propagandazentrale um. Er schickte ''ḥamalat al-ʿilm'' („Wissensträger“) genannte Werber in die verschiedenen Provinzen des islamischen Reiches, mit dem Auftrag, dort ibaditische Gemeinden zu gründen. Die Sendboten traten nicht nur in arabischen Gebieten wie dem Hidschāz oder Südarabien und Bahrain auf, sondern auch in Ägypten, Nordafrika, Chorasan, Choresm und sogar in Indien. Die meisten dieser Werber waren gleichzeitig als Händler tätig. Mit dem von ihnen erwirtschafteten Geld wurde in Basra eine Kasse gegründet, mit der die Gemeinschaft finanzielle Selbständigkeit erlangte. Die meisten Ibaditen gehörten arabischen Stämmen an, die nicht besonders angesehen waren, deswegen hatte das Ideal der Gleichheit einen hohen Stellenwert in ihrer Propaganda. Wie die anderen Charidschiten waren die Ibaditen der Auffassung, dass das Imamat nicht auf den Stamm der Quraisch beschränkt sei, sondern jedem zustehe, den die Muslime zur Führung ihres Staates auswählten. Mit dieser Vorstellung stießen sie vor allem bei den Berbern Nordafrikas auf viel Zustimmung. In den verschiedenen Außenposten der ibaditischen Gemeinde kam es ab 745 zu Aufständen. Im [[w:Hadramaut|Hadramaut]] wurde 746 ein erstes ibaditisches Imamat begründet, dessen Truppen 747 Sanʿāʾ, die Hauptstadt Südarabiens, sowie Mekka und Medina einnehmen konnten, aber 748 von umaiyadischen Truppen niedergeworfen werden. Ungefähr um 748 errichteten die Ibaditen außerdem in Tripolitanien ein eigenes Imamat. Und um 750 huldigten die Ibaditen von Oman al-Dschulandā ibn Masʿūd, einem Nachkommen der dortigen ehemaligen Herrscherfamilie, als erstem „Imam des Hervortretens“ (''imām aẓ-ẓuhūr''). Im basrischen Zentrum betrieben die Ibaditen dagegen Geheimhaltung (''kitmān''), um nicht die Aufmerksamkeit der Obrigkeit auf sich zu ziehen und die Bewegung besser steuern zu können. === 6.5.3. Der abbasidische Umsturz === Als nach dem Tod von al-Walīd II. der Zerfall des umaiyadischen Kalifats immer deutlicher geworden war, verstärkten auch die Haschimiden ihre Aktivitäten zur Übernahme der Herrschaft im Reich. Der [[w:Hasaniden|Hasanide]] ʿAbdallāh rief 744 die Angehörigen seiner Familie und verschiedene andere Gruppen, die mit ihr sympathisierten, darunter auch verschiedene Muʿtaziliten, in dem Ort al-Abwā im Hedschas zusammen und ließ sie seinem Sohn [[w:Muhammad an-Nafs az-Zakīya|Muhammad an-Nafs az-Zakīya]] als zukünftigem Herrscher huldigen. Erheblich erfolgreicher waren allerdings die Bemühungen des Abbasiden Ibrāhīm, der nach dem Tode seines Vaters Muhammad 743 die Führung der Abbasiden-Familie übernommen hatte. Er sandte in dieser Zeit zwei neue Propagandisten für die Abbasiden nach Chorasan, Abū Salama und [[w:Abū Muslim|Abū Muslim]], letzterer ein früherer Anhänger des Gnostikers Mughīra ibn Saʿīd. Abū Muslim schaffte es 747, die anti-umaiyadische Opposition in Chorasan hinter der hāschimidischen Daʿwa zu vereinen und daraus einen offenen Aufstand gegen das geschwächte Umaiyaden-Regime zu organisieren. Rasch konnte er seine Herrschaft über Ostiran festigen. Rivalisierende Aufständische wie den Tālibiden ʿAbdallah ibn Muʿāwiya ließ er beseitigen. [[File:Revolt.png|mini|In den Jahre 748/49 drang das Heer von Abū Muslim von Ostiran nach Westen in den Irak vor, was schließlich den Untergang des Umaiyaden-Reiches und die Machtergreifung der Abbasiden herbeiführte.]] Von der Stadt Marw aus, die noch 747 eingenommen wurde, trat Abū Muslims Heerführer Qahtaba mit dem Rebellenheer im Jahr 748 den Marsch nach Westen an. Nach mehreren Siegen überschritt er 749 den Tigris und Euphrat. Sein plötzlicher Tod in der Schlacht um Kufa und die Hinrichtung des Abbasiden Ibrāhīm, der die Fäden der Daʿwa in der Hand gehalten hatte, durch die Umaiyaden stürzten das Unternehmen jedoch kurzfristig in Verwirrung. Wer sollte nun die Position des Imāms einnehmen, für dessen Herrschaft das Rebellenheer gekämpft hatte? Nach dem siegreichen Einzug des Heeres in Kufa trug Abū Salama dieses Amt zunächst einem prominenten Aliden an, nämlich dem bereits erwähnten Husainiden Dschaʿfar ibn Muhammad, der in Medina als Fiqh-Gelehrter wirkte. Dieser lehnte jedoch ab, da er keinerlei politische Ambitionen hegte. Dafür aber reiste sehr bald die Abbasidenfamilie aus Humaima an und beanspruchte die Herrschaft für sich. Zum Kalifen selbst wurde der relativ schwache [[w: Abu l-Abbas as-Saffah|Abū l-ʿAbbās]], er ließ sich im November 749 in Kufa huldigen. Sein Onkel, [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAlī|ʿAbdallāh ibn ʿAlī]], fügte dem umaiyadischen Kalifen Marwān II. Anfang Februar 750 am Ufer des großen Zāb im Irak eine vernichtende Niederlage zu und verfolgte ihn anschließend durch Syrien und Palästina, wobei er zwischendurch Damaskus einnahm. Während seines Aufenthaltes in Palästina ließ er 80 Angehörige des Umaiyaden-Hauses auf einmal hinrichten, Marwān selbst wurde im August 750 in Oberägypten getötet. Damit endete die Umaiyaden-Dynastie im Vorderen Orient. == 6.6. Literatur == * Blankinship, Khalid Yahya: ''The End of the Jihâd State. The Reign of Hishām ibn ʿAbd al-Malik and the Collapse of the Umaiyads''. Albany 1994. * Bonner, Michael: ''Aristocratic Violence and Holy War. Studies in the Jihad and the Arab-Byzantine Frontier''. New Haven, Connecticut 1996. * Bouzenita, Anke: ''ʿAbdarraḥmān al-Auzāʿī - ein Rechtsgelehrter des 2. Jahrhunderts d.H. und sein Beitrag zu den Siyar erarbeitet auf der Grundlage des k. ar-Radd ʿalā siyar al-Auzāʿī.'' Berlin 2001. * Crone, Patricia and Martin Hinds: ''God’s Caliph. Religious authority in the first centuries of Islam.'' Cambridge 1986. * Daiber, Hans: ''Wāṣil ibn ʿAṭāʾ als Prediger und Theologe. Ein neuer Text aus dem 8. Jahrhundert n. Chr.'' Leiden 1988. * Ess, Josef van: ''Theologie und Gesellschaft im 2. und 3. Jahrhundert Hidschra. Eine Geschichte des religiösen Denkens im frühen Islam.'' Bd. I und II. Berlin 1991-1992. * Gramlich, Richard: ''Weltverzicht. Grundlagen und Weisen islamischer Askese.'' Wiesbaden 1997. * Hamdan, Omar: ''Studien zur Kanonisierung des Korantextes al-Ḥasan al-Başrīs. Beiträge zur Geschichte des Korans.'' Wiesbaden 2006. * Hawting, G.R.: ''The First Dynasty of Islam. The Umaiyad Caliphate AD 661-750.'' London 1986. * Juynboll, G.H.A.: ''Muslim Tradition. Studies in chronology, provenance and authorship of early ḥadīth.'' Cambridge 1983. * Levy-Rubin, Milka: ''Non-Muslims in the Early Islamic Empire. From Surrender to Coexistence.'' Cambridge 2011. * Motzki, Harald: ''Die Anfänge der islamischen Jurisprudenz. 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Ein Streitpunkt in der frühen islamischen Theologie war die Stellung desjenigen, der eine schwere Sünde begangen hat. Welche Positionen standen sich gegenüber? 3. Umreißen Sie in groben Zügen die Geschichte der islamischen Expansion bis zum Ende der Umaiyadenzeit. 4. Wer war Dschahm ibn Safwān und welche theologischen Positionen vertrat er? 5. Welche lokalen Fiqh-Schulen entwickelten sich in der Umaiyadenzeit und durch welche Lehren zeichneten sie sich aus? 6. Was besagt die Abrogationslehre und welche Kenntnis setzt sie voraus? 7. Nennen Sie Regeln des islamischen Ritualgebets und erklären Sie, wie sie sich herausgebildet haben. 8. Wer sind die Banū Hāschim und welche politische Rolle spielten sie in der späten Umaiyadenzeit? {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} qwrro5lcop4sksdaxb7mykh29is36qp 1114156 1114155 2026-09-03T11:38:11Z Carl Stiller 32616 /* 6.3.3. Die Sezession des Ibn Suraidsch und die Dschahmīya */ 1114156 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05|5 <<<]] — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 07|>>> 7]] {{TOC nonum}} = 6. Die Desintegration des Dschihad-Staates und die Anfänge des Fiqh (692-750) = Die frühislamische Expansionsbewegung erlebt ihren Höhepunkt und Niedergang. Soziale Spannungen zwischen Arabern und Nicht-Arabern nehmen weiter zu. Als neue religiös-politische Parteien entstehen Murdschi'a, Qadarīya, Dschahmīya und Ibādīya. Darüber hinaus bildet sich mit dem Fiqh eine eigene islamische Normenlehre heraus, die in verschiedenen lokalen Schulen gepflegt wird. == 6.1. Dritte Expansionsphase: von ʿAbd al-Malik bis Sulaimān (692-717) == === 6.1.1. Konsolidierung des Staates und dritte Expansionsphase === [[File:First Umayyad gold dinar, Caliph Abd al-Malik, 695 CE (cropped).jpg|mini|links|hochkant|Unter [[w: Abd al-Malik (Umayyaden)|ʿAbd al-Malik]] geprägter Gold-[[w:Dinar|Dinar]] mit arabischer Legende.]] Nach Wiedergewinnung Arabiens nahm [[w: Abd al-Malik (Umayyaden)|ʿAbd al-Malik]] eine Verwaltungsreform (Einführung des Arabischen als Kanzleisprache) und Münzreform (Ablösung der sassanidischen und byzantinischen Prägungen durch Münzen mit arabisch-islamischer [[w: Legende (Numismatik)|Legende]]) vor. [[w:Al-Haddschādsch ibn Yūsuf|Al-Haddschādsch ibn Yūsuf]] wurde 694 als Gouverneur in den Irak entsandt und regierte von dort aus bis 715 den gesamten Ostteil des Reiches. 705 verlegte er seinen Regierungssitz in die neugegründete Stadt Wāsit („die Mittlere“) zwischen Kufa und Basra. Um einen Rückgang der staatlichen Einnahmen zu verhindern, führte er die Regel ein, dass auch solche [[w:Dhimma|Ahl adh-Dhimma]] die [[w:Dschizya|Dschizya]] entrichten mussten, die bereits zum Islam konvertiert waren. [[File:Invasionislámicaespaña.svg|mini|Die Eroberung der [[w:Iberische_Halbinsel|iberischen Halbinsel]] unter Tāriq ibn Ziyād und Mūsā ibn Nusair zwischen 711 und 714.]] Während der zweiten Fitna waren die Araber von den Byzantinern aus [[w:Ifrīqiya|Ifrīqiya]] zurückgedrängt worden. Zur Rückgewinnung des Gebiets stellte ʿAbd al-Malik dem neuernannten Gouverneur Ifrīqiyas, [[w:Hassān_ibn_an-Nuʿmān|Hassān ibn Nuʿmān]], das Steueraufkommen ganz Ägyptens zur Verfügung und ließ ihn eine Armee von 40.000 Mann anwerben. Den nach Westen vordringenden Arabern traten nun berberische Stämme aus dem Gebiet Nordostalgeriens unter Führung einer Frau entgegen, die in der muslimischen Geschichtsschreibung als die [[w:Kāhina|Kāhina]] („Priesterin“) bekannt geworden ist. Es war nicht ungewöhnlich, dass Frauen bei den Berbern politischen Einfluss hatten, denn sie waren zum Teil noch mutterrechtlich organisiert. Die Kāhina genoss den Ruf einer Prophetin und muss eine begabte Rednerin gewesen sein. Mit dem von ihr aufgebauten Stammesverband trat sie der Armee Hassāns entgegen und drängte ihn in die [[w:Cyrenaika|Cyrenaika]] zurück. Fast drei Jahre lang blieben die Muslime in der Defensive, unterdessen kehrten die Byzantiner wieder und besetzten [[w:Karthago|Karthago]] und andere Küstenfestungen. Erst um das Jahr 698 gelang es Hassān ibn Nuʿmān mit Unterstützung berberischer Stämme und arabischer Schiffsverbände, die Byzantiner endgültig aus Karthago und den anderen Küstenfestungen zu vertreiben. Die berberische Kāhina fiel im Kampf. [[w:Mūsā ibn Nusair|Mūsā ibn Nusair]] vollendete Anfang des 8. Jahrhunderts die Eroberung der nordafrikanischen Küste und setzte in Tingis, dem heutigen [[w:Tanger|Tanger]], einen berberischen Gouverneur ein, [[w:Tāriq ibn Ziyād|Tāriq ibn Ziyād]]. Unter [[w: al-Walid I.|al-Walīd]] (reg. 705-715) setzte sich die Expansion des islamischen Staates fort. Die wichtigsten Eroberungen fanden innerhalb weniger Monate statt. Im Westen setzte im Frühjahr 711 Tāriq ibn Ziyād in einer eigenmächtigen Aktion mit einer Armee von 7.000 ausschließlich berberischen Kämpfern nach Europa über. Der Berg, an dessen Fuß er mit seinen Truppen landete, trägt seither seinen Namen (arab. ''ǧabal Ṭāriq'' = „Berg Tāriqs“ → [[w:Gibraltar|Gibraltar]]). Nach dem Sieg über den [[w:Westgoten|Westgotenkönig]] [[w:Roderich|Roderich]] im Juli 711 konnten Tāriq ibn Ziyād und Mūsā ibn Nusair innerhalb weniger Jahre die gesamte iberische Halbinsel einnehmen. Unter dem Namen [[w:al-Andalus|al-Andalus]] wurde dieses Gebiet in das islamische Reich eingegliedert. Im Osten des islamischen Reiches eroberte im gleichen Jahr der junge Heerführer [[w:Muhammad ibn al-Qasim|Muhammad ibn al-Qāsim]] das Gebiet von [[w:Sindh|Sindh]] im heutigen Südpakistan mit der Stadt [[w:Multan|Multan]]. Und im Nordosten eroberte ein Jahr später [[w:Qutaiba ibn Muslim|Qutaiba ibn Muslim]], der Gouverneur von [[w:Chorasan|Chorasan]], [[w:Choresmien|Choresmien]] und Transoxanien mit den Städten [[w:Buxoro|Buchara]] und [[w:Samarkand|Samarkand]]. === 6.1.2. Staatliche Maßnahmen im religiösen Bereich === [[File:Mihrab, Umayyad Mosque.jpg|mini|Der [[w:Mihrāb|Mihrāb]] der Umaiyaden-Moschee von Damaskus heute. Die darüber stehenden arabischen Wörter sind ein Zitat aus dem Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/37 Sure 3:37]) und setzen den Bau zur koranischen Johannesgeschichte in Beziehung.]] Unter den beiden Kalifen ʿAbd al-Malik und al-Walīd wurden auch Maßnahmen im religiösen Bereich getroffen. Im Jahre 703 unternahm al-Haddschādsch eine eigene Initiative zur Vereinheitlichung der Orthographie der Koranschreibung. Damit alle Uneindeutigkeiten ausgeräumt waren, wurden alle Buchstaben mit ähnlichem Aussehen fortan mit diakritischen Zeichen versehen. Leiter der Kommission war der Gelehrte [[w:al-Hasan al-Basrī|al-Hasan al-Basrī]] (gest. 728). Al-Walīd setzte zwei anspruchsvolle religiöse Bauprojekte um: 1. in Damaskus ließ er die eigentlich vertraglich geschützte Johanneskirche im Zentrum der Stadt einreißen und in den bereits bestehenden Moscheekomplex einverleiben; an der Stelle wurde die noch heute bestehende [[w:Umayyaden-Moschee|Umaiyaden-Moschee]] errichtet; 2. in Medina ließ er von seinem Gouverneur die Prophetenmoschee abreißen und in größerem Maßstab wieder errichten. Die beiden Bauten erhielten als neues Architekturelement im Inneren eine Nische, die den Platz des Vorbeters und die [[w:Qibla|Qibla]] anzeigte. Diese Gebetsnische, die man in Anspielung an die koranische Erzählung von der Verkündung des Johannes ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/39 Q 3:39]) [[w:Mihrāb|Mihrāb]] genannt hat, ist später fester Bestandteil der Moscheearchitektur geworden. Allerdings gab es von Seiten traditionalistisch gesinnter Muslime noch lange Zeit Widerstand gegen den Mihrāb. So wird zum Beispiel berichtet, dass der irakische Traditionarier [[w:Yazīd ibn Hārūn|Yazīd ibn Hārūn]] (gest. 821) einmal bei einer Privatmoschee, die gerade im Bau war, den Mihrāb einreißen ließ, weil er diesen offenbar für eine [[w:Bidʿa|unrechtmäßige Neuerung]] hielt. Der Felsendom scheint allerdings noch eine Zeitlang seine Rolle als religiöses Heiligtum behalten zu haben. So wird berichtet, dass an ihm unter al-Walīd Rituale vollzogen wurden, die nicht typisch sind für eine Moschee. Es wurden 40 zur lokalen Bevölkerung gehörende Diener für das Gebäude abgestellt, die „Felswächter“ (''ḥurrās aṣ-ṣaḫra'') genannt wurden. In Schichten arbeitend, waren sie für das Öffnen und Schließen der Tore, die Lampen und die allgemeine Instandhaltung verantwortlich. Jeden Montag und Donnerstag fand ein spezieller Gottesdienst statt, der mit der Vorbereitung der Felsendiener, der Einsalbung des Felsens und Beweihräucherung des Gebäudes begann. Dann wurden die Gläubigen der Stadt durch einen Rufer aufgefordert, zum Gebet zu kommen. Nach dem Gebet wurde der Felsen von Felsendienern erneut gewaschen und abgetrocknet, die Türen wurden wieder verschlossen. === 6.1.3. Der Aufstand des Ibn al-Aschʿath und die neuen religiös-politischen Parteien === Auch nach innen bemühten sich die Kalifen, die Kontrolle des Staates auszuweiten. Nach dem Sieg über [[w:ʿAbdallāh ibn az-Zubair|ʿAbdallāh ibn az-Zubair]] trieben noch verschiedene charidschitische Gruppen im Irak und in Iran ihr Unwesen, darunter besonders die [[w:Azraqiten|Azraqiten]]. Sie überzogen unter ihrem Kalifen al-Qatarī ibn al-Fudschāʿa weite Gebiete Persiens mit Feuer und Schwert und setzten mehrere Jahre hindurch den zahlenmäßig weit überlegenen Regierungstruppen hartnäckigen Widerstand entgegen. Im Jahre 698 gelang es aber [[w:al-Muhallab ibn Abī Sufra|al-Muhallab ibn Abī Sufra]], sie endgültig zu vernichten. Um das Jahr 700 brach aber noch einmal ein Aufstand aus, der das arabische Reich fast zum Zusammensturz brachte. Auslöser dafür war das Verhalten von al-Haddschādsch ibn Yūsuf im Irak. Er ging sehr hart gegen die arabischen [[w:Scharīf|Stammesführer]] in Kufa vor und versuchte, ihre Macht zu brechen. Um 700 stellte sich der kinditische Stammesführer Ibn al-Aschʿath, ein Enkel von [[w:al-Aschʿath ibn Qais|al-Aschʿath ibn Qais]] an die Spitze einer Aufstandsbewegung, die von Ostiran aus in Richtung Irak vorrückte und die Absetzung von al-Haddschādsch forderte. Nachdem al-Haddschādsch den Aufstand, der auch von den Schiiten von Kufa unterstützt wurde, niedergeschlagen hatte, ließ er seine Unterstützer erbarmungslos verfolgen. Einige Schiiten aus Kufa flohen darauf hin nach Iran und gründeten dort die Stadt [[w:Ghom|Qom]]. Sie wurde später zu einem der wichtigsten Zentren der Schia. Innerhalb der Schia spielte damals die [[w:Kaisānīya|Kaisānīya]] (siehe dazu oben [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05#5.3.3. Der schiitische Aufstand des Muchtār|5.3.3.]]) eine wichtige Rolle. Die Kaisāniten knüpften noch immer [[w:Soteriologie|soteriologische]] Erwartungen an [[w:Muhammad ibn al-Hanafīya|Muhammad ibn al-Hanafīya]], den früher von [[w:al-Muchtār ibn Abī ʿUbaid|al-Muchtār]] verkündeten [[w:Mahdi|Mahdī]], der selbst gar kein Mahdī sein wollte. Als Muhammad ibn al-Hanafīya im Jahre 700 starb, meinten viele von ihnen, er sei nicht wirklich gestorben, sondern nur der Welt entrückt; in Wahrheit weile er versteckt in den Schluchten des Berges Radwā nördlich von Medina, von Engeln bewacht und mit Speise aus dem Paradies ernährt; in naher Zukunft werde er aus seinem Versteck hervortreten, seine Anhänger um sich scharen, die Feinde zerschmettern und „die Erde mit Gerechtigkeit erfüllen, sowie sie mit Ungerechtigkeit erfüllt war“. Die Lehren der Kaisānīya, insbesondere das Modell der „Verborgenheit“ ([[w:Ghaiba|Ghaiba]]) und erwarteten Rückkehr (''raǧʿa'') des Mahdī wurde später von anderen Zweigen der Schia auf andere Personen übertragen, die Gestalt des Mahdī fand auch Eingang in die Lehren der nicht-schiitischen Muslime. Deswegen ist die Kaisānīya von großer religionsgeschichtlicher Bedeutung für den Islam. ;6.1.3.1. Murdschiiten Während Schiiten bei dem Aufstand des Ibn al-Aschʿath eigentlich nur eine marginale Rolle spielte, gab es eine andere Gruppe, die dabei erheblich stärker hervortrat, nämlich die Koranleser der Murdschi'a. Die religiös-politische Bewegung der [[w:Murdschi'a|Murdschi'a]] („Aufschieber“) geht auf Hasan, den Sohn Muhammad ibn al-Hanafīyas zurück. Er hatte in den frühen 690er Jahren einen offenen Brief verfasst, in dem er die Lehre entwickelte, dass entsprechend [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/106 Sure 9:106] das Urteil über die Menschen, die sich an der Fitna beteiligt hatten, also [[w:Talha ibn ʿUbaidallāh|Talha]], az-[[w:Zubair ibn al-ʿAuwām|Zubair]], [[w:ʿAlī ibn Abī Tālib|ʿAlī]] und [[w:ʿUthmān ibn ʿAffān|ʿUthmān]], aufgeschoben werden müsse, bis Gott (im Jenseits) über sie entscheide. Da Gott über diese Menschen urteile, sollten sich die Muslime bis dahin jeglicher Parteinahme enthalten. Mit diesem Gedanken der Versöhnung und des Ausgleichs standen die Murdschi'a oder Murdschiiten, wie man sie auch nennt, den ''ahl as-sunna'' sehr nah. Dass sich trotz ihrer konzilianten Haltung so viele Murdschiiten in den Ibn-al-Aschʿath-Aufstand hineinziehen ließen, hat damit zu tun, dass viele von ihnen [[w:Mawālī|Mawālī]] waren und al-Haddschādsch eine Politik betrieb, die auf Bewahrung der politischen Vorrechte der Araber ausgerichtet war. So verfügte er, dass Nicht-Muslime, die zum Islam übertraten, trotzdem die [[w:Dschizya|Dschizya]] weiterzahlen mussten. Dass sich vor allem murdschiitische Koranleser der Ibn-al-Aschʿath-Revolte anschlossen, dürfte darin seinen Grund haben, dass al-Haddschādsch [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|Ibn Masʿūd]] und seine Koranlesung verspottete und der Bevölkerung in Kufa mit einem Massaker drohte, wenn sie nicht aufhören würden, den Koran nach seiner Lesung zu rezitieren. Viele der murdschiitischen Koranleser wurden nach der Niederschlagung des Aufstands durch al-Haddschādsch hingerichtet, andere flohen in den [[w:Haram_(heiliger_Bezirk)|Haram]] von Mekka. Jahre später, 713, wurden die nach Mekka geflüchteten Murdschiiten, die an den Aufstand des Ibn al-Aschʿath teilgenommen hatten, von dem mekkanischen Gouverneur [[w:Chālid al-Qasrī|Chālid al-Qasrī]] verhaftet und zur Hinrichtung an al-Haddschādsch ausgeliefert. Die Brutalität, mit der al-Walīd und seine Gouverneure gegen diese Oppositionellen vorgingen, entfremdete die frommen Milieus dem Umaiyadenstaat und verstärkte bei ihnen die Überzeugung, dass es sich um ein „Unrechtsregime“ handelte. ;6.1.3.2. Qadariten Neben den Murdschiiten gab es damals noch eine andere Gruppe, die auf religiös-politischer Ebene Kritik an den Herrschenden übte. Der Name dieser Gruppe geht auf den arabischen Begriff [[w:Qadar|Qadar]] zurück, der im Koran allgemein Akte der göttlichen Festlegung bezeichnet. Für die politisch-theologische Diskussion der Umaiyadenzeit über das Qadar war eine Koranstelle besonders bedeutsam, an der die von Muhammads Umgebung kritisierte Eheschließung mit [[w:Zainab bint Dschahsch|Zainab bint Dschahsch]] mit Qadar gerechtfertigt wird. Gottes Befehl dazu sei ''qadar maqdūr'' „von Gott bestimmte Festlegung“ gewesen, heißt es im Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/38 Q 33:38]). Wie arabischen Quellen zu entnehmen ist, rechtfertigten auch die Umaiyaden ihre Unrechtstaten mit dem Qadar Gottes. Al-Hasan al-Basrī soll dies empört zurückgewiesen haben, was ihm offenbar einige politische Schwierigkeiten einbrachte. Diejenigen, die dieses Problem weiter thematisierten und die Eigenverantwortlichkeit der Menschen für ihr Tun betonten, wurden als [[w:Qadarīya|Qadariten]] bezeichnet. Niemand, so war ihre Auffassung, sollte seine Sünden mit der Behauptung rechtfertigen können, dass er dazu gezwungen sei, weil Gott die Sünden vorherbestimmt habe. Zu denjenigen, die sich in dieser Zeit gegen die Verwendung [[w:Prädestination|prädestinatianischer]] Formeln zur Rechtfertigung von Missetaten der politischen Machthaber gewandt haben, gehörte auch der ursprünglich aus Ostiran stammende Gelehrte [[w:Makhūl ibn Abī Muslim|Makhūl ibn Abī Muslim]] (gest. 731-37). Er vertrat die Auffassung, dass nur das Gute dem Menschen von Gott zugemessen werde, das Schlechte aber von ihm selbst komme. Derjenige, der eine große Sünde begangen hatte und nicht [[w:Tauba|bußfertig umkehrte]], war nach der Lehre der Qadariten ein [[w:Munāfiq|Munāfiq]] und somit zu ewigen Höllenqualen verdammt. Die Qadariten waren also in gewisser Weise ethische Rigoristen. Viele von ihnen gerieten in Konflikt mit der Staatsgewalt, weil sie bei ihrer Kritik an den Herrschenden kein Blatt vor den Mund nahmen. Anders als die Murdschiiten ließen sie sich aber niemals in politische Aufstände hineinziehen. Al-Hasan al-Basrī warnte davor, durch Rebellion gegen vermeintlich sündige Herrscher die einträchtige Gemeinschaft aufs Spiel zu setzen. Allerdings musste er sich selbst nach Kritik an al-Haddschādsch ibn Yūsuf aus dem öffentlichen Leben zurückziehen. Eine der bedeutendsten islamischen Ideen, die ursprünglich auf qadaritisches Milieu zurückgeht, ist die Vorstellung von der [[w:Bestrafung im Grab|Grabesstrafe]] (''ʿaḏāb al-qabr''), die der eigentlichen Bestrafung des Menschen im Jenseits vorausgehen soll. Schon al-Hasan al-Basrī soll dieses Konzept mit Verweis auf das Koranwort: „Wir werden sie zweimal strafen“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/101 Q 9:101]) propagiert haben. ;6.1.3.3. Das antisektarische Ideal Einige Muslime scheinen schon in dieser Zeit daran Anstoß genommen zu haben, dass sich die Qadariten und Murdschi'iten zu eigenen religiös-politischen Parteien entwickelten. Sie stellten sie als solche mit den Schiiten und Charidschiten auf eine Stufe. Als Beispiel kann man wiederum auf asch-Schaʿbī verweisen, der 699 in den Aufstand des Ibn al-Aschʿath hineingezogen worden war, sich danach aber mit den Umaiyaden versöhnte und als Prinzenerzieher wirkte. Von ihm wird folgender Leitspruch überliefert: „Wisse, dass die gute Tat von Gott kommt und die schlechte von dir, aber sei kein Qadarit. Liebe die Familie des Propheten Gottes, aber sei kein Schiit. Enthalte Dich bei den zweifelhaften Dingen des Urteils, aber sei kein ‚Aufschieber‘ (= Murdschiit). Handle nach dem Koran, aber sei kein Hārūrit (= Charidschit).“ Asch-Schaʿbī meinte also, dass die Prinzipien, die die verschiedenen Bewegungen seiner Zeit verfolgten, grundsätzlich richtig waren, jedoch ihr Sektierertum keine Nachahmung verdiente. Dieses antisektarische Ideal wurde später zu einem festen Bestandteil sunnitischer Identität. == 6.2. ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz und die Mawālī (717-720) == Unter den Kalifen [[w:Sulaimān ibn ʿAbd al-Malik|Sulaimān ibn ʿAbd al-Malik]] (715-717) und [[w:ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz|ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz]] (717-720) kam es zu einer Verlangsamung der Expansionsbewegung. Mit ʿUmar ibn ʿAbd al-ʿAzīz kam ein Mann auf den Thron, der bereits seit seiner Jugendzeit in Medina in einem engen Verhältnis zur religiösen Gelehrsamkeit stand. Während des Kalifats al-Walīds hatte er dessen Herrschaft als Unrechtsregime kritisiert. Bei seinem Herrschaftsantritt soll er einen seiner Gouverneure dafür getadelt haben, dass er die Sunna des Propheten nicht befolgte und unrechtmäßige Neuerungen (''bidaʿ'') einführte. Dies lässt darauf schließen, dass er den ''ahl as-sunna'' sehr nahestand. Während seines Kalifats unterbrach ʿUmar die Offensivstrategie des Staates und wandte sich den im Inneren herrschenden Spannungen zu. Eine einjährige [[w:Belagerung von Konstantinopel (717–718)|Belagerung von Konstantinopel]] wurde 718 abgebrochen. Lediglich im Westen gab es in dieser Zeit noch territoriale Zugewinne: 719 nahm der [[w:as-Samh ibn Mālik al-Chaulānī|Gouverneur von al-Andalus]] die gallische Stadt [[w:Narbonne#Mittelalter|Narbonne]] ein. Der islamische Staat, der damals bereits ein Weltreich geworden war, wurde bis dahin immer noch als ein Bündnis arabischer Stämme geführt. Nicht-Araber, die zum Islam konvertiert waren, mussten deshalb zu Klienten ([[w:Mawālī|Mawālī]]) arabischer Stämme werden. Das Überlegenheitsgefühl der Araber gegenüber den nicht-arabischen Völkern zeigte sich auch auf dem Gebiet der Koranexegese. Bis zum frühen 8. Jahrhundert wurde der im Koran erwähnte Sohn [[w:Abraham im Islam|Abrahams]], der sich hinzugeben bereit war, als Gott seine Opferung verlangte (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/37/vers/102 Q 37:102-105]), in Anknüpfung an den biblischen Bericht allgemein mit [[w:Isaak|Isaak]], dem Stammvater der Juden, identifiziert. In der Zeit von ʿUmar II. kam zum ersten Mal die Vorstellung auf, dass es sich um [[w:Ismael|Ismāʿīl]], den Stammvater der Araber, handeln müsste. Diese Lehre hat sich später auch allgemein im Islam durchgesetzt. Die Murdschi'a-Bewegung, die ursprünglich vor allem auf die Wiederherstellung der Eintracht unter den Muslimen ausgerichtet war, übernahm Anfang des 8. Jahrhunderts eine neue politische Rolle, indem sie in [[w:Chorasan|Chorasan]] und [[w:Transoxanien|Transoxanien]] für die Rechte der Mawālī kämpfte. Im Jahre 718/9 beschwerte sich ein murdschi'itischer Klient, Abū s-Saidā', bei ʿUmar darüber, dass 20.000 Mawālī in Chorasan in der Armee ohne Sold dienten und eine ähnliche Zahl neuer Konvertiten zur Zahlung der Dschizya gezwungen sei. ʿUmar sorgte daraufhin dafür, dass diese neuen nicht-arabischen Konvertiten den Arabern gleichgestellt wurden. Jeder, der das Glaubensbekenntnis der Muslime sprach und zu ihrer [[w:Qibla|Qibla]] hin betete, wurde nach seiner Anordnung von der Bezahlung der Dschizya ausgenommen. Eine Frage, die in dieser Zeit viel diskutiert wurde, war die [[w:Zirkumzision|Beschneidung]] der Konvertiten. Müssen auch Männer, die sich im Erwachsenenalter zum Islam bekehrten, noch beschnitten werden? Während die umaiyadischen Gouverneure in Chorasan dies für notwendig hielten, urteilte Hasan al-Basrī, dass eine Beschneidung nicht vorgenommen werden sollte, wenn zu befürchten war, dass der Mann gesundheitliche Schäden davon tragen würde. ʿUmar ging sogar noch weiter und hob die Beschneidungspflicht für neu bekehrte Muslime vollständig auf. In diesem Zusammenhang wird von ihm der Ausspruch überliefert: „Gott hat Muhammad als Prediger entsandt, nicht aber als Beschneider.“ Um einen weiteren Anreiz für den Übertritt zum Islam zu schaffen, erlegte er umgekehrt den [[w:Dhimma|Dhimmīs]] den sogenannten Ghiyār auf, die Pflicht, eine bestimmte Kleidung zu tragen, die sie von den Muslimen unterschied. == 6.3. Yazīd II., Hischām und das Anwachsen der religiös-politischen Opposition (720-743) == === 6.3.1. Vierte Expansionsphase und das Ende des Dschihad-Staates === [[File:Conquête de l'Islam à la chute des Omeyyades de.svg|mini|Expansion des Islamischen Reichs bis zum Ende der Herrschaft von [[w: Hischām ibn ʿAbd al-Malik|Hischām ibn ʿAbd al-Malik]]]] ʿUmars Nachfolger, die Brüder [[w:Yazid II.|Yazīd ibn ʿAbd al-Malik]] (reg. 720-724) und [[w:Hischām ibn ʿAbd al-Malik|Hischām ibn ʿAbd al-Malik]] (reg. 724-743) nahmen die frühere Expansionspolitik wieder auf. 725 unterwarf der Gouverneur von al-Andalus, [[w: ʿAnbasa ibn Suhaim al-Kalbī|ʿAnbasa]], das Gebiet von [[w:Septimanien|Septimanien]] im Süden des heutigen Frankreichs und installierte arabische Garnisonen in den Städten des unteren [[w:Rhone|Rhone]]-Tals. Im Kaukasus eroberte 730 der Umaiyaden-Prinz [[w:Maslama|Maslama]] die Stadt [[w:Derbent|Derbent]] und siedelte dort 24.000 Araber an. Damit begann die nachhaltige [[w:Islam in Dagestan|Islamisierung Dagestans]]. 735 wurde im äußersten Westen Nordafrikas das zwischen [[w:Hoher Atlas|Hohem Atlas]], [[w:Antiatlas|Antiatlas]] und Atlantik liegende [[w: Souss-Ebene|Sūs-Tal]] eingenommen und die Bevölkerung zum Islam bekehrt. Doch gab es in dieser Zeit auch schon einige Gebietsverluste. Auf der iberischen Halbinsel unternahm 722 [[w:Pelayo|Pelayo]], ein westgotischer Militäradliger, einen Aufstand gegen die muslimische Herrschaft; das von ihm beherrschte Gebiet im äußersten Norden der Halbinsel konnte nie mehr zurückgewonnen werden. 727 musste der Versuch, die byzantinische Stadt [[w:İznik|Nikäa]] zu erobern, abgebrochen werden. Alle weiteren Vorstöße auf fränkisches und byzantinisches Gebiet endeten mit empfindlichen Niederlagen ([[w:Schlacht von Tours und Poitiers|Tours und Poitiers 732]], [[w:Schlacht bei Akroinon|Akroinon 740]]). Das Rhone-Tal ging 737 wieder verloren. Das islamische Reich geriet immer mehr in eine militärische Krise. Die Expansionspolitik ließ sich nicht mehr in gewohnter Weise fortsetzen. Grund für die Krise waren die Probleme bei der Verwaltung eines derart großen Reiches, die immer heftiger werdenden Rivalitäten zwischen verschiedenen arabischen Stämmen und der allgemeine politische Legitimitätsverlust des Umaiyadenhauses. Schon im Jahre 720 unternahm [[w:Yazīd ibn al-Muhallab|Yazīd ibn al-Muhallab]], der Sohn von [[w:Al-Muhallab_ibn_Abī_Sufra|al-Muhallab ibn Abī Sufra]], in Basra einen charidschitisch inspirierten Aufstand und rief im Namen des „Buches Gottes und der Sunna des Propheten“ zu einem Dschihad gegen die Umaiyaden auf. Immer mehr Gruppierungen, darunter auch Qadariten, stellten das Vorrecht dieser Familie auf die religiös-politische Führung der Umma in Frage. === 6.3.2. Die haschimidische Daʿwa und die Schiiten === [[File:Banu Haschim.png|mini|330px|Stammbaum der Banū Hāschim mit Aliden (grün) und Abbasiden (rötlich)]] Die Marwāniden, die seit 685 herrschten, waren zwar keine Nachkommen von Abū Sufyān mehr, sie gehörten aber immer noch dem mekkanischen Clan der ʿAbd Schams an. Gegen deren Vorherrschaft im islamischen Staat richtete sich eine Oppositionsbewegung, die für eine Vorherrschaft des Clans der [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]] kämpfte, dem ja auch der Prophet selbst angehört hatte. Die Propaganda ([[w:Daʿwa|Daʿwa]]) dieser Bewegung, die man als haschimidisch bezeichnete, wurde durch Werbeagenten (''duʿāt'', sing. ''dāʿī'') bis in die Garnisonen Ostirans getragen. Diese Werbeagenten wirkten im Verborgenen und traten nur mit Pseudonym auf, die Identität des künftigen Imam-Kalifen wurde noch nicht enthüllt, die Werbung vielmehr im Namen eines noch Namenlosen betrieben, „desjenigen aus dem Hause Muhammads, der Zustimmung findet“ (''ar-riḍā min āl Muḥammad''). Innerhalb dieser haschimidischen Daʿwa spielten die [[w:Abbasiden|Abbasiden]], die Nachkommen des Prophetenonkels [[w:al-ʿAbbās_ibn_ʿAbd_al-Muttalib|ʿAbbās]], die damals in [[w:en:Humayma|Humaima]], einem kleinen Ort in Südjordanien lebten, eine wichtige Rolle. Schon um das Jahr 718 hatten Angehörige dieser Familie Pläne entwickelt, die Macht im Kalifat zu ergreifen. Der erste Abbaside, der sich in der Daʿwa engagierte, war Muhammad ibn ʿAlī (gest. 743), ein Enkel von [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAbbās|ʿAbdallāh ibn ʿAbbās]]. Aber auch Anhänger der [[w:Aliden|Aliden]], die ja ebenfalls dem Clan der Banū Hāschim angehörten, beteiligten sich an der Daʿwa-Bewegung. Diese Schiiten sandten von Kufa aus eigene Werber nach Chorasan, die sich mit denjenigen der Abbasiden vermischten. Zeitweise verselbständigte sich der chorasanische Daʿwa-Apparat und verfolgte eigene Ziele. Welche politischen und religiösen Vorstellungen die kufischen Schiiten damals hegten, ist durch das sogenannte [[w:Kitāb Sulaim ibn Qais|Kitāb Sulaim ibn Qais]] dokumentiert, das als das älteste Buch der Schia gilt. Hier wird der Anspruch der Familie Muhammads auf die Herrschaft über die Muslime bekräftigt und ihre Verdrängung von der Macht als ein Komplott verschiedener Prophetengefährten interpretiert, das schon vor Muhammads Tod geschmiedet wurde. Unter den kufischen Schiiten gab es einige Persönlichkeiten, die [[w:Gnosis|gnostischen]] Vorstellungen anhingen. Zu ihnen gehörten insbesondere [[w:al-Mughīra ibn Saʿīd|al-Mughīra ibn Saʿīd]] und [[w:Abū Mansūr al-ʿIdschlī|Abū Mansūr al-ʿIdschlī]], die beide für sich das Prophetentum beanspruchten. Al-Mughīra entwickelte eine extrem anthropomorphistische Gotteslehre und lehrte, dass Gott die Welt durch Aussprechen des „größten Gottesnamen“ (''ism Allāh al-aʿẓam'') erschaffen habe. Dies leitete er aus dem Koranwort von [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/87/vers/1 Sure 87:1-2] ab, das er folgendermaßen las: „Preise den höchsten Namen deines Herrn, der erschuf und ebenmäßig formte“. Er behauptete auch, selbst den „größten Gottesnamen“ zu kennen und damit Tote zum Leben erwecken zu können. Nach Mughīra interessierten sich noch viele andere muslimische Gnostiker für diesen „größten Gottesnamen“ und maßen ihm magische Eigenschaften zu. ʿAlī und seinem Nachkommen [[w:Muhammad al-Bāqir|Muhammad al-Bāqir]] sprach al-Mughīra göttliche Eigenschaften zu und die beiden Kalifen Abū Bakr und ʿUmar erklärte er zu Ungläubigen, mit dem Argument, dass sie ihn nach dem Tode des Propheten davon abgehalten hatten, sein Kalifat anzutreten. Abū Mansūr al-ʿIdschlī führte das Prinzip der allegorischen Koranauslegung (''taʾwīl'') in den Islam ein. Er meinte, dass koranische Begriffe wie [[w:Dschanna|Dschanna]] („Garten“) und ''Nār'' („Feuer“) nur Personen bezeichneten, die es zu verehren bzw. zu bekämpfen galt. Auch die koranischen Gesetze und Verbote deutete er in dieser Weise, woraus sich eine [[w:Antinomismus|antinomistische]] Grundhaltung ergab. Selbst Morde an Gegnern hielt er für zulässig. Die schiitischen Imame betrachtete er als Propheten. Das Prophetentum ʿAlīs erklärte er damit, dass sich der Engel Gabriel geirrt habe, und die für ʿAlī bestimmte göttliche Botschaft fälschlicherweise Muhammad überbracht habe. Beide, al-Mughīra und Abū Mansūr wurden noch während Hischāms Kalifat hingerichtet. In der islamischen [[w:Doxographie|Doxographie]] werden Schiiten, die wie sie den Imamen göttliche Eigenschaften beimessen oder sie als Propheten verehren, als [[w:Ghulāt|Ghulāt]] („Übertreiber, Extremisten“) bezeichnet. [[File:Schiitische Gruppen.svg|mini|500px|Die Herausbildung der verschiedenen schiitischen Gruppierungen im Laufe der Jahrhunderte]] Eine andere schiitische Gruppe dieser Zeit war die Butrīya, die hinsichtlich der islamischen Frühgeschichte sehr gemäßigte Ansichten vertrat. ʿAlī hielten die Butriten zwar nach dem Propheten für den besten (''al-afḍal'') aller Muslime, doch erkannten sie das Kalifat Abū Bakrs und ʿUmars als rechtmäßig an, da ʿAlī ihnen gehuldigt hatte. Ähnliche Ansichten vertrat der in Medina lebende Husainide [[w:Zaid ibn ʿAlī|Zaid ibn ʿAlī]]. Als er sich im Jahre 739 nach Kufa begab und die Schiiten zur Rebellion gegen die Umaiyaden aufrief, kam es dort innerhalb der schiitischen Gemeinde zum Konflikt. Zaid konnte zwar zunächst mehrere Tausend Schiiten hinter sich versammeln, doch fielen die meisten von ihm wieder ab, als sie sahen, dass er nicht bereit war, die beiden ersten Kalifen zu schmähen. Diejenigen Schiiten, die auf Schmähung der beiden ersten Kalifen bestehen, werden seither in der islamischen Doxographie als [[w:Rāfida|Rāfida]] („Ablehner“; nämlich von Zaid ibn ʿAlī), bezeichnet, die anderen Schiiten, die das Imamat der beiden ersten Kalifen Abū Bakr und ʿUmar als rechtmäßig anerkennen und insofern eine gemäßigtere schiitische Lehre vertreten, wurden aufgrund ihrer Verbindung mit Zaid ibn ʿAlī unter dem Namen [[w:Zaiditen|Zaidīya]] geführt. Zaids Aufstand gegen den Kalifen Hischām im Jahre 740 schlug aufgrund der geringen Unterstützung durch die kufischen Schiiten fehl; Zaid fiel in Kufa im Straßenkampf gegen die Truppen des Statthalters. Zaids junger Sohn Yahyā floh nach [[w:Chorasan|Chorasan]], fiel aber in die Hand der Umaiyaden. Wieder freigelassen, suchte er sich in der Gegend von [[w:Herat|Herat]] (westliches Afghanistan) erneut zu erheben, fiel aber 743 im Kampf gegen die umaiyadischen Regierungstruppen. === 6.3.3. Die Sezession des Ibn Suraidsch und die Dschahmīya === [[File:Transoxiana_8th_century.svg|mini|links|Transoxanien, das Gebiet, in das sich al-Hārith ibn Suraidsch zurückzog.]] Im Jahre 734 zettelte der arabische Kämpfer al-Hārith ibn Suraidsch, ein Mann, der eng mit den Murdschi'iten von Abū s-Saidā' verbunden war, in Chorasan einen Aufstand gegen die Umaiyaden an. Ibn Suraidsch, der in einer öffentlichen Erklärung forderte, dass der Gouverneur von Chorasan durch eine [[w:Schūrā|Schūrā]] gewählt werden und gemäß dem Buch Gottes und der Sunna des Propheten handeln müsse, konnte die chorasanische Stadt Balch erobern. Nach einer Niederlage gegen umaiyadische Truppen verbündete er sich mit nicht-muslimischen türkischen Stammesführern, die in dieser Zeit von Transoxanien aus die Araber bekämpften. Zwar konnte der umaiyadische Gouverneur Ibn Suraidsch und seinen türkischen Verbündeten 737 eine Niederlage beibringen, doch gelang es ihm nicht, Ibn Suraidsch endgültig zu besiegen. Er zog sich für die folgenden Jahre in das nördliche Transoxanien zurück und lebte dort auf dem Gebiet türkischer Stammesverbände, die einem [[w:Buddhismus|buddhistischen]] Glauben anhingen. Sekretär von Ibn Suraidsch war ein gewisser [[w:Dschahm ibn Safwān|Dschahm ibn Safwān]]. Auf ihn wird eine eigene theologische Richtung des Islams zurückgeführt, die für ihre Tendenz, Gott von jeder Eigenschaft zu „entleeren“ (arab. ''taʿṭīl''), bekannt war. Dschahm unterschied in seiner Theologie in Anknüpfung an koranische Aussagen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/39/vers/63 Q 39:63] und [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/42/vers/11 42:11]) scharf zwischen Gott und allem, was „Ding“ (''šaiʾ'') genannt wird und erschaffen ist, und verlangte auf dieser Grundlage, dass Gott keine Eigenschaften von erschaffenen Dingen und Wesen, also auch Menschen, zugeschrieben werden dürften. Diese Ablehnung von jeglicher Form des Anthropomorphismus brachte Dschahm auch dazu, darauf zu beharren, dass die [[w:Rede Gottes|Rede Gottes]] erschaffen sein müsse. Denn da Gott keinen physischen Körper habe, so meinte er, könne er nicht selbst sprechen, sondern Rede, die von Menschen wahrgenommen wird, nur erschaffen. Da die Rede Gottes erschaffen ist, musste folgerichtig auch der [[w:Erschaffenheit des Korans|Koran erschaffen]] sein. Von Dschahm wird berichtet, dass er mit buddhistischen Mönchen, die in den Quellen als Sumanīya erscheinen, religiöse Streitgespräche führte. Gut möglich ist, dass er seinen streng abstrakten und [[w:Transzendenz|transzendenten]] Gottesbegriff in Auseinandersetzung mit dem Buddhismus, in dem das Konzept der Leere ([[w:Shunyata|Shunyata]]) eine wichtige Rolle spielt, entwickelt hat. Die Dschahmīya, also die von Dschahm ibn Safwān begründete Lehrrichtung, zeichnete sich noch durch einen anderen Zug aus, nämlich ihre spezielle [[w:Determinismus|deterministische]] Handlungstheorie. Demnach handelt der Mensch nicht wirklich selbst, sondern seine Handlungen werden durch Gott hervorgebracht. Diese Auffassung, die gewissermaßen die Gegenposition zur Qadarīya darstellt und auf Arabisch als [[w:Dschabrīya|Dschabrīya]] („Zwang-Lehre“) bezeichnet wird, wurde später in etwas abgeschwächter Form von anderen islamischen Gruppen übernommen. === 6.3.4. Die Charidschiten in Nordafrika === Seit Anfang des 8. Jahrhunderts fanden die Lehren der gemäßigten Charidschiten starken Zuspruch bei den Berbern des westlichen Nordafrika. Für sie waren diese Lehren ein geeignetes Mittel, um ihrem Widerstand gegen die arabische Vorherrschaft Ausdruck zu verleihen. Der sogenannte sufritische Zweig der charidschitischen Bewegung wurde im Maghreb zum „Sammelbecken politischer Opposition“ ([[w:Ulrich Rebstock|U. Rebstock]]). Um 739 gingen Berberstämme mit sufritischer Ausrichtung in der Region um [[w:Tanger|Tanger]] unter ihrem Kalifen Maisara zum [[w:Aufstand des Maysara|offenen Aufstand]] gegen die umaiyadische Herrschaft über. Sie nahmen Tanger ein und konnten in den folgenden drei Jahren ihre Rebellion in Richtung Osten bis nach [[w:Kairouan|Kairouan]] ausweiten. Weitere sufritische Führer aus [[w:Tlemcen|Tlemcen]] und [[w:Beja (Tunesien)|Beja]] schlossen sich mit ihren Berberstämmen dem Aufstand an, der 741 eine umaiyadische Armee in die Flucht schlug. Erst in der zweiten Hälfte der 740er Jahre gelang es ʿAbd ar-Rahmān ibn Habīb, einem in Ifrīqiya zu dieser Zeit unabhängig herrschenden Gouverneur der Umaiyaden, den Ansturm der sufritischen Berberstämme zu brechen und eine Phase der Ruhe einzuleiten. == 6.4. Fiqh: die islamische Normenlehre == Im Verlauf des 8. Jahrhunderts kam es im Bereich der islamischen Gelehrsamkeit zu einem bedeutenden Ausdifferenzierungsprozess. Der Begriff [[w:Fiqh|Fiqh]] (wörtl. „Verständnis, Kenntnis“), der im Anschluss an den koranischen Gebrauch (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/122 Q 9:122]), zunächst ganz allgemein die Kenntnis der Religion bezeichnete, wurde zum Namen einer eigenen Disziplin, die sich mit der ethischen und rechtlichen Bewertung von Handlungen befasst. Diejenigen, die sich mit dieser Disziplin auskennen, werden seither als ''fuqahāʾ'' (Singular: ''faqīh'') bezeichnet. Der Begriff wird üblicherweise mit „Rechtsgelehrte“ übersetzt, allerdings ist dieses Wort etwas irreführend, weil sich die Fuqahā' nicht nur mit weltlichem Recht befassen, sondern auch mit rituellen Fragen. === 6.4.1. Die lokalen Schulen === Innerhalb des Fiqh, das man als islamische Normenlehre bezeichnen kann, gab es um die Mitte des 8. Jahrhunderts insgesamt vier bedeutende Zentren: Medina, Basra, Syrien und Kufa. Bemerkenswert ist, dass in fast allen Zentren im Laufe der Zeit [[w:Mawālī|Mawālī]], also Nicht-Araber, die Führung der Gelehrsamkeit übernahmen. Im Folgenden werden die Besonderheiten dieser Gelehrtenzentren vorgestellt, wobei auch auf die Rolle von religiös-politischen Strömungen eingegangen wird. ;6.4.1.1. Medina Medina war der erste Ort, an dem sich eine Rechtsgelehrsamkeit herausbildete. Schon um die Wende zum 8. Jahrhundert gab es hier ein Kollegium von sieben fuqahāʾ, das bei rituellen, rechtlichen und ethischen Fragen konsultiert wurde. An seiner Spitze stand lange Zeit [[w:Saʿīd ibn al-Musaiyab|Saʿīd ibn al-Musaiyab]]. Er war ein hervorragender Kenner der Rechtsentscheidungen ʿUmars und stützt sich auch bei seinen Rechtsentscheiden auf sie. Um die Mitte des achten Jahrhunderts spielte der Husainide [[w:Dschaʿfar as-Sādiq|Dschaʿfar ibn Muhammad]] (gest. 765) eine wichtige Rolle. Er wurde nach dem Tod seines Vaters im Jahre 733 von vielen Schiiten auch als Imam betrachtet, blieb allerdings im Gegensatz zu seinem Cousin Zaid unpolitisch. Oberhaupt der Rechtsschule von Medina wurde später [[w:Mālik ibn Anas|Mālik ibn Anas]] (gest. 795). Er war der Auffassung, dass Medina als der Ort, in dem der Prophet seine religiöse Bewegung zur Entfaltung gebracht und einen Staat gegründet hatte, eine heilige, lebendige Tradition korrekter Praxis (''ʿamal'') verkörperte, die als Orientierungspunkt für die Bewertung rechtlicher Lehren dienen könnte. Das, was an Praktiken in Medina allgemein anerkannt war, wurde hier auch [[w:Idschmāʿ|Idschmāʿ]] („Konsens“) genannt. Mālik hat seinen Wissensschatz schriftlich in seinem Werk ''[[w:al-Muwatta'|al-Muwaṭṭā]]'' niedergelegt, dem ersten vollständig erhaltenen Werk der islamischen Normenlehre. Seine Rechtsschule verbreitete sich noch zu seinen Lebzeiten nach Ägypten. Dort, wo sie Fuß gefasst hat, ist auch die spezifisch medinische Lesart des Korans, die als die Lesart des Nāfiʿ bekannt ist, heimisch geworden. {{Anker|Abrogation}} ;6.4.1.2. Basra In Basra war das intellektuelle Klima stark von den [[w:Ibaditen|Ibaditen]], einer gemäßigten Untergruppe der Charidschiten, geprägt. Sie sind nach [[w:ʿAbdallāh ibn Ibād|ʿAbdallāh ibn Ibād]] benannt, einer Person, deren Identität allerdings im Dunkeln liegt. Als Selbstbezeichnung verwendeten die Ibaditen den Ausdruck ''ǧamāʿat al-muslimīn'' („Gemeinschaft der Muslime“), den anderen Muslimen erkannten sie nur den Status von ''ahl al-qibla'', Leuten, die in die richtige Gebetsrichtung beten, zu. Sie hielten sich allerdings die meiste Zeit bedeckt und verheimlichten ihr wahres Bekenntnis vor der Obrigkeit. Die beiden wichtigsten ibaditischen Fiqh-Autoritäten im frühen 8. Jahrhundert waren [[w:Dschābir ibn Zaid|Dschābir ibn Zaid]] (gest. zw. 711 u. 723) und [[w:Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma|Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma]]. Ansonsten galt der bereits genannte al-Hasan al-Basrī als die wichtigste Fiqh-Autorität in Basra. [[w:Qatāda ibn Diʿāma|Qatāda ibn Diʿāma as-Sadūsī]] (st. 736), ein Schüler al-Basrīs, verfasste eines der ersten Werke zur Lehre von der [[w:Abrogation (Islam)|Abrogation]] (''nasḫ''). Diese Lehre gibt eine Antwort auf die Frage, wie mit koranischen Vorschriften zu verfahren ist, die einander zu widersprechen scheinen. Nach der Abrogationslehre war in diesem Fall nur der zeitlich später anzusetzende Koranvers gültig, während der frühere in seiner Verbindlichkeit aufgehoben war. Qatāda vertrat zum Beispiel die Meinung, dass der Schwertvers ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/5 Q 9:5]) und der Vers, der zum Kampf gegen die [[w:Ahl al-kitāb|Ahl al-kitāb]] auffordert ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/9/vers/29 9:29]), alle anderen Koranverse, die ein friedfertiges Verhalten gegenüber den Ungläubigen anempfehlen (z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/8/vers/61 Q 8:61]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/29/vers/46 29:46]), aufgehoben hätten. Später verfassten noch viele andere Gelehrte Werke zur Abrogationslehre, die zu einem der wichtigsten Teilbereiche der juristischen Koranexegese wurde. Zur Begründung dieser Lehre berief man sich auf [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/106 Sure 2:106]: „Wenn wir einen Vers tilgen oder in Vergessenheit geraten lassen, bringen wir einen besseren oder einen, der ihm gleich ist.“ Eine Entscheidung über die Aufhebung von bestimmten Versen durch andere setzte die Kenntnis der Chronologie der Suren und Verse voraus. Das Wissen hierzu wurde im frühen 8. Jahrhundert ebenfalls gesammelt und schriftlich in eigenständigen Werken zu den Offenbarungsanlässen ([[w:Asbāb an-nuzūl|Asbāb an-nuzūl]]) der verschiedenen Verse fixiert. {{Anker|Syrien}} ;6.4.1.3. Syrien Dominierende Gestalt des syrischen Fiqh im frühen 8. Jahrhundert war der bereits genannte Qadarit Makhūl ibn Abī Muslim (gest. 731). Er soll sich bei seinen Gutachten ganz auf eigenes „Urteil“ ([[w:Ra'y|Ra'y]]) gestützt haben. Wenn er Gutachten erteilte, soll er gesagt haben: „Es gibt keine Macht noch Stärke außer bei Gott. Das ist mein Urteil (''raʾy''). Und das Urteil geht fehl oder trifft das Richtige.“ Später wurde die syrische Schule, die in einem Näheverhältnis zur herrschenden Umaiyaden-Dynastie stand, von dem Gelehrten [[w:al-Auzāʿī|al-Auzāʿī]] (gest. 774) angeführt. Kennzeichnend für die syrische Rechtsschule ist das große Interesse an Fragen des Dschihad und der Beziehungen mit Nicht-Muslimen. Makhūl wird in der Traditionsliteratur mit der Aussage zitiert, dass der Dschihad eine Pflicht sei, die jedem einzelnen (männlichen und gesunden) Muslim obliege. Al-Auzāʿī ist dafür bekannt, dass er in einem Werk mit dem Titel ''Siyar'', das sich mit den Handlungsweisen (''siyar'', pl. zu ''sīra'') der Muslime in ihren Beziehungen mit den Ungläubigen befasst, zum ersten Mal im Islam eine Art [[w:Völkerrecht|Völkerrecht]] ausarbeitete. Grundlegend war dabei die Unterscheidung zwischen dem Gebiet, in dem die islamischen Normen gelten und das [[w:Dār_al-Islām|Dār al-islām]] („Haus des Islams“) genannt wird, und dem Gebiet, in dem der Dschihad gegen die Ungläubigen geführt werden muss und als [[w:Dār_al-Harb|Dār al-harb]] („Haus des Krieges“) bezeichnet wird. Bei den Ungläubigen wird dementsprechend zwischen dem [[w:Harbī|Harbī]], der auf feindlichem Gebiet wohnt, demjenigen, der kurzzeitig aufgrund einer Sicherheitsgarantie (''amān'') auf muslimischem Territorium weilt ([[w:Musta'min|Musta'min]]), und demjenigen, der auf muslimischem Territorium lebt und die Dschizya entrichtet ([[w:Dhimma|Dhimmī]]), unterschieden. Al-Auzāʿī hat außerdem Regeln festgelegt, wie man mit Apostaten und Rebellen umzugehen hat, wie die Beute im Krieg aufzuteilen ist, wie man sich als Muslim im Dār al-harb zu verhalten hat usw. Nach seinem Modell haben später noch mehrere andere arabische Gelehrte [[w:Siyar|Siyar]]-Werke verfasst. ;6.4.1.4. Kufa In dieser Stadt gab es zwei Juristengruppen. Die eine war stärker rationalistisch orientiert und sah neben dem Koran eigene Urteilsbemühung ([[w:Idschtihād|Idschtihād ar-ra'y]]) in Form von Analogieschluss ([[w:Qiyās|Qiyās]]) als das wichtigste Mittel zur Normenfindung an. Kennzeichnend für diese Gruppe, in der Mawālī dominierten, war außerdem, dass sie viele ihrer Rechtsentscheidungen auf die außerkanonischen Koranlesungen von [[w:ʿAbdallāh ibn Masʿūd|ʿAbdallāh ibn Masʿūd]] und [[w:Ubaiy ibn Kaʿb|Ubaiy ibn Kaʿb]] stützte. Die andere Juristengruppe, die Anfang des achten Jahrhunderts von dem bereits erwähnten [[w:asch-Schaʿbī|asch-Schaʿbī]] angeführt wurde, war dagegen stärker an der Sunna orientiert und lehnte den Qiyās ab. Die rationalistische Schule, in der die Mawālī dominierten, gelangte um die Mitte des achten Jahrhunderts unter die Führung des aus Ostiran stammenden Gelehrten [[w:Abū Hanīfa|Abū Hanīfa]] (gest. 767). Er führte die pragmatische Erwägung (''istiḥsān'') als neues Instrument der Normenfindung in den Fiqh ein und entwickelte Rechtskniffe ([[w:Hiyal|Hiyal]]), um normative Beschränkungen des Korans und der Sunna zu umgehen. Als Oberhaupt der traditionalistischen Schule stand ihm der arabische Gelehrte [[w:Sufyān ath-Thaurī|Sufyān ath-Thaurī]] (gest. 778) gegenüber. {{Anker|Istithna}} Die Exponenten der beiden Schulen standen sich auch auf dogmatischer Ebene gegensätzlich gegenüber: Abū Hanīfa war Murdschi'it, Sufyān war Gegner der Murdschi'iten und betrachtete sie als Ketzer. Abū Hanīfa verteidigte sie gegen diesen Vorwurf und bestand darauf, dass sie in Wirklichkeit ''ahl as-sunna'' seien. Wie die Murdschi'iten zog er die Grenzen des Glaubens sehr weit. So lehrte er, dass ein muslimischer Konvertit, der sich zum Islam bekannte, ohne etwas vom Koran und den religiösen Pflichten des Islams zu kennen, ein wahrer Gläubiger ([[w:Mu'min|Mu'min]]) sei. Dies hatte auch politische Implikationen: Auf diese Weise konnten die Mawālī als vollwertige Muslime anerkannt werden. Sufyān ath-Thaurī zog dagegen die Grenzen des Glaubens sehr eng. Er meinte, dass man nicht einmal von sich selbst wissen könne, ob man ein Gläubiger sei, und verlangte, dass man eine solche Aussage immer mit dem ''istiṯnāʾ'', der Ausnahme-Formel: [[w:In schā' Allāh|„So Gott will“]], versehen müsste. Die beiden nahmen auch hinsichtlich der Koran-Frage unterschiedliche Positionen ein. Von Abū Hanīfa wird überliefert, dass er einer der ersten Gelehrten war, der die von Dschahm ibn Safwān aufgebrachte Lehre von der [[w:Erschaffenheit des Korans|Erschaffenheit des Korans]] im Irak öffentlich vertrat. Es wird berichtet, dass ihn der Gouverneur des Iraks wegen dieser Lehre zur [[w:Tauba|Tauba]] aufgefordert habe. Die Lehre von der Erschaffenheit des Korans erregte deswegen Anstoß, weil sich in dieser Zeit in der breiten Bevölkerung bereits die Vorstellung von einer Präexistenz des Korans durchgesetzt hatte. Auch Sufyān ath-Thaurī teilte diese Vorstellung. Er stellte den Glaubenssatz auf: „Der Koran ist die Rede Gottes, ungeschaffen, von ihm nahm er seinen Anfang und zu ihm kehrt er zurück.“ Diejenigen, die behaupteten, dass der Koran erschaffen sei, betrachtete er als Ungläubige. Abū Hanīfas Engagement im Kampf für die Gleichstellung von nicht-arabischen Neu-Muslimen sorgte dafür, dass sich seine Lehre, die [[w:Hanafiten|Hanafīya]], schon früh über den östlichen Iran, Transoxanien und besonders bei den konvertierten Türken verbreitete. === 6.4.2. Die Weiterentwicklung des islamischen Kultus im Fiqh === Im Fiqh wurden auch die Vorschriften zum islamischen Kultus weiter ausgearbeitet. So wurde zum Beispiel die Anzahl der täglichen Pflichtgebete – wahrscheinlich unter persischem Einfluss – auf fünf erhöht. Bezüglich des Zustands der [[w:Tahāra|Reinheit]], die Voraussetzung für die Gültigkeit von gottesdienstlichen Handlungen ist, wurde ein System von zwei Abstufungen der Unreinheit eingeführt, die jeweils unterschiedliche Waschungen erfordern. Die große Unreinheit (''[[w:Dschanāba|ǧanāba]]''), die durch Geschlechtsverkehr oder Samenerguss verursacht wird, erfordert demnach eine [[w:Ghusl|Ghusl]] genannte Vollwaschung, bei der alle Teile des Körpers vom Wasser berührt werden müssen. Die kleine Unreinheit (''ḥadaṯ'') hingegen, die durch Ereignisse wie Verrichtung der Notdurft oder Schlaf eintritt, erfordert nur eine kleine Waschung, [[w:Wudū'|Wudū']] genannt, die als obligatorische Elemente das Waschen des Gesichts, das Waschen der Unterarme bis zu den Ellbogen, das Streichen mit nassen Händen über den Kopf und das Waschen der Füße bzw. einschließt. Strittig war allerdings die Frage, ob anstelle des Waschens der Füße auch das [[w:al-Mash ʿalā l-chuffain|Überstreichen der Schuhe]] reicht. Für die Einleitung des Gebets wurde neben dem [[w:Adhān|Adhān]] noch ein zweiter Gebetsruf eingeführt, die sogenannte [[w:Iqāma|Iqāma]]. Er wird innerhalb der Moschee durchgeführt, bevor das Gebet beginnt. Bei der [[w:Salāt|Salāt]] setzte sich die Auffassung durch, dass sie mit einer [[w:Nīya|Nīya]], einer Absichtserklärung, zu beginnen habe, in der der Betende festhält, welche Salāt er verrichten will. Der Freitagsgottesdienst wurde um eine [[w:Chutba|Ansprache]] ergänzt, die vor dem Freitagsgebet abgehalten wird. Als [[w:Freitagspredigt|Freitagspredigt]] ist sie bis heute ein wichtiger Bestandteil des islamischen religiösen Lebens. Die Fiqh-Gelehrten machten sich auch darüber Gedanken, wann beim [[w:Ramadan|Ramadān]]-Fasten der richtige Zeitpunkt für den [[w:Sahūr|Sahūr]], die letzte Mahlzeit vor Tagesanbruch, ist, wie genau die Sichtung der Mondsichel (''ruʾyat hilāl''), die für die Bestimmung des Ramadān-Monatsanfangs notwendig ist, zu erfolgen hat, sowie über die Frage, für wen genau das Fasten obligatorisch ist. Hinsichtlich des letztgenannten Punktes wurde zum Beispiel festgelegt, dass Frauen während der Menstruation bzw. des Wochenbetts nicht fasten dürfen, dieses jedoch nachzuholen haben. === 6.4.3. Der Bereich des Strafrechts === Bei dem Delikt des außerehelichen Geschlechtsverkehrs ([[w:Zinā|Zinā]]) griffen die Rechtsgelehrten weiter auf die Steinigung als mögliche Strafform zurück, führten allerdings eine wichtige Abstufung ein: nur Personen, die sich im sogenannten [[w:Ihsān (Islamisches Strafrecht)|Ihsān]]-Status befinden, sollten im Falle von Zinā mit Steinigung bestraft werden, Personen, bei denen dieser Status nicht vorliegt, dagegen entsprechend der koranischen Regelung ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/24/vers/2 Q 24:2]) nur hundert Peitschenhiebe erhalten. Hinsichtlich der Voraussetzungen für das Eintreten des Ihsān-Zustandes bestanden unter den Fiqh-Gelehrten große Meinungsverschiedenheiten. Allgemein wurde jedoch angenommen, dass dafür Geschlechtsreife, Freiheit und eine gültig vollzogene Ehe notwendig seien. Man meinte, dass diese Eigenschaften, wenn sie bei einer Person vorlägen, sie vor Zinā schützten – daher der Begriff ''iḥṣān'' („Immunisierung“) – und dementsprechend das Vergehen dann schärfer bestraft werden müsse. Im Ergebnis führte das Ihsān-Konzept, das von verschiedenen Koranstellen (u.a. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/25 Sure 4:25]) abgeleitet wurde, zu einer starken Einschränkung der Steinigungsstrafe im Einzugsbereich des islamischen Rechts. == 6.5. Die dritte Fitna und der Sturz des umaiyadischen Kalifats (744-750) == === 6.5.1. Der Putsch Yazīds III. und die frühe Muʿtazila === [[File:Qusayr Amra.jpg|mini|Das Schloss [[w:Qusair ʿAmra|Qusair ʿAmra]], das sich der schöngeistig orientierte Kalif al-Walīd II in der jordanischen Wüste erbauen ließ.]] Nach dem Tode Hischāms im Jahre 743 ging die Herrschaft zunächst an den schöngeistig orientierten [[w:al-Walid II.|Walīd II]] über, doch wurde dieser schon bald durch einen anderen Umaiyaden beseitigt, [[w:Yazid III.|Yazīd ibn al-Walīd]]. Dieser Yazīd III., der im April 744 die Herrschaft antrat, war selbst Qadarit und zeigte asketische Neigungen. Sein Putsch war auch von einem religiös-politischen Programm getragen. In seiner Antrittsrede präsentierte er sich als Anwalt des Korans und der Sunna des Propheten und bot seinen Rücktritt für den Fall an, dass er sich nicht an das halte, was er versprochen habe. Auf den Parolen, die die Truppe Yazīds auf ihre Lanzen steckte, stand nicht nur, „Wir rufen euch auf zum Buch Gottes und zur Sunna des Propheten“, sondern auch in Verweis auf den Schūrā-Gedanken, „dass man sich untereinander berate“. Trotz seiner qadaritischen Neigungen, bemühte sich Yazīd III. auch um Unterstützung der Murdschiiten. So begnadigte er auf Fürsprache Abū Hanīfas den murdschiitischen Sezessionisten Ibn Suraidsch. Diese ausgleichende Position ist nicht ganz zufällig. Innerhalb der Qadarīya hatte sich in den 730er Jahren eine neue Strömung gebildet, die auf religiös-politischen Ausgleich bedacht war. Begründer dieser Denkrichtung war der basrische Prediger [[w:Wāsil ibn ʿAtā'|Wāsil ibn ʿAtā']]. Der angestrebte Ausgleich betraf vor allem die Beurteilung desjenigen, der eine schwere Sünde begangen hat, eine Frage, zu der insbesondere Charidschiten und Murdschiiten konträre Auffassungen vertraten. Während erstere meinten, dass die betreffende Person als Ungläubiger einzuordnen sei, betrachteten ihn letztere als vollwertigen Gläubigen. Indem Wāsil sich einer solchen Einordnung enthielt und ihn als „Frevler“ (''fāsiq'') auf eine Zwischenstufe (''manzila baina manzilatain'') stellte, versuchte er, einen Ausgleich zwischen Charidschiten und Murdschiiten herzustellen. Diese Position wurde als ''Iʿtizāl'' („Zurückhaltung“) bezeichnet, und diejenigen, die sich an sie hielten, als [[w:Muʿtazila|Muʿtazila]]. Wāsil sandte Prediger aus, die seine Lehre in den verschiedenen Regionen des islamischen Reiches verbreiteten. Auf dem Gebiet des heutigen Marokko fiel seine Lehre auf besonders fruchtbaren Boden. Dort sollen sich 100.000 Menschen der Wāsilīya angeschlossen haben. Von großer Bedeutung war auch, dass Wāsil [[w:ʿAmr ibn ʿUbaid|ʿAmr ibn ʿUbaid]], einen der angesehensten Schüler von al-Hasan al-Basrī, auf seine Seite ziehen konnte. Hieraufhin kam es zu einer Spaltung von al-Hasans Schülerkreis. Der loyalistisch gesinnte Traditionalist [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAun|ʿAbdallāh ibn ʿAun]] stellte jeden Kontakt zu ʿAmr ibn ʿUbaid ein und empfahl seinen Anhängern, sich ebenso zu verhalten. ʿAmr ibn ʿUbaid selbst konnte aber in den folgenden Jahren eine Anhängerschaft von ca. 30.000 Menschen aufbauen. Sowohl ʿAmr ibn ʿUbaid als auch Wāsil ibn ʿAtā' unterstützten das religiös-politische Reformprojekt Yazīds III., allerdings starb der Herrscher schon sechs Monate später, so dass dieses Projekt nur eine kurze Episode blieb. Nach seinem Tod im September 744 nahmen die tribalen Auseinandersetzungen und religiös-politische Erhebungen im Reich stark zu. Im Oktober 744 erhoben die kufischen Schiiten einen gewissen ʿAbdallāh ibn Muʿāwiya zum Imam. Er war kein Nachkomme ʿAlīs, sondern stammte von dessen Bruder [[w:Dschaʿfar ibn Abī Tālib|Dschaʿfar ibn Abī Tālib]] ab. Von seinen Anhängern unterstützt, konnte er große Gebiete Westirans unter seine Kontrolle bringen. Der Umaiyade [[w:Marwan II.|Marwān II.]], dem im Dezember 744 in Damaskus als neuem Kalifen gehuldigt wurde, musste sich mit zahlreichen Gegnern auseinandersetzen. Mit religiös-politischem Anspruch kämpften gegen ihn die [[w:Ibaditen|Ibaditen]] und die Anhänger der hāschimitischen Daʿwa. === 6.5.2. Das geheime Missionsnetzwerk der Ibaditen === Um die gleiche Zeit wurde auch der ibaditische Rechtsgelehrte [[w: Abū ʿUbaida Muslim ibn Abī Karīma|Abū ʿUbaida]] politisch aktiv. Er machte Basra zum Zentrum einer Propagandabewegung, die an anderen Orten Aufstände vorbereiten sollte. Diese Aufstände sollten letztendlich ein universales ibaditisches Imamat herbeiführen, das auf den Ruinen des Umaiyadenstaates errichtet würde. Um sein Ziel zu erreichen, formte Abū ʿUbaida sein Lehrkolleg, das mittlerweile von Studierenden aus den verschiedensten Gebieten des islamischen Reiches besucht wurde, in eine geheime Propagandazentrale um. Er schickte ''ḥamalat al-ʿilm'' („Wissensträger“) genannte Werber in die verschiedenen Provinzen des islamischen Reiches, mit dem Auftrag, dort ibaditische Gemeinden zu gründen. Die Sendboten traten nicht nur in arabischen Gebieten wie dem Hidschāz oder Südarabien und Bahrain auf, sondern auch in Ägypten, Nordafrika, Chorasan, Choresm und sogar in Indien. Die meisten dieser Werber waren gleichzeitig als Händler tätig. Mit dem von ihnen erwirtschafteten Geld wurde in Basra eine Kasse gegründet, mit der die Gemeinschaft finanzielle Selbständigkeit erlangte. Die meisten Ibaditen gehörten arabischen Stämmen an, die nicht besonders angesehen waren, deswegen hatte das Ideal der Gleichheit einen hohen Stellenwert in ihrer Propaganda. Wie die anderen Charidschiten waren die Ibaditen der Auffassung, dass das Imamat nicht auf den Stamm der Quraisch beschränkt sei, sondern jedem zustehe, den die Muslime zur Führung ihres Staates auswählten. Mit dieser Vorstellung stießen sie vor allem bei den Berbern Nordafrikas auf viel Zustimmung. In den verschiedenen Außenposten der ibaditischen Gemeinde kam es ab 745 zu Aufständen. Im [[w:Hadramaut|Hadramaut]] wurde 746 ein erstes ibaditisches Imamat begründet, dessen Truppen 747 Sanʿāʾ, die Hauptstadt Südarabiens, sowie Mekka und Medina einnehmen konnten, aber 748 von umaiyadischen Truppen niedergeworfen werden. Ungefähr um 748 errichteten die Ibaditen außerdem in Tripolitanien ein eigenes Imamat. Und um 750 huldigten die Ibaditen von Oman al-Dschulandā ibn Masʿūd, einem Nachkommen der dortigen ehemaligen Herrscherfamilie, als erstem „Imam des Hervortretens“ (''imām aẓ-ẓuhūr''). Im basrischen Zentrum betrieben die Ibaditen dagegen Geheimhaltung (''kitmān''), um nicht die Aufmerksamkeit der Obrigkeit auf sich zu ziehen und die Bewegung besser steuern zu können. === 6.5.3. Der abbasidische Umsturz === Als nach dem Tod von al-Walīd II. der Zerfall des umaiyadischen Kalifats immer deutlicher geworden war, verstärkten auch die Haschimiden ihre Aktivitäten zur Übernahme der Herrschaft im Reich. Der [[w:Hasaniden|Hasanide]] ʿAbdallāh rief 744 die Angehörigen seiner Familie und verschiedene andere Gruppen, die mit ihr sympathisierten, darunter auch verschiedene Muʿtaziliten, in dem Ort al-Abwā im Hedschas zusammen und ließ sie seinem Sohn [[w:Muhammad an-Nafs az-Zakīya|Muhammad an-Nafs az-Zakīya]] als zukünftigem Herrscher huldigen. Erheblich erfolgreicher waren allerdings die Bemühungen des Abbasiden Ibrāhīm, der nach dem Tode seines Vaters Muhammad 743 die Führung der Abbasiden-Familie übernommen hatte. Er sandte in dieser Zeit zwei neue Propagandisten für die Abbasiden nach Chorasan, Abū Salama und [[w:Abū Muslim|Abū Muslim]], letzterer ein früherer Anhänger des Gnostikers Mughīra ibn Saʿīd. Abū Muslim schaffte es 747, die anti-umaiyadische Opposition in Chorasan hinter der hāschimidischen Daʿwa zu vereinen und daraus einen offenen Aufstand gegen das geschwächte Umaiyaden-Regime zu organisieren. Rasch konnte er seine Herrschaft über Ostiran festigen. Rivalisierende Aufständische wie den Tālibiden ʿAbdallah ibn Muʿāwiya ließ er beseitigen. [[File:Revolt.png|mini|In den Jahre 748/49 drang das Heer von Abū Muslim von Ostiran nach Westen in den Irak vor, was schließlich den Untergang des Umaiyaden-Reiches und die Machtergreifung der Abbasiden herbeiführte.]] Von der Stadt Marw aus, die noch 747 eingenommen wurde, trat Abū Muslims Heerführer Qahtaba mit dem Rebellenheer im Jahr 748 den Marsch nach Westen an. Nach mehreren Siegen überschritt er 749 den Tigris und Euphrat. Sein plötzlicher Tod in der Schlacht um Kufa und die Hinrichtung des Abbasiden Ibrāhīm, der die Fäden der Daʿwa in der Hand gehalten hatte, durch die Umaiyaden stürzten das Unternehmen jedoch kurzfristig in Verwirrung. Wer sollte nun die Position des Imāms einnehmen, für dessen Herrschaft das Rebellenheer gekämpft hatte? Nach dem siegreichen Einzug des Heeres in Kufa trug Abū Salama dieses Amt zunächst einem prominenten Aliden an, nämlich dem bereits erwähnten Husainiden Dschaʿfar ibn Muhammad, der in Medina als Fiqh-Gelehrter wirkte. Dieser lehnte jedoch ab, da er keinerlei politische Ambitionen hegte. Dafür aber reiste sehr bald die Abbasidenfamilie aus Humaima an und beanspruchte die Herrschaft für sich. Zum Kalifen selbst wurde der relativ schwache [[w: Abu l-Abbas as-Saffah|Abū l-ʿAbbās]], er ließ sich im November 749 in Kufa huldigen. Sein Onkel, [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAlī|ʿAbdallāh ibn ʿAlī]], fügte dem umaiyadischen Kalifen Marwān II. Anfang Februar 750 am Ufer des großen Zāb im Irak eine vernichtende Niederlage zu und verfolgte ihn anschließend durch Syrien und Palästina, wobei er zwischendurch Damaskus einnahm. Während seines Aufenthaltes in Palästina ließ er 80 Angehörige des Umaiyaden-Hauses auf einmal hinrichten, Marwān selbst wurde im August 750 in Oberägypten getötet. Damit endete die Umaiyaden-Dynastie im Vorderen Orient. == 6.6. Literatur == * Blankinship, Khalid Yahya: ''The End of the Jihâd State. The Reign of Hishām ibn ʿAbd al-Malik and the Collapse of the Umaiyads''. Albany 1994. * Bonner, Michael: ''Aristocratic Violence and Holy War. Studies in the Jihad and the Arab-Byzantine Frontier''. New Haven, Connecticut 1996. * Bouzenita, Anke: ''ʿAbdarraḥmān al-Auzāʿī - ein Rechtsgelehrter des 2. Jahrhunderts d.H. und sein Beitrag zu den Siyar erarbeitet auf der Grundlage des k. ar-Radd ʿalā siyar al-Auzāʿī.'' Berlin 2001. * Crone, Patricia and Martin Hinds: ''God’s Caliph. 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Ein Streitpunkt in der frühen islamischen Theologie war die Stellung desjenigen, der eine schwere Sünde begangen hat. Welche Positionen standen sich gegenüber? 3. Umreißen Sie in groben Zügen die Geschichte der islamischen Expansion bis zum Ende der Umaiyadenzeit. 4. Wer war Dschahm ibn Safwān und welche theologischen Positionen vertrat er? 5. Welche lokalen Fiqh-Schulen entwickelten sich in der Umaiyadenzeit und durch welche Lehren zeichneten sie sich aus? 6. Was besagt die Abrogationslehre und welche Kenntnis setzt sie voraus? 7. Nennen Sie Regeln des islamischen Ritualgebets und erklären Sie, wie sie sich herausgebildet haben. 8. Wer sind die Banū Hāschim und welche politische Rolle spielten sie in der späten Umaiyadenzeit? {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} afcy0w2q4osvhvo0zv8s6saemfpqxvf 106 99560 1114053 1060168 2026-09-02T13:17:30Z ~2026-47548-34 41860 /* Eigenschaften von Kurven */ 1114053 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Begriff der Spur eines Weges definiert und vom Begriff des Graphen eines Weges abgegrenzt. == Definition - Spur Weg== Ein Weg in <math>\mathbb{C}</math> ist eine stetige Abbildung <math>\gamma \colon [a,b] \to \mathbb{C}</math>. Die Bildmenge <center><math> \mathrm{Spur}(\gamma) := \{\gamma(t): t \in [a,b]\} </math></center> heißt ''Spur'' der Kurve. ===Eigenschaften von Kurven=== * Eine Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C} </math> heißt differenzierbar, wenn <math>\gamma{\,}'(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> existiert * Eine für die Theorie der [[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Kurvenintegrale]] besonders wichtige Eigenschaft ist die [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|Rektifizierbarkeit]] einer Kurve. Rektifizierbare Kurven besitzen eine endliche Länge und man kann das Wegintegral darüber berechnen (Gegenbeispiel: [[Koch-Kurve]], die keine endliche Länge besitzt, aber einen endlichen Flächeninhalt einschließt als geschlossener Weg). == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> == Definition: Graph eines Weges == Die Spur eines Weges <math>\gamma \colon [a,b] \rightarrow U </math> in <math>U\subset \mathbb{C}</math> ist das Bild der Funktion <math>\gamma</math>. : <math>\mathrm{Graph}(\gamma):=\{ (t,z) \in [a,b] \times \mathbb{C} \ | \ z = \gamma(t) \}</math> === Bemerkung - Graph eines Weges === Der Graph eine Weges kann man als Teilmenge von <math>\mathbb{R}^3</math> plotten: : <math>\mathrm{Graph}_\mathbb{R}(\gamma):=\{ (t,x,y) \in [a,b] \times \mathbb{C} \ | \ x+iy = \gamma(t) \}</math> == Definition - Graph einer Kette == Der ''Graph'' einer [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Graphen von den einzelnen Wegen <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Graph}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Graph}(\gamma_i) </math></center> == Aufgabe - Plotten des Graphen und der Spur == * Plotten Sie mit [[Maxima CAS|Maxima]] oder [[CAS4Wiki]] die Spur des Weges im <math>\mathbb{R}^2</math>: ::<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,6\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> * Plotten Sie mit [[Maxima CAS|Maxima]] oder [[CAS4Wiki]] die den Graph des Weges im <math>\mathbb{R}^3</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette / Zyklus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Kurve&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Trace]]</noinclude> rvdc2fj7fuzk7zpw92ggczrpo3lbhmf 106 99562 1114057 1061237 2026-09-02T13:37:32Z ~2026-47548-34 41860 /* Abschätzung der Integraldifferenz */ 1114057 wikitext text/x-wiki Das komplexe Kurvenintegral ist die Funktionentheoretische Verallgemeinerung des Integrals aus der reellen Analysis. Als Integrationsgebiet tritt eine [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurve]] an die Stelle des Intervalls. Integriert wird über komplexwertige anstelle reellwertiger Funktionen. ==Definition - Integrierbarkeit== Sei <math>\gamma\colon[a,b] \to \mathbb C</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]], <math>f \colon \mathrm{Spur}(\gamma) \to \mathbb C</math> eine Abbildung. <math>f</math> heißt über <math>\gamma</math> ''integrierbar'', wenn es eine Zahl <math>I \in \mathbb C</math> gibt, so dass zu jedem <math>\epsilon> 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert, so dass für jede Zerlegung <math>a =t_0 < \ldots < t_n = b</math> des Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math>t_i - t_{i-1} < \delta</math> für alle <math>1 \le i \le n</math> <center><math> \left| I - \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) \right| < \epsilon </math></center> gilt. Die Zahl <math>I</math> heißt ''Integral'' von <math>f</math> über <math>\gamma</math> und wird mit <math>\int_\gamma f(z) \, dz := I</math> bezeichnet. === Bemerkung - Integrierbarkeit === * <math>f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) </math> entspricht in der reellen Analysis dem orientierten Flächeninhalt von Rechtecken, die beim Riemannintegral das Integral approximieren. * <math> \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) </math> berechnet in den komplexen Zahlen die Riemannsumme aller Einzelterme eine Zerlegung des Intervalls <math>[a,b]</math> mit <math> a= t_0 < \ldots < t_n = b </math> * <math> \left| I - \sum_{i=1}^n f(\gamma(t_i)) \cdot \big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big) \right| < \epsilon </math> bedeutet, dass man das Integral <math>I</math> beliebig genau mit den Riemannsummen approximieren kann. ===Integration über Ketten=== Ist <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] in <math>\mathbb C</math>, so heißt eine Funktion <math>f\colon \mathrm{Spur}(\Gamma) \to \mathbb C</math> über <math>\Gamma</math> integrierbar, wenn sie über jedes <math>\gamma_i</math> integrierbar ist und wir setzen <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz := \sum_{i=1}^n n_i \cdot \int_{\gamma_i} f(z)\, dz </math></center> ===Zusammenhang zur rellen Integration=== Ist <math>\gamma</math> sogar stückweise differenzierbar, so kann das Kurvenintegral mithilfe des Mittelwertsatzes auf eine Integral über den Parameterbereich zurückgeführt werden, wir haben in diesem Fall <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt </math></center> wobei eine komplexwertige Funktion über ein reelles Interval integriert wird, in dem Real- und Imaginärteil getrennt voneinander berechnet werden. ==Beispiel 1 == Wir betrachten die Kurve <math>\gamma\colon [0,1]\to \mathbb C</math>, <math>\gamma(t) := \exp(2\pi i t)</math>, und die Funktion <math>f(z) = \frac 1z</math>. Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir :<math display="inline"> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz &= \displaystyle\int_\gamma \frac 1z \,dz\\ &= \displaystyle \int_0^1 \frac 1{\exp(2\pi i t)}\cdot 2\pi i \cdot \exp(2\pi i t)\, dt\\ &= \displaystyle\int_0^1 2\pi i \, dt\\ &= 2\pi i \end{array}</math> ==Beispiel 2 == Wir modifizieren unser erstes Beispiel etwas und betrachten die Kurve <math>\gamma\colon [0,1]\to \mathbb C</math>, <math>\gamma(t) := \exp(2\pi i t)</math>, und die Funktion <math>f(z) = z^n</math> für <math>n\ne -1</math>. Da die Kurve differenzierbar ist, erhalten wir :<math display="inline"> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz &= \displaystyle\int_\gamma z^n \,dz\\ &= \displaystyle \int_0^1 \exp(2\pi i t)^n\cdot 2\pi i \cdot \exp(2\pi i t)\, dt\\ &= \displaystyle\int_0^1 2\pi i \exp(2\pi i (n+1)t)\, dt\\ &= \displaystyle\frac 1{n+1}\exp(2\pi i(n+1) t)\bigg|_0^1\\ &= 0 \end{array}</math> === Darstellung des Integrals === Beide Beispiele zusammen ergeben also <center><math>\int_\gamma z^n \, dz = 2\pi i \cdot \delta_{n,-1} </math></center> Dabei gilt: :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} \delta_{n,-1}: & \mathbb{N} & \rightarrow & \{0 ,1 \} \\ & n & \mapsto & \delta_{n,-1}(n) = \begin{cases} 1 & , & n = -1\\ 0 & , & n \not = -1 \\ \end{cases} \end{array} </math> Diese Tatsache spielt eine wichtige Rolle bei der Definition des [[Residuum|Residuums]] und dem Beweis zum [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz]]. == Aufgabe == Einzeugen Sie eine Weg <math>\gamma: [0,1] \to \mathbb{C} </math> als [[Konvexkombination]] zweiter Ordnung zwischen den Punkt <math>v=2+3i</math> und <math>w=5-i</math>. Der Hilfspunkt ist <math> s = 6i </math>. * Geben Sie den Weg <math>\gamma(t)=....</math> und berechnen Sie <math>\gamma{\,}'(t)= ....</math>. * Berechnen Sie das Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz</math> mit <math>f(z)=z^3 </math>. ==Eigenschaften== ===Unabhängigkeit von der Parametrisierung=== Es sei <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C</math> ein stückweiser <math>C^1</math>-Weg, <math>\phi \colon [\alpha,\beta]\to [a,b] </math> ein orientierungserhaltender <math>C^1</math>-[[w:de:Diffeomorphismus|Diffeomorphismus]]. Dann ist <math>\gamma \circ \phi \colon [\alpha, \beta] \to \mathbb C</math> ein stückweiser <math>C^1</math>-Weg und es gilt <center><math> \int_\gamma f(z) \, dz = \int_{\gamma \circ \phi} f(z) \, dz </math></center> d. h. der Wert des Integrals ist von der konkret gewählten Parametrisierung des Weges unabhängig. ====Beweis==== Es ist <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_{\gamma \circ \phi} f(z) \, dz &= \displaystyle\int_\alpha^\beta f(\gamma(\phi(s)))(\gamma \circ \phi)'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_\alpha^\beta f(\gamma(\phi(s)))\gamma'(\phi(s)) \phi'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)} f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt \quad{\rm Substitution}\ t = \phi(s)\\ &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt\\ &= \int_\gamma f(z)\, dz \end{array} </math></center> ===Linearität=== Da das Integral über in <math>f</math> lineare Summen definiert ist, ist es selbst linear im Integranden, d. h. es gilt <center><math>\int_\gamma (\alpha f + \beta g)(z) \, dz = \alpha \int_\gamma f(z) \, dz + \beta \int_\gamma g(z)\, dz </math></center> für [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbares]] <math>\gamma</math>, <math>\alpha, \beta \in \mathbb C</math> und integrierbare <math>f,g \colon \mathrm{spur}(\gamma) \to \mathbb C</math>. ===Orientierungsumkehrung=== Es sei <math>\gamma \colon [a,b]\to \mathbb C</math> ein rektifizierbarer Weg, der ''umgekehrt durchlaufene Weg'' <math>\gamma^- \colon [a,b]\to \mathbb C</math> sei definiert durch <math>\gamma^-(s) = \gamma(a+b-s)</math>. Dann ist für integrierbare <math>f\colon \mathrm{spur}(\gamma)\to \mathbb C</math> <center><math> \int_{\gamma^-} f(z) \, dz = - \int_\gamma f(z) \, dz </math></center> ====Beweis==== Es ist <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\int_{\gamma^-} f(z) \, dz &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma^-(s))(\gamma^-)'(s)\, ds\\ &= \displaystyle\int_a^b f(\gamma(a+b-s))\gamma'(a+b-s)(-1) \, ds\\ &= \displaystyle\int_{b}^{a} f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt \quad{\rm Substitution}\ t = a+b-s\\ &= -\displaystyle\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt\\ &= -\displaystyle\int_\gamma f(z)\, dz \end{array} </math></center> ==Approximation durch Streckenzüge== Die hier vorgestellte Version des Integrationsweges wirkt sehr allgemein, allerdings sind die meisten in der Praxis auftretenden Integrationswege stückweise stetig differenzierbar. Da sich mit stückweise stetig differenzierbaren Wegen einfacher arbeiten lässt, wollen wir im folgenden noch zeigen, wie sich ein beliebiger Integrationsweg für stetige Integranden durch [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzüge]] approximieren lässt. Dies kann man benutzen, um Aussagen über allgemeine rektifizierbare Wege auf Streckenzüge zurückzuführen. ===Approximationssatz für Wegintegral durch Polygonzüge=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>\gamma \colon[a,b]\to \mathbb C</math> ein rektifizierbarer Weg, <math>f \colon G \to \mathbb C</math> stetig und <math>\epsilon > 0</math>. Dann gibt es einen Streckenzug <math>\hat\gamma \colon[a,b]\to \mathbb C</math> mit <math>\gamma(a) = \hat\gamma(a)</math>, <math>\gamma(b) = \hat\gamma(b)</math> und <math>\left|\int_{\hat\gamma} f(z)\, dz -\int_\gamma f(z)\, dz\right| < \epsilon</math>. ===Beweis=== Sei zunächst <math>G = B_R(z_0)</math> eine Kreisscheibe wählen <math>R</math> groß genug, damit die Spur von <math>\gamma</math> enthalten. Da <math>\mathrm{Spur}(\gamma)</math> kompakt ist, gibt es ein <math>r > 0</math> mit <math>\mathrm{spur}(\gamma) \subseteq \bar B_r(z_0) \subseteq G</math>. Auf <math>\bar B_r(z_0)</math> ist <math>f</math> gleichmäßig stetig, also können wir ein <math>\delta> 0</math> wählen, so dass <math>|f(z) - f(w)| < \epsilon</math> für <math>z,w \in B_r(z_0)</math> mit <math>|z-w|< \delta</math> gilt. ==== Unterteilung - Definitionsbereich des Weges ==== Wähle nun nach Definition des Integrals eine Unterteilung <math>a = t_0 < \ldots < t_n = b</math> von <math>[a,b]</math>, so dass <math>|\gamma(s) - \gamma(t)| < \delta</math> für <math>s,t \in [t_{i-1}, t_i]</math> und <center><math> \left| \int_\gamma f(z)\, dz - \sum_{i=1}^n f\big(\gamma(t_i)\big)\big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big)\right| < \epsilon </math></center> gilt. ==== Definition des Streckenzuges ==== Definere <math>\hat\gamma</math> durch <center><math> \hat\gamma(t) := \frac 1{t_i -t_{i-1}} \big(\gamma(t_{i-1})(t_i - t) + \gamma(t_i)(t-t_{i-1})\big), \qquad t \in [t_{i-1}, t_i] </math></center> Also ist <math>\hat\gamma</math> der Streckenzug, der die Punkte <math>\gamma(t_i)</math> durch Strecken verbindet. Insbesondere verläuft <math>\hat\gamma</math> in <math>B_r(z_0)</math>. Nach Konstruktion ist weiterhin <math>|\hat\gamma(t) - \gamma(t_i)| < \delta</math> für <math>t \in [t_{i-1}, t_i]</math>. ==== Abschätzung der Integraldifferenz ==== Es folgt <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \left|\int_\gamma f(z)\, dz - \int_{\hat\gamma} f(z)\, dz\right| &= \displaystyle \left|\int_\gamma f(z)\, dz - \int_a^b f(\hat\gamma(t))\hat\gamma'(t)\, dt\right|\\ &\le \displaystyle \epsilon + \left|\sum_{i=1}^n f\big(\gamma(t_i)\big)\big(\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})\big)- \sum_{i=1}^n \frac{\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})}{t_i - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(\hat\gamma(t))\, dt\right|\\ &\le \displaystyle\epsilon + \sum_{i=1}^n |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \frac 1{t_{i} - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} |f(\hat\gamma(t)) - f(\gamma(t_i))|\\ &\le \displaystyle \epsilon + \sum_{i=1}^n |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})| \frac 1{t_{i} - t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} \epsilon\\ &= \epsilon + \epsilon L(\gamma) \end{array} </math></center> Damit folgt die Behauptung. Ist <math>G</math> keine Kreisscheibe, überdecken wir - wegen der Kompaktheit von <math>\mathrm{spur}(\gamma)</math> ist das möglich - <math>\mathrm{spur}(\gamma)</math> mit endlich vielen Kreisscheiben, die in <math>G</math> liegen, und wenden auf jeden Teilweg die obige Konstruktion an. Damit folgt die Behauptung auch im allgemeinen Fall. == Siehe auch == * [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzug]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Curve Integral]]</noinclude> 7vcce9zpdwvzereddtff83oz0ux8ttk 106 99565 1114046 1078965 2026-09-02T12:37:20Z ~2026-47548-34 41860 /* Aussage */ 1114046 wikitext text/x-wiki Das Lemma von Goursat ist eine wichtige Teilaussage im Beweis für den [[Integralsatz von Cauchy]]. Es beschränkt die Integrationswege auf Dreiecke, ist dadurch durch ein [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat_(Details)|geometrisches Unterteilungsargument]] zu beweisen. ==Aussage== Es sei <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, <math>G \supseteq D</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt <math>\int_{\partial D} f(z)\, dz = 0.</math> ===Beweis=== Setze <math>\Delta_0 := D</math>, wir werden induktiv eine Folge <math>(\Delta_n)_{n \ge 0}</math> mit den Eigenschaften # <math>\Delta_n \subseteq \Delta_{n-1}</math> # <math>\mathcal{L}(\partial \Delta_n) = 2^{-n}\mathcal{L}(\partial D)</math> (<math>L</math> bezeichnet die [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Länge einer Kurve]]) # <math>\left|\int_{\partial D} f(z)\, dz\right| \le 4^n\left|\int_{\partial \Delta_n} f(z)\, dz\right|</math> Sei also <math>n\ge 0</math> und <math>\Delta_n</math> bereits konstruiert. Wir unterteilen <math>\Delta_n</math>, in dem wir die Seitenmittelpunkte verbinden, in vier Teildreiecke <math>\Delta_{n+1}^i</math>, <math>1 \le i \le 4</math>. Da die Verbindungen der Seitenmitten sich bei der Integration gegenseitig aufheben, haben wir <center><math>\begin{array}{rl} \displaystyle\left|\int_{\partial \Delta_n} f(z)\, dz\right| &= \displaystyle\left|\sum_{i=1}^4 \int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right|\\ &\le \displaystyle\sum_{i=1}^4 \left|\int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right|\\ &\le \displaystyle\max_i \left|\int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right| \end{array}</math></center> Wähle nun <math>1 \le i \le 4</math> mit <math>\left|\int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right| = \max_i\left|\int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right|</math> und setze <math>\Delta_{n+1} := \Delta_{n+1}^i</math>. Dann ist <math>\Delta_{n+1}\subseteq \Delta_n</math> nach Konstruktion, weiterhin haben wir <center><math> \mathcal{L}(\partial \Delta_{n+1}) = \frac 12 \mathcal{L}(\partial \Delta_n) = 2^{-(n+1)} \mathcal{L}(\partial D) </math></center> und <center><math> \left|\int_{\partial D} f(z)\, dz\right| \le 4^n\left|\int_{\partial \Delta_{n}} f(z)\, dz\right| \le 4^{n+1} \left|\int_{\partial \Delta_{n+1}} f(z)\, dz\right| </math></center> also hat <math>\Delta_{n+1}</math> genau die geforderten Eigenschaften. Da alle <math>\Delta_n</math> kompakt sind, ist <math>\bigcap_{n\ge 0} \Delta_n \ne \emptyset</math>, sei <math>z_0 \in \bigcap_{n\ge 0} \Delta_n</math>. Da <math>f</math> in <math>z_0</math> holomorph ist, gibt es in einer Umgebung <math>V</math> von <math>z_0</math> eine stetige Funktion <math>A \colon V\to\mathbb C</math> mit <math>A(z_0) = 0</math> und <center><math> f(z) = f(z_0) + (z-z_0)f'(z_0) + A(z)(z-z_0), \qquad z \in V</math></center> Da <math>z \mapsto f(z_0) + (z-z_0)f'(z_0)</math> eine Stammfunktion hat, folgt für die <math>n \ge 0</math> mit <math>\Delta_n \subseteq V</math>, dass <center><math> \int_{\partial \Delta_{n}} f(z)\, dz = \int_{\partial \Delta_n} f(z_0) + (z-z_0)f'(z_0) + A(z)(z-z_0) \, dz = \int_{\partial \Delta_n} A(z)(z-z_0) \, dz. </math></center> Damit erhalten wir wegen der Stetigkeit von <math>A</math> und <math>A(z_0) = 0</math>, dass <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\left|\int_{\partial D} f(z)\, dz\right| &\le \displaystyle 4^n\left|\int_{\partial \Delta_{n}} f(z)\, dz\right|\\ &= \displaystyle 4^n\left|\int_{\partial \Delta_{n}} A(z)(z-z_0)\, dz\right|\\ &\le\displaystyle 4^n \cdot \mathcal{L}(\partial \Delta_n) \max_{z\in \partial \Delta_n} |z-z_0||A(z)|\\ &\le\displaystyle 4^n \cdot \mathcal{L}(\partial \Delta_n)^2 \max_{z\in \partial \Delta_n} |A(z)|\\ &=\displaystyle \mathcal{L}(\partial D) \max_{z\in \partial \Delta_n} |A(z)|\\ &\to\displaystyle \mathcal{L}(\partial D) |A(z_0)| = 0, \qquad n \to \infty. \end{array}</math></center> == Notation im Beweis == * <math>\Delta_n</math> ist das <math>n</math>-te ähnliche Teildreieck zum Ausgangsdreieck mit den um den Faktor <math>\frac{1}{2^n}</math> verkürzten Seitenlänge. * <math>\partial\Delta_n</math> ist der Integrationsweg über den Rand <math>n</math>-te ähnlichen Teildreiecks mit einem Umfang <math>\mathcal{L}(\partial\Delta_n) = \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L}(\partial\Delta_0) </math>. == Siehe auch == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve bzw. Länge einer Kurve]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Goursat's Lemma]]</noinclude> n601845nq4ionqpu3qr750esoeo72l7 106 99642 1114107 1107204 2026-09-02T16:42:45Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis 2: V offen */ 1114107 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem [[Kurs:Funktionentheorie]]. Der Betrag <math>|f|</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage. ==Satz - Maximumprinzip== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. * '''(MAX1)''' Hat <math>|f|</math> in <math>G</math> ein lokales Maximum, so ist <math>f</math> konstant.<br /> * '''(MAX2)''' Ist <math>G</math> beschränkt und <math>f</math> auf <math>\overline{G}</math> stetig fortsetzbar, so nimmt <math>|f|</math> sein Maximum auf dem Rand <math>\partial G</math> von <math>G</math> an. == Beweis == Zum Beweis von (MAX1) benötigen man ein Lemma vorab, bei dem die Folgerung lokal für eine Umgebung von <math> z_o</math> zutrifft und nicht auf ganz <math>G</math>, so wie es in der obigen Formulierung des Maximumprinzip genannt ist. Dabei liefert der Beweis des Lemmas "lokal konstant" auch, dass <math> f</math> auch auf ganz <math>G</math> konstant ist, denn nach dem Identitätssatz reicht die Übereinstimmung von Funktionen auf einer nicht diskreten Teilmenge eines Gebietes aus, damit die Funktion auf ganz <math>G</math> übereinstimmen. ===Lemma - lokal konstant === Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math>. Dann ist <math>f</math> auf einer Umgebung von <math>z_0</math> konstant. ===Beweis des Lemmas 1 === Es sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>|f(z)| \le |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> gilt. Die [[Integralformel von Cauchy#Für Kreissscheiben|Cauchy-Integralformel]] liefert für alle <math>\varepsilon \le r</math> mit <math>\varepsilon > 0 </math>, dass :<math> f(z_0) = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac {f(z)}{z-z_0} \, dz </math> === Bemerkung zu Beweisschritt 1 === Man verlangt, dass <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> erfüllt ist, damit auch für <math>\varepsilon < r</math> bei dem Integral über den Kreisrand <math> \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Spur des Weges in <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> liegt. === Beweis des Lemmas 2 === Man erhält die folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| &= \frac 1{2\pi} \left| \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz \right| \\ &= \frac 1{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} \frac {f(z_0 + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}} \varepsilon \cdot i \cdot e^{it}\, dt\right|\\ &\le \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\, dt\\ &\le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\\ &\le |f(z_0)| \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 === In dem letzten Schritt der Ungleichung wurde die Eigenschaft verwendet, dass <math>|f(z_o)|</math> ein lokales Maximum ist und damit <math>f</math> betragsmäßig sogar größer als alle Punkte <math> z\in \overline{D_\varepsilon(z_o)} </math> ist - d.h. <math>|f(z)| \leq |f(z_o)|</math>. Damit gilt die Aussage also insbesondere <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> auf dem Kreisrand mit <math>|z_{_\partial}-z_0| = \varepsilon </math>: :<math> |f(z_0)| = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\! |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}} )|\, dt \le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}})| \le |f(z_0)| </math> === Beweis des Lemmas 3 === Daraus folgt, dass es sich bei der <math>\leq</math>-Abschätzung um Gleichungskette handelt, da die Ungleichung mit <math> |f(z_0)| </math> beginnt und endet und <math>z_{_\partial}:= z_0+\varepsilon\cdot e^{it}\in \partial D_\varepsilon(z_0)</math>. :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| = & \int_0 ^{2 \pi}|f(z_0)| \cdot \frac 1 {2 \pi} dt = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| \, dt\\ \Rightarrow & 0 = \int_0 ^{2 \pi} (| f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| - |f(z_0)|)dt \\ \Rightarrow & |f(z_{_\partial})| = |f(z_0)| \mbox{ für alle } z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0) \end{array} </math> Dabei kann das <math>\varepsilon </math> beliebig mit der Bedingung <math>0 < \varepsilon \leq r </math> gewählt werden. === Beweis des Lemmas 4 === Da man die Radien <math>\varepsilon \leq r</math> beliebig wählen kann, erhalten wir mit :<math>|f(z_{_\partial})| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Konstanz von <math>|f|</math> über die Eigenschaft: :<math>|f(z)| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{ D_r(z_0)}</math>, d.h. <math>|f|</math> ist auf <math>D_r(z_0)</math> konstant. === Beweis des Lemmas 5 === Wenn <math>|f|=\sqrt{\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2}</math> auf <math>D_r(z_0)</math> konstant ist, dann muss auch <math>\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2 = c</math> konstant sein mit einer Konstante <math>c \in \mathbb{R}</math>. === Beweis des Lemmas 6 === Wegen <math>f</math> holomorph auf <math>D_r(z_0)</math> ist gelten die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] für :<math> u:=\mathfrak{Re}(f), \ v:= \mathfrak{Im}(f) \ \mbox { und } \ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math> und es gilt :<math>\frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial x} = 0 \mbox{ und } \frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial y} = 0</math> === Beweis des Lemmas 7 === Ist <math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math> und <math>u_y=\frac{\partial u}{\partial y}</math> und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen :<math>0=2 u u_x + 2vv_x</math> und <math>0=2 u u_y + 2v v_y</math> Mit [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|CR-DGL]] <math>u_x = v_y</math> und <math>u_y = -v_x</math> ersetzen wird die partiellen Ableitung von <math>v</math> durch partielle Ableitungen von <math>u</math> und erhalten (Faktor 2 kann entfallen): :<math>0=2 \cdot (u u_x - vu_y) </math> und <math>0=2\cdot (u u_y + v u_x) </math> === Beweis des Lemmas 8 === Wir quadrieren die beiden Gleichungen :<math>0=(u u_x - vu_y)^2 = u^2 u_x^2 - 2u u_x \cdot vu_y + v^2u_y^2</math> :<math>0=(u u_y + v u_x)^2 = u^2 u_y^2 + 2u u_y \cdot vu_x + v^2u_x^2</math> und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu: :<math>0= u^2 u_x^2 + v^2u_y^2 + u^2 u_y^2 + v^2u_x^2</math> === Beweis des Lemmas 9 === Durch Ausklammern von <math>u^2</math> und <math>v^2</math> erhält man: :<math>0= u^2 (u_x^2 + u_y^2) + v^2(u_x^2 + u_y^2) = (u^2+v^2) \cdot (u_x^2 + u_y^2)</math> Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt: :<math>0= u^2+v^2 \vee 0= u_x^2 + u_y^2</math> === Beweis des Lemmas 10 === * Mit <math>u^2=-v^2</math> folgt <math>u=v=0</math> da <math>u(x,y)</math> und <math>v(x,y)</math> reellwertig sind und damit gilt <math>f=u+iv=0</math>. * <math> u_x^2 = -u_y^2</math> folgt <math> u_x^2 = u_y^2 = 0</math> und <math> u_x = u_y = 0</math> und damit ist nach den [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] auch <math>f' = 0</math> Insgesamt ist also <math>f</math> konstant auf <math>D_r(z_0)</math>. == Beweis MAX2 - Maximumprinzip == Es sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math> in dem Gebiet <math>G</math>. <math>V := \{z \in G: f(z) = f(z_0)\}</math> sei die Menge alle <math>z \in G</math> die auf <math>w:=f(z_0) \in \mathbb{C}</math> abbilden (Niveaumenge). === Beweis 1: V abgeschlossen === Da <math>f</math> stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in <math>G</math>). Da die Menge <math>\{w\}\subset \mathbb{C}</math> abgeschlossen ist, ist <math>V=f^{-1}(\{w\})</math> abgeschlossen in <math>G</math>. === Beweis 2: V offen=== Nach dem Lemma lässt sich die Menge <math>V</math> auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und die Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen ist wieder offen. === Beweis 3: Zusammenhang=== Also ist <math>V = G</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>, d.&thinsp;h. <math>f</math> ist konstant.<br /> === Beweis 4: G beschränkt === Ist <math>G</math> beschränkt, so ist <math>\bar G</math> kompakt, also nimmt die stetige Funktion <math>f</math> auf <math>\bar G</math> ihr Maximum an, etwa an der Stelle <math>z_0 \in \bar G</math>. Ist <math>z_0 \in G</math>, so ist <math>f</math> nach obigem Lemma auf <math>G</math> konstant und damit auf <math>\bar G</math> konstant, also nimmt <math>f</math> sein Maximum auch auf <math>\partial G</math> an. Anderenfalls ist <math>z_0 \in \partial G</math> und wir sind fertig. === Bemerkung - Maximum im Inneren === Nach dem vorherigen Überlegungen führt eine lokales Maximum in Inneren zu der Eigenschaft, dass <math>f</math> konstant auf <math>G </math> und damit auch konstant auf dem Abschluss. Damit nimmt <math>f</math> natürlich auch auf dem Rand das lokale Maximum an. Im andere Fall trifft die in der Aussage genannte Eigenschaft zu, dass <math>f</math> durch Beschränktheit auf <math>\overline{G}</math> auf dem Rand das lokale Maximum annehmen muss. == Siehe auch == * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG|Anwendungen der CR-DG]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]] verwendet das Maximumprinzip == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysics/Maximum Principle]]</noinclude> 2mtuka0eaazrzseqn8cc1a3qczuhd6i 106 99644 1114098 1064852 2026-09-02T16:15:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis (N1) nach (N2) */ 1114098 wikitext text/x-wiki Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist. ==Aussage== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet. Für zwei [[Holomorphie|holomorphe]] Funktionen <math>f_1,f_2 \colon U \to \mathbb C</math> sind äquivalent: * (1) <math>f_1 = f_2</math> (d.h. <math>f_1(x) = f_2(x)</math> für alle <math>x \in U</math>) * (2) Es gibt ein <math>z_0 \in U</math> mit <math>f_1^{(n)}(z_0) = f_2^{(n)}(z_0)</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}_o</math>. * (3) Die Menge <math>\{z \in U: f_1(z) = f_2(z)\}</math> hat unendlich viele Elemente mit einen Häufungspunkt in <math>U</math>. ==Beweis== Durch Betrachtung von <math>f:=f_1-f_2</math> dürfen wir o.&thinsp;E. annehmen, dass <math>f=0</math>. Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt: * (N1) <math>f = 0</math> (d.h. <math>f(x) = 0</math> für alle <math>x \in U</math>) * (N2) Es gibt ein <math>z_0 \in U</math> mit <math>f^{(n)}(z_0) = 0</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}_o</math>. * (N3) Die Nullstellenmenge <math>N_f := \{z \in U: f(z) = 0\}</math> hat unendlich viele Elemente mit einem Häufungspunkt in <math>U</math> Wenn man z.B. <math>(N1) \Rightarrow (N2)</math> für <math>f</math> gezeigt hat, gilt automatisch auch <math>(1) \Rightarrow (2)</math> für den Vergleich von <math>f_1</math> und <math>f_2</math>. === Beweistyp === Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss :<math>(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)</math> === Beweis (N1) nach (N2) === (N1) <math>\Rightarrow</math> (N2) ist offensichtlich richtig, denn bei jeder konstanten Funktion (also insbesondere der Nullfunktion) sind alle höheren Ableitung <math>f^{(n)}(z)=0</math> für alle <math>z</math> aus dem Definitionsbereich. Man wählt einfach einen Punkt <math> z_o</math> für die Nullfunktion <math>f</math> und erhält die Aussage für die n-ten Ableitungen an dem Punkt. === Beweis (N2) nach (N3) === Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> in <math>B_r(z_0)</math> mit <math>r > 0</math>. Es ist <math>a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = 0</math> für alle <math>n\in \mathbb N</math>. Also ist <math>f|_{B_r(z_0)} = 0</math>, es folgt (N3). === Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis === Zu dem Beweisschritt (N3) <math>\Rightarrow</math> (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und <math>f</math> nicht die Nullfunktion ist. === Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt === Gelte nun (N3), d.&thinsp;h. die Menge <math>N_f</math> der Nullstellen von <math>f</math> habe einen Häufungspunkt <math>z_0 \in U</math>. Es gebe also eine Folge <math>(z_n) \in U^{\mathbb N}</math> mit <math>z_n \to z_0</math> und <math>f(z_n) = 0</math> sowie <math>z_n \ne z_0</math>, für alle <math>n \in \mathbb N</math>. Sei nun <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> die Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math>. === Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung === Angenommen, es gäbe ein <math>n\in \mathbb N</math> mit <math>a_n \ne 0</math>, dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von <math>\mathbb{N}</math> auch ein kleinstes solches <math>n</math>. Es wäre <center><math> f(z) = (z-z_0)^n \sum_{k=0}^\infty a_{n+k}(z-z_0)^k, \qquad |z-z_0| < r, a_n \ne 0 </math></center> === Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung === Für jedes <math>i \in \mathbb N</math> wäre also <center><math> 0 = f(z_i) = (z_i-z_0)^n \sum_{k=0}^\infty a_{n+k}(z_i - z_0)^k </math></center> === Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess === Wegen <math>z_i \ne z_0</math> und <math>\displaystyle \lim_{i\to \infty} z_i = z_0</math> erhält man: <center><math> 0 = \sum_{k=0}^\infty a_{n+k} (z_i - z_0)^k \to a_n, \qquad i \to \infty </math></center> Da <math>a_{n+k} (z_i - z_0)^k \to 0</math> für alle <math>k > 0</math> für <math>i \to \infty </math>. Dies steht im Widerspruch zu <math>a_n \ne 0</math>. Also ist <math>a_n = 0</math> für alle <math>n \in \mathbb N</math> und damit <math>f^{(n)}(z_0)= 0</math> für alle <math>n\in \mathbb N</math>, d.&thinsp;h. (N2) gilt. === Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen === Gilt (N2), setze <math>V := \bigcap_{n\ge 0} \{ z \in U \, | \, f^{(n)}(z)=0\}</math>. <math>V</math> ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in <math>U</math>, da die <math>f^{(n)}</math> stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier <math>\{0\}</math>) wieder abgeschlossen sind. === Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen === <math>V</math> ist aber zugleich auch offen in <math>U</math>, da in jedem <math>w \in V</math> die Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> um <math>w</math> verschwindet, also ist <math>f</math> lokal um <math>w</math> gleich <math>0</math>. Wegen <math>z_0 \in V</math> ist <math>V</math> nichtleer und damit <math>V = U</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>. === Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3) === Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige <math>g:U \to \mathbb{C}</math> und <math>h:U \to \mathbb{C}</math>, wenn man (N1)-(N3) auf <math>f:=g-h</math> anwendet. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Satz von Casorati-Weierstraß]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Identity Theorem]]</noinclude> i41hv1vt8bj7jg5w9uvh4q3sr1okbza 1114099 1114098 2026-09-02T16:18:29Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen */ 1114099 wikitext text/x-wiki Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist. ==Aussage== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet. Für zwei [[Holomorphie|holomorphe]] Funktionen <math>f_1,f_2 \colon U \to \mathbb C</math> sind äquivalent: * (1) <math>f_1 = f_2</math> (d.h. <math>f_1(x) = f_2(x)</math> für alle <math>x \in U</math>) * (2) Es gibt ein <math>z_0 \in U</math> mit <math>f_1^{(n)}(z_0) = f_2^{(n)}(z_0)</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}_o</math>. * (3) Die Menge <math>\{z \in U: f_1(z) = f_2(z)\}</math> hat unendlich viele Elemente mit einen Häufungspunkt in <math>U</math>. ==Beweis== Durch Betrachtung von <math>f:=f_1-f_2</math> dürfen wir o.&thinsp;E. annehmen, dass <math>f=0</math>. Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt: * (N1) <math>f = 0</math> (d.h. <math>f(x) = 0</math> für alle <math>x \in U</math>) * (N2) Es gibt ein <math>z_0 \in U</math> mit <math>f^{(n)}(z_0) = 0</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}_o</math>. * (N3) Die Nullstellenmenge <math>N_f := \{z \in U: f(z) = 0\}</math> hat unendlich viele Elemente mit einem Häufungspunkt in <math>U</math> Wenn man z.B. <math>(N1) \Rightarrow (N2)</math> für <math>f</math> gezeigt hat, gilt automatisch auch <math>(1) \Rightarrow (2)</math> für den Vergleich von <math>f_1</math> und <math>f_2</math>. === Beweistyp === Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss :<math>(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)</math> === Beweis (N1) nach (N2) === (N1) <math>\Rightarrow</math> (N2) ist offensichtlich richtig, denn bei jeder konstanten Funktion (also insbesondere der Nullfunktion) sind alle höheren Ableitung <math>f^{(n)}(z)=0</math> für alle <math>z</math> aus dem Definitionsbereich. Man wählt einfach einen Punkt <math> z_o</math> für die Nullfunktion <math>f</math> und erhält die Aussage für die n-ten Ableitungen an dem Punkt. === Beweis (N2) nach (N3) === Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> in <math>B_r(z_0)</math> mit <math>r > 0</math>. Es ist <math>a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = 0</math> für alle <math>n\in \mathbb N</math>. Also ist <math>f|_{B_r(z_0)} = 0</math>, es folgt (N3). === Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis === Zu dem Beweisschritt (N3) <math>\Rightarrow</math> (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und <math>f</math> nicht die Nullfunktion ist. === Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt === Gelte nun (N3), d.&thinsp;h. die Menge <math>N_f</math> der Nullstellen von <math>f</math> habe einen Häufungspunkt <math>z_0 \in U</math>. Es gebe also eine Folge <math>(z_n) \in U^{\mathbb N}</math> mit <math>z_n \to z_0</math> und <math>f(z_n) = 0</math> sowie <math>z_n \ne z_0</math>, für alle <math>n \in \mathbb N</math>. Sei nun <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> die Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math>. === Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung === Angenommen, es gäbe ein <math>n\in \mathbb N</math> mit <math>a_n \ne 0</math>, dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von <math>\mathbb{N}</math> auch ein kleinstes solches <math>n</math>. Es wäre <center><math> f(z) = (z-z_0)^n \sum_{k=0}^\infty a_{n+k}(z-z_0)^k, \qquad |z-z_0| < r, a_n \ne 0 </math></center> === Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung === Für jedes <math>i \in \mathbb N</math> wäre also <center><math> 0 = f(z_i) = (z_i-z_0)^n \sum_{k=0}^\infty a_{n+k}(z_i - z_0)^k </math></center> === Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess === Wegen <math>z_i \ne z_0</math> und <math>\displaystyle \lim_{i\to \infty} z_i = z_0</math> erhält man: <center><math> 0 = \sum_{k=0}^\infty a_{n+k} (z_i - z_0)^k \to a_n, \qquad i \to \infty </math></center> Da <math>a_{n+k} (z_i - z_0)^k \to 0</math> für alle <math>k > 0</math> für <math>i \to \infty </math>. Dies steht im Widerspruch zu <math>a_n \ne 0</math>. Also ist <math>a_n = 0</math> für alle <math>n \in \mathbb N</math> und damit <math>f^{(n)}(z_0)= 0</math> für alle <math>n\in \mathbb N</math>, d.&thinsp;h. (N2) gilt. === Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen === Gilt (N2), setze <math>V := \bigcap_{n\ge 0} \{ z \in U \, | \, f^{(n)}(z)=0\}</math>. <math>V</math> ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in <math>U</math>, da die <math>f^{(n)}</math> stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier <math>\{0\}</math>) wieder abgeschlossen sind. === Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen === <math>V</math> ist aber zugleich auch offen in <math>U</math>, da in jedem <math>w \in V</math> die Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> um <math>w</math> verschwindet, also ist <math>f</math> lokal um <math>w</math> gleich <math>0</math> ist. Wegen <math>z_0 \in V</math> ist <math>V</math> nichtleer und damit <math>V = U</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>. === Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3) === Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige <math>g:U \to \mathbb{C}</math> und <math>h:U \to \mathbb{C}</math>, wenn man (N1)-(N3) auf <math>f:=g-h</math> anwendet. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Satz von Casorati-Weierstraß]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Identity Theorem]]</noinclude> km8r353u5246h3xojp5f76keilnqben 0 99954 1114056 1111950 2026-09-02T13:26:31Z ~2026-47548-34 41860 /* (HK7) Wegintegrale 0 */ 1114056 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden die Punkte <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === (HK1) 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK2) beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. <span id="StammfunktionOrdnung"></span> === (HK5) Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. <span id="LokaleStammfunktionOrdnung"></span> === (HK6) Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. === (HK7) Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über jeden beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === (HK8) Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === (HK9) Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> 862k689e1rej582l3c6vm0c0uuj72y1 106 103137 1114076 1079434 2026-09-02T14:24:11Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisteil 2.2 - Abschätzungen */ 1114076 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das '''Lemma von Goursat''', manchmal auch als Satz von Goursat bezeichnet, ist ein Satz aus der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Das Lemma von Goursat ist eine Vorstufe des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Cauchyschen Integralsatzes]] und wird auch oft für dessen Beweis genutzt. Es spielt im Aufbau der Funktionentheorie eine wichtige Rolle. Bemerkenswert ist, dass das Lemma lediglich die [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexe]] [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] voraussetzt, nicht aber die [[w:de:Stetigkeit|stetige]] Differenzierbarkeit. Das Lemma wurde von [[w:de:Édouard Goursat|Édouard Goursat]] ([[w:de:1858|1858]]-[[w:de:1936|1936]]) in der Rechteckform bewiesen und [[w:de:1884|1884]] veröffentlicht. Die heute übliche Dreiecksform stammt von [[w:de:Alfred Pringsheim|Alfred Pringsheim]]. == Lemma von Goursat == Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} \subset U</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt: :<math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> === Voraussetzungen - Details === * (P1) Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge, * (P2) Seien <math>{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\in\mathbb{C}</math> drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck :<math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} := \left\{ \sum_{k=1}^{3} \lambda_{k} \cdot{z}_{k} \left| {\left({\sum_{{{k} {1}}}^{{3}}}\lambda_{{k}}={1}\right)} \wedge \forall_{k\in \{ 1,2,3\} } : \lambda_{k} \in [0,1] \right\}\right. \subset{U} </math> : definieren, * (P3) Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, * (P4) Sei <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}:{\left[{0},{3}\right]}\to\mathbb{C}</math> der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> mit Startpunkt <math>{z}_{{1}}</math>. === Behauptung === Für das Integral über den Rand des Dreiecks <math> \Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> (also über den Weg <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}</math> gilt dann die folgenden Behauptungen: * (C1) <math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> == Beweisidee == Der Beweis lässt sich in 4 Teile zerlegen: * '''(1) Dreieck:''' sukzessize Zerlegung eines gegebenen Dreiecks <math>\Delta^{(n)}</math> in 4 [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] Teildreiecke * '''(2) Auswahl Teildreieck:''' Auswahl eines von 4 Teildreieck <math>\Delta^{(n+1)}</math>, über dessen Rand das Integral betragsmäßig maximal wird. Abschätzung des Integrals nach oben gegen das Vierfache des Integrals über Rand von <math>\Delta^{(n+1)}</math>. * '''(3) Punkt im Schnitt aller Dreiecke''' Schnitt über alle Dreiecke <math>\Delta^{(n)}</math> enthält genau einen Punkt <math>z_o</math>. Darstellung der Funktion <math>f(z)</math> als Taylorsumme bis zur Ordnung 1 mit Restglied <math>r(z)</math>. * '''(4) Abschätzung des Integrals''' Durch die Abschätzung des Integrals nach oben und dem [[w:de:Sandwichtheorem|Sandwichtheorem]] erhält man die Behauptung (C1). == Beweis == [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg auf dem Dreiecksrand]] [[Datei:Lemma goursat2 seitenmitten m1m2m3.svg|mini|Aufteilung der äußeren Wegen und Einfügen von zusätzlichen Wegen zwischen den Seitenmitten, die sich durch die umgekehrte Richtung des Integrationsweges im Wegintegral als Summe 0 ergeben und somit das Gesamtintegral nicht verändern.]] [[Datei:Lemma goursat3 wege.svg|mini|Induktive Definition der Wege. Die Teildreieck sind [[w:de:Ähnlichkeit_(Geometrie)|ähnlich]] zum Ausgangsdreieck. Durch die Verwendung der Seitenmitten halbiert sich jeweils der Umfang von einem Dreieck <math>\Delta^{(n)}</math> zu <math>\Delta^{(n+1)}</math> ]] In dem Beweis definiert man wird eine Folge von [[Integrationsweg|Wegen]] über den Rand von Dreieicken rekursiv <math>\gamma^{(n)} := {\left\langle z_{1}^{(n)} , z_{2}^{(n)} , z_{3}^{(n)} \right\rangle}</math>. Bei jedem Iterationsschritt geht man zu ähnlichen Dreiecken mit halber Weglänge über. === Beweisteil 1: Definition der Dreieckswege === Man startet bei der induktiven Definition der Dreieckswege mit dem [[Integrationsweg]] über den Rand des gegebenen Ausgangsdreieck aus dem Lemma. D.h. für <math>{n}={0}</math> sei der geschlossene Dreiecksweg <math>\gamma^{(0)} : [0,3] \to \mathbb{C}</math> wie folgt definiert: :<math> \gamma^{(0)}(t) := \left\langle z_1 ,z_2 ,z_3 \right\rangle (t) := \begin{cases} (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 & \text{ wenn } t \in [0,1] \\ (2-t)\cdot z_2 + (t-1) \cdot z_3 & \text{ wenn } t \in (1,2] \\ (3-t)\cdot z_3 + (t-2) \cdot z_1 & \text{ wenn } t \in (2,3] \\ \end{cases} </math> ==== Beweisteil 1.1: Seitenmitten für das Dreieck ==== Bei eine induktiven Definition der Dreiecksweg sei nun <math>\gamma^{(n)}</math> bereits definiert. Wir definieren nun <math>\gamma^{(n+1)}</math>. Dabei werden die Seitenmitten des Dreiecks verwendet, um die Teildreiecke zu definieren. <math>\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{2}^{(n)} }}{{2}}</math> in der folgenden Definition die Seitenmitten zwischen den Punkten <math>z_{1}^{(n)}</math> und <math>z_{2}^{(n)}</math>. ==== Beweisteil 1.2: Definition Dreieck 1==== Definition: Dreiecksweg <math>{\gamma_{1}^{(n)}} := {\left\langle\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{2}^{(n)} }}{{2}}, z_{2}^{(n)} ,\frac{{ z_{2}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}\right\rangle}</math>, ==== Beweisteil 1.3: Definition Dreieck 2==== Definition: Dreiecksweg <math>{\gamma_{2}^{(n)}} := {\left\langle\frac{{ z_{2}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}, z_{3}^{(n)} ,\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}\right\rangle}</math>, ==== Beweisteil 1.4: Definition Dreieck 3==== Definition: Dreiecksweg <math>{\gamma_{3}^{(n)}} := {\left\langle\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}, z_{1}^{(n)} , \frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{2}^{(n)} }}{{2}}\right\rangle}</math>, ==== Beweisteil 1.5: Definition Dreieck 4==== Definition des vierten (rot markierten) Dreieckswege beinhaltet hat als inneres Dreick die 3 Seitenmitten als Eckpunkte :<math>{\gamma_{4}^{(n)}} := {\left\langle\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{2}^{(n)} }}{{2}},\frac{{ z_{2}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}},\frac{{ z_{1}^{(n)} + z_{3}^{(n)} }}{{2}}\right\rangle}</math> ==== Beweisteil 1.6: Betragsmäßige Abschätzung der Integrale über Teildreiecke ==== Vergleicht man den Betrag der Integrale über die 4 Dreieckswege, so gibt es einen Index <math>{i}\in{\left\lbrace{1},{2},{3},{4}\right\rbrace}</math> des Absolutwert des Integrals am größten ist. Für diesen Index <math>i</math> gilt dann: :<math>\forall_{{{k}\in{\left\lbrace{1},{2},{3},{4}\right\rbrace}}}:{\left|\int_{{{\gamma_{{k}}^{(n)}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}\le{\left|\int_{{{\gamma_{{i}}^{(n)}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|}</math> ==== Beweisteil 1.7: Definition des n+1-ten Dreiecksweges ==== Wenn <math>i</math> Index ist, bei dem das betragsmäßige Integral am größten ist, so definitiert man in der induktiven Definition nun den nächsten Dreiecksweg über: <math>\gamma^{{{\left({n}+{1}\right)}}} := {\gamma_{{i}}^{(n)}}</math> === Beweisteil 2: Abschätzungen === In dem folgenden Beweisteil wird der Betrag des Integrals über den Dreiecksrand gegen das betragsmäßig größte Integral der 4 oben definierten Teildreiecke abgeschätzt. ==== Beweisteil 2.1 - Abschätzungen ==== Da das rote Dreieck in der obigen Abbildung für die die ergänzten grün markierten Integrationswege jeweil einen Integrationsweg mit umgekehrter Richtung liefert, ändert sich der Gesamtwert des Integral über <math>f</math> durch das Hinzufügen der Wege nicht. Dies formuliert die folgende Gleichung, wobei die Summe die Integration über die 4 Teildreiecke darstellt: : <math> \int_{\gamma^{(n)}} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{4} \int_{\gamma_{k}^{(n)}} f(z) \, dz</math> ==== Beweisteil 2.2 - Abschätzungen ==== Durch Anwendung der Dreiecksungleichung kann man den Betrag des Integral nach oben gegen die Summe der Beträge der Integrale über die 4 Einzeldreiecke abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} {\left|\int_{{\gamma^{{(n)}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} & = & \left|{\displaystyle \sum_{{{k}={1}}}^{{4}}}\int_{{{\gamma_{{k}}^{(n)}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right| \\ & \leq & 4 \cdot \left|\int_{{{\gamma_{{i}}^{(n)}}}} {f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right| = 4 \cdot \left|\int_{{{\gamma^{(n+1)}}}} {f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|, \\ \end{array} </math> wobei der Weg <math>\gamma_{{i}}^{(n)} = \gamma^{(n+1)}</math> der Integrationsweg über dem Dreiecksrand mit dem maximalen betragsmäßigen Integral ist. ==== Beweisteil 2.3 - Abschätzungen ==== Diese Abschätzung gilt für alle <math>{n}\in\mathbb{N}</math> Interationsschritte, kann man auch wieder das Integral über <math>\left|\int_{\gamma^{(n+1)}} {f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|</math> mit der gleichen geometrischen Grundidee immer weiter nach oben abschätzen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & = & {\left|\int_{\gamma^{(0)}} f(z) {\left.{d}{z}\right.}\right|} \le 4 \cdot{\left|\int_{{\gamma^{{{\left({1}\right)}}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} \\ & \leq & \ldots \\ & \leq & {4}^{n-1}\cdot \left|\int_{\gamma^{(n-1)}} f(z) \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} f(z) \, dz \right| \\ \end{array} </math> === Beweisteil 3: Durchmesser der Teildreiecke === Durch die oben definierte geschachtelte Definition der Teildreiecke gilt für alle <math>{n}\in\mathbb{N}</math> die Teilmengenbeziehung <math>\Delta{\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}\supset\Delta{\left({{z}_{1}^{{{\left({n}+{1}\right)}}}},{{z}_{2}^{{{\left({n}+{1}\right)}}}},{{z}_{3}^{{{\left({n}+{1}\right)}}}}\right)}</math>, wobei der Durchmesser (engl. "diameter") der Teildreiecke für wachsende <math>n</math> gegen 0 geht: : <math>\lim_{n\to\infty} \, \text{diam} \left(\Delta{\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}\right) = 0 </math> ==== Beweisteil 3.1: Schnitt über alle Teildreiecke ==== Der Schnitt über alle Teildreiecke enthält mit den obigen Eigenschaften einen einzelnen Punkt <math>z_o</math>, der in allen Teildreiecken enthalten ist, d.h. :<math>\exists_{{{z}_{{0}}\in{U}}}\forall_{{{n}\in\mathbb{N}}}:{z}_{{0}}\in\Delta^{(n)} := \Delta{\left({{z}_{1}^{(n)}},{{z}_{2}^{(n)}},{{z}_{3}^{(n)}}\right)}</math> und es gilt :<math>{\left\lbrace{z}_{{0}}\right\rbrace}=\bigcap_{{{n}\in\mathbb{N}}}\Delta^{(n)}</math> === Beweisteil 4: Holomorphie verwenden (P3) === Durch die Holomorphie von <math>f</math> auf <math>U</math> lässt sich <math>f</math> durch eine [[w:de:Taylorsumme|Taylorsumme]] bis zu Ordnung 1 in <math>z_0 \in U </math> mit einem Restglied <math>r(z)</math> entwickeln : <math>f(z) := f(z_0) +f'(z_0) \cdot ( z - z_0 ) + r(z),</math> wobei das Restglied <math>r</math> die Eigenschaft <math>\lim_{z \to z_0} \frac{r(z)}{z - z_0} = 0 </math> und <math> r(z_o) = 0 </math> erfüllt - Begründung (P3) ==== Beweisteil 4.1: Zerlegung von f in zwei Funktionen ==== Die Funktion <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> lässt damit in ein Polynom vom Grad 1 <math>{h}:{U}\to\mathbb{C}</math> mit <math>h(z) := f(z_0) +f'(z_0) \cdot ( z - z_0 )</math> und ein Restglied <math>r(z)</math> zerlegen. Da die Funktion <math>h</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>H(z) := f(z_0) +f'(z_0) \cdot \frac{1}{2}\cdot (z - z_0)^2 </math> besitzt, ist das Wegintegral über geschlossene Weg 0 - Begründung: (SF). Das Wegintegral über <math>\gamma^{(n)}</math> der Funktion <math>{h}:{U}\to\mathbb{C}</math> ist damit <math> \int_{\gamma^{(n)}} h(z) \, dz = 0 </math> ==== Beweisteil 4.2: Zerlegung von f in zwei Funktionen ==== Durch Anwendung der Linearität des Integral für die Zerlegung erhält man für Wegintegral über geschlossene Wege <math>\gamma^{(n)}</math> der Funktion <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> gilt <math>\int_{\gamma^{(n)}} f(z) \, dz = \underbrace{\int_{\gamma^{(n)}} h(z) \, dz}_{=0} + \int_{\gamma^{(n)}} r(z) \, dz = \int_{\gamma^{(n)}} {r}{\left({z}\right)}{\left.{d}{z}\right.}</math> === Beweisteil 4: Abschätzung des Restglieds r(z) === Definiert man nun <math>g(z):=\frac{r(z)}{ z - z_0 }</math> für <math>z\not= z_o</math> und <math>g(z_o):=0</math>, so liefert die Eigenschaft <math>\lim_{z \to z_0} \frac{r(z)}{ z - z_0 }= 0 </math> die Stetigkeit von <math>g</math> in <math>z_0</math>. Für <math>z_o</math> wendet man nun das Epsilon-Delta-Kriterium an. ==== Beweisteil 4.1: Epsilon-Delta-Kriterium ==== Für alle <math>\epsilon>{0}</math> gibt es also ein <math>\delta>{0}</math> mit <math> z\not= z_o </math>: : <math> | z - z_0 | < \delta \ \Longrightarrow \ |g(z) - \underbrace{g(z_o)}_{=0} | = \left| \frac{ r(z) }{ z - z_0 } \right| < \epsilon</math> ==== Beweisteil 4.2: Epsilon-Delta-Kriterium ==== Für alle <math>\epsilon>{0}</math> gibt es ein <math>\delta > 0</math>: :<math>| z - z_0 | < \delta\Rightarrow | r(z) | < \epsilon \cdot | z - z_0 |</math> Da das <math>z</math> für wachsende <math>n</math> immer auf dem Dreiecksrand von <math>\Delta_n</math> und der Durchmesser der Dreiecke gegen 0 geht, muss sich <math>z</math> für wachsenden <math>n</math> gegen <math>z_o</math> konvergieren. ==== Beweisteil 4.3: Anwendung in der Abschätzung ==== Die Abschätzung aus 4.2 wird nun auf die Abschätzung des Restgliedes <math>r(z)</math> angewendet und man erhält: :<math> \left| \int_{ \gamma^{(n)} } f(z)\, dz \right| = \left| \int_{ \gamma^{(n)} } r(z) \, dz \right| \leq \left| \varepsilon \cdot \int_{ \gamma^{(n)} } |z-z_o| \, dz \right| </math> Dabei wählt man das <math>n \geq n_\delta </math>, wobei man aus der Bedingung <math>\lim_{n\to\infty}\text{diam} \left( \Delta^{(n)} \right) = 0</math> und <math>z \in \Delta^{(n)} </math> für alle <math>\epsilon > 0</math> ein <math>n_{\delta} \in\mathbb{N}</math> mit <math>\Delta^{(n)}\subseteq {D}_{\delta}(z_0)</math> für alle <math>n > n_{\delta}</math>. ==== Bemerkung 4.4: Anwendung in der Abschätzung ==== Wenn also der Durchmesser der Dreiecke gegen 0 geht, muss ab einer Indexschranke <math>n_\delta</math> das Dreieck <math>\Delta^{(n)}</math> ganz in der offenen Kreisschreibe <math>{D}_{\delta}(z_0)</math> mit dem Radius <math>\delta > 0 </math> um <math>z_o</math> liegen. ==== Beweisteil 4.5: Anwendung in der Abschätzung ==== Wenn man nun diese Abschätzung auf das Ausgangsintegral und das Dreieck <math>\Delta^{(0)}</math> an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & = & {\left|\int_{\gamma^{(0)}} f(z) {\left.{d}{z}\right.}\right|} \le 4 \cdot{\left|\int_{{\gamma^{{{\left({1}\right)}}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} \\ & \leq & \ldots \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} r(z) \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} |z-z_o| \, dz \right| \\ \end{array} </math> ==== Beweisteil 4.6: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== <math> z </math> ist in dem obigen Integral ein Punkt auf dem Rand des Dreiecks <math> \Delta^{(n)}</math> und <math> z_o</math> ist ein innerer Punkt des Dreiecks <math> \Delta^{(n)}</math>. Abstand <math>|z-z_o|</math> zwischen einem Randpunkt <math>z</math> und einem inneren Punkt <math>z_o</math> des Dreiecks ist damit kleiner als die Länge <math>\mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right)</math> des Intergrationswege <math> \gamma^{(n)} </math>. ==== Beweisteil 4.7: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & = & {\left|\int_{\gamma^{(0)}} f(z) {\left.{d}{z}\right.}\right|} \le 4 \cdot{\left|\int_{{\gamma^{{{\left({1}\right)}}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} \\ & \leq & \ldots \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} |z-z_o| \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) \, dz \right| \\ \end{array} </math> ==== Beweisteil 4.8: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== Da sich mit jeder weiteren Zerlegung des Dreiecks <math>\Delta^{(n)}</math> in <math>\Delta^{(n+1)}</math> die Länge des Integrationswege von <math> \gamma^{(n-1)} </math> zu <math> \gamma^{(n)} </math> halbiert, erhält :<math>| z - z_0 | < \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) = \frac{1}{2^n} \cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) </math> für alle <math> n \in\mathbb{N}</math> und alle <math> z \in \Delta^{(n)}</math> Begründung: Der Faktor <math>\frac{1}{2^n}</math> entsteht durch die fortgesetzte Halbierung der Seiten der Dreiecke <math>\Delta^{(n)}</math> ==== Beweisteil 4.9: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & = & {\left|\int_{\gamma^{(0)}} f(z) {\left.{d}{z}\right.}\right|} \le 4 \cdot{\left|\int_{{\gamma^{{{\left({1}\right)}}}}}{f{{\left({z}\right)}}}{\left.{d}{z}\right.}\right|} \\ & \leq & \ldots \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) \cdot \underbrace{\left| \int_{\gamma^{(n)}} 1 \, dz \right|}_{\leq \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) } \\ & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) \cdot \underbrace{\mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right)}_{\leq \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) } \\ \end{array} </math> ==== Beweisteil 4.10: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== Die Abschätzung von der zweiten zur dritten Zeile erfolgt mit der unten angegebenen Begründung für da Wegintegral [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)#IAL|(IAL)]]. :<math> \begin{array}{rcl} 0 \le{\left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right|} & \leq & {4}^{n}\cdot \varepsilon \cdot \left|\int_{\gamma^{(n)}} \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) \, dz \right| \\ & \leq & {4}^{n}\varepsilon \cdot \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) \cdot \underbrace{\left| \int_{\gamma^{(n)}} 1 \, dz \right|}_{\leq \mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right) } \\ & \leq & {4}^{n}\varepsilon \cdot \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) \cdot \underbrace{\mathcal{L} \left(\gamma^{(n)}\right)}_{\leq \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) } \\ & \leq & \varepsilon \cdot \mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right)^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisteil 4.11: Abschätzung gegen die Länge des Weges ==== Da <math>\mathcal{L} \left(\gamma^{(0)}\right) </math> eine Konstante ist und die Aussage 4.10 für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, muss Betrag <math> \left|\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}\right| = 0</math> gelten. Damit gilt auch <math> \int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z} = 0</math> und es folgt die Behauptung des [[Lemma von Goursat|Lemmas von Goursat]]. == Abkürzungen für Begründungen == * <span id="DU"></span>(DU) <math>\forall_{a,b \in\mathbb{C}} : | a+b | \leq |a| + |b| </math> <!-- * (DG) <math>\forall_{a,b,c \in\mathbb{M}} : a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c </math> * (AG<math>+</math>) <math>\forall_{a,b,c \in\mathbb{M}} : a+ (b + c) = (a + b) + c </math> * (AG<math>\cdot</math>) <math>\forall_{a,b,c \in\mathbb{M}} : a\cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c </math> --> * <span id="DI"></span>(DI) Definition: Sei <math> M\subset{C}</math> eine Menge <math>\text{diam}(M) :=\text{sup} \lbrace |b-a| \, :\, a,b \in M \rbrace </math> * <span id="WE"></span>(WE) Definition (Weg): Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine Teilmenge und <math> a,b \in\mathbb{R}</math> mit <math>a < b </math>. Ein Weg <math>\gamma</math> in <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ist eine stetige Abbildung <math>\gamma: [a,b] \to U </math>. * <span id="SPU"></span>(SPU) Definition (Spur): Sei <math>\gamma: [a,b] \to U</math> eine Weg in <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math>. Die Spur von <math>\gamma</math> ist definiert als: <math>\text{Spur}(\gamma) := \lbrace \gamma(t)\in\mathbb{C} \, {\mid} \, t \in [a,b] \rbrace </math>. * <span id="WZ"></span>(WZ) Definition (wegzusammenhängend): Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine Teilmenge. <math>{U}</math> heißt wegzusammenhängend, wenn es zu beliebigen Punkt <math> z_1 , z_2 \in U </math> einen Weg <math>\gamma:[a,b] \to U</math> in <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> gibt, mit <math> \gamma(a) = z_1 </math>, <math>\gamma(b) = z_2 </math> und <math>\text{Spur}(\gamma) \subseteq U</math>. * <span id="GE"></span>(GE) Definition (Gebiet): Eine Teilmenge <math>{G}\subseteq\mathbb{C}</math> heißt Gebiet, wenn (1) <math>{G}</math> offen, (2) <math>{G}\ne\emptyset</math> und (3) <math>{G}</math> wegzusammenhängend ist. * (WG1) Definition (Weg glatt): Ein Weg <math>\gamma: [a,b] \to\mathbb{C}</math> heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist. * <span id="UT"></span>(UT) Definition (Unterteilung): Sei <math>[a,b]</math> ein Intervall, <math>n \in\mathbb{N}</math> und <math>{a}={u}_{{0}} < {\ldots} < {{u}}_{n}={b}</math>. <math>{\left({u}_{{0}},\ldots,{u}_{{{n}}}\right)}\in\mathbb{R}^{n+1}</math> heißt dann Unterteilung von <math>{\left[{a},{b}\right]}</math>. * <span id="WG2"></span>(WG2) Definition (Wegunterteilung): Sei <math>\gamma: [a,b] \to\mathbb{C}</math> ein Weg in <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math>, <math>{n}\in\mathbb{N}</math>, <math>{\left({u}_{{0}},\ldots,{u}_{{{n}}}\right)}</math> eine Unterteilung von <math>[a,b]</math>, <math>\gamma_{{k}}:{\left[{u}_{{{k}-{1}}},{u}_{{k}}\right]}\to\mathbb{C}</math> für alle <math>{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}</math> ein Weg in <math>{U}</math>. <math>{\left(\gamma_{{{1}}},\ldots,\gamma_{{{n}}}\right)}</math> heißt Wegunterteilung von <math>\gamma</math>, wenn gilt <math>\gamma_{{n}}{\left({b}\right)}=\gamma{\left({b}\right)}</math> und <math>\forall_{{{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}}}\forall_{{{t}\in{\left[{u}_{{{k}-{1}}},{u}_{{k}}\right)}}}:\gamma_{{k}}{\left({t}\right)}=\gamma{\left({t}\right)}\wedge\gamma_{{k}}{\left({u}_{{{k}-{1}}}\right)}=\gamma_{{{k}-{1}}}{\left({u}_{{k}}\right)}</math>. * <span id="WG3"></span>(WG3) Definition (Integrationsweg/Weg stückweise glatt): Ein Weg <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{C}</math> heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung <math>{\left(\gamma_{{1}},\ldots\gamma_{{n}}\right)}</math> aus glatten Wegen <math>\gamma_{{k}}</math> für alle <math>{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}</math> existiert. * <span id="WG4"></span>(WG4) Definition (Wegintegral): Sei <math>f : U \to\mathbb{C}</math> eine stetige Funktion und <math>\gamma: [a,b] \to U </math> ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: <math>\int_{\gamma} f := \int_{\gamma} f(z) \, dz := \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot\gamma'(t)\, dt </math>. Ist <math>\gamma</math> nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung <math>( \gamma_1 ,\ldots,\gamma_n ) </math>, dann definiert man <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz :=\sum_{k=1}^{n} \int_{\gamma_k} f(z) \, dz</math>. * <span id="SF"></span>(SF) Satz (Stammfunktion mit geschlossenen Wegen): Besitzt eine stetige Funktion <math>f : U \to\mathbb{C}</math> eine Stammfunktion <math>F : U \to\mathbb{C}</math>, dann gilt für den stückweise glatten Weg <math>\gamma: [a,b] \to U</math>, dass <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz =F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))</math> gilt. * <span id="LIW"></span>(LIW) Länge des Integrationsweges: Sei <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{C}</math> ein glatter Weg, dann ist die <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> wie folgt definiert :: <math>\mathcal{L}(\gamma) := \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math>. : Ist <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{C}</math> allgemein ein Integrationsweg mit der Wegunterteilung <math>{\left(\gamma_{{1}},\ldots\gamma_{{n}}\right)}</math> aus glatten Wegen <math>\gamma_{{k}}</math>, so ist <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> als Summe der Länge der glatten Wege <math>\gamma_{{k}}</math> definiert, also: :: <math>\mathcal{L}(\gamma) := \sum_{k=1}^{n} \mathcal{L}(\gamma_{k})</math> * <span id="IAL"></span>(IAL) Integralabschätzung über die Länge des Integrationsweges: <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{G}</math> ein Integrationsweg auf dem Gebiet <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann gilt für eine auf <math>\text{Spur}(\gamma)</math> stetigen Funktion folgende Abschätzung: ::<math>\left| \int_{\gamma} f(z) \, dz \right| \leq \max_{z \in \text{Spur}(\gamma)} |f(z)| \cdot \mathcal{L}(\gamma)</math> == Aufgabe 1 == Gegeben sind die Punkte <math>z_1= 1-i</math>, <math>z_2= i</math> und <math>z_3= -1-i</math>. * Stellen Sie den Gesamtweg <math>\gamma:[0,3] \to \mathbb{C} </math> über den Dreiecksrand als Integral von drei Wegen <math>\gamma_k:[0,1] \to \mathbb{C} </math> mit <math>k\in\{1,2,3\} </math> jeweils als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] dar. * Berechnen Sie die einzelnen Wegintegrale :: <math>\int_{\gamma_k} e^z \, dz </math> * Berechnen Sie mit <math>\gamma = \sum_{k=1}^3 \gamma_k</math> das gesamte Integral :: <math> \int_{\gamma} e^z \, dz = \sum_{k=1}^3 \int_{\gamma_k} e^z \, dz </math> == Aufgabe 2 == Gegeben sind die Punkte <math>z_1= 1-i</math>, <math>z_2= i</math> und <math>z_3= -1-i</math>. * Betrachten Sie <math>\gamma_1: [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math>. * Berechnen Sie die Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>(f\circ \gamma_1) \cdot \gamma_1' </math>. * Berechnen Sie das Integral von <math> \int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_1(t)} \cdot \gamma_1'(t) \, dt </math> == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat]] - Kurzform * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] - Erweiterung * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Korollar mit Ausnahme eines Punktes]] - Erweiterung für Wegintegration auf Kreisrändern * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz (Geometrie)]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|Wegintegral für stetige Funktion mit Stammfunktion]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Goursat, Lemma von]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma%20von%20Goursat Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma%20von%20Goursat Lemma von Goursat] https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma%20von%20Goursat * Datum: 14.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Complex Analysis/Goursat's Lemma (Details)]]</noinclude> 8xizdyyq92cni1c2t7j3we3l8b6mw5d 106 103350 1114084 1079214 2026-09-02T15:34:22Z ~2026-47548-34 41860 /* Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben */ 1114084 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac {f(\xi)} {\xi-z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. <span id="CIF"></span> == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>): :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]]. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit <math>h'</math> die Nullfunktion und damit muss <math>h</math> konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Umlaufzahl]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> l8d3teaihmhgl06p83g06ldtjcdtpt6 1114085 1114084 2026-09-02T15:35:56Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion */ 1114085 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac {f(\xi)} {\xi-z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. <span id="CIF"></span> == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>): :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math>. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit <math>h'</math> die Nullfunktion und damit muss <math>h</math> konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Umlaufzahl]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> ta4h10g7nm0bpgql7w19yezh2dcmhqh 1114086 1114085 2026-09-02T15:36:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung */ 1114086 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac {f(\xi)} {\xi-z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. <span id="CIF"></span> == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>): :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math>. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit ist <math>h'</math> die Nullfunktion und damit muss <math>h</math> konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Umlaufzahl]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> 6jgynmofxfm2perpqgck9jk70gpwvby 1114087 1114086 2026-09-02T15:36:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung */ 1114087 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac {f(\xi)} {\xi-z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. <span id="CIF"></span> == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>): :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math>. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit ist <math>h'</math> die Nullfunktion und <math>h</math> muss konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Umlaufzahl]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> ivmh32u3z58l3out0txe60rk61khpml 4 141067 1114133 1113664 2026-09-03T04:39:41Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1114133 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. 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Die Mitarbeiter nicken begeistert – bis einer einschläft und sein Kopf auf die Hupe der Büroweihnachtsdeko fällt: Tuuut! Die Präsentation endet abrupt. Ein Bäckermeister erklärt seinen Kunden in einem Video: „Unsere Brötchen sind knusprig, vegan, regional, glutenfrei, nachhaltig und esoterisch aufgeladen!“ Ein Kunde ruft: „Also... was sind sie jetzt?“ Der Bäcker überlegt – und weint. Ein junger Social-Media-Manager ruft auf einer Seniorenmesse: „Yo, holt euch diese freshe Rentenversicherung, Bros!“ Eine Oma zeigt ihm ihren Gehstock. Er flüchtet. Der Praktikant schickt eine E-Mail an den Vorstand: „Hey Leute, hoffe, alles fresh! Hier die Zahlen, glaub ich... Ciao Kakao!“ Der Vorstand antwortet nicht. Stattdessen taucht der Praktikant am nächsten Morgen ohne Firmen-Account auf. Ein Plakat für ein neues Fitnessstudio hat gelbe Schrift auf weißem Hintergrund: „Komm rein, werde stark!“ Niemand kann es lesen. Ein Passant fragt: „Was ist das?“ Ein anderer murmelt: „Ein Rorschach-Test?“ Ein Tante-Emma-Laden wirbt mit: „Wir liefern schneller als Amazon – per Fahrrad!“ Am nächsten Tag klingelt Emma völlig außer Atem beim Kunden, der fünf Dörfer weiter wohnt. „Hier... ist... Ihre Bestellung!“ Der Kunde fragt: „Das Brötchen?“ Ein Plakat wirbt für ein „Mega-Festival mit Stars!“. Die Besucher finden eine Turnhalle mit einem Alleinunterhalter, der auf der Blockflöte „Atemlos“ spielt. Ein Kind weint. Eine Jugendmarke schaltet eine Anzeige in der Kirchenzeitung: „Unser neuer Sneaker ist lit!“ Eine ältere Dame liest laut vor: „Was bedeutet *lit*? Und warum braucht der Herr Jesus neue Schuhe?“ Ein Restaurant wirbt in Japan mit einem Daumen-hoch-Smiley. Der Chef wundert sich, warum die Gäste ausbleiben. Schließlich erklärt ihm jemand: „Das heißt hier: ‚Loser‘.“ Der Chef wechselt das Plakat – und serviert danach nur noch Sushi-Burger. Eine Webseite bewirbt Ferienhäuser mit Pop-ups, blinkenden Bannern und einer animierten Krabbe, die schreit: „Klick mich!“ Der Nutzer klickt… und sein Computer gibt auf. Ein Klempnermeister bewirbt seine Dienste per Rauchzeichen. Nachbarn rufen die Feuerwehr – aber nicht den Klempner.--> Vorbereitung auf folgende Inhalte: [[:w:alpha-Lernen|alpha-Lernen]] zum Thema ''Kommunikation'' durcharbeiten. = [[:w:Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Sender-Empfänger-Modell nach Shannon und Weaver.jpg|400px| ]] | typ="[]" } | Sender | Kanal | Empfänger +-- codiert -+- verzerrt --+ decodiert { Ergänze: '''Botschaft''', '''Dekodierung''', '''Feedback''', '''Kanal''', '''Kodierung''', '''Sender'''. | type="{}" } { Sender } = Die Person oder Entität, die eine Botschaft sendet. { Botschaft } = Die Information oder Mitteilung, die der Sender dem Empfänger übermitteln möchte. { Kodierung } = Der Prozess, bei dem der Sender die Botschaft in ein für die Übertragung geeignetes Format umwandelt, z. B. in Worte, Bilder oder Gesten. { Kanal } = Das Medium oder der Weg, über den die Botschaft übertragen wird, z. B. gesprochene Sprache, Textnachrichten oder E-Mails. { Dekodierung } = Der Prozess, bei dem der Empfänger die empfangene Botschaft interpretiert und versucht zu verstehen, was der Sender mitteilen möchte. { Feedback } = Die Reaktion oder Antwort des Empfängers auf die Botschaft, die dem Sender Informationen darüber gibt, wie gut die Botschaft verstanden wurde. { Ergänze '''bedeuten''', '''Emotionen''', '''Kommunikationsmittel''', '''Kultur''', '''Rückmeldung''', '''Sprachen''', '''stören''', '''unklar''', '''Vorurteile''', '''Wissen'''. | type="{}" } Wörter oder Symbole { bedeuten } für Sender anderes als für Empfänger. Sender und Empfänger sprechen verschiedene { Sprachen }. Gesten, Symbole und Verhaltensweisen bedeuten je nach { Kultur } etwas anderes. Lärm und Ablenkung { stören } die Kommunikation. Sender und Empfänger haben { Emotionen|Vorurteile }. Sender formulieren ihre Botschaft { unklar } oder mehrdeutig. { Emotionen|Vorurteile } beeinflussen, wie Nachrichten interpretiert werden. Wenn Sender und Empfänger gemeinsames { Wissen } oder gemeinsame Erfahrungen teilen, verstehen sie sich besser. Empfänger zeigen mit einer { Rückmeldung }, ob sie Botschaften richtig verstanden haben. { Kommunikationsmittel } (zum Beispiel schriftliche Nachrichten, persönliche Gespräche oder visuelle Kommunikation) werden bewusst gewählt. </quiz> = [[:w:Paul_Watzlawick#Axiome_der_Theorie|Watzlawick-Axiome]] = <quiz display="simple"> { Welches Watzlawick-Axiom passt? | typ="[]" } | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 -+--- Jede Nachricht hat einen '''Inhalt'''s- und einen '''Beziehung'''saspekt ----+ Kommuniziert wird '''symmetrisch''' (auf Augenhöhe) oder '''komplementär''' (von Hierarchie bestimmt) --+-- Kommunikation besteht aus '''Aktion''' (Ursache) und '''Reaktion''' (Wirkung) +---- Man kann '''nicht nicht''' kommunizieren ---+- Kommuniziert wird '''analog''' (nonverbal) und '''digital''' (Wörter, Symbole) </quiz> = [[:w:Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]] = <quiz display="simple"> { [[Bild:Vier-Seiten-Modell de 2.svg|400px| ]] | typ="[]" } | Sachinhalt | Selbstkundgabe | Beziehungshinweis | Appell ---+ Was soll die Empfängerin tun? --+- Was hält die Senderin von der Empfängerin? -+-- Was gibt die Senderin von sich preis? +--- Worüber wird informiert? </quiz> = Missverständnisse = <quiz display="simple"> { '''Um Störungen und Missverständnisse in der Kommunikation zu vermeiden, gibt es einige bewährte Praktiken.''' Ergänze: aktiv, Diversität, Emotionen, Feedback, Fragen, kanal, klar, korrekt, Mehrdeutigkeiten, schriftlich, Zielgruppe. | type="{}" } - Formulieren Sie Ihre Botschaften so '''{ klar } und präzise''' wie möglich. Vermeiden Sie { Mehrdeutigkeiten } und vage Ausdrücke. - Als Empfänger ist es wichtig, '''{ aktiv } zuzuhören''' und sicherzustellen, dass Sie die Botschaft des Senders { korrekt } verstanden haben. Stellen Sie { Fragen }, um Unklarheiten zu beseitigen. - Wählen Sie den '''Kommunikations{ kanal }''', der am besten zur Botschaft und zum Zweck passt. Manche Informationen sind besser { schriftlich }, während andere mündlich übermittelt werden sollten. - Denken Sie daran, wer Ihre '''{ Zielgruppe }''' ist, und passen Sie Ihre Kommunikation an deren Bedürfnisse und Vorkenntnisse an. - Als Sender sollten Sie aktiv '''{ Feedback }''' von Ihrem Empfänger einholen, um sicherzustellen, dass die Botschaft angekommen ist und verstanden wurde. - Beachten Sie '''kulturelle Unterschiede und { Diversität }''', die die Interpretation von Botschaften beeinflussen können. - Berücksichtigen Sie die '''{ Emotionen } und Gefühle''' der Empfänger Ihrer Nachricht, da sie die Kommunikation stark beeinflussen können. </quiz> <!--= Beispiel 1 = <quiz display="simple"> { Herr Müller: „Herr Meier, schön, dass Sie es heute pünktlich geschafft haben. Das ist ja eine Seltenheit.“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell +--- Du kommst normalerweise zu spät. -+-- Ich bin genervt und sehe dich als unzuverlässig. --+- Ich bin verärgert. ---+ Sei öfter pünktlich! { Herr Meier: „Ja, das hängt mit meinem neuen Wecker zusammen. Er funktioniert nicht richtig.“ | typ="[]" } | Appell | Beziehung | Inhalt | Selbstoffenbarung --+- Mein Wecker funktioniert nicht. -+-- Du verstehst bestimmt, dass ich nichts dafür kann. ---+ Ich habe meine Pünktlichkeit nicht unter Kontrolle. +--- Bitte hab Verständnis. { Herr Müller: „Das interessiert mich nicht, das ist doch Ihre Verantwortung! Sie müssen halt früher aufstehen!“ | typ="[]" } | Erstes Axiom | Zweites Axiom +- Der genervte Tonfall übermittelt Ablehnung, unabhängig vom Inhalt. -+ Die schlechte Beziehung dominiert das Gespräch, der Inhalt wird überdeckt. { Herr Meier: „Na toll, das ist ja typisch. Immer kriege ich den Ärger ab, egal was passiert.“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell ---+ Sei verständnisvoller. --+- Ich fühle mich missverstanden und ungerecht behandelt. -+-- Du behandelst mich unfair. +--- Ich bin frustriert. { Herr Müller: „Das ist Ihre Einstellung! Wenn Sie so weitermachen, können Sie sich gleich einen neuen Job suchen.“ | typ="[]" } | Drittes Axiom | Viertes Axiom -+ „Kommunikation ist Ursache und Wirkung“ – Der Vorwurf verstärkt die negative Stimmung, was Herrn Meier noch defensiver macht. +- „Menschliche Kommunikation bedient sich analoger und digitaler Modalitäten“ – Herr Müllers Worte (digital) sind hart, sein Tonfall (analog) zeigt starke Abneigung.) { Herr Meier (sarkastisch): „Ja klar, ich werde sofort kündigen und der Firma einen Gefallen tun.“ | typ="[]" } | Fünftes Axiom | Sechtes Axiom +- „Zwischenmenschliche Kommunikation ist symmetrisch oder komplementär“ – Die Beziehung kippt in einen destruktiven, symmetrischen Wettstreit um Macht und Schuld.) -+ Es gibt kein sechstes Axiom von Watzlawick. Es gibt nur fünf Axiome von Watzlawick. { Herr Müller: „Wissen Sie was? Wir brechen dieses Gespräch hier ab. Ich habe echt genug!“ | typ="[]" } | Inhalt | Beziehung | Selbstoffenbarung | Appell ---+ Geh mir aus dem Weg! -+-- Ich habe keine Lust mehr, mit dir zu reden. --+- Ich bin überfordert und frustriert. +--- Das Gespräch ist zu Ende. </quiz> * Inhaltsaspekt (Schulz von Thun): Beide Parteien reden aneinander vorbei, da der Inhaltsaspekt durch die Beziehungsebene verzerrt wird. * Beziehungsebene (Schulz von Thun): Es besteht ein deutliches Machtgefälle und wenig gegenseitiger Respekt. * Selbstoffenbarung (Schulz von Thun): Herr Müller gibt durch seine Aussagen Frustration preis, während Herr Meier sich missverstanden fühlt. * Appell (Schulz von Thun): Beide haben unausgesprochene Appelle, die vom anderen nicht wahrgenommen werden. * Axiom 1 (Watzlawick): Herr Müllers nonverbale Kommunikation (genervter Tonfall, Gestik) verstärkt die negative Atmosphäre. * Axiom 2 (Watzlawick): Der Beziehungsaspekt überlagert den Inhaltsaspekt komplett, da der Fokus auf gegenseitigen Vorwürfen liegt. * Axiom 3 (Watzlawick): Der negative Kreislauf von Aktion und Reaktion verschärft die Kommunikation. * Axiom 4 (Watzlawick): Analoge (Ton, Körpersprache) und digitale (Inhalt) Kommunikation widersprechen sich, was zu Missverständnissen führt. * Axiom 5 (Watzlawick): Die Beziehung eskaliert in einen symmetrischen Konflikt, da beide um die Oberhand kämpfen. = Beispiel 2 = Hier ist ein Beispiel für ein geschäftliches Gespräch, das aufgrund mangelnder Vorbereitung und Kommunikationsfehler komplett schiefgeht. Dabei werden die 5 Axiome von Watzlawick, das Kommunikationsquadrat von Schulz von Thun und das Sender-Empfänger-Modell von Shannon und Weaver berücksichtigt. '''Szene:''' Ein Mitarbeitergespräch '''Teilnehmer:''' * Chef (Herr Müller) * Mitarbeiterin (Frau Schulze) '''Ziel des Gesprächs:''' Feedback zur Leistung und Besprechung der zukünftigen Ziele '''Chef Herr Müller''' betritt unvorbereitet und ohne Plan das Büro von Frau Schulze. Der Raum ist laut, die Tür steht offen, und das Telefon von Frau Schulze klingelt während des Gesprächs. Herr Müller sagt: „Frau Schulze, gut, dass ich Sie hier treffe. Wir müssen über Ihre Arbeit sprechen.“ '''Mitarbeiterin Frau Schulze''' ist verwirrt, da sie nicht wusste, dass ein Gespräch ansteht: „Ähm, okay... Was genau möchten Sie besprechen?“ '''Herr Müller''' (redet schnell und ohne Augenkontakt, schaut auf seine Uhr): „Ja, also, ich habe einige Beschwerden von Kunden gehört. Ihre Arbeit in den letzten Wochen war... sagen wir mal, suboptimal.“ '''Frau Schulze''' (nimmt die Kritik persönlich und fühlt sich angegriffen): „Was meinen Sie damit? Ich habe mein Bestes gegeben! Das klingt so, als ob alles, was ich gemacht habe, schlecht wäre!“ Axiom 1 (Watzlawick - Man kann nicht nicht kommunizieren): Durch Herrn Müllers Körpersprache (Blick auf die Uhr, keine Vorbereitung) vermittelt er Desinteresse, was zu Missverständnissen führt. '''Herr Müller:''' „Das ist nicht das, was ich sagen wollte. Aber es ist offensichtlich, dass Verbesserungen notwendig sind.“ (Er ignoriert, dass Frau Schulze sich angegriffen fühlt, und spricht weiter ohne konkrete Beispiele.) Kommunikationsquadrat (Schulz von Thun - Selbstoffenbarung): Herr Müller vermittelt durch seine Haltung und die Art, wie er spricht, dass er wenig Zeit hat und unzufrieden ist. Die Beziehungsebene („Ich finde, Sie sind nicht gut genug.“) kommt jedoch stärker rüber als die Sachebene („Wir sollten Ihre Arbeitsweise verbessern.“). '''Frau Schulze:''' „Verbesserungen? Das ist viel zu vage! Wenn Sie mir nicht sagen können, was genau das Problem ist, wie soll ich dann wissen, was ich verbessern soll?“ Axiom 2 (Watzlawick - Jede Kommunikation hat einen Inhalts- und einen Beziehungsaspekt): Frau Schulze interpretiert die Kritik auf der Beziehungsebene als persönlichen Angriff, statt auf der Sachebene konstruktiv zu bleiben. '''Herr Müller (genervt):''' „Es geht nicht darum, dass ich Sie schlechtmachen will. Sie sind zu empfindlich. Hören Sie doch einfach zu!“ Axiom 4 (Watzlawick - Digitale und analoge Modalitäten): Die Worte von Herrn Müller (digitale Kommunikation) stehen im Widerspruch zu seiner Körpersprache und Tonfall (analoge Kommunikation), was Frau Schulze noch mehr verunsichert. '''Frau Schulze:''' „Vielleicht sollte ich einfach aufhören, wenn meine Arbeit sowieso nicht gut genug ist.“ Shannon und Weaver (Sender-Empfänger-Modell): Die Nachricht von Herrn Müller wird von Frau Schulze verzerrt empfangen. Der „Störfaktor“ in diesem Fall ist die mangelnde Klarheit und die emotional aufgeladene Beziehungsebene. '''Herr Müller''' (Wird ungeduldig und hört nicht richtig zu.): „Na ja, das müssen Sie wissen. Wenn Sie nicht motiviert sind, dann wird es natürlich schwer.“ Axiom 5 (Watzlawick - Symmetrische oder komplementäre Interaktion): Herr Müller und Frau Schulze geraten in ein symmetrisches Muster, in dem sie sich gegenseitig angreifen, anstatt Lösungen zu finden. --- Fehlerhafte Gesprächsvorbereitung: * Der Raum ist unruhig (Telefon klingelt, Tür offen), was die Konzentration stört. * Es gibt keine klare Struktur oder Vorbereitung seitens des Chefs. * Die äußeren Einflüsse (Zeitdruck, mangelnde Konzentration) verhindern ein produktives Gespräch. Schiefgelaufene Kommunikation: * Herr Müller nutzt das Gespräch vor allem zur Selbstoffenbarung (Unzufriedenheit), was die Beziehungsebene belastet. * Frau Schulze fühlt sich angegriffen, weil das Gespräch unsachlich und unstrukturiert ist. * Es fehlt an klarer, sachlicher Rückmeldung und konkreten Beispielen. --- Zusammenfassung: Dieses Gespräch zeigt, wie Missverständnisse durch mangelnde Vorbereitung und unausgewogene Kommunikation entstehen können. Beide Teilnehmer haben unterschiedliche Erwartungen und interpretieren die Botschaften des anderen falsch. Durch klare Gesprächsstruktur, konstruktives Feedback und Berücksichtigung der Beziehungsebene hätte das Gespräch deutlich erfolgreicher verlaufen können. --> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)]] 59f493uqd8vhd0m5jy4j8d5cdu0qcrn 0 159653 1114045 1076732 2026-09-02T12:08:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Ableitung des Weges */ 1114045 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das '''Kurven-''', '''Linien-''', '''Weg-''' oder '''Konturintegral''' erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die [[w:de:Integralrechnung|Integration]] in der komplexen Ebene ([[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]) oder im mehrdimensionalen Raum ([[w:de:Vektoranalysis|Vektoranalysis]]). Den [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]], die Linie oder die [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]], über die integriert wird, nennt man den '''Integrationsweg'''. Wegintegrale über [[w:de:Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|''geschlossene'' Kurven]] werden auch als '''Ringintegral''', '''Umlaufintegral'''<ref> Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.</ref> oder '''Zirkulation''' bezeichnet und mit dem Symbol <math>\textstyle \oint</math> geschrieben. == Reelle Wegintegrale == Gegeben ist ein Weg <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math>, der von einem Intervall (z.B. interpretiert als Zeitintervall) in den Vektorraum <math>\mathbb{R}^n</math> abbildet. <math>\gamma(t) \in \mathbb{R}^n </math> gibt dabei den Ort an, an dem man sich beim Wert <math>t\in [a,b]</math> befindet. Dabei unterscheidet man * zeitliche und wegabhängige Wegintegrale * Wegintegral erster Art und * Wegintegral zweiter Art. == Zeitliche wegabhängige Wegintegral == Zeitliche wegabhängige Integrale kommen z.B. im Bereich des [[Risikomanagement|Risikomanagements]] zum Einsatz, wenn man auf unterschiedlichen Wegen <math>\gamma_n:[a,b]\to \mathbb{R}^n</math> zwischen einem Punkt <math>\gamma_n(a)= z_a \in \mathbb{R}^n</math> und einem Punkt <math>\gamma_n(b)=z_b \in \mathbb{R}^n</math> unterschiedlich stark einem Risiko ausgesetzt ist. Dies können z.B. eine Exposition mit schädlicher Strahlung oder mit toxischen Substanzen sein. Ein längerer Weg <math>\gamma_1</math> im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> könnte dann zu einem geringeren Risiko führen. === Risikofunktion im Raum === Eine Risikofunktion ist dann z.B. einen Abbildung <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, die jedem Ort <math>z\in \mathbb{R}^n</math> ein Risiko <math>f(z) \in \mathbb{R} </math> zuordnet. Wenn der Weg näher an einer Strahlungsquelle vorbeiführt, so wird man ggf. stärker mit radioaktiver Strahlung exponiert. === Definition - Zeitliches wegabhängiges Wegintegral === Sei <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> eine offene [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängende Menge]] und <math>f:U \to \mathbb{R}</math> eine integriebare Abbildung, die jedem Ort <math>z\in \mathbb{R}^n</math> einen Funktionswert <math>f(z) \in \mathbb{R} </math> zuordnet. Das zeitliche wegabhängige Wegintegral über einen Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ist dann wie folgt definiert: :<math> \int\limits_\gamma \! f(z) \,\mathrm{d} z := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \, \mathrm{d} t.</math> === Bemerkung - Zeitliches wegabhängiges Wegintegral === Selbst wenn der Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=\gamma_2(a)</math> und der Endpunkt <math>\gamma_1(b)=\gamma_2(b)</math> von verschiedenen Wegen unterschiedlichen Wegen <math>\gamma_1:[a,b]\to U</math> und <math>\gamma_2:[a,b]\to U</math> übereinstimmen, können sich die zeitlichen wegabhängigen Wegintegrale unterscheiden. Dies ist bei Integrationwegen in der Funktionentheorie nicht der Fall, denn dort sind für holomorphe Funktionen <math>f</math> auf konvexen Gebieten z.B. die Wegintergrale wegunabhängig und hängen nur von Anfangspunkt <math>z_a=\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>z_b=\gamma(b)</math> abhängig. === Bemerkung - Substitutionsregel === Die Verwendung der Abeitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> in der Definition eines Wegintegrals bezieht sich auf die Substitutionsregel, die bei einer existierenden Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> unmittelbar die Wegunabhängigkeit liefert. :<math>\int\limits_{a}^{b} f(\gamma(x)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,\mathrm{d}t = \int\limits_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z)\,\mathrm{d}z \, = \, F(\gamma(b))- F(\gamma(a))</math> === Aufgabe - Wegunabhängigkeit - Wegabhängigkeit === Begründen Sie, warum die obige Gleichung zur Substitutionsregel die Wegunabhängigkeit für das Wegintegral liefert. Erläutern Sie, warum ein Wegintegral, dass die aggregierten Risiken auf dem Weg <math>\gamma </math> berechnet im Anwendungskontext in der Regel wegabhängig sein muss, d.h. mit <math>\gamma_1 : [a,b] \to \mathbb{R}^n </math>, <math>\gamma_2 : [a,b] \to \mathbb{R}^n </math>, <math>\gamma_1(a)= \gamma_2(a)</math> und <math>\gamma_1(b)= \gamma_2(b)</math> gilt nicht notwendig: :<math> \int_{\gamma_1} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2} f(z)\, dz </math> == Wegintegral erster Art == [[Datei:Line integral of scalar field.gif|mini|Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld]] Das Wegintegral einer stetigen [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktion]] : <math>f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> entlang eines stückweise stetig differenzierbaren [[w:de:Weg (Mathematik)|Weges]] <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math> ist definiert als :<math>\int\limits_\gamma \! f \,\mathrm{d} s := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \cdot \| {\gamma \,}'(t) \|_2 \,\mathrm{d} t.</math> === Ableitung des Weges === Dabei bezeichnet <math>{\gamma \,}'</math> die Ableitung von <math>\gamma</math> nach <math>t</math> und <math>\gamma(t)\in \mathbb{R}^n</math> und <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^n</math> sind Vektoren. Der Ableitungsvektor <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^n</math> gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von <math>\gamma =(\gamma_1 ,\dots ,\gamma_n)</math> an (siehe auch [[Maxima CAS/Ableitung eines Weges|Ableitung des Weges in Maxima]]) === Bemerkung - Komponentenfunktionen === Die Komponentenfunktionen <math>\gamma_i : [a,b] \to \mathbb{R} </math> sind Abbildungen, für die man die Ableitung getrennt für jede Komponente mit dem Wissen aus der reellen Analysis berechnen kann. === Beispiel für einen Weg und dessen Ableitung === Als differnzierbaren Weg wird zuerst <math>\gamma</math> definiert mit :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma: & [0 ,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & \gamma \left( t \right) = \begin{pmatrix} 5 \cdot \cos(t) \\ 3 \cdot \sin(t) \end{pmatrix} \end{array} </math> Die Spur des Weges bildet eine Ellipse mit den Halbachsen 5 und 3. ==== Ableitung des Weges im zweidimensionalen Raum ==== Die Ableitung <math>{\gamma \,}'</math> des Weges <math> \gamma </math> ergibt sich unmittelbar aus der Ableitung der Komponentenfunktionen :<math> \begin{array}{rrcl} {\gamma \,}': & [0 ,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & {\gamma }' \left( t \right) = \begin{pmatrix} - 5 \cdot \sin(t) \\ 3 \cdot \cos(t) \end{pmatrix} \end{array} </math> === Beispiel - Ableitung des Weges im dreidimensionalen Raum === Nun sei <math>\gamma(t)= (\cos(t),\sin(t),t) \in \mathbb{R}^3</math> und <math>{\gamma \,}'(t) = (- \sin(t),\cos(t), 1)\in \mathbb{R}^3</math> ein Vektor. Der Ableitungsvektor <math>{\gamma \,}'(t)\in \mathbb{R}^3</math> gibt dabei das Veränderungsverhalten in jeder Komponentenfunktion von <math>\gamma =(\gamma_1 ,\gamma_2,\gamma_3)</math> an. == Aufgabe == Zeichnen Sie die Spur des Weges im <math>\mathbb{R}^2</math> (Ellipse) und plotten Sie mit [[CAS4Wiki]]-Plots * die Spur des Weges im <math>\mathbb{R}^2 </math> und * den Graph der Weges im <math>\mathbb{R}^3 </math>. === Vektorlänge des Ableitungsvektors des Weges === <math>\|{\gamma \,}'(t)\|_2</math> gibt die [[w:de:euklidische Norm|euklidische Norm]] des Vektors <math>{\gamma\,}'(t)\in \mathbb{R}^n </math> an. === Bildmenge des Weges - Spur === Die [[w:de:Bildmenge|Bildmenge]] <math>\mbox{Spur}(\gamma) := \gamma([a,b])</math> einer stückweise [[w:de:glatte Kurve|glatte Kurve]] in <math>\mathbb{R}^n</math> darf man nicht mit dem Graphen eines Kurve <math>Graph(\gamma)</math> verwechseln, der eine Teilmenge vom <math>[a,b] \times \mathbb{R}^n </math> ist. === Anmerkungen === * Ein Beispiel für eine solche Funktion <math>f</math> ist ein [[w:de:Skalarfeld|Skalarfeld]] mit [[w:de:Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]]. * Ein Weg <math>\gamma</math> kann eine Kurve <math>\mathcal C</math> entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen. * Für <math>f \equiv 1</math> ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges <math>\gamma</math>. * Der Weg <math>\gamma</math> bildet u.&nbsp;a. <math>a \in \mathbb{R}</math> auf den Anfangspunkt der Kurve ab und <math>b \in \mathbb{R}</math> auf deren Endpunkt. * <math>t \in [a,b]</math> ist ein Element der Definitionsmenge von <math>\gamma</math> und steht allgemein ''nicht'' für die Zeit. <math>\mathrm dt</math> ist das zugehörige [[w:de:Differential (Mathematik)|Differential]]. == Wegintegral zweiter Art == [[Datei:Line integral of vector field.gif|mini|Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über ein Vektorfeld]] Das Wegintegral über ein stetiges [[w:de:Vektorfeld|Vektorfeld]] : <math>\mathbf f\colon\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n</math> mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] aus <math> \mathbf{f} \circ \gamma</math> und <math>\dot\gamma</math>: : <math>\int\limits_\gamma \! \mathbf{f}(\mathbf{x}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{x} := \int\limits_a^b \! \langle \mathbf{f}(\gamma(t)) , {{\gamma}\,}'(t) \rangle \,\mathrm{d} t</math> === Einfluss der Parametrisierung === Sind <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{R}^n</math> und <math>\eta\colon[c,d]\to\mathbb R^n</math> ''einfache'' (d.&nbsp;h., <math>\gamma_{|(a,b)}</math> und <math>\eta_{|(c,d)}</math> sind [[w:de:Injektivität|injektiv]]) Wege mit <math>\gamma(a)=\eta(c)</math> und <math>\gamma(b)=\eta(d)</math> und demselben [[w:de:Bild (Mathematik)|Bild]], parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang <math>\gamma</math> und <math>\eta</math> überein. Dies rechtfertigt den Namen ''Kurvenintegral''; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, kann der Weg in der Notation unterdrückt werden. === Kurvenintegrale === Da eine Kurve <math>\mathcal C</math> das Bild eines Weges <math>\gamma</math> ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen. ==== Kurvenintegral 1. Art ==== : <math>\int\limits_{\mathcal C} \! f \,\mathrm{d} s := \int\limits_a^b \! f(\gamma(t)) \cdot \| {{\gamma}\,}'(t) \|_2 \, \mathrm{d} t</math> ==== Kurvenintegral 2. Art ==== : <math>\int\limits_\mathcal C \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x} := \int\limits_a^b \langle \mathbf{f}(\gamma(t)) , {{\gamma}\,}'(t) \rangle \,\mathrm dt</math> ==== Länge einer Kurve ==== Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch <math>\gamma</math> parametrisierten Kurve <math>\mathcal C</math>: : <math>\mathrm{L\ddot ange\ von\ }\mathcal C = \int\limits_{\mathcal C} 1 \, \mathrm{d}s = \int\limits_a^b\| {\gamma\,}'(t) \|_2\,\mathrm dt</math> === Wegelement und Längenelement === Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck : <math>\mathrm ds= \|{\gamma\,}'(t)\|_2 \, \mathrm dt</math> heißt ''skalares Wegelement'' oder ''Längenelement''. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck :<math>\mathrm d\mathbf{x} = {\gamma\,}' (t)\,\mathrm dt</math> heißt ''vektorielles Wegelement''. === Rechenregeln === Seien <math>\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>, <math>\int\limits_\gamma \mathbf{g}(\mathbf{x})</math> Kurvenintegrale gleicher Art (also entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen <math>\mathbf{f}</math> und <math>\mathbf{g}</math> von gleicher Dimension und sei <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n</math>. Dann gelten für <math>\alpha</math>, <math>\beta\in \mathbb R</math> und <math>c\in\mathbb [a, b]</math> die folgenden Rechenregeln: * <math>\alpha\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \beta\int\limits_\gamma \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \int\limits_\gamma (\alpha\mathbf{f}(\mathbf{x}) + \beta\mathbf{g}(\mathbf{x}))</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(Linearität) * <math>\int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \int\limits_{\gamma|_{[a, c]}} \mathbf{f}(\mathbf{x}) + \int\limits_{\gamma|_{[c, b]}} \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(Zerlegungsadditivität) == Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven == Ist <math>\gamma</math> ein geschlossener Weg, so schreibt man : statt <math>\displaystyle\int\limits_\gamma</math> auch <math>\displaystyle\oint\limits_\gamma</math> und analog für geschlossene Kurven <math>\mathcal C</math> : statt <math>\displaystyle \int\limits_\mathcal C</math> auch <math>\displaystyle\oint\limits_\mathcal C</math>. Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass <math>\gamma</math> geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation. == Beispiele == * Ist <math>\mathcal C</math> der [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>, so wird diese Kurve durch den Weg :: <math>\gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2,\quad t\mapsto(t,f(t))</math> : parametrisiert. Wegen :: <math>\|\dot\gamma(t)\|_2=\sqrt{1+f'(t)^2}</math> : ist die Länge der Kurve gleich :: <math>\int\limits_\mathcal C\mathrm ds = \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}\,\mathrm dt.</math> * Eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] mit großer Halbachse <math>a</math> und kleiner Halbachse <math>b</math> wird durch <math>(a\cos t, \, b\sin t)</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> parametrisiert. Ihr Umfang ist also :: <math>\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}\,\mathrm dt = 4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2t}\;\mathrm dt</math>. : Dabei bezeichnet <math>\varepsilon</math> die [[w:de:Exzentrizität (Mathematik)|numerische Exzentrizität]] <math>\sqrt{1-b^2/a^2}</math> der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als [[w:de:elliptisches Integral|elliptisches Integral]] bezeichnet. == Wegunabhängigkeit == Ist ein Vektorfeld <math>\mathbf{F}</math> ein ''[[w:de:Gradientenfeld|Gradientenfeld]]'', d.&nbsp;h., <math>\mathbf{F}</math> ist der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines skalaren Feldes <math>V</math>, mit : <math>\mathbf{\nabla} V = \mathbf{F}</math>, so gilt für die [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] der [[w:de:Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von <math>V</math> und <math>\mathbf{r}(t)</math> : <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) = \mathbf{\nabla} V(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t)</math>, was gerade dem Integranden des Wegintegrals über <math>\mathbf{F}</math> auf <math>\mathbf{r}(t)</math> entspricht. === Abhängigkeit von Integralgrenzen 1 === Daraus folgt für eine gegebene Kurve <math>\mathcal S</math> : <math>\int\limits_{\mathcal S} \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm d\mathbf{x} = \int\limits_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm dt = \int\limits_a^b \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} V(\mathbf{r}(t)) \,\mathrm dt = V(\mathbf{r}(b)) - V(\mathbf{r}(a)).</math> [[Datei:Konservative Kraft Wege.svg|mini|200px|Zwei beliebige Kurven <math>\mathcal S1</math> und <math>\mathcal S2</math> in einem Gradientenfeld]] === Abhängigkeit von Integralgrenzen 2 === Dies bedeutet, dass das Integral von <math>\mathbf{F}</math> über <math>\mathcal S</math> ausschließlich von den Punkten <math>\mathbf{r}(b)</math> und <math>\mathbf{r}(a)</math> abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet. === Bemerkung - geschlossene Wege - Ringintegral === Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve <math>\mathcal S</math> mit zwei beliebigen Wegen <math>\mathcal S_1</math> und <math>\mathcal S_2</math>: : <math>\oint\limits_{\mathcal S} \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = \int\limits_{1,\mathcal{S}_1}^2 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} + \int\limits_{2,\mathcal{S}_2}^1 \mathbf{F}(\mathbf{x})\, \mathrm d\mathbf{x} = 0</math> === Anwendung in der Physik === Dies ist insbesondere in der [[w:de:Physik|Physik]] von großer Bedeutung, da beispielsweise die [[w:de:Gravitation|Gravitation]] diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als [[w:de:konservative Kraft|konservative Kraft]]felder bezeichnet. === Skalare Felder - Potentielle Energie === Das skalare Feld <math>V</math> ist dabei das [[w:de:Skalarpotential|Potential]] oder die [[w:de:potentielle Energie|potentielle Energie]]. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d.&nbsp;i. die Summe aus [[w:de:Kinetische Energie|kinetischer Energie]] und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0&nbsp;J aufgebracht. === Umlaufzahl - Windungszahl === Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der [[w:de:Integrabilitätsbedingung|Integrabilitätsbedingung]] zeigen. [[Datei:Windungszahl5.png|mini|400px|Die Kurve <math>\gamma</math> umläuft das Zentrum <math>z_0</math> zweimal]] Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung <math>U</math> eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von <math>U</math> proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe [[w:de:Algebraische Topologie#Methodik|Algebraische Topologie: Methodik]]). === Bemerkung - Komplexe Wegintegrale === Ersetzt man <math>\mathbb{R}^n </math> durch <math>\mathbb{C} </math> behandelt man [[Wegintegral|komplexe Wegintegrale]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandelt werden. == Literatur == * [[w:de:Harro Heuser|Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 2''. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1. == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Integralbegriff]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Vektoranalysis]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen|reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurvenintegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral Kurvenintegral] https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral * Datum: 20.10.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity <noniclude>[[en:Line integral]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] 3hjklct1ep4vnnmcpnnzi2nm43noneb 2 160252 1114134 1112215 2026-09-03T07:31:00Z Paul Sutermeister 37610 1114134 wikitext text/x-wiki = Umwelt, individuelles Verhalten und gesellschaftliche Verantwortung = # Was sind die umweltfreundlichsten Verkehrsmittel? # Ist es egoistisch, sich bequemen Luxus wie Autofahren oder Fliegen zu gönnen? # Was bedeutet „egoistisch“ in diesem Zusammenhang? # Ist es grundsätzlich egoistisch, Auto zu fahren? # Sollte jeder selbst entscheiden dürfen, wie umweltbewusst er lebt? # Wo endet die persönliche Freiheit und wo beginnt die Verantwortung gegenüber anderen und der Umwelt? # Muss ich mein Verhalten ändern, wenn andere weiterhin umweltschädlich handeln? # Wie viel Verantwortung trägt der Einzelne – und wie viel tragen Staat, Gesellschaft und Unternehmen? Die Fragen lassen sich nicht einfach mit „richtig“ oder „falsch“ beantworten. Es gibt unterschiedliche Argumente, die gegeneinander abgewogen werden müssen. Dabei sollte man sowohl das Verhalten einzelner Menschen als auch die Bedingungen betrachten, unter denen Menschen leben und Entscheidungen treffen. == 1. Was sind die umweltfreundlichsten Verkehrsmittel? == ;These: Zu Fuß gehen und Fahrradfahren gehören zu den umweltfreundlichsten Möglichkeiten, sich fortzubewegen. Auch öffentliche Verkehrsmittel wie Bahn und Bus sind in der Regel umweltfreundlicher als das Auto. Besonders das Fliegen verursacht pro Person meist eine hohe Umweltbelastung. ;Gegenargument: Aber nicht jeder Mensch kann einfach auf das Fahrrad oder öffentliche Verkehrsmittel umsteigen. Wer auf dem Land lebt, einen langen Arbeitsweg hat, Kinder transportieren muss oder keine gute Bus- oder Bahnverbindung hat, ist möglicherweise auf ein Auto angewiesen. ;Abwägung: Deshalb ist es zu einfach, nur zu sagen: „Jeder muss umweltfreundlicher fahren.“ Man muss auch fragen, welche Möglichkeiten den Menschen überhaupt zur Verfügung stehen. Wenn es beispielsweise kaum öffentliche Verkehrsmittel gibt, kann man von den Menschen nicht einfach verlangen, das Auto stehen zu lassen. Deshalb sind nicht nur persönliche Entscheidungen wichtig, sondern auch die Frage, '''wie unsere Städte, Dörfer und Verkehrssysteme gestaltet sind'''. == 2. Ist es egoistisch, sich bequemen Luxus wie Autofahren oder Fliegen zu gönnen? == ;These: Man könnte sagen, dass es egoistisch ist, wenn jemand weiß, dass Autofahren oder Fliegen die Umwelt belastet, aber trotzdem nur an den eigenen Komfort denkt. ;Gegenargument: Allerdings wäre es unfair, die gesamte Verantwortung auf einzelne Menschen zu übertragen. Ein einzelner Mensch verursacht nur einen kleinen Teil der gesamten Umweltbelastung. Gleichzeitig gibt es große Unternehmen, Fabriken und andere Bereiche der Wirtschaft, die sehr große Mengen an Energie verbrauchen und Schadstoffe verursachen. Außerdem haben nicht alle Menschen die gleichen Möglichkeiten. Für manche ist es leichter, umweltfreundlich zu leben als für andere. ;Abwägung: Die Frage ist deshalb nicht nur: '''„Ist der einzelne Mensch egoistisch?“''' Man muss auch fragen: * Warum gibt es überhaupt so viele umweltschädliche Produkte und Dienstleistungen? * Wer entscheidet, was produziert wird? * Wer verdient daran? * Wer trägt die Folgen der Umweltverschmutzung? Es wäre also zu einfach, nur dem Verbraucher die Schuld zu geben. Gleichzeitig bedeutet das nicht, dass das eigene Verhalten völlig egal ist. == 3. Ist es grundsätzlich egoistisch, Auto zu fahren? == ;These: Wenn jemand problemlos auf das Auto verzichten könnte und trotzdem nur aus Bequemlichkeit fährt, obwohl eine umweltfreundliche Alternative vorhanden wäre, kann man dieses Verhalten als egoistisch kritisieren. ;Gegenargument: Aber Autofahren kann auch notwendig sein. Menschen müssen beispielsweise zur Arbeit, bringen Kinder zur Schule oder kümmern sich um Angehörige. Außerdem leben viele Menschen an Orten, an denen es kaum Alternativen zum Auto gibt. Eine weitere Frage lautet: :''„Warum soll ich auf das Auto verzichten, wenn andere Menschen weiterhin Auto fahren oder sogar noch viel mehr die Umwelt belasten?“'' Dieser Gedanke ist verständlich. Wenn nur wenige Menschen ihr Verhalten ändern, ist die Wirkung tatsächlich begrenzt. ;Abwägung: Trotzdem bedeutet das nicht, dass das eigene Verhalten keine Rolle spielt. Wenn jeder sagt „Die anderen machen es ja auch“, wird sich wahrscheinlich nichts verändern. Gleichzeitig sollte man Menschen nicht einfach moralisch verurteilen. Wenn eine Gesellschaft möchte, dass weniger Menschen Auto fahren, muss sie auch dafür sorgen, dass Menschen gute Alternativen haben. Dazu gehören zum Beispiel: * zuverlässige öffentliche Verkehrsmittel * sichere Fahrradwege * kurze Wege zwischen Wohnen, Arbeiten und Einkaufen * bezahlbarer Wohnraum in der Nähe von Arbeitsplätzen und Infrastruktur == 4. Soll jeder selbst entscheiden, ob er sich für die Umwelt interessiert? == ;Argument für die persönliche Freiheit: Jeder Mensch möchte selbst entscheiden, wie er lebt. Man könnte deshalb sagen: „Es ist meine Entscheidung, ob ich Auto fahre, fliege oder andere umweltschädliche Dinge tue.“ ;Gegenargument: Das eigene Verhalten betrifft jedoch nicht immer nur einen selbst. Umweltverschmutzung und Klimawandel haben Auswirkungen auf andere Menschen. Wenn jemand die Umwelt belastet, können die Folgen auch Menschen treffen, die selbst wenig dazu beitragen. Deshalb gibt es einen Unterschied zwischen: :''„Ich darf mein Leben selbst bestimmen.“'' und :''„Mein Verhalten darf keinerlei Auswirkungen auf andere haben.“'' Die erste Aussage ist ein wichtiger Teil persönlicher Freiheit. Die zweite ist in einer Gesellschaft kaum möglich. ;Abwägung: Die entscheidende Frage lautet deshalb: '''Wo endet die persönliche Freiheit und wo beginnt die Verantwortung gegenüber anderen Menschen und der Umwelt?''' == 5. Muss ich mein Verhalten ändern, wenn andere weitermachen? == Man kann zunächst sagen: :''„Mein eigener Verzicht verändert doch kaum etwas.“'' Das stimmt teilweise. Ein einzelner Mensch kann den Klimawandel nicht alleine stoppen. Aber wenn jeder so denkt, entsteht ein Problem: Jeder wartet darauf, dass die anderen anfangen. Deshalb ist individuelles Verhalten nicht bedeutungslos. Gleichzeitig reicht individuelles Verhalten allein nicht aus. Wenn beispielsweise alle Menschen umweltfreundlicher leben wollen, aber es keine vernünftigen öffentlichen Verkehrsmittel gibt, wird eine Veränderung schwierig. Umgekehrt bringen bessere öffentliche Verkehrsmittel wenig, wenn niemand bereit ist, sie zu nutzen. '''Individuelles Verhalten und gesellschaftliche Bedingungen hängen also zusammen.''' == 6. Wer trägt die Verantwortung? == Die Verantwortung kann auf mehreren Ebenen betrachtet werden: {| class="wikitable" ! Ebene | ! Frage | | --------------------------------------------------------------------------------- | | '''Einzelner Mensch''' | | Was kann ich selbst verändern? | | - | | '''Staat und Gesellschaft''' | | Welche Bedingungen schaffen wir, damit umweltfreundliches Verhalten möglich wird? | | - | | '''Unternehmen''' | | Was wird produziert, wie wird es produziert und welche Folgen hat das? | | } | Es wäre deshalb zu einfach, nur zu sagen: :„Die Menschen müssen einfach umweltfreundlicher leben.“ Genauso falsch wäre aber die Aussage: :„Als einzelner Mensch kann ich sowieso nichts verändern.“ Beides gehört zusammen. '''Jeder Mensch trägt eine gewisse Verantwortung für sein eigenes Verhalten. Gleichzeitig tragen Unternehmen, Politik und Gesellschaft eine Verantwortung dafür, welche Möglichkeiten und Bedingungen den Menschen zur Verfügung stehen.''' == Zusammenfassung == Die entscheidende Frage ist deshalb nicht nur: :'''„Bin ich egoistisch, wenn ich Auto fahre oder fliege?“''' Sondern auch: :'''„Warum verhalten sich Menschen so, wie sie sich verhalten?“''' Und: :'''„Welche Möglichkeiten haben sie überhaupt, ihr Verhalten zu verändern?“''' Man sollte deshalb weder den einzelnen Menschen für alle Umweltprobleme verantwortlich machen noch behaupten, dass das eigene Verhalten völlig bedeutungslos ist. Eine faire Betrachtung versucht beides zusammenzudenken: '''Wir haben eine persönliche Verantwortung für unser Verhalten – aber wir leben gleichzeitig in einer Gesellschaft, deren Regeln, Infrastruktur und wirtschaftliche Strukturen beeinflussen, welche Entscheidungen überhaupt möglich und sinnvoll sind.''' Die entscheidende Frage lautet daher: :'''Wie können wir sowohl unser eigenes Verhalten verändern als auch die Bedingungen so verändern, dass umweltfreundliches Verhalten für möglichst viele Menschen einfacher und selbstverständlicher wird?''' e7x9ofw2701d8g3r28zzoiox0ze3gfn 1114135 1114134 2026-09-03T07:33:01Z Paul Sutermeister 37610 /* 6. Wer trägt die Verantwortung? */ 1114135 wikitext text/x-wiki = Umwelt, individuelles Verhalten und gesellschaftliche Verantwortung = # Was sind die umweltfreundlichsten Verkehrsmittel? # Ist es egoistisch, sich bequemen Luxus wie Autofahren oder Fliegen zu gönnen? # Was bedeutet „egoistisch“ in diesem Zusammenhang? # Ist es grundsätzlich egoistisch, Auto zu fahren? # Sollte jeder selbst entscheiden dürfen, wie umweltbewusst er lebt? # Wo endet die persönliche Freiheit und wo beginnt die Verantwortung gegenüber anderen und der Umwelt? # Muss ich mein Verhalten ändern, wenn andere weiterhin umweltschädlich handeln? # Wie viel Verantwortung trägt der Einzelne – und wie viel tragen Staat, Gesellschaft und Unternehmen? Die Fragen lassen sich nicht einfach mit „richtig“ oder „falsch“ beantworten. Es gibt unterschiedliche Argumente, die gegeneinander abgewogen werden müssen. Dabei sollte man sowohl das Verhalten einzelner Menschen als auch die Bedingungen betrachten, unter denen Menschen leben und Entscheidungen treffen. == 1. Was sind die umweltfreundlichsten Verkehrsmittel? == ;These: Zu Fuß gehen und Fahrradfahren gehören zu den umweltfreundlichsten Möglichkeiten, sich fortzubewegen. Auch öffentliche Verkehrsmittel wie Bahn und Bus sind in der Regel umweltfreundlicher als das Auto. Besonders das Fliegen verursacht pro Person meist eine hohe Umweltbelastung. ;Gegenargument: Aber nicht jeder Mensch kann einfach auf das Fahrrad oder öffentliche Verkehrsmittel umsteigen. Wer auf dem Land lebt, einen langen Arbeitsweg hat, Kinder transportieren muss oder keine gute Bus- oder Bahnverbindung hat, ist möglicherweise auf ein Auto angewiesen. ;Abwägung: Deshalb ist es zu einfach, nur zu sagen: „Jeder muss umweltfreundlicher fahren.“ Man muss auch fragen, welche Möglichkeiten den Menschen überhaupt zur Verfügung stehen. Wenn es beispielsweise kaum öffentliche Verkehrsmittel gibt, kann man von den Menschen nicht einfach verlangen, das Auto stehen zu lassen. Deshalb sind nicht nur persönliche Entscheidungen wichtig, sondern auch die Frage, '''wie unsere Städte, Dörfer und Verkehrssysteme gestaltet sind'''. == 2. Ist es egoistisch, sich bequemen Luxus wie Autofahren oder Fliegen zu gönnen? == ;These: Man könnte sagen, dass es egoistisch ist, wenn jemand weiß, dass Autofahren oder Fliegen die Umwelt belastet, aber trotzdem nur an den eigenen Komfort denkt. ;Gegenargument: Allerdings wäre es unfair, die gesamte Verantwortung auf einzelne Menschen zu übertragen. Ein einzelner Mensch verursacht nur einen kleinen Teil der gesamten Umweltbelastung. Gleichzeitig gibt es große Unternehmen, Fabriken und andere Bereiche der Wirtschaft, die sehr große Mengen an Energie verbrauchen und Schadstoffe verursachen. Außerdem haben nicht alle Menschen die gleichen Möglichkeiten. Für manche ist es leichter, umweltfreundlich zu leben als für andere. ;Abwägung: Die Frage ist deshalb nicht nur: '''„Ist der einzelne Mensch egoistisch?“''' Man muss auch fragen: * Warum gibt es überhaupt so viele umweltschädliche Produkte und Dienstleistungen? * Wer entscheidet, was produziert wird? * Wer verdient daran? * Wer trägt die Folgen der Umweltverschmutzung? Es wäre also zu einfach, nur dem Verbraucher die Schuld zu geben. Gleichzeitig bedeutet das nicht, dass das eigene Verhalten völlig egal ist. == 3. Ist es grundsätzlich egoistisch, Auto zu fahren? == ;These: Wenn jemand problemlos auf das Auto verzichten könnte und trotzdem nur aus Bequemlichkeit fährt, obwohl eine umweltfreundliche Alternative vorhanden wäre, kann man dieses Verhalten als egoistisch kritisieren. ;Gegenargument: Aber Autofahren kann auch notwendig sein. Menschen müssen beispielsweise zur Arbeit, bringen Kinder zur Schule oder kümmern sich um Angehörige. Außerdem leben viele Menschen an Orten, an denen es kaum Alternativen zum Auto gibt. Eine weitere Frage lautet: :''„Warum soll ich auf das Auto verzichten, wenn andere Menschen weiterhin Auto fahren oder sogar noch viel mehr die Umwelt belasten?“'' Dieser Gedanke ist verständlich. Wenn nur wenige Menschen ihr Verhalten ändern, ist die Wirkung tatsächlich begrenzt. ;Abwägung: Trotzdem bedeutet das nicht, dass das eigene Verhalten keine Rolle spielt. Wenn jeder sagt „Die anderen machen es ja auch“, wird sich wahrscheinlich nichts verändern. Gleichzeitig sollte man Menschen nicht einfach moralisch verurteilen. Wenn eine Gesellschaft möchte, dass weniger Menschen Auto fahren, muss sie auch dafür sorgen, dass Menschen gute Alternativen haben. Dazu gehören zum Beispiel: * zuverlässige öffentliche Verkehrsmittel * sichere Fahrradwege * kurze Wege zwischen Wohnen, Arbeiten und Einkaufen * bezahlbarer Wohnraum in der Nähe von Arbeitsplätzen und Infrastruktur == 4. Soll jeder selbst entscheiden, ob er sich für die Umwelt interessiert? == ;Argument für die persönliche Freiheit: Jeder Mensch möchte selbst entscheiden, wie er lebt. Man könnte deshalb sagen: „Es ist meine Entscheidung, ob ich Auto fahre, fliege oder andere umweltschädliche Dinge tue.“ ;Gegenargument: Das eigene Verhalten betrifft jedoch nicht immer nur einen selbst. Umweltverschmutzung und Klimawandel haben Auswirkungen auf andere Menschen. Wenn jemand die Umwelt belastet, können die Folgen auch Menschen treffen, die selbst wenig dazu beitragen. Deshalb gibt es einen Unterschied zwischen: :''„Ich darf mein Leben selbst bestimmen.“'' und :''„Mein Verhalten darf keinerlei Auswirkungen auf andere haben.“'' Die erste Aussage ist ein wichtiger Teil persönlicher Freiheit. Die zweite ist in einer Gesellschaft kaum möglich. ;Abwägung: Die entscheidende Frage lautet deshalb: '''Wo endet die persönliche Freiheit und wo beginnt die Verantwortung gegenüber anderen Menschen und der Umwelt?''' == 5. Muss ich mein Verhalten ändern, wenn andere weitermachen? == Man kann zunächst sagen: :''„Mein eigener Verzicht verändert doch kaum etwas.“'' Das stimmt teilweise. Ein einzelner Mensch kann den Klimawandel nicht alleine stoppen. Aber wenn jeder so denkt, entsteht ein Problem: Jeder wartet darauf, dass die anderen anfangen. Deshalb ist individuelles Verhalten nicht bedeutungslos. Gleichzeitig reicht individuelles Verhalten allein nicht aus. Wenn beispielsweise alle Menschen umweltfreundlicher leben wollen, aber es keine vernünftigen öffentlichen Verkehrsmittel gibt, wird eine Veränderung schwierig. Umgekehrt bringen bessere öffentliche Verkehrsmittel wenig, wenn niemand bereit ist, sie zu nutzen. '''Individuelles Verhalten und gesellschaftliche Bedingungen hängen also zusammen.''' == 6. Wer trägt die Verantwortung? == Die Verantwortung kann auf mehreren Ebenen betrachtet werden: '''Einzelner Mensch''' Was kann ich selbst verändern? '''Staat und Gesellschaft''' Welche Bedingungen schaffen wir, damit umweltfreundliches Verhalten möglich wird? '''Unternehmen''' Was wird produziert, wie wird es produziert und welche Folgen hat das? Es wäre deshalb zu einfach, nur zu sagen: :„Die Menschen müssen einfach umweltfreundlicher leben.“ Genauso falsch wäre aber die Aussage: :„Als einzelner Mensch kann ich sowieso nichts verändern.“ Beides gehört zusammen. '''Jeder Mensch trägt eine gewisse Verantwortung für sein eigenes Verhalten. Gleichzeitig tragen Unternehmen, Politik und Gesellschaft eine Verantwortung dafür, welche Möglichkeiten und Bedingungen den Menschen zur Verfügung stehen.''' == Zusammenfassung == Die entscheidende Frage ist deshalb nicht nur: :'''„Bin ich egoistisch, wenn ich Auto fahre oder fliege?“''' Sondern auch: :'''„Warum verhalten sich Menschen so, wie sie sich verhalten?“''' Und: :'''„Welche Möglichkeiten haben sie überhaupt, ihr Verhalten zu verändern?“''' Man sollte deshalb weder den einzelnen Menschen für alle Umweltprobleme verantwortlich machen noch behaupten, dass das eigene Verhalten völlig bedeutungslos ist. Eine faire Betrachtung versucht beides zusammenzudenken: '''Wir haben eine persönliche Verantwortung für unser Verhalten – aber wir leben gleichzeitig in einer Gesellschaft, deren Regeln, Infrastruktur und wirtschaftliche Strukturen beeinflussen, welche Entscheidungen überhaupt möglich und sinnvoll sind.''' Die entscheidende Frage lautet daher: :'''Wie können wir sowohl unser eigenes Verhalten verändern als auch die Bedingungen so verändern, dass umweltfreundliches Verhalten für möglichst viele Menschen einfacher und selbstverständlicher wird?''' pb46a777fjid7t3rl3x1vleaelqa7a6 106 160859 1114100 992122 2026-09-02T16:21:15Z ~2026-47548-34 41860 /* Schritt 1 - Beschränktheit von 1/P */ 1114100 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''(Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra''' besagt, dass jedes nicht konstante [[w:de:Polynom|Polynom]] im Bereich der [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] mindestens eine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] besitzt. === Koeffizienten des Polynoms === Dabei können die [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein – insbesondere sind Polynome mit ganzen oder reellen Koeffizienten mit eingeschlossen. === Beispiel 1 === Wendet man den Satz zum Beispiel auf das Polynom <math>z^4+15z^2+4</math> an, so folgt, dass die im Bereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Zahlen unlösbare Gleichung <math>z^4+15z^2+4 = 0</math> im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung besitzen muss. === Existenz der Nullstelle === Der Fundamentalsatz der Algebra ist eine Existenzaussage, d.h. der Satz besagt, dass Polynome, die nicht konstant sind, eine Nullstelle besitzt. Der Satz liefert allerdings keine Verfahren, wie diese gefunden wird (siehe auch [[Kurs:Numerik I|Nullstellenapproximation mit numerischen Verfahren]]). === Beispiel 2 - algebraische Bestimmung der Nullstelle === Das Polynom <math>P(x):= x^2+4</math> besitzt die um 4 Einheiten nach oben verschobene Normalparabel als Graph der Funktion <math>P: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>. Diese schneidet die <math>x</math>-Achse nicht (keine Nullstellen in <math>\mathbb{R}</math>). Im Komplexen kann die beiden komplexen Nullstellen für <math>z\in \mathbb{C}</math> durch die 3. binomische Formel bestimmen: :<math> 0 = P(z)= z^2+4 = z^2 - (2i)^2 = (z+2i)\cdot (z-2i) </math> Durch die Zerlegung in Linearfaktoren erkennt man, dass <math>2i</math> und <math>-2i</math> die Nullstellen in <math>\mathbb{C}</math> sind. == Fundamentalsatz der Algebra == Es sei : <math> P(z) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot z^k </math> ein [[w:de:Polynom|Polynom]] vom Grad <math>\deg(P) =: n \in \mathbb{N}\backslash\{0\}</math> also ein nicht konstantes Polynom – mit komplexen Koeffizienten <math>a_k \in \mathbb{C}</math>. Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> (d.h. <math>P(z_0) = 0</math> gilt. === Beweisidee === Für den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] gibt es unterschiedliche Beweise. In der Funktionentheorie liefert dabei der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]] eine Beweismöglichkeit. Der Fundamentalsatz der Algebra wird dabei über einen Beweis durch Widerspruch gezeigt. == Beweis - Fundamentalsatz == Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom <math>P: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>. Dann ist die Funktion <math>f(z):=\frac{1}{P(z)} </math> ebenfalls auf ganz <math>\mathbb{C}</math> definiert und auch holomorph auf <math>\mathbb{C}</math>. === Schritt 1 - Beschränktheit von 1/P === Wegen <math>\lim_{|z|\to \infty}|P(z)|=+\infty</math>, gibt es eine Schranke <math>S > 0</math> mit <math> |P(z)|\geq 1 </math> für alle <math> |z|\geq S </math>. === Schritt 2 - Beschränktheit von 1/P === Die abgeschlossene Kreisscheibe <math> D := \overline{B_S(0)} </math> ist eine kompakte Menge (abgeschlossen und beschränkt) und daher nimmt eine stetige Funktion <math>|f|</math> auf <math>D</math> das Maximum <math>\widehat{M}</math> (und auch das Minimum) an. Da <math>f</math> holomorph ist, ist <math>f</math> und damit auch <math>|f|</math> stetig. === Schritt 3 - Beschränktheit von 1/P === Insgesamt ist die holomophe (ganze) Funktion <math>f =\frac{1}{P}</math> durch <math>M:=\max\{1, \widehat{M} \}</math> beschränkt, d.h. <math> |f(z)| \leq M</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. === Schritt 4 - Widerspruch === Also ist <math>f:=\frac{1}{P}</math> nach dem Satz von Liouville konstant. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung. <div align="right"><math>\Box</math></div> === Bemerkung - Anzahl der Nullstellen === Genauer gilt, dass die Anzahl der Nullstellen und der Berücksichtigung der Vielfachheit dem Grad des Polynoms entspricht. Für das Polynom :<math> \begin{array}{rcl} P(z)& := & (z-3)^2\cdot(z-i)^3 \\ & = & (z-3)\cdot (z-3) \cdot (z-i) \cdot (z-i) \cdot (z-i) \\ \end{array} </math> hat die Nullstelle 3 die Vielfachheit 2 und die Nullstelle <math>i \in \mathbb{C}</math> die Vielfachheit 3. Insgesamt ist <math>P</math> ein Polynom vom Grad 5. === Folgerung: Algebraische Abgeschlossenheit des komplexen Zahlkörpers === Von einem Polynom <math>f(z)</math> lässt sich der zu einer Nullstelle <math>z_0</math> mit <math>f(z_0)=0</math> gehörende [[w:de:Linearfaktor|Linearfaktor]] <math>(z-z_0)</math> abspalten: <math>f(z) = (z-z_0) \cdot \widehat{f}(z)</math>. (Dazu kann beispielsweise die [[w:de:Horner-Schema|Horner-Ruffini-Methode]] verwendet werden.) Durch die Abspaltung ergibt sich ein im Grad um eins reduziertes Polynom <math>f'(z)</math>, für welches das Verfahren wiederholt werden kann. Per Induktion ist hiermit gezeigt: Jedes nicht konstante Polynom über <math>\mathbb{C}</math> zerfällt vollständig in ein Produkt aus Linearfaktoren: :<math>f(z) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot z^k = a_n \cdot \prod_{i=1}^n (z-z_i)</math>&nbsp;, wobei die <math>z_i</math> die Nullstellen des Polynoms sind. === Algebraische Abgeschlossenheit === Der Fundamentalsatz der Algebra besagt also, dass der Körper <math>\mathbb{C}</math> der komplexen Zahlen [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. === Beispiel 3 === Die Polynomgleichung : <math>P(x)=x^5-5x^4+17x^3-13x^2=0</math> hat die Lösungen <math> \mathbb{L} = \{0,1,2-3\text{i},2+3\text{i}\}</math> als Nullstellen des Polynoms. Die Nullstelle <math>x_o=0</math> hat dabei die Vielfachheit 2, was analog zu Beispiel 2 über die [[w:de:Faktorisierung von Polynomen|Faktorisierung des Polynoms]] ersichtlich wird: : <math> \begin{array}{rcl} P(x) &=& x\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x-2+3\text{i})\cdot(x-2-3\text{i}) \\ &=& x\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x^2-4x+13) \end{array} </math> === Sprechweise - Vielfachheit === Man verwendet die Sprechweise „0 tritt mit Vielfachheit 2 auf“, alle anderen Nullstellen treten mit Vielfachheit 1 auf. Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Nullstellen im Allgemeinen nicht (alle) reell sind, selbst wenn das Polynom reelle Koeffizienten hat. Nichtreelle Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten treten aber immer paarweise komplex konjugiert auf (in obigem Beispiel <math>2\pm 3i</math>). === Anmerkung zum Fall reeller Koeffizienten === Für Polynome <math>P</math> mit reellen Koeffizienten gilt: * Ist <math>z_o</math> eine nichtreelle Nullstelle von <math>P</math>, so ist auch ihr komplex [[w:de:Komplexe Konjugation|Konjugiertes]] <math>\bar{z_o}</math> eine Nullstelle von <math>P</math> * Ist <math>z_o</math> eine mehrfache Nullstelle von <math>P</math>, so hat <math>\bar{z_o}</math> dieselbe Vielfachheit. === Faktorisierte Schreibweise - reellwertige Koeffizienten === In der [[w:de:Faktorisierung von Polynomen|faktorisierten Schreibweise]] des Polynoms lassen sich daher die zugehörigen Linearfaktoren immer zu einem quadratischen Faktor <math>(z-z_o)(z-\bar{z_o})</math> zusammenfassen. === Berechnung - reellwertige Koeffizienten === Ausmultipliziert hat dieses Polynom <math>P(z)=(z-z_o)(z-\bar{z_o})</math> zweiten Grades wieder rein reelle Koeffizienten: :<math> \begin{array}{rcl} (z-z_o)\cdot (z-\bar{z_o}) & = & z^2 - \underbrace{(z_o+\bar{z_o})}_{= 2\cdot \operatorname{Re}(z_o)} z + \underbrace{z_o\cdot\bar{z_o}}_{ = |z_o|^2 } \\ & = & z^2 - 2\cdot \operatorname{Re}(z_o)\cdot z + |z_o|^2 \end{array} </math> === Umkehrschluss - reellwertige Koeffizienten === Aus der obigen Überlegung folgt im Umkehrschluss, dass jedes reelle Polynom sich in Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. === Aufgabe === Berechnen Sie für das Polynom <math>P(z)= z^2 + 6z + 25 </math> die Zerlegung in Linearfaktoren und damit die komplexwertigen Nullstellen über <math> 6 = - 2\cdot \operatorname{Re}(z_o)</math> und <math>25 = |z_o|^2</math>. == Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes == Der '''Fundamentalsatz der Algebra''' lässt sich mit Hilfe [[w:de:Topologie (Mathematik)|topologischer]] Methoden unter Anwendung der [[w:de:Homotopietheorie|Homotopietheorie]] und des [[w:de:Abbildungsgrad|Abbildungsgrad]]es weiter verallgemeinern:<ref>Siehe Kap. 5, § 3 (''Ein homotopietheoretischer Beweis des Gaußschen Fundamentalsatzes der Algebra'') in: {{Literatur |Autor=Egbert Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=170–175}}</ref> : ''Jede [[w:de:stetige Funktion|stetige Funktion]] &nbsp; <math>f \colon \mathbb{C} \to\mathbb{C} </math>, für die eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]] &nbsp; <math> n > 0 </math> &nbsp; und weiter eine [[w:de:komplexe Zahl|komplexe Zahl]] &nbsp; <math>c \neq 0 </math> &nbsp; existieren derart, dass &nbsp; <math>\textstyle\lim_{z \to \infty}\ \tfrac{f(z)}{ z ^n} = c </math> &nbsp; erfüllt ist, hat eine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]].'' Hieraus folgt der Fundamentalsatz, indem man zu einer komplexen [[w:de:Polynomfunktion|Polynomfunktion]] &nbsp; <math> z \mapsto f(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_1 z + a_0 </math> &nbsp; &nbsp; <math> (z \in \mathbb{C}) </math> &nbsp; vom ''Grad '' &nbsp; <math> n > 0 </math> &nbsp; den [[w:de:Leitkoeffizient|Leitkoeffizient]]en als Konstante, also <math> c = a_n </math> &nbsp; nimmt. == Literatur == <references/> == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Funktionentheorie: Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra|Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra}} == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik I|Nullstellenapproximation mit numerischen Verfahren]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz%20der%20Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz%20der%20Algebra Fundamentalsatz der Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz%20der%20Algebra * Datum: 24.1.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]] [[Kategorie:Ungleichung]] [[Kategorie:Körpertheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)]] [[Kategorie:Carl Friedrich Gauß]] kz3473whdnhxed25aj7bbdmsasiehw7 1114101 1114100 2026-09-02T16:22:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Folgerung: Algebraische Abgeschlossenheit des komplexen Zahlkörpers */ 1114101 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''(Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra''' besagt, dass jedes nicht konstante [[w:de:Polynom|Polynom]] im Bereich der [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] mindestens eine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] besitzt. === Koeffizienten des Polynoms === Dabei können die [[w:de:Koeffizient|Koeffizient]]en des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein – insbesondere sind Polynome mit ganzen oder reellen Koeffizienten mit eingeschlossen. === Beispiel 1 === Wendet man den Satz zum Beispiel auf das Polynom <math>z^4+15z^2+4</math> an, so folgt, dass die im Bereich der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Zahlen unlösbare Gleichung <math>z^4+15z^2+4 = 0</math> im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung besitzen muss. === Existenz der Nullstelle === Der Fundamentalsatz der Algebra ist eine Existenzaussage, d.h. der Satz besagt, dass Polynome, die nicht konstant sind, eine Nullstelle besitzt. Der Satz liefert allerdings keine Verfahren, wie diese gefunden wird (siehe auch [[Kurs:Numerik I|Nullstellenapproximation mit numerischen Verfahren]]). === Beispiel 2 - algebraische Bestimmung der Nullstelle === Das Polynom <math>P(x):= x^2+4</math> besitzt die um 4 Einheiten nach oben verschobene Normalparabel als Graph der Funktion <math>P: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>. Diese schneidet die <math>x</math>-Achse nicht (keine Nullstellen in <math>\mathbb{R}</math>). Im Komplexen kann die beiden komplexen Nullstellen für <math>z\in \mathbb{C}</math> durch die 3. binomische Formel bestimmen: :<math> 0 = P(z)= z^2+4 = z^2 - (2i)^2 = (z+2i)\cdot (z-2i) </math> Durch die Zerlegung in Linearfaktoren erkennt man, dass <math>2i</math> und <math>-2i</math> die Nullstellen in <math>\mathbb{C}</math> sind. == Fundamentalsatz der Algebra == Es sei : <math> P(z) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot z^k </math> ein [[w:de:Polynom|Polynom]] vom Grad <math>\deg(P) =: n \in \mathbb{N}\backslash\{0\}</math> also ein nicht konstantes Polynom – mit komplexen Koeffizienten <math>a_k \in \mathbb{C}</math>. Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> (d.h. <math>P(z_0) = 0</math> gilt. === Beweisidee === Für den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] gibt es unterschiedliche Beweise. In der Funktionentheorie liefert dabei der [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]] eine Beweismöglichkeit. Der Fundamentalsatz der Algebra wird dabei über einen Beweis durch Widerspruch gezeigt. == Beweis - Fundamentalsatz == Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom <math>P: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>. Dann ist die Funktion <math>f(z):=\frac{1}{P(z)} </math> ebenfalls auf ganz <math>\mathbb{C}</math> definiert und auch holomorph auf <math>\mathbb{C}</math>. === Schritt 1 - Beschränktheit von 1/P === Wegen <math>\lim_{|z|\to \infty}|P(z)|=+\infty</math>, gibt es eine Schranke <math>S > 0</math> mit <math> |P(z)|\geq 1 </math> für alle <math> |z|\geq S </math>. === Schritt 2 - Beschränktheit von 1/P === Die abgeschlossene Kreisscheibe <math> D := \overline{B_S(0)} </math> ist eine kompakte Menge (abgeschlossen und beschränkt) und daher nimmt eine stetige Funktion <math>|f|</math> auf <math>D</math> das Maximum <math>\widehat{M}</math> (und auch das Minimum) an. Da <math>f</math> holomorph ist, ist <math>f</math> und damit auch <math>|f|</math> stetig. === Schritt 3 - Beschränktheit von 1/P === Insgesamt ist die holomophe (ganze) Funktion <math>f =\frac{1}{P}</math> durch <math>M:=\max\{1, \widehat{M} \}</math> beschränkt, d.h. <math> |f(z)| \leq M</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. === Schritt 4 - Widerspruch === Also ist <math>f:=\frac{1}{P}</math> nach dem Satz von Liouville konstant. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung. <div align="right"><math>\Box</math></div> === Bemerkung - Anzahl der Nullstellen === Genauer gilt, dass die Anzahl der Nullstellen und der Berücksichtigung der Vielfachheit dem Grad des Polynoms entspricht. Für das Polynom :<math> \begin{array}{rcl} P(z)& := & (z-3)^2\cdot(z-i)^3 \\ & = & (z-3)\cdot (z-3) \cdot (z-i) \cdot (z-i) \cdot (z-i) \\ \end{array} </math> hat die Nullstelle 3 die Vielfachheit 2 und die Nullstelle <math>i \in \mathbb{C}</math> die Vielfachheit 3. Insgesamt ist <math>P</math> ein Polynom vom Grad 5. === Folgerung: Algebraische Abgeschlossenheit des komplexen Zahlkörpers === Von einem Polynom <math>f(z)</math> lässt sich der zu einer Nullstelle <math>z_0</math> mit <math>f(z_0)=0</math> gehörende [[w:de:Linearfaktor|Linearfaktor]] <math>(z-z_0)</math> abspalten: <math>f(z) = (z-z_0) \cdot \widehat{f}(z)</math>. (Dazu kann beispielsweise die [[w:de:Horner-Schema|Horner-Ruffini-Methode]] verwendet werden.) Durch die Abspaltung ergibt sich ein im Grad um eins reduziertes Polynom <math>\hat{f}(z)</math>, für welches das Verfahren wiederholt werden kann. Per Induktion ist hiermit gezeigt: Jedes nicht konstante Polynom über <math>\mathbb{C}</math> zerfällt vollständig in ein Produkt aus Linearfaktoren: :<math>f(z) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot z^k = a_n \cdot \prod_{i=1}^n (z-z_i)</math>&nbsp;, wobei die <math>z_i</math> die Nullstellen des Polynoms sind. === Algebraische Abgeschlossenheit === Der Fundamentalsatz der Algebra besagt also, dass der Körper <math>\mathbb{C}</math> der komplexen Zahlen [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. === Beispiel 3 === Die Polynomgleichung : <math>P(x)=x^5-5x^4+17x^3-13x^2=0</math> hat die Lösungen <math> \mathbb{L} = \{0,1,2-3\text{i},2+3\text{i}\}</math> als Nullstellen des Polynoms. Die Nullstelle <math>x_o=0</math> hat dabei die Vielfachheit 2, was analog zu Beispiel 2 über die [[w:de:Faktorisierung von Polynomen|Faktorisierung des Polynoms]] ersichtlich wird: : <math> \begin{array}{rcl} P(x) &=& x\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x-2+3\text{i})\cdot(x-2-3\text{i}) \\ &=& x\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x^2-4x+13) \end{array} </math> === Sprechweise - Vielfachheit === Man verwendet die Sprechweise „0 tritt mit Vielfachheit 2 auf“, alle anderen Nullstellen treten mit Vielfachheit 1 auf. Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Nullstellen im Allgemeinen nicht (alle) reell sind, selbst wenn das Polynom reelle Koeffizienten hat. Nichtreelle Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten treten aber immer paarweise komplex konjugiert auf (in obigem Beispiel <math>2\pm 3i</math>). === Anmerkung zum Fall reeller Koeffizienten === Für Polynome <math>P</math> mit reellen Koeffizienten gilt: * Ist <math>z_o</math> eine nichtreelle Nullstelle von <math>P</math>, so ist auch ihr komplex [[w:de:Komplexe Konjugation|Konjugiertes]] <math>\bar{z_o}</math> eine Nullstelle von <math>P</math> * Ist <math>z_o</math> eine mehrfache Nullstelle von <math>P</math>, so hat <math>\bar{z_o}</math> dieselbe Vielfachheit. === Faktorisierte Schreibweise - reellwertige Koeffizienten === In der [[w:de:Faktorisierung von Polynomen|faktorisierten Schreibweise]] des Polynoms lassen sich daher die zugehörigen Linearfaktoren immer zu einem quadratischen Faktor <math>(z-z_o)(z-\bar{z_o})</math> zusammenfassen. === Berechnung - reellwertige Koeffizienten === Ausmultipliziert hat dieses Polynom <math>P(z)=(z-z_o)(z-\bar{z_o})</math> zweiten Grades wieder rein reelle Koeffizienten: :<math> \begin{array}{rcl} (z-z_o)\cdot (z-\bar{z_o}) & = & z^2 - \underbrace{(z_o+\bar{z_o})}_{= 2\cdot \operatorname{Re}(z_o)} z + \underbrace{z_o\cdot\bar{z_o}}_{ = |z_o|^2 } \\ & = & z^2 - 2\cdot \operatorname{Re}(z_o)\cdot z + |z_o|^2 \end{array} </math> === Umkehrschluss - reellwertige Koeffizienten === Aus der obigen Überlegung folgt im Umkehrschluss, dass jedes reelle Polynom sich in Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. === Aufgabe === Berechnen Sie für das Polynom <math>P(z)= z^2 + 6z + 25 </math> die Zerlegung in Linearfaktoren und damit die komplexwertigen Nullstellen über <math> 6 = - 2\cdot \operatorname{Re}(z_o)</math> und <math>25 = |z_o|^2</math>. == Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes == Der '''Fundamentalsatz der Algebra''' lässt sich mit Hilfe [[w:de:Topologie (Mathematik)|topologischer]] Methoden unter Anwendung der [[w:de:Homotopietheorie|Homotopietheorie]] und des [[w:de:Abbildungsgrad|Abbildungsgrad]]es weiter verallgemeinern:<ref>Siehe Kap. 5, § 3 (''Ein homotopietheoretischer Beweis des Gaußschen Fundamentalsatzes der Algebra'') in: {{Literatur |Autor=Egbert Harzheim |Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie |Datum=1978 |Seiten=170–175}}</ref> : ''Jede [[w:de:stetige Funktion|stetige Funktion]] &nbsp; <math>f \colon \mathbb{C} \to\mathbb{C} </math>, für die eine [[w:de:natürliche Zahl|natürliche Zahl]] &nbsp; <math> n > 0 </math> &nbsp; und weiter eine [[w:de:komplexe Zahl|komplexe Zahl]] &nbsp; <math>c \neq 0 </math> &nbsp; existieren derart, dass &nbsp; <math>\textstyle\lim_{z \to \infty}\ \tfrac{f(z)}{ z ^n} = c </math> &nbsp; erfüllt ist, hat eine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]].'' Hieraus folgt der Fundamentalsatz, indem man zu einer komplexen [[w:de:Polynomfunktion|Polynomfunktion]] &nbsp; <math> z \mapsto f(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_1 z + a_0 </math> &nbsp; &nbsp; <math> (z \in \mathbb{C}) </math> &nbsp; vom ''Grad '' &nbsp; <math> n > 0 </math> &nbsp; den [[w:de:Leitkoeffizient|Leitkoeffizient]]en als Konstante, also <math> c = a_n </math> &nbsp; nimmt. == Literatur == <references/> == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Funktionentheorie: Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra|Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra}} == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik I|Nullstellenapproximation mit numerischen Verfahren]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz%20der%20Algebra Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz%20der%20Algebra Fundamentalsatz der Algebra] https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz%20der%20Algebra * Datum: 24.1.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]] [[Kategorie:Ungleichung]] [[Kategorie:Körpertheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)]] [[Kategorie:Carl Friedrich Gauß]] kkxb5qytjp1xxxkqxp8646nl51djqtn 106 161014 1114077 1075491 2026-09-02T15:16:48Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis (F1) - Schritt 7 - Epsilon-Delta-Kriterium */ 1114077 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressource erweitert das [[Lemma von Goursat]] auf Funktionen <math>f</math>, die bis auf die Ausnahme eines Punktes <math>z_o</math> holomorph sind und zumindest noch in <math>z_o</math> stetig sind. Die Verallgemeinerung des Satzes ist für den Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] erforderlich. Letztlich wird sich aber mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher_Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] herausstellen, dass die [[Holomorphie]] mit Ausnahme eine Punktes, in dem die Funktion noch stetig ist, keine wirkliche Verallgemeinerung darstellt, da sich die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in diesem Punkt <math>z_o\in G</math> holomorph forsetzen lässt. Die Inhalte kann man als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel das [[Lemma von Goursat]] in den Voraussetzungen für eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in einem Punhkt <math>z_o\in G</math> anzuschwächen und für diesen Punkt nicht mehr die Holomorphie vorauszusetzen, sondern man verlangt in einem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]]. Man beweist, dass diese Ausnahme eines Punktes, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, immer noch das gleiche Resultat des Lemmas von Goursat liefert. === Bemerkung - Erweiterung des Lemmas von Goursat - Stetigkeit in einem Punkt === Mit der Einschränkung der Stetigkeit in einem Punkt gilt das [[Lemma von Goursat]] gilt weiterhin, wenn man die Voraussetzungen der Holomorphie einer Funktion <math>g:U \to \mathbb{C} </math> in einem Punkt <math>z_o \in U </math> abschwächt und in diesem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]] <math>z_o \in U </math> verlangt. Das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korollar|Korollar zum Lemma von Goursat]] mit Ausnahme von einem Punkt wird dabei auf den Umkreis für die Dreieck angewendet. === Nutzung in der Cauchy-Integralformel === In der [[Cauchy-Integralformel]] für Kreisscheiben ist diese Einschränkung erforderlich, da man dort eine Funktion als Differenzenquotient definiert, wobei beim Grenzwertübergang gegen <math>z_o</math> die Ableitung <math>f'(z_o)</math> erzeugt wird. :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z_o)}{\xi - z_o} & , & \xi \not= z_o \\ f'(z_o) & , & \xi = z_o \\ \end{cases} \end{array} </math> <span id="Goursat_Ausnahme_Punkt"></span> == Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} \subset U</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt: :<math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> === Voraussetzungen - Details === * (P1) Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge mit <math>z_o\in U</math>, * (P2) Seien <math>{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\in\mathbb{C}</math> drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck :<math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} := \left\{ \sum_{k=1}^{3} \lambda_{k} \cdot{z}_{k} \left| {\left({\sum_{{{k} {1}}}^{{3}}}\lambda_{{k}}={1}\right)} \wedge \forall_{k\in \{ 1,2,3\} } : \lambda_{k} \in [0,1] \right\}\right. \subset{U} </math> : definieren, * (P3) Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, * (P4) Sei <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}:{\left[{0},{3}\right]}\to\mathbb{C}</math> der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> mit Startpunkt <math>{z}_{{1}}</math>. == Beweis - Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Der Beweis gliedert sich in 4 Fälle, die bezogen auf die Lage von <math>z_o \in U</math> unterscheiden: * '''(F0)''' <math>z_o \notin \Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} </math> , d.h. <math>z_o</math> liegt nicht auf dem Rand und im Inneren des Dreiecks. * '''(F1)''' <math>z_o = z_k</math> mit <math>k=1,2,3</math>, d.h. dass <math>z_o</math> ein Eckpunkt des Dreiecks ist. * '''(F2)''' Mit <math>z_o\in Spur(\langle z_1,z_2,z_3 \rangle)</math> liegt <math>z_o</math> auf einer Dreiecksseite - also auf dem Integrationsweg, * '''(F3)''' <math>z_o</math> liegt im Inneren des Dreiecks. Dabei folgert man aus (F1) den Fall (F2) und aus (F2) folgert man dann (F3). === Beweis - (F0) === Für den Fall (F0) ist nichts zu zeigen, da man hier das [[Lemma von Goursat]] direkt anwenden kann, wenn man die Umgebung <math> U </math> durch eine offene Menge <math> \widetilde{U} \subset U </math> ersetzt die <math>z_o</math> nicht enthält. === Beweis (F1) === Zunächst nimmt man bzgl. der Beweisidee zu (F1) an, dass der Punkt (hier <math>z_0</math>, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, ein Eckpunkt des Dreiecks ist (hier <math>z_0:=z_3</math>). [[File:Goursat ausnahme 1 punkt.gif|center|350px|thumb|Erweiterung des Lemmas von Goursat - Voraussetzung in einem Punkt nun noch stetig aber nicht notwendiger Weise holomorph]] ==== Beweis (F1) - Schritt 1 ==== Wie beim [[Lemma von Goursat]] zerlegt man das Ausgangsdreieck in Teildreiecke. Die eingefügten Teilstrecken (wie z.B. <math>\langle z_1,z_5\rangle</math>) werden dabei jeweils in beide Richtungen durchlaufen. Man fügt also sowohl das Wegintegral über <math>\langle z_1,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_1\rangle</math> zu Wegintegral über <math>\langle z_1,z_2,z_3\rangle</math>. Das erfolgt analog für <math>\langle z_4,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_4\rangle</math>. Durch die umgekehrt Laufrichtung heben sich die Wegintegral jeweils auf. ==== Beweis (F1) - Schritt 2 ==== Über die Dreieckszerlegung ergibt sich die folgende Integraldarstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & & \displaystyle + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_4,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_4 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5,z_4\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 3 - Lemma von Goursat ==== Die Integrale über <math>\langle z_1,z_2,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_5,z_4\rangle</math> ist nach dem [[Lemma von Goursat]] 0, da in der Umgebung von diese Dreiecken kein Ausnahmepunkt liegen, in dem <math>z_0</math> nur stetig ist. In der obigen Abbildung wurde als Ausnahmepunkt <math>z_0:=z_3</math> gewählt. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 4 - Grenzwertprozess ==== Man lässt nun mit (analog zur Animation) die Punkt <math>z_4</math> und <math>z_5</math> gegen <math>z_3</math> laufen: * <math>z_4^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> * <math>z_5^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 5 - Grenzwertprozess ==== Die Folgen <math>\left( z_4^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> und <math>\left( z_5^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> wurden als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definert und es gilt: * <math>\lim_{n\to \infty} z_4^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> * <math>\lim_{n\to \infty} z_5^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 6 - Grenzwertprozess ==== Da die Funktion <math>f</math> in dem Eckpunkt <math>z_0:=z_3</math> des Dreiecks noch stetig ist, folgt: * <math>\lim_{n\to \infty} f\left( z_4^{(n)}\right) = f(z_3) </math> * <math>\lim_{n\to \infty} f\left(z_5^{(n)}\right) = f(z_3) </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 7 - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Mit dem <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium kann man für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>\delta > 0 </math> finden, sodass folgende Ungleichung für alle <math>|z-z_o| < \delta</math> mit <math>z_o:=z_3</math> gilt wegen der Dreieckungleichung: :<math> \left| f(z) \right| - \left| f(z_0) \right| \leq \left| f(z) - f(z_0) \right| < \varepsilon </math> Man wählt nun mit der Konvergenz der Folgen <math>n \geq n_\varepsilon </math>, dass <math> | z_4^{(n)} - z_o | < \delta</math> und <math> | z_5^{(n)} - z_o | < \delta</math>. Damit liegen auch aller Punkte auf dem Dreiecksrand <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math> in <math>D_\delta (z_o)</math>. ==== Beweis (F1) - Schritt 8 - Abschätzung Integral ==== Man kann mit <math> \left| f(z) \right| < \varepsilon + \left| f(z_0) \right| </math> die Funktion auf ganz <math>D_\delta (z_o)</math> nach oben gegen <math>\varepsilon + \left| f(z_0) \right|</math> abschätzen. Die Abschätzung gilt dann auch für die Spur von <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math>, die in der Kreisscheibe <math>D_\delta (z_o)</math> liegt. ==== Beweis (F1) - Schritt 9 - Abschätzung Integral ==== Es gilt damit: ::<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \right| & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z) | \, dz \\ & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z_o) | + \varepsilon \, dz \\ & \leq & \left( | f(z_o) | + \varepsilon \right) \cdot \underbrace{\mathcal{L}\left( \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle \right)}_{\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{array} </math> Dies gilt analog für jeden anderen Eckpunkt des Dreiecks. === Beweis (F2) - Punkt auf Dreieckseite === Wenn der Punkt <math>z_0</math> auf einer Dreickseite liegt und keine Eckpunkt ist, kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F2) - Schritt 1 - Punkt auf Dreieckseite ==== Ohne Einschränkung liegt der Punkt <math>z_0</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_0,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_0\rangle </math> ==== Beweis (F2) - Schritt 2 - Anwendung von (F1) ==== Der Punkt <math>z_0</math> ist nun Eckpunkt von beiden Dreiecken <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> und <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> und man den Fall (F1) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_0,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_0,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} </math> === Beweis (F3) - Punkt im Inneren des Dreiecks === Wenn der Punkt <math>z_0</math> im Inneren des Dreicks liegt, kann man von der Eckpunkt <math>z_1</math> durch <math>z_0</math> eine Gerade ziehen, die die gegenüberliegende Dreieckseite in <math>z_6</math> schneidet. Nun ergänzt man zwei weitere Integrationswege: : <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> und <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F3) - Schritt 1 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_6,z_1,z_2 \rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_6,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_6\rangle </math> Die ergänzten Wegintegrale verändern verändern das Gesamtintegral durch die umgekehrte Laufrichtung nicht. ==== Beweis (F3) - Schritt 2 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Damit liegt <math>z_0</math> auf den zerlegten beiden Dreiecksränden auf einer Dreiecksseite <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> bzw. <math>\langle z_1,z_6\rangle </math>. Damit kann man in beiden Teildreiecken den Fall (F2) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_6,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_6,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} \qquad \Box </math> === Aufgaben für Studierende - Berechnung von Schnittpunkt === In dem obigen Fall (F3), wenn <math>z_0</math> ein innerer Punkt ist, gibt es einen eindeutig definiert Punkt <math>z_6</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Berechnen Sie den Punkt <math>z_6</math> aus den gegeben Punkte <math>z_0,z_1,z_2,z_3</math> mit einem linearen Gleichungssystem. <span id="Korrollar_von_Goursat"></span> <span id="Korollar"></span> == Korrolar für Kreisscheiben - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\overline{D_r(z_1)} \subset U</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt: :<math>\oint_{\partial D_r(z_1)}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> == Beweisidee - Korollar für Kreisscheiben == Die Beweisidee beruht im Wesentlichen darauf, das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Goursat_Ausnahme_Punkt|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] auf den [[w:de:Umkreis|Umkreis des Dreiecks]] zu erweitern und dann die Dreiecksseiten in beide Richtungen zu durchlaufen, damit man das Integral über den Kreisrand nicht verändert. Im Inneren des Dreiecks wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes anwenden und das Integral über den Dreiecksrand verschwindet. Auf einem geschlossenen Weg über einen [[w:de:Kreisbogen|Kreisbogen]] und einer Dreieckseite existiert eine Stammfunktion und daher ist das Integral über diese 3 geschlossenen Wege ebenfalls 0. === Abbildung zur Beweisidee === [[File:Lemma Goursat extension to disk.png|thumb|Visualisierung für das Korollar für Kreisscheiben]] Die Abbildung zeigt den Punkt <math>z_o</math>, in dem die holomorphe Funktion noch stetig ist und einen beliebigen Punkt <math>z\in D_r(z_1)</math> im Inneren der Kreisscheibe. Geometrisch entsteht * <math>\xi_1</math> als Schnittpunkt der Geraden durch <math>z_1</math> und <math>z</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieben sind und * <math>\xi_m</math> und <math>\xi_3</math> als Schnittpunkte der Geraden <math>g</math> durch <math>z_1</math> und <math>z_o</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieben sind. * Auf diese Dreieck <math>\langle \xi_1,\xi_2,\xi_3 \rangle</math> wird das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes angewendet. === Aufgabe für Studierende - Korollar === Führen Sie die Beweisidee vollständig mit den Details aus und betrachten Sie auch die Fälle <math>z_o=z_1</math>, <math>z_o=z</math>, <math>z_1=z</math> und <math>z_0,z_1,z</math> liegen auf einer Geraden. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6rxw90vwc4unzd28c64b2ot9wykdxlu 1114078 1114077 2026-09-02T15:17:18Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis (F1) - Schritt 7 - Epsilon-Delta-Kriterium */ 1114078 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressource erweitert das [[Lemma von Goursat]] auf Funktionen <math>f</math>, die bis auf die Ausnahme eines Punktes <math>z_o</math> holomorph sind und zumindest noch in <math>z_o</math> stetig sind. Die Verallgemeinerung des Satzes ist für den Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] erforderlich. Letztlich wird sich aber mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher_Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] herausstellen, dass die [[Holomorphie]] mit Ausnahme eine Punktes, in dem die Funktion noch stetig ist, keine wirkliche Verallgemeinerung darstellt, da sich die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in diesem Punkt <math>z_o\in G</math> holomorph forsetzen lässt. Die Inhalte kann man als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel das [[Lemma von Goursat]] in den Voraussetzungen für eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in einem Punhkt <math>z_o\in G</math> anzuschwächen und für diesen Punkt nicht mehr die Holomorphie vorauszusetzen, sondern man verlangt in einem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]]. Man beweist, dass diese Ausnahme eines Punktes, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, immer noch das gleiche Resultat des Lemmas von Goursat liefert. === Bemerkung - Erweiterung des Lemmas von Goursat - Stetigkeit in einem Punkt === Mit der Einschränkung der Stetigkeit in einem Punkt gilt das [[Lemma von Goursat]] gilt weiterhin, wenn man die Voraussetzungen der Holomorphie einer Funktion <math>g:U \to \mathbb{C} </math> in einem Punkt <math>z_o \in U </math> abschwächt und in diesem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]] <math>z_o \in U </math> verlangt. Das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korollar|Korollar zum Lemma von Goursat]] mit Ausnahme von einem Punkt wird dabei auf den Umkreis für die Dreieck angewendet. === Nutzung in der Cauchy-Integralformel === In der [[Cauchy-Integralformel]] für Kreisscheiben ist diese Einschränkung erforderlich, da man dort eine Funktion als Differenzenquotient definiert, wobei beim Grenzwertübergang gegen <math>z_o</math> die Ableitung <math>f'(z_o)</math> erzeugt wird. :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z_o)}{\xi - z_o} & , & \xi \not= z_o \\ f'(z_o) & , & \xi = z_o \\ \end{cases} \end{array} </math> <span id="Goursat_Ausnahme_Punkt"></span> == Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} \subset U</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt: :<math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> === Voraussetzungen - Details === * (P1) Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge mit <math>z_o\in U</math>, * (P2) Seien <math>{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\in\mathbb{C}</math> drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck :<math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} := \left\{ \sum_{k=1}^{3} \lambda_{k} \cdot{z}_{k} \left| {\left({\sum_{{{k} {1}}}^{{3}}}\lambda_{{k}}={1}\right)} \wedge \forall_{k\in \{ 1,2,3\} } : \lambda_{k} \in [0,1] \right\}\right. \subset{U} </math> : definieren, * (P3) Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, * (P4) Sei <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}:{\left[{0},{3}\right]}\to\mathbb{C}</math> der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> mit Startpunkt <math>{z}_{{1}}</math>. == Beweis - Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Der Beweis gliedert sich in 4 Fälle, die bezogen auf die Lage von <math>z_o \in U</math> unterscheiden: * '''(F0)''' <math>z_o \notin \Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} </math> , d.h. <math>z_o</math> liegt nicht auf dem Rand und im Inneren des Dreiecks. * '''(F1)''' <math>z_o = z_k</math> mit <math>k=1,2,3</math>, d.h. dass <math>z_o</math> ein Eckpunkt des Dreiecks ist. * '''(F2)''' Mit <math>z_o\in Spur(\langle z_1,z_2,z_3 \rangle)</math> liegt <math>z_o</math> auf einer Dreiecksseite - also auf dem Integrationsweg, * '''(F3)''' <math>z_o</math> liegt im Inneren des Dreiecks. Dabei folgert man aus (F1) den Fall (F2) und aus (F2) folgert man dann (F3). === Beweis - (F0) === Für den Fall (F0) ist nichts zu zeigen, da man hier das [[Lemma von Goursat]] direkt anwenden kann, wenn man die Umgebung <math> U </math> durch eine offene Menge <math> \widetilde{U} \subset U </math> ersetzt die <math>z_o</math> nicht enthält. === Beweis (F1) === Zunächst nimmt man bzgl. der Beweisidee zu (F1) an, dass der Punkt (hier <math>z_0</math>, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, ein Eckpunkt des Dreiecks ist (hier <math>z_0:=z_3</math>). [[File:Goursat ausnahme 1 punkt.gif|center|350px|thumb|Erweiterung des Lemmas von Goursat - Voraussetzung in einem Punkt nun noch stetig aber nicht notwendiger Weise holomorph]] ==== Beweis (F1) - Schritt 1 ==== Wie beim [[Lemma von Goursat]] zerlegt man das Ausgangsdreieck in Teildreiecke. Die eingefügten Teilstrecken (wie z.B. <math>\langle z_1,z_5\rangle</math>) werden dabei jeweils in beide Richtungen durchlaufen. Man fügt also sowohl das Wegintegral über <math>\langle z_1,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_1\rangle</math> zu Wegintegral über <math>\langle z_1,z_2,z_3\rangle</math>. Das erfolgt analog für <math>\langle z_4,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_4\rangle</math>. Durch die umgekehrt Laufrichtung heben sich die Wegintegral jeweils auf. ==== Beweis (F1) - Schritt 2 ==== Über die Dreieckszerlegung ergibt sich die folgende Integraldarstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & & \displaystyle + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_4,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_4 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5,z_4\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 3 - Lemma von Goursat ==== Die Integrale über <math>\langle z_1,z_2,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_5,z_4\rangle</math> ist nach dem [[Lemma von Goursat]] 0, da in der Umgebung von diese Dreiecken kein Ausnahmepunkt liegen, in dem <math>z_0</math> nur stetig ist. In der obigen Abbildung wurde als Ausnahmepunkt <math>z_0:=z_3</math> gewählt. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 4 - Grenzwertprozess ==== Man lässt nun mit (analog zur Animation) die Punkt <math>z_4</math> und <math>z_5</math> gegen <math>z_3</math> laufen: * <math>z_4^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> * <math>z_5^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 5 - Grenzwertprozess ==== Die Folgen <math>\left( z_4^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> und <math>\left( z_5^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> wurden als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definert und es gilt: * <math>\lim_{n\to \infty} z_4^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> * <math>\lim_{n\to \infty} z_5^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 6 - Grenzwertprozess ==== Da die Funktion <math>f</math> in dem Eckpunkt <math>z_0:=z_3</math> des Dreiecks noch stetig ist, folgt: * <math>\lim_{n\to \infty} f\left( z_4^{(n)}\right) = f(z_3) </math> * <math>\lim_{n\to \infty} f\left(z_5^{(n)}\right) = f(z_3) </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 7 - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Mit dem <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium kann man für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>\delta > 0 </math> finden, sodass folgende Ungleichung für alle <math>|z-z_o| < \delta</math> mit <math>z_o:=z_3</math> gilt wegen der Dreieckungleichung: :<math> \left| f(z) \right| - \left| f(z_0) \right| \leq \left| f(z) - f(z_0) \right| < \varepsilon </math> Man wählt nun mit der Konvergenz der Folgen <math>n \geq n_\varepsilon </math>, dass <math> | z_4^{(n)} - z_o | < \delta</math> und <math> | z_5^{(n)} - z_o | < \delta</math>. Damit liegen auch alle Punkte auf dem Dreiecksrand <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math> in <math>D_\delta (z_o)</math>. ==== Beweis (F1) - Schritt 8 - Abschätzung Integral ==== Man kann mit <math> \left| f(z) \right| < \varepsilon + \left| f(z_0) \right| </math> die Funktion auf ganz <math>D_\delta (z_o)</math> nach oben gegen <math>\varepsilon + \left| f(z_0) \right|</math> abschätzen. Die Abschätzung gilt dann auch für die Spur von <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math>, die in der Kreisscheibe <math>D_\delta (z_o)</math> liegt. ==== Beweis (F1) - Schritt 9 - Abschätzung Integral ==== Es gilt damit: ::<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \right| & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z) | \, dz \\ & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z_o) | + \varepsilon \, dz \\ & \leq & \left( | f(z_o) | + \varepsilon \right) \cdot \underbrace{\mathcal{L}\left( \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle \right)}_{\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{array} </math> Dies gilt analog für jeden anderen Eckpunkt des Dreiecks. === Beweis (F2) - Punkt auf Dreieckseite === Wenn der Punkt <math>z_0</math> auf einer Dreickseite liegt und keine Eckpunkt ist, kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F2) - Schritt 1 - Punkt auf Dreieckseite ==== Ohne Einschränkung liegt der Punkt <math>z_0</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_0,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_0\rangle </math> ==== Beweis (F2) - Schritt 2 - Anwendung von (F1) ==== Der Punkt <math>z_0</math> ist nun Eckpunkt von beiden Dreiecken <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> und <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> und man den Fall (F1) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_0,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_0,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} </math> === Beweis (F3) - Punkt im Inneren des Dreiecks === Wenn der Punkt <math>z_0</math> im Inneren des Dreicks liegt, kann man von der Eckpunkt <math>z_1</math> durch <math>z_0</math> eine Gerade ziehen, die die gegenüberliegende Dreieckseite in <math>z_6</math> schneidet. Nun ergänzt man zwei weitere Integrationswege: : <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> und <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F3) - Schritt 1 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_6,z_1,z_2 \rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_6,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_6\rangle </math> Die ergänzten Wegintegrale verändern verändern das Gesamtintegral durch die umgekehrte Laufrichtung nicht. ==== Beweis (F3) - Schritt 2 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Damit liegt <math>z_0</math> auf den zerlegten beiden Dreiecksränden auf einer Dreiecksseite <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> bzw. <math>\langle z_1,z_6\rangle </math>. Damit kann man in beiden Teildreiecken den Fall (F2) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_6,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_6,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} \qquad \Box </math> === Aufgaben für Studierende - Berechnung von Schnittpunkt === In dem obigen Fall (F3), wenn <math>z_0</math> ein innerer Punkt ist, gibt es einen eindeutig definiert Punkt <math>z_6</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Berechnen Sie den Punkt <math>z_6</math> aus den gegeben Punkte <math>z_0,z_1,z_2,z_3</math> mit einem linearen Gleichungssystem. <span id="Korrollar_von_Goursat"></span> <span id="Korollar"></span> == Korrolar für Kreisscheiben - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\overline{D_r(z_1)} \subset U</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt: :<math>\oint_{\partial D_r(z_1)}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> == Beweisidee - Korollar für Kreisscheiben == Die Beweisidee beruht im Wesentlichen darauf, das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Goursat_Ausnahme_Punkt|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] auf den [[w:de:Umkreis|Umkreis des Dreiecks]] zu erweitern und dann die Dreiecksseiten in beide Richtungen zu durchlaufen, damit man das Integral über den Kreisrand nicht verändert. Im Inneren des Dreiecks wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes anwenden und das Integral über den Dreiecksrand verschwindet. Auf einem geschlossenen Weg über einen [[w:de:Kreisbogen|Kreisbogen]] und einer Dreieckseite existiert eine Stammfunktion und daher ist das Integral über diese 3 geschlossenen Wege ebenfalls 0. === Abbildung zur Beweisidee === [[File:Lemma Goursat extension to disk.png|thumb|Visualisierung für das Korollar für Kreisscheiben]] Die Abbildung zeigt den Punkt <math>z_o</math>, in dem die holomorphe Funktion noch stetig ist und einen beliebigen Punkt <math>z\in D_r(z_1)</math> im Inneren der Kreisscheibe. Geometrisch entsteht * <math>\xi_1</math> als Schnittpunkt der Geraden durch <math>z_1</math> und <math>z</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieben sind und * <math>\xi_m</math> und <math>\xi_3</math> als Schnittpunkte der Geraden <math>g</math> durch <math>z_1</math> und <math>z_o</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieben sind. * Auf diese Dreieck <math>\langle \xi_1,\xi_2,\xi_3 \rangle</math> wird das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes angewendet. === Aufgabe für Studierende - Korollar === Führen Sie die Beweisidee vollständig mit den Details aus und betrachten Sie auch die Fälle <math>z_o=z_1</math>, <math>z_o=z</math>, <math>z_1=z</math> und <math>z_0,z_1,z</math> liegen auf einer Geraden. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4vvkwj8zlf3nmqxfjpp0y4ny2024359 1114079 1114078 2026-09-02T15:18:38Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisidee - Korollar für Kreisscheiben */ 1114079 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressource erweitert das [[Lemma von Goursat]] auf Funktionen <math>f</math>, die bis auf die Ausnahme eines Punktes <math>z_o</math> holomorph sind und zumindest noch in <math>z_o</math> stetig sind. Die Verallgemeinerung des Satzes ist für den Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] erforderlich. Letztlich wird sich aber mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher_Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] herausstellen, dass die [[Holomorphie]] mit Ausnahme eine Punktes, in dem die Funktion noch stetig ist, keine wirkliche Verallgemeinerung darstellt, da sich die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in diesem Punkt <math>z_o\in G</math> holomorph forsetzen lässt. Die Inhalte kann man als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel das [[Lemma von Goursat]] in den Voraussetzungen für eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in einem Punhkt <math>z_o\in G</math> anzuschwächen und für diesen Punkt nicht mehr die Holomorphie vorauszusetzen, sondern man verlangt in einem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]]. Man beweist, dass diese Ausnahme eines Punktes, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, immer noch das gleiche Resultat des Lemmas von Goursat liefert. === Bemerkung - Erweiterung des Lemmas von Goursat - Stetigkeit in einem Punkt === Mit der Einschränkung der Stetigkeit in einem Punkt gilt das [[Lemma von Goursat]] gilt weiterhin, wenn man die Voraussetzungen der Holomorphie einer Funktion <math>g:U \to \mathbb{C} </math> in einem Punkt <math>z_o \in U </math> abschwächt und in diesem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]] <math>z_o \in U </math> verlangt. Das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korollar|Korollar zum Lemma von Goursat]] mit Ausnahme von einem Punkt wird dabei auf den Umkreis für die Dreieck angewendet. === Nutzung in der Cauchy-Integralformel === In der [[Cauchy-Integralformel]] für Kreisscheiben ist diese Einschränkung erforderlich, da man dort eine Funktion als Differenzenquotient definiert, wobei beim Grenzwertübergang gegen <math>z_o</math> die Ableitung <math>f'(z_o)</math> erzeugt wird. :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z_o)}{\xi - z_o} & , & \xi \not= z_o \\ f'(z_o) & , & \xi = z_o \\ \end{cases} \end{array} </math> <span id="Goursat_Ausnahme_Punkt"></span> == Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} \subset U</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt: :<math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> === Voraussetzungen - Details === * (P1) Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge mit <math>z_o\in U</math>, * (P2) Seien <math>{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\in\mathbb{C}</math> drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck :<math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} := \left\{ \sum_{k=1}^{3} \lambda_{k} \cdot{z}_{k} \left| {\left({\sum_{{{k} {1}}}^{{3}}}\lambda_{{k}}={1}\right)} \wedge \forall_{k\in \{ 1,2,3\} } : \lambda_{k} \in [0,1] \right\}\right. \subset{U} </math> : definieren, * (P3) Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, * (P4) Sei <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}:{\left[{0},{3}\right]}\to\mathbb{C}</math> der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> mit Startpunkt <math>{z}_{{1}}</math>. == Beweis - Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Der Beweis gliedert sich in 4 Fälle, die bezogen auf die Lage von <math>z_o \in U</math> unterscheiden: * '''(F0)''' <math>z_o \notin \Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} </math> , d.h. <math>z_o</math> liegt nicht auf dem Rand und im Inneren des Dreiecks. * '''(F1)''' <math>z_o = z_k</math> mit <math>k=1,2,3</math>, d.h. dass <math>z_o</math> ein Eckpunkt des Dreiecks ist. * '''(F2)''' Mit <math>z_o\in Spur(\langle z_1,z_2,z_3 \rangle)</math> liegt <math>z_o</math> auf einer Dreiecksseite - also auf dem Integrationsweg, * '''(F3)''' <math>z_o</math> liegt im Inneren des Dreiecks. Dabei folgert man aus (F1) den Fall (F2) und aus (F2) folgert man dann (F3). === Beweis - (F0) === Für den Fall (F0) ist nichts zu zeigen, da man hier das [[Lemma von Goursat]] direkt anwenden kann, wenn man die Umgebung <math> U </math> durch eine offene Menge <math> \widetilde{U} \subset U </math> ersetzt die <math>z_o</math> nicht enthält. === Beweis (F1) === Zunächst nimmt man bzgl. der Beweisidee zu (F1) an, dass der Punkt (hier <math>z_0</math>, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, ein Eckpunkt des Dreiecks ist (hier <math>z_0:=z_3</math>). [[File:Goursat ausnahme 1 punkt.gif|center|350px|thumb|Erweiterung des Lemmas von Goursat - Voraussetzung in einem Punkt nun noch stetig aber nicht notwendiger Weise holomorph]] ==== Beweis (F1) - Schritt 1 ==== Wie beim [[Lemma von Goursat]] zerlegt man das Ausgangsdreieck in Teildreiecke. Die eingefügten Teilstrecken (wie z.B. <math>\langle z_1,z_5\rangle</math>) werden dabei jeweils in beide Richtungen durchlaufen. Man fügt also sowohl das Wegintegral über <math>\langle z_1,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_1\rangle</math> zu Wegintegral über <math>\langle z_1,z_2,z_3\rangle</math>. Das erfolgt analog für <math>\langle z_4,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_4\rangle</math>. Durch die umgekehrt Laufrichtung heben sich die Wegintegral jeweils auf. ==== Beweis (F1) - Schritt 2 ==== Über die Dreieckszerlegung ergibt sich die folgende Integraldarstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & & \displaystyle + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_4,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_4 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5,z_4\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 3 - Lemma von Goursat ==== Die Integrale über <math>\langle z_1,z_2,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_5,z_4\rangle</math> ist nach dem [[Lemma von Goursat]] 0, da in der Umgebung von diese Dreiecken kein Ausnahmepunkt liegen, in dem <math>z_0</math> nur stetig ist. In der obigen Abbildung wurde als Ausnahmepunkt <math>z_0:=z_3</math> gewählt. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 4 - Grenzwertprozess ==== Man lässt nun mit (analog zur Animation) die Punkt <math>z_4</math> und <math>z_5</math> gegen <math>z_3</math> laufen: * <math>z_4^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> * <math>z_5^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 5 - Grenzwertprozess ==== Die Folgen <math>\left( z_4^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> und <math>\left( z_5^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> wurden als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definert und es gilt: * <math>\lim_{n\to \infty} z_4^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> * <math>\lim_{n\to \infty} z_5^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 6 - Grenzwertprozess ==== Da die Funktion <math>f</math> in dem Eckpunkt <math>z_0:=z_3</math> des Dreiecks noch stetig ist, folgt: * <math>\lim_{n\to \infty} f\left( z_4^{(n)}\right) = f(z_3) </math> * <math>\lim_{n\to \infty} f\left(z_5^{(n)}\right) = f(z_3) </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 7 - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Mit dem <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium kann man für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>\delta > 0 </math> finden, sodass folgende Ungleichung für alle <math>|z-z_o| < \delta</math> mit <math>z_o:=z_3</math> gilt wegen der Dreieckungleichung: :<math> \left| f(z) \right| - \left| f(z_0) \right| \leq \left| f(z) - f(z_0) \right| < \varepsilon </math> Man wählt nun mit der Konvergenz der Folgen <math>n \geq n_\varepsilon </math>, dass <math> | z_4^{(n)} - z_o | < \delta</math> und <math> | z_5^{(n)} - z_o | < \delta</math>. Damit liegen auch alle Punkte auf dem Dreiecksrand <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math> in <math>D_\delta (z_o)</math>. ==== Beweis (F1) - Schritt 8 - Abschätzung Integral ==== Man kann mit <math> \left| f(z) \right| < \varepsilon + \left| f(z_0) \right| </math> die Funktion auf ganz <math>D_\delta (z_o)</math> nach oben gegen <math>\varepsilon + \left| f(z_0) \right|</math> abschätzen. Die Abschätzung gilt dann auch für die Spur von <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math>, die in der Kreisscheibe <math>D_\delta (z_o)</math> liegt. ==== Beweis (F1) - Schritt 9 - Abschätzung Integral ==== Es gilt damit: ::<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \right| & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z) | \, dz \\ & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z_o) | + \varepsilon \, dz \\ & \leq & \left( | f(z_o) | + \varepsilon \right) \cdot \underbrace{\mathcal{L}\left( \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle \right)}_{\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{array} </math> Dies gilt analog für jeden anderen Eckpunkt des Dreiecks. === Beweis (F2) - Punkt auf Dreieckseite === Wenn der Punkt <math>z_0</math> auf einer Dreickseite liegt und keine Eckpunkt ist, kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F2) - Schritt 1 - Punkt auf Dreieckseite ==== Ohne Einschränkung liegt der Punkt <math>z_0</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_0,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_0\rangle </math> ==== Beweis (F2) - Schritt 2 - Anwendung von (F1) ==== Der Punkt <math>z_0</math> ist nun Eckpunkt von beiden Dreiecken <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> und <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> und man den Fall (F1) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_0,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_0,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} </math> === Beweis (F3) - Punkt im Inneren des Dreiecks === Wenn der Punkt <math>z_0</math> im Inneren des Dreicks liegt, kann man von der Eckpunkt <math>z_1</math> durch <math>z_0</math> eine Gerade ziehen, die die gegenüberliegende Dreieckseite in <math>z_6</math> schneidet. Nun ergänzt man zwei weitere Integrationswege: : <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> und <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F3) - Schritt 1 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_6,z_1,z_2 \rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_6,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_6\rangle </math> Die ergänzten Wegintegrale verändern verändern das Gesamtintegral durch die umgekehrte Laufrichtung nicht. ==== Beweis (F3) - Schritt 2 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Damit liegt <math>z_0</math> auf den zerlegten beiden Dreiecksränden auf einer Dreiecksseite <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> bzw. <math>\langle z_1,z_6\rangle </math>. Damit kann man in beiden Teildreiecken den Fall (F2) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_6,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_6,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} \qquad \Box </math> === Aufgaben für Studierende - Berechnung von Schnittpunkt === In dem obigen Fall (F3), wenn <math>z_0</math> ein innerer Punkt ist, gibt es einen eindeutig definiert Punkt <math>z_6</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Berechnen Sie den Punkt <math>z_6</math> aus den gegeben Punkte <math>z_0,z_1,z_2,z_3</math> mit einem linearen Gleichungssystem. <span id="Korrollar_von_Goursat"></span> <span id="Korollar"></span> == Korrolar für Kreisscheiben - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\overline{D_r(z_1)} \subset U</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt: :<math>\oint_{\partial D_r(z_1)}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> == Beweisidee - Korollar für Kreisscheiben == Die Beweisidee beruht im Wesentlichen darauf, das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Goursat_Ausnahme_Punkt|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] auf den [[w:de:Umkreis|Umkreis des Dreiecks]] zu erweitern und dann die Dreiecksseiten in beide Richtungen zu durchlaufen, damit man das Integral über den Kreisrand nicht verändert. Im Inneren des Dreiecks wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an und das Integral über den Dreiecksrand verschwindet. Auf einem geschlossenen Weg über einen [[w:de:Kreisbogen|Kreisbogen]] und einer Dreieckseite existiert eine Stammfunktion und daher ist das Integral über diese 3 geschlossenen Wege ebenfalls 0. === Abbildung zur Beweisidee === [[File:Lemma Goursat extension to disk.png|thumb|Visualisierung für das Korollar für Kreisscheiben]] Die Abbildung zeigt den Punkt <math>z_o</math>, in dem die holomorphe Funktion noch stetig ist und einen beliebigen Punkt <math>z\in D_r(z_1)</math> im Inneren der Kreisscheibe. Geometrisch entsteht * <math>\xi_1</math> als Schnittpunkt der Geraden durch <math>z_1</math> und <math>z</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieben sind und * <math>\xi_m</math> und <math>\xi_3</math> als Schnittpunkte der Geraden <math>g</math> durch <math>z_1</math> und <math>z_o</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieben sind. * Auf diese Dreieck <math>\langle \xi_1,\xi_2,\xi_3 \rangle</math> wird das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes angewendet. === Aufgabe für Studierende - Korollar === Führen Sie die Beweisidee vollständig mit den Details aus und betrachten Sie auch die Fälle <math>z_o=z_1</math>, <math>z_o=z</math>, <math>z_1=z</math> und <math>z_0,z_1,z</math> liegen auf einer Geraden. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n7rbfhavswizd43ran77sq0l7htu0o5 1114080 1114079 2026-09-02T15:19:20Z ~2026-47548-34 41860 /* Abbildung zur Beweisidee */ 1114080 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressource erweitert das [[Lemma von Goursat]] auf Funktionen <math>f</math>, die bis auf die Ausnahme eines Punktes <math>z_o</math> holomorph sind und zumindest noch in <math>z_o</math> stetig sind. Die Verallgemeinerung des Satzes ist für den Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] erforderlich. Letztlich wird sich aber mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher_Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] herausstellen, dass die [[Holomorphie]] mit Ausnahme eine Punktes, in dem die Funktion noch stetig ist, keine wirkliche Verallgemeinerung darstellt, da sich die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in diesem Punkt <math>z_o\in G</math> holomorph forsetzen lässt. Die Inhalte kann man als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel das [[Lemma von Goursat]] in den Voraussetzungen für eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in einem Punhkt <math>z_o\in G</math> anzuschwächen und für diesen Punkt nicht mehr die Holomorphie vorauszusetzen, sondern man verlangt in einem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]]. Man beweist, dass diese Ausnahme eines Punktes, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, immer noch das gleiche Resultat des Lemmas von Goursat liefert. === Bemerkung - Erweiterung des Lemmas von Goursat - Stetigkeit in einem Punkt === Mit der Einschränkung der Stetigkeit in einem Punkt gilt das [[Lemma von Goursat]] gilt weiterhin, wenn man die Voraussetzungen der Holomorphie einer Funktion <math>g:U \to \mathbb{C} </math> in einem Punkt <math>z_o \in U </math> abschwächt und in diesem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]] <math>z_o \in U </math> verlangt. Das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korollar|Korollar zum Lemma von Goursat]] mit Ausnahme von einem Punkt wird dabei auf den Umkreis für die Dreieck angewendet. === Nutzung in der Cauchy-Integralformel === In der [[Cauchy-Integralformel]] für Kreisscheiben ist diese Einschränkung erforderlich, da man dort eine Funktion als Differenzenquotient definiert, wobei beim Grenzwertübergang gegen <math>z_o</math> die Ableitung <math>f'(z_o)</math> erzeugt wird. :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z_o)}{\xi - z_o} & , & \xi \not= z_o \\ f'(z_o) & , & \xi = z_o \\ \end{cases} \end{array} </math> <span id="Goursat_Ausnahme_Punkt"></span> == Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} \subset U</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt: :<math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> === Voraussetzungen - Details === * (P1) Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge mit <math>z_o\in U</math>, * (P2) Seien <math>{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\in\mathbb{C}</math> drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck :<math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} := \left\{ \sum_{k=1}^{3} \lambda_{k} \cdot{z}_{k} \left| {\left({\sum_{{{k} {1}}}^{{3}}}\lambda_{{k}}={1}\right)} \wedge \forall_{k\in \{ 1,2,3\} } : \lambda_{k} \in [0,1] \right\}\right. \subset{U} </math> : definieren, * (P3) Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, * (P4) Sei <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}:{\left[{0},{3}\right]}\to\mathbb{C}</math> der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> mit Startpunkt <math>{z}_{{1}}</math>. == Beweis - Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Der Beweis gliedert sich in 4 Fälle, die bezogen auf die Lage von <math>z_o \in U</math> unterscheiden: * '''(F0)''' <math>z_o \notin \Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} </math> , d.h. <math>z_o</math> liegt nicht auf dem Rand und im Inneren des Dreiecks. * '''(F1)''' <math>z_o = z_k</math> mit <math>k=1,2,3</math>, d.h. dass <math>z_o</math> ein Eckpunkt des Dreiecks ist. * '''(F2)''' Mit <math>z_o\in Spur(\langle z_1,z_2,z_3 \rangle)</math> liegt <math>z_o</math> auf einer Dreiecksseite - also auf dem Integrationsweg, * '''(F3)''' <math>z_o</math> liegt im Inneren des Dreiecks. Dabei folgert man aus (F1) den Fall (F2) und aus (F2) folgert man dann (F3). === Beweis - (F0) === Für den Fall (F0) ist nichts zu zeigen, da man hier das [[Lemma von Goursat]] direkt anwenden kann, wenn man die Umgebung <math> U </math> durch eine offene Menge <math> \widetilde{U} \subset U </math> ersetzt die <math>z_o</math> nicht enthält. === Beweis (F1) === Zunächst nimmt man bzgl. der Beweisidee zu (F1) an, dass der Punkt (hier <math>z_0</math>, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, ein Eckpunkt des Dreiecks ist (hier <math>z_0:=z_3</math>). [[File:Goursat ausnahme 1 punkt.gif|center|350px|thumb|Erweiterung des Lemmas von Goursat - Voraussetzung in einem Punkt nun noch stetig aber nicht notwendiger Weise holomorph]] ==== Beweis (F1) - Schritt 1 ==== Wie beim [[Lemma von Goursat]] zerlegt man das Ausgangsdreieck in Teildreiecke. Die eingefügten Teilstrecken (wie z.B. <math>\langle z_1,z_5\rangle</math>) werden dabei jeweils in beide Richtungen durchlaufen. Man fügt also sowohl das Wegintegral über <math>\langle z_1,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_1\rangle</math> zu Wegintegral über <math>\langle z_1,z_2,z_3\rangle</math>. Das erfolgt analog für <math>\langle z_4,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_4\rangle</math>. Durch die umgekehrt Laufrichtung heben sich die Wegintegral jeweils auf. ==== Beweis (F1) - Schritt 2 ==== Über die Dreieckszerlegung ergibt sich die folgende Integraldarstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & & \displaystyle + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_4,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_4 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5,z_4\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 3 - Lemma von Goursat ==== Die Integrale über <math>\langle z_1,z_2,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_5,z_4\rangle</math> ist nach dem [[Lemma von Goursat]] 0, da in der Umgebung von diese Dreiecken kein Ausnahmepunkt liegen, in dem <math>z_0</math> nur stetig ist. In der obigen Abbildung wurde als Ausnahmepunkt <math>z_0:=z_3</math> gewählt. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 4 - Grenzwertprozess ==== Man lässt nun mit (analog zur Animation) die Punkt <math>z_4</math> und <math>z_5</math> gegen <math>z_3</math> laufen: * <math>z_4^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> * <math>z_5^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 5 - Grenzwertprozess ==== Die Folgen <math>\left( z_4^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> und <math>\left( z_5^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> wurden als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definert und es gilt: * <math>\lim_{n\to \infty} z_4^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> * <math>\lim_{n\to \infty} z_5^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 6 - Grenzwertprozess ==== Da die Funktion <math>f</math> in dem Eckpunkt <math>z_0:=z_3</math> des Dreiecks noch stetig ist, folgt: * <math>\lim_{n\to \infty} f\left( z_4^{(n)}\right) = f(z_3) </math> * <math>\lim_{n\to \infty} f\left(z_5^{(n)}\right) = f(z_3) </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 7 - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Mit dem <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium kann man für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>\delta > 0 </math> finden, sodass folgende Ungleichung für alle <math>|z-z_o| < \delta</math> mit <math>z_o:=z_3</math> gilt wegen der Dreieckungleichung: :<math> \left| f(z) \right| - \left| f(z_0) \right| \leq \left| f(z) - f(z_0) \right| < \varepsilon </math> Man wählt nun mit der Konvergenz der Folgen <math>n \geq n_\varepsilon </math>, dass <math> | z_4^{(n)} - z_o | < \delta</math> und <math> | z_5^{(n)} - z_o | < \delta</math>. Damit liegen auch alle Punkte auf dem Dreiecksrand <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math> in <math>D_\delta (z_o)</math>. ==== Beweis (F1) - Schritt 8 - Abschätzung Integral ==== Man kann mit <math> \left| f(z) \right| < \varepsilon + \left| f(z_0) \right| </math> die Funktion auf ganz <math>D_\delta (z_o)</math> nach oben gegen <math>\varepsilon + \left| f(z_0) \right|</math> abschätzen. Die Abschätzung gilt dann auch für die Spur von <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math>, die in der Kreisscheibe <math>D_\delta (z_o)</math> liegt. ==== Beweis (F1) - Schritt 9 - Abschätzung Integral ==== Es gilt damit: ::<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \right| & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z) | \, dz \\ & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z_o) | + \varepsilon \, dz \\ & \leq & \left( | f(z_o) | + \varepsilon \right) \cdot \underbrace{\mathcal{L}\left( \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle \right)}_{\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{array} </math> Dies gilt analog für jeden anderen Eckpunkt des Dreiecks. === Beweis (F2) - Punkt auf Dreieckseite === Wenn der Punkt <math>z_0</math> auf einer Dreickseite liegt und keine Eckpunkt ist, kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F2) - Schritt 1 - Punkt auf Dreieckseite ==== Ohne Einschränkung liegt der Punkt <math>z_0</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_0,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_0\rangle </math> ==== Beweis (F2) - Schritt 2 - Anwendung von (F1) ==== Der Punkt <math>z_0</math> ist nun Eckpunkt von beiden Dreiecken <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> und <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> und man den Fall (F1) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_0,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_0,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} </math> === Beweis (F3) - Punkt im Inneren des Dreiecks === Wenn der Punkt <math>z_0</math> im Inneren des Dreicks liegt, kann man von der Eckpunkt <math>z_1</math> durch <math>z_0</math> eine Gerade ziehen, die die gegenüberliegende Dreieckseite in <math>z_6</math> schneidet. Nun ergänzt man zwei weitere Integrationswege: : <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> und <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F3) - Schritt 1 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_6,z_1,z_2 \rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_6,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_6\rangle </math> Die ergänzten Wegintegrale verändern verändern das Gesamtintegral durch die umgekehrte Laufrichtung nicht. ==== Beweis (F3) - Schritt 2 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Damit liegt <math>z_0</math> auf den zerlegten beiden Dreiecksränden auf einer Dreiecksseite <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> bzw. <math>\langle z_1,z_6\rangle </math>. Damit kann man in beiden Teildreiecken den Fall (F2) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_6,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_6,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} \qquad \Box </math> === Aufgaben für Studierende - Berechnung von Schnittpunkt === In dem obigen Fall (F3), wenn <math>z_0</math> ein innerer Punkt ist, gibt es einen eindeutig definiert Punkt <math>z_6</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Berechnen Sie den Punkt <math>z_6</math> aus den gegeben Punkte <math>z_0,z_1,z_2,z_3</math> mit einem linearen Gleichungssystem. <span id="Korrollar_von_Goursat"></span> <span id="Korollar"></span> == Korrolar für Kreisscheiben - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\overline{D_r(z_1)} \subset U</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt: :<math>\oint_{\partial D_r(z_1)}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> == Beweisidee - Korollar für Kreisscheiben == Die Beweisidee beruht im Wesentlichen darauf, das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Goursat_Ausnahme_Punkt|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] auf den [[w:de:Umkreis|Umkreis des Dreiecks]] zu erweitern und dann die Dreiecksseiten in beide Richtungen zu durchlaufen, damit man das Integral über den Kreisrand nicht verändert. Im Inneren des Dreiecks wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an und das Integral über den Dreiecksrand verschwindet. Auf einem geschlossenen Weg über einen [[w:de:Kreisbogen|Kreisbogen]] und einer Dreieckseite existiert eine Stammfunktion und daher ist das Integral über diese 3 geschlossenen Wege ebenfalls 0. === Abbildung zur Beweisidee === [[File:Lemma Goursat extension to disk.png|thumb|Visualisierung für das Korollar für Kreisscheiben]] Die Abbildung zeigt den Punkt <math>z_o</math>, in dem die holomorphe Funktion noch stetig ist und einen beliebigen Punkt <math>z\in D_r(z_1)</math> im Inneren der Kreisscheibe. Geometrisch entsteht * <math>\xi_1</math> als Schnittpunkt der Geraden durch <math>z_1</math> und <math>z</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieden sind und * <math>\xi_m</math> und <math>\xi_3</math> als Schnittpunkte der Geraden <math>g</math> durch <math>z_1</math> und <math>z_o</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieben sind. * Auf diese Dreieck <math>\langle \xi_1,\xi_2,\xi_3 \rangle</math> wird das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes angewendet. === Aufgabe für Studierende - Korollar === Führen Sie die Beweisidee vollständig mit den Details aus und betrachten Sie auch die Fälle <math>z_o=z_1</math>, <math>z_o=z</math>, <math>z_1=z</math> und <math>z_0,z_1,z</math> liegen auf einer Geraden. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aq31pi65je3zyp3h4o7ufflmwdb03ox 1114081 1114080 2026-09-02T15:19:55Z ~2026-47548-34 41860 /* Abbildung zur Beweisidee */ 1114081 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressource erweitert das [[Lemma von Goursat]] auf Funktionen <math>f</math>, die bis auf die Ausnahme eines Punktes <math>z_o</math> holomorph sind und zumindest noch in <math>z_o</math> stetig sind. Die Verallgemeinerung des Satzes ist für den Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] erforderlich. Letztlich wird sich aber mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher_Hebbarkeitssatz|Riemannschen Hebbarkeitssatz]] herausstellen, dass die [[Holomorphie]] mit Ausnahme eine Punktes, in dem die Funktion noch stetig ist, keine wirkliche Verallgemeinerung darstellt, da sich die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in diesem Punkt <math>z_o\in G</math> holomorph forsetzen lässt. Die Inhalte kann man als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel das [[Lemma von Goursat]] in den Voraussetzungen für eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> in einem Punhkt <math>z_o\in G</math> anzuschwächen und für diesen Punkt nicht mehr die Holomorphie vorauszusetzen, sondern man verlangt in einem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]]. Man beweist, dass diese Ausnahme eines Punktes, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, immer noch das gleiche Resultat des Lemmas von Goursat liefert. === Bemerkung - Erweiterung des Lemmas von Goursat - Stetigkeit in einem Punkt === Mit der Einschränkung der Stetigkeit in einem Punkt gilt das [[Lemma von Goursat]] gilt weiterhin, wenn man die Voraussetzungen der Holomorphie einer Funktion <math>g:U \to \mathbb{C} </math> in einem Punkt <math>z_o \in U </math> abschwächt und in diesem Punkt nur noch die [[Stetigkeit]] <math>z_o \in U </math> verlangt. Das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korollar|Korollar zum Lemma von Goursat]] mit Ausnahme von einem Punkt wird dabei auf den Umkreis für die Dreieck angewendet. === Nutzung in der Cauchy-Integralformel === In der [[Cauchy-Integralformel]] für Kreisscheiben ist diese Einschränkung erforderlich, da man dort eine Funktion als Differenzenquotient definiert, wobei beim Grenzwertübergang gegen <math>z_o</math> die Ableitung <math>f'(z_o)</math> erzeugt wird. :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z_o)}{\xi - z_o} & , & \xi \not= z_o \\ f'(z_o) & , & \xi = z_o \\ \end{cases} \end{array} </math> <span id="Goursat_Ausnahme_Punkt"></span> == Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} \subset U</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, dann gilt: :<math>\int_{{{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}}}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> === Voraussetzungen - Details === * (P1) Sei <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge mit <math>z_o\in U</math>, * (P2) Seien <math>{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\in\mathbb{C}</math> drei nicht kollineare Punkte, die das Dreieck :<math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} := \left\{ \sum_{k=1}^{3} \lambda_{k} \cdot{z}_{k} \left| {\left({\sum_{{{k} {1}}}^{{3}}}\lambda_{{k}}={1}\right)} \wedge \forall_{k\in \{ 1,2,3\} } : \lambda_{k} \in [0,1] \right\}\right. \subset{U} </math> : definieren, * (P3) Sei <math>{f}:{U}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, * (P4) Sei <math>{\left\langle{z}_{{1}},{z}_{{2}},{z}_{{3}}\right\rangle}:{\left[{0},{3}\right]}\to\mathbb{C}</math> der geschlossene Weg über den Dreiecksrand von <math>\Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)}</math> mit Startpunkt <math>{z}_{{1}}</math>. == Beweis - Lemma von Goursat - Ausnahme ein Punkt == Der Beweis gliedert sich in 4 Fälle, die bezogen auf die Lage von <math>z_o \in U</math> unterscheiden: * '''(F0)''' <math>z_o \notin \Delta{\left({z}_{{{1}}},{z}_{{{2}}},{z}_{{{3}}}\right)} </math> , d.h. <math>z_o</math> liegt nicht auf dem Rand und im Inneren des Dreiecks. * '''(F1)''' <math>z_o = z_k</math> mit <math>k=1,2,3</math>, d.h. dass <math>z_o</math> ein Eckpunkt des Dreiecks ist. * '''(F2)''' Mit <math>z_o\in Spur(\langle z_1,z_2,z_3 \rangle)</math> liegt <math>z_o</math> auf einer Dreiecksseite - also auf dem Integrationsweg, * '''(F3)''' <math>z_o</math> liegt im Inneren des Dreiecks. Dabei folgert man aus (F1) den Fall (F2) und aus (F2) folgert man dann (F3). === Beweis - (F0) === Für den Fall (F0) ist nichts zu zeigen, da man hier das [[Lemma von Goursat]] direkt anwenden kann, wenn man die Umgebung <math> U </math> durch eine offene Menge <math> \widetilde{U} \subset U </math> ersetzt die <math>z_o</math> nicht enthält. === Beweis (F1) === Zunächst nimmt man bzgl. der Beweisidee zu (F1) an, dass der Punkt (hier <math>z_0</math>, in dem man nur noch die Stetigkeit voraussetzt, ein Eckpunkt des Dreiecks ist (hier <math>z_0:=z_3</math>). [[File:Goursat ausnahme 1 punkt.gif|center|350px|thumb|Erweiterung des Lemmas von Goursat - Voraussetzung in einem Punkt nun noch stetig aber nicht notwendiger Weise holomorph]] ==== Beweis (F1) - Schritt 1 ==== Wie beim [[Lemma von Goursat]] zerlegt man das Ausgangsdreieck in Teildreiecke. Die eingefügten Teilstrecken (wie z.B. <math>\langle z_1,z_5\rangle</math>) werden dabei jeweils in beide Richtungen durchlaufen. Man fügt also sowohl das Wegintegral über <math>\langle z_1,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_1\rangle</math> zu Wegintegral über <math>\langle z_1,z_2,z_3\rangle</math>. Das erfolgt analog für <math>\langle z_4,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_5,z_4\rangle</math>. Durch die umgekehrt Laufrichtung heben sich die Wegintegral jeweils auf. ==== Beweis (F1) - Schritt 2 ==== Über die Dreieckszerlegung ergibt sich die folgende Integraldarstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & & \displaystyle + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_4,z_5 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_5,z_4 \rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_5,z_4\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz}_{=0} + \!\! \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 3 - Lemma von Goursat ==== Die Integrale über <math>\langle z_1,z_2,z_5\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_5,z_4\rangle</math> ist nach dem [[Lemma von Goursat]] 0, da in der Umgebung von diese Dreiecken kein Ausnahmepunkt liegen, in dem <math>z_0</math> nur stetig ist. In der obigen Abbildung wurde als Ausnahmepunkt <math>z_0:=z_3</math> gewählt. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{\scriptstyle \langle z_3,z_4,z_5\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 4 - Grenzwertprozess ==== Man lässt nun mit (analog zur Animation) die Punkt <math>z_4</math> und <math>z_5</math> gegen <math>z_3</math> laufen: * <math>z_4^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> * <math>z_5^{(n)}:= \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 5 - Grenzwertprozess ==== Die Folgen <math>\left( z_4^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> und <math>\left( z_5^{(n)} \right)_{n\in \mathbb{N}} </math> wurden als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definert und es gilt: * <math>\lim_{n\to \infty} z_4^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_1 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> * <math>\lim_{n\to \infty} z_5^{(n)} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \cdot z_2 + \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdot z_3 = z_3</math> ==== Beweis (F1) - Schritt 6 - Grenzwertprozess ==== Da die Funktion <math>f</math> in dem Eckpunkt <math>z_0:=z_3</math> des Dreiecks noch stetig ist, folgt: * <math>\lim_{n\to \infty} f\left( z_4^{(n)}\right) = f(z_3) </math> * <math>\lim_{n\to \infty} f\left(z_5^{(n)}\right) = f(z_3) </math> ==== Beweis (F1) - Schritt 7 - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Mit dem <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium kann man für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>\delta > 0 </math> finden, sodass folgende Ungleichung für alle <math>|z-z_o| < \delta</math> mit <math>z_o:=z_3</math> gilt wegen der Dreieckungleichung: :<math> \left| f(z) \right| - \left| f(z_0) \right| \leq \left| f(z) - f(z_0) \right| < \varepsilon </math> Man wählt nun mit der Konvergenz der Folgen <math>n \geq n_\varepsilon </math>, dass <math> | z_4^{(n)} - z_o | < \delta</math> und <math> | z_5^{(n)} - z_o | < \delta</math>. Damit liegen auch alle Punkte auf dem Dreiecksrand <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math> in <math>D_\delta (z_o)</math>. ==== Beweis (F1) - Schritt 8 - Abschätzung Integral ==== Man kann mit <math> \left| f(z) \right| < \varepsilon + \left| f(z_0) \right| </math> die Funktion auf ganz <math>D_\delta (z_o)</math> nach oben gegen <math>\varepsilon + \left| f(z_0) \right|</math> abschätzen. Die Abschätzung gilt dann auch für die Spur von <math> \langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\rangle </math>, die in der Kreisscheibe <math>D_\delta (z_o)</math> liegt. ==== Beweis (F1) - Schritt 9 - Abschätzung Integral ==== Es gilt damit: ::<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz \right| & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z) | \, dz \\ & \leq & \displaystyle \int_{\scriptstyle \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle} | f(z_o) | + \varepsilon \, dz \\ & \leq & \left( | f(z_o) | + \varepsilon \right) \cdot \underbrace{\mathcal{L}\left( \left\langle z_3,z_4^{(n)},z_5^{(n)}\right\rangle \right)}_{\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{array} </math> Dies gilt analog für jeden anderen Eckpunkt des Dreiecks. === Beweis (F2) - Punkt auf Dreieckseite === Wenn der Punkt <math>z_0</math> auf einer Dreickseite liegt und keine Eckpunkt ist, kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F2) - Schritt 1 - Punkt auf Dreieckseite ==== Ohne Einschränkung liegt der Punkt <math>z_0</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_0,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_0\rangle </math> ==== Beweis (F2) - Schritt 2 - Anwendung von (F1) ==== Der Punkt <math>z_0</math> ist nun Eckpunkt von beiden Dreiecken <math>\langle z_0,z_1,z_2\rangle </math> und <math>\langle z_1,z_0,z_3\rangle </math> und man den Fall (F1) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_0,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_0,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F1)} </math> === Beweis (F3) - Punkt im Inneren des Dreiecks === Wenn der Punkt <math>z_0</math> im Inneren des Dreicks liegt, kann man von der Eckpunkt <math>z_1</math> durch <math>z_0</math> eine Gerade ziehen, die die gegenüberliegende Dreieckseite in <math>z_6</math> schneidet. Nun ergänzt man zwei weitere Integrationswege: : <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> und <math>\langle z_1,z_6 \rangle </math> kann man Dreieck mit <math>z_0</math> in zwei Teildreicke zerlegen. ==== Beweis (F3) - Schritt 1 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Dann wählt man als Teildreiecke die Dreiecke * <math>\langle z_6,z_1,z_2 \rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> * <math>\langle z_1,z_6,z_3\rangle </math> mit ergänztem Wegintegral <math>\langle z_1,z_6\rangle </math> Die ergänzten Wegintegrale verändern verändern das Gesamtintegral durch die umgekehrte Laufrichtung nicht. ==== Beweis (F3) - Schritt 2 - Punkt im Dreiecksinneren ==== Damit liegt <math>z_0</math> auf den zerlegten beiden Dreiecksränden auf einer Dreiecksseite <math>\langle z_6,z_1\rangle </math> bzw. <math>\langle z_1,z_6\rangle </math>. Damit kann man in beiden Teildreiecken den Fall (F2) anwenden. :<math> \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_2,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz = \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_6,z_1,z_2\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} + \underbrace{ \int_{\scriptstyle \langle z_1,z_6,z_3\rangle} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(z)\, dz }_{=0\, (F2)} \qquad \Box </math> === Aufgaben für Studierende - Berechnung von Schnittpunkt === In dem obigen Fall (F3), wenn <math>z_0</math> ein innerer Punkt ist, gibt es einen eindeutig definiert Punkt <math>z_6</math> auf der Dreiecksseite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math>. Berechnen Sie den Punkt <math>z_6</math> aus den gegeben Punkte <math>z_0,z_1,z_2,z_3</math> mit einem linearen Gleichungssystem. <span id="Korrollar_von_Goursat"></span> <span id="Korollar"></span> == Korrolar für Kreisscheiben - Ausnahme ein Punkt == Sei <math>{f}:{U\setminus \{z_o\}}\to\mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die aber in <math>z_o \in U</math> aber noch stetig ist. Sei <math>\overline{D_r(z_1)} \subset U</math> eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt: :<math>\oint_{\partial D_r(z_1)}{f{{\left({z}\right)}}}{d}{z}={0}</math> == Beweisidee - Korollar für Kreisscheiben == Die Beweisidee beruht im Wesentlichen darauf, das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Goursat_Ausnahme_Punkt|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] auf den [[w:de:Umkreis|Umkreis des Dreiecks]] zu erweitern und dann die Dreiecksseiten in beide Richtungen zu durchlaufen, damit man das Integral über den Kreisrand nicht verändert. Im Inneren des Dreiecks wendet man das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes an und das Integral über den Dreiecksrand verschwindet. Auf einem geschlossenen Weg über einen [[w:de:Kreisbogen|Kreisbogen]] und einer Dreieckseite existiert eine Stammfunktion und daher ist das Integral über diese 3 geschlossenen Wege ebenfalls 0. === Abbildung zur Beweisidee === [[File:Lemma Goursat extension to disk.png|thumb|Visualisierung für das Korollar für Kreisscheiben]] Die Abbildung zeigt den Punkt <math>z_o</math>, in dem die holomorphe Funktion noch stetig ist und einen beliebigen Punkt <math>z\in D_r(z_1)</math> im Inneren der Kreisscheibe. Geometrisch entsteht * <math>\xi_1</math> als Schnittpunkt der Geraden durch <math>z_1</math> und <math>z</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieden sind und * <math>\xi_m</math> und <math>\xi_3</math> als Schnittpunkte der Geraden <math>g</math> durch <math>z_1</math> und <math>z_o</math> mit dem Kreisrand, wenn die Punkte verschieden sind. * Auf diese Dreieck <math>\langle \xi_1,\xi_2,\xi_3 \rangle</math> wird das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes angewendet. === Aufgabe für Studierende - Korollar === Führen Sie die Beweisidee vollständig mit den Details aus und betrachten Sie auch die Fälle <math>z_o=z_1</math>, <math>z_o=z</math>, <math>z_1=z</math> und <math>z_0,z_1,z</math> liegen auf einer Geraden. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kd2ydiaqofex9erd6csxj248e2t7jff 0 162012 1114141 1112091 2026-09-03T10:28:14Z C.Koltzenburg 13981 /* R */ 1114141 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] Zu dieser Fachbegriffe-Liste: 1000 Dank an Ch. und Th. für die Vorarbeiten, die Protokolle gründlich auszuwerten - und vielen Dank an die Verfasser*innen der Protokolle! [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#A|A]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#B|B]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#C|C]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#D|D]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#E|E]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#F|F]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#G|G]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#H|H]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#I|I]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. 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Hirnnerv, r '''Abduktion''', e –– Abspreizung von Körperteilen, (Hin)Wegführung / Wegspreizen einer Extremität nach außen '''Ablatio mammae''', e –– Brustamputation '''Ablatio retinae''', e –– Netzhautablösung Ablation, e –– Entfernung von Körpergewebe bzw. Körperteilen abnorm (Adj./ Adv.) –– pathologisch, krankhaft '''Abort''', r –– Fehlgeburt, e Abortus completus, r –– vollständige Fehlgeburt, e '''Abortus imminens''', r –– drohende Fehlgeburt, e '''Abortus incipiens''', r –– beginnende Fehlgeburt, e '''Abszess''', r –– eitrige Geschwulst, Eiteransammlung in einem nicht vorbestehenden Hohlraum, r '''Abusus''', r –– Missbrauch (Noxen (Tabak, Alkohol, Drogen), Medikamente) Acetabulum, s –– Hüftpfanne, e '''Acidose''' siehe '''Azidose''' Achalasie, e –– Funktionsstörung der Speiseröhre (Erschlaffung der glatten Muskulatur) ACS, s –– Akutes Koronarsyndrom '''Adaptation''', e –– Anpassung '''adäquat''' (Adj./ Adv.) –– passend '''Adduktoren''', r –– anziehende Muskeln, Muskeln, die eine Extremität zur Körpermittellinie ziehen Adenom, s –– gutartige Geschwulst des Drüsengewebes oder der Schleimhaut '''Adenotomie''', e –– operative Entfernung der Rachenmandel '''Adhäsion''', e –– Verwachsung, Verklebung '''adipös''' (Adj./ Adv.) –– fettleibig '''Adipositas''', e –– Fettsucht, e, Fettleibigkeit, e '''Adnexe''' (Pl.), e –– Eierstock, r, und Eileiter, r '''Adnexitis''', e –– Entzündung der Eileiter und Eierstöcke '''Adoleszenz''', e -– Jugendalter, s adrenal (Adj./ Adv.) –– die Nebennieren betreffend '''Adrenalektomie''', e –– operative Entfernung der Nebenniere adult (Adj./ Adv.) –– Erwachsene betreffend '''Adventitia''', e –– äußere Schicht der Blutgefäßwand, e '''Adynamie''', e –– Antriebslosigkeit, e aerob (Adj./ Adv.) –– Sauerstoff (O2), r (+ Akk), benötigend '''Aerobier''', r –– von Sauerstoff abhängiger Mikroorganismus, sauerstoffabhängiger Organismus '''Aerosol''', s –– Inhalationsmittel, s afebril (Adj./ Adv.) –– ohne Fieber '''Affekt''', r –– starke, kurz andauernde Gemütsbewegung '''Agglutination''', e –– Verklumpung '''aggravieren''' (Verb) –– eine Krankheit übertrieben darstellen '''Aggregation''', e –– Zusammenlagerung Aglossie, e –– Fehlen, s der Zunge '''Agonie''', e –– Todeskampf, r '''Agranulozytose''', e –– Verminderung der Granulozyten [Pl.] AHB –– Anschlussheilbehandlung, Anschlussrehabilitation, "Reha" '''Akkommodation''', e –– Anpassung, Scharfeinstellung des Auges Akne rosacea, e –– Kupferrose, e '''Akren''' [Pl.] –– die äußersten Teile des Körpers '''Akromegalie''', e –– Vergrößerung der äußersten Körperteile Akromion, s –– Schulterdach, s '''akut''' (Adj./ Adv.) –– plötzlich auftretend akute Sinusitis, e –– akute Nasennebenhöhlenentzündung '''Albino''', s –– Lebewesen mit angeborenem Pigmentmangel '''Albumin''', s –– ein Eiweißstoff im Blut Algesie, e –– Schmerz, r Algurie, e –– Schmerzen beim Wasserlassen, s, schmerzhaftes Wasserlassen '''alkalisch''' (Adj./ Adv.) –– basisch, laugenhaft '''Alkalose''', e –– Basenüberschuss, r, Erhöhung des pH-Werts im Blut, krankhafte Anhäufung von Basen im Blut '''Allergen''', s –– Stoff, der eine Allergie hervorrufen kann '''Allergie''', e –– krankhafte Überempfindlichkeit (auf einen bestimmten Stoff) '''allergisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft überempfindlich (auf einen bestimmten Stoff) allergische Rhinokonjunktivitis, e -- Heuschnupfen, r '''allergischer Schock''', r –– lebensbedrohliche, allergische Überreaktion, e '''Alopezie''', e –– Haarausfall, e ALS –– amyotrophe Lateralsklerose, e Alteration, e –– krankhafte Veränderung, krankhafte Abweichung Alternative, e –– andere Möglichkeit, Option '''Altinsulin''', s –– Normalinsulin (Insulin ohne verzögernde Zusätze) '''Alveolen''', e [Pl.] –– Lungenbläschen, s [Sing./ Pl.] '''Amaurose''', e –– totale Erblindung '''Amenorrhoe/ ö''', e –– Ausbleiben, s, der Regelblutung '''Amnesie''', e –– Erinnerungslücke, e, Gedächtnisverlust, r '''Amnioskopie''', e –– Fruchtwasserspiegelung Amputation, e –– Abtrennung von Gliedmaßen anaerob (Adj./ Adv.) –– ohne Sauerstoff, keinen Sauerstoff benötigend '''anal''' (Adj./ Adv.) –– den After betreffend Analabszess, r –– Eiteransammlung im/am After, s Analfissur, e –– Einriss der Haut des Afters '''Analgesie''', e –– Schmerzbekämpfung, Schmerzlosigkeit, e '''Analgetika''', e [Pl.] –– Schmerzmittel, e [Pl.] '''Analgetikum''', s [Sing.] –– Schmerzmittel, s [Sing.] '''analgetisch''' (Adj./ Adv.) –– schmerzstillend / schmerzlindernd '''analog''' (Adj./ Adv.) –– ähnlich Analprolaps, r –– Vorfall, r, der Haut des Afters, r Analpruritus, r –– Juckreiz am After, r '''Analsphinkter''', r –– Schließmuskel des Afters '''Anämie''', e –– Blutarmut, e '''anämisch''' (Adj./ Adv.) –– blutarm Anamnese, e –– Krankengeschichte, e '''anamnestisch''' (Adj./ Adv.) –– zur Vorgeschichte des/der Kranken gehörend '''anaphylaktischer Schock''', r –– schweres allergisches Kreislaufversagen, s, lebensbedrohliche, allergische Überreaktion des Kreislaufs Anarthrie, e –– Sprechstörung (schwerste Form, e) '''Anästhesie''', e –– Betäubung, Narkose, e '''Anastomose''', e –– Verbindung zwischen anatomischen Strukturen '''Anatomie''', e –– Lehre vom Bau des Körpers, vom Körperbau '''Androgene''' [Pl.] –– männliche Sexualhormone '''Aneurysma''', s –– Aussackung der Gefäßwand, e (Schlagader, e) Angina Pectoris, e –– Brustenge, e Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Angiographie''', e –– die radiologische Darstellung der Gefäße '''Angiologie''', e –– Lehre von den Gefäßen '''angiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Blutgefäße betreffend Angiom, s –– Blutschwamm, r Angiopathie, e –– krankhafte Veränderung von Gefäßen [Pl.] '''Angulation''', e –– Winkelung '''Angulus''', r –– Winkel, r Anhidrose, e –– fehlende Schweißbildung, Schweißdrüsenfunktionsstörung Anisokorie, e –– Pupillendifferenz, e '''Anomalie''', e –– Entwicklungsstörung, Abweichung vom Normalen Anorexia, Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''Anorexia nervosa''', e –– Magersucht, e Anosmie, e –– Verlust, r des Geruchssinns '''Antagonist''', r –– Gegenspieler, r, gegensätzlich wirkendes Organ oder Medikament, s '''Antazida, e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''Antazidum, s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''anterior''' (Adj./ Adv.) –– vordere/r, vorn(e) Anthelminthika, e [Pl.] –– Mittel, e [Pl.] gegen Würmer, Mittel, e [Pl.] zur Bekämpfung von Würmern Anthelminthikum, s [Sing.] –– Mittel, s [Sing.] gegen Würmer, Mittel, s [Sing.] zur Bekämpfung von Würmern Anthrax, r –– Milzbrand, r Anthropologie, e –– Menschenkunde, e '''Antiarrhythmika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antiarrhythmikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antibiotika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bakterien '''Antibiotikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bakterien '''Anticholinergika''', e [Pl.] –– Wirkstoffe, e, die die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Anticholinergikum''', s [Sing.] –– Wirkstoff, r, der die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Antidiabetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Zuckerkrankheit '''Antidiabetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Zuckerkrankheit Antidot, s –– Gegenmittel, s, Gegengift, s '''Antiemetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiemetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiepileptika''', e [Pl.], Antikonvulsiva, e [Pl.] –– Arzneimittel [Pl.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) '''Antiepileptikum''', s [Sing.], Antikonvulsivum, s [Sing.] –– Arzneimittel [Sing.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) Antigen, s –– Stoff, der die Bildung von Antikörpern bewirkt, Stoff, der das Immunsystem aktiviert '''Antihypertensiva''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bluthochdruck '''Antihypertensivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bluthochdruck Antikoagulation, e –– Blutverdünnung '''Antikonvulsiva''', e [Pl.] -- Arzneimittel, e [Pl.] gegen epileptische Anfälle, krampflösende Mittel '''Antikonvulsivum''', s [Sing.] -- Arzneimittel, s [Sing.] gegen epileptische Anfälle, krampflösended Mittel [Sing.] '''Antikörper''' [Pl.] –– Abwehrstoffe im Blut (gegen artfremde Eiweiße) '''Antimykotika''', e [Pl.] –– Mittel, e, [Pl.] gegen Pilzerkrankungen '''Antimykotikum''', s [Sing.] –– Mittel, s, [Sing.] gegen Pilzerkrankungen '''Antiphlogistika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e, [Pl.] gegen Entzündungen '''Antiphlogistikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s, [Sing.] gegen Entzündungen '''antiphlogistisch''' (Adj./ Adv.) –– entzündungshemmend '''Antipyretika''', e [Pl.] –– fiebersenkende Mittel [Pl.] '''Antipyretikum''', s [Sing.] –– fiebersenkendes Mittel [Sing.] antipyretisch (Adj./ Adv.) –– fiebersenkend '''Antiseptika''', e [Pl.] –– keimtötende Mittel [Pl.] '''Antiseptikum''', s [Sing.] –– keimtötendes Mittel [Sing.] '''Antitussiva''', e [Pl] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Husten '''Antitussivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Husten '''Anurie''', e –– Harnproduktion unter (<) 100 ml pro Tag '''Anus''', r –– After, r '''Anus praeter''', r, '''Anus praeternaturalis''', r –– künstlicher Darmausgang, r '''Anxiolyse''', e –– Beseitigung nervöser Unruhe, e (durch Medikamente), medikamentöse Linderung von Nervosität '''Anxiolytika''', s [Pl.] –– angstlösende Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Pl.] '''Anxiolytikum''', s [Sing.] –– angstlösendes Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Sing.] Aorta, e –– Hauptschlagader, e '''Aortenaneurysma''', s –– Aussackung der Hauptschlagader, e '''Aortenklappeninsuffizienz''', e –– mangelhafte Schließfähigkeit, e, / Schließunfähigkeit, e, der Aortenklappe, e, des Herzens, s Aortenklappenstenose, e –– Einengung der Aortenklappe, e, Verengung '''Apathie''', e –– Teilnahmslosigkeit, e, Antriebslosigkeit, e '''apathogen''' (Adj./ Adv.) –– nicht krankmachend, keine Krankheit hervorrufend '''Apex cordis''', r –– Herzspitze, e '''Apgar-Schema'', s –– Schema zur Vitalitätsbeurteilung des Neugeborenen, s [Akronym: Atmung, Puls, Grundtonus, Aussehen, Reflexe, nach Virginia Apgar (1909-1974), Chirurgin und Anästhesistin] Aphagie, e –– Unvermögen, s, Unfähigkeit, e, zu schlucken '''Aphasie''', e –– Verlust des Sprechvermögens bei Gehirnstörung, Sprachverlust durch Störung des Sprachzentrums '''Aphthen''' [Pl.] –– Mundausschlag, r, schmerzhaftes Mundgeschwür, s '''Aphthoid''', s –– Mundfäule, e Apnoe, e –– Atemstillstand, r '''Apoplex''', r, '''apoplektischer Insult''', r –– Schlaganfall, r '''Appendektomie''', e –– Blinddarmentfernung, operative Entfernung des Wurmfortsatzes, r Appendix (vermiformis), r –– Wurmfortsatz, r, „Blinddarm", r '''Appendizitis''', e –– Entzündung des Wurmfortsatzes, Wurmfortsatzentzündung, Blinddarmentzündung '''applizieren''' (Verb) –– verabreichen Arrhythmie, e –– Herzrhythmusstörung art. Coxae, s –– Hüftgelenk, s art. Cubiti, s –– Ellenbogengelenk, s art. Genus, s –– Kniegelenk, s art. Glenohumerale, s –– Schultergelenk, s Arteria carotis, e –– Halsschlagader, e '''Arteria iliaca communis''', e –– gemeinsame Hüftschlagader, e, Beckenarterie, e '''Arteria poplitea''', e –– Kniekehlenschlagader, e '''Arteria pulmonalis''', e –– Lungenschlagader, e Arteria renalis, e –– Nierenarterie, e Arterie, e –– Schlagader, e arterielle Hypertonie, e –– Bluthochdruck, r '''Arteriosklerose''', e –– Gefäßverkalkung, Arterienverkalkung Arteritiis, e –– Entzündung der Arterie, e Arthralgie, e –– Gelenkschmerz, r '''Arthritis urica''', Hyperurikämie, e –– Gicht, e, akute Gelenkentzündung bei Gicht, e Arthrodese, e –– Gelenkversteifung Arthrose, e –– Gelenkverschleiß, r '''Arthroskopie''', e –– Gelenkspiegelung articularis (Adj./ Adv.) –– zum Gelenk gehörend ascendens (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Asepsis''', e –– Keimfreiheit, e '''aseptisch''' (Adj./ Adv.) –– keimfrei Asomnie, e –– Schlaflosigkeit, e Asphyxie, e –– Erstickung Aspiration, e –– Ansaugen, s, Verschlucken, s ASR –– Achillessehnenreflex, r '''Asthma''', s –– Atemnoterkrankung, chronisch-entzündliche Erkrankung der Atemwege Astrozytom, s –– Gehirntumor, r Asystolie, e –– Herzstillstand, r aszendierend (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Aszites''', e –– Bauchödem, s, Bauchwassersucht, e, Flüssigkeitsansammlung in der freien Bauchhöhle, e '''Ataxie''', e –– Störung der Bewegungskoordination, e '''Atelektase''', e –– Lungenkollaps, r, kollabierter Lungenabschnitt, r '''Ätiologie''', e –– Lehre von den Krankheitsursachen '''ätiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Krankheitsursachen betreffend Atresie, e –– fehlende natürliche Körperöffnung Atrium, s –– Herzvorhof, r Atrial Fibrillation, e –– Vorhofflimmern, s Atriumseptumdefekt, r –– Loch, s, in der Scheidewand zwischen den Vorhöfen des Herzen '''Atrophie''', e –– Gewebeschwund, r / Schwund, r AU –– Arbeitsunfähigkeit, e, Abdomenumfang, r '''Auricula''' auris, e –– Ohrmuschel, e '''aurikular''' (Adj./ Adv.) –– die Ohren betreffend, zum Ohr gehörig '''Auskultation''', e –– Untersuchung durch Abhorchen (Abhören) '''auskultatorisch''' (Adj./ Adv.) –– durch Abhorchen '''Axilla''', e –– Achselhöhle, -e axillär (Adj./ Adv.) –– die Achselhöhle betreffend / in der Achselhöhle AZ, r –– Allgemeinzustand, r '''Azidose''', e –– Übersäuerung des Blutes, Steigerung des Säuregehaltes im Blut = B = '''Bakteriämie''', e –– (Vorhandensein von) Bakterien im Blut '''Bakteriostase''', e –– Keimwachstumshemmung ohne Abtötung '''bakterizid''' (Adj./ Adv.) –– bakterientötend / keimtötend Balanitis, e –– Eichelentzündung, Vorhautentzündung Barotrauma, s –– Druckverletzung (aufgrund von Druckdifferenzen, z.B. beim Tauchen) '''Basaliom''', s –– weißer Hautkrebs, r, bösartiger Hauttumor, r basilar (Adj./ Adv.) –– grundlegend Beinödem, s –– Wassereinlagerung im Bein, s benigne (Adj./ Adv.) –– gutartig BGA –– Blutgasanalyse, e '''bilateral''' (Adj./ Adv.) –– beidseitig '''bimanuell''' (Adj./ Adv.) –– mit beiden Händen, an beiden Händen Biopsie, e –– Entnahme, e, und Untersuchung einer Gewebeprobe, e '''Bipolare Störung''' –– manisch-depressive Erkrankung '''Bluttransfusion''', e –– Blutübertragung '''Body-Mass-Index''', r (BMI) –– Körpermasseindex, r '''Brachialgie''', e –– Oberarmschmerzen, e [Pl.] Brachium, s –– Oberarm, r Bradykardie, e –– verlangsamter Herzschlag, r '''Bride''', e, intraabdominale Adhäsion, e –– Verwachsung '''Bronchiales Asthma''', s –– Atemnoterkrankung '''Bronchialkarzinom''', s –– Lungenkrebs, r '''Bronchialkonstriktion''', e –– Verengung der Luftwege in der Lunge '''Bronchiektase''', e –– krankhafte Erweiterung(en) der Bronchien Bronchitis, e –– Entzündung der Bronchien, Atemwegsentzündung '''Bronchoskopie''', e –– Atemwegsspiegelung, Lungenspiegelung '''Bronchospasmus''', r –– Bronchialkrampf, r BSG, e –– Blutsenkungsgeschwindigkeit, e Bulimia nervosa, e –– Ess-Brechsucht, e '''Bursa''', e –– Schleimbeutel, r, Beutel, r '''Bursitis''', e –– Schleimbeutelentzündung, e BWS, e –– Brustwirbelsäule, e BZ, r –– Blutzucker, r = C = C2 –– Alkohol, r, Ethanol, s '''Calcaneus''', r –– Fersenbein, s Calor, r –– Wärme, e, Hitze, e, Überwärmung '''Capitulum''', s –– Köpfchen, s (z. B. eines Knochens), Gelenkköpfchen, s '''Carcinoma in situ''', s –– Frühstadium eines Tumors ohne invasives Wachstum '''Cardia''', e –– Mageneingang, r cardiogen (Adj./ Adv.) –– vom Herz ausgehend, am Herzen entstehend Cardiomegalie, e –– Herzvergrößerung '''Carotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Cartilago, e –– Knorpel, r '''Cartilago thyroidea''', e –– Schilddrüsenknorpel, r '''Cava''', e, Cavum, s –– Hohlraum, r '''cave!''' –– 1) „Vorsicht!“, 2) „vermeide!“ Cavitas abdominalis, e –– Bauchhöhle, e Cavitas glenoidales scapulae, e –– Schultergelenkspfanne, e CED, e –– chronisch-entzündliche Darmerkrankung '''Cephalgie''', e –– Kopfschmerzen [Pl.] '''cerebral(is)''' (Adj./ Adv.) –– das Gehirn betreffend, zum Großhirn gehörig '''Cerebrum''', s –– das Großhirn, das Gehirn Cerumen, s –– Ohrenschmalz, r Cervix, e –– Gebärmutterhals, r Cheilitis angularis, e –– Einriss, r, des Mundwinkels, r, Mundwinkelrhagade, e '''Chemotherapie''', e –– medikamentöse Behandlung gegen Krebs, r Chiragra, e –– akuter Gichtanfall, r, der Hand- und Fingergelenke '''Chloasma''' (Melasma), Hyperpigmentierung –– brauner Hautfleck, r '''Cholangiom''', s –– Geschwulst, e, im Bereich der Gallenwege '''Cholangitis''', e –– Entzündung der Gallenwege Choledochusstenose, e –– Verrenkung des Hauptgallengangs, r Cholelithiasis, e –– Gallensteine [Pl.] '''Cholestase''', e –– Gallestauung Cholesterin, s –– Blutfette [Pl.] Cholezystitis, s –– Gallenblasenentzündung Chondritis, e –– Knorpelentzündung '''chronisch''' (Adj./ Adv.) –– langdauernd, lange dauern chronische Niereninsuffizienz, e –– chronisches Nierenversagen, s '''Claudicatio intermittens''', e –– Schaufensterkrankheit, e '''Clavicula''', e –– Schlüsselbein, s CLL –– Chronisch-lymphatische Leukämie, e '''Cochlea''', e –– Hörschnecke, e, Ohrschnecke, e '''Colitis''', e –– Dickdarmentzündung '''Colitis ulcerosa''', e –– chronische Entzündung des Dickdarms, r, mit Geschwürbildung Collum femoris, s –– Schenkelhals, r '''Colon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Colon irritabile''', s –– Reizdarmsyndrom (RDS), s '''Commissura''', e –– Weichteilverbindung '''Commotio cerebri''', e –– Gehirnerschütterung '''Compliance''', e –– Einhaltung der Therapie, Beachten der Therapievorgaben Compressio cerebri, e –– Gehirnquetschung Contusio cerebri, e –– Gehirnprellung COPD, chronisch-obstruktive pulmonale Dysfunktion –– chronische Verengung der Atemwege, „Raucherhusten" (ugs.), r Cor pulmonale, s –– Rechtsherzbelastung aufgrund von Drucksteigerung im Lungenkreislauf, r Cornea, e –– Hornhaut, e, des Auges Corpus lutem, s –– Gelbkörper, r Cortex, r –– Gehirnrinde, e Costae [Pl.] –– Rippen [Pl.] '''Coxa''', e –– Hüfte, e '''Coxa valga''' –– Fehlstellung des Oberschenkelhalses (mehr als 140°) '''Coxalgie''', e –– Hüftschmerz, r '''cranial''' (Adj./ Adv.) –– kopfwärts, in Richtung des Kopfes, zum Kopf gehörig '''Cranium''', s –– Schädel, r Crampus, r -- Wadenkrampf, r '''Cruralgie''', e –– Beinschmerzen [Pl.] '''Crusta''', e –– Kruste, e CTG –– Kardiotokographie '''Cutis''', e –– Haut, e = D = '''Defibrillation''', e –– Beseitigung von Herzrhythmusstörungen durch Elektroschocks, Wiederbelebung durch Elektroschocks, r '''Defibrillator''', r –– Schockgeber, r degenerativ (Adj./ Adv.) –– sich zurückbildend, abbauend '''Dehydratation''', e –– Austrocknung, Flüssigkeitsmangel, r '''Dekade''' –– zehn Stück, s, Zeitraum, r, von zehn Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren '''Dekubitus''', e –– Druckgeschwür, s, Wundliegen, s delirant (Adj./ Adv.) –– verwirrt '''Delirium''', s –– Bewusstseinstrübung mit Verwirrtheit, e '''Delirium tremens''', s –– Alkoholdelir, r, Alkoholentzugsdelir, r '''Demenz''', e –– Verlust der geistigen Leistungsfähigkeit, e, erworbene Geistesschwäche, e '''Dens''', r –– Zahn, r '''depressiv''' (Adj./ Adv.) –– niedergeschlagen '''Dermatitis''', e –– Hautentzündung Dermatitis solaris, e –– Sonnenbrand, r Dermatologe, r –– Hautarzt, r '''Dermatose''', e –– Hautkrankheit '''Dermis''', e –– Lederhaut, e '''Descensus uteri''', r –– Gebärmuttersenkung '''Deviation''', e –– Abweichung dexter, dextra –– rechts, rechtsseitig (cave! =/= rechtzeitig ) diabetische Retinopathie, e –– Netzhauterkrankung aufgrund von Zuckerkrankheit, e Diagnose, e –– Krankheitsfeststellung '''Diagnosis ex juvantibus''' –– Diagnose, e, anhand eines Heilerfolgs, r/ Therapierfolgs, r '''Dialyse''', e –– Blutwäsche, e '''Diaphragma''', s –– Zwerchfell, s Diaphyse, e –– Knochenschaft, r '''Diarrhö''', e –– Durchfall, r digestiv (Adj./ Adv.) –– die Verdauung betreffend digitale Untersuchung –– Untersuchung mit dem Finger '''digital-rektale Untersuchung''' (DRU) –– Untersuchung des Afters mit dem Finger Dignität, e –– Wertigkeit im Hinblick auf die Bösartigkeit von Tumoren Diphterie, e –– ansteckende Infektionskrankheit des Halses (mit Mandel- und Kehlkopfschwellung) '''Diplopie''', e –– Doppelsehen, s Diskusprolaps, r –– Bandscheibenvorfall, r '''Dislokation''', e –– Verschiebung oder Verlagerung von Knochenbruchstücken '''Disposition''', e –– Anfälligkeit, e, Veranlagung für bestimmte Krankheiten distal (Adj./ Adv.) –– körperfern '''Distorsion''', e –– Zerrung, Verstauchung, Verdrehung '''Diurese''', e –– Harnausscheidung '''Diuretika''', e [Pl.] –– harntreibende Arzneimittel [Pl.], Wassertabletten [Pl.] '''Diuretikum''', s [Sing.] –– harntreibendes Arzneimittel [Sing.], Wassertablette [Sing.] '''Divertikulitis''', e –– Entzündung von Ausstülpungen im Dickdarm, r '''dorsal''' (Adj. /Adv.) –– rückenseitig, rückenwärts '''Dorsum''', s –– Rücken, r '''Drainage''', e –– Ableitung von Flüssigkeit, Schlauch zur Ableitung von Wundsekret, Abfluss '''drainieren / dränieren''' (Verb) –– ableiten (z.B. von Wundflüssigkeit) Ductus, r –– Gang, r '''Ductus choledochus''', r –– Hauptgallengang, r '''Duodenalsonde''', e –– Zwölffingerdarmsonde, e Duodenoskopie (ÖGD), e –– Magenspiegelung Duodenum, s –– Zwölffingerdarm, r '''duplex''' (Adj./ Adv.) –– doppelt Duplexsonographie, e, farbkodierte –– Ultraschall, r, der Gefäße, s '''Dysarthrie''', e –– Sprachstörung Dysästhesie, e –– Missempfindung (bei leichter Berührung kommt es zur Auslösung eines Schmerzes oder unangenehmen Gefühls) Dyskrinie, e –– abnormale Produktion eines Drüsensekrets (Menge, Beschaffenheit) Dyslexie, e –– Lesestörung '''Dysmenorrhoe / ö''', e –– schmerzhafte Regelblutung Dyspareunie, e –– schmerzhafter Geschlechtsverkehr, r Dyspepsie, e –– Verdauungsstörung Dysphagie, e –– Schluckstörung aufgrund eines Hindernisses im Hals =/= Odynophagie '''Dysphonie''', e –– Heiserkeit, e, Stimmstörung, e '''Dyspnoe''', e –– Atemnot, e '''Dysurie''', e –– schmerzhaftes Wasserlassen = E = EEG, s –– Elektroenzephalographie, e, Aufzeichnung der Hirnströme, r '''Ejakulation''', e –– Samenerguss, r '''Ektropionieren''', s –– Untersuchung der Innenseite des Augenlids, allg.: Ausstülpen, s, einer Struktur, e (z. B. eines Augenlids oder einer Schleimhaut) '''Ekzem''', s –– Hautentzündung, Juckflechte, entzündlicher Hautausschlag '''Elektrokardiogramm''' (EKG), s –– Aufzeichnung der Herzmuskelströme, Messung der elektrischen Herzaktivität Elevation, e –– Anheben, s, (des Armes) '''Embolie''', e –– Gefäßverschluss durch Blutgerinnsel von einem anderen Ort '''Embolus''', r –– Gefäßpfropf, r '''Emesis''', e –– Erbrechen, s Emphysem, s –– Überblähung der Lunge, e '''Empyem''', a –– Eiteransammlung in einer Körperhöhle, e Endokard, s –– Herzinnenhaut, e '''Endokarditis''', e –– Entzündung der Herzinnenhaut, e '''Endometrium''', s –– Gebärmutterschleimhaut, e Endophthalmus, r –– Einsinken des Augapfels in die Augenhöhle, e Endoprothese, e –– künstliches Gelenk, s, künstlicher Gelenkersatz, r '''endotracheal''' (Adj./ Adv.) –– in die Luftröhre, in(nerhalb) der Luftröhre Enteritis, e –– Darmentzündung '''Enuresis''' nocturna, e –– (nächtliches) Bettnässen, Einnässen Enzephalomyelitis, e –– Entzündung von Gehirn, s, und Rückenmark, s Enzephalomyelitis disseminata (ED), e –– Multiple Sklerose, e Enzephalopathie, e –– krankhafte Veränderung des Gehirns, s '''Epididymistorsion''', e –– Nebenhodenverdrehung '''Epididymitis''', e –– Nebenhodenentzündung epidurale Anästhesie, e –– Spritze in den Rückenmarksraum, r '''epigastrisch''' (Adj./ Adv.) –– den Oberbauch betreffend, r Epigastrium, s –– Bereich, r, zwischen Rippenbogen, r, und Bauchnabel, r '''Epiglottis''', e –– Kehldeckel, r Epiglottitis, e –– Kehldeckelentzündung Epilepsie, e –– Krampfleiden, s, Krampfanfall, r (obsolet: Fallsucht, e) Epinephron, s, Glandula suprarenalis, e –– Nebenniere, e Epiphora, e –– tränendes Auge, s, Tränenfluss, r Epiphyse, e –– Knochenendstück, s '''Episiotomie''', e –– Dammschnitt, r (zw. Scheide und Anus) '''Epistaxis''', e –– Nasenbluten, s ERCP –– Endoskopisch-retrograde Cholangiopankreatikographie Ergometrie, e –– Belastungs-EKG, s Erysipel, e –– Wundrose, e Erythem, e –– Hautrötung, e Erythrozyten [Pl.] –– rote Blutkörperchen [Pl.] Exanthem, s –– Hautausschlag, r '''Exartikulation''', e –– operative Entfernung eines Gliedes, s, im Gelenk, s '''Exazerbation''', e –– Verschlimmerung einer Krankheit, e exazerbiert (Adj./ Adv.) –– verschlimmert Exkoriation, e –– Abschürfung '''Exophthalmus''', r –– krankhaftes Vortreten, s, des Augapfels, r '''Exostose''', e –– Knochenauswuchs, r '''Expektorantien''' [Pl.] –– auswurffördernde Mittel [Pl.] '''Expektorantium''' [Sing.] –– auswurfförderndes Mittel [Sing.] '''exsikkiert''' (Adj./ Adv.) –– ausgetrocknet '''Exsikkose''', e –– Austrocknung Exstirpation, e, Ektomie, e –– vollständige Entfernung von Organen, s Extension, e –– Streckung extra (Adv.) –– außerhalb Extraktion, e –– Entfernung Extrasystole, e –– Extraschlag, r, zusätzliche Herzschläge [Pl.], Herzstolpern, s Extrauteringravidität, e, extrauterine Gravidität, e –– Bauchhöhlenschwangerschaft, e = F = '''Facies''', e –– Gesicht, s '''Falx cerebri''', e –– größte Verdoppelung der Hirnhaut, e '''Fascia lata''', e –– Bindegewebshülle, e, am Oberschenkel, r '''Faszie''', e –– Bindegewebshülle, e Faszikel, e –– (Nervenfaser-) Bündel, s Fatigue (franz.), e –– chronische Müdigkeit, e '''Fazialis''', r –– Gesichtsnerv, r Feinnadelbiopsie, e –– Punktion, e, für Abstrich, r, Gewebeprobenentnahme, e '''Femur''', r –– Oberschenkelknochen, r '''Femurfraktur''', r –– Oberschenkelknochenbruch, r '''Fibromyalgie''', e –– chronische Erkrankung mit Muskel- und Sehnenschmerzen '''Fibrose''', e –– Gewebsverhärtung, Vermehrung von Bindegewebe, s '''Fibula''', e –– Wadenbein, s '''Fissur''', e –– Riss, r '''Flatulenz, Meteorismus''', e –– Blähsucht, Blähungen '''Flexion''', e –– Beugung, e '''Flexur''', e –– Biegung, e '''fluktuierend''' (Adj./Adv.) –– wechselnd, schwankend, Flüssigkeiten: hin und her schwappend Foeter ex ore, r, Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Follikulitis''', e –– Haarbalgentzündung Foramen, s –– Loch, s '''Foramen magnum''', s –– Hinterhauptsloch, s '''Fornix cerebri''', s –– Struktur, e, des Limbischen Systems, s, im Großhirn, s '''Fragment''', s –– Bruchstück, s (z. B. Knochenbruchstück, s) '''Fraktur''', e –– Knochenbruch, r '''frontal''' (Adj./Adv.) –– an der Stirn / stirnseitig '''Fundus oculi''', r -– Augenhintergrund,r Funiculus umbilicalis, r -– Nabelschnur, e = G = Galaktorrhoe, e –– Milchfluss, r Gallensteinileus, r –– Darmverschluss, r, aufgrund von Gallenstein, r '''Gangrän''', e –– Gewebsnekrose, e, Zerfall, r, des Gewebes, s, abgestorbene Körperteile, Sonderform, e, der Koagulationsnekrose, e '''gastral''' (Adj./Adv.) –– den Magen betreffend Gastrektasie, e –– Magenerweiterung '''Gastrektomie''', e –– operative Entfernung des Magens, r Gastritis, e –– Magenschleimhautentzündung, e gastroenterologisch (Adj./Adv.) –– Magen, r, und Darm, r, betreffend gastroösophageale Refluxkrankheit, e –– gesteigerter Rückfluss, r, von Magensäure, e, in die Speiseröhre, e '''Gastroskopie''', e –– Magenspiegelung, e '''Gastrostomie''', e –– Anlegung eines Magenschlauches, r, zur künstlichen Ernährung GCS, e (Glasgow Coma Scale) –– Glasgow Koma Skala, e Gefäß, s (Arterie/Vene) –– Ader, e '''Genese''', e –– Entstehung Genetik, e –– Vererbungslehre, e '''genetisch''' (Adj./Adv.) –– erblich (bedingt) '''Genitalien''' [Pl.] – Geschlechtsorgane [Pl.] '''Genom''', s –– Erbgut, s '''Genum''', s –– Knie, s '''Genum valgum''', s –– X-Bein, s Genum varus, e –– O-Bein, s '''Geriatrie''', e –– Altersmedizin, e '''Germinom''', s –– Keimzelltumor, r, bösartiges Tumor, r, des Gehirns, s Gestagen, s –– Gelbkörperhormon, s '''Gibbus''', r (Hyperkyphose), e –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Gingiva''', e –– Zahnfleisch, s '''Glandula''', e –– Drüse, e '''Glandula lacrimalis''', e –– Tränendrüse, e '''Glandula parotidea/parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Glandula salivatoria, e –– Speicheldrüse, e Glandula suprarenale, e –– Nebenniere, e '''Glandula thyroidea''', e –– Schilddrüse, e '''Glaukom''', s –– grüner Star, r Globusgefühl, s –– Fremdkörpergefühl, s, im Rachen, r '''Gonade''', e –– Geschlechtsdrüse, e (Eierstöcke und Hoden) '''Gonarthrose''', e –– Kniegelenkverschleiß, r, Arthrose, e, des Kniegelenks, s '''Gonorrhoe''', e –– Tripper, r '''Grand mal''', r [Frz.] –– großer epileptischer Anfall, r Granulozyt, r –– Art von weißen Blutkörperchen '''Gravidität''', e –– Schwangerschaft, e '''grippaler Infekt''', r –– Erkältung Grünholzfraktur, e –– Fraktur, e mit intakter Knochenhaut, e Gynäkologie, e –– Frauenheilkunde, e Gynäkomastie, e –– Vergrößerung der Brustdrüse, e, beim Mann, r = H = '''habituelle Luxation''', e –– ständig vorkommende Ausrenkung Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Hallux valgus''', r –– Großzeh-Fehlstellung, -Schiefstand (bei dem dieser in Richtung der kleinen Zehen abweicht) '''Halluzination''', e –– Sinnestäuschung Hämangiom, s –– Blutschwamm, r Hämarthrose, e –– Blutansammlung im Gelenk, s '''Hämatemesis''', e –– Bluterbrechen, s, Erbrechen von Blut '''Hämatochezie''', e –– Blut, s, im Stuhl, r '''Hämatokolpos''', r –– Blutansammlung in der Scheide, e Hämatom, s –– Bluterguss, r Hämatoperikard, s –– Blutansammlung im Herzbeutel, r Hämatothorax, r –– Blutansammlung zwischen Lunge, e und Rippenfell, s (Pleuraspalt, r) '''Hämaturie''', e –– Blut, s, im Urin, r Hämoglobin, s –– roter Blutfarbstoff, r Hämoglobinurie, e, [s.a. Mikro/Makrohämaturie, e] –– Blutfarbstoff, r im Urin, r Hämophilie, e –– Blut(er)krankheit, e Hämoptoe, e –– Bluthusten, r '''Hämorrhagie''', e –– Blutung Hämorrhagischer Insult, r –– Hirnblutung nach Schlaganfall, r Harninkontinenz, e –– Blasenschwäche, e Hautabszess, r –– Eiteransammlung in der Haut, e HCT, s –– Hydrochlorothiazid, s Hemianopsie, e –– halbseitiger Gesichtsfeldausfall, r '''Hemikolektomie''', e –– operative Entfernung einer Dickdarmhälfte, e '''Hemiparese''', e –– unvollständige Lähmung einer Körperhälfte, unvollständige halbseitige Lähmung '''Hemiplegie''', e –– vollständige Lähmung einer Körperhälfte, vollständige halbseitige Lähmung '''Hepar''', s –– Leber, e '''Hepatitis''', e –– Leberentzündung Hepatojugulärer Reflux, r –– Halsvenenstauung '''Hepatomegalie''', e –– Lebervergrößerung '''Hepatopathie''', e –– Lebererkrankung '''hereditär''' (Adj./ Adv.) –– erblich '''Heredität''', e –– Erblichkeit, e '''Hernia inguinalis''', e –– Leistenbruch, r '''Hernia umbilicalis''', e –– Nabelbruch, r '''Hernie''', e –– Eingeweide(-Bruch), r Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Herzinfarkt''', r –– Absterben, s, von Teilen, r, des Herzmuskels, r Herzinsuffizienz, e –– Herzschwäche, e Hiatushernie, e –– Zwerchfellbruch, r Hirninfarkt, r, Apoplex, r –– Schlaganfall, r, Absterben, s, von Hirngewebe, s Hirnödem, e –– Flüssigkeitseinlagerung im Gehirn, s Hirsutismus, r –– vermehrte Behaarung HKT, Hkt, r –– Hämatokrit, r '''Hodentorsion''', e –– Hodenverdrehung Hordeolum, s –– Gerstenkorn, s (akute Entzündung des Augenlids, s) H-TEP, e –– Hüftgelenk-Totalendoprothese, Totalendoprothese des Hüftgelenks '''Humerus''', r –– Oberarmknochen, r '''Humerusfraktur''', e –– Knochenbruch, r, des Oberarmknochens, r, Oberarmbruch HWI, r –– Hinterwandinfarkt, r // Harnwegsinfekt, r Hydronephrose, e –– Wassersackniere, e, Harnstauungniere, e '''Hydrops''', r –– Flüssigkeitsansammlung in einer Körperhöhle, e Hydroureter, r –– Harnleitererweiterung (durch Harnrückstau, r) Hydrozele, e –– Wasserbruch, r, Flüssigkeitsansammlung im Hodensack, r '''Hydrozephalus''', r –– Wasserkopf, r '''Hygiene''', e –– Gesundheitslehre, e Hymen, e –– Jungfernhaut, e, Jungfernhäutchen, s Hypakusis, e –– Schwerhörigkeit, e, Hörminderung '''Hypalgesie''', e –– verminderte Schmerzempfindlichkeit, e Hypästhesie, e –– Taubheitsgefühl, s hyper- (Vorsilbe) –– erhöht Hyperästhesie, e –– Überempfindlichkeit, e, für Berührungsreize [Pl.] '''Hypercholesterinämie''', e [Sing.] –– erhöhte Blutfettwerte [Pl.] '''Hyperemesis''', e –– starkes Erbrechen, s '''Hyperemesis gravidarum''', e –– unstillbares, starkes Erbrechen, s, in der Schwangerschaft, e Schwangerschaftserbrechen, s Hyperglykämie, e –– Überzuckerung, erhöhte Blutzuckerwerte '''Hyperhidrose''', e –– krankhaft übermäßiges Schwitzen, s '''Hyperkaliämie''', e –– erhöhter Kaliumgehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkapnie''', e –– übermäßiger Kohlensäuregehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkeratose''', e –– Verdickung der Hornschicht, e, der Haut, e Hyperkyphose, e, (Gibbus, r) –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Hyperopie''', e –– Weitsichtigkeit, e '''Hyperparathyreoidismus''', r –– Überfunktion der Nebenschilddrüsen [Pl.], Nebenschilddrüsenüberfunktion, e Hyperthermie, e –– unphysiologische Überwärmung des Organismus, r '''Hyperthyreose''', e –– Überfunktion der Schilddrüse, e Hyperurikämie, e –– erhöhte Harnsäurewerte im Blut (oft bei Gicht) Hyperventilation, e –– übermäßige schnelle Atmung '''Hyperventilationstetanie''', e –– schnelle und flache Atmung mit Muskelkrämpfen [Pl.] '''hyperventilieren''' –– schnell und flach atmen hypo- (Vorsilbe) –– vermindert Hypoglykämie, e –– Unterzuckerung '''Hypophyse''', e –– Hirnanhangsdrüse, e '''Hyposensibilisierung''', e –– durch Allergieimpfung weniger sensibel machen '''Hyposensibilität''', e –– verminderte Empfindlichkeit, e Hyposomnie, e –– Schlafmangel, r Hypothermie, e –– Unterkühlung '''Hypothyreose''', e –– Unterfunktion der Schilddrüse, e hypovolämischer Schock, r –– Volumenmangelschock, r Hypoxie, e –– Sauerstoffmangel, r, Verminderung von Sauerstoff im Körper, r '''Hysterektomie''', e –– operative Entfernung der Gebärmutter, operative Gebärmutterentfernung, „Total-OP" (ugs.), e = I = '''iatrogen''' (Adj./Adv.) –– durch ärztliche Maßnahmen [Pl.] verursacht intramuskulär (Adj./Adv.), '''i.m.''' –– in den Muskel, r '''Ichthyosis, e –– Fischschuppenkrankheit, e '''Ikterus''', r, Hepatitis A/ B, e –– Gelbsucht, e Ileostoma, s –– künstlicher Darmausgang, r Ileum, s –– Krummdarm, r '''Ileus''', r –– Darmverschluss, r '''imperative Miktion''', e –– Harndrang, r in vitro Fertilisation, e –– künstliche Befruchtung Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''incompliance''' (Engl.) –– Nichtbeachtung (einer Therapie) '''incompliant''' (Engl.) (Adj./Adv.) –– nicht beachtend Index, r –– Zeigefinger, r indolent (Adj./Adv.) –– schmerzlos '''Indolenz''', e –– Schmerzlosigkeit, e, Unempfindlichkeit, e, gegenüber Schmerzen [Pl.] '''Induration''', e –– Verhärtung, Verdickung von Gewebe, s '''infaust''' (Adj./Adv.) –– hoffnungslos, mit ungünstiger Vorhersage, e, (Prognose, e), mit einem schlechten Verlauf, r Infekt, r –– Erkältung infektiös (Adj./Adv.) –– ansteckend, übertragbar infertil (Adj./Adv.) –– unfruchtbar Infertilität, e –– Unfruchtbarkeit, e Inflammation, e –– Entzündung '''Influenza''', e –– Grippe, e inframandibular (Adj./Adv.) –– unterhalb des Unterkiefers, r '''Infusion''', e –– Flüssigkeitsgabe, e, in die Vene, e Inguinalhernie, e –– Leistenbruch, r '''Inhalation''', e –– Einatmung von Heilmitteln [Pl.] (in Form von Dämpfen) '''Inhaler''', r [Engl.] –– Inhalationsapparat, r, Inhalationsgerät, s '''inhalieren''' (Verb) –– einatmen Injektion, e –– Einspritzung in eine Ader, e, oder ins Gewebe, s '''Inkarzeration''', e –– Einklemmung eines Eingeweidebruchs, r '''inkontinent''' (Adj./Adv.) –– unfähig, Harn oder Stihl zurückzuhalten '''Inkontinenz''', e –– Unfähigkeit, e, Harn, r, oder Stuhl, r, zurückzuhalten Inoperabilität, e –– Unmöglichkeit, e, eine OP durchzuführen Insomnie, e –– Schlafstörung (Einschlafstörung, Durchschlafstörung) inspiratorisch (Adj./Adv.) –– bei der Einatmung '''Insult''', r –– Anfall, r, Schlaganfall, r '''intercostal''' (Adj./Adv.) –– zwischen den Rippen [Pl.] Interkostalfraktur, e -- Rippenbruch, r '''Interkostalneuralgie''', e –– Schmerzen im Bereich, r, der Zwischenrippennerven [Pl.] '''intermittierend''' (Adj./Adv.) –– zeitweise (aussetzend), kommt und geht '''Interruptio''', e –– Schwangerschaftsabbruch, r intervertebral (Adj./Adv.) –– zwischen den Wirbeln [Pl.] Intestinum tenue, s –– Dünndarm, r Intima, e –– Gefäßinnenschicht, e '''Intoxikation''', e –– Vergiftung intra- (Vorsilbe) –– innerhalb '''intraabdominelle Gravidität''' –– Bauchhöhlenschwangerschaft intrakraniell (Adj./Adv.) –– innerhalb des Schädels intrakutan, perkutan (Adj./Adv.) –– durch die Haut '''intramuskulär''' (Adj./Adv.) –– im Muskel, r intramuskuläre Injektion, e, i.m. –– Einspritzung, „Spritze", e, in den Skelettmuskel, r '''intraokular''' (Adj./Adv.) –– innerhalb des Auges, s intravenös Injektion, e, i.v. –– Einspritzung in eine Ader, e, oder Vene, e intravenös, intravasal (Adj./Adv.) –– in eine Vene, e, hinein '''intrazerebrale Blutung''', e –– Gehirnblutung '''Intubation''', e –– Einführung eines Beatmungsschlauchs, r, einer Sonde, e, in die Luftröhre, e invasiv (Adj./Adv.) –– eindringend '''Inzidenz''', e –– Häufigkeit, e, der Neuerkrankungen [Pl.] '''Inzision''', e –– Einschnitt, r Iris, e –– Regenbogenhaut, e '''irreversibel''' (Adj./Adv.) –– nicht umkehrbar '''Irritabile Bowel Syndrom''' (IBS), s –– Reizdarmsyndrom, s (RDS) '''Ischämie''', e –– Minderdurchblutung, Mangeldurchblutung '''Ischialgie''', e (ugs. '''Ischias''', r) –– Schmerzen im Bereich des Ischiasnervs, Schmerzen im unteren Rücken oder Gesäß ITN, e –– Intubationsnarkose, e = J = '''Jejunitis''', e –– Entzündung des Leerdarms, r Jejunum, s –– Leerdarm, r '''juvenil''' (Adj./Adv.) –– jugendlich = K = '''kachektisch''' (Adj./Adv.) –– abgemagert / ausgezehrt '''Kachexie''', e –– Auszehrung, starke Abmagerung mit Kräfteverfall, r Kalkaneusfraktur, e –– Fersenbeinbruch, r Kallus, r –– Narbengewebe, s, des Knochens, r Kapillar, s –– Haargefäß, s, kleinstes Blutgefäß, s Karbunkel, r –– Haarbalgentzündung '''kardial''' (Adj./Adv.) –– das Herz betreffend '''kardinal''' (Adj./Adv.) –– hauptsächlich Kardia, e –– Herz, s '''kardio-''' (Vorsilbe) –– auf das Herz bezogen, das Herz betreffend '''kardiogen''' (Adj./Adv.) –– vom Herzen ausgehend '''Kardiomegalie''', e –– Herzvergrößerung Kardiomyopathie, e –– Herzmuskelschwäche, e kardiotoxisch (Adj./Adv.) –– herzschädigend, herzschädigende Wirkung einer Substanz, e '''Karenz''', e, Abstinenz, e –– Verzicht auf, r, Meiden von, s Karies, e –– Zahnfäule, e Karotis (Arteria carotis), e –– Halsschlagader, e '''Karotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Karzinom, s –– bösartiger Tumor, r, Krebsgeschwulst, e '''Katarakt''', r –– grauer Star, r '''kaudal''' (Adj./Adv.) –– in Richtung des Steißbeins (Os coccygis), s, steißwärts kausal (Adj./Adv.) –– ursächlich '''Keratitis''', e –– Hornhautentzündung KHK, e –– koronare Herzkrankheit Klavikula, e –– Schlüsselbein, s '''Klistier''' (Klysma), s –– Einlauf, r (Einlaufmittel, s), Darm-Einlauf, s KM –– Kontrastmittel, s, Knochenmark, s '''Koagulation''', e –– Blutgerinnung '''Kolektomie''', e –– operative Dickdarmentfernung Kolik, e –– krampfartige und wellförmige Schmerzen '''Kolon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Koloskopie''', e –– Darmspiegelung, Dickdarmspiegelung '''Kolpitis''', e –– Scheidenentzündung Komorbidität, e –– Begleiterkrankung Konfusion, e –– Verwirrung, e, Verwirrtheit, e '''kongenital''' (Adj./Adv.) –– angeboren '''Konjunktivitis''', e –– Bindehautentzündung Konkrement, s –– Stein, r (z.B. in der Gallenblase, e) '''kontagiös''' (Adj./Adv.) –– ansteckend Kontagiosität, e –– Ansteckungskraft, e, Übertragbarkeit, e '''Kontamination''', e –– Verunreinigung (durch Mikroorganismen [Pl.]) Kontraindikation, e –– Gegenanzeige, e '''Kontraktur''', e –– Gelenksteife, e (infolge einer Verkürzung der Muskeln [Pl.] und Sehnen [Pl.]) Kontrazeptivum, s –– Verhütungsmittel, s, Pille, e [TM] '''Kontusion''', e –– Prellung Kornea, e –– Hornhaut Koronarangiographie, e –– Darstellung der Herzkranzgefäße [Pl.] Koronararterie, e –– Herzkranzgefäß, s '''Koronararterienstenose''', e –– Gefäßverengung der Herzkranzgefäße [Pl.] '''Koxalgie''', e –– Hüftschmerz, r Koxarthrose, e –– Arthrose, e, des Hüftgelenks, s '''kranial''' (Adj./Adv.) –– zum Kopf gehörig, kopfwärts, in Richtung des Kopfes '''Kropf''', r (ugs.) –– Schilddrüsenvergrößerung '''Kryochirurgie''', e –– Kältechirurgie, e K-TEP, e –– Kniegelenkstotalendoprothese, -e '''kurativ''' (Adj./ Adv.) –– heilend = L = Laparoskopie, e –– Bauchspiegelung '''Laryngitis''', e –– Kehlkopfentzündung '''Larynx''', e –– Kehlkopf, r Larynxödem, s –– Kehlkopfschwellung '''Läsion''', e –– Verletzung; Schädigung lateral (Adj./Adv.) –– seitlich, an der Seite Laxantien [Pl.] –– Abführmittel, e [Pl.] '''Laxativum''' [Sing.] –– Abführmittel, s [Sing.] '''Leberzirrhose''', e –– Verhärtung des Lebergewebes, s, „Schrumpfleber", e, Leberschrumpfung Leistenhernie, e –– Leistenbruch, r '''letal''' (Adj./Adv.) –– tödlich '''Letalität''', e –– Tödlichkeit, e, einer Erkrankung '''Leukämie''', e –– Blutkrebs, r '''Leukozyten''' [Pl.] –– weiße Blutkörperchen [Pl.] Leukozytopenie/ Leukopenie, e –– verminderte Anzahl, e, von weißen Blutkörperchen [Pl.] '''Ligament(um)''', s –– Band, s Ligamentum cruciatum anterior/posterior, s –– vorderes/hinteres Kreuzband, s Ligatur, e –– Unterbindung '''Linea anocutanea''', e –– untere Grenze, e, des Analkanals, r '''Lipidose''', e –– Störung des Fettstoffwechsels, r '''Lipom''', s –– gutartige Fettgeschwulst, e '''liquid(e)''' (Adj./Adv.) –– flüssig '''Liquor''' cerebrospinale, r –– Gehirn-/ Rückenmarksflüssigkeit, e '''Livor(es)''', r –– rotblauer Fleck, e, Leichenflecken [Pl.]/ Totenfleck, r '''Lobektomie''', e –– operative Entfernung eines Organlappens, r (z.B. Lungenlappen, r) '''Lobulus''', r –– kleiner Lappen, r (Teil eines Organs oder einer Drüse) '''Lobus''', r –– Lappen, r (z.B. Lungenlappen) '''Logopädie''', e –– Sprachtherapie, e '''Lokalanästhesie''', e –– örtliche Betäubung Lues (venerea), e –– Syphilis, e (sexuell übertragbare Infektion) '''Lumbago''', r, Lumbalgie, e –– Hexenschuss, r Lumbalpunktion, e –– Entnahme, e, von Rückenmarksflüssigkeit, e, mittels Nadel, e '''Lumboischialgie''', e –– Rückenschmerzen [Pl.] mit Ursprung, r, in der Lendenwirbelsäule, e '''Lungenatelektase''', e –– kollabierter Lungenabschnitt, r '''Lungenembolie''', e –– Verschluss, r, einer (oder mehrerer) Lungenarterien [Pl.] durch ein verschlepptes Blutgerinnsel, s Luxation, e –– Verrenkung, Ausrenkung, Auskugelung Lymphadenitis, e –– Lymphknotenentzündung Lymphadenopathie, e –– Erkrankung der Lymphknoten [Pl.] Lymphangitis, e –– Lymphgefäßentzündung '''Lymphödem''', s –– Verdickung (Schwellung) der Haut, e, infolge von Lymphstauungen [Pl.] '''Lymphom''', s –– Lymphdrüsenkrebs, r, Lymphknotengeschwulst, e = M = Magnetresonanztomografie (MRT), e –– Kernspintomographie, die '''Makroglossie''', e –– Vergrößerung der Zunge Makrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, sichtbares Blut, s, (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r makroskopisch (Adj./Adv.) –– mit bloßem Auge sichtbar '''Makula''', e –– gelber Fleck, r '''maligne''' (Adj./Adv.) –– bösartig '''Malignom''', s –– bösartige Geschwulst, e (Tumor, r) Malleolus lateralis, r –– Außenknöchel, r '''Malleolus medialis''', r –– Innenknöchel, r '''Malrotation''', e –– gestörte Darmdrehung Mamma, e –– Brustdrüse, e, Brust, e Mammaablation, e –– Entfernung der Brustdrüse, e Mammakarzinom, e –– Brustkrebs, r '''Mandibula''', e –– Unterkiefer, r Manometer, s –– Druckmessgerät, s Manometrie, e –– Diagnostik, e, der Motilitätsstörung '''Mastektomie''', e –– Brustamputation '''Mastitis''', e –– Entzündung der weiblichen Brust, e '''Maxilla''', e –– Oberkiefer, r Meatus acusticus externus, r –– äußerer Gehörgang, r '''Meckel-Divertikel''', s –– Ausstülpung des Dünndarms, r (Leerdarms, r, oder Krummdarms, r) '''medial''' (Adj./Adv.) –– zur Körpermitte gerichtet, zur Mitte hin '''Medulla oblongata''', e –– verlängertes Mark, s Medulla renalis, e –– Nierenmark, s Medulla spinalis, e –– Rückenmark, s Mekonium, s –– erster Stuhl, r, eines Neugeborenen, s '''Meläna''', e –– Teerstuhl, r (durch Blut, s, schwarz gefärbter Stuhl, r) Melanom, s –– schwarzer Hautkrebs, r Membrana tympani, e –– Trommelfell, s '''Menarche''', e –– erste Regelblutung Mendelson-Syndrom, s –– Lungenentzündung infolge Erbrechen, s, Aspirationspneumonie, e, nach Aspiration, e, von Magensaft, r Meningen [Pl.] –– Hirnhäute [Pl.] '''Meningitis''', e –– Hirnhautentzündung, e '''Menopause''', e –– Aufhören, s, der Regelblutung in den Wechseljahren [Pl.] / Wechseljahre [Pl.] '''Menstruation''', e –– Regelblutung '''metabolisch''' (Adj./Adv.) –– stoffwechselbedingt '''Metabolismus''', r –– Stoffwechsel, r Metastase, e –– Tochtergeschwulst, e, eines Tumors, r '''Meteorismus''', r, Flatulenz, e –– übermäßige Gasansammlung im Darm, r / Blähsucht, e / Blähungen [Pl.] '''Metrorrhagie''', e –– Zwischenblutung / Blutung außerhalb des Menstruationszyklus, r Mikrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, nicht sichtbares Blut, s (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r Miktion, e –– Wasserlassen, s Miosis, e –– Pupillenverengung Mitralstenose, e –– Verengung der Mitralklappe, e / der Herzklappe, e MMR, e –– Impfung gegen Masern [Pl.], Mumps, r, und Röteln [Pl.] '''Monoarthritis''', e –– Entzündung eines einzelnen Gelenks, s Mononucleosis infectiosa, e –– Pfeiffer-Drüsenfieber, s / Pfeiffersches Drüsenfieber, s Monoplegie, e –– Lähmung einer Extremität, e '''Morbidität''', e –– Erkrankungshäufigkeit, e Morbus Crohn, r –– chronisch–entzündliche Darmerkrankung Morbus Parkinson, r –– Schüttellähmung / Zitterlähmung '''mortal''' (Adj./Adv.) –– tödlich MRSA, r –– Methicillin-resistenter Staphylococcus aureus '''Mukolytika''', e –– schleimlösende Medikamente, e '''Mukolytikum''', s –– schleimlösendes Medikament, s '''multimorbid''' (Adj./Adv.) –– an mehreren Krankheiten erkrankt '''Multimorbidität''', e –– Mehrfacherkrankung Multiple Sklerose, e, MS, e –– chronische Erkrankung des Nervensystems, s / Muskelschwund, r Mumps, r –– Ziegenpeter, r Myasthenia gravis, e –– Autoimmunerkrankung der Muskulatur, e '''Mycosis fungoides''', e –– bösartige Geschwulst, e, der Haut, e '''Mydriase''', e –– Pupillenerweiterung Myelopathie, e –– Gehirn- oder Rückenmarkserkrankung '''Mykose''', e –– Pilzinfektion, e mykotisch, fungal (Adj./Adv.) –– durch Pilze verursacht '''Mykotoxin''', s –– Schimmelpilzgift, s '''Myokardinfarkt''', r –– Herzinfarkt, r '''Myokarditis''', e –– Herzmuskelentzündung Myokardium, s –– Herzmuskel, r '''Myom''', s –– gutartiger Muskeltumor, r / Geschwulst, e, in der Gebärmutter, e '''Myopie''', e –– Kurzsichtigkeit, e Myose, e –– Pupillenverengung '''Myositis''', e –– Muskelentzündung '''Myxödem''', e –– Unterhautschwellung infolge einer Schilddrüsenfunktionsstörung = N = NaCl, Natriumchlorid, s –– Kochsalz, s (Nahrungsmittel) Narkolepsie, e –– Schlafkrankheit, e / Schlummersucht, e Nasenseptum, s –– Nasenscheidewand, e Nävus, r –– Muttermal, s / Leberfleck, r Nekrose, e –– lokaler Gewebstod, r '''Neoplasma''', s –– / '''Neoplasie''', e –– Gewebeneubildung / Neubildung von Körpergeweben [Pl.] (gutartig oder bösartig) '''Nephrektomie''', e –– operative Entfernung einer Niere, e '''Nephritis''', e –– Nierenentzündung '''Nephrolithiasis''', e –– Nierensteinleiden, s / Nierensteinkrankheit, e nephrotoxisch (Adj./Adv.) –– die Nieren schädigend, nierenschädigend Nervus ischiadicus, r –– Ischiasnerv, r Nervus olfactorius, r –– Riechnerv, r Nervus opticus, r –– Sehnerv, r Nervus phrenicus, r –– Zwerchfellnerv, r Nervus splanchnicus, r –– Eingeweidenerv, r '''Neuralgie''' (interkostale), e –– Nervenschmerz (zwischen den Rippen) '''neurogen''' (Adj./Adv.) –– von den Nerven [Pl.] ausgehend Neuropathie, e –– Erkrankung des peripheren Nervensystems, s neurotoxisch (Adj./Adv.) –– nervenschädigend neurotrop(isch) (Adj./Adv.) –– auf das Nervensystem wirkend Niereninsuffizienz, e –– finales Nierenversagen, s / Nierenfunktionsstörung Nodulus, r –– Knötchen, s Nodus, r –– Knoten, r '''Noncompliance''' [Engl.], e –– Nichtbefolgen, s, medizinischer Anweisungen, Nichtbeachtung / Nichteinhaltung der Therapie, e '''nosokomial (Adj./Adv.)''' –– das Krankenhaus betreffend Noxen [Pl.] –– Schadstoffe [Pl.] '''Nucleus''', r –– Kern, r nullpara –– (noch) kein Kind geboren '''Nykturie''', e –– vermehrtes nächtliches Wasserlassen, s '''Nystagmus''', r –– Augenzittern, s = O = observieren (Verb) –– beobachten, unter Beobachtung stellen '''Obstipation''', e –– Verstopfung '''Ödem''', s –– Schwellung / Wasseransammlung / krankhafte Flüssigkeitsansammlung im Gewebe Odynophagie, e –– Schmerzen beim Schlucken (auch ohne physisches Hindernis) =/= Dysphagie '''ÖGD''', e –– Ösophago-Gastro-Duodenoskopie, e '''ökonomisch''' (Adj./Adv.) –– wirtschaftlich (Englisch: sparsam = economical) '''okzipital''' (Adj./Adv.) –– in Richtung Hinterhaupt, zum Hinterhaupt gehörend '''Olecranon''', s –– Ellenfortsatz, r Omarthrose, e –– Arthrose, e, des Schultergelenkes, s '''Onanie''', e / Masturbation, e –– Selbstbefriedigung Oncychomykose, e –– Nagelpilz, r Oophoritis, e -- Eierstockentzündung opB -- ohne pathologischen Befund '''Ophthalmoplegie''', e –– Augenmuskellähmung oral (Adj./Adv.) –– durch den Mund, r Orbita, e –– Augenhöhle, e orbital (Adj./Adv.) –– die Augenhöhle betreffend Orchis, e /Testis, r –– Hoden, r '''Orchitis''', e –– Hodenentzündung ORSA –– Oxacillin-resistenter-Staphylococcus aureus Orthopnoe, e –– Luftnot, e, im Liegen, s '''Os carpi''', s –– Handwurzelknochen, r '''Os coccygis''', s/ Coccyx, e –– Steißbein, s '''Os frontale''', s –– Stirnbein, s '''Os ilium''', s –– Darmbein, s Os metacarpale, s –– Mittelhandknochen, r '''Os metatarsale''', s –– Mittelfußknochen, r Os naviculare, s –– Kahnbein, s '''Os occipitale''', s –– Hinterhauptbein, s '''Os pubis''', s –– Schambein, s Os sacrum, s –– Kreuzbein, Os schaphoidem, s –– Kahnbein, s '''Os tarsi''', s –– Fußwurzelknochen, r '''Ösophagitis''', e –– Speiseröhrenentzündung '''Ösophago-Gastro-Duodenoskopie''' (ÖGD), e –– Magendarmspiegelung '''Ösophagus''', r –– Speiseröhre, e Ösophagusatresie, s, ÖA –– Fehlbildung der Speiseröhre, e (angeborener Verschluss, r, der Speiseröhre, e) Ösophagusvarizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] der Speiseröhre, e '''Ossa''', e –– Knochen, r '''Osteogenese''', e –– Knochenbildung Osteogenesis imperfecta, e –– Glasknochenkrankheit, e Osteomalazie, e –– Knochenerweichung '''Osteoporose''', e –– Knochenschwund, r Osteosarkom, s –– bösartiger Tumor, r, aus Knochen gehend / Knochenkrebs, r '''Osteosynthese''', e –– operative Knochenzusammenfügung / operative Verbindung von Knochenfragmenten [Pl.] Östrogen, s –– Follikelhormon, s / weibliches Hormon, s '''Otitis''', e –– Ohrenentzündung '''Otitis externa''', e –– Entzündung des äußeren Gehörgangs, r Otitis interna, e –– Innenohrentzündung '''Otitis media''', e –– Mittelohrentzündung ovariell/ ovarial (Adj./ Adv.) -- den Eierstock, r, betreffend, vom Eierstock, r, ausgehend bzw. durch ihn bedingt '''Ovarium''', s / Ovar, s –– Eierstock, r Ovulation, e –– Eisprung, r = P = Palatine, e –– Gaumen, r Palliation, e –– Linderung '''palliativ''' (Adj./ Adv.) –– lindernd, nicht heilend, symptomatische Therapie '''palliative Therapie''', e / Palliativtherapie, e –– lindernde Behandlung (ohne zu heilen) '''palmar''' (Adj./ Adv.) –– handflächenseitig, die Handfläche betreffen '''Palpation''', e –– Untersuchung durch Betasten, s / Abtasten, s Palpitation, e –– Herzpochen, s / Herzklopfen, s pan (Adv.) –– überall, an allen Orten '''Panikattacke''', e –– Angstanfall, r '''Pankreas''', s –– Bauchspeicheldrüse, e Pankreaskarzinom, s –– Bauchspeicheldrüsenkrebs, r '''Pankreaszyste''', e –– Bauchspeicheldrüsenzyste, mit Flüssigkeit gefüllter Hohlraum in der Bauchspeicheldrüse '''Pankreatitis''', e –– Bauchspeicheldrüsenentzündung Panzytopenie, e –– Zellzahlabnahme, e Paralyse, e –– Lähmung, vollständige motorische Lähmung paraneoplastisch (Adj./ Adv.) –– Begleiterscheinungen eines Tumors, r, betreffend Paranoia, e –– Verfolgungswahn, r, anhaltende wahnhafte Störung Paraplegie, e –– vollständige Lähmung beider Beine [Pl.], Querschnittslähmung Parästhesie, e –– Kribbelgefühl, s, Ameisenlaufen, s, Missempfindung '''Parathyreoidea''', e –– Nebenschilddrüse, e parenteral (Adj./ Adv.) –– Gabe, e, von Nährstoffen [Pl.] direkt in den Blutkreislauf, r Parese, e –– teilweise motorische Lähmung / unvollständige Lähmung '''Parkinson''', r –– Zitterlähung '''Parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Patella, e –– Kniescheibe, e '''pathologisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft PCO, s –– polyzystisches Ovarialsyndrom, s, PCOS, PCO-Syndrom, s '''pCO2''', r –– Kohlendioxid-Partialdruck, r '''Pediculosis capitis''', e –– Kopfläuse [Pl.], Läusebefall, r, auf dem Kopf, r Pelvis renalis, r –– Nierenbecken, s Pelvis, s –– Becken, s Penetration, e –– Durchdringen, s, Eindringen, s '''per oral''' (p.o) (Adj./ Adv.) –– durch den Mund, r '''percutan''' / perkutan (Adj./ Adv.) –– durch die Haut '''Perforation''', e –– Durchbohrung des Gewebes, s, Durchbruch, r perianal (Adj./ Adv.) –– rund um den After, um den After herum Periduralanästheise (PDA), Epiduralanästhesie, e –– Rückenmarksnarkose, e Perikard, s –– Herzbeutel, r Perikarderguss, r –– Flüssigkeitsansammlung im Herzbeutel, r perinatal (Adj./Adv.) –– um die Geburt herum Perios, s –– Knochenhaut, e '''peripher''' (Adj./Adv.) –– am Rand, r, gelegen Peristaltik, e –– Bewegung von Hohlorganen [Pl.] '''Peritoneum''', s –– Bauchfell, s Peritonitis, e –– Bauchfellentzündung '''periumbilikal''' (Adj./Adv.) –– um den Bauchnabel, r, herum Perkussion, e –– Abklopfen, s '''perkussorisch''' / '''perkutorisch''' (Adj./Adv.) –– durch Abklopfen, s '''perkutan''' (Adj./Adv.) –– durch die Haut, e Permeabilität, e –– Durchlässigkeit, e persistierend (Adj./Adv.) –– andauernd (z.B. persistierender Schmerz, r) '''pertrochantäre Femurfraktur''', e –– Knochenbruch, r, der Oberseite, e, des Oberschenkelknochens, r '''Pertussis''', e –– Keuchhusten, r Pes, r –– Fuß, r Pescetarier:innen, e [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch meiden (vgl. Vegetarier [Pl.] weder Fisch noch Fleisch) Petechien [Pl.] –– punktförmige Hautblutungen aus Kapillaren [Pl.] (den kleinsten Gefäßen [Pl.]) Phalanx distalis, e –– Fingerendglied, s Phalanx media, e –– Fingermittelglied, s Phalanx proximalis, e –– Fingergrundglied, s '''Phäochromozytom''', s –– Geschwulst, e, des Nebennierenmarks, s '''Pharyngitis''', e –– Rachenentzündung '''Pharynx''', r –– Rachen, r Pharynxkarzinom, s –– Rachenkrebs, r '''Phimose''', e –– Vorhautverengung '''Phlebitis''', e –– Venenentzündung Phlebographie, e –– röntgenologische Darstellung von Venen [Pl.] '''Phobie''', e –– Angststörung / krankhafte übermäßige Angst, e Phonohypersensibilität, e –– Lärm(über)empfindlichkeit, e Phonophobie, e –– Angst, e, vor Lärm, r '''Physiotherapie''', e –– Krankengymnastik, e '''Placebo''', r –– Scheinmedikament, s, ohne Wirkstoffe [Pl.] '''Placeboeffekt''', r –– Wirkung eines Medikaments, s, ohne Wirkstoff, r '''Plazenta''', e –– Mutterkuchen, r Plegie, e –– vollständige Lähmung '''Pleura''', s –– Brustfell, s / Rippenfell, s / Lungenfell, s Pleuraerguss, r –– pathologische Flüssigkeitsansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s Pleuraspalt, r –– Raum zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s '''Pleurektomie''', e –– operative Entfernung des Brustfells, s '''Pleuritis''', e –– Brustfellentzündung / Rippenfellentzündung Plexus, r –– Nervengeflecht, s Plexus brachialis, r –– Armgeflecht, s Pneumatose, e –– Luftansammlung im Bauch, r '''Pneum(on)ektomie''' / Lungenresektion, e –– operative Entfernung eines Lungenflügels, r '''Pneumonie''', e –– Lungenentzündung Pneumoperitoneum, e –– Ansammlung von Luft, e, in der Bauchhöhle, e '''Pneumothorax''', e –– Luftansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s POCD –– postoperative kognitive Dysfunktion, e '''Podagra''', e –– Fußgicht, e Poliomyelitis, e –– Kinderlähmung Pollakisurie, e –– häufiges Wasserlassen, s, in kleinen Mengen [Pl.] '''Pollinose''', e –– Heuschnupfen, r polymorph (Adj./Adv.) –– vielgestaltig Polyp, e –– (Gewebs-)Wucherung Polytrauma, s –– Mehrfachverletzung Polyurie, e –– erhöhte Urinausscheidung Posthitis, e –– Vorhautentzündung postiktal (Adj./ Adv.) –– nach einem (epileptischen) Anfall, r postnatal (Adj./Adv.) –– nach der Geburt, e postpartum (Adv.) –– nach der Geburt, e postprandial (Adj./Adv.) –– nach dem Essen, s / nach einer Mahlzeit, e Präeklampsie, e –– Schwangerschaftsvergiftung / hypertensive Schwangerschaftserkrankung '''präfinal''' (Adj./ Adv.) –– kurz vor dem Tod präprandial (Adj./ Adv.) –– vor dem Essen, s / vor einer Mahlzeit, e Präputium, s –– Vorhaut, e Prävalenz, e –– Häufigkeit, e, einer (bestehenden) Erkrankung / Anzahl, e, aller Fälle [Pl.] einer Erkrankung '''Prävention''', e –– Vorbeugung [im weiteren Sinn =/= Nachvornbeugen, s] '''präventiv''' (Adj./ Adv.) –– vorbeugend '''Presbyakusis''', e –– Altersschwerhörigkeit Presbyopie, e –– Alterssichtigkeit Processus styloideus ulnae, r –– Griffelfortsatz, r (der Elle, e) Prognose, e –– Vorhersage, e, erwarteter Verlauf, r '''progredient''' (Adj./ Adv.) –– fortschreitend, sich verschlimmernd, zunehmend Proktoskopie, e –– Untersuchung des Mastdarms, r, bzw. Dickdarms, r '''Prolaps''', r –– Organvorfall, Vorfall, r, (Heraustreten, s) von inneren Organen [Pl.], Pronation, e –– Einwärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r Prophylaxie, e –– Vorbeugung / Schutzmaßnahme, e Prostata, e –– Vorsteherdrüse, e '''Prostatitis''', e –– Prostataentzündung, Vorsteherdrüsenentzündung '''Protein''', s –– Eiweiß, s Proteinurie, e –– Eiweiß, s, im Urin, r '''Protrusion''', r –– Vorsprung, r / Hervortreten, s / Verlagerung eines Organs, s, nach außen proximal (Adj./ Adv.) –– körperzentrumnah Pruritus, r –– Juckreiz, r Pseudarthrose, e –– Falschgelenk, s '''Psoriasis''', e –– Schuppenflechte, e PSR, r –– Patellarsehnenreflex, r '''psychiatrisch''' (Adj./ Adv.) –– seelische Erkrankungen betreffend Ptosis, e –– hängendes Lid, s / herabhängendes oberes Augenlid, s '''Pulmo''', r –– Lunge, e pulmonale Hypertonie, e –– Lungenhochdruck, r Punktion, e –– Nadelentnahme, e, krankhafter Flüssigkeit, e '''Pus''', r –– Eiter, r '''Pyelonephritis''', e –– Nierenbeckenentzündung Pylorus, r –– Magenpförtner, r Pyrosis, e –– Sodbrennen, s / saures Aufstoßen, s Pyurie, e –– Eiter im Urin, r = R = '''Rabies''' / Lyssa, e –– Tollwut, e '''radial'''/ radialis (Adj./Adv.) –– auf die Speiche bezogen '''Radiatio''', e –– Bestrahlung '''radiatus''' (Adj./ Adv.) –– strahlenförmig / strahlenartig / strahlend radikulär (Adj./ Adv.) –– die Nervenwurzel (den Radix) betreffend '''Radiologe''', r, Radiologin, e –– Facharzt/-ärztin für Strahlenkunde, e / Röntgenarzt/ -ärztin Radiologie, e –– Strahlenheilkunde, e '''Radius''', r –– Speiche, e Ranula, e –– „Froschgeschwulst", e, Mundbodenzyste, e / Zyste, e unter der Zunge, e / Entzündung der Unterzungenspeicheldrüse, e Reanimation, e –– Wiederbelebung '''Reflux''', r –– Rückfluss, r (von Magensäure, e) regredient (Adj./ Adv.) –– sich zurückentwickelnd, etwas rückgängig machend Rekonvaleszenz, e –– Erholungsphase, e / Genesung nach einer Erkrankung '''Rektoskopie''', e –– Mastdarmspiegelung Rektum, s –– Mastdarm, r '''Rektumexstirpation''', e / Rektumamputation, e –– chirurgische Entfernung des Mastdarmes, r Rektumprolaps, r –– Vorfall, r, des Mastdarms, r '''Rekurrensparese''', e –– Stimmbandlähmung (Schwäche, e, eines Nervs, r, der für die Bewegung der Stimmbänder [Pl.] zuständig ist) Remission, e –– Abklingen, s / Besserung / Rückgang der Symptome [Pl.] Ren, r –– Niere, e '''Reposition''', e –– Zurückverlagerung in eine normale Stellung, Wiedereinrichtung (von Knochenbrüchen [Pl.], Eingeweidebrüchen [Pl.] oder Verrenkungen) '''Resektion''', e –– teilweise operative Entfernung eines Organs, s '''resezieren''' (Verb) - chirurgisch entfernen '''resistieren''' (Verb) - widerstehen Resorption, e –– Aufnahme, e, von Nährstoffen [Pl.] Restitutio ad integrum, e –– vollständige Wiederherstellung, vollständige Heilung Restless-legs-Syndrom, s –– unruhige Beine [Pl.] '''Restriktion''', e –– Beschränkung, Einschränkung '''Retina''', e –– Netzhaut, e retropatellar (Adj./ Adv.) –– hinter der Kniescheibe, e '''retrosternal''' (Adj./ Adv.) –– hinter dem Brustbein, s reversibel (Adj./ Adv.) –– umkehrbar/ wieder normal machbar Rezidiv, s –– Rückfall, r '''rezidivierend''' (Adj./ Adv.) –– [für Diagnosen und Symptome] wiederkehrend (im Sinne von Rückfall nach einer Behandlung und einer beschwerdefreien Zeit) RG –– Rasselgeräusch, s '''Rh-Inkompatibilität''', e –– Blutgruppeninkompatibilität, e '''Rhagade''', e –– Einriss, r, Risswunde, e Rhinitis, e –– Schnupfen, r, Nasenschleimhautentzündung '''Rigidität''', e –– Steifigkeit, e, und Starre, e, der Muskeln [Pl.] Rigor mortis, r –– Leichenstarre, e, Totenstarre, e rostral (Adj./ Adv.) –– schnabelförmig, nach vorn(e) Rostrum, r –– Schnabel, r Rotation, e –– Drehung RR –– Relatives Risiko / Riva-Rocci (Blutdruckmesstechnik) Rubella, e –– Röteln [Pl.] '''Rubor''', r –– Rötung '''Ructus''', r, Ruktus –– Aufstoßen, s Ruptur, e –– Riss, r = S = sakral (Adj./ Adv.) –– zum Kreuzbein, r, gehörend '''Salpingektomie''', e –– operative Entfernung eines Eileiters, r Salpingitis, e –– Eileiterentzündung '''Sarkom''', s –– bösartige Bindegewebsgeschwulst, e '''SAS bzw. S.A.S.''' (OSAS) –– Schlafapnoe-Syndrom, s (obstruktives Schlafapnoesnydrom) '''Scapula''', e –– Schulterblatt, s '''Schizophrenie''', e –– Bewusstseinsspaltung, Persönlichkeitspaltung '''Schlafapnoe''', e –– Atemstillstand, r, im Schlaf, r Sectio caesarea, e –– Kaiserschnitt, r Sedation, e –– Beruhigung, e '''Sedativa''', e [Pl.] –– Beruhigungsmittel, s, schlaffördernde Mittel, s [Pl.] '''Sedativum''', s [Sing.] –– Beruhigungsmittel, s, schlafförderndes Mittel, s [Sing.] Sedierung, e –– Beruhigung Sekretolytika / Mukolytika, e –– Schleimlöser [Pl.], schleimlösende Mittel [Pl.] sensibel (Adj./ Adv.) –– empfindlich '''Sensibilität''', e –– Empfindlichkeit, s '''Sepsis''', e –– Blutvergiftung Sibilanz, s –– Pfeifen, s (=/= Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s) '''Singultus''', r –– Schluckauf, r sinister, sinistra (Adj./ Adv.) –– links '''Sinus maxillaris''', r –– Kieferhöhle, e (Nasennebenhöhle, e) Sinusitis, e –– Nasennebenhöhlenentzündung '''Sinusitis frontalis''', e –– Entzündung der Stirnhöhlen [Pl.] (die vorderen Nasennebenhöhlen [Pl.]) '''Situs inversus''', r –– spiegelbildliche Lageanomalie, e, der Organe '''Skabies''', e –– Krätze, e Sklera, e –– Lederhaut, s, des Auges, s Sklerose, e –– Verhärtung von Geweben [Pl.] und Organen [Pl.] '''Skotom''', s –– Gesichtsfeldausfall, r Skrotum, s –– Hodensack, r '''solitär''' (Adj./ Adv.) –– einzeln '''somnolent''' (Adj./ Adv.) –– schläfrig '''Somnolenz''', e –– krankhafte Schläfrigkeit, e Spasmolytikum, s –– krampflösendes Mittel, s '''Spasmus''', r –– Krampf, r (z.B. in den Muskeln [Pl.]) '''Spatium''', a –– Zwischenraum, r '''Sperma''', s –– Samenflüssigkeit, e '''Sphinkter''', r –– Schließmuskel, r '''Sphinkter ani''', r –– After-Schließmuskel, r '''Spina bifida''', e –– offener Rücken, r / Spaltung der Wirbelsäule, e spinal (Adj./ Adv.) –– Wirbelsäule, e, oder Rückenmark, s, betreffend Spinalanästhesie, e –– rückenmarksnahe Regionalbetäubung '''Spinalstenose''', e –– Verengung des Wirbelkanals, r '''Splenektomie''', e –– Milzentfernung '''Splenomegalie''', e –– Milzvergrößerung '''Spondylitis''', e –– Wirbelentzündung Spongiosa, e –– Knochenbälkchen / rotes Knochenmark SSW –– Schwangerschaftswoche, e Stase, Stagnation, e –– Stillstand / Stauung Stauung der vena jugularis externa, e –– Halsvenenstauung '''Stauungsdermatitis''', e –– Hautentzündung durch schlechte Blutzirkulation / Entzündung der Haut, e, an den Unterschenkeln [Pl.] durch Stauung von Blut, s, und Flüssigkeit, e Steatosis hepatis, e –– Fettleber, e STEMI, r –– ST-Hebungs-Myokardinfarkt, r '''Stenose''', e –– Verengung '''Sterilität''', e –– 1. Keimfreiheit, e / 2. Unfruchtbarkeit, e '''Sternum''', s –– Brustbein, s '''STIKO''', e –– Ständige Impfkommission am Robert-Koch-Institut (Berlin), eine ehrenamtliche, derzeit 18-köpfige Expertengruppe Stoma, s –– Mund, r, Öffnung Stomatitis, e –– Entzündung der Mundschleimhaut, e, Mundschleimhautentzündung '''Strabismus''', r –– Schielen, s Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s (=/= Sibilanz, e –– Pfeifen, s) Struma, e –– "Kropf", Schilddrüsenvergrößerung, geschwollener Hals, r Struma nodosa, e –– knotige Schilddrüsenvergrößerung Subarachnoidalblutung, e –– "Hirnblutung", Blutung zwischen der mittleren und inneren Hirnhaut, e '''Subcutis''', e –– Unterhautfettgewebe, s '''Subduralhämatom''', s –– Einblutung zwischen der Hirnhaut, s, und Gehirn, s '''subfebril''' (Adj./ Adv.) –– mit leicht erhöhter Körpertemperatur, e (bis 38 °C) '''Subileus''', r –– unvollständiger Darmverschluss, r '''subkutan''' (Adj./ Adv.) –– unter der Haut (wo?), unter die Haut (wohin?) sublingual (Adj./ Adv.) –– unter der Zunge, e, unter die Zunge, e '''Subluxation''', e –– unvollständige Ausrenkung / Auskugelung / unvollständige Verrenkung Subsitution, Substituierung, e –– Ersatz, r, Ersetzen, s '''Sugillation''', e –– oberflächlicher Bluterguss, r '''Suizid''', e –– Selbsttötung, e, Selbstmord, r superfiziell (Adj./ Adv.), e –– oberflächlich '''Supination''', e –– Auswärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r '''Sympathikolyse''', e –– Ausschaltung der sympathischen Innervierung '''Symptom''', s –– Krankheitszeichen, s [Pl.] / Beschwerden [Pl.] Syndrom, s –– Symptomkomplex, mehrere Krankheitszeichen zusammen '''Synechie''' (Adhäsion, Bride), e –– Verklebung, Verwachsung '''Synkope''', e –– kurze Bewusstlosigkeit, e, plötzliche, kurz andauernde Ohnmacht, e Synovia, e –– Gelenksflüssigkeit, e, Gelenkschmiere, e = T = Tachykardie, e –– Herzrasen, s / erhöhte Herzfrequenz von mehr als 100 Schlag/Min. Tachypnoe, e –– Kurzatmigkeit, e, erhöhte Atemfrequenz, e tachypnoeisch (Adj./ Adv.) –– kurzatmig Tendinitis, e –– Sehnenentzündung Tendovaginitis, e –– Sehnenscheidenentzündung Tenesmus, r –– schmerzhafter Stuhl- oder Harndrang, r '''teratogen''' (Adj./Adv.) –– Missbildungen erzeugend, Fehlbildungen verursachend '''terminal''' (Adj./ Adv.) –– final / das Ende betreffend // im Endstadium, s '''terminale Niereninsuffizienz''', e –– finales Nierenversagen, s '''Tetanus''', r –– Wundstarrkrampf, r Tetraplegie, e –– Lähmung aller vier Extremitäten Therapie, e –– Behandlung thorakal (Adj./ Adv.) –– den Brustkorb/-raum betreffend Thorax, r –– Brustkorb, r '''Thrombektomie''', e –– Entfernung eines Blutpfropfs, r '''Thromboembolie''', e –– Verschluss, r, eines Blutgefäßes, s, durch einen Blutpfropf, r Thrombopenie / Thrombozytopenie, e –– Mangel an Blutplättchen [Pl.] Thrombophlebitis, e –– Entzündung der oberflächlichen Venen [Pl.], akute Thrombose, e '''Thrombose''', e –– Gefäßverschluss, r, durch ein Blutgerinnsel, s '''Thrombozyten''', e [Pl.] –– Blutplättchen [Pl.] '''Thrombozytopenie''', e –– Mangel an Blutplättchen '''Thyreoidea''', e –– Schilddrüse, e '''Thyreoidektomie''', e –– operative Entfernung der Schilddrüse, e Thyreoiditis, e –– Schilddrüsenentzündung '''TIA''', e –– transitorische ischämische Attacke, e '''Tibia''', e –– Schienbein, s '''Tic''', r –– Zucken, s / unwillkürliche, nervöse Muskelzuckung, nicht unterdrückbares Muskelzucken, s Tinea pedis, e –– Fußpilz, r '''Tinnitus''', r –– Ohrgeräusche [Pl.], „Ohrensausen" Tonsilla, e –– Gaumenmandel, e '''Tonsillektomie''', e –– operative Entfernung der Mandeln [Pl.] '''Tonsillitis''' / Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Tonsillitis''' purulenta, e –– eitrige Mandelentzündung Tonus, r –– Spannung Tophus, r –– Knoten, r (z. B. Gichtknoten, r) '''Tophus''', r [Sing.] / Tophi [Pl.] –– entzündlicher Knoten, r (bei Gicht, e) Torsion, e –– Drehung Torsionsfraktur, e –– Spiralfraktur, e '''Tortikollis''', r –– Schiefhals, r / verkrampfter Hals, r (bei Kindern [Dativ Pl.]) '''toxisch''' (Adj./ Adv.) –– giftig '''Trachea''', e –– Luftröhre, e Tracheostoma, s –– Luftröhrenschnitt, r (dauerhafte Öffnung) '''Tracheotomie''', e –– Luftröhrenschnitt, r '''Tranquilizer''', r –– Beruhigungsmittel, s [auch Pl.] Transfusion, e –– Blutübertragung '''transitorische Ischämie''', e –– vorübergehende Durchblutungsstörung, “Mini-Schlaganfall’’, r Transpiration, e –– Schwitzen, s transversal (Adj./ Adv.) –– quer transversum (Adj./ Adv.) –– querlaufend '''Trauma''', s –– körperliche oder seelische Verletzung '''Tremor''', r –– Zittern, s / Muskelzittern, s '''Trepanation''', e –– Schädelöffnung durch Anbohren, s '''Trigeminusneuralgie''', e –– Gesichtsschmerz, r, Nervenschmerz, r, im Gesicht, s '''Trikuspidalinsuffizienz''', e –– Herzklappenfehler, r, Schließunfähigkeit, e, der Trikuspidalklappe, e, des Herzens, s TSH, s –– Thyreoidea-stimulierendes Hormon, s Tuba auditiva, e –– Ohrtrompete, e Tuba uterina, e –– Eileiter, r '''Tubargravidität''', e –– Eileiterschwangerschaft, e Tube / Tuba, e –– Röhre, e Tuber ischiadicum, r –– Sitzbeinhöcker, r Tuberkulose (kurz: TB), e –– Schwindsucht, e Tumor, r –– Geschwulst, e Tunica media, e –– mittlere Schicht, e, der Gefäßwand, e TUR, e –– transurethrale Resektion, e Tussis, e –– Husten, r TVT, e –– tiefe Venenthrombose, e, Phlebothrombose, e = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e '''ubiquitär''' (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s '''Ulcus cruris''', r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s '''Ulcus duodeni''', r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s '''Ulcus ventriculi''', r –– Magengeschwür, s '''Ulna''', e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r '''Urämie''', e –– Harnansammlung im Blut '''Ureter''', r –– Harnleiter, r '''Urethra''', e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r '''Urosepsis''', e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e '''Uterus''', r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventriculi cerebri [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventriculus cordis, Herzventrikel, s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = W = Wheezing (Engl.) -- Giemen, s, = X = '''Xerodermie''', e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e '''zerebral''' (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend '''Zervikalgie''', e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e '''Zoster''', r / Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Zoster oticus''', r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) '''zyanotisch''' (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e '''Zyklothymie''', e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] '''Zyste''', e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r '''Zystitis''', e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung '''Zystostatika''', e [Pl.] –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung '''Zystostatikum''', e [Sing.] –– Zellwachstum, s, hemmendes Medikament [Sing.] / Medikament zur Krebsbehandlung = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e ubiquitär (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s Ulcus cruris, r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s Ulcus duodeni, r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s Ulcus ventriculi, r –– Magengeschwür, s Ulna, e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r Urämie, e –– Harnvergiftung (Anhäufung von harnpflichtigen Stoffen [Pl.] im Blut, s) Ureter, r –– Harnleiter, r Urethra, e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r Urosepsis, e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e Uterus, r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventrikel [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventrikel (Herz), s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = Xerodermie, e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e zerebral (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend Zervikalgie, e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e Zoster, r –– Gürtelrose, e Zoster oticus, r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) zyanotisch (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e Zyklothymie, e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] Zyste, e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r Zystitis, e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung Zystostatika, e –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung oxxykmxxjbgzad2fi3pm8081az1t76y 1114142 1114141 2026-09-03T10:38:52Z C.Koltzenburg 13981 /* R */ 1114142 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] Zu dieser Fachbegriffe-Liste: 1000 Dank an Ch. und Th. für die Vorarbeiten, die Protokolle gründlich auszuwerten - und vielen Dank an die Verfasser*innen der Protokolle! [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#A|A]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#B|B]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#C|C]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#D|D]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#E|E]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#F|F]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#G|G]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#H|H]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#I|I]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. 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Hirnnerv, r '''Abduktion''', e –– Abspreizung von Körperteilen, (Hin)Wegführung / Wegspreizen einer Extremität nach außen '''Ablatio mammae''', e –– Brustamputation '''Ablatio retinae''', e –– Netzhautablösung Ablation, e –– Entfernung von Körpergewebe bzw. Körperteilen abnorm (Adj./ Adv.) –– pathologisch, krankhaft '''Abort''', r –– Fehlgeburt, e Abortus completus, r –– vollständige Fehlgeburt, e '''Abortus imminens''', r –– drohende Fehlgeburt, e '''Abortus incipiens''', r –– beginnende Fehlgeburt, e '''Abszess''', r –– eitrige Geschwulst, Eiteransammlung in einem nicht vorbestehenden Hohlraum, r '''Abusus''', r –– Missbrauch (Noxen (Tabak, Alkohol, Drogen), Medikamente) Acetabulum, s –– Hüftpfanne, e '''Acidose''' siehe '''Azidose''' Achalasie, e –– Funktionsstörung der Speiseröhre (Erschlaffung der glatten Muskulatur) ACS, s –– Akutes Koronarsyndrom '''Adaptation''', e –– Anpassung '''adäquat''' (Adj./ Adv.) –– passend '''Adduktoren''', r –– anziehende Muskeln, Muskeln, die eine Extremität zur Körpermittellinie ziehen Adenom, s –– gutartige Geschwulst des Drüsengewebes oder der Schleimhaut '''Adenotomie''', e –– operative Entfernung der Rachenmandel '''Adhäsion''', e –– Verwachsung, Verklebung '''adipös''' (Adj./ Adv.) –– fettleibig '''Adipositas''', e –– Fettsucht, e, Fettleibigkeit, e '''Adnexe''' (Pl.), e –– Eierstock, r, und Eileiter, r '''Adnexitis''', e –– Entzündung der Eileiter und Eierstöcke '''Adoleszenz''', e -– Jugendalter, s adrenal (Adj./ Adv.) –– die Nebennieren betreffend '''Adrenalektomie''', e –– operative Entfernung der Nebenniere adult (Adj./ Adv.) –– Erwachsene betreffend '''Adventitia''', e –– äußere Schicht der Blutgefäßwand, e '''Adynamie''', e –– Antriebslosigkeit, e aerob (Adj./ Adv.) –– Sauerstoff (O2), r (+ Akk), benötigend '''Aerobier''', r –– von Sauerstoff abhängiger Mikroorganismus, sauerstoffabhängiger Organismus '''Aerosol''', s –– Inhalationsmittel, s afebril (Adj./ Adv.) –– ohne Fieber '''Affekt''', r –– starke, kurz andauernde Gemütsbewegung '''Agglutination''', e –– Verklumpung '''aggravieren''' (Verb) –– eine Krankheit übertrieben darstellen '''Aggregation''', e –– Zusammenlagerung Aglossie, e –– Fehlen, s der Zunge '''Agonie''', e –– Todeskampf, r '''Agranulozytose''', e –– Verminderung der Granulozyten [Pl.] AHB –– Anschlussheilbehandlung, Anschlussrehabilitation, "Reha" '''Akkommodation''', e –– Anpassung, Scharfeinstellung des Auges Akne rosacea, e –– Kupferrose, e '''Akren''' [Pl.] –– die äußersten Teile des Körpers '''Akromegalie''', e –– Vergrößerung der äußersten Körperteile Akromion, s –– Schulterdach, s '''akut''' (Adj./ Adv.) –– plötzlich auftretend akute Sinusitis, e –– akute Nasennebenhöhlenentzündung '''Albino''', s –– Lebewesen mit angeborenem Pigmentmangel '''Albumin''', s –– ein Eiweißstoff im Blut Algesie, e –– Schmerz, r Algurie, e –– Schmerzen beim Wasserlassen, s, schmerzhaftes Wasserlassen '''alkalisch''' (Adj./ Adv.) –– basisch, laugenhaft '''Alkalose''', e –– Basenüberschuss, r, Erhöhung des pH-Werts im Blut, krankhafte Anhäufung von Basen im Blut '''Allergen''', s –– Stoff, der eine Allergie hervorrufen kann '''Allergie''', e –– krankhafte Überempfindlichkeit (auf einen bestimmten Stoff) '''allergisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft überempfindlich (auf einen bestimmten Stoff) allergische Rhinokonjunktivitis, e -- Heuschnupfen, r '''allergischer Schock''', r –– lebensbedrohliche, allergische Überreaktion, e '''Alopezie''', e –– Haarausfall, e ALS –– amyotrophe Lateralsklerose, e Alteration, e –– krankhafte Veränderung, krankhafte Abweichung Alternative, e –– andere Möglichkeit, Option '''Altinsulin''', s –– Normalinsulin (Insulin ohne verzögernde Zusätze) '''Alveolen''', e [Pl.] –– Lungenbläschen, s [Sing./ Pl.] '''Amaurose''', e –– totale Erblindung '''Amenorrhoe/ ö''', e –– Ausbleiben, s, der Regelblutung '''Amnesie''', e –– Erinnerungslücke, e, Gedächtnisverlust, r '''Amnioskopie''', e –– Fruchtwasserspiegelung Amputation, e –– Abtrennung von Gliedmaßen anaerob (Adj./ Adv.) –– ohne Sauerstoff, keinen Sauerstoff benötigend '''anal''' (Adj./ Adv.) –– den After betreffend Analabszess, r –– Eiteransammlung im/am After, s Analfissur, e –– Einriss der Haut des Afters '''Analgesie''', e –– Schmerzbekämpfung, Schmerzlosigkeit, e '''Analgetika''', e [Pl.] –– Schmerzmittel, e [Pl.] '''Analgetikum''', s [Sing.] –– Schmerzmittel, s [Sing.] '''analgetisch''' (Adj./ Adv.) –– schmerzstillend / schmerzlindernd '''analog''' (Adj./ Adv.) –– ähnlich Analprolaps, r –– Vorfall, r, der Haut des Afters, r Analpruritus, r –– Juckreiz am After, r '''Analsphinkter''', r –– Schließmuskel des Afters '''Anämie''', e –– Blutarmut, e '''anämisch''' (Adj./ Adv.) –– blutarm Anamnese, e –– Krankengeschichte, e '''anamnestisch''' (Adj./ Adv.) –– zur Vorgeschichte des/der Kranken gehörend '''anaphylaktischer Schock''', r –– schweres allergisches Kreislaufversagen, s, lebensbedrohliche, allergische Überreaktion des Kreislaufs Anarthrie, e –– Sprechstörung (schwerste Form, e) '''Anästhesie''', e –– Betäubung, Narkose, e '''Anastomose''', e –– Verbindung zwischen anatomischen Strukturen '''Anatomie''', e –– Lehre vom Bau des Körpers, vom Körperbau '''Androgene''' [Pl.] –– männliche Sexualhormone '''Aneurysma''', s –– Aussackung der Gefäßwand, e (Schlagader, e) Angina Pectoris, e –– Brustenge, e Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Angiographie''', e –– die radiologische Darstellung der Gefäße '''Angiologie''', e –– Lehre von den Gefäßen '''angiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Blutgefäße betreffend Angiom, s –– Blutschwamm, r Angiopathie, e –– krankhafte Veränderung von Gefäßen [Pl.] '''Angulation''', e –– Winkelung '''Angulus''', r –– Winkel, r Anhidrose, e –– fehlende Schweißbildung, Schweißdrüsenfunktionsstörung Anisokorie, e –– Pupillendifferenz, e '''Anomalie''', e –– Entwicklungsstörung, Abweichung vom Normalen Anorexia, Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''Anorexia nervosa''', e –– Magersucht, e Anosmie, e –– Verlust, r des Geruchssinns '''Antagonist''', r –– Gegenspieler, r, gegensätzlich wirkendes Organ oder Medikament, s '''Antazida, e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''Antazidum, s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''anterior''' (Adj./ Adv.) –– vordere/r, vorn(e) Anthelminthika, e [Pl.] –– Mittel, e [Pl.] gegen Würmer, Mittel, e [Pl.] zur Bekämpfung von Würmern Anthelminthikum, s [Sing.] –– Mittel, s [Sing.] gegen Würmer, Mittel, s [Sing.] zur Bekämpfung von Würmern Anthrax, r –– Milzbrand, r Anthropologie, e –– Menschenkunde, e '''Antiarrhythmika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antiarrhythmikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antibiotika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bakterien '''Antibiotikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bakterien '''Anticholinergika''', e [Pl.] –– Wirkstoffe, e, die die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Anticholinergikum''', s [Sing.] –– Wirkstoff, r, der die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Antidiabetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Zuckerkrankheit '''Antidiabetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Zuckerkrankheit Antidot, s –– Gegenmittel, s, Gegengift, s '''Antiemetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiemetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiepileptika''', e [Pl.], Antikonvulsiva, e [Pl.] –– Arzneimittel [Pl.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) '''Antiepileptikum''', s [Sing.], Antikonvulsivum, s [Sing.] –– Arzneimittel [Sing.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) Antigen, s –– Stoff, der die Bildung von Antikörpern bewirkt, Stoff, der das Immunsystem aktiviert '''Antihypertensiva''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bluthochdruck '''Antihypertensivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bluthochdruck Antikoagulation, e –– Blutverdünnung '''Antikonvulsiva''', e [Pl.] -- Arzneimittel, e [Pl.] gegen epileptische Anfälle, krampflösende Mittel '''Antikonvulsivum''', s [Sing.] -- Arzneimittel, s [Sing.] gegen epileptische Anfälle, krampflösended Mittel [Sing.] '''Antikörper''' [Pl.] –– Abwehrstoffe im Blut (gegen artfremde Eiweiße) '''Antimykotika''', e [Pl.] –– Mittel, e, [Pl.] gegen Pilzerkrankungen '''Antimykotikum''', s [Sing.] –– Mittel, s, [Sing.] gegen Pilzerkrankungen '''Antiphlogistika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e, [Pl.] gegen Entzündungen '''Antiphlogistikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s, [Sing.] gegen Entzündungen '''antiphlogistisch''' (Adj./ Adv.) –– entzündungshemmend '''Antipyretika''', e [Pl.] –– fiebersenkende Mittel [Pl.] '''Antipyretikum''', s [Sing.] –– fiebersenkendes Mittel [Sing.] antipyretisch (Adj./ Adv.) –– fiebersenkend '''Antiseptika''', e [Pl.] –– keimtötende Mittel [Pl.] '''Antiseptikum''', s [Sing.] –– keimtötendes Mittel [Sing.] '''Antitussiva''', e [Pl] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Husten '''Antitussivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Husten '''Anurie''', e –– Harnproduktion unter (<) 100 ml pro Tag '''Anus''', r –– After, r '''Anus praeter''', r, '''Anus praeternaturalis''', r –– künstlicher Darmausgang, r '''Anxiolyse''', e –– Beseitigung nervöser Unruhe, e (durch Medikamente), medikamentöse Linderung von Nervosität '''Anxiolytika''', s [Pl.] –– angstlösende Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Pl.] '''Anxiolytikum''', s [Sing.] –– angstlösendes Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Sing.] Aorta, e –– Hauptschlagader, e '''Aortenaneurysma''', s –– Aussackung der Hauptschlagader, e '''Aortenklappeninsuffizienz''', e –– mangelhafte Schließfähigkeit, e, / Schließunfähigkeit, e, der Aortenklappe, e, des Herzens, s Aortenklappenstenose, e –– Einengung der Aortenklappe, e, Verengung '''Apathie''', e –– Teilnahmslosigkeit, e, Antriebslosigkeit, e '''apathogen''' (Adj./ Adv.) –– nicht krankmachend, keine Krankheit hervorrufend '''Apex cordis''', r –– Herzspitze, e '''Apgar-Schema'', s –– Schema zur Vitalitätsbeurteilung des Neugeborenen, s [Akronym: Atmung, Puls, Grundtonus, Aussehen, Reflexe, nach Virginia Apgar (1909-1974), Chirurgin und Anästhesistin] Aphagie, e –– Unvermögen, s, Unfähigkeit, e, zu schlucken '''Aphasie''', e –– Verlust des Sprechvermögens bei Gehirnstörung, Sprachverlust durch Störung des Sprachzentrums '''Aphthen''' [Pl.] –– Mundausschlag, r, schmerzhaftes Mundgeschwür, s '''Aphthoid''', s –– Mundfäule, e Apnoe, e –– Atemstillstand, r '''Apoplex''', r, '''apoplektischer Insult''', r –– Schlaganfall, r '''Appendektomie''', e –– Blinddarmentfernung, operative Entfernung des Wurmfortsatzes, r Appendix (vermiformis), r –– Wurmfortsatz, r, „Blinddarm", r '''Appendizitis''', e –– Entzündung des Wurmfortsatzes, Wurmfortsatzentzündung, Blinddarmentzündung '''applizieren''' (Verb) –– verabreichen Arrhythmie, e –– Herzrhythmusstörung art. Coxae, s –– Hüftgelenk, s art. Cubiti, s –– Ellenbogengelenk, s art. Genus, s –– Kniegelenk, s art. Glenohumerale, s –– Schultergelenk, s Arteria carotis, e –– Halsschlagader, e '''Arteria iliaca communis''', e –– gemeinsame Hüftschlagader, e, Beckenarterie, e '''Arteria poplitea''', e –– Kniekehlenschlagader, e '''Arteria pulmonalis''', e –– Lungenschlagader, e Arteria renalis, e –– Nierenarterie, e Arterie, e –– Schlagader, e arterielle Hypertonie, e –– Bluthochdruck, r '''Arteriosklerose''', e –– Gefäßverkalkung, Arterienverkalkung Arteritiis, e –– Entzündung der Arterie, e Arthralgie, e –– Gelenkschmerz, r '''Arthritis urica''', Hyperurikämie, e –– Gicht, e, akute Gelenkentzündung bei Gicht, e Arthrodese, e –– Gelenkversteifung Arthrose, e –– Gelenkverschleiß, r '''Arthroskopie''', e –– Gelenkspiegelung articularis (Adj./ Adv.) –– zum Gelenk gehörend ascendens (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Asepsis''', e –– Keimfreiheit, e '''aseptisch''' (Adj./ Adv.) –– keimfrei Asomnie, e –– Schlaflosigkeit, e Asphyxie, e –– Erstickung Aspiration, e –– Ansaugen, s, Verschlucken, s ASR –– Achillessehnenreflex, r '''Asthma''', s –– Atemnoterkrankung, chronisch-entzündliche Erkrankung der Atemwege Astrozytom, s –– Gehirntumor, r Asystolie, e –– Herzstillstand, r aszendierend (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Aszites''', e –– Bauchödem, s, Bauchwassersucht, e, Flüssigkeitsansammlung in der freien Bauchhöhle, e '''Ataxie''', e –– Störung der Bewegungskoordination, e '''Atelektase''', e –– Lungenkollaps, r, kollabierter Lungenabschnitt, r '''Ätiologie''', e –– Lehre von den Krankheitsursachen '''ätiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Krankheitsursachen betreffend Atresie, e –– fehlende natürliche Körperöffnung Atrium, s –– Herzvorhof, r Atrial Fibrillation, e –– Vorhofflimmern, s Atriumseptumdefekt, r –– Loch, s, in der Scheidewand zwischen den Vorhöfen des Herzen '''Atrophie''', e –– Gewebeschwund, r / Schwund, r AU –– Arbeitsunfähigkeit, e, Abdomenumfang, r '''Auricula''' auris, e –– Ohrmuschel, e '''aurikular''' (Adj./ Adv.) –– die Ohren betreffend, zum Ohr gehörig '''Auskultation''', e –– Untersuchung durch Abhorchen (Abhören) '''auskultatorisch''' (Adj./ Adv.) –– durch Abhorchen '''Axilla''', e –– Achselhöhle, -e axillär (Adj./ Adv.) –– die Achselhöhle betreffend / in der Achselhöhle AZ, r –– Allgemeinzustand, r '''Azidose''', e –– Übersäuerung des Blutes, Steigerung des Säuregehaltes im Blut = B = '''Bakteriämie''', e –– (Vorhandensein von) Bakterien im Blut '''Bakteriostase''', e –– Keimwachstumshemmung ohne Abtötung '''bakterizid''' (Adj./ Adv.) –– bakterientötend / keimtötend Balanitis, e –– Eichelentzündung, Vorhautentzündung Barotrauma, s –– Druckverletzung (aufgrund von Druckdifferenzen, z.B. beim Tauchen) '''Basaliom''', s –– weißer Hautkrebs, r, bösartiger Hauttumor, r basilar (Adj./ Adv.) –– grundlegend Beinödem, s –– Wassereinlagerung im Bein, s benigne (Adj./ Adv.) –– gutartig BGA –– Blutgasanalyse, e '''bilateral''' (Adj./ Adv.) –– beidseitig '''bimanuell''' (Adj./ Adv.) –– mit beiden Händen, an beiden Händen Biopsie, e –– Entnahme, e, und Untersuchung einer Gewebeprobe, e '''Bipolare Störung''' –– manisch-depressive Erkrankung '''Bluttransfusion''', e –– Blutübertragung '''Body-Mass-Index''', r (BMI) –– Körpermasseindex, r '''Brachialgie''', e –– Oberarmschmerzen, e [Pl.] Brachium, s –– Oberarm, r Bradykardie, e –– verlangsamter Herzschlag, r '''Bride''', e, intraabdominale Adhäsion, e –– Verwachsung '''Bronchiales Asthma''', s –– Atemnoterkrankung '''Bronchialkarzinom''', s –– Lungenkrebs, r '''Bronchialkonstriktion''', e –– Verengung der Luftwege in der Lunge '''Bronchiektase''', e –– krankhafte Erweiterung(en) der Bronchien Bronchitis, e –– Entzündung der Bronchien, Atemwegsentzündung '''Bronchoskopie''', e –– Atemwegsspiegelung, Lungenspiegelung '''Bronchospasmus''', r –– Bronchialkrampf, r BSG, e –– Blutsenkungsgeschwindigkeit, e Bulimia nervosa, e –– Ess-Brechsucht, e '''Bursa''', e –– Schleimbeutel, r, Beutel, r '''Bursitis''', e –– Schleimbeutelentzündung, e BWS, e –– Brustwirbelsäule, e BZ, r –– Blutzucker, r = C = C2 –– Alkohol, r, Ethanol, s '''Calcaneus''', r –– Fersenbein, s Calor, r –– Wärme, e, Hitze, e, Überwärmung '''Capitulum''', s –– Köpfchen, s (z. B. eines Knochens), Gelenkköpfchen, s '''Carcinoma in situ''', s –– Frühstadium eines Tumors ohne invasives Wachstum '''Cardia''', e –– Mageneingang, r cardiogen (Adj./ Adv.) –– vom Herz ausgehend, am Herzen entstehend Cardiomegalie, e –– Herzvergrößerung '''Carotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Cartilago, e –– Knorpel, r '''Cartilago thyroidea''', e –– Schilddrüsenknorpel, r '''Cava''', e, Cavum, s –– Hohlraum, r '''cave!''' –– 1) „Vorsicht!“, 2) „vermeide!“ Cavitas abdominalis, e –– Bauchhöhle, e Cavitas glenoidales scapulae, e –– Schultergelenkspfanne, e CED, e –– chronisch-entzündliche Darmerkrankung '''Cephalgie''', e –– Kopfschmerzen [Pl.] '''cerebral(is)''' (Adj./ Adv.) –– das Gehirn betreffend, zum Großhirn gehörig '''Cerebrum''', s –– das Großhirn, das Gehirn Cerumen, s –– Ohrenschmalz, r Cervix, e –– Gebärmutterhals, r Cheilitis angularis, e –– Einriss, r, des Mundwinkels, r, Mundwinkelrhagade, e '''Chemotherapie''', e –– medikamentöse Behandlung gegen Krebs, r Chiragra, e –– akuter Gichtanfall, r, der Hand- und Fingergelenke '''Chloasma''' (Melasma), Hyperpigmentierung –– brauner Hautfleck, r '''Cholangiom''', s –– Geschwulst, e, im Bereich der Gallenwege '''Cholangitis''', e –– Entzündung der Gallenwege Choledochusstenose, e –– Verrenkung des Hauptgallengangs, r Cholelithiasis, e –– Gallensteine [Pl.] '''Cholestase''', e –– Gallestauung Cholesterin, s –– Blutfette [Pl.] Cholezystitis, s –– Gallenblasenentzündung Chondritis, e –– Knorpelentzündung '''chronisch''' (Adj./ Adv.) –– langdauernd, lange dauern chronische Niereninsuffizienz, e –– chronisches Nierenversagen, s '''Claudicatio intermittens''', e –– Schaufensterkrankheit, e '''Clavicula''', e –– Schlüsselbein, s CLL –– Chronisch-lymphatische Leukämie, e '''Cochlea''', e –– Hörschnecke, e, Ohrschnecke, e '''Colitis''', e –– Dickdarmentzündung '''Colitis ulcerosa''', e –– chronische Entzündung des Dickdarms, r, mit Geschwürbildung Collum femoris, s –– Schenkelhals, r '''Colon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Colon irritabile''', s –– Reizdarmsyndrom (RDS), s '''Commissura''', e –– Weichteilverbindung '''Commotio cerebri''', e –– Gehirnerschütterung '''Compliance''', e –– Einhaltung der Therapie, Beachten der Therapievorgaben Compressio cerebri, e –– Gehirnquetschung Contusio cerebri, e –– Gehirnprellung COPD, chronisch-obstruktive pulmonale Dysfunktion –– chronische Verengung der Atemwege, „Raucherhusten" (ugs.), r Cor pulmonale, s –– Rechtsherzbelastung aufgrund von Drucksteigerung im Lungenkreislauf, r Cornea, e –– Hornhaut, e, des Auges Corpus lutem, s –– Gelbkörper, r Cortex, r –– Gehirnrinde, e Costae [Pl.] –– Rippen [Pl.] '''Coxa''', e –– Hüfte, e '''Coxa valga''' –– Fehlstellung des Oberschenkelhalses (mehr als 140°) '''Coxalgie''', e –– Hüftschmerz, r '''cranial''' (Adj./ Adv.) –– kopfwärts, in Richtung des Kopfes, zum Kopf gehörig '''Cranium''', s –– Schädel, r Crampus, r -- Wadenkrampf, r '''Cruralgie''', e –– Beinschmerzen [Pl.] '''Crusta''', e –– Kruste, e CTG –– Kardiotokographie '''Cutis''', e –– Haut, e = D = '''Defibrillation''', e –– Beseitigung von Herzrhythmusstörungen durch Elektroschocks, Wiederbelebung durch Elektroschocks, r '''Defibrillator''', r –– Schockgeber, r degenerativ (Adj./ Adv.) –– sich zurückbildend, abbauend '''Dehydratation''', e –– Austrocknung, Flüssigkeitsmangel, r '''Dekade''' –– zehn Stück, s, Zeitraum, r, von zehn Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren '''Dekubitus''', e –– Druckgeschwür, s, Wundliegen, s delirant (Adj./ Adv.) –– verwirrt '''Delirium''', s –– Bewusstseinstrübung mit Verwirrtheit, e '''Delirium tremens''', s –– Alkoholdelir, r, Alkoholentzugsdelir, r '''Demenz''', e –– Verlust der geistigen Leistungsfähigkeit, e, erworbene Geistesschwäche, e '''Dens''', r –– Zahn, r '''depressiv''' (Adj./ Adv.) –– niedergeschlagen '''Dermatitis''', e –– Hautentzündung Dermatitis solaris, e –– Sonnenbrand, r Dermatologe, r –– Hautarzt, r '''Dermatose''', e –– Hautkrankheit '''Dermis''', e –– Lederhaut, e '''Descensus uteri''', r –– Gebärmuttersenkung '''Deviation''', e –– Abweichung dexter, dextra –– rechts, rechtsseitig (cave! =/= rechtzeitig ) diabetische Retinopathie, e –– Netzhauterkrankung aufgrund von Zuckerkrankheit, e Diagnose, e –– Krankheitsfeststellung '''Diagnosis ex juvantibus''' –– Diagnose, e, anhand eines Heilerfolgs, r/ Therapierfolgs, r '''Dialyse''', e –– Blutwäsche, e '''Diaphragma''', s –– Zwerchfell, s Diaphyse, e –– Knochenschaft, r '''Diarrhö''', e –– Durchfall, r digestiv (Adj./ Adv.) –– die Verdauung betreffend digitale Untersuchung –– Untersuchung mit dem Finger '''digital-rektale Untersuchung''' (DRU) –– Untersuchung des Afters mit dem Finger Dignität, e –– Wertigkeit im Hinblick auf die Bösartigkeit von Tumoren Diphterie, e –– ansteckende Infektionskrankheit des Halses (mit Mandel- und Kehlkopfschwellung) '''Diplopie''', e –– Doppelsehen, s Diskusprolaps, r –– Bandscheibenvorfall, r '''Dislokation''', e –– Verschiebung oder Verlagerung von Knochenbruchstücken '''Disposition''', e –– Anfälligkeit, e, Veranlagung für bestimmte Krankheiten distal (Adj./ Adv.) –– körperfern '''Distorsion''', e –– Zerrung, Verstauchung, Verdrehung '''Diurese''', e –– Harnausscheidung '''Diuretika''', e [Pl.] –– harntreibende Arzneimittel [Pl.], Wassertabletten [Pl.] '''Diuretikum''', s [Sing.] –– harntreibendes Arzneimittel [Sing.], Wassertablette [Sing.] '''Divertikulitis''', e –– Entzündung von Ausstülpungen im Dickdarm, r '''dorsal''' (Adj. /Adv.) –– rückenseitig, rückenwärts '''Dorsum''', s –– Rücken, r '''Drainage''', e –– Ableitung von Flüssigkeit, Schlauch zur Ableitung von Wundsekret, Abfluss '''drainieren / dränieren''' (Verb) –– ableiten (z.B. von Wundflüssigkeit) Ductus, r –– Gang, r '''Ductus choledochus''', r –– Hauptgallengang, r '''Duodenalsonde''', e –– Zwölffingerdarmsonde, e Duodenoskopie (ÖGD), e –– Magenspiegelung Duodenum, s –– Zwölffingerdarm, r '''duplex''' (Adj./ Adv.) –– doppelt Duplexsonographie, e, farbkodierte –– Ultraschall, r, der Gefäße, s '''Dysarthrie''', e –– Sprachstörung Dysästhesie, e –– Missempfindung (bei leichter Berührung kommt es zur Auslösung eines Schmerzes oder unangenehmen Gefühls) Dyskrinie, e –– abnormale Produktion eines Drüsensekrets (Menge, Beschaffenheit) Dyslexie, e –– Lesestörung '''Dysmenorrhoe / ö''', e –– schmerzhafte Regelblutung Dyspareunie, e –– schmerzhafter Geschlechtsverkehr, r Dyspepsie, e –– Verdauungsstörung Dysphagie, e –– Schluckstörung aufgrund eines Hindernisses im Hals =/= Odynophagie '''Dysphonie''', e –– Heiserkeit, e, Stimmstörung, e '''Dyspnoe''', e –– Atemnot, e '''Dysurie''', e –– schmerzhaftes Wasserlassen = E = EEG, s –– Elektroenzephalographie, e, Aufzeichnung der Hirnströme, r '''Ejakulation''', e –– Samenerguss, r '''Ektropionieren''', s –– Untersuchung der Innenseite des Augenlids, allg.: Ausstülpen, s, einer Struktur, e (z. B. eines Augenlids oder einer Schleimhaut) '''Ekzem''', s –– Hautentzündung, Juckflechte, entzündlicher Hautausschlag '''Elektrokardiogramm''' (EKG), s –– Aufzeichnung der Herzmuskelströme, Messung der elektrischen Herzaktivität Elevation, e –– Anheben, s, (des Armes) '''Embolie''', e –– Gefäßverschluss durch Blutgerinnsel von einem anderen Ort '''Embolus''', r –– Gefäßpfropf, r '''Emesis''', e –– Erbrechen, s Emphysem, s –– Überblähung der Lunge, e '''Empyem''', a –– Eiteransammlung in einer Körperhöhle, e Endokard, s –– Herzinnenhaut, e '''Endokarditis''', e –– Entzündung der Herzinnenhaut, e '''Endometrium''', s –– Gebärmutterschleimhaut, e Endophthalmus, r –– Einsinken des Augapfels in die Augenhöhle, e Endoprothese, e –– künstliches Gelenk, s, künstlicher Gelenkersatz, r '''endotracheal''' (Adj./ Adv.) –– in die Luftröhre, in(nerhalb) der Luftröhre Enteritis, e –– Darmentzündung '''Enuresis''' nocturna, e –– (nächtliches) Bettnässen, Einnässen Enzephalomyelitis, e –– Entzündung von Gehirn, s, und Rückenmark, s Enzephalomyelitis disseminata (ED), e –– Multiple Sklerose, e Enzephalopathie, e –– krankhafte Veränderung des Gehirns, s '''Epididymistorsion''', e –– Nebenhodenverdrehung '''Epididymitis''', e –– Nebenhodenentzündung epidurale Anästhesie, e –– Spritze in den Rückenmarksraum, r '''epigastrisch''' (Adj./ Adv.) –– den Oberbauch betreffend, r Epigastrium, s –– Bereich, r, zwischen Rippenbogen, r, und Bauchnabel, r '''Epiglottis''', e –– Kehldeckel, r Epiglottitis, e –– Kehldeckelentzündung Epilepsie, e –– Krampfleiden, s, Krampfanfall, r (obsolet: Fallsucht, e) Epinephron, s, Glandula suprarenalis, e –– Nebenniere, e Epiphora, e –– tränendes Auge, s, Tränenfluss, r Epiphyse, e –– Knochenendstück, s '''Episiotomie''', e –– Dammschnitt, r (zw. Scheide und Anus) '''Epistaxis''', e –– Nasenbluten, s ERCP –– Endoskopisch-retrograde Cholangiopankreatikographie Ergometrie, e –– Belastungs-EKG, s Erysipel, e –– Wundrose, e Erythem, e –– Hautrötung, e Erythrozyten [Pl.] –– rote Blutkörperchen [Pl.] Exanthem, s –– Hautausschlag, r '''Exartikulation''', e –– operative Entfernung eines Gliedes, s, im Gelenk, s '''Exazerbation''', e –– Verschlimmerung einer Krankheit, e exazerbiert (Adj./ Adv.) –– verschlimmert Exkoriation, e –– Abschürfung '''Exophthalmus''', r –– krankhaftes Vortreten, s, des Augapfels, r '''Exostose''', e –– Knochenauswuchs, r '''Expektorantien''' [Pl.] –– auswurffördernde Mittel [Pl.] '''Expektorantium''' [Sing.] –– auswurfförderndes Mittel [Sing.] '''exsikkiert''' (Adj./ Adv.) –– ausgetrocknet '''Exsikkose''', e –– Austrocknung Exstirpation, e, Ektomie, e –– vollständige Entfernung von Organen, s Extension, e –– Streckung extra (Adv.) –– außerhalb Extraktion, e –– Entfernung Extrasystole, e –– Extraschlag, r, zusätzliche Herzschläge [Pl.], Herzstolpern, s Extrauteringravidität, e, extrauterine Gravidität, e –– Bauchhöhlenschwangerschaft, e = F = '''Facies''', e –– Gesicht, s '''Falx cerebri''', e –– größte Verdoppelung der Hirnhaut, e '''Fascia lata''', e –– Bindegewebshülle, e, am Oberschenkel, r '''Faszie''', e –– Bindegewebshülle, e Faszikel, e –– (Nervenfaser-) Bündel, s Fatigue (franz.), e –– chronische Müdigkeit, e '''Fazialis''', r –– Gesichtsnerv, r Feinnadelbiopsie, e –– Punktion, e, für Abstrich, r, Gewebeprobenentnahme, e '''Femur''', r –– Oberschenkelknochen, r '''Femurfraktur''', r –– Oberschenkelknochenbruch, r '''Fibromyalgie''', e –– chronische Erkrankung mit Muskel- und Sehnenschmerzen '''Fibrose''', e –– Gewebsverhärtung, Vermehrung von Bindegewebe, s '''Fibula''', e –– Wadenbein, s '''Fissur''', e –– Riss, r '''Flatulenz, Meteorismus''', e –– Blähsucht, Blähungen '''Flexion''', e –– Beugung, e '''Flexur''', e –– Biegung, e '''fluktuierend''' (Adj./Adv.) –– wechselnd, schwankend, Flüssigkeiten: hin und her schwappend Foeter ex ore, r, Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Follikulitis''', e –– Haarbalgentzündung Foramen, s –– Loch, s '''Foramen magnum''', s –– Hinterhauptsloch, s '''Fornix cerebri''', s –– Struktur, e, des Limbischen Systems, s, im Großhirn, s '''Fragment''', s –– Bruchstück, s (z. B. Knochenbruchstück, s) '''Fraktur''', e –– Knochenbruch, r '''frontal''' (Adj./Adv.) –– an der Stirn / stirnseitig '''Fundus oculi''', r -– Augenhintergrund,r Funiculus umbilicalis, r -– Nabelschnur, e = G = Galaktorrhoe, e –– Milchfluss, r Gallensteinileus, r –– Darmverschluss, r, aufgrund von Gallenstein, r '''Gangrän''', e –– Gewebsnekrose, e, Zerfall, r, des Gewebes, s, abgestorbene Körperteile, Sonderform, e, der Koagulationsnekrose, e '''gastral''' (Adj./Adv.) –– den Magen betreffend Gastrektasie, e –– Magenerweiterung '''Gastrektomie''', e –– operative Entfernung des Magens, r Gastritis, e –– Magenschleimhautentzündung, e gastroenterologisch (Adj./Adv.) –– Magen, r, und Darm, r, betreffend gastroösophageale Refluxkrankheit, e –– gesteigerter Rückfluss, r, von Magensäure, e, in die Speiseröhre, e '''Gastroskopie''', e –– Magenspiegelung, e '''Gastrostomie''', e –– Anlegung eines Magenschlauches, r, zur künstlichen Ernährung GCS, e (Glasgow Coma Scale) –– Glasgow Koma Skala, e Gefäß, s (Arterie/Vene) –– Ader, e '''Genese''', e –– Entstehung Genetik, e –– Vererbungslehre, e '''genetisch''' (Adj./Adv.) –– erblich (bedingt) '''Genitalien''' [Pl.] – Geschlechtsorgane [Pl.] '''Genom''', s –– Erbgut, s '''Genum''', s –– Knie, s '''Genum valgum''', s –– X-Bein, s Genum varus, e –– O-Bein, s '''Geriatrie''', e –– Altersmedizin, e '''Germinom''', s –– Keimzelltumor, r, bösartiges Tumor, r, des Gehirns, s Gestagen, s –– Gelbkörperhormon, s '''Gibbus''', r (Hyperkyphose), e –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Gingiva''', e –– Zahnfleisch, s '''Glandula''', e –– Drüse, e '''Glandula lacrimalis''', e –– Tränendrüse, e '''Glandula parotidea/parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Glandula salivatoria, e –– Speicheldrüse, e Glandula suprarenale, e –– Nebenniere, e '''Glandula thyroidea''', e –– Schilddrüse, e '''Glaukom''', s –– grüner Star, r Globusgefühl, s –– Fremdkörpergefühl, s, im Rachen, r '''Gonade''', e –– Geschlechtsdrüse, e (Eierstöcke und Hoden) '''Gonarthrose''', e –– Kniegelenkverschleiß, r, Arthrose, e, des Kniegelenks, s '''Gonorrhoe''', e –– Tripper, r '''Grand mal''', r [Frz.] –– großer epileptischer Anfall, r Granulozyt, r –– Art von weißen Blutkörperchen '''Gravidität''', e –– Schwangerschaft, e '''grippaler Infekt''', r –– Erkältung Grünholzfraktur, e –– Fraktur, e mit intakter Knochenhaut, e Gynäkologie, e –– Frauenheilkunde, e Gynäkomastie, e –– Vergrößerung der Brustdrüse, e, beim Mann, r = H = '''habituelle Luxation''', e –– ständig vorkommende Ausrenkung Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Hallux valgus''', r –– Großzeh-Fehlstellung, -Schiefstand (bei dem dieser in Richtung der kleinen Zehen abweicht) '''Halluzination''', e –– Sinnestäuschung Hämangiom, s –– Blutschwamm, r Hämarthrose, e –– Blutansammlung im Gelenk, s '''Hämatemesis''', e –– Bluterbrechen, s, Erbrechen von Blut '''Hämatochezie''', e –– Blut, s, im Stuhl, r '''Hämatokolpos''', r –– Blutansammlung in der Scheide, e Hämatom, s –– Bluterguss, r Hämatoperikard, s –– Blutansammlung im Herzbeutel, r Hämatothorax, r –– Blutansammlung zwischen Lunge, e und Rippenfell, s (Pleuraspalt, r) '''Hämaturie''', e –– Blut, s, im Urin, r Hämoglobin, s –– roter Blutfarbstoff, r Hämoglobinurie, e, [s.a. Mikro/Makrohämaturie, e] –– Blutfarbstoff, r im Urin, r Hämophilie, e –– Blut(er)krankheit, e Hämoptoe, e –– Bluthusten, r '''Hämorrhagie''', e –– Blutung Hämorrhagischer Insult, r –– Hirnblutung nach Schlaganfall, r Harninkontinenz, e –– Blasenschwäche, e Hautabszess, r –– Eiteransammlung in der Haut, e HCT, s –– Hydrochlorothiazid, s Hemianopsie, e –– halbseitiger Gesichtsfeldausfall, r '''Hemikolektomie''', e –– operative Entfernung einer Dickdarmhälfte, e '''Hemiparese''', e –– unvollständige Lähmung einer Körperhälfte, unvollständige halbseitige Lähmung '''Hemiplegie''', e –– vollständige Lähmung einer Körperhälfte, vollständige halbseitige Lähmung '''Hepar''', s –– Leber, e '''Hepatitis''', e –– Leberentzündung Hepatojugulärer Reflux, r –– Halsvenenstauung '''Hepatomegalie''', e –– Lebervergrößerung '''Hepatopathie''', e –– Lebererkrankung '''hereditär''' (Adj./ Adv.) –– erblich '''Heredität''', e –– Erblichkeit, e '''Hernia inguinalis''', e –– Leistenbruch, r '''Hernia umbilicalis''', e –– Nabelbruch, r '''Hernie''', e –– Eingeweide(-Bruch), r Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Herzinfarkt''', r –– Absterben, s, von Teilen, r, des Herzmuskels, r Herzinsuffizienz, e –– Herzschwäche, e Hiatushernie, e –– Zwerchfellbruch, r Hirninfarkt, r, Apoplex, r –– Schlaganfall, r, Absterben, s, von Hirngewebe, s Hirnödem, e –– Flüssigkeitseinlagerung im Gehirn, s Hirsutismus, r –– vermehrte Behaarung HKT, Hkt, r –– Hämatokrit, r '''Hodentorsion''', e –– Hodenverdrehung Hordeolum, s –– Gerstenkorn, s (akute Entzündung des Augenlids, s) H-TEP, e –– Hüftgelenk-Totalendoprothese, Totalendoprothese des Hüftgelenks '''Humerus''', r –– Oberarmknochen, r '''Humerusfraktur''', e –– Knochenbruch, r, des Oberarmknochens, r, Oberarmbruch HWI, r –– Hinterwandinfarkt, r // Harnwegsinfekt, r Hydronephrose, e –– Wassersackniere, e, Harnstauungniere, e '''Hydrops''', r –– Flüssigkeitsansammlung in einer Körperhöhle, e Hydroureter, r –– Harnleitererweiterung (durch Harnrückstau, r) Hydrozele, e –– Wasserbruch, r, Flüssigkeitsansammlung im Hodensack, r '''Hydrozephalus''', r –– Wasserkopf, r '''Hygiene''', e –– Gesundheitslehre, e Hymen, e –– Jungfernhaut, e, Jungfernhäutchen, s Hypakusis, e –– Schwerhörigkeit, e, Hörminderung '''Hypalgesie''', e –– verminderte Schmerzempfindlichkeit, e Hypästhesie, e –– Taubheitsgefühl, s hyper- (Vorsilbe) –– erhöht Hyperästhesie, e –– Überempfindlichkeit, e, für Berührungsreize [Pl.] '''Hypercholesterinämie''', e [Sing.] –– erhöhte Blutfettwerte [Pl.] '''Hyperemesis''', e –– starkes Erbrechen, s '''Hyperemesis gravidarum''', e –– unstillbares, starkes Erbrechen, s, in der Schwangerschaft, e Schwangerschaftserbrechen, s Hyperglykämie, e –– Überzuckerung, erhöhte Blutzuckerwerte '''Hyperhidrose''', e –– krankhaft übermäßiges Schwitzen, s '''Hyperkaliämie''', e –– erhöhter Kaliumgehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkapnie''', e –– übermäßiger Kohlensäuregehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkeratose''', e –– Verdickung der Hornschicht, e, der Haut, e Hyperkyphose, e, (Gibbus, r) –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Hyperopie''', e –– Weitsichtigkeit, e '''Hyperparathyreoidismus''', r –– Überfunktion der Nebenschilddrüsen [Pl.], Nebenschilddrüsenüberfunktion, e Hyperthermie, e –– unphysiologische Überwärmung des Organismus, r '''Hyperthyreose''', e –– Überfunktion der Schilddrüse, e Hyperurikämie, e –– erhöhte Harnsäurewerte im Blut (oft bei Gicht) Hyperventilation, e –– übermäßige schnelle Atmung '''Hyperventilationstetanie''', e –– schnelle und flache Atmung mit Muskelkrämpfen [Pl.] '''hyperventilieren''' –– schnell und flach atmen hypo- (Vorsilbe) –– vermindert Hypoglykämie, e –– Unterzuckerung '''Hypophyse''', e –– Hirnanhangsdrüse, e '''Hyposensibilisierung''', e –– durch Allergieimpfung weniger sensibel machen '''Hyposensibilität''', e –– verminderte Empfindlichkeit, e Hyposomnie, e –– Schlafmangel, r Hypothermie, e –– Unterkühlung '''Hypothyreose''', e –– Unterfunktion der Schilddrüse, e hypovolämischer Schock, r –– Volumenmangelschock, r Hypoxie, e –– Sauerstoffmangel, r, Verminderung von Sauerstoff im Körper, r '''Hysterektomie''', e –– operative Entfernung der Gebärmutter, operative Gebärmutterentfernung, „Total-OP" (ugs.), e = I = '''iatrogen''' (Adj./Adv.) –– durch ärztliche Maßnahmen [Pl.] verursacht intramuskulär (Adj./Adv.), '''i.m.''' –– in den Muskel, r '''Ichthyosis, e –– Fischschuppenkrankheit, e '''Ikterus''', r, Hepatitis A/ B, e –– Gelbsucht, e Ileostoma, s –– künstlicher Darmausgang, r Ileum, s –– Krummdarm, r '''Ileus''', r –– Darmverschluss, r '''imperative Miktion''', e –– Harndrang, r in vitro Fertilisation, e –– künstliche Befruchtung Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''incompliance''' (Engl.) –– Nichtbeachtung (einer Therapie) '''incompliant''' (Engl.) (Adj./Adv.) –– nicht beachtend Index, r –– Zeigefinger, r indolent (Adj./Adv.) –– schmerzlos '''Indolenz''', e –– Schmerzlosigkeit, e, Unempfindlichkeit, e, gegenüber Schmerzen [Pl.] '''Induration''', e –– Verhärtung, Verdickung von Gewebe, s '''infaust''' (Adj./Adv.) –– hoffnungslos, mit ungünstiger Vorhersage, e, (Prognose, e), mit einem schlechten Verlauf, r Infekt, r –– Erkältung infektiös (Adj./Adv.) –– ansteckend, übertragbar infertil (Adj./Adv.) –– unfruchtbar Infertilität, e –– Unfruchtbarkeit, e Inflammation, e –– Entzündung '''Influenza''', e –– Grippe, e inframandibular (Adj./Adv.) –– unterhalb des Unterkiefers, r '''Infusion''', e –– Flüssigkeitsgabe, e, in die Vene, e Inguinalhernie, e –– Leistenbruch, r '''Inhalation''', e –– Einatmung von Heilmitteln [Pl.] (in Form von Dämpfen) '''Inhaler''', r [Engl.] –– Inhalationsapparat, r, Inhalationsgerät, s '''inhalieren''' (Verb) –– einatmen Injektion, e –– Einspritzung in eine Ader, e, oder ins Gewebe, s '''Inkarzeration''', e –– Einklemmung eines Eingeweidebruchs, r '''inkontinent''' (Adj./Adv.) –– unfähig, Harn oder Stihl zurückzuhalten '''Inkontinenz''', e –– Unfähigkeit, e, Harn, r, oder Stuhl, r, zurückzuhalten Inoperabilität, e –– Unmöglichkeit, e, eine OP durchzuführen Insomnie, e –– Schlafstörung (Einschlafstörung, Durchschlafstörung) inspiratorisch (Adj./Adv.) –– bei der Einatmung '''Insult''', r –– Anfall, r, Schlaganfall, r '''intercostal''' (Adj./Adv.) –– zwischen den Rippen [Pl.] Interkostalfraktur, e -- Rippenbruch, r '''Interkostalneuralgie''', e –– Schmerzen im Bereich, r, der Zwischenrippennerven [Pl.] '''intermittierend''' (Adj./Adv.) –– zeitweise (aussetzend), kommt und geht '''Interruptio''', e –– Schwangerschaftsabbruch, r intervertebral (Adj./Adv.) –– zwischen den Wirbeln [Pl.] Intestinum tenue, s –– Dünndarm, r Intima, e –– Gefäßinnenschicht, e '''Intoxikation''', e –– Vergiftung intra- (Vorsilbe) –– innerhalb '''intraabdominelle Gravidität''' –– Bauchhöhlenschwangerschaft intrakraniell (Adj./Adv.) –– innerhalb des Schädels intrakutan, perkutan (Adj./Adv.) –– durch die Haut '''intramuskulär''' (Adj./Adv.) –– im Muskel, r intramuskuläre Injektion, e, i.m. –– Einspritzung, „Spritze", e, in den Skelettmuskel, r '''intraokular''' (Adj./Adv.) –– innerhalb des Auges, s intravenös Injektion, e, i.v. –– Einspritzung in eine Ader, e, oder Vene, e intravenös, intravasal (Adj./Adv.) –– in eine Vene, e, hinein '''intrazerebrale Blutung''', e –– Gehirnblutung '''Intubation''', e –– Einführung eines Beatmungsschlauchs, r, einer Sonde, e, in die Luftröhre, e invasiv (Adj./Adv.) –– eindringend '''Inzidenz''', e –– Häufigkeit, e, der Neuerkrankungen [Pl.] '''Inzision''', e –– Einschnitt, r Iris, e –– Regenbogenhaut, e '''irreversibel''' (Adj./Adv.) –– nicht umkehrbar '''Irritabile Bowel Syndrom''' (IBS), s –– Reizdarmsyndrom, s (RDS) '''Ischämie''', e –– Minderdurchblutung, Mangeldurchblutung '''Ischialgie''', e (ugs. '''Ischias''', r) –– Schmerzen im Bereich des Ischiasnervs, Schmerzen im unteren Rücken oder Gesäß ITN, e –– Intubationsnarkose, e = J = '''Jejunitis''', e –– Entzündung des Leerdarms, r Jejunum, s –– Leerdarm, r '''juvenil''' (Adj./Adv.) –– jugendlich = K = '''kachektisch''' (Adj./Adv.) –– abgemagert / ausgezehrt '''Kachexie''', e –– Auszehrung, starke Abmagerung mit Kräfteverfall, r Kalkaneusfraktur, e –– Fersenbeinbruch, r Kallus, r –– Narbengewebe, s, des Knochens, r Kapillar, s –– Haargefäß, s, kleinstes Blutgefäß, s Karbunkel, r –– Haarbalgentzündung '''kardial''' (Adj./Adv.) –– das Herz betreffend '''kardinal''' (Adj./Adv.) –– hauptsächlich Kardia, e –– Herz, s '''kardio-''' (Vorsilbe) –– auf das Herz bezogen, das Herz betreffend '''kardiogen''' (Adj./Adv.) –– vom Herzen ausgehend '''Kardiomegalie''', e –– Herzvergrößerung Kardiomyopathie, e –– Herzmuskelschwäche, e kardiotoxisch (Adj./Adv.) –– herzschädigend, herzschädigende Wirkung einer Substanz, e '''Karenz''', e, Abstinenz, e –– Verzicht auf, r, Meiden von, s Karies, e –– Zahnfäule, e Karotis (Arteria carotis), e –– Halsschlagader, e '''Karotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Karzinom, s –– bösartiger Tumor, r, Krebsgeschwulst, e '''Katarakt''', r –– grauer Star, r '''kaudal''' (Adj./Adv.) –– in Richtung des Steißbeins (Os coccygis), s, steißwärts kausal (Adj./Adv.) –– ursächlich '''Keratitis''', e –– Hornhautentzündung KHK, e –– koronare Herzkrankheit Klavikula, e –– Schlüsselbein, s '''Klistier''' (Klysma), s –– Einlauf, r (Einlaufmittel, s), Darm-Einlauf, s KM –– Kontrastmittel, s, Knochenmark, s '''Koagulation''', e –– Blutgerinnung '''Kolektomie''', e –– operative Dickdarmentfernung Kolik, e –– krampfartige und wellförmige Schmerzen '''Kolon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Koloskopie''', e –– Darmspiegelung, Dickdarmspiegelung '''Kolpitis''', e –– Scheidenentzündung Komorbidität, e –– Begleiterkrankung Konfusion, e –– Verwirrung, e, Verwirrtheit, e '''kongenital''' (Adj./Adv.) –– angeboren '''Konjunktivitis''', e –– Bindehautentzündung Konkrement, s –– Stein, r (z.B. in der Gallenblase, e) '''kontagiös''' (Adj./Adv.) –– ansteckend Kontagiosität, e –– Ansteckungskraft, e, Übertragbarkeit, e '''Kontamination''', e –– Verunreinigung (durch Mikroorganismen [Pl.]) Kontraindikation, e –– Gegenanzeige, e '''Kontraktur''', e –– Gelenksteife, e (infolge einer Verkürzung der Muskeln [Pl.] und Sehnen [Pl.]) Kontrazeptivum, s –– Verhütungsmittel, s, Pille, e [TM] '''Kontusion''', e –– Prellung Kornea, e –– Hornhaut Koronarangiographie, e –– Darstellung der Herzkranzgefäße [Pl.] Koronararterie, e –– Herzkranzgefäß, s '''Koronararterienstenose''', e –– Gefäßverengung der Herzkranzgefäße [Pl.] '''Koxalgie''', e –– Hüftschmerz, r Koxarthrose, e –– Arthrose, e, des Hüftgelenks, s '''kranial''' (Adj./Adv.) –– zum Kopf gehörig, kopfwärts, in Richtung des Kopfes '''Kropf''', r (ugs.) –– Schilddrüsenvergrößerung '''Kryochirurgie''', e –– Kältechirurgie, e K-TEP, e –– Kniegelenkstotalendoprothese, -e '''kurativ''' (Adj./ Adv.) –– heilend = L = Laparoskopie, e –– Bauchspiegelung '''Laryngitis''', e –– Kehlkopfentzündung '''Larynx''', e –– Kehlkopf, r Larynxödem, s –– Kehlkopfschwellung '''Läsion''', e –– Verletzung; Schädigung lateral (Adj./Adv.) –– seitlich, an der Seite Laxantien [Pl.] –– Abführmittel, e [Pl.] '''Laxativum''' [Sing.] –– Abführmittel, s [Sing.] '''Leberzirrhose''', e –– Verhärtung des Lebergewebes, s, „Schrumpfleber", e, Leberschrumpfung Leistenhernie, e –– Leistenbruch, r '''letal''' (Adj./Adv.) –– tödlich '''Letalität''', e –– Tödlichkeit, e, einer Erkrankung '''Leukämie''', e –– Blutkrebs, r '''Leukozyten''' [Pl.] –– weiße Blutkörperchen [Pl.] Leukozytopenie/ Leukopenie, e –– verminderte Anzahl, e, von weißen Blutkörperchen [Pl.] '''Ligament(um)''', s –– Band, s Ligamentum cruciatum anterior/posterior, s –– vorderes/hinteres Kreuzband, s Ligatur, e –– Unterbindung '''Linea anocutanea''', e –– untere Grenze, e, des Analkanals, r '''Lipidose''', e –– Störung des Fettstoffwechsels, r '''Lipom''', s –– gutartige Fettgeschwulst, e '''liquid(e)''' (Adj./Adv.) –– flüssig '''Liquor''' cerebrospinale, r –– Gehirn-/ Rückenmarksflüssigkeit, e '''Livor(es)''', r –– rotblauer Fleck, e, Leichenflecken [Pl.]/ Totenfleck, r '''Lobektomie''', e –– operative Entfernung eines Organlappens, r (z.B. Lungenlappen, r) '''Lobulus''', r –– kleiner Lappen, r (Teil eines Organs oder einer Drüse) '''Lobus''', r –– Lappen, r (z.B. Lungenlappen) '''Logopädie''', e –– Sprachtherapie, e '''Lokalanästhesie''', e –– örtliche Betäubung Lues (venerea), e –– Syphilis, e (sexuell übertragbare Infektion) '''Lumbago''', r, Lumbalgie, e –– Hexenschuss, r Lumbalpunktion, e –– Entnahme, e, von Rückenmarksflüssigkeit, e, mittels Nadel, e '''Lumboischialgie''', e –– Rückenschmerzen [Pl.] mit Ursprung, r, in der Lendenwirbelsäule, e '''Lungenatelektase''', e –– kollabierter Lungenabschnitt, r '''Lungenembolie''', e –– Verschluss, r, einer (oder mehrerer) Lungenarterien [Pl.] durch ein verschlepptes Blutgerinnsel, s Luxation, e –– Verrenkung, Ausrenkung, Auskugelung Lymphadenitis, e –– Lymphknotenentzündung Lymphadenopathie, e –– Erkrankung der Lymphknoten [Pl.] Lymphangitis, e –– Lymphgefäßentzündung '''Lymphödem''', s –– Verdickung (Schwellung) der Haut, e, infolge von Lymphstauungen [Pl.] '''Lymphom''', s –– Lymphdrüsenkrebs, r, Lymphknotengeschwulst, e = M = Magnetresonanztomografie (MRT), e –– Kernspintomographie, die '''Makroglossie''', e –– Vergrößerung der Zunge Makrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, sichtbares Blut, s, (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r makroskopisch (Adj./Adv.) –– mit bloßem Auge sichtbar '''Makula''', e –– gelber Fleck, r '''maligne''' (Adj./Adv.) –– bösartig '''Malignom''', s –– bösartige Geschwulst, e (Tumor, r) Malleolus lateralis, r –– Außenknöchel, r '''Malleolus medialis''', r –– Innenknöchel, r '''Malrotation''', e –– gestörte Darmdrehung Mamma, e –– Brustdrüse, e, Brust, e Mammaablation, e –– Entfernung der Brustdrüse, e Mammakarzinom, e –– Brustkrebs, r '''Mandibula''', e –– Unterkiefer, r Manometer, s –– Druckmessgerät, s Manometrie, e –– Diagnostik, e, der Motilitätsstörung '''Mastektomie''', e –– Brustamputation '''Mastitis''', e –– Entzündung der weiblichen Brust, e '''Maxilla''', e –– Oberkiefer, r Meatus acusticus externus, r –– äußerer Gehörgang, r '''Meckel-Divertikel''', s –– Ausstülpung des Dünndarms, r (Leerdarms, r, oder Krummdarms, r) '''medial''' (Adj./Adv.) –– zur Körpermitte gerichtet, zur Mitte hin '''Medulla oblongata''', e –– verlängertes Mark, s Medulla renalis, e –– Nierenmark, s Medulla spinalis, e –– Rückenmark, s Mekonium, s –– erster Stuhl, r, eines Neugeborenen, s '''Meläna''', e –– Teerstuhl, r (durch Blut, s, schwarz gefärbter Stuhl, r) Melanom, s –– schwarzer Hautkrebs, r Membrana tympani, e –– Trommelfell, s '''Menarche''', e –– erste Regelblutung Mendelson-Syndrom, s –– Lungenentzündung infolge Erbrechen, s, Aspirationspneumonie, e, nach Aspiration, e, von Magensaft, r Meningen [Pl.] –– Hirnhäute [Pl.] '''Meningitis''', e –– Hirnhautentzündung, e '''Menopause''', e –– Aufhören, s, der Regelblutung in den Wechseljahren [Pl.] / Wechseljahre [Pl.] '''Menstruation''', e –– Regelblutung '''metabolisch''' (Adj./Adv.) –– stoffwechselbedingt '''Metabolismus''', r –– Stoffwechsel, r Metastase, e –– Tochtergeschwulst, e, eines Tumors, r '''Meteorismus''', r, Flatulenz, e –– übermäßige Gasansammlung im Darm, r / Blähsucht, e / Blähungen [Pl.] '''Metrorrhagie''', e –– Zwischenblutung / Blutung außerhalb des Menstruationszyklus, r Mikrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, nicht sichtbares Blut, s (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r Miktion, e –– Wasserlassen, s Miosis, e –– Pupillenverengung Mitralstenose, e –– Verengung der Mitralklappe, e / der Herzklappe, e MMR, e –– Impfung gegen Masern [Pl.], Mumps, r, und Röteln [Pl.] '''Monoarthritis''', e –– Entzündung eines einzelnen Gelenks, s Mononucleosis infectiosa, e –– Pfeiffer-Drüsenfieber, s / Pfeiffersches Drüsenfieber, s Monoplegie, e –– Lähmung einer Extremität, e '''Morbidität''', e –– Erkrankungshäufigkeit, e Morbus Crohn, r –– chronisch–entzündliche Darmerkrankung Morbus Parkinson, r –– Schüttellähmung / Zitterlähmung '''mortal''' (Adj./Adv.) –– tödlich MRSA, r –– Methicillin-resistenter Staphylococcus aureus '''Mukolytika''', e –– schleimlösende Medikamente, e '''Mukolytikum''', s –– schleimlösendes Medikament, s '''multimorbid''' (Adj./Adv.) –– an mehreren Krankheiten erkrankt '''Multimorbidität''', e –– Mehrfacherkrankung Multiple Sklerose, e, MS, e –– chronische Erkrankung des Nervensystems, s / Muskelschwund, r Mumps, r –– Ziegenpeter, r Myasthenia gravis, e –– Autoimmunerkrankung der Muskulatur, e '''Mycosis fungoides''', e –– bösartige Geschwulst, e, der Haut, e '''Mydriase''', e –– Pupillenerweiterung Myelopathie, e –– Gehirn- oder Rückenmarkserkrankung '''Mykose''', e –– Pilzinfektion, e mykotisch, fungal (Adj./Adv.) –– durch Pilze verursacht '''Mykotoxin''', s –– Schimmelpilzgift, s '''Myokardinfarkt''', r –– Herzinfarkt, r '''Myokarditis''', e –– Herzmuskelentzündung Myokardium, s –– Herzmuskel, r '''Myom''', s –– gutartiger Muskeltumor, r / Geschwulst, e, in der Gebärmutter, e '''Myopie''', e –– Kurzsichtigkeit, e Myose, e –– Pupillenverengung '''Myositis''', e –– Muskelentzündung '''Myxödem''', e –– Unterhautschwellung infolge einer Schilddrüsenfunktionsstörung = N = NaCl, Natriumchlorid, s –– Kochsalz, s (Nahrungsmittel) Narkolepsie, e –– Schlafkrankheit, e / Schlummersucht, e Nasenseptum, s –– Nasenscheidewand, e Nävus, r –– Muttermal, s / Leberfleck, r Nekrose, e –– lokaler Gewebstod, r '''Neoplasma''', s –– / '''Neoplasie''', e –– Gewebeneubildung / Neubildung von Körpergeweben [Pl.] (gutartig oder bösartig) '''Nephrektomie''', e –– operative Entfernung einer Niere, e '''Nephritis''', e –– Nierenentzündung '''Nephrolithiasis''', e –– Nierensteinleiden, s / Nierensteinkrankheit, e nephrotoxisch (Adj./Adv.) –– die Nieren schädigend, nierenschädigend Nervus ischiadicus, r –– Ischiasnerv, r Nervus olfactorius, r –– Riechnerv, r Nervus opticus, r –– Sehnerv, r Nervus phrenicus, r –– Zwerchfellnerv, r Nervus splanchnicus, r –– Eingeweidenerv, r '''Neuralgie''' (interkostale), e –– Nervenschmerz (zwischen den Rippen) '''neurogen''' (Adj./Adv.) –– von den Nerven [Pl.] ausgehend Neuropathie, e –– Erkrankung des peripheren Nervensystems, s neurotoxisch (Adj./Adv.) –– nervenschädigend neurotrop(isch) (Adj./Adv.) –– auf das Nervensystem wirkend Niereninsuffizienz, e –– finales Nierenversagen, s / Nierenfunktionsstörung Nodulus, r –– Knötchen, s Nodus, r –– Knoten, r '''Noncompliance''' [Engl.], e –– Nichtbefolgen, s, medizinischer Anweisungen, Nichtbeachtung / Nichteinhaltung der Therapie, e '''nosokomial (Adj./Adv.)''' –– das Krankenhaus betreffend Noxen [Pl.] –– Schadstoffe [Pl.] '''Nucleus''', r –– Kern, r nullpara –– (noch) kein Kind geboren '''Nykturie''', e –– vermehrtes nächtliches Wasserlassen, s '''Nystagmus''', r –– Augenzittern, s = O = observieren (Verb) –– beobachten, unter Beobachtung stellen '''Obstipation''', e –– Verstopfung '''Ödem''', s –– Schwellung / Wasseransammlung / krankhafte Flüssigkeitsansammlung im Gewebe Odynophagie, e –– Schmerzen beim Schlucken (auch ohne physisches Hindernis) =/= Dysphagie '''ÖGD''', e –– Ösophago-Gastro-Duodenoskopie, e '''ökonomisch''' (Adj./Adv.) –– wirtschaftlich (Englisch: sparsam = economical) '''okzipital''' (Adj./Adv.) –– in Richtung Hinterhaupt, zum Hinterhaupt gehörend '''Olecranon''', s –– Ellenfortsatz, r Omarthrose, e –– Arthrose, e, des Schultergelenkes, s '''Onanie''', e / Masturbation, e –– Selbstbefriedigung Oncychomykose, e –– Nagelpilz, r Oophoritis, e -- Eierstockentzündung opB -- ohne pathologischen Befund '''Ophthalmoplegie''', e –– Augenmuskellähmung oral (Adj./Adv.) –– durch den Mund, r Orbita, e –– Augenhöhle, e orbital (Adj./Adv.) –– die Augenhöhle betreffend Orchis, e /Testis, r –– Hoden, r '''Orchitis''', e –– Hodenentzündung ORSA –– Oxacillin-resistenter-Staphylococcus aureus Orthopnoe, e –– Luftnot, e, im Liegen, s '''Os carpi''', s –– Handwurzelknochen, r '''Os coccygis''', s/ Coccyx, e –– Steißbein, s '''Os frontale''', s –– Stirnbein, s '''Os ilium''', s –– Darmbein, s Os metacarpale, s –– Mittelhandknochen, r '''Os metatarsale''', s –– Mittelfußknochen, r Os naviculare, s –– Kahnbein, s '''Os occipitale''', s –– Hinterhauptbein, s '''Os pubis''', s –– Schambein, s Os sacrum, s –– Kreuzbein, Os schaphoidem, s –– Kahnbein, s '''Os tarsi''', s –– Fußwurzelknochen, r '''Ösophagitis''', e –– Speiseröhrenentzündung '''Ösophago-Gastro-Duodenoskopie''' (ÖGD), e –– Magendarmspiegelung '''Ösophagus''', r –– Speiseröhre, e Ösophagusatresie, s, ÖA –– Fehlbildung der Speiseröhre, e (angeborener Verschluss, r, der Speiseröhre, e) Ösophagusvarizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] der Speiseröhre, e '''Ossa''', e –– Knochen, r '''Osteogenese''', e –– Knochenbildung Osteogenesis imperfecta, e –– Glasknochenkrankheit, e Osteomalazie, e –– Knochenerweichung '''Osteoporose''', e –– Knochenschwund, r Osteosarkom, s –– bösartiger Tumor, r, aus Knochen gehend / Knochenkrebs, r '''Osteosynthese''', e –– operative Knochenzusammenfügung / operative Verbindung von Knochenfragmenten [Pl.] Östrogen, s –– Follikelhormon, s / weibliches Hormon, s '''Otitis''', e –– Ohrenentzündung '''Otitis externa''', e –– Entzündung des äußeren Gehörgangs, r Otitis interna, e –– Innenohrentzündung '''Otitis media''', e –– Mittelohrentzündung ovariell/ ovarial (Adj./ Adv.) -- den Eierstock, r, betreffend, vom Eierstock, r, ausgehend bzw. durch ihn bedingt '''Ovarium''', s / Ovar, s –– Eierstock, r Ovulation, e –– Eisprung, r = P = Palatine, e –– Gaumen, r Palliation, e –– Linderung '''palliativ''' (Adj./ Adv.) –– lindernd, nicht heilend, symptomatische Therapie '''palliative Therapie''', e / Palliativtherapie, e –– lindernde Behandlung (ohne zu heilen) '''palmar''' (Adj./ Adv.) –– handflächenseitig, die Handfläche betreffen '''Palpation''', e –– Untersuchung durch Betasten, s / Abtasten, s Palpitation, e –– Herzpochen, s / Herzklopfen, s pan (Adv.) –– überall, an allen Orten '''Panikattacke''', e –– Angstanfall, r '''Pankreas''', s –– Bauchspeicheldrüse, e Pankreaskarzinom, s –– Bauchspeicheldrüsenkrebs, r '''Pankreaszyste''', e –– Bauchspeicheldrüsenzyste, mit Flüssigkeit gefüllter Hohlraum in der Bauchspeicheldrüse '''Pankreatitis''', e –– Bauchspeicheldrüsenentzündung Panzytopenie, e –– Zellzahlabnahme, e Paralyse, e –– Lähmung, vollständige motorische Lähmung paraneoplastisch (Adj./ Adv.) –– Begleiterscheinungen eines Tumors, r, betreffend Paranoia, e –– Verfolgungswahn, r, anhaltende wahnhafte Störung Paraplegie, e –– vollständige Lähmung beider Beine [Pl.], Querschnittslähmung Parästhesie, e –– Kribbelgefühl, s, Ameisenlaufen, s, Missempfindung '''Parathyreoidea''', e –– Nebenschilddrüse, e parenteral (Adj./ Adv.) –– Gabe, e, von Nährstoffen [Pl.] direkt in den Blutkreislauf, r Parese, e –– teilweise motorische Lähmung / unvollständige Lähmung '''Parkinson''', r –– Zitterlähung '''Parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Patella, e –– Kniescheibe, e '''pathologisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft PCO, s –– polyzystisches Ovarialsyndrom, s, PCOS, PCO-Syndrom, s '''pCO2''', r –– Kohlendioxid-Partialdruck, r '''Pediculosis capitis''', e –– Kopfläuse [Pl.], Läusebefall, r, auf dem Kopf, r Pelvis renalis, r –– Nierenbecken, s Pelvis, s –– Becken, s Penetration, e –– Durchdringen, s, Eindringen, s '''per oral''' (p.o) (Adj./ Adv.) –– durch den Mund, r '''percutan''' / perkutan (Adj./ Adv.) –– durch die Haut '''Perforation''', e –– Durchbohrung des Gewebes, s, Durchbruch, r perianal (Adj./ Adv.) –– rund um den After, um den After herum Periduralanästheise (PDA), Epiduralanästhesie, e –– Rückenmarksnarkose, e Perikard, s –– Herzbeutel, r Perikarderguss, r –– Flüssigkeitsansammlung im Herzbeutel, r perinatal (Adj./Adv.) –– um die Geburt herum Perios, s –– Knochenhaut, e '''peripher''' (Adj./Adv.) –– am Rand, r, gelegen Peristaltik, e –– Bewegung von Hohlorganen [Pl.] '''Peritoneum''', s –– Bauchfell, s Peritonitis, e –– Bauchfellentzündung '''periumbilikal''' (Adj./Adv.) –– um den Bauchnabel, r, herum Perkussion, e –– Abklopfen, s '''perkussorisch''' / '''perkutorisch''' (Adj./Adv.) –– durch Abklopfen, s '''perkutan''' (Adj./Adv.) –– durch die Haut, e Permeabilität, e –– Durchlässigkeit, e persistierend (Adj./Adv.) –– andauernd (z.B. persistierender Schmerz, r) '''pertrochantäre Femurfraktur''', e –– Knochenbruch, r, der Oberseite, e, des Oberschenkelknochens, r '''Pertussis''', e –– Keuchhusten, r Pes, r –– Fuß, r Pescetarier:innen, e [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch meiden (vgl. Vegetarier [Pl.] weder Fisch noch Fleisch) Petechien [Pl.] –– punktförmige Hautblutungen aus Kapillaren [Pl.] (den kleinsten Gefäßen [Pl.]) Phalanx distalis, e –– Fingerendglied, s Phalanx media, e –– Fingermittelglied, s Phalanx proximalis, e –– Fingergrundglied, s '''Phäochromozytom''', s –– Geschwulst, e, des Nebennierenmarks, s '''Pharyngitis''', e –– Rachenentzündung '''Pharynx''', r –– Rachen, r Pharynxkarzinom, s –– Rachenkrebs, r '''Phimose''', e –– Vorhautverengung '''Phlebitis''', e –– Venenentzündung Phlebographie, e –– röntgenologische Darstellung von Venen [Pl.] '''Phobie''', e –– Angststörung / krankhafte übermäßige Angst, e Phonohypersensibilität, e –– Lärm(über)empfindlichkeit, e Phonophobie, e –– Angst, e, vor Lärm, r '''Physiotherapie''', e –– Krankengymnastik, e '''Placebo''', r –– Scheinmedikament, s, ohne Wirkstoffe [Pl.] '''Placeboeffekt''', r –– Wirkung eines Medikaments, s, ohne Wirkstoff, r '''Plazenta''', e –– Mutterkuchen, r Plegie, e –– vollständige Lähmung '''Pleura''', s –– Brustfell, s / Rippenfell, s / Lungenfell, s Pleuraerguss, r –– pathologische Flüssigkeitsansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s Pleuraspalt, r –– Raum zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s '''Pleurektomie''', e –– operative Entfernung des Brustfells, s '''Pleuritis''', e –– Brustfellentzündung / Rippenfellentzündung Plexus, r –– Nervengeflecht, s Plexus brachialis, r –– Armgeflecht, s Pneumatose, e –– Luftansammlung im Bauch, r '''Pneum(on)ektomie''' / Lungenresektion, e –– operative Entfernung eines Lungenflügels, r '''Pneumonie''', e –– Lungenentzündung Pneumoperitoneum, e –– Ansammlung von Luft, e, in der Bauchhöhle, e '''Pneumothorax''', e –– Luftansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s POCD –– postoperative kognitive Dysfunktion, e '''Podagra''', e –– Fußgicht, e Poliomyelitis, e –– Kinderlähmung Pollakisurie, e –– häufiges Wasserlassen, s, in kleinen Mengen [Pl.] '''Pollinose''', e –– Heuschnupfen, r polymorph (Adj./Adv.) –– vielgestaltig Polyp, e –– (Gewebs-)Wucherung Polytrauma, s –– Mehrfachverletzung Polyurie, e –– erhöhte Urinausscheidung Posthitis, e –– Vorhautentzündung postiktal (Adj./ Adv.) –– nach einem (epileptischen) Anfall, r postnatal (Adj./Adv.) –– nach der Geburt, e postpartum (Adv.) –– nach der Geburt, e postprandial (Adj./Adv.) –– nach dem Essen, s / nach einer Mahlzeit, e Präeklampsie, e –– Schwangerschaftsvergiftung / hypertensive Schwangerschaftserkrankung '''präfinal''' (Adj./ Adv.) –– kurz vor dem Tod präprandial (Adj./ Adv.) –– vor dem Essen, s / vor einer Mahlzeit, e Präputium, s –– Vorhaut, e Prävalenz, e –– Häufigkeit, e, einer (bestehenden) Erkrankung / Anzahl, e, aller Fälle [Pl.] einer Erkrankung '''Prävention''', e –– Vorbeugung [im weiteren Sinn =/= Nachvornbeugen, s] '''präventiv''' (Adj./ Adv.) –– vorbeugend '''Presbyakusis''', e –– Altersschwerhörigkeit Presbyopie, e –– Alterssichtigkeit Processus styloideus ulnae, r –– Griffelfortsatz, r (der Elle, e) Prognose, e –– Vorhersage, e, erwarteter Verlauf, r '''progredient''' (Adj./ Adv.) –– fortschreitend, sich verschlimmernd, zunehmend Proktoskopie, e –– Untersuchung des Mastdarms, r, bzw. Dickdarms, r '''Prolaps''', r –– Organvorfall, Vorfall, r, (Heraustreten, s) von inneren Organen [Pl.], Pronation, e –– Einwärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r Prophylaxie, e –– Vorbeugung / Schutzmaßnahme, e Prostata, e –– Vorsteherdrüse, e '''Prostatitis''', e –– Prostataentzündung, Vorsteherdrüsenentzündung '''Protein''', s –– Eiweiß, s Proteinurie, e –– Eiweiß, s, im Urin, r '''Protrusion''', r –– Vorsprung, r / Hervortreten, s / Verlagerung eines Organs, s, nach außen proximal (Adj./ Adv.) –– körperzentrumnah Pruritus, r –– Juckreiz, r Pseudarthrose, e –– Falschgelenk, s '''Psoriasis''', e –– Schuppenflechte, e PSR, r –– Patellarsehnenreflex, r '''psychiatrisch''' (Adj./ Adv.) –– seelische Erkrankungen betreffend Ptosis, e –– hängendes Lid, s / herabhängendes oberes Augenlid, s '''Pulmo''', r –– Lunge, e pulmonale Hypertonie, e –– Lungenhochdruck, r Punktion, e –– Nadelentnahme, e, krankhafter Flüssigkeit, e '''Pus''', r –– Eiter, r '''Pyelonephritis''', e –– Nierenbeckenentzündung Pylorus, r –– Magenpförtner, r Pyrosis, e –– Sodbrennen, s / saures Aufstoßen, s Pyurie, e –– Eiter im Urin, r = R = '''Rabies''' / Lyssa, e –– Tollwut, e '''radial'''/ radialis (Adj./Adv.) –– auf die Speiche bezogen '''Radiatio''', e –– Bestrahlung '''radiatus''' (Adj./ Adv.) –– strahlenförmig / strahlenartig / strahlend radikulär (Adj./ Adv.) –– die Nervenwurzel (den Radix) betreffend '''Radiologe''', r, Radiologin, e –– Facharzt/-ärztin für Strahlenkunde, e / Röntgenarzt/ -ärztin Radiologie, e –– Strahlenheilkunde, e '''Radius''', r –– Speiche, e Ranula, e –– „Froschgeschwulst", e, Mundbodenzyste, e / Zyste, e unter der Zunge, e / Entzündung der Unterzungenspeicheldrüse, e Reanimation, e –– Wiederbelebung '''Reflux''', r –– Rückfluss, r (von Magensäure, e) regredient (Adj./ Adv.) –– sich zurückentwickelnd, etwas rückgängig machend Rekonvaleszenz, e –– Erholungsphase, e / Genesung nach einer Erkrankung '''Rektoskopie''', e –– Mastdarmspiegelung Rektum, s –– Mastdarm, r '''Rektumexstirpation''', e / Rektumamputation, e –– chirurgische Entfernung des Mastdarmes, r Rektumprolaps, r –– Vorfall, r, des Mastdarms, r '''Rekurrensparese''', e –– Stimmbandlähmung (Schwäche, e, eines Nervs, r, der für die Bewegung der Stimmbänder [Pl.] zuständig ist) Remission, e –– Abklingen, s / Besserung / Rückgang der Symptome [Pl.] Ren, r –– Niere, e '''Reposition''', e –– Einrenkung, Zurückverlagerung in eine normale Stellung, Wiedereinrichtung (von Knochenbrüchen [Pl.], Eingeweidebrüchen [Pl.] oder Verrenkungen) '''Resektion''', e –– teilweise operative Entfernung eines Organs, s '''resezieren''' (Verb) - chirurgisch entfernen '''resistieren''' (Verb) - widerstehen Resorption, e –– Aufnahme, e, von Nährstoffen [Pl.] Restitutio ad integrum, e –– vollständige Wiederherstellung, vollständige Heilung Restless-legs-Syndrom, s –– unruhige Beine [Pl.] '''Restriktion''', e –– Beschränkung, Einschränkung '''Retina''', e –– Netzhaut, e retropatellar (Adj./ Adv.) –– hinter der Kniescheibe, e '''retrosternal''' (Adj./ Adv.) –– hinter dem Brustbein, s reversibel (Adj./ Adv.) –– umkehrbar/ wieder normal machbar Rezidiv, s –– Rückfall, r '''rezidivierend''' (Adj./ Adv.) –– [für Diagnosen und Symptome] wiederkehrend (im Sinne von Rückfall nach einer Behandlung und einer beschwerdefreien Zeit) RG –– Rasselgeräusch, s '''Rh-Inkompatibilität''', e –– Blutgruppeninkompatibilität, e '''Rhagade''', e –– Einriss, r, Risswunde, e Rhinitis, e –– Schnupfen, r, Nasenschleimhautentzündung '''Rigidität''', e –– Steifigkeit, e, und Starre, e, der Muskeln [Pl.] Rigor mortis, r –– Leichenstarre, e, Totenstarre, e rostral (Adj./ Adv.) –– schnabelförmig, nach vorn(e) Rostrum, r –– Schnabel, r Rotation, e –– Drehung RR –– Relatives Risiko / Riva-Rocci (Blutdruckmesstechnik) Rubella, e –– Röteln [Pl.] '''Rubor''', r –– Rötung '''Ructus''', r, Ruktus –– Aufstoßen, s Ruptur, e –– Riss, r = S = sakral (Adj./ Adv.) –– zum Kreuzbein, r, gehörend '''Salpingektomie''', e –– operative Entfernung eines Eileiters, r Salpingitis, e –– Eileiterentzündung '''Sarkom''', s –– bösartige Bindegewebsgeschwulst, e '''SAS bzw. S.A.S.''' (OSAS) –– Schlafapnoe-Syndrom, s (obstruktives Schlafapnoesnydrom) '''Scapula''', e –– Schulterblatt, s '''Schizophrenie''', e –– Bewusstseinsspaltung, Persönlichkeitspaltung '''Schlafapnoe''', e –– Atemstillstand, r, im Schlaf, r Sectio caesarea, e –– Kaiserschnitt, r Sedation, e –– Beruhigung, e '''Sedativa''', e [Pl.] –– Beruhigungsmittel, s, schlaffördernde Mittel, s [Pl.] '''Sedativum''', s [Sing.] –– Beruhigungsmittel, s, schlafförderndes Mittel, s [Sing.] Sedierung, e –– Beruhigung Sekretolytika / Mukolytika, e –– Schleimlöser [Pl.], schleimlösende Mittel [Pl.] sensibel (Adj./ Adv.) –– empfindlich '''Sensibilität''', e –– Empfindlichkeit, s '''Sepsis''', e –– Blutvergiftung Sibilanz, s –– Pfeifen, s (=/= Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s) '''Singultus''', r –– Schluckauf, r sinister, sinistra (Adj./ Adv.) –– links '''Sinus maxillaris''', r –– Kieferhöhle, e (Nasennebenhöhle, e) Sinusitis, e –– Nasennebenhöhlenentzündung '''Sinusitis frontalis''', e –– Entzündung der Stirnhöhlen [Pl.] (die vorderen Nasennebenhöhlen [Pl.]) '''Situs inversus''', r –– spiegelbildliche Lageanomalie, e, der Organe '''Skabies''', e –– Krätze, e Sklera, e –– Lederhaut, s, des Auges, s Sklerose, e –– Verhärtung von Geweben [Pl.] und Organen [Pl.] '''Skotom''', s –– Gesichtsfeldausfall, r Skrotum, s –– Hodensack, r '''solitär''' (Adj./ Adv.) –– einzeln '''somnolent''' (Adj./ Adv.) –– schläfrig '''Somnolenz''', e –– krankhafte Schläfrigkeit, e Spasmolytikum, s –– krampflösendes Mittel, s '''Spasmus''', r –– Krampf, r (z.B. in den Muskeln [Pl.]) '''Spatium''', a –– Zwischenraum, r '''Sperma''', s –– Samenflüssigkeit, e '''Sphinkter''', r –– Schließmuskel, r '''Sphinkter ani''', r –– After-Schließmuskel, r '''Spina bifida''', e –– offener Rücken, r / Spaltung der Wirbelsäule, e spinal (Adj./ Adv.) –– Wirbelsäule, e, oder Rückenmark, s, betreffend Spinalanästhesie, e –– rückenmarksnahe Regionalbetäubung '''Spinalstenose''', e –– Verengung des Wirbelkanals, r '''Splenektomie''', e –– Milzentfernung '''Splenomegalie''', e –– Milzvergrößerung '''Spondylitis''', e –– Wirbelentzündung Spongiosa, e –– Knochenbälkchen / rotes Knochenmark SSW –– Schwangerschaftswoche, e Stase, Stagnation, e –– Stillstand / Stauung Stauung der vena jugularis externa, e –– Halsvenenstauung '''Stauungsdermatitis''', e –– Hautentzündung durch schlechte Blutzirkulation / Entzündung der Haut, e, an den Unterschenkeln [Pl.] durch Stauung von Blut, s, und Flüssigkeit, e Steatosis hepatis, e –– Fettleber, e STEMI, r –– ST-Hebungs-Myokardinfarkt, r '''Stenose''', e –– Verengung '''Sterilität''', e –– 1. Keimfreiheit, e / 2. Unfruchtbarkeit, e '''Sternum''', s –– Brustbein, s '''STIKO''', e –– Ständige Impfkommission am Robert-Koch-Institut (Berlin), eine ehrenamtliche, derzeit 18-köpfige Expertengruppe Stoma, s –– Mund, r, Öffnung Stomatitis, e –– Entzündung der Mundschleimhaut, e, Mundschleimhautentzündung '''Strabismus''', r –– Schielen, s Stridor, r –– zischendes Atemgeräusch, s (=/= Sibilanz, e –– Pfeifen, s) Struma, e –– "Kropf", Schilddrüsenvergrößerung, geschwollener Hals, r Struma nodosa, e –– knotige Schilddrüsenvergrößerung Subarachnoidalblutung, e –– "Hirnblutung", Blutung zwischen der mittleren und inneren Hirnhaut, e '''Subcutis''', e –– Unterhautfettgewebe, s '''Subduralhämatom''', s –– Einblutung zwischen der Hirnhaut, s, und Gehirn, s '''subfebril''' (Adj./ Adv.) –– mit leicht erhöhter Körpertemperatur, e (bis 38 °C) '''Subileus''', r –– unvollständiger Darmverschluss, r '''subkutan''' (Adj./ Adv.) –– unter der Haut (wo?), unter die Haut (wohin?) sublingual (Adj./ Adv.) –– unter der Zunge, e, unter die Zunge, e '''Subluxation''', e –– unvollständige Ausrenkung / Auskugelung / unvollständige Verrenkung Subsitution, Substituierung, e –– Ersatz, r, Ersetzen, s '''Sugillation''', e –– oberflächlicher Bluterguss, r '''Suizid''', e –– Selbsttötung, e, Selbstmord, r superfiziell (Adj./ Adv.), e –– oberflächlich '''Supination''', e –– Auswärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r '''Sympathikolyse''', e –– Ausschaltung der sympathischen Innervierung '''Symptom''', s –– Krankheitszeichen, s [Pl.] / Beschwerden [Pl.] Syndrom, s –– Symptomkomplex, mehrere Krankheitszeichen zusammen '''Synechie''' (Adhäsion, Bride), e –– Verklebung, Verwachsung '''Synkope''', e –– kurze Bewusstlosigkeit, e, plötzliche, kurz andauernde Ohnmacht, e Synovia, e –– Gelenksflüssigkeit, e, Gelenkschmiere, e = T = Tachykardie, e –– Herzrasen, s / erhöhte Herzfrequenz von mehr als 100 Schlag/Min. Tachypnoe, e –– Kurzatmigkeit, e, erhöhte Atemfrequenz, e tachypnoeisch (Adj./ Adv.) –– kurzatmig Tendinitis, e –– Sehnenentzündung Tendovaginitis, e –– Sehnenscheidenentzündung Tenesmus, r –– schmerzhafter Stuhl- oder Harndrang, r '''teratogen''' (Adj./Adv.) –– Missbildungen erzeugend, Fehlbildungen verursachend '''terminal''' (Adj./ Adv.) –– final / das Ende betreffend // im Endstadium, s '''terminale Niereninsuffizienz''', e –– finales Nierenversagen, s '''Tetanus''', r –– Wundstarrkrampf, r Tetraplegie, e –– Lähmung aller vier Extremitäten Therapie, e –– Behandlung thorakal (Adj./ Adv.) –– den Brustkorb/-raum betreffend Thorax, r –– Brustkorb, r '''Thrombektomie''', e –– Entfernung eines Blutpfropfs, r '''Thromboembolie''', e –– Verschluss, r, eines Blutgefäßes, s, durch einen Blutpfropf, r Thrombopenie / Thrombozytopenie, e –– Mangel an Blutplättchen [Pl.] Thrombophlebitis, e –– Entzündung der oberflächlichen Venen [Pl.], akute Thrombose, e '''Thrombose''', e –– Gefäßverschluss, r, durch ein Blutgerinnsel, s '''Thrombozyten''', e [Pl.] –– Blutplättchen [Pl.] '''Thrombozytopenie''', e –– Mangel an Blutplättchen '''Thyreoidea''', e –– Schilddrüse, e '''Thyreoidektomie''', e –– operative Entfernung der Schilddrüse, e Thyreoiditis, e –– Schilddrüsenentzündung '''TIA''', e –– transitorische ischämische Attacke, e '''Tibia''', e –– Schienbein, s '''Tic''', r –– Zucken, s / unwillkürliche, nervöse Muskelzuckung, nicht unterdrückbares Muskelzucken, s Tinea pedis, e –– Fußpilz, r '''Tinnitus''', r –– Ohrgeräusche [Pl.], „Ohrensausen" Tonsilla, e –– Gaumenmandel, e '''Tonsillektomie''', e –– operative Entfernung der Mandeln [Pl.] '''Tonsillitis''' / Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Tonsillitis''' purulenta, e –– eitrige Mandelentzündung Tonus, r –– Spannung Tophus, r –– Knoten, r (z. B. Gichtknoten, r) '''Tophus''', r [Sing.] / Tophi [Pl.] –– entzündlicher Knoten, r (bei Gicht, e) Torsion, e –– Drehung Torsionsfraktur, e –– Spiralfraktur, e '''Tortikollis''', r –– Schiefhals, r / verkrampfter Hals, r (bei Kindern [Dativ Pl.]) '''toxisch''' (Adj./ Adv.) –– giftig '''Trachea''', e –– Luftröhre, e Tracheostoma, s –– Luftröhrenschnitt, r (dauerhafte Öffnung) '''Tracheotomie''', e –– Luftröhrenschnitt, r '''Tranquilizer''', r –– Beruhigungsmittel, s [auch Pl.] Transfusion, e –– Blutübertragung '''transitorische Ischämie''', e –– vorübergehende Durchblutungsstörung, “Mini-Schlaganfall’’, r Transpiration, e –– Schwitzen, s transversal (Adj./ Adv.) –– quer transversum (Adj./ Adv.) –– querlaufend '''Trauma''', s –– körperliche oder seelische Verletzung '''Tremor''', r –– Zittern, s / Muskelzittern, s '''Trepanation''', e –– Schädelöffnung durch Anbohren, s '''Trigeminusneuralgie''', e –– Gesichtsschmerz, r, Nervenschmerz, r, im Gesicht, s '''Trikuspidalinsuffizienz''', e –– Herzklappenfehler, r, Schließunfähigkeit, e, der Trikuspidalklappe, e, des Herzens, s TSH, s –– Thyreoidea-stimulierendes Hormon, s Tuba auditiva, e –– Ohrtrompete, e Tuba uterina, e –– Eileiter, r '''Tubargravidität''', e –– Eileiterschwangerschaft, e Tube / Tuba, e –– Röhre, e Tuber ischiadicum, r –– Sitzbeinhöcker, r Tuberkulose (kurz: TB), e –– Schwindsucht, e Tumor, r –– Geschwulst, e Tunica media, e –– mittlere Schicht, e, der Gefäßwand, e TUR, e –– transurethrale Resektion, e Tussis, e –– Husten, r TVT, e –– tiefe Venenthrombose, e, Phlebothrombose, e = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e '''ubiquitär''' (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s '''Ulcus cruris''', r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s '''Ulcus duodeni''', r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s '''Ulcus ventriculi''', r –– Magengeschwür, s '''Ulna''', e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r '''Urämie''', e –– Harnansammlung im Blut '''Ureter''', r –– Harnleiter, r '''Urethra''', e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r '''Urosepsis''', e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e '''Uterus''', r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventriculi cerebri [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventriculus cordis, Herzventrikel, s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = W = Wheezing (Engl.) -- Giemen, s, = X = '''Xerodermie''', e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e '''zerebral''' (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend '''Zervikalgie''', e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e '''Zoster''', r / Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Zoster oticus''', r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) '''zyanotisch''' (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e '''Zyklothymie''', e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] '''Zyste''', e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r '''Zystitis''', e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung '''Zystostatika''', e [Pl.] –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung '''Zystostatikum''', e [Sing.] –– Zellwachstum, s, hemmendes Medikament [Sing.] / Medikament zur Krebsbehandlung = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e ubiquitär (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s Ulcus cruris, r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s Ulcus duodeni, r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s Ulcus ventriculi, r –– Magengeschwür, s Ulna, e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r Urämie, e –– Harnvergiftung (Anhäufung von harnpflichtigen Stoffen [Pl.] im Blut, s) Ureter, r –– Harnleiter, r Urethra, e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r Urosepsis, e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e Uterus, r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventrikel [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventrikel (Herz), s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = Xerodermie, e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e zerebral (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend Zervikalgie, e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e Zoster, r –– Gürtelrose, e Zoster oticus, r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) zyanotisch (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e Zyklothymie, e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] Zyste, e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r Zystitis, e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung Zystostatika, e –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung cu7rt1gutl3eykppcalog0d0kimk746 106 162301 1114103 1106062 2026-09-02T16:32:29Z ~2026-47548-34 41860 /* Einführung */ 1114103 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Bei der einfachsten Variante bekommt man die Ableitungen im Mittelpunkt eines Kreises aus den Werten am Rand des Kreises um diesen Mittelpunkt. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch Ableitungen von <math> f </math> an inneren Punkte der betrachteten Kreisschreibe abschätzen, nicht nur im Mittelpunkt. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>z</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung -Cauchy-Ungleichung == Stellen den Beweis in den Übungen vor und nennen Sie für den folgenden Beweis die Beweisidee gegliedert in die folgenden Teilschritte * (E1) Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * (E2) Abschätzung des Integrals * (E3) Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * (E4) Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{\delta^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir für <math>\widehat{z}\in D_{r-\delta}(z_o)</math> gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math>, dem minimalen Abstand <math>\delta</math> vom Kreisrand und dem Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3tn7ftpjjf2haw4pe9rk6tx9e6jwj8y 1114104 1114103 2026-09-02T16:35:14Z ~2026-47548-34 41860 /* Einführung */ 1114104 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Bei der einfachsten Variante bekommt man die Ableitungen im Mittelpunkt eines Kreises aus den Werten am Rand des Kreises um diesen Mittelpunkt. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch Ableitungen von <math> f </math> an inneren Punkte der betrachteten Kreisschreibe abschätzen, nicht nur im Mittelpunkt, dabei kommt es auf den Abstand des Punktes zum Kreisrand an. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>z</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung -Cauchy-Ungleichung == Stellen den Beweis in den Übungen vor und nennen Sie für den folgenden Beweis die Beweisidee gegliedert in die folgenden Teilschritte * (E1) Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * (E2) Abschätzung des Integrals * (E3) Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * (E4) Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{\delta^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir für <math>\widehat{z}\in D_{r-\delta}(z_o)</math> gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math>, dem minimalen Abstand <math>\delta</math> vom Kreisrand und dem Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ecopciq125byvd6cq7jaeewysow3jfw 1114105 1114104 2026-09-02T16:36:50Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweischritt 4 - Schlussfolgerung */ 1114105 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Bei der einfachsten Variante bekommt man die Ableitungen im Mittelpunkt eines Kreises aus den Werten am Rand des Kreises um diesen Mittelpunkt. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch Ableitungen von <math> f </math> an inneren Punkte der betrachteten Kreisschreibe abschätzen, nicht nur im Mittelpunkt, dabei kommt es auf den Abstand des Punktes zum Kreisrand an. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>z</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung -Cauchy-Ungleichung == Stellen den Beweis in den Übungen vor und nennen Sie für den folgenden Beweis die Beweisidee gegliedert in die folgenden Teilschritte * (E1) Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * (E2) Abschätzung des Integrals * (E3) Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * (E4) Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{\delta^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir für <math>\widehat{z}\in D_{r-\delta}(z_o)</math> gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math>, dem minimalen Abstand <math>\delta</math> vom Kreisrand und dem Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(\hat{z})| \leq \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sa8oq8epxe079y3rtf498ri6gv32uoc 1114106 1114105 2026-09-02T16:38:12Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - Erweiterung */ 1114106 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Bei der einfachsten Variante bekommt man die Ableitungen im Mittelpunkt eines Kreises aus den Werten am Rand des Kreises um diesen Mittelpunkt. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch Ableitungen von <math> f </math> an inneren Punkte der betrachteten Kreisschreibe abschätzen, nicht nur im Mittelpunkt, dabei kommt es auf den Abstand des Punktes zum Kreisrand an. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>\hat{z}</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung -Cauchy-Ungleichung == Stellen den Beweis in den Übungen vor und nennen Sie für den folgenden Beweis die Beweisidee gegliedert in die folgenden Teilschritte * (E1) Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * (E2) Abschätzung des Integrals * (E3) Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * (E4) Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{\delta^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir für <math>\widehat{z}\in D_{r-\delta}(z_o)</math> gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math>, dem minimalen Abstand <math>\delta</math> vom Kreisrand und dem Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(\hat{z})| \leq \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jol2humbke1091q8artsvzdqavoqfhz 106 162407 1114061 1076210 2026-09-02T13:52:39Z ~2026-47548-34 41860 /* Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten */ 1114061 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> wird im weitere Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> ist eine Stammfunktion von <math> f </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lx1gcxuzd2jadlglkqon382zwpxjjy7 1114062 1114061 2026-09-02T13:54:05Z ~2026-47548-34 41860 /* Schritt 2: Definition einer Stammfunktion */ 1114062 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> ist eine Stammfunktion von <math> f </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rgbwd7hgb43umcv2xfkcdm9bei8jxtt 1114063 1114062 2026-09-02T13:54:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Schritt 3: Differenzierbarkeit von F */ 1114063 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> vom Betrag her so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> ist eine Stammfunktion von <math> f </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fcwgugfjhefvpdxmpl52dv2iz9bz4rg 1114064 1114063 2026-09-02T13:56:25Z ~2026-47548-34 41860 /* Schritt 4: Differenzierbarkeit von F */ 1114064 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> vom Betrag her so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> ist eine Stammfunktion von <math> f </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0p0q3s4nshsb9jcu5fsphjx8pmmc3ly 1114065 1114064 2026-09-02T13:57:02Z ~2026-47548-34 41860 /* Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat */ 1114065 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> vom Betrag her so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math>. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> ist eine Stammfunktion von <math> f </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5mnua5bn95h7i3bphbz9n7nnnnu9n54 1114066 1114065 2026-09-02T14:00:14Z ~2026-47548-34 41860 /* Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale */ 1114066 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> vom Betrag her so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math>. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt mit <math> t_i\in[0,h] </math>. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> ist eine Stammfunktion von <math> f </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aq5cff1xjf55z5ltf07fnybhhgzm2pk 1114067 1114066 2026-09-02T14:01:45Z ~2026-47548-34 41860 /* Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten */ 1114067 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> vom Betrag her so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math>. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt mit <math> t_i\in[0,h] </math>. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4xspoa3m50egr8nphdtlus5ybxkvdy6 1114068 1114067 2026-09-02T14:06:01Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex */ 1114068 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> vom Betrag her so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math>. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt mit <math> t_i\in[0,h] </math>. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass <math> [z_o,z] \subset G,[z_o,z+h] \subset G </math>. Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3z1w1egwkmrhf8jtvhis7osnohth43u 1114069 1114068 2026-09-02T14:08:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 3 - Offenheit von G */ 1114069 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> vom Betrag her so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math>. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt mit <math> t_i\in[0,h] </math>. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass <math> [z_o,z] \subset G,[z_o,z+h] \subset G </math>. Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. Für <math> |h|<r </math> ist dann aber <math> [z,z+h]\subset D_r(z)\subset G </math> auf Grund der Konvexität der Kreisscheibe. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tskd094g5snm6f6obtl16vzg4phcyvj 1114070 1114069 2026-09-02T14:10:36Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 3 - Offenheit von G */ 1114070 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist wird im weiteren Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> vom Betrag her so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math>. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt mit <math> t_i\in[0,h] </math>. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass <math> [z_o,z] \subset G,[z_o,z+h] \subset G </math>. Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Für <math> |h|<r </math> ist dann aber <math> [z,z+h]\subset D_r(z)\subset G </math> auf Grund der Konvexität der Kreisscheibe. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]] dann betragsmäßig kleine <math> h </math>. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tvb6ozpondcwrc8z7a6mnpxki052khw 106 162408 1114054 1076207 2026-09-02T13:18:52Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1114054 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte: * die gegebene stetige Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird in die Real- und Imaginärteilfunktion mit <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> zerlegt * Anwendung des Mittelwertsatzes aus der reellen Analysis auf die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion mit <math>f_2</math>. * Anwendung der Mittelwertsatz auf einen Grenzwert auf eine Konvexkombination <math>\gamma_z</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> ::<math> \lim_{z\to z_o} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f(z_o) </math> === Repräsentation des Wegintegral === Der Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen zeigt, dass man den Wert des Wegintegrals über eine holomorphe Funktion durch eine Auswertung der Funktion <math>f</math> an einem Punkt <math> \gamma(t_o)</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> und dem Wegintegral über die konstante Funktion 1 ausdrücken kann. <span id="Mittelwertsatz"></span> == Mittelwertsatz für Wegintegrale == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> die Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion, und sei <math>\gamma: [a, b] \to G</math> ein stückweise glatter Weg. Dann gibt es ein <math> t_1,t_2 \in [a, b] </math>, so dass :<math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot (b-a) </math> === Beweis === Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * Definition des Integrals verwenden, * Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion, * Anwendung des Mittelwertsatzes für reellwertige Funktionen === Beweischritt 1 - Definition des Integrals=== Das Integral einer holomorphen Funktion <math> f </math> über einen Weg <math>\gamma</math> ist definiert als: :<math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt. </math> === Beweischritt 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion=== Da <math> f </math> und <math>\gamma</math> stetig sind, ist die Funktion <math>h:= (f\circ \gamma) \cdot \gamma\,{'}</math> eine stetige Funktion mit <math>h : [a,b] \to \mathbb{C} </math>. Diese lässt sich mit <math>h_1:[a,b]\to \mathbb{R} </math> und <math>h_2:[a,b]\to \mathbb{R} </math> in die Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>h=h_1+i\cdot h_2</math> zerlegen. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)}_{=h(t)} \, dt & = & \displaystyle \int_{a}^{b} h(t) \, dt = \int_{a}^{b} h_1(t) \, dt + i \cdot \int_{a}^{b} h_2(t) \, dt \\ \end{array} </math> === Beweischritt 3 - Mittelwertsatz für reellwertige Integrale=== Durch Ersetzung und Anwendung der Linearität des Integrals erhält mit dem [[w:de:Mittelwertsatz der Integralrechnung|Mittelwertsatz der Integralrechnung]] für reellwertige Funktionen jeweils auf die Real- und Imagitärteilfunktion <math>h_1</math> und <math>h_2</math> an. Es existieren <math> t_1, t_2 \in [a, b] </math>, so dass: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt & = & \displaystyle \int_{a}^{b} h_1(t) \, dt + i \cdot \int_{a}^{b} h_2(t) \, dt \\ & = & \big( h_1(t_1) \cdot (b-a) \big) + i \cdot \big( h_2(t_2) \cdot (b-a) \big) \\ & = & \big( h_1(t_1) + i \cdot h_2(t_2) \big) \cdot (b-a) \\ & = & \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot (b-a) \end{array} </math> === Fazit === Der Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen liefert nun die Möglichkeit, dass das Wegintegral einer holomorphen Funktion <math> f </math> über einen Weg <math>\gamma</math> durch die Auswertung der Realteilfunktion <math> f_1 </math> und der Imaginärteilfunktion <math> f_2 </math> an zwei Punkten <math>\gamma(t_1), \, \gamma(t_2)</math> auf der Spur von dem Weg <math>\gamma </math> auszudrückt werden kann. <math>t_1 \in [0,1]</math> und <math>t_2 \in [0,1]</math> können dabei unterschiedlich sein. == Korollar - Mittelwertsatz für Konvexkombinationen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C} </math> eine stetige Funktion, <math>z_o \in G</math> und <math>\gamma_z : [0,1] \to G</math> die folgende [[Konvexkombination]] von <math>z_0</math> nach <math>z</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> dann gilt für :<math> \lim_{z\to z_o} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f(z_o) </math> == Beweis - Korollar == Da <math>G</math> offen ist, gibt es mit <math>z_o\in G</math> ein Kreisscheibe <math>D_r(z_o) = \{z\in G \, : \, |z-z_o| < r \} \subseteq G </math>, die ganz in <math>G</math> liegt. Man betrachtet den Grenzwertprozesse <math>z\to z_o</math>, daher kann man ohne Einschränkung <math>z\in G</math> so wählen, dass <math>|z-z_0| < r </math> gilt bzw. <math>z\in D_r(z_o)</math> erfüllt ist. === Beweisschritt 1 - Korollar - Definition Integrationsweg === Zunächst wird die [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> Für <math>z\in D_r(z_o)</math> liegt auch die Spur von <math>\gamma_z</math> in der Kreisscheibe, d.h. <math>Spur(\gamma_z)\subseteq D_r(z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Korollar - Anwendung Mittelwertsatz === Über die Anwendung der Mittelwertsatz für Wegintegrale erhält man <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> mit <math>b-a = 1-0 = 1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) \cdot \underbrace{\gamma\,{'}\!\!\!_z(t_{z,1})}_{=z-z_o} + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \cdot \underbrace{\gamma\,{'}\!\!\!_z(t_{z,2})}_{=z-z_o} \big) \\ & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \big) \cdot (z-z_o)\\ \\ \end{array} </math> Dabei ist zu berücksichtigen, dass die reellen Zahlen <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> von der Wahl von <math>z</math> für die Konvexkombination <math>\gamma_z</math> abhängen. === Beweisschritt 3 - Korollar - Anwendung Mittelwertsatz === Wenn man nun den Term für den Grenzwertprozess <math>z\to z_o</math> aus der Aussage des Korollars betrachtet, erhält man folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \big) \\ \\ \end{array} </math> Man muss nun untersuchen, welche Konvergenz für die Terme <math> \gamma_z(t_{z,1}) </math> und <math> \gamma_z(t_{z,2}) </math> in Abhängigkeit von <math>z\to z_o</math> vorliegt. === Beweisschritt 3 - Korollar Grenzwertprozess === Für den Grenzwertübergang <math>z\to z_0</math> folgt für beliebige <math>t\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \lim\limits_{z\to z_o} \gamma_z(t) & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \\ & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot \underbrace{\lim\limits_{z\to z_o} z}_{=z_o} \\ & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z_o = z_o \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Korollar Grenzwertprozess === Diese Grenzwerteigenschaft wird nun für die reellen Zahlen <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> angewendet und man erhält: :<math> \lim_{z\to z_o} \gamma_z(t_{z,1}) = \lim_{z\to z_o} \gamma_z(t_{z,2}) = z_0 </math> Mit der vorausgesetzten [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> sind auch die Realteil- und Imaginärteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> stetig. === Beweisschritt 5 - Korollar Grenzwertprozess === Die Stetigkeit der Realteil- und Imaginärteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> liefert dann für beliebige <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \lim\limits_{z\to z_o} f_1(\gamma_z(t_{z,1})) & = & f_1(z_o) \\ \lim\limits_{z\to z_o} f_2(\gamma_z(t_{z,2})) & = & f_2(z_0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Korollar - Grenzwertprozess === Insgesamt erhält man damit für Grenzwertbetrachtung <math>z\to z_0</math> von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] von <math>z_0</math> nach <math>z</math> angewendet auf den Mittelwertsatz für Wegintegrale folgende Darstellung: :<math> \lim_{z\to z_o} \frac{f(\zeta)}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f_1(z_o) + i\cdot f_2(z_o) = f(z_o) </math> Damit folgt die Behauptung des Korollars. <math>\Box</math> == Bemerkung - Korollar == Das Korollar zum Mittelwertsatz für Wegintegral wird im Beweis des [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Satzes über Stammfunktion und geschlossene Wege]] angewendet. Dabei betrachtet man analog [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] von <math>z</math> nach <math>z+h</math> und für den Limes <math>h\to 0</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Satz - Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1i2v19zh958pel3y3ey7axsc1983o9r 2 166751 1114094 1051902 2026-09-02T16:01:07Z Paul Sutermeister 37610 1114094 wikitext text/x-wiki = Megatrends = ==🌍 Globalisierung == # Bin ich wirklich selbstverantwortlich, wenn mein Konsum Menschen auf der anderen Seite der Welt beeinflusst? # Kann ich mich aus globalen Problemen überhaupt heraushalten? # Wie viel Verantwortung trage ich für schlechte Arbeitsbedingungen, wenn ich möglichst billig einkaufen will? # Ist „Das ist nicht mein Problem“ noch eine akzeptable Haltung in einer globalisierten Welt? # Muss ich mich politisch und gesellschaftlich engagieren, obwohl ich persönlich kaum etwas verändern kann? # Ist unser Wohlstand vielleicht auf der Verantwortungslosigkeit gegenüber anderen aufgebaut? ==🚆 Mobilität == # Ist es verantwortungsvoll, jedes Jahr mehrmals zu fliegen, nur weil ich es mir leisten kann? # Wie viel Freiheit darf meine Mobilität kosten – und wer bezahlt den Preis dafür? # Ist Autofahren ein persönliches Recht oder eine gesellschaftliche Verantwortung? # Warum soll ich mein Verhalten ändern, wenn Millionen andere weiterhin umweltschädlich leben? # Bin ich egoistisch, wenn mir Bequemlichkeit wichtiger ist als Klimaschutz? # Sollte jeder Mensch selbst entscheiden dürfen, wie viel er fliegt und fährt? ==🧳 Migration == # Habe ich als Bürger eines reichen Landes eine besondere Verantwortung gegenüber Menschen, die ihre Heimat verlassen müssen? # Wo endet meine Verantwortung gegenüber anderen Menschen und beginnt meine Verantwortung gegenüber mir selbst? # Ist es selbstverantwortlich, Flüchtlingen zu helfen – oder zuerst für die eigene Gesellschaft zu sorgen? # Darf ein Land sagen: „Wir haben keinen Platz mehr“? # Warum sollte mich Migration persönlich interessieren, wenn sie mein eigenes Leben nicht direkt betrifft? # Kann man gleichzeitig für eine offene Gesellschaft und für strengere Grenzen sein? ==🔥 Verknüpfung aller drei Megatrends == # Wie selbstverantwortlich kann ich handeln, wenn mein Leben von globalen Lieferketten, internationaler Migration und grenzenloser Mobilität abhängt? # Bin ich wirklich frei in meinen Entscheidungen – oder beeinflussen Globalisierung, Mobilität und Migration mein Leben stärker, als mir bewusst ist? # Wie viel persönliche Freiheit darf eine Gesellschaft zugunsten gemeinsamer Verantwortung einschränken? # Wer trägt die Verantwortung für gesellschaftliche Probleme: der Einzelne, der Staat oder alle gemeinsam? # Ist „Ich kann sowieso nichts ändern“ vielleicht die bequemste Form von Verantwortungslosigkeit? # Muss ich mein eigenes Verhalten ändern, bevor ich von anderen gesellschaftliche Veränderungen verlange? # Was ist wichtiger: meine persönliche Freiheit oder das Wohl der Gesellschaft? # Kann man in einer globalisierten Welt überhaupt noch nur für sich selbst verantwortlich sein? = Die 10 Megatrends – Aufgaben & Musterlösungen = Christian Müller: ''Die 10 Megatrends! Haben sie sich bewahrheitet?'' In: ''[[:w:Infosperber|Infosperber]]'', 19. März 2016. == Aufgaben == === A. Verständnisfragen (Reproduktion) === # Wer war John Naisbitt und warum hatte er Glaubwürdigkeit als Zukunftsforscher? # Welche 10 Megatrends hat Naisbitt 1982 vorhergesagt? (Stichpunkte genügen.) # Nenne zwei Beispiele, bei denen Naisbitt mit seinen Prognosen richtig lag. # Nenne zwei Beispiele, bei denen er falsch lag. === B. Vertiefung (Analyse) === # Erkläre am Beispiel „Von der Industrie- zur Informationsgesellschaft“, was Naisbitt nicht vorhersehen konnte. # Warum hat sich der Trend „Von kurzfristig zu langfristig“ nicht erfüllt? Welche Folgen hat das? # „Je höher die Technologie, desto grösser das Kontaktbedürfnis.“ – Stimme dieser Aussage zu oder widersprich mit Beispielen aus dem Alltag. === C. Transferaufgaben (Übertragung auf heute) === # Suche einen aktuellen Megatrend (z. B. Nachhaltigkeit, Künstliche Intelligenz, Klimawandel, New Work, Globalisierung 2.0). #* Beschreibe ihn kurz. #* Vergleiche ihn mit einem der 10 Megatrends Naisbitts. #* Erkläre, ob er heute realistisch ist. # Viele Trends hängen von unerwarteten Ereignissen und Erfindungen ab. Nenne zwei aktuelle Beispiele (z. B. Corona-Pandemie, KI-Entwicklung, Krieg in der Ukraine) und beschreibe, wie sie Zukunftsvorhersagen verändert haben. === D. Diskussion (Bewertung) === # „Zukunftsforschung ist Kaffeesatzlesen.“ – Diskutiere diese Aussage in Kleingruppen. #* Welche Argumente sprechen dafür? #* Welche dagegen? #* Ziehe ein eigenes Fazit. # Betrachte den Megatrend „Von der repräsentativen zur partizipatorischen Demokratie“. #* Hat Social Media die Demokratie gestärkt oder geschwächt? #* Welche Chancen und Risiken siehst du persönlich? === E. Kreative Aufgaben === # Gestaltet ein Plakat oder ein kurzes Video mit einem „Megatrend 2035“, den ihr für wahrscheinlich haltet. #* Schlagwort #* Beschreibung #* Chancen & Risiken #* Beispiele # Schreibe einen kurzen Zeitungsartikel aus dem Jahr 2035: #* Überschrift: „So leben wir heute“ #* Beschreibe, welcher Trend sich durchgesetzt hat und wie der Alltag aussieht. ---- == Musterlösungen == === A. Verständnisfragen (Reproduktion) === ; Zu 1: * Harvard-Absolvent; stellv. US-Erziehungsminister (unter Kennedy); Special Assistant von Präsident Johnson; Bestsellerautor ''Megatrends'' (1982). ⇒ Galt als seriöser Zukunftsforscher. ; Zu 2: * 1) Industrie → Informationsgesellschaft * 2) Mehr Technologie → höheres Kontaktbedürfnis * 3) Nationalökonomie → Weltwirtschaft * 4) Kurzfristig → langfristig * 5) Zentralisation → Dezentralisation * 6) Amtshilfe → Selbsthilfe * 7) Repräsentativ → partizipativ * 8) Hierarchien → Netzwerke/Verflechtung * 9) Norden → Süden (USA-intern) * 10) Entweder/Oder → multiple Option ; Zu 3: * Informationsgesellschaft (Computer, Internet, Smartphones) * Weltwirtschaft/Globalisierung * Teilweise: wachsendes Kontaktbedürfnis (Events, Social Media) ; Zu 4: * „Von kurzfristig zu langfristig“: nicht eingetreten * „Von repräsentativer zu partizipatorischer Demokratie“: nicht eingetreten * „Dezentralisation“: eher mehr Machtkonzentration === B. Vertiefung (Analyse) === ; Zu 5: * Richtung korrekt, Tempo unterschätzt * WWW/Internet nicht antizipiert; Wissen heute frei zugänglich ; Zu 6: * Gründe: Börsendruck, Quartalsberichte, Boni-Anreize, kurzfristige Profitziele * Folgen: Finanzkrisen, ökologische Schäden, soziale Ungleichheit ; Zu 7: * Pro: Festivals, Sportevents, Einkaufszentren * Contra: Online-Shopping, Streaming, Gaming * Ergebnis: Mischform – digitale Kontakte ergänzen physische === C. Transferaufgaben (Übertragung auf heute) === ; Zu 8 (Beispiel „Künstliche Intelligenz“): * Kurzbeschreibung: Automatisierung, Sprach-/Bildverarbeitung, Assistenzsysteme * Vergleich: Fortsetzung der Informationsgesellschaft * Realismus: hoch – breite Anwendung in Arbeit, Bildung, Medizin, Alltag ; Zu 9: * COVID-19: Homeoffice, Digitalisierung, Lieferkettenprobleme * Krieg in der Ukraine: Energiekrise, neue Globalisierungsdebatte === D. Diskussion (Bewertung) === ; Zu 10: * Dafür: Prognosen oft falsch, Black-Swan-Ereignisse, Wunschdenken * Dagegen: Orientierung, zeigt Szenarien, strategische Hilfe * Fazit: sinnvoll als Szenarien, nicht als sichere Vorhersagen ; Zu 11: * Stärken: mehr Beteiligung, Mobilisierung, Öffentlichkeit * Schwächen: Fake News, Hate Speech, Polarisierung * Fazit: ambivalent – sowohl Chancen als auch Gefahren === E. Kreative Aufgaben (Beispiellösungen) === ; Zu 12 (Beispiele): * Green Economy: CO₂-neutrale Produktion * Digital Twin Society: virtuelle Zwillinge prägen Alltag * Personalisierte Medizin: datenbasierte Therapien ; Zu 13 (Beispielauszug Zeitungsartikel 2035): * Titel: „So leben wir heute: KI regelt unseren Alltag“ * KI koordiniert Arbeit, Verkehr, Gesundheitssystem * Chancen: Effizienz, bessere Medizin * Risiken: Abhängigkeit von Technologie, Machtkonzentration <!--''Hinweis:'' Die Musterlösungen sind stichpunktartig und können je nach Unterrichtskontext erweitert werden.--> chy5axytd6m0xpf5s5nqijbumjqxs2n 0 167715 1114047 1060102 2026-09-02T12:43:21Z ~2026-47548-34 41860 /* Begründungen für die Iterationsschritte */ 1114047 wikitext text/x-wiki == Grundidee == Die Koch-Flocke wird iterativ erzeugt und das erzeugte geometrische Objekt ist ein [[w:de:Fraktal|Fraktal]]. Die Abbildung zeigt die Erzeugung. [[Datei:KochFlake.svg|mini|220px|Kochsche Schneeflocke, Konstruktion.]] Diese wird hier im Kontext von [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbaren Kurven]] behandelt. === Geschichte === Die '''Koch-Kurve''' oder '''kochsche Kurve''' ist ein von dem schwedischen Mathematiker [[w:de:Helge von Koch|Helge von Koch]] 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall [[w:de:Stetige Funktion|stetige]], aber nirgends [[w:de:Differentialrechnung|differenzierbare]] [[w:de:Weg (Mathematik)|Kurve]]. === Bezug - Fraktale === Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen [[w:de:Fraktal|fraktalen]] Objekte. === Namensgebung === Die Koch-Kurve ist eines der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als ''[[w:de:Monsterkurve|Monsterkurve]]'' bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht. Die Kurve taucht in von Kochs Artikeln nicht in ihrer Schneeflockenform auf. Ihr Erfinder scheint der Mathematiker [[w:de:Edward Kasner|Edward Kasner]] gewesen zu sein<ref>{{Literatur |Autor=Yann Demichel |Titel=Who Invented von Koch’s Snowflake Curve? |Sammelwerk=The American Mathematical Monthly |Band=131 |Nummer=8 |Datum=2024-09-13 |ISSN=0002-9890 |DOI=10.1080/00029890.2024.2363737 |Seiten=662–668}}</ref>. == Konstruktion - Kochsche Schneeflocke == Man kann die [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]] anschaulich mittels eines [[w:de:Iteration|iterativen]] Prozesses konstruieren (siehe [[w:de:Lindenmayer-System|Lindenmayer-System]]). Zu Beginn besteht die Kochsche Schneeflocke aus einem gleichseitigen Dreieck. Die [[w:de:Iteration|Iteration]] besteht nun darin, dass dieser Dreiecksseite * in Drittelpunkte zerlegt wird und * auf den mittleren [[w:de:Strecke (Geometrie)|Streckenstücken]] wird jeweils ein gleichseitiges Dreieck ergänzt wird, das das Volumen jeweils vergrößert. === Umfang und Volumen in Iterationsschritte === Man berechnet nun für die Iterationsschritte jeweils * den Länge der Kurve <math>\mathcal{L}(\gamma_n)</math> und * den von der Kurve <math>\gamma_n</math> eingeschlossene endliche Volumen <math>\mathcal{V}(\gamma_n)</math> === Seitenlänge und Anzahl der Strecken === Für die Berechnung des Volumens und des Umfangs sind weiteren iterativ berechnete Werte wesentlich. * Anzahl der Seiten des Polygons wird mit <math>\mathcal{A}(\gamma_n)</math> bezeichnet * Die Seitenlänge des Polygons ist bei allen Strecken in <math>\gamma_n</math> und wird mit <math> \mathcal{S}(\gamma_n)</math> bezeichnet. == Start Iteration - gleichseitiges Dreieck == Der Startkurve ist ein gleichseitiges Dreieck als [[Kurs:Funktionentheorie/Spur|Spur]] von einem [[Kurs:Funktionentheorie/Wege|Weg]] <math>\gamma_0:[a_0,b_0] \in \mathbb{R}^2</math> der aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] 1. Ordnung über die Eckpunkte des Ausgangdreiecks zusammengesetzt wird. Bei einer Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks von <math>a > 0</math> gilt: * '''Anzahl der Seiten''' <math>\mathcal{A}(\gamma_0) = 3</math>, da mit einem gleichseitigen Dreieck die Iteration gestartet wird * '''Seitenlänge''' <math> \mathcal{S}(\gamma_0) = a</math> als Seitenlänge des gleichseitigen Dreieck * '''Länge des Weges''' <math>\mathcal{L}(\gamma_0) = 3\cdot a </math> als Umfang des gleichseitigen Dreiecks. * '''eingeschlossener Flächeninhalt''' <math>\mathcal{V}(\gamma_0) = \frac{a\cdot h}{2} = \frac{a\cdot \overbrace{\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot a}^{h=}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \mathcal{S}(\gamma_0)^2 </math> ==== Flächeninhalt Dreieck ==== Allgemein wird der Flächeninhalt eines Dreieck über <math>\frac{g\cdot h}{2}</math> berechnet. In einem gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge <math>a > 0 </math> ist damit die Grundseite gegeben und mit dem [[w:de:Satz von Pythagoras|Satz von Pythagoras]] kann für oben angebenen Formel die Höhe <math> h = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot a</math> berechnen. Damit ergibt sich der obige Flächeninhalt für das erste Dreieck und für die iterative Berechnung der weiteren Teildreiecke. == Veranschaulichung == Jeder der 4 neuen Streckenabschnitte hat <math>\tfrac{1}{3}</math> der Länge des ursprünglichen Streckenabschnitts. Im nächsten Schritt wird jeder der 4 Streckenabschnitte durch einen Streckenabschnitt der oberen Art ersetzt. Diese [[w:de:Iteration|Iteration]] wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die [[w:de:Dreieck|Dreieck]]e stets zur selben Seite der [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]] hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]] von [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Streckenzügen]], die gegen die Koch-Kurve strebt. === Graphische Darstellung der Konstruktion === Für eine einzelne Dreicksseite der Seitenlänge <math>a</math> werden nun die ersten drei [[w:de:Iteration|Iterationen]] der Konstruktion dargestellt: :[[Datei:How to make Koch curve.svg|600px]] Diese Iterationsschritte werden für jede Dreiecksseite durchgeführt. === Veranschaulichung nach 5 Iterationen === Nach fünf Iterationen für eine einzelne Dreiecksseite ergibt sich folgendes Bild: [[Datei:Kochkurve.png|600px]] == Iterationsschritt - Länge und Flächeninhalt == Nun sei die Kurve <math>\gamma_n</math> bereits definiert, die <math>\mathcal{L}(\gamma_n)</math> sei berechnet und man möchte nun die Länge von <math>\mathcal{L}(\gamma_{n+1})</math> berechnen. * '''Seitenlänge''' <math> \mathcal{S}(\gamma_{n+1}) = \frac{\mathcal{S}(\gamma_{n})}{3} </math>. * '''Anzahl der Seiten''' <math>\mathcal{A}(\gamma_{n+1}) = 4\cdot \mathcal{A}(\gamma_{n}) </math> * '''Länge des Weges''' <math>\mathcal{L}(\gamma_{n+1}) = \mathcal{L}(\gamma_{n}) + \mathcal{A}(\gamma_{n}) \cdot \mathcal{S}(\gamma_{n+1}) </math> * '''Flächeninhalt''' <math>\mathcal{V}(\gamma_{n+1}) = \mathcal{V}(\gamma_{n}) + \mathcal{A}(\gamma_{n}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \mathcal{S}(\gamma_{n+1})^2</math> === Begründungen für die Iterationsschritte === * '''Seitenlänge:''' Für jede Seite werden für die Unterteilung jeweils Drittelpunkte gewählt. Damit erhält man die Seitenlänge Kurve <math>\gamma_{n+1}</math>, wenn man die Seitenlänge durch 3 teilt, also <math> \mathcal{S}(\gamma_{n+1}) = \frac{\mathcal{S}(\gamma_{n})}{3} </math>. Polygonzug im n-ten Schritt besteht nur als Teilstrecken der Länge <math> \mathcal{S}(\gamma_{n})</math>. * '''Anzahl der Seiten:''' Bei jedem Iterationsschritt werden pro Seite vom Polygonzug <math>\gamma_n</math> jeweils 4 neue Seiten erzeugt. Damit vervierfachen sich pro Iterationsschritt die Anzahl der Seiten mit <math>\mathcal{A}(\gamma_{n+1}) = 4\cdot \mathcal{A}(\gamma_{n}) </math> * '''Länge des Weges:''' Pro Seite des Polygonzugen <math>\gamma_n</math> wird jeweils Länge des Weges um 1/3 der Seitenlänge <math>\mathcal{S}(\gamma_{n})</math>. Diese entspricht der Seitenlänge <math>\mathcal{S}(\gamma_{n+1})</math> und man erhält die induktive Darstellung der Länge der Kurve :: <math>\mathcal{L}(\gamma_{n+1}) = \mathcal{L}(\gamma_{n}) + \mathcal{A}(\gamma_{n}) \cdot \mathcal{S}(\gamma_{n+1}) </math> * '''Flächeninhalt:''' Für die Berechnung des Flächeninhaltes kommt pro Seitenanzahl <math>\mathcal{A}(\gamma_{n})</math> jeweils der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge <math> \mathcal{S}(\gamma_{n+1})</math> hinzu. Für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreieck <math>\frac{g\cdot h}{2}</math> mit Pythagoras wird die Höhe <math>h=\sqrt{\frac{3}{4}}\cdot \mathcal{S}(\gamma_{n+1})\cdot</math> und die Grundseite <math>g=\mathcal{S}(\gamma_{n+1})</math> berechnet. Dies liefert für den Flächeninhalt <math>\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \mathcal{S}(\gamma_{n+1})^2 </math> für die ergänzten Dreiecke und man erhält die folgende induktive Darstellung: ::<math>\mathcal{V}(\gamma_{n+1}) = \mathcal{V}(\gamma_{n}) + \mathcal{A}(\gamma_{n}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \mathcal{S}(\gamma_{n+1})^2 </math> === Explizite Darstellung === Die obigen Überlegungen haben zu einer induktiven Darstellung der Umfangsberechnung und der Flächeninhaltsberechnung geführt. Nun werden die expliziten Darstellungen berechnet. * '''Seitenlänge''' <math> \mathcal{S}(\gamma_{n}) = \frac{a}{3^n} </math>. * '''Anzahl der Seiten''' <math>\mathcal{A}(\gamma_{n}) = 4^n \cdot 3 </math> ==== Länge des Weges ==== Die Iterationsvorschrift lautet nach dem Einsetzen von der expliziten Formel für die Seitenlänge und Anzahl der Seiten: :<math>\mathcal{L}(\gamma_{n+1}) = \mathcal{L}(\gamma_{n}) + \underbrace{4\cdot 3^n}_{= \mathcal{A}(\gamma_{n})} \cdot \underbrace{\frac{a}{3^{n+1}}}_{=\mathcal{S}(\gamma_{n+1})} = \mathcal{L}(\gamma_{n}) + \frac{4}{3} a </math> ==== Explizite Darstellung der Länge ==== Durch fortgesetztes Einsetzen der Rekursionformel erhält man für die Länge die explizite Darstellung: :<math>\mathcal{L}(\gamma_{n}) = 3a + n \cdot \frac{4}{3} a </math> Pro Iterationsschritt vergrößert sich die Länge der Kurve um <math> \frac{4}{3} a </math>. ==== Unendliche Länge der Kurve ==== Man erkennt, dass die Kochsche Schneeflocke keine endliche Länge besitzt und damit nicht [[rektifizierbar]] ist. :<math>\mathcal{L}(\gamma_{n}) = 3a + n \cdot \frac{4}{3} a \, \ > \ n\cdot a \quad \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} \ \infty </math> === Flächeninhalt === Durch Einsetzen der expliziten Formel für die Anzahl der Seiten <math>\mathcal{A}(\gamma_{n}) </math> und der Seitenlänge <math>\mathcal{S}(\gamma_{n+1}) </math> erhält man folgende induktive Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \mathcal{V}(\gamma_{n+1}) & = & \mathcal{V}(\gamma_{n}) + \underbrace{3\cdot 4^n}_{=\mathcal{A}(\gamma_{n})} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \underbrace{\left(\frac{a}{3^n}\right)^2}_{=\mathcal{S}(\gamma_{n+1})^2} \\ & = & \mathcal{V}(\gamma_{n}) + \frac{3\cdot \sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^n \\ & = & \mathcal{V}(\gamma_{0}) + \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{3\cdot \sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^k \\ \end{array} </math> === Grenzwertprozess - Flächeninhalt === Nun kann man für den Flächeninhalt den Grenzwertprozess <math>n\to \infty</math> betrachten und den Flächeninhalt berechnen, der von der Koch-Kurve eingeschlossen wird. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{n\to \infty}\mathcal{V}(\gamma_{n+1}) & = & \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 - \frac{3\cdot \sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{3\cdot \sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \displaystyle \underbrace{\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^k}_{=\frac{1}{1-\frac{4}{9}}=\frac{9}{5}} \\ & = & \underbrace{\left(1-3+\frac{3\cdot 9}{5}\right)}_{=\frac{8}{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 \end{array} </math> === Bezug zu Fraktalen === Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen [[w:de:Streckenzug|Streckenzug]] ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer [[w:de:Fraktal|fraktaler Kurven]] verwenden. So wird es beispielsweise bei der [[w:de:Drachenkurve|Drachenkurve]] eingesetzt. === Bezug zu Cantor-Menge === Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem der Erzeugung der [[w:de:Cantor-Menge|Cantor-Menge]], welche man erhält, wenn man das mittlere Drittel der [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] nicht ersetzt, sondern entfernt. === Grenzwert - Spurfolge === Der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] dieser [[w:de:Iteration|Iteration]] (z.&nbsp;B. als [[w:de:Iteriertes Funktionensystem|IFS-Fraktal]]), die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungsweise grafisch dargestellt werden. In diesem Fall lässt sich der Grenzwert einfach wie folgt definieren. === Definition des Grenzwerts === Zum Grenzwert der [[w:de:Iteration|Iteration]] gehören diejenigen [[w:de:Punkt (Geometrie)|Punkte]], * '''(Eckpunkte von Polygonen - Spur(<math>\gamma_n</math>) )''' die von irgendeinem Iterationsschritt an in allen folgenden Iterationen enthalten sind, * '''(Häufungspunkte)''' sowie alle [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkte]] der so gebildeten Punktmenge. Jede Ecke <math>\gamma_n</math> des anfänglichen Streckenstücks ist beispielsweise in jeder [[w:de:Iteration|Iteration]] enthalten und gehört damit zur Koch-Kurve. Der [[w:de:Mittelpunkt|Mittelpunkt]] des anfänglichen Streckenstücks hingegen ist schon ab der ersten Iteration nicht mehr enthalten. Eine andere gleichbedeutende Grenzwertdefinition ist weiter unten durch die [[w:de:Parameterdarstellung|Parameterdarstellung]] <math>f</math> gegeben. === Alternative Definitionen === <div style="float:right;">[[Datei:01 Koch-Kurve-Sechseck-alt. Def.-2.gif|mini|hochkant= 0.9|Bild 2: Koch-Kurve, alternative Definition, 3 Iterationsschritte]]</div> <div style="float:right;">[[Datei:01 Koch-Kurve-Sechseck-alt. Def.-1.gif|mini|hochkant= 0.9|Bild 1: Koch-Kurve, alternative Definition, 2 Iterationsschritte]]</div> Der [[w:de:Iteration|iterative]] Prozess für die Koch-Kurve kann auch auf andere Weise definiert werden: * Begonnen wird mit einer einzigen [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] (Bild 1). Auf dem mittleren Abschnitt jeder Teilstrecke wird ein [[w:de:Regelmäßiges Polygon|regelmäßiges]] [[w:de:Sechseck|Sechseck]] aufgesetzt, dessen Seitenlänge <math>\tfrac{1}{3}</math> der [[w:de:Länge (Mathematik)|Länge]] der Strecke beträgt. Für einige Teilstrecken ergibt sich dabei das gleiche regelmäßige Sechseck. Die dadurch entstehende [[w:de:Fläche (Mathematik)|Fläche]] ist die Fläche unterhalb der Koch-Kurve.<ref>Stack Exchange Inc.: [https://math.stackexchange.com/questions/3223258/area-of-generalized-koch-snowflake Area of Generalized Koch Snowflake]</ref> * Die Startfigur ist ein [[w:de:Regelmäßiges Polygon|regelmäßiges]] [[w:de:Sechseck|Sechseck]] (Bild&nbsp;2). Jede Teilstrecke wird durch einen anderen, aus vier gleich langen [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecken]] bestehenden Streckenabschnitt ersetzt, wobei die Strecken die [[w:de:Winkel|Winkel]] 120°, 300° und 120° bilden.<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Baird |url=https://www.researchgate.net/publication/262600735_The_Koch_curve_in_three_dimensions |titel=The Koch curve in three dimensions |titelerg=scrolle zu ''2. The “Classic” Koch curve'' |hrsg=ResearchGate |datum=2014-05 |seiten=1 |abruf=2020-11-17|sprache=en }}</ref> Diese Streckenabschnitte sind also genauso definiert wie bei der oben beschriebenen Konstruktion mit dem Unterschied, dass der zweite und dritte Streckenabschnitt nach innen gerichtet ist. Ist <math>s</math> die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks, dann hat es den [[w:de:Flächeninhalt|Flächeninhalt]] <math>\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2</math>. Der Flächeninhalt der sechs [[w:de:gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecke]], die beim ersten [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt abgezogen werden, beträgt zusammen <math>6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{s}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot s^2</math>. Mit jedem Schritt vervierfacht sich die Anzahl der abgezogenen [[w:de:Dreieck|Dreieck]]e, während der Flächeninhalt um den Faktor <math>\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{9}</math> kleiner wird. Der Flächeninhalt der abgezogenen Dreiecke wird also mit jedem Schritt um den Faktor <math>\tfrac{4}{9}</math> kleiner, beträgt nach dem Iterationsschritt <math>n</math> also <math>\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot s^2</math>. Mithilfe der [[w:de:Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] ergibt sich, dass der gesamte Flächeninhalt dieser Dreiecke für eine sehr große Anzahl von Schritten sich dem Grenzwert <math>\frac{3}{10} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2</math> nähert. Der Flächeninhalt innerhalb des [[w:de:Streckenzug|Streckenzug]]s nähert sich also dem [[w:de:Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] <math>\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2 - \frac{3}{10} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2 = \frac{6}{5} \cdot \sqrt{3} \cdot s^2</math>. Als Fläche ergibt sich die [[w:de:Koch-Kurve#Kochsche Schneeflocke|kochsche Schneeflocke]]. [[Datei:01 Koch-Kurve-Dreieck-alt. Def.-2.gif|mini|hochkant=1.5|Bild&nbsp;3: Koch-Kurve, alternative Definition,<br />Dreieck 30°, 30° und 120°, fünf Iterationsschritte]] * Die Startfigur ist ein [[w:de:gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkliges Dreieck]] mit den [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]]n 30°, 30° und 120° (Bild&nbsp;3). Aus diesem [[w:de:Dreieck|Dreieck]] wird ein [[w:de:gleichseitiges Dreieck|gleichseitiges Dreieck]] herausgeschnitten, dessen Seitenlänge <math>\tfrac{1}{3}</math> der längsten Seite des gleichschenkligen Dreiecks ist. Dabei entstehen zwei neue gleichschenklige Dreiecke mit <math>\tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> der Seitenlängen. Mit jedem [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt werden wiederum gleichseitige Dreiecke aus jedem gleichschenkligen Teildreieck herausgeschnitten, sodass sich der [[w:de:Flächeninhalt|Flächeninhalt]] um den Faktor <math>\tfrac{2}{3}</math> verringert. Die übrigbleibende [[w:de:Fläche (Mathematik)|Fläche]] nähert sich dabei der Koch-Kurve an.<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Baird |url=https://www.researchgate.net/publication/262600735_The_Koch_curve_in_three_dimensions |titel=The Koch curve in three dimensions |titelerg=scrolle zu ''4.The Koch “leaf”'' |hrsg=ResearchGate |datum=2014-05 |seiten=2 |abruf=2020-11-17|sprache=en }}</ref> == Eigenschaften == === Eigenschaften aus der fraktalen Geometrie === Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng [[w:de:Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]], das heißt, es erscheinen bei beliebiger Vergrößerung immer wieder die gleichen Strukturen. Sie hat eine [[w:de:Hausdorff-Dimension|Hausdorff-Dimension]] von : <math> \frac {\log(4)} {\log(3)} \approx 1{,}262 </math> === Länge und Flächeninhalt === Die Länge der ursprünglichen Strecke, die die beiden Enden der [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]] verbindet, sei <math>a</math>. Bei jedem [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt wird jede Strecke des [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Streckenzugs]] durch vier Strecken mit <math>\tfrac{1}{3}</math> der Streckenlänge ersetzt. Die Kurve wird also mit jedem Iterationsschritt um den Faktor <math>\tfrac{4}{3}</math> länger. Nach dem Iterationsschritt <math>n</math> ist die [[w:de:Kurvenlänge|Kurvenlänge]] also um den Faktor <math>\left(\tfrac{4}{3}\right)^n</math> angewachsen und beträgt <math>\left(\tfrac{4}{3}\right)^n \cdot a</math>. Wegen <math>\lim_{n\to\infty} \left(\tfrac{4}{3}\right)^n = \infty</math> divergiert die Kurvenlänge, d.&nbsp;h., sie geht gegen [[w:de:Unendlichkeit|unendlich]]. Die Fläche unterhalb der [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]] ist hingegen begrenzt, d.&nbsp;h., der [[w:de:Flächeninhalt|Flächeninhalt]] konvergiert. Das [[w:de:Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreieck]], das nach dem ersten [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt hinzukommt, hat den Flächeninhalt <math>A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot a^2</math>. Mit jedem Schritt vervierfacht sich die Anzahl der hinzugefügten [[w:de:Dreieck|Dreieck]]e, während der Flächeninhalt um den Faktor <math>\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = \tfrac{1}{9}</math> kleiner wird. Der Flächeninhalt der hinzugefügten Dreiecke wird also mit jedem Schritt um den Faktor <math>\tfrac{4}{9}</math> kleiner, beträgt nach dem Iterationsschritt <math>n</math> also <math>A_n = \left(\frac{4}{9}\right)^n \cdot \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot a^2</math>. Der gesamte Flächeninhalt nach dem Iterationsschritt <math>n</math> unterhalb der Kurve berechnet sich mithilfe der [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] zu :<math>\sum_{i=0}^n A_i = \sum_{i=0}^n \left({4\over9}\right)^i \cdot \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot a^2 = \frac{1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}}{1 - \frac{4}{9}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot a^2 = \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{20} \cdot a^2</math>. Für eine sehr große Anzahl von Schritten nähert sich dieser Flächeninhalt dem [[w:de:Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] :<math>A = \sum_{i=0}^\infty A_i = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n A_i = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{20} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{20} \cdot a^2</math>. Bei der [[w:de:Koch-Kurve#Kochsche Schneeflocke|kochschen Schneeflocke]] werden die drei Seiten eines [[w:de:Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecks]] mit der Seitenlänge <math>a</math> durch die Koch-Kurve ersetzt. Der [[w:de:Flächeninhalt|Flächeninhalt]], der von der kochschen Schneeflocke eingeschlossen wird, ergibt sich also, indem man das Dreifache des Flächeninhalts unterhalb der Koch-Kurve zum Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks addiert:<ref>Go Figure: [https://gofiguremath.org/fractals/koch-snowflake/koch-snowflake-area/ Koch Snowflake Area]</ref> :<math>\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{20} \cdot a^2 = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{3} \cdot a^2</math> === Stetigkeit und Differenzierbarkeit === Die [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]] ist überall [[w:de:Stetige Funktion|stetig]], aber nirgends [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]]. Zur Untersuchung dieser Eigenschaften betrachtet man die [[w:de:Parameterdarstellung|Parameterdarstellung]] <math>f_n\colon [0,1]\to {\mathbb R}^2</math> des [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritts <math>n</math> und deren Grenzfunktion <math>f(t) = \lim_{n\to\infty} f_n(t)</math>. Wenn man <math>t\in [0,1]</math> als [[w:de:Zeitpunkt|Zeitpunkt]] auffasst, ist <math>f_n(t)</math> derjenige [[w:de:Punkt (Geometrie)|Punkt]] auf dem [[w:de:Streckenzug|Streckenzug]] nach dem Iterationsschritt <math>n</math>, den man zum Zeitpunkt <math>t</math> erreicht, wenn man den Streckenzug mit konstanter Geschwindigkeit <math>\left(\tfrac{4}{3}\right)^{n-1}</math> (allerdings mit <math>4^{n-1}-1</math> abrupten Richtungsänderungen) vom linken zum rechten Endpunkt durchläuft. Die [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>f_n</math> sind alle [[w:de:Stetige Funktion|stetig]] und [[w:de:Punktweise Konvergenz|konvergieren punktweise]] gegen die Grenzfunktion <math>f</math>. Stellt man den [[w:de:Zeitpunkt|Zeitpunkt]] <math>t</math> in einer Entwicklung zur Basis 4 dar, d.&nbsp;h. mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, dann gibt die erste Nachkommastelle den Abschnitt des ersten Konstruktionsschrittes an, auf welchem sich <math>f_n(t)</math> befindet, die zweite den Unterabschnitt auf diesem im zweiten Konstruktionsschritt usw. Dadurch kann man mit den ersten <math>n</math> Nachkommastellen ein Gebiet der Größenordnung <math>3^{-n}</math> konstruieren, in welchem sich alle nachfolgenden [[w:de:Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>f_{n+k}(t)</math> aufhalten müssen. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass die [[w:de:Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>f_n</math> sogar [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen <math>f</math> konvergieren. Nach einem Satz der Analysis ist <math>f</math> als „gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen“ dann ebenfalls [[w:de:Stetige Funktion|stetig]]. In jedem noch so kleinen Abschnitt der [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]] finden sich nach der Konstruktion Teilstücke, die eine [[w:de:Richtung|Richtung]] <math>k\cdot 60^\circ</math> für jedes <math>k=0,1,2,3,4,5</math> haben. Daher kann man zu keinem [[w:de:Punkt (Geometrie)|Punkt]] der Kurve eine [[w:de:Tangente|Tangente]] konstruieren, d.&nbsp;h., die Kurve ist nirgends [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]]. == Kochsche Schneeflocke == Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die ''kochsche Schneeflocke''. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen Bereich mit endlicher Fläche ein. Die kochsche Schneeflocke ist im Gegensatz zur Koch-Kurve nicht [[w:de:Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]]. Sie ist [[w:de:spiegelsymmetrisch|spiegelsymmetrisch]], [[w:de:punktsymmetrisch|punktsymmetrisch]] und [[w:de:Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]]. <div style="float:right;">[[Datei:Koch similarity tiling.svg|mini|[[w:de:Parkettierung|Parkettierung]] der [[w:de:euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] mit kochschen Schneeflocken mit zwei verschiedenen Größen]]</div> <div style="float:right;">[[Datei:Koch snowflake05.ogv|mini|220px|Kochsche Schneeflocke, Animation.]]</div><div style="float:right;">[[Datei:Koch Snowflake 7th iteration.svg|mini|163px|Kochsche Schneeflocke]]</div> === Parkettierungen === Die [[w:de:euklidische Ebene|euklidische Ebene]] kann mit kochschen Schneeflocken mit zwei verschiedenen Größen parkettiert werden (siehe Abbildung). Diese [[w:de:Parkettierung|Parkettierung]] ist periodisch, [[w:de:spiegelsymmetrisch|spiegelsymmetrisch]], [[w:de:punktsymmetrisch|punktsymmetrisch]], [[w:de:Drehsymmetrie|drehsymmetrisch]] und [[w:de:Translationssymmetrie|translationssymmetrisch]]. Dabei sind die Abmessungen der großen Schneeflocken um den Faktor <math>\sqrt{3}</math> größer als die kleinen Schneeflocken. Der [[w:de:Flächeninhalt|Flächeninhalt]] ist also 3-mal so groß. Es ist möglich, eine kochsche Schneeflocke in 6 Schneeflocken mit <math>\tfrac{1}{9}</math> des Flächeninhalts und 1 Schneeflocke mit <math>\tfrac{1}{3}</math> des Flächeninhalts zu zerlegen. Daher gibt es auch [[w:de:Parkettierung|Parkettierung]]en mit kochschen Schneeflocken, die mehr als zwei verschiedene Größen haben. === Anwendung === * Ein Beispiel ist die [[w:de:Fraktalantenne|Fraktalantenne]] == Verallgemeinerungen == Die kochsche Schneeflocke kann auch mithilfe eines [[w:de:Hexagramm|Hexagramm]]s definiert werden. Startfigur ist dann ein Hexagramm. Mit jedem [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt wird jeder Streckenabschnitt durch einen aus 4 gleich langen [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecken]] bestehenden Streckenabschnitt mit den [[w:de:Winkel|Winkel]]n <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{6} = 240^\circ</math>, <math>180^\circ - \tfrac{720^\circ}{6} = 60^\circ</math> und <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{6} = 240^\circ</math> ersetzt. Als Verallgemeinerung kann als Startfigur ein <math>\{n/2\}</math>-[[w:de:Stern (Geometrie)|Stern]] genommen werden. Dabei bezeichnet <math>\{n/2\}</math> das [[w:de:Schläfli-Symbol|Schläfli-Symbol]]. Dann wird mit jedem [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt jeder Streckenabschnitt durch einen aus 4 gleich langen [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecken]] bestehenden Streckenabschnitt mit den [[w:de:Winkel|Winkel]]n <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{n}</math>, <math>180^\circ - \tfrac{720^\circ}{n}</math> und <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{n}</math> ersetzt. <div style="float:right;">[[Datei:01 Kochkurve-Achtort-Verallg.svg|mini|hochkant=1|Bild 6: Verallgemeinerung, kochsche Schneeflocke,<br /> Startfigur [[w:de:Achtort|Achtort]] (0, hellblau) mit 2 Iterationsschritten.]]</div><div style="float:right;">[[Datei:01 Kochkurve-Pentagramm-alt. Def.-5.svg|mini|hochkant=1|Bild 5: Verallgemeinerung, kochsche Schneeflocke,<br /> Startfigur Pentagramm (0, hellblau) mit 3 Iterationsschritten.]]</div><div style="float:right;">[[Datei:ZoomingpentaKoch.gif|mini|hochkant=1|Bild 4: Ausschnitt einer verallgemeinerten [[w:de:Koch-Kurve#Kochsche Schneeflocke|kochschen Schneeflocke]].]]</div> Für den Fall <math>n = 5</math> ist die Startfigur ein [[w:de:Pentagramm|Pentagramm]]<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Baird |url=https://www.researchgate.net/publication/262600735_The_Koch_curve_in_three_dimensions |titel=The Koch curve in three dimensions |titelerg=scrolle zu ''3. Generalising the Koch Curve'' |hrsg=ResearchGate |datum=2014-05 |seiten=2 |abruf=2020-11-17|sprache=en }}</ref> und die [[w:de:Winkel|Winkel]] zwischen den Strecken betragen <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{5} = 252^\circ</math>, <math>180^\circ - \tfrac{720^\circ}{5} = 36^\circ</math> und <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{5} = 252^\circ</math>. Die [[w:de:Animation|Animation]] (Bild 4) zeigt einen Ausschnitt der kochschen Schneeflocke für <math>n = 5</math>. In der nächsten Darstellung (Bild 5) sind auf einer Zacke der Startfigur (0, hellblau) die drei ausgeführten Iterationsschritte farbig hervorgehoben: 1. Iterationsschritt (goldgelb), 2. Iterationsschritt (grün) und 3. Iterationsschritt (rot). Der [[w:de:Flächeninhalt|Flächeninhalt]] dieser verallgemeinerten kochschen Schneeflocke beträgt <math>\tfrac{1}{44} \cdot (30 + 13 \cdot \sqrt{5}) \cdot \sqrt{10 - 2 \cdot \sqrt{5}} \cdot a^2</math>, wobei <math>a</math> die Seitenlänge des Pentagramms bezeichnet.<ref>Stack Exchange Inc.: [https://math.stackexchange.com/questions/229001/area-fractal-pentagrams-i Area fractal pentagrams]</ref> Für den Fall <math>n = 8</math> (Bild 6) ist die Startfigur ein [[w:de:Stern (Geometrie)|Achtort]] <math>\{8/2\}</math> und die [[w:de:Winkel|Winkel]] zwischen den Strecken betragen <math>180^\circ + \tfrac{360^\circ}{8} = 225^\circ</math> und <math>180^\circ - \tfrac{720^\circ}{8} = 90^\circ</math>. Auf einer Zacke der Startfigur (0, hellblau) sind die zwei ausgeführten Iterationsschritte farbig hervorgehoben: 1. Iterationsschritt (hellgrün), 2. Iterationsschritt (rot). Der [[w:de:Flächeninhalt|Flächeninhalt]] innerhalb der [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]] beträgt <math>\tfrac{1}{7} \cdot (52 + 36 \cdot \sqrt{2}) \cdot a^2</math>. == Lokalisierung von Punkten == Wird das [[w:de:Einheitsintervall|Einheitsintervall]] <math>[0, 1]</math> [[w:de:Äquidistanz (Geometrie)|äquidistant]] auf die Koch-Kurve abgebildet, dann gibt es ein effektives Verfahren, um herauszufinden, auf welchen [[w:de:Punkt (Geometrie)|Punkt]] eine [[w:de:reelle Zahl|reelle Zahl]] <math>x</math> mit <math>0 \leq x \leq 1</math> abgebildet wird. Dafür wird die Darstellung von <math>x</math> im [[w:de:Dualsystem|Dualsystem]] verwendet und anschließend das [[w:de:gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreieck]] mit den [[w:de:Innenwinkel|Innenwinkel]]n 30°, 30° und 120°, in dem die Koch-Kurve liegt, Schritt für Schritt verkleinert (siehe [[w:de:Koch-Kurve#Alternative Definitionen|Alternative Definitionen]]). === Beispiel === [[Datei:01 Kochkurve-Dreieck-dualer Punkt.svg|mini|hochkant=1.7|[[w:de:Algorithmus|Algorithmus]] für die Lokalisierung von [[w:de:Punkt (Geometrie)|Punkten]]. Mit jedem Iterationsschritt verkleinert sich der [[w:de:Flächeninhalt|Flächeninhalt]] des 30°-120°-30°-[[w:de:Dreieck|Dreieck]]s, in dem der Punkt P liegen kann, um den Faktor 3. Zum Punkt A orientierte Teildreiecke entsprechen der [[w:de:Binärziffer|Binärziffer]] 0, zum Punkt B orientierte Teildreiecke entsprechen der [[w:de:Binärziffer|Binärziffer]] 1 im [[w:de:Einheitsintervall|Einheitsintervall]].]] Es soll der [[w:de:Punkt (Geometrie)|Punkt]] ermittelt werden, auf den die Zahl 0,625 abgebildet wird. Die Zahl 0,625 hat im [[w:de:Dualsystem|Dualsystem]] die Darstellung <math>[0{,}101]_2</math>. Im ersten Schritt wird aus dem [[w:de:gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreieck]] ein [[w:de:gleichseitiges Dreieck|gleichseitiges Dreieck]] herausgeschnitten, dessen Seitenlänge <math>\tfrac{1}{3}</math> der längsten Seite des gleichschenkligen Dreiecks ist. Dabei entstehen 2 neue gleichschenklige Dreiecke mit <math>\tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> der Seitenlängen. Der Punkt liegt dann innerhalb des rechten gleichschenkligen Dreiecks, weil die erste [[w:de:Dualsystem|duale]] Nachkommastelle gleich 1 ist. Im zweiten Schritt entstehen wieder 2 neue gleichschenklige Dreiecke mit kleinerer Seitenlänge. Der Punkt liegt innerhalb des linken gleichschenkligen Teildreiecks, weil die zweite duale Nachkommastelle gleich 0 ist. Im dritten Schritt liegt der Punkt im rechten Teildreieck, weil die dritte duale Nachkommastelle gleich 1 ist. Alle weiteren Nachkommastellen sind gleich 0. Daher liegt der gesuchte Punkt P zum Punkt A orientiert, ist also die obere Ecke dieses Teildreiecks (siehe Abbildung). Die Grundlage dieses [[w:de:Algorithmus|Algorithmus]] ist im Abschnitt [[w:de:Koch-Kurve#Alternative Definitionen|Alternative Definitionen]] zu finden. '''Bemerkung:''' Ein solches Verfahren lässt sich im Prinzip auch auf andere "einfache" kurvenförmige und [[w:de:Selbstähnlichkeit|selbstähnliche]] [[w:de:Fraktal|Fraktal]]e, wie zum Beispiel die [[w:de:Hilbert-Kurve|Hilbert-Kurve]], die [[w:de:Peano-Kurve|Peano-Kurve]], die [[w:de:Gosper-Kurve|Gosper-Kurve]] und [[w:de:Minkowski-Kurve|Minkowski-Kurve]] anwenden. Das kurvenförmige Fraktal muss dabei nicht in zwei [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] verlaufen. Entscheidend ist jedoch die [[w:de:Äquidistanz (Geometrie)|äquidistante]] [[w:de:Ordnungsrelation|Ordnungsrelation]] der selbstähnlichen [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurve]]. Bei [[w:de:Affine Abbildung|selbstaffinen]] Fraktalen ist die Zuordnung des [[w:de:Einheitsintervall|Einheitsintervall]]s zu den [[w:de:Koordinatensystem|Koordinaten]] komplizierter. Für mehrdimensionale selbstähnliche Fraktale, wie zum Beispiel das [[w:de:Sierpinski-Dreieck#Sierpinski-Tetraeder|Sierpinski-Tetraeder]], den [[w:de:Menger-Schwamm|Menger-Schwamm]] oder deren Oberfläche, für die keine eindeutige Ordnungsrelation definiert ist, ist das nicht ohne Weiteres möglich. Die [[w:de:Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] des [[w:de:Einheitsintervall|Einheitsintervall]]s auf ein "einfaches" kurvenförmiges (oder [[w:de:Affine Abbildung|selbstaffines]] [[w:de:Fraktal|Fraktal]]) kann mithilfe von [[w:de:Elementargeometrie|einfachen geometrischen]] Betrachtungen passieren. Im Fall der Schneeflockenkurve kann es wie beschrieben, die iterative Erzeugung von 30°-120°-30°-[[w:de:Dreieck|Dreieck]]en und [[w:de:Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]] sein. Es ist jedoch zumindest im [[w:de:Zweidimensional|zweidimensionalen]] Fall auch mit [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] ([[w:de:Symmetrie (Geometrie)|Translationsmatrixen]], [[w:de:Spiegelsymmetrisch|Spiegelmatrixen]] und [[w:de:Drehmatrizen|Drehmatrixen]]) und [[w:de:Vektor|Vektor]]en für die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecken]], die die [[w:de:Iteration|Iteration]]en definieren, möglich. Die [[w:de:Addition|Addition]] oder [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] dieser 2x2-[[w:de:Quadratische Matrix|Matrizen]] erfolgt dann iterativ, sodass die [[w:de:Koordinatensystem|Koordinaten]] der Teilstrecken gegen einen bestimmten [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergieren]]. Jedes Element des Einheitsintervalls, zum Beispiel 0,625, wird dann auf diesen Grenzwert abgebildet. == Dreidimensionale „Koch-Kurve“ == Die Koch-Kurve kann auf 3 [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] verallgemeinert werden. Die Startfigur ist ein [[w:de:regelmäßiges Tetraeder|regelmäßiges Tetraeder]]. Bei jedem [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt werden die [[w:de:Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecke]] der Oberfläche in 4 [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] Dreiecke mit halber Seitenlänge aufgeteilt und jeweils ein regelmäßiges Tetraeder auf das mittlere dieser Dreiecke gesetzt. Die Kantenlänge der hinzugefügten Tetraeder halbiert sich also mit jedem Iterationsschritt. Dieses [[w:de:Dreidimensional|dreidimensionale]] [[w:de:Fraktal|Fraktal]] nähert sich mit jedem [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt dem umbeschriebenen [[w:de:Würfel (Geometrie)|Würfel]] an, dessen alternierende [[w:de:Ecke|Ecke]]n die 4 Ecken des ursprünglichen [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]]s sind. Nach dem ersten Schritt entsteht ein [[w:de:Sterntetraeder|Sterntetraeder]]. Die [[w:de:Seitenfläche|Seitenfläche]]n aller Tetraeder sind [[w:de:Parallelität (Geometrie)|parallel]] zu einer Seitenfläche des ursprünglichen Tetraeders. Die Ecken aller Tetraeder sind Gitterpunkte eines Kubusgitters. Mit jedem Schritt verfeinert sich das Kubusgitter um den Faktor 2. <div style="float:left;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-1.svg|mini|links|231px|[[w:de:Tetraeder|Tetraeder]], Iterationsschritt 0]]</div> <div style="float:left;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-2.0.svg|mini|links|231px|[[w:de:Sterntetraeder|Sterntetraeder]], Iterationsschritt 1]]</div><div style="float:left;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-5.svg|mini|links|233px|56 Teil-[[w:de:Tetraeder|Tetraeder]], Iterationsschritt 2]]</div> <div style="float:left;">[[Datei:01 3D Koch Schneeflocke-Animation-1.gif|mini|links|243px|Zwei Iterationsschritte als [[w:de:Animation|Animation]]]]</div> {{Absatz}} === Berechnungen === Ist <math>a</math> die Kantenlänge des ursprünglichen [[w:de:Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßigen Tetraeders]], dann ist <math>\tfrac{a}{\sqrt{2}}</math> die Kantenlänge des umbeschriebenen [[w:de:Würfel (Geometrie)|Würfels]]. Das [[w:de:Volumen|Volumen]] des ursprünglichen Tetraeders beträgt <math>V_0 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 </math> und das Volumen der Teil-Tetraeder, die beim [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt <math>n</math> hinzugefügt werden, beträgt jeweils <math>\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \left(\frac{a}{2^n}\right)^3 = \frac{1}{8^n} \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 </math>. Beim Iterationsschritt <math>n</math> kommen <math>4 \cdot 6^{n-1} </math> Teil-Tetraeder hinzu und es sind insgesamt <math>6 \cdot 4^n - 12 \cdot 2^n + 8 </math> Teil-Tetraeder auf der Oberfläche dieses [[w:de:Dreidimensional|dreidimensionalen]] [[w:de:Fraktal|Fraktal]]s sichtbar. Bei 10 realisierten Iterationsschritten würde dies zu folgenden ''insgesamten Anzahlen'' der Teil-Tetraeder führen. :<math>8,\;\;56,\;\;296,\;\;1.352,\;\;5.768,\;\;23.816,\;\;96.776,\;\;390.152,\;\;1.566.728,\;\;6.279.176</math> Im Inneren des [[w:de:Fraktal|Fraktal]]s entstehen Hohlräume, die die Form eines [[w:de:Oktaeder|Oktaeder]]s haben und deren Kantenlänge sich mit jedem Iterationsschritt halbiert. Mit jedem [[w:de:Iteration|Iteration]]sschritt versechsfacht sich die Anzahl der hinzugefügten [[w:de:Tetraeder|Tetraeder]], während das [[w:de:Volumen|Volumen]] um den Faktor <math>\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}</math> kleiner wird. Das Volumen der hinzugefügten Tetraeder wird also mit jedem Schritt um den Faktor <math>\tfrac{3}{4}</math> kleiner, beträgt nach dem Iterationsschritt <math>n</math> also <math>V_n = 4 \cdot 6^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \left(\frac{a}{2^n}\right)^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot a^3 </math> . Das gesamte Volumen der [[w:de:Dreidimensional|dreidimensionalen]] „Koch-Kurve“ kann mithilfe der [[w:de:geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] berechnet werden und beträgt :<math>V = V_0 + \sum_{i=1}^\infty V_i = V_0 + \sum_{i=0}^\infty \left(\left(\frac{3}{4}\right)^i \cdot \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot a^3\right) = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 + \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot a^3 = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a^3</math> Wegen <math>\left(\tfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a^3</math> ist das gleich dem [[w:de:Volumen|Volumen]] des umbeschriebenen [[w:de:Würfel (Geometrie)|Würfels]]. == Erstveröffentlichungen == * {{Literatur |Autor=Helge von Koch |Titel=Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire |Sammelwerk=Arkiv för Matematik |Band=1 |Datum=1904 |Seiten=681–704}} * {{Literatur |Autor=Helge von Koch |Titel=Une méthode géométrique élémentaire pour l’étude de certaines questions de la théorie des courbes planes |Sammelwerk=[[w:de:Acta Mathematica|Acta Mathematica]] |Band=30 |Datum=1906 |Seiten=145–174}} == Weblinks == {{Commons|Koch curve|Koch-Kurve}} {{Commons|Koch snowflake|Koch-Schneeflocke}} * {{MacTutor |id=Koch |title=Niels Fabian Helge von Koch}} * {{MathWorld |id=KochSnowflake |title=Koch Snowflake}} * [http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=558 Tetraederfraktal (T-Fraktal)] Mathematische Modelle, TU Dresden == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Analysis]] [[Kategorie:Fraktale Geometrie]] [[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]] == Siehe auch == * [[rektifizierbar]] - Länge eines Weges == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve Koch-Kurve] https://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve * Datum: 25.11.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity 30opp0sxp5ysgqaa3353fwplyob845a 106 167801 1114060 1075804 2026-09-02T13:50:55Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Notation */ 1114060 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Erzeugung von Stammfunktionen von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Wegintegrale behandelt. Dabei verwendet man einen ausgezeichnet Punkt <math>z_o \in G</math>, von dem aus ein Weg <math>\gamma := [ z_o,z ]</math> als [[Konvexkombination]] zu einem beliebigen <math>z\in G</math>definiert wird. Wegen der Konvexität von <math>G</math> liegt die Spur des Weges <math>\gamma_z</math> auch in <math>G</math>. === Verallgemeinerte Intervalle === Die Notation <math>\gamma := [ z_o,z ]</math> vereinfacht die Beschreibung von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen 1. Ordnung]] in eine Intervallnotation, die aus der reellen Analysis bekannt ist. Im Unterschied zur reellen Analysis <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ist <math> \gamma := [ z_o,z ] </math> eine Abbildung :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z_1 \end{array} </math> Das Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in der reellen Analysis entspricht in der Funktionentheorie <math>Spur([a,b])\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}</math>. == Satz - Stammfunktionen als Wegintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Bemerkung - Notation === Wenn <math>f(z)</math> die Funktionsauswertung von <math>f</math> an der Stelle <math>z\in G</math> beschreibt, wertet <math>F(z)</math> die Stammfunktion an der Stelle <math>z\in G</math> aus. Auch in der reellen Analysis gibt es mehrere Stammfunktionen zu einer Funktion <math>f</math>. In der komplexen Analysis hängt dies bei der Darstellung der Stammfunktion <math>F</math> von dem Startpunkt des Wegintegrals <math>z_o\in G</math>, daher wurde für die Stammfunktion die Notation <math>F_{z_o}</math>. Da das Argument <math>z\in G</math> das Argument der Funktion <math>F_{z_o}</math> ist, musste eine weitere Integrationsvariable verwendet werden (hier <math>\xi</math>). === Sternförmiges Gebiet === Die Eigenschaft, dass das Gebiet <math>G</math> [[w:de:konvexe Menge|konvex]] ist, kann zu der Eigenschaft, dass <math>G</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmiges Gebiet]] abgeschwächt werden. Für die Definition der Stammfunktion benötigt man nämlich nur einen ausgezeichneten Punkt <math>z_o\in G</math>, von dem man alle anderen Punkt <math>z\in G</math> über eine [[Konvexkombination]] in <math>G</math> direkt verbinden kann. === Aufgabe - sternförmiges Gebiet === Erweitern Sie die Aussagen der Existenz von Stammfunktionen auf sternförmige Gebieten <math>G</math> und begründen Sie Ihr Vorgehen zunächst geometrisch. == Beweis - Wegintegral als Stammfunktion == Der Beweis Wegintegral von einem festen Ausgangspunkt <math>z_o</math> definieren, von dem man dann die Eigenschaft einer Stammfunktion nachweist. Diese gliedert sich insgesamt in die folgenden Beweisschritte: * [[Satz von Morera]] als Vorbereitung * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion als Wegintegral auf konvexen Gebieten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]] * [[Holomorphie|Differenzierbarkeit]] von <math>F</math>, * [[Satz von Morera#Stammfunktion|Berechnung des Grenzwerts]] zeigt dann <math>F'=f</math>, === Zusammenfassung === Eine holomorphe Funktion <math>f: G \to \mathbb{C}</math> auf einem konvexen Gebiet <math>G</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> definiert ist. Diese Stammfunktion <math>F</math> ist differenzierbar und erfüllt <math>F'(z) = f(z)</math> für alle <math>z \in G</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphie|Differenzierbarkeit]] * [[Satz von Morera]] * [[Stammfunktion und Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]] * [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmige Menge]] mkbm1ye6j9outzerjyn7cm0as6oupx9 106 167804 1114058 1063338 2026-09-02T13:41:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - sternförmig */ 1114058 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] versteht man unter einer '''sternförmigen Menge''' eine Teilmenge <math>M \subset V</math> eines Vektorraumes <math>V</math>, zu der es einen Punkt <math>z_0</math> gibt (ein ''Sternzentrum'' bzw. einen ''Sternmittelpunkt''), von dem aus alle Punkte <math>z</math> der Menge „sichtbar“ sind, d.h. dass jede [[Konvexkombination]] von <math>z_0</math> zu einem beliebigen Punkt <math>z \in M</math> vollständig in <math>M</math> liegt. === Sternförmige Menge === In der Funktionentheorie betrachtet den Vektorraum <math>V=\mathbb{C}</math>. Sternförmige Mengen sind wesentlich für die Wegintegralen als Stammfunktionen. === Abbildung === [[File:Sternfoermig z0 nach z weg.svg|zentriert|350px|Sternförmige Menge]] Sternförmige Menge mit Sternzentrum <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> und Integrationsweg <math>z_o</math> nach <math>z</math> Ist eine sternförmige Menge zusätzlich [[w:de:Offene Menge|offen]], so spricht man von einem '''Sterngebiet'''. == Definition - sternförmig == Eine Menge <math> M \subseteq \mathbb{C}</math> heißt ''sternförmig'', wenn es ein <math>z_0 \in M</math> gibt, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>M</math> ist. <math>z_o</math> nennt man Sternzentrum von <math>M</math>. === Definition - sternförmig in Vektorräumen === Eine Teilmenge <math> M </math> eines Vektorraums <math> V </math> heißt sternförmig um <math> v_{0} \in M </math>, wenn für jedes <math> v \in M </math> die [[Konvexkombination/konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math> \left[v_{0}, v\right] \subseteq M </math> ganz in <math>M</math> liegt. Eine Menge <math> M </math> wird als sternförmiges Gebiet bezeichnet, wenn es einen Punkt <math> v_{0} \in M </math> gibt, sodass <math> M </math>, um <math> v_{0} </math> sternförmig ist. <math>v_{0}</math> nennt man Sternzentrum von <math>M</math>. === Bemerkung - sternförmig === Jede konvexe Menge ist auch sternförmig, aber nicht umgekehrt. Auch wenn der Name ''"sternförmig"'' es nicht vermuten lässt, sind auch Kreise sternförmige Mengen. Die Kreisscheibe <math>D_r(z_o)\subset \mathbb{C}</math> ist eine sternförmig um jedes <math>z\in D_r(z_o)</math>. === Bemerkung - kreisförmige Nullumgebungen === [[kreisförmig|Kreisförmige Nullumgebungen]] in [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] == Definition - Sternzentrum von Mengen == Sei <math>V</math> ein <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> und sei <math>M\subseteq V</math> eine sternförmige Menge mit <math> M \not= \emptyset </math>. Das Zentrum <math>\mathcal{Z}_V(M)</math> einer Sterngebiete == Lemma - Zentrum von Sterngebieten == Sei <math>V</math> ein <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> und sei <math>M\subseteq V</math> eine sternförmige Menge. Die Menge der möglichen Sternzentren heißt auch ''Zentrum'' der Menge. Man kann zeigen, dass es stets konvex ist. Eine Menge stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie konvex ist. == Bemerkungen == * Jede nichtleere [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] ist sternförmig. * Sternförmige Mengen sind [[w:de:kontrahierbar|kontrahierbar]]. Daraus folgt: * Sternförmige Mengen sind [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]], also insbesondere [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]]. * Ein Sterngebiet ist ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Konvexkombination]] * [[kreisförmig|kreisförmige Mengen]] * [[Nullumgebung]] * [[w:de:Problem der Museumswächter|Problem der Museumswächter]] * [[topologischer Vektorraum]] == Literatur == * Konrad Königsberger: ''Analysis 2.'' 1. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-54723-1, S. 345 == Weblinks == * [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs14/seite13.html sternförmiges Gebiet in ''Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder'' auf Mathematik Online (Uni Stuttgart)] * {{MathWorld |id=StarConvex |title=star convex}} * [http://planetmath.org/encyclopedia/StarShapedRegion.html star shaped] auf [[w:de:PlanetMath|PlanetMath]] (englisch) [[Kategorie:Analysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Sterngebiet Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sterngebiet Sterngebiet] https://de.wikipedia.org/wiki/Sterngebiet * Datum: 7.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] p4u64vxgywq9h2su59yyhdhs2wd70eg 1114059 1114058 2026-09-02T13:44:40Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - Sternzentrum von Mengen */ 1114059 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] versteht man unter einer '''sternförmigen Menge''' eine Teilmenge <math>M \subset V</math> eines Vektorraumes <math>V</math>, zu der es einen Punkt <math>z_0</math> gibt (ein ''Sternzentrum'' bzw. einen ''Sternmittelpunkt''), von dem aus alle Punkte <math>z</math> der Menge „sichtbar“ sind, d.h. dass jede [[Konvexkombination]] von <math>z_0</math> zu einem beliebigen Punkt <math>z \in M</math> vollständig in <math>M</math> liegt. === Sternförmige Menge === In der Funktionentheorie betrachtet den Vektorraum <math>V=\mathbb{C}</math>. Sternförmige Mengen sind wesentlich für die Wegintegralen als Stammfunktionen. === Abbildung === [[File:Sternfoermig z0 nach z weg.svg|zentriert|350px|Sternförmige Menge]] Sternförmige Menge mit Sternzentrum <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> und Integrationsweg <math>z_o</math> nach <math>z</math> Ist eine sternförmige Menge zusätzlich [[w:de:Offene Menge|offen]], so spricht man von einem '''Sterngebiet'''. == Definition - sternförmig == Eine Menge <math> M \subseteq \mathbb{C}</math> heißt ''sternförmig'', wenn es ein <math>z_0 \in M</math> gibt, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>M</math> ist. <math>z_o</math> nennt man Sternzentrum von <math>M</math>. === Definition - sternförmig in Vektorräumen === Eine Teilmenge <math> M </math> eines Vektorraums <math> V </math> heißt sternförmig um <math> v_{0} \in M </math>, wenn für jedes <math> v \in M </math> die [[Konvexkombination/konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math> \left[v_{0}, v\right] \subseteq M </math> ganz in <math>M</math> liegt. Eine Menge <math> M </math> wird als sternförmiges Gebiet bezeichnet, wenn es einen Punkt <math> v_{0} \in M </math> gibt, sodass <math> M </math>, um <math> v_{0} </math> sternförmig ist. <math>v_{0}</math> nennt man Sternzentrum von <math>M</math>. === Bemerkung - sternförmig === Jede konvexe Menge ist auch sternförmig, aber nicht umgekehrt. Auch wenn der Name ''"sternförmig"'' es nicht vermuten lässt, sind auch Kreise sternförmige Mengen. Die Kreisscheibe <math>D_r(z_o)\subset \mathbb{C}</math> ist eine sternförmig um jedes <math>z\in D_r(z_o)</math>. === Bemerkung - kreisförmige Nullumgebungen === [[kreisförmig|Kreisförmige Nullumgebungen]] in [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] == Definition - Sternzentrum von Mengen == Sei <math>V</math> ein <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> und sei <math>M\subseteq V</math> eine sternförmige Menge mit <math> M \not= \emptyset </math>. Das Zentrum <math>\mathcal{Z}_V(M)</math> eine Sterngebietes ist die Menge aller Sternzentren des Gebietes. == Lemma - Zentrum von Sterngebieten == Sei <math>V</math> ein <math>\mathbb{K}</math>-Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}:=\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{K}:=\mathbb{C}</math> und sei <math>M\subseteq V</math> eine sternförmige Menge. Die Menge der möglichen Sternzentren heißt auch ''Zentrum'' der Menge. Man kann zeigen, dass es stets konvex ist. Eine Menge stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie konvex ist. == Bemerkungen == * Jede nichtleere [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] ist sternförmig. * Sternförmige Mengen sind [[w:de:kontrahierbar|kontrahierbar]]. Daraus folgt: * Sternförmige Mengen sind [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]], also insbesondere [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]]. * Ein Sterngebiet ist ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Konvexkombination]] * [[kreisförmig|kreisförmige Mengen]] * [[Nullumgebung]] * [[w:de:Problem der Museumswächter|Problem der Museumswächter]] * [[topologischer Vektorraum]] == Literatur == * Konrad Königsberger: ''Analysis 2.'' 1. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-54723-1, S. 345 == Weblinks == * [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs14/seite13.html sternförmiges Gebiet in ''Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder'' auf Mathematik Online (Uni Stuttgart)] * {{MathWorld |id=StarConvex |title=star convex}} * [http://planetmath.org/encyclopedia/StarShapedRegion.html star shaped] auf [[w:de:PlanetMath|PlanetMath]] (englisch) [[Kategorie:Analysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Sterngebiet Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sterngebiet Sterngebiet] https://de.wikipedia.org/wiki/Sterngebiet * Datum: 7.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] dvpocg6wy2tscnl3vwqnn4e7dsvz6kl 106 167860 1114071 1062212 2026-09-02T14:13:39Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - affines Apprimationslemma */ 1114071 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das [[affine Funktion|affine]] Approximationslemma wird in dem Beweis zur Darstellung von [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegralen]] für eine gegebene holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> verwendet. Es besagt, dass man eine im einem Punkt <math>z\in G</math> komplex differenzierbaren Funktion <math>f</math> näherungsweise durch eine [[affine Funktion]] <math> g(h)=a\cdot h + b</math> mit <math>a,b\in \mathbb{C}</math> darstellen kann. In der Darstellung wird sich zeigen, dass <math>a:=f'(z)</math> und <math>b:=f(z)</math> für folgende Gleichung gilt: :<math>f(z+h) \approx \underbrace{f(z)}_{=b} + \underbrace{f'(z)}_{=a} \cdot h </math> === Äquivalenz zu komplexen Differenzierbarkeit === Das affine Approximationslemma beweist die Äquivalenz der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math> z\in G</math> mit Approximierbarkeit mit einer Funktion <math>f</math> mit einer affinen Funktion <math> g(h)=a\cdot h + b</math>. === Restterm === Die Zerlegung in die folgende algebraische Darstellung ist für beliebige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> möglich, denn mit <math>g(h):= f(z) + a \cdot h </math> existiert '''immer''' ein Restterm <math>R(h) := f(z+h)-g(h) </math> in Abhängigkeit von <math>h,</math> sodass die folgende Gleichung erfüllt ist: :<math> f(z+h) = f(z) + a\cdot h + R(h) </math> Die Äquivalenz zur Differenzierbarkeit liefert erst das Grenzwertverhalten <math>\frac{R(h)}{h}</math> des Resterms für <math>h\to 0</math>. === Taylordarstellung === Indem man in affinen Approximationsgleichung <math>z</math> druch <math>z_o</math> und <math>z-z_o=h</math> erhält man die Taylor-Entwicklung bis zur 1. Ordung mit <math>\lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} = 0</math>: :<math> f(z) := f(z_o)\cdot \underbrace{(z-z_o)^0}_{=1} + f'(z_o)\cdot \underbrace{(z-z_o)^1}_{=h} + R(z-z_o) </math> Die lokale Darstellbarkeit einer holomorphen Funktion als [[Taylorreihe]] ist aber in dem [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] eine Konsequenz der [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben|Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben]], die an die dieser Stelle des Kurses als Ergebnis noch nicht vorliegen. == Affines Approximationslemma == Sei <math> f:G\to \mathbb{C} </math> eine Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>. Dann sind folgende beiden Aussagen äquivalent: * '''(KDiff)''' die Funktion <math>f</math> ist in <math>z\in G</math> komplex differenzierbar. * '''(Approx)''' die Funktion <math>f</math> lässt sich in <math>z\in G</math> durch eine affine Funktion <math>g(h):= f(z)+ a\cdot h</math> mit <math>a\in \mathbb{C}</math> und <math>f(z+h)=g(h) + R(h)</math> approximieren, wobei <math>R</math> die Bedingung <math> \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} = 0 </math> erfüllt. === Bemerkung - affines Approximationslemma === Der Term <math>g(h) + R(h)</math> entspricht der oben genannten Taylorentwicklung 1. Ordnung, denn: :<math>f(z+h)=g(h) + R(h)</math> wobei <math>a=f'(z)</math> die Ableitung in dem Entwicklungspunkt <math>z</math> ist. :<math>f(z+h)=g(h) + R(h) = f(z)+f'(z)\cdot h + R(h)</math> In dem Beweis wird die lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen nicht vorausgesetzt. == Beweis == Der Beweis ist eine Äquivalenzaussage, daher gliedert sich der Beweis in die folgenden Teile. * '''(AL1)''' ''(KDiff)<math>\Rightarrow</math>(Approx)'': aus komplexer Differenzierbarkeit in <math>z\in G</math> folgt die affine Approximierbarkeit der Funktion in <math>z\in G</math> * '''(AL2)''' ''(Approx)<math>\Rightarrow</math>(KDiff)'': aus der affine Approximierbarkeit der Funktion in <math>z\in G</math> folgt die komplexe Differenzierbarkeit in <math>z\in G</math> folgt die === Beweis (AL1) -Approximationslemma === Sei nun <math> f </math> komplex differenzierbar in <math>z\in G</math>, dann existiert der Grenzwert des Differenzquotienten mit: :<math> f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h}. </math> Man setzt nun für die [[affine Funktion]] <math>g(h)= a\cdot h + b</math> die Konstanten <math>a := f'(z)</math> <math>b := f(z)</math> ==== (AL1) Beweisschritt 1 ==== Für <math>h\not= 0</math> mit <math>h\in \mathbb{C}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} f(z+h) & = & f(z) + f(z+h) - f(z) \\ & = & f(z) + \frac{f(z+h) - f(z)}{h}\cdot h \\ & = & f(z) + f'(z)\cdot h + \underbrace{\bigg( \frac{f(z+h) - f(z)}{h} - f'(z) \bigg) \cdot h}_{R(h):=} \\ \end{array} </math> Nun ist der Restterm <math>R(h)</math> in Abhängigkeit von dem Funktionsargument <math>h</math> definiert. ==== (AL1) Beweisschritt 2 ==== Nun muss man noch die Grenzwerteigenschaft der Restterms <math>R(h)</math> für <math>h\to 0</math> untersuchen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} & = & \displaystyle \lim_{h\to 0} \bigg( \frac{f(z+h) - f(z)}{h} - f'(z) \bigg) \\ & = & \displaystyle \underbrace{\lim_{h\to 0} \bigg( \frac{f(z+h) - f(z)}{h}\bigg)}_{=f'(z)} - f'(z) = 0 \end{array} </math> === Beweis (AL2) -Approximationslemma === Die Funktion <math>f</math> lässt sich in <math>z\in G</math> durch eine [[affine Funktion]] <math>g(h):= a\cdot h +b</math> mit <math>a\in \mathbb{C}</math>, <math>b=f(z)</math> und <math>f(z+h)=g(h) + R(h)</math> approximieren, wobei der Restterm <math>R</math> die Bedingung <math> \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} = 0 </math> erfüllt. ==== (AL2) Beweisschritt 1 - affine Darstellung ==== Durch Einsetzen der [[affine Funktion|affinen Funktion]] erhält man die Darstellung: :<math>f(z+h)=f(z) + a\cdot h + R(h)</math> ==== (AL2) Beweisschritt 2 - Termumformung - Differenzenquotient ==== Durch Termumformung wird für das gegebene <math>a\in \mathbb{C}</math> auf der linken Gleichungsseite der Differenzenquotient erzeugt und man erhält: :<math>\frac{f(z+h)-f(z)}{h} = a + \frac{R(h)}{h} </math> ==== (AL3) Beweisschritt 3 - Grenzwertprozess ==== Auf die Gleichung aus Beweisschritt 2 wendet man nun einen Grenzwertprozess für <math>h\to 0</math> an, wobei die Voraussetzungen <math> \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} = 0 </math> dazu führt, dass der rechte Term konvergiert und zur Existenz der Grenzwertes des Differenzenquotienten führt: :<math>f'(z) = \lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \big( a + \frac{R(h)}{h} \big) = a</math> === Fazit === Zusammen mit (AL1) und (AL2) wurde die Äquivalenz der komplexen Differenzierbarkeit (KDiff) und der affine Approximierbarkeit (Approx) in dem Punkt <math>z\in G</math> gezeigt. <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[affine Funktion]] * [[Holomorphie|Holomorphie und komplexe Differenzierbarkeit]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] t0v3xk1xo0ctg8xlwldef38llsmxyoj 1114072 1114071 2026-09-02T14:15:01Z ~2026-47548-34 41860 /* Fazit */ 1114072 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das [[affine Funktion|affine]] Approximationslemma wird in dem Beweis zur Darstellung von [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegralen]] für eine gegebene holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> verwendet. Es besagt, dass man eine im einem Punkt <math>z\in G</math> komplex differenzierbaren Funktion <math>f</math> näherungsweise durch eine [[affine Funktion]] <math> g(h)=a\cdot h + b</math> mit <math>a,b\in \mathbb{C}</math> darstellen kann. In der Darstellung wird sich zeigen, dass <math>a:=f'(z)</math> und <math>b:=f(z)</math> für folgende Gleichung gilt: :<math>f(z+h) \approx \underbrace{f(z)}_{=b} + \underbrace{f'(z)}_{=a} \cdot h </math> === Äquivalenz zu komplexen Differenzierbarkeit === Das affine Approximationslemma beweist die Äquivalenz der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math> z\in G</math> mit Approximierbarkeit mit einer Funktion <math>f</math> mit einer affinen Funktion <math> g(h)=a\cdot h + b</math>. === Restterm === Die Zerlegung in die folgende algebraische Darstellung ist für beliebige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> möglich, denn mit <math>g(h):= f(z) + a \cdot h </math> existiert '''immer''' ein Restterm <math>R(h) := f(z+h)-g(h) </math> in Abhängigkeit von <math>h,</math> sodass die folgende Gleichung erfüllt ist: :<math> f(z+h) = f(z) + a\cdot h + R(h) </math> Die Äquivalenz zur Differenzierbarkeit liefert erst das Grenzwertverhalten <math>\frac{R(h)}{h}</math> des Resterms für <math>h\to 0</math>. === Taylordarstellung === Indem man in affinen Approximationsgleichung <math>z</math> druch <math>z_o</math> und <math>z-z_o=h</math> erhält man die Taylor-Entwicklung bis zur 1. Ordung mit <math>\lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} = 0</math>: :<math> f(z) := f(z_o)\cdot \underbrace{(z-z_o)^0}_{=1} + f'(z_o)\cdot \underbrace{(z-z_o)^1}_{=h} + R(z-z_o) </math> Die lokale Darstellbarkeit einer holomorphen Funktion als [[Taylorreihe]] ist aber in dem [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] eine Konsequenz der [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben|Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben]], die an die dieser Stelle des Kurses als Ergebnis noch nicht vorliegen. == Affines Approximationslemma == Sei <math> f:G\to \mathbb{C} </math> eine Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>. Dann sind folgende beiden Aussagen äquivalent: * '''(KDiff)''' die Funktion <math>f</math> ist in <math>z\in G</math> komplex differenzierbar. * '''(Approx)''' die Funktion <math>f</math> lässt sich in <math>z\in G</math> durch eine affine Funktion <math>g(h):= f(z)+ a\cdot h</math> mit <math>a\in \mathbb{C}</math> und <math>f(z+h)=g(h) + R(h)</math> approximieren, wobei <math>R</math> die Bedingung <math> \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} = 0 </math> erfüllt. === Bemerkung - affines Approximationslemma === Der Term <math>g(h) + R(h)</math> entspricht der oben genannten Taylorentwicklung 1. Ordnung, denn: :<math>f(z+h)=g(h) + R(h)</math> wobei <math>a=f'(z)</math> die Ableitung in dem Entwicklungspunkt <math>z</math> ist. :<math>f(z+h)=g(h) + R(h) = f(z)+f'(z)\cdot h + R(h)</math> In dem Beweis wird die lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen nicht vorausgesetzt. == Beweis == Der Beweis ist eine Äquivalenzaussage, daher gliedert sich der Beweis in die folgenden Teile. * '''(AL1)''' ''(KDiff)<math>\Rightarrow</math>(Approx)'': aus komplexer Differenzierbarkeit in <math>z\in G</math> folgt die affine Approximierbarkeit der Funktion in <math>z\in G</math> * '''(AL2)''' ''(Approx)<math>\Rightarrow</math>(KDiff)'': aus der affine Approximierbarkeit der Funktion in <math>z\in G</math> folgt die komplexe Differenzierbarkeit in <math>z\in G</math> folgt die === Beweis (AL1) -Approximationslemma === Sei nun <math> f </math> komplex differenzierbar in <math>z\in G</math>, dann existiert der Grenzwert des Differenzquotienten mit: :<math> f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h}. </math> Man setzt nun für die [[affine Funktion]] <math>g(h)= a\cdot h + b</math> die Konstanten <math>a := f'(z)</math> <math>b := f(z)</math> ==== (AL1) Beweisschritt 1 ==== Für <math>h\not= 0</math> mit <math>h\in \mathbb{C}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} f(z+h) & = & f(z) + f(z+h) - f(z) \\ & = & f(z) + \frac{f(z+h) - f(z)}{h}\cdot h \\ & = & f(z) + f'(z)\cdot h + \underbrace{\bigg( \frac{f(z+h) - f(z)}{h} - f'(z) \bigg) \cdot h}_{R(h):=} \\ \end{array} </math> Nun ist der Restterm <math>R(h)</math> in Abhängigkeit von dem Funktionsargument <math>h</math> definiert. ==== (AL1) Beweisschritt 2 ==== Nun muss man noch die Grenzwerteigenschaft der Restterms <math>R(h)</math> für <math>h\to 0</math> untersuchen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} & = & \displaystyle \lim_{h\to 0} \bigg( \frac{f(z+h) - f(z)}{h} - f'(z) \bigg) \\ & = & \displaystyle \underbrace{\lim_{h\to 0} \bigg( \frac{f(z+h) - f(z)}{h}\bigg)}_{=f'(z)} - f'(z) = 0 \end{array} </math> === Beweis (AL2) -Approximationslemma === Die Funktion <math>f</math> lässt sich in <math>z\in G</math> durch eine [[affine Funktion]] <math>g(h):= a\cdot h +b</math> mit <math>a\in \mathbb{C}</math>, <math>b=f(z)</math> und <math>f(z+h)=g(h) + R(h)</math> approximieren, wobei der Restterm <math>R</math> die Bedingung <math> \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} = 0 </math> erfüllt. ==== (AL2) Beweisschritt 1 - affine Darstellung ==== Durch Einsetzen der [[affine Funktion|affinen Funktion]] erhält man die Darstellung: :<math>f(z+h)=f(z) + a\cdot h + R(h)</math> ==== (AL2) Beweisschritt 2 - Termumformung - Differenzenquotient ==== Durch Termumformung wird für das gegebene <math>a\in \mathbb{C}</math> auf der linken Gleichungsseite der Differenzenquotient erzeugt und man erhält: :<math>\frac{f(z+h)-f(z)}{h} = a + \frac{R(h)}{h} </math> ==== (AL3) Beweisschritt 3 - Grenzwertprozess ==== Auf die Gleichung aus Beweisschritt 2 wendet man nun einen Grenzwertprozess für <math>h\to 0</math> an, wobei die Voraussetzungen <math> \lim_{h\to 0} \frac{R(h)}{h} = 0 </math> dazu führt, dass der rechte Term konvergiert und zur Existenz der Grenzwertes des Differenzenquotienten führt: :<math>f'(z) = \lim_{h\to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \big( a + \frac{R(h)}{h} \big) = a</math> === Fazit === Zusammen mit (AL1) und (AL2) wurde die Äquivalenz der komplexen Differenzierbarkeit (KDiff) und der affinen Approximierbarkeit (Approx) in dem Punkt <math>z\in G</math> gezeigt. <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[affine Funktion]] * [[Holomorphie|Holomorphie und komplexe Differenzierbarkeit]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ecr4c0l7qbfg6c9qsfeqpm56wy7rzog 106 167872 1114082 1065191 2026-09-02T15:24:51Z ~2026-47548-34 41860 /* Homologie-Version CIS-HW */ 1114082 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''Cauchy-Integralsatz''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist ein zentraler Satz der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Er handelt von [[Wegintegral|Wegintegralen]] für [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphe]] (auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt dieser Satz für [[w:de:konvexe Menge|konvexe Gebiete]], dass das [[Wegintegral]] zwischen zwei Punkten unabhängig von dem gewählten [[w:de:Weg (Mathematik)|Wege]] ist. === Cauchy-Integralsatz (CIS) - Cauchy-Integralformel (CIF) === Der Cauchy-Integralsatz (CIS) hat eine besondere Bedeutung, da man mit dem CIS die [[w:de:Cauchysche Integralformel|Cauchy-Integralformel]] und den [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]] beweisen kann. === Holomorphiekriterium === Die Eigenschaft, dass <math>\oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = 0</math> für beliebige [[Integrationsweg|geschlossene Wege]] in einem [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] bzw. [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] gilt, ist einerseits nach dem CIS eine Eigenschaft von holomorphen Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> und andererseits ist bei Gültigkeit der Eigenschaft die Funktion <math>f</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Damit wird <math>\oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = 0</math> auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] bzw. allgemeiner [[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. ==== Bemerkung - Holomorphiekriterium ==== Mit der Eigenschaft <math>\oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = 0</math> für beliebige geschlossene Wege in dem Gebiet <math>G</math> besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> mit <math>F' = f</math>. Damit ist <math>F</math> und auch jede höhere Ableitung holomorph, da holomorphe Funktionen mit der [[Cauchy-Integralformel]] beliebig oft differenzierbar sind. Damit ist auch <math>f</math> holomorph. === Geschichte === Die erste Formulierung des Satzes stammt von [[w:de:1814|1814]], als Cauchy ihn für rechteckige Gebiete bewies. Dies verallgemeinerte er in den nächsten Jahren, allerdings setzte er dabei den [[w:de:Jordanscher Kurvensatz|jordanschen Kurvensatz]] als selbstverständlich voraus. Moderne Beweise kommen durch das [[Lemma von Goursat]] ohne diese tiefgreifende Aussage aus der [[w:de:Topologie (Mathematik)|Topologie]] aus. == Formulierungen des Satzes == Der Integralsatz wurde in zahlreichen Versionen formuliert. * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete|CIS-KG]])''' für [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete|konvexe Gebiete]] * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete|CIS-SG]])''' für [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete|sternförmige Gebiete]] * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für einfach zusammenhängede Gebiete|CIS-EZ]])''' für [[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] Gebiete * '''(CIS-HW)''' für [[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend#Definition_-_homologe_Wege|holomologe Wege]] === Implikationen === Es gilt die Implikationskette :<math>\mbox{(CIS-HW)} \Longrightarrow \mbox{(CIS-EZ)}\Longrightarrow \mbox{(CIS-SG)} \Longrightarrow \mbox{(CIS-KG)} </math> Die Eigenschaft (CIS-HW) gilt auch in nicht einfach zusammenhängenden Gebieten für [[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend|homologe Wege]]. Die anderen Implikationen ergeben sich aus der Beziehung, dass konvexes Gebiet ein sternförmiges Gebiet ist und jedes sternförmige Gebiet einfach zusammenhängend ist. == Cauchyscher Integralsatz für konvexe Gebiete == Sei <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> ein [[w:de:konvexe Menge|konvexes]] Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, dann gilt : <math> \oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = 0</math> für jeden [[w:de:Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossene Weg]] <math>\gamma \colon [a,b]\to G</math> (wobei <math>a, b \in \mathbb{R}</math> und <math>a < b</math>). === Notation === Für das Integralzeichen mit Kreis siehe [[w:de:Kurvenintegral#Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven|Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven]]. === 1/z auf Gebiet mit Loch === Die Bedingung, dass <math>G</math> ein Elementargebiet ist, ist eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit des Satzes. Für <math>G=\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> hat <math>G</math> in 0 ein Loch und ist damit kein Elementargebiet. Für diesen Fall ist die Aussage falsch, denn für <math> f(z) = \frac{1}{z}</math> ist <math>f</math> auf dem Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> holomorph, dennoch verschwindet <math>\textstyle \oint_\gamma f(z)\, dz</math> nicht über jeden geschlossene [[Integrationsweg]]: : <math>\;\oint\limits_{\partial U_r(0)}\frac{1}{z} \, \mathrm dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\gamma(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = 2\pi\mathrm i\neq 0</math> für <math>\gamma(t)=r\cdot e^{it}</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=i\cdot r \cdot e^{it}</math> die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um <math>0</math> mit positivem Radius <math>r</math>. === Cauchyscher Integralsatz (Homotopie-Version) === Ist <math>U\subseteq{C}</math> offen und sind <math>\gamma_1,\gamma_2\colon[0,1]\to U</math> zwei zueinander [[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend|homologe]] Wege in <math>U</math>, dann ist : <math>\int\limits_{\gamma_1 }f(z)\, dz=\int\limits_{\gamma_2 }f(z)\, dz</math> für jede holomorphe Funktion <math>f\colon U\to{C}</math>. === Homologie-Version CIS-HW === <math>G=\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> ist kein einfach zusammenhängendes Gebiet, dennoch gilt für zwei holomologe Wege, dass diese das gleiche Integral liefern. Die folgende Aufgabe definiert zwei homologe Wege <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> im Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus\{0\}</math>. === Aufgabe - CIS-HW === Untersuchen Sie die beiden Wege <math>\gamma_1</math> bzw. <math>\gamma_2</math>, skizzieren Sie die Spur der Wege und berechnen Sie das Wegintegral über <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & \left[0,1 \right] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_1(t) = e^{i\cdot \frac{\pi}{2}\cdot t} \end{array} </math> und die [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_1 = 1</math> und <math>z_2=i</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & \left[0,1 \right] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_1(t) = (1-t)\cdot 1 + t\cdot i \end{array} </math> === Bemerkung - Homotopieversion CIS-HW === Ist <math>G</math> ein [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet, dann verschwindet das Integral nach der Homotopie-Version für jede geschlossene Kurve, d.&nbsp;h. <math>D</math> ist ein [[w:de:Elementargebiet|Elementargebiet]]. Bei erneuter Betrachtung des obigen Beispiels bemerkt man, dass <math>{C}\setminus\{0\}</math> ''nicht'' einfach zusammenhängend ist. === Cauchyscher Integralsatz (Homologie-Version) === Ist <math>D\subseteq{C}</math> ein Gebiet und <math>\Gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] ''in'' <math>D</math>, dann verschwindet : <math>\int\limits_\Gamma f(z)\, dz</math> genau dann für jede holomorphe Funktion <math>f\colon D\to{C}</math>, wenn <math>\Gamma</math> [[w:de:nullhomolog|nullhomolog]] in <math>D</math> ist. == CIS für einfach zusammenhängende Gebiete == Sei <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, dann gilt : <math>\oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = 0</math> für jeden [[w:de:Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossene Weg]] <math>\gamma \colon [a,b]\to G</math> (wobei <math>a, b \in \mathbb{R}</math> und <math>a < b</math>). == Isolierte Singularitäten == Bei der Betrachtung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] wird deutlich, warum die Eigenschaft "[[nullhomolog]]" für Zyklus bedeutsam für die Gültigkeit vom Cauchy-Integralsatz ist, denn wenn der Zykus eine Teilmenge aus Komplement des Gebietes <math>G</math> umrundet, kann in diesem Gebiet eine [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularität]] liegen, die einen Betrag zum [[Wegintegral]] liefert und damit das Integral aus dem CIS nicht mehr 0 ist. == Folgerungen == Der Cauchysche Integralsatz ermöglicht unmittelbar [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra#Direkter Beweis mittels des Cauchyschen Integralsatzes|Beweise]] des [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]], welcher besagt, dass jedes komplexe [[w:de:Polynom|Polynom]] über <math>\mathbb{C}</math> in Linearfaktoren zerfällt, d.&nbsp;h., dass der Körper der komplexen Zahlen [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraisch abgeschlossen]] ist. == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 143, Satz 4.7.3 * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u.&nbsp;a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 57, Kapitel 3, Satz 1.4 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). * [[w:de:Günter Bärwolff|Günter Bärwolff]]: ''Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure.'' 2. Auflage, 1. korrigierter Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u.&nbsp;a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9. * {{Literatur |Autor=[[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]] |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.) |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_konvexe_Gebiete|Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete|Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete]] * [[Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend|homologe Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher%20Integralsatz Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher%20Integralsatz Cauchyscher Integralsatz] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher%20Integralsatz * Datum: 13.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)]] [[Category:Wiki2Reveal]] aygi40kcwbyzn705d7fbhdyvvbxyfnj 106 167873 1114088 1076231 2026-09-02T15:40:44Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis - Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen */ 1114088 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert, dass eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] unendlich oft differenzierbar ist. Damit wird es möglich, die Taylorkoeffizienten <math>a_n:=\frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}</math> berechnen. == Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickelbar für <math>|z-z_o|<r</math>. :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Mit der Integralformel für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. == Beweis - Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Die Cauchy-Integralformel wird partiell nach <math>z</math> differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf. Die <math>n</math>-te Ableitung wird in der folgenden Notation als Differentialoperator <math> \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}</math> notiert. === Beiweisschritt 1 === Sei <math>U:= D_r(z_o)</math>, dann gilt: :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === Beweisschritt 2 - Cauchy-Kern === Entwicklung von <math>\frac{1}{\zeta-z}</math> in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt ([[Cauchy-Kern]]) :<math> \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=:q}} = \sum_{n=0}^{\infty} {\bigg(\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=q} \bigg)}^{n} </math> Dabei gilt <math>|q| = \left| \frac{z-z_o}{\zeta-z_o} \right|< 1 </math> wegen <math>r= |\zeta-z_o| > |z-z_o| </math>, da <math> \zeta</math> auf dem Kreisrand liegt und <math>z</math> im Inneren des Kreisrandes. === Beweisschritt 3 - Cauchy-Kern - Taylorreihe === :<math>\begin{align} f|_{U}(z) & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o-(z-z_o)}\mathrm{d}\zeta \\ & {=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}\mathrm{d}\zeta\, \\ &\overset{|\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}|<1}{=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}\right)^{n}\mathrm{d}\zeta\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{a_{n}}(z-z_o)^{n}\end{align}</math> === Beweisschritt 4 - Koeffizientenberechnung - Taylorreihe === Da für <math>|z-z_o|<|\zeta-z_o|=r</math> die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Taylorkoeffizienten im Entwicklungspunkt <math>z_o</math> sind damit: :<math>\begin{align} a_{n} & =\frac{1}{n!}f^{(n)}|_{U}(z_o)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{(re^{\mathrm{i}t})^{n+1}} \cdot \mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\, \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t}) \cdot e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t \end{align} </math> <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|Beispiele für die lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Cauchy-Kern]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben|Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; <noinclude>[[en:Complex Analysis/Representation with Taylor Series]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] 7du3tzuudn6fsligo025dr7i4zm4uho 106 167876 1114083 1079003 2026-09-02T15:26:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis - Cauchyscher Integralsatz für konvexe Gebiete */ 1114083 wikitext text/x-wiki == Cauchyscher Integralsatz für konvexe Gebiete == Sei <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> ein [[w:de:konvexe Menge|konvexes]] Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, dann gilt : <math> \oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = 0</math> für jeden [[w:de:Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossene Weg]] <math>\gamma \colon [a,b]\to G</math> (wobei <math>a, b \in \mathbb{R}</math> und <math>a < b</math>). == Beweis - Cauchyscher Integralsatz für konvexe Gebiete == Sei <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> ein [[w:de:konvexe Menge|konvexes]] Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, dann besitzt <math>f</math> auf <math>G</math> eine Stammfunktionen. === Beweisschritt 1 - Definition der Stammfunktion === Der Satz über die [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Existenz von Stammfunktionen]] auf konvexen Gebieten liefert die Eigenschaft <math>F' = f</math>. Für die Stammfunktion wählt man einen festen Punkt in <math>z_o \in G</math>. :<math> F(z) := \int_{[z_o,z]} f(\zeta) \, d\zeta </math> Die Funktion <math>F</math> ist dann eine Stammfunktion auf dem [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] Gebiet <math>G</math>. === Beweisschritt 2 - Existenz von Stammfunktion === Sei <math>\gamma \colon [a,b]\to G</math> ein geschlossener Weg mit <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math> und es gilt: :<math> \oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\underbrace{\gamma(b)}_{=\gamma(a)}) - F(\gamma(a)) = 0 </math> Damit ist das Integral über geschlossene Wege in <math>G</math> 0. <math>\,\,\,\, \Box</math> == Notation == Für das Integralzeichen mit Kreis siehe [[w:de:Kurvenintegral#Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven|Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven]]. == 1/z auf Gebiet mit Loch == Die Bedingung, dass <math>G</math> ein Elementargebiet ist, ist eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit des Satzes. Für <math>G=\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> hat <math>G</math> in 0 ein Loch und ist damit kein Elementargebiet. Für diesen Fall ist die Aussage falsch, denn für <math> f(z) = \frac{1}{z}</math> ist <math>f</math> auf dem Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> holomorph, dennoch verschwindet <math>\textstyle \oint_\gamma f(z)\, dz</math> nicht über jeden geschlossene [[Integrationsweg]]: : <math>\;\oint\limits_{\partial U_r(0)}\frac{1}{z} \, \mathrm dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\gamma(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = 2\pi\mathrm i\neq 0</math> für <math>\gamma(t)=r\cdot e^{it}</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=i\cdot r \cdot e^{it}</math> die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um <math>0</math> mit positivem Radius <math>r</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete|Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Existenz von Stammfunktionen]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Konvexkombination]] 5xobpb4yex532pf08eejem1r9sojuqa 106 167880 1114073 1076209 2026-09-02T14:18:05Z ~2026-47548-34 41860 /* Schritt SG2.11: Einsetzen der Terme */ 1114073 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dem Satz zur [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktionen]] für geschlossene Wege betrachtet man als Voraussetzung stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]], bei denen das [[Wegintegral]] die Konsequenzen für beliebige geschlossene Wege verschwindet. Der Satz besagt nun, dass bereits unter dieser Voraussetzung [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktionen]] auf <math>G</math> existieren. === Holmorphiekriterium === Die Eigenschaft, dass für beliebige geschlossene Wege <math>\gamma : [a,b] \to G </math> das Wegintegral verschwindet, d.h. :<math> \oint_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0 </math> gilt, ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Satz über Stammfunktionen und geschlossene Wege bereitet diese Aussage vor, der erst nach dem Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) zu einem [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] wird. == Satz - Stammfunktion und geschlossene Wege == Sei <math>G</math> ein einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> stetig, dann sind folgende Bedingungen äquivalent. * '''(GW)''' Für beliebige geschlossene Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> die Eigenschaft ::<math> \oint_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0 </math> * '''(SF)''' die Funktion <math>f</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F</math> auf <math>G</math>. == Beweis - Stammfunktion und geschlossene Wege == Der Satz über Stammfunktionen und geschlossene Wege ist eine Äquivalenzaussage. Daher sind zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * '''(SG1)''' (SF)<math>\Rightarrow</math>(GW) Aus der Existenz von Stammfunktionen für <math>f</math> folgt, dass geschlossene Wegintegrale <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> * '''(SG2)''' (GS)<math>\Rightarrow</math>(SF) Wenn für beliebige geschlossene Wegintegrale <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> gilt, dann besitzt <math>f</math> auch Stammfunktionen. === Beweisteil SG1 === Nach Voraussetzung habe <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> und sei :<math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein beliebiger geschlossener Weg mit <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math>. ==== Schritt SG1.1: Definition des Wegintegrals ==== Für den geschlossenen Weg <math>\gamma : [a,b] \to G </math> in dem Gebiet <math> G</math> wird nun die Definition des [[Wegintegral|Wegintegrals]] verwendet. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> ==== Schritt SG1.2: Anwendung der Substitutionsregel ==== Durch Anwendung der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] auf [[Wegintegral#Stammfunktion|Wegintegrale]] erhält man: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\underbrace{\gamma(b)}_{=\gamma(a)}) - F(\gamma(a)) = 0 </math> Dabei wurde ausgenutzt, dass bei geschlossenen Wegen der Anfangs- und Endpunkt in <math>\mathbb{C}</math> übereinstimmen und <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweisteil SG2 === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] <math>G</math> ist nach Definition wegzusammenhängend, dann wählt man zu einem festen Startpunkt <math>s\in G</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> einen [[Integrationsweg]] <math>\gamma_z: [0,1] \to G</math> mit <math> \gamma_z(0) = s </math> und <math> \gamma_z(1) = z</math>. ==== Schritt SG2.1: Ziel des Beweisteils ==== Man definiert nur eine Funktion <math>F: G\to \mathbb{C}</math>, von der man im Verlaufe des Beweise nachweist, dass diese Funktion eine Stammfunktion von <math>f</math> mit <math>F'=f</math> ist. Die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wird wie folgt definiert: :<math> F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, wird im weiteren Verlauf des Beweisteils (SG2) gezeigt. ==== Schritt SG2.2: Differenzierbarkeit von F ==== Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt und berechnet zunächst die Darstellung des Differenzenquotienten. :<math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> ==== Schritt SG2.3: Offenheit von G ==== Sei <math> z \in G </math> gewählt. Da <math>G</math> offen ist, existiert ein Radius <math> r > 0 </math> und eine Kreisscheibe <math>D_r(z)</math>, die ganz in <math>G</math> liegt. Man kann man ein <math> h \in \mathbb{C} </math> so klein mit <math>|h|< r</math> wählen, dass <math> z + h \in D_r(z) \subseteq G </math> gilt. ==== Schritt SG2.4: Differenzierbarkeit von F ==== Der Zähler aus der Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] ist <math> F(z + h) - F(z)</math> und diese Differenz wird nun Definition als Wegintegral dargestellt wird und später zu einem geschlossenen Weg umgeformt. :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{z+h}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{z}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Es wird sich zeigen, dass man diese Differenz bzgl. <math> F </math> als [[Wegintegral]] über <math>f</math> von dem Punkt <math>z</math> nach <math>z+h</math> über eine [[Konvexkombination]] als Integrationsweg ausdrücken kann. ==== Schritt SG2.5: G offen ==== Da <math>G</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist, ist <math>G</math> offen. Daher existiert eine offene Kreisscheibe <math> D_r(z) := \{ \zeta \in \mathbb{C} \, : \, |\zeta - z| < r \} </math>, die ganz in <math>G</math> liegt (d.h. <math>D_r(z)\subseteq G</math>). Man möchte den Grenzwert des Differenzenquotienten :<math> \lim_{h\to 0} \frac{F(z+h)-F(z)}{h} </math> betrachten. Dafür wählt man für <math>h\to 0</math> das <math>h</math> so klein, dass <math>|h| < r</math> gilt. ==== Schritt SG2.6: Konvexkombination in G ==== Mit <math>D_r(z)\subseteq G</math> und <math>|h| < r</math> liegt die [[Konvexkombination]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_{[z,z+h]}} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_{[z,z+h]}}(t)= (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) \end{array} </math> mit <math> \gamma{\,}'\!\!_{_{[z,z+h]}}(t) = (z+h)-z = h </math> und <math>Spur(\gamma_{_{[z,z+h]}}) \subset D_r(z)\subseteq G</math>. ==== Schritt SG2.7: Konstruktion - geschlossener Weg in G ==== Man betrachtet den geschlossenen Weg <math>\gamma := \gamma_{_{z+h}} - \gamma_{_{[z+h,z]}} - \gamma_{_{z}} </math>, wobei <math> \gamma_{_{[z+h,z]}} = - \gamma_{_{[z,z+h]}}</math> und die Integration über die [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] <math>\gamma</math> unter Verwendung der Voraussetzung für geschlossene Integrationswege: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \oint_{\gamma} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & \int_{\gamma_{_{z+h}}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{_{[z+h,z]}}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{-\gamma_{_{z}}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> ==== Schritt SG2.8: Differenzdarstellung als Wegintegral ==== Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> ==== Schritt SG2.9: Differenzierbarkeit von F ==== Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> ==== Schritt SG2.10: Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot (b-a) </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. ==== Schritt SG2.11: Einsetzen der Terme ==== Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man für passende <math> t_1,t_2 \in [0,h]</math>: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> ==== Schritt SG2.12: Grenzwertprozess ==== Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde Äquivalenz <math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 0</math> für beliebige geschlossene Wege und Existenz einer holomorphen Stammfunktion <math>F</math> gezeigt mit <math> F'=f </math>, wenn <math>f</math> auf dem Gebiet <math> G</math> stetig ist. Also ist <math> F </math> als Stammfunktion holomorph mit Ableitung <math>f</math>, wobei <math>F(z)</math> über ein [[Wegintegral]] von <math> f </math> für einen Weg <math>\gamma</math> von <math>s</math> nach <math>z</math> definiert wird. Die Holomorphie von <math>f</math> selbst ist damit noch nicht nachgewiesen. Gezeigt wurde damit nur, dass die Stammfunktion <math> F </math> mit <math> F'=f </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Beispiel - Stammfunktion - Differenzierbarkeit == Die folgenden Funktion <math>f</math> auf <math>\mathbb{R}</math> zeigt, dass man zunächst einmal nicht aus der Differenzierbarkeit von <math>F</math> auch die Differenzierbarkeit von <math>f</math> folgt. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = 2\cdot |x| \end{array} </math> besitzt eine Stammfunktion <math>F(x)=|x|\cdot x </math> auf <math>\mathbb{R}</math>. <math>f</math> selbst ist aber nicht auf ganz <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar. === Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion f === Daher kann man im Allgemeinen an dieser Stelle des Kurses noch nicht folgern, dass mit der komplexen Differenzierbarkeit der Stammfunktion <math>F</math> auf <math>G</math> durch <math>F'=f</math> auch <math>f</math> [[Holomorphie|holomorph]] ist. Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) liefert als Korrollar, dass jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die einmal komplex differenzierbar ist, auch unendlich oft komplex differenzierbar ist. === Aufgabe - reelle Stammfunktionen === Zeigen Sie bei dem obigen Beispiel, dass für die <math>F(x)=|x|\cdot x </math> auf <math>\mathbb{R}</math> gilt, dass <math>F'=f</math> ist. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion_auf_konvexen_Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Wegintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fscl8fopudupjvaz8b5edic5flst9wg 1114074 1114073 2026-09-02T14:20:15Z ~2026-47548-34 41860 /* Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion f */ 1114074 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dem Satz zur [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktionen]] für geschlossene Wege betrachtet man als Voraussetzung stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]], bei denen das [[Wegintegral]] die Konsequenzen für beliebige geschlossene Wege verschwindet. Der Satz besagt nun, dass bereits unter dieser Voraussetzung [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktionen]] auf <math>G</math> existieren. === Holmorphiekriterium === Die Eigenschaft, dass für beliebige geschlossene Wege <math>\gamma : [a,b] \to G </math> das Wegintegral verschwindet, d.h. :<math> \oint_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0 </math> gilt, ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Satz über Stammfunktionen und geschlossene Wege bereitet diese Aussage vor, der erst nach dem Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) zu einem [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] wird. == Satz - Stammfunktion und geschlossene Wege == Sei <math>G</math> ein einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> stetig, dann sind folgende Bedingungen äquivalent. * '''(GW)''' Für beliebige geschlossene Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> die Eigenschaft ::<math> \oint_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0 </math> * '''(SF)''' die Funktion <math>f</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F</math> auf <math>G</math>. == Beweis - Stammfunktion und geschlossene Wege == Der Satz über Stammfunktionen und geschlossene Wege ist eine Äquivalenzaussage. Daher sind zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * '''(SG1)''' (SF)<math>\Rightarrow</math>(GW) Aus der Existenz von Stammfunktionen für <math>f</math> folgt, dass geschlossene Wegintegrale <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> * '''(SG2)''' (GS)<math>\Rightarrow</math>(SF) Wenn für beliebige geschlossene Wegintegrale <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> gilt, dann besitzt <math>f</math> auch Stammfunktionen. === Beweisteil SG1 === Nach Voraussetzung habe <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> und sei :<math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein beliebiger geschlossener Weg mit <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math>. ==== Schritt SG1.1: Definition des Wegintegrals ==== Für den geschlossenen Weg <math>\gamma : [a,b] \to G </math> in dem Gebiet <math> G</math> wird nun die Definition des [[Wegintegral|Wegintegrals]] verwendet. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> ==== Schritt SG1.2: Anwendung der Substitutionsregel ==== Durch Anwendung der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] auf [[Wegintegral#Stammfunktion|Wegintegrale]] erhält man: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\underbrace{\gamma(b)}_{=\gamma(a)}) - F(\gamma(a)) = 0 </math> Dabei wurde ausgenutzt, dass bei geschlossenen Wegen der Anfangs- und Endpunkt in <math>\mathbb{C}</math> übereinstimmen und <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweisteil SG2 === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] <math>G</math> ist nach Definition wegzusammenhängend, dann wählt man zu einem festen Startpunkt <math>s\in G</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> einen [[Integrationsweg]] <math>\gamma_z: [0,1] \to G</math> mit <math> \gamma_z(0) = s </math> und <math> \gamma_z(1) = z</math>. ==== Schritt SG2.1: Ziel des Beweisteils ==== Man definiert nur eine Funktion <math>F: G\to \mathbb{C}</math>, von der man im Verlaufe des Beweise nachweist, dass diese Funktion eine Stammfunktion von <math>f</math> mit <math>F'=f</math> ist. Die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wird wie folgt definiert: :<math> F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, wird im weiteren Verlauf des Beweisteils (SG2) gezeigt. ==== Schritt SG2.2: Differenzierbarkeit von F ==== Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt und berechnet zunächst die Darstellung des Differenzenquotienten. :<math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> ==== Schritt SG2.3: Offenheit von G ==== Sei <math> z \in G </math> gewählt. Da <math>G</math> offen ist, existiert ein Radius <math> r > 0 </math> und eine Kreisscheibe <math>D_r(z)</math>, die ganz in <math>G</math> liegt. Man kann man ein <math> h \in \mathbb{C} </math> so klein mit <math>|h|< r</math> wählen, dass <math> z + h \in D_r(z) \subseteq G </math> gilt. ==== Schritt SG2.4: Differenzierbarkeit von F ==== Der Zähler aus der Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] ist <math> F(z + h) - F(z)</math> und diese Differenz wird nun Definition als Wegintegral dargestellt wird und später zu einem geschlossenen Weg umgeformt. :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{z+h}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{z}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Es wird sich zeigen, dass man diese Differenz bzgl. <math> F </math> als [[Wegintegral]] über <math>f</math> von dem Punkt <math>z</math> nach <math>z+h</math> über eine [[Konvexkombination]] als Integrationsweg ausdrücken kann. ==== Schritt SG2.5: G offen ==== Da <math>G</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist, ist <math>G</math> offen. Daher existiert eine offene Kreisscheibe <math> D_r(z) := \{ \zeta \in \mathbb{C} \, : \, |\zeta - z| < r \} </math>, die ganz in <math>G</math> liegt (d.h. <math>D_r(z)\subseteq G</math>). Man möchte den Grenzwert des Differenzenquotienten :<math> \lim_{h\to 0} \frac{F(z+h)-F(z)}{h} </math> betrachten. Dafür wählt man für <math>h\to 0</math> das <math>h</math> so klein, dass <math>|h| < r</math> gilt. ==== Schritt SG2.6: Konvexkombination in G ==== Mit <math>D_r(z)\subseteq G</math> und <math>|h| < r</math> liegt die [[Konvexkombination]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_{[z,z+h]}} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_{[z,z+h]}}(t)= (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) \end{array} </math> mit <math> \gamma{\,}'\!\!_{_{[z,z+h]}}(t) = (z+h)-z = h </math> und <math>Spur(\gamma_{_{[z,z+h]}}) \subset D_r(z)\subseteq G</math>. ==== Schritt SG2.7: Konstruktion - geschlossener Weg in G ==== Man betrachtet den geschlossenen Weg <math>\gamma := \gamma_{_{z+h}} - \gamma_{_{[z+h,z]}} - \gamma_{_{z}} </math>, wobei <math> \gamma_{_{[z+h,z]}} = - \gamma_{_{[z,z+h]}}</math> und die Integration über die [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] <math>\gamma</math> unter Verwendung der Voraussetzung für geschlossene Integrationswege: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \oint_{\gamma} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & \int_{\gamma_{_{z+h}}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{_{[z+h,z]}}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{-\gamma_{_{z}}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> ==== Schritt SG2.8: Differenzdarstellung als Wegintegral ==== Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> ==== Schritt SG2.9: Differenzierbarkeit von F ==== Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> ==== Schritt SG2.10: Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot (b-a) </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. ==== Schritt SG2.11: Einsetzen der Terme ==== Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man für passende <math> t_1,t_2 \in [0,h]</math>: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> ==== Schritt SG2.12: Grenzwertprozess ==== Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde Äquivalenz <math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 0</math> für beliebige geschlossene Wege und Existenz einer holomorphen Stammfunktion <math>F</math> gezeigt mit <math> F'=f </math>, wenn <math>f</math> auf dem Gebiet <math> G</math> stetig ist. Also ist <math> F </math> als Stammfunktion holomorph mit Ableitung <math>f</math>, wobei <math>F(z)</math> über ein [[Wegintegral]] von <math> f </math> für einen Weg <math>\gamma</math> von <math>s</math> nach <math>z</math> definiert wird. Die Holomorphie von <math>f</math> selbst ist damit noch nicht nachgewiesen. Gezeigt wurde damit nur, dass die Stammfunktion <math> F </math> mit <math> F'=f </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Beispiel - Stammfunktion - Differenzierbarkeit == Die folgenden Funktion <math>f</math> auf <math>\mathbb{R}</math> zeigt, dass man zunächst einmal nicht aus der Differenzierbarkeit von <math>F</math> auch die Differenzierbarkeit von <math>f</math> folgt. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = 2\cdot |x| \end{array} </math> besitzt eine Stammfunktion <math>F(x)=|x|\cdot x </math> auf <math>\mathbb{R}</math>. <math>f</math> selbst ist aber nicht auf ganz <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar. === Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion f === Daher kann man im Allgemeinen an dieser Stelle des Kurses noch nicht folgern, dass mit der komplexen Differenzierbarkeit der Stammfunktion <math>F</math> auf <math>G</math> durch <math>F'=f</math> auch <math>f</math> [[Holomorphie|holomorph]] ist. Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) liefert als Korollar, dass jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die einmal komplex differenzierbar ist, auch unendlich oft komplex differenzierbar ist. === Aufgabe - reelle Stammfunktionen === Zeigen Sie bei dem obigen Beispiel, dass für die <math>F(x)=|x|\cdot x </math> auf <math>\mathbb{R}</math> gilt, dass <math>F'=f</math> ist. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion_auf_konvexen_Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Wegintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] eeocxhwcdrz8dy5dhx4y9qlb0szsd95 1114075 1114074 2026-09-02T14:20:56Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - reelle Stammfunktionen */ 1114075 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dem Satz zur [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktionen]] für geschlossene Wege betrachtet man als Voraussetzung stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]], bei denen das [[Wegintegral]] die Konsequenzen für beliebige geschlossene Wege verschwindet. Der Satz besagt nun, dass bereits unter dieser Voraussetzung [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktionen]] auf <math>G</math> existieren. === Holmorphiekriterium === Die Eigenschaft, dass für beliebige geschlossene Wege <math>\gamma : [a,b] \to G </math> das Wegintegral verschwindet, d.h. :<math> \oint_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0 </math> gilt, ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Satz über Stammfunktionen und geschlossene Wege bereitet diese Aussage vor, der erst nach dem Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) zu einem [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] wird. == Satz - Stammfunktion und geschlossene Wege == Sei <math>G</math> ein einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> stetig, dann sind folgende Bedingungen äquivalent. * '''(GW)''' Für beliebige geschlossene Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> die Eigenschaft ::<math> \oint_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0 </math> * '''(SF)''' die Funktion <math>f</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F</math> auf <math>G</math>. == Beweis - Stammfunktion und geschlossene Wege == Der Satz über Stammfunktionen und geschlossene Wege ist eine Äquivalenzaussage. Daher sind zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * '''(SG1)''' (SF)<math>\Rightarrow</math>(GW) Aus der Existenz von Stammfunktionen für <math>f</math> folgt, dass geschlossene Wegintegrale <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> * '''(SG2)''' (GS)<math>\Rightarrow</math>(SF) Wenn für beliebige geschlossene Wegintegrale <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> gilt, dann besitzt <math>f</math> auch Stammfunktionen. === Beweisteil SG1 === Nach Voraussetzung habe <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> und sei :<math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein beliebiger geschlossener Weg mit <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math>. ==== Schritt SG1.1: Definition des Wegintegrals ==== Für den geschlossenen Weg <math>\gamma : [a,b] \to G </math> in dem Gebiet <math> G</math> wird nun die Definition des [[Wegintegral|Wegintegrals]] verwendet. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> ==== Schritt SG1.2: Anwendung der Substitutionsregel ==== Durch Anwendung der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] auf [[Wegintegral#Stammfunktion|Wegintegrale]] erhält man: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\underbrace{\gamma(b)}_{=\gamma(a)}) - F(\gamma(a)) = 0 </math> Dabei wurde ausgenutzt, dass bei geschlossenen Wegen der Anfangs- und Endpunkt in <math>\mathbb{C}</math> übereinstimmen und <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweisteil SG2 === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] <math>G</math> ist nach Definition wegzusammenhängend, dann wählt man zu einem festen Startpunkt <math>s\in G</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> einen [[Integrationsweg]] <math>\gamma_z: [0,1] \to G</math> mit <math> \gamma_z(0) = s </math> und <math> \gamma_z(1) = z</math>. ==== Schritt SG2.1: Ziel des Beweisteils ==== Man definiert nur eine Funktion <math>F: G\to \mathbb{C}</math>, von der man im Verlaufe des Beweise nachweist, dass diese Funktion eine Stammfunktion von <math>f</math> mit <math>F'=f</math> ist. Die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wird wie folgt definiert: :<math> F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, wird im weiteren Verlauf des Beweisteils (SG2) gezeigt. ==== Schritt SG2.2: Differenzierbarkeit von F ==== Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt und berechnet zunächst die Darstellung des Differenzenquotienten. :<math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> ==== Schritt SG2.3: Offenheit von G ==== Sei <math> z \in G </math> gewählt. Da <math>G</math> offen ist, existiert ein Radius <math> r > 0 </math> und eine Kreisscheibe <math>D_r(z)</math>, die ganz in <math>G</math> liegt. Man kann man ein <math> h \in \mathbb{C} </math> so klein mit <math>|h|< r</math> wählen, dass <math> z + h \in D_r(z) \subseteq G </math> gilt. ==== Schritt SG2.4: Differenzierbarkeit von F ==== Der Zähler aus der Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] ist <math> F(z + h) - F(z)</math> und diese Differenz wird nun Definition als Wegintegral dargestellt wird und später zu einem geschlossenen Weg umgeformt. :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{z+h}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{z}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Es wird sich zeigen, dass man diese Differenz bzgl. <math> F </math> als [[Wegintegral]] über <math>f</math> von dem Punkt <math>z</math> nach <math>z+h</math> über eine [[Konvexkombination]] als Integrationsweg ausdrücken kann. ==== Schritt SG2.5: G offen ==== Da <math>G</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist, ist <math>G</math> offen. Daher existiert eine offene Kreisscheibe <math> D_r(z) := \{ \zeta \in \mathbb{C} \, : \, |\zeta - z| < r \} </math>, die ganz in <math>G</math> liegt (d.h. <math>D_r(z)\subseteq G</math>). Man möchte den Grenzwert des Differenzenquotienten :<math> \lim_{h\to 0} \frac{F(z+h)-F(z)}{h} </math> betrachten. Dafür wählt man für <math>h\to 0</math> das <math>h</math> so klein, dass <math>|h| < r</math> gilt. ==== Schritt SG2.6: Konvexkombination in G ==== Mit <math>D_r(z)\subseteq G</math> und <math>|h| < r</math> liegt die [[Konvexkombination]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_{[z,z+h]}} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_{[z,z+h]}}(t)= (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) \end{array} </math> mit <math> \gamma{\,}'\!\!_{_{[z,z+h]}}(t) = (z+h)-z = h </math> und <math>Spur(\gamma_{_{[z,z+h]}}) \subset D_r(z)\subseteq G</math>. ==== Schritt SG2.7: Konstruktion - geschlossener Weg in G ==== Man betrachtet den geschlossenen Weg <math>\gamma := \gamma_{_{z+h}} - \gamma_{_{[z+h,z]}} - \gamma_{_{z}} </math>, wobei <math> \gamma_{_{[z+h,z]}} = - \gamma_{_{[z,z+h]}}</math> und die Integration über die [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] <math>\gamma</math> unter Verwendung der Voraussetzung für geschlossene Integrationswege: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \oint_{\gamma} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & \int_{\gamma_{_{z+h}}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{_{[z+h,z]}}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{-\gamma_{_{z}}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> ==== Schritt SG2.8: Differenzdarstellung als Wegintegral ==== Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> ==== Schritt SG2.9: Differenzierbarkeit von F ==== Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> ==== Schritt SG2.10: Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot (b-a) </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. ==== Schritt SG2.11: Einsetzen der Terme ==== Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man für passende <math> t_1,t_2 \in [0,h]</math>: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> ==== Schritt SG2.12: Grenzwertprozess ==== Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde Äquivalenz <math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 0</math> für beliebige geschlossene Wege und Existenz einer holomorphen Stammfunktion <math>F</math> gezeigt mit <math> F'=f </math>, wenn <math>f</math> auf dem Gebiet <math> G</math> stetig ist. Also ist <math> F </math> als Stammfunktion holomorph mit Ableitung <math>f</math>, wobei <math>F(z)</math> über ein [[Wegintegral]] von <math> f </math> für einen Weg <math>\gamma</math> von <math>s</math> nach <math>z</math> definiert wird. Die Holomorphie von <math>f</math> selbst ist damit noch nicht nachgewiesen. Gezeigt wurde damit nur, dass die Stammfunktion <math> F </math> mit <math> F'=f </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Beispiel - Stammfunktion - Differenzierbarkeit == Die folgenden Funktion <math>f</math> auf <math>\mathbb{R}</math> zeigt, dass man zunächst einmal nicht aus der Differenzierbarkeit von <math>F</math> auch die Differenzierbarkeit von <math>f</math> folgt. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = 2\cdot |x| \end{array} </math> besitzt eine Stammfunktion <math>F(x)=|x|\cdot x </math> auf <math>\mathbb{R}</math>. <math>f</math> selbst ist aber nicht auf ganz <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar. === Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion f === Daher kann man im Allgemeinen an dieser Stelle des Kurses noch nicht folgern, dass mit der komplexen Differenzierbarkeit der Stammfunktion <math>F</math> auf <math>G</math> durch <math>F'=f</math> auch <math>f</math> [[Holomorphie|holomorph]] ist. Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) liefert als Korollar, dass jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die einmal komplex differenzierbar ist, auch unendlich oft komplex differenzierbar ist. === Aufgabe - reelle Stammfunktionen === Zeigen Sie bei dem obigen Beispiel, dass für die Funktion <math>F(x)=|x|\cdot x </math> auf <math>\mathbb{R}</math> gilt, dass <math>F'=f</math> ist. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion_auf_konvexen_Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Wegintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lrgcffu1zd50us50kspvje6mh2pmfuv 106 167888 1114048 1062568 2026-09-02T13:06:07Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Bezug reelle Analysis */ 1114048 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Integration durch Substitution''' oder die '''Substitutionsregel''' ist eine wichtige Methode in der [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]], um [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]en zu finden und [[w:de:Bestimmtes Integral|bestimmte Integrale]] auszuwerten. Die Substitutionsmethode erlaubt es, einen „komplizierten“ [[w:de:Integralrechnung#Bezeichnungen|Integranden]] durch einen „einfachen“ Integranden zu ersetzen und damit das gegebene Integral auf ein einfacher handhabbares Integral zurückzuführen. === Reelle Analysis - Transformationsatz === Der im Hintergrund der Substitutionsregel ist der [[w:de:Transformationssatz|Transformationssatz]] aus der mehrdimensionalen reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. Bei Integralen über Funktionen mehrerer Variablen kommt der [[w:de:Transformationssatz|Transformationssatz]] zur Anwendung, der allerdings eine [[w:de:Bijektivität|bijektive]] Substitutionsfunktion verlangt. === Kettenregel - Substitutionsregel === Seien <math>G_1, G_2 \subset \mathbb{C}</math> mit <math>g: G_1 \to G_2</math> und <math>f: G_2 \to \mathbb{C} </math> holomorphe Funktionen. Die Substitutionsregel der [[w:de:Integralrechnung|Integralrechnung]] ist die Umkehrung der [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] der [[w:de:Differentialrechnung|Differentialrechnung]]. :<math> (f \circ g)'(z) = f'(g(z) \cdot g'(z) </math> == Substitutionsregel für Wegintegrale == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> ein Intervall <math>G \subset \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]]. Ist <math>f \colon G \to \mathbb{C}</math> eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige]] Funktion, die <math>F \colon G \to \mathbb{C}</math> als Stammfunktion besitzt und <math>\gamma \colon [a,b] \to G</math> ein [[Integrationsweg]], so gilt :<math>\int\limits_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(x)\,\mathrm{d}x = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bemerkung - Bezug reelle Analysis=== Die Formulierung in der reellen Analysis<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Otto Forster|Otto Forster]], Florian Lindemann |Titel=Analysis 1 |Auflage=13. |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2023 |ISBN=978-3-658-40129-0 |Seiten=307}}</ref> zeigt für <math>D\subset \mathbb{R}</math> offen, <math>f \colon I \to \mathbb{R}</math> als eine [[w:de:Stetige Funktion|stetige]] Funktion auf einem reellen [[w:de:Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>I</math> und <math>\varphi \colon [a,b] \to I</math> eine [[w:de:Stetig differenzierbare Funktion|stetig differenzierbare]] Funktion, so gilt :<math>\int\limits_{a}^{b} f(\gamma(x)) \cdot \gamma'(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(t)\,\mathrm{d}t. </math> Die direkte Übertragung auf die komplexe Analysis ist so nicht möglich, da <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C} </math> komplexe Zahlen sind und durch die Darstellung <math>\int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(t)\,\mathrm{d}t </math> nicht festgelegt ist, welche Weg von <math>\gamma(a) </math> nach <math>\gamma(b) </math> gemeint ist. Verwendet man die [[Konvexkombination]] zwischen den beiden <math>\gamma(a) </math> und <math>\gamma(b) </math>, so ist ebenfalls nicht sicher, dass die Spur der Konvexkombination auch im Defintionsbereich von <math>f</math> liegt. == Beweis == Ist <math>F:G\to \mathbb{C}</math> eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>f</math>, so gilt für die Ableitung der [[w:de:Komposition (Mathematik)|zusammengesetzten Funktion]] <math>F \circ \gamma</math> nach der [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] für alle <math>t\in [a,b]</math>: :<math>(F \circ \gamma)'(t) = F'(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) = f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).</math> === Beweisschritt 1 - Stammfunktion von f === Also ist <math>F \circ \gamma</math> eine Stammfunktion von <math>(f\circ\gamma)\cdot\gamma{\,}'</math>. Durch zweimaliges Anwenden des [[w:de:Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung]] erhält man die Substitutionsregel: :<math> \int\limits_a^b f(\gamma(x))\cdot\gamma{\,}'(t)\,\mathrm dt = (F \circ \gamma)(t)\bigg\vert_a^b = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Beweisschritt 2 - Notation komplexwertige Integralgrenzen === Die Notation für <math>\gamma(a),\gamma(b) \in G\subseteq \mathbb{C}</math> :<math> \int\limits_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z)\,\mathrm d z. </math> muss in der [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] erst geklärt werden. === Beweisschritt 3 - Konvexkombination als Integrationsweg === Bei einer [[w:de:konvexe Menge|konvexem]] <math>G</math> als Definitionsbereich kann man folgenden [[Konvexkombination]] <math>\widehat{\gamma}</math> in <math>G</math> wie folgt definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\gamma} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \widehat{\gamma}(t) = (1-t)\cdot \gamma(a) + t\cdot \gamma(b) \end{array} </math> Damit gilt <math> \widehat{\gamma}{\,}'(t) = \gamma(b)-\gamma(a) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des Wegintegrals === Der linke Ausdruck wird <math> \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z)\,\mathrm d z </math> wird als Wegintegral über die [[Konvexkombination]] von <math>\gamma(a)</math> nach <math>\gamma(b)</math> interpretiert analog zum Wegintegral <math> \int_{a}^{b} f(z)\,\mathrm d z </math> als [[Wegintegral]] über die reelle Achse von <math>a=a+i0</math> nach <math>b=b+i0</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \int\limits_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z)\,\mathrm d z & = & \int\limits_{\widehat{\gamma}} f(z)\,\mathrm d z \\ & = & \int\limits_{0}^{1}f(\widehat{\gamma}(t)) \cdot \widehat{\gamma}{\,}'(t) \,\mathrm d t \\ & = & F(\widehat{\gamma}(1)) -F(\widehat{\gamma}(0)) = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Partielle Integration|Partielle Integration]] für eine weitere wichtige Methode zur Berechnung von Integralen, * [[w:de:Weierstraß-Substitution|Weierstraß-Substitution]] für bestimmte Funktionen, die [[w:de:trigonometrische Funktionen|trigonometrische Funktionen]] enthalten. == Literatur == * Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1'', 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464 * Konrad Königsberger: ''Analysis 1'', Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201 * Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 182–191 == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Integralrechnung]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Integration%20durch%20Substitution Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Integration%20durch%20Substitution Integration durch Substitution] https://de.wikipedia.org/wiki/Integration%20durch%20Substitution * Datum: 17.12.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity fz71masdxd1e8alyreb1p5qy9gf7dbl 106 167918 1114093 1076475 2026-09-02T15:57:03Z ~2026-47548-34 41860 /* Summenformel 3 */ 1114093 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist die Entwicklung der Dichte der [[Cauchy-Verteilung]] in eine Potenzreihe. Damit kann die Dichte der [[Cauchy-Verteilung]] in den komplexen Zahlen und damit auch in den reellen Zahlen summandenweise in der Potenzreihe integriert werden kann. === Cauchy-Dichtefunktion === Allgemein hat die [[Cauchy-Verteilung]] die folgende [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] mit <math>\gamma > 0</math> und <math> x_o\in \mathbb{R}</math> : <math> f_{x_o,\gamma}(x) = \frac{1}{\pi\cdot \gamma} \cdot \frac{1}{1 + \left( \frac{x-x_o}{\gamma} \right)^2} \quad \text{für} -\infty < x < +\infty </math> Der Vorfaktor <math>\frac{1}{\pi\cdot \gamma} </math> legt das Maximum der Glockenkurve an der Stelle <math>x_o\in \mathbb{R}</math> fest. === Graph der Dichtefunktion === [[Bild:Cauchy pdf.svg|center|280px|Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung]] Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter <math>x_o</math> und <math>\gamma</math>. Dabei wirkt <math>\gamma > 0 </math> wie ein Streuparameter für die Verteilung und <math>x_o</math> aus Definition der Dichtefunktion die Stelle auf der <math>x</math>-Achse fest, an dem das Maximum der Cauchy-Dichte angenommen wird. === Vereinfachte Dichtefunktion === Man betrachtet zunächst die vereinfachte Dichtefunktion mit <math>\gamma:= 1</math> und <math>z_o:=0</math>. <math> f(z) = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{(1 + z^2)} </math> Um diese Funktion in eine Potenzreihe zu entwickeln, zerlegt man nun den Nenner in die Linearfaktoren: <math> 1 + z^2 = (z - i)\cdot (z + i) </math> Die Dichte der Cauchy-Verteilung kann dann geschrieben werden als: <math> f(z) = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{(z - i)\cdot (z + i)} </math> == Potenzreihenentwicklung == Es werden zwei Vorgehen zur Potenzreihenentwicklung gezeigt: * [[/Hilfssatz/]] als Aufgabe für Studierende * [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt]] von zwei Potenzreihen, * [[w:de:Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]] === Cauchy-Produkt von Potenzreihen === Die Produktzerlegung für die beiden Nullstellen führt zur folgenden Darstellung :<math> \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{\underbrace{(z - i)\cdot (z + i)}_{=z^2+1}} = \frac{1}{z - i} \cdot \frac{1}{z + i} </math> Der 1. und 2. Bruch werden separat in eine Potenzreihendarstellung überführt und dann mit dem Cauchy-Produkt für Potenzreihen multipliziert. ==== Summand 1 als Potenzreihe ==== Der Summand wird in eine Darstellung <math>\frac{1}{1-q}</math> überführt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{z - i} & = & \displaystyle -\frac{1}{i - z} = -\frac{1}{i \underbrace{- z_o + z_o}_{=0} - z} \\ & = & \displaystyle -\frac{1}{i - z_o - (z-z_o)} \\ & = & \displaystyle -\frac{1}{i - z_o} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-z_o}{\underbrace{i - z_o}_{=q}}} = - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(i - z_o)^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> ==== Summand 2 als Potenzreihe ==== Analog wird auch der zweite Summand in eine Darstellung <math>\frac{1}{1-q}</math> überführt und als geometrische Reihe dargestellt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{z + i} & = & \displaystyle -\frac{1}{-i - z} = -\frac{1}{-i \underbrace{- z_o + z_o}_{=0} - z} \\ & = & \displaystyle -\frac{1}{-i - z_o - (z-z_o)} \\ & = & \displaystyle -\frac{1}{-i - z_o} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-z_o}{\underbrace{-i - z_o}_{=q}}} = - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-i - z_o)^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> ==== Cauchy-Produkt der Potenzreihen ==== Das Cauchy-Produkt der Potenzreihen liefert die folgende Darstellung der Dichtefunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{z - i} \cdot \frac{1}{z + i} & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{1}{(i - z_o)^{k+1}} \cdot \frac{1}{(-i - z_o)^{n-k+1}} \cdot (z-z_o)^n \\ & = & \displaystyle \frac{1}{(1 + z_o^2)} \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\sum_{k=0}^n \frac{1}{(i - z_o)^{k}} \cdot \frac{1}{(-i - z_o)^{n-k}} }_{=:c_n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Man betrachtet nun mit <math>q:=\frac{1}{i - z_o}</math> und <math>\overline{q}=\frac{1}{-i - z_o}</math> mit <math>z_o \in \mathbb{R}</math>. ==== Berechnung der Koeffizienten ==== Man zeigt nun, dass <math>c_n\in \mathbb{R}</math> reellwertig ist und betrachtet dazu den Koeffizienten <math>c_n</math> allein, wobei man über <math>c_n\cdot \frac{1}{1+z_o^2}</math> den Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> in dem Entwickungspunkt <math>z_o\in \mathbb{R}</math> erhält: :<math> c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{(i - z_o)^{k}} \cdot \frac{1}{(-i - z_o)^{n-k}} = \sum_{k=0}^n q^{k} \cdot \overline{q}^{n-k} </math> ==== Summenformel 1==== Die folgende Summenformel wird auf den obigen Term angewendet, wobei <math>\lfloor x \rfloor </math> die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] einer reellen Zahl <math> x</math> ist. Für <math> n > 1 </math> sei <math> N:=\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor </math>. ==== Summenformel 2==== Man verwendet nun die folgende Summenformel, die allgemein für <math>a,b\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \sum_{k=0}^{n} a^k\cdot b^{n-k} = \sum_{K=0}^{N} (-1)^K \cdot (a\cdot b)^{K}\cdot \begin{pmatrix} n - K \\ K \\ \end{pmatrix} \cdot (a+b)^{n-2\cdot K} </math> ==== Summenformel 3==== Setzt man für <math>a=q</math> und <math>b= \overline{q}</math> so erhält man: :<math> c_n:=\sum_{k=0}^{n} q^k\cdot \overline{q}^{n-k} = \sum_{K=0}^{N} (-1)^K \cdot (q\cdot \overline{q})^{K}\cdot \begin{pmatrix} n - K \\ K \\ \end{pmatrix} \cdot (q+\overline{q})^{n-2\cdot K} </math> wobei auf der rechten Gleichungsseite sichtbar wird, dass <math>c_n\in \mathbb{R}</math> gilt, denn neben <math>q\cdot \overline{q} = |q|^2</math> und <math>q+\overline{q} = 2\cdot Re(q) = 2\cdot q_1</math> mit <math>q=q_1 +i\cdot q_2 \in \mathbb{C}</math> kommen nur reelle Faktoren vor. ==== Summenformel 4 ==== Ferner gilt für <math>q := \frac{1}{i-z_o}</math> und <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus\{+ i,-i\}</math>: :<math> \overline{q} = \overline{\frac{1}{i-\overline{z_o}}} = \overline{\frac{-i-\overline{z_o}}{\underbrace{(-i-\overline{z_o})\cdot (i-z_o)}_{>0}}} = \frac{i-\overline{\overline{z_o}}}{(-i-\overline{z_o})\cdot (i-z_o)} = \frac{1}{-i-\overline{z_o}} </math> ==== Summenformel 5 ==== Insbesondere gilt für <math>z_o \in \mathbb{R}</math> auch <math>z_o\not=\pm i</math> und man erhält für <math>q := \frac{1}{i-z_o}</math> und <math>z_o\in \mathbb{R}</math> die konjugiert komplexe Zahl <math>\overline{q}</math> wie folgt: :<math> \overline{q} = \overline{\frac{1}{i-\overline{z_o}}} = \overline{\frac{-i-z_o}{\underbrace{(-i-z_o)\cdot (i-z_o)}_{>0}}} = \frac{i-z_o}{(-i-z_o)\cdot (i-z_o)} = \frac{1}{-i-z_o} </math> ==== Konvergenzradius ==== Die Reihe konvergiert für alle <math>z</math> mit <math>z_o\in\mathbb{R}</math>: :<math>1 > \left| \frac{z-z_o}{i - z_o} \right| = \frac{|z-z_o|}{|i-z_o|} = \frac{|z-z_o|}{\sqrt{1+z_o^2}}</math> also kann man über die Wahl von <math>z_0</math> den Konvergenzradius beliebig vergrößern :<math> |z-z_o| \leq \sqrt{1+z_o^2}</math> ==== Reeller Konvergenzbereich ==== Der Konvergenzbereich enthält auf der reellen Achse bei positivem <math>z_o</math> die Menge <math>[0,2z_0]</math> und bei negativem <math>z_0</math> zumindest <math>[-2z_0,0]</math>. === Partialbruchzerlegung === Um die Potenzreihe zu entwickeln, betrachten wir die Partialbruchzerlegung: <math> \frac{1}{(z - i)(z + i)} = \frac{A}{z - i} + \frac{B}{z + i} </math> ==== Koeffizientenvergleich 1 ==== Über den Vergleich der Zähler erhält man die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 1= 1+0i & = & A(z + i) + B(z - i) \\ & = & Az + Ai + Bz - Bi \\ & = & (A+B)z + i(A-B) \end{array} </math> ==== Koeffizientenvergleich 2 ==== Durch Koeffizientenvergleich erhält man <math>(A+B)z= 1</math> und <math>A-B=0</math> und durch Lösung des Gleichungssystems dann <math>A=B= \frac{1}{2z}</math> für <math>z\not= 0</math>. :<math> \begin{array}{rcll} 0 & = & A-B & \implies \\ A & = & B & (\ast) \\ 1 & = & (A+B)\cdot z = 2 \cdot A \cdot z & \implies \\ A & = & B = \displaystyle \frac{1}{2z} \end{array} </math> ==== Koeffizientenvergleich 3 ==== Somit ergibt sich eine Partialbruchzerlegung für <math>z\not= 0</math>: :<math> \frac{1}{(z - i)\cdot (z + i)} = \frac{1}{2z} \cdot \left( \frac{1}{z - i} + \frac{1}{z + i} \right) </math> ==== Dichtefunktion im Komplexen ==== Die Dichte der [[Cauchy-Verteilung]] kann dann für <math>z\not= 0</math> wie folgt geschrieben werden als: <math> f(z) = \frac{1}{2\pi z} \cdot \left( \frac{1}{z - i} + \frac{1}{z + i} \right) </math> Diese Darstellung kann in eine [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihe]] lokal um <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus\{+i,-i,0\}</math> entwickelt werden, indem man die geometrische Reihe für die Terme <math>\frac{1}{2\pi z}</math>, <math>\frac{1}{z - i}</math> und <math>\frac{1}{z + i}</math> verwendet. ==== Darstellung der Summanden als Potenzreihe ==== Man betrachtet nun einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{+i,-i,0\}</math> und erhält analog zum Cauchy-Produkt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{2\pi z} & = & \displaystyle - \frac{1}{2\pi \cdot z_0} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-z_0}{z_0}} \\ & = & \displaystyle - \frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z_o^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \displaystyle \frac{1}{z - i} & = & \displaystyle - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(i - z_o)^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \displaystyle \frac{1}{z + i} & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-i - z_o)^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> ==== Konvergenzradius der Reihe ==== Durch das Cauchy-Produkt der 3 obigen Potenzreihen entsteht eine neue Potenzreihe mit dem Konvergenzradius <math>r = \min \{|z_0-i|,|z_0+i|,|z_0|\}</math> mit einem beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{+i,-i,0\}</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Binomischer Lehrsatz|Binomischer Lehrsatz]] * [[Cauchy-Kern]] * [[Cauchy-Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Siebformel|Siebformel als alternierende Summe in der Stochastik]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Vorgehen bei der Potenzreihenentwicklung mittels geometrischer Reihe]] m1cz2fdmdndmekei6en2xvdet7oudzh 106 168363 1114102 1067564 2026-09-02T16:25:16Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 2 - Rechenregeln für die Konjugation */ 1114102 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Lemma über komplexe Nullstellen von Polynomen mit reellwertigen Koeffizienten besagt, dass komplexe Nullstellen solcher Polynome immer in konjugierten Paaren auftreten. Hier ist der Beweis dieses Lemmas, ein konkretes Beispiel und die Verbindung zum Fundamentalsatz der Algebra. == Lemma - komplexe Nullstellen von Polynomen mit reellwertigen Koeffizienten == Sei <math> f \in \mathbb{R}[x]</math> ein Polynom mit reellwertigen Koeffizienten. Man betrachtet nun <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Abbildung mit komplexen Definitions- und Wertebereich. Wenn <math> z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R} </math> eine komplexe Nullstelle von <math> f </math> ist, dann ist auch <math> \overline{z}=z_1-iz_2 </math> eine Nullstelle von <math> f </math>. == Beweis - Nullstellenlemma == Sei <math> f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 </math> ein Polynom vom Grad <math> n\in\mathbb{N} </math>, wobei <math> a_i \in \mathbb{R} </math> für alle <math> i \in \{0,\ldots , n\}</math>. === Beweisschritt 1 - Komplexe Nullstelle beliebig wählen=== Sei <math> z = z_1 + iz_2 \in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R} </math> eine beliebige komplexe Nullstelle mit <math>z_2 \not=0</math> wegen <math> z \in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>, dann gilt für <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> zunächst <math> f(z) = 0</math>. Es ist nun zu zeigen, dass es auch eine zweite Nullstelle <math>\overline{z}=z_1-iz_2</math> mit <math> f(\overline{z}) = 0 </math> gibt. === Beweisschritt 2 - Rechenregeln für die Konjugation === In den folgenden Beweisschritten verwendet man die Rechenregeln der Konjugation für <math>v,w\in \mathbb{C}</math> * <math> \overline{v+w} = \overline{v} + \overline{w}</math> * <math> \overline{v\cdot w} = \overline{v} \cdot \overline{w}</math> * <math> \overline{v^n} = \overline{v}^n </math> === Beweisschritt 3 - Rechenregeln für die Konjugation === Wendet man diese Rechenregel auf <math> f(z) = 0</math> an, dann gilt: :<math> f(z) = 0 \Longrightarrow \overline{f(z)} = \overline{0+0i} = \overline{0-0i} = 0 </math> Ferner hat <math>f</math> die folgende Darstellung: :<math> f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0 </math> Da die Koeffizienten <math> a_i </math> reell sind, gilt: :<math> \overline{f(z)} = \overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0} </math> Da die Konjugation eine lineare Operation ist und die Koeffizienten reell sind, gilt: :<math> \overline{f(z)} = a_n \overline{z^n} + a_{n-1} \overline{z^{n-1}} + \cdots + a_1 \overline{z} + a_0 </math> Nun verwenden wir die Eigenschaft der Konjugation, dass <math> \overline{z^k} = (\overline{z})^k </math> für alle <math> k \in \mathbb{N} </math>: :<math> \overline{f(z)} = a_n (\overline{z})^n + a_{n-1} (\overline{z})^{n-1} + \cdots + a_1 (\overline{z}) + a_0 </math> Da <math> f(z) = 0 </math>, gilt auch <math> \overline{f(z)} f(\overline{z}) = 0 </math>. Also: :<math> a_n (\overline{z})^n + a_{n-1} (\overline{z})^{n-1} + \cdots + a_1 (\overline{z}) + a_0 = 0 </math> Das bedeutet, dass <math> \overline{z} </math> ebenfalls eine Nullstelle von <math> P(x) </math> ist. :<math> \blacksquare </math> == Konkretes Beispiel == Betrachtet man das Polynom <math> f(x) = x^2 + x + 1 </math>. Die Nullstellen dieses Polynoms sind die Lösungen der Gleichung <math> x^2 + x + 1 = 0 </math>. Verwenden wir die quadratische Formel: :<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> Hier ist <math> a = 1 </math>, <math> b = 1 </math> und <math> c = 1 </math>: :<math> x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} </math> Die Nullstellen sind also: :<math> z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \quad \text{und} \quad z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} </math> Man sieht, dass <math> z_2 = \overline{z_1} </math>. == Verbindung zum Fundamentalsatz der Algebra == Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Nullstelle hat. Insbesondere bedeutet dies, dass ein Polynom vom Grad <math> n </math> genau <math> n </math> komplexe Nullstellen hat (mit Vielfachheit gezählt). === Nullstellenpaare für nicht reelle Nullstellen === Für Polynome mit reellwertigen Koeffizienten bedeutet dies, dass alle komplexen Nullstellen, die nicht reell sind, in konjugierten Paaren auftreten müssen. Dies folgt direkt aus dem obigen Lemma. Nullstelle <math>z=z_1 + i z_2 \in \mathbb{C}</math> von <math>f</math>, die nicht reellwertig sind (d.h. <math>z_2 \not=0</math>) treten immer als Nullstellenpaare <math>z,\overline{z}</math> bei Nullstellen auf. === Ungerader Grad des Polynoms === Ferner haben Polynome vom Grad <math>n</math> unter Berücksichtigung der Vielfachheit <math>n</math> Nullstellen. Ist <math>n=2k+1</math> mit <math>k\in \mathbb{N}_0</math> ungerade, dann muss das Polynom <math>f</math> mit reellen Koeffizienten mindestens eine reellwertig Nullstelle besitzen, da Nullstelle <math>z=z_1 + i z_2 \in \mathbb{C}</math> mit <math>z_2 \not=0</math> als Nullstellenpaare <math>z,\overline{z}</math> bei Nullstellen auftreten werden. == Zusammenfassung == * Das Lemma besagt, dass komplexe Nullstellen von Polynomen mit reellwertigen Koeffizienten in konjugierten Paaren auftreten. * Ein konkretes Beispiel ist das Polynom <math> x^2 + x + 1 </math>, dessen Nullstellen <math> \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} </math> und <math> \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} </math> sind. * Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass jedes nicht-konstante Polynom mindestens eine komplexe Nullstelle hat, und für Polynome mit reellwertigen Koeffizienten bedeutet dies, dass nicht-reelle Nullstellen <math>z_0</math> in konjugierten Paaren <math> \{z_0, \overline{z_0}\}</math> auftreten. Diese Verbindung zeigt, wie grundlegende Eigenschaften von Polynomen und komplexen Zahlen zusammenwirken, um wichtige Ergebnisse in der Algebra zu erzielen. == Siehe auch == * [[Fundamentalsatz der Algebra]] ebe9fk8zjehz84eggflb1bur5esyglo 0 169973 1114095 1075799 2026-09-02T16:01:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Datenpunkte für unbekannte Funktion */ 1114095 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die Gaußsche Fehlerfunktion, zur Fehlerfunktion in der [[w:de:Approximationstheorie|Approximationstheorie]], welche eine orientierten Fehler als [[w:de:Subtraktion|Differenz]] <math>f-g</math> zwischen einer (oft unbekannten) Funktion <math>f:\mathbb{D}\to \mathbb{W}</math> und ihrer Approximation <math>g:\mathbb{D}\to \mathbb{W}</math> beschreibt. === Datenpunkte für unbekannte Funktion === In der Praxis besteht das "Wissen über die unbekannten Funktion" <math>f</math> in der Regel aus Datenpaaren <math>(x_i,y_i)\in \mathbb{D}\times \mathbb{W}</math> mit <math>i\in \mathbb{N}</math>. Dabei versucht man in der [[w:de:Approximationstheorie|Approximationstheorie]] bzw. bei der Verwendung einer [[w:de:Verlustfunktion (Statistik)|Verlustfunktion (Statistik)]] den Fehler zwischen <math>g(x_i)</math> und <math>y_i</math> zu minimieren. === Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion=== Die Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion ist eine wesentliche Eigenschaft, um Methoden aus der [[Kurs:Numerik|numerischen Mathematik]] verwenden zu können, die die Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion benötigen. === Graph der Fehlerfunktion === [[Datei:Error function.svg|360px|center|Graph der Fehlerfunktion]] == Definition als Integral == Als '''Fehlerfunktion''' oder ''Gaußsche Fehlerfunktion'' bezeichnet man in der Theorie der [[w:de:Spezielle Funktion|speziellen Funktionen]] die durch das Integral : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math> definierte Funktion.<ref>Bronstein, Semendjajew, ''Taschenbuch der Mathematik'', 6. Auflage, S. 782</ref> === Bezeichnungen === Die Bezeichnung <math>\operatorname{erf}(x)</math> kommt von '''''er'''ror '''f'''unction''. === Aufgabe für Studierende - Differenzierbarkeit === Erläutern Sie, warum die Fehlerfunktion differenzierbar ist! ==== Bemerkung - Wert im Nullpunkt ==== Durch die obige Definition ist der Wert der Fehlerfunktion im Nullpunkt eindeutig festgelegt, denn es gilt: : <math>\operatorname{erf}(0) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^0 e^{-t^2}\,\mathrm dt = 0</math> ==== Bemerkung - Reihendarstellung des Integranden ==== Der Integrand <math>e^{-t^2} </math> hat über die Reihendarstellung der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] die folgenden Reihendarstellung: :<math> e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n} </math> === Fehlerfunktion als Stammfunktion === Mit der obigen Definition als Integral ist die Fehlerfunktion <math>er\!f</math> eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\tfrac 2{\sqrt\pi}\cdot e^{-t^2}</math>. Durch <math>\operatorname{erf}(0)=0</math> ist auch die Konstante als <math>0</math> der Taylorreihe der Stammfunktion eindeutig festgelegt. Daher hat die Taylorreihe von <math>erf</math> folgende Darstellung: :<math> \operatorname{erf}(z) = \tfrac 2{\sqrt\pi}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot t^{2n+1} </math> Für ein reelles Argument <math>x</math> ist <math>\operatorname{erf}</math> eine [[w:de:reellwertige Funktion|reellwertige Funktion]], da die Koeffizienten der [[Taylorreihe]] alle reellwertig sind. === Sigmoide Funktion === Die Fehlerfunktion ist eine [[w:de:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]], findet Anwendung in der [[w:de:Statistik|Statistik]] und in der Theorie der [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] und hängt eng mit dem [[w:de:Fehlerintegral|Fehlerintegral]] zusammen. == Entwicklung als Taylor-Reihe == Der Integrand der Fehlerfunktion hat folgende Reihendarstellung: : <math>e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n}</math> Diese ergibt sich direkt durch Einsetzen des Terms <math>-t^2</math> in die Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Mit komplexem Argument <math>t\in \mathbb{C}</math> ist der Integrand eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen === Auf Kreisschreiben <math>\overline{D_r(0)} \subset \mathbb{C}</math> konvergieren die Taylorsummen <math>\textstyle f_{_N}(t) = \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n}</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen den Integranden <math>e^{-t^2}</math> der Fehlerfunktion. Daher kann man die Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(0)}</math> durch summandenweise Integration bilden. === Anwendung des Identitätssatzes === Mit dem [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] kann man die Stammfunktion des Integranden als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] auf <math>\mathbb{C}</math> erweitern. Dies liefert eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>e^{-t^2}</math>: : <math>F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot x^{2n+1}</math> Mit <math>F(0)=0</math> kann man diese Potenzreihendarstellung für <math>\operatorname{erf}(x)</math> auch für <math>x\in\mathbb{R}</math> verwenden. : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot x^{2n+1} </math> === Komplementäre Fehlerfunktion === Die ''komplementäre'' (bzw. ''konjugierte'') ''Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erfc}(x)</math> ist gegeben durch : <math> \begin{array}{rcl} \operatorname{erfc}(x) & = & 1 - \operatorname{erf}(x) \\ & = & \displaystyle \frac 2{\sqrt\pi} \int_x^\infty e^{-t^2}\,\mathrm dt. \end{array} </math> === Punktsymmetrie des Graphen === Die Punktsymmetrie des Graphen der Fehlerfunktion ergibt sich direkt über die ungeraden Exponenten mit <math>F(-x)=-F(x)</math>. Daher erfüllt sowohl <math>\operatorname{erf}</math> als auch <math>\operatorname{erfc}</math> die folgende Eigenschaften: : <math> \operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x) \quad \operatorname{erfc}(-x) = -\operatorname{erfc}(x) </math> === Verallgemeinerte Fehlerfunktion === Die ''verallgemeinerte Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erf}(a,b)</math> wird durch das [[w:de:Integralrechnung|Integral]] : <math>\operatorname{erf}(a,b) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_a^b e^{-t^2}\,\mathrm dt = \frac 2{\sqrt\pi} \cdot (F(b)-F(a))</math> definiert. == Eigenschaften == Es gilt: : <math>\operatorname{erf}(a,b)=\operatorname{erf}(b)-\operatorname{erf}(a)</math> Die Fehlerfunktion ist [[w:de:Gerade und ungerade Funktionen|ungerade]]: : <math>\operatorname{erf} (-x) = -\operatorname{erf} (x)</math> Das uneigentliche Integral von <math>-\infin</math> bis <math>+\infin</math> ist : <math>\frac 2{\sqrt\pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt = 2</math> Außerdem gilt: : <math> \operatorname{erf}(x)^2 = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{1-\exp[-x^2(y^2+1)]}{y^2+1} \mathrm{d}y </math> == Verwendung == * Verwandtschaft mit der [[Normalverteilung]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] * [[w:de:Wärmeleitungsgleichung|Wärmeleitungsgleichung]] === Verwandtschaft mit der Normalverteilung === Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]]. Sie hat jedoch eine [[w:de:Zielmenge|Zielmenge]] von <math>(-1,1)</math>, während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich <math>[0,1]</math> annehmen muss. ==== Darstellung der Standardnormalverteilung mit Fehlerfunktion ==== Es gilt für die [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] : <math> \begin{array}{rcl} \Phi(x) & = & \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt 2}\right)\right) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\cdot (2n+1)} \cdot \left(\frac{-1}{2}\right)^n \cdot x^{2n+1} \end{array} </math> ==== Verteilungsfunktion - Normalverteilung ==== Für die Verteilungsfunktion <math>F</math> einer beliebigen Normalverteilung mit [[w:de:Standardabweichung (Stochastik)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> und [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> : <math>F(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt 2}\right)\right).</math> === Messreihe - Messfehler === Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer [[w:de:Messreihe|Messreihe]] vom gemeinsamen [[w:de:Mittelwert|Mittelwert]] durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung <math>\sigma</math> und Erwartungswert&nbsp;0 beschrieben werden können, dann ist <math>\textstyle \operatorname{erf}\left(\frac a{\sigma \sqrt 2}\right)</math> die Wahrscheinlichkeit, mit der der [[w:de:Messfehler|Messfehler]] einer einzelnen Messung zwischen <math>-a</math> und <math>+a</math> liegt (für positives <math>a</math>). === Pseudozufallszahlen === Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der [[w:de:Inversionsmethode|Inversionsmethode]] normalverteilte [[w:de:Pseudozufallszahl|Pseudozufallszahl]]en zu generieren.<ref>Für eine konkrete Implementierung siehe z.&nbsp;B. Peter John Acklam: {{Webarchiv |url=http://home.online.no/~pjacklam/notes/invnorm/ |text=''An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function''. |wayback=20070505093933}}</ref> === Wärmeleitungsgleichung === Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der [[w:de:Wärmeleitungsgleichung|Wärmeleitungsgleichung]] vor, wenn [[w:de:Randwertproblem|Randwertbedingungen]] durch die [[w:de:Heaviside-Funktion|Heaviside-Funktion]] vorgegeben sind. == Numerische Berechnung == Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss [[w:de:Numerische Mathematik|numerisch]] bestimmt werden. === Berechnung für kleine Werte - Taylorreihe === Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der [[w:de:Taylorreihe|Reihenentwicklung]] : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - \dotsb \right),</math> === Berechnung für große Werte - Kettenbruch === Für große reelle Werte mit der [[w:de:Kettenbruch|Kettenbruchentwicklung]] : <math>\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt\pi}\cdot\frac{e^{-x^2}}{x + \frac 1{2x + \frac 2{x + \frac 3{2x + \frac 4{x + \dotsb}}}}}.</math> ===Approximation für komplexen Wertebereich === Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von <math>1{,}2\cdot10^{-7}</math>:<ref>''Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing''. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.</ref> : <math>\operatorname{erf}(x)\approx\begin{cases} 1-\tau(x)\text{,} & \text{falls }x\ge 0 \text{,} \\ \tau(-x)-1 & \text{sonst,} \end{cases}</math> mit : <math>\begin{array}{rcl} \tau(x) & = & t\cdot\exp\bigl(-x^{2}-1{,}26551223+1{,}00002368\cdot t+0{,}37409196\cdot t^{2}+0{,}09678418\cdot t^{3}\\ & & \qquad-0{,}18628806\cdot t^{4}+0{,}27886807\cdot t^{5}-1{,}13520398\cdot t^{6}+1{,}48851587\cdot t^7\\ & & \qquad-0{,}82215223\cdot t^{8}+0{,}17087277\cdot t^{9}\bigr) \end{array}</math> und : <math>t=\frac{1}{1+0{,}5\,|x|}.</math> === Konvergenzgeschwindigkeit - Bürmann-Theorem === Eine für alle reellen Werte von <math>x</math> schnell konvergierende Entwicklung<ref>H. M. Schöpf, P. H. Supancic: [http://www.mathematica-journal.com/2014/11/on-burmanns-theorem-and-its-application-to-problems-of-linear-and-nonlinear-heat-transfer-and-diffusion/#more-39602/ ''On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion''.] In: ''The Mathematica Journal'', 2014. [[doi:10.3888/tmj.16-11]].</ref> erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:<ref>Moritz Cantor: Bürmann, Heinrich. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 47, Duncker & Humblot, Leipzig 1903, S. 392–394.</ref><ref>E. W. Weisstein: [http://mathworld.wolfram.com/BuermannsTheorem.html ''Bürmann’s Theorem''.] mathworld</ref> : <math>\begin{align}\operatorname{erf}(x)&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(1-\frac{1}{12}\left(1-e^{-x^2}\right)-\frac{7}{480}\left(1-e^{-x^2}\right)^2-\frac{5}{896}\left(1-e^{-x^2}\right)^3-\frac{787}{276 480}\left(1-e^{-x^2}\right)^4-\ \cdots\right) \\ &=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\sum_{k=1}^\infty c_k e^{-k \, x^2}\right)\end{align}</math> ==== Fehlerabschätzung für die Näherung ==== Durch geeignete Wahl von <math>c_{1}</math> und <math>c_{2}</math> ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei <math>\textstyle x=\pm 1{,}3796 </math> kleiner als <math>\textstyle 3{,}6127\cdot10^{-3}</math> ist: :<math>\operatorname{erf}(x)\approx \frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\frac{31}{200}\,e^{-x^2}-\frac{341}{8000}\,e^{-2\,x^2}\right)</math> == Komplexe Fehlerfunktion == [[Datei:Erf(z).png|mini|Die komplexe Fehlerfunktion <math>\operatorname{erf}(z)</math> im Bereich <math>-3 < \operatorname{Im}(z) < 3</math> und <math>-3 < \operatorname{Re}(z) < 3</math>. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.]] Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente <math>z</math> ausgeweitet werden: : <math>\operatorname{erf}(z) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^z e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau</math> In diesem Fall ist <math> \operatorname{erf} </math> eine [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Unter [[w:de:Komplexe Konjugation|komplexer Konjugation]] gilt : <math>\operatorname{erf} (z^{*}) = \operatorname{erf}(z)^{*} </math>. === Imaginäre Fehlerfunktion === Die ''imaginäre Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erfi}(x)</math> ist gegeben durch : <math>\operatorname{erfi}(x) = \frac{\operatorname{erf}(\mathrm ix)}{\mathrm i}</math> mit der Reihenentwicklung : <math>\operatorname{erfi}(x) = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} + \dotsb \right)</math>. === Zusammenhang - Faddeeva-Funktion === Zur Berechnung können <math>\operatorname{erf, erfi, erfc}</math> und weitere verwandte Funktionen auch durch die [[w:de:Faddeeva-Funktion|Faddeeva-Funktion]] <math>w(z)</math> ausgedrückt werden. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den [[w:de:Dawson-Integral|Dawson-Integral]]en und dem [[w:de:Voigt-Profil|Voigt-Profil]] verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek ''libcerf'' zur Verfügung.<ref>Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: [https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf libcerf.]</ref> == Literatur == * [[w:de:Milton Abramowitz|Milton Abramowitz]], [[w:de:Irene Stegun|Irene A. Stegun]] (Hrsg.): ''[[w:de:Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]].'' Dover, New York 1972, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm Chapter&nbsp;7.] * William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery: ''[[w:de:Numerical Recipes in&nbsp;C|Numerical Recipes in&nbsp;C]]''. 2. Auflage. Cambridge 1992, [http://www.nrbook.com/a/bookcpdf/c6-2.pdf S. 220 ff.] (PDF; 76&nbsp;kB) * [[w:de:Ilja Nikolajewitsch Bronstein|Bronstein, I.N.]] und [[w:de:Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|Semendjajew, K.A.]], ''[[w:de:Taschenbuch der Mathematik|Taschenbuch der Mathematik]]'', 6. Auflage, [[w:de:Verlag Harri Deutsch|Verlag Harri Deutsch]], Frankfurt am Main 2005, S. 782 == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Normalverteilung]] * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Identitätssatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion Fehlerfunktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Mathematische Funktion]] [[Category:Wiki2Reveal]] 3pmx0nmdqehonlf2drvkrpk3edu9bgk 1114096 1114095 2026-09-02T16:04:43Z ~2026-47548-34 41860 /* Datenpunkte für unbekannte Funktion */ 1114096 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die Gaußsche Fehlerfunktion, zur Fehlerfunktion in der [[w:de:Approximationstheorie|Approximationstheorie]], welche eine orientierten Fehler als [[w:de:Subtraktion|Differenz]] <math>f-g</math> zwischen einer (oft unbekannten) Funktion <math>f:\mathbb{D}\to \mathbb{W}</math> und ihrer Approximation <math>g:\mathbb{D}\to \mathbb{W}</math> beschreibt. === Datenpunkte für unbekannte Funktion === In der Praxis besteht das "Wissen über die unbekannten Funktion" <math>f</math> in der Regel aus Datenpaaren <math>(x_i,y_i)\in \mathbb{D}\times \mathbb{W}</math> mit <math>i\in \mathbb{N}</math>. Dabei versucht man in der [[w:de:Approximationstheorie|Approximationstheorie]] bzw. bei der Verwendung einer [[w:de:Verlustfunktion (Statistik)|Verlustfunktion (Statistik)]] den Fehler zwischen <math>g(x_i)</math> und <math>y_i</math> innerhalb einer Klasse von Funktionen für <math> g</math> zu minimieren. === Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion=== Die Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion ist eine wesentliche Eigenschaft, um Methoden aus der [[Kurs:Numerik|numerischen Mathematik]] verwenden zu können, die die Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion benötigen. === Graph der Fehlerfunktion === [[Datei:Error function.svg|360px|center|Graph der Fehlerfunktion]] == Definition als Integral == Als '''Fehlerfunktion''' oder ''Gaußsche Fehlerfunktion'' bezeichnet man in der Theorie der [[w:de:Spezielle Funktion|speziellen Funktionen]] die durch das Integral : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math> definierte Funktion.<ref>Bronstein, Semendjajew, ''Taschenbuch der Mathematik'', 6. Auflage, S. 782</ref> === Bezeichnungen === Die Bezeichnung <math>\operatorname{erf}(x)</math> kommt von '''''er'''ror '''f'''unction''. === Aufgabe für Studierende - Differenzierbarkeit === Erläutern Sie, warum die Fehlerfunktion differenzierbar ist! ==== Bemerkung - Wert im Nullpunkt ==== Durch die obige Definition ist der Wert der Fehlerfunktion im Nullpunkt eindeutig festgelegt, denn es gilt: : <math>\operatorname{erf}(0) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^0 e^{-t^2}\,\mathrm dt = 0</math> ==== Bemerkung - Reihendarstellung des Integranden ==== Der Integrand <math>e^{-t^2} </math> hat über die Reihendarstellung der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] die folgenden Reihendarstellung: :<math> e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n} </math> === Fehlerfunktion als Stammfunktion === Mit der obigen Definition als Integral ist die Fehlerfunktion <math>er\!f</math> eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\tfrac 2{\sqrt\pi}\cdot e^{-t^2}</math>. Durch <math>\operatorname{erf}(0)=0</math> ist auch die Konstante als <math>0</math> der Taylorreihe der Stammfunktion eindeutig festgelegt. Daher hat die Taylorreihe von <math>erf</math> folgende Darstellung: :<math> \operatorname{erf}(z) = \tfrac 2{\sqrt\pi}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot t^{2n+1} </math> Für ein reelles Argument <math>x</math> ist <math>\operatorname{erf}</math> eine [[w:de:reellwertige Funktion|reellwertige Funktion]], da die Koeffizienten der [[Taylorreihe]] alle reellwertig sind. === Sigmoide Funktion === Die Fehlerfunktion ist eine [[w:de:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]], findet Anwendung in der [[w:de:Statistik|Statistik]] und in der Theorie der [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] und hängt eng mit dem [[w:de:Fehlerintegral|Fehlerintegral]] zusammen. == Entwicklung als Taylor-Reihe == Der Integrand der Fehlerfunktion hat folgende Reihendarstellung: : <math>e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n}</math> Diese ergibt sich direkt durch Einsetzen des Terms <math>-t^2</math> in die Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Mit komplexem Argument <math>t\in \mathbb{C}</math> ist der Integrand eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen === Auf Kreisschreiben <math>\overline{D_r(0)} \subset \mathbb{C}</math> konvergieren die Taylorsummen <math>\textstyle f_{_N}(t) = \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n}</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen den Integranden <math>e^{-t^2}</math> der Fehlerfunktion. Daher kann man die Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(0)}</math> durch summandenweise Integration bilden. === Anwendung des Identitätssatzes === Mit dem [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] kann man die Stammfunktion des Integranden als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] auf <math>\mathbb{C}</math> erweitern. Dies liefert eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>e^{-t^2}</math>: : <math>F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot x^{2n+1}</math> Mit <math>F(0)=0</math> kann man diese Potenzreihendarstellung für <math>\operatorname{erf}(x)</math> auch für <math>x\in\mathbb{R}</math> verwenden. : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot x^{2n+1} </math> === Komplementäre Fehlerfunktion === Die ''komplementäre'' (bzw. ''konjugierte'') ''Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erfc}(x)</math> ist gegeben durch : <math> \begin{array}{rcl} \operatorname{erfc}(x) & = & 1 - \operatorname{erf}(x) \\ & = & \displaystyle \frac 2{\sqrt\pi} \int_x^\infty e^{-t^2}\,\mathrm dt. \end{array} </math> === Punktsymmetrie des Graphen === Die Punktsymmetrie des Graphen der Fehlerfunktion ergibt sich direkt über die ungeraden Exponenten mit <math>F(-x)=-F(x)</math>. Daher erfüllt sowohl <math>\operatorname{erf}</math> als auch <math>\operatorname{erfc}</math> die folgende Eigenschaften: : <math> \operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x) \quad \operatorname{erfc}(-x) = -\operatorname{erfc}(x) </math> === Verallgemeinerte Fehlerfunktion === Die ''verallgemeinerte Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erf}(a,b)</math> wird durch das [[w:de:Integralrechnung|Integral]] : <math>\operatorname{erf}(a,b) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_a^b e^{-t^2}\,\mathrm dt = \frac 2{\sqrt\pi} \cdot (F(b)-F(a))</math> definiert. == Eigenschaften == Es gilt: : <math>\operatorname{erf}(a,b)=\operatorname{erf}(b)-\operatorname{erf}(a)</math> Die Fehlerfunktion ist [[w:de:Gerade und ungerade Funktionen|ungerade]]: : <math>\operatorname{erf} (-x) = -\operatorname{erf} (x)</math> Das uneigentliche Integral von <math>-\infin</math> bis <math>+\infin</math> ist : <math>\frac 2{\sqrt\pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt = 2</math> Außerdem gilt: : <math> \operatorname{erf}(x)^2 = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{1-\exp[-x^2(y^2+1)]}{y^2+1} \mathrm{d}y </math> == Verwendung == * Verwandtschaft mit der [[Normalverteilung]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] * [[w:de:Wärmeleitungsgleichung|Wärmeleitungsgleichung]] === Verwandtschaft mit der Normalverteilung === Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]]. Sie hat jedoch eine [[w:de:Zielmenge|Zielmenge]] von <math>(-1,1)</math>, während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich <math>[0,1]</math> annehmen muss. ==== Darstellung der Standardnormalverteilung mit Fehlerfunktion ==== Es gilt für die [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] : <math> \begin{array}{rcl} \Phi(x) & = & \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt 2}\right)\right) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\cdot (2n+1)} \cdot \left(\frac{-1}{2}\right)^n \cdot x^{2n+1} \end{array} </math> ==== Verteilungsfunktion - Normalverteilung ==== Für die Verteilungsfunktion <math>F</math> einer beliebigen Normalverteilung mit [[w:de:Standardabweichung (Stochastik)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> und [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> : <math>F(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt 2}\right)\right).</math> === Messreihe - Messfehler === Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer [[w:de:Messreihe|Messreihe]] vom gemeinsamen [[w:de:Mittelwert|Mittelwert]] durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung <math>\sigma</math> und Erwartungswert&nbsp;0 beschrieben werden können, dann ist <math>\textstyle \operatorname{erf}\left(\frac a{\sigma \sqrt 2}\right)</math> die Wahrscheinlichkeit, mit der der [[w:de:Messfehler|Messfehler]] einer einzelnen Messung zwischen <math>-a</math> und <math>+a</math> liegt (für positives <math>a</math>). === Pseudozufallszahlen === Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der [[w:de:Inversionsmethode|Inversionsmethode]] normalverteilte [[w:de:Pseudozufallszahl|Pseudozufallszahl]]en zu generieren.<ref>Für eine konkrete Implementierung siehe z.&nbsp;B. Peter John Acklam: {{Webarchiv |url=http://home.online.no/~pjacklam/notes/invnorm/ |text=''An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function''. |wayback=20070505093933}}</ref> === Wärmeleitungsgleichung === Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der [[w:de:Wärmeleitungsgleichung|Wärmeleitungsgleichung]] vor, wenn [[w:de:Randwertproblem|Randwertbedingungen]] durch die [[w:de:Heaviside-Funktion|Heaviside-Funktion]] vorgegeben sind. == Numerische Berechnung == Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss [[w:de:Numerische Mathematik|numerisch]] bestimmt werden. === Berechnung für kleine Werte - Taylorreihe === Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der [[w:de:Taylorreihe|Reihenentwicklung]] : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - \dotsb \right),</math> === Berechnung für große Werte - Kettenbruch === Für große reelle Werte mit der [[w:de:Kettenbruch|Kettenbruchentwicklung]] : <math>\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt\pi}\cdot\frac{e^{-x^2}}{x + \frac 1{2x + \frac 2{x + \frac 3{2x + \frac 4{x + \dotsb}}}}}.</math> ===Approximation für komplexen Wertebereich === Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von <math>1{,}2\cdot10^{-7}</math>:<ref>''Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing''. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.</ref> : <math>\operatorname{erf}(x)\approx\begin{cases} 1-\tau(x)\text{,} & \text{falls }x\ge 0 \text{,} \\ \tau(-x)-1 & \text{sonst,} \end{cases}</math> mit : <math>\begin{array}{rcl} \tau(x) & = & t\cdot\exp\bigl(-x^{2}-1{,}26551223+1{,}00002368\cdot t+0{,}37409196\cdot t^{2}+0{,}09678418\cdot t^{3}\\ & & \qquad-0{,}18628806\cdot t^{4}+0{,}27886807\cdot t^{5}-1{,}13520398\cdot t^{6}+1{,}48851587\cdot t^7\\ & & \qquad-0{,}82215223\cdot t^{8}+0{,}17087277\cdot t^{9}\bigr) \end{array}</math> und : <math>t=\frac{1}{1+0{,}5\,|x|}.</math> === Konvergenzgeschwindigkeit - Bürmann-Theorem === Eine für alle reellen Werte von <math>x</math> schnell konvergierende Entwicklung<ref>H. M. Schöpf, P. H. Supancic: [http://www.mathematica-journal.com/2014/11/on-burmanns-theorem-and-its-application-to-problems-of-linear-and-nonlinear-heat-transfer-and-diffusion/#more-39602/ ''On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion''.] In: ''The Mathematica Journal'', 2014. [[doi:10.3888/tmj.16-11]].</ref> erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:<ref>Moritz Cantor: Bürmann, Heinrich. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 47, Duncker & Humblot, Leipzig 1903, S. 392–394.</ref><ref>E. W. Weisstein: [http://mathworld.wolfram.com/BuermannsTheorem.html ''Bürmann’s Theorem''.] mathworld</ref> : <math>\begin{align}\operatorname{erf}(x)&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(1-\frac{1}{12}\left(1-e^{-x^2}\right)-\frac{7}{480}\left(1-e^{-x^2}\right)^2-\frac{5}{896}\left(1-e^{-x^2}\right)^3-\frac{787}{276 480}\left(1-e^{-x^2}\right)^4-\ \cdots\right) \\ &=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\sum_{k=1}^\infty c_k e^{-k \, x^2}\right)\end{align}</math> ==== Fehlerabschätzung für die Näherung ==== Durch geeignete Wahl von <math>c_{1}</math> und <math>c_{2}</math> ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei <math>\textstyle x=\pm 1{,}3796 </math> kleiner als <math>\textstyle 3{,}6127\cdot10^{-3}</math> ist: :<math>\operatorname{erf}(x)\approx \frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\frac{31}{200}\,e^{-x^2}-\frac{341}{8000}\,e^{-2\,x^2}\right)</math> == Komplexe Fehlerfunktion == [[Datei:Erf(z).png|mini|Die komplexe Fehlerfunktion <math>\operatorname{erf}(z)</math> im Bereich <math>-3 < \operatorname{Im}(z) < 3</math> und <math>-3 < \operatorname{Re}(z) < 3</math>. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.]] Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente <math>z</math> ausgeweitet werden: : <math>\operatorname{erf}(z) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^z e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau</math> In diesem Fall ist <math> \operatorname{erf} </math> eine [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Unter [[w:de:Komplexe Konjugation|komplexer Konjugation]] gilt : <math>\operatorname{erf} (z^{*}) = \operatorname{erf}(z)^{*} </math>. === Imaginäre Fehlerfunktion === Die ''imaginäre Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erfi}(x)</math> ist gegeben durch : <math>\operatorname{erfi}(x) = \frac{\operatorname{erf}(\mathrm ix)}{\mathrm i}</math> mit der Reihenentwicklung : <math>\operatorname{erfi}(x) = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} + \dotsb \right)</math>. === Zusammenhang - Faddeeva-Funktion === Zur Berechnung können <math>\operatorname{erf, erfi, erfc}</math> und weitere verwandte Funktionen auch durch die [[w:de:Faddeeva-Funktion|Faddeeva-Funktion]] <math>w(z)</math> ausgedrückt werden. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den [[w:de:Dawson-Integral|Dawson-Integral]]en und dem [[w:de:Voigt-Profil|Voigt-Profil]] verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek ''libcerf'' zur Verfügung.<ref>Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: [https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf libcerf.]</ref> == Literatur == * [[w:de:Milton Abramowitz|Milton Abramowitz]], [[w:de:Irene Stegun|Irene A. Stegun]] (Hrsg.): ''[[w:de:Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]].'' Dover, New York 1972, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm Chapter&nbsp;7.] * William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery: ''[[w:de:Numerical Recipes in&nbsp;C|Numerical Recipes in&nbsp;C]]''. 2. Auflage. Cambridge 1992, [http://www.nrbook.com/a/bookcpdf/c6-2.pdf S. 220 ff.] (PDF; 76&nbsp;kB) * [[w:de:Ilja Nikolajewitsch Bronstein|Bronstein, I.N.]] und [[w:de:Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|Semendjajew, K.A.]], ''[[w:de:Taschenbuch der Mathematik|Taschenbuch der Mathematik]]'', 6. Auflage, [[w:de:Verlag Harri Deutsch|Verlag Harri Deutsch]], Frankfurt am Main 2005, S. 782 == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Normalverteilung]] * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Identitätssatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion Fehlerfunktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Mathematische Funktion]] [[Category:Wiki2Reveal]] mhr3c5cbizbm6orqkhe6pds95vvqt0s 1114097 1114096 2026-09-02T16:08:31Z ~2026-47548-34 41860 /* Datenpunkte für unbekannte Funktion */ 1114097 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit behandelt die Gaußsche Fehlerfunktion, zur Fehlerfunktion in der [[w:de:Approximationstheorie|Approximationstheorie]], welche eine orientierten Fehler als [[w:de:Subtraktion|Differenz]] <math>f-g</math> zwischen einer (oft unbekannten) Funktion <math>f:\mathbb{D}\to \mathbb{W}</math> und ihrer Approximation <math>g:\mathbb{D}\to \mathbb{W}</math> beschreibt. === Datenpunkte für unbekannte Funktion === In der Praxis besteht das "Wissen über die unbekannten Funktion" <math>f</math> in der Regel aus Datenpaaren <math>(x_i,y_i)\in \mathbb{D}\times \mathbb{W}</math> mit <math>i\in \mathbb{N}</math>. Dabei versucht man in der [[w:de:Approximationstheorie|Approximationstheorie]] bzw. bei der Verwendung einer [[w:de:Verlustfunktion (Statistik)|Verlustfunktion (Statistik)]] den Fehler zwischen <math>g(x_i)</math> und <math>y_i</math> abzuschätzen. === Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion=== Die Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion ist eine wesentliche Eigenschaft, um Methoden aus der [[Kurs:Numerik|numerischen Mathematik]] verwenden zu können, die die Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion benötigen. === Graph der Fehlerfunktion === [[Datei:Error function.svg|360px|center|Graph der Fehlerfunktion]] == Definition als Integral == Als '''Fehlerfunktion''' oder ''Gaußsche Fehlerfunktion'' bezeichnet man in der Theorie der [[w:de:Spezielle Funktion|speziellen Funktionen]] die durch das Integral : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math> definierte Funktion.<ref>Bronstein, Semendjajew, ''Taschenbuch der Mathematik'', 6. Auflage, S. 782</ref> === Bezeichnungen === Die Bezeichnung <math>\operatorname{erf}(x)</math> kommt von '''''er'''ror '''f'''unction''. === Aufgabe für Studierende - Differenzierbarkeit === Erläutern Sie, warum die Fehlerfunktion differenzierbar ist! ==== Bemerkung - Wert im Nullpunkt ==== Durch die obige Definition ist der Wert der Fehlerfunktion im Nullpunkt eindeutig festgelegt, denn es gilt: : <math>\operatorname{erf}(0) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^0 e^{-t^2}\,\mathrm dt = 0</math> ==== Bemerkung - Reihendarstellung des Integranden ==== Der Integrand <math>e^{-t^2} </math> hat über die Reihendarstellung der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] die folgenden Reihendarstellung: :<math> e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n} </math> === Fehlerfunktion als Stammfunktion === Mit der obigen Definition als Integral ist die Fehlerfunktion <math>er\!f</math> eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\tfrac 2{\sqrt\pi}\cdot e^{-t^2}</math>. Durch <math>\operatorname{erf}(0)=0</math> ist auch die Konstante als <math>0</math> der Taylorreihe der Stammfunktion eindeutig festgelegt. Daher hat die Taylorreihe von <math>erf</math> folgende Darstellung: :<math> \operatorname{erf}(z) = \tfrac 2{\sqrt\pi}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot t^{2n+1} </math> Für ein reelles Argument <math>x</math> ist <math>\operatorname{erf}</math> eine [[w:de:reellwertige Funktion|reellwertige Funktion]], da die Koeffizienten der [[Taylorreihe]] alle reellwertig sind. === Sigmoide Funktion === Die Fehlerfunktion ist eine [[w:de:Sigmoidfunktion|Sigmoidfunktion]], findet Anwendung in der [[w:de:Statistik|Statistik]] und in der Theorie der [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] und hängt eng mit dem [[w:de:Fehlerintegral|Fehlerintegral]] zusammen. == Entwicklung als Taylor-Reihe == Der Integrand der Fehlerfunktion hat folgende Reihendarstellung: : <math>e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n}</math> Diese ergibt sich direkt durch Einsetzen des Terms <math>-t^2</math> in die Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Mit komplexem Argument <math>t\in \mathbb{C}</math> ist der Integrand eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen === Auf Kreisschreiben <math>\overline{D_r(0)} \subset \mathbb{C}</math> konvergieren die Taylorsummen <math>\textstyle f_{_N}(t) = \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n}</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen den Integranden <math>e^{-t^2}</math> der Fehlerfunktion. Daher kann man die Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(0)}</math> durch summandenweise Integration bilden. === Anwendung des Identitätssatzes === Mit dem [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] kann man die Stammfunktion des Integranden als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] auf <math>\mathbb{C}</math> erweitern. Dies liefert eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>e^{-t^2}</math>: : <math>F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot x^{2n+1}</math> Mit <math>F(0)=0</math> kann man diese Potenzreihendarstellung für <math>\operatorname{erf}(x)</math> auch für <math>x\in\mathbb{R}</math> verwenden. : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot x^{2n+1} </math> === Komplementäre Fehlerfunktion === Die ''komplementäre'' (bzw. ''konjugierte'') ''Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erfc}(x)</math> ist gegeben durch : <math> \begin{array}{rcl} \operatorname{erfc}(x) & = & 1 - \operatorname{erf}(x) \\ & = & \displaystyle \frac 2{\sqrt\pi} \int_x^\infty e^{-t^2}\,\mathrm dt. \end{array} </math> === Punktsymmetrie des Graphen === Die Punktsymmetrie des Graphen der Fehlerfunktion ergibt sich direkt über die ungeraden Exponenten mit <math>F(-x)=-F(x)</math>. Daher erfüllt sowohl <math>\operatorname{erf}</math> als auch <math>\operatorname{erfc}</math> die folgende Eigenschaften: : <math> \operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x) \quad \operatorname{erfc}(-x) = -\operatorname{erfc}(x) </math> === Verallgemeinerte Fehlerfunktion === Die ''verallgemeinerte Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erf}(a,b)</math> wird durch das [[w:de:Integralrechnung|Integral]] : <math>\operatorname{erf}(a,b) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_a^b e^{-t^2}\,\mathrm dt = \frac 2{\sqrt\pi} \cdot (F(b)-F(a))</math> definiert. == Eigenschaften == Es gilt: : <math>\operatorname{erf}(a,b)=\operatorname{erf}(b)-\operatorname{erf}(a)</math> Die Fehlerfunktion ist [[w:de:Gerade und ungerade Funktionen|ungerade]]: : <math>\operatorname{erf} (-x) = -\operatorname{erf} (x)</math> Das uneigentliche Integral von <math>-\infin</math> bis <math>+\infin</math> ist : <math>\frac 2{\sqrt\pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt = 2</math> Außerdem gilt: : <math> \operatorname{erf}(x)^2 = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{1-\exp[-x^2(y^2+1)]}{y^2+1} \mathrm{d}y </math> == Verwendung == * Verwandtschaft mit der [[Normalverteilung]] * [[w:de:Support Vector Machine|Support Vector Machine]] * [[w:de:Wärmeleitungsgleichung|Wärmeleitungsgleichung]] === Verwandtschaft mit der Normalverteilung === Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] der [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]]. Sie hat jedoch eine [[w:de:Zielmenge|Zielmenge]] von <math>(-1,1)</math>, während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich <math>[0,1]</math> annehmen muss. ==== Darstellung der Standardnormalverteilung mit Fehlerfunktion ==== Es gilt für die [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] : <math> \begin{array}{rcl} \Phi(x) & = & \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt 2}\right)\right) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\cdot (2n+1)} \cdot \left(\frac{-1}{2}\right)^n \cdot x^{2n+1} \end{array} </math> ==== Verteilungsfunktion - Normalverteilung ==== Für die Verteilungsfunktion <math>F</math> einer beliebigen Normalverteilung mit [[w:de:Standardabweichung (Stochastik)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> und [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> : <math>F(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt 2}\right)\right).</math> === Messreihe - Messfehler === Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer [[w:de:Messreihe|Messreihe]] vom gemeinsamen [[w:de:Mittelwert|Mittelwert]] durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung <math>\sigma</math> und Erwartungswert&nbsp;0 beschrieben werden können, dann ist <math>\textstyle \operatorname{erf}\left(\frac a{\sigma \sqrt 2}\right)</math> die Wahrscheinlichkeit, mit der der [[w:de:Messfehler|Messfehler]] einer einzelnen Messung zwischen <math>-a</math> und <math>+a</math> liegt (für positives <math>a</math>). === Pseudozufallszahlen === Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der [[w:de:Inversionsmethode|Inversionsmethode]] normalverteilte [[w:de:Pseudozufallszahl|Pseudozufallszahl]]en zu generieren.<ref>Für eine konkrete Implementierung siehe z.&nbsp;B. Peter John Acklam: {{Webarchiv |url=http://home.online.no/~pjacklam/notes/invnorm/ |text=''An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function''. |wayback=20070505093933}}</ref> === Wärmeleitungsgleichung === Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der [[w:de:Wärmeleitungsgleichung|Wärmeleitungsgleichung]] vor, wenn [[w:de:Randwertproblem|Randwertbedingungen]] durch die [[w:de:Heaviside-Funktion|Heaviside-Funktion]] vorgegeben sind. == Numerische Berechnung == Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss [[w:de:Numerische Mathematik|numerisch]] bestimmt werden. === Berechnung für kleine Werte - Taylorreihe === Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der [[w:de:Taylorreihe|Reihenentwicklung]] : <math>\operatorname{erf}(x) = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - \dotsb \right),</math> === Berechnung für große Werte - Kettenbruch === Für große reelle Werte mit der [[w:de:Kettenbruch|Kettenbruchentwicklung]] : <math>\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt\pi}\cdot\frac{e^{-x^2}}{x + \frac 1{2x + \frac 2{x + \frac 3{2x + \frac 4{x + \dotsb}}}}}.</math> ===Approximation für komplexen Wertebereich === Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von <math>1{,}2\cdot10^{-7}</math>:<ref>''Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing''. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.</ref> : <math>\operatorname{erf}(x)\approx\begin{cases} 1-\tau(x)\text{,} & \text{falls }x\ge 0 \text{,} \\ \tau(-x)-1 & \text{sonst,} \end{cases}</math> mit : <math>\begin{array}{rcl} \tau(x) & = & t\cdot\exp\bigl(-x^{2}-1{,}26551223+1{,}00002368\cdot t+0{,}37409196\cdot t^{2}+0{,}09678418\cdot t^{3}\\ & & \qquad-0{,}18628806\cdot t^{4}+0{,}27886807\cdot t^{5}-1{,}13520398\cdot t^{6}+1{,}48851587\cdot t^7\\ & & \qquad-0{,}82215223\cdot t^{8}+0{,}17087277\cdot t^{9}\bigr) \end{array}</math> und : <math>t=\frac{1}{1+0{,}5\,|x|}.</math> === Konvergenzgeschwindigkeit - Bürmann-Theorem === Eine für alle reellen Werte von <math>x</math> schnell konvergierende Entwicklung<ref>H. M. Schöpf, P. H. Supancic: [http://www.mathematica-journal.com/2014/11/on-burmanns-theorem-and-its-application-to-problems-of-linear-and-nonlinear-heat-transfer-and-diffusion/#more-39602/ ''On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion''.] In: ''The Mathematica Journal'', 2014. [[doi:10.3888/tmj.16-11]].</ref> erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:<ref>Moritz Cantor: Bürmann, Heinrich. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 47, Duncker & Humblot, Leipzig 1903, S. 392–394.</ref><ref>E. W. Weisstein: [http://mathworld.wolfram.com/BuermannsTheorem.html ''Bürmann’s Theorem''.] mathworld</ref> : <math>\begin{align}\operatorname{erf}(x)&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(1-\frac{1}{12}\left(1-e^{-x^2}\right)-\frac{7}{480}\left(1-e^{-x^2}\right)^2-\frac{5}{896}\left(1-e^{-x^2}\right)^3-\frac{787}{276 480}\left(1-e^{-x^2}\right)^4-\ \cdots\right) \\ &=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\sum_{k=1}^\infty c_k e^{-k \, x^2}\right)\end{align}</math> ==== Fehlerabschätzung für die Näherung ==== Durch geeignete Wahl von <math>c_{1}</math> und <math>c_{2}</math> ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei <math>\textstyle x=\pm 1{,}3796 </math> kleiner als <math>\textstyle 3{,}6127\cdot10^{-3}</math> ist: :<math>\operatorname{erf}(x)\approx \frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\frac{31}{200}\,e^{-x^2}-\frac{341}{8000}\,e^{-2\,x^2}\right)</math> == Komplexe Fehlerfunktion == [[Datei:Erf(z).png|mini|Die komplexe Fehlerfunktion <math>\operatorname{erf}(z)</math> im Bereich <math>-3 < \operatorname{Im}(z) < 3</math> und <math>-3 < \operatorname{Re}(z) < 3</math>. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.]] Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente <math>z</math> ausgeweitet werden: : <math>\operatorname{erf}(z) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^z e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau</math> In diesem Fall ist <math> \operatorname{erf} </math> eine [[w:de:komplexwertige Funktion|komplexwertige Funktion]]. Unter [[w:de:Komplexe Konjugation|komplexer Konjugation]] gilt : <math>\operatorname{erf} (z^{*}) = \operatorname{erf}(z)^{*} </math>. === Imaginäre Fehlerfunktion === Die ''imaginäre Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erfi}(x)</math> ist gegeben durch : <math>\operatorname{erfi}(x) = \frac{\operatorname{erf}(\mathrm ix)}{\mathrm i}</math> mit der Reihenentwicklung : <math>\operatorname{erfi}(x) = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} + \dotsb \right)</math>. === Zusammenhang - Faddeeva-Funktion === Zur Berechnung können <math>\operatorname{erf, erfi, erfc}</math> und weitere verwandte Funktionen auch durch die [[w:de:Faddeeva-Funktion|Faddeeva-Funktion]] <math>w(z)</math> ausgedrückt werden. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den [[w:de:Dawson-Integral|Dawson-Integral]]en und dem [[w:de:Voigt-Profil|Voigt-Profil]] verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek ''libcerf'' zur Verfügung.<ref>Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: [https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf libcerf.]</ref> == Literatur == * [[w:de:Milton Abramowitz|Milton Abramowitz]], [[w:de:Irene Stegun|Irene A. Stegun]] (Hrsg.): ''[[w:de:Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]].'' Dover, New York 1972, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm Chapter&nbsp;7.] * William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery: ''[[w:de:Numerical Recipes in&nbsp;C|Numerical Recipes in&nbsp;C]]''. 2. Auflage. Cambridge 1992, [http://www.nrbook.com/a/bookcpdf/c6-2.pdf S. 220 ff.] (PDF; 76&nbsp;kB) * [[w:de:Ilja Nikolajewitsch Bronstein|Bronstein, I.N.]] und [[w:de:Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|Semendjajew, K.A.]], ''[[w:de:Taschenbuch der Mathematik|Taschenbuch der Mathematik]]'', 6. Auflage, [[w:de:Verlag Harri Deutsch|Verlag Harri Deutsch]], Frankfurt am Main 2005, S. 782 == Einzelnachweise == <references /> == Siehe auch == * [[Normalverteilung]] * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Identitätssatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Fehlerfunktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion Fehlerfunktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Mathematische Funktion]] [[Category:Wiki2Reveal]] 8n8k6kfd6k1nplwpqf6julnobo1x2th 106 170024 1114145 1078421 2026-09-03T10:57:54Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1114145 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math> f=F'</math> auf <math>D_r(z_0)</math> holomorph. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] berechnen zu können. === Stammfunktionen und Ableitungen === In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass ''"1x komplex differenzierbar"'' schon ''"unendlich oft komplex differenzierbar"''. Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Satz|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem [[Abelsches Lemma|Abelschen Lemma]] nur auf lokal auf Kreischeiben <math>D_r(z_0)</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> <span id="Definition"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> ''lokale Stammfunktion der Ordnung'' <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine ''lokale Stammfunktion'' von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(f^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzt: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] q7y4nvr4jk93xwjvxac8a3ze7gjhkby 1114146 1114145 2026-09-03T11:00:52Z ~2026-47548-34 41860 /* Satz über lokale Stammfunktionen */ 1114146 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math> f=F'</math> auf <math>D_r(z_0)</math> holomorph. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] berechnen zu können. === Stammfunktionen und Ableitungen === In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass ''"1x komplex differenzierbar"'' schon ''"unendlich oft komplex differenzierbar"''. Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Satz|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem [[Abelsches Lemma|Abelschen Lemma]] nur auf lokal auf Kreischeiben <math>D_r(z_0)</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> <span id="Definition"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> ''lokale Stammfunktion der Ordnung'' <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine ''lokale Stammfunktion'' von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(f^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzen: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9qv1wo1le565v14z0ledjhpo8a8ygur 1114147 1114146 2026-09-03T11:02:21Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis */ 1114147 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math> f=F'</math> auf <math>D_r(z_0)</math> holomorph. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] berechnen zu können. === Stammfunktionen und Ableitungen === In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass ''"1x komplex differenzierbar"'' schon ''"unendlich oft komplex differenzierbar"''. Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Satz|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem [[Abelsches Lemma|Abelschen Lemma]] nur auf lokal auf Kreischeiben <math>D_r(z_0)</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> <span id="Definition"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> ''lokale Stammfunktion der Ordnung'' <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine ''lokale Stammfunktion'' von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(f^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzen: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ll7it4idd1q200jvafh04otmlwootf6 1114148 1114147 2026-09-03T11:04:29Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung */ 1114148 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math> f=F'</math> auf <math>D_r(z_0)</math> holomorph. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] berechnen zu können. === Stammfunktionen und Ableitungen === In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass ''"1x komplex differenzierbar"'' schon ''"unendlich oft komplex differenzierbar"''. Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Satz|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem [[Abelsches Lemma|Abelschen Lemma]] nur auf lokal auf Kreischeiben <math>D_r(z_0)</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> <span id="Definition"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> ''lokale Stammfunktion der Ordnung'' <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine ''lokale Stammfunktion'' von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(f^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzen: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweisteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ek702i99w2yqqo7o3eikuiqkrgetntn 106 170112 1114089 1079019 2026-09-02T15:50:39Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweis - Eindeutigkeitslemma */ 1114089 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math>. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2dhft6kojifesk75rmloiuh0qzaga8t 1114090 1114089 2026-09-02T15:52:17Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben */ 1114090 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math>. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kyedue49rimg29hnudbp4u3us46sibe 1114091 1114090 2026-09-02T15:52:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur */ 1114091 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math>. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0rv96ju83t9s33ztvuhbzfl0i73tpw4 1114092 1114091 2026-09-02T15:53:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur */ 1114092 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0o8r1a9b0a1bd1aes5ms3pep5ibrc5b 106 172139 1114049 1112113 2026-09-02T13:10:44Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - globale und lokale Injektivität */ 1114049 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math> und der jeweiligen Geschwindigkeit <math>\gamma{\,}'(t)</math>, mit der man sich auf der <math>Spur(\gamma)</math> bewegt. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein [[Weg-Zeit-Risikointegral|anderes Risiko]] (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. <span id="Integranderweiterung"></span> === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Weg]] zeigt diesen Zusammenhang mit einem konstruktiver Beweis, wie man zu einem gegebenen Weg <math>\gamma</math> für eine holomorphe Funktion <math>f</math> die [[meromorphe Funktion]] <math> \widehat{f} </math>, die die Berechnung über eine Wegintegral erlaubt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \int_a^b \widehat{f}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ \end{array} </math> Über die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege]] kann man später z.B. mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] das Wegintegral über die meromorphe Funktion <math>\widehat{f}</math> berechnen. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. Damit entsteht ein geschlossener Weg als Teil des Weges <math>\gamma </math>. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die lokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit === Die Eigenschaft <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> liefert die ''"lokale Umkehrbarkeit"'' und die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Integrandenerweitung]], weil: * <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist eine notwendige Voraussetzung ist, damit <math> \gamma </math> lokal invertierbar ist. Stückweise lokale Umkehrbarkeit und die Kompaktheit der <math>Spur(\gamma)</math> ermöglicht eine endliche stückweise Berechnung für offene Überdeckungen der Spur. * Ferner kann man so die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Erweiterung des Integranden]] so wegen Division durch <math>0=\gamma{\,}'(t)</math> nicht durchführen. == Beispiel - Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma{\,}'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> liefert die lokale Umkehrbarkeit, * <math> \gamma </math> nicht global injektiv, denn wie : <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> Damit gibt es keine globale Umkehrfunktion von <math>\gamma</math>. === Lokale Umkehrfunktion === Aber lokal existiert auf <math>U_0:= \gamma([0,2\pi)) := \big\{z\in \mathbb{C} \, : \, \exists_{t\in [0,2\pi)} \, \ e^{it} = z \big\} </math> eine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} : U_0 \to [0,2\pi) </math> mit <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math>. === Erweiterung des Integranden === Dann gilt mit <math>g(z)=i\cdot z</math> und <math>\gamma{\,}'(t) = i\cdot e^{it}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot i\cdot e^{it} \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\gamma(t))}{g(e^{it})} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{f(z)}{g(z)} \,dt \\ \end{array} </math> ==== Beispiel - Integranderweiterung ==== Mit einer konkreten Funktion <math>f(z)=\sin(z)</math> erhält man für die Berechnung ein uneigentliches Integral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(\gamma(t))\,dt & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(\gamma(t))}{i\cdot \gamma(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dt \\ \end{array} </math> Mit <math>\gamma : \left[0,2\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = i\cdot e^{it}</math>. ==== Bemerkung zum Beispiel - Folge von Wegen ==== Man wählt ein uneigentliches Integral, damit man auf dem Intervall <math> \left[0,2\pi \right]</math> bijektiv auf den Kreirand des Einheitskreises abbildet und <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> gilt. === Potenzreihe für Sinus === Die Sinus-Funktion hat die folgende Potenzreihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math>: :<math> \sin(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k \cdot (z)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k+1}}{(2k+1)!} </math> Die Potenzreihe für die Sinus-Funktion liefert auch die Potenzreihendarstellung für <math>\widehat{f}</math> für den Integranden: :<math> \frac{\sin(z)}{i\cdot z} = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k+1)!} = \widehat{f}(z) </math> === Stammfunktion der Potenzreihe === Der Integrand <math>\widehat{f}</math> des Wegintegrals ist eine ganze Funktion, da die Potenzreihe für <math>\widehat{f}</math> den Kosinus betragsmäßig eine Majorante des Integranden ist, denn es gilt: :<math> \cos(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} \quad \sum^{\infty}_{k=0} \left| \tfrac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k+1)!} \right| \leq \sum^{\infty}_{k=0} \left| \tfrac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} \right| </math> Die Stammfunktion des Integranden kann man durch summandenweise Integration und gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Reihe auf abgeschlosssen Kreisscheiben erreichen: :<math> \widehat{F}(z) = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^k}{2k+1} \cdot \tfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} </math> === Berechnung des Integrals === Da <math>\widehat{f}</math> die [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion]] <math>\widehat{F}</math> als [[ganze Funktion]] besitzt, gilt mit <math>\gamma : \left[0,2\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(\gamma(t))\,dz & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dz \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(\gamma(2\pi)\right) - \widehat{F}\left(\gamma\left(0\right)\right) \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(e^{i2\pi}\right) - \widehat{F}\left(e^{i0})\right) = \widehat{F}\left(1\right) - \widehat{F}\left(1\right) = 0 \end{array} </math> === Integral mit geändertem Definitionsbereich=== Verwendet man als Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> ist <math>\gamma </math> sogar global injektiv und mit der Berechnung der Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> von <math>\widehat{f}</math> als ganze Funktion kann mit <math>\gamma : \left[0,\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> das Integral analog berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{\pi} \sin(\gamma(t))\,dz & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dz \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(\gamma(\pi)\right) - \widehat{F}\left(\gamma\left(0\right)\right) \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(e^{i\pi}\right) - \widehat{F}\left(e^{i0})\right) = \widehat{F}\left(-1\right) - \widehat{F}\left(1\right) \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} - \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^k}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} + \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{2}{(2k+1)!} \end{array} </math> == Bemerkung - Kosinus == Ersetzt man den Sinus durch den Kosinus in der obigen Gleichung, so kann man das Wegintegral ohne Ableitung erst mit dem [[Residuensatz]] aus der Funktionentheorie berechnen, da die Funktion dann bei der Division durch <math>i\cdot z</math> einen Pol erster Ordnung besitzt. In der zugehörigen [[Laurent-Reihe]] kann man dann das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] ablesen. === Potenzreihe für Kosinus === Die Kosinus-Funktion hat die folgende Potenzreihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math>: :<math> \cos(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} </math> Die Potenzreihe für die Sinus-Funktion liefert auch die Potenzreihendarstellung für <math>\widehat{f}</math> für den Integranden: :<math> \frac{\cos(z)}{i\cdot z} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k-1}}{(2k)!} = \widehat{f}(z) </math> === Laurantreihe des Integranden === In der folgenden Laurent-Reihe erhält man mit <math>k=0</math> das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] für <math>k=0</math> mit <math>Res(\widehat{f\,},0)=\frac{\mathrm{i}^{-1}}{0!}= -i</math>: :<math> \frac{\cos(z)}{i\cdot z} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{\mathrm{i}^{2k-1} \cdot z^{2k-1}}{(2k)!} = \widehat{f}(z) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] * [[Laurent-Reihe]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] * [[Residuensatz]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] biyfcpms6tf38a3j0aiwlzgkb7ul8z8 1114050 1114049 2026-09-02T13:11:10Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - globale und lokale Injektivität */ 1114050 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math> und der jeweiligen Geschwindigkeit <math>\gamma{\,}'(t)</math>, mit der man sich auf der <math>Spur(\gamma)</math> bewegt. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein [[Weg-Zeit-Risikointegral|anderes Risiko]] (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. <span id="Integranderweiterung"></span> === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Weg]] zeigt diesen Zusammenhang mit einem konstruktiver Beweis, wie man zu einem gegebenen Weg <math>\gamma</math> für eine holomorphe Funktion <math>f</math> die [[meromorphe Funktion]] <math> \widehat{f} </math>, die die Berechnung über eine Wegintegral erlaubt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \int_a^b \widehat{f}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ \end{array} </math> Über die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege]] kann man später z.B. mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] das Wegintegral über die meromorphe Funktion <math>\widehat{f}</math> berechnen. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. Damit entsteht ein geschlossener Weg als Teil des Weges <math>\gamma </math>. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die lokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindenden Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit === Die Eigenschaft <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> liefert die ''"lokale Umkehrbarkeit"'' und die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Integrandenerweitung]], weil: * <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist eine notwendige Voraussetzung ist, damit <math> \gamma </math> lokal invertierbar ist. Stückweise lokale Umkehrbarkeit und die Kompaktheit der <math>Spur(\gamma)</math> ermöglicht eine endliche stückweise Berechnung für offene Überdeckungen der Spur. * Ferner kann man so die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Erweiterung des Integranden]] so wegen Division durch <math>0=\gamma{\,}'(t)</math> nicht durchführen. == Beispiel - Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma{\,}'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> liefert die lokale Umkehrbarkeit, * <math> \gamma </math> nicht global injektiv, denn wie : <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> Damit gibt es keine globale Umkehrfunktion von <math>\gamma</math>. === Lokale Umkehrfunktion === Aber lokal existiert auf <math>U_0:= \gamma([0,2\pi)) := \big\{z\in \mathbb{C} \, : \, \exists_{t\in [0,2\pi)} \, \ e^{it} = z \big\} </math> eine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} : U_0 \to [0,2\pi) </math> mit <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math>. === Erweiterung des Integranden === Dann gilt mit <math>g(z)=i\cdot z</math> und <math>\gamma{\,}'(t) = i\cdot e^{it}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot i\cdot e^{it} \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\gamma(t))}{g(e^{it})} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{f(z)}{g(z)} \,dt \\ \end{array} </math> ==== Beispiel - Integranderweiterung ==== Mit einer konkreten Funktion <math>f(z)=\sin(z)</math> erhält man für die Berechnung ein uneigentliches Integral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(\gamma(t))\,dt & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(\gamma(t))}{i\cdot \gamma(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dt \\ \end{array} </math> Mit <math>\gamma : \left[0,2\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = i\cdot e^{it}</math>. ==== Bemerkung zum Beispiel - Folge von Wegen ==== Man wählt ein uneigentliches Integral, damit man auf dem Intervall <math> \left[0,2\pi \right]</math> bijektiv auf den Kreirand des Einheitskreises abbildet und <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> gilt. === Potenzreihe für Sinus === Die Sinus-Funktion hat die folgende Potenzreihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math>: :<math> \sin(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k \cdot (z)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k+1}}{(2k+1)!} </math> Die Potenzreihe für die Sinus-Funktion liefert auch die Potenzreihendarstellung für <math>\widehat{f}</math> für den Integranden: :<math> \frac{\sin(z)}{i\cdot z} = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k+1)!} = \widehat{f}(z) </math> === Stammfunktion der Potenzreihe === Der Integrand <math>\widehat{f}</math> des Wegintegrals ist eine ganze Funktion, da die Potenzreihe für <math>\widehat{f}</math> den Kosinus betragsmäßig eine Majorante des Integranden ist, denn es gilt: :<math> \cos(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} \quad \sum^{\infty}_{k=0} \left| \tfrac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k+1)!} \right| \leq \sum^{\infty}_{k=0} \left| \tfrac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} \right| </math> Die Stammfunktion des Integranden kann man durch summandenweise Integration und gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Reihe auf abgeschlosssen Kreisscheiben erreichen: :<math> \widehat{F}(z) = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^k}{2k+1} \cdot \tfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} </math> === Berechnung des Integrals === Da <math>\widehat{f}</math> die [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion]] <math>\widehat{F}</math> als [[ganze Funktion]] besitzt, gilt mit <math>\gamma : \left[0,2\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(\gamma(t))\,dz & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dz \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(\gamma(2\pi)\right) - \widehat{F}\left(\gamma\left(0\right)\right) \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(e^{i2\pi}\right) - \widehat{F}\left(e^{i0})\right) = \widehat{F}\left(1\right) - \widehat{F}\left(1\right) = 0 \end{array} </math> === Integral mit geändertem Definitionsbereich=== Verwendet man als Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> ist <math>\gamma </math> sogar global injektiv und mit der Berechnung der Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> von <math>\widehat{f}</math> als ganze Funktion kann mit <math>\gamma : \left[0,\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> das Integral analog berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{\pi} \sin(\gamma(t))\,dz & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dz \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(\gamma(\pi)\right) - \widehat{F}\left(\gamma\left(0\right)\right) \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(e^{i\pi}\right) - \widehat{F}\left(e^{i0})\right) = \widehat{F}\left(-1\right) - \widehat{F}\left(1\right) \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} - \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^k}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} + \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{2}{(2k+1)!} \end{array} </math> == Bemerkung - Kosinus == Ersetzt man den Sinus durch den Kosinus in der obigen Gleichung, so kann man das Wegintegral ohne Ableitung erst mit dem [[Residuensatz]] aus der Funktionentheorie berechnen, da die Funktion dann bei der Division durch <math>i\cdot z</math> einen Pol erster Ordnung besitzt. In der zugehörigen [[Laurent-Reihe]] kann man dann das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] ablesen. === Potenzreihe für Kosinus === Die Kosinus-Funktion hat die folgende Potenzreihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math>: :<math> \cos(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} </math> Die Potenzreihe für die Sinus-Funktion liefert auch die Potenzreihendarstellung für <math>\widehat{f}</math> für den Integranden: :<math> \frac{\cos(z)}{i\cdot z} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k-1}}{(2k)!} = \widehat{f}(z) </math> === Laurantreihe des Integranden === In der folgenden Laurent-Reihe erhält man mit <math>k=0</math> das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] für <math>k=0</math> mit <math>Res(\widehat{f\,},0)=\frac{\mathrm{i}^{-1}}{0!}= -i</math>: :<math> \frac{\cos(z)}{i\cdot z} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{\mathrm{i}^{2k-1} \cdot z^{2k-1}}{(2k)!} = \widehat{f}(z) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] * [[Laurent-Reihe]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] * [[Residuensatz]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 80hqj28fxoricd4pt56ea9kqvhggc4u 1114051 1114050 2026-09-02T13:11:57Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - globale und lokale Injektivität */ 1114051 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math> und der jeweiligen Geschwindigkeit <math>\gamma{\,}'(t)</math>, mit der man sich auf der <math>Spur(\gamma)</math> bewegt. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein [[Weg-Zeit-Risikointegral|anderes Risiko]] (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. <span id="Integranderweiterung"></span> === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Weg]] zeigt diesen Zusammenhang mit einem konstruktiver Beweis, wie man zu einem gegebenen Weg <math>\gamma</math> für eine holomorphe Funktion <math>f</math> die [[meromorphe Funktion]] <math> \widehat{f} </math>, die die Berechnung über eine Wegintegral erlaubt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \int_a^b \widehat{f}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ \end{array} </math> Über die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege]] kann man später z.B. mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] das Wegintegral über die meromorphe Funktion <math>\widehat{f}</math> berechnen. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. Damit entsteht ein geschlossener Weg als Teil des Weges <math>\gamma </math>. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die lokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindenden Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit === Die Eigenschaft <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> liefert die ''"lokale Umkehrbarkeit"'' und die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Integrandenerweitung]], weil: * <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist eine notwendige Voraussetzung ist, damit <math> \gamma </math> lokal invertierbar ist. Stückweise lokale Umkehrbarkeit und die Kompaktheit der <math>Spur(\gamma)</math> ermöglicht eine endliche stückweise Berechnung für offene Überdeckungen der Spur. * Ferner kann man so die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Erweiterung des Integranden]] so wegen Division durch <math>0=\gamma{\,}'(t)</math> nicht durchführen. == Beispiel - Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma{\,}'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> liefert die lokale Umkehrbarkeit, * <math> \gamma </math> nicht global injektiv, denn wie : <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> Damit gibt es keine globale Umkehrfunktion von <math>\gamma</math>. === Lokale Umkehrfunktion === Aber lokal existiert auf <math>U_0:= \gamma([0,2\pi)) := \big\{z\in \mathbb{C} \, : \, \exists_{t\in [0,2\pi)} \, \ e^{it} = z \big\} </math> eine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} : U_0 \to [0,2\pi) </math> mit <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math>. === Erweiterung des Integranden === Dann gilt mit <math>g(z)=i\cdot z</math> und <math>\gamma{\,}'(t) = i\cdot e^{it}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot i\cdot e^{it} \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\gamma(t))}{g(e^{it})} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{f(z)}{g(z)} \,dt \\ \end{array} </math> ==== Beispiel - Integranderweiterung ==== Mit einer konkreten Funktion <math>f(z)=\sin(z)</math> erhält man für die Berechnung ein uneigentliches Integral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(\gamma(t))\,dt & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(\gamma(t))}{i\cdot \gamma(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dt \\ \end{array} </math> Mit <math>\gamma : \left[0,2\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = i\cdot e^{it}</math>. ==== Bemerkung zum Beispiel - Folge von Wegen ==== Man wählt ein uneigentliches Integral, damit man auf dem Intervall <math> \left[0,2\pi \right]</math> bijektiv auf den Kreirand des Einheitskreises abbildet und <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> gilt. === Potenzreihe für Sinus === Die Sinus-Funktion hat die folgende Potenzreihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math>: :<math> \sin(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k \cdot (z)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k+1}}{(2k+1)!} </math> Die Potenzreihe für die Sinus-Funktion liefert auch die Potenzreihendarstellung für <math>\widehat{f}</math> für den Integranden: :<math> \frac{\sin(z)}{i\cdot z} = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k+1)!} = \widehat{f}(z) </math> === Stammfunktion der Potenzreihe === Der Integrand <math>\widehat{f}</math> des Wegintegrals ist eine ganze Funktion, da die Potenzreihe für <math>\widehat{f}</math> den Kosinus betragsmäßig eine Majorante des Integranden ist, denn es gilt: :<math> \cos(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} \quad \sum^{\infty}_{k=0} \left| \tfrac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k+1)!} \right| \leq \sum^{\infty}_{k=0} \left| \tfrac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} \right| </math> Die Stammfunktion des Integranden kann man durch summandenweise Integration und gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Reihe auf abgeschlosssen Kreisscheiben erreichen: :<math> \widehat{F}(z) = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^k}{2k+1} \cdot \tfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} </math> === Berechnung des Integrals === Da <math>\widehat{f}</math> die [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion]] <math>\widehat{F}</math> als [[ganze Funktion]] besitzt, gilt mit <math>\gamma : \left[0,2\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(\gamma(t))\,dz & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dz \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(\gamma(2\pi)\right) - \widehat{F}\left(\gamma\left(0\right)\right) \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(e^{i2\pi}\right) - \widehat{F}\left(e^{i0})\right) = \widehat{F}\left(1\right) - \widehat{F}\left(1\right) = 0 \end{array} </math> === Integral mit geändertem Definitionsbereich=== Verwendet man als Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> ist <math>\gamma </math> sogar global injektiv und mit der Berechnung der Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> von <math>\widehat{f}</math> als ganze Funktion kann mit <math>\gamma : \left[0,\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> das Integral analog berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{\pi} \sin(\gamma(t))\,dz & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dz \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(\gamma(\pi)\right) - \widehat{F}\left(\gamma\left(0\right)\right) \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(e^{i\pi}\right) - \widehat{F}\left(e^{i0})\right) = \widehat{F}\left(-1\right) - \widehat{F}\left(1\right) \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} - \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^k}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} + \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{2}{(2k+1)!} \end{array} </math> == Bemerkung - Kosinus == Ersetzt man den Sinus durch den Kosinus in der obigen Gleichung, so kann man das Wegintegral ohne Ableitung erst mit dem [[Residuensatz]] aus der Funktionentheorie berechnen, da die Funktion dann bei der Division durch <math>i\cdot z</math> einen Pol erster Ordnung besitzt. In der zugehörigen [[Laurent-Reihe]] kann man dann das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] ablesen. === Potenzreihe für Kosinus === Die Kosinus-Funktion hat die folgende Potenzreihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math>: :<math> \cos(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} </math> Die Potenzreihe für die Sinus-Funktion liefert auch die Potenzreihendarstellung für <math>\widehat{f}</math> für den Integranden: :<math> \frac{\cos(z)}{i\cdot z} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k-1}}{(2k)!} = \widehat{f}(z) </math> === Laurantreihe des Integranden === In der folgenden Laurent-Reihe erhält man mit <math>k=0</math> das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] für <math>k=0</math> mit <math>Res(\widehat{f\,},0)=\frac{\mathrm{i}^{-1}}{0!}= -i</math>: :<math> \frac{\cos(z)}{i\cdot z} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{\mathrm{i}^{2k-1} \cdot z^{2k-1}}{(2k)!} = \widehat{f}(z) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] * [[Laurent-Reihe]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] * [[Residuensatz]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kk9bdey3i6yeu66bcek6nmg5rj6d007 1114052 1114051 2026-09-02T13:13:19Z ~2026-47548-34 41860 /* Lokale Umkehrbarkeit von Wegen */ 1114052 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math> und der jeweiligen Geschwindigkeit <math>\gamma{\,}'(t)</math>, mit der man sich auf der <math>Spur(\gamma)</math> bewegt. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein [[Weg-Zeit-Risikointegral|anderes Risiko]] (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. <span id="Integranderweiterung"></span> === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Weg]] zeigt diesen Zusammenhang mit einem konstruktiver Beweis, wie man zu einem gegebenen Weg <math>\gamma</math> für eine holomorphe Funktion <math>f</math> die [[meromorphe Funktion]] <math> \widehat{f} </math>, die die Berechnung über eine Wegintegral erlaubt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \int_a^b \widehat{f}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ \end{array} </math> Über die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege]] kann man später z.B. mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] das Wegintegral über die meromorphe Funktion <math>\widehat{f}</math> berechnen. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. Damit entsteht ein geschlossener Weg als Teil des Weges <math>\gamma </math>. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die lokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindenden Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ z \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit === Die Eigenschaft <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> liefert die ''"lokale Umkehrbarkeit"'' und die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Integrandenerweitung]], weil: * <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist eine notwendige Voraussetzung ist, damit <math> \gamma </math> lokal invertierbar ist. Stückweise lokale Umkehrbarkeit und die Kompaktheit der <math>Spur(\gamma)</math> ermöglicht eine endliche stückweise Berechnung für offene Überdeckungen der Spur. * Ferner kann man so die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Erweiterung des Integranden]] so wegen Division durch <math>0=\gamma{\,}'(t)</math> nicht durchführen. == Beispiel - Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma{\,}'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> liefert die lokale Umkehrbarkeit, * <math> \gamma </math> nicht global injektiv, denn wie : <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> Damit gibt es keine globale Umkehrfunktion von <math>\gamma</math>. === Lokale Umkehrfunktion === Aber lokal existiert auf <math>U_0:= \gamma([0,2\pi)) := \big\{z\in \mathbb{C} \, : \, \exists_{t\in [0,2\pi)} \, \ e^{it} = z \big\} </math> eine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} : U_0 \to [0,2\pi) </math> mit <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math>. === Erweiterung des Integranden === Dann gilt mit <math>g(z)=i\cdot z</math> und <math>\gamma{\,}'(t) = i\cdot e^{it}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot i\cdot e^{it} \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\gamma(t))}{g(e^{it})} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{f(z)}{g(z)} \,dt \\ \end{array} </math> ==== Beispiel - Integranderweiterung ==== Mit einer konkreten Funktion <math>f(z)=\sin(z)</math> erhält man für die Berechnung ein uneigentliches Integral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(\gamma(t))\,dt & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(\gamma(t))}{i\cdot \gamma(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \,dt \\ & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dt \\ \end{array} </math> Mit <math>\gamma : \left[0,2\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = i\cdot e^{it}</math>. ==== Bemerkung zum Beispiel - Folge von Wegen ==== Man wählt ein uneigentliches Integral, damit man auf dem Intervall <math> \left[0,2\pi \right]</math> bijektiv auf den Kreirand des Einheitskreises abbildet und <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> gilt. === Potenzreihe für Sinus === Die Sinus-Funktion hat die folgende Potenzreihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math>: :<math> \sin(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k \cdot (z)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k+1}}{(2k+1)!} </math> Die Potenzreihe für die Sinus-Funktion liefert auch die Potenzreihendarstellung für <math>\widehat{f}</math> für den Integranden: :<math> \frac{\sin(z)}{i\cdot z} = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k+1)!} = \widehat{f}(z) </math> === Stammfunktion der Potenzreihe === Der Integrand <math>\widehat{f}</math> des Wegintegrals ist eine ganze Funktion, da die Potenzreihe für <math>\widehat{f}</math> den Kosinus betragsmäßig eine Majorante des Integranden ist, denn es gilt: :<math> \cos(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} \quad \sum^{\infty}_{k=0} \left| \tfrac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k+1)!} \right| \leq \sum^{\infty}_{k=0} \left| \tfrac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} \right| </math> Die Stammfunktion des Integranden kann man durch summandenweise Integration und gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Reihe auf abgeschlosssen Kreisscheiben erreichen: :<math> \widehat{F}(z) = \frac{1}{i} \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^k}{2k+1} \cdot \tfrac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} </math> === Berechnung des Integrals === Da <math>\widehat{f}</math> die [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion]] <math>\widehat{F}</math> als [[ganze Funktion]] besitzt, gilt mit <math>\gamma : \left[0,2\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{2\pi} \sin(\gamma(t))\,dz & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dz \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(\gamma(2\pi)\right) - \widehat{F}\left(\gamma\left(0\right)\right) \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(e^{i2\pi}\right) - \widehat{F}\left(e^{i0})\right) = \widehat{F}\left(1\right) - \widehat{F}\left(1\right) = 0 \end{array} </math> === Integral mit geändertem Definitionsbereich=== Verwendet man als Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> ist <math>\gamma </math> sogar global injektiv und mit der Berechnung der Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> von <math>\widehat{f}</math> als ganze Funktion kann mit <math>\gamma : \left[0,\pi \right] \to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma(t) = e^{it}</math> das Integral analog berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^{\pi} \sin(\gamma(t))\,dz & = & \displaystyle \int_{\gamma} \frac{\sin(z)}{i\cdot z} \,dz \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(\gamma(\pi)\right) - \widehat{F}\left(\gamma\left(0\right)\right) \\ & = & \displaystyle \widehat{F}\left(e^{i\pi}\right) - \widehat{F}\left(e^{i0})\right) = \widehat{F}\left(-1\right) - \widehat{F}\left(1\right) \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} - \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^k}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} + \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{1}{(2k+1)!} \\ & = & \displaystyle \sum^{\infty}_{k=0}\tfrac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \cdot \tfrac{2}{(2k+1)!} \end{array} </math> == Bemerkung - Kosinus == Ersetzt man den Sinus durch den Kosinus in der obigen Gleichung, so kann man das Wegintegral ohne Ableitung erst mit dem [[Residuensatz]] aus der Funktionentheorie berechnen, da die Funktion dann bei der Division durch <math>i\cdot z</math> einen Pol erster Ordnung besitzt. In der zugehörigen [[Laurent-Reihe]] kann man dann das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] ablesen. === Potenzreihe für Kosinus === Die Kosinus-Funktion hat die folgende Potenzreihe mit Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math>: :<math> \cos(z) = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k}}{(2k)!} </math> Die Potenzreihe für die Sinus-Funktion liefert auch die Potenzreihendarstellung für <math>\widehat{f}</math> für den Integranden: :<math> \frac{\cos(z)}{i\cdot z} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mathrm{i}\cdot z)^{2k-1}}{(2k)!} = \widehat{f}(z) </math> === Laurantreihe des Integranden === In der folgenden Laurent-Reihe erhält man mit <math>k=0</math> das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] für <math>k=0</math> mit <math>Res(\widehat{f\,},0)=\frac{\mathrm{i}^{-1}}{0!}= -i</math>: :<math> \frac{\cos(z)}{i\cdot z} = \sum^{\infty}_{k=0}\frac{\mathrm{i}^{2k-1} \cdot z^{2k-1}}{(2k)!} = \widehat{f}(z) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] * [[Laurent-Reihe]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] * [[Residuensatz]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8gqr4zxswyw0ybojj5ztld54w5q5w9q 2 172590 1114136 1113709 2026-09-03T07:55:50Z Paul Sutermeister 37610 1114136 wikitext text/x-wiki # Il vient des États-Unis. Il est acteur. Il est né en mille neuf cent septante-quatre. Il a joué Jack dans Titanic. Il a gagné un Oscar pour The Revenant. Qui est-ce que c'est ? #Il est de Houston. Il est rappeur et chanteur. Il est né en mille neuf cent quatre-vingt-onze. Il est célèbre dans le monde entier. Il a chanté Sicko Mode. #Il vient des États-Unis. Il est chanteur. Il est né en mille neuf cent cinquante-huit. Il est célèbre dans le monde entier. Il a chanté Billie Jean. Il est surnommé le roi de la pop. #Elle vient de Barbade. Elle est chanteuse. Elle est née en mille neuf cent quatre-vingt-huit. Elle chante Umbrella et Diamonds. #Il vient du Brésil. Il est footballeur. Il est né en mille neuf cent quatre-vingt-douze. Il est connu pour sa technique et ses dribbles. #Il vient de Suisse, de la région de Bâle. Il est joueur de tennis. Il a deux garçons jumeaux et deux filles jumelles. #Elle est actrice. Elle vient des États-Unis. Elle joue dans "Spider-Man". Son mari s'appelle Tom. #Il est né en mille neuf cent quatre-vingt-cinq. Il est pilote de Formule un. Il a gagné de multiples championnats dans le monde. Il pilote pour Ferrari. # Il est né le quatorze mars mille neuf cent quatre-vingt-huit. Il est américain. Il joue au basket. Il joue pour les Golden State Warriors. Il porte le numéro trente. Il a gagné quatre titres NBA. # Il a vingt-sept ans. C'est un grand footballeur. Il porte le numéro dix dans le meilleur club du monde. Il a gagné un championnat du monde. Il est très rapide. # C'est un chanteur. Il a grandi à LA. Il détient l'album le plus vendu du monde. Il avait un chimpanzé comme animal de compagnie. Il mesure un mètre soixante-quinze. # C'est un joueur de basket. Il mesure un mètre quatre-vingt-dix-huit. Il est chauve (pas de cheveux). C'est une légende du sport. Il est né en mille neuf cent cinquante-huit. # Elle vient des États-Unis. Elle a un peu plus de quarante ans. Elle a les cheveux blonds. Elle vit à LA. C'est une chanteuse. Elle a chanté "Halo". # C'est un chanteur. Il est mort en deux mille neuf. Il vient des États-Unis. Il avait les cheveux noirs. #C'est un joueur de foot. Il a les cheveux bouclés. Il est né à Marseille. Il habite à Istanbul. # Il a dix-neuf ans. C'est un grand fan de foot. Il habite à quatre mille six cent quatorze Hägendorf. # Il a quarante ans. C'est un joueur de foot. Il joue pour l'Arabie Saoudite. #Il a quarante ans. Il est américain. Il joue au basket. #Il est suisse. Il est né en mille neuf cent sept et mort en mille neuf cent soixante-dix-sept. Il était médecin et écrivain médical. Il était aussi homme politique. Il est connu pour son activisme contre les erreurs judiciaires. Il a écrit sous le pseudonyme "Hans Moehrlen". <!-- == Quiz « Qui est-ce ? » == === 1. Qui est-ce ? === * Elle vient de Colombie. * Elle est chanteuse. * Elle est née en 1977. * Elle est célèbre dans le monde entier. * Elle a chanté « Waka Waka ». <!-- Réponse : Shakira === 2. Qui est-ce ? === * Il vient du Portugal. * Il est footballeur. * Il est né en 1985. * Il a joué au Real Madrid et à Manchester United. * Il est considéré comme l’un des meilleurs footballeurs du monde. <!-- Réponse : Cristiano Ronaldo === 3. Qui est-ce ? === * Elle vient des États-Unis. * Elle est chanteuse et danseuse. * Elle est née en 1981. * Elle est mariée à Jay-Z. * Elle a chanté « Single Ladies ». <!-- Réponse : Beyoncé === 4. Qui est-ce ? === * Il vient d’Argentine. * Il est footballeur. * Il est né en 1987. * Il a joué pendant de nombreuses années au FC Barcelone. * Il a remporté plusieurs Ballons d’Or. <!-- Réponse : Lionel Messi === 5. Qui est-ce ? === * Il vient d’Afrique du Sud. * Il est entrepreneur. * Il est né en 1971. * Il travaille notamment dans les voitures électriques et l’espace. * Il est associé à Tesla et SpaceX. <!-- Réponse : Elon Musk === 6. Qui est-ce ? === * Elle vient du Royaume-Uni. * Elle est chanteuse. * Elle est née en 1988. * Elle est connue pour sa voix puissante. * Elle a chanté « Hello » et « Rolling in the Deep ». <!-- Réponse : Adele === 7. Qui est-ce ? === * Il vient des États-Unis. * Il est acteur. * Il est né en 1956. * Il a joué dans « Forrest Gump ». * Il a aussi joué dans « Cast Away ». <!-- Réponse : Tom Hanks === 8. Qui est-ce ? === * Elle est actrice. * Elle est née en 1990. * Elle est célèbre depuis son enfance. * Elle a joué Hermione Granger. * Elle a joué dans les films « Harry Potter ». <!-- Réponse : Emma Watson === 9. Qui est-ce ? === * Il vient des États-Unis. * Il est acteur. * Il est né en 1965. * Il joue un super-héros de Marvel. * Son personnage s’appelle Tony Stark. <!-- Réponse : Robert Downey Jr. === 10. Qui est-ce ? === * Il vient des États-Unis. * Il est acteur. * Il est né en 1974. * Il a joué Jack dans « Titanic ». * Il a gagné un Oscar pour « The Revenant ». <!-- Réponse : Leonardo DiCaprio === 11. Qui est-ce ? === * Elle vient des États-Unis. * Elle est chanteuse et auteure-compositrice. * Elle est née en 2001. * Elle est connue pour « Bad Guy ». * Elle a un style musical très particulier. <!-- Réponse : Billie Eilish === 12. Qui est-ce ? === * Il vient du Canada. * Il est chanteur. * Il est né en 1994. * Il est devenu célèbre très jeune. * Il a chanté « Baby » et « Sorry ». <!-- Réponse : Justin Bieber === 13. Qui est-ce ? === * Elle vient des États-Unis. * Elle est chanteuse. * Elle est née en 1989. * Elle est connue pour « Shake It Off » et « Love Story ». * Elle est l’une des chanteuses les plus célèbres de sa génération. <!-- Réponse : Taylor Swift === 14. Qui est-ce ? === * Il vient de France. * Il est footballeur. * Il est né en 1998. * Il a joué au Paris Saint-Germain. * Il a remporté la Coupe du monde avec la France en 2018. <!-- Réponse : Kylian Mbappé === 15. Qui est-ce ? === * Il vient des États-Unis. * Il est acteur. * Il est né en 1963. * Il a joué dans « Pirates des Caraïbes ». * Son personnage le plus célèbre est Jack Sparrow. <!-- Réponse : Johnny Depp = Quiz = <quiz display="simple"> { Associe | typ="()" } | douze | port | mot | bus | deux | peur | sept | été | table -------+- [[Datei:Fr-été-fr_CA.ogg]] ---+----- [[Datei:LL-Q150_(fra)-GrandCelinien-bus.wav]] -----+--- [[Datei:LL-Q150_(fra)-WikiLucas00-peur.wav]] -+------- [[Datei:LL-Q150_(fra)-Lepticed7-port.wav]] ----+---- [[Datei:LL-Q150_(fra)-Roll-Morton-deux.wav]] --------+ [[Datei:LL-Q150_(fra)-Aemines1-table.wav]] --+------ [[Datei:LL-Q150_(fra)-Lepticed7-mot.wav]] +-------- [[Datei:Fr-douze.ogg]] ------+-- [[Datei:Fr-sept.ogg]] </quiz> <quiz display="simple"> { Associe | typ="()" } | un | deux | trois | quatre | cinq | six | sept | huit | neuf | dix ---------+ [[Datei:Fr-dix.ogg]] --+------- [[Datei:LL-Q150_(fra)-Lepticed7-trois.wav]] -------+-- [[Datei:Fr-huit.ogg]] ---+------ [[Datei:Fr-quatre.ogg]] ------+--- [[Datei:Fr-sept.ogg]] ----+----- [[Datei:LL-Q150 (fra)-Lepticed7-cinq.wav]] +--------- [[Datei:Fr-un.ogg]] -----+---- [[Datei:LL-Q150 (fra)-Lepticed7-six.wav]] --------+- [[Datei:LL-Q150 (fra)-Lepticed7-neuf.wav]] -+-------- [[Datei:LL-Q150_(fra)-Roll-Morton-deux.wav]] </quiz> <quiz display="simple"> { Associe | typ="()" } | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 -+-------- [[Datei:LL-Q150_(fra)-Roll-Morton-deux.wav]] ---+------ [[Datei:Fr-quatre.ogg]] -------+-- [[Datei:Fr-huit.ogg]] --+------- [[Datei:LL-Q150_(fra)-Lepticed7-trois.wav]] ------+--- [[Datei:Fr-sept.ogg]] ---------+ [[Datei:Fr-dix.ogg]] ----+----- [[Datei:LL-Q150 (fra)-Lepticed7-cinq.wav]] +--------- [[Datei:Fr-un.ogg]] -----+---- [[Datei:LL-Q150 (fra)-Lepticed7-six.wav]] --------+- [[Datei:LL-Q150 (fra)-Lepticed7-neuf.wav]] </quiz> <quiz display="simple"> { Associe | typ="()" } | Ordne zu | Ergänze | Kreuze an | Unterstreiche | Markiere | Verbinde | Sortiere | Ordne -+------ Complète -------+ Mets dans l’ordre --+----- Coche ----+--- Marque / Surligne +------- Associe -----+-- Relie ---+---- Souligne ------+- Classe </quiz> <quiz display="simple"> { Associe | typ="()" } | Associe | Complète | Coche | Souligne | Marque/Surligne | Relie | Classe | Mets dans l’ordre -+------ Ergänze -------+ Ordne --+----- Kreuze an ----+--- Markiere +------- Ordne zu -----+-- Verbinde ---+---- Unterstreiche ------+- Sortiere </quiz> <quiz display="simple"> { Associe | typ="()" } | Schreibe | Lies | Höre zu | Sprich | Wiederhole | Übersetze | Beantworte | Finde | Suche +-------- Écris -+------- Lis --+------ Écoute ---+----- Parle ----+---- Répète -----+--- Traduis ------+-- Réponds à -------+- Trouve --------+ Cherche </quiz> <quiz display="simple"> { Associe | typ="()" } | Écris | Lis | Écoute | Parle | Répète | Traduis | Réponds | Trouve | Cherche +-------- Schreibe -+------- Lies --+------ Höre zu ---+----- Sprich ----+---- Wiederhole -----+--- Übersetze ------+-- Beantworte -------+- Finde --------+ Suche heraus </quiz>--> 2c6g0w5mqn79wat3g9vw96frrr4mu86 106 172600 1114117 1113913 2026-09-02T20:19:17Z Paul Sutermeister 37610 1114117 wikitext text/x-wiki '''Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld''' ist '''[[:w:Handlungskompetenzbereich|Handlungskompetenzbereich B]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Handlungskompetenzbereich|HKB]] zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren|B1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren|B2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren|B3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kaufmännische Projektmanagementaufgaben ausführen und Teilprojekte bearbeiten|B4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten|B5]] ----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten|Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten]] ---+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kaufmännische Projektmanagementaufgaben ausführen und Teilprojekte bearbeiten|Kaufmännische Projektmanagementaufgaben ausführen und Teilprojekte bearbeiten]] +---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren|In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren]] --+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren|In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren]] -+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren|Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB B| ]] bxoi1whsxy1or42f66hmjra5tehzcah 106 172606 1114108 1113690 2026-09-02T16:51:31Z Paul Sutermeister 37610 1114108 wikitext text/x-wiki '''Als selbstverantwortliche Person in der Gesellschaft handeln''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]4 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Selbstverantwortung|A4.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Beziehungen|A4.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konfliktlösung|A4.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wohnungsangebote|A4.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Geld|A4.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schulden|A4.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Versicherung|A4.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorsorge|A4.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Steuererklärung|A4.9]]| [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mobilität|A4.10]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebensgestaltung|A4.11]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Zukunftsszenario|A4.12]] +----------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Selbstverantwortung|Sie beschreiben das Grundprinzip von Selbstverantwortung und Haftung.]] -+---------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Beziehungen|Sie reflektieren Ihre eigenen Erwartungen an Ihre sozialen Beziehungen.]] --+--------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konfliktlösung|Sie wenden in Ihren sozialen Beziehungen Methoden zur respektvollen und konstruktiven Konfliktlösung an.]] ---+-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wohnungsangebote|Sie beurteilen verschiedene Wohnungsangebote aufgrund Ihrer Bedürfnisse und finanziellen Möglichkeiten.]] ----+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Geld|Sie reflektieren Ihren persönlichen Umgang mit Geld und erstellen ein monatliches Budget anhand Ihrer Lohnabrechnung sowie ihres Konsum- und Freizeitverhaltens.]] -----+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schulden|Sie beurteilen Massnahmen zur Vermeidung und Verringerung privater Schulden.]] ------+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Versicherung|Sie analysieren anhand vorgegebener Kriterien die Wahl einer geeigneten Versicherung.]] -------+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorsorge|Sie erläutern das Dreisäulenprinzip der Vorsorge in der Schweiz sowie den Zusammenhang zwischen den Vorsorgearten und den Abzügen im Lohnausweis.]] --------+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Steuererklärung|Sie füllen Ihre eigene Steuererklärung aus.]] ---------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mobilität|Sie erläutern Entwicklungen der regionalen, nationalen und globalen Mobilität, deren Hauptursachen sowie Einflüsse der Mobilität auf Natur, Mensch und Wirtschaft.]] ----------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebensgestaltung|Sie analysieren, welchen Einfluss Ihre Lebensgestaltung auf Natur, Wirtschaft und Gesellschaft hat und entwickeln Massnahmen für persönliches nachhaltiges Handeln.]] -----------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Zukunftsszenario|Sie entwickeln ein Zukunftsszenario für Ihr eigenes Leben.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4]] g1ahzck19ln4xeeq3ebv3ztf3gjhm9d 1114110 1114108 2026-09-02T16:53:54Z Paul Sutermeister 37610 1114110 wikitext text/x-wiki '''Als selbstverantwortliche Person in der Gesellschaft handeln''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]4 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Selbstverantwortung|A4.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Beziehungen|A4.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konfliktlösung|A4.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wohnungsangebote|A4.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Geld|A4.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schulden|A4.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Versicherung|A4.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorsorge|A4.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Steuererklärung|A4.9]]| [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mobilität|A4.10]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebensgestaltung|A4.11]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Zukunftsszenario|A4.12]] +----------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Selbstverantwortung|Sie beschreiben das Grundprinzip von Selbstverantwortung und Haftung.]] -+---------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Beziehungen|Sie reflektieren Ihre eigenen Erwartungen an Ihre sozialen Beziehungen.]] --+--------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konfliktlösung|Sie wenden in Ihren sozialen Beziehungen Methoden zur respektvollen und konstruktiven Konfliktlösung an.]] ---+-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wohnungsangebote|Sie beurteilen verschiedene Wohnungsangebote aufgrund Ihrer Bedürfnisse und finanziellen Möglichkeiten.]] ----+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Geld|Sie reflektieren Ihren persönlichen Umgang mit Geld und erstellen ein monatliches Budget anhand Ihrer Lohnabrechnung sowie ihres Konsum- und Freizeitverhaltens.]] -----+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schulden|Sie beurteilen Massnahmen zur Vermeidung und Verringerung privater Schulden.]] ------+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Versicherung|Sie analysieren anhand vorgegebener Kriterien die Wahl einer geeigneten Versicherung.]] -------+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorsorge|Sie erläutern das Dreisäulenprinzip der Vorsorge in der Schweiz sowie den Zusammenhang zwischen den Vorsorgearten und den Abzügen im Lohnausweis.]] --------+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Steuererklärung|Sie füllen Ihre eigene Steuererklärung aus.]] ---------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mobilität|Sie erläutern Entwicklungen der regionalen, nationalen und globalen Mobilität, deren Hauptursachen sowie Einflüsse der Mobilität auf Natur, Mensch und Wirtschaft.]] ----------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebensgestaltung|Sie analysieren, welchen Einfluss Ihre Lebensgestaltung auf Natur, Wirtschaft und Gesellschaft hat und entwickeln Massnahmen für persönliches nachhaltiges Handeln.]] -----------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Zukunftsszenario|Sie entwickeln ein Zukunftsszenario für Ihr eigenes Leben.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4| ]] o2wl9z1i5kpqy70hotogjw6swdxqnaz 106 172617 1114143 1114005 2026-09-03T10:44:05Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1.1 - Verkleinerung der Umgebung */ 1114143 wikitext text/x-wiki == Spurüberdeckungslemmas == Sei <math> \gamma: [a, b] \to G </math> ein injektiver Weg. Dann gibt es für jede holomorphe Funktion <math> f : G \to \mathbb{C} </math> ein offene Umgebung <math> U \subset G </math> mit <math>Spur(\gamma)\subset U</math>, auf die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> durch endlich viele Potenzreihen <math>F_1, \ldots , F_n</math> als lokale Stammfunktionen von <math> f </math> dargestellt werden. === Bemerkung - Spur === Damit kann insbesondere auf der Spur von <math>Spur (\gamma) := \gamma([a,b])</math> für jeden Spurpunkt die Stammfunktion mit endlich vielen Potenzreihen ausdrücken. == Beweis == In endlich euklidische bzw. unitären Vektorräume kann man die Kompaktheit äquivalent durch die Abgeschlossenheit und Beschränktheit beschreiben. Für das Spurüberdeckungslemma macht es Sinn, die allgemeine Definition der [[Kompaktheit]] zu verwenden, bei der jede offene Überdeckung einer kompakten Menge <math>K</math> eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Als kompakte Menge wird die Spur von <math>\gamma</math> verwendet, die wegen der Stetigkeit von <math>\gamma</math> eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> ist. === Schritt 1 - Offene Kreisscheiben als Überdeckung der Spur === Sei <math> \gamma </math> injektiv, dann gilt für alle <math>t_1 , t_2 \in [a,b]</math> folgende Eigenschaft: :<math> t_1\not= t_2 \Longrightarrow \gamma(t_1) \not= \gamma(t_2) </math> Für jeden Spurpunkt <math>\gamma(t) \in Spur(\gamma)\subset G</math> gibt es wegen der Offenheit von <math>G</math> eine Kreisschreibe <math>\widetilde{D_t}\subset G</math> mit <math>\gamma(t) \in \widetilde{D_t}</math>. ==== Schritt 1.1 - Verkleinerung der Umgebung ==== Da <math>\gamma</math> injektiv ist, kann man den Radius von Kreisschreibe <math>\widetilde{D_t}\subset G</math> so verkleinern, dass für <math> I_t := [t-\delta , t+\delta] \cap [a,b] </math> gilt <math>\gamma(I_t)\subset D_t \subseteq \widetilde{D_t}</math> und <math> \gamma(I_t^c)\cap D_t = \emptyset</math> mit <math>I_t^c:= [a,b]\setminus I_t</math>. Ferner gilt <math>t\in I_t</math> und <math>\gamma(t)\in D_t \subseteq \widetilde{D_t}</math>. Ferner wurden der Kreisscheibenradius von <math>D_t</math> ohne Einschränkung so gewählt, dass auch der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_t}\subset G</math> ganz in <math> G </math> liegt. Diese Voraussetzung ist im weiteren Verlauf des Beweises wesentlich, damit man mit der [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) im Inneren der Kreisscheibe die Funktion <math>f</math> als Potenzreihe darstellen kann (siehe [[Cauchy-Kern]]). Der Rand der Kreisscheibe ist in der [[Cauchy-Integralformel|CIF]] die Spur des Integrationsweges, der dabei ganz in <math>G</math> liegen muss. ==== Schritt 1.2 - Vereinigung der Kreisscheiben ==== Für jeden Punkt <math> \gamma(t) \in \gamma([a, b]) </math> wurde nun eine offene Kreisscheibe <math> D_t \subset G </math> mit <math>\gamma(t)\in D_t</math> gewählt. Die Vereinigung dieser Kreisscheiben <math> D_t </math> überdecken die Spur <math> \gamma([a, b]) </math>, d. h.: :<math> \bigcup_{t \in [a, b]} D_t \supset Spur(\gamma) = \gamma([a, b]) </math> ==== Schritt 1.3 - Kompaktheit der Spur ==== Da die Spur <math> \gamma([a, b]) \subset G \subseteq \mathbb{C}</math> als abgeschlossene und beschränkte Menge kompakt ist, besitzt die offene Überdeckung <math> \bigcup_{t \in [a, b]} D_t</math> der Spur von <math>\gamma </math> eine endliche Teilüberdeckung aus offenen Kreisscheiben. :<math> \underset{n \in \mathbb{N}}{\exists}\, \quad D_{t_1}, \ldots, D_{t_n} \subset U \text{ mit } \bigcup_{i=1}^n D_{t_i} \supset Spur(\gamma) = \gamma([a, b]) </math> === Schritt 2 - Eigenschaft der Argumente === Für die Punkte <math>t_1,\ldots , t_n</math> gelte folgende Eigenschaft: :<math> t_1 < t_2 < \ldots < t_n </math> Ferner haben die Kreisscheiben folgende Eigenschaft für alle <math>i\in \{1,\ldots , n-1\}</math>: :<math> D_{t_i} \cap D_{t_{i+1}} \not= \emptyset </math> === Schritt 3 - Entwicklung von f in Potenzreihen === Auf jeder Kreisscheibe <math> D_{t_i} </math> kann <math> f </math> durch eine Potenzreihe dargestellt werden, da <math> f </math> in <math> \overline{D_{t_i}} \subset G </math> holomorph ist und <math> D_{t_i}</math> eine offene Kreisscheibe in <math>G</math> ist. Sei nun darstellende Potenzreihe wie folgt definiert: :<math> f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{(k,i)} \cdot (z - \gamma(t_i))^k \quad \text{für } z \in D_i </math> wobei <math> \gamma(t_i) </math> der Mittelpunkt von <math> D_{t_i} </math> ist und <math> a_{(k,i)}</math> die Taylorkoeffizienten von <math>f</math> in dem Entwicklungspunkt <math>\gamma(t_i)</math>. === Schritt 4 - Stammfunktionen === Die Stammfunktion von <math> f </math> auf <math> D_{t_i} </math> ist durch die gleichmäßige Konvergenz auf abgeschlossenen Kreisscheiben <math> \overline{D_{t_i}} \subset G </math> der Potenzreihe : :<math> F_i(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{(k,i)}}{k+1} \cdot (z - \gamma(t_i))^{k+1} </math> Die Funktion <math>F_i</math> ist damit die Potenzreihenentwicklung als Stammfunktion <math>F</math> lokal in dem Punkt <math> \gamma(t_i)</math> definiert. === Schritt 5 - Vereinigung als Umgebung der Spur=== Da die Kreisscheiben <math> D_{t_i} </math> offen sind und die <math>Spur(\gamma)</math> wegen der Stetigkeit von <math>\gamma</math> eine zusammenhängende Menge ist, kann man eine Stammfunktion auf der Vereinigung der <math> D_{t_i} </math> mit <math> U:= \bigcup_{i=1}^n D_{t_i}</math> definieren. === Schritt 6 - Endliche Anzahl von Stammfunktionen === Wenn <math>z</math> ein Spurpunkt ist (d.h. <math> z \in \gamma([a, b]) </math>), dann liegt <math> z </math> in mindestens einem der Kreise <math> D_{t_i} </math> (maximal in zwei Kreisscheibe wegen Schritt 2). Sei <math> i </math> der kleinste Index des Kreises, in dem <math> z \in D_{t_i}\subseteq U</math> liegt. Dann gilt für die Stammfunktion auf <math>U</math>: :<math> F(z) = F_i(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{(k,i)}}{k+1} (z - \gamma(t_i))^{k+1} </math> ==== Schritt 7: Endlichkeit der Darstellung ==== Da die Anzahl der Kreisscheiben endlich ist (es gibt nur <math> n </math> Kreisscheiben, die die Spur überdecken), gibt es endlich viele Stammfunktionen <math> F_1, \ldots, F_n </math> als Potenzreihen, mit denen man die Stammfunktion <math>f</math> von <math>F</math> auf <math>U</math> darstellen kann. Die Definitionsbereiche der Potenzreihen <math>F_i</math> der Stammfunktion <math>F</math> überdecken die gesamte Spur <math> \gamma([a, b]) </math>. Damit hat man eine offene Umgebung der <math>Spur(\gamma)</math> und endlich viele Potenzreihen gefunden. === Zusammenfassung - Beweisschritte === * '''Injektiver Weg''': Die Injektivität von <math> \gamma </math> sorgt dafür, dass die Kreisscheiben die Spur des Weges <math>\gamma</math> in einer Sequenz von Kreisscheiben überdeckt werden, wobei sich zwei aufeinanderfolgende Kreisscheiben schneiden. * '''Kompaktheit der Spur''': Die Kompaktheit der Spur ermöglicht eine endliche Teilüberdeckung. * '''Holomorphie und Potenzreihen''': Die Holomorphie von <math> f </math> auf jeder Kreisscheibe erlaubt die Entwicklung in Potenzreihen. * '''Endlich viele Stammfunktionen als Potenzreihen''': Die Definitionsbereiche <math>D_{t_{i}} </math> und <math>D_{t_{i+1}} </math> zweier aufeinanderfolgender Stammfunktionen <math>F_{i}</math> und <math>F_{i+1}</math> haben einen gemeinsamen Schnitt, der als nichtleere Menge nicht diskret ist. Nach dem [[Identitätssatz]] sind damit bei Festlegung der Konstante für <math>F_1</math> auch alle anderen Potenzreihen der Stammfunktion eindeutig festgelegt. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphie/Kriterien]] * [[Potenzreihe]] e592en5t1z1cs8mxoehal3e1a7p9gyf 14 172621 1114109 2026-09-02T16:53:38Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114109 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/Als selbstverantwortliche Person in der Gesellschaft handeln|Handlungskompetenz A4: '''Als selbstverantwortliche Person in der Gesellschaft handeln''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Selbstverantwortung|A4.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Beziehungen|A4.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konfliktlösung|A4.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wohnungsangebote|A4.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Geld|A4.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schulden|A4.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Versicherung|A4.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorsorge|A4.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Steuererklärung|A4.9]]| [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mobilität|A4.10]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebensgestaltung|A4.11]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Zukunftsszenario|A4.12]] +----------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Selbstverantwortung|Sie beschreiben das Grundprinzip von Selbstverantwortung und Haftung.]] -+---------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Beziehungen|Sie reflektieren Ihre eigenen Erwartungen an Ihre sozialen Beziehungen.]] --+--------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Konfliktlösung|Sie wenden in Ihren sozialen Beziehungen Methoden zur respektvollen und konstruktiven Konfliktlösung an.]] ---+-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wohnungsangebote|Sie beurteilen verschiedene Wohnungsangebote aufgrund Ihrer Bedürfnisse und finanziellen Möglichkeiten.]] ----+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Geld|Sie reflektieren Ihren persönlichen Umgang mit Geld und erstellen ein monatliches Budget anhand Ihrer Lohnabrechnung sowie ihres Konsum- und Freizeitverhaltens.]] -----+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schulden|Sie beurteilen Massnahmen zur Vermeidung und Verringerung privater Schulden.]] ------+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Versicherung|Sie analysieren anhand vorgegebener Kriterien die Wahl einer geeigneten Versicherung.]] -------+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Vorsorge|Sie erläutern das Dreisäulenprinzip der Vorsorge in der Schweiz sowie den Zusammenhang zwischen den Vorsorgearten und den Abzügen im Lohnausweis.]] --------+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Steuererklärung|Sie füllen Ihre eigene Steuererklärung aus.]] ---------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Mobilität|Sie erläutern Entwicklungen der regionalen, nationalen und globalen Mobilität, deren Hauptursachen sowie Einflüsse der Mobilität auf Natur, Mensch und Wirtschaft.]] ----------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Lebensgestaltung|Sie analysieren, welchen Einfluss Ihre Lebensgestaltung auf Natur, Wirtschaft und Gesellschaft hat und entwickeln Massnahmen für persönliches nachhaltiges Handeln.]] -----------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Zukunftsszenario|Sie entwickeln ein Zukunftsszenario für Ihr eigenes Leben.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB A]] 5c79dnid4fwptgpz2ouphu7jzukhr93 106 172622 1114111 2026-09-02T18:32:24Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114111 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="()" } | [[:w:Eigenverantwortung|Selbstverantwortung]] | [[:w:Haftung (Recht)|Haftung]] -+ Dein [[:w:Schaden|Schaden]] ist mein Problem. +- Mein Schaden ist mein Problem. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4]] e93a36fmkvb6jfnq74qylkubys2f0st 1114113 1114111 2026-09-02T19:33:50Z Paul Sutermeister 37610 1114113 wikitext text/x-wiki [[Datei:Japanese car accident.jpg|thumb|[[:w:Kaskoversicherung|Kasko]] versus [[:w:Haftpflichtversicherung|Haftpflicht]]]] <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="()" } | [[:w:Eigenverantwortung|Selbstverantwortung]] | [[:w:Haftung (Recht)|Haftung]] -+ Dein [[:w:Schaden|Schaden]] ist mein Problem. +- Mein Schaden ist mein Problem. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4]] 7c5e28vnxfzbgn4qbzg7j7guo4qje2i 106 172623 1114112 2026-09-02T18:46:48Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114112 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { '''Ordne Reihenfolge von 1 bis 3:''' | type="{}" } { 3 _3} Falls nicht: Erwartung ändern. { 2 _3} Ist diese Erwartung realistisch? { 1 _3} Was erwarte ich? </quiz> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4]] a9t5z0ppake8x8mnhl6s2puq6jein83 106 172624 1114114 2026-09-02T20:07:59Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114114 wikitext text/x-wiki '''In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]3 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit und Recht|B3.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wissenslücken schliessen|B3.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechercheergebnisse überprüfen|B3.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aus globalen Wirtschaftsentwicklungen Schlüsse ziehen|B3.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interessen des Betriebs gegenüber Anspruchsgruppen vertreten|B3.5]] +---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit und Recht|Sie bringen sich in wirtschaftlichen Fachdiskussionen mit Arbeitskolleg/innen zu Themen der Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit sowie des Rechts differenziert ein.]] -+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wissenslücken schliessen|Sie erkennen Wissenslücken aus Fachdiskussionen und schliessen diese mithilfe unterschiedlicher Informationsquellen.]] --+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechercheergebnisse überprüfen|Sie überprüfen die Qualität und die Seriosität Ihrer Rechercheergebnisse kritisch.]] ---+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aus globalen Wirtschaftsentwicklungen Schlüsse ziehen|Sie leiten aus aktuellen globalen wirtschaftlichen Entwicklungen für Ihren Betrieb und dessen Wirtschaftszweig Schlussfolgerungen ab.]] ----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interessen des Betriebs gegenüber Anspruchsgruppen vertreten|Sie argumentieren in Fachdiskussionen die spezifische Interessenslage des Betriebs gegenüber verschiedenen Anspruchsgruppen sachlich und überzeugend.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B3| ]] 6uud7wwds8k6iy23cxbyzcgo1rvthjv 1114118 1114114 2026-09-02T20:22:06Z Paul Sutermeister 37610 1114118 wikitext text/x-wiki '''In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|B]]3 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit und Recht|B3.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wissenslücken schliessen|B3.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechercheergebnisse überprüfen|B3.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aus globalen Wirtschaftsentwicklungen Schlüsse ziehen|B3.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interessen des Betriebs gegenüber Anspruchsgruppen vertreten|B3.5]] ---+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aus globalen Wirtschaftsentwicklungen Schlüsse ziehen|Sie leiten aus aktuellen globalen wirtschaftlichen Entwicklungen für Ihren Betrieb und dessen Wirtschaftszweig Schlussfolgerungen ab.]] +---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit und Recht|Sie bringen sich in wirtschaftlichen Fachdiskussionen mit Arbeitskolleg/innen zu Themen der Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit sowie des Rechts differenziert ein.]] ----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interessen des Betriebs gegenüber Anspruchsgruppen vertreten|Sie argumentieren in Fachdiskussionen die spezifische Interessenslage des Betriebs gegenüber verschiedenen Anspruchsgruppen sachlich und überzeugend.]] --+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechercheergebnisse überprüfen|Sie überprüfen die Qualität und die Seriosität Ihrer Rechercheergebnisse kritisch.]] -+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wissenslücken schliessen|Sie erkennen Wissenslücken aus Fachdiskussionen und schliessen diese mithilfe unterschiedlicher Informationsquellen.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B3| ]] l7fzvavw60b4kghhz42reitqcza6ube 14 172625 1114115 2026-09-02T20:14:42Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114115 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren|Handlungskompetenz B3: '''In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit und Recht|B3.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wissenslücken schliessen|B3.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechercheergebnisse überprüfen|B3.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aus globalen Wirtschaftsentwicklungen Schlüsse ziehen|B3.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interessen des Betriebs gegenüber Anspruchsgruppen vertreten|B3.5]] +---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit und Recht|Sie bringen sich in wirtschaftlichen Fachdiskussionen mit Arbeitskolleg/innen zu Themen der Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit sowie des Rechts differenziert ein.]] -+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wissenslücken schliessen|Sie erkennen Wissenslücken aus Fachdiskussionen und schliessen diese mithilfe unterschiedlicher Informationsquellen.]] --+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechercheergebnisse überprüfen|Sie überprüfen die Qualität und die Seriosität Ihrer Rechercheergebnisse kritisch.]] ---+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aus globalen Wirtschaftsentwicklungen Schlüsse ziehen|Sie leiten aus aktuellen globalen wirtschaftlichen Entwicklungen für Ihren Betrieb und dessen Wirtschaftszweig Schlussfolgerungen ab.]] ----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interessen des Betriebs gegenüber Anspruchsgruppen vertreten|Sie argumentieren in Fachdiskussionen die spezifische Interessenslage des Betriebs gegenüber verschiedenen Anspruchsgruppen sachlich und überzeugend.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB B]] 6tj31gi3hw39io3u81b8xlkyubg3rla 1114119 1114115 2026-09-02T20:22:49Z Paul Sutermeister 37610 1114119 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren|Handlungskompetenz B3: '''In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit und Recht|B3.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wissenslücken schliessen|B3.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechercheergebnisse überprüfen|B3.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aus globalen Wirtschaftsentwicklungen Schlüsse ziehen|B3.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interessen des Betriebs gegenüber Anspruchsgruppen vertreten|B3.5]] ---+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Aus globalen Wirtschaftsentwicklungen Schlüsse ziehen|Sie leiten aus aktuellen globalen wirtschaftlichen Entwicklungen für Ihren Betrieb und dessen Wirtschaftszweig Schlussfolgerungen ab.]] +---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit und Recht|Sie bringen sich in wirtschaftlichen Fachdiskussionen mit Arbeitskolleg/innen zu Themen der Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit sowie des Rechts differenziert ein.]] ----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Interessen des Betriebs gegenüber Anspruchsgruppen vertreten|Sie argumentieren in Fachdiskussionen die spezifische Interessenslage des Betriebs gegenüber verschiedenen Anspruchsgruppen sachlich und überzeugend.]] --+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechercheergebnisse überprüfen|Sie überprüfen die Qualität und die Seriosität Ihrer Rechercheergebnisse kritisch.]] -+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wissenslücken schliessen|Sie erkennen Wissenslücken aus Fachdiskussionen und schliessen diese mithilfe unterschiedlicher Informationsquellen.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB B]] aulfkbbck9u295xtzqfo0h596ps5c72 14 172626 1114116 2026-09-02T20:18:13Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114116 wikitext text/x-wiki In dieser Kategorie befinden sich die Handlungskompetenzen (HKB) des '''[[Kurs:Kaufleute EFZ/Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld|HKB B (Interagieren in einem vernetzten Arbeitsumfeld)]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Handlungskompetenzbereich|HKB]] zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren|B1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren|B2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren|B3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kaufmännische Projektmanagementaufgaben ausführen und Teilprojekte bearbeiten|B4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten|B5]] ----+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten|Betriebliche Veränderungsprozesse mitgestalten]] ---+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Kaufmännische Projektmanagementaufgaben ausführen und Teilprojekte bearbeiten|Kaufmännische Projektmanagementaufgaben ausführen und Teilprojekte bearbeiten]] +---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren|In unterschiedlichen Teams zur Bearbeitung kaufmännischer Aufträge zusammenarbeiten und kommunizieren]] --+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren|In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren]] -+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren|Schnittstellen in betrieblichen Prozessen koordinieren]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ]] s6avzsobaxl48e1dzylm887c2gkdekv 106 172627 1114120 2026-09-02T20:51:22Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114120 wikitext text/x-wiki '''Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|A5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|A5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|A5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|A5.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|A5.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|A5.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|A5.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|A5.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|A5.9]] +-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|Sie skizzieren die Gliederung und den Aufbau der Rechtsordnung sowie die Bedeutung der Bundesverfassung und der Bundesgesetze in der Rechtsordnung.]] -+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|Sie erläutern wichtige Grundsätze der schweizerischen Demokratie sowie die Gewaltenteilung mit den Aufgaben von Legislative, Exekutive und Justiz auf Bundesebene.]] --+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|Sie erklären die Möglichkeiten zur aktiven Teilnahme am politischen Leben.]] ---+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|Sie setzen sich mit aktuellen politischen Ereignissen auseinander und unterscheiden dabei die wichtigsten Interessengruppen und die daraus entstehenden Spannungsfelder.]] ----+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|Sie analysieren den Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf ihre eigene Meinung]] -----+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|Sie bilden sich zu politischen Themen eine eigene Meinung und begründen sie mit Argumenten.]] ------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|Sie analysieren die Funktionsweisen von Medien und deren Einfluss auf die Meinungsbildung.]] -------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|Sie informieren sich über aktuelle Fragen der Migration und des Asylwesens.]] --------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|Sie schildern Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen auf sie selbst.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A5| ]] bsnydui9v96690o0o9ut06a9kiwkzlt 1114128 1114120 2026-09-02T22:14:33Z Paul Sutermeister 37610 1114128 wikitext text/x-wiki '''Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|A5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|A5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|A5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|A5.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|A5.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|A5.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|A5.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|A5.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|A5.9]] -+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|Sie erläutern wichtige Grundsätze der schweizerischen Demokratie sowie die Gewaltenteilung mit den Aufgaben von Legislative, Exekutive und Justiz auf Bundesebene.]] -----+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|Sie bilden sich zu politischen Themen eine eigene Meinung und begründen sie mit Argumenten.]] ------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|Sie analysieren die Funktionsweisen von Medien und deren Einfluss auf die Meinungsbildung.]] ----+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|Sie analysieren den Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf ihre eigene Meinung]] -------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|Sie informieren sich über aktuelle Fragen der Migration und des Asylwesens.]] ---+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|Sie setzen sich mit aktuellen politischen Ereignissen auseinander und unterscheiden dabei die wichtigsten Interessengruppen und die daraus entstehenden Spannungsfelder.]] +-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|Sie skizzieren die Gliederung und den Aufbau der Rechtsordnung sowie die Bedeutung der Bundesverfassung und der Bundesgesetze in der Rechtsordnung.]] --+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|Sie erklären die Möglichkeiten zur aktiven Teilnahme am politischen Leben.]] --------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|Sie schildern Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen auf sie selbst.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A5| ]] lfx8zoah11umdoohlhh3x57h5ko0tth 1114129 1114128 2026-09-02T22:15:05Z Paul Sutermeister 37610 1114129 wikitext text/x-wiki '''Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen''' ist Handlungskompetenz [[Kurs:Kaufleute EFZ/Handeln in agilen Arbeits- und Organisationsformen|A]]5 der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|A5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|A5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|A5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|A5.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|A5.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|A5.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|A5.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|A5.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|A5.9]] -+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|Sie erläutern wichtige Grundsätze der schweizerischen Demokratie sowie die Gewaltenteilung mit den Aufgaben von Legislative, Exekutive und Justiz auf Bundesebene.]] -----+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|Sie bilden sich zu politischen Themen eine eigene Meinung und begründen sie mit Argumenten.]] ------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|Sie analysieren die Funktionsweisen von Medien und deren Einfluss auf die Meinungsbildung.]] ----+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|Sie analysieren den Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf ihre eigene Meinung]] -------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|Sie informieren sich über aktuelle Fragen der Migration und des Asylwesens.]] ---+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|Sie setzen sich mit aktuellen politischen Ereignissen auseinander und unterscheiden dabei die wichtigsten Interessengruppen und die daraus entstehenden Spannungsfelder.]] +-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|Sie skizzieren die Gliederung und den Aufbau der Rechtsordnung sowie die Bedeutung der Bundesverfassung und der Bundesgesetze in der Rechtsordnung.]] --+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|Sie erklären die Möglichkeiten zur aktiven Teilnahme am politischen Leben.]] --------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|Sie schildern Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen auf Sie selbst.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A5| ]] r07pwh1t6qyslg8qr576h0ywh5zwv63 14 172628 1114121 2026-09-02T20:53:59Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114121 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen|Handlungskompetenz A5: '''Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|A5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|A5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|A5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|A5.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|A5.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|A5.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|A5.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|A5.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|A5.9]] +-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|Sie skizzieren die Gliederung und den Aufbau der Rechtsordnung sowie die Bedeutung der Bundesverfassung und der Bundesgesetze in der Rechtsordnung.]] -+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|Sie erläutern wichtige Grundsätze der schweizerischen Demokratie sowie die Gewaltenteilung mit den Aufgaben von Legislative, Exekutive und Justiz auf Bundesebene.]] --+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|Sie erklären die Möglichkeiten zur aktiven Teilnahme am politischen Leben.]] ---+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|Sie setzen sich mit aktuellen politischen Ereignissen auseinander und unterscheiden dabei die wichtigsten Interessengruppen und die daraus entstehenden Spannungsfelder.]] ----+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|Sie analysieren den Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf ihre eigene Meinung]] -----+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|Sie bilden sich zu politischen Themen eine eigene Meinung und begründen sie mit Argumenten.]] ------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|Sie analysieren die Funktionsweisen von Medien und deren Einfluss auf die Meinungsbildung.]] -------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|Sie informieren sich über aktuelle Fragen der Migration und des Asylwesens.]] --------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|Sie schildern Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen auf sie selbst.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB A]] b06gwp1aq8a10fmzibustwtx3cadtvf 1114127 1114121 2026-09-02T22:14:05Z Paul Sutermeister 37610 1114127 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen|Handlungskompetenz A5: '''Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|A5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|A5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|A5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|A5.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|A5.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|A5.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|A5.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|A5.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|A5.9]] -+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|Sie erläutern wichtige Grundsätze der schweizerischen Demokratie sowie die Gewaltenteilung mit den Aufgaben von Legislative, Exekutive und Justiz auf Bundesebene.]] -----+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|Sie bilden sich zu politischen Themen eine eigene Meinung und begründen sie mit Argumenten.]] ------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|Sie analysieren die Funktionsweisen von Medien und deren Einfluss auf die Meinungsbildung.]] ----+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|Sie analysieren den Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf ihre eigene Meinung]] -------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|Sie informieren sich über aktuelle Fragen der Migration und des Asylwesens.]] ---+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|Sie setzen sich mit aktuellen politischen Ereignissen auseinander und unterscheiden dabei die wichtigsten Interessengruppen und die daraus entstehenden Spannungsfelder.]] +-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|Sie skizzieren die Gliederung und den Aufbau der Rechtsordnung sowie die Bedeutung der Bundesverfassung und der Bundesgesetze in der Rechtsordnung.]] --+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|Sie erklären die Möglichkeiten zur aktiven Teilnahme am politischen Leben.]] --------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|Sie schildern Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen auf sie selbst.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB A]] 1yiym0dotpmul4aamnm43v6tja2xc03 1114130 1114127 2026-09-02T22:15:20Z Paul Sutermeister 37610 1114130 wikitext text/x-wiki Diese Kategorie umfasst Leistungsziele der [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen|Handlungskompetenz A5: '''Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen''']].<ref>[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 ''Bildungsplan zur Verordnung des SBFI vom 16. August 2021 über die berufliche Grundbildung für Kauffrau/Kaufmann mit eidgenössischem Fähigkeitszeugnis (EFZ)'']</ref> <quiz display="simple"> { Ordne die Leistungsziele zu: | typ="()" } | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|A5.1]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|A5.2]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|A5.3]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|A5.4]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|A5.5]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|A5.6]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|A5.7]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|A5.8]] | [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|A5.9]] -+------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Demokratie und Gewaltenteilung|Sie erläutern wichtige Grundsätze der schweizerischen Demokratie sowie die Gewaltenteilung mit den Aufgaben von Legislative, Exekutive und Justiz auf Bundesebene.]] -----+--- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Eigene Meinung zu politischen Themen|Sie bilden sich zu politischen Themen eine eigene Meinung und begründen sie mit Argumenten.]] ------+-- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von Medien auf die Meinungsbildung|Sie analysieren die Funktionsweisen von Medien und deren Einfluss auf die Meinungsbildung.]] ----+---- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf eigene Meinung|Sie analysieren den Einfluss von politischen Entscheidungsträgern auf ihre eigene Meinung]] -------+- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Migration und Asylwesen|Sie informieren sich über aktuelle Fragen der Migration und des Asylwesens.]] ---+----- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Politische Ereignisse|Sie setzen sich mit aktuellen politischen Ereignissen auseinander und unterscheiden dabei die wichtigsten Interessengruppen und die daraus entstehenden Spannungsfelder.]] +-------- [[Kurs:Kaufleute EFZ/Rechtsordnung|Sie skizzieren die Gliederung und den Aufbau der Rechtsordnung sowie die Bedeutung der Bundesverfassung und der Bundesgesetze in der Rechtsordnung.]] --+------ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Teilnahme am politischen Leben|Sie erklären die Möglichkeiten zur aktiven Teilnahme am politischen Leben.]] --------+ [[Kurs:Kaufleute EFZ/Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen|Sie schildern Wirkungen unterschiedlicher Kunstformen auf Sie selbst.]] </quiz> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB A]] 8ts96kwa12527o7i7rg3tfxeimvrnrr 106 172629 1114122 2026-09-02T21:55:52Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114122 wikitext text/x-wiki = Mobilität = == Definition == '''Mobilität''' bezeichnet die Bewegung von Menschen und Gütern von einem Ort zum anderen. Beispiele für Verkehrsmittel: * Auto * Zug * Bus * Flugzeug * Fahrrad * Schiff * Lastwagen == Entwicklung der Mobilität == Die Mobilität hat sich in den vergangenen Jahrzehnten stark entwickelt. Menschen und Waren können heute '''schneller, weiter und häufiger''' transportiert werden. {| class="wikitable" ! Ebene ! Beispiele |- | '''Regional''' | Pendeln zwischen Gemeinden, Bus, Zug, Fahrrad |- | '''National''' | Reisen innerhalb der Schweiz, Gütertransport auf Strasse und Schiene |- | '''Global''' | Flugreisen, Containerschiffe, internationale Lieferketten |} == Hauptursachen für die zunehmende Mobilität == Wichtige Ursachen für die Entwicklung der Mobilität sind: * '''Bevölkerungswachstum:''' Mehr Menschen müssen sich fortbewegen. * '''Wirtschaftswachstum:''' Es werden mehr Waren produziert und transportiert. * '''Globalisierung:''' Unternehmen kaufen und verkaufen Waren weltweit. * '''Urbanisierung:''' Wohnen, Arbeiten und Freizeit finden häufig an unterschiedlichen Orten statt. * '''Technischer Fortschritt:''' Autos, Züge und Flugzeuge wurden schneller und leistungsfähiger. * '''Höherer Wohlstand:''' Mehr Menschen können sich Fahrzeuge und Reisen leisten. * '''Digitalisierung:''' Homeoffice und digitale Arbeitsformen verändern beispielsweise das Pendelverhalten. == Auswirkungen auf die Natur == === Negative Auswirkungen === Die zunehmende Mobilität belastet die Umwelt unter anderem durch: * CO₂- und andere Treibhausgasemissionen * Luftverschmutzung * Lärm * Flächen- und Bodenverbrauch * Zerschneidung von Lebensräumen * Verlust von Biodiversität * Verbrauch von Rohstoffen === Mögliche Lösungen === Die Umweltbelastung kann unter anderem reduziert werden durch: * öffentlichen Verkehr * Fahrrad- und Fussverkehr * Elektrofahrzeuge * Carsharing * die Kombination verschiedener Verkehrsmittel * den Einsatz erneuerbarer Energien == Auswirkungen auf den Menschen == === Positive Auswirkungen === Mobilität bietet verschiedene Vorteile: * mehr Freiheit und Lebensqualität * einfacheres Reisen * bessere Erreichbarkeit von Arbeitsplätzen und Schulen * soziale Kontakte über grössere Distanzen * Zugang zu Waren und Dienstleistungen === Negative Auswirkungen === Mobilität kann den Menschen auch belasten: * Verkehrslärm * Luftverschmutzung * Verkehrsunfälle * Stress und Staus * gesundheitliche Belastungen === Externe Kosten === Ein Teil der durch Mobilität verursachten Schäden wird als '''externe Kosten''' bezeichnet. Dabei handelt es sich um Kosten, die nicht direkt von der verursachenden Person oder dem verursachenden Unternehmen getragen werden. Stattdessen werden sie beispielsweise von der Allgemeinheit oder zukünftigen Generationen getragen. == Auswirkungen auf die Wirtschaft == === Vorteile === Mobilität ist für die Wirtschaft von grosser Bedeutung: * Unternehmen können Waren weltweit verkaufen. * Mitarbeitende können grössere Distanzen zurücklegen. * Der Tourismus wird ermöglicht. * Internationale Lieferketten werden ermöglicht. * Regionen werden wirtschaftlich besser erschlossen. === Nachteile === Die Mobilität verursacht gleichzeitig verschiedene wirtschaftliche Nachteile: * hohe Kosten für Verkehrsinfrastruktur * Staus und Zeitverluste * Umwelt- und Gesundheitskosten * Abhängigkeit von internationalen Lieferketten * steigender Ressourcenverbrauch == Merksatz == {{Merksatz |Mehr Mobilität bedeutet mehr Möglichkeiten für Mensch und Wirtschaft, aber auch mehr Belastungen für Umwelt und Gesundheit. }} == Zusammenfassung == Das Leistungsziel verlangt, dass man die '''Entwicklung der regionalen, nationalen und globalen Mobilität''' erklären kann. Dabei sollen insbesondere die '''Hauptursachen''' sowie die Auswirkungen der Mobilität auf '''Natur, Mensch und Wirtschaft''' verstanden werden. {| class="wikitable" ! Bereich ! Wichtige Auswirkungen |- | '''Natur''' | Treibhausgase, Luftverschmutzung, Lärm, Flächenverbrauch, Ressourcenverbrauch |- | '''Mensch''' | bessere Erreichbarkeit und Reisemöglichkeiten, aber auch Lärm, Stress und Gesundheitsbelastungen |- | '''Wirtschaft''' | Handel, Tourismus und Lieferketten, aber auch Infrastrukturkosten und Abhängigkeiten |} [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4]] bkeof7h4rf68nmyiwwoyntc8ycjb2yl 1114123 1114122 2026-09-02T21:59:24Z Paul Sutermeister 37610 /* Merksatz */ 1114123 wikitext text/x-wiki = Mobilität = == Definition == '''Mobilität''' bezeichnet die Bewegung von Menschen und Gütern von einem Ort zum anderen. Beispiele für Verkehrsmittel: * Auto * Zug * Bus * Flugzeug * Fahrrad * Schiff * Lastwagen == Entwicklung der Mobilität == Die Mobilität hat sich in den vergangenen Jahrzehnten stark entwickelt. Menschen und Waren können heute '''schneller, weiter und häufiger''' transportiert werden. {| class="wikitable" ! Ebene ! Beispiele |- | '''Regional''' | Pendeln zwischen Gemeinden, Bus, Zug, Fahrrad |- | '''National''' | Reisen innerhalb der Schweiz, Gütertransport auf Strasse und Schiene |- | '''Global''' | Flugreisen, Containerschiffe, internationale Lieferketten |} == Hauptursachen für die zunehmende Mobilität == Wichtige Ursachen für die Entwicklung der Mobilität sind: * '''Bevölkerungswachstum:''' Mehr Menschen müssen sich fortbewegen. * '''Wirtschaftswachstum:''' Es werden mehr Waren produziert und transportiert. * '''Globalisierung:''' Unternehmen kaufen und verkaufen Waren weltweit. * '''Urbanisierung:''' Wohnen, Arbeiten und Freizeit finden häufig an unterschiedlichen Orten statt. * '''Technischer Fortschritt:''' Autos, Züge und Flugzeuge wurden schneller und leistungsfähiger. * '''Höherer Wohlstand:''' Mehr Menschen können sich Fahrzeuge und Reisen leisten. * '''Digitalisierung:''' Homeoffice und digitale Arbeitsformen verändern beispielsweise das Pendelverhalten. == Auswirkungen auf die Natur == === Negative Auswirkungen === Die zunehmende Mobilität belastet die Umwelt unter anderem durch: * CO₂- und andere Treibhausgasemissionen * Luftverschmutzung * Lärm * Flächen- und Bodenverbrauch * Zerschneidung von Lebensräumen * Verlust von Biodiversität * Verbrauch von Rohstoffen === Mögliche Lösungen === Die Umweltbelastung kann unter anderem reduziert werden durch: * öffentlichen Verkehr * Fahrrad- und Fussverkehr * Elektrofahrzeuge * Carsharing * die Kombination verschiedener Verkehrsmittel * den Einsatz erneuerbarer Energien == Auswirkungen auf den Menschen == === Positive Auswirkungen === Mobilität bietet verschiedene Vorteile: * mehr Freiheit und Lebensqualität * einfacheres Reisen * bessere Erreichbarkeit von Arbeitsplätzen und Schulen * soziale Kontakte über grössere Distanzen * Zugang zu Waren und Dienstleistungen === Negative Auswirkungen === Mobilität kann den Menschen auch belasten: * Verkehrslärm * Luftverschmutzung * Verkehrsunfälle * Stress und Staus * gesundheitliche Belastungen === Externe Kosten === Ein Teil der durch Mobilität verursachten Schäden wird als '''externe Kosten''' bezeichnet. Dabei handelt es sich um Kosten, die nicht direkt von der verursachenden Person oder dem verursachenden Unternehmen getragen werden. Stattdessen werden sie beispielsweise von der Allgemeinheit oder zukünftigen Generationen getragen. == Auswirkungen auf die Wirtschaft == === Vorteile === Mobilität ist für die Wirtschaft von grosser Bedeutung: * Unternehmen können Waren weltweit verkaufen. * Mitarbeitende können grössere Distanzen zurücklegen. * Der Tourismus wird ermöglicht. * Internationale Lieferketten werden ermöglicht. * Regionen werden wirtschaftlich besser erschlossen. === Nachteile === Die Mobilität verursacht gleichzeitig verschiedene wirtschaftliche Nachteile: * hohe Kosten für Verkehrsinfrastruktur * Staus und Zeitverluste * Umwelt- und Gesundheitskosten * Abhängigkeit von internationalen Lieferketten * steigender Ressourcenverbrauch == Merksatz == Mehr Mobilität bedeutet mehr Möglichkeiten für Mensch und Wirtschaft, aber auch mehr Belastungen für Umwelt und Gesundheit. == Zusammenfassung == Das Leistungsziel verlangt, dass man die '''Entwicklung der regionalen, nationalen und globalen Mobilität''' erklären kann. Dabei sollen insbesondere die '''Hauptursachen''' sowie die Auswirkungen der Mobilität auf '''Natur, Mensch und Wirtschaft''' verstanden werden. {| class="wikitable" ! Bereich ! Wichtige Auswirkungen |- | '''Natur''' | Treibhausgase, Luftverschmutzung, Lärm, Flächenverbrauch, Ressourcenverbrauch |- | '''Mensch''' | bessere Erreichbarkeit und Reisemöglichkeiten, aber auch Lärm, Stress und Gesundheitsbelastungen |- | '''Wirtschaft''' | Handel, Tourismus und Lieferketten, aber auch Infrastrukturkosten und Abhängigkeiten |} [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4]] 2npjbpa3y971w5n6wtq0z2pw208sw07 106 172630 1114124 2026-09-02T21:59:58Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114124 wikitext text/x-wiki == Nachhaltiges Handeln == === Einfluss der Lebensgestaltung === Die persönliche Lebensgestaltung hat Auswirkungen auf verschiedene Bereiche: * '''Natur:''' Unser Konsum, unsere Ernährung und unsere Mobilität beeinflussen die Umwelt, beispielsweise durch den Verbrauch von Ressourcen und den Ausstoss von CO₂. * '''Wirtschaft:''' Durch unsere Kaufentscheidungen beeinflussen wir, welche Produkte hergestellt und welche Unternehmen unterstützt werden. * '''Gesellschaft:''' Unser Verhalten kann Auswirkungen auf Arbeitsbedingungen, soziale Gerechtigkeit und die Lebensqualität anderer Menschen haben. === Massnahmen für nachhaltiges Handeln === Um den eigenen Einfluss zu reduzieren und nachhaltiger zu leben, können beispielsweise folgende Massnahmen umgesetzt werden: # Weniger Lebensmittel wegwerfen und Food Waste vermeiden. # Öffentliche Verkehrsmittel, das Fahrrad oder zu Fuss gehen anstelle des Autos nutzen. # Regionale und saisonale Produkte bevorzugen. # Produkte länger verwenden, reparieren oder wiederverwenden. # Beim Einkauf auf langlebige und nachhaltig produzierte Produkte achten. === Fazit === Nachhaltigkeit beginnt im Alltag. Bereits kleine Veränderungen im persönlichen Verhalten können dazu beitragen, die Natur zu schützen, Ressourcen zu schonen und eine faire Gesellschaft zu fördern. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4]] noid7gnu1keh9ugs52i91x8qk5aj7e4 106 172631 1114125 2026-09-02T22:05:14Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114125 wikitext text/x-wiki '''„Sie entwickeln ein Zukunftsszenario für Ihr eigenes Leben.“''' Das Leistungsziel A4 bedeutet, dass man sich Gedanken über die eigene Zukunft macht und daraus ein realistisches Zukunftsszenario entwickelt. = Was wird von mir erwartet? = Dabei kann ich verschiedene Bereiche meines zukünftigen Lebens beschreiben: * '''Beruf:''' Wo möchte ich in 5–10 Jahren arbeiten? Welche Position möchte ich haben? * '''Weiterbildung:''' Möchte ich eine Weiterbildung, eine höhere Fachschule oder ein Studium machen? * '''Finanzen:''' Wie möchte ich mit meinem Geld umgehen? Möchte ich sparen, investieren oder eine eigene Wohnung finanzieren? * '''Wohnen:''' Wo und wie möchte ich leben? * '''Familie & Beziehungen:''' Welche Bedeutung haben Familie, Freunde und Partnerschaft für mich? * '''Freizeit:''' Welche Hobbys und Aktivitäten möchte ich pflegen? * '''Gesundheit:''' Wie möchte ich auf meine körperliche und mentale Gesundheit achten? * '''Gesellschaft:''' Wie möchte ich mich in der Gesellschaft engagieren? * '''Persönliche Entwicklung:''' Welche Fähigkeiten und Eigenschaften möchte ich entwickeln? = Beispiel für ein Zukunftsszenario = == Mein Leben in 10 Jahren == In zehn Jahren bin ich 28 Jahre alt und habe meine Ausbildung als Kaufmann/Kauffrau EFZ erfolgreich abgeschlossen. Nach der Lehre möchte ich Berufserfahrung sammeln und mich im Bereich Marketing und Kommunikation weiterbilden. Mein Ziel ist es, später eine verantwortungsvolle Position in einem Unternehmen zu übernehmen. Privat möchte ich selbstständig leben und eine eigene Wohnung haben. Finanziell ist es mir wichtig, meine Ausgaben im Griff zu haben, regelmässig zu sparen und mir gleichzeitig etwas für Freizeit und Reisen leisten zu können. In meiner Freizeit möchte ich weiterhin Zeit mit meiner Familie und meinen Freunden verbringen. Ausserdem möchte ich regelmässig Sport treiben und jedes Jahr mindestens eine grössere Reise unternehmen. Auch meine persönliche Entwicklung ist mir wichtig. Ich möchte selbstbewusst auftreten, Verantwortung übernehmen und mich neuen Herausforderungen stellen. In der Gesellschaft möchte ich mich respektvoll verhalten und, wenn möglich, andere Menschen unterstützen. '''Mein Ziel ist ein selbstständiges und ausgeglichenes Leben, in dem ich beruflich erfolgreich bin, aber auch genügend Zeit für meine Gesundheit, Familie, Freunde und persönliche Interessen habe.''' == Mein persönliches Zukunftsszenario == Um das Zukunftsszenario auf mich persönlich anzupassen, kann ich folgende Fragen beantworten: # Wie alt bin ich in 5 bzw. 10 Jahren? # Welchen Beruf möchte ich ausüben? # Welche Weiterbildungen möchte ich machen? # Wo möchte ich wohnen? # Wie möchte ich meine Finanzen organisieren? # Welche Bedeutung haben Familie und Freunde für mich? # Welche Hobbys möchte ich weiterhin ausüben? # Wie möchte ich auf meine Gesundheit achten? # Wie möchte ich mich gesellschaftlich engagieren? # Welche persönlichen Ziele möchte ich erreichen? [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A4]] l7h1h2rfbqpdhr3cpq1mitc8zvlszjh 106 172632 1114126 2026-09-02T22:12:02Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114126 wikitext text/x-wiki '''Handlungskompetenz A5:''' Politische Themen und kulturelles Bewusstsein im Handeln einbeziehen '''Leistungsziel:''' ''Sie informieren sich über aktuelle Fragen der Migration und des Asylwesens.'' == Was bedeutet Migration? == '''Migration''' bedeutet, dass Menschen ihren Wohnort über eine längere Zeit oder dauerhaft wechseln. Menschen können aus verschiedenen Gründen migrieren: * '''Arbeit:''' Eine Person findet eine Arbeitsstelle in der Schweiz. * '''Ausbildung:''' Eine Person kommt für ein Studium in die Schweiz. * '''Familie:''' Eine Person zieht zu Familienangehörigen. * '''Lebensbedingungen:''' Eine Person möchte bessere wirtschaftliche oder soziale Perspektiven. * '''Flucht:''' Eine Person verlässt ihr Land, weil sie verfolgt wird oder wegen Krieg bzw. anderer Gefahren Schutz benötigt. '''Wichtig:''' Nicht jede Person, die in die Schweiz einwandert, ist eine asylsuchende Person. == Was bedeutet Asyl? == '''Asyl''' ist Schutz, den ein Staat Menschen gewährt, die in ihrem Herkunftsland verfolgt werden. Eine Person, die in der Schweiz Schutz sucht, kann ein '''Asylgesuch''' stellen. Die Schweizer Behörden prüfen dann unter anderem: * Warum musste die Person ihr Land verlassen? * Ist sie persönlich verfolgt? * Sind die Angaben glaubwürdig? * Ist die Schweiz für die Behandlung des Gesuchs zuständig? Das Asylverfahren entscheidet also '''nicht automatisch zugunsten der asylsuchenden Person'''. == Migration und Asyl – der Unterschied == {| class="wikitable" ! Migration ! Asyl |- | Oberbegriff für die Wanderung von Menschen | Spezifischer Schutz vor Verfolgung |- | Gründe können Arbeit, Familie, Ausbildung usw. sein | Grund ist Schutzsuche |- | Kann freiwillig erfolgen | Häufig unfreiwillige Flucht |- | Aufenthaltsrecht hängt vom jeweiligen Grund ab | Es gibt ein eigenes Asylverfahren |} === Merksatz === <blockquote> '''Migration ist der Oberbegriff. Asyl ist ein besonderer Schutzweg für Menschen, die Schutz vor Verfolgung suchen.''' </blockquote> == Was ist das Dublin-Verfahren? == Die Schweiz ist Teil des '''Dublin-Raums'''. Dieser umfasst die EU-Staaten sowie Norwegen, Island, Liechtenstein und die Schweiz. Grundsätzlich soll '''nur ein Dublin-Staat für die Prüfung eines Asylgesuchs zuständig sein'''. Beispiel: <blockquote> Eine Person reist über einen anderen Dublin-Staat in die Schweiz ein und stellt hier ein Asylgesuch. </blockquote> Dann wird geprüft, ob beispielsweise der andere Staat für das Asylverfahren zuständig ist. Ist das der Fall, kann die Schweiz die Überstellung dieses Menschen in den zuständigen Dublin-Staat beantragen. === Warum gibt es Dublin? === Damit eine Person nicht gleichzeitig bzw. nacheinander in mehreren Dublin-Staaten Asylverfahren durchläuft. Dazu werden unter anderem Fingerabdrücke mit der europäischen Datenbank '''Eurodac''' abgeglichen. == Schutzstatus S == Ein aktuelles Beispiel für eine besondere Form des Schutzes ist der '''Schutzstatus S'''. Dieser wurde 2022 im Zusammenhang mit dem Krieg in der Ukraine aktiviert. Er ermöglicht bestimmten schutzsuchenden Personen aus der Ukraine einen '''vorübergehenden Schutz''', ohne dass jede Person zuerst ein normales individuelles Asylverfahren durchlaufen muss. Der Status S ist deshalb '''nicht dasselbe wie Asyl'''. === Einfach erklärt === ;Asyl: :„Ich werde persönlich verfolgt und brauche Schutz.“ ;Status S: :„Ich gehöre zu einer definierten Gruppe von Menschen, die wegen einer schweren Krisensituation vorübergehend Schutz benötigen.“ == Was ist aktuell politisch wichtig? == Migration und Asyl sind in der Schweiz regelmässig Gegenstand politischer Diskussionen. === Neuer EU-Migrations- und Asylpakt === Die Schweiz hat die schweizerischen Rechtsgrundlagen zur Übernahme und Umsetzung des EU-Migrations- und Asylpakts am '''12. Juni 2026''' in Kraft gesetzt. Das ist für die Schweiz wichtig, weil sie eng mit den europäischen Staaten im Bereich '''Schengen und Dublin''' zusammenarbeitet. === Schutzstatus S === Der Bundesrat beschäftigt sich weiterhin mit der Zukunft des Schutzstatus S. Im Juni 2026 startete er beispielsweise eine Konsultation zur Frage des Schutzstatus S '''nach März 2027'''. === Entwicklung der Asylgesuche === Das '''Staatssekretariat für Migration (SEM)''' veröffentlicht laufend aktuelle Asylstatistiken. Für 2026 sind bereits Monats- und Halbjahresdaten verfügbar. '''Hinweis:''' Für eine Prüfung sollten aktuelle Zahlen immer mit dem neuesten Stand der offiziellen SEM-Statistik abgeglichen werden. == Warum ist das für Kaufleute EFZ wichtig? == Das Thema betrifft Kaufleute direkt. In einem Unternehmen können Mitarbeitende oder Kundinnen und Kunden beispielsweise unterschiedliche: * Nationalitäten * Sprachen * Religionen * kulturelle Hintergründe * Aufenthaltsbewilligungen * Lebenserfahrungen haben. Eine kaufmännische Fachperson sollte deshalb '''respektvoll, sachlich und diskriminierungsfrei''' handeln. === Beispiel aus dem Berufsalltag === Du arbeitest am Empfang eines Unternehmens. Eine Kundin spricht nur wenig Deutsch und kommt aus einem anderen Land. Du weisst nicht, welchen Aufenthaltsstatus sie besitzt. '''Unprofessionell:''' <blockquote> „Sie sind doch Ausländerin – haben Sie überhaupt eine Bewilligung?“ </blockquote> '''Professionell:''' <blockquote> „Gerne helfe ich Ihnen weiter. Welche Unterlagen benötigen Sie genau?“ </blockquote> Der Unterschied liegt darin, dass du '''nicht aufgrund von Herkunft oder Aussehen urteilst''', sondern dich auf die konkrete geschäftliche Situation konzentrierst. == Kulturelles Bewusstsein == Kulturelles Bewusstsein bedeutet, dass man sich bewusst ist: <blockquote> '''Nicht alle Menschen denken, kommunizieren und handeln gleich.''' </blockquote> Das bedeutet aber nicht, dass man jede Person aufgrund ihrer Herkunft in eine Schublade stecken soll. === Gute Grundsätze im Berufsalltag === ;Offen sein :Andere Sichtweisen kennenlernen. ;Nachfragen :Bei Unsicherheit lieber höflich fragen. ;Nicht verallgemeinern :„Alle Menschen aus Land X sind …“ → vermeiden. ;Respektvoll kommunizieren :Auch bei unterschiedlichen Meinungen. ;Gleich behandeln :Herkunft, Hautfarbe oder Sprache dürfen nicht zu ungerechtfertigter Benachteiligung führen. == Lernfragen == === Frage 1 === '''Was bedeutet Migration?''' '''Antwort:''' Migration bedeutet, dass Menschen ihren Wohnort über längere Zeit oder dauerhaft wechseln. === Frage 2 === '''Was ist Asyl?''' '''Antwort:''' Asyl ist Schutz für Menschen, die in ihrem Herkunftsland verfolgt werden und deshalb Schutz suchen. === Frage 3 === '''Sind alle Migrantinnen und Migranten Asylsuchende?''' '''Antwort:''' Nein. Migration kann beispielsweise wegen Arbeit, Ausbildung oder Familie erfolgen. === Frage 4 === '''Was ist das Dublin-Verfahren?''' '''Antwort:''' Es regelt, welcher Dublin-Staat für die Behandlung eines Asylgesuchs zuständig ist. === Frage 5 === '''Was ist der Schutzstatus S?''' '''Antwort:''' Ein vorübergehender Schutzstatus für bestimmte Gruppen von Menschen, die aufgrund einer schweren Krisensituation Schutz benötigen. === Frage 6 === '''Warum ist kulturelles Bewusstsein für Kaufleute wichtig?''' '''Antwort:''' Weil Kaufleute mit Menschen mit unterschiedlichen kulturellen und persönlichen Hintergründen zu tun haben. Respektvolle und diskriminierungsfreie Kommunikation ist deshalb wichtig. == Kleine Prüfungsaufgabe == === Situation === Du arbeitest in einem Unternehmen. Ein neuer Mitarbeiter kommt aus einem anderen Land. Einige Mitarbeitende machen Witze über seinen Akzent und behaupten, Menschen aus seinem Land seien „immer so“. === Aufgaben === '''a)''' Welches Problem erkennst du? '''b)''' Warum ist das im Berufsalltag problematisch? '''c)''' Wie solltest du als kaufmännische Fachperson reagieren? === Musterlösung === '''a)''' Es handelt sich um eine Verallgemeinerung und möglicherweise um diskriminierendes Verhalten. '''b)''' Solches Verhalten kann die betroffene Person ausgrenzen und das Arbeitsklima verschlechtern. '''c)''' Eine kaufmännische Fachperson sollte respektvoll reagieren, Verallgemeinerungen nicht unterstützen und zu einem professionellen und wertschätzenden Umgang beitragen. == 🧠 Das solltest du für die Prüfung können == {| class="wikitable" ! Begriff ! Bedeutung |- | '''Migration''' | Menschen wechseln ihren Wohnort. |- | '''Asyl''' | Schutz vor Verfolgung. |- | '''Asylsuchende''' | Personen, deren Asylgesuch noch geprüft wird. |- | '''Flüchtling''' | Person, die die Voraussetzungen für die Flüchtlingseigenschaft erfüllt. |- | '''Dublin-Verfahren''' | Bestimmt, welcher Dublin-Staat für ein Asylgesuch zuständig ist. |- | '''Status S''' | Vorübergehender Schutz für eine definierte Gruppe. |- | '''Kulturelles Bewusstsein''' | Andere kulturelle Hintergründe respektieren und eigene Vorurteile reflektieren. |} === Für Kaufleute besonders wichtig === * professionell kommunizieren * respektvoll handeln * offen gegenüber unterschiedlichen Hintergründen sein * keine Vorurteile und Verallgemeinerungen verwenden * Menschen unabhängig von Herkunft oder Kultur fair behandeln * bei Unsicherheit nachfragen * aktuelle politische Entwicklungen verfolgen == Quellen und weiterführende Informationen == * [https://www.sem.admin.ch/sem/de/home/asyl.html Staatssekretariat für Migration (SEM) – Asyl] * [https://www.sem.admin.ch/sem/de/home/asyl/dublin.html Staatssekretariat für Migration (SEM) – Dublin] * [https://www.sem.admin.ch/sem/de/home/publiservice/statistik/asylstatistik.html Staatssekretariat für Migration (SEM) – Asylstatistik] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK A5]] 7nephpv9swq7s39c1v350jc4ngl3gko 106 172633 1114131 2026-09-02T22:26:52Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114131 wikitext text/x-wiki = In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren = Das Leistungsziel gehört zur Handlungskompetenz B3 der Ausbildung Kaufleute EFZ: <blockquote> „Sie bringen sich in wirtschaftlichen Fachdiskussionen mit Arbeitskolleg/innen zu Themen der Ethik, Moral, Technologie, Ökologie, Nachhaltigkeit sowie des Rechts differenziert ein.“ </blockquote> == Was bedeutet das Leistungsziel? == Lernende sollen sich bei wirtschaftlichen Diskussionen ''aktiv, sachlich und differenziert'' beteiligen können – auch wenn es um kontroverse Themen geht. Dabei geht es nicht nur darum, eine eigene Meinung zu haben, sondern diese ''begründet zu vertreten'', andere Argumente aufzunehmen und verschiedene Perspektiven abzuwägen. == Was bedeutet „differenziert einbringen“? == Eine lernende Person kann: * eine eigene Position formulieren: „Ich bin der Meinung, dass …“ * Argumente nennen und begründen: „Das sehe ich so, weil …“ * verschiedene Perspektiven berücksichtigen, beispielsweise von: ** Unternehmen ** Mitarbeitenden ** Kundschaft ** Staat ** Umwelt * Vor- und Nachteile abwägen: „Einerseits …, andererseits …“ * auf andere Meinungen eingehen: „Ich verstehe deinen Punkt, allerdings …“ * zwischen Fakten und persönlicher Meinung unterscheiden * wirtschaftliche Zusammenhänge erkennen * bei Bedarf rechtliche, ethische, ökologische oder technologische Aspekte einbeziehen == Beispiel: Künstliche Intelligenz im Unternehmen == === Einfache Aussage === <blockquote> „Ich finde KI gut, weil sie die Arbeit erleichtert.“ </blockquote> === Differenzierte Beteiligung === <blockquote> „Ich sehe den Einsatz von KI in Unternehmen grundsätzlich positiv, weil repetitive Aufgaben effizienter erledigt werden können. Gleichzeitig sehe ich Risiken für Mitarbeitende, insbesondere wenn Arbeitsplätze durch Automatisierung wegfallen. Ausserdem stellt sich die Frage, wie mit vertraulichen Unternehmensdaten umgegangen wird. Deshalb finde ich, dass Unternehmen klare Regeln für den Einsatz von KI festlegen sollten.“ </blockquote> Hier werden verschiedene Aspekte miteinander verbunden: * '''Technologie''' * '''Wirtschaft''' * '''Arbeitswelt''' * '''Datenschutz''' * '''eigene Position''' Die Aussage zeigt damit eine '''differenzierte Beteiligung an einer wirtschaftlichen Fachdiskussion'''. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B3]] e4p79vmw0sjplyhx1ka909jb6lx2dsi 106 172634 1114132 2026-09-02T22:31:40Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114132 wikitext text/x-wiki Handlungskompetenz: '''B3 – In wirtschaftlichen Fachdiskussionen mitdiskutieren''' Leistungsziel: ''Sie erkennen Wissenslücken aus Fachdiskussionen und schliessen diese mithilfe unterschiedlicher Informationsquellen.'' == Lernaufgabe: «Was weiss ich eigentlich darüber?» == === Ausgangslage === In einer Teamsitzung diskutieren Sie über die wirtschaftliche Situation in der Schweiz. Dabei fallen verschiedene Aussagen: <blockquote> '''Person A:''' «Die SNB hat den Leitzins gesenkt. Das dürfte die Wirtschaft ankurbeln.» '''Person B:''' «Ja, aber dadurch könnte auch die Inflation wieder stärker werden.» '''Person C:''' «Ich glaube nicht, dass der Leitzins einen grossen Einfluss auf Unternehmen hat.» '''Person A:''' «Doch, für Unternehmen werden Kredite dadurch günstiger.» </blockquote> Sie stellen während der Diskussion fest, dass Sie einige der verwendeten Begriffe und Zusammenhänge nicht vollständig verstehen. == Arbeitsauftrag == === 1. Wissenslücken erkennen === Notieren Sie mindestens '''drei Begriffe oder Aussagen''', bei denen Sie während der Diskussion eine Wissenslücke feststellen. {| class="wikitable" ! Begriff / Aussage !! Was weiss ich bereits? !! Was möchte ich wissen? |- | Leitzins || || |- | Inflation || || |- | Wirkung auf Unternehmen || || |} === 2. Fragen formulieren === Formulieren Sie zu Ihren Wissenslücken konkrete Recherchefragen. Beispiele: * Was ist der Leitzins? * Wie beeinflusst eine Leitzinssenkung die Wirtschaft? * Welche Auswirkungen hat der Leitzins auf Unternehmen? * Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Leitzins und Inflation? === 3. Unterschiedliche Informationsquellen nutzen === Recherchieren Sie die Antworten mithilfe von mindestens '''drei unterschiedlichen Informationsquellen'''. Mögliche Informationsquellen: * Lehrmittel oder Fachbuch * Website einer Behörde oder Institution * Zeitungs- oder Fachartikel * Statistik * Gesetzestext * Fachorganisation * seriöse Wirtschaftswebsite Dokumentieren Sie Ihre Recherche: {| class="wikitable" ! Recherchefrage !! Informationsquelle !! Wichtigste Erkenntnis |- | Was ist der Leitzins? || || |- | Wie beeinflusst eine Leitzinssenkung die Wirtschaft? || || |- | Welche Auswirkungen hat der Leitzins auf Unternehmen? || || |} === 4. Wissen überprüfen === Vergleichen Sie Ihre ursprünglichen Vorstellungen mit den Ergebnissen Ihrer Recherche. Beantworten Sie anschliessend: # Welche Wissenslücke konnte ich schliessen? # Welche Information war für mich neu? # Welche Quelle war besonders hilfreich? # Gibt es Aussagen aus der ursprünglichen Diskussion, die ich nun anders beurteilen würde? === 5. Wieder in die Diskussion einsteigen === Bereiten Sie eine kurze Aussage vor, mit der Sie sich nach Ihrer Recherche erneut an der Fachdiskussion beteiligen könnten. Beispiel: <blockquote> «Ich habe mich genauer mit dem Leitzins beschäftigt. Eine Senkung kann Kredite günstiger machen und dadurch Konsum und Investitionen fördern. Gleichzeitig kann sie aber auch den Preisdruck erhöhen. Deshalb ist die Aussage, dass eine Leitzinssenkung die Wirtschaft ankurbelt, grundsätzlich richtig, aber die Auswirkungen sind komplexer.» </blockquote> == Erwartete Leistung == Die Lernenden können: * Wissenslücken während einer wirtschaftlichen Fachdiskussion erkennen; * aus Wissenslücken konkrete Fragen ableiten; * selbstständig geeignete Informationsquellen auswählen; * Informationen aus verschiedenen Quellen zusammentragen; * die recherchierten Informationen verständlich zusammenfassen; * das neu erworbene Wissen auf die ursprüngliche Fachdiskussion übertragen. == Bewertungskriterien == {| class="wikitable" ! Kriterium !! Erfüllt !! Teilweise erfüllt !! Nicht erfüllt |- | Mindestens drei Wissenslücken wurden erkannt. || || || |- | Zu den Wissenslücken wurden konkrete Fragen formuliert. || || || |- | Mindestens drei unterschiedliche Informationsquellen wurden verwendet. || || || |- | Die Informationen wurden korrekt und verständlich zusammengefasst. || || || |- | Die Erkenntnisse wurden auf die ursprüngliche Fachdiskussion übertragen. || || || |- | Die verwendeten Quellen sind nachvollziehbar angegeben. || || || |} == Lösungshinweise für Lehrpersonen == Mögliche Erkenntnisse der Lernenden: * Der '''Leitzins''' beeinflusst die allgemeinen Zinssätze im Finanzsystem und damit unter anderem die Kosten von Krediten. * Eine Senkung der Zinsen kann Kredite attraktiver machen und dadurch Investitionen und Konsum fördern. * Tiefere Zinsen können unter bestimmten Umständen den Preisdruck erhöhen. * Unternehmen können von günstigeren Finanzierungsmöglichkeiten profitieren. * Die tatsächlichen Auswirkungen einer Zinsänderung hängen von verschiedenen wirtschaftlichen Rahmenbedingungen ab. Wichtig ist nicht, dass alle Lernenden exakt dieselben Antworten finden. Entscheidend ist, dass sie den Prozess '''Wissenslücke erkennen → Frage formulieren → recherchieren → Informationen beurteilen → Wissen anwenden''' nachvollziehbar durchlaufen. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HK B3]] qgkpvacm54057sjto6tzu8bvvaph2k8 106 172635 1114139 2026-09-03T10:18:12Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114139 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. ==Injektivitätslemma für Wege== Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver Weg'''. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> eine abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_t} </math> um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>, so dass: :<math> (t-\delta_1,t+\delta_2 ) = \gamma^{-1}(D_t) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist stetig. === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. Wir wählen eine Kreisscheibe <math> D_t </math> um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r_t </math>: :<math> D_t = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r_t \} </math> frp67bf3qjhymcr6p6d850cxzddx3qd 1114140 1114139 2026-09-03T10:18:26Z Bert Niehaus 20843 /* Injektivitätslemma für Wege */ 1114140 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. ==Injektivitätslemma für Wege== Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver Weg'''. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> eine abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_t} </math> um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>, so dass: :<math> (t-\delta_1,t+\delta_2 ) = \gamma^{-1}(D_t) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist stetig. === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. Wir wählen eine Kreisscheibe <math> D_t </math> um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r_t </math>: :<math> D_t = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r_t \} </math> mcf1aeirxad7ou74isr1i5xn208bng2 1114149 1114140 2026-09-03T11:07:18Z Bert Niehaus 20843 /* Injektivitätslemma für Wege */ 1114149 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver Weg'''. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> eine abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_t} </math> um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>, so dass: :<math> (t-\delta_1,t+\delta_2 ) = \gamma^{-1}(D_t) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist stetig. === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. Wir wählen eine Kreisscheibe <math> D_t </math> um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r_t </math>: :<math> D_t = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r_t \} </math> 5fj8ka2jhtk62ra3g7xee9tcghnsi1e 1114150 1114149 2026-09-03T11:11:18Z Bert Niehaus 20843 /* Injektivitätslemma für Wege */ 1114150 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver Weg'''. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> eine abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_t} </math> um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>, so dass: :<math> [t-\delta_1,t+\delta_2] = \gamma^{-1}(\overline{D_t}) \subseteq [a,b] </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist stetig. === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. Wir wählen eine Kreisscheibe <math> D_t </math> um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r_t </math>: :<math> D_t = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r_t \} </math> mdbde9o66v5cbwcbalclmvblai84g0m 1114151 1114150 2026-09-03T11:11:54Z Bert Niehaus 20843 /* Injektivitätslemma für Wege */ 1114151 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver Weg'''. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> eine abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_t} </math> um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>, so dass: :<math> [t-\delta_1,t+\delta_2] = \gamma^{-1}(\overline{D_t}) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist stetig. === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. Wir wählen eine Kreisscheibe <math> D_t </math> um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r_t </math>: :<math> D_t = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r_t \} </math> p4h00dg1evih2qnflnzpijxop6bbx6d 1114152 1114151 2026-09-03T11:13:17Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Voraussetzungen */ 1114152 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Injektivitätslemmas für Wege mit Kreisscheiben wird für den [[Kurs:Funktionentheorie/Spurüberdeckungslemma|Spurüberdeckungslemma]] von Wegen benötigt. == Injektivitätslemma für Wege == Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver Weg'''. Dann gibt es für jeden Spurpunkt <math> \gamma(t) </math> eine abgeschlossen Kreisscheibe <math> \overline{D_t} </math> um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>, so dass: :<math> [t-\delta_1,t+\delta_2] = \gamma^{-1}(\overline{D_t}) </math> == Beweis == Sei <math> D_t := D_{r_t}(\gamma(t)) </math> offene Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0 </math> und <math> \overline{D_t} </math> die abgeschlossen Kreisscheibe um <math> \gamma(t) </math> mit Radius <math> r_t > 0</math>. === Schritt 1 - Voraussetzungen === Sei <math> \gamma </math> ein injektiver Weg, d. h.: * <math> \gamma </math> ist injektiv, * <math> \gamma </math> ist stetig (d.h. Urbilder <math> \gamma^{-1}(U) </math> von offenen Menge <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> sind. === Schritt 2 - Definition der Kreisscheibe === Sei <math> \gamma(t_0) = z_0 </math> ein Spurpunkt. Wir wählen eine Kreisscheibe <math> D_t </math> um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r_t </math>: :<math> D_t = \{ z \in \mathbb{C} \mid | z - z_0 | < r_t \} </math> 3l0tiu1r6bshdbmvx8zrwutanilr09m 2 172636 1114153 2026-09-03T11:16:36Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114153 wikitext text/x-wiki == Supprimez l'intrus == === 1–20 === # une pomme – une chaise – une fraise – une orange # un crayon – une salade – un livre – un stylo # lundi – mardi – janvier – dimanche # rouge – bleu – une table – jaune # un frère – une ville – une sœur – un cousin # France – Allemagne – Marseille – Autriche # un chat – un chien – une voiture – une vache # un professeur – un élève – une école – un enseignant # une banane – une pomme – une chaise – une poire # un cahier – un stylo – une tomate – un crayon # mercredi – avril – vendredi – lundi # vert – jaune – bleu – une maison # une mère – une sœur – un père – un vélo # Paris – Berlin – la France – Madrid # un chien – une vache – un chat – une table # une école – un professeur – une pomme – un élève # février – dimanche – mars – janvier # une chaise – une table – une fraise – un lit # un pantalon – une banane – une chemise – une jupe # un café – un jus – un livre – un thé === 21–40 === # une voiture – un vélo – une pomme – un bus # petit – grand – jaune – jeune # un médecin – une école – un professeur – un boulanger # le matin – lundi – l'après-midi – le soir # une chambre – une maison – un appartement – un chien # trois – mardi – deux – cinq # noir – janvier – blanc – rouge # une pomme – une poire – un livre – une fraise # un cousin – une tante – une école – un oncle # lundi – août – mardi – jeudi # la Suisse – Zurich – la France – l'Italie # un stylo – une gomme – une salade – un crayon # un chat – une voiture – un cheval – un chien # une chemise – une maison – un pantalon – des chaussures # salut – merci – bonjour – au revoir # un professeur – un café – un jus – un thé # avril – mercredi – mai – juin # une mère – une table – un père – une sœur # un livre – une pomme – un journal – un magazine # rouge – une chaise – vert – jaune === 41–60 === # Paris – Lyon – l'Allemagne – Marseille # un bus – une banane – un train – un avion # une cuisine – un professeur – une chambre – une salle de bains # un garçon – une voiture – une fille – un homme # un médecin – un pantalon – une infirmière – un professeur # dimanche – septembre – samedi – vendredi # une orange – un livre – une pomme – une poire # un lit – une chaise – une fraise – une table # grand – mardi – petit – beau # janvier – samedi – juin – octobre # l'Autriche – Paris – la Suisse – l'Allemagne # une sœur – un vélo – un frère – un cousin # une maison – un chien – un chat – un poisson # une robe – une voiture – un pantalon – une jupe # rouge – salut – bonjour – bonsoir # un crayon – un café – un stylo – une gomme # lundi – décembre – mardi – mercredi # une banane – une cuisine – une chambre – un salon # un père – un cahier – une mère – un grand-père # une école – bleu – vert – noir === 61–80 === # une fraise – une pomme – une orange – un pantalon # mardi – jeudi – vendredi – novembre # un père – un frère – une sœur – une chaise # une table – un lit – un canapé – une tomate # bleu – rouge – vert – une banane # un train – un avion – une voiture – une pomme # Paris – Rome – Madrid – la Suisse # une jupe – une robe – un manteau – une maison # un chat – un poisson – un cheval – un livre # une mère – un cousin – une tante – un crayon # janvier – mars – juin – mercredi # une cuisine – une salle de bains – une chambre – un chien # un boulanger – un médecin – un professeur – une voiture # bonjour – salut – bonsoir – mardi # une pomme – une poire – une banane – une école # un pantalon – un pull – une chemise – un vélo # petit – grand – beau – décembre # la France – l'Italie – l'Espagne – Lyon # une chaise – un fauteuil – un canapé – une orange # un stylo – un crayon – un cahier – une tomate === 81–100 === # lundi – mardi – samedi – février # une sœur – une mère – une fille – une table # un chien – un chat – une vache – un avion # rouge – jaune – vert – une maison # un livre – un journal – un magazine – une banane # une voiture – un bus – un train – une fraise # un professeur – un élève – un étudiant – une pomme # Paris – Marseille – Bordeaux – l'Allemagne # une chemise – un pantalon – une jupe – une chaise # un café – un thé – un jus – un livre # dimanche – lundi – mercredi – août # un père – une mère – un oncle – une école # une pomme – une orange – une poire – un stylo # petit – grand – jeune – jeudi # la Suisse – l'Autriche – la France – Genève # un vélo – une voiture – un bus – un professeur # une chambre – une cuisine – un salon – une pomme # un chat – un chien – un lapin – une maison # janvier – février – avril – vendredi # un manteau – un pull – une veste – une banane === 101–120 === # une banane – une pomme – une fraise – une chaise # un crayon – un stylo – une gomme – un café # mardi – mercredi – jeudi – octobre # bleu – vert – noir – une table # un frère – une sœur – un cousin – une voiture # France – Allemagne – Autriche – Paris # un cheval – un chien – un chat – une chaise # un professeur – un élève – une école – un boulanger # une maison – un appartement – une chambre – une tomate # un pantalon – une chemise – une jupe – un livre # lundi – vendredi – dimanche – mai # une mère – un père – un grand-père – une école # un train – un bus – un avion – une orange # rouge – jaune – blanc – un cahier # une pomme – une poire – une banane – un médecin # Paris – Lyon – Marseille – l'Italie # un lit – une chaise – une table – une fraise # un médecin – une infirmière – un professeur – une voiture # salut – bonjour – bonsoir – janvier # une robe – un manteau – un pantalon – un chien 8m3nfy84wv1byv93pajv4sxn2x498sd 1114154 1114153 2026-09-03T11:20:04Z Paul Sutermeister 37610 1114154 wikitext text/x-wiki == Supprimez l'intrus == === 1–20 === # une pomme – une chaise – une fraise – une orange # un crayon – une salade – un livre – un stylo # lundi – mardi – janvier – dimanche # rouge – bleu – une table – jaune # un frère – une ville – une sœur – un cousin # France – Allemagne – Marseille – Autriche # un chat – un chien – une voiture – une vache # un professeur – un élève – une école – un enseignant # une banane – une pomme – une chaise – une poire # un cahier – un stylo – une tomate – un crayon # mercredi – avril – vendredi – lundi # vert – jaune – bleu – une maison # une mère – une sœur – un père – un vélo # Paris – Berlin – la France – Madrid # un chien – une vache – un chat – une table # une école – un professeur – une pomme – un élève # février – dimanche – mars – janvier # une chaise – une table – une fraise – un lit # un pantalon – une banane – une chemise – une jupe # un café – un jus – un livre – un thé === 21–40 === # une voiture – un vélo – une pomme – un bus # petit – grand – jaune – jeune # un médecin – une école – un professeur – un boulanger # le matin – lundi – l'après-midi – le soir # une chambre – une maison – un appartement – un chien # trois – mardi – deux – cinq # noir – janvier – blanc – rouge # une pomme – une poire – un livre – une fraise # un cousin – une tante – une école – un oncle # lundi – août – mardi – jeudi # la Suisse – Zurich – la France – l'Italie # un stylo – une gomme – une salade – un crayon # un chat – une voiture – un cheval – un chien # une chemise – une maison – un pantalon – des chaussures # salut – merci – bonjour – au revoir # un professeur – un café – un jus – un thé # avril – mercredi – mai – juin # une mère – une table – un père – une sœur # un livre – une pomme – un journal – un magazine # rouge – une chaise – vert – jaune === 41–60 === # Paris – Lyon – l'Allemagne – Marseille # un bus – une banane – un train – un avion # une cuisine – un professeur – une chambre – une salle de bains # un garçon – une voiture – une fille – un homme # un médecin – un pantalon – une infirmière – un professeur # dimanche – septembre – samedi – vendredi # une orange – un livre – une pomme – une poire # un lit – une chaise – une fraise – une table # grand – mardi – petit – beau # janvier – samedi – juin – octobre # l'Autriche – Paris – la Suisse – l'Allemagne # une sœur – un vélo – un frère – un cousin # une maison – un chien – un chat – un poisson # une robe – une voiture – un pantalon – une jupe # rouge – salut – bonjour – bonsoir # un crayon – un café – un stylo – une gomme # lundi – décembre – mardi – mercredi # une banane – une cuisine – une chambre – un salon # un père – un cahier – une mère – un grand-père # une école – bleu – vert – noir === 61–80 === # une fraise – une pomme – une orange – un pantalon # mardi – jeudi – vendredi – novembre # un père – un frère – une sœur – une chaise # une table – un lit – un canapé – une tomate # bleu – rouge – vert – une banane # un train – un avion – une voiture – une pomme # Paris – Rome – Madrid – la Suisse # une jupe – une robe – un manteau – une maison # un chat – un poisson – un cheval – un livre # une mère – un cousin – une tante – un crayon # janvier – mars – juin – mercredi # une cuisine – une salle de bains – une chambre – un chien # un boulanger – un médecin – un professeur – une voiture # bonjour – salut – bonsoir – mardi # une pomme – une poire – une banane – une école # un pantalon – un pull – une chemise – un vélo # petit – grand – beau – décembre # la France – l'Italie – l'Espagne – Lyon # une chaise – un fauteuil – un canapé – une orange # un stylo – un crayon – un cahier – une tomate === 81–100 === # lundi – mardi – samedi – février # une sœur – une mère – une fille – une table # un chien – un chat – une vache – un avion # rouge – jaune – vert – une maison # un livre – un journal – un magazine – une banane # une voiture – un bus – un train – une fraise # un professeur – un élève – un étudiant – une pomme # Paris – Marseille – Bordeaux – l'Allemagne # une chemise – un pantalon – une jupe – une chaise # un café – un thé – un jus – un livre # dimanche – lundi – mercredi – août # un père – une mère – un oncle – une école # une pomme – une orange – une poire – un stylo # petit – grand – jeune – jeudi # la Suisse – l'Autriche – la France – Genève # un vélo – une voiture – un bus – un professeur # une chambre – une cuisine – un salon – une pomme # un chat – un chien – un lapin – une maison # janvier – février – avril – vendredi # un manteau – un pull – une veste – une banane === 101–120 === # une banane – une pomme – une fraise – une chaise # un crayon – un stylo – une gomme – un café # mardi – mercredi – jeudi – octobre # bleu – vert – noir – une table # un frère – une sœur – un cousin – une voiture # France – Allemagne – Autriche – Paris # un cheval – un chien – un chat – une chaise # un professeur – un élève – une école – un boulanger # une maison – un appartement – une chambre – une tomate # un pantalon – une chemise – une jupe – un livre # lundi – vendredi – dimanche – mai # une mère – un père – un grand-père – une école # un train – un bus – un avion – une orange # rouge – jaune – blanc – un cahier # une pomme – une poire – une banane – un médecin # Paris – Lyon – Marseille – l'Italie # un lit – une chaise – une table – une fraise # un médecin – une infirmière – un professeur – une voiture # salut – bonjour – bonsoir – janvier # une robe – un manteau – un pantalon – un chien = Exercices de vocabulaire – Niveau A1 = == Exercice 1 – Les langues == '''Complétez par un mot qui convient.''' # Maria habite à Madrid, elle parle __________. # Tom habite à Londres, il parle __________. # Luca habite à Rome, il parle __________. # Sophie habite à Paris, elle parle __________. # Anna habite à Berlin, elle parle __________. # Pedro habite à Lisbonne, il parle __________. # Yuki habite à Tokyo, elle parle __________. # Olga habite à Moscou, elle parle __________. # Juan habite à Buenos Aires, il parle __________. # Emma habite à Amsterdam, elle parle __________. # Mehmet habite à Ankara, il parle __________. # Claire habite à Bruxelles, elle parle __________. # David habite à Dublin, il parle __________. # Paolo habite à Naples, il parle __________. # Lena habite à Vienne, elle parle __________. == Exercice 2 – Les pays == '''Complétez par un pays.''' # Paris est en __________. # Berlin est en __________. # Madrid est en __________. # Rome est en __________. # Londres est en __________. # Lisbonne est au __________. # Tokyo est au __________. # Vienne est en __________. # Amsterdam est aux __________. # Ankara est en __________. # Bruxelles est en __________. # Dublin est en __________. # Athènes est en __________. # Oslo est en __________. # Stockholm est en __________. == Exercice 3 – Les nationalités == '''Complétez par la nationalité qui convient.''' # Paul habite en France. Il est __________. # Maria habite en Espagne. Elle est __________. # Hans habite en Allemagne. Il est __________. # Lucia habite en Italie. Elle est __________. # John habite en Angleterre. Il est __________. # Pedro habite au Portugal. Il est __________. # Yuki habite au Japon. Elle est __________. # Anna habite en Autriche. Elle est __________. # Mehmet habite en Turquie. Il est __________. # Olga habite en Russie. Elle est __________. # Emma habite aux Pays-Bas. Elle est __________. # Sophie habite en Belgique. Elle est __________. == Exercice 4 – La famille == '''Complétez par un mot qui convient.''' # La sœur de ma mère est ma __________. # Le frère de mon père est mon __________. # La mère de ma mère est ma __________. # Le père de mon père est mon __________. # Le fils de mes parents est mon __________. # La fille de mes parents est ma __________. # La mère de Paul est sa __________. # Le père de Marie est son __________. # Le frère de Julie est son __________. # La sœur de Marc est sa __________. # Paul et Marie sont mariés. Marie est la __________ de Paul. # Paul et Marie sont mariés. Paul est le __________ de Marie. == Exercice 5 – Les professions == '''Complétez par un métier.''' # Marie travaille à l'hôpital. Elle est __________. # Paul travaille dans une école. Il est __________. # Sophie travaille dans un restaurant. Elle est __________. # Marc conduit un bus. Il est __________. # Anna travaille dans un bureau. Elle est __________. # Pierre fait du pain. Il est __________. # Julie travaille dans un magasin. Elle est __________. # Thomas soigne les animaux. Il est __________. # Claire travaille dans une pharmacie. Elle est __________. # Lucas fait des photos. Il est __________. # Emma travaille dans un hôtel. Elle est __________. # Daniel prépare des plats au restaurant. Il est __________. == Exercice 6 – Les objets == '''Complétez par un mot qui convient.''' # J'écris avec un __________. # Je lis un __________. # Je téléphone avec mon __________. # Je bois de l'eau dans un __________. # Je mange avec une __________. # Je coupe le pain avec un __________. # Je ferme la porte avec une __________. # Je regarde l'heure sur ma __________. # Je porte mes vêtements dans une __________. # Je m'assois sur une __________. # Je dors dans un __________. # J'ouvre la porte avec une __________. == Exercice 7 – La nourriture == '''Complétez par un aliment ou une boisson.''' # Le matin, je bois un café et je mange du __________. # Je bois de l'eau quand j'ai __________. # Pour le petit-déjeuner, je mange du pain avec du __________. # J'aime les fruits. Je mange une __________. # Je mange une soupe avec une __________. # Au restaurant, je commande du poisson avec des __________. # Je mange une salade avec des __________. # Après le repas, je mange une __________. # Quand il fait chaud, je bois de l'__________. # Pour le dîner, je mange du riz avec des __________. == Exercice 8 – Les endroits == '''Complétez par un lieu.''' # Je prends le train à la __________. # J'achète du pain à la __________. # J'achète des médicaments à la __________. # Je vais à la __________ pour apprendre. # Je vais à l'__________ pour voir un médecin. # Je prends un avion à l'__________. # Je fais des courses au __________. # Je lis des livres à la __________. # Je nage à la __________. # Je prends un café au __________. == Exercice 9 – La maison == '''Complétez par une pièce de la maison.''' # Je dors dans la __________. # Je prépare le repas dans la __________. # Je prends une douche dans la __________ de bains. # Je regarde la télévision dans le __________. # Je mange avec ma famille dans la __________. # Je travaille dans le __________. # Je mets ma voiture dans le __________. # Je me repose dans le __________. == Exercice 10 – Les jours et les moments == '''Complétez par un mot qui convient.''' # Après lundi, c'est __________. # Après mardi, c'est __________. # Après mercredi, c'est __________. # Après jeudi, c'est __________. # Après vendredi, c'est __________. # Après samedi, c'est __________. # Le matin, je prends mon __________-déjeuner. # À midi, je prends le __________. # Le soir, je prends le __________. # La nuit, je vais au __________. == Exercice 11 – Les vêtements == '''Complétez par un vêtement.''' # Je mets une __________ quand il fait froid. # Je porte un __________ et un pantalon. # Aux pieds, je porte des __________. # Quand il pleut, je prends un __________. # En été, je porte un __________. # Je mets une __________ sur ma tête quand il fait froid. # Je porte une __________ avec une chemise. # Pour faire du sport, je porte des __________. == Exercice 12 – Les couleurs == '''Complétez par une couleur.''' # Le ciel est souvent __________. # L'herbe est __________. # Une tomate est souvent __________. # Le lait est __________. # Le charbon est __________. # Une orange est __________. # Une banane est __________. # Le chocolat est __________. # La neige est __________. # Une fraise est __________. == Exercice 13 – Les verbes du quotidien == '''Complétez avec le verbe qui convient.''' # Le matin, je __________ à sept heures. # Je __________ une douche. # Je __________ le petit-déjeuner. # Je __________ au travail. # Je __________ à huit heures. # À midi, je __________ avec mes collègues. # Le soir, je __________ à la maison. # Je __________ le dîner. # Je __________ la télévision. # À onze heures, je __________. == Exercice 14 – Les personnes == '''Complétez par un mot qui convient.''' # Le fils de mes parents est mon __________. # La fille de mes parents est ma __________. # Le père de mon ami est son __________. # La mère de mon ami est sa __________. # Le professeur travaille avec des __________. # Le médecin travaille avec des __________. # Dans un restaurant, le __________ apporte le repas. # Le __________ prépare le repas. # Un __________ conduit une voiture. # Un __________ travaille dans une école. == Exercice 15 – Mélange A1 == '''Complétez par un mot qui convient.''' # Je m'appelle Paul et j'__________ 20 ans. # Marie __________ française. # Nous __________ à Zurich. # Il __________ un café. # Elle __________ deux frères. # Je __________ français et allemand. # Tu __________ où ? # Ils __________ à Paris. # Mon père est __________ médecin. # Ma mère travaille __________ une école. # Je vais __________ supermarché. # Il habite __________ Allemagne. # Nous mangeons __________ restaurant. # Elle va __________ travail à huit heures. # J'aime __________ musique. # Il a __________ voiture rouge. # Nous avons __________ chien. # Elle porte __________ robe noire. # Je voudrais __________ verre d'eau. # Tu peux fermer __________ porte, s'il te plaît ? == Exercice 16 – Questions simples == '''Complétez avec : qui, où, quand, comment, quoi ou pourquoi.''' # __________ tu t'appelles ? # __________ habites-tu ? # __________ est ton professeur ? # __________ vas-tu à l'école ? # __________ est ton anniversaire ? # __________ tu fais le week-end ? # __________ ça va ? # __________ tu apprends le français ? # __________ est-ce que tu manges ? # __________ est-ce que tu habites ? == Exercice 17 – Les nombres == '''Écrivez le nombre en lettres.''' # 1 = __________ # 2 = __________ # 5 = __________ # 7 = __________ # 10 = __________ # 12 = __________ # 15 = __________ # 20 = __________ # 21 = __________ # 30 = __________ # 40 = __________ # 50 = __________ # 60 = __________ # 80 = __________ # 100 = __________ == Exercice 18 – Être ou avoir == '''Complétez avec la bonne forme de « être » ou « avoir ».''' # Je __________ français. # Tu __________ vingt ans. # Il __________ étudiant. # Elle __________ une sœur. # Nous __________ à Paris. # Vous __________ un chien. # Ils __________ fatigués. # Elles __________ deux enfants. # Je __________ content. # Tu __________ une voiture. # Paul __________ allemand. # Marie __________ 25 ans. == Exercice 19 – Aimer ou ne pas aimer == '''Complétez avec « aime », « n'aime pas », « adorent » ou « détestent ».''' # Paul adore le chocolat. Il __________ le chocolat. # Marie déteste le café. Elle __________ le café. # Nous adorons le cinéma. Nous __________ le cinéma. # Ils détestent le froid. Ils __________ le froid. # J'aime beaucoup les pommes. J'__________ les pommes. # Elle n'aime pas le poisson. Elle __________ le poisson. # Vous aimez le sport. Vous __________ le sport. # Tu n'aimes pas les mathématiques. Tu __________ les mathématiques. == Exercice 20 – Petit texte == '''Complétez le texte avec les mots qui conviennent.''' Bonjour ! Je m'appelle __________. J'ai __________ ans. J'habite à __________. Je suis __________. Je parle __________ et un peu __________. J'ai une __________ et un __________. Mon père est __________ et ma mère est __________. J'aime __________, mais je n'aime pas __________. Le week-end, je vais souvent au __________ avec mes amis. 7pqxwq7t6lbm08ms06n1ndc1ejh6p07