Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.18 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 8 30362 1114301 717480 2026-09-06T20:26:24Z ASarabadani (WMF) 39526 Allow thumb.wikimedia.org alongside upload.wikimedia.org ([[phab:T427465]]) 1114301 javascript text/javascript // <source lang=javascript"> /* Small JS library containing stuff I use often. Author: [[User:Lupo]], June 2009 License: Quadruple licensed GFDL, GPL, LGPL and Creative Commons Attribution 3.0 (CC-BY-3.0) Choose whichever license of these you like best :-) Includes the following components: - Object enhancements (clone, merge) - String enhancements (trim, ...) - Array enhancements (JS 1.6) - Function enhancements (bind) - LAPI Most basic DOM functions: $ (getElementById), make - LAPI.Ajax Ajax request implementation, tailored for MediaWiki/WMF sites - LAPI.Browser Browser detection (general) - LAPI.DOM DOM helpers, including a cross-browser DOM parser - LAPI.WP MediaWiki/WMF-specific DOM routines - LAPI.Edit Simple editor implementation with save, cancel, preview (for WMF sites) - LAPI.Evt Event handler routines (general) - LAPI.Pos Position calculations (general) */ // Global: wgServer, wgScript, wgUserLanguage, injectSpinner, removeSpinner (from wiki.js) // Global: importScript (from wikibits.js, for MediaWiki:AjaxSubmit.js) // Configuration: set this to the URL of your image server. The value is a string representation // of a regular expression. For instance, for Wikia, use "http://images\\d\\.wikia\\.nocookie\\.net". // Remember to double-escape the backslash. if ( typeof( LAPI_file_store ) == 'undefined' ) { var LAPI_file_store = "(https?:)?//(?:upload|thumb)\.wikimedia\.org/"; } // Some basic routines, mainly enhancements of the String, Array, and Function objects. // Some taken from JavaScript 1.6, some own. /** Object enhancements ************/ // Note: adding these to the prototype may break other code that assumes that // {} has no properties at all. Object.clone = function( source, includeInherited ) { if ( !source ) { return null; } var result = {}; for ( var key in source ) { if ( includeInherited || source.hasOwnProperty( key ) ) { result[key] = source[key]; } } return result; }; Object.merge = function( from, into, includeInherited ) { if ( !from ) { return into; } for ( var key in from ) { if ( includeInherited || from.hasOwnProperty( key ) ) { into[key] = from[key]; } } return into; }; Object.mergeSome = function( from, into, includeInherited, predicate ) { if ( !from ) { return into; } if ( typeof( predicate ) == 'undefined' ) { return Object.merge( from, into, includeInherited ); } for ( var key in from ) { if ( ( includeInherited || from.hasOwnProperty( key ) ) && predicate( from, into, key ) ) { into[key] = from[key]; } } return into; }; Object.mergeSet = function( from, into, includeInherited ) { return Object.mergeSome( from, into, includeInherited, function( src, tgt, key ) { return src[key] != null; } ); } /** String enhancements (JavaScript 1.6) ************/ // Removes given characters from both ends of the string. // If no characters are given, defaults to removing whitespace. if ( !String.prototype.trim ) { String.prototype.trim = function( chars ) { if ( !chars ) { return this.replace( /^\s+|\s+$/g, '' ); } return this.trimRight( chars ).trimLeft( chars ); }; } // Removes given characters from the beginning of the string. // If no characters are given, defaults to removing whitespace. if ( !String.prototype.trimLeft ) { String.prototype.trimLeft = function( chars ) { if ( !chars ) { return this.replace( /^\s\s*/, '' ); } return this.replace( new RegExp( '^[' + chars.escapeRE() + ']+' ), '' ); }; } String.prototype.trimFront = String.prototype.trimLeft; // Synonym // Removes given characters from the end of the string. // If no characters are given, defaults to removing whitespace. if ( !String.prototype.trimRight ) { String.prototype.trimRight = function( chars ) { if ( !chars ) { return this.replace( /\s\s*$/, '' ); } return this.replace( new RegExp( '[' + chars.escapeRE() + ']+$' ), '' ); }; } String.prototype.trimEnd = String.prototype.trimRight; // Synonym /** Further String enhancements ************/ // Returns true if the string begins with prefix. String.prototype.startsWith = function( prefix ) { return this.indexOf( prefix ) == 0; }; // Returns true if the string ends in suffix String.prototype.endsWith = function( suffix ) { return this.lastIndexOf( suffix ) + suffix.length == this.length; }; // Returns true if the string contains s. String.prototype.contains = function( s ) { return this.indexOf( s ) >= 0; }; // Replace all occurrences of a string pattern by replacement. String.prototype.replaceAll = function( pattern, replacement ) { return this.split( pattern ).join( replacement ); }; // Escape all backslashes and single or double quotes such that the result can // be used in JavaScript inside quotes or double quotes. String.prototype.stringifyJS = function() { return this.replace( /([\\\'\"]|%5C|%27|%22)/g, '\\$1' ) // ' // Fix syntax coloring .replace( /\n/g, '\\n' ); } // Escape all RegExp special characters such that the result can be safely used // in a RegExp as a literal. String.prototype.escapeRE = function() { return this.replace( /([\\{}()|.?*+^$\[\]])/g, "\\$1" ); }; String.prototype.escapeXML = function( quot, apos ) { var s = this.replace( /&/g, '&amp;' ) .replace( /\xa0/g, '&nbsp;' ) .replace( /</g, '&lt;' ) .replace( />/g, '&gt;' ); if ( quot ) { s = s.replace( /\"/g, '&quot;' ); // " // Fix syntax coloring } if ( apos ) { s = s.replace( /\'/g, '&apos;' ); // ' // Fix syntax coloring } return s; }; String.prototype.decodeXML = function() { return this.replace( /&quot;/g, '"' ) .replace( /&apos;/g, "'" ) .replace( /&gt;/g, '>' ) .replace( /&lt;/g, '<' ) .replace( /&nbsp;/g, '\xa0' ) .replace( /&amp;/g, '&' ); }; String.prototype.capitalizeFirst = function() { return this.substring( 0, 1 ).toUpperCase() + this.substring( 1 ); }; String.prototype.lowercaseFirst = function() { return this.substring( 0, 1 ).toLowerCase() + this.substring( 1 ); }; // This is actually a function on URLs, but since URLs typically are strings in // JavaScript, let's include this one here, too. String.prototype.getParamValue = function( param ) { var re = new RegExp( '[&?]' + param.escapeRE() + '=([^&#]*)' ); var m = re.exec( this ); if ( m && m.length >= 2 ) { return decodeURIComponent( m[1] ); } return null; }; String.getParamValue = function( param, url ) { if ( typeof( url ) == 'undefined' || url === null ) { url = document.location.href; } try { return url.getParamValue( param ); } catch ( e ) { return null; } }; /** Function enhancements ************/ if (!Function.prototype.bind) { // Return a function that calls the function with 'this' bound to 'thisObject' Function.prototype.bind = function (thisObject) { var f = this, obj = thisObject, slice = Array.prototype.slice, prefixedArgs = slice.call (arguments, 1); return function () { return f.apply (obj, prefixedArgs.concat (slice.call (arguments))); }; }; } /** Array enhancements (JavaScript 1.6) ************/ // Note that contrary to JS 1.6, we treat the thisObject as optional. // Don't add to the prototype, that would break for (var key in array) loops! // Returns a new array containing only those elements for which predicate // is true. if ( !Array.filter ) { Array.filter = function( target, predicate, thisObject ) { if ( target === null ) { return null; } if ( typeof( target.filter ) == 'function' ) { return target.filter( predicate, thisObject ); } if ( typeof( predicate ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.filter: predicate must be a function' ); } var l = target.length; var result = []; if ( thisObject ) { predicate = predicate.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target ) { var curr = target[i]; if ( predicate( curr, i, target ) ) { result[result.length] = curr; } } } return result; }; } Array.select = Array.filter; // Synonym // Calls iterator on all elements of the array if ( !Array.forEach ) { Array.forEach = function( target, iterator, thisObject ) { if ( target === null ) { return; } if ( typeof( target.forEach ) == 'function' ) { target.forEach( iterator, thisObject ); return; } if ( typeof( iterator ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.forEach: iterator must be a function' ); } var l = target.length; if ( thisObject ) { iterator = iterator.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target ) { iterator( target[i], i, target ); } } }; } // Returns true if predicate is true for every element of the array, false otherwise if ( !Array.every ) { Array.every = function( target, predicate, thisObject ) { if ( target === null ) { return true; } if ( typeof( target.every ) == 'function' ) { return target.every( predicate, thisObject ); } if ( typeof( predicate ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.every: predicate must be a function' ); } var l = target.length; if ( thisObject ) { predicate = predicate.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target && !predicate( target[i], i, target ) ) { return false; } } return true; }; } Array.forAll = Array.every; // Synonym // Returns true if predicate is true for at least one element of the array, false otherwise. if ( !Array.some ) { Array.some = function( target, predicate, thisObject ) { if ( target === null ) { return false; } if ( typeof( target.some ) == 'function' ) { return target.some( predicate, thisObject ); } if ( typeof( predicate ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.some: predicate must be a function' ); } var l = target.length; if ( thisObject ) { predicate = predicate.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target && predicate( target[i], i, target ) ) { return true; } } return false; }; } Array.exists = Array.some; // Synonym // Returns a new array built by applying mapper to all elements. if ( !Array.map ) { Array.map = function( target, mapper, thisObject ) { if ( target === null ) { return null; } if ( typeof( target.map ) == 'function' ) { return target.map( mapper, thisObject ); } if ( typeof( mapper ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.map: mapper must be a function' ); } var l = target.length; var result = []; if ( thisObject ) { mapper = mapper.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target ) { result[i] = mapper( target[i], i, target ); } } return result; }; } if ( !Array.indexOf ) { Array.indexOf = function( target, elem, from ) { if ( target === null ) { return -1; } if ( typeof( target.indexOf ) == 'function' ) { return target.indexOf( elem, from ); } if ( typeof( target.length ) == 'undefined' ) { return -1; } var l = target.length; if ( isNaN( from ) ) { from = 0; } else { from = from || 0; } from = ( from < 0 ) ? Math.ceil( from ) : Math.floor( from ); if ( from < 0 ) { from += l; } if ( from < 0 ) { from = 0; } while ( from < l ) { if ( from in target && target[from] === elem ) { return from; } from += 1; } return -1; }; } if ( !Array.lastIndexOf ) { Array.lastIndexOf = function( target, elem, from ) { if ( target === null ) { return -1; } if ( typeof( target.lastIndexOf ) == 'function' ) { return target.lastIndexOf( elem, from ); } if ( typeof( target.length ) == 'undefined' ) { return -1; } var l = target.length; if ( isNaN( from ) ) { from = l - 1; } else { from = from || ( l - 1 ); } from = ( from < 0 ) ? Math.ceil( from ) : Math.floor( from ); if ( from < 0 ) { from += l; } else if ( from >= l ) { from = l - 1; } while ( from >= 0 ) { if ( from in target && target[from] === elem ) { return from; } from -= 1; } return -1; }; } /** Additional Array enhancements ************/ Array.remove = function( target, elem ) { var i = Array.indexOf( target, elem ); if ( i >= 0 ) { target.splice( i, 1 ); } }; Array.contains = function( target, elem ) { return Array.indexOf( target, elem ) >= 0; }; Array.flatten = function( target ) { var result = []; Array.forEach( target, function( elem ) { result = result.concat( elem ); } ); return result; }; // Calls selector on the array elements until it returns a non-null object // and then returns that object. If selector always returns null, any also // returns null. See also Array.map. Array.any = function( target, selector, thisObject ) { if ( target === null ) { return null; } if ( typeof( selector ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.any: selector must be a function' ); } var l = target.length; var result = null; if ( thisObject ) { selector = selector.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target ) { result = selector( target[i], i, target ); if ( result != null ) { return result; } } } return null; }; // Return a contiguous array of the contents of source, which may be an array or pseudo-array, // basically anything that has a length and can be indexed. (E.g. live HTMLCollections, but also // Strings, or objects, or the arguments "variable". Array.make = function( source ) { if ( !source || typeof( source.length ) == 'undefined' ) { return null; } var result = []; var l = source.length; for ( var i = 0; i < l; i++ ) { if ( i in source ) { result[result.length] = source[i]; } } return result; }; if ( typeof( window.LAPI) == 'undefined' ) { window.LAPI = { Ajax: { getRequest: function() { var request = null; try { request = new XMLHttpRequest(); } catch ( anything ) { request = null; if ( !!window.ActiveXObject ) { if ( typeof( LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID ) == 'undefined' ) { var XHR_ids = [ 'MSXML2.XMLHTTP.6.0', 'MSXML2.XMLHTTP.3.0', 'MSXML2.XMLHTTP', 'Microsoft.XMLHTTP' ]; for ( var i = 0; i < XHR_ids.length && !request; i++ ) { try { request = new ActiveXObject( XHR_ids[i] ); if ( request ) { LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID = XHR_ids[i]; } } catch ( ex ) { request = null; } } if ( !request ) { LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID = null; } } else if ( LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID ) { request = new ActiveXObject( LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID ); } } // end if IE } // end try-catch return request; } }, $: function( selector, doc, multi ) { if ( !selector || selector.length == 0 ) { return null; } doc = doc || document; if ( typeof( selector ) == 'string' ) { if ( selector.charAt( 0 ) == '#' ) { selector = selector.substring( 1 ); } if ( selector.length > 0 ) { return doc.getElementById( selector ); } return null; } else { if ( multi ) { return Array.map( selector, function( id ) { return LAPI.$( id, doc ); } ); } return Array.any( selector, function( id ) { return LAPI.$( id, doc ); } ); } }, make: function( tag, attribs, css, doc ) { doc = doc || document; if ( !tag || tag.length == 0 ) { throw new Error ('No tag for LAPI.make'); } var result = doc.createElement( tag ); Object.mergeSet( attribs, result ); Object.mergeSet( css, result.style ); if ( /^(form|input|button|select|textarea)$/.test( tag ) && result.id && result.id.length > 0 && !result.name ) { result.name = result.id; } return result; }, formatException: function( ex, asDOM ) { var name = ex.name || ''; var msg = ex.message || ''; var file = null; var line = null; if ( msg && msg.length > 0 && msg.charAt( 0 ) == '#' ) { // User msg: don't confuse users with error locations. (Note: could also use // custom exception types, but that doesn't work right on IE6.) msg = msg.substring( 1 ); } else { file = ex.fileName || ex.sourceURL || null; // Gecko, Webkit, others line = ex.lineNumber || ex.line || null; // Gecko, Webkit, others } if ( name || msg ) { if ( !asDOM ) { return 'Exception ' + name + ': ' + msg + ( file ? '\nFile ' + file + ( line ? ' (' + line + ')' : '' ) : '' ); } else { var ex_msg = LAPI.make( 'div' ); ex_msg.appendChild( document.createTextNode( 'Exception ' + name + ': ' + msg ) ); if ( file ) { ex_msg.appendChild( LAPI.make( 'br' ) ); ex_msg.appendChild( document.createTextNode( 'File ' + file + (line ? ' (' + line + ')' : '' ) ) ); } return ex_msg; } } else { return null; } } }; } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Browser ) == 'undefined' ) { // Yes, usually it's better to test for available features. But sometimes there's no // way around testing for specific browsers (differences in dimensions, layout errors, // etc.) LAPI.Browser = ( function( agent ) { var result = {}; result.client = agent; var m = agent.match( /applewebkit\/(\d+)/ ); result.is_webkit = ( m != null ); result.is_safari = result.is_webkit && !agent.contains( 'spoofer' ); result.webkit_version = ( m ? parseInt( m[1] ) : 0 ); result.is_khtml = navigator.vendor == 'KDE' || ( document.childNodes && !document.all && !navigator.taintEnabled && navigator.accentColorName ); result.is_gecko = agent.contains( 'gecko' ) && !/khtml|spoofer|netscape\/7\.0/.test( agent ); result.is_ff_1 = agent.contains( 'firefox/1' ); result.is_ff_2 = agent.contains( 'firefox/2' ); result.is_ff_ge_2 = /firefox\/[2-9]|minefield\/3/.test( agent ); result.is_ie = agent.contains( 'msie' ) || !!window.ActiveXObject; result.is_ie_lt_7 = false; if ( result.is_ie ) { var version = /msie ((\d|\.)+)/.exec( agent ); result.is_ie_lt_7 = ( version != null && ( parseFloat( version[1] ) < 7 ) ); } result.is_opera = agent.contains( 'opera' ); result.is_opera_ge_9 = false; result.is_opera_95 = false; if ( result.is_opera ) { m = /opera\/((\d|\.)+)/.exec( agent ); result.is_opera_95 = m && ( parseFloat( m[1] ) >= 9.5 ); result.is_opera_ge_9 = m && ( parseFloat( m[1] ) >= 9.0 ); } result.is_mac = agent.contains( 'mac' ); return result; })( navigator.userAgent.toLowerCase() ); } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.DOM ) == 'undefined' ) { LAPI.DOM = { // IE6 doesn't have these Node constants in Node, so put them here ELEMENT_NODE : 1, ATTRIBUTE_NODE : 2, TEXT_NODE : 3, CDATA_SECTION_NODE : 4, ENTITY_REFERENCE_NODE : 5, ENTITY_NODE : 6, PROCESSING_INSTRUCTION_NODE : 7, COMMENT_NODE : 8, DOCUMENT_NODE : 9, DOCUMENT_TYPE_NODE : 10, DOCUMENT_FRAGMENT_NODE : 11, NOTATION_NODE : 12, cleanAttributeName: function( attr_name ) { if ( !LAPI.Browser.is_ie ) { return attr_name; } if ( !LAPI.DOM.cleanAttributeName._names ) { LAPI.DOM.cleanAttributeName._names = { 'class': 'className', 'cellspacing': 'cellSpacing', 'cellpadding': 'cellPadding', 'colspan': 'colSpan', 'maxlength': 'maxLength', 'readonly': 'readOnly', 'rowspan': 'rowSpan', 'tabindex': 'tabIndex', 'valign': 'vAlign' }; } var cleaned = attr_name.toLowerCase(); return LAPI.DOM.cleanAttributeName._names[cleaned] || cleaned; }, importNode: function( into, node, deep ) { if ( !node ) { return null; } if ( into.importNode ) { return into.importNode( node, deep ); } if ( node.ownerDocument == into ) { return node.cloneNode( deep ); } var new_node = null; switch ( node.nodeType ) { case LAPI.DOM.ELEMENT_NODE: new_node = into.createElement( node.nodeName ); Array.forEach( node.attributes, function( attr ) { if ( attr && attr.nodeValue && attr.nodeValue.length > 0 ) { new_node.setAttribute( LAPI.DOM.cleanAttributeName( attr.name ), attr.nodeValue ); } } ); new_node.style.cssText = node.style.cssText; if ( deep ) { Array.forEach( node.childNodes, function( child ) { var copy = LAPI.DOM.importNode( into, child, true ); if ( copy ) { new_node.appendChild( copy ); } } ); } return new_node; case LAPI.DOM.TEXT_NODE: return into.createTextNode( node.nodeValue ); case LAPI.DOM.CDATA_SECTION_NODE: return ( into.createCDATASection ? into.createCDATASection( node.nodeValue ) : into.createTextNode( node.nodeValue ) ); case LAPI.DOM.COMMENT_NODE: return into.createComment( node.nodeValue ); default: return null; } // end switch }, parse: function( str, content_type ) { function getDocument( str, content_type ) { if ( typeof( DOMParser ) != 'undefined' ) { var parser = new DOMParser(); if ( parser && parser.parseFromString ) { return parser.parseFromString( str, content_type ); } } // We don't have DOMParser if ( LAPI.Browser.is_ie ) { var doc = null; // Apparently, these can be installed side-by-side. Try to get the newest one available. // Unfortunately, one finds a variety of version strings on the net. I have no idea which // ones are correct. if ( typeof( LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID ) == 'undefined' ) { // If we find a parser, we cache it. // If we cannot find one, we also remember that. var parsers = [ 'MSXML6.DOMDocument', 'MSXML5.DOMDocument', 'MSXML4.DOMDocument', 'MSXML3.DOMDocument', 'MSXML2.DOMDocument.5.0', 'MSXML2.DOMDocument.4.0', 'MSXML2.DOMDocument.3.0', 'MSXML2.DOMDocument', 'MSXML.DomDocument', 'Microsoft.XmlDom' ]; for ( var i = 0; i < parsers.length && !doc; i++ ) { try { doc = new ActiveXObject( parsers[i] ); if ( doc ) { LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID = parsers[i]; } } catch ( ex ) { doc = null; } } if ( !doc ) { LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID = null; } } else if ( LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID ) { doc = new ActiveXObject( LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID ); } if ( doc ) { doc.async = false; doc.loadXML( str ); return doc; } } // Try using a "data" URI (http://www.ietf.org/rfc/rfc2397). // Reported to work on older Safaris. content_type = content_type || 'application/xml'; var req = LAPI.Ajax.getRequest(); if ( req ) { // Synchronous is OK, since "data" URIs are local req.open( 'GET', 'data:' + content_type + ';charset=utf-8,' + encodeURIComponent( str ), false ); if ( req.overrideMimeType ) { req.overrideMimeType( content_type ); } req.send( null ); return req.responseXML; } return null; } // end getDocument var doc = null; try { doc = getDocument( str, content_type ); } catch ( ex ) { doc = null; } if ( ( ( !doc || !doc.documentElement ) && ( str.search( /^\s*(<xml[^>]*>\s*)?<!doctype\s+html/i ) >= 0 || str.search( /^\s*<html/i ) >= 0 ) ) || ( doc && ( LAPI.Browser.is_ie && ( !doc.documentElement && doc.parseError && doc.parseError.errorCode != 0 && doc.parseError.reason.contains( 'Error processing resource' ) && doc.parseError.reason.contains( 'http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd' ) ) ) ) ) { // Either the text specified an (X)HTML document, but we failed to get a Document, or we // hit the walls of the single-origin policy on IE which tries to get the DTD from the // URI specified... Let's fake a document: doc = LAPI.DOM.fakeHTMLDocument( str ); } return doc; }, parseHTML: function( str, sanity_check ) { // Simplified from the above, for cases where we *know* up front that the text is (X)HTML. var doc = null; if ( typeof( DOMParser ) != 'undefined' ) { var parser = new DOMParser(); if ( parser && parser.parseFromString ) { doc = parser.parseFromString( str, 'text/xml' ); } } if ( !doc || !doc.documentElement || /^parsererror$/i.test( doc.documentElement.tagName ) || ( sanity_check && doc.getElementById( sanity_check ) == null ) ) { // We had an error, or the sanity check (looking for an element known to be there) failed. // (Happens on Konqueror 4.2.3/4.2.4 upon the very first call...) doc = LAPI.DOM.fakeHTMLDocument( str ); } return doc; }, fakeHTMLDocument: function( str ) { var body_tag = /<body.*?>/.exec( str ); if ( !body_tag || body_tag.length == 0 ) { return null; } body_tag = body_tag.index + body_tag[0].length; // Index after the opening body tag var body_end = str.lastIndexOf( '</body>' ); if ( body_end < 0 ) { return null; } var content = str.substring( body_tag, body_end ); // Anything in between content = content.replace( /<script(.|\s)*?\/script>/g, '' ); // Sanitize: strip scripts return new LAPI.DOM.DocumentFacade( content ); }, isValid: function( doc ) { if ( !doc ) { return doc; } if ( typeof( doc.parseError ) != 'undefined' ) { // IE if ( doc.parseError.errorCode != 0 ) { throw new Error( 'XML parse error: ' + doc.parseError.reason + ' line ' + doc.parseError.line + ' col ' + doc.parseError.linepos + '\nsrc = ' + doc.parseError.srcText ); } } else { // FF... others? var root = doc.documentElement; if ( /^parsererror$/i.test( root.tagName ) ) { throw new Error( 'XML parse error: ' + root.getInnerText() ); } } return doc; }, hasClass: function( node, className ) { if ( !node ) { return false; } return ( ' ' + node.className + ' ' ).contains( ' ' + className + ' ' ); }, setContent: function( node, content ) { if ( content == null ) { return node; } LAPI.DOM.removeChildren( node ); if ( content.nodeName ) { // presumably a DOM tree, like a span or a document fragment node.appendChild( content ); } else if ( typeof( node.innerHTML ) != 'undefined' ) { node.innerHTML = content.toString(); } else { node.appendChild( document.createTextNode( content.toString() ) ); } return node; }, makeImage: function( src, width, height, title, doc ) { return LAPI.make( 'img', { src: src, width: '' + width, height: '' + height, title: title }, doc ); }, makeButton: function( id, text, f, submit, doc ) { return LAPI.make( 'input', { id: id || '', type: ( submit ? 'submit' : 'button' ), value: text, onclick: f }, doc ); }, makeLabel: function( id, text, for_elem, doc ) { var label = LAPI.make( 'label', {id: id || '', htmlFor: for_elem}, null, doc ); return LAPI.DOM.setContent( label, text ); }, makeLink: function( url, text, tooltip, onclick, doc ) { var lk = LAPI.make( 'a', {href: url, title: tooltip, onclick: onclick}, null, doc ); return LAPI.DOM.setContent( lk, text || url ); }, // Unfortunately, extending Node.prototype may not work on some browsers, // most notably (you've guessed it) IE... getInnerText: function( node ) { if ( node.textContent ) { return node.textContent; } if ( node.innerText ) { return node.innerText; } var result = ''; if ( node.nodeType == LAPI.DOM.TEXT_NODE ) { result = node.nodeValue; } else { Array.forEach( node.childNodes, function( elem ) { switch ( elem.nodeType ) { case LAPI.DOM.ELEMENT_NODE: result += LAPI.DOM.getInnerText( elem ); break; case LAPI.DOM.TEXT_NODE: result += elem.nodeValue; break; } } ); } return result; }, removeNode: function( node ) { if ( node.parentNode ) { node.parentNode.removeChild( node ); } return node; }, removeChildren: function( node ) { // if ( typeof( node.innerHTML ) != 'undefined' ) node.innerHTML = ''; // Not a good idea. On IE this destroys all contained nodes, even if they're still referenced // from JavaScript! Can't have that... while ( node.firstChild ) node.removeChild( node.firstChild ); return node; }, insertNode: function( node, before ) { before.parentNode.insertBefore( node, before ); return node; }, insertAfter: function( node, after ) { var next = after.nextSibling; after.parentNode.insertBefore( node, next ); return node; }, replaceNode: function( node, newNode ) { node.parentNode.replaceChild( node, newNode ); return newNode; }, isParentOf: function( parent, child ) { while ( child && child != parent && child.parentNode ) child = child.parentNode; return child == parent; }, // Property is to be in CSS style, e.g. 'background-color', not in JS style ('backgroundColor')! // Use standard 'cssFloat' for float property. currentStyle: function( element, property ) { function normalize( prop ) { // Don't use a regexp with a lambda function(available only in JS 1.3)... and I once had a // case where IE6 goofed grossly with a lambda function. Since then I try to avoid those // (though they're neat). if ( prop == 'cssFloat' ) { return 'styleFloat'; // We'll try both variants below, standard first... } var result = prop.split( '-' ); result = Array.map( result, function( s ) { if ( s ) { return s.capitalizeFirst(); } else { return s; } } ); result = result.join( '' ); return result.lowercaseFirst(); } if ( element.ownerDocument.defaultView && element.ownerDocument.defaultView.getComputedStyle ) { // Gecko etc. if ( property == 'cssFloat' ) { property = 'float'; } return element.ownerDocument.defaultView.getComputedStyle( element, null ).getPropertyValue( property ); } else { var result; if ( element.currentStyle ) { // IE, has subtle differences to getComputedStyle result = element.currentStyle[property] || element.currentStyle[normalize( property )]; } else { // Not exactly right, but best effort result = element.style[property] || element.style[normalize( property )]; } // Convert em etc. to pixels. Kudos to Dean Edwards; see // http://erik.eae.net/archives/2007/07/27/18.54.15/#comment-102291 if ( !/^\d+(px)?$/i.test( result ) && /^\d/.test( result ) && element.runtimeStyle ) { var style = element.style.left; var runtimeStyle = element.runtimeStyle.left; element.runtimeStyle.left = element.currentStyle.left; element.style.left = result || 0; result = elem.style.pixelLeft + 'px'; element.style.left = style; element.runtimeStyle.left = runtimeStyle; } } }, // Load a given image in a given size. Parameters: // title // Full title of the image, including the "File:" namespace // url // If != null, URL of an existing thumb for that image. If width is null, may contain the url // of the full image. // width // If != null, desired width of the image, otherwise load the full image // height // If width != null, height should also be set. // auto_thumbs // True if missing thumbnails are generated automatically. // success // Function to be called once the image is loaded. Takes one parameter: the IMG-tag of // the loaded image // failure // Function to be called if the image cannot be loaded. Takes one parameter: a string // containing an error message. loadImage: function( title, url, width, height, auto_thumbs, success, failure ) { if ( auto_thumbs && url ) { // MediaWiki-style with 404 handler. Set condition to false if your wiki does not have such a // setup. var img_src = null; if ( width ) { var i = url.lastIndexOf( '/' ); if ( i >= 0 ) { img_src = url.substring( 0, i ) + url.substring( i ).replace( /^\/\d+px-/, '/' + width + 'px-' ); } } else if ( url ) { img_src = url; } if ( !img_src ) { failure( 'Cannot load image from url ' + url ); return; } var img_loader = LAPI.make( 'img', {src: img_src}, { position: 'absolute', top: '0px', left: '0px', display: 'none' } ); if ( width ) { img_loader.width = '' + width; } if ( height ) { img_loader.height = '' + height; } LAPI.Evt.attach( img_loader, 'load', function() { success( img_loader ); } ); document.body.appendChild( img_loader ); // Now the browser goes loading the image } else { // No URL to work with. Use parseWikitext to have a thumb generated an to get its URL. LAPI.Ajax.parseWikitext( '[[' + title + ( width ? '|' + width + 'px' : '' ) + ']]', function( html, failureFunc ) { var dummy = LAPI.make( 'div', null, { position: 'absolute', top: '0px', left: '0px', display: 'none' } ); document.body.appendChild( dummy ); // Now start loading the image dummy.innerHTML = html; var imgs = dummy.getElementsByTagName( 'img' ); LAPI.Evt.attach( imgs[0], 'load', function() { success( imgs[0] ); LAPI.DOM.removeNode( dummy ); } ); }, function( request, json_result ) { failure( 'Image loading failed: ' + request.status + ' ' + request.statusText ); }, false, // Not as preview null, // user language: don't care null, // on page: don't care 3600 // Cache for an hour ); } } }; // end LAPI.DOM LAPI.DOM.DocumentFacade = function() { this.initialize.apply( this, arguments ); }; LAPI.DOM.DocumentFacade.prototype = { initialize: function( text ) { // It's not a real document, but it will behave like one for our purposes. this.documentElement = LAPI.make( 'div', null, {display: 'none', position: 'absolute'} ); this.body = LAPI.make( 'div', null, {position: 'relative'} ); this.documentElement.appendChild( this.body ); document.body.appendChild( this.documentElement ); this.body.innerHTML = text; // Find all forms var forms = document.getElementsByTagName( 'form' ); var self = this; this.forms = Array.select( forms, function( f ) { return LAPI.DOM.isParentOf( self.body, f ); } ); // Konqueror 4.2.3/4.2.4 clears form.elements when the containing div is removed from the // parent document?! if ( !LAPI.Browser.is_khtml ) { LAPI.DOM.removeNode( this.documentElement ); } else { this.dispose = function() { LAPI.DOM.removeNode( this.documentElement ); }; // Since we must leave the stuff *in* the original document on Konqueror, we'll also need a // dispose routine... what an ugly hack. } this.allIDs = {}; this.isFake = true; }, createElement: function( tag ) { return document.createElement( tag ); }, createDocumentFragment: function() { return document.createDocumentFragment(); }, createTextNode: function( text ) { return document.createTextNode( text ); }, createComment: function( text ) { return document.createComment( text ); }, createCDATASection: function( text ) { return document.createCDATASection( text ); }, createAttribute: function( name ) { return document.createAttribute( name ); }, createEntityReference: function( name) { return document.createEntityReference( name ); }, createProcessingInstruction: function( target, data ) { return document.createProcessingInstruction( target, data ); }, getElementsByTagName: function( tag ) { // Grossly inefficient, but deprecated anyway var res = []; function traverse( node, tag ) { if ( node.nodeName.toLowerCase() == tag ) { res[res.length] = node; } var curr = node.firstChild; while ( curr ) { traverse( curr, tag ); curr = curr.nextSibling; } } traverse( this.body, tag.toLowerCase() ); return res; }, getElementById: function( id ) { function traverse( elem, id ) { if ( elem.id == id ) { return elem; } var res = null; var curr = elem.firstChild; while ( curr && !res ) { res = traverse( curr, id ); curr = curr.nextSibling; } return res; } if ( !this.allIDs[id] ) { this.allIDs[id] = traverse( this.body, id ); } return this.allIDs[id]; } // ...NS operations omitted }; // end DocumentFacade if ( document.importNode ) { LAPI.DOM.DocumentFacade.prototype.importNode = function( node, deep ) { document.importNode( node, deep ); }; } } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.WP ) == 'undefined' ) { LAPI.WP = { getContentDiv: function( doc ) { // Monobook, modern, classic skins return LAPI.$( ['bodyContent', 'mw_contentholder', 'article'], doc ); }, fullImageSizeFromPage: function( doc ) { // Get the full img size. This is screenscraping :-( but there are times where you don't // want to get this info from the server using an Ajax call. // Note: we get the size from the file history table because the text just below the image // is all scrambled on RTL wikis. For instance, on ar-WP, it is // "‏ (1,806 × 1,341 بكسل، حجم الملف: 996 كيلوبايت، نوع الملف: image/jpeg) and with uselang=en, // it is at ar-WP "‏ (1,806 × 1,341 pixels, file size: 996 KB, MIME type: image/jpeg)" // However, in the file history table, it looks good no matter the language and writing // direction. // Update: this fails on e.g. ar-WP because someone had the great idea to use localized // numerals, but the digit transform table is empty! var result = {width: 0, height: 0}; var file_hist = LAPI.$( 'mw-imagepage-section-filehistory', doc ); if ( !file_hist ) { return result; } try { var file_curr = getElementsByClassName( file_hist, 'td', 'filehistory-selected' ); // Did they change the column order here? It once was nextSibling.nextSibling... but somehow // the thumbnails seem to be gone... Right: // http://svn.wikimedia.org/viewvc/mediawiki/trunk/phase3/includes/ImagePage.php?r1=52385&r2=53130 file_hist = LAPI.DOM.getInnerText( file_curr[0].nextSibling ); if ( !file_hist.contains( '×' ) ) { file_hist = LAPI.DOM.getInnerText( file_curr[0].nextSibling.nextSibling ); if ( !file_hist.contains( '×' ) ) { file_hist = null; } } } catch ( ex ) { return result; } // Now we have "number×number" followed by something arbitrary if ( file_hist ) { file_hist = file_hist.split( '×', 2 ); result.width = parseInt( file_hist.shift().replace( /[^0-9]/g, '' ), 10 ); // Height is a bit more difficult because e.g. uselang=eo uses a space as the thousands // separator. Hence we have to extract this more carefully file_hist = file_hist.pop(); // Everything after the "×" // Remove any white space embedded between digits file_hist = file_hist.replace( /(\d)\s*(\d)/g, '$1$2' ); file_hist = file_hist.split( ' ', 2 ).shift().replace( /[^0-9]/g, '' ); result.height = parseInt( file_hist, 10 ); if ( isNaN( result.width ) || isNaN( result.height ) ) { result = {width: 0, height: 0}; } } return result; }, getPreviewImage: function( title, doc ) { var file_div = LAPI.$( 'file', doc ); if ( !file_div ) { return null; // Catch page without file... } var imgs = file_div.getElementsByTagName( 'img' ); title = title || mw.config.get('wgTitle'); for ( var i = 0; i < imgs.length; i++ ) { var src = decodeURIComponent( imgs[i].getAttribute( 'src', 2 ) ).replace( '%26', '&' ); if ( src.search( new RegExp( '^' + LAPI_file_store + '.*' + title.replace( / /g, '_' ).replace( /(\.svg)$/i, '$1.png' ).escapeRE() + '$' ) ) == 0 ) { return imgs[i]; } } return null; }, pageFromLink: function( lk ) { if ( !lk ) { return null; } var href = lk.getAttribute( 'href', 2 ); if ( !href ) { return null; } // This is a bit tricky to get right, because wgScript can be a substring prefix of // wgArticlePath, or vice versa. var script = mw.config.get('wgScript') + '?'; if ( href.startsWith( script ) || href.startsWith( mw.config.get('wgServer') + script ) || mw.config.get('wgServer').startsWith( '//' ) && href.startsWith( document.location.protocol + mw.config.get('wgServer') + script ) ) { // href="/w/index.php?title=..." return href.getParamValue( 'title' ); } // Now try wgArticlePath: href="/wiki/..." var prefix = mw.config.get('wgArticlePath').replace( '$1', '' ); if ( !href.startsWith( prefix ) ) { prefix = mw.config.get('wgServer') + prefix; // Fully expanded URL? } if ( !href.startsWith( prefix ) && prefix.startsWith( '//' ) ) { prefix = document.location.protocol + prefix; // Protocol-relative wgServer? } if ( href.startsWith( prefix ) ) { return decodeURIComponent( href.substring( prefix.length ) ); } // Do we have variants? if ( typeof( wgVariantArticlePath ) != 'undefined' && wgVariantArticlePath && wgVariantArticlePath.length > 0 ) { var re = new RegExp( wgVariantArticlePath.escapeRE().replace( '\\$2', "[^\\/]*" ).replace( '\\$1', "(.*)" ) ); var m = re.exec( href ); if ( m && m.length > 1 ) { return decodeURIComponent( m[m.length - 1] ); } } // Finally alternative action paths if ( typeof( wgActionPaths ) != 'undefined' && wgActionPaths ) { for ( var i = 0; i < wgActionPaths.length; i++ ) { var p = wgActionPaths[i]; if ( p && p.length > 0 ) { p = p.replace( '$1', '' ); if ( !href.startsWith( p ) ) { p = mw.config.get('wgServer') + p; } if ( !href.startsWith( p ) && p.startsWith( '//' ) ) { p = document.location.protocol + p; } if ( href.startsWith( p ) ) { return decodeURIComponent( href.substring( p.length ) ); } } } } return null; }, revisionFromHtml: function( htmlOfPage ) { var revision_id = null; if ( window.mediaWiki ) { // MW 1.17+ revision_id = htmlOfPage.match( /(mediaWiki|mw).config.set\(\{.*"wgCurRevisionId"\s*:\s*(\d+),/ ); if ( revision_id ) { revision_id = parseInt( revision_id[2], 10 ); } } else { // MW < 1.17 revision_id = htmlOfPage.match( /wgCurRevisionId\s*=\s*(\d+)[;,]/ ); if ( revision_id ) { revision_id = parseInt( revision_id[1], 10 ); } } return revision_id; } }; // end LAPI.WP } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Ajax.doAction ) == 'undefined' ) { mw.loader.load( '/w/index.php?title=MediaWiki:AjaxSubmit.js&action=raw&ctype=text/javascript' ); // Legacy code: ajaxSubmit LAPI.Ajax.getXML = function( request, failureFunc ) { var doc = null; if ( request.responseXML && request.responseXML.documentElement ) { doc = request.responseXML; } else { try { doc = LAPI.DOM.parse( request.responseText, 'text/xml' ); } catch ( ex ) { if ( typeof( failureFunc ) == 'function' ) { failureFunc( request, ex ); } doc = null; } } if ( doc ) { try { doc = LAPI.DOM.isValid( doc ); } catch ( ex ) { if ( typeof( failureFunc ) == 'function' ) { failureFunc( request, ex ); } doc = null; } } return doc; }; LAPI.Ajax.getHTML = function( request, failureFunc, sanity_check ) { // Konqueror sometimes has severe problems with responseXML. // It does set it, but getElementById may fail to find elements known to exist. var doc = null; if ( request.responseXML && request.responseXML.documentElement && request.responseXML.documentElement.tagName == 'HTML' && ( !sanity_check || request.responseXML.getElementById( sanity_check ) != null ) ) { doc = request.responseXML; } else { try { doc = LAPI.DOM.parseHTML( request.responseText, sanity_check ); if ( !doc ) { throw new Error( '#Could not understand request result' ); } } catch ( ex ) { if ( typeof( failureFunc ) == 'function' ) { failureFunc( request, ex ); } doc = null; } } if ( doc ) { try { doc = LAPI.DOM.isValid( doc ); } catch ( ex ) { if ( typeof( failureFunc ) == 'function' ) { failureFunc( request, ex ); } doc = null; } } return doc; }; LAPI.Ajax.get = function( uri, params, success, failure, config ) { var original_failure = failure; if ( !failure || typeof( failure ) != 'function' ) { failure = function() {}; } if ( !success || typeof( success ) != 'function' ) { throw new Error( 'No success function supplied for LAPI.Ajax.get ' + uri + ' with arguments ' + params.toString() ); } var request = LAPI.Ajax.getRequest(); if ( !request ) { failure( request ); return; } var args = ''; var question_mark = uri.indexOf( '?' ); if ( question_mark ) { args = uri.substring( question_mark + 1 ); uri = uri.substring( 0, question_mark ); } if ( params != null ) { if ( typeof( params ) == 'string' && params.length > 0 ) { args += ( args.length > 0 ? '&' : '' ) + ( ( params.charAt( 0 ) == '&' || params.charAt( 0 ) == '?' ) ? params.substring( 1 ) : params ); // Must already be encoded! } else { for ( var param in params ) { args += ( args.length > 0 ? '&' : '' ) + param; if ( params[param] != null ) { args += '=' + encodeURIComponent( params[param] ); } } } } var method; if ( uri.startsWith( '//' ) ) { uri = document.location.protocol + uri; // Avoid protocol-relative URIs (IE7 bug) } if ( uri.length + args.length + 1 < ( LAPI.Browser.is_ie ? 2040 : 4080 ) ) { // Both browsers and web servers may have limits on URL length. IE has a limit of 2083 characters // (2048 in the path part), and the WMF servers seem to impose a limit of 4kB. method = 'GET'; uri += '?' + args; args = null; } else { method = 'POST'; // We'll lose caching, but at least we can make the request. } request.open( method, uri, true ); request.setRequestHeader( 'Pragma', 'cache=yes' ); request.setRequestHeader( 'Cache-Control', 'no-transform' + ( params && params.maxage ? ', max-age=' + params.maxage : '' ) + ( params && params.smaxage ? ', s-maxage=' + params.smaxage : '' ) ); if ( config ) { for ( var conf in config ) { if ( conf == 'overrideMimeType' ) { if ( config[conf] && config[conf].length > 0 && request.overrideMimeType ) { request.overrideMimeType( config[conf] ); } } else { request.setRequestHeader( conf, config[conf] ); } } } if ( args ) { request.setRequestHeader( 'Content-Type', 'application/x-www-form-urlencoded' ); } request.onreadystatechange = function() { if ( request.readyState != 4 ) { return; // Wait until the request has completed. } try { if ( request.status != 200 ) { throw new Error( '#Request to server failed. Status: ' + request.status + ' ' + request.statusText + ' URI: ' + uri ); } if ( !request.responseText ) { throw new Error( '#Empty response from server for request ' + uri ); } } catch ( ex ) { failure( request, ex ); return; } success( request, original_failure ); }; request.send( args ); }; LAPI.Ajax.getPage = function( page, action, params, success, failure ) { var uri = mw.config.get('wgServer') + mw.config.get('wgScript') + '?title=' + encodeURIComponent( page ) + ( action ? '&action=' + action : '' ); LAPI.Ajax.get( uri, params, success, failure, {overrideMimeType: 'application/xml'} ); }; // modify is supposed to save the changes at the end, e.g. using LAPI.Ajax.submit. // modify is called with three parameters: the document, possibly the form, and the optional // failure function. The failure function is called with the request as the first parameter, // and possibly an exception as the second parameter. LAPI.Ajax.doAction = function( page, action, form, modify, failure ) { if ( !page || !action || !modify || typeof( modify ) != 'function' ) { throw new Error( 'Parameter inconsistency in LAPI.Ajax.doAction.' ); } var original_failure = failure; if ( !failure || typeof( failure ) != 'function') { failure = function() {}; } LAPI.Ajax.getPage( page, action, null, // No additional parameters function( request, failureFunc ) { var doc = null; var the_form = null; var revision_id = null; try { // Convert responseText into DOM tree. doc = LAPI.Ajax.getHTML( request, failureFunc, form ); if ( !doc ) { return; } var err_msg = LAPI.$ ('permissions-errors', doc ); if ( err_msg ) { throw new Error( '#' + LAPI.DOM.getInnerText( err_msg ) ); } if ( form ) { the_form = LAPI.$( form, doc ); if ( !the_form ) { throw new Error( '#Server reply does not contain mandatory form.' ); } } revision_id = LAPI.WP.revisionFromHtml( request.responseText ); } catch ( ex ) { failureFunc( request, ex ); return; } modify( doc, the_form, original_failure, revision_id ) }, failure ); }; // end LAPI.Ajax.doAction LAPI.Ajax.submit = function( form, after_submit ) { try { ajaxSubmit( form, null, after_submit, true ); // Legacy code from MediaWiki:AjaxSubmit } catch ( ex ) { after_submit( null, ex ); } }; // end LAPI.Ajax.submit LAPI.Ajax.editPage = function( page, modify, failure ) { LAPI.Ajax.doAction( page, 'edit', 'editform', modify, failure ); }; // end LAPI.Ajax.editPage LAPI.Ajax.checkEdit = function( request ) { if (!request) return true; // Check for previews (session token lost?) or edit forms (edit conflict). try { var doc = LAPI.Ajax.getHTML( request, function() { throw new Error( 'Cannot check HTML' ); } ); if ( !doc ) { return false; } return LAPI.$( ['wikiPreview', 'editform'], doc ) == null; } catch ( anything ) { return false; } }; // end LAPI.Ajax.checkEdit LAPI.Ajax.submitEdit = function( form, success, failure ) { if ( !success || typeof( success ) != 'function' ) { success = function() {}; } if ( !failure || typeof( failure ) != 'function' ) { failure = function() {}; } LAPI.Ajax.submit( form, function( request, ex ) { if ( ex ) { failure( request, ex ); } else { var successful = false; try { successful = request && request.status == 200 && LAPI.Ajax.checkEdit( request ); } catch ( some_error ) { failure( request, some_error ); return; } if ( successful ) { success( request ); } else { failure( request ); } } } ); }; // end LAPI.Ajax.submitEdit LAPI.Ajax.apiGet = function( action, params, success, failure ) { var original_failure = failure; if ( !failure || typeof( failure ) != 'function' ) { failure = function() {}; } if ( !success || typeof( success ) != 'function' ) { throw new Error( 'No success function supplied for LAPI.Ajax.apiGet ' + action + ' with arguments ' + params.toString() ); } var is_json = false; if ( params != null) { if ( typeof( params ) == 'string') { if ( !/format=[^&]+/.test( params ) ) { params += '&format=json'; } is_json = /format=json(&|$)/.test( params ); // Exclude jsonfm, which actually serves XHTML } else { if ( typeof( params['format'] ) != 'string' || params.format.length == 0 ) { params.format = 'json'; } is_json = params.format == 'json'; } } var uri = mw.config.get('wgServer') + wgScriptPath + '/api.php' + ( action ? '?action=' + action : '' ); LAPI.Ajax.get( uri, params, function( request, failureFunc ) { if ( is_json && request.responseText.trimLeft().charAt( 0 ) != '{' ) { failureFunc( request ); } else { success( request, ( is_json ? eval( '(' + request.responseText.trimLeft() + ')' ) : null ), original_failure ); } }, failure ); }; // end LAPI.Ajax.apiGet LAPI.Ajax.parseWikitext = function( wikitext, success, failure, as_preview, user_language, on_page, cache ) { if ( !failure || typeof( failure ) != 'function' ) { failure = function() {}; } if ( !success || typeof( success ) != 'function' ) { throw new Error( 'No success function supplied for parseWikitext' ); } if ( !wikitext && !on_page ) { throw new Error( 'No wikitext or page supplied for parseWikitext' ); } var params = null; if ( !wikitext ) { params = {pst: null, page: on_page}; } else { params = { pst: null, // Do the pre-save-transform: Pipe magic, tilde expansion, etc. text: ( as_preview ? '\<div style="border:1px solid red; padding:0.5em;"\>' + '\<div class="previewnote"\>' + '\{\{MediaWiki:Previewnote/' + ( user_language || wgUserLanguage ) + '\}\}' + '\<\/div>\<div\>\n' : '' ) + wikitext + ( as_preview ? '\<\/div\>\<div style="clear:both;"\>\<\/div\>\<\/div\>' : '' ), title: on_page || mw.config.get('wgPageName') || "API" }; } params.prop = 'text'; params.uselang = user_language || wgUserLanguage; // see bugzilla 22764 if ( cache && /^\d+$/.test( cache = cache.toString() ) ) { params.maxage = cache; params.smaxage = cache; } LAPI.Ajax.apiGet( 'parse', params, function( req, json_result, failureFunc ) { // Success. if ( !json_result || !json_result.parse || !json_result.parse.text ) { failureFunc( req, json_result ); return; } success( json_result.parse.text['*'], failureFunc ); }, failure ); }; // end LAPI.Ajax.parseWikitext LAPI.Ajax.injectSpinner = injectSpinner; LAPI.Ajax.removeSpinner = removeSpinner; } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Pos ) == 'undefined' ) { LAPI.Pos = { // Returns the global coordinates of the mouse pointer within the document. mousePosition: function( evt ) { if ( !evt || ( typeof( evt.pageX ) == 'undefined' && typeof( evt.clientX ) == 'undefined' ) ) { // No way to calculate a mouse pointer position return null; } if ( typeof( evt.pageX ) != 'undefined' ) { return { x: evt.pageX, y: evt.pageY }; } var offset = LAPI.Pos.scrollOffset(); var mouse_delta = LAPI.Pos.mouse_offset(); var coor_x = evt.clientX + offset.x - mouse_delta.x; var coor_y = evt.clientY + offset.y - mouse_delta.y; return { x: coor_x, y: coor_y }; }, // Operations on document level: // Returns the scroll offset of the whole document (in other words, the coordinates // of the top left corner of the viewport). scrollOffset: function() { return {x: LAPI.Pos.getScroll( 'Left' ), y: LAPI.Pos.getScroll( 'Top' ) }; }, getScroll: function( what ) { var s = 'scroll' + what; return ( document.documentElement ? document.documentElement[s] : 0 ) || document.body[s] || 0; }, // Returns the size of the viewport (result.x is the width, result.y the height). viewport: function() { return {x: LAPI.Pos.getViewport( 'Width' ), y: LAPI.Pos.getViewport( 'Height' ) }; }, getViewport: function( what ) { if ( LAPI.Browser.is_opera_95 && what == 'Height' || LAPI.Browser.is_safari && !document.evaluate ) { return window['inner' + what]; } var s = 'client' + what; if ( LAPI.Browser.is_opera ) { return document.body[s]; } return ( document.documentElement ? document.documentElement[s] : 0 ) || document.body[s] || 0; }, // Operations on DOM nodes position: ( function() { // The following is the jQuery.offset implementation. We cannot use jQuery yet in globally // activated scripts (it has strange side effects for Opera 8 users who can't log in anymore, // and it breaks the search box for some users). Note that jQuery does not support Opera 8. // Until the WMF servers serve jQuery by default, this copy from the jQuery 1.3.2 sources is // needed here. If and when we have jQuery available officially, the whole thing here can be // replaced by "var tmp = jQuery (node).offset(); return {x:tmp.left, y:tmp.top};" // Kudos to the jQuery development team. Any errors in this adaptation are my own. (Lupo, // 2009-08-24). var data = null; function jQuery_init() { data = {}; // Capability check from jQuery. var body = document.body; var container = document.createElement( 'div' ); var html = '<div style="position:absolute;top:0;left:0;margin:0;border:5px solid #000;' + 'padding:0;width:1px;height:1px;"><div></div></div><table style="position:absolute;' + 'top:0;left:0;margin:0;border:5px solid #000;padding:0;width:1px;height:1px;" ' + 'cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td></td></tr></table>'; var rules = { position: 'absolute', visibility: 'hidden', top: 0, left: 0, margin: 0, border: 0, width: '1px', height: '1px' }; Object.merge( rules, container.style ); container.innerHTML = html; body.insertBefore( container, body.firstChild ); var innerDiv = container.firstChild; var checkDiv = innerDiv.firstChild; var td = innerDiv.nextSibling.firstChild.firstChild; data.doesNotAddBorder = ( checkDiv.offsetTop !== 5 ); data.doesAddBorderForTableAndCells = ( td.offsetTop === 5 ); innerDiv.style.overflow = 'hidden', innerDiv.style.position = 'relative'; data.subtractsBorderForOverflowNotVisible = ( checkDiv.offsetTop === -5 ); var bodyMarginTop = body.style.marginTop; body.style.marginTop = '1px'; data.doesNotIncludeMarginInBodyOffset = ( body.offsetTop === 0 ); body.style.marginTop = bodyMarginTop; body.removeChild( container ); }; function jQuery_offset( node ) { if ( node === node.ownerDocument.body ) { return jQuery_bodyOffset( node ); } if ( node.getBoundingClientRect ) { var box = node.getBoundingClientRect(); var scroll = LAPI.Pos.scrollOffset(); return {x: ( box.left + scroll.x ), y: ( box.top + scroll.y )}; } if ( !data ) { jQuery_init(); } var elem = node; var offsetParent = elem.offsetParent; var prevOffsetParent = elem; var doc = elem.ownerDocument; var prevComputedStyle = doc.defaultView.getComputedStyle( elem, null ); var computedStyle; var top = elem.offsetTop; var left = elem.offsetLeft; while ( ( elem = elem.parentNode ) && elem !== doc.body && elem !== doc.documentElement ) { computedStyle = doc.defaultView.getComputedStyle( elem, null ); top -= elem.scrollTop, left -= elem.scrollLeft; if ( elem === offsetParent ) { top += elem.offsetTop, left += elem.offsetLeft; if ( data.doesNotAddBorder && !( data.doesAddBorderForTableAndCells && /^t(able|d|h)$/i.test( elem.tagName ) ) ) { top += parseInt( computedStyle.borderTopWidth, 10 ) || 0; left += parseInt( computedStyle.borderLeftWidth, 10 ) || 0; } prevOffsetParent = offsetParent; offsetParent = elem.offsetParent; } if ( data.subtractsBorderForOverflowNotVisible && computedStyle.overflow !== 'visible' ) { top += parseInt( computedStyle.borderTopWidth, 10 ) || 0; left += parseInt( computedStyle.borderLeftWidth, 10 ) || 0; } prevComputedStyle = computedStyle; } if ( prevComputedStyle.position === 'relative' || prevComputedStyle.position === 'static' ) { top += doc.body.offsetTop; left += doc.body.offsetLeft; } if ( prevComputedStyle.position === 'fixed' ) { top += Math.max( doc.documentElement.scrollTop, doc.body.scrollTop ); left += Math.max( doc.documentElement.scrollLeft, doc.body.scrollLeft ); } return {x: left, y: top}; } function jQuery_bodyOffset( body ) { if ( !data ) { jQuery_init(); } var top = body.offsetTop, left = body.offsetLeft; if ( data.doesNotIncludeMarginInBodyOffset ) { top += parseInt( LAPI.DOM.currentStyle( body, 'margin-top' ), 10 ) || 0; left += parseInt( LAPI.DOM.currentStyle( body, 'margin-left' ), 10 ) || 0; } return {x: left, y: top}; } return jQuery_offset; })(), isWithin: function( node, x, y ) { if ( !node || !node.parentNode ) { return false; } var pos = LAPI.Pos.position( node ); return ( x == null || x > pos.x && x < pos.x + node.offsetWidth ) && ( y == null || y > pos.y && y < pos.y + node.offsetHeight ); }, // Private: // IE has some strange offset... mouse_offset: function() { if ( LAPI.Browser.is_ie ) { var doc_elem = document.documentElement; if ( doc_elem ) { if ( typeof( doc_elem.getBoundingClientRect ) == 'function' ) { var tmp = doc_elem.getBoundingClientRect(); return {x: tmp.left, y: tmp.top}; } else { return {x: doc_elem.clientLeft, y: doc_elem.clientTop}; } } } return {x: 0, y: 0}; } }; // end LAPI.Pos } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Evt ) == 'undefined' ) { LAPI.Evt = { listenTo: function( object, node, evt, f, capture ) { var listener = LAPI.Evt.makeListener( object, f ); LAPI.Evt.attach( node, evt, listener, capture ); }, attach: function( node, evt, f, capture ) { if ( node.attachEvent ) { node.attachEvent( 'on' + evt, f ); } else if ( node.addEventListener ) { node.addEventListener( evt, f, capture ); } else { node['on' + evt] = f; } }, remove: function( node, evt, f, capture ) { if ( node.detachEvent ) { node.detachEvent( 'on' + evt, f ); } else if ( node.removeEventListener ) { node.removeEventListener( evt, f, capture ); } else { node['on' + evt] = null; } }, makeListener: function( obj, listener ) { // Some hacking around to make sure 'this' is set correctly var object = obj, f = listener; return function( evt ) { return f.apply( object, [evt || window.event] ); } // Alternative implementation: // var f = listener.bind( obj ); // return function( evt ) { return f ( evt || window.event ); }; }, kill: function( evt ) { if ( typeof( evt.preventDefault ) == 'function' ) { evt.stopPropagation(); evt.preventDefault(); // Don't follow the link } else if ( typeof( evt.cancelBubble ) != 'undefined' ) { // IE... evt.cancelBubble = true; } return false; // Don't follow the link (IE) } }; // end LAPI.Evt } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Edit ) == 'undefined' ) { LAPI.Edit = function() { this.initialize.apply( this, arguments ); }; LAPI.Edit.SAVE = 1; LAPI.Edit.PREVIEW = 2; LAPI.Edit.REVERT = 4; LAPI.Edit.CANCEL = 8; LAPI.Edit.prototype = { initialize: function( initial_text, columns, rows, labels, handlers ) { var my_labels = { box: null, preview: null, save: 'Save', cancel: 'Cancel', nullsave: null, revert: null, post: null }; if ( labels ) { my_labels = Object.merge( labels, my_labels ); } this.labels = my_labels; this.timestamp = ( new Date() ).getTime(); this.id = 'simpleedit_' + this.timestamp; this.view = LAPI.make( 'div', {id: this.id}, {marginRight: '1em'} ); // Somehow, the textbox extends beyond the bounding box of the view. Don't know why, but // adding a small margin fixes the layout more or less. this.form = LAPI.make( 'form', { id: this.id + '_form', action : '', onsubmit: ( function() {} ) } ); if ( my_labels.box ) { var label = LAPI.make( 'div' ); label.appendChild( LAPI.DOM.makeLabel( this.id + '_label', my_labels.box, this.id + '_text' ) ); this.form.appendChild( label ); } this.textarea = LAPI.make( 'textarea', { id: this.id + '_text', cols: columns, rows: rows, value: ( initial_text ? initial_text.toString() : '' ) } ); LAPI.Evt.attach( this.textarea, 'keyup', LAPI.Evt.makeListener( this, this.text_changed ) ); // Catch cut/copy/paste through the context menu. Some browsers support oncut, oncopy, // onpaste events for this, but since that's only IE, FF 3, Safari 3, and Chrome, we // cannot rely on this. Instead, we check again as soon as we leave the textarea. Only // minor catch is that on FF 3, the next focus target is determined before the blur event // fires. Since in practice save will always be enabled, this shouldn't be a problem. LAPI.Evt.attach( this.textarea, 'mouseout', LAPI.Evt.makeListener( this, this.text_changed ) ); LAPI.Evt.attach( this.textarea, 'blur', LAPI.Evt.makeListener( this, this.text_changed ) ); this.form.appendChild( this.textarea ); this.form.appendChild( LAPI.make( 'br' ) ); this.preview_section = LAPI.make( 'div', null, {borderBottom: '1px solid #8888aa', display: 'none'} ); this.view.insertBefore( this.preview_section, this.view.firstChild ); this.save = LAPI.DOM.makeButton( this.id + '_save', my_labels.save, LAPI.Evt.makeListener( this, this.do_save ) ); this.form.appendChild( this.save ); if ( my_labels.preview ) { this.preview = LAPI.DOM.makeButton( this.id + '_preview', my_labels.preview, LAPI.Evt.makeListener( this, this.do_preview ) ); this.form.appendChild( this.preview ); } this.cancel = LAPI.DOM.makeButton( this.id + '_cancel', my_labels.cancel, LAPI.Evt.makeListener( this, this.do_cancel ) ); this.form.appendChild( this.cancel ); this.view.appendChild( this.form ); if ( my_labels.post ) { this.post_text = LAPI.DOM.setContent( LAPI.make( 'div' ), my_labels.post ); this.view.appendChild( this.post_text ); } if ( handlers ) { Object.merge( handlers, this ); } if ( typeof( this.ongettext ) != 'function' ) { this.ongettext = function( text ) { return text; }; // Default: no modifications } this.current_mask = LAPI.Edit.SAVE + LAPI.Edit.PREVIEW + LAPI.Edit.REVERT + LAPI.Edit.CANCEL; if ( ( !initial_text || initial_text.trim().length == 0 ) && this.preview ) { this.preview.disabled = true; } if ( my_labels.revert ) { this.revert = LAPI.DOM.makeButton( this.id + '_revert', my_labels.revert, LAPI.Evt.makeListener( this, this.do_revert ) ); this.form.insertBefore( this.revert, this.cancel ); } this.original_text = ''; }, getView: function() { return this.view; }, getText: function() { return this.ongettext( this.textarea.value ); }, setText: function( text ) { this.textarea.value = text; this.original_text = text; this.text_changed(); }, changeText: function( text ) { this.textarea.value = text; this.text_changed(); }, hidePreview: function() { this.preview_section.style.display = 'none'; if ( this.onpreview ) { this.onpreview( this ); } }, showPreview: function() { this.preview_section.style.display = ''; if ( this.onpreview ) { this.onpreview( this ); } }, setPreview: function( html ) { if ( html.nodeName ) { LAPI.DOM.removeChildren( this.preview_section ); this.preview_section.appendChild( html ); } else { this.preview_section.innerHTML = html; } }, busy: function( show ) { if ( show ) { LAPI.Ajax.injectSpinner( this.cancel, this.id + '_spinner' ); } else { LAPI.Ajax.removeSpinner( this.id + '_spinner' ); } }, do_save: function( evt ) { if ( this.onsave ) { this.onsave( this ); } return true; }, do_revert: function( evt ) { this.changeText( this.original_text ); return true; }, do_cancel: function( evt ) { if ( this.oncancel ) { this.oncancel( this ); } return true; }, do_preview: function( evt ) { var self = this; this.busy( true ); LAPI.Ajax.parseWikitext( this.getText(), function( text, failureFunc ) { self.busy( false ); self.setPreview( text ); self.showPreview(); }, function( req, json_result ) { // Error. TODO: user feedback? self.busy( false ); }, true, wgUserLanguage || null, mw.config.get('wgPageName') || null ); return true; }, enable: function( bit_set ) { var call_text_changed = false; this.current_mask = bit_set; this.save.disabled = ( ( bit_set & LAPI.Edit.SAVE ) == 0 ); this.cancel.disabled = ( ( bit_set & LAPI.Edit.CANCEL ) == 0 ); if ( this.preview ) { if ( ( bit_set & LAPI.Edit.PREVIEW ) == 0 ) { this.preview.disabled = true; } else { call_text_changed = true; } } if ( this.revert ) { if ( ( bit_set & LAPI.Edit.REVERT ) == 0 ) { this.revert.disabled = true; } else { call_text_changed = true; } } if ( call_text_changed ) { this.text_changed(); } }, text_changed: function( evt ) { var text = this.textarea.value; text = text.trim(); var length = text.length; if ( this.preview && ( this.current_mask & LAPI.Edit.PREVIEW ) != 0 ) { // Preview is basically enabled this.preview.disabled = ( length <= 0 ); } if ( this.labels.nullsave ) { if ( length > 0 ) { this.save.value = this.labels.save; } else { this.save.value = this.labels.nullsave; } } if ( this.revert ) { this.revert.disabled = ( text == this.original_text || this.textarea.value == this.original_text ); } return true; } }; // end LAPI.Edit } // end if (guard) // </source> e5vu41jm8bec1or584rh9bq4lcs70es 1114302 1114301 2026-09-06T20:29:46Z Ladsgroup 15455 Fix the escaping 1114302 javascript text/javascript // <source lang=javascript"> /* Small JS library containing stuff I use often. Author: [[User:Lupo]], June 2009 License: Quadruple licensed GFDL, GPL, LGPL and Creative Commons Attribution 3.0 (CC-BY-3.0) Choose whichever license of these you like best :-) Includes the following components: - Object enhancements (clone, merge) - String enhancements (trim, ...) - Array enhancements (JS 1.6) - Function enhancements (bind) - LAPI Most basic DOM functions: $ (getElementById), make - LAPI.Ajax Ajax request implementation, tailored for MediaWiki/WMF sites - LAPI.Browser Browser detection (general) - LAPI.DOM DOM helpers, including a cross-browser DOM parser - LAPI.WP MediaWiki/WMF-specific DOM routines - LAPI.Edit Simple editor implementation with save, cancel, preview (for WMF sites) - LAPI.Evt Event handler routines (general) - LAPI.Pos Position calculations (general) */ // Global: wgServer, wgScript, wgUserLanguage, injectSpinner, removeSpinner (from wiki.js) // Global: importScript (from wikibits.js, for MediaWiki:AjaxSubmit.js) // Configuration: set this to the URL of your image server. The value is a string representation // of a regular expression. For instance, for Wikia, use "http://images\\d\\.wikia\\.nocookie\\.net". // Remember to double-escape the backslash. if ( typeof( LAPI_file_store ) == 'undefined' ) { var LAPI_file_store = "(https?:)?//(?:upload|thumb)\\.wikimedia\\.org/"; } // Some basic routines, mainly enhancements of the String, Array, and Function objects. // Some taken from JavaScript 1.6, some own. /** Object enhancements ************/ // Note: adding these to the prototype may break other code that assumes that // {} has no properties at all. Object.clone = function( source, includeInherited ) { if ( !source ) { return null; } var result = {}; for ( var key in source ) { if ( includeInherited || source.hasOwnProperty( key ) ) { result[key] = source[key]; } } return result; }; Object.merge = function( from, into, includeInherited ) { if ( !from ) { return into; } for ( var key in from ) { if ( includeInherited || from.hasOwnProperty( key ) ) { into[key] = from[key]; } } return into; }; Object.mergeSome = function( from, into, includeInherited, predicate ) { if ( !from ) { return into; } if ( typeof( predicate ) == 'undefined' ) { return Object.merge( from, into, includeInherited ); } for ( var key in from ) { if ( ( includeInherited || from.hasOwnProperty( key ) ) && predicate( from, into, key ) ) { into[key] = from[key]; } } return into; }; Object.mergeSet = function( from, into, includeInherited ) { return Object.mergeSome( from, into, includeInherited, function( src, tgt, key ) { return src[key] != null; } ); } /** String enhancements (JavaScript 1.6) ************/ // Removes given characters from both ends of the string. // If no characters are given, defaults to removing whitespace. if ( !String.prototype.trim ) { String.prototype.trim = function( chars ) { if ( !chars ) { return this.replace( /^\s+|\s+$/g, '' ); } return this.trimRight( chars ).trimLeft( chars ); }; } // Removes given characters from the beginning of the string. // If no characters are given, defaults to removing whitespace. if ( !String.prototype.trimLeft ) { String.prototype.trimLeft = function( chars ) { if ( !chars ) { return this.replace( /^\s\s*/, '' ); } return this.replace( new RegExp( '^[' + chars.escapeRE() + ']+' ), '' ); }; } String.prototype.trimFront = String.prototype.trimLeft; // Synonym // Removes given characters from the end of the string. // If no characters are given, defaults to removing whitespace. if ( !String.prototype.trimRight ) { String.prototype.trimRight = function( chars ) { if ( !chars ) { return this.replace( /\s\s*$/, '' ); } return this.replace( new RegExp( '[' + chars.escapeRE() + ']+$' ), '' ); }; } String.prototype.trimEnd = String.prototype.trimRight; // Synonym /** Further String enhancements ************/ // Returns true if the string begins with prefix. String.prototype.startsWith = function( prefix ) { return this.indexOf( prefix ) == 0; }; // Returns true if the string ends in suffix String.prototype.endsWith = function( suffix ) { return this.lastIndexOf( suffix ) + suffix.length == this.length; }; // Returns true if the string contains s. String.prototype.contains = function( s ) { return this.indexOf( s ) >= 0; }; // Replace all occurrences of a string pattern by replacement. String.prototype.replaceAll = function( pattern, replacement ) { return this.split( pattern ).join( replacement ); }; // Escape all backslashes and single or double quotes such that the result can // be used in JavaScript inside quotes or double quotes. String.prototype.stringifyJS = function() { return this.replace( /([\\\'\"]|%5C|%27|%22)/g, '\\$1' ) // ' // Fix syntax coloring .replace( /\n/g, '\\n' ); } // Escape all RegExp special characters such that the result can be safely used // in a RegExp as a literal. String.prototype.escapeRE = function() { return this.replace( /([\\{}()|.?*+^$\[\]])/g, "\\$1" ); }; String.prototype.escapeXML = function( quot, apos ) { var s = this.replace( /&/g, '&amp;' ) .replace( /\xa0/g, '&nbsp;' ) .replace( /</g, '&lt;' ) .replace( />/g, '&gt;' ); if ( quot ) { s = s.replace( /\"/g, '&quot;' ); // " // Fix syntax coloring } if ( apos ) { s = s.replace( /\'/g, '&apos;' ); // ' // Fix syntax coloring } return s; }; String.prototype.decodeXML = function() { return this.replace( /&quot;/g, '"' ) .replace( /&apos;/g, "'" ) .replace( /&gt;/g, '>' ) .replace( /&lt;/g, '<' ) .replace( /&nbsp;/g, '\xa0' ) .replace( /&amp;/g, '&' ); }; String.prototype.capitalizeFirst = function() { return this.substring( 0, 1 ).toUpperCase() + this.substring( 1 ); }; String.prototype.lowercaseFirst = function() { return this.substring( 0, 1 ).toLowerCase() + this.substring( 1 ); }; // This is actually a function on URLs, but since URLs typically are strings in // JavaScript, let's include this one here, too. String.prototype.getParamValue = function( param ) { var re = new RegExp( '[&?]' + param.escapeRE() + '=([^&#]*)' ); var m = re.exec( this ); if ( m && m.length >= 2 ) { return decodeURIComponent( m[1] ); } return null; }; String.getParamValue = function( param, url ) { if ( typeof( url ) == 'undefined' || url === null ) { url = document.location.href; } try { return url.getParamValue( param ); } catch ( e ) { return null; } }; /** Function enhancements ************/ if (!Function.prototype.bind) { // Return a function that calls the function with 'this' bound to 'thisObject' Function.prototype.bind = function (thisObject) { var f = this, obj = thisObject, slice = Array.prototype.slice, prefixedArgs = slice.call (arguments, 1); return function () { return f.apply (obj, prefixedArgs.concat (slice.call (arguments))); }; }; } /** Array enhancements (JavaScript 1.6) ************/ // Note that contrary to JS 1.6, we treat the thisObject as optional. // Don't add to the prototype, that would break for (var key in array) loops! // Returns a new array containing only those elements for which predicate // is true. if ( !Array.filter ) { Array.filter = function( target, predicate, thisObject ) { if ( target === null ) { return null; } if ( typeof( target.filter ) == 'function' ) { return target.filter( predicate, thisObject ); } if ( typeof( predicate ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.filter: predicate must be a function' ); } var l = target.length; var result = []; if ( thisObject ) { predicate = predicate.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target ) { var curr = target[i]; if ( predicate( curr, i, target ) ) { result[result.length] = curr; } } } return result; }; } Array.select = Array.filter; // Synonym // Calls iterator on all elements of the array if ( !Array.forEach ) { Array.forEach = function( target, iterator, thisObject ) { if ( target === null ) { return; } if ( typeof( target.forEach ) == 'function' ) { target.forEach( iterator, thisObject ); return; } if ( typeof( iterator ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.forEach: iterator must be a function' ); } var l = target.length; if ( thisObject ) { iterator = iterator.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target ) { iterator( target[i], i, target ); } } }; } // Returns true if predicate is true for every element of the array, false otherwise if ( !Array.every ) { Array.every = function( target, predicate, thisObject ) { if ( target === null ) { return true; } if ( typeof( target.every ) == 'function' ) { return target.every( predicate, thisObject ); } if ( typeof( predicate ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.every: predicate must be a function' ); } var l = target.length; if ( thisObject ) { predicate = predicate.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target && !predicate( target[i], i, target ) ) { return false; } } return true; }; } Array.forAll = Array.every; // Synonym // Returns true if predicate is true for at least one element of the array, false otherwise. if ( !Array.some ) { Array.some = function( target, predicate, thisObject ) { if ( target === null ) { return false; } if ( typeof( target.some ) == 'function' ) { return target.some( predicate, thisObject ); } if ( typeof( predicate ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.some: predicate must be a function' ); } var l = target.length; if ( thisObject ) { predicate = predicate.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target && predicate( target[i], i, target ) ) { return true; } } return false; }; } Array.exists = Array.some; // Synonym // Returns a new array built by applying mapper to all elements. if ( !Array.map ) { Array.map = function( target, mapper, thisObject ) { if ( target === null ) { return null; } if ( typeof( target.map ) == 'function' ) { return target.map( mapper, thisObject ); } if ( typeof( mapper ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.map: mapper must be a function' ); } var l = target.length; var result = []; if ( thisObject ) { mapper = mapper.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target ) { result[i] = mapper( target[i], i, target ); } } return result; }; } if ( !Array.indexOf ) { Array.indexOf = function( target, elem, from ) { if ( target === null ) { return -1; } if ( typeof( target.indexOf ) == 'function' ) { return target.indexOf( elem, from ); } if ( typeof( target.length ) == 'undefined' ) { return -1; } var l = target.length; if ( isNaN( from ) ) { from = 0; } else { from = from || 0; } from = ( from < 0 ) ? Math.ceil( from ) : Math.floor( from ); if ( from < 0 ) { from += l; } if ( from < 0 ) { from = 0; } while ( from < l ) { if ( from in target && target[from] === elem ) { return from; } from += 1; } return -1; }; } if ( !Array.lastIndexOf ) { Array.lastIndexOf = function( target, elem, from ) { if ( target === null ) { return -1; } if ( typeof( target.lastIndexOf ) == 'function' ) { return target.lastIndexOf( elem, from ); } if ( typeof( target.length ) == 'undefined' ) { return -1; } var l = target.length; if ( isNaN( from ) ) { from = l - 1; } else { from = from || ( l - 1 ); } from = ( from < 0 ) ? Math.ceil( from ) : Math.floor( from ); if ( from < 0 ) { from += l; } else if ( from >= l ) { from = l - 1; } while ( from >= 0 ) { if ( from in target && target[from] === elem ) { return from; } from -= 1; } return -1; }; } /** Additional Array enhancements ************/ Array.remove = function( target, elem ) { var i = Array.indexOf( target, elem ); if ( i >= 0 ) { target.splice( i, 1 ); } }; Array.contains = function( target, elem ) { return Array.indexOf( target, elem ) >= 0; }; Array.flatten = function( target ) { var result = []; Array.forEach( target, function( elem ) { result = result.concat( elem ); } ); return result; }; // Calls selector on the array elements until it returns a non-null object // and then returns that object. If selector always returns null, any also // returns null. See also Array.map. Array.any = function( target, selector, thisObject ) { if ( target === null ) { return null; } if ( typeof( selector ) != 'function' ) { throw new Error( 'Array.any: selector must be a function' ); } var l = target.length; var result = null; if ( thisObject ) { selector = selector.bind( thisObject ); } for ( var i = 0; l && i < l; i++ ) { if ( i in target ) { result = selector( target[i], i, target ); if ( result != null ) { return result; } } } return null; }; // Return a contiguous array of the contents of source, which may be an array or pseudo-array, // basically anything that has a length and can be indexed. (E.g. live HTMLCollections, but also // Strings, or objects, or the arguments "variable". Array.make = function( source ) { if ( !source || typeof( source.length ) == 'undefined' ) { return null; } var result = []; var l = source.length; for ( var i = 0; i < l; i++ ) { if ( i in source ) { result[result.length] = source[i]; } } return result; }; if ( typeof( window.LAPI) == 'undefined' ) { window.LAPI = { Ajax: { getRequest: function() { var request = null; try { request = new XMLHttpRequest(); } catch ( anything ) { request = null; if ( !!window.ActiveXObject ) { if ( typeof( LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID ) == 'undefined' ) { var XHR_ids = [ 'MSXML2.XMLHTTP.6.0', 'MSXML2.XMLHTTP.3.0', 'MSXML2.XMLHTTP', 'Microsoft.XMLHTTP' ]; for ( var i = 0; i < XHR_ids.length && !request; i++ ) { try { request = new ActiveXObject( XHR_ids[i] ); if ( request ) { LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID = XHR_ids[i]; } } catch ( ex ) { request = null; } } if ( !request ) { LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID = null; } } else if ( LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID ) { request = new ActiveXObject( LAPI.Ajax.getRequest.msXMLHttpID ); } } // end if IE } // end try-catch return request; } }, $: function( selector, doc, multi ) { if ( !selector || selector.length == 0 ) { return null; } doc = doc || document; if ( typeof( selector ) == 'string' ) { if ( selector.charAt( 0 ) == '#' ) { selector = selector.substring( 1 ); } if ( selector.length > 0 ) { return doc.getElementById( selector ); } return null; } else { if ( multi ) { return Array.map( selector, function( id ) { return LAPI.$( id, doc ); } ); } return Array.any( selector, function( id ) { return LAPI.$( id, doc ); } ); } }, make: function( tag, attribs, css, doc ) { doc = doc || document; if ( !tag || tag.length == 0 ) { throw new Error ('No tag for LAPI.make'); } var result = doc.createElement( tag ); Object.mergeSet( attribs, result ); Object.mergeSet( css, result.style ); if ( /^(form|input|button|select|textarea)$/.test( tag ) && result.id && result.id.length > 0 && !result.name ) { result.name = result.id; } return result; }, formatException: function( ex, asDOM ) { var name = ex.name || ''; var msg = ex.message || ''; var file = null; var line = null; if ( msg && msg.length > 0 && msg.charAt( 0 ) == '#' ) { // User msg: don't confuse users with error locations. (Note: could also use // custom exception types, but that doesn't work right on IE6.) msg = msg.substring( 1 ); } else { file = ex.fileName || ex.sourceURL || null; // Gecko, Webkit, others line = ex.lineNumber || ex.line || null; // Gecko, Webkit, others } if ( name || msg ) { if ( !asDOM ) { return 'Exception ' + name + ': ' + msg + ( file ? '\nFile ' + file + ( line ? ' (' + line + ')' : '' ) : '' ); } else { var ex_msg = LAPI.make( 'div' ); ex_msg.appendChild( document.createTextNode( 'Exception ' + name + ': ' + msg ) ); if ( file ) { ex_msg.appendChild( LAPI.make( 'br' ) ); ex_msg.appendChild( document.createTextNode( 'File ' + file + (line ? ' (' + line + ')' : '' ) ) ); } return ex_msg; } } else { return null; } } }; } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Browser ) == 'undefined' ) { // Yes, usually it's better to test for available features. But sometimes there's no // way around testing for specific browsers (differences in dimensions, layout errors, // etc.) LAPI.Browser = ( function( agent ) { var result = {}; result.client = agent; var m = agent.match( /applewebkit\/(\d+)/ ); result.is_webkit = ( m != null ); result.is_safari = result.is_webkit && !agent.contains( 'spoofer' ); result.webkit_version = ( m ? parseInt( m[1] ) : 0 ); result.is_khtml = navigator.vendor == 'KDE' || ( document.childNodes && !document.all && !navigator.taintEnabled && navigator.accentColorName ); result.is_gecko = agent.contains( 'gecko' ) && !/khtml|spoofer|netscape\/7\.0/.test( agent ); result.is_ff_1 = agent.contains( 'firefox/1' ); result.is_ff_2 = agent.contains( 'firefox/2' ); result.is_ff_ge_2 = /firefox\/[2-9]|minefield\/3/.test( agent ); result.is_ie = agent.contains( 'msie' ) || !!window.ActiveXObject; result.is_ie_lt_7 = false; if ( result.is_ie ) { var version = /msie ((\d|\.)+)/.exec( agent ); result.is_ie_lt_7 = ( version != null && ( parseFloat( version[1] ) < 7 ) ); } result.is_opera = agent.contains( 'opera' ); result.is_opera_ge_9 = false; result.is_opera_95 = false; if ( result.is_opera ) { m = /opera\/((\d|\.)+)/.exec( agent ); result.is_opera_95 = m && ( parseFloat( m[1] ) >= 9.5 ); result.is_opera_ge_9 = m && ( parseFloat( m[1] ) >= 9.0 ); } result.is_mac = agent.contains( 'mac' ); return result; })( navigator.userAgent.toLowerCase() ); } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.DOM ) == 'undefined' ) { LAPI.DOM = { // IE6 doesn't have these Node constants in Node, so put them here ELEMENT_NODE : 1, ATTRIBUTE_NODE : 2, TEXT_NODE : 3, CDATA_SECTION_NODE : 4, ENTITY_REFERENCE_NODE : 5, ENTITY_NODE : 6, PROCESSING_INSTRUCTION_NODE : 7, COMMENT_NODE : 8, DOCUMENT_NODE : 9, DOCUMENT_TYPE_NODE : 10, DOCUMENT_FRAGMENT_NODE : 11, NOTATION_NODE : 12, cleanAttributeName: function( attr_name ) { if ( !LAPI.Browser.is_ie ) { return attr_name; } if ( !LAPI.DOM.cleanAttributeName._names ) { LAPI.DOM.cleanAttributeName._names = { 'class': 'className', 'cellspacing': 'cellSpacing', 'cellpadding': 'cellPadding', 'colspan': 'colSpan', 'maxlength': 'maxLength', 'readonly': 'readOnly', 'rowspan': 'rowSpan', 'tabindex': 'tabIndex', 'valign': 'vAlign' }; } var cleaned = attr_name.toLowerCase(); return LAPI.DOM.cleanAttributeName._names[cleaned] || cleaned; }, importNode: function( into, node, deep ) { if ( !node ) { return null; } if ( into.importNode ) { return into.importNode( node, deep ); } if ( node.ownerDocument == into ) { return node.cloneNode( deep ); } var new_node = null; switch ( node.nodeType ) { case LAPI.DOM.ELEMENT_NODE: new_node = into.createElement( node.nodeName ); Array.forEach( node.attributes, function( attr ) { if ( attr && attr.nodeValue && attr.nodeValue.length > 0 ) { new_node.setAttribute( LAPI.DOM.cleanAttributeName( attr.name ), attr.nodeValue ); } } ); new_node.style.cssText = node.style.cssText; if ( deep ) { Array.forEach( node.childNodes, function( child ) { var copy = LAPI.DOM.importNode( into, child, true ); if ( copy ) { new_node.appendChild( copy ); } } ); } return new_node; case LAPI.DOM.TEXT_NODE: return into.createTextNode( node.nodeValue ); case LAPI.DOM.CDATA_SECTION_NODE: return ( into.createCDATASection ? into.createCDATASection( node.nodeValue ) : into.createTextNode( node.nodeValue ) ); case LAPI.DOM.COMMENT_NODE: return into.createComment( node.nodeValue ); default: return null; } // end switch }, parse: function( str, content_type ) { function getDocument( str, content_type ) { if ( typeof( DOMParser ) != 'undefined' ) { var parser = new DOMParser(); if ( parser && parser.parseFromString ) { return parser.parseFromString( str, content_type ); } } // We don't have DOMParser if ( LAPI.Browser.is_ie ) { var doc = null; // Apparently, these can be installed side-by-side. Try to get the newest one available. // Unfortunately, one finds a variety of version strings on the net. I have no idea which // ones are correct. if ( typeof( LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID ) == 'undefined' ) { // If we find a parser, we cache it. // If we cannot find one, we also remember that. var parsers = [ 'MSXML6.DOMDocument', 'MSXML5.DOMDocument', 'MSXML4.DOMDocument', 'MSXML3.DOMDocument', 'MSXML2.DOMDocument.5.0', 'MSXML2.DOMDocument.4.0', 'MSXML2.DOMDocument.3.0', 'MSXML2.DOMDocument', 'MSXML.DomDocument', 'Microsoft.XmlDom' ]; for ( var i = 0; i < parsers.length && !doc; i++ ) { try { doc = new ActiveXObject( parsers[i] ); if ( doc ) { LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID = parsers[i]; } } catch ( ex ) { doc = null; } } if ( !doc ) { LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID = null; } } else if ( LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID ) { doc = new ActiveXObject( LAPI.DOM.parse.msDOMDocumentID ); } if ( doc ) { doc.async = false; doc.loadXML( str ); return doc; } } // Try using a "data" URI (http://www.ietf.org/rfc/rfc2397). // Reported to work on older Safaris. content_type = content_type || 'application/xml'; var req = LAPI.Ajax.getRequest(); if ( req ) { // Synchronous is OK, since "data" URIs are local req.open( 'GET', 'data:' + content_type + ';charset=utf-8,' + encodeURIComponent( str ), false ); if ( req.overrideMimeType ) { req.overrideMimeType( content_type ); } req.send( null ); return req.responseXML; } return null; } // end getDocument var doc = null; try { doc = getDocument( str, content_type ); } catch ( ex ) { doc = null; } if ( ( ( !doc || !doc.documentElement ) && ( str.search( /^\s*(<xml[^>]*>\s*)?<!doctype\s+html/i ) >= 0 || str.search( /^\s*<html/i ) >= 0 ) ) || ( doc && ( LAPI.Browser.is_ie && ( !doc.documentElement && doc.parseError && doc.parseError.errorCode != 0 && doc.parseError.reason.contains( 'Error processing resource' ) && doc.parseError.reason.contains( 'http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd' ) ) ) ) ) { // Either the text specified an (X)HTML document, but we failed to get a Document, or we // hit the walls of the single-origin policy on IE which tries to get the DTD from the // URI specified... Let's fake a document: doc = LAPI.DOM.fakeHTMLDocument( str ); } return doc; }, parseHTML: function( str, sanity_check ) { // Simplified from the above, for cases where we *know* up front that the text is (X)HTML. var doc = null; if ( typeof( DOMParser ) != 'undefined' ) { var parser = new DOMParser(); if ( parser && parser.parseFromString ) { doc = parser.parseFromString( str, 'text/xml' ); } } if ( !doc || !doc.documentElement || /^parsererror$/i.test( doc.documentElement.tagName ) || ( sanity_check && doc.getElementById( sanity_check ) == null ) ) { // We had an error, or the sanity check (looking for an element known to be there) failed. // (Happens on Konqueror 4.2.3/4.2.4 upon the very first call...) doc = LAPI.DOM.fakeHTMLDocument( str ); } return doc; }, fakeHTMLDocument: function( str ) { var body_tag = /<body.*?>/.exec( str ); if ( !body_tag || body_tag.length == 0 ) { return null; } body_tag = body_tag.index + body_tag[0].length; // Index after the opening body tag var body_end = str.lastIndexOf( '</body>' ); if ( body_end < 0 ) { return null; } var content = str.substring( body_tag, body_end ); // Anything in between content = content.replace( /<script(.|\s)*?\/script>/g, '' ); // Sanitize: strip scripts return new LAPI.DOM.DocumentFacade( content ); }, isValid: function( doc ) { if ( !doc ) { return doc; } if ( typeof( doc.parseError ) != 'undefined' ) { // IE if ( doc.parseError.errorCode != 0 ) { throw new Error( 'XML parse error: ' + doc.parseError.reason + ' line ' + doc.parseError.line + ' col ' + doc.parseError.linepos + '\nsrc = ' + doc.parseError.srcText ); } } else { // FF... others? var root = doc.documentElement; if ( /^parsererror$/i.test( root.tagName ) ) { throw new Error( 'XML parse error: ' + root.getInnerText() ); } } return doc; }, hasClass: function( node, className ) { if ( !node ) { return false; } return ( ' ' + node.className + ' ' ).contains( ' ' + className + ' ' ); }, setContent: function( node, content ) { if ( content == null ) { return node; } LAPI.DOM.removeChildren( node ); if ( content.nodeName ) { // presumably a DOM tree, like a span or a document fragment node.appendChild( content ); } else if ( typeof( node.innerHTML ) != 'undefined' ) { node.innerHTML = content.toString(); } else { node.appendChild( document.createTextNode( content.toString() ) ); } return node; }, makeImage: function( src, width, height, title, doc ) { return LAPI.make( 'img', { src: src, width: '' + width, height: '' + height, title: title }, doc ); }, makeButton: function( id, text, f, submit, doc ) { return LAPI.make( 'input', { id: id || '', type: ( submit ? 'submit' : 'button' ), value: text, onclick: f }, doc ); }, makeLabel: function( id, text, for_elem, doc ) { var label = LAPI.make( 'label', {id: id || '', htmlFor: for_elem}, null, doc ); return LAPI.DOM.setContent( label, text ); }, makeLink: function( url, text, tooltip, onclick, doc ) { var lk = LAPI.make( 'a', {href: url, title: tooltip, onclick: onclick}, null, doc ); return LAPI.DOM.setContent( lk, text || url ); }, // Unfortunately, extending Node.prototype may not work on some browsers, // most notably (you've guessed it) IE... getInnerText: function( node ) { if ( node.textContent ) { return node.textContent; } if ( node.innerText ) { return node.innerText; } var result = ''; if ( node.nodeType == LAPI.DOM.TEXT_NODE ) { result = node.nodeValue; } else { Array.forEach( node.childNodes, function( elem ) { switch ( elem.nodeType ) { case LAPI.DOM.ELEMENT_NODE: result += LAPI.DOM.getInnerText( elem ); break; case LAPI.DOM.TEXT_NODE: result += elem.nodeValue; break; } } ); } return result; }, removeNode: function( node ) { if ( node.parentNode ) { node.parentNode.removeChild( node ); } return node; }, removeChildren: function( node ) { // if ( typeof( node.innerHTML ) != 'undefined' ) node.innerHTML = ''; // Not a good idea. On IE this destroys all contained nodes, even if they're still referenced // from JavaScript! Can't have that... while ( node.firstChild ) node.removeChild( node.firstChild ); return node; }, insertNode: function( node, before ) { before.parentNode.insertBefore( node, before ); return node; }, insertAfter: function( node, after ) { var next = after.nextSibling; after.parentNode.insertBefore( node, next ); return node; }, replaceNode: function( node, newNode ) { node.parentNode.replaceChild( node, newNode ); return newNode; }, isParentOf: function( parent, child ) { while ( child && child != parent && child.parentNode ) child = child.parentNode; return child == parent; }, // Property is to be in CSS style, e.g. 'background-color', not in JS style ('backgroundColor')! // Use standard 'cssFloat' for float property. currentStyle: function( element, property ) { function normalize( prop ) { // Don't use a regexp with a lambda function(available only in JS 1.3)... and I once had a // case where IE6 goofed grossly with a lambda function. Since then I try to avoid those // (though they're neat). if ( prop == 'cssFloat' ) { return 'styleFloat'; // We'll try both variants below, standard first... } var result = prop.split( '-' ); result = Array.map( result, function( s ) { if ( s ) { return s.capitalizeFirst(); } else { return s; } } ); result = result.join( '' ); return result.lowercaseFirst(); } if ( element.ownerDocument.defaultView && element.ownerDocument.defaultView.getComputedStyle ) { // Gecko etc. if ( property == 'cssFloat' ) { property = 'float'; } return element.ownerDocument.defaultView.getComputedStyle( element, null ).getPropertyValue( property ); } else { var result; if ( element.currentStyle ) { // IE, has subtle differences to getComputedStyle result = element.currentStyle[property] || element.currentStyle[normalize( property )]; } else { // Not exactly right, but best effort result = element.style[property] || element.style[normalize( property )]; } // Convert em etc. to pixels. Kudos to Dean Edwards; see // http://erik.eae.net/archives/2007/07/27/18.54.15/#comment-102291 if ( !/^\d+(px)?$/i.test( result ) && /^\d/.test( result ) && element.runtimeStyle ) { var style = element.style.left; var runtimeStyle = element.runtimeStyle.left; element.runtimeStyle.left = element.currentStyle.left; element.style.left = result || 0; result = elem.style.pixelLeft + 'px'; element.style.left = style; element.runtimeStyle.left = runtimeStyle; } } }, // Load a given image in a given size. Parameters: // title // Full title of the image, including the "File:" namespace // url // If != null, URL of an existing thumb for that image. If width is null, may contain the url // of the full image. // width // If != null, desired width of the image, otherwise load the full image // height // If width != null, height should also be set. // auto_thumbs // True if missing thumbnails are generated automatically. // success // Function to be called once the image is loaded. Takes one parameter: the IMG-tag of // the loaded image // failure // Function to be called if the image cannot be loaded. Takes one parameter: a string // containing an error message. loadImage: function( title, url, width, height, auto_thumbs, success, failure ) { if ( auto_thumbs && url ) { // MediaWiki-style with 404 handler. Set condition to false if your wiki does not have such a // setup. var img_src = null; if ( width ) { var i = url.lastIndexOf( '/' ); if ( i >= 0 ) { img_src = url.substring( 0, i ) + url.substring( i ).replace( /^\/\d+px-/, '/' + width + 'px-' ); } } else if ( url ) { img_src = url; } if ( !img_src ) { failure( 'Cannot load image from url ' + url ); return; } var img_loader = LAPI.make( 'img', {src: img_src}, { position: 'absolute', top: '0px', left: '0px', display: 'none' } ); if ( width ) { img_loader.width = '' + width; } if ( height ) { img_loader.height = '' + height; } LAPI.Evt.attach( img_loader, 'load', function() { success( img_loader ); } ); document.body.appendChild( img_loader ); // Now the browser goes loading the image } else { // No URL to work with. Use parseWikitext to have a thumb generated an to get its URL. LAPI.Ajax.parseWikitext( '[[' + title + ( width ? '|' + width + 'px' : '' ) + ']]', function( html, failureFunc ) { var dummy = LAPI.make( 'div', null, { position: 'absolute', top: '0px', left: '0px', display: 'none' } ); document.body.appendChild( dummy ); // Now start loading the image dummy.innerHTML = html; var imgs = dummy.getElementsByTagName( 'img' ); LAPI.Evt.attach( imgs[0], 'load', function() { success( imgs[0] ); LAPI.DOM.removeNode( dummy ); } ); }, function( request, json_result ) { failure( 'Image loading failed: ' + request.status + ' ' + request.statusText ); }, false, // Not as preview null, // user language: don't care null, // on page: don't care 3600 // Cache for an hour ); } } }; // end LAPI.DOM LAPI.DOM.DocumentFacade = function() { this.initialize.apply( this, arguments ); }; LAPI.DOM.DocumentFacade.prototype = { initialize: function( text ) { // It's not a real document, but it will behave like one for our purposes. this.documentElement = LAPI.make( 'div', null, {display: 'none', position: 'absolute'} ); this.body = LAPI.make( 'div', null, {position: 'relative'} ); this.documentElement.appendChild( this.body ); document.body.appendChild( this.documentElement ); this.body.innerHTML = text; // Find all forms var forms = document.getElementsByTagName( 'form' ); var self = this; this.forms = Array.select( forms, function( f ) { return LAPI.DOM.isParentOf( self.body, f ); } ); // Konqueror 4.2.3/4.2.4 clears form.elements when the containing div is removed from the // parent document?! if ( !LAPI.Browser.is_khtml ) { LAPI.DOM.removeNode( this.documentElement ); } else { this.dispose = function() { LAPI.DOM.removeNode( this.documentElement ); }; // Since we must leave the stuff *in* the original document on Konqueror, we'll also need a // dispose routine... what an ugly hack. } this.allIDs = {}; this.isFake = true; }, createElement: function( tag ) { return document.createElement( tag ); }, createDocumentFragment: function() { return document.createDocumentFragment(); }, createTextNode: function( text ) { return document.createTextNode( text ); }, createComment: function( text ) { return document.createComment( text ); }, createCDATASection: function( text ) { return document.createCDATASection( text ); }, createAttribute: function( name ) { return document.createAttribute( name ); }, createEntityReference: function( name) { return document.createEntityReference( name ); }, createProcessingInstruction: function( target, data ) { return document.createProcessingInstruction( target, data ); }, getElementsByTagName: function( tag ) { // Grossly inefficient, but deprecated anyway var res = []; function traverse( node, tag ) { if ( node.nodeName.toLowerCase() == tag ) { res[res.length] = node; } var curr = node.firstChild; while ( curr ) { traverse( curr, tag ); curr = curr.nextSibling; } } traverse( this.body, tag.toLowerCase() ); return res; }, getElementById: function( id ) { function traverse( elem, id ) { if ( elem.id == id ) { return elem; } var res = null; var curr = elem.firstChild; while ( curr && !res ) { res = traverse( curr, id ); curr = curr.nextSibling; } return res; } if ( !this.allIDs[id] ) { this.allIDs[id] = traverse( this.body, id ); } return this.allIDs[id]; } // ...NS operations omitted }; // end DocumentFacade if ( document.importNode ) { LAPI.DOM.DocumentFacade.prototype.importNode = function( node, deep ) { document.importNode( node, deep ); }; } } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.WP ) == 'undefined' ) { LAPI.WP = { getContentDiv: function( doc ) { // Monobook, modern, classic skins return LAPI.$( ['bodyContent', 'mw_contentholder', 'article'], doc ); }, fullImageSizeFromPage: function( doc ) { // Get the full img size. This is screenscraping :-( but there are times where you don't // want to get this info from the server using an Ajax call. // Note: we get the size from the file history table because the text just below the image // is all scrambled on RTL wikis. For instance, on ar-WP, it is // "‏ (1,806 × 1,341 بكسل، حجم الملف: 996 كيلوبايت، نوع الملف: image/jpeg) and with uselang=en, // it is at ar-WP "‏ (1,806 × 1,341 pixels, file size: 996 KB, MIME type: image/jpeg)" // However, in the file history table, it looks good no matter the language and writing // direction. // Update: this fails on e.g. ar-WP because someone had the great idea to use localized // numerals, but the digit transform table is empty! var result = {width: 0, height: 0}; var file_hist = LAPI.$( 'mw-imagepage-section-filehistory', doc ); if ( !file_hist ) { return result; } try { var file_curr = getElementsByClassName( file_hist, 'td', 'filehistory-selected' ); // Did they change the column order here? It once was nextSibling.nextSibling... but somehow // the thumbnails seem to be gone... Right: // http://svn.wikimedia.org/viewvc/mediawiki/trunk/phase3/includes/ImagePage.php?r1=52385&r2=53130 file_hist = LAPI.DOM.getInnerText( file_curr[0].nextSibling ); if ( !file_hist.contains( '×' ) ) { file_hist = LAPI.DOM.getInnerText( file_curr[0].nextSibling.nextSibling ); if ( !file_hist.contains( '×' ) ) { file_hist = null; } } } catch ( ex ) { return result; } // Now we have "number×number" followed by something arbitrary if ( file_hist ) { file_hist = file_hist.split( '×', 2 ); result.width = parseInt( file_hist.shift().replace( /[^0-9]/g, '' ), 10 ); // Height is a bit more difficult because e.g. uselang=eo uses a space as the thousands // separator. Hence we have to extract this more carefully file_hist = file_hist.pop(); // Everything after the "×" // Remove any white space embedded between digits file_hist = file_hist.replace( /(\d)\s*(\d)/g, '$1$2' ); file_hist = file_hist.split( ' ', 2 ).shift().replace( /[^0-9]/g, '' ); result.height = parseInt( file_hist, 10 ); if ( isNaN( result.width ) || isNaN( result.height ) ) { result = {width: 0, height: 0}; } } return result; }, getPreviewImage: function( title, doc ) { var file_div = LAPI.$( 'file', doc ); if ( !file_div ) { return null; // Catch page without file... } var imgs = file_div.getElementsByTagName( 'img' ); title = title || mw.config.get('wgTitle'); for ( var i = 0; i < imgs.length; i++ ) { var src = decodeURIComponent( imgs[i].getAttribute( 'src', 2 ) ).replace( '%26', '&' ); if ( src.search( new RegExp( '^' + LAPI_file_store + '.*' + title.replace( / /g, '_' ).replace( /(\.svg)$/i, '$1.png' ).escapeRE() + '$' ) ) == 0 ) { return imgs[i]; } } return null; }, pageFromLink: function( lk ) { if ( !lk ) { return null; } var href = lk.getAttribute( 'href', 2 ); if ( !href ) { return null; } // This is a bit tricky to get right, because wgScript can be a substring prefix of // wgArticlePath, or vice versa. var script = mw.config.get('wgScript') + '?'; if ( href.startsWith( script ) || href.startsWith( mw.config.get('wgServer') + script ) || mw.config.get('wgServer').startsWith( '//' ) && href.startsWith( document.location.protocol + mw.config.get('wgServer') + script ) ) { // href="/w/index.php?title=..." return href.getParamValue( 'title' ); } // Now try wgArticlePath: href="/wiki/..." var prefix = mw.config.get('wgArticlePath').replace( '$1', '' ); if ( !href.startsWith( prefix ) ) { prefix = mw.config.get('wgServer') + prefix; // Fully expanded URL? } if ( !href.startsWith( prefix ) && prefix.startsWith( '//' ) ) { prefix = document.location.protocol + prefix; // Protocol-relative wgServer? } if ( href.startsWith( prefix ) ) { return decodeURIComponent( href.substring( prefix.length ) ); } // Do we have variants? if ( typeof( wgVariantArticlePath ) != 'undefined' && wgVariantArticlePath && wgVariantArticlePath.length > 0 ) { var re = new RegExp( wgVariantArticlePath.escapeRE().replace( '\\$2', "[^\\/]*" ).replace( '\\$1', "(.*)" ) ); var m = re.exec( href ); if ( m && m.length > 1 ) { return decodeURIComponent( m[m.length - 1] ); } } // Finally alternative action paths if ( typeof( wgActionPaths ) != 'undefined' && wgActionPaths ) { for ( var i = 0; i < wgActionPaths.length; i++ ) { var p = wgActionPaths[i]; if ( p && p.length > 0 ) { p = p.replace( '$1', '' ); if ( !href.startsWith( p ) ) { p = mw.config.get('wgServer') + p; } if ( !href.startsWith( p ) && p.startsWith( '//' ) ) { p = document.location.protocol + p; } if ( href.startsWith( p ) ) { return decodeURIComponent( href.substring( p.length ) ); } } } } return null; }, revisionFromHtml: function( htmlOfPage ) { var revision_id = null; if ( window.mediaWiki ) { // MW 1.17+ revision_id = htmlOfPage.match( /(mediaWiki|mw).config.set\(\{.*"wgCurRevisionId"\s*:\s*(\d+),/ ); if ( revision_id ) { revision_id = parseInt( revision_id[2], 10 ); } } else { // MW < 1.17 revision_id = htmlOfPage.match( /wgCurRevisionId\s*=\s*(\d+)[;,]/ ); if ( revision_id ) { revision_id = parseInt( revision_id[1], 10 ); } } return revision_id; } }; // end LAPI.WP } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Ajax.doAction ) == 'undefined' ) { mw.loader.load( '/w/index.php?title=MediaWiki:AjaxSubmit.js&action=raw&ctype=text/javascript' ); // Legacy code: ajaxSubmit LAPI.Ajax.getXML = function( request, failureFunc ) { var doc = null; if ( request.responseXML && request.responseXML.documentElement ) { doc = request.responseXML; } else { try { doc = LAPI.DOM.parse( request.responseText, 'text/xml' ); } catch ( ex ) { if ( typeof( failureFunc ) == 'function' ) { failureFunc( request, ex ); } doc = null; } } if ( doc ) { try { doc = LAPI.DOM.isValid( doc ); } catch ( ex ) { if ( typeof( failureFunc ) == 'function' ) { failureFunc( request, ex ); } doc = null; } } return doc; }; LAPI.Ajax.getHTML = function( request, failureFunc, sanity_check ) { // Konqueror sometimes has severe problems with responseXML. // It does set it, but getElementById may fail to find elements known to exist. var doc = null; if ( request.responseXML && request.responseXML.documentElement && request.responseXML.documentElement.tagName == 'HTML' && ( !sanity_check || request.responseXML.getElementById( sanity_check ) != null ) ) { doc = request.responseXML; } else { try { doc = LAPI.DOM.parseHTML( request.responseText, sanity_check ); if ( !doc ) { throw new Error( '#Could not understand request result' ); } } catch ( ex ) { if ( typeof( failureFunc ) == 'function' ) { failureFunc( request, ex ); } doc = null; } } if ( doc ) { try { doc = LAPI.DOM.isValid( doc ); } catch ( ex ) { if ( typeof( failureFunc ) == 'function' ) { failureFunc( request, ex ); } doc = null; } } return doc; }; LAPI.Ajax.get = function( uri, params, success, failure, config ) { var original_failure = failure; if ( !failure || typeof( failure ) != 'function' ) { failure = function() {}; } if ( !success || typeof( success ) != 'function' ) { throw new Error( 'No success function supplied for LAPI.Ajax.get ' + uri + ' with arguments ' + params.toString() ); } var request = LAPI.Ajax.getRequest(); if ( !request ) { failure( request ); return; } var args = ''; var question_mark = uri.indexOf( '?' ); if ( question_mark ) { args = uri.substring( question_mark + 1 ); uri = uri.substring( 0, question_mark ); } if ( params != null ) { if ( typeof( params ) == 'string' && params.length > 0 ) { args += ( args.length > 0 ? '&' : '' ) + ( ( params.charAt( 0 ) == '&' || params.charAt( 0 ) == '?' ) ? params.substring( 1 ) : params ); // Must already be encoded! } else { for ( var param in params ) { args += ( args.length > 0 ? '&' : '' ) + param; if ( params[param] != null ) { args += '=' + encodeURIComponent( params[param] ); } } } } var method; if ( uri.startsWith( '//' ) ) { uri = document.location.protocol + uri; // Avoid protocol-relative URIs (IE7 bug) } if ( uri.length + args.length + 1 < ( LAPI.Browser.is_ie ? 2040 : 4080 ) ) { // Both browsers and web servers may have limits on URL length. IE has a limit of 2083 characters // (2048 in the path part), and the WMF servers seem to impose a limit of 4kB. method = 'GET'; uri += '?' + args; args = null; } else { method = 'POST'; // We'll lose caching, but at least we can make the request. } request.open( method, uri, true ); request.setRequestHeader( 'Pragma', 'cache=yes' ); request.setRequestHeader( 'Cache-Control', 'no-transform' + ( params && params.maxage ? ', max-age=' + params.maxage : '' ) + ( params && params.smaxage ? ', s-maxage=' + params.smaxage : '' ) ); if ( config ) { for ( var conf in config ) { if ( conf == 'overrideMimeType' ) { if ( config[conf] && config[conf].length > 0 && request.overrideMimeType ) { request.overrideMimeType( config[conf] ); } } else { request.setRequestHeader( conf, config[conf] ); } } } if ( args ) { request.setRequestHeader( 'Content-Type', 'application/x-www-form-urlencoded' ); } request.onreadystatechange = function() { if ( request.readyState != 4 ) { return; // Wait until the request has completed. } try { if ( request.status != 200 ) { throw new Error( '#Request to server failed. Status: ' + request.status + ' ' + request.statusText + ' URI: ' + uri ); } if ( !request.responseText ) { throw new Error( '#Empty response from server for request ' + uri ); } } catch ( ex ) { failure( request, ex ); return; } success( request, original_failure ); }; request.send( args ); }; LAPI.Ajax.getPage = function( page, action, params, success, failure ) { var uri = mw.config.get('wgServer') + mw.config.get('wgScript') + '?title=' + encodeURIComponent( page ) + ( action ? '&action=' + action : '' ); LAPI.Ajax.get( uri, params, success, failure, {overrideMimeType: 'application/xml'} ); }; // modify is supposed to save the changes at the end, e.g. using LAPI.Ajax.submit. // modify is called with three parameters: the document, possibly the form, and the optional // failure function. The failure function is called with the request as the first parameter, // and possibly an exception as the second parameter. LAPI.Ajax.doAction = function( page, action, form, modify, failure ) { if ( !page || !action || !modify || typeof( modify ) != 'function' ) { throw new Error( 'Parameter inconsistency in LAPI.Ajax.doAction.' ); } var original_failure = failure; if ( !failure || typeof( failure ) != 'function') { failure = function() {}; } LAPI.Ajax.getPage( page, action, null, // No additional parameters function( request, failureFunc ) { var doc = null; var the_form = null; var revision_id = null; try { // Convert responseText into DOM tree. doc = LAPI.Ajax.getHTML( request, failureFunc, form ); if ( !doc ) { return; } var err_msg = LAPI.$ ('permissions-errors', doc ); if ( err_msg ) { throw new Error( '#' + LAPI.DOM.getInnerText( err_msg ) ); } if ( form ) { the_form = LAPI.$( form, doc ); if ( !the_form ) { throw new Error( '#Server reply does not contain mandatory form.' ); } } revision_id = LAPI.WP.revisionFromHtml( request.responseText ); } catch ( ex ) { failureFunc( request, ex ); return; } modify( doc, the_form, original_failure, revision_id ) }, failure ); }; // end LAPI.Ajax.doAction LAPI.Ajax.submit = function( form, after_submit ) { try { ajaxSubmit( form, null, after_submit, true ); // Legacy code from MediaWiki:AjaxSubmit } catch ( ex ) { after_submit( null, ex ); } }; // end LAPI.Ajax.submit LAPI.Ajax.editPage = function( page, modify, failure ) { LAPI.Ajax.doAction( page, 'edit', 'editform', modify, failure ); }; // end LAPI.Ajax.editPage LAPI.Ajax.checkEdit = function( request ) { if (!request) return true; // Check for previews (session token lost?) or edit forms (edit conflict). try { var doc = LAPI.Ajax.getHTML( request, function() { throw new Error( 'Cannot check HTML' ); } ); if ( !doc ) { return false; } return LAPI.$( ['wikiPreview', 'editform'], doc ) == null; } catch ( anything ) { return false; } }; // end LAPI.Ajax.checkEdit LAPI.Ajax.submitEdit = function( form, success, failure ) { if ( !success || typeof( success ) != 'function' ) { success = function() {}; } if ( !failure || typeof( failure ) != 'function' ) { failure = function() {}; } LAPI.Ajax.submit( form, function( request, ex ) { if ( ex ) { failure( request, ex ); } else { var successful = false; try { successful = request && request.status == 200 && LAPI.Ajax.checkEdit( request ); } catch ( some_error ) { failure( request, some_error ); return; } if ( successful ) { success( request ); } else { failure( request ); } } } ); }; // end LAPI.Ajax.submitEdit LAPI.Ajax.apiGet = function( action, params, success, failure ) { var original_failure = failure; if ( !failure || typeof( failure ) != 'function' ) { failure = function() {}; } if ( !success || typeof( success ) != 'function' ) { throw new Error( 'No success function supplied for LAPI.Ajax.apiGet ' + action + ' with arguments ' + params.toString() ); } var is_json = false; if ( params != null) { if ( typeof( params ) == 'string') { if ( !/format=[^&]+/.test( params ) ) { params += '&format=json'; } is_json = /format=json(&|$)/.test( params ); // Exclude jsonfm, which actually serves XHTML } else { if ( typeof( params['format'] ) != 'string' || params.format.length == 0 ) { params.format = 'json'; } is_json = params.format == 'json'; } } var uri = mw.config.get('wgServer') + wgScriptPath + '/api.php' + ( action ? '?action=' + action : '' ); LAPI.Ajax.get( uri, params, function( request, failureFunc ) { if ( is_json && request.responseText.trimLeft().charAt( 0 ) != '{' ) { failureFunc( request ); } else { success( request, ( is_json ? eval( '(' + request.responseText.trimLeft() + ')' ) : null ), original_failure ); } }, failure ); }; // end LAPI.Ajax.apiGet LAPI.Ajax.parseWikitext = function( wikitext, success, failure, as_preview, user_language, on_page, cache ) { if ( !failure || typeof( failure ) != 'function' ) { failure = function() {}; } if ( !success || typeof( success ) != 'function' ) { throw new Error( 'No success function supplied for parseWikitext' ); } if ( !wikitext && !on_page ) { throw new Error( 'No wikitext or page supplied for parseWikitext' ); } var params = null; if ( !wikitext ) { params = {pst: null, page: on_page}; } else { params = { pst: null, // Do the pre-save-transform: Pipe magic, tilde expansion, etc. text: ( as_preview ? '\<div style="border:1px solid red; padding:0.5em;"\>' + '\<div class="previewnote"\>' + '\{\{MediaWiki:Previewnote/' + ( user_language || wgUserLanguage ) + '\}\}' + '\<\/div>\<div\>\n' : '' ) + wikitext + ( as_preview ? '\<\/div\>\<div style="clear:both;"\>\<\/div\>\<\/div\>' : '' ), title: on_page || mw.config.get('wgPageName') || "API" }; } params.prop = 'text'; params.uselang = user_language || wgUserLanguage; // see bugzilla 22764 if ( cache && /^\d+$/.test( cache = cache.toString() ) ) { params.maxage = cache; params.smaxage = cache; } LAPI.Ajax.apiGet( 'parse', params, function( req, json_result, failureFunc ) { // Success. if ( !json_result || !json_result.parse || !json_result.parse.text ) { failureFunc( req, json_result ); return; } success( json_result.parse.text['*'], failureFunc ); }, failure ); }; // end LAPI.Ajax.parseWikitext LAPI.Ajax.injectSpinner = injectSpinner; LAPI.Ajax.removeSpinner = removeSpinner; } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Pos ) == 'undefined' ) { LAPI.Pos = { // Returns the global coordinates of the mouse pointer within the document. mousePosition: function( evt ) { if ( !evt || ( typeof( evt.pageX ) == 'undefined' && typeof( evt.clientX ) == 'undefined' ) ) { // No way to calculate a mouse pointer position return null; } if ( typeof( evt.pageX ) != 'undefined' ) { return { x: evt.pageX, y: evt.pageY }; } var offset = LAPI.Pos.scrollOffset(); var mouse_delta = LAPI.Pos.mouse_offset(); var coor_x = evt.clientX + offset.x - mouse_delta.x; var coor_y = evt.clientY + offset.y - mouse_delta.y; return { x: coor_x, y: coor_y }; }, // Operations on document level: // Returns the scroll offset of the whole document (in other words, the coordinates // of the top left corner of the viewport). scrollOffset: function() { return {x: LAPI.Pos.getScroll( 'Left' ), y: LAPI.Pos.getScroll( 'Top' ) }; }, getScroll: function( what ) { var s = 'scroll' + what; return ( document.documentElement ? document.documentElement[s] : 0 ) || document.body[s] || 0; }, // Returns the size of the viewport (result.x is the width, result.y the height). viewport: function() { return {x: LAPI.Pos.getViewport( 'Width' ), y: LAPI.Pos.getViewport( 'Height' ) }; }, getViewport: function( what ) { if ( LAPI.Browser.is_opera_95 && what == 'Height' || LAPI.Browser.is_safari && !document.evaluate ) { return window['inner' + what]; } var s = 'client' + what; if ( LAPI.Browser.is_opera ) { return document.body[s]; } return ( document.documentElement ? document.documentElement[s] : 0 ) || document.body[s] || 0; }, // Operations on DOM nodes position: ( function() { // The following is the jQuery.offset implementation. We cannot use jQuery yet in globally // activated scripts (it has strange side effects for Opera 8 users who can't log in anymore, // and it breaks the search box for some users). Note that jQuery does not support Opera 8. // Until the WMF servers serve jQuery by default, this copy from the jQuery 1.3.2 sources is // needed here. If and when we have jQuery available officially, the whole thing here can be // replaced by "var tmp = jQuery (node).offset(); return {x:tmp.left, y:tmp.top};" // Kudos to the jQuery development team. Any errors in this adaptation are my own. (Lupo, // 2009-08-24). var data = null; function jQuery_init() { data = {}; // Capability check from jQuery. var body = document.body; var container = document.createElement( 'div' ); var html = '<div style="position:absolute;top:0;left:0;margin:0;border:5px solid #000;' + 'padding:0;width:1px;height:1px;"><div></div></div><table style="position:absolute;' + 'top:0;left:0;margin:0;border:5px solid #000;padding:0;width:1px;height:1px;" ' + 'cellpadding="0" cellspacing="0"><tr><td></td></tr></table>'; var rules = { position: 'absolute', visibility: 'hidden', top: 0, left: 0, margin: 0, border: 0, width: '1px', height: '1px' }; Object.merge( rules, container.style ); container.innerHTML = html; body.insertBefore( container, body.firstChild ); var innerDiv = container.firstChild; var checkDiv = innerDiv.firstChild; var td = innerDiv.nextSibling.firstChild.firstChild; data.doesNotAddBorder = ( checkDiv.offsetTop !== 5 ); data.doesAddBorderForTableAndCells = ( td.offsetTop === 5 ); innerDiv.style.overflow = 'hidden', innerDiv.style.position = 'relative'; data.subtractsBorderForOverflowNotVisible = ( checkDiv.offsetTop === -5 ); var bodyMarginTop = body.style.marginTop; body.style.marginTop = '1px'; data.doesNotIncludeMarginInBodyOffset = ( body.offsetTop === 0 ); body.style.marginTop = bodyMarginTop; body.removeChild( container ); }; function jQuery_offset( node ) { if ( node === node.ownerDocument.body ) { return jQuery_bodyOffset( node ); } if ( node.getBoundingClientRect ) { var box = node.getBoundingClientRect(); var scroll = LAPI.Pos.scrollOffset(); return {x: ( box.left + scroll.x ), y: ( box.top + scroll.y )}; } if ( !data ) { jQuery_init(); } var elem = node; var offsetParent = elem.offsetParent; var prevOffsetParent = elem; var doc = elem.ownerDocument; var prevComputedStyle = doc.defaultView.getComputedStyle( elem, null ); var computedStyle; var top = elem.offsetTop; var left = elem.offsetLeft; while ( ( elem = elem.parentNode ) && elem !== doc.body && elem !== doc.documentElement ) { computedStyle = doc.defaultView.getComputedStyle( elem, null ); top -= elem.scrollTop, left -= elem.scrollLeft; if ( elem === offsetParent ) { top += elem.offsetTop, left += elem.offsetLeft; if ( data.doesNotAddBorder && !( data.doesAddBorderForTableAndCells && /^t(able|d|h)$/i.test( elem.tagName ) ) ) { top += parseInt( computedStyle.borderTopWidth, 10 ) || 0; left += parseInt( computedStyle.borderLeftWidth, 10 ) || 0; } prevOffsetParent = offsetParent; offsetParent = elem.offsetParent; } if ( data.subtractsBorderForOverflowNotVisible && computedStyle.overflow !== 'visible' ) { top += parseInt( computedStyle.borderTopWidth, 10 ) || 0; left += parseInt( computedStyle.borderLeftWidth, 10 ) || 0; } prevComputedStyle = computedStyle; } if ( prevComputedStyle.position === 'relative' || prevComputedStyle.position === 'static' ) { top += doc.body.offsetTop; left += doc.body.offsetLeft; } if ( prevComputedStyle.position === 'fixed' ) { top += Math.max( doc.documentElement.scrollTop, doc.body.scrollTop ); left += Math.max( doc.documentElement.scrollLeft, doc.body.scrollLeft ); } return {x: left, y: top}; } function jQuery_bodyOffset( body ) { if ( !data ) { jQuery_init(); } var top = body.offsetTop, left = body.offsetLeft; if ( data.doesNotIncludeMarginInBodyOffset ) { top += parseInt( LAPI.DOM.currentStyle( body, 'margin-top' ), 10 ) || 0; left += parseInt( LAPI.DOM.currentStyle( body, 'margin-left' ), 10 ) || 0; } return {x: left, y: top}; } return jQuery_offset; })(), isWithin: function( node, x, y ) { if ( !node || !node.parentNode ) { return false; } var pos = LAPI.Pos.position( node ); return ( x == null || x > pos.x && x < pos.x + node.offsetWidth ) && ( y == null || y > pos.y && y < pos.y + node.offsetHeight ); }, // Private: // IE has some strange offset... mouse_offset: function() { if ( LAPI.Browser.is_ie ) { var doc_elem = document.documentElement; if ( doc_elem ) { if ( typeof( doc_elem.getBoundingClientRect ) == 'function' ) { var tmp = doc_elem.getBoundingClientRect(); return {x: tmp.left, y: tmp.top}; } else { return {x: doc_elem.clientLeft, y: doc_elem.clientTop}; } } } return {x: 0, y: 0}; } }; // end LAPI.Pos } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Evt ) == 'undefined' ) { LAPI.Evt = { listenTo: function( object, node, evt, f, capture ) { var listener = LAPI.Evt.makeListener( object, f ); LAPI.Evt.attach( node, evt, listener, capture ); }, attach: function( node, evt, f, capture ) { if ( node.attachEvent ) { node.attachEvent( 'on' + evt, f ); } else if ( node.addEventListener ) { node.addEventListener( evt, f, capture ); } else { node['on' + evt] = f; } }, remove: function( node, evt, f, capture ) { if ( node.detachEvent ) { node.detachEvent( 'on' + evt, f ); } else if ( node.removeEventListener ) { node.removeEventListener( evt, f, capture ); } else { node['on' + evt] = null; } }, makeListener: function( obj, listener ) { // Some hacking around to make sure 'this' is set correctly var object = obj, f = listener; return function( evt ) { return f.apply( object, [evt || window.event] ); } // Alternative implementation: // var f = listener.bind( obj ); // return function( evt ) { return f ( evt || window.event ); }; }, kill: function( evt ) { if ( typeof( evt.preventDefault ) == 'function' ) { evt.stopPropagation(); evt.preventDefault(); // Don't follow the link } else if ( typeof( evt.cancelBubble ) != 'undefined' ) { // IE... evt.cancelBubble = true; } return false; // Don't follow the link (IE) } }; // end LAPI.Evt } // end if (guard) if ( typeof( LAPI.Edit ) == 'undefined' ) { LAPI.Edit = function() { this.initialize.apply( this, arguments ); }; LAPI.Edit.SAVE = 1; LAPI.Edit.PREVIEW = 2; LAPI.Edit.REVERT = 4; LAPI.Edit.CANCEL = 8; LAPI.Edit.prototype = { initialize: function( initial_text, columns, rows, labels, handlers ) { var my_labels = { box: null, preview: null, save: 'Save', cancel: 'Cancel', nullsave: null, revert: null, post: null }; if ( labels ) { my_labels = Object.merge( labels, my_labels ); } this.labels = my_labels; this.timestamp = ( new Date() ).getTime(); this.id = 'simpleedit_' + this.timestamp; this.view = LAPI.make( 'div', {id: this.id}, {marginRight: '1em'} ); // Somehow, the textbox extends beyond the bounding box of the view. Don't know why, but // adding a small margin fixes the layout more or less. this.form = LAPI.make( 'form', { id: this.id + '_form', action : '', onsubmit: ( function() {} ) } ); if ( my_labels.box ) { var label = LAPI.make( 'div' ); label.appendChild( LAPI.DOM.makeLabel( this.id + '_label', my_labels.box, this.id + '_text' ) ); this.form.appendChild( label ); } this.textarea = LAPI.make( 'textarea', { id: this.id + '_text', cols: columns, rows: rows, value: ( initial_text ? initial_text.toString() : '' ) } ); LAPI.Evt.attach( this.textarea, 'keyup', LAPI.Evt.makeListener( this, this.text_changed ) ); // Catch cut/copy/paste through the context menu. Some browsers support oncut, oncopy, // onpaste events for this, but since that's only IE, FF 3, Safari 3, and Chrome, we // cannot rely on this. Instead, we check again as soon as we leave the textarea. Only // minor catch is that on FF 3, the next focus target is determined before the blur event // fires. Since in practice save will always be enabled, this shouldn't be a problem. LAPI.Evt.attach( this.textarea, 'mouseout', LAPI.Evt.makeListener( this, this.text_changed ) ); LAPI.Evt.attach( this.textarea, 'blur', LAPI.Evt.makeListener( this, this.text_changed ) ); this.form.appendChild( this.textarea ); this.form.appendChild( LAPI.make( 'br' ) ); this.preview_section = LAPI.make( 'div', null, {borderBottom: '1px solid #8888aa', display: 'none'} ); this.view.insertBefore( this.preview_section, this.view.firstChild ); this.save = LAPI.DOM.makeButton( this.id + '_save', my_labels.save, LAPI.Evt.makeListener( this, this.do_save ) ); this.form.appendChild( this.save ); if ( my_labels.preview ) { this.preview = LAPI.DOM.makeButton( this.id + '_preview', my_labels.preview, LAPI.Evt.makeListener( this, this.do_preview ) ); this.form.appendChild( this.preview ); } this.cancel = LAPI.DOM.makeButton( this.id + '_cancel', my_labels.cancel, LAPI.Evt.makeListener( this, this.do_cancel ) ); this.form.appendChild( this.cancel ); this.view.appendChild( this.form ); if ( my_labels.post ) { this.post_text = LAPI.DOM.setContent( LAPI.make( 'div' ), my_labels.post ); this.view.appendChild( this.post_text ); } if ( handlers ) { Object.merge( handlers, this ); } if ( typeof( this.ongettext ) != 'function' ) { this.ongettext = function( text ) { return text; }; // Default: no modifications } this.current_mask = LAPI.Edit.SAVE + LAPI.Edit.PREVIEW + LAPI.Edit.REVERT + LAPI.Edit.CANCEL; if ( ( !initial_text || initial_text.trim().length == 0 ) && this.preview ) { this.preview.disabled = true; } if ( my_labels.revert ) { this.revert = LAPI.DOM.makeButton( this.id + '_revert', my_labels.revert, LAPI.Evt.makeListener( this, this.do_revert ) ); this.form.insertBefore( this.revert, this.cancel ); } this.original_text = ''; }, getView: function() { return this.view; }, getText: function() { return this.ongettext( this.textarea.value ); }, setText: function( text ) { this.textarea.value = text; this.original_text = text; this.text_changed(); }, changeText: function( text ) { this.textarea.value = text; this.text_changed(); }, hidePreview: function() { this.preview_section.style.display = 'none'; if ( this.onpreview ) { this.onpreview( this ); } }, showPreview: function() { this.preview_section.style.display = ''; if ( this.onpreview ) { this.onpreview( this ); } }, setPreview: function( html ) { if ( html.nodeName ) { LAPI.DOM.removeChildren( this.preview_section ); this.preview_section.appendChild( html ); } else { this.preview_section.innerHTML = html; } }, busy: function( show ) { if ( show ) { LAPI.Ajax.injectSpinner( this.cancel, this.id + '_spinner' ); } else { LAPI.Ajax.removeSpinner( this.id + '_spinner' ); } }, do_save: function( evt ) { if ( this.onsave ) { this.onsave( this ); } return true; }, do_revert: function( evt ) { this.changeText( this.original_text ); return true; }, do_cancel: function( evt ) { if ( this.oncancel ) { this.oncancel( this ); } return true; }, do_preview: function( evt ) { var self = this; this.busy( true ); LAPI.Ajax.parseWikitext( this.getText(), function( text, failureFunc ) { self.busy( false ); self.setPreview( text ); self.showPreview(); }, function( req, json_result ) { // Error. 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Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein.Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> das heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. en in ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] n3ek3n5bbkqjhflsm662ua3r8l4o5lf 1114359 1114358 2026-09-07T10:53:20Z ~2026-47548-34 41860 /* Vollständigkeit */ 1114359 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> das heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. en in ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 5o35r7kfwwtj9av3g861ms0hi1g1iqr 1114360 1114359 2026-09-07T10:55:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Skalarproduktes: Abbildung */ 1114360 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. en in ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 5elui7qvc6a3y5yq6rqbemakvofch37 1114361 1114360 2026-09-07T10:56:38Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung 1 */ 1114361 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 24lk4j90yq8tbi5djlewqs3se06rslx 1114362 1114361 2026-09-07T10:58:55Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät */ 1114362 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einer der Komponenten komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 6f1ae6bz19dy9lhzyy0tqs79h3kvjjk 1114363 1114362 2026-09-07T10:59:31Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät */ 1114363 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 0j23uodpxt8b30ajjovw8hpegfwwzzp 1114364 1114363 2026-09-07T11:00:26Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit */ 1114364 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] ltr1v2ln82v5qm48m1x8ynpfir1u3yt 1114365 1114364 2026-09-07T11:01:56Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum */ 1114365 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] mepofa5nmbtq15abrmqwbvtp9s0mzm8 1114366 1114365 2026-09-07T11:02:16Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum */ 1114366 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] kks4l3wec4xhq9fr45relug1cqs56xg 1114367 1114366 2026-09-07T11:02:44Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum */ 1114367 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math>. Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] b0ofdl0w906aoytlxsn0mxdk02qir1n 1114368 1114367 2026-09-07T11:03:20Z ~2026-47548-34 41860 /* Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum */ 1114368 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math>. [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math>. Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 8y5p6b7825z5ydes9u20hoy4kun3ryz 1114369 1114368 2026-09-07T11:06:49Z ~2026-47548-34 41860 /* Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum */ 1114369 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math>. [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math>. Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra sondern eine [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]. === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] lerx7pe850y2onldslq3esjrtegebk3 1114370 1114369 2026-09-07T11:07:26Z ~2026-47548-34 41860 /* Orthonormalbasis */ 1114370 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math>. [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math>. Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra sondern eine [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]. === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\rangle = 1</math>), so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 2n6li8fzmvyrivr5vk7lr756bvuym82 1114371 1114370 2026-09-07T11:11:23Z ~2026-47548-34 41860 /* Operatoralgebren */ 1114371 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math>. [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math>. Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra sondern eine [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]. === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\rangle = 1</math>), so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math> [[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 4x3cknnze6r8yl7xsqszmmfbmru3c78 1114372 1114371 2026-09-07T11:12:12Z ~2026-47548-34 41860 /* Unitäre Operatoren */ 1114372 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math>. [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math>. Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra sondern eine [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]. === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\rangle = 1</math>), so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math> [[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismus]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] l6ytxk0pft6sphi34t4myrdq3tml7sd 106 128529 1114373 1104904 2026-09-07T11:17:58Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1114373 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. über <math>\mathbb{R}</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader mit den den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math>. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] l38vyca71ig65et2xucz5cikjg2ix2p 1114374 1114373 2026-09-07T11:18:30Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition: Orthogonalität */ 1114374 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. über <math>\mathbb{R}</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader mit den den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math>. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] cn94gllv4t7p3vxdr0ukjfozbuzsuzk 1114375 1114374 2026-09-07T11:18:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Satz des Pythagoras */ 1114375 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. über <math>\mathbb{R}</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader mit den den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math>. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] jk6h1747wwuu3ufi2p6nu8jsxfg2saa 1114376 1114375 2026-09-07T11:19:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch */ 1114376 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader mit den den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math>. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] cu3ltulclv6qf5gutpkkfydn0vzve8v 1114377 1114376 2026-09-07T11:20:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch */ 1114377 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle. </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader mit den den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math>. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 656dfkqrzdxcbdxynziazb87con4q7m 1114378 1114377 2026-09-07T11:20:42Z ~2026-47548-34 41860 /* Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität */ 1114378 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle. </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarproduktund erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader mit den den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math>. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 6ydbsebxvv21x8cral3ognqky3zde36 1114379 1114378 2026-09-07T11:24:52Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader */ 1114379 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle. </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarproduktund erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader der von den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> aufgespannt wird. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9wg2s2a1oc3697yuzfm0qgxdgaaopr5 1114380 1114379 2026-09-07T11:25:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Vektorraum der stetigen Funktionen */ 1114380 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle. </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarproduktund erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader der von den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> aufgespannt wird. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9totiwi9bvtwa1mqikjcgclhiuchwto 1114381 1114380 2026-09-07T11:26:42Z ~2026-47548-34 41860 /* Orthogonalität */ 1114381 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle. </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarproduktund erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader der von den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> aufgespannt wird. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=\sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ffogmrtg1ydpmqsyle12ygs8zp8i07p 1114382 1114381 2026-09-07T11:27:10Z ~2026-47548-34 41860 /* Orthogonalität */ 1114382 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich ein Skalarprodukt besitzen, das dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugt. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math>. == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>. == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - hermitesch - symmetrisch === Aus der Orthogonalität von <math>v</math> und <math>w</math> mit <math>\langle v , w \rangle = 0</math> folgt in euklidischen Vektorräumen mit der [[Symmetrie des Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{R}</math> auch <math>\langle w , v \rangle = 0</math>. In unitären Vektorräumen über <math>\mathbb{C}</math> gilt dies ebenfalls: :<math> \langle v , w \rangle = 0 = \overline{\langle v , w \rangle} = \langle w , v \rangle. </math> Diese Eigenschaft wird in der folgenden Gleichungskette für den Beweis verwendet. === Beweisschritt 3 - Semilinearität - Linearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarproduktund erhält damit: :<math> \begin{array}{rcl} \| v + w \|^2 & = & \langle v+w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v+w \rangle + \langle w , v+w \rangle \\ & = & \langle v , v \rangle + \underbrace{\langle v , w \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle w , v \rangle}_{=0} + \langle w , w \rangle \\ & = & \| v \|^2 + \| w \|^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 4 === Damit gilt der Satz des Pythagoras in beliebigen [[Prähilberträumen]] und damit auch in jedem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]. <math>\quad \Box</math> == Satz des Pythagoras für endliche Summen == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] gilt für eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math>, sodass die folgende Gleichung gilt: :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. === Bemerkung - Raumdiagonale vom Quader === In der Sekundarstufe I erhält man die obige Gleichung für die Raumdiagonale im Quader der von den Vektoren <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> aufgespannt wird. === Aufgabe - Beweis Pythagoras für endliche Summen === Beweisen Sie den obigen Satz durch vollständige Induktion über <math>n</math>. Der Induktionsanfang sei <math>n=2</math>. Für <math>n=1</math> gilt die Aussage trivialerweise ebenfalls mit <math>\| v_1 \|^2 = \| v_1 \|^2 </math>. === Bemerkung -Parsevalsche Gleichung === Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden von paarweise orthogonalen Vektoren in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]]. == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{_V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist der Raum der stetigen Funktionen <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> zwar ein Prä-Hilbertraum. <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ist aber nicht vollständig. Zeigen Sie, dass der Prähilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> nicht vollständig ist. ==== Hinweis ==== Erzeugen Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus stetigen Funktionen, wobei die Grenzfunktion eine Treppenfunktion auf <math>[a,b]</math> mit einer Unstetigkeitsstelle ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=\sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Induzierte Norm durch Skalarprodukte]] * [[Orthogonalprojektion]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0uenzrvrzt2a53e4occ93frxjwwcf15 106 136717 1114350 1110300 2026-09-07T09:55:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Orthogonal - Orthonormal */ 1114350 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Orthogonal - Orthonormal == Das '''Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren''' ist ein Spezialfall des '''Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren''', bei dem aus einem gegebenen System [[w:de:linear unabhängig|linear unabhängiger]] Vektoren (z.B. einer [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]) ein System von orthogonal zueinander stehenden Vektoren der Länge 1 ersteht. Dies ist ein [[w:de:Algorithmus|Algorithmus]] aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]]. === Orthogonalsystem === Das Verfahren erzeugt zu jedem System [[w:de:linear unabhängig|linear unabhängiger]] Vektoren aus einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] (einem [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]) ein [[w:de:Orthogonalsystem|Orthogonalsystem]], das denselben [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] [[w:de:Erzeugendensystem|erzeugt]]. === Orthonormalsystem === Aus dem Orthogonalsystem erhält man durch Normalisierung <math>v_k:= \frac{w_k}{\|w_k\|}</math> ein Orthonormalsystem. Die Normalisierung ist möglich, da linear unabhängige Vektoren sich vom Nullvektor unterscheiden und damit eine positive Länge haben <math>\|w_k\| > 0 </math>. === Basis/Hamelbasis === Verwendet man ein System von [[w:de:Basisvektor|Basisvektor]]en als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]]. === Numerische Berechnung von Orthonormalsystem === Für die [[w:de:Numerik|numerische Berechnung]] durch einen Computer mit [[w:de:Gleitpunktarithmetik|Gleitpunktarithmetik]] sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte [[w:de:Rundungsfehler|Rundungsfehler]] weisen die berechneten Vektoren z.T. deutliche Abweichung von orthogonalen Vektor auf. Es existieren aber [[w:de:Arnoldi-Verfahren|Modifikationen des Verfahrens]], die diesen Nachteil nicht haben. Andere [[w:de:Orthogonalisierungsverfahren|Orthogonalisierungsverfahren]] basieren auf [[w:de:Householdertransformation|Householdertransformation]]en oder [[w:de:Givens-Rotation|Givens-Rotationen]]. == Geschichte == Die beiden Verfahren sind nach [[w:de:Jørgen Pedersen Gram|Jørgen Pedersen Gram]] und [[w:de:Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von [[w:de:Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon Laplace]] und [[w:de:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] verwendet. <span id="Aussage"></span> == Orthonormalisierungsatz nach Gram-Schmidt == Im Folgenden betrachteten man ein [[w:de:Separabler_Raum|separablen]] Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot,\cdot \rangle )</math> mit einer abzählbaren Basis <math>B= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{b_n\} \subset V</math>. Dann gibt es ein Orthonormalsystem <math>B_0= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{v_n\} \subset V</math> mit der Eigenschaft: * (ON1) <math>Span(B)= Span(B_0)</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_n\rangle = 0 </math> für alle <math>n,k \in \mathbb{N}</math> und <math>n\not= k</math> * (ON3) <math>\|v_n\| = 1 </math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> === Bemerkung - Orthogonalprojektion === Für zwei beliebige vom Nullvektor <math>0_V</math> verschiedene Vektoren <math>v,w \in V</math> ist die Orthogonalprojektion von <math>w</math> auf <math>v\not= 0_V</math> über das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>P_v(w) := \frac{\langle v, w \rangle}{\langle v,v \rangle} \cdot v = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \|^2 } \cdot v</math> === Bemerkung - seminlinear komplexer Fall=== Im komplexen Fall wird dabei die Konvention verwendet, dass das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] im ersten Argument semilinear, im zweiten Argument linear ist, das heißt :<math>\langle \lambda v, w \rangle = \overline \lambda \langle v, w \rangle,\quad \langle v, \lambda w \rangle = \lambda \langle v, w \rangle</math> für alle Vektoren <math>v</math>, <math>w </math> und alle <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>. Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht. === Bemerkung - Skalarproduktinduzierte Norm === Zudem bezeichnet <math>\|v\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}</math> die [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] des Vektors <math>v</math>. Dabei liegt der von <math>B_0= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{v_n\} </math> aufgespannte Untervektorraum dicht in <math>V</math> bzgl. dieser Norm. === Animation - Orthonormalisierung === [[File:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif|350px|Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren]] Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren. === Bemerkung - Orthogonalisierung === Für die Orthogonalisierung des 3. Vektors <math>v_3</math> subtrahiert die Orthogonalprojektionen von <math>v_3</math> auf die bereits orthogonalisierten Vektoren <math>u_1</math> und <math>u_2</math> und erhält dann <math>u_3</math>. :<math>u_{3} := v_{3} - \sum_{k=1}^{2} \frac{\langle u_k, v_{3}\rangle}{\langle u_k, u_k\rangle} \, u_k</math> Dieses Vorgehen entspricht dem induktiv im konstruktiven Beweis des Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, bei dem <math>u_{n+1}</math> über die Subtraktion der Orthogonalprojektion von <math>v_{n+1}</math> auf die <math>n</math> vorher bereits orthogonalisierten Vektoren <math>u_1, ..., u_n</math> berechnet wird. == Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens == Die Kontruktion und der Beweis für abzählbar viele Basisvektoren erfolgt über vollständige Induktion. === Induktionsanfang === Zunächt einmal wird als Induktionsanfang der erste Vektor gewählt <math>v_1:=w_1</math> gewählt. Im Gegensatz zur Orthonormalisierung muss hier <math>v_1</math> nicht normiert werden. * Definiere <math>V_1 := Span(\{v_1\}) = Span(\{w_1\})</math> * Für die Orthogonalität ist nichts zu überprüfen, da es in dem System <math>B_1</math> keine zwei paarweise verschiedene Vektoren gibt. === Induktionsvoraussetzung === Seien nun <math>n</math> linear unabhängigen Vektoren <math>w_1, \dots, w_n</math> in ein [[w:de:Orthogonalsystem|Orthogonalsystem]] von <math>n</math> paarweise orthogonalen Vektoren überführt worden, mit <math>B_n:=\{v_1,\ldots , v_{n}\}</math>: * (ON1) <math>V_n:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n\})</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_m\rangle = 0 </math> für alle <math>k,m \in \{1,\ldots , n\}</math> und <math>m\not= k</math> === Induktionsbehauptung === Man kann einen weiteren Vektor <math>v_{n+1} \in V</math> so wählen, dass mit <math>B_{n+1}:=\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}</math>: * (ON1) <math>V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_m\rangle = 0 </math> für alle <math>k,m \in \{1,\ldots , n,n+1\}</math> und <math>m\not= k</math> === Induktionschritt === Der Vektor <math>v_{n+1}\in V</math> wird über <math>b_{n+1}\in B</math> und die Projektion von <math>b_{n+1}\in B</math> auf Vektoren aus dem Orthogonalsystem aus <math>v_1, \ldots , v_n</math> definiert. :<math>v_{n+1} := b_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{\langle v_k, b_{n+1}\rangle}{\langle v_k, v_k\rangle} \, v_k</math> === Span === Die Bedingung (ON1) <math>V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> gilt über den Nachweis von zwei Mengeninklusionen. * <math>V_{n+1} =Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}) \subseteq Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> * <math>V_{n+1} =Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}) \supseteq Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> === Span - Mengeninklusion 1 === Aus <math>w \in V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})</math> folgt, dass es ein <math>w_1 \in V_n</math> und ein <math>w_2 = \lambda \cdot v_{n+1} \in Span(\{v_{n+1}\})</math> gibt mit: :<math> \begin{array}{rcl} w & = & w_1+w_2= w_1 + \lambda \cdot v_{n+1} = \\ & = & \underbrace{w_1}_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} + \lambda \cdot \underbrace{ \bigg( b_{n+1} - \underbrace{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i }_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} \bigg)}_{\in Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\})} \\ & \in & Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\}) \\ \end{array} </math> === Span - Mengeninklusion 2 === Aus <math>w \in Span(\{b_1,\ldots , b_{n}, b_{n+1}\})</math> folgt, dass es ein <math>w_1 \in V_n= Span(\{b_1,\ldots , b_{n}\})</math> und ein <math>w_2 = \lambda \cdot b_{n+1} \in Span(\{b_{n+1}\})</math> gibt mit: :<math> \begin{array}{rcl} w & = & w_1+w_2= w_1 + \lambda \cdot b_{n+1} = \\ & = & \underbrace{w_1+\lambda \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i}_{\in V_n = Span(\{v_1,...,v_n\})} + \lambda \cdot \underbrace{ \bigg( b_{n+1} - \underbrace{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i }_{\in V_n = Span(\{v_1,...,v_n\})} \bigg)}_{= v_{n+1} } \\ & \in & Span(\{v_1,...,v_n,v_{n+1}\}) \\ \end{array} </math> === Nachweis der Orthogonalität === Sei nun <math>m\in \{1,...,n\}</math> beliebig gewählt und man zeigt nun das <math>\langle v_m, v_{n+1} \rangle = 0 </math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_m, v_{n+1} \rangle & = & \left\langle v_m , b_{n+1} - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i\right\rangle \\ & = & \langle v_m , b_{n+1} \rangle - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left\langle v_m ,\frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i\right\rangle \\ & = & \langle v_m , b_{n+1} \rangle - \underbrace{ \frac{\langle v_m, b_{n+1} \rangle}{\langle v_m, v_m\rangle} \cdot \left\langle v_m , v_m\right\rangle }_{ \langle v_m , b_{n+1} \rangle } = 0\\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichung fallen durch die Orthogonalität von <math>\langle v_m , v_{i} \rangle = 0 </math> für <math>i \not= m</math> genau <math>n-1</math> weg. === Normalisierung der Vektoren === Wenn die Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> durch normalisierte Vektoren der Länge 1 ersetzt, spannen die normalisierten Vektoren genau den Gleichen Untervektorraum auf und die Skalarprodukte bleiben 0 durch die Semilinearität in der ersten und die Linearität in der zweiten Komponente. :<math>\langle \lambda_k \cdot v_k, \lambda_m \cdot v_m\rangle = \overline{\lambda_k} \cdot \lambda_m \cdot \underbrace{ \langle v_k, v_m\rangle}_{=0} = 0</math> === Zusammenfassung 1 === Die einzelnen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> des Orthogonalsystems berechnen sich wie folgt: :<math>v_1 = b_1\,</math> :<math>v_2 = b_2 - \frac{\langle v_1, b_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1</math> :<math>v_3 = b_3 - \frac{\langle v_1, b_3\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, b_3\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2</math> ::<math>\vdots</math> :<math>v_n = b_n - \frac{\langle v_1, b_n\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, b_n\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2 - \dotsb - \frac{\langle v_{n-1}, b_n\rangle}{\langle v_{n-1}, v_{n-1}\rangle} \, v_{n-1} = b_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\langle v_i, b_n\rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i</math> === Zusammenfassung 2 === Die Vektoren wurden induktiv definiert für <math>v_{n+1}</math> über die bereits definierten Vektoren <math>v_i</math> für <math>j=1,2,\dots,n</math>. :<math>v_{n+1} = b_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i</math> In dem neu definierten System sind paarweise verschiedene Vektoren zueinander orthogonal und für ein festes <math>n</math> spannt das erzeugte Orthogonalsystem den gleichen Untervektoraum auf. Über die vollständige Induktion wird die Behauptung auf das abzählbare System von linear unabhängigen Vektoren übertragen. == Beispiel - Orthogonalisierung == Im <math>\mathbb{R}^3</math> versehen mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot \rangle</math> seien zwei linear unabhängige Vektoren vorgegeben, die einen Untervektorraum erzeugen: :<math> w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Es werden nun zwei orthogonale Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen: :<math>v_1 = w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2 = w_2 - \frac{\langle v_1, w_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{12}{14} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}</math> == Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens == Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren <math>w_1, \dots, w_n</math> ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]] von <math>n</math> normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt. Er ist identisch mit einer Normierung der orthogonalen Vektoren, welche durch den obigen Algorithmus bestimmt wurden. Die einzelnen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird: :<math>v_1 = \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|}</math> (Normalisieren des ersten Vektors <math>w_1</math>) :<math>v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1</math> (Orthogonalisieren des zweiten Vektors <math>w_2</math>) :<math>v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_2^\prime</math>) :<math>v_3^\prime = w_3 - \langle v_1, w_3 \rangle \cdot v_1 - \langle v_2, w_3 \rangle \cdot v_2</math> (Orthogonalisieren des dritten Vektors <math>w_3</math>) :<math>v_3 = \frac{v_3^\prime}{\left\|v_3^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_3^\prime</math>) ::<math>\vdots</math> :<math>v_n^\prime = w_n - \sum_{i=1}^{n-1} \langle v_i, w_n \rangle \cdot v_i</math> (Orthogonalisieren des <math>n</math>-ten Vektors <math>w_n</math>) :<math>v_n = \frac{v_n^\prime}{\left\|v_n^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_n^\prime</math>) Anders gesagt werden die <math>v_j</math> und <math>v_j^\prime</math> für <math>j=1,2,\dots,n</math> also rekursiv durch :<math>v_j^\prime = w_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle v_i, w_j \rangle \cdot v_i</math> und <math>v_j = \frac{v_j^\prime}{\left\|v_j^\prime\right\|}</math> definiert. Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im <math>\R^3</math> muss z. B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten. == Beispiel - Orthonormalisierung == Im <math>\mathbb{R}^2</math> versehen mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot \rangle</math> seien zwei Basisvektoren gegeben: :<math> w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Es werden nun zwei Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> berechnet, die eine Orthonormalbasis des <math>\mathbb{R}^2</math> bilden. :<math>v_1 = \frac {w_1} {\left\|w_1\right\|} = \frac {1} {\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \sqrt{\frac{25}{40}} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> == Anmerkungen == Eine besondere Eigenschaft der beiden Verfahren ist, dass nach jedem Zwischenschritt die bisher berechneten Vektoren <math>v_1, \dots, v_i</math> den gleichen Vektorraum erzeugen wie die Vektoren <math>w_1, \dots, w_i</math>. Die Vektoren <math>v_1, \dots, v_i</math> bilden also eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis der entsprechenden Untervektorräume. Anders ausgedrückt ist die Transformationsmatrix, die die Koordinaten des einen Systems im anderen ausdrückt, eine rechtsobere Dreiecksmatrix. Diese hat außerdem eine positive Determinante, daher hat die resultierende Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis die gleiche Orientierung wie die Ausgangsbasis. Fasst man die orthonormalen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> als Spalten einer Matrix ''Q'' zusammen, ebenso die Vektoren des Ausgangssystems <math>w_1, \dots, w_n</math> zu einer Matrix ''A'', so gibt es eine Dreiecksmatrix ''R'' mit ''A=QR'', es wird also eine [[w:de:QR-Zerlegung|QR-Zerlegung]] bestimmt. Dementsprechend kann das Ergebnis der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung auch mit anderen Methoden zur QR-Zerlegung bestimmt werden, die mit [[w:de:Givens-Rotation|Givens-Rotation]]en oder [[w:de:Householdertransformation|Householder-Spiegelungen]] arbeiten. Berechnet man ein Orthonormalsystem von Hand, ist es oftmals einfacher, zunächst ein Orthogonalsystem auszurechnen und dann die einzelnen Vektoren zu normieren. Dadurch erspart man sich das zweifache Normieren und kann oftmals mit einfacheren Werten rechnen. Gegebenenfalls lohnt es sich, vor dem Erstellen des Orthogonalsystems/Orthonormalsystems das [[w:de:Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußsche Eliminationsverfahren]] durchzuführen. == Prinzip des Verfahrens == Sind die orthogonalen Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> bereits bestimmt, versuchen wir, von <math>b_k</math> eine passende [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] der Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> abzuziehen, sodass der Differenzvektor :<math>v_k = b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i</math> zu allen Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> orthogonal wird. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt <math>\langle v_j,v_k \rangle</math> für alle <math>j=1,\ldots,k-1</math> den Wert 0 ergibt. Eine solche Linearkombination ergibt sich, wenn für jedes <math>i</math> der Ausdruck :<math>\lambda_i = \frac {\langle v_i,b_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle}</math> gewählt wird. Eine Kontrollrechnung zeigt, dass dadurch alle Skalarprodukte <math>\langle v_j,v_k \rangle</math> mit <math>j \neq k</math> den Wert 0 annehmen: :<math>\begin{align}\langle v_j,v_k \rangle &= \left\langle v_j,b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i \right\rangle\\ &= \langle v_j,b_k \rangle - \sum_{i=1}^{k-1} \frac {\langle v_i,b_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle} \langle v_j,v_i \rangle\\ &= \langle v_j,b_k \rangle - \langle v_j,b_k \rangle\\ &= 0\end{align}</math> == Orthonormalisierung unendlicher Systeme von Vektoren == In einem beliebigen [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>H</math> lässt sich das Verfahren auch auf unendliche Systeme unabhängiger Vektoren anwenden, wobei die Unabhängigkeit in dem Sinne zu verstehen ist, dass kein Element im [[w:de:Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] der [[w:de:lineare Hülle|linearen Hülle]] der übrigen Vektoren liegt. Den Fall eines [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbaren]] Systems (d.&nbsp;h. <math>H</math> ist ein [[w:de:separabler Hilbertraum|separabler Hilbertraum]]) kann direkt auf den oben dargestellten endlichen Fall zurückgeführt werden: Gegeben sei eine unabhängige Folge <math>\left(w_n\right)_{n\in \N}</math>, so erhält man eine entsprechende orthonormale Folge <math>\left(v_n\right)_{n\in \N}</math>, indem man für jedes <math>n\in \N</math> das obige Verfahren anwendet und <math>v_n</math> erhält. Allgemeiner kann jedes unabhängige System nach dem Wohlordnungssatz als Folge <math>\left(w_\alpha\right)_{\alpha<d}</math> für eine [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] <math>d</math> und [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en <math>\alpha</math> angesehen werden (im Falle einer [[w:de:Dichte Teilmenge|dichten]] linearen Hülle des unabhängigen Systems ist <math>d</math> gerade die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] von <math>H</math>). Bezeichne nun <math>\pi_A\colon H \to A</math> die [[w:de:Orthogonalprojektion|orthogonale Projektion]] auf einen abgeschlossenen Teilraum <math>A</math>, die aufgrund der Vollständigkeit des Raumes stets existiert, <math>\hat{x}</math> bezeichne die Normierung <math>\textstyle \frac{x}{\left\|x\right\|}</math>. So ergibt sich ein Orthonormalsystem <math>\left(v_\alpha\right)_{\alpha<d}</math> durch :<math>A_\alpha := \overline{\operatorname{span}\left(\left\{w_\beta \colon \beta < \alpha\right\}\right)}</math> :<math>v_\alpha := \widehat{\left(w_\alpha - \pi_{A_\alpha}\left(w_\alpha\right)\right)}</math>. Per [[w:de:transfinite Induktion|transfiniter Induktion]] lässt sich dann zeigen, dass <math>A_\alpha = \overline{\operatorname{span}\left(\left\{v_\beta \colon \beta < \alpha\right\}\right)}</math>, sogar für <math>\alpha=d</math>. Expliziter lässt sich das Verfahren per [[w:de:transfinite Rekursion|transfiniter Rekursion]] wie folgt schreiben: :<math>v_\alpha := \widehat{\left(w_\alpha - \sum_{\beta < \alpha}\langle v_\beta, w_\alpha\rangle \cdot v_\beta\right)}</math> Hierbei ist die Summe aufgrund der [[w:de:besselsche Ungleichung|besselschen Ungleichung]] wohldefiniert (insbesondere sind stets nur abzählbar viele Summanden ungleich Null). == Literatur == * K. Kirchgessner, M. Schreck: ''Vektoranalysis für Dummies. Das Pocketbuch Paperback ''. Wiley-VCH, 2012. ISBN 978-3-527-70742-3 [[Kategorie:Lineare Algebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren] https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren * Datum: 3.2.2022 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 2mytp3r5f0qmkt6upn4flqbbbbsi8ut 1114354 1114350 2026-09-07T10:32:17Z ~2026-47548-34 41860 /* Numerische Berechnung von Orthonormalsystem */ 1114354 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Orthogonal - Orthonormal == Das '''Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren''' ist ein Spezialfall des '''Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren''', bei dem aus einem gegebenen System [[w:de:linear unabhängig|linear unabhängiger]] Vektoren (z.B. einer [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]) ein System von orthogonal zueinander stehenden Vektoren der Länge 1 ersteht. Dies ist ein [[w:de:Algorithmus|Algorithmus]] aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Lineare Algebra|linearen Algebra]]. === Orthogonalsystem === Das Verfahren erzeugt zu jedem System [[w:de:linear unabhängig|linear unabhängiger]] Vektoren aus einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]] (einem [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] mit [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]) ein [[w:de:Orthogonalsystem|Orthogonalsystem]], das denselben [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] [[w:de:Erzeugendensystem|erzeugt]]. === Orthonormalsystem === Aus dem Orthogonalsystem erhält man durch Normalisierung <math>v_k:= \frac{w_k}{\|w_k\|}</math> ein Orthonormalsystem. Die Normalisierung ist möglich, da linear unabhängige Vektoren sich vom Nullvektor unterscheiden und damit eine positive Länge haben <math>\|w_k\| > 0 </math>. === Basis/Hamelbasis === Verwendet man ein System von [[w:de:Basisvektor|Basisvektor]]en als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]]. === Numerische Berechnung von Orthonormalsystem === Für die [[w:de:Numerik|numerische Berechnung]] durch einen Computer mit [[w:de:Gleitpunktarithmetik|Gleitpunktarithmetik]] sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte [[w:de:Rundungsfehler|Rundungsfehler]] weisen die berechneten Vektoren z.T. deutliche Abweichungen von orthogonalen Vektoren auf. Es existieren aber [[w:de:Arnoldi-Verfahren|Modifikationen des Verfahrens]], die diesen Nachteil nicht haben. Andere [[w:de:Orthogonalisierungsverfahren|Orthogonalisierungsverfahren]] basieren auf [[w:de:Householdertransformation|Householdertransformation]]en oder [[w:de:Givens-Rotation|Givens-Rotationen]]. == Geschichte == Die beiden Verfahren sind nach [[w:de:Jørgen Pedersen Gram|Jørgen Pedersen Gram]] und [[w:de:Erhard Schmidt (Mathematiker)|Erhard Schmidt]] benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von [[w:de:Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon Laplace]] und [[w:de:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] verwendet. <span id="Aussage"></span> == Orthonormalisierungsatz nach Gram-Schmidt == Im Folgenden betrachteten man ein [[w:de:Separabler_Raum|separablen]] Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot,\cdot \rangle )</math> mit einer abzählbaren Basis <math>B= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{b_n\} \subset V</math>. Dann gibt es ein Orthonormalsystem <math>B_0= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{v_n\} \subset V</math> mit der Eigenschaft: * (ON1) <math>Span(B)= Span(B_0)</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_n\rangle = 0 </math> für alle <math>n,k \in \mathbb{N}</math> und <math>n\not= k</math> * (ON3) <math>\|v_n\| = 1 </math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> === Bemerkung - Orthogonalprojektion === Für zwei beliebige vom Nullvektor <math>0_V</math> verschiedene Vektoren <math>v,w \in V</math> ist die Orthogonalprojektion von <math>w</math> auf <math>v\not= 0_V</math> über das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>P_v(w) := \frac{\langle v, w \rangle}{\langle v,v \rangle} \cdot v = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \|^2 } \cdot v</math> === Bemerkung - seminlinear komplexer Fall=== Im komplexen Fall wird dabei die Konvention verwendet, dass das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] im ersten Argument semilinear, im zweiten Argument linear ist, das heißt :<math>\langle \lambda v, w \rangle = \overline \lambda \langle v, w \rangle,\quad \langle v, \lambda w \rangle = \lambda \langle v, w \rangle</math> für alle Vektoren <math>v</math>, <math>w </math> und alle <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>. Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht. === Bemerkung - Skalarproduktinduzierte Norm === Zudem bezeichnet <math>\|v\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}</math> die [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] des Vektors <math>v</math>. Dabei liegt der von <math>B_0= \bigcup_{n=1}^{\infty} \{v_n\} </math> aufgespannte Untervektorraum dicht in <math>V</math> bzgl. dieser Norm. === Animation - Orthonormalisierung === [[File:Gram-Schmidt orthonormalization process.gif|350px|Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren]] Illustration des Gram-Schmidt-Verfahrens an einem Beispiel mit drei Vektoren. === Bemerkung - Orthogonalisierung === Für die Orthogonalisierung des 3. Vektors <math>v_3</math> subtrahiert die Orthogonalprojektionen von <math>v_3</math> auf die bereits orthogonalisierten Vektoren <math>u_1</math> und <math>u_2</math> und erhält dann <math>u_3</math>. :<math>u_{3} := v_{3} - \sum_{k=1}^{2} \frac{\langle u_k, v_{3}\rangle}{\langle u_k, u_k\rangle} \, u_k</math> Dieses Vorgehen entspricht dem induktiv im konstruktiven Beweis des Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, bei dem <math>u_{n+1}</math> über die Subtraktion der Orthogonalprojektion von <math>v_{n+1}</math> auf die <math>n</math> vorher bereits orthogonalisierten Vektoren <math>u_1, ..., u_n</math> berechnet wird. == Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens == Die Kontruktion und der Beweis für abzählbar viele Basisvektoren erfolgt über vollständige Induktion. === Induktionsanfang === Zunächt einmal wird als Induktionsanfang der erste Vektor gewählt <math>v_1:=w_1</math> gewählt. Im Gegensatz zur Orthonormalisierung muss hier <math>v_1</math> nicht normiert werden. * Definiere <math>V_1 := Span(\{v_1\}) = Span(\{w_1\})</math> * Für die Orthogonalität ist nichts zu überprüfen, da es in dem System <math>B_1</math> keine zwei paarweise verschiedene Vektoren gibt. === Induktionsvoraussetzung === Seien nun <math>n</math> linear unabhängigen Vektoren <math>w_1, \dots, w_n</math> in ein [[w:de:Orthogonalsystem|Orthogonalsystem]] von <math>n</math> paarweise orthogonalen Vektoren überführt worden, mit <math>B_n:=\{v_1,\ldots , v_{n}\}</math>: * (ON1) <math>V_n:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n\})</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_m\rangle = 0 </math> für alle <math>k,m \in \{1,\ldots , n\}</math> und <math>m\not= k</math> === Induktionsbehauptung === Man kann einen weiteren Vektor <math>v_{n+1} \in V</math> so wählen, dass mit <math>B_{n+1}:=\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}</math>: * (ON1) <math>V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> * (ON2) <math>\langle v_k, v_m\rangle = 0 </math> für alle <math>k,m \in \{1,\ldots , n,n+1\}</math> und <math>m\not= k</math> === Induktionschritt === Der Vektor <math>v_{n+1}\in V</math> wird über <math>b_{n+1}\in B</math> und die Projektion von <math>b_{n+1}\in B</math> auf Vektoren aus dem Orthogonalsystem aus <math>v_1, \ldots , v_n</math> definiert. :<math>v_{n+1} := b_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{\langle v_k, b_{n+1}\rangle}{\langle v_k, v_k\rangle} \, v_k</math> === Span === Die Bedingung (ON1) <math>V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})= Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> gilt über den Nachweis von zwei Mengeninklusionen. * <math>V_{n+1} =Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}) \subseteq Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> * <math>V_{n+1} =Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\}) \supseteq Span(\{b_1,\ldots , b_n, b_{n+1}\})</math> === Span - Mengeninklusion 1 === Aus <math>w \in V_{n+1}:=Span(\{v_1,\ldots , v_{n}, v_{n+1}\})</math> folgt, dass es ein <math>w_1 \in V_n</math> und ein <math>w_2 = \lambda \cdot v_{n+1} \in Span(\{v_{n+1}\})</math> gibt mit: :<math> \begin{array}{rcl} w & = & w_1+w_2= w_1 + \lambda \cdot v_{n+1} = \\ & = & \underbrace{w_1}_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} + \lambda \cdot \underbrace{ \bigg( b_{n+1} - \underbrace{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i }_{\in V_n = Span(\{b_1,...,b_n\})} \bigg)}_{\in Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\})} \\ & \in & Span(\{b_1,...,b_n,b_{n+1}\}) \\ \end{array} </math> === Span - Mengeninklusion 2 === Aus <math>w \in Span(\{b_1,\ldots , b_{n}, b_{n+1}\})</math> folgt, dass es ein <math>w_1 \in V_n= Span(\{b_1,\ldots , b_{n}\})</math> und ein <math>w_2 = \lambda \cdot b_{n+1} \in Span(\{b_{n+1}\})</math> gibt mit: :<math> \begin{array}{rcl} w & = & w_1+w_2= w_1 + \lambda \cdot b_{n+1} = \\ & = & \underbrace{w_1+\lambda \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i}_{\in V_n = Span(\{v_1,...,v_n\})} + \lambda \cdot \underbrace{ \bigg( b_{n+1} - \underbrace{ \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i }_{\in V_n = Span(\{v_1,...,v_n\})} \bigg)}_{= v_{n+1} } \\ & \in & Span(\{v_1,...,v_n,v_{n+1}\}) \\ \end{array} </math> === Nachweis der Orthogonalität === Sei nun <math>m\in \{1,...,n\}</math> beliebig gewählt und man zeigt nun das <math>\langle v_m, v_{n+1} \rangle = 0 </math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_m, v_{n+1} \rangle & = & \left\langle v_m , b_{n+1} - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i\right\rangle \\ & = & \langle v_m , b_{n+1} \rangle - \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left\langle v_m ,\frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i\right\rangle \\ & = & \langle v_m , b_{n+1} \rangle - \underbrace{ \frac{\langle v_m, b_{n+1} \rangle}{\langle v_m, v_m\rangle} \cdot \left\langle v_m , v_m\right\rangle }_{ \langle v_m , b_{n+1} \rangle } = 0\\ \end{array} </math> In der zweiten Gleichung fallen durch die Orthogonalität von <math>\langle v_m , v_{i} \rangle = 0 </math> für <math>i \not= m</math> genau <math>n-1</math> weg. === Normalisierung der Vektoren === Wenn die Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> durch normalisierte Vektoren der Länge 1 ersetzt, spannen die normalisierten Vektoren genau den Gleichen Untervektorraum auf und die Skalarprodukte bleiben 0 durch die Semilinearität in der ersten und die Linearität in der zweiten Komponente. :<math>\langle \lambda_k \cdot v_k, \lambda_m \cdot v_m\rangle = \overline{\lambda_k} \cdot \lambda_m \cdot \underbrace{ \langle v_k, v_m\rangle}_{=0} = 0</math> === Zusammenfassung 1 === Die einzelnen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> des Orthogonalsystems berechnen sich wie folgt: :<math>v_1 = b_1\,</math> :<math>v_2 = b_2 - \frac{\langle v_1, b_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1</math> :<math>v_3 = b_3 - \frac{\langle v_1, b_3\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, b_3\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2</math> ::<math>\vdots</math> :<math>v_n = b_n - \frac{\langle v_1, b_n\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \, v_1 - \frac{\langle v_2, b_n\rangle}{\langle v_2, v_2\rangle} \, v_2 - \dotsb - \frac{\langle v_{n-1}, b_n\rangle}{\langle v_{n-1}, v_{n-1}\rangle} \, v_{n-1} = b_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\langle v_i, b_n\rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i</math> === Zusammenfassung 2 === Die Vektoren wurden induktiv definiert für <math>v_{n+1}</math> über die bereits definierten Vektoren <math>v_i</math> für <math>j=1,2,\dots,n</math>. :<math>v_{n+1} = b_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\langle v_i, b_{n+1} \rangle}{\langle v_i, v_i\rangle} \, v_i</math> In dem neu definierten System sind paarweise verschiedene Vektoren zueinander orthogonal und für ein festes <math>n</math> spannt das erzeugte Orthogonalsystem den gleichen Untervektoraum auf. Über die vollständige Induktion wird die Behauptung auf das abzählbare System von linear unabhängigen Vektoren übertragen. == Beispiel - Orthogonalisierung == Im <math>\mathbb{R}^3</math> versehen mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot \rangle</math> seien zwei linear unabhängige Vektoren vorgegeben, die einen Untervektorraum erzeugen: :<math> w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Es werden nun zwei orthogonale Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen: :<math>v_1 = w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2 = w_2 - \frac{\langle v_1, w_2\rangle}{\langle v_1, v_1\rangle} \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{12}{14} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}</math> == Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens == Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren <math>w_1, \dots, w_n</math> ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]] von <math>n</math> normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt. Er ist identisch mit einer Normierung der orthogonalen Vektoren, welche durch den obigen Algorithmus bestimmt wurden. Die einzelnen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird: :<math>v_1 = \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|}</math> (Normalisieren des ersten Vektors <math>w_1</math>) :<math>v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1</math> (Orthogonalisieren des zweiten Vektors <math>w_2</math>) :<math>v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_2^\prime</math>) :<math>v_3^\prime = w_3 - \langle v_1, w_3 \rangle \cdot v_1 - \langle v_2, w_3 \rangle \cdot v_2</math> (Orthogonalisieren des dritten Vektors <math>w_3</math>) :<math>v_3 = \frac{v_3^\prime}{\left\|v_3^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_3^\prime</math>) ::<math>\vdots</math> :<math>v_n^\prime = w_n - \sum_{i=1}^{n-1} \langle v_i, w_n \rangle \cdot v_i</math> (Orthogonalisieren des <math>n</math>-ten Vektors <math>w_n</math>) :<math>v_n = \frac{v_n^\prime}{\left\|v_n^\prime\right\|}</math> (Normalisieren des Vektors <math>v_n^\prime</math>) Anders gesagt werden die <math>v_j</math> und <math>v_j^\prime</math> für <math>j=1,2,\dots,n</math> also rekursiv durch :<math>v_j^\prime = w_j - \sum_{i=1}^{j-1} \langle v_i, w_j \rangle \cdot v_i</math> und <math>v_j = \frac{v_j^\prime}{\left\|v_j^\prime\right\|}</math> definiert. Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im <math>\R^3</math> muss z. B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten. == Beispiel - Orthonormalisierung == Im <math>\mathbb{R}^2</math> versehen mit dem [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle\cdot,\cdot \rangle</math> seien zwei Basisvektoren gegeben: :<math> w_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\quad w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Es werden nun zwei Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> berechnet, die eine Orthonormalbasis des <math>\mathbb{R}^2</math> bilden. :<math>v_1 = \frac {w_1} {\left\|w_1\right\|} = \frac {1} {\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2^\prime = w_2 - \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}</math> :<math>v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} = \sqrt{\frac{25}{40}} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> == Anmerkungen == Eine besondere Eigenschaft der beiden Verfahren ist, dass nach jedem Zwischenschritt die bisher berechneten Vektoren <math>v_1, \dots, v_i</math> den gleichen Vektorraum erzeugen wie die Vektoren <math>w_1, \dots, w_i</math>. Die Vektoren <math>v_1, \dots, v_i</math> bilden also eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis der entsprechenden Untervektorräume. Anders ausgedrückt ist die Transformationsmatrix, die die Koordinaten des einen Systems im anderen ausdrückt, eine rechtsobere Dreiecksmatrix. Diese hat außerdem eine positive Determinante, daher hat die resultierende Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis die gleiche Orientierung wie die Ausgangsbasis. Fasst man die orthonormalen Vektoren <math>v_1, \dots, v_n</math> als Spalten einer Matrix ''Q'' zusammen, ebenso die Vektoren des Ausgangssystems <math>w_1, \dots, w_n</math> zu einer Matrix ''A'', so gibt es eine Dreiecksmatrix ''R'' mit ''A=QR'', es wird also eine [[w:de:QR-Zerlegung|QR-Zerlegung]] bestimmt. Dementsprechend kann das Ergebnis der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung auch mit anderen Methoden zur QR-Zerlegung bestimmt werden, die mit [[w:de:Givens-Rotation|Givens-Rotation]]en oder [[w:de:Householdertransformation|Householder-Spiegelungen]] arbeiten. Berechnet man ein Orthonormalsystem von Hand, ist es oftmals einfacher, zunächst ein Orthogonalsystem auszurechnen und dann die einzelnen Vektoren zu normieren. Dadurch erspart man sich das zweifache Normieren und kann oftmals mit einfacheren Werten rechnen. Gegebenenfalls lohnt es sich, vor dem Erstellen des Orthogonalsystems/Orthonormalsystems das [[w:de:Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußsche Eliminationsverfahren]] durchzuführen. == Prinzip des Verfahrens == Sind die orthogonalen Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> bereits bestimmt, versuchen wir, von <math>b_k</math> eine passende [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] der Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> abzuziehen, sodass der Differenzvektor :<math>v_k = b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i</math> zu allen Vektoren <math>v_1, \ldots, v_{k-1}</math> orthogonal wird. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt <math>\langle v_j,v_k \rangle</math> für alle <math>j=1,\ldots,k-1</math> den Wert 0 ergibt. Eine solche Linearkombination ergibt sich, wenn für jedes <math>i</math> der Ausdruck :<math>\lambda_i = \frac {\langle v_i,b_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle}</math> gewählt wird. Eine Kontrollrechnung zeigt, dass dadurch alle Skalarprodukte <math>\langle v_j,v_k \rangle</math> mit <math>j \neq k</math> den Wert 0 annehmen: :<math>\begin{align}\langle v_j,v_k \rangle &= \left\langle v_j,b_k - \sum_{i=1}^{k-1} \lambda_i v_i \right\rangle\\ &= \langle v_j,b_k \rangle - \sum_{i=1}^{k-1} \frac {\langle v_i,b_k \rangle}{\langle v_i,v_i \rangle} \langle v_j,v_i \rangle\\ &= \langle v_j,b_k \rangle - \langle v_j,b_k \rangle\\ &= 0\end{align}</math> == Orthonormalisierung unendlicher Systeme von Vektoren == In einem beliebigen [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] <math>H</math> lässt sich das Verfahren auch auf unendliche Systeme unabhängiger Vektoren anwenden, wobei die Unabhängigkeit in dem Sinne zu verstehen ist, dass kein Element im [[w:de:Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] der [[w:de:lineare Hülle|linearen Hülle]] der übrigen Vektoren liegt. Den Fall eines [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbaren]] Systems (d.&nbsp;h. <math>H</math> ist ein [[w:de:separabler Hilbertraum|separabler Hilbertraum]]) kann direkt auf den oben dargestellten endlichen Fall zurückgeführt werden: Gegeben sei eine unabhängige Folge <math>\left(w_n\right)_{n\in \N}</math>, so erhält man eine entsprechende orthonormale Folge <math>\left(v_n\right)_{n\in \N}</math>, indem man für jedes <math>n\in \N</math> das obige Verfahren anwendet und <math>v_n</math> erhält. Allgemeiner kann jedes unabhängige System nach dem Wohlordnungssatz als Folge <math>\left(w_\alpha\right)_{\alpha<d}</math> für eine [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] <math>d</math> und [[w:de:Ordinalzahl|Ordinalzahl]]en <math>\alpha</math> angesehen werden (im Falle einer [[w:de:Dichte Teilmenge|dichten]] linearen Hülle des unabhängigen Systems ist <math>d</math> gerade die [[w:de:Dimension (Mathematik)|Dimension]] von <math>H</math>). Bezeichne nun <math>\pi_A\colon H \to A</math> die [[w:de:Orthogonalprojektion|orthogonale Projektion]] auf einen abgeschlossenen Teilraum <math>A</math>, die aufgrund der Vollständigkeit des Raumes stets existiert, <math>\hat{x}</math> bezeichne die Normierung <math>\textstyle \frac{x}{\left\|x\right\|}</math>. So ergibt sich ein Orthonormalsystem <math>\left(v_\alpha\right)_{\alpha<d}</math> durch :<math>A_\alpha := \overline{\operatorname{span}\left(\left\{w_\beta \colon \beta < \alpha\right\}\right)}</math> :<math>v_\alpha := \widehat{\left(w_\alpha - \pi_{A_\alpha}\left(w_\alpha\right)\right)}</math>. Per [[w:de:transfinite Induktion|transfiniter Induktion]] lässt sich dann zeigen, dass <math>A_\alpha = \overline{\operatorname{span}\left(\left\{v_\beta \colon \beta < \alpha\right\}\right)}</math>, sogar für <math>\alpha=d</math>. Expliziter lässt sich das Verfahren per [[w:de:transfinite Rekursion|transfiniter Rekursion]] wie folgt schreiben: :<math>v_\alpha := \widehat{\left(w_\alpha - \sum_{\beta < \alpha}\langle v_\beta, w_\alpha\rangle \cdot v_\beta\right)}</math> Hierbei ist die Summe aufgrund der [[w:de:besselsche Ungleichung|besselschen Ungleichung]] wohldefiniert (insbesondere sind stets nur abzählbar viele Summanden ungleich Null). == Literatur == * K. Kirchgessner, M. Schreck: ''Vektoranalysis für Dummies. Das Pocketbuch Paperback ''. Wiley-VCH, 2012. ISBN 978-3-527-70742-3 [[Kategorie:Lineare Algebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren] https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren * Datum: 3.2.2022 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Gram-Schmidtsches%20Orthogonalisierungsverfahren Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] io6c4m69il6e54w13k1encqcz7k446b 106 148963 1114383 1105339 2026-09-07T11:28:56Z ~2026-47548-34 41860 /* Satz des Thales 1 - rechter Winkel */ 1114383 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck ist rechtwinklig). == Beweis - Satz des Thales 1 == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> . * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math> \| w \| = \| r \| </math> (d.h. der Punkt <math>C</math> liegt auf dem Kreis um <math>M</math>). == Beweis - Satz des Thales 2 == Nach Voraussetzung stehen <math>v_1</math> und <math>v_2</math> orthogonal zueinander, wegen <math>\langle v_1, v_2 \rangle = 0</math>. Diese Eigenschaft wird nun ausgenutzt, um zu zeigen, dass <math>\|w\| = \|r\|</math> gilt und damit der Punkt <math>C</math> auf einem Kreis um <math>M</math> liegt. === Beweisschritt 1 - Verwendung der Orthogonalität === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \langle v_1,v_2 \rangle = \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - reellwertiges Skalarprodukt === Da das Skalarprodukt <math> \langle r ,w \rangle\in \mathbb{R}</math> reellwertig ist, gilt <math> \langle r ,w \rangle = \overline{\langle r ,w \rangle}</math> und damit gilt auch: :<math> \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} = \langle r ,w \rangle - \langle r ,w \rangle = 0 </math> Dieses Resultat wendet man nun in Beweisschritt 1 an. === Beweisschritt 3 - Algebraische Umformung === Man erhält durch Einsetzen in Gleichung 1 die folgende Äquivalenz: :<math> 0 = -\|w\|^2 + \|r\|^2 \ \Longleftrightarrow \|w\| = \|r\| </math> Damit liegt <math>C</math> auf dem Kreis mit Radius <math>\|r\| = \|w\|</math> um den Punkt <math>M</math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Zusatzbedingung für unitäre Vektorräume === In [[w:de:euklidischer Raum#Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorräume]] gilt die Bedingung <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math> in natürlicher Weise. In [[w:de:Prähilbertraum|unitären Vektorräumen]] (über <math>\mathbb{C}</math>) verlangt man die Bedingung <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math> als Vorraussetzung des Satzes des Thales. Gilt <math>\langle w,r \rangle \notin \mathbb{R} </math>, so kann man <math>r</math> durch <math>\widehat{\,r\,}:=\tfrac{\langle r,w \rangle}{|\langle r,w \rangle|} \cdot r </math> ersetzen, damit <math>\langle w,\widehat{\,r\,} \rangle \in \mathbb{R} </math> erfüllt ist. :<math> \begin{array}{rcl} \langle w,\widehat{r\,} \rangle & = & \displaystyle \left\langle w , \frac{\langle r,w\rangle}{|\langle r,w \rangle|} \cdot r \right\rangle \\ & = & \displaystyle \frac{\langle r,w\rangle}{|\langle r,w \rangle|} \cdot \left\langle w , r \right\rangle \\ & = & \displaystyle \frac{\overbrace{\overline{\langle w,r\rangle}}^{=\langle r,w\rangle}}{|\langle r,w \rangle|} \cdot \left\langle w , r \right\rangle = \frac{|\langle w,r \rangle|^2}{|\langle w,r \rangle|} = |\langle w,r \rangle| \in \mathbb{R} \\ \end{array} </math> == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. * In unitären Vektorräumen wird eine Zusatzbedingung <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R}</math> gefordert, die man durch die obige Bemerkung für ein <math> r</math> mit <math>\langle w,r \rangle \notin \mathbb{R}</math> durch Ersetzung durch ein <math>\widehat{\,r\,}</math> erfüllt. Wie kann man die Transformation von <math>r</math> zu <math>\widehat{\,r\,}</math> geometrisch interpretieren? Gibt es weitere Ersetzungsmöglichkeiten für <math>\widehat{\,r\,}</math>, um die Eigenschaft <math>\langle w,\widehat{\,r\,} \rangle \in \mathbb{R}</math> zu erfüllen? == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lgszvuhlob3wrseipobv431ttin3djt 1114384 1114383 2026-09-07T11:36:03Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Zusatzbedingung für unitäre Vektorräume */ 1114384 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[File:01 Satz des Thales.gif|thumb|Satz des Thales]] [[File:Thales Satz.png|thumb|Geometrische Darstellung des Satzes des Thales im (Prä-)Hilbertraum.]] Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Den Satz des Thales auf Prähilberträume zu übertragen ist dabei nur eine Option der Verallgemeinerung<ref> G. Weiß, F.Gruber (2008), Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?, Scientific and Professional Journal of the Croatian Society for Geometry and Graphics, KoG•12–2008, S. 8-18 </ref>. == Zielsetzung == Diese Lernressource hat das Ziel, den [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales]] in (Prä-)Hilbert-Räumen zu beweisen. Dabei gibt es eine zusätzlich Einschränkung in (Prä-)Hilbert-Räumen über den komplexen Zahlen, die so aus der euklidschen Geometrie der Eben nicht bekannt sind. == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource sind Lehramtstudierende, die die Verallgemeinerung von Sätzen aus der Sekundarstufe I auf Hilbert-Räumen kennen lernen möchten. == Satz des Thales 1 - rechter Winkel == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math> \| w \| = \| r \| </math>. * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> (d.h. das Dreieck ist rechtwinklig). == Beweis - Satz des Thales 1 == In dem Beweis zeigen wir über die Eigenschaften des Skalarproduktes, dass die Katheten in dem Dreieck senkrecht aufeinander stehen. Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Dabei liefert die Eigenschaft <math> \| w \| = \| r \| </math>, das die Ecken des Dreieck auf einem Kreis liegen. === Bemerkung zur Übertragung in (Prä-)Hilbert-Räume === Die bekannten geometrischen Eigenschaften aus der Ebene wurden dabei wie folgt auf (Prä-)Hilbert-Räume übertragen: * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> und <math>\overrightarrow{AM}=w</math>, bedeutet, dass <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist. * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math> sind die Katheten des Dreiecks, * Durch <math>\overrightarrow{MC}=r</math> und <math> \| w \| = \| r \| </math> liegt der Punkt <math>C</math> auf einem Halbkreis mit dem Radius <math> \| r \| </math>. === Beweis 1 - Orthogonalität der Katheten === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} \langle v_1,v_2 \rangle & = & \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 = 0 \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Orthogonalität der Katheten === Damit gilt <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> und das Dreieck mit den obigen Katheten <math> v_1, v_2</math> und der Hypotenuse <math>2 \cdot w</math> ist rechtwinklig. <math>\Box</math> == Satz des Thales 2 - Punkt auf Kreis == Sei <math>( V, \langle \cdot , \cdot \rangle ) </math> ein Prä-Hilbert-Raum über <math>\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C} </math>. Das Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> wird durch folgende Vektoren dargestellt. * <math>\overrightarrow{AB}=2\cdot w</math> ("Durchmesser Kreis") und <math>\overrightarrow{AM}=w</math> * <math>\overrightarrow{AC}=v_1</math>, <math>\overrightarrow{BC}=v_2</math>, <math>\overrightarrow{MC}=r</math> mit <math>\langle v_1,v_2 \rangle = 0 </math> . * für Prä-Hilberträume über <math>\mathbb{C}</math> verlangt man ferner <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math>. Dann gilt <math> \| w \| = \| r \| </math> (d.h. der Punkt <math>C</math> liegt auf dem Kreis um <math>M</math>). == Beweis - Satz des Thales 2 == Nach Voraussetzung stehen <math>v_1</math> und <math>v_2</math> orthogonal zueinander, wegen <math>\langle v_1, v_2 \rangle = 0</math>. Diese Eigenschaft wird nun ausgenutzt, um zu zeigen, dass <math>\|w\| = \|r\|</math> gilt und damit der Punkt <math>C</math> auf einem Kreis um <math>M</math> liegt. === Beweisschritt 1 - Verwendung der Orthogonalität === Man berechnet nun <math> \langle v_1,v_2 \rangle </math> durch Einsetzung und Anwendung der Eigenschaften des Skalarproduktes: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \langle v_1,v_2 \rangle = \langle w+r , - w + r \rangle \\ & = & \langle w+r , - w \rangle + \langle w+r ,r \rangle \\ & = & \big( - \underbrace{\langle w ,w \rangle}_{=\|w\|^2} - \langle r ,w \rangle \big) + \big( \langle w ,r \rangle + \underbrace{\langle r ,r \rangle}_{=\|r\|^2} \big) \\ & = & - {\underbrace{\|w\|}_{=\|r\|}}^2 + \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} + \|r\|^2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - reellwertiges Skalarprodukt === Da das Skalarprodukt <math> \langle r ,w \rangle\in \mathbb{R}</math> reellwertig ist, gilt <math> \langle r ,w \rangle = \overline{\langle r ,w \rangle}</math> und damit gilt auch: :<math> \langle r ,w \rangle - \underbrace{\overline{\langle r ,w \rangle}}_{= \langle r ,w \rangle \in \mathbb{R}} = \langle r ,w \rangle - \langle r ,w \rangle = 0 </math> Dieses Resultat wendet man nun in Beweisschritt 1 an. === Beweisschritt 3 - Algebraische Umformung === Man erhält durch Einsetzen in Gleichung 1 die folgende Äquivalenz: :<math> 0 = -\|w\|^2 + \|r\|^2 \ \Longleftrightarrow \|w\| = \|r\| </math> Damit liegt <math>C</math> auf dem Kreis mit Radius <math>\|r\| = \|w\|</math> um den Punkt <math>M</math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Zusatzbedingung für unitäre Vektorräume === In [[w:de:euklidischer Raum#Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorräumen]] gilt die Bedingung <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math> in natürlicher Weise. In [[w:de:Prähilbertraum|unitären Vektorräumen]] (über <math>\mathbb{C}</math>) verlangt man die Bedingung <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R} </math> als Vorraussetzung des Satzes des Thales. Gilt <math>\langle w,r \rangle \notin \mathbb{R} </math>, so kann man <math>r</math> durch <math>\widehat{\,r\,}:=\tfrac{\langle r,w \rangle}{|\langle r,w \rangle|} \cdot r </math> ersetzen, damit <math>\langle w,\widehat{\,r\,} \rangle \in \mathbb{R} </math> erfüllt ist. :<math> \begin{array}{rcl} \langle w,\widehat{r\,} \rangle & = & \displaystyle \left\langle w , \frac{\langle r,w\rangle}{|\langle r,w \rangle|} \cdot r \right\rangle \\ & = & \displaystyle \frac{\langle r,w\rangle}{|\langle r,w \rangle|} \cdot \left\langle w , r \right\rangle \\ & = & \displaystyle \frac{\overbrace{\overline{\langle w,r\rangle}}^{=\langle r,w\rangle}}{|\langle r,w \rangle|} \cdot \left\langle w , r \right\rangle = \frac{|\langle w,r \rangle|^2}{|\langle w,r \rangle|} = |\langle w,r \rangle| \in \mathbb{R} \\ \end{array} </math> == Aufgaben für Studierende == * Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung auf (Prä-)Hilbert-Räumen, bei der nach Vorausetzung in einem rechtwinkligen Dreieck der Punkt <math>C</math> in dem Dreieck <math>\Delta(A,B,C)</math> , an dem ein rechter Winkel vorliegt, auf einem Halbkreis über der Hypotenuse <math>\overline{AB}</math> liegt. * In unitären Vektorräumen wird eine Zusatzbedingung <math>\langle w,r \rangle \in \mathbb{R}</math> gefordert, die man durch die obige Bemerkung für ein <math> r</math> mit <math>\langle w,r \rangle \notin \mathbb{R}</math> durch Ersetzung durch ein <math>\widehat{\,r\,}</math> erfüllt. Wie kann man die Transformation von <math>r</math> zu <math>\widehat{\,r\,}</math> geometrisch interpretieren? Gibt es weitere Ersetzungsmöglichkeiten für <math>\widehat{\,r\,}</math>, um die Eigenschaft <math>\langle w,\widehat{\,r\,} \rangle \in \mathbb{R}</math> zu erfüllen? == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Satz des Thales|Satz des Thales in der Ebene]] * [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in der Ebene]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in Prähilberträumen]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] f9savku2713aukc1y05qmgt8h15pqf9 106 152475 1114387 1109281 2026-09-07T11:43:34Z ~2026-47548-34 41860 /* L-Semi-Skalarprodukt */ 1114387 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] m6x8d8oza34h1dfh430cxuygtpwdlp4 1114388 1114387 2026-09-07T11:44:08Z ~2026-47548-34 41860 /* Semi-Skalarprodukt */ 1114388 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d8x8fj0rbf01n5fc5p5hggjrr93yos7 1114389 1114388 2026-09-07T11:45:23Z ~2026-47548-34 41860 /* Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten */ 1114389 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha}</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] azy0bk43ieq2cxjqnftnv56x1e6632f 1114390 1114389 2026-09-07T11:48:35Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät */ 1114390 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha}</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt. Entscheidend ist, dass in einem der Argumente konjugiert wird. == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aetplzf71q07hswn69dopjxcq38zcwb 1114391 1114390 2026-09-07T11:50:47Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum */ 1114391 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha}</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt. Entscheidend ist, dass in einem der Argumente konjugiert wird. == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2b8gdwqwaibeqonuemnwlgic8r1w7wh 1114392 1114391 2026-09-07T11:53:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung zu Wahl der Funktionen */ 1114392 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha}</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt. Entscheidend ist, dass in einem der Argumente konjugiert wird. == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=\cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3169oxqqcp8hm9ogld20wmprgb50b1u 1114393 1114392 2026-09-07T11:55:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung zu Wahl der Funktionen */ 1114393 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha}</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt. Entscheidend ist, dass in einem der Argumente konjugiert wird. == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=\cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine Bedarfsdeckung der Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pp3r7is99cioslmym4ollqe4nqrwb6m 1114394 1114393 2026-09-07T11:57:55Z ~2026-47548-34 41860 /* Nutzung des Energiespeichers */ 1114394 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha}</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt. Entscheidend ist, dass in einem der Argumente konjugiert wird. == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=\cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine Bedarfsdeckung der Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedarfsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ja5p6oo6hojr0mj7ors9ala9jfegims 106 153590 1114351 1105599 2026-09-07T10:16:51Z Paul Sutermeister 37610 1114351 wikitext text/x-wiki !-- '''3D-Oberflächendiagramm: Dreidimensionales Adressatenorientierungs-Modell''' x-Achse: Nähe (Freund) ↔ Distanz (Unbekannt) y-Achse: Unwissend ↔ Wissend z-Achse: Good News ↔ Bad News--> <quiz display="simple"> { Ordne Synonyme zu: | typ="[]" } | Adressat | Interesse | Stakeholder -+- Anspruch --+ Anspruchsgruppen +-- Empfänger </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne Anspruchsgruppen zu: | typ="[]" } | Kapitalgeber | Konkurrenten | Kunden | Lieferanten | Mitarbeitende | Öffentlichkeit | Staat ----+-- Arbeitnehmer erstellen Produkte und Dienstleistungen +------ Bank gewährt Darlehen +------ Eigentümer hat Anteil an Unternehmen ------+ Gemeinde verlangt Steuern --+---- Nachfrager kaufen Produkte und Dienstleistungen -----+- Vereine beobachten Tätigkeiten des Unternehmens -+----- Anbieter buhlen um Kundschaft ---+--- Zulieferer bieten Teile an </quiz> <quiz display="simple"> { Ich kommuniziere mit | typ="[]" } | Laien | Experten +- Ich verwende Alltagssprache. -+ Ich verwende Fachbegriffe. ++ Ich schreibe verständlich. +- Ich rechne mit wenig Vorwissen. -+ Ich rechne mit viel Vorwissen. -- Ich drücke mich kompliziert aus. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne die Absicht zu: | typ="[]" } | Appell | Argumentation | Dokumentation | Information --+- festhalten ++++ kommunizieren ---+ mitteilen +--- motivieren -+-- überzeugen </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Information | Instruktion | Motivation | Prävention | Werbung +---- Bring- und Holschuld ----+ Kundenverhalten beeinflussen --+-- Leistungsbereitschaft fördern -+--- Mitarbeitende anleiten ---+- Unsicherheiten vorbeugen </quiz> <quiz display="simple"> { [[Bild:Stakeholder_in-ex.png|400px| ]] | typ="[]" } | Externe Kommunikation | Interne Kommunikation ++ Anleitung ++ Bericht ++ FAQ -+ Intranet +- Kundenreklamation -+ Management Summary ++ Marketing +- Medienmitteilung -+ Mitarbeiterinformation -+ Protokoll ++ Stellenausschreibung ++ Umfrage </quiz> <quiz display="simple"> { Wenn ich die Adressaten nicht kenne… } - schreibe ich Fachsprache + schreibe ich allgemeinverständlich </quiz> <quiz display="simple"> { Sind die Adressaten sowohl Experten als auch Laien… } - schreibe ich Fachsprache + schreibe ich allgemeinverständlich </quiz> <quiz display="simple"> { Meine dominante Schreibart ist somit… } - Fachsprache + allgemeinverständliche Sprache </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] loz3umm8up4ajfvjrilpco6g6non7sh 106 156707 1114356 1064298 2026-09-07T10:39:20Z Paul Sutermeister 37610 1114356 wikitext text/x-wiki '''Lernziel: Schlechten Schreibstil erkennen und verbessern.''' <quiz display="simple"> { '''Was wurde im folgenden E-Mail stilistisch falsch gemacht?''' ''Sehr geehrte Frau Muster, es ist absolut unerhört, dass wir uns nach so vielen Jahren exzellenter Geschäftsbeziehungen mit Ihrer Firma nun in einer solchen Situation befinden. '''Ihre unverschämte Forderung nach einer zusätzlichen Zahlung''' ist schlichtweg lächerlich und entbehrt jeder Grundlage. '''Unser Unternehmen hat stets pünktlich und gewissenhaft alle Zahlungen geleistet''', und nun sollen wir angeblich eine Zahlung übersehen haben? Diese Behauptung ist absurd und zeigt nur, dass bei Ihnen das Chaos regiert. Wenn Sie sich nicht einmal darauf verlassen können, Ihre eigenen Konten richtig zu führen, dann sollten Sie vielleicht in Betracht ziehen, Ihre Buchhaltungsabteilung zu überarbeiten. Es ist auch eine Frechheit, uns zu unterstellen, dass wir in irgendeiner Weise fahrlässig oder unzuverlässig handeln würden. Ihre Firma sollte sich vielmehr schämen, uns mit solchen haltlosen Vorwürfen zu belästigen. Wir haben eine untadelige Historie und lassen uns nicht in ein schlechtes Licht rücken, nur weil Sie Ihre eigenen Fehler nicht eingestehen wollen. Sollte diese Angelegenheit nicht umgehend zu unserer Zufriedenheit geklärt werden, sehen wir uns gezwungen, rechtliche Schritte einzuleiten. Wir lassen uns nicht ohne Weiteres betrügen oder für dumm verkaufen. Ich erwarte eine schriftliche Bestätigung, dass diese irrwitzige Forderung zurückgezogen wird, und das ohne weitere Verzögerung. Hochachtungsvoll, Maria Mustermann Geschäftsführerin Beilage: Kopie des angeblich fehlenden Zahlungsbelegs, der Ihre Behauptung widerlegt'' } + Aggressiver Ton + Emotionale Sprache + Unterstellungen und Beleidigungen + Drohungen + Unprofessionelles Verhalten + Fehlende konstruktive Lösung + Unnötiges Hervorheben von Sätzen oder Satzteilen </quiz> <quiz display="simple"> { Fülle die Lücken mit folgenden Wortgruppen: '''Aggressiver Ton'''; '''Emotionale Sprache'''; '''Unterstellungen und Beleidigungen'''; '''Drohungen'''; '''Unprofessionelles Verhalten'''; '''Fehlende konstruktive Lösung'''. | type="{}" } { Aggressiver Ton }: Der Brief ist aggressiv und anklagend. In einem professionellen Geschäftsbrief sollte der Ton stets höflich und respektvoll sein, auch wenn es um strittige Angelegenheiten geht. { Emotionale Sprache }: Wörter wie "unverschämt", "lächerlich", "unerhört", und "Frechheit" sind emotional aufgeladen und unprofessionell. Ein geschäftlicher Brief sollte sachlich und objektiv sein. { Unterstellungen und Beleidigungen }: Der Brief enthält persönliche Angriffe und Unterstellungen gegen Herrn Müller und dessen Firma, z.B. "bei Ihnen das Chaos regiert" und "Sie Ihre eigenen Fehler nicht eingestehen wollen". Solche Aussagen sind unangemessen und können die Beziehung weiter verschlechtern. { Drohungen }: Der Brief droht mit rechtlichen Schritten auf eine Weise, die unprofessionell wirkt. Drohungen sollten, wenn überhaupt notwendig, sehr vorsichtig und sachlich formuliert werden. { Unprofessionelles Verhalten }: Der Schreiber verlangt eine "Bestätigung, dass diese irrwitzige Forderung zurückgezogen wird", was fordernd und unhöflich wirkt. Forderungen sollten höflich und respektvoll formuliert werden. { Fehlende konstruktive Lösung }: Der Brief bietet keine konstruktive Lösung oder den Wunsch, die Angelegenheit gemeinsam zu klären. Stattdessen wird nur darauf bestanden, dass die andere Seite im Unrecht ist. </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was wurde im folgenden E-Mail stilistisch falsch gemacht?''' Sehr geehrte Frau Muster, wir beziehen uns auf Ihre Forderung nach einer zusätzlichen Zahlung und möchten diese Gelegenheit nutzen, um einige Punkte zu klären. Unsere Unterlagen zeigen, dass alle Zahlungen ordnungsgemäß und fristgerecht geleistet wurden. Um mögliche Missverständnisse auszuräumen, fügen wir eine Kopie des entsprechenden Zahlungsbelegs bei. Sollte es dennoch Unklarheiten oder Differenzen in den Buchhaltungsaufzeichnungen geben, wären wir Ihnen dankbar, wenn Sie uns genauere Informationen zukommen lassen könnten, damit wir die Angelegenheit gemeinsam prüfen und lösen können. Wir schätzen die langjährige gute Geschäftsbeziehung mit Ihrer Firma und sind zuversichtlich, dass wir auch dieses Problem zu beiderseitiger Zufriedenheit klären können. Für Ihre Unterstützung und Kooperation danken wir Ihnen im Voraus und freuen uns auf Ihre zeitnahe Rückmeldung. Freundliche Grüsse Maria Mustermann Geschäftsführer Muster AG Beilage: Kopie des Zahlungsbelegs } - Aggressiver Ton - Emotionale Sprache - Unterstellungen und Beleidigungen - Drohungen - Unprofessionelles Verhalten - Fehlende konstruktive Lösung + Weil der Text keine Absätze hat, ist er unübersichtlich. </quiz> <quiz display="simple"> { Ergänze: '''Anrede'''; '''Betreffzeile'''; '''Drohungen'''; '''Handlungsaufruf'''; '''Höflichkeitsfloskeln'''; '''Informationen'''; '''Klarheit'''; '''Rechtschreibung'''; '''Respekt'''; '''Selbstbezogenheit'''; '''Struktur'''; '''Wertschätzung'''. | type="{}" } { Respekt } ist essenziell, selbst bei Meinungsverschiedenheiten. Aggressivität oder Unhöflichkeit kann die Geschäftsbeziehung schädigen. Komplexe Sätze, Fachjargon oder unklare Formulierungen können die Botschaft verfälschen. { Klarheit } und eine präzise Sprache sind wichtig. Eine gute { Struktur } mit Einleitung, Hauptteil und Schluss ist leichter zu lesen und zu verstehen. Fehlende Absätze oder logische Sprünge können den Leser verwirren. Eine korrekte { Rechtschreibung } und Grammatik wirken professionell und glaubwürdig. Korrekturlesen ist unerlässlich. Ein Brief sollte alle notwendigen { Informationen } enthalten, aber nicht unnötig lang sein. Ein zu kurzer Brief kann wichtige Details auslassen, ein zu langer kann den Leser ermüden. { Höflichkeitsfloskeln } wie „bitte“, „danke“ und „Mit freundlichen Grüßen“ sind wichtig, um einen professionellen und respektvollen Ton zu wahren. Der Empfänger sollte wissen, welche Aktion von ihm erwartet wird. Ein klarer { Handlungsaufruf } (Call to Action) ist wichtig. Eine prägnante { Betreffzeile } hilft dem Empfänger, den Inhalt des Briefs schnell zu erfassen. Eine richtige { Anrede } ist entscheidend. Eine zu förmliche oder zu informelle Anrede kann unpassend wirken. Ein Geschäftsbrief sollte stets { Wertschätzung } und Verständnis für den Empfänger zeigen, besonders bei Beschwerden oder Konflikten. { Drohungen } oder Ultimaten sollten vermieden oder sehr vorsichtig formuliert werden, da sie die Beziehung unnötig belasten können. Keine übertriebene { Selbstbezogenheit }: Der Fokus sollte auf den Bedürfnissen und Interessen des Empfängers liegen, nicht auf denen des Schreibenden. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jedem der folgenden Fehler jeweils eines der folgenden Beispiele zu: '''Drohungen oder Ultimaten'''; '''fehlende Empathie oder Wertschätzung'''; '''fehlende Struktur'''; '''keine klare Handlungsempfehlung'''; '''mangelnde Höflichkeitsfloskeln'''; '''Rechtschreib- und Grammatikfehler'''; '''Selbstbezogenheit'''; '''unangemessene Anrede'''; '''ungenügende Betreffzeile'''; '''unhöflicher oder aggressiver Ton'''; '''unklare oder verwirrende Sprache'''; '''zu langer Text'''; '''zu kurzer Text'''. | type="{}" } { Unhöflicher oder aggressiver Ton } Fehler: „Es ist lächerlich, dass Sie so etwas überhaupt in Frage stellen.“ Verbesserung: „Wir möchten diesen Punkt gerne klären, um Missverständnisse zu vermeiden.“ { Unklare oder verwirrende Sprache } Fehler: „Die Implikationen Ihrer Anfrage könnten potenziell zu einer Korrelation von Ereignissen führen, die signifikant sein könnten.“ Verbesserung: „Ihre Anfrage könnte wichtige Auswirkungen haben.“ { Fehlende Struktur } Fehler: „Wir haben das Produkt nicht erhalten, und das ist ein Problem, weil wir es wirklich brauchen, und es ist dringend, also schicken Sie es bitte sofort.“ Verbesserung: „Wir haben das Produkt nicht erhalten. Dies ist dringend, da wir es dringend benötigen. Bitte senden Sie es so schnell wie möglich.“ { Rechtschreib- und Grammatikfehler } Fehler: „Ihre offerte ist nich akzeptabel und, wir wollen darüber nochmal nachdenken.“ Verbesserung: „Ihr Angebot ist nicht akzeptabel, und wir möchten es gerne noch einmal überdenken.“ { Zu langer Text } Fehler : „Wir möchten Sie darüber informieren, dass wir nach langer Überlegung und unter Berücksichtigung aller möglichen Faktoren beschlossen haben, dass wir Ihr Angebot ablehnen müssen, da es nicht unseren Erwartungen entspricht.“ Verbesserung: „Wir müssen Ihr Angebot leider ablehnen, da es nicht unseren Erwartungen entspricht.“ { Zu kurzer Text } Fehler : „Angebot abgelehnt.“ Verbesserung: „Wir müssen Ihr Angebot leider ablehnen, da es nicht unseren Erwartungen entspricht.“ { Mangelnde Höflichkeitsfloskeln } Fehler: „Schicken Sie mir die Unterlagen.“ Verbesserung: „Könnten Sie mir bitte die Unterlagen zusenden? Vielen Dank!“ { Keine klare Handlungsempfehlung } Fehler: „Wir haben Ihr Angebot erhalten und prüfen es gerade.“ Verbesserung: „Wir haben Ihr Angebot erhalten und prüfen es gerade. Bitte geben Sie uns bis zum 10. Juli Zeit für eine Antwort.“ { Ungenügende Betreffzeile } Fehler: „Rückfrage 25. Juni“ Verbesserung: „Rückfrage zu Ihrem Angebot vom 25. Juni 2024“ { Unangemessene Anrede } Fehler: „Hallo Frau Muster“ Verbesserung: „Sehr geehrte Frau Muster“ { Fehlende Empathie oder Wertschätzung } Fehler: „Ihr Problem ist nicht unser Problem.“ Verbesserung: „Wir verstehen, dass diese Situation für Sie schwierig ist, und wir möchten eine Lösung finden.“ { Drohungen oder Ultimaten } Fehler: „Wenn Sie das nicht sofort beheben, sehen wir uns vor Gericht!“ Verbesserung: „Wir bitten Sie, dieses Problem umgehend zu lösen, um rechtliche Schritte zu vermeiden.“ { Selbstbezogenheit } Fehler: „Wir haben hart gearbeitet und wollen, dass Sie unser Produkt kaufen.“ Verbesserung: „Wir glauben, dass unser Produkt Ihren Anforderungen entspricht und Ihnen Vorteile bietet.“ </quiz> <quiz display="simple"> { Im Deutschen gibt es einige Verben, die häufig verwendet werden und möglicherweise zu Überbeanspruchung führen können. Ergänze in diesen Verben jeweils drei Buchstaben: | type="{}" } s{ ein }, ha{ ben }, we{ rde }n, ma{ che }n, sa{ gen }, ge{ ben|hen }, ge{ hen|ben }, ko{ mme }n, se{ hen }, wo{ lle }n Es ist ratsam, in der deutschen Sprache eine Vielzahl von Verben zu verwenden, um den Schreibstil interessanter und vielfältiger zu gestalten. Verben wie oben genannt sind zwar nützlich und notwendig, aber eine abwechslungsreiche Verwendung anderer Verben kann den Ausdruck verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ersetzen Sie die häufig verwendeten Verben durch: begehren, beobachten, besuchen, sich erschöpfen, pflegen, reichen, schweigen, stammen, unternehmen, sich zeigen als. | type="{}" } Er ist ein guter Schüler. ⇒ Er { zeigt sich als } ein guter Schüler. Sie hat viele Freunde. ⇒ Sie { pflegt } viele Freundschaften. Ich werde müde. ⇒ Ich { erschöpfe mich }. Wir machen einen Ausflug. ⇒ Wir { unternehmen } einen Ausflug. Er sagt nichts. ⇒ Er { schweigt }. Sie gibt ihm das Buch. ⇒ Sie { reicht } ihm das Buch. Sie gehen ins Kino. ⇒ Sie { besuchen } das Kino. Ich komme aus Deutschland. ⇒ Ich { stamme } aus Deutschland. Wir sehen den Sonnenuntergang. ⇒ Wir { beobachten } den Sonnenuntergang. Er will ein Eis. ⇒ Er { begehrt } ein Eis. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] c5yd9ygqpngt0yibcdhoz4d0kbgp5oo 106 156728 1114357 1078630 2026-09-07T10:41:06Z Paul Sutermeister 37610 /* Quiz */ 1114357 wikitext text/x-wiki Eine '''[[:w:Erörterung|Erörterung]]''' im Geschäftsalltag hilft dir, '''Argumente strukturiert darzulegen und fundierte Entscheidungen zu treffen'''. = Beispiele = Eine Erörterung ist nützlich in verschiedenen Situationen, wo man '''klar, logisch und überzeugend argumentieren''' muss. === Entscheidungsfindung === Beispiel: Soll die Firma auf Homeoffice umstellen? Du kannst '''Pro- und Kontra-Argumente sammeln''', analysieren und eine '''gut begründete Empfehlung''' geben. === Überzeugende Kommunikation === Beispiel: Eine Vorgesetzte muss überzeugt werden, in ein neues Software-Tool zu investieren. Eine '''strukturierte Argumentation''' erleichtert es, ihn zu überzeugen. === Berichte und Analysen === Beispiel: Ein Bericht zur '''Marktentwicklung oder Produktstrategie'''. Eine '''sachliche, ausgewogene Analyse''' hilft, die beste Entscheidung zu treffen. === Verhandlungen === Beispiel: Preisverhandlungen mit einem Lieferanten. Eine '''gut vorbereitete Argumentation''' stärkt die Verhandlungsposition. === Beschwerden oder Reklamationen === Beispiel: Eine Reklamation an einen Geschäftspartner. Eine sachliche Erörterung hilft, den Fall nachvollziehbar zu schildern. = Quiz = <quiz display="simple"> { Was sind minimale '''Bewertungskriterien''' für alle handgeschriebenen freien [[:w:Erörterung|Erörterungen]]? } + Der Text entspricht der vorgegebenen '''Länge'''. (4 Punkte) + '''Rechtschreibung''', '''Zeichensetzung''' und Wortwahl sind korrekt. (2 Punkte) + Die '''Grammatik''' (Fälle, Zeit usw.) ist korrekt. (2 Punkte) + Die '''Ausdrucksfähigkeit''' (Stil, Wortschatz, abwechslungsreicher Satzbau) ist gut. (2 Punkte) + Eingangs wird '''Interesse geweckt'''. (0.5 Punkte) + Die '''einleitende Zusammenfassung''' ist vorhanden und nachvollziehbar. (1 Punkte) + Die Einleitung '''leitet zum Hauptteil über'''. (0.5 Punkte) + Etwaige '''Pro-Argumente''' sind sinnvoll angeordnet und nachvollziehbar. (3 Punkte) + Etwaige '''Kontra-Argumente''' sind sinnvoll angeordnet und nachvollziehbar. (3 Punkte) + Die '''abschliessende Zusammenfassung''' ist vorhanden und sinnvoll. (1 Punkt) + Der '''abschliessende Ausblick''' ist vorhanden und sinnvoll. (1 Punkt) </quiz> <quiz display="simple"> { Die folgende Erörterung ist ungeordnet. Schreibe in die Lücken '''Einleitung''', '''Hauptteil''' oder '''Schluss''': | type="{}" } { Hauptteil }: ''Als Bürokauffrau organisiere ich interne Besprechungen und Termine mit Kunden und Lieferanten. Dafür koordiniere ich die Verfügbarkeiten aller Beteiligten und sorge dafür, dass alles reibungslos abläuft. Ich bin auch die Schnittstelle zwischen dem Unternehmen und seinen Kunden sowie Lieferanten. Das bedeutet, dass ich E-Mails und Anrufe bearbeite, um sicherzustellen, dass alle Anfragen und Anliegen zeitnah beantwortet werden und dass Kunden sowie Lieferanten sich gut betreut fühlen. Des Weiteren verwalte ich Dokumente: Ich erstelle, bearbeite und archiviere Verträge und Rechnungen, die für den reibungslosen Ablauf des Unternehmens erforderlich sind. Neben diesen Aufgaben unterstütze ich mein Team: ich helfe bei Projekten, mache Recherchen, assistiere bei der Vorbereitung von Präsentationen. Ich bin also eine Art Allrounderin.'' { Schluss }: ''Abschliessend gesagt sind meine Fähigkeiten in der Büroorganisation, im Zeitmanagement und in der Kommunikation entscheidend für den Erfolg des Unternehmens. Weil meine Arbeit viel wert ist, könnte ich fairer entlohnt werden.'' { Einleitung }: ''«Wow, mit deinem gemütlichen Beruf trinkst du gewiss den ganzen Tag Kaffee und plauderst mit Kolleginnen.» Leider konfrontieren mich Freunde immer wieder mit diesem Klischee. Als Bürokauffrau ist es oft schwierig, den eigenen Wert zu bestimmen, besonders bei Lohnverhandlungen. Dabei leiste ich viel: Ich organisiere Termine, kommuniziere mit Kunden und Lieferanten, verwalte Dokumente und unterstütze mein Team. Wie «wertvoll» ist diese Arbeit?'' </quiz> <quiz display="simple"> { Betitle folgende Abschnitte: '''Abschliessender Ausblick''', '''Abschliessende Zusammenfassung''', '''Drittes Argument''', '''Einleitende Zusammenfassung''', '''Erstes Argument''', '''Interesse wecken''', '''Überleitung zum Hauptteil''', '''Viertes Argument''', '''Zweites Argument'''. | type="{}" } { Interesse wecken }: ''«Wow, mit deinem gemütlichen Beruf trinkst du gewiss den ganzen Tag Kaffee und plauderst mit Kolleginnen.» Leider konfrontieren mich Freunde immer wieder mit diesem Klischee.'' { Einleitende Zusammenfassung }: ''Als Bürokauffrau ist es oft schwierig, den eigenen Wert zu bestimmen, besonders bei Lohnverhandlungen. Dabei leiste ich viel: Ich organisiere Termine, kommuniziere mit Kunden und Lieferanten, verwalte Dokumente und unterstütze mein Team.'' { Überleitung zum Hauptteil }: ''Wie «wertvoll» ist diese Arbeit?'' { Erstes Argument }: ''Als Bürokauffrau organisiere ich interne Besprechungen und Termine mit Kunden und Lieferanten. Dafür koordiniere ich die Verfügbarkeiten aller Beteiligten und sorge dafür, dass alles reibungslos abläuft.'' { Zweites Argument }: ''Ich bin auch die Schnittstelle zwischen dem Unternehmen und seinen Kunden sowie Lieferanten. Das bedeutet, dass ich E-Mails und Anrufe bearbeite, um sicherzustellen, dass alle Anfragen und Anliegen zeitnah beantwortet werden und dass Kunden sowie Lieferanten sich gut betreut fühlen.'' { Drittes Argument }: ''Des Weiteren verwalte ich Dokumente: Ich erstelle, bearbeite und archiviere Verträge und Rechnungen, die für den reibungslosen Ablauf des Unternehmens erforderlich sind.'' { Viertes Argument }: ''Neben diesen Aufgaben unterstütze ich mein Team: ich helfe bei Projekten, mache Recherchen, assistiere bei der Vorbereitung von Präsentationen. Ich bin also eine Art Allrounderin.'' { Abschliessende Zusammenfassung }: ''Abschliessend gesagt sind meine Fähigkeiten in der Büroorganisation, im Zeitmanagement und in der Kommunikation entscheidend für den Erfolg des Unternehmens.'' { Abschliessender Ausblick }: ''Weil meine Arbeit somit viel wert ist, könnte ich fairer entlohnt werden.'' </quiz> <quiz display="simple"> { Nummeriere folgende Abschnitte von 1 bis 9 in der richtigen Reihenfolge: | type="{}" } { 7 _3} ''Viertens unterstütze ich mein Team: ich helfe bei Projekten, mache Recherchen, assistiere bei der Vorbereitung von Präsentationen. Ich bin also eine Art Allrounderin.'' { 6 _3} ''Drittens verwalte ich Dokumente: Ich erstelle, bearbeite und archiviere Verträge und Rechnungen, die für den reibungslosen Ablauf des Unternehmens erforderlich sind.'' { 2 _3} ''Als Bürokauffrau ist es oft schwierig, den eigenen Wert zu bestimmen, besonders bei Lohnverhandlungen. Dabei leiste ich viel: Ich organisiere Termine, kommuniziere mit Kunden und Lieferanten, verwalte Dokumente und unterstütze mein Team.'' { 9 _3} ''Weil meine Arbeit viel wert ist, könnte ich fairer entlohnt werden.'' { 4 _3} ''Erstens organisiere ich als Bürokauffrau interne Besprechungen und Termine mit Kunden und Lieferanten. Dafür koordiniere ich die Verfügbarkeiten aller Beteiligten und sorge dafür, dass alles reibungslos abläuft.'' { 1 _3} ''«Wow, mit deinem gemütlichen Beruf trinkst du gewiss den ganzen Tag Kaffee und plauderst mit Kolleginnen.» Leider konfrontieren mich Freunde immer wieder mit diesem Klischee.'' { 5 _3} ''Zweitens bin ich eine Schnittstelle zwischen dem Unternehmen und seinen Kunden sowie Lieferanten. Das bedeutet, dass ich E-Mails und Anrufe bearbeite, um sicherzustellen, dass alle Anfragen und Anliegen zeitnah beantwortet werden und dass Kunden sowie Lieferanten sich gut betreut fühlen.'' { 8 _3} ''Meine Fähigkeiten in der Büroorganisation, im Zeitmanagement und in der Kommunikation sind somit entscheidend für den Erfolg des Unternehmens.'' { 3 _3} ''Wie «wertvoll» ist diese Arbeit?'' </quiz> <quiz display="simple"> { Welche der folgenden sechs Aufgabenstellungen passt zur folgenden Einleitung? ''«Wow, mit deinem gemütlichen Beruf trinkst du gewiss den ganzen Tag Kaffee und plauderst mit Kolleginnen.» Leider konfrontieren mich Freunde immer wieder mit diesem Klischee. Als Bürokauffrau ist es oft schwierig, den eigenen Wert zu bestimmen, besonders bei Lohnverhandlungen. Dabei leiste ich viel: Ich organisiere Termine, kommuniziere mit Kunden und Lieferanten, verwalte Dokumente und unterstütze mein Team. Wie «wertvoll» ist diese Arbeit?'' } - Erörtere das Zitat: «Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe.» Khalil Gibran - «Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe.» Stimmt der Satz von Khalil Gibran? + Was ist meine Arbeit wert? Erörtere die Frage. - Wird meine Arbeit wertgeschätzt? Erörtere die Frage. - Was ist wichtiger: Wertschätzung oder Lohn? Erörtere die Frage. - Was ist das Wichtigste im Leben? Erörtere die Frage. </quiz> <quiz display="simple"> { Benenne folgende Abschnitte mit '''Abschliessender Ausblick''', '''Abschliessende Zusammenfassung''', '''Pro-Argument''', '''Einleitende Zusammenfassung''', '''Kontra-Argument''', '''Interesse wecken''' oder '''Überleitung zum Hauptteil''' (nicht alles passt!). | type="{}" } { Interesse wecken }: ''«Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe», sagt Khalil Gibran. Wow, meine Arbeit als Bürokauffrau ist also vielleicht eine Form der «Liebe».'' { Einleitende Zusammenfassung }: ''In meinem Beruf erledige ich Aufgaben und jongliere mit Zahlen. Aber um die Arbeit zu lieben, muss ich eine gute Beziehung mit KollegInnen und Kunden pflegen.'' { Überleitung zum Hauptteil }: ''Wie mache ich das?'' { Pro-Argument }: ''Den KollegInnen spendiere ich einmal pro Woche am Morgen Gipfeli. Ich wertschätze meine KollegInnen, indem ich bei Bedarf ihre Dossiers bearbeite. Weil ich weiss, was meine Mitarbeitenden leisten, kann ich ihnen konstruktives Feedback geben. Die gegenseitige Wertschätzung führt zu einem «liebevollen» Arbeitsklima in meiner Abteilung.'' { Pro-Argument }: ''Beim Kundenkontakt achte ich auf wertschätzende Sprache: Ich schreibe respektvoll und situationsangepasst. Bei Reklamationen versuche ich mich wohlwollend in die Situation der Kundschaft hineinzuversetzen. Bei Kundengesprächen habe ich ein offenes Ohr für individuelle Wünsche, damit sich die Kunden wohlfühlen. Wenn ich die Anfragen effizient bearbeite, sind die Kunden zufrieden und «haben mich gern». Ich erhalte positive Rückmeldungen von den Kunden, und das tut mir gut.'' { Abschliessende Zusammenfassung }: ''Abschliessend gesagt erinnert mich Gibrans Aussage daran, dass Arbeit mehr als nur etwas Anstrengendes sein soll: Arbeite ich «liebevoll» mit Mitarbeitenden und KundInnen, tut mir das gut.'' { Abschliessender Ausblick }: ''Aber was Gibran halt genau mit seiner «sichtbar gemachten Liebe» meinte, weiss ich nicht. (203 Wörter)'' </quiz> <quiz display="simple"> { Obige Erörterung ist eine } + lineare Erörterung - Pro-Kontra-Erörterung </quiz> <quiz display="simple"> { Benenne folgende Abschnitte mit '''Abschliessender Ausblick''', '''Abschliessende Zusammenfassung''', '''Pro-Argument''', '''Einleitende Zusammenfassung''', '''Kontra-Argument''', '''Interesse wecken''' oder '''Überleitung zum Hauptteil'''. | type="{}" } { Interesse wecken }: ''«Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe», behauptet Khalil Gibran.'' { Einleitende Zusammenfassung }: ''Ich mag meinen Job als Bürokauffrau, aber nicht alle lieben ihren Job.'' { Überleitung zum Hauptteil }: ''Ist Arbeit also allgemein mit «Liebe» vergleichbar?'' { Pro-Argument }: ''Weil ich Dossiers effizient bearbeite, helfe ich meiner Firma und unterstütze meine KollegInnen. Deshalb «liebt» mich mein Team.'' { Pro-Argument }: ''Den Kunden liefere ich pünktlich gute Ware und berate sie professionell am Telefon. Von ihnen erhalte ich wertschätzende Rückmeldungen. Das tut mir gut und deshalb «liebe» ich meine Arbeit.'' { Kontra-Argument }: ''Aber nicht alle Menschen lieben ihre Arbeit. Viele Menschen müssen einfach ihren Lebensunterhalt verdienen. Fliessbandarbeitende zum Beispiel haben eine monotone Arbeit, was psychisch belastet. Und in Berufen mit körperlicher Belastung schädigt man seinen Körper.'' { Kontra-Argument }: ''In vielen Berufen geht es zudem darum, Kosten zu senken, indem man Kundinnen und Kunden schlecht behandelt. Zum Beispiel muss man nutzlose Produkte aufschwatzen oder in Gesundheitsberufen unter Zeitdruck viele Patientinnen und Patienten betreuen. Das ist viel Arbeit, hat aber nicht mehr viel mit «Liebe» zu tun.'' { Kontra-Argument }: ''Eine Mehrheit arbeitet wohl nicht aus Leidenschaft, sondern freut sich auf Feierabend. Sie erlebt die «Liebe» zuhause im Privaten, zum Beispiel in einer Familie, und im Ruhestand.'' { Abschliessende Zusammenfassung }: ''Weil mir Gibrans Aussage auf den ersten Blick zu vereinfacht klingt, lehne ich sie ab.'' { Abschliessender Ausblick }: ''Wenn ich mehr über Gibran wüsste, könnte ich meine Meinung ändern. (208 Wörter)'' </quiz> <quiz display="simple"> { Was ist in obiger Erörterung erkennbar? } + Blockprinzip - Lineare Erörterung - Ping-Pong-Prinzip + Pro-Kontra-Erörterung </quiz> = Praktische Übung = Lehrperson macht mit WordCloud die Umfrage ''Was provoziert mich gesellschaftlich?''. Die Umfrageresultate werden veröffentlicht und die Lernenden erhalten folgende Aufgabenstellung: Wählen Sie eines dieser Probleme aus.<br> Schreiben Sie zwischen 90 und 110 Wörter, indem Sie folgende Fragen beantworten:<br> Einleitung: Was ist das Problem?<br> Hauptteil: Warum ist das ein Problem oder kein Problem?<br> Schluss: Was ist zu tun? (falls etwas zu tun ist)<br> Sie haben dafür 20 Minuten Zeit. Nach Ablauf der 20 Minuten besprechen wir per Zufallsgenerator eine Ihrer Erörterungen.<br> <!--{ Ordne jeweils etwas zu: | typ="[]" } | Aussage | Geschlossene Frage | Offene Frage | Zitat -+-- Wird meine Arbeit wertgeschätzt? --+- Was ist meine Arbeit wert? +--- Meine Arbeit ist wertvoll. ---+ «Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe.» Khalil Gibran--> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 4h8xz75cz46rv98iyngeett20zwwop6 106 157070 1114353 1064296 2026-09-07T10:21:28Z Paul Sutermeister 37610 1114353 wikitext text/x-wiki [[Datei:Konstruktives Feedback.svg|thumb|mini|'''Lernziel: Konstruktives Feedback geben.''']] = Schriftlich = <quiz display="simple"> { Schriftliches Feedback besteht aus: | typ="[]" } | Lob | Kritik | Beispiele | Erklärungen | Tipps | Abschluss --+--- Konkrete Situationen oder Dinge, auf die sich das Lob oder die Kritik beziehen. ----+- Vorschläge, wie man es besser machen kann. -----+ Ein positiver Schluss, der motiviert. ---+-- Warum etwas gut oder schlecht ist. -+---- Was verbessert werden kann. +----- Was gut gemacht wurde. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Abschluss | Beispiele | Erklärungen | Kritik | Lob | Tipps ----+- Du hast den Bericht sehr gut strukturiert. Die Einleitung ist klar und deine Punkte sind gut geordnet. ---+-- Allerdings gibt es einige Tippfehler und manche Sätze sind schwer verständlich. -+---- Auf Seite 2 hast du geschrieben: «Die Daten sind analyse». Hier fehlt ein Wort – es sollte «Die Daten sind ''in der'' Analyse» heissen. --+--- Wenn Sätze nicht vollständig sind oder Tippfehler enthalten, kann das den Lesefluss stören und die Verständlichkeit erschweren. -----+ Lies den Text am Ende noch einmal durch oder nutze ein Rechtschreibprogramm, um Tippfehler zu finden. +----- Insgesamt hast du sehr gut gearbeitet, und mit ein paar kleinen Verbesserungen wird dein Bericht noch besser! </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Lob | Kritik | Beispiele | Erklärungen | Tipps | Abschluss -----+ Der bestehende Lehrplan ist gut strukturiert, aber mit der Ergänzung der genannten Themen würde er den aktuellen Anforderungen an schriftliche Kommunikation noch besser gerecht werden. +----- Die Themen decken viele wichtige Aspekte der schriftlichen Kommunikation ab, insbesondere im Kontext der Unternehmenskommunikation und des Bewerbungsprozesses. Die Aufteilung in interne und externe Kommunikation im Geschäftsalltag ist sinnvoll und gibt den Teilnehmern eine klare Struktur. ----+- Ergänze den Lehrplan um diese Themen, um den Teilnehmern alle wesentlichen Fähigkeiten in der schriftlichen Unternehmenskommunikation zu vermitteln. -+---- Es fehlen jedoch einige wichtige Themen, die für eine umfassende schriftliche Kommunikation entscheidend sind. Diese sollten ergänzt werden, um den Lehrplan abzurunden. ---+-- E-Mail und Social Media sind unverzichtbare Kommunikationsmittel in modernen Unternehmen. Die Teilnehmer sollten lernen, wie man professionell E-Mails verfasst und sich in sozialen Netzwerken schriftlich äußert. Krisenkommunikation ist ebenfalls wichtig, da sie spezielle Anforderungen an die schriftliche Ausdrucksweise stellt. --+--- Zum Beispiel fehlt das Thema ''E-Mail-Kommunikation'', das in der heutigen Unternehmenswelt zentral ist. Auch ''Social-Media-Kommunikation'' wird immer wichtiger für Unternehmen, um eine einheitliche Botschaft nach außen zu tragen. Ein weiterer Punkt, der berücksichtigt werden könnte, ist die ''Krisenkommunikation'', da schriftliche Kommunikation in schwierigen Situationen entscheidend ist. </quiz> = Mündlich = <quiz display="simple"> { Betitle die dreizehn Abschnitte: '''Ausreden lassen''', '''Danken''', '''Ich-Botschaften formulieren''', '''Nachfragen''', '''Nicht rechtfertigen''', '''Perspektiven aufzeigen''', '''Rahmen schaffen''', '''Reaktion auf Feedback mitteilen''', '''Richtigen Zeitpunkt wählen''', '''Rückmeldungen seitens des Feedbackempfängers annehmen''', '''Überblick verschaffen''', '''Über Feedback nachdenken''', '''Zuhören'''. | type="{}" } '''FEEDBACK GEBEN''' { Überblick verschaffen }: „Bevor ich dir Feedback zu deinem letzten Projekt gebe, habe ich mir die Präsentation und die Berichte angesehen und mich mit den Kollegen aus dem Team ausgetauscht. Ich möchte sicherstellen, dass ich alle relevanten Informationen berücksichtigt habe.“ { Richtigen Zeitpunkt wählen }: „Ich möchte dir direkt nach unserem Meeting Feedback geben, während die Informationen noch frisch sind und wir beide uns an die Details erinnern können.“ { Rahmen schaffen }: „Können wir uns nach der Mittagspause in meinem Büro zusammensetzen? Ich möchte in Ruhe mit dir über das letzte Projekt sprechen.“ { Ich-Botschaften formulieren }: „Ich habe bemerkt, dass die Präsentation letzte Woche nicht ganz flüssig verlief. Meiner Meinung nach könnte es hilfreich sein, wenn du dich intensiver auf die Kernpunkte vorbereitest und die wichtigsten Informationen klarer strukturierst.“ { Perspektiven aufzeigen }: „Ich würde vorschlagen, dass du beim nächsten Mal eine detaillierte Gliederung erstellst und sie vor der Präsentation mit einem Kollegen durchgehst. Das könnte dir helfen, sicherer aufzutreten und die wichtigsten Punkte besser hervorzuheben.“ { Rückmeldungen seitens des Feedbackempfängers annehmen }: „Wie siehst du das? Gibt es etwas, das du anders wahrgenommen hast, oder Aspekte, die ich übersehen habe? Ich bin offen für dein Feedback und möchte sicherstellen, dass wir beide daraus lernen.“ '''FEEDBACK ENTGEGENNEHMEN''' { Zuhören }: „Ich höre dir zu und möchte verstehen, wie du die Situation erlebt hast. Deine Sichtweise ist mir wichtig.“ { Ausreden lassen }: „Erzähl mir bitte weiter, ich möchte sicherstellen, dass ich alles richtig verstehe, bevor ich darauf reagiere.“ { Nachfragen }: „Du hast erwähnt, dass meine Berichte manchmal schwer nachvollziehbar sind. Kannst du mir ein konkretes Beispiel geben, damit ich das besser verstehe?“ { Nicht rechtfertigen }: „Ich nehme deine Kritik an und werde darüber nachdenken. Danke, dass du mir das sagst.“ { Über Feedback nachdenken }: „Ich werde mir Zeit nehmen, über dein Feedback nachzudenken und überlegen, wie ich das in Zukunft besser machen kann. Ich komme darauf zurück, wenn ich mir ein paar Gedanken gemacht habe.“ { Danken }: „Danke, dass du dir die Zeit genommen hast, mir Feedback zu geben. Es hilft mir sehr, meine Arbeit aus einer anderen Perspektive zu sehen und mich weiterzuentwickeln.“ { Reaktion auf Feedback mitteilen }: „Ich habe über dein Feedback nachgedacht und werde versuchen, meine Berichte klarer zu strukturieren. Ich denke, das wird mir helfen, meine Punkte besser zu vermitteln. Danke noch einmal für deinen Input.“ </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] dixncqcasv0wy4gz8c02b5eglo550e4 1114355 1114353 2026-09-07T10:37:50Z Paul Sutermeister 37610 /* Mündlich */ 1114355 wikitext text/x-wiki [[Datei:Konstruktives Feedback.svg|thumb|mini|'''Lernziel: Konstruktives Feedback geben.''']] = Schriftlich = <quiz display="simple"> { Schriftliches Feedback besteht aus: | typ="[]" } | Lob | Kritik | Beispiele | Erklärungen | Tipps | Abschluss --+--- Konkrete Situationen oder Dinge, auf die sich das Lob oder die Kritik beziehen. ----+- Vorschläge, wie man es besser machen kann. -----+ Ein positiver Schluss, der motiviert. ---+-- Warum etwas gut oder schlecht ist. -+---- Was verbessert werden kann. +----- Was gut gemacht wurde. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Abschluss | Beispiele | Erklärungen | Kritik | Lob | Tipps ----+- Du hast den Bericht sehr gut strukturiert. Die Einleitung ist klar und deine Punkte sind gut geordnet. ---+-- Allerdings gibt es einige Tippfehler und manche Sätze sind schwer verständlich. -+---- Auf Seite 2 hast du geschrieben: «Die Daten sind analyse». Hier fehlt ein Wort – es sollte «Die Daten sind ''in der'' Analyse» heissen. --+--- Wenn Sätze nicht vollständig sind oder Tippfehler enthalten, kann das den Lesefluss stören und die Verständlichkeit erschweren. -----+ Lies den Text am Ende noch einmal durch oder nutze ein Rechtschreibprogramm, um Tippfehler zu finden. +----- Insgesamt hast du sehr gut gearbeitet, und mit ein paar kleinen Verbesserungen wird dein Bericht noch besser! </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Lob | Kritik | Beispiele | Erklärungen | Tipps | Abschluss -----+ Der bestehende Lehrplan ist gut strukturiert, aber mit der Ergänzung der genannten Themen würde er den aktuellen Anforderungen an schriftliche Kommunikation noch besser gerecht werden. +----- Die Themen decken viele wichtige Aspekte der schriftlichen Kommunikation ab, insbesondere im Kontext der Unternehmenskommunikation und des Bewerbungsprozesses. Die Aufteilung in interne und externe Kommunikation im Geschäftsalltag ist sinnvoll und gibt den Teilnehmern eine klare Struktur. ----+- Ergänze den Lehrplan um diese Themen, um den Teilnehmern alle wesentlichen Fähigkeiten in der schriftlichen Unternehmenskommunikation zu vermitteln. -+---- Es fehlen jedoch einige wichtige Themen, die für eine umfassende schriftliche Kommunikation entscheidend sind. Diese sollten ergänzt werden, um den Lehrplan abzurunden. ---+-- E-Mail und Social Media sind unverzichtbare Kommunikationsmittel in modernen Unternehmen. Die Teilnehmer sollten lernen, wie man professionell E-Mails verfasst und sich in sozialen Netzwerken schriftlich äußert. Krisenkommunikation ist ebenfalls wichtig, da sie spezielle Anforderungen an die schriftliche Ausdrucksweise stellt. --+--- Zum Beispiel fehlt das Thema ''E-Mail-Kommunikation'', das in der heutigen Unternehmenswelt zentral ist. Auch ''Social-Media-Kommunikation'' wird immer wichtiger für Unternehmen, um eine einheitliche Botschaft nach außen zu tragen. Ein weiterer Punkt, der berücksichtigt werden könnte, ist die ''Krisenkommunikation'', da schriftliche Kommunikation in schwierigen Situationen entscheidend ist. </quiz> = Mündlich = <quiz display="simple"> { Betitle die sechs Abschnitte: '''Ich-Botschaften formulieren''', '''Perspektiven aufzeigen''', '''Rahmen schaffen''', '''Richtigen Zeitpunkt wählen''', '''Rückmeldungen seitens des Feedbackempfängers annehmen''', '''Überblick verschaffen'''. | type="{}" } '''FEEDBACK GEBEN''' { Überblick verschaffen }: „Bevor ich dir Feedback zu deinem letzten Projekt gebe, habe ich mir die Präsentation und die Berichte angesehen und mich mit den Kollegen aus dem Team ausgetauscht. Ich möchte sicherstellen, dass ich alle relevanten Informationen berücksichtigt habe.“ { Richtigen Zeitpunkt wählen }: „Ich möchte dir direkt nach unserem Meeting Feedback geben, während die Informationen noch frisch sind und wir beide uns an die Details erinnern können.“ { Rahmen schaffen }: „Können wir uns nach der Mittagspause in meinem Büro zusammensetzen? Ich möchte in Ruhe mit dir über das letzte Projekt sprechen.“ { Ich-Botschaften formulieren }: „Ich habe bemerkt, dass die Präsentation letzte Woche nicht ganz flüssig verlief. Meiner Meinung nach könnte es hilfreich sein, wenn du dich intensiver auf die Kernpunkte vorbereitest und die wichtigsten Informationen klarer strukturierst.“ { Perspektiven aufzeigen }: „Ich würde vorschlagen, dass du beim nächsten Mal eine detaillierte Gliederung erstellst und sie vor der Präsentation mit einem Kollegen durchgehst. Das könnte dir helfen, sicherer aufzutreten und die wichtigsten Punkte besser hervorzuheben.“ { Rückmeldungen seitens des Feedbackempfängers annehmen }: „Wie siehst du das? Gibt es etwas, das du anders wahrgenommen hast, oder Aspekte, die ich übersehen habe? Ich bin offen für dein Feedback und möchte sicherstellen, dass wir beide daraus lernen.“ </quiz> <quiz display="simple"> { Betitle die sieben Abschnitte: '''Ausreden lassen''', '''Danken''', '''Nachfragen''', '''Nicht rechtfertigen''', '''Reaktion auf Feedback mitteilen''', '''Über Feedback nachdenken''', '''Zuhören'''. | type="{}" } '''FEEDBACK ENTGEGENNEHMEN''' { Zuhören }: „Ich höre dir zu und möchte verstehen, wie du die Situation erlebt hast. Deine Sichtweise ist mir wichtig.“ { Ausreden lassen }: „Erzähl mir bitte weiter, ich möchte sicherstellen, dass ich alles richtig verstehe, bevor ich darauf reagiere.“ { Nachfragen }: „Du hast erwähnt, dass meine Berichte manchmal schwer nachvollziehbar sind. Kannst du mir ein konkretes Beispiel geben, damit ich das besser verstehe?“ { Nicht rechtfertigen }: „Ich nehme deine Kritik an und werde darüber nachdenken. Danke, dass du mir das sagst.“ { Über Feedback nachdenken }: „Ich werde mir Zeit nehmen, über dein Feedback nachzudenken und überlegen, wie ich das in Zukunft besser machen kann. Ich komme darauf zurück, wenn ich mir ein paar Gedanken gemacht habe.“ { Danken }: „Danke, dass du dir die Zeit genommen hast, mir Feedback zu geben. Es hilft mir sehr, meine Arbeit aus einer anderen Perspektive zu sehen und mich weiterzuentwickeln.“ { Reaktion auf Feedback mitteilen }: „Ich habe über dein Feedback nachgedacht und werde versuchen, meine Berichte klarer zu strukturieren. Ich denke, das wird mir helfen, meine Punkte besser zu vermitteln. Danke noch einmal für deinen Input.“ </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] bu8vnmm3w24eyr3fphqsqijp8onatjw 106 167013 1114352 1113871 2026-09-07T10:19:00Z Paul Sutermeister 37610 1114352 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]]</small>[[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' (Satzglieder sind nicht prüfungsrelevant): <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Vier gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten (nicht Wortschatz) 2) Rechtschreibung, 3) Satzbau, 4) Satzzeichen.</small> || |- | 12. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 2. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 9. November || Indirekte Rede → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 16. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 23. November || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 30. November || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 7. Dezember 2026 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''14. Dezember 2026''' || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | <span style="color:red;">'''4. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] k68uvkv06yrozaebwc74803f80cd85w 106 171612 1114303 1110302 2026-09-07T08:25:02Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1114303 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> eine stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>). Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationwegen die Eigenschaft hermitesch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllt. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fkdm63kz9jah4egusa7s4f9tr9zvwla 1114304 1114303 2026-09-07T08:25:43Z ~2026-47548-34 41860 /* Wegintegral als Skalarprodukt */ 1114304 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationwegen die Eigenschaft hermitesch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllt. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ly7b53i4vojsdqlh2wbdi7exdj2bwck 1114305 1114304 2026-09-07T08:29:19Z ~2026-47548-34 41860 /* Weitere Integrationswege */ 1114305 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllt. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s3wrkrjare9xf3jmthtjylqqir1k1yc 1114306 1114305 2026-09-07T08:29:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Integrationswege über Kreisrand */ 1114306 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 92o4hx99v1p87qj3314hesc4z6nl5oq 1114307 1114306 2026-09-07T08:32:13Z ~2026-47548-34 41860 /* Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 */ 1114307 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 37wvmhxhcaoid8hnqhf0xkp3zqyvrxc 1114308 1114307 2026-09-07T08:36:37Z ~2026-47548-34 41860 /* Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 */ 1114308 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> eine Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pcyfhov2qwf6gyrjglcuximf3up1mw3 1114309 1114308 2026-09-07T08:39:09Z ~2026-47548-34 41860 /* Endlichkeit des Wegintegrals */ 1114309 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{=\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] h4fx0vkgzjxo52vxwpq7aqa6fw9wqvj 1114310 1114309 2026-09-07T08:41:44Z ~2026-47548-34 41860 /* Endlichkeit des Wegintegrals */ 1114310 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{<2\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pgngs1xkhbz6505zhnub07es9j9gwol 1114311 1114310 2026-09-07T08:42:40Z ~2026-47548-34 41860 /* Endlichkeit des Wegintegrals */ 1114311 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> (deren Abstand ist höchstens der doppelte Radius) eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{<2\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponenten und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ts0pqle1v5i2xm8hnzhxum4tve0uulw 1114312 1114311 2026-09-07T08:44:02Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften */ 1114312 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> (deren Abstand ist höchstens der doppelte Radius) eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{<2\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integral für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponente und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2h6iurgtyh7u9md65ccciyzxkdi6xpj 1114313 1114312 2026-09-07T08:46:54Z ~2026-47548-34 41860 /* Endlichkeit des Wegintegrals */ 1114313 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> (deren Abstand ist höchstens der doppelte Radius) eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{<2\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integrale für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponente und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 64lebmzpqbnr6pcwbpzuz4sqc62x73r 1114314 1114313 2026-09-07T08:48:04Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel 2.2 - Norm für n=1 */ 1114314 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> (deren Abstand ist höchstens der doppelte Radius) eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{<2\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integrale für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponente und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnen, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ascot9lsnw5lk0yargsnvxo9sc6x7u5 1114315 1114314 2026-09-07T08:49:59Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n */ 1114315 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> (deren Abstand ist höchstens der doppelte Radius) eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{<2\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integrale für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponente und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnen, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet werden und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1rz7unqhybxnk08h2nwmm54jb1b71z6 1114316 1114315 2026-09-07T08:52:02Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 */ 1114316 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> (deren Abstand ist höchstens der doppelte Radius) eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{<2\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integrale für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponente und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnen, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet werden und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> Dieses Verfahren ist als Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren bekannt. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] iu8jfgvltlojlaq0m8uj6pw2gvqjfp7 1114317 1114316 2026-09-07T08:52:28Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 */ 1114317 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Wegintegral kann als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert werden. Dies spielt insbesondere eine Rolle im Kontext von Funktionenräumen auf kompakten Gebieten oder in der Theorie der [[w:de:Hard-Raum|Hardy-Räume]]. Man betrachtet nun die im Folgenden definierte Abbildung. === Wegintegral als Skalarprodukt === Sei <math> G \subset \mathbb{C} </math> ein Gebiet (offene, zusammenhängende Menge), und sei <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein stetig differenzierbarer Weg in dem Gebiet <math>G</math>. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> (also holomorph auf <math> G </math>) betrachten man das Wegintegral: :<math> \langle f, g \rangle_\gamma := \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> Dabei ist <math>\gamma : [a,b] \to G</math> auf einem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C} </math> durch ein Integrationsweg definiert, der parallel zu reellen Achse läuft. === Konjugation des Wegintegrals === Das obige Wegintegral ist für beliebige Wege <math> \gamma: [a,b] \to G </math> '''kein''' Skalarprodukt, da <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_\gamma</math> im Allgemeinen '''nicht''' hermitesch. Dies zeigt die Berechnung der Konjugation des Wegintegrals: :<math> \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} := \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \overline{\gamma{\,}'(t)} \, dt </math> Im Allgemeinen gilt nicht <math>\overline{\gamma{\,}'(t)} = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. === Anforderungen an den Integrationsweg === Wenn man aber stattdessen die Anforderung stellt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gilt, erhält man mit <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{\in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> == Definition von Integrationswegen == Da <math>G</math> als Gebiet eine offene Menge ist, gibt es um jeden Punkt <math>z_o\in G</math> eine offene Kreisscheibe, <math>D_r(z_o) \subset G</math>. Man definiert nun zwei Punkte in der Kreisscheibe <math>D_\varepsilon (z_o) \subset G</math> mit <math>z_1:= z_o - \tfrac{r}{2} </math> und für <math>z_2:= z_o + \tfrac{r}{2} </math> liegt der Integrationsweg <math>\gamma</math> als [[Konvexkombination]] erster Ordnung zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> ganz in <math>D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & G \subset \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Ableitung des Integrationsweges === Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(t) \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [0,1]</math>, denn man erhält: :<math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = \left(z_o+\frac{r}{2}\right) - \left(z_o -\frac{r}{2} \right) = r \in \mathbb{R}</math> Weil <math>\gamma{\,}'</math> reellwertig für alle <math>t\in [0,1]</math> ist, gilt auch <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)}</math>. Insbesondere gilt für alle <math>t\in [0,1]</math>, dass <math>\gamma(t) \in D_r(z_o)</math> bzw. <math>\mathrm{Spur}(\gamma)\subset D_r(z_o)</math> erfüllt ist. == Eigenschaft - hermitesch == Mit der oben definierten [[Konvexkombination]] gilt <math>\gamma{\,}'(t) = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> und <math>D_r (z_o)\subset G</math>. Die reellwertige Ableitung <math>\gamma{\,}'(t) = \overline{\gamma{\,}'(t)} \in \mathbb{R}</math> liefert die Eigenschaft [[hermitesch]] über die folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \overline{\langle g, f \rangle_\gamma} & = & \displaystyle \overline{\int_\gamma \overline{g(z)} \cdot f(z) \, dz} = \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\overline{\gamma{\,}'(t)}}_{=r > 0} \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \overline{f(\gamma(t))} \cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r \in \mathbb{R}} \, dt \\ & = & \langle f, g \rangle_\gamma \\ \end{array} </math> === Weitere Integrationswege === Für die oben definierte [[Konvexkombination]] <math>\gamma(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) = z_2-z_1 = r \in \mathbb{R}</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Man kann sich nun die Frage stellen, welche Integrationweg die Eigenschaft hermitesch auch liefern. Jede Potenzreihe <math display="block">\gamma(t) := \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)</math> und <math>c_n\in \mathbb{R}</math> für alle <math>n\geq 1</math> kann als Integrationsweg verwendet werden, wenn das Intervall <math>[a,b]</math> im Konvergenzbereich der Potenzreihe mit <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> liegt. === Integrationswege über Kreisrand === Jeder Integrationsweg über den Kreisrand mit <math>\gamma(t)= z_0 + r\cdot e^{it}</math> liefert diese Eigenschaft, da alle Koeffizienten <math>c_n:=\tfrac{1}{n!}\in \mathbb{R}</math> diese Eigenschaft erfüllen. Die Konstante <math>z_o +1 </math> ist aber im Allgemeinen nicht reellwertig. == Eigenschaft - Definitheit == Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaft der Definitheit erfüllen, d.h. für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> muss gelten: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> Dabei wertet das Skalarprodukt als Integral die Funktion <math>|f|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> aus. === Stetigkeit - Minimum und Maximum === Da <math>f \in \mathcal{H}(G) </math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] insbesondere stetig ist, ist auch <math>|f|</math> und <math>|f|^2</math> eine stetige Funktion, die auf dem Intervall <math>[0,1]</math> das Minimum und Maximum annimmt. Sei <math>M:= \max_{t\in [0,1]} |f(\gamma(t)|^2</math>. Es gilt dann: :<math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma = \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=r} \,\, dt </math> Damit das rechte Integral über die stetige nicht-negative Funktion <math>|f|^2\cdot r</math> mit <math>r > 0</math> die Eigenschaft <math> 0 = \langle f, f \rangle_\gamma</math> erfüllt, muss <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein. ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 1 ==== Wenn es einen Punkt <math>\widehat{z\,} := \gamma(t_o)</math> mit <math>t_o\in[0,1]</math> gibt mit <math>|f(\widehat{z\,})|^2 = \widehat{y\,}\not= 0</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> wegen der Stetigkeit von <math>|f|^2\circ \gamma </math> eine <math>\delta</math>-Umgebung von <math>t_o</math>, wobei für alle <math>t\in (t_o-\delta,t_o+\delta) \cap [0,1]</math> gilt: :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 \leq \bigg| \widehat{y\,} - |f( \gamma(t) )|^2 \bigg| = \bigg| | f( \gamma(t) )|^2 - \underbrace{| f( \gamma(t_o) )|^2}_{= \widehat{y\,}} \bigg| < \varepsilon </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 2 ==== Da dieses für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, kann man auch <math>\varepsilon := \tfrac{\widehat{y\,}}{2}</math> wählen. Damit wäre dann :<math> \widehat{y\,} - | f( \gamma(t) )|^2 < \varepsilon = \frac{\widehat{y\,}}{2} \ \Longrightarrow \ 0 < \frac{\widehat{y\,}}{2} < | f( \gamma(t) )|^2 </math> ==== Epsilon-Delta-Kriterium für Spurpunkt 3 ==== Damit kann man folgern, dass das Skalarprodukt von <math>f</math> mit <math>f</math> einen positiven Wert besitzt. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, f \rangle_\gamma & = & \displaystyle \int_\gamma \overline{f(z)} \cdot f(z) \, dz = \int_{0}^{1} | f( \gamma(t) )|^2 \cdot \underbrace{r}_{=\gamma{\,}'(t)} \,\, dt \\ & > & \displaystyle \underbrace{\frac{\widehat{y\,}}{2} }_{>0} \cdot \underbrace{\delta}_{>0} > 0 \end{array} </math> ==== Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium ==== Die positive Definitheit mit den obigen Argumenten kann analog auf den Raum der stetigen Funktionen <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})</math> bzw. <math>\mathcal{C}([a,b], \mathbb{C})</math> anwenden, wobei das zugehörige Skalarprodukt für diese Räume als Spezialfall wie folgt definiert wird: :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{R}} := \int_a^b f(x) \cdot g(x) \, dx </math> bzw. :<math> \langle f, g \rangle_{_\mathbb{C}} := \int_a^b \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz </math> === Identitätssatz - Definitionsbereich G=== Bisher wurde mit den obigen Argumenten nur gezeigt, dass <math>|f(z)|^2</math> auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 ist. Für die positive Definitheit muss aber auch <math>f</math> nicht nur auf der Spur von <math>\gamma </math> konstant 0 sein, sondern auf dem ganzen Definitionsbereich <math>G</math>. Die Spur von <math>\gamma </math> ist eine nicht-diskrete Menge in <math>G</math>. Daher muss nach dem [[Identitätssatz]] auch die Funktion <math>f</math> auf ganz <math>G</math> der Nullfunktion entsprechen. Diese liefert die [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Definitheit|Definitheit]] für das [[Skalarprodukt]], denn es gilt für beliebige [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f \in \mathcal{H}(G) </math>: :<math> \langle f, f \rangle_\gamma = 0 \,\Longrightarrow \, f = 0 </math> == Endlichkeit des Wegintegrals == Für das Gebiet <math> G \subset \mathbb{C} </math> als offene und zusammenhängende Menge liefert die oben definierte [[Konvexkombination]] <math> \gamma: [0,1] \to G </math> zwischen <math>z_1,z_2\in D_\varepsilon(z_o) \subset G</math> (deren Abstand ist höchstens der doppelte Radius) eine stetig differenzierbare Kurve. Für zwei holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> ist <math>\overline{f}\cdot g</math> eine stetige Funktion auf <math> G </math>, wobei <math>|\overline{f}\cdot g|</math> auf <math>Spur(\gamma)</math> ein Maximum annimmt: :<math> \big|\langle f, g \rangle_\gamma\big| = \left|\,\int_\gamma \overline{f(z)} \cdot g(z) \, dz \,\,\right| \leq \underbrace{\mathcal{L}(\gamma)}_{<2\varepsilon} \cdot \underbrace{\max_{z\in Spur(\gamma)} \left| \overline{f(z)} \cdot g(z) \right|}_{<\infty} </math> Damit sind alle Integrale für zwei beliebige holomorphe Funktionen <math> f, g \in \mathcal{H}(G) </math> auf dem Gebiet <math>G</math> endlich. == Aufgaben für Studierende == Sei <math>z_1 = 1+i</math> und <math>z_2=5+i</math>, <math>z_1,z_2 \in G</math> und mit dem Integrationsweg <math>\gamma</math> als Konvexkombination: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Hilbertraumeigenschaften === Beweisen Sie die noch fehlenden [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Eigenschaften für das Skalarprodukt]], d.h. die [[Semilinearität]] in der 1. Komponente und die [[lineare Funktion|Linearität]] in der 2. Komponente. ==== Beispiel - Additivität ==== Das folgende Beispiel zeigt den Nachweis der Additivität vom [[Skalarprodukt]]: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f_1 + f_2, g \rangle_\gamma & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{(f_1(z)+f_2(z))} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \left(\overline{f_1(z)}+\overline{f_2(z)}\right) \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z)+\overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)}\cdot g(z) \, dz +\int_\gamma \overline{f_2(z)} \cdot g(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \langle f_1 , g \rangle_\gamma + \langle f_2, g \rangle_\gamma \end{array} </math> === Aufgabe 2 - Norm einer Funktion === Berechnen Sie die Norm <math>\|f_n\|_\gamma := \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma}</math> einer holomorphen Funktion <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math>. ==== Beispiel 2.1 - Norm für n=0 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma}</math> zu berechnet, berechnet man zunächst <math>\|f_0\|_\gamma^2</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_0\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_0(z)} \cdot f_0(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{1} \cdot 1}_{=1} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 1 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dz = \left[ z \right]_{1+i}^{5+i} = (5+i)-(1+i) = 4 \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> ==== Beispiel 2.2 - Norm für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> zu berechnen, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_\gamma \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) \, dz = \,\int_\gamma \underbrace{\overline{z} \cdot z}_{=|z|^2} \, dz \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big|\gamma(t)\big|^2 \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \,\int_0^1 \bigg|\, \underbrace{(1-t)\cdot \overbrace{(1+i)}^{=z_1} + t\cdot \overbrace{(5 + i)}^{=z_2} }_{=\gamma(t)} \,\bigg|^2 \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=-4} \, dt \end{array} </math> Dabei ist <math>z_0:=3+i</math> und <math>r=4</math>. Startpunkt <math>z_1=z_0-\tfrac{r}{2}</math> und <math>z_2=z_0+\tfrac{r}{2}</math>. ==== Beispiel 2.3 - Wegableitung ==== Mit der Definition des Weges <math>\gamma</math> erhält man folgende Darstellung als Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \displaystyle (1-t)\cdot \underbrace{(1+i)}_{=z_1} + t\cdot \underbrace{(5 + i)}_{=z_2} \\ & = & (z_2-z_1)\cdot t + z_1 \\ \gamma{\,}'(t) & = & (z_2-z_1) = (5+i)-(1+i) = 4 \in \mathbb{R}^+ \displaystyle \end{array} </math> ==== Beispiel 2.4 - Berechnung für n=1 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_1\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_1(z)} \cdot f_1(z) & = & \overline{z} \cdot z \,\, = \,\, x^2 + y^2 \,\, \geq \,\, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.5 - Real- Imaginärteilzerlegung für n=1 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^2 = (4\cdot t+1)^2 + 1^2 = 16t^2 + 8t + 2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_1\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 64t^2 + 32t + 8\, dt = \left[ \frac{64}{3}t^3 + 16t^2 + 8t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{64}{3} + 16 + 8 = \frac{64+48+24}{3} = \frac{136}{3} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_1\|_\gamma = \sqrt{\langle f_1, f_1\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{136}{3}}</math> ==== Beispiel 2.6 - Norm für n=2 ==== Um die folgende Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma}</math> berechnen zu können, berechnet man zunächst <math>\|f_2\|_\gamma^2</math> mit <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math>. Ferner verwenden Sie für den Integranden: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{f_2(z)} \cdot f_2(z) & = & \overline{z^2} \cdot z^2 = \overline{z}^2 \cdot z^2 = (\overline{z} \cdot z)^2 \\ & = & \bigg(|z|^2\bigg)^2 = \big| \underbrace{x^2 + y^2}_{\geq 0} \, \big|^2 = \big( x^2 + y^2 \, \big)^2 \\ & = & x^4 + 2\cdot x^2\cdot y^2 + y^4 \, \geq \, 0 \end{array} </math> ==== Beispiel 2.7 - Norm für n=2 ==== Durch Umformung bzw. Vereinfachung von <math>\gamma(t)= (4\cdot t+1)+1\cdot i</math> erhält für <math>|\gamma(t)|^4 = \big( (4\cdot t+1)^2 + 1^2 \big)^2= (16t^2 + 8t + 2)^2</math> und das Integral ist: :<math> \begin{array}{rcl} \|f_2\|_\gamma^2 & = & \displaystyle \,\int_0^1 \big( 64t^2 + 32t + 8 \big)^2 \, dt \\ & = & \,\int_0^1 4096\,t^4+4096\,t^3+2048\,t^2+512\,t+64 \,\, dt \\ & = & \left[ \frac{4096}{5}\,t^5+\frac{4096}{4}\,t^4+\frac{2048}{3}t^3+\frac{512}{2}\,t^2+64\,t \right]_0^1 \\ & = & \displaystyle \frac{4096}{5}+\frac{4096}{4} +\frac{2048}{3} +\frac{512}{2} +64 = \frac{42688}{15} \end{array} </math> Damit erhält man für die Norm <math>\|f_2\|_\gamma = \sqrt{\langle f_2, f_2\rangle_\gamma} = \sqrt{\frac{42688}{15}}</math> ==== Aufgabe 2.8 - Norm für höhere n ==== Führen Sie die Berechnungen analog zu dem obigen Vorgehen für <math>n=3</math> zunächst weiter. Versuchen Sie dann für beliebige <math>n</math> ggf. unter Einsatz eines Computeralgebrasystems eine allgemeine Formel für die Norm <math>\|f_n\|_\gamma = \sqrt{\langle f_n, f_n\rangle_\gamma} </math> von <math>f_n</math> anzugeben. Die Stammfunktion vom Integranden muss dabei immer nur in der oberen Intervallgrenze 1 ausgewertet werden und liefert dabei für alle Potenzen <math>t^n=1</math>. === Aufgabe 3 - Orthonormalbasis der Funktionen === Erzeugen Sie aus <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> eine Orthonormalbasis <math>\left( \widehat{f_n}\right)_{n\in \mathbb{N}_o}</math> mit <math>\|\widehat{f_n}\|_\gamma = \sqrt{\left\langle \widehat{f_n}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma} = 1</math> und <math>\left\langle \widehat{f_m}, \widehat{f_n}\right\rangle_\gamma</math> für <math>m \not= n</math> und <math>f_n(z)=z^n</math> auf <math> G</math>. ==== Beispiel 3.1 - Normalisierung für n=0 ==== Die folgende Norm <math>\|f_0\|_\gamma = \sqrt{\langle f_0, f_0\rangle_\gamma} = 2</math> wurde bereits in Aufgabe 2 berechnet. Daher muss man <math>\widehat{f_0}</math> nur normalisieren und man definiert den ersten Vektor der Orthonormalbasis wie folgt: :<math>\widehat{f_0}:=\frac{f_0}{\|f_0\|_\gamma^2} = \frac{f_0}{2}</math> ==== Beispiel 3.2 - Berechnung der Projektion n=1 ==== Man subtrahiert von dem Ausgangsvektor <math>f_1</math> (Funktion) die [[Orthogonalprojektion]] auf <math>\widehat{f_0}</math> wie folgt: <math>g_1:= f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} </math>. Berechnet man nun das Skalarprodukt von <math>\langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle </math>, so erhält man: :<math> \langle \widehat{f_0}, g_1 \rangle = \underbrace{\bigg\langle \widehat{f_0}, f_1 - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \widehat{f_0} \bigg\rangle}_{= \langle \widehat{f_0}, f_1 \rangle - \langle \widehat{f_0}, f_1\rangle \cdot \langle \underbrace{\widehat{f_0}, \widehat{f_0}\rangle}_{=1} } = 0 </math> Bestimmen Sie nun <math>g_1</math> und normalisieren Sie dann <math>g_1</math> mit <math>\widehat{f_1} = \frac{g_1}{\|g_1\|_\gamma}_.</math> Dieses Verfahren ist als Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren bekannt. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren#Aussage|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[hermitesch]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Hilbertraum|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5e75e1d83hz8yavik0o3r0sf8jy2ab4 0 171751 1114318 1110461 2026-09-07T08:54:27Z ~2026-47548-34 41860 /* Funktionenraum als Hilbertraum */ 1114318 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfallen in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet mann das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> 9t184hsbjl333opijfybqa8svkb2ah9 1114319 1114318 2026-09-07T08:55:30Z ~2026-47548-34 41860 /* Reeler Fall */ 1114319 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar für <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfallen in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet mann das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> miyyqfxt0wdeeaxzn6txropmwjm0cah 1114320 1114319 2026-09-07T08:56:19Z ~2026-47548-34 41860 /* Reeler Fall */ 1114320 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar für <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfallen in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet mann das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> lce1jkmatm7vcbm7t5j2rydhgniop47 1114321 1114320 2026-09-07T08:57:27Z ~2026-47548-34 41860 /* Winkel - Reeller Fall */ 1114321 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar für <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}, \quad v,w \neq 0</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfallen in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet mann das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> 7veo1pnlotnv2yebg7t734wvr4b68me 1114322 1114321 2026-09-07T08:58:21Z ~2026-47548-34 41860 /* Winkel - Reeller Fall */ 1114322 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar für <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}, \quad v,w \neq 0</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachten Sie die :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfallen in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet mann das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> bwrtcp9xf3wzeozvnv119cwurxq0bta 1114323 1114322 2026-09-07T09:01:31Z ~2026-47548-34 41860 /* Zweidimensionale Orthogonalprojektion */ 1114323 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar für <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}, \quad v,w \neq 0</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachtet :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfallen in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet mann das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> mrjhqk9s2t4monhbftmhypq6hf2n8jj 1114324 1114323 2026-09-07T09:03:35Z ~2026-47548-34 41860 /* Strahlensatzfigur 2 */ 1114324 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar für <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}, \quad v,w \neq 0</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachtet :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfällt in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet mann das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> 9rz9dvuyayw4498tm0zovsgcve7ovdh 1114325 1114324 2026-09-07T09:06:03Z ~2026-47548-34 41860 /* Überprüfung der Orthogonalität */ 1114325 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar für <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}, \quad v,w \neq 0</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachtet :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfällt in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet man das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> gilt und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> 100nv1mdumhrcegdt8peiuvta2t6lv5 1114326 1114325 2026-09-07T09:07:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - Normalisierung */ 1114326 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird die Orthogonalprojektion auf dem zweidimensionalen reellwertigen Fall auf eine komplexe Orthogonalprojektion in einem unendlichdimensionalen Funktionenraum über <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dabei werden die geometrischen Grundideen über die Definition des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] verallgemeinert, Insgesamt wird dabei die Skalarproduktdarstellung <math>P_v(w)</math> für die Projektion von <math>v</math> auf <math>w</math> erarbeitet. :<math> P_v(w) = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> === Animation der Projektion === [[File:Projektion mit cos.gif|450px|center|Animation of projection on x-axis in the 2D plane with sine and cosine]] === Bemerkung zur Animation === Die Animation zeigt die Orthogonalprojektion eines rotierenden Vektors <math>w</math> auf den Vektor <math>v</math>, der auf der <math>x</math>-Achse mit positiver Orientierung liegt. Für die folgenden Überlegung sind auch die normierten Vektoren <math>v_1</math> und <math>w_1</math> von Bedeutung, die jeweils auf dem Einheitskreis. Der Vektor <math>w_1 = (\cos(\alpha),\sin(\alpha))\in \mathbb{R}^2</math> hat (wie aus der [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] bzw. [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] bekannt) die Koordinaten <math>\cos(\alpha)</math> und <math>\sin(\alpha)</math>. [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|300px|center|Einheitskreis mit Kosinus und Sinus]] === Funktionenraum als Hilbertraum === Die Grundsituation im <math>\mathbb{R}^2</math> bzw. <math>\mathbb{R}^n</math> wird auf [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräume als Hilberträume]] und einem Skalarprodukt übertragen, das als komplexwertiges [[Wegintegral]] definiert wird. :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_a^{b} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{> 0} \, dt \\ \end{array} </math> Siehe dazu als Vorbereitung die Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenräumen mit Skalarprodukt als Hilbertraum]]. Ein Beispielintegral wird für ein einfaches [[Wegintegral]] mit <math>\gamma(t)=t </math> durchgerechnet. == Beschränktheit des komplexen Winkels == Eine Skalarproduktnorm erfüllt sowohl in [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilberträumen]] über <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] :<math>\left|\langle v, w \rangle\right| \leq \| v \| \cdot \| w \|</math>, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn <math>v</math> und <math>w</math> [[w:de:Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. === Reeler Fall === Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt dann unmittelbar für <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|}\leq 1</math>, === Komplexer Fall === Im komplexen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] folgt analog mit <math>v,w \not= 0_{_V}</math> :<math>\frac{|\langle v, w \rangle|}{\| v \| \cdot \| w \|} \,\, = \,\, \left| \left\langle \frac{ v}{\| v \|} , \frac{ w }{\| w \|} \right\rangle \right| \,\, \leq \,\, 1</math>, Für normierte Vektoren <math> v_1:=\tfrac{ v}{\| v \|} </math> und <math>w_1 := \tfrac{ w }{\| w \|}</math> gilt also insbesondere <math>|\langle v_1 ,w_1\rangle | \leq 1 </math>. == Winkel zwischen Vektoren == Mit der obigen Ungleichung kann man den [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei Vektoren Vektoren mit <math>v,w\not=0_{_V}</math> über das Skalarprodukt festlegen. === Winkel - Reeller Fall === Der [[w:de:Winkel|Winkel]] <math>\varphi</math> zwischen zwei ''reellen Vektoren'' wird über :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}, \quad v,w \neq 0</math> definiert. Der Winkel <math>\varphi</math> liegt damit im Intervall <math>[0, \pi]</math>, also zwischen <math>0^\circ</math> und <math>180^\circ</math>. === Winkel - Komplexer Fall === Für Winkel zwischen komplexen Vektoren <math>v,w\not=0_{_V}</math> in einem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]] gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.<ref>{{Literatur|Autor=Klaus Scharnhorst|Titel=Angles in complex vector spaces|Sammelwerk=Acta Applicandae Math.|Band=69|Seiten=95–103|Jahr=2001}}</ref> Im Folgenden wird die nachstehende Definition verwendet: :<math> \alpha := \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{C} </math> Dabei liefert <math>\varphi_1 := \arccos (\alpha_1) \in [0,\pi] </math> den reellwertigen Winkelanteil und <math>\varphi_2 := -\ln(|\alpha|) \in \left[0,+\infty,\right] </math> den imaginären Winkelanteil. Da <math>|\alpha| \leq 1</math> gilt <math>\ln(|\alpha|) \leq 0</math>. Insgesamt ist der komplexe Winkel dann durch <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \varphi_2 \in [0,\pi] \times \left[0,+\infty,\right] </math> definiert. Bei <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> sei <math>e^{\varphi} = 1 </math> für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math>. ==== Motivation - komplexer Fall ==== Die Motivation für diese Winkeldefinition kommt aus der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] mit :<math> e^{i\varphi} = e^{i \varphi_1 - \varphi_2} = e^{-\varphi_2} \cdot e^{i\varphi_1} = e^{-\varphi_2}\cdot \bigg(\cos(\varphi_1) + i\cdot \sin(\varphi_1)\bigg) = \alpha_1 + i\cdot \alpha_2 </math>. Ist <math>\alpha \in\mathbb{R}</math> gilt <math>\alpha_2 = 0</math> und gilt <math>e^{\varphi_2} = 1</math>. Der Fall <math>\varphi = \varphi_1 + i \cdot \infty </math> wird als <math>e^{\varphi} := 1 </math> definiert, da man für alle <math>\varphi_1 \in [0,\pi]</math> diesen Winkel als Grenzwert betrachtet: :<math> e^{i\varphi} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = e^{-\varphi_2 + i \varphi_1} = \lim_{\varphi_2 \to +\infty} e^{-\varphi_2}\cdot e^{i \varphi_1} = 0 </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Realteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z+\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_1 = \frac{\langle v, w \rangle + \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle + \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> ==== Eigenschaft - hermitesch - Imaginärteil ==== Da allgemein für komplexe Zahlen <math>z-\overline{z} = 2\cdot \mathfrak{Im}(z)</math> gilt, erhält man: :<math> \alpha_2 = \frac{\langle v, w \rangle - \overline{\langle v, w \rangle}}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} = \frac{\langle v, w \rangle - \langle w, v \rangle}{2\cdot \| v \| \cdot \| w \|} \in \mathbb{R} </math> == Zweidimensionale Orthogonalprojektion == In der nachstehenden Abbildung betrachtet man zunächst die normierten Vektoren <math>v_1 := \frac{v}{\| v \|}</math> und <math>w_1 := \frac{w}{\| w \|}</math> mit <math>v\not= 0_V \not= w</math> als Vektoren auf dem Einheitskreis und betrachtet :<math>\cos(\varphi) = \frac{\langle v, w \rangle}{\| v \| \cdot \| w \|}</math> Diese Normierung ist möglich, wenn <math>v,w \not= 0_{_V}</math> eine positive Länge haben. [[File:Projection from vector w to vector v.png|450px|center|center|Orthogonalprojektion von einem Vektor w auf einen Vektor v]] === Streckung des Einheitsvektors === Wenn man den Vektor <math>v_1</math> mit dem <math>\cos(\alpha)</math> streckt, erhält man eine Vektor <math>v_2 = \cos(\alpha) \cdot v_1</math>, der vom Ursprung bis zum Punkt <math>\big(\cos(\alpha),0\big)\in \mathbb{R}^2</math> reicht (als Punkt <math>E</math> markiert. Der Punkt <math>w_1</math> liegt im zweidimensional Fall durch die Normierung auf dem Einheitskreis und hat damit die Koordinaten <math>\big(\cos(\alpha),\sin(\alpha)\big)\in \mathbb{R}^2</math>. === Strahlensatzfigur 1 === In der Strahlensatz in der Abbildung verwendet den Scheitel im Ursprung mit dem grünen und roten Vektor. Dafür gilt für die Längen folgende Gleichheit der Quotienten: :<math> \frac{\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \|}{\| w_1 \|} = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} </math> Dabei gilt <math>\| \cos(\alpha)\cdot v_1 \| = |\cos(\alpha)|</math> und <math>\| v_1 \| = \| w_1 \| = 1</math>. === Strahlensatzfigur 2 === Durch Einsetzen erhält man für die Strahlensatzfigur: :<math> | \cos(\alpha)| = \frac{\| P_v(w) \|}{\| w \|} \quad \Longleftrightarrow \quad | \cos(\alpha)| \cdot \| w \| = \| P_v(w) \| </math> Um die reellwertige Orientierung zu berücksichtigen, entfällt in den weiteren Schritten der Betrag bei <math>\cos(\alpha)</math>. === Vorzeichen für die Projektion === Der Kosinus kann (wie in der Abbildung gezeigt) auch negativ sein. Um dieses Vorzeichen in der Abbildung für den Projektionsvektor zu berücksichtigen, * entfallen die Beträge im reellen Vektorraum und * man multipliziert den reellwertigen Streckfaktor <math>\cos(\alpha) \cdot \|w\|</math> mit dem blau markierten normierten Vektor <math>v_1</math>: ::<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot v_1 </math> === Ersetzung des normierten Vektors für die Projektion === Da man die Orthogonalprojektion von <math>P_v(w)</math> von <math>w</math> auf <math>v</math> in der projektiven Darstellung berechnen möchte, ersetzt noch <math>v_1</math> durch <math>\tfrac{v}{\|v\|}</math> und erhält damit: :<math> P_v(w) = \cos(\alpha) \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} </math> === Ersetzung des Kosinus durch das Skalarprodukt === Ersetzt man nun den Kosinus durch die Definition über das Skalarprodukt, so liefert das die Projektion <math>P_v(w)</math> des Vektors <math>w</math> auf <math>v</math> wie folgt. :<math> P_v(w) =\underbrace{ \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\| \cdot \|w\|}}_{=\cos(\alpha)} \cdot \|w\| \cdot \frac{v}{\|v\|} = \frac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } \cdot v </math> Der Quotient <math> \tfrac{\langle v,w\rangle}{ \|v\|^2 } </math> liefert somit den reellwertigen Streckfaktor für den <math>v</math>, um die Projektion von <math>w</math> auf <math>v</math> zu erhalten. == Orthogonalprojektion für holomorphe Funktionen == Nun überträgt man das Vorgehen aus dem <math>\mathbb{R}^2</math> auf die Menge der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> von <math>G</math> nach <math>\mathbb{C}</math> und berechnet die Orthogonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> für die beiden Vektoren <math>f, g \in \mathcal{H}(G)</math> mit: * <math>f(z):= 2\cdot z + (i+1) \cdot z^3</math> * <math>g(z):= z^2 + i\cdot z</math> === Integrationsweg === Mit <math>[0,2]\subset G</math> wählt man einen elementaren [[Integrationsweg]] <math>\gamma </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = t \end{array} </math> Der Integrationsweg hat damit die Ableitung <math>\gamma{\,}'(t)=1</math> und verläuft vom Ursprung <math>0</math> über die reelle Achse nach <math>2</math> in der Gaußschen Zahlenebene. === Skalarprodukt === Man betrachtet alle [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>\mathcal{H}(G)</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>[0,2\pi]\subset G</math>. Dann definiert man das Skalarprodukt wie folgt mit <math>\gamma(t)=t</math> und dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math> von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(\gamma(t))}\cdot g(\gamma(t)) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \cdot \underbrace{\gamma{\,}'(t)}_{=1} \, dt = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ \end{array} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 1 ==== Berechnet man zunächst <math>h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) </math>, so erhält man: :<math> h(t) = \overline{f(t)}\cdot g(t) = (t^2 + i\cdot t) \cdot \big( (1-i)\cdot t^3 + 2\cdot t\big) </math> Nun kann man von dem Polynom durch Ausmultiplizieren die Stammfunktion bestimmen: :<math> H(t) = -{{\left(5\,i-5\right)\,t^6+\left(-6\,i-6\right)\,t^5-15\,t^4-20\,i \,t^3}\over{30}} </math> ==== Berechnung - Skalarprodukt 2 ==== Durch Einsetzen der Integralgrenzen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \langle f, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{f(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{f(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} h(t) \, dt = H(2) - H(0) = H(2) \\ & = & \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung der Norm von g ==== Für die Berechnung der Norm <math>\|g\|=\sqrt{\langle g,g \rangle}</math> der Funktion <math>g</math> berechnet man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \langle g, g \rangle & = & \int_\gamma \overline{g(z)}\cdot g(z) \, dz = \int_0^{2} \overline{g(t)}\cdot g(t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} \overline{(t^2 + i\cdot t)}\cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt = \int_0^{2} (t^2 - i\cdot t) \cdot (t^2 + i\cdot t) \, dt \\ & = & \int_0^{2} t^4 + t^2 \, dt = \left[ \frac{1}{5}\cdot t^5 + \frac{1}{3}\cdot t^3 \right]_0^2 = \frac{2^5}{5} + \frac{2^3}{3} = \frac{136}{15} \in \mathbb{R} \end{array} </math> === Projekt der Funktion f auf g === Man berechnet nun zunächst die Orthonalprojektion <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math>. :<math>P_g(f) = \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g = \left( \frac{376}{15} + i\cdot \frac{16}{15} \right) \cdot \frac{15}{136} \cdot g = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g </math> Dabei liegt die Projektion von <math>P_g(f)</math> in dem von <math>g</math> aufgespannten eindimensionalen Unterraum von <math>\mathcal{H}(G)</math>. Um diese Projektion berechnen zu können, musste man zunächst <math>\| g \|^2</math> und das Skalarprodukt <math>\langle g, f \rangle</math> berechnen, um die Funktionsdarstellung der Projektion zu erhalten: :<math> P_g(f)(t):=\left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right) \cdot g(t) = \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t </math> === Orthogonale Funktion === Nun berechnet man die zu <math>g</math> orthogonal Funktion <math>f</math> über <math>f_0:=f-P_g(f)</math>, da man den projektiven Anteil <math>P_g(f)</math> von <math>f</math> auf <math>g</math> von der Funktion <math>f</math> subtrahiert: :<math> \begin{array}{rcl} f_0(t) & = & \underbrace{(2\cdot t + (i+1) \cdot t^3)}_{=f(t)} - \left( \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( - \frac{2}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \right) \\ & = & (i+1) \cdot t^3 + \left( \frac{47}{17}+i\cdot \frac{2}{17} \right)\cdot t^2 + \left( \frac{32}{17} + i\cdot \frac{47}{17} \right) \cdot t \\ \end{array} </math> === Überprüfung der Orthogonalität === Um die Orthogonalität von <math>f_0</math> und <math>g</math> zu überprüfen, berechnet man das Skalarprodukt <math>\left\langle g,f_0\right\rangle</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \left\langle g,f_0\right\rangle & = & \left\langle g,f-P_g(f)\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,P_g(f)\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,\frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot g\right\rangle = \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \left\langle g, g\right\rangle \\ & = & \left\langle g,f\right\rangle - \frac{\langle g, f \rangle}{\| g \|^2} \cdot \| g \|^2 = \left\langle g,f\right\rangle - \left\langle g,f\right\rangle = 0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Normalisierung == Normalisieren Sie dann die beiden Vektoren <math>g</math> zu <math>g_1</math> und <math>f_0</math> zu <math>f_1</math>, (also <math>\|g_1\|=\|f_1\| = 1</math>) mit <math>\langle f_1,g_1\rangle = 0</math> und überprüfen Sie, ob die Funktionen <math>f_1</math> und <math>g_1</math> den gleichen Teilraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> aufspannen wie die Ausgangsfunktionen <math>f</math> und <math>g</math> (siehe auch [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Skalarprodukt]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]] * [[w:de:Trigonometrie|Trigonometrie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion|Aufgaben zur Orthogonalprojektion]] <!-- #REDIRECT[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm#Orthogonalprojektion]] --> o9k4gqc8bybglnkju0rkatguqusnlz6 106 171940 1114327 1106233 2026-09-07T09:09:05Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1114327 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann man holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] eczfqeyfaosmczy3uja6yxhmig290oh 1114328 1114327 2026-09-07T09:10:34Z ~2026-47548-34 41860 /* Konvexkombination als holomorpher Weg */ 1114328 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) = +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dv2pw1ajdi5sk3wz1bl426py5qv3fdj 1114329 1114328 2026-09-07T09:11:41Z ~2026-47548-34 41860 /* Wege mit Spur als Ellipse */ 1114329 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, sind [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jinud052zzeaxjsdsmy6sr5472lwhm1 1114330 1114329 2026-09-07T09:12:35Z ~2026-47548-34 41860 /* Wege mit Spur als Ellipse */ 1114330 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffiziente <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hm2ss7clp8uezi0lqeo43mqaqotvqs3 1114331 1114330 2026-09-07T09:12:56Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe - Ellipse */ 1114331 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dvbvehq74scuk8u8jkkzhvly2q9yvyg 1114332 1114331 2026-09-07T09:13:51Z ~2026-47548-34 41860 /* Holomorphe Wege */ 1114332 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] iouzrb5b00x9qqbl69c1xk89d7dp16w 1114333 1114332 2026-09-07T09:14:17Z ~2026-47548-34 41860 /* Differentialgleichung und Potenzreihen */ 1114333 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hojqfqrynh46jpnnhv8e1539ig73tg8 1114334 1114333 2026-09-07T09:15:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Wege als Potenzreihen */ 1114334 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] amyvwiw9xg5wxbbtxj2wmav85ueodng 1114335 1114334 2026-09-07T09:15:31Z ~2026-47548-34 41860 /* Wege als Laurentreihen */ 1114335 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten in <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] i2eizwpbhk5uhinxhcuoi63pd1bue7b 1114336 1114335 2026-09-07T09:16:16Z ~2026-47548-34 41860 /* Wege als Laurentreihen */ 1114336 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e9mgmlggmewcfjxfe0tn96uf3q025i3 1114337 1114336 2026-09-07T09:17:05Z ~2026-47548-34 41860 /* Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 */ 1114337 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e2tccasgzzwwrmuq7wa8fjoyvfww54i 1114338 1114337 2026-09-07T09:20:21Z ~2026-47548-34 41860 /* Differentialgleichung und Potenzreihen */ 1114338 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fs5ensgkklbmpv9zbpnfc9urmkyoj93 1114339 1114338 2026-09-07T09:22:26Z ~2026-47548-34 41860 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 */ 1114339 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8kukctc4lwzx6oeuw1iy7wcbbbjryip 1114340 1114339 2026-09-07T09:41:10Z ~2026-47548-34 41860 /* Monome als Vektorfeld */ 1114340 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}_0}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p3vhn11tl7qc9efszrz29cp7r8iga18 1114341 1114340 2026-09-07T09:43:46Z ~2026-47548-34 41860 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 */ 1114341 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}_0}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Sind <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgeleg, so bestimmt man nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dlftx2oivum4xuwg3pnyguwkf8ehs7t 1114342 1114341 2026-09-07T09:44:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 */ 1114342 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}_0}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Sind <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgeleg, so bestimmt man nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q41lh8z7e4ni7qd2tpx5zh95uhga18d 1114343 1114342 2026-09-07T09:44:42Z ~2026-47548-34 41860 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 */ 1114343 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}_0}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Sind <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt, so bestimmt man nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> und Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dm3n0xzda3kezzp08vff9rf6vy3y7qj 1114344 1114343 2026-09-07T09:45:19Z ~2026-47548-34 41860 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 */ 1114344 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit sind nicht nur die [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfelder]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> holomorphe Funktionen, sondern auch die gesuchten Wege <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen <math>\gamma_{_U}:U\to \mathbb{C}</math>, die lediglich auf dem Intervall <math>[a,b]\subset U</math> ausgewertet werden. === Konvexkombination als holomorpher Weg === Eine [[Konvexkombination]] kann eine holomorphe ganze Funktion darstellen, die lediglich in dem Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. Es gilt für eine Konvexkombination 1. Ordnung mit <math>t\in [0,1]</math> und <math>z_0 = 0</math>: :<math> \gamma_1(t)= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 =\underbrace{(z_2-z_1)}\cdot (t-z_0)^1 + z_1\cdot (t-z_0)^0 </math> Analog ist eine Konvexkombination <math>n</math>-Ordung als Polynom vom Grad <math>n</math> eine ganze Funktion, die lediglich in dem reellen Intervall <math>[0,1]</math> ausgewertet wird. === Wege auf Kreisbahnen als Potenzreihen === Bei der [[Cauchy-Integralformel]] integriert man über Kreisränder. Auch diese Standardwege <math>\gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> sind holomorphe Funktionen, die in einem Intervall ausgewertet werden. Diese lassen sich auch als [[Potenzreihe|Potenzreihen]] darstellen: :<math>\gamma_2(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> === Wege mit Spur als Ellipse === Auch <math>\gamma_3 : [0,2\pi]\to \mathbb{C}</math>, dessen Spur eine [[w:de:Ellipse|Ellipse]] bildet, ist eine [[Holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]], denn es gilt mit <math>r_1,r_2 > 0</math>: :<math>\gamma_3(t) = z_0+r_1 \cdot \cos(t) +r_2 \cdot i \cdot \sin(t)</math> ==== Aufgabe - Ellipse ==== Bestimmen Sie die Koeffizienten <math>p_k\in \mathbb{C}</math> der Potenzreihendarstellung von <math>\gamma_3</math> mit <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\gamma_3(t) = \underbrace{(z_0 + r_1)}_{=p_0} \cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty p_k \cdot t^k </math> == Holomorphe Wege == Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> entsteht. == Differentialgleichung und Potenzreihen == Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichungen, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Potenzreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzen, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset U \subset \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge <math>U</math>, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_U}(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt zusätzlich eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma_{_U}(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> == Wege als Laurentreihen == Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzten, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine meromorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma_{_G}(t)</math> eine stetig differenzierbare Funktion auf <math>[a,b]</math>, wenn die Pole der Funktion <math>\gamma_{_G}</math> nicht in <math>[a,b]</math> liegen und es gibt eine [[Laurent-Reihe|Laurentreihendarstellung]] von <math>\gamma_{_G}</math> mit Koeffizienten <math>b_k \in\mathbb{C}</math> und einem Pol <math>n</math>-ter Ordnung in <math>z_0\in G</math> mit <math>z_0\notin [a,b]</math>: :<math> \gamma_{_G}(z) := \sum_{k=-n}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> === Beispielweg als Laurentreihe === Der folgende Weg <math>\gamma_4 : [a,b] \to \mathbb{C}</math> hat mit <math>c \in\mathbb{C}</math> zwei [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] in <math>+2i,-2i\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_4 : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_4(t) = \frac{c}{z^2+4} = \frac{c}{(z+2i)\cdot (z-2i)} \end{array} </math> === Aufgabe - Laurentreihen === Stellen Sie den Weg <math>\gamma_4 </math> für unterschiedliche Entwicklungspunkte <math>z_0</math> als Laurent-Reihe dar: * <math>z_0=+2i</math> und <math>z_0=-2i</math> * <math>z_0 = 0</math> mit <math>[a,b] := [-1,+1]</math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 == Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> == Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 == Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> == Ableitung von Wegen als Potenzreihen == Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. == Monome als Vektorfeld == Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}_0}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> == Differentialgleichung und Potenzreihen == Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> == Bemerkung - Anwendung Identitätssatz == In der obigen Gleichung werden zwei holomophe Funktionen verwendet. Nach dem Identitätssatz müssten die Koeffizienten der Potenzreihendarstellung bei gleichem Entwicklungspunkt übereinstimmen. == Konstante der Potenzreihen == Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> als Koeffizient eines holomorphen Weges <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> und <math>G</math> als [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] automatisch bestimmt. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 == Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau drei Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies liefert <math>b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1</math> wegen: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} </math> == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 - Lösbarkeit == Es werden dabei zwei Fälle betrachtet: * '''(F1b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. * '''(F2b0)''' Wenn <math> b_0 = z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. == Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 3 == Sind <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt, so bestimmt man nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}_0^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math> nach Zusammenfassung der einzelnen Terme: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> == Fallunterscheidung - für 3. Potenz == Betrachtet man nun die vorherige Fallunterscheidung für <math>b_0</math>, so erhält man: * '''(F1b0)''' <math>b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 = 0</math>, dann gilt <math>3\cdot b_0^2 \not= 1</math>: ::<math> b_2 = \underbrace{\overbrace{3\cdot b_0^2}^{\not= 1} \cdot b_2}_{3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0} \Longrightarrow b_2 = 0 </math> * '''(F1b1)''' <math>b_0 =z_a = \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> und <math>b_1 \in \mathbb{C}</math>, dann muss auch <math>b_1=0</math> sein und es gilt: ::<math> b_2 = b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 = b_2 + \underbrace{3\cdot b_1^2 \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}}}_{=0} </math> == Aufgabe für Studierende == Gibt es für die obige Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t):=(\gamma(t))^3</math> einen holomorphen Integrationsweg <math>\gamma_{_G}:G \to \mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> mit <math>\gamma(t) = \gamma_{_G}(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>, der nicht konstant ist? Wie kann man die Differentialgleichung lösen? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] djvwlrhzg7nqsahn15492j0wph2wft5 106 171941 1114345 1106304 2026-09-07T09:47:38Z ~2026-47548-34 41860 /* Veranschaulichung Vektorfeld */ 1114345 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1}\cdot z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortlinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg für eine Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg allgemein für eine Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] g791wlx6er1fhhtl4wb93ti7a4fxwe1 1114346 1114345 2026-09-07T09:50:01Z ~2026-47548-34 41860 /* Darstellung des Weges in Geogebra */ 1114346 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1}\cdot z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortslinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg für eine Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg allgemein für eine Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] so4grycjq831oxdz8db3hrac5abxo4v 1114347 1114346 2026-09-07T09:53:33Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe 2 - Verallgemeinerung */ 1114347 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1}\cdot z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortslinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie den Weg <math>\gamma<math\> für ein Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch die meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg allgemein für eine Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] r44j7h57oq7w0nybb9npgmsqfng6elo 1114348 1114347 2026-09-07T09:54:03Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe 2 - Verallgemeinerung */ 1114348 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1}\cdot z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortslinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie den Weg <math> \gamma</math> für ein Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch die meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie Weg allgemein für eine Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] nvdrxzh1zyxinrkiaxfxl5vwc23artk 1114349 1114348 2026-09-07T09:54:39Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe 3 - Verallgemeinerung */ 1114349 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a</math> ist einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt, das durch einen [[holomorphe Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> beschrieben wird. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1}\cdot z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortslinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie den Weg <math> \gamma</math> für ein Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch die meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie den Weg allgemein für ein Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] lgjm53me0kjm0yowp7d6z8kgwr9a8cs 106 172152 1114385 1109291 2026-09-07T11:40:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung / Hilfe */ 1114385 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Man betrachtet nun eine abzählbare Punktmenge <math>\mathcal{A}:=\{\alpha_n \ : \ n\in \mathbb{N}_0 \}\subset G</math> mit einem Häufungspunkt <math>\alpha_o\in \mathcal{A}</math> in dem Gebiet <math>G</math>. == Satz - Punktauswertungsraum als Semihilbertraum == Sei <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> ein beliebiges Gebiet und <math>\mathcal{H}(G)</math> die Menge aller holomorphen Funktionen von <math>G</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann ist für alle <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> die Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon \mathcal{H}(G) \times \mathcal{H}(G) \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>\mathcal{H}(G)</math> und das System. === Bemerkung === Das System von Semi-Skalarprodukten induziert eine [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie. Die von dem abzählbaren Menge an Semi-Skalarprodukten erzeugt Topologie trennt die holomorphen Funktionen (d.h. <math>\mathcal{H}(G)</math> ist ein [[Hausdorff-Raum]]). Die Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>z \in G</math> und nicht nur alle <math>\alpha \in \mathcal{A}\subset G</math>. == Aufgabe für Studierende == Beweisen Sie, dass der obige Funktionenraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> eine unitärer Semihilbertraum ist. === Bemerkung / Hilfe === Für die Trennungseigenschaft (d.h. <math>\mathcal{H}(G)</math> ist ein [[Hausdorff-Raum]]) verwenden Sie den [[Identitätssatz]], weil <math>\alpha_o \in \mathcal{A}\subset G</math> einen Häufungspunkt der Menge <math>\mathcal{A}</math> in <math>G</math> ist. == Siehe auch == * [[Hausdorff-Raum]] * [[Identitätssatz]] * [[Semi-Hilbertraum]] * [[Semi-Skalarprodukt]] iu401xlcx6dwkqzecss1pdp8nq01i61 1114386 1114385 2026-09-07T11:41:35Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung / Hilfe */ 1114386 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Man betrachtet nun eine abzählbare Punktmenge <math>\mathcal{A}:=\{\alpha_n \ : \ n\in \mathbb{N}_0 \}\subset G</math> mit einem Häufungspunkt <math>\alpha_o\in \mathcal{A}</math> in dem Gebiet <math>G</math>. == Satz - Punktauswertungsraum als Semihilbertraum == Sei <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> ein beliebiges Gebiet und <math>\mathcal{H}(G)</math> die Menge aller holomorphen Funktionen von <math>G</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann ist für alle <math>\alpha\in \mathcal{A}</math> die Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon \mathcal{H}(G) \times \mathcal{H}(G) \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>\mathcal{H}(G)</math> und das System. === Bemerkung === Das System von Semi-Skalarprodukten induziert eine [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie. Die von dem abzählbaren Menge an Semi-Skalarprodukten erzeugt Topologie trennt die holomorphen Funktionen (d.h. <math>\mathcal{H}(G)</math> ist ein [[Hausdorff-Raum]]). Die Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>z \in G</math> und nicht nur alle <math>\alpha \in \mathcal{A}\subset G</math>. == Aufgabe für Studierende == Beweisen Sie, dass der obige Funktionenraum der holomorphen Funktionen <math>\mathcal{H}(G)</math> eine unitärer Semihilbertraum ist. === Bemerkung / Hilfe === Für die Trennungseigenschaft (d.h. <math>\mathcal{H}(G)</math> ist ein [[Hausdorff-Raum]]) verwenden Sie den [[Identitätssatz]], weil <math>\alpha_o \in \mathcal{A}\subset G</math> ein Häufungspunkt der Menge <math>\mathcal{A}</math> in <math>G</math> ist. == Siehe auch == * [[Hausdorff-Raum]] * [[Identitätssatz]] * [[Semi-Hilbertraum]] * [[Semi-Skalarprodukt]] l6bfqtrpqthzuj32770suokkl7rpnnd