Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1115044 1114891 2026-10-01T09:29:29Z Bert Niehaus 20843 /* Holormorphe Funktionen als Hilbertraum */ 1115044 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#negativ|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#imaginaer|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als '''Skalarprodukt''' auf einem Teilraum von '''holomorphen Funktionen''' interpretiert und genauer untersucht. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> flvmyxjjvmycywrjcmzau3hyfh9llcu 1115045 1115044 2026-10-01T09:53:36Z Bert Niehaus 20843 /* Holormorphe Funktionen als Hilbertraum */ 1115045 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral%20ohne%20Wegableitung&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] ** [[/Cauchy-Schranke für Nullstellen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' === Polynomialer Nullstellensatz === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#negativ|negativer Hauptzweig des Logarithmus]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus#imaginaer|imaginärer Hauptzweig des Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/logmod|logmod-Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rmod|rlog-Funktion]] * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[Polynomialer Nullstellensatz]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] === Integralkorrespondenzsatz === Mit dem Integralkorrespondenzsatz wird ein Zusammenhang zwischen Standardintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> und [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Integralen]] ohne Wegableitung hergestellt. * [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[/Injektivitätslemma für Wege/]] * [[/Spurüberdeckungslemma/]] * [[/Integralkorrespondenzsatz/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == In diesem optionalen Teil der Lehrveranstaltung wird ein Wegintegral als [[Skalarprodukt]] auf einem Teilraum von [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] interpretiert und genauer untersucht. Dabei werden Anforderungen an den [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> definiert, damit das zugehörige Wegintegral ein [[Skalarprodukt]] auf einem [[Funktionenraum]] definiert. Damit erhalten diese holomorphen Funktionen eine geometrische Hilbertraumstruktur, in der der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] oder der [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Funktionalanalysis/Satz des Thales]] gilt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orthogonalprojektion]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukte für holomophe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 7kp9ddh0co40491i4stvqa2g6bvzzkw 3 39908 1114965 1114009 2026-09-30T18:36:23Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* This Month in Education: September 2026 */ 1114965 wikitext text/x-wiki == Hinweis == FYI: Du hast Mail. :)--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 13:43, 30. Mär. 2013 (CET) * Hallo, ich stelle meine Inhalte von Moodle gerne zur Verfügung! Was müsste ich denn tun? Und ich habe heute bereits begonnen, mit anderen KollegInnen zu sprechen. --[[Benutzer:Birkenkrahe|msb]] ([[Benutzer Diskussion:Birkenkrahe|Diskussion]]) 17:56, 11. Apr. 2013 (CEST) ::Das einfachste wäre es, Kontakt mit Jan Luca aufzunehmen, dass er aus einer Sicherung eines ersten Moodle-Kurses eine Kopie in der moodle-Sandbox des WMFlabs-Servers implementiert. So habe ich es mit meinem Kurs "Freies Wissen" gemacht. Ich würde mir den Kurs dann ansehn; dann sollten wir eine Strategie entwickeln, welche Inhalte in welcher Form auf Wikiversity kopiert und dann zur Integration in Kurse anderer Nutzer integriert werden können. Aus diesem Beispiel könnten wir dann eine Kurzanleitung für das uploaden von Kursinhalten entwickeln. --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 12:32, 12. Apr. 2013 (CEST) :::Unser plugin in Moodle selbst funktioniert jetzt, d.h. wir können Wikiversity-Inhalte in Moodle anbieten. Das ist eigentlich genau das, was ich brauche. Unsere IT sagt: «das PlugIn funktioniert. Ihr könnt es Euch hier anschauen: (...) Nach Rücksprache mit D würden wir es auf das Produktivsystem übernehmen, sobald das Plugin reviewed und über Moodle.org verfügbar ist. Es handelt sich hier technisch gesehen um einen Filter, der Performanceeinbußen hervorrufen könnte – wir behalten das also im Blick. ;-)»--[[Benutzer:Birkenkrahe|msb]] ([[Benutzer Diskussion:Birkenkrahe|Diskussion]]) 15:07, 24. Apr. 2013 (CEST) == This Month in Education: April 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 4, April 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Survey research and design in psychology - Example of a Wikiversity resource|Survey research and design in psychology - Example of a Wikiversity resource]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2013/Wikimedia Argentina's educational strategic plan|Wikimedia Argentina's educational strategic plan]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Wikiversity and Moodle|Wikiversity and Moodle]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Czech program flourishes|Czech program flourishes]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Egypt program celebrates end of second term|Egypt program celebrates end of second term]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:35, 15. Apr. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0414 --> =@Löschvorgang= ''Hallo Chi-Vinh, von Dir wurde in 2011 der [[Kurs:Advanced_Corporate_Finance]],[[Kurs:Business_English_1]] angelegt. Die Seite ist allerdings leer. Kann die Seite gelöscht werden? --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 09:30, 13. Mai 2013 (CEST)'' Die Inhalte sind in den Menüpunkten. Können wir es zu meiner Benutzerseite verschieben ? [[Benutzer:Chi-Vinh|Chi-Vinh]] ([[Benutzer Diskussion:Chi-Vinh|Diskussion]]) 01:10, 15. Mai 2013 (CEST) == This Month in Education: May 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 5, May 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/First ever medical school education program pilot begins at UCSF|First ever medical school education program pilot begins at UCSF]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/7th grade Wikipedia project in Geneva|7th grade Wikipedia project in Geneva]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Wiki Education Foundation proposed|Wiki Education Foundation proposed]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Wikiversity-Moodle project is moving on|Wikiversity-Moodle project is moving on]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Principles of radiation astronomy in Wikiversity|Principles of radiation astronomy in Wikiversity]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Trophy Case highlights good student work|Trophy Case highlights good student work]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 19:00, 15. Mai 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0449 --> == This Month in Education: June 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 6, June 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Growing contributions from wikiArS initiative|Growing contributions from wikiArS initiative]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/German Wikiversity continues its relaunch|German Wikiversity continues its relaunch]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/English Wikipedia program seeks Ambassadors|English Wikipedia program seeks Ambassadors]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Italian nursing students and Wikipedia|Italian nursing students and Wikipedia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 16:15, 17. Jun. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0492 --> == This Month in Education: July 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 7, July 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013/Students' articles nominated for Featured Article|Students' articles nominated for Featured Article]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 00:45, 17. Jul. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0526 --> == This Month in Education: August 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 8, August 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/EduWiki Conference 2013 - Call for Proposals|EduWiki Conference 2013 - Call for Proposals]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/The Singapore Management University Constitutional and Administrative Law Wikipedia Project – putting accurate and free information about Singapore law on the Internet|The Singapore Management University Constitutional and Administrative Law Wikipedia Project – putting accurate and free information about Singapore law on the Internet]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Videos from Open Educational Resources conference|Videos from Open Educational Resources conference]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Welcome to Sophie Österberg and Tighe Flanagan|Welcome to Sophie Österberg and Tighe Flanagan]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. 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Aug. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0561 --> == This Month in Education: September 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 9, September 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Wikimania pre-conference draws crowd|Wikimania pre-conference draws crowd]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Student leader achieves Featured Article|Student leader achieves Featured Article]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Spanish-as-a-foreign-language students at ITESM-Mexico City Campus upload photographs on Mexico to Commons|Spanish-as-a-foreign-language students at ITESM-Mexico City Campus upload photographs on Mexico to Commons]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. 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Sep. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0585 --> == This Month in Education: October 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 10, October 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Students to Uganda, Swedish for Immigrants, university staff and researchers and a group of principals|Students to Uganda, Swedish for Immigrants, university staff and researchers and a group of principals]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Connect with others using Wikipedia in education – invitation to EduWiki Conference 2013|Connect with others using Wikipedia in education – invitation to EduWiki Conference 2013]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Two project starts in October for Tec de Monterrey, Mexico City campus|Two project starts in October for Tec de Monterrey, Mexico City campus]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/WikiProject Open launches on English Wikipedia|WikiProject Open launches on English Wikipedia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Demystifying Wikipedia at Singapore Management University|Demystifying Wikipedia at Singapore Management University]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Provide feedback on Welcome to Wikipedia brochure|Provide feedback on Welcome to Wikipedia brochure]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 21:10, 15. Okt. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0605 --> == This Month in Education: November 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 11, November 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/EduWiki Conference 2013 convenes in Cardiff|EduWiki Conference 2013 convenes in Cardiff]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Notes from Tec de Monterrey-Mexico City Campus|Notes from Tec de Monterrey-Mexico City Campus]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/"Students Write Wikipedia" in the Czech Republic again|"Students Write Wikipedia" in the Czech Republic again]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Plagiarism study results released|Plagiarism study results released]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/More than 50 gather to celebrate third Egypt term|More than 50 gather to celebrate third Egypt term]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Feedback sought on new Welcome to Wikipedia draft|Feedback sought on new Welcome to Wikipedia draft]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Wikimedia Diversity Conference 2013 in Berlin|Wikimedia Diversity Conference 2013 in Berlin]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:35, 18. Nov. 2013 (CET) </div> <!-- EdwardsBot 0655 --> == This Month in Education: December 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 12, December 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/International Seminar Wikipedia and University: Research and Teaching Experiences|International Seminar Wikipedia and University: Research and Teaching Experiences]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Final report on "Silberwissen" available in English|Final report on "Silberwissen" available in English]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Planning the future of course pages|Planning the future of course pages]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Day of the Dead photo contest winners|Day of the Dead photo contest winners]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]].</div> |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=6449078 --> == This Month in Education: January 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 1, January 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Wikimedia Deutschland starts alliance for Open Educational Resources (OER) Berlin discusses introduction of OER in schools|Wikimedia Deutschland starts alliance for Open Educational Resources (OER); Berlin discusses introduction of OER in schools]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Next EduWiki conference slated for Serbia|Next EduWiki conference slated for Serbia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Presentation on Wikipedia at the 8th Congress of Innovation and Educational Technology in Monterrey, Mexico|Presentation on Wikipedia at the 8th Congress of Innovation and Educational Technology in Monterrey, Mexico]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Presentation on Wikipedia at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne|Presentation on Wikipedia at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. </div> |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=6946416 --> == This Month in Education: February 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 2, February 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wikimania still accepting submissions for Education related presentations|Wikimania still accepting submissions for Education related presentations]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wikimedia Deutschland: Summany of activities in January 2014|Wikimedia Deutschland: Summany of activities in January 2014]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wiki Borregos begin Spring 2014 projects|Wiki Borregos begin Spring 2014 projects]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Free online course: Writing Wikipedia Articles|Free online course: Writing Wikipedia Articles]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Turning senior Czech citizens into Wikipedians|Turning senior Czech citizens into Wikipedians]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Editing Wikipedia brochure helps newbies learn basics|Editing Wikipedia brochure helps newbies learn basics]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/New features for course pages released|New features for course pages released]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Interactive elements added to editing tutorials|Interactive elements added to editing tutorials]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=7433275 --> == This Month in Education: March 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 3, March 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Education Cooperative Kickoff Meeting in Prague|Education Cooperative Kickoff Meeting in Prague]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Frank Schulenburg selected as Wiki Ed executive director|Frank Schulenburg selected as Wiki Ed executive director]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in February 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in February 2014]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Teaching students to use Wikipedia critically as a first source in research|Teaching students to use Wikipedia critically as a first source in research]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Welcome, Floor Koudijs!|Welcome, Floor Koudijs!]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=7867845 --> == This Month in Education: April 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/April 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 4, April 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Consolidation of Portals and newsletter for the Global Education Program|Consolidation of Portals and newsletter for the Global Education Program]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Remembering Adrianne Wadewitz|Remembering Adrianne Wadewitz]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Remembering Cynthia Ashley-Nelson|Remembering Cynthia Ashley-Nelson]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Engineering students in Panama work on Spanish Wikipedia|Engineering students in Panama work on Spanish Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Jisc/ Wikimedia UK partnership|Jisc/ Wikimedia UK partnership]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Wikimedia Sverige: New resource for Swedish teachers on Wikiversity|Wikimedia Sverige: New resource for Swedish teachers on Wikiversity]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in March 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in March 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Happenings at Tec de Monterrrey, Mexico City Campus|Happenings at Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Educational programming continues on Wikinews|Educational programming continues on Wikinews]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Welcome, Anna Koval!|Welcome, Anna Koval!]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Exploratory research started for setting up a Wikpedia Education program in the Netherlands|Exploratory research started for setting up a Wikipedia Education program in the Netherlands]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/LiAnna Davis joins Wiki Ed as head of communications and external relations|LiAnna Davis joins Wiki Ed as head of communications and external relations]] </div></div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[User:AKoval (WMF)|Anna Koval (WMF)]] ([[user talk:AKoval (WMF)|talk]]) 23:45, 15. Apr. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8163849 --> == This Month in Education: May 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/May 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 5, May 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wiki Camp 2014 at Vanadzor|Wiki Camp 2014 at Vanadzor]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/EduWiki Conference in Belgrade 2014|EduWiki Conference in Belgrade 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Participation of "Servicio Social" students in Wikipedia grows at Tec de Monterrey|Participation of "Servicio Social" students in Wikipedia grows at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in April 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in April 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wikimedia Sverige: Meeting the educators|Wikimedia Sverige: Meeting the educators]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Egyptian students and professors celebrate last term's accomplishments|Egyptian students and professors celebrate last term's accomplishments]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] </div></div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:08, 15. Mai 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8517082 --> == This Month in Education: June 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 18pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/June 2014|<font color="black">This Month in Education – Volume 3, Issue 6, June 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 15pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 15pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikipedia Education Project in Uruguay|Wikipedia Education Project in Uruguay]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Sanothimi Campus celebrates 12 years of Nepali Wikipedia|Sanothimi Campus celebrates 12 years of Nepali Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikipedia Primary School Project|Wikipedia Primary School Project]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Israeli Ministry of Education and Wikipedia collaboration: teachers and students will be trained to write Wikipedia articles|Israeli Ministry of Education and Wikipedia collaboration: teachers and students will be trained to write Wikipedia articles]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Serbia teacher education course accredited by the Republic of Serbia|Wikimedia Serbia teacher education course accredited by the Republic of Serbia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Geneva education department produces two films on Wikipedia editing by students|Geneva education department produces two films on Wikipedia editing by students]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Busy 2014 for Education at Wikimedia UK, so far|Busy 2014 for Education at Wikimedia UK, so far]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Getting ready for WikiCamp 2014 Armenia|Getting ready for WikiCamp 2014 Armenia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/News from Tec de Monterrey, Mexico City Campus|News from Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in May 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in May 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Czech senior citizen program supported by a WMF grant|Czech senior citizen program supported by a WMF grant]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Sverige: Classrooms and ambassadors|Wikimedia Sverige: Classrooms and ambassadors]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wiki Education Foundation attends WikiConference USA|Wiki Education Foundation attends WikiConference USA]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Update on the education portal|Update on the education portal]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] </div></div> |- | style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;" | <center><small>'''[[outreach:Education/Newsletter/June_2014/Highlights|Highlights]] {{·}} [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Single|Single page edition]]'''</small></center> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 90%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 07:12, 16. Jun. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|please update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8872797 --> == This Month in Education: July 2014 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr/> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2014|<font color="black">This Month in Education – Volume 3, Issue 7, July 2014</font>]]</div> <hr /> <div style="text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July_2014|Headlines]] • [[outreach:Education/Newsletter/July_2014/Highlights|Highlights]] • [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Single|Single page edition]]</div> <hr/> <br> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Macedonian internet marketing students learn about Wikipedia and suggest ways to improve its fundraising|MACEDONIA: Internet marketing students learn about Wikipedia and suggest ways to improve its fundraising]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Haifa University students write Wikipedia articles for academic credit|ISRAEL: Haifa University students write Wikipedia articles for academic credit]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Editing about Literary Theory in UNAM|MEXICO: Editing about Literary Theory in UNAM]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Professor training continues as part of the Wiki Learning program|MEXICO: Professor training continues as part of the Wiki Learning program]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Czech education program presented at BarCamp, a free conference of Czech language|CZECH REPUBLIC: Education program presented at BarCamp]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in June 2014|GERMANY: Wikimedia Deutschland June Activities]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/6th International Integrity and Plagiarism Conference|UK: 6th International Integrity and Plagiarism Conference]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/VLE content reuse at Wikimania|UK: VLE content reuse at Wikimania]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/The Wikipedia Library|TWL: The Wikipedia Library]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Wikimedia Learning & Evaluation will launch a quarterly newsletter|WMF: Learning & Evaluation to publish quarterly newsletter]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Updates from Wikipedia Education Program and the Education Collaborative|WMF: Updates from the Wikipedia Education Program and the Wikipedia Education Collaborative]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Brazil, South Africa, The Signpost, and more]] </div> <div style="padding: 0.5em; text-align: center; font-size: 0.9em;"><br> To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|in the archives]]. </div></div></div> 16:07, 15. Jul. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9198271 --> == ''This Month in Education'': August 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Wikimania: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Education at Wikimania|Education at Wikimania]] * U.S & Canada: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/U.S. and Canada Program Spring 2014 wrap-up|U.S. and Canada Program Spring 2014 wrap-up]] * Taiwan: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Taiwan dreams of Open Knowledge|Wikimedia Taiwan dreams of Open Knowledge]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Vanadzor again welcomes WikiCamp|Vanadzor, Armenia again welcomes WikiCamp]] * Netherlands: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Pilot project by Wikimedia Nederland|Education pilot projects by Wikimedia Nederland]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Sweden creates Open Badges|Wikimedia Sverige creates Open Badges for education program]] * Germany: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Deutschland's July report|Wikimedia Deutschland's July education activities]] * Tech: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/VisualEditor for students|VisualEditor for students and educators]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Israel, India, Armenia, Ukraine]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 23:39, 19. Aug. 2014 (CEST) </div></div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9576931 --> == ''This Month in Education'': September 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Wikipedia Education Collaborative welcomes five new members|Wikipedia Education Collaborative welcomes five new members]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Wikimedia Deutschlands recent activities: events, events and more events|Wikimedia Deutschlands recent activities: events, events and more events]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Working with Wikipedia expands at Tec de Monterrey|Working with Wikipedia expands at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Digital agenda for education and open badges to be tested|Digital agenda for education and open badges to be tested]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Most successful Czech course continues again this year|Most successful Czech course continues again this year]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 17:19, 17. Sep. 2014 (CEST) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9888493 --> == This Month in Education: October 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Swedish teacher wins national award for teaching with Wikimedia projects|Sweden: Swedish teacher wins national award for teaching with Wikimedia projects]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Greek university giving credit for translation of Wikipedia articles|Greece: Greek university giving credit for translation of Wikipedia articles]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Wikipedia in Secondary and Adult Education: presentation at CIE2014 in Corfu, Greece|Greece: Wikipedia in Secondary and Adult Education: presentation at CIE2014 in Corfu, Greece]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Wikicamp 2014 in Serbia and Hungary brings chapters together|Serbia & Hungary: Wikicamp 2014 in Serbia and Hungary brings chapters together]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Bulgarian students will explore Wikipedia in a new lecture course on "New Media and Participatory Culture"|Bulgaria: Bulgarian college students will explore Wikipedia in a new lecture course on "New Media and Participatory Culture"]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Bulgarian college teachers "became nodes" in the Wikipedia Network|Bulgaria: Bulgarian college teachers "became nodes" in the Wikipedia Network]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/9th grade students in Be'er Sheva, Israel conclude a year-long project on Wikipedia|Israel: 9th grade students in Be'er Sheva, Israel conclude a year-long project on Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/New classes and activities at Tec de Monterrey|Mexico: New classes and activities at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Catalan Wikipedia|Catalonia: Education Program Extension enabled on Catalan Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Ukrainian Wikipedia|Ukraine: Education Program Extension enabled on Ukrainian Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Dutch Wikipedia|Netherlands: Education Program Extension enabled on Dutch Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Data Collection Round II has started: be part|WMF: Data Collection Round II has started: be part]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Poland, Philippines, United States, WikiProject Medicine, Jimmy Wales, and more]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/October_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:55, 3. Dez. 2014 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10450833 --> == This Month in Education: November 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Wikimedia France obtains an agreement from the French Ministry of Education|France: Wikimedia France obtains an agreement from the French Ministry of Education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Tec de Monterrey wrapping up semester projects|Mexico: Tec de Monterrey wrapping up semester projects]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/A student in Mexico makes the best of her study to edit Wikipedia|Mexico: A student in Mexico makes the best of her study to edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Egyptian Student invites his colleagues at Al-Azhar University to edit Wikipedia|Egypt: Egyptian Student invites his colleagues at Al-Azhar University to edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Successful Wikipedia assignments presented by faculty at national conference in Sweden|Sweden: Successful Wikipedia assignments presented by faculty at national conference in Sweden]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Wikipedia Education Collaborative members meet in Edinburgh|Global: Wikipedia Education Collaborative members meet in Edinburgh]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Iberoconf discusses Wikipedia in education|Global: Iberoconf discusses Wikipedia in education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Welcoming new WMF staff supporting education|Global:Welcoming new WMF staff supporting education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: MIT, Myanmar, and Jimmy Wales]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/November_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:57, 3. Dez. 2014 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10450833 --> == This Month in Education: December 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Wikipedia Education Program Celebration in Uruguay|Wikipedia Education Program Celebration in Uruguay]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Egyptian students wrap up their 5th term on Wikipedia with great success|Egyptian students wrap up their 5th term on Wikipedia with great success]] * Serbia: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/First Wikipedia Ambassador at the University of Belgrade|First Wikipedia ambassador at the University of Belgrade]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Swedish Wikimini 1 year anniversary|Swedish Wikimini 1 year anniversary]] * UK: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Wikimedia UK processing EduWiki 2014|Wikimedia UK processing EduWiki 2014]] * Regional: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Eastern European education programs presented at regional conference|Eastern European education programs presented at regional conference]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Korea, Australia, the Gender Gap, the Wikipedia Library, WikiProject Medicine, Adrianne Wadewitz, Jimmy Wales, and Wikibombs]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:27, 6. Jan. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10863442 --> == This Month in Education: [January 2015] == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Young Czech scientists upload pictures at Fluorescent Night|Young Czech scientists upload pictures at Fluorescent Night]] * India: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/100+ Indian college students will contribute to Wikipedia to support national pilgrimage|100+ Indian college students will contribute to Wikipedia to support national pilgrimage]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Master students design prototypes for categorizing images on Wikimedia Commons|Master students design prototypes for categorizing images on Wikimedia Commons]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Wikipedia Education Program expands to new campuses in Cairo|Wikipedia Education Program expands to new campuses in Cairo]] * Syria: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Pilot Wikipedia Education Program in Syria|Pilot Wikipedia Education Program in Syria]] * Wikimania: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Get a scholarship to attend Wikimania 2015 and discuss education with the worldwide movement|Get a scholarship to attend Wikimania 2015 and discuss education with the worldwide movement]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Wiki Learning expands to three campuses at Tec de Monterrey|Wiki Learning expands to three campuses at Tec de Monterrey]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Open Badges in the Education Program in Sweden|Open Badges in the Education Program in Sweden]] * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Senior citizens learn to edit Wikipedia in the Czech Republic|Senior citizens learn to edit Wikipedia in the Czech Republic]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Egypt, India, Armenia, Books, Jimmy Wales, and more]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/January_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 05:16, 1. Feb. 2015 (CET) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11078510 --> == This Month in Education: [February 201 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Wikimedia Armenia run WikiCamps with great success|Wikimedia Armenia runs WikiCamps with great success]] * Greece: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Greek adult school starts a project on writing articles in Wikipedia|Corfu adult school piloting WikiExpeditions and article writing on Wikipedia]] * Serbia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Serbian high school student advocates for the Education Program|High school student advocates for Education Program]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Education Program in Sweden succeeds with high school students|Education Program succeeds with high school students]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Armenian students contribute more than 300,000 bytes to Armenian Wiktionary in a month|WikiClub contributes more than 300,000 bytes to Armenian Wiktionary in a month]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New campus ambassador serving a new translation class in Egypt's Education Program|New campus ambassador and new Chinese translation class]] * Resources: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New education toolkit to help program leaders develop their programs at all levels|New education toolkit helps program leaders develop their programs]] * Resources: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New education learning patterns answer many of your questions|New education learning patterns answer many of your questions]] * Communications: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Wikipedia Education Program is now on Facebook|Wikipedia Education Program is now on Facebook]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Australia, Ireland, Black History Month, WikiWomen and Jimmy Wales]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/February_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> <noinclude>[[Category:This Month in Education]]</noinclude> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:25, 28. Feb. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11318733 --> == This Month in Education: March 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/A new edition of Wikipedia Education Program kicks off in Uruguay|A new edition of Wikipedia Education Program kicks off in Uruguay]] * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Czech senior citizen program scales up|Czech senior citizen program scales up]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Cairo University students wrap up their sixth term on Wikipedia|Cairo University students wrap up their sixth term on Wikipedia]] * Israel: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Educator conference successfully concludes teachers' online courses|Education/Newsletter/March 2015/Educator conference successfully concludes teachers' online courses]] * Argentina: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Wikimedia Argentina reinforces gender diversity on Wikipedia with several women targeted events|Wikimedia Argentina reinforces gender diversity on Wikipedia with several women targeted events]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Novel photo projects related to editathon at Tec de Monterrey|Novel photo projects related to editathon at Tec de Monterrey]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Events commemorating WikiWomen History Month, WikiMed and Black History editathons]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:31, 1. Apr. 2015 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11528793 --> == This Month in Education: April 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * WMF: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Quarterly update from the education team|Quarterly update from the education team]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Teachers and journalists of Armenian community in Lebanon joined Wikipedia and Wikipedia Education program|Teachers and journalists of Armenian community in Lebanon joined Wikipedia and Wikipedia Education program]] * Ukraine: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/First round of WikiStudia wraps up with success|First round of WikiStudia wraps up with success]] * Greece: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Greek Adult school completes wikiexpedition on Greek villages|Greek Adult school completes wikiexpedition on Greek villages]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/New to Wikipedia: A personal perspective|New to Wikipedia: A personal perspective]] * Latvia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Education Program Extension enabled on Latvian Wikipedia|Education Program Extension enabled on Latvian Wikipedia]] * Russia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Education Program Extension enabled on Russian Wikipedia|Education Program Extension enabled on Russian Wikipedia]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Students nominated for their MOOC on Swedish Wikiversity|Students nominated for their MOOC on Swedish Wikiversity]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Studies and news from Harvard to Cambridge, women events and history editathons]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/April_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 17:17, 1. Mai 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12056134 --> == This Month in Education: May 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Tunisia: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Rachidia music school celebrates 80 years of love and art by editing Wikipedia|Rachidia music school celebrates 80 years of love and art by editing Wikipedia]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Five new classes begin experimenting with Wikipedia|Five new classes begin experimenting with Wikipedia]] * Arab World: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Arab World Education Program at WikiArabia 2015|Arab World Education Program at WikiArabia 2015]] * China: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Chinese students commemorate deceased philanthropist Run Run Shaw|Chinese students commemorate deceased philanthropist Run Run Shaw]] * Argentina: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Editathon for young students to edit articles about their school|Editathon for young students to edit articles about their school]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Maria enjoys editing Wikipedia as her community service|Maria enjoys editing Wikipedia as her community service]] * Global: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Registration for Wikimania Education Pre-Conference in Mexico City is now open!|Registration for Wikimania Education Pre-Conference in Mexico City is now open!]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Wikimedia conference 2015: better understanding for Wikipedia in Education|Wikimedia conference 2015: better understanding for Wikipedia in Education]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: School editathons, medical research, Jimmy wales and new Wiki]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/May_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> <noinclude>[[Category:This Month in Education]]</noinclude> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:44, 1. Jun. 2015 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12357013 --> == This Month in Education: June 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/A Wikipedia project in foreign languages receives a teaching award in Uruguay|A Wikipedia project in foreign languages receives a teaching award]] * Hong Kong: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/The First Wikipedia Education Program in Hong Kong|The First Wikipedia Education Program in Hong Kong]] * Greece: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Greek adult school graduates learn to edit Wikipedia and inspire their peers|Adult school graduates learn to edit Wikipedia and inspire their peers]] * Sweden: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Mid-year Summary from the Wikipedia Education Program in Sweden|Mid-year Summary from the Wikipedia Education Program]] * Mexico: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/New video tutorial for Commons created by students|New video tutorial for Commons created by students]] * Armenia: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Wikimedia Armenia New Office, Annual Conference, and WikiCamp 2015|Wikimedia Armenia New Office, Annual Conference, and WikiCamp 2015]] * Argentina: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Argentina contributes to a massive cross-border course of free knowledge in Spanish-speaking countries|Argentina contributes to a massive cross-border course of free knowledge in Spanish-speaking countries]] * Israel: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Education Program Extension enabled on Hebrew Wiktionary|Education Program Extension enabled on Hebrew Wiktionary]] * Global: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/New recognition certificates for program students, teachers and leaders|New recognition certificates for program students, teachers and leaders]] * Media [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Uk, India, Palestine and more]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:07, 30. Jun. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12525637 --> ==verwaist== [[Kurs:Freies Wissen]] [[Kurs:Freies Wissen/Einführung]] [[Kurs:Software Engineering II]] == This Month in Education: July 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Israel: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikimedia Israel's annual conference helps expanding its education activity|Wikimedia Israel's annual conference helps expanding its education activity]] * Community: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Join the Community Health learning campaign on Meta|Join the Community Health learning campaign on Meta]] * Global: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikimania 2015: education highlights|Wikimania 2015: education highlights]] * Education Collaborative: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikipedia Education Collaborative is changing. Be part of the movement!|Wikipedia Education Collaborative is changing. Be part of the movement!]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Wikimania, Wikipedians in residence and public domain value]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/July_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 01:02, 2. Aug. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12853406 --> == This Month in Education: August 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/The benefits of teaching with Wikipedia broadcasted on Swedish National Radio|The benefits of teaching with Wikipedia broadcasted on Swedish National Radio]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Summer term ends with great success and Fall begins at Tec de Monterrey|Summer term ends with great success and Fall begins at Tec de Monterrey]] * Newsletter: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/On its third birthday, a retrospective of This Month In Education and proposed changes to the publication process|On its third birthday, a retrospective of This Month In Education and proposed changes to the publication process]] * Newsletter: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Call for volunteers - This Month In Education|Call for volunteers - This Month In Education]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Israel, Mexico and Australia]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 16:59, 1. Sep. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=13014597 --> == Wikimedia Education Newsletter: December 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Arab World Education Program at WISE Doha 2015|'''Arab World:''' Arab World Education Program at WISE Doha 2015]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities|'''Argentina:''' Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?|'''Argentina:''' The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Armenian students inspire their teachers to join Wikipedia|'''Armenia:''' Armenian students inspire their teachers to join Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia Education Program participants commemorated the creation/discovery of the Armenian alphabet in Beirut|'''Armenia:''' Wikipedia Education Program participants commemorated the creation/discovery of the Armenian alphabet in Beirut]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Bangladesh's new secondary school education program aims to increase Bangla Wikipedia readers|'''Bangladesh:''' Wikimedia Bangladesh's new secondary school education program aims to increase Bangla Wikipedia readers]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/First Wiki Education Workshop in Bulgaria|'''Bulgaria:''' First Wiki Education Workshop in Bulgaria]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Education Program at Wikimedia CEE Meeting 2015 in Estonia|'''Central and Eastern Europe:''' Education Program at Wikimedia CEE Meeting 2015 in Estonia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Collaboration with Masaryk University turns official|'''Czech Republic:''' Collaboration with Masaryk University turns official]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content|'''Egypt:''' Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/A portal for teachers and education institutions on the French Wikipedia|'''France:''' A portal for teachers and education institutions on the French Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Two Wikimedian adult educators and an adult student present paper on Wikimedia editing at CIE2015 in Greece|'''Greece:''' Two Wikimedian adult educators and an adult student present paper on Wikimedia editing at CIE2015 in Greece]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The very first Wikipedia Education Program of Wikimedia Hong Kong|'''Hong Kong:''' The very first Wikipedia Education Program of Wikimedia Hong Kong]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University|'''Israel:''' Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Israel: Dozens of articles were created by dint of a structured teaching process that incorporates new training tools and involvement of scientists|'''Israel:''' Dozens of articles were created by dint of a structured teaching process that incorporates new training tools and involvement of scientists]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico|'''Mexico:''' Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia|'''Norway:''' Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/What I Learned: Wiki Photo School in Serbia|'''Serbia:''' What I Learned: Wiki Photo School in Serbia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Teachers in Serbia professionally trained to use Wikipedia in the classroom by Wikimedians|'''Serbia:''' Teachers in Serbia professionally trained to use Wikipedia in the classroom by Wikimedians]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Science Outreach on Wikipedia has impact on the Education Program in Sweden|'''Sweden:''' Science Outreach on Wikipedia has impact on the Education Program in Sweden]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Education students in Uruguay reflect on Wikipedia as a learning tool|'''Uruguay:''' Education students in Uruguay reflect on Wikipedia as a learning tool]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The Wikipedia Education Program now on Twitter|'''Global:''' The Wikipedia Education Program now on Twitter]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Recent improvements to the Wikipedia Education Collaborative bear fruit|'''Global:''' Recent improvements to the Wikipedia Education Collaborative bear fruit]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 20:10, 7. Dez. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=14461758 --> == This Month in Education: [March 2016] == <h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Arab World Education Program at WISE Doha 2015|Arab World Education Program at WISE Doha 2015]]</h2> By [[User:لا روسا|Walaa Abdel Manaem (Wikipedia Education Program Egypt) & (Egypt Wikimedians user group)]] [[File:WISE 2015 00 (3).JPG|thumbnail|Walaa with Mr. Rashid El Telwaty and Ms. Suad Alhalwachi|right]] [[File:WISE 2015 00 (5).JPG|thumbnail|Walaa with Dr. Sherifa Atallah|right]] [[File:WISE 2015 00 (4).JPG|thumbnail|left|Walaa with Mr. Rashid El Telwaty, Ms. Bonnie Chiu, Mr. Jake and Ms. Naadiya Moosajee.]] '''Snippet:''' Education Leaders at WISE Doha 2015 introducing Wikipedia Education Program in Egypt to WISE Conference attendees, as an example of a program in the Arab World, to share their experience to inspire other universities and institutions starting new programs in the area. WISE 2015 Sessions and Plenaries were designed around three main pillars such as the UN Sustainable Development Goals; education and the economy; fostering innovation in education systems. Each pillar examined a variety of key topics including: the linkages between education, employment, and entrepreneurship; education reform and innovation in the MENA region and Qatar; emerging models of education financing, attracting, rewarding and retaining quality teachers; and the importance of investing in early childhood development. Representatives of [[outreach:Education/Countries/Egypt|Wikipedia Education Program]] [[user:لا روسا|Walaa Abdel Manaem]] and [[user:Reem Al-Kashif|Reem Al-Kashif]] participated in [https://www.wise-qatar.org/2015-summit-education-invest-impact WISE Doha 2015] in Qatar, the annual World Innovation Summit for Education is the premier international platform dedicated to innovation and creative action in education where top decision-makers share insights with on-the-ground practitioners and collaborate to rethink education. Also, WISE 2015 was the first global education conference following the ratification of the UN Sustainable Development Goals (SDGs) in September 2015. Contributions ranged from [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arabic_Brochure_of_Editing_Wikipedia,_WALAA.pdf Arabic Brochure of Editing Wikipedia for students in WEP in Egypt and everybody who would like to edit Wikipedia without ‎problems], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Welcome2WP_Arabic_082310.pdf The Arabic version of Welcome to Wikipedia reference guideline], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikipedia-in-Arabic-Education-Program.pdf PDF of brochure handed out during Arabic Wikipedia Convening, Doha, Qatar, 2011] and [https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:%D9%85%D9%82%D8%AF%D9%85%D8%A9_%D8%B9%D9%86_%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7.pdf Introduction to Wikipedia]. These contributions are related to show a case study of Wikipedia Education program in Egypt and how it worked since February 2012 till the November 2015, as the seventh edition ended last October. All discussions were about the program's mechanism and what were the motivations keeping it going. The program helped increasing gender diversity and supported the featured content on Arabic Wikipedia. Wikipedia Education Program, like any other initiative, has achievements and dark sides, for that reason, the representatives had to locate both of them and how they influence the Arabic community and how the community interact with this phenomenon. ''[[outreach:Education/Countries/Egypt|Read more about the Wikipedia Education Program in Egypt here.]]'' ''[[:ar:ويكيبيديا:برنامج ويكيبيديا للتعليم|Read more about the Wikipedia Education program in the Arab World here (in Arabic).]]'' {{clear}} <h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University|Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University]]</h2> By [[User:esh77|Shani Evenstein (WMIL)]] [[File:Amir Aharoni explains about the new translation tool to students.jpg|thumbnail|right|300px|Amir explains about the new translation tool to students]] '''Snippet:''' A first-of-its-kind, for-credit, elective course that focuses on contributing to Wikipedia has opened at Tel Aviv University and is now available to all B.A. students on campus On October 19th a new for-credit elective course called "Wikipedia: Skills for producing and consuming knowledge"<ref>Link to the course page at the TAU website (in Hebrew) - http://www2.tau.ac.il/yedion/syllabus.asp?course=1880180101&year=2015</ref> has opened at Tel Aviv University (TAU). The semester-long course (13 weeks) is available to all B.A. students on campus and this semester about 50 students from various disciplines are taking part in this first-of-its-kind course in Israel. [[File:Working in small groups 3.jpg|thumbnail|right|300px|Working in small groups to correct copyrights and Non-NPOV violations]] The course draws from "flipped classroom" concepts and uses "blended learning" methods, which practically means combining in-class lectures, workshops and small-group activities, as well as online individual learning. Both the Moodle learning management system (LMS) and the Wikipedia Education Extension are used to monitor the students' work and progress throughout the course. The course has 2 main assignments - expanding an existing stub, as well as writing a new article, in the hopes that the content added during the course will assist not only the students themselves, but also future generations of learners as well as the general public. Though the course focuses on adding quality content to Wikipedia, it also aims to help students sharpen their academic skills and their 21st century skills, highlighting collaborative learning, joint online research and interdisciplinary collaborations in the process of constructing knowledge. This course was initiated and is led by Shani Evenstein, an educator, Wikimedian and member of the [[Education/Wikipedia Education Collaborative|Wikipedia Education Collaborative]], in collaboration with the Orange Institute for Internet Studies, as well as the School of Education at TAU. The syllabus for the new course builds on the success of [http://blog.wikimedia.org/2014/02/13/wiki-med-israel-wikipedia-education-course/#cite_note-7 Wiki-Med], a for-credit elective course, which was designed in 2013 and is led by Evenstein at the Sackler school of Medicine for the third consecutive year. While Wiki-med is focused on contributing medical content to Wikipedia and is only available to Medical Students on campus, the new course is designed to accommodate students from different academic disciplines and varying backgrounds. [[File:Wikipedia course for BA students at Tel Aviv University - Course Logo.png|thumbnail|right|75px]] The course was chosen to be part of TAU's cross-discipline elective courses system ("Kelim Shluvim") and was approved by the Vice-Rector, who heads the program. In that, the course marks an important precedent in the collaboration between Academia and the Wikipedia Education Program, as it is the first time a higher institution acknowledges the importance of a course focusing on Wikipedia ''on a university level'', offering it to all students, rather than a faculty level or individual lecturers as mostly practiced. It is our hope that other higher education institutions will follow this example and offer similar courses to students both in Israel and around the world. ''[[outreach:Education/Countries/Israel|Read more about the Wikipedia Education Program in Israel here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?|The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?]]</h2> By [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta]], Wikimedia Argentina '''Snippet:''' University professors become Wikipedians in an online course during just a week. [[File:MOOC UBA II 2015.jpg|thumb|How to be a Wikipedian in a week ([http://www.escenariostec.citep.rec.uba.ar/2015/ educactional MOOC] for university professors) ]] Educators with different profiles and from different latin america countries, but most of them professors at the [[:en:University_of_Buenos_Aires|University of Buenos Aires]] (UBA) from different faculties, have just participated in the online training and free course "Educational scenarios with technology. Among the real and the possible" organized by the [http://citep.rec.uba.ar/ Center for Innovation in Technology and Pedagogy] (CITEP) of this university. Different educational activities were carried out simultaneously. During the week and under the topic “Open movement”, Wikimedia Argentina participated with three different proposals: starting with an interview of [[:es:Usuario:Patricio.lorente|Patricio Lorente]] accompanied with a short text to know more about the movement. To make an immersive experience we designed " Knowing Wikipedia by first-hand or Wikipedia in the first person" to work directly on the platform translating articles from english to spanish from a list created especially for that purpose. Along with this specific proposal, educators participated in a [https://www.youtube.com/watch?v=uT5u0h2luac&feature=youtu.be videoconference with Galileo Vidoni (available in Spanish)], where participants could talk and learn more about how are the first steps to become a Wikipedian and the importance of the movement at the local and regional level. [[File:MOOC UBA I 2015.jpg|thumb|A professor´s educational experience with Wikipedia explained with a tweet. He said: "I´m translating, enjoying and learning with Wikipedia". Know more experiences on [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba Storify].]] With only seven days and without being mandatory, different educators discovered how to edit on Wikipedia, indeed many of them mentioned that they had it as a pending to learn and participate on the free encyclopedia, but never had the time or the real chance. The enthusiasm was also present on social networks, where they shared the experience with the [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba hashtag #escenariostec]. '''<u>The result</u>''' '''More than 100 educators got involved''' and exchanged their experience in an online forum with '''more of 280 messages''' that reflected their learning process while experiencing with the activity. '''80 of them were new users''', and '''they created 61 new articles''' [[:es:Wikipedia:Wikimedia_Argentina/MOOC_UBA|in spanish]]. An important fact: '''78 of them were women''', which means that working with educators is a key issue '''to continue closing the digital gender gap'''. Finally from CITEP, they shared the following insights regarding the question that ran through all the activities that took place during the week dedicated to the open movement. Some thoughts can be sum up as follows:<blockquote>''The collaborative production in open environments: chaos or construction? (...) For the teacher also means accepting new challenges: encourage students to produce knowledge in an environment of divergent nature, it requires permanent operations and convergence. In a space that fosters interventions unmarked, the teacher needs to frame depending on the purpose of education and teaching purposes. (…) Wikipedia is the best example of the challenges posed by the digital era in the educational field, it forces us to rethink the relationship between technology and the production of knowledge and allows us to confirm that the collaborative work does not lead to chaos, if not to the construction. (. ..) [Authors: Angeles Solectic and Miri Latorre]''</blockquote>We share some of the voices of the protagonists in social networks with [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba storify] (available in Spanish). ''[[outreach:Education/Countries/Argentina|Read more about the Wikipedia Education Program in Argentina here.]]''<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Collaboration with Masaryk University turns official|Collaboration with Masaryk University turns official]]</h2> By [[User:Vojtěch Dostál|Vojtěch Dostál (Wikimedia Czech Republic)]] [[File:Seminář pro zaměstnance MU 09.jpg|thumbnail|right|300px|Masaryk University employees are being trained in using and editing Wikipedia]] [[File:Brno-Masarykova-univerzita-ujíždí-na-Wikipedii2015Marek-Blahuš2.jpg|thumb|right|300px|Marek Blahuš, Wikipedian in residence at Masaryk University]] '''Snippet:''' The second largest university in the Czech Republic has employed a Wikipedian in residence, leading to a boom of Wikimedia activities in the city of Brno. Collaboration between Wikipedia and Czech institutions has always been a priority for Wikimedia Czech Republic, but the year 2015 has taken this to another level. First, an official memorandum of collaboration with the [[:cs:Národní památkový ústav|National Heritage Institute]] (NPÚ) was signed in May 2015, to be followed by official collaboration with [[:cs:Masarykova univerzita|Masaryk University]] in Brno (the second largest city and university in the Czech Republic), which was contracted in November 2015. In fact, Wikimedia activities in Brno have been blooming for several years now, mainly as a result of the community's own development, but aided substantially by the external interest in Wikipedia by [http://www.spolek.muni.cz/ Masaryk University alumni society], demonstrated as early as March 2013. In February 2015, the university employed one of the most experienced Czech Wikipedians – Marek Blahuš ([[:cs:User:Blahma|Blahma]]) – who was appointed to become the university's first "[[Wikipedian in Residence|Wikipedian in residence]]". Marek Blahuš has been in the center of the Wikimedia community in Brno for about two years, organizing regular Wikipedia meetups, the 2014 edition of the annual [[:cs:Wikipedie:Wikikonference/2014|WikiConference]] ([{{fullurl:File:WM_CZ_-_Annual_Report_2014.pdf|page=7}} more in English here]) and creating the [[:cs:Wikipedie:WikiProjekt Česko-slovenská Wikipedie|Czech-Slovak Wikipedia translation tool]], which has famously led to the creation of >9000 articles on Czech and Slovak Wikipedias ([{{fullurl:File:WM_CZ_-_Annual_Report_2014.pdf|page=9}} more in English here]). His current work as Wikipedian in residence is funded by Masaryk University and runs under the patronage of Wikimedia Czech Republic as well as Masaryk University's rector [[:cs:Mikuláš Bek|Mikuláš Bek]]. Since February, Wikipedia has taken a prominent role within Masaryk University. Marek Blahuš started a "Masaryk University Wikipedians team", gathering local Wikipedians and facilitating contacts with the university, aided by his status of a graduate and current employee in its language center. Articles about Masaryk University alumni and faculties have been identified and improved after consultations with Masaryk University archives and libraries which provided helpful resources. Wikipedia citation templates can now be directly generated from the university's [http://is.muni.cz/thesis/?lang=en on-line archive of theses]. In September, a public conference called "[[:cs:Wikipedie:Masarykova univerzita/Masarykova univerzita ujíždí na Wikipedii|Masaryk University Is Getting High on Wikipedia]]" took place on university grounds, featuring the experienced Wikipedian [[:en:Jan Sokol (philosopher)|Jan Sokol]] ([[:cs:user:Sokoljan|Sokoljan]]), who is a philosopher, university teacher and a former presidential candidate. The talks focused on the use of Wikipedia in university education, in line with the successful Czech "[https://blog.wikimedia.org/2012/05/22/the-czech-ambassador-program-at-one-year/ Students Write Wikipedia]" program. One of the teachers, Jiří Rambousek, expressed his desire to organize a Wikipedia Club as a regular meetup where articles would be improved in a collaborative effort and new editors introduced to Wikipedia. The program is actively preparing for 2016 when we expect Wikimedia Czech Republic to take a more active role in overseeing the initiatives as well as the creation of a position of a "Wikipedian in Brno" – person officially in charge of the wide array of Wikimedia activities happening in the city. The chapter's annual plan includes initiatives to increase the number of university courses which incorporate Wikipedia into the curriculum, public presentations of Wikipedia at various events, scanning and uploading of images from institutional and personal archives, and much more. Let's wish that our plans come true! ''[[outreach:Education/Countries/Czech Republic|Read more about the Wikipedia Education Program in the Czech Republic here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico|Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico]]</h2> By [[User:Thelmadatter|Leigh Thelmadatter (Wiki Learning-Tec de Monterrey)]] [[File:StudentsRetoWikimediaSept2015 01.JPG|thumb|Group photo of Reto Wikimedia participants at Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] '''Snippet:''' Student participation is more than just text! For the Fall 2015 Wiki Learning-Tec de Monterrey held two wiki expeditions in Mexico City and began a collaboration with the Museo de Arte Popular. We also received our first grant! ===Wiki expeditions=== The 32-campus [[Education/Countries/México/Tec de Monterrey|Tec de Monterrey system]] has each semester an event called "Semana i" (i Week), when students forego normal classes for an entire week to work on challenging projects called "retos." For the [[:en:Monterrey Institute of Technology and Higher Education, Mexico City|Mexico City]] and [[:en:Tecnológico de Monterrey, Campus Santa Fe|Santa Fe]] campuses, one option for students was to work with Wikimedia, with the aptly named projects "[https://commons.wikimedia.org/wiki/Reto_Wikimedia_Semana_i_Fall_2015 Reto Wikimedia]." Both campuses opted to do wiki-expeditions to different parts of Mexico City. The Mexico City campus had the larger group with almost 90 students registered, who covered the two southern boroughs of [[:en:Xochimilco|Xochimilco]] and [[:en:Tlalpan|Tlalpan]]. The Santa Fe group had 35 participants, and covered the [[:en:San Ángel|San Ángel]] neighborhood found not far from this campus. Both campus took photos of landmarks with the Mexico City campus also focusing on photos of everyday life in the south of the city. The Mexico City campus tallied 5264 photos, 8 videos and 36 articles, including articles related to the area into French, Swedish and Danish. The Santa Fe group tallied 605 photos, and ten articles in Spanish on landmarks in San Ángel. In addition, the Mexico City campus had a special speaker the borough chronicler of Xochmilco, Sebastián Flores Farfán. A short montage video of the event is in the works. Some student photos: <gallery> File:Day4RetoWikimediaFall2015 008.JPG File:Building003.JPG File:Nahui ollin.JPG File:Cruce del canal.JPG File:Lagarto "barisia imbricata" criadero Xochimilco.JPG File:Puerta principal de la capilla Santa Cruz, Xochimilco, México.JPG File:Mural 001.JPG File:Oratorio de Amaxalco4.JPG File:Parque ecológico de la ciudad de México 12.jpg File:Santuario Parroquial de nuestra señora de los dolores 3.JPG </gallery> Some video clips of the event: <gallery> File:Clip of Sebastian Flores Farfán.webm File:SaraStudentRetoWikimediaFall2015CCM.webm File:JoelStudentFrenchRetoWikimedia.webm </gallery> ===Animation clips with the Museo de Arte Popular=== [[File:Alebrijes wikilearning.webm|thumb|Animation about alebrijes]] Wikiservicio, students working with Wikimedia for their community service requirement, added a new component. To attract more students and encourage more students to do all of their community service hours with Wikimedia, a collaboration was set up with the Museo de Arte Popular (MAP)... the first of many we hope! Six students from the digital art and animation major (see [https://outreach.wikimedia.org/wiki/Education/Newsletter/August_2015/Summer_term_ends_with_great_success_and_Fall_begins_at_Tec_de_Monterrey last newsletter]) have continued working with Wikimedia, but focusing their efforts in creating short animation clips in relation to the mission of promoting and preserving Mexican folk art. One clip has been completed and can be see to the right of this text. So far, the video has subtitles in English, German, French and Punjabi. A second clip is nearing completion at the time of this writing. ===Classes and Wikimetrics=== Fifteen students completed work with Wikiservicio doing translations, writing new articles and doing photography projects. As of this date, 7 have indicated interest in working with Wikiservicio on campus and another six with MAP. Five university level classes and one high school class on the Mexico City (South) campus have had projects, all in writing and translation, with some video work. Wikimetrics for the semester are: ''According to Wikimetrics tool....'' *'''9,589,918 bytes to Spanish Wikipedia''' *'''3,098 edits to the mainspace of Spanish Wikipedia''' *'''367 pages created in the mainspace of Spanish Wikipedia''' ''Manual count'' *'''302 student and teacher participants''' *'''281 Spanish Wikipedia articles created or expanded''' *'''6,057 photographs''' *'''10 videos''' *'''9 articles in English Wikipedia''' *'''2 articles in French Wikipedia''' *'''1 article in Swedish Wikipedia''' *'''1 article in Danish Wikipedia''' '''First grant''' Wiki Learning received its first grant from the Wikimedia Foundation. The long-term goal of this grant is to establish a system for financing Wiki Learning. The grant, which totals a modest 12,500 Mexican pesos, will be used for swag, such as t shirts, stickers, buttons, etc, especially for Semana i activities and promotion of wiki activities to other campus. The money will also be used for incidental travel expenses, especially for projects needing to move expensive camera equipment. ''[[outreach:Education/Countries/México|Read more about the Wikipedia Education Program in Mexico here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities|Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities]]</h2> By [[User:Christian Cariño|Christian Cariño (Wikimedia México)]] and [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta (Wikimedia Argentina)]] [[File:Learning to educate digital free magazine.jpg|thumb|[http://issuu.com/cristinavdls/docs/edicion_12 Wikipedia Education Program in Argentina]]] '''Snippet''': Aprender para Educar writes about Wikipedia Education Program in Argentina. The digital free magazine ''Aprender para Educar'' (Learning to educate) of the [[w:es:Universidad Tecnológica Nacional|National Technological University (UTN]]) is recognized in the community of education and technology in Argentina to write about innovation issues in Spanish, which is not common in the academic dissemination and teacher training field. Cristina Velazquez, general editor of the magazine invited Wikimedia Argentina to write an article that generally describes their activities in the Education Program, after reading the proposal she decided to publish it as the [http://issuu.com/cristinavdls/docs/edicion_12 main article] of the 12th edition. To describe the education program, WMAR wrote two notes completing one another, as doing a zoom: from the local to the global and from the global to the local, showing how a movement of this magnitude does not stand alone, it is part of a huge network. [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta]], education manager in WMAR and [[user:Patricio.lorente|Patricio Lorente]], chair of the Wikimedia Foundation Board of Trustees wrote those two notes.The first one focuses on the Education Program, implementation, challenges and obstacles that they had at the beginning, plans to integrate it into the classrooms in Argentina and how different Wikimedia Projects are also relevant in education. The most important thing, Melina adds, is to strengthen the values that inspire them, show how the free culture give meaning to education in general and digital culture in particular. Meanwhile in the second part, Lorente focuses on the global movement, the community pillars, the agenda of today's challenges and the effort of their volunteers as protagonists. It is not easy show the world what drives us and why we work as volunteers in different countries. In education very few people understand the value of building free knowledge. There is still a great prejudice or negative perceptions of Wikipedia in the classroom because teachers ignore how Wikipedia is built. Everybody reads Wikipedia, but few people edit it. We can change this fact by spreading in spaces such as the Journal of the UTN and inviting more people to collaborate and be the protagonist of this huge collective work for humanity. ''[[outreach:Education/Countries/Argentina|Read more about the Wikipedia Education Program in Argentina here.]]''<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content|Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content]]</h2> By [[User:لا روسا|Walaa Abdel Manaem (Wikipedia Education Program Egypt) & (Egypt Wikimedians user group)]] [[File:Wiki Arabia 2015 - Day 1 DSC 9802 (cropped).jpg|250px|thumbnail|right|Bassem Fleifel]] '''Snippet:''' Online ambassador helped spanish students course in Cairo University to nominate their articles, scoring an [[Commons:File:Education_program-_Figures_and_Statistics.pdf|exceptional record of WEP excellent content]]. [[:ar:مستخدم:باسم|Bassem Fleifel]], an online ambassador of [[:ar:برنامج التعليم:جامعة القاهرة - كلية الآداب/ترجمة من الإسبانية (صيف 2015)|Cairo university spanish course]], played a prominent role to help all students to encourage them to nominate their excellent content to be a featured and good articles in Arabic Wikipedia. Those articles are [[:ar:تاريخ الخبز|History of bread]] (Featured article); [[:ar:والت ديزني|Walt Disney]]; [[:ar:دانيال رادكليف|Daniel Radcliffe]]; Al-[[:ar:الأندلس|Andalus]]; [[:ar:شاعر في نيويورك|Poet in New York]]; and [[:ar:بوبول فو|Popol Vuh]]. The seventh term, the program started in Cairo University with promoting posts on Wikipedia and social media websites to help new participants understand the general idea of the program as well as holding meetings with professors from the departments of History, chinese, English language and Spanish language. Walaa Abdel Manaem (program leader in Cairo University) and Bassem Fleifel (online ambassador) have held some workshops in campus and online for the whole students to teach them "How to edit Wikipedia". On the other hand, Prof. Abeer Abdel-Hafiz has exerted great efforts with her students in addition to introducing Walaa to new classes of senior students for whom she has organized general seminars about Wikipedia and the education program. At the same time Walaa was assigning her Spanish department students of the first and second year to edit Wikipedia. This term, Prof. Abeer let the chance to her students to choose any articles they would like to translate from the Spanish Wikipedia to the Arabic Wikipedia or working on articles about history. They already have chosen some articles to translate with the target of nominating them to be a featured and good articles. Most of students worked on articles about different topics like history, writers, actors, history of food and drink, mayan literature, islam and politics, etc. This course itself achieved an exceptional record of [[:ar:ويكيبيديا:برنامج ويكيبيديا للتعليم/لوحة الشرف/محتوى متميز|Wikipedia Education program excellent]] content and the best term ever in the history of [[Education/Countries/Egypt|WEP in Egypt]] in general and in the Faculty of Arts, Cairo University in specific. Walaa has held 2 online webinars to follow up with her students in addition to the workshops held at the campus. Regarding numbers, 38 students joined this course, of which 35 are female and 3 are male students. They worked on 1748 articles adding more than 12,282,943 million bytes to the article namespace on the Arabic Wikipedia, with the help of the online ambassador, who also participated as a student. ''[[:ar:برنامج التعليم:جامعة القاهرة - كلية الآداب/ترجمة من الإسبانية (صيف 2015)|See the course page of this group on the Arabic Wikipedia here.]]'' ''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Education_program-_Figures_and_Statistics.pdf Full statistics of WEP in Egypt the first term in 2012 till the seventh term in 2015 which include numbers of created articles, featured and good articles, featured portals and lists.]'' ''[[outreach:Education/Countries/Egypt|Read more about the Wikipedia Education Program in Egypt here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia|Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia]]</h2> By [[User:WMNOjorid|Jorid Martinsen]] (Wikimedia Norge) [[File:Jorid Martinsen at the University of Oslo.png|thumbnail|Jorid Martinsen teaching students at the University of Oslo about Wikipedia.]] '''Snippet''': This fall masters students in History and Archeology at the University of Oslo take on the task of Wikipedia editing as one of the main parts in a subject on communication of History. The University of Oslo is Norway’s largest higher education institution, and it is the first time Wikimedia Norway collaborates with this University in forming and using Wikipedia editing as a integrated part of higher education. The collaboration started by Wikimedia Norway contacting assistant professor John McNicol, who already had gotten some media attention on his eagerness to make students skilled in knowledge sharing. Starting off with a two hour lecture on the secret world of Wikipedia and a two hour editing workshop in mid-September, and in October the students will evaluate the life of their articles. Has there been many additional edits on their articles? Discussions? Request to delete everything? For Wikimedia Norge it is fun to see the students both engaging in Wikipedia editing and using the ways of Wikipedia to discuss how knowledge is formed. ''[[outreach:Education/Countries/Norway|Read more about the Wikipedia Education Program in Norway here.]]'' {{clear}}[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 09:26, 1. Mär. 2016 (CET). <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rberchie@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15329308 --> == This Month in Education: [March 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 1, Issue 2, March 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Educational hackathon about digital sources, big data, and Wikipedia|'''Argentina:''' Educational hackathon about digital sources, big data, and Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/First mentoring program between the Argentine and Mexican chapters|'''Argentina and Mexico:''' First mentoring program between the Argentine and Mexican chapters]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Czech education program turns professional with a new education manager|'''Czech Republic:''' Czech education program turns professional with a new education manager]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Egyptian Wikimedians celebrate the seventh conference of WEP|'''Egypt:''' Egyptian Wikimedians celebrate the seventh conference of WEP]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Wikipedia workshop for students of Fountain University|'''Nigeria:''' Wikipedia workshop for students of Fountain University]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Teacher celebrated for excellent pedagogy with Wikipedia|'''Sverige:''' Teacher celebrated for excellent pedagogy with Wikipedia]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Taiwanese students use Spoken Wikipedia as their service learning|'''Taiwan:''' Taiwanese students use Spoken Wikipedia as their service learning]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Education Program Historic Data Campaign|'''Global:''' Education Program Historic Data Campaign]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We apologize for an earlier distribution that mistakenly took on the older content. We hope you enjoy the newest issue of the newsletter we are sharing now.--[[en:User:Saileshpat|Sailesh Patnaik (Distribution leader)]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 19:44, 2. Mär. 2016 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15399206 --> == This Month in Education: [June 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 1, Issue 3, June 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/A New Online Course in a New Virtual Campus‎|'''Argentina:''' A New Online Course in a New Virtual Campus]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/How to survive the Big Bang in your education program|'''Czech Republic:''' How to survive the Big Bang in your education program]] * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/An online elective course on Wikipedia for high school pupils in Estonia‎|'''Estonia:''' An online elective course on Wikipedia for high school pupils in Estonia‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Argostoli Evening School students and a Wikitherapy participant turn Wiktionary project into Android app|'''Greece:''' Argostoli Evening School students and a Wikitherapy participant turn Wiktionary project into Android app]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/New training materials in Arabic by WMIL‎‎|'''Israel:''' New training materials in Arabic by WMIL‎‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Luz María Silva's students and their adventure editing Spanish Wikipedia|'''Mexico:''' Luz María Silva's students and their adventure editing Spanish Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Spring semester wiki activities end at Tec de Monterrey, Mexico City‎|'''Mexico:''' Spring semester wiki activities end at Tec de Monterrey, Mexico City‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Maastricht University 40 years|'''Netherlands:''' Maastricht University 40 years]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Students in Sweden edit Somali Wikipedia‎|'''Sweden:''' Students in Sweden edit Somali Wikipedia‎]] * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/Visualizations of relationships among knowledge? Try WikiSeeker!|'''Taiwan:''' Visualizations of relationships among knowledge? Try WikiSeeker!]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Education at Wikimania‎|'''Wikimania 2016:''' Education at Wikimania‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Education Program surveys are here!|'''Wikimedia Foundation:''' Education Program surveys are here!]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Vahid Masrour joins the education team at the Wikimedia Foundation|'''Wikimedia Foundation:''' Vahid Masrour joins the education team at the Wikimedia Foundation]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Programs and Events Dashboard Update|'''Global:''' Programs and Events Dashboard Update]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We hope you enjoy the newest issue of the Education Newsletter.--[[en:User:Saileshpat|Sailesh Patnaik (Distribution leader)]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 18:53, 1. Jun. 2016 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15665751 --> == This Month in Education: [September 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 5, Issue 3, September 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Armenian students inspire their parents to join Wikipedia|'''Armenia:''' Armenian students inspire their parents to join Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Brazilian Wikimedians interview editor of academic journal ''Wiki Studies''|'''Brazil:''' Brazilian Wikimedians interview editor of academic journal ''Wiki Studies'']] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Cairo University students wrap up their eighth term and start their ninth term on WEP|'''Egypt:''' Cairo University students wrap up their eighth term and start their ninth term on WEP]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Egyptian Wikimedians celebrate eighth WEP conference|'''Egypt:''' Egyptian Wikimedians celebrate eighth WEP conference]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Online wiki training for educators in Greece|'''Greece:''' Online wiki training for educators in Greece]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Outcomes report on a Wikipedia Course “Skills for Producing and Consuming Knowledge”, Tel Aviv University|'''Israel:''' Outcomes report on a Wikipedia Course “Skills for Producing and Consuming Knowledge”, Tel Aviv University]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Wikipedia as a Teaching and Learning Tool in Medical Education at IAMSE Medical Education Conference|'''Israel:''' Wikipedia as a Teaching and Learning Tool in Medical Education at IAMSE Medical Education Conference]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/"Writing a new article is a special experience that feels new every time"|'''Israel:''' "Writing a new article is a special experience that feels new every time"]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Video projects redefine student Wiki work and student community service|'''Mexico:''' Video projects redefine student Wiki work and student community service]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Wiki Workshop at Saint Petersburg Internet Conference 2016 in Russia|'''Russia:''' Wiki Workshop at Saint Petersburg Internet Conference 2016 in Russia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Swedish National Agency of Education endorses Wikipedia Education Program|'''Sweden:''' Swedish National Agency of Education endorses Wikipedia Education Program]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Psychology students of Uludag University are very proud of contributing Turkish Wikipedia|'''Turkey:''' Psychology students of Uludag University are very proud of contributing Turkish Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/West African schools will test Kiwix, the offline Wikipedia reader|'''West Africa:''' West African schools will test Kiwix, the offline Wikipedia reader]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Programs and Events Dashboard Update|'''Global:''' Programs and Events Dashboard Update]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We hope you enjoy the newest issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 15:00, 1. Sep. 2016 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15874487 --> == This Month in Education: December 2016 == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"><hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016|<font color="black">Wikimedia Education Newsletter – Volume 5, Issue 4, December 2016</font>]]</div> <hr /> <div style="text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016|Headlines]] • [[outreach:Education/Newsletter/December 2016/Highlights|Highlights]] • [[outreach:Education/Newsletter/December 2016/Single|Single page edition]]</div> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Greek_schools_collaborate_to_write_local_history_about_Corfu|'''Greece:''' Greek schools collaborate to write on local history]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/It’s a win win project: An interview with Sivan Lerer, a teacher at the Hebrew University of Jerusalem|'''Israel:''' It’s a win win project: An interview with Sivan Lerer, a teacher at the Hebrew University of Jerusalem]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Open Science Fellows Program launched in Germany|'''Germany:''' Open Science Fellows Program launched in Germany]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Students go wikipedian in the Basque Country|'''Basque Country:''' Students go wikipedian in the Basque Country]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Third term of Wikipedia editing at the University of Oslo|'''Norway:''' Third term of Wikipedia editing at the University of Oslo]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/First Wiki Club in Macedonia|'''Macedonia:''' First Wiki Club in Macedonia]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] </div> <div style="padding: 0.5em; text-align: center; font-size: 0.9em;"> <br> To get involved with the newsletter, please visit [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|the newsroom]]. To browse past issues, please visit [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/Archives|the archives]]. </div></div><section end="education-newsletter"/> [[outreach:Education/News|Home]] • [[m:Global message delivery/Targets/Wikimedia Education Newsletter|Subscribe]] • [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] • [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] - The newsletter team 19:51, 22. Dez. 2016 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16170520 --> == This Month in Education: [February 2017] == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|left]] <div style="text-align: left; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:60px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: center; direction: ltr; margin-left"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:20px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 1 | February 2017</span> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/Feb_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> <div style=text-align:center; direction: ltr"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;"> {{anchor|back}} In This Issue </span></div> === === {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |style="width: 60%; font-size:16px; font-family:times new roman"| <!-- Enter the title of the articles for this issue --> [[Outreach:Education/News/Drafts/newsletter_update|Newsletter update]] [[Outreach:Education/News/Drafts/time_is_not_an_unlimited_resource|Common Challenges: Time is not an unlimited resource]] |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/News/Drafts/Medical_students%27_contributions_reach_200_articles_in_an_innovative_elective_course_at_Tel_Aviv_University.| Medical Students' contributions reach 200 articles in innovative elective course at Tel Aviv University]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Wikilesa:_Working_with_university_students_on_human_rights| Wikilesa: working with university students on human rights]] [[Outreach:Education/News/Drafts/An_auspicious_beginning_at_university| An auspicious beginning at university in Basque Country]] [[Outreach:Education/News/Drafts/The_Wikipedia_Education_Program_kicks_off_in_Finland| The Wikipedia Education Program kicks off in Finland]] [[Outreach:Education/News/Drafts/The_Brief_Story_of_Mrgavan_WikiClub| The Brief Story of Mrgavan WikiClub]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Citizen_Science_and_biodiversity_in_school_projects_on_Wikispecies,_Wikidata_and_Wikimedia_Commons| Citizen Science and biodiversity in school projects on Wikispecies, Wikidata and Wikimedia Commons]] </span> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/News/Drafts/ACTC2017| WMF Education Program to be featured at the Asian Conference for Technology in the Classroom]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Opportunities_to_grow_in_Oman|Opportunities to grow in Oman]] [[Outreach:Education/News/Drafts/hundred_words_campaign|An invitation to participate in the "Hundred Words" campaign!]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Education_Collab_adopts_new_membership_criteria#The_Education_Collab_adopts_new_membership_criteria|Education Collab updates membership criteria]] </span> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#In the News|In the News]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [http://www.npr.org/sections/ed/2017/02/22/515244025/what-students-can-learn-by-writing-for-wikipedia|What Students Can Learn By Writing For Wikipedia] [http://www.businessinsider.com/career-benefits-sharing-knowledge-2017-2| Online communities are supercharging people's careers] [https://www.linux.com/news/2017/2/using-open-source-empower-students-tanzania| Using open source to empower students in Tanzania] [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Wikipedia_Signpost/2017-02-27/Recent_research| Signpost Special Issue: Wikipedia in Education] </span> |} We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:54, 28. Feb. 2017 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16360344 --> == This Month in Education: [March 2017] == <div> <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|centre]] <div style="text-align: center; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:40px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-centre"> <center> <span style="text-align: center; font-weight: bold; color: #006699; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 2 |March 2017</span> </center> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> <center> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/March_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> </center> <div style="text-align:center; direction: ltr"> <center> <span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:800px;"> {{anchor|back}} In This Issue </center> <hr /> </div> {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |style="width: 60%; font-size:16px; font-family:times new roman"|[[Outreach:Education/News/Drafts/newsletter_update|Newsletter update]] <hr /> [[Outreach: Education/Newsletter/March 2017/Overview on Wikipedia Education Program 2016 in Taiwan|Overview on Wikipedia Education Program 2016 in Taiwan]] <hr /></span> |- <hr /> |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/High School and Collegiate Students Enhance Waray Wikipedia during Edit-a-thons|High School and Collegiate Students Enhance Waray Wikipedia during Edit-a-thons]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Approaching History students as pilot of Education program in Iran|Approaching History students as pilot of Education program in Iran]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/An experience with middle school students in Ankara|An experience with middle school students in Ankara]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Wikishtetl: Commemorating Jewish communities that perished in the Holocaust|Wikishtetl: Commemorating Jewish communities that perished in the Holocaust]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/UCSF Students Visit WMF Office as they start their Wikipedia editing journey|UCSF Students Visit WMF Office as they start their Wikipedia editing journey]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Meet the team|Meet the team]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#In the News|In the News]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [http://lararnastidning.se/fran-dammiga-arkiv-till-artiklar-pa-natet%7C| Från dammiga arkiv till artiklar på nätet] </span> <hr /> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> The new issue of the newsletter is out! Thanks to everyone who submitted stories and helped with the publication. We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[User:Saileshpat|Saileshpat]] ([[User talk:Saileshpat|talk]]) 19:07, 1 April 2017 (UTC) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16517453 --> == This Month in Education: [April 2017] == <div> <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|centre]] <div style="text-align: center; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:40px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-centre"> <center> <span style="text-align: center; font-weight: bold; color: #006699; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 3 | April 2017</span> </center> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> <center> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/March_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> </center> <div style="text-align:center; direction: ltr"> <center> <span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:800px;"> {{anchor|back}} In This Issue </center> <hr /> </div> {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> <hr /> [[Outreach: Education/Newsletter/April 2017/How responsible should teachers be for student contributions?|How responsible should teachers be for student contributions?]] <hr /></span> |- <hr /> |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Cairo and Al-Azhar Universities students wrap up their ninth term and start their tenth term on WEP|Cairo and Al-Azhar Universities students wrap up their ninth term and start their tenth term on WEP]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Glimpse of small language Wikipedia incubation partnership in Taiwan|Glimpse of small language Wikipedia incubation partnership in Taiwan]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Key to recruiting seniors as Wikipedians is long-term work|Key to recruiting seniors as Wikipedians is long-term work]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Education at WMCON17|Education at WMCON17]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/OER17|OER17]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Western Armenian WikiCamper promotes Wikiprojects in his school|Western Armenian WikiCamper promotes Wikiprojects in his school]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Building a global network for Education|Building a global network for Education]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Mobile Learning Week 2017|Mobile Learning Week 2017]] </span> </span> <hr /> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> The new issue of the newsletter is out! Thanks to everyone who submitted stories and helped with the publication. We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:18, 1. Mai 2017 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16627464 --> == This Month in Education: September 2017 == <div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left]] <div style="text-align: left; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:60px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: center; direction: ltr; margin-left"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:20px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 8 | September 2017</span> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter| subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction: ltr"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;"> In This Issue </span></div> {| style="width: 60%;" | style="width: 50%; font-size:20px; font-family:times new roman;" | Featured Topic | style="width: 50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/September 2017/Wikipedia - Here and Now|"Wikipedia – Here and Now": 40 students in the Summer School "I Can – Here and Now" in Bulgaria heard more about Wikipedia]] |- | colspan="3" | ---- |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Community | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/News/September 2017/Klexikon|Klexikon: the German 'childrens' Wikipedia' in Montréal]] [[outreach:Education/News/September 2017/Wikipedia is now a part of Textbook in Informatics|Wikipedia is now a part of Textbook in Informatics]] |} </div> <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · [[:m:User:Romaine|Romaine]] 04:24, 1. Okt. 2017 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17258722 --> == This Month in Education: October 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 9 | October 2017 </span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; font-size:20px; font-family:times new roman;" | Featured Topic | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 1|Your community should discuss to implement the new P&E Dashboard functionalities]] |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Community | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 2|Wikidata implemented in Wikimedia Serbia Education Programe]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 3|Hundred teachers trained in the Republic of Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 4|Basque Education Program makes a strong start]] |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Education Team | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 8|WikiConvention Francophone 2017]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 9|CEE Meeting 2017]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:05, 2. Nov. 2017 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17368194 --> == This Month in Education: November 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 10 | November 2017</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 1|Hashemite University continues its strong support of Education program activities]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 2|Wikicontest for high school students]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 3|Exploring Wikiversity to create a MOOC]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 4|Wikidata in the Classroom at the University of Edinburgh]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 5|How we defined what secondary education students need]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 6|Wikipedia Education Program in Bangkok,Thailand]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 7|Shaken but not deterred]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 8|Wikipedia workshop against human trafficking in Serbia]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 9|The WikiChallenge Ecoles d'Afrique kicks in 4 francophones African countries]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 10|A Proposal for Education Team endorsement criteria]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 11|Student perceptions of writing with Wikipedia in Australian higher education]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:23, 1. Dez. 2017 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17496082 --> == This Month in Education: December 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 11 | December 2017</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 2|Wikimedia Serbia has established cooperation with three new faculties within the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 3|Updates to Programs & Events Dashboard]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 4|Wiki Camp Berovo 2017]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 5|WM User Group Greece organises Wikipedia e-School for Educators]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 6|Corfupedia records local history and inspires similar projects]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 7|Wikipedia learning lab at TUMO Stepanakert]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 8|Wikimedia CH experiments a Wikipedia's treasure hunt during "Media in Piazza"]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 9|Creating digitally minded educators at BETT 2017]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 10|Things My Professor Never Told Me About Wikipedia]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 11|"Academia and Wikipedia: Critical Perspectives in Education and Research" Conference in Ireland]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 12|Science is shaped by Wikipedia]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 20:31, 5. Jan. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17597557 --> == This Month in Education: January 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 1 | January 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> {{anchor|back}} <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | <!-- Enter the title of the articles for this issue --> [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 1|Bertsomate: using Basque oral poetry to illustrate math concepts]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 2|Wikimedia Serbia celebrated 10 years from the first article written within the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 3|WikiChallenge Ecoles d'Afrique update]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 4|The first Swedish Master's in Digital Humanities partners with Wikimedia Sverige]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 5|How we use PetScan to improve partnership with lecturers and professors]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 6|The Education Survey Report is out!]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 7|Education Extension scheduled shutdown]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:42, 1. Feb. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17696217 --> == This Month in Education: February 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 2 | February 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 2|WikiProject Engineering Workshop at IIUC,Chittagong]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 3|What did we learn from Wikibridges MOOC?]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 4|Wikimedia Serbia launched Wiki scholar project]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 5|Wiki Club in Ohrid, Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 6|Karvachar’s WikiClub: When getting knowledge is cool]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 7|More than 30 new courses launched in the University of the Basque Country]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 8|Review meeting on Christ Wikipedia Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 9|The Multidisciplinary Choices of High School Students: The Arabic Education Program; Wikimedia Israel]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 10|The Education Extension is being deprecated (second call)]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 11|The 2017 survey report live presentation is available for viewing]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:53, 1. Mär. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17757914 --> == This Month in Education: March 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 3 | March 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 1|Education Programs Itinerary]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 2|Animated science educational videos in Basque for secondary school student]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 3|Beirut WikiClub: Wikijourney that has enriched our experiences]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 4|Students of the Faculty of Biology in Belgrade edit Wikipedia for the first time]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 5|The role of Wikipedia in education - Examples from the Wiki Education Foundation]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 6|Multilingual resource for Open education projects]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 7|Wikipedia: examples of curricular integration in Portugal]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 8|Resources and Tips to engage with Educators]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 9|Education Session at WMCON 2018]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:33, 4. Apr. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17882222 --> == This Month in Education: April 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 4 | April 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 1|Wikimedia at the Open Educational Resources Conference 2018]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 2|Global perspectives from Western Norway]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 3|Togh's WikiClub: Wikipedia is the 8th wonder of the world!]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 4|Aboriginal Volunteers in Taiwan Shared Experience about Incubating Minority Language Wikipedia in Education Magazine]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 5|Workshops with Wiki Clubs members in the Republic of Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 6|Celebrating Book's Day in the University of the Basque Country: is Wikipedia the largest Basque language book?]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 7|Txikipedia is born and you'll love it]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 8|Students Write Wiktionary]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 9|Presenting the Wikipedia Education Program at the Open Education Global Conference]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:33, 4. Mai 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17992472 --> == This Month in Education: May 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 5 | May 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 2|Creating and reusing OERs for a Wikiversity science journalism course from Brazil]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 3|Inauguration Ceremony of Sri Jayewardenepura University Wiki Club]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 4|Wiki Education publishes evaluation of Fellows pilot]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 5|The first students of Russia with diplomas of Wikimedia and Petrozavodsk State University]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 6|Selet WikiSchool]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 8|A lofty vision for the Education Team]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 9|UNESCO Mobile Learning Week 2018, Digital Skills for Life and Work]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 23:44, 4. Jun. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=18071070 --> == This Month in Education: June 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 6 | June 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 1|Academia and Wikipedia: the first Irish conference on Wikipedia in education]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 2|Ashesi Wiki Club: Charting the cause for Wikipedia Education Program in West Africa]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 3|Wikimedia Serbia has received a new accreditation for the Accredited seminars for teachers]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 4|Côte d'Ivoire: Wikipedia Classes 2018 are officially up and running]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 5|Basque secondary students have now better coverage for main topics thanks to the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 6|What lecturers think about their first experience in the Basque Education Program]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 7|Education Extension scheduled deprecation]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 8|Wikipedia calls for participation to boost content from the continent]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 9|Wikipedia in the History Classroom]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 10|Wikipedia as a Pedagogical Tool Complicating Writing in the Technical Writing Classroom]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 11|When the World Helps Teach Your Class: Using Wikipedia to Teach Controversial Issues]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:03, 30. Jun. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18158878 --> == This Month in Education: July 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 7 | July 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 1|Wikipedia+Education Conference 2019: Community Engagement Survey]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 2|Young wikipedian: At WikiClub you get knowledge on your own will]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 3|Wikipedia in schools project at the "New Technologies in Education" Conference]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 4|Basque Education Program: 2017-2018 school year report]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 10|UNESCO ICT in Education Prize call for nominations opens]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 11|An educator's overview of Wikimedia (in short videos format)]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:32, 2. Aug. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18263925 --> == This Month in Education: August 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 8 | August 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 2|The reconnection of Wikimedia Projects in Brazil]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 3|Christ (DU) students enrolls for 3rd Wikipedia certificate course]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 4|Educational wiki-master-classes at International "Selet" forum]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 5|54 students help enrich the digital Arabic content]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 6|Mapping education in the Wikimedia Movement]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:12, 2. Sep. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18288215 --> == This Month in Education: September 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 9 | September 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 1|Edu Wiki Camp 2018: New Knowledge for New Generation]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 2|Education loves Monuments: A Brazilian Tale]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 3|“I have always liked literature, now I like it even more thanks to Wikipedia”. Literature is in the air of WikiClubs․]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 4|History of Wikipedia Education programme at Christ (Deemed to be University)]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 5|Preparation for the autumn educational session of Selet WikiSchool is started]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 6|Wiki Camp Doyran 2018]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 7|Wikicamp Czech Republic 2018]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 8|Wikipedia offline in rural areas of Colombia]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 9|Presentation on mapping education in the Wikimedia Movement]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:14, 9. Okt. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18394865 --> == This Month in Education: November 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 10 | October 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 1|A new academic course featuring Wikidata at Tel Aviv University]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 2|How we included Wikipedia edition into a whole University department curriculum]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 3|Meet the first board of the UG Wikipedia & Education]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 4|The education program has kicked off as the new academic year starts]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 5|The education program has kicked off as the new academic year starts in Albania]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 6|The first Wikimedia+Education conference will happen on April 5-7 at Donostia-Saint Sebastian]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 7|Using ORES to assign articles in Basque education program]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 8|What to write for Wikipedia about? Monuments!]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 9|Wikifridays: editing Wikipedia in the university]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 10|Writing articles on Wikipedia is our way of leaving legacy to the next generations]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 06:55, 12. Nov. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18504430 --> == This Month in Education: November 2018 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em; direction:ltr;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 4 &bull; Issue 10 &bull; October 2018</span> ------ <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/November 2018|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/November 2018/Single page|Single page view]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ------- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/November 2018/WikiEducation - Report from Wikimedians of Albanian Language UG |WikiEducation - Report from Wikimedians of Albanian Language UG]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia Education Program in ICETC 2018 , Japan |Wikipedia Education Program in ICETC 2018, Japan]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia has become the inseparable part of my daily life |Wikipedia has become the inseparable part of my daily life]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia is a world in which anyone of us has his own place |Wikipedia is a world in which anyone of us has his own place]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wiki conference for teachers in Ohrid |Wiki conference for teachers in Ohrid]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Our baby is 3! |Our baby is 3!]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/highlighting work of Sailesh Patnaik |Highlighting work of Sailesh Patnaik]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Important updates from Wikimedia Education Team |Important updates from Wikimedia Education Team]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Welcome Melissa to the Education Team |Welcome Melissa to the Education Team]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/What has the education team been up to? Year end review and updates! |What has the education team been up to? Year end review and updates! ]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:18, 30. Nov. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18673623 --> == This Month in Education: January 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &bull; Issue 1 &bull; January 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2019|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/January 2019/Headlines|Headlines]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/January 2019/Registration for Wikimedia+Education Conference is open|Registration for Wikimedia+Education Conference is open]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Collaboration with Yerevan State University of Languages and Social Sciences after V. Brusov|Collaboration with Yerevan State University of Languages and Social Sciences after V. Brusov]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Meet the first Programs & Events Dashboard sysops|Meet the first Programs & Events Dashboard sysops]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/More than a hundred students gathered in Ecuador to edit Wikipedia|More than a hundred students gathered in Ecuador to edit Wikipedia]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Selet WikiSchool continues to teach young Tatar language Wikipedians|Selet WikiSchool continues to teach young Tatar language Wikipedians]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/The WikiClub contributes to the development of our human qualities |The WikiClub contributes to the development of our human qualities]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Third prize for Wikipedia in schools project|Third prize for Wikipedia in schools project]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/We've updated the design of Education space!|We've updated the design of Education space!]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019|The WikiChallenge Ecoles d'Afrique is back]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wiki Advanced Training at VVIT|Wiki Advanced Training at VVIT]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiEducation in Albania from WoALUG|Creating our first WikiClub]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiClubs participate in edit-a-thon of cartoons|WikiClubs participate in edit-a-thon of cartoons]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wikimedia and Education in Portugal: Where are we now|Wikimedia and Education in Portugal: Where are we now]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wikimedia Israel: “Wikipedia Ambassadors” program for Arabic-speaking schools is launched|Wikimedia Israel: “Wikipedia Ambassadors” program for Arabic-speaking schools is launched]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:41, 29. Jan. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18816770 --> == This Month in Education: February 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 2 &#x2022; February 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/February 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia User Group Nigeria in Collaboration with AfroCrowd Celebrate Black Month History with a 2Day Editathon|Wikimedia User Group Nigeria in Collaboration with AfroCrowd Celebrate Black Month History with a 2Day Editathon]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia+Education Programme announced|Wikimedia+Education Programme announced]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikipedia in Education, Uruguay|Wikipedia in Education, Uruguay]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Oslo Metropolitan University hires “Wikipedia-assistants”|Oslo Metropolitan University hires “Wikipedia-assistants”]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Basque Education Program: 2018 in review|Basque Education Program: 2018 in review]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia Israel introduces Wikidata to Education|Wikimedia Israel introduces Wikidata to Education]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia Serbia made tutorials in Serbian language on editing Wikipedia|Wikimedia Serbia made tutorials in Serbian language on editing Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Seminar on wikis in education|Seminar on wikis in education]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia, Tourism and Education: Launching project ISAL|Wikimedia, Tourism and Education: Launching project ISAL]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/The Swiss Lab: Wikipedia as a game|The Swiss Lab: Wikipedia as a game]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Meet Hungary|Meet Hungary]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:52, 27. Feb. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18903920 --> == This Month in Education: March 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 3 &#x2022; March 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/March 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wikimedia at MLW2019|Wikimedia at UNESCO Mobile Learning Week 2019]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wiki Education publishes evaluation on how to get subject matter experts to edit|Wiki Education publishes evaluation on how to get subject matter experts to edit]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/WikiGap brings editors to close WikiGap|WikiGap brings editors to close WikiGap and open Wiki Pathshala]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Education Mapping exercise is open for public review|Education Mapping exercise is open for public review]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wikimedia movement projects and activities presented at EDU RUSSIA 2019 forum|Wikimedia movement projects and activities presented at EDU RUSSIA 2019 forum]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/“Edit-a-thons give us opportunity to distract from common interests” The club members write articles about New Year|“Edit-a-thons give us opportunity to distract from common interests” The club members write articles about New Year]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/WikiClub as a non-formal educational centre in rural communities|WikiClub as a non-formal educational centre in rural communities]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Mini-MWT at VVIT (Feb 2019)|Mini MediaWiki Training at VVIT]]</div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 07:32, 28. Mär. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18959709 --> == Bring your idea for Wikimedia in Education to life! Launch of the Wikimedia Education Greenhouse == {|border="0" cellspacing="2" cellpadding="10" width="100%" style="background:transparent;font-size:1.0em;line-height:normal" |-valign="top" |style="{{pre style}};width:100%"| '''<center>Apply for Education Greenhouse</center>'''<br><br> [[File:Wikimedia Education Greenhouse logo button.svg|frameless|left|120px]] Are you passionate about open education? Do you have an idea to apply Wikimedia projects to an education initiative but don’t know where to start? Join the the Wikimedia & Education Greenhouse! It is an immersive co-learning experience that lasts 9 months and will equip you with the skills, knowledge and support you need to bring your ideas to life. You can apply as a team or as an individual, by May 12th. Find out more <big> [[:outreach:Education/Greenhouse|Education Greenhouse]].</big> For more information reachout to mguadalupe{{@}}wikimedia.org |} —[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 13:16, 5. Apr. 2019 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18981257 --> == This Month in Education: April 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 4 &#x2022; April 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/April 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/April 2019/Launch of the Wikimedia & Education Greenhouse!|Launch of the Wikimedia & Education Greenhouse!]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikipedia Student Scholar|Wikipedia Student Scholar]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikimedia Commons: a highly hostile place for multimedia students contributions|Wikimedia Commons: a highly hostile place for multimedia students contributions]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikimedia+Education Conference highlights|Wikimedia+Education Conference highlights]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:27, 24. Apr. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19034809 --> == This Month in Education: May 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 5 &#x2022; May 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[Outreach:Education/Newsletter/May 2019|Contents]] &#x2022; [[Outreach:Education/Newsletter/May 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Education in Wales|Education in Wales]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia & Education Greenhouse: Applications closed!|Wikimedia & Education Greenhouse: Applications closed!]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Meet Germany|Wiki Camp 'Meet Germany']] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Seniors also count!|Seniors also count!]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Mandatory internship at Wikimedia Armenia|Mandatory internship at Wikimedia Armenia]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia Experience Survey by VVIT WikiConnect|Wikimedia Experience Survey by VVIT WikiConnect]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/OFWA Wikipedia Education Highlights April 2019|OFWA Wikipedia Education Highlights April 2019]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia Education at "Wikicamp Chattogram 2019"|Wikimedia Education at "Wikicamp Chattogram 2019"]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Edit a thon about flora and fauna to celebrate the earth day|Edit a thon about flora and fauna to celebrate the earth day]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:16, 29. Mai 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19113682 --> == This Month in Education: June 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 6 &#x2022; June 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/June 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[outreach:Education/News/June 2019/The introduction of the Wikipedia into the educational program has expanded|The introduction of the Wikipedia into the educational program has expanded]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Welcome Vasanthi|Welcome Vasanthi to the Education Team!]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikimedia Education SAARC Conference happening in India|Wikimedia Education SAARC Conference happening in India]] *[[outreach:Education/News/June 2019/"Won't somebody please think of the children?"|"Won't somebody please think of the children?"]] *[[outreach:Education/News/June 2019/The first Annual Report of VVIT WikiConnect|The first Annual Report of VVIT WikiConnect]] *[[outreach:Education/News/June 2019/An effective collaboration of WikiClubs and schools|An effective collaboration of WikiClubs and schools]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikiclassroom: New way for students' inspiration|Wikiclassroom: New way for students' inspiration]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikipedia as a classroom activity kicks off in Kosovo|Wikipedia as a classroom activity kicks off in Kosovo]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:40, 6. Jul. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19174995 --> == This Month in Education: July 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 7 &#x2022; July 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/July 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/July 2019/First WikiEducation gathering in Mexico|First WikiEducation gathering in Mexico]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/SEABA school in India has hired a Wikimedian to teach Wikimedia project in their school.|SEABA school in India has hired a Wikimedian to teach Wikimedia project in their school.]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Selet WikiSchool: results of first half of 2019|Selet WikiSchool: results of first half of 2019]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Students Use Archival Documents in a Competition, WMIL|Students Use Archival Documents in a Competition, WMIL]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Stepanakert WikiClub: Meeting with the Speaker of the Artsakh Parliament - Ashot Ghoulian|Stepanakert WikiClub: Meeting with the Speaker of the Artsakh Parliament - Ashot Ghoulian]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Collaboration with American University of Armenia|Collaboration with American University of Armenia]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Finalizing the Collaboration with Armenian Education Foundation|Finalizing the Collaboration with Armenian Education Foundation]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Wikimedia Education SAARC Conference Journey|Wikimedia Education SAARC Conference Journey]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 11:53, 30. Jul. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19221452 --> == This Month in Education: August 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 8 &#x2022; August 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/August 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2019/Summer WikiCamp for secondary school students 2019 in Armenia|Summer WikiCamp for secondary school students 2019 in Armenia]] * [[outreach:Education/News/August 2019/Together, we can create an environment that promotes Quality Education|Together, we can create an environment that promotes Quality Education]] * [[outreach:Education/News/August 2019/International Days and pop culture motivate primary and secondary education students to write on Wikipedia and Wikidata|International Days and pop culture motivate primary and secondary education students to write on Wikipedia and Wikidata]] * [[outreach:Education/News/August 2019/Quality learning and recruiting students at Edu Wiki camp|Quality learning and recruiting students at Edu Wiki camp]] * [[outreach:Education/News/August 2019/We spend such wonderful days in WikiCamps that noone wants to return home|We spend such wonderful days in WikiCamps that noone wants to return home]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:00, 5. Sep. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19308048 --> == This Month in Education: September 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 9 &#x2022; September 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/September 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/September 2019/Learning history by expanding articles about novels|Learning history by expanding articles about novels]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Organizing the Education space at Wikimania 2019 - A conversation with Shani Evenstein|Organizing the Education space at Wikimania 2019 - A conversation with Shani Evenstein]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wiki Goes to School is back in three cities in Indonesia|Wiki Goes to School is back in three cities in Indonesia]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikipedia workshop at the Summer IT School for Teachers|Wikipedia workshop at the Summer IT School for Teachers]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019 is over|WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019 is over]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikipedia Education Program launched in Bangladesh|Wikipedia Education Program held at Netrokona Government College, Bangladesh]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Stepanakert WikiClub turns 4!|Stepanakert WikiClub turns 4!]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikimedia Indonesia trained the trainers through WikiPelatih 2019|Wikimedia Indonesia trained the trainers through WikiPelatih 2019]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Students learning Wikipedia editing by attending Wikicamp at Nabran|Students learning Wikipedia editing by attending Wikicamp at Nabran]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:34, 1. Okt. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19418815 --> == This Month in Education: October 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 10 &#x2022; October 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/October 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia Chile launched its new online course for school teachers|Wikimedia Chile launched its new online course for school teachers]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia Norway is developing an education program for Sámi students and universities teaching Sámi subjects|Wikimedia Norway is developing an education program for Sámi students and universities teaching Sámi subjects]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Teachers Association of the Republic of Indonesia (PGRI) Keeps Improving Teachers’ Digital Literacy Through the Use of Wikipedia|Teachers Association of the Republic of Indonesia (PGRI) Keeps Improving Teachers’ Digital Literacy Through the Use of Wikipedia]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Lectures on Wikipedia at the the University of Warsaw|Lectures on Wikipedia at the the University of Warsaw]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikicamp in Armenia through the Eyes of Foreigners| Wikicamp in Armenia through the Eyes of Foreigners]] *[[outreach:Education/News/October 2019/New Wiki Education evaluation report of Wikidata courses published|New Wiki Education evaluation report of Wikidata courses published courses.]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Youth Salon by VVIT WikiConnect along with Wikipedia & Education user group|Wikimedia 2030 Strategoy Youth Salon by VVIT WikiConnect]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the first unit of the online course|Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the first unit of the online courses.]] *[[outreach:Education/News/September 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 10:30, 25. Okt. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19436525 --> == This Month in Education: November 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 11 &#x2022; November 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/October 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/November 2019/GOES for Ghana|Wikimedians aim to make a difference in the lives of students in Ghana with support from the Wikimedia & Education Greenhouse]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/The Third "Editatón WikiUNAM"|The Third "Editatón WikiUNAM"]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/Spreading Free Knowledge in the Land of Minangkabau|Spreading Free Knowledge in the Land of Minangkabau]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/What can we learn from the Open Education movement about attaining educational SDG in the digital age?|What can we learn from the Open Education movement about attaining educational SDG in the digital age?]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/We are highlighting the work User:Ixocactus for his contributions in Wikimedia & Education‎| We are highlighting the work of User:Ixocactus this month‎]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/“Olympic sports through history” on Serbian Wikipedia|“Olympic sports through history” on Serbian Wikipedia courses.]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/Workshops with Wiki Club members|Workshops with Wiki Club members]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/"Learning about other Culture" SEABA School, Lehragaga|"Learning about other Culture" SEABA School, Lehragaga.]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 04:15, 29. Nov. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19589002 --> == This Month in Education: January 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &bull; Issue 1 &bull; January 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2019|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/January 2019/Headlines|Headlines]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/January 2020/Featured education community member of January 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: User:Parvathisri]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Alva's college collaboration|Alva's college collaboration]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/EtnoWiki strikes again!|EtnoWiki strikes again in Poland!]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Internship program: Engaging New Volunteers to Join the Community|Internship program: Engaging New Volunteers to Join the Community]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Joint translations as language studying tool in Karvachar’s Wikiclub|Joint translations as language studying tool in Karvachar’s Wikiclub]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Selet WikiSchool introduces Wikinews and other Wikimedia projects|Selet WikiSchool introduces Wikinews and other Wikimedia projects]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Training of Trainers for Teachers in South Sulawesi Was Organized For the First Time|Training of Trainers for Teachers in South Sulawesi Was Organized For the First Time]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Twenty video tutorials in Serbian language on editing Wikipedia|Twenty video tutorials in Serbian language on editing Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Updates from Wikimedia Education database edit-a-thon|Updates from Wikimedia Education database edit-a-thon]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wiki Club Ohrid grows|Wiki Club Ohrid grows]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wiki Masuk Sekolah (Wiki Goes to School) Involved the Students in Producing and Sharing Knowledge Through Wikipedia|Wiki Masuk Sekolah (Wiki Goes to School) Involved the Students in Producing and Sharing Knowledge Through Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wikiclassroom as a New Means of Gaining Knowledge|Wikiclassroom as a New Means of Gaining Knowledge]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the second unit of the online course|Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the second unit of the online course]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/WoALUG collaboration with educational institution BONEVET in Prishtina|WoALUG collaboration with educational institution BONEVET in Prishtina]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:26, 3. Feb. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19722205 --> == This Month in Education: February 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 1 &#x2022; February 2020</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/February 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/February 2020/Featured education community member of February 2020|Featured education community member of February 2020]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Wikipedia in Mayan Language|Wikipedia in Mayan Language]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Open Education Week - events with Wikimedia Poland|Open Education Week - events with Wikimedia Poland]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Youngest wikimedians ever editing Txikipedia|Youngest wikimedians ever editing Txikipedia]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Fashion and digital citizenship at Bath Spa University|Fashion and digital citizenship at Bath Spa University]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/WoALUG and REC Albania continue their collaboration in Wikimedia Education|WoALUG and REC Albania continue their collaboration in Wikimedia Education]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Respati Project|Respati Project]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 23:06, 3. Mär. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19845865 --> == This Month in Education: March 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 3 &#x2022; March 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/March 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/March 2020/An Update on Wikimedia Indonesia’s Education Program|An Update on Wikimedia Indonesia’s Education Program]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Education Program in CUC Sur, Jalisco, México|Education Program in CUC Sur, Jalisco, México]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Featured education community member of March 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Amber Berson]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Enhancing Armenian Wikipedia with professional articles|Enhancing Armenian Wikipedia with professional articles]] * [[outreach:Education/News/March 2020/How collaborations and perseverance contributed to an especially impactful educational project|How collaborations and perseverance contributed to an especially impactful educational project]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Wikimedia Argentina carried out the first training program in education and Human Rights for the Wikimedia Movement|Wikimedia Argentina carried out the first training program in education and Human Rights for the Wikimedia Movement]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 17:30, 30. Mär. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19864438 --> == This Month in Education: April 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 4 &#x2022; April 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/April 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/April 2020/ Wikipedia Reveals New Sides of Translation|Wikipedia Reveals New Sides of Translation]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Education Webinars organized by Wikimedia México|Education Webinars organized by Wikimedia México]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Fact checking tool with library under cc-license|Fact checking tool with library under cc-license]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Fast help for schools: An interactive platform for Open Educational Resources|Fast help for schools: An interactive platform for Open Educational Resources]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Featured education community member of April 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wiki Club Ashesi Welcomes Onboard a New Patron|Wiki Club Ashesi Welcomes Onboard a New Patron]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wiki-school project with Wikimedia Poland|Wiki-school. A new program for teachers in Poland]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wikimedia Serbia was organized action on improving students assignments on Wikipedia|Wikimedia Serbia was organized action on improving students assignments on Wikipedia]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:45, 5. Mai 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20024483 --> == This Month in Education: May 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 5 &#x2022; May 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/May 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/May 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/May 2020/EduWiki challenge México by Wikimedia México|EduWiki challenge México by Wikimedia México]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Featured education community member of May 2020|Featured education community member of May 2020]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Sharing Wikimedia Education Projects in the Philippines|Sharing Wikimedia Education Projects in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Turkish professors are giving Wikipedia assignments during Covid-19 days|Turkish professors are giving Wikipedia assignments during Covid-19 days]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Wikidata introduced in Faculty of Economics, University of Belgrade|Wikidata introduced in Faculty of Economics, University of Belgrade]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Wikipedia as career counseling tool for teenagers|Wikipedia as career counseling tool for teenagers]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:39, 10. Jun. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20130275 --> == This Month in Education: June 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 6 &#x2022; June 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/June 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/June 2020/Understanding Wikimedia Affiliates Evaluation in Education Report|Understanding Wikimedia Affiliates Evaluation in Education Report]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Understanding Wikimedia Community as Research Fellows|Understanding Wikimedia Community as Research Fellows]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Participants of Wiki/Ponder online workshop in Kosovo edit Wikipedia|Participants of Wiki/Ponder online workshop in Kosovo edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Wikimedia & Education Greenhouse – Celebrating the final unit of the online course!|Wikimedia & Education Greenhouse – Celebrating the final unit of the online course!]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Wikipedia in schools competing for innovations in teaching award|Wikipedia in schools competing for innovations in teaching award]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Featured education community member of June 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Oleh Kushch]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:54, 24. Jun. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20166080 --> == This Month in Education: July 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 7 &#x2022; July 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/July 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/July 2020/About Education at the Wikimedia Polska Conference|About Education at the Wikimedia Polska Conference]] * [[outreach:Education/News/July 2020/Featured education community member of July 2020|Featured education community member]] * [[outreach:Education/News/July 2020/The importance of having an Education and Human Rights Program|The importance of having an Education and Human Rights Program]] * [[outreach:Education/News/July 2020/The Welsh Wiki-Education project|The Welsh Wiki-Education project]] * [[outreach:Education/News/July 2020/Wikimedia Chile faces the challenge of mandatory virtuality|Wikimedia Chile faces the challenge of mandatory virtuality]] * [[outreach:Education/News/July 2020/WoALUG and Canadian Institute of Technology write about women in tech|WoALUG and Canadian Institute of Technology write about women in tech]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 07:27, 5. Aug. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20337242 --> == This Month in Education: August 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 8 • August 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/August 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2020/Collaboration between Karvachar Armath laboratory and Karvachar’s Wikiclub as a new educational platform for the teenagers|Collaboration between Karvachar Armath laboratory and Karvachar’s Wikiclub as a new educational platform for the teenagers]] * [[outreach:Education/News/August 2020/Education cycle “Wikipedia, the free encyclopedia: an instructional strategy for the teaching practice” organized by the Faculty of Education Sciences of the Universidad Autónoma de Tlaxcala and Wikimedia México.|Education cycle “Wikipedia, the free encyclopedia: an instructional strategy for the teaching practice”]] * [[outreach:Education/News/August 2020/3rd edition of Wikipedia Education Program in Hebron, Palestine. (COVID-19 edition)|3rd edition of Wikipedia Education Program in Hebron, Palestine. (COVID-19 edition)]] * [[outreach:Education/News/August 2020/Introductory Wikipedia Workshop with Future Engineers: First Step of Education Program|Introductory Wikipedia Workshop with Future Engineers: First Step of Education Program]] * [[outreach:Education/News/August 2020/A picture is worth a thousand words: history students research pictures on Commons|A picture is worth a thousand words: history students research pictures on Commons]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 15:33, 23. Aug. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20345269 --> == This Month in Education: September 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 9 • September 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2020/Active autumn in the Polish wiki-education|Active autumn in the Polish wiki-education]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"|Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Featured education community member of September 2020|Featured education community member of September 2020]] * [[outreach:Education/News/September 2020/The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines|The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia|Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 14:49, 23. Sep. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20463283 --> == This Month in Education: September 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 9 • September 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2020/Active autumn in the Polish wiki-education|Active autumn in the Polish wiki-education]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"|Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Featured education community member of September 2020|Featured education community member of September 2020]] * [[outreach:Education/News/September 2020/The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines|The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia|Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 16:46, 23. Sep. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20463283 --> == This Month in Education: October 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 10 • October 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2020/Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon|Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Digital skills using Wikimedia Art + Feminism|Digital skills using Wikimedia Art + Feminism]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)|Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Education news bytes|Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Featured education community member of October 2020|Featured education community member of October 2020]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament|Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 13:59, 25. Okt. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20514345 --> == This Month in Education: October 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 10 • October 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2020/Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon|Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Digital skills using Wikimedia Art + Feminism|Digital skills using Wikimedia Art + Feminism]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)|Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Education news bytes|Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Featured education community member of October 2020|Featured education community member of October 2020]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament|Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:03, 25. Okt. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20514345 --> == This Month in Education: November 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 11 • November 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/November 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/November 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/November 2020/Celebrating 10 years of student editing in the United States and Canada|Celebrating 10 years of student editing in the United States and Canada]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Cooperation in digital education – Wikimedia Polska conference|Cooperation in digital education – Wikimedia Polska conference]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Education Team 2020 Year End Review|Education Team 2020 Year End Review]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Featured education community members of 2020|Featured education community members of 2020]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Fifteen years of implementation of the Wikipedia Education Program in Serbia|Fifteen years of implementation of the Wikipedia Education Program in Serbia]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Hablon User Group and UP Internet Freedom Network Wikipedia Edit-a-thon|Hablon User Group and UP Internet Freedom Network Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Online trainings on Wikipedia with high school students of Kosova|Online trainings on Wikipedia with high school students of Kosova]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Photographics and free culture training in Cameroon and Switzerland|Photographics and free culture training in Cameroon and Switzerland]] * [[outreach:Education/News/November 2020/The article about Wiki-education in the science magazine|The article about Wiki-education in the science magazine]] * [[outreach:Education/News/November 2020/The first Online EduWiki Camp in Serbia|The first Online EduWiki Camp in Serbia]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Wikimedia Mexico’s Education Program celebrates Open Access Week 2020|Wikimedia Mexico’s Education Program celebrates Open Access Week 2020]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Wikipedia as a Tool to Educate and to Be Educated|Wikipedia as a Tool to Educate and to Be Educated]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:15, 17. Dez. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20831200 --> == This Month in Education: January 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 1 • January 2021</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/January 2021/Headlines|Headlines]] • [[metawiki:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/January 2021/Featured education community member of January 2021|Featured education community member of January 2021]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Open Education Global 2020 Conference|Open Education Global 2020 Conference]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Reading Wikipedia in Bolivia|Reading Wikipedia in Bolivia]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert|The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines|The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa|Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:26, 23. Jan. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20974633 --> == This Month in Education: January 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 1 • January 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/January 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/January 2021/Featured education community member of January 2021|Featured education community member of January 2021]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Open Education Global 2020 Conference|Open Education Global 2020 Conference]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Reading Wikipedia in Bolivia|Reading Wikipedia in Bolivia]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert|The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines|The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa|Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 16:35, 24. Jan. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21000945 --> == This Month in Education: February 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 2 • February 2021</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/February 2021/Headlines|Headlines]] • [[metawiki:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/February 2021/Education news bytes|Wikimedia Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Featured education community member of February 2021|Featured education community member of February 2021]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Karvachar Wikiclub continues its activities online|Karvachar Wikiclub continues its activities online]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Over 4,000 references added|Over 4,000 more references added! 1Lib1Ref campaign in Poland]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Philippines Climate Change Translate-a-thon|Philippines Climate Change Translate-a-thon]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 08:34, 24. Feb. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21035028 --> == This Month in Education: March 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 3 • March 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/March 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/March 2021/A Wikipedia Webinar for Indonesian Women Teachers|A Wikipedia Webinar for Indonesian Women Teachers]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Educational program of GLAM Macedonia|Educational program of GLAM Macedonia]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Filling Gaps - the Conference about Education in Poland|Filling the Gaps & Open Education Week]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Featured education community member of March 2021|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Bara'a Zama'reh]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Using Wikipedia and Bridging the Gender Gap: In-Service training for Teachers in Philippines|Using Wikipedia and Bridging the Gender Gap: In-Service training for Teachers in Philippines]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:46, 26. Mär. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21247888 --> == This Month in Education: April 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 4 • April 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/April 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/April 2021/Collaboration with Brusov State University|Collaboration with Brusov State University]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Editing contest "Meet Russia"|Editing contest "Meet Russia"]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Educational project: Wikipedia at the University with the University Center for Economic-Administrative Sciences|Educational project: Wikipedia at the University with the University Center for Economic-Administrative Sciences (Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas (CUCEA)) of the University of Guadalajara]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Regional Meeting of Latin American Education by the EWOC|Regional Meeting of Latin American Education by the EWOC]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Students of the Faculty of Philosophy in Belgrade have started an internship program|Students of the Faculty of Philosophy in Belgrade have started an internship program]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 00:48, 26. Apr. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21372399 --> == This Month in Education: May 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 5 • May 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/May 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/May 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/May 2021/A Multimedia-Rich Wikiversity MOOC from Brazil|A Multimedia-Rich Wikiversity MOOC from Brazil]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Featured education community member of May 2021|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Maria Weronika Kmoch]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Offline workshop with Nikola Koperniku High School in Albania|Offline workshop with Nikola Koperniku High School in Albania]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wiki Education Program Organized with the University Students for the First time in Bangladesh|Wiki Education Program Organized with the University Students for the First time in Bangladesh]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wikimedia Commons workshop with high school students in Kosovo; Workshop with telecommunication students at University of Prishtina|Wikimedia Commons workshop with high school students in Kosovo]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wikipedia training for the Safeguardians of the Intangible Cultular Heritage|Wikipedia training for the Bearers of Intangible Cultural Heritage in Poland]] * [[outreach:Education/News/May 2021/“Writing a Wikipedia article isn’t as difficult and unimaginable as it seems”: A case for Wikipedia Education Program in Ukraine|“Writing a Wikipedia article isn’t as difficult and unimaginable as it seems”: A case for Wikipedia Education Program in Ukraine]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:38, 27. Mai 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21425406 --> == This Month in Education: June 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 6 • June 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/June 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/June 2021/Children writing for an encyclopedia – is it possible?|Can children write articles for a wiki encyclopedia?]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Editing contest "Biosphere reserves in the world"|Editing contest "Biosphere reserves in the world"]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Training & workshop on Wikidata and Wikimedia Commons with students from Municipal Learning Center, Gurrakoc|Training & workshop on Wikidata and Wikimedia Commons with students from Municipal Learning Center, Gurrakoc]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Wiki for Human Rights Campaign in the Philippines|Wiki for Human Rights Campaign in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Wiki-School program in Poland at the end of school year|Wikipedia makes children and teachers happy!]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Workshop with students of Language Faculty of Philology, University of Prishtina "Hasan Prishtina"|Workshop with the students of Language Faculty of Philology, University of Prishtina "Hasan Prishtina"]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:57, 23. Jun. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21553405 --> == This Month in Education: July 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 7 • July 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/July 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/July 2021/UHI Editathon celebrates 10 years as a university|University celebrates 10th anniversary with an Editathon]] * [[outreach:Education/News/July 2021/A paper on Students' Attitudes Towards the Use of Wikipedia|A paper on Students' Attitudes Towards the Use of Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/July 2021/Announcing the Training of Trainers program for Reading Wikipedia in the Classroom!|Announcing the Training of Trainers program for "Reading Wikipedia in the Classroom"]] * [[outreach:Education/News/July 2021/MOOC Conocimiento Abierto y Software Libre|MOOC Conocimiento Abierto y Software Libre]] * [[outreach:Education/News/July 2021/Leamos Wikipedia en Bolivia|Updates on the Leamos Wikipedia en Bolivia 2021]] * [[outreach:Education/News/July 2021/E-lessons on Wikipedia from Wikimedia Polska|Virtual lessons on Wikipedia from Wikimedia Polska for schools]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:32, 3. Aug. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21829196 --> == This Month in Education: August 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 8 • August 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/August 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2021/Workshop for the Teachers from Poland|GLAM-wiki Summer in the City: Polish Teachers met in Warsaw]] * [[outreach:Education/News/August 2021/Wikipedia for School – our largest article contest for Ukrainian teachers|Wikipedia for School – our largest article contest for Ukrainian teachers]] * [[outreach:Education/News/August 2021/The importance of Social Service: Modality of educational linkage with ITESM, Querétaro campus and Wikimedia Mexico|The importance of Social Service: Modality of educational linkage with ITESM, Querétaro campus and Wikimedia Mexico]] * [[outreach:Education/News/August 2021/"Searching for the unschooling vibes around Wikipedia" at the Wikimania 2021|Wikimania 2021 and the unschooling vibes around Wikipedia by Wikimedia Polska, Education team]] * [[outreach:Education/News/August 2021/Open Foundation West Africa Introduces KIWIX Offline to the National Association of Graduate Teachers|Open Foundation West Africa Introduces KIWIX Offline to the National Association of Graduate Teachers]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 15:38, 25. Aug. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21914750 --> == This Month in Education: September 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 9 • September 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2021/Cultural history on Wikipedia|Cultural history on Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Education program in Ukraine is finally back to offline|Education program in Ukraine is finally back to offline!]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Reading Wikipedia in the Classroom Module Distribution in the Philippines|Reading Wikipedia in the Classroom Module Distribution in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Senior Citizens WikiTown 2021: Týn nad Vltavou|Senior Citizens WikiTown 2021: Týn nad Vltavou]] * [[outreach:Education/News/September 2021/WikiXLaEducación: New contest to include articles about education on Wikipedia|#WikiXLaEducación: New contest to include articles about education on Wikipedia]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:43, 26. Sep. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22072998 --> == This Month in Education: October 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 10 • October 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2021/1st joint contest Wikimedia UG Georgia and the Ministry of Education of Georgia.|1st joint contest Wikimedia UG Georgia and the Ministry of Education of Georgia]] * [[outreach:Education/News/October 2021/Promoting more inclusive and equitable support for the Wikimedia Education community|Promoting more inclusive and equitable support for the Wikimedia Education community]] * [[outreach:Education/News/October 2021/The Second Online EduWiki Camp in Serbia|The Second Online EduWiki Camp in Serbia]] * [[outreach:Education/News/October 2021/University courses in the UK|Higher and further education courses in the UK]] * [[outreach:Education/News/October 2021/Wikipedia on Silesia Cieszyn in Poland|Wikipedia on Silesia Cieszyn in Poland and in Czech Republic]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:41, 26. Okt. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22208730 --> == This Month in Education: November 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 11 • November 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Education/Newsletter/November 2021|Contents]] • [[m:Education/Newsletter/November 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Education/News/November 2021/We talked about EduWiki Outreach Collaborators and how Wikimedia Serbia played a role being a part of it|We talked about EduWiki Outreach Collaborators and how Wikimedia Serbia played a role being a part of it]] * [[m:Education/News/November 2021/Welcome to Meta!|Welcome to Meta!]] * [[m:Education/News/November 2021/Wikipedia Education Program in Ukraine in 2021|Wikipedia Education Program in Ukraine in 2021]] * [[m:Education/News/November 2021/Wikipedia and Education Mentorship Program-Serbia and Philippines Partnership|Wikipedia and Education Mentorship Program-Serbia and Philippines Partnership]] * [[m:Education/News/November 2021/Launch of the Wikimedia Research Fund!|Launch of the Wikimedia Research Fund!]] * [[m:Education/News/November 2021/Education projects in the Land of Valencia|Education projects in the Land of Valencia]] * [[m:Education/News/November 2021/A Hatch-Tyap-Wikipedia In-person Training Event|A Hatch-Tyap-Wikipedia In-person Training Event]] * [[m:Education/News/November 2021/Celebrating Sq Wikipedia Birthday with the Vasil Kamami High School students|Celebrating Sq Wikipedia Birthday with the Vasil Kamami High School students]] * [[m:Education/News/November 2021/Celebrating Wikidata with the Nikola Koperniku High School students|Celebrating Wikidata with the Nikola Koperniku High School students]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:19, 21. Nov. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22360687 --> == This Month in Education: January 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Dieser Monat im Bildungswesen</span><br/> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Band 11 • Ausgabe 1 • Januar 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In dieser Ausgabe</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/30-h Wikipedia Article Writing Challenge|Wikipedia-Herausforderung: Artikel schreiben innerhalb von 30 Stunden]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Announcing Wiki Workshop 2022|Ankündigung von Wiki Workshop 2022!]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Final exhibition about Cieszyn Silesia region|Abschlussausstellung der Region Cieszyn/Schlesien]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Join us this February for the EduWiki Week|Nimm diesen Februar an der Eduwiki-Woche teil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Offline Education project WikiChallenge closed its third edition|Dritte Ausgabe des offline-Bildungsprojekt WikiChallenge beendet]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Reading Wikipedia in the Classroom ToT Experience of a Filipina Wikimedian|Wikipedia im Klassenzimmer: Technologietransfererfahrungen einer phillipinischen Wikimedian]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Welcoming new trainers of the Reading Wikipedia in the Classroom program|Begrüßung neuer Ausbilder für das Projekt Wikipedia im Klassenzimmer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Wikimedia Israel’s education program: Students enrich Hebrew Wiktionary with Biblical expressions still in use in modern Hebrew|Wikimedia Israels Bildungsprojekt: Studenten bereichern hebräisches Wiktionary mit weiterhin gebräuchlichen biblischen Redewendungungen]] </div></div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:29, 24. Jan. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22669905 --> == This Month in Education: January 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Dieser Monat im Bildungswesen</span><br/> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Band 11 • Ausgabe 1 • Januar 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In dieser Ausgabe</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/30-h Wikipedia Article Writing Challenge|Wikipedia-Herausforderung: Artikel schreiben innerhalb von 30 Stunden]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Announcing Wiki Workshop 2022|Ankündigung von Wiki Workshop 2022!]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Final exhibition about Cieszyn Silesia region|Abschlussausstellung der Region Cieszyn/Schlesien]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Join us this February for the EduWiki Week|Nimm diesen Februar an der Eduwiki-Woche teil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Offline Education project WikiChallenge closed its third edition|Dritte Ausgabe des offline-Bildungsprojekt WikiChallenge beendet]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Reading Wikipedia in the Classroom ToT Experience of a Filipina Wikimedian|Wikipedia im Klassenzimmer: Technologietransfererfahrungen einer phillipinischen Wikimedian]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Welcoming new trainers of the Reading Wikipedia in the Classroom program|Begrüßung neuer Ausbilder für das Projekt Wikipedia im Klassenzimmer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Wikimedia Israel’s education program: Students enrich Hebrew Wiktionary with Biblical expressions still in use in modern Hebrew|Wikimedia Israels Bildungsprojekt: Studenten bereichern hebräisches Wiktionary mit weiterhin gebräuchlichen biblischen Redewendungungen]] </div></div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 22:14, 24. Jan. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22669905 --> == This Month in Education: February 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English ... {{int:please-translate}} <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 2 • February 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</div> </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Open Foundation West Africa Expands Open Movement With UHAS|Open Foundation West Africa Expands Open Movement With UHAS]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Celebrating the 18th anniversary of Ukrainian Wikipedia|Celebrating the 18th anniversary of Ukrainian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Integrating Wikipedia in the academic curriculum in a university in Mexico|Integrating Wikipedia in the academic curriculum in a university in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Results of "Reading Wikipedia" workshop in the summer school of Plan Ceibal in Uruguay|Results of "Reading Wikipedia" workshop in the summer school of Plan Ceibal in Uruguay]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/WikiFundi, offline editing plateform : last release notes and how-tos|WikiFundi, offline editing plateform : last release notes and how-tos]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Writing Wikipedia as an academic assignment in STEM fields|Writing Wikipedia as an academic assignment in STEM fields]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/The Learning and Connection – 1Lib1Ref with African Librarians|The Learning and Connection – 1Lib1Ref with African Librarians]] </div> </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:09, 28. Feb. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22886200 --> == This Month in Education: March 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English... Please help translate to your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 3 • March 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Arte+Feminismo Pilipinas:Advocacy on Women Empowerment|Arte+Feminismo Pilipinas:Advocacy on Women Empowerment]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/The edit-a-thon on Serbian Wikipedia on the occasion of Edu Wiki Week|The edit-a-thon on Serbian Wikipedia on the occasion of Edu Wiki Week]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Call for Participation: Higher Education Survey|Call for Participation: Higher Education Survey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Collection of Good Practices in Wikipedia Education|Collection of Good Practices in Wikipedia Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Conversation: Open education in the Wikimedia Movement views from Latin America|Conversation: Open education in the Wikimedia Movement views from Latin America]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/EduWiki Week 2022, celebrations and learnings|EduWiki Week 2022, celebrations and learnings]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/EduWiki Week in Armenia|EduWiki Week in Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Open Education Week at the Universidad Autónoma de Nuevo León|Open Education Week at the Universidad Autónoma de Nuevo León]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Wikipedia + Education Talk With Leonard Hagan|Wikipedia + Education Talk With Leonard Hagan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Wikimedia Israel cooperates with Yad Vashem in developing a training course for teachers|Wikimedia Israel cooperates with Yad Vashem in developing a training course for teachers]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:58, 25. Mär. 2022 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23020683 --> == This Month in Education: April 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English... Please help translate to your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 4 • April 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Audio-Educational Seminar of Wikimedia Mexico|Audio-Educational Seminar of Wikimedia Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Dagbani Wikimedians using digital TV broadcast to train Wikipedia contributors in Ghana|Dagbani Wikimedians using digital TV broadcast to train Wikipedia contributors in Ghana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Digital Education & The Open Space With Herbert Acheampong|Digital Education & The Open Space With Herbert Acheampong]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/HerStory walks as a part of edit-a-thons|HerStory walks as a part of edit-a-thons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Join us for Wiki Workshop 2022|Join us for Wiki Workshop 2022]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/The youngest member of Tartu Wikiclub is 15-year-old student|The youngest member of Tartu Wikiclub is 15-year-old student]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 14:52, 24. Apr. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23177152 --> == This Month in Education: May 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 5 • May 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Education/News/May 2022/Wiki Hackathon in Kwara State|Wiki Hackathon in Kwara State]] * [[Education/News/May 2022/Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete|Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete]] * [[Education/News/May 2022/Education in Kosovo|Education in Kosovo]] * [[Education/News/May 2022/Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes|Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes]] * [[Education/News/May 2022/Tyap Wikipedia Goes Live|Tyap Wikipedia Goes Live]] * [[Education/News/May 2022/Spring 1Lib1Ref edition in Poland|Spring 1Lib1Ref edition in Poland]] * [[Education/News/May 2022/Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop|Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop]] * [[Education/News/May 2022/Wikibooks project in teaching|Wikibooks project in teaching]] * [[Education/News/May 2022/Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković|Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković]] * [[Education/News/May 2022/My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah|My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education| Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:43, 1. Jun. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23282386 --> == This Month in Education: May 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 5 • May 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Education/News/May 2022/Wiki Hackathon in Kwara State|Wiki Hackathon in Kwara State]] * [[m:Education/News/May 2022/Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete|Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete]] * [[m:Education/News/May 2022/Education in Kosovo|Education in Kosovo]] * [[m:Education/News/May 2022/Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes|Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes]] * [[m:Education/News/May 2022/Tyap Wikipedia Goes Live|Tyap Wikipedia Goes Live]] * [[m:Education/News/May 2022/Spring 1Lib1Ref edition in Poland|Spring 1Lib1Ref edition in Poland]] * [[m:Education/News/May 2022/Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop|Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop]] * [[m:Education/News/May 2022/Wikibooks project in teaching|Wikibooks project in teaching]] * [[m:Education/News/May 2022/Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković|Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković]] * [[m:Education/News/May 2022/My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah|My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education| Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:54, 1. Jun. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23351176 --> == This Month in Education: June 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 6 • June 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Black Lunch Table: Black History Month with Igbo Wikimedians User Group|Black Lunch Table: Black History Month with Igbo Wikimedians User Group]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Bolivian Teachers Welcomed Wikipedia in their Classroom|Bolivian Teachers Welcomed Wikipedia in their Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Educational program & Wikivoyage in Ukrainian University|Educational program & Wikivoyage in Ukrainian University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The Great Learning and Connection: Experience from AFLIA|The Great Learning and Connection: Experience from AFLIA]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/New Mexico Students Join Wikimedia Movement Through WikiForHumanRights Campaign|New Mexico Students Join Wikimedia Movement Through WikiForHumanRights Campaign]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The school wiki-project run by a 15 year old student came to an end|The school wiki-project run by a 15 year old student came to an end]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The students of Kadir Has University, Istanbul contribute Wikimedia projects in "Civic Responsibility Project" course|The students of Kadir Has University, Istanbul contribute Wikimedia projects in "Civic Responsibility Project" course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wiki Trip with Vasil Kamami Wikiclub to Berat, the town of one thousand windows|Wiki Trip with Vasil Kamami Wikiclub to Berat, the town of one thousand windows]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikiclubs in Albania|Wikiclubs in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikidata in the classroom FGGC Bwari Experience|Wikidata in the classroom FGGC Bwari Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikipedia and Secondary Schools in Aotearoa New Zealand|Wikipedia and Secondary Schools in Aotearoa New Zealand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/А large-scale online course for teaching beginners to work in Wikipedia has been developed in Russia|А large-scale online course for teaching beginners to work in Wikipedia has been developed in Russia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:50, 4. Jul. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23406065 --> == This Month in Education: July 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 7 • July 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia Chile launched a teacher guidebook with Wiki tools for Heritage Education|Wikimedia Chile launched a teacher guidebook with Wiki tools for Heritage Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia Serbia received a new accreditation for the professional development program|Wikimedia Serbia received a new accreditation for the professional development program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia for Illiterate Persons|Wikimedia for Illiterate Persons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/EtnoWiki edit-a-thon in Poland|Polish Wikipedia is enriched with new EtnoWiki content]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Career Education through Wikipedia|Career Education through Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:39, 3. Aug. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23607963 --> == This Month in Education: August 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 8 • August 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/The Making of a Certified Trainer of Reading Wikipedia in the Classroom|The Making of a Certified Trainer of Reading Wikipedia in the Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wikimania SDGs 2022: The Kwara Experience|Wikimania SDGs 2022: The Kwara Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/An adapted Module teacher’s guide in Yoruba and English about Reading Wikipedia in the Classroom in Nigeria is now available on Commons|An adapted Module teacher’s guide in Yoruba and English about Reading Wikipedia in the Classroom in Nigeria is now available on Commons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Reading Wikipedia in the Classroom Kwara, Nigeria: The Trainers Experience|Reading Wikipedia in the Classroom Kwara, Nigeria: The Trainers Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Edu Wiki Camp 2022 in Serbia: Together again|Edu Wiki Camp 2022 in Serbia: Together again]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Reading Wikipedia in the Classroom Program Nigeria: The Teacher experience |Reading Wikipedia in the Classroom Program Nigeria: The Teacher experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wiki For Senior Citizens|Wiki For Senior Citizens]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/WikiLoves SDGs Nigeria Tours Kwara State University Malete|WikiLoves SDGs Nigeria Tours Kwara State University Malete]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wikiteka project in Poland - summertime|Wikiteka project in Poland - summertime]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 7. Sep. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23758285 --> == This Month in Education: September 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 9 • September 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/OpenEdu.ch: centralising training documents, a platform for the teachers' community in Switzerland|OpenEdu.ch: centralising training documents, a platform for the teachers' community in Switzerland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Senior Citizens WikiTown 2022: Exploring Olomouc and its heritage|Senior Citizens WikiTown 2022: Exploring Olomouc and its heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikimedia Research Fund|Wikimedia Research Fund]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikimedia Youths Commemorate the International Youth Day 2022 in an exciting way across the globe|Wikimedia Youths Commemorate the International Youth Day 2022 in an exciting way across the globe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikipedia, Education, and the Crisis of Information|Wikipedia, Education, and the Crisis of Information]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:55, 3. Okt. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23879722 --> == This Month in Education: End of the 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 10 • October–November 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/End of the 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/End of the 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/2nd Latin American Regional Meeting on Education|2nd Latin American Regional Meeting on Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Adopting Wikipedia for Secondary School Students in Nigeria Classroom|Adopting Wikipedia for Secondary School Students in Nigeria Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Celebrating 2022 Vibrance in Kwara State University Malete|Celebrating 2022 Vibrance in Kwara State University Malete]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Celebrating the Wikipedia and Wikidata Birthday in school|Celebrating the Wikipedia and Wikidata Birthday in school]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Report on school libraries in Poland for the Wikiteka project|Report on school libraries in Poland for the Wikiteka project]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Wiki For Senior Citizens Network|Wiki For Senior Citizens Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/WikiEducation, Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources|WikiEducation, Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Wikimedia & Education Workshops: a Wiki Movimento Brasil initiative|Wikimedia & Education Workshops: a Wiki Movimento Brasil initiative]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/An event at the National History Museum in Tirana|An event at the National History Museum in Tirana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Students 24-hour competition on Wikipedia article writing|Students 24-hour competition on Wikipedia article writing]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wiki-Data a Giant at 10|Wiki-Data a Giant at 10]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/WikiGraphers: Visualizing Open Knowledge|WikiGraphers: Visualizing Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Israel’s Educational Innovation: “Students Write Wikipedia” as a Matriculation-Exam Alternative|Wikimedia Israel’s Educational Innovation: “Students Write Wikipedia” as a Matriculation-Exam Alternative]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Morocco User Group Empowers Moroccan Teachers to Use Wikipedia in the Classroom |Wikimedia Morocco User Group Empowers Moroccan Teachers to Use Wikipedia in the Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Russia has released the "Introduction to Wikipedia" textbook|Wikimedia Russia has released the "Introduction to Wikipedia" textbook]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/“Wikipedia for School” contest was held in Ukraine for the third time|“Wikipedia for School” contest was held in Ukraine for the third time]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Announcing the Wikipedia & Education User Group Election Results|Announcing the Wikipedia & Education User Group Election Results]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:56, 19. Dez. 2022 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24091294 --> == This Month in Education: January 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 1 • January 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Educational Projects 2023-1 in Mexico|Educational Projects 2023-1 in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Integration of Wikipedia in Ukrainian universities – teacher-led and student-led|Integration of Wikipedia in Ukrainian universities – teacher-led and student-led]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Transitional Justice in Kosovo edit-a-thon and Partnership with Faculty of Electrical and Computer Engineering - University of Prishtina|Transitional Justice in Kosovo edit-a-thon and Partnership with Faculty of Electrical and Computer Engineering - University of Prishtina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Wikidata Citation Hunt Program for secondary school students, Dubai|Wikidata Citation Hunt Program for secondary school students, Dubai]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Wikipedia edit-a-thon with students from Art Faculty - University of Prishtina|Wikipedia edit-a-thon with students from Art Faculty - University of Prishtina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Тeacher from Belgrade got a reward for using Wikibooks in teaching|Тeacher from Belgrade got a reward for using Wikibooks in teaching]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:32, 6. Feb. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24472891 --> == This Month in Education: February 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 2 • February 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/A Strategic Direction for a Massive Online Course for Educators in Brazil|A Strategic Direction for a Massive Online Course for Educators in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Alliance Funding for Wikipedia as a school resource in Tāmaki Makaurau Auckland, New Zealand|Alliance Funding for Wikipedia as a school resource in Tāmaki Makaurau Auckland, New Zealand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Call for Submissions to Wiki Workshop 2023|Call for Submissions to Wiki Workshop 2023]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Collaboration with Charles University on the creation of Czech Wikipedia started in January|Collaboration with Charles University on the creation of Czech Wikipedia started in January]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Open Education Week 2023 in the Wikimedia Mexico Education Program|Open Education Week 2023 in the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Wikiclubs with different schools in Albania |Wikiclubs with different schools in Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 22:08, 12. Mär. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24706239 --> == This Month in Education: March 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 3 • March 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Audio-seminar project of the Wikimedia Mexico Education Program|Audio-seminar project of the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Empowering Nigerian Female Artists: Through Art & Feminism Edith-A-Thon at KWASU Fan Club|Empowering Nigerian Female Artists: Through Art & Feminism Edith-A-Thon at KWASU Fan Club]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Exploring How Wikipedia Works|Exploring How Wikipedia Works]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Florida graduate students complete Library History edit-a-thon for credit|Florida graduate students complete Library History edit-a-thon for credit]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Improving hearing health content in Brazil|Improving hearing health content in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Media Literacy Portal to become a key resource for media education in Czech Libraries |Media Literacy Portal to become a key resource for media education in Czech Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikeys in the Albanian language|Wikeys in the Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimarathon is an opportunity to involve students and teachers in creating and editing articles in Wikipedia|Wikimarathon is an opportunity to involve students and teachers in creating and editing articles in Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimedia Polska short report|Wikimedia Polska short report]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimedia Serbia participated in the State Seminar of the The Mathematical Society of Serbia|Wikimedia Serbia participated in the State Seminar of the The Mathematical Society of Serbia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:45, 8. Apr. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24824837 --> == This Month in Education: April 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 4 • April 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Auckland Museum Alliance fund project update|Auckland Museum Alliance fund project update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Introducing Wikipedia to Kusaal Language Teachers|Introducing Wikipedia to Kusaal Language Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/KWASU Fan Club Leads the Way in 21st Century Learning with Wiki in School Program|KWASU Fan Club Leads the Way in 21st Century Learning with Wiki in School Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/On-line Courses for Educators in Poland|On-line Courses for Educators in Poland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Online meeting of Ukrainian educators working with Wikipedia – four perspectives|Online meeting of Ukrainian educators working with Wikipedia – four perspectives]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikiclubs Editathon in Elbasan, Albania |Wikiclubs Editathon in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikipedia at the Brazilian Linguistics Olympiad|Wikipedia at the Brazilian Linguistics Olympiad]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikipedia at the University of Łódź Information Management Conference|Wikipedia at the University of Łódź Information Management Conference]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:27, 23. Mai 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24999562 --> == This Month in Education: June 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 5 • June 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Africa Day 2023: Abuja Teachers celebrates|Africa Day 2023: Abuja Teachers celebrates]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/From editing articles to civic power – Wikimedia UK's research on democracy and Wikipedia|From editing articles to civic power – Wikimedia UK's research on democracy and Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Reading Wikipedia in the Classroom Program in Yemen Brings Positive Impact to Yemeni Teachers|Reading Wikipedia in the Classroom Program in Yemen Brings Positive Impact to Yemeni Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Using Wikipedia in education: students' and teachers' view|Using Wikipedia in education: students' and teachers' view]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/The Journey of Reading Wikipedia in the Classroom Lagos State|The Journey of Reading Wikipedia in the Classroom Lagos State]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/WMB goes to Serbia |WMB goes to Serbia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/But we don't want it to end!|But we don't want it to end!]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 10:44, 4. Jul. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25147408 --> == This Month in Education: July 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 7 • July 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia Kaduna Connect Campaign|Wikimedia Kaduna Connect Campaign]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia Serbia published a paper Promoting Equity in Access to Open Knowledge: An Example of the Wikipedia Educational Program|Wikimedia Serbia published a paper Promoting Equity in Access to Open Knowledge: An Example of the Wikipedia Educational Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia and Education Kailali Multiple campus|Wikimedia and Education Kailali Multiple campus]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/WikiCamp in Istog, Kosovo: Promoting Knowledge and Nature Appreciation|WikiCamp in Istog, Kosovo: Promoting Knowledge and Nature Appreciation]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wiki at the Brazilian National History Symposium|Wiki at the Brazilian National History Symposium]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/US & Canada program reaches 100M words added |US & Canada program reaches 100M words added]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Renewed Community Wikiconference brought together experienced Wikipedians and newcomers|Renewed Community Wikiconference brought together experienced Wikipedians and newcomers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Kusaal Wikipedia Workshop at Ajumako Campus, University of Education, Winneba|Kusaal Wikipedia Workshop at Ajumako Campus, University of Education, Winneba]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Join us to celebrate the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program Graduation Ceremony|Join us to celebrate the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program Graduation Ceremony]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Activities that took place during the presentation of the WikiEducation book|Activities that took place during the presentation of the WikiEducation book. Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources in Xalala, Veracruz from the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/62+ Participants Graduates from the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program|62+ Participants Graduates from the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/“Reading Wikipedia in the Classroom” course launched in Ukraine|“Reading Wikipedia in the Classroom” course launched in Ukraine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/OFWA and Goethe Institute Host Wiki Skills For Librarians Workshop-Ghana|OFWA and Goethe Institute Host Wiki Skills For Librarians Workshop-Ghana]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:33, 14. Aug. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25457946 --> == This Month in Education: September 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 7 • September 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Inauguration of the Kent Wiki Club at the Wikimania 2023 Conference|Inauguration of the Kent Wiki Club at the Wikimania 2023 Conference]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Letter Magic: Supercharging Your WikiEducation Programs|Letter Magic: Supercharging Your WikiEducation Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Réseau @pprendre (Learning Network) : The Initiative for Educational Change in Francophone West Africa|Réseau @pprendre (Learning Network) : The Initiative for Educational Change in Francophone West Africa]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/WikiChallenge Ecoles d’Afrique closes its 5th edition with 13 winning schools|WikiChallenge Ecoles d’Afrique closes its 5th edition with 13 winning schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/WikiConecta: connecting Brazilian university professors and Wikimedia|WikiConecta: connecting Brazilian university professors and Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Wikimedia Germany launches interactive event series Open Source AI in Education |Wikimedia Germany launches interactive event series Open Source AI in Education]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:01, 10. Okt. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25700976 --> == This Month in Education: October 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Volume 12 • Issue 8 • October 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/3 Generations at Wikipedia Education Program in Türkiye|3 Generations at Wikipedia Education Program in Türkiye]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/CBSUA Launches Wiki Education in Partnership with PhilWiki Community and Bikol Wikipedia Community|CBSUA Launches Wiki Education in Partnership with PhilWiki Community and Bikol Wikipedia Community]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Celebrating Wikidata’s Birthday in Elbasan|Celebrating Wikidata’s Birthday in Elbasan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Edu Wiki Camp 2023 - together in Sremski Karlovci|Edu Wiki Camp 2023 - together in Sremski Karlovci]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/PhilWiki Community promotes language preservation and cultural heritage advocacies at ADNU|PhilWiki Community promotes language preservation and cultural heritage advocacies at ADNU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/PunjabWiki Education Program: A Wikipedia Adventure in Punjab|PunjabWiki Education Program: A Wikipedia Adventure in Punjab]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/WikiConference on Education ignites formation of Wikimedia communities|WikiConference on Education ignites formation of Wikimedia communities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikimedia Estonia talked about education at CEE meeting in Tbilisi|Wikimedia Estonia talked about education at CEE meeting in Tbilisi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikimedia in Brazil is going to be a book|Wikimedia in Brazil is going to be a book]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikipedian Editor Project: Arabic Sounds Workshop 2023|Wikipedian Editor Project: Arabic Sounds Workshop 2023]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:34, 8. Nov. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25784366 --> == This Month in Education: November 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 9 • November 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/4th WikiUNAM Editathon: Community knowledge strengthens education|4th WikiUNAM Editathon: Community knowledge strengthens education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Edit-a-thon at the Faculty of Medical Sciences of Santa Casa de São Paulo|Edit-a-thon at the Faculty of Medical Sciences of Santa Casa de São Paulo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/EduWiki Nigeria Community: Embracing Digital Learning Through Wikipedia|EduWiki Nigeria Community: Embracing Digital Learning Through Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Evening Wikischool offers Czech seniors further education on Wikipedia|Evening Wikischool offers Czech seniors further education on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Expansion of Wikipedia Education Program through Student Associations at Iranian Universities|Expansion of Wikipedia Education Program through Student Associations at Iranian Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Exploring Wikipedia through Wikiclubs and the Wikeys board game in Albania |Exploring Wikipedia through Wikiclubs and the Wikeys board game in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/First anniversary of the game Wikeys|First anniversary of the game Wikeys]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Involve visiting students in education programs|Involve visiting students in education programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Iranian Students as Wikipedians: Using Wikipedia to Teach Research Methodology and Encyclopedic Writing|Iranian Students as Wikipedians: Using Wikipedia to Teach Research Methodology and Encyclopedic Writing]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Kiwix4Schools Nigeria: Bridging Knowledge Gap through Digital Literacy|Kiwix4Schools Nigeria: Bridging Knowledge Gap through Digital Literacy]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Lire wikipedia en classe à Djougou au Bénin|Lire wikipedia en classe à Djougou au Bénin]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Tyap Wikimedians Zaria Outreach|Tyap Wikimedians Zaria Outreach]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Art Outreach at Aje Compreshensive Senior High School 1st November 2023, Lagos Mainland|Art Outreach at Aje Comprehensive Senior High School 1st November 2023, Lagos Mainland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/PhilWiki Community holds a meet-up to advocate women empowerment|PhilWiki Community holds a meet-up to advocate women empowerment]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:24, 14. Dez. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25919737 --> == This Month in Education: January 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 1 • January 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Cross-Continental Wikimedia Activities: A Dialogue between Malaysia and Estonia|Cross-Continental Wikimedia Activities: A Dialogue between Malaysia and Estonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Czech programme SWW in 2023 – how have we managed to engage students|Czech programme SWW in 2023 – how have we managed to engage students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Extending Updates on Wikipedia in Education – Elbasan, Albania|Extending Updates on Wikipedia in Education – Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Reading Wikipedia in the Classroom Teacher’s guide – now available in Bulgarian language|Reading Wikipedia in the Classroom Teacher’s guide – now available in Bulgarian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Summer students at Auckland Museum|Summer students at Auckland Museum]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/WikiDunong: EduWiki Initiatives in the Philippines Project|WikiDunong: EduWiki Initiatives in the Philippines Project]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Wikimedia Armenia's Educational Workshops|Wikimedia Armenia's Educational Workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Wikimedia Foundation publishes its first Child Rights Impact Assessment|Wikimedia Foundation publishes its first Child Rights Impact Assessment]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 11:02, 10. Feb. 2024 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26091771 --> == This Month in Education: February 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 2 • February 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/2 new courses in Students Write Wikipedia Starting this February|2 new courses in Students Write Wikipedia Starting this February]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/More two wiki-education partnerships|More two wiki-education partnerships]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Open Education Week 2024 in Mexico|Open Education Week 2024 in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Reading Wikipedia in Bolivia, the community grows|Reading Wikipedia in Bolivia, the community grows]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Education Philippines promotes OERs utilization|Wiki Education Philippines promotes OERs utilization]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Loves Librarians, Kaduna|Wiki Loves Librarians, Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Workshop 2024 CfP - Call for Papers Research track|Wiki Workshop 2024 CfP – Call for Papers Research track]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:38, 20. Mär. 2024 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26310117 --> == This Month in Education: March 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 3 • March 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Reading Wikipedia in the classroom, Kaduna|Reading Wikipedia in the classroom, Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Reading Wikipedia in Ukraine – the course for educators is now available on demand|Reading Wikipedia in Ukraine – the course for educators is now available on demand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Wiki Movement Brazil will once again support the Brazilian Linguistics Olympiad|Wiki Movement Brazil will once again support the Brazilian Linguistics Olympiad]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Wikipedia within the Education Setting in Albania|Wikipedia within the Education Setting in Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:28, 28. Apr. 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26659969 --> == This Month in Education: April 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Diesen Monat im Bildungswesen</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Band 13 • Ausgabe 4 • April 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2024|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2024/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In dieser Ausgabe</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/EduWiki Updates From Uganda|Neuigkeiten von EduWiki aus Uganda]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Good news from Bolivia: Reading Wikipedia Program continues in 2024|Gute Nachrichten aus Bolivien: Das Wikipedia-Leseprogramm wird 2024 fortgesetzt]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Hearing Health Project: Impactful partnership with Wiki Movement Brazil|Hörgesundheitsprojekt: Wirkungsvolle Partnerschaft mit Wiki Movement Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Wikimedia Spain, Amical Wikimedia and the University of Valencia develop Wikipedia educational project|Wikimedia Spanien, Amical Wikimedia und die Universität von Valencia entwickeln Wikipedia-Bildungsprojekt]]</div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|Über ''Diesen Monat im Bildungswesen'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren/Deabonnieren]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Globale Nachrichtenverteilung]] · Für das Team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 05:20, 14. Mai 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26698909 --> == This Month in Education: May 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 5 • May 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Albania - Georgia Wikimedia Cooperation 2024|Albania - Georgia Wikimedia Cooperation 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Aleksandër Xhuvani University Editathon in Elbasan|Aleksandër Xhuvani University Editathon in Elbasan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Central Bicol State University of Agriculture LitFest features translation and article writing on Wikipedia|Central Bicol State University of Agriculture LitFest features translation and article writing on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Empowering Youth Council in Bulqiza through editathons|Empowering Youth Council in Bulqiza through editathons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/We left a piece of our hearts at Arhavi|We left a piece of our hearts at Arhavi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Wiki Movimento Brasil at Tech Week and Education Speaker Series |Wiki Movimento Brasil at Tech Week and Education Speaker Series]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Wikimedia MKD trains new users in collaboration with MYLA|Wikimedia MKD trains new users in collaboration with MYLA]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:30, 15. Jun. 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26854161 --> == This Month in Education: June 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 6 • June 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/From a Language Teacher to a Library Support Staff: The Wikimedia Effect|From a Language Teacher to a Library Support Staff: The Wikimedia Effect]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/5th WikiEducation 2024 Conference in Mexico|5th WikiEducation 2024 Conference in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Lviv hosted a spring wikischool for Ukrainian high school students|Lviv hosted a spring wikischool for Ukrainian high school students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/First class of teachers graduated from Reading Wikipedia in the Classroom 2024|First class of teachers graduated from Reading Wikipedia in the Classroom 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Empowering Digital Citizenship: Unlocking the Power of Open Knowledge with Participants of the LIFE Legacy|Empowering Digital Citizenship: Unlocking the Power of Open Knowledge with Participants of the LIFE Legacy]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Wiki Movimento Brazil supports online and in-person courses and launches material to guide educators in using Wikimedia projects |Wiki Movimento Brazil supports online and in-person courses and launches material to guide educators in using Wikimedia projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Where to find images for free? Webinar for librarians answered many questions|Where to find images for free? Webinar for librarians answered many questions]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Wikimedia MKD and University of Goce Delchev start a mutual collaboration|Wikimedia MKD and University of Goce Delchev start a mutual collaboration]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 08:58, 9. Jul. 2024 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 7 • August 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Cross-Cultural Knowledge Sharing: Wikipedia's New Frontier at University of Tehran|Cross-Cultural Knowledge Sharing: Wikipedia's New Frontier at University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Let's Read Wikipedia in Bolivia reaches teachers in Cochabamba|Let's Read Wikipedia in Bolivia reaches teachers in Cochabamba]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Results of the 2023 “Wikipedia for School” Contest in Ukraine|Results of the 2023 “Wikipedia for School” Contest in Ukraine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Edu Wiki Camp in Serbia, 2024|Edu Wiki Camp in Serbia, 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wikimedia Human Rights Month this year engaged schools in large amount|Wikimedia Human Rights Month this year engaged schools in large amount]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Strengthening Education Programs at Wikimania 2024: A Global Leap in Collaborative Learning|Strengthening Education Programs at Wikimania 2024: A Global Leap in Collaborative Learning]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wiki Education programs are featured in a scientific outreach magazine, and Wiki Movimento Brasil offers training for researchers in the Amazon|Wiki Education programs are featured in a scientific outreach magazine, and Wiki Movimento Brasil offers training for researchers in the Amazon]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wiki Movimento Brasil aims to adapt a game about Wikipedia, organize an academic event for scientific dissemination, and host the XXXIII Wiki-Education Workshop|Wiki Movimento Brasil aims to adapt a game about Wikipedia, organize an academic event for scientific dissemination, and host the XXXIII Wiki-Education Workshop]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:22, 11. Sep. 2024 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: October 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 8 • October 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/CBSUA Wiki Education turns 1 year|CBSUA Wiki Education turns 1 year]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/7th Senior WikiTown took place in Becov nad Teplou, Czech Republic|7th Senior WikiTown took place in Becov nad Teplou, Czech Republic]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Edit-a-thon about Modern Architecture in Kosovo|Edit-a-thon about Modern Architecture in Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Edu_Wiki_in_South_Sudan:_Creating_a_better_future_in_education|Empowering Digital Literacy through Wikimedia in South Sudan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Many new articles and contributions in September and October for Wikimedia MKD|Many new articles and contributions in September and October for Wikimedia MKD]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/New Record: 5 Events in Municipal Library within a Month |New Record: 5 Events in Municipal Library within a Month]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wiki-Education programs in Brazil are centered around the Wikidata and Wikisource platforms|Wiki-Education programs in Brazil are centered around the Wikidata and Wikisource platforms]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/WikiChallenge African Schools wins the “Open Pedagogy” Award 2024 from OE Global|WikiChallenge African Schools wins the “Open Pedagogy” Award 2024 from OE Global]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wikipedia helps in improving cognitive skills|Wikipedia helps in improving cognitive skills]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wikipedia in Graduate Studies: Expanding Research Impact|Wikipedia in Graduate Studies: Expanding Research Impact]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/WiLMa PH establishes a Wiki Club|WiLMa PH establishes a Wiki Club]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:57, 12. Nov. 2024 (CET)</div> </div> == This Month in Education: November 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 9 • November 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Auckland Museum Wikipedia Student Programme|Auckland Museum Wikipedia Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Citizenship and free knowledge on Wikipedia in Albanian language|Citizenship and free knowledge on Wikipedia in Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Engaging students with Wikipedia and Wikidata at Hasanuddin University’s Wikimedia Week|Engaging students with Wikipedia and Wikidata at Hasanuddin University’s Wikimedia Week]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Minigrant initiative by empowering the Rrëshen community in Albania|Minigrant initiative by empowering the Rrëshen community in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikidata birthday in Albania, 2024|Wikidata birthday in Albania, 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikidata birthday in School |Wikidata birthday in School]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikimedia Education Workshop at Lumbini Technological University|Wikimedia Education Workshop at Lumbini Technological University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikimedia MKD's new collaborations and new content|Wikimedia MKD's new collaborations and new content]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Improving Historical Knowledge on Persian Wikipedia through a continuous Wikimedia Education Program: Shahid Beheshti University Wikipedia Education Program|Improving Historical Knowledge on Persian Wikipedia through a continuous Wikimedia Education Program: Shahid Beheshti University Wikipedia Education Program]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:13, 10. Dez. 2024 (CET)</div> </div> == This Month in Education: January 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 1 • January 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey|Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress|Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Celebrating 10 Years of Wiki Education|Celebrating 10 Years of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran|Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra|Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey |Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania|Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia|Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia|Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wikimedia and Scientific Events in Brazil|Wikimedia and Scientific Events in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wiki Workshop- Call for Contributions|Wiki Workshop- Call for Contributions]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:56, 5. Feb. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: February 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 2 • February 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute|Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs|Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students|Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen|Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wiki Workshop in Mitrovica |Wiki Workshop in Mitrovica]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles|Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar|Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 10:04, 12. Mär. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: March 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 3 • March 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia|A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia|Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Faculty of Social Sciences Workshop in Albania|Faculty of Social Sciences Workshop in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme|Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March|Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:04, 10. Apr. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: April 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 4 • April 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia|Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil|The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools|EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja|Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues |Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage in Has region, Northern Albania|Wikivoyage in Has region, Northern Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage workshop in Bulqiza|Wikivoyage workshop in Bulqiza]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:48, 10. Mai 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: May 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 5 • May 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania|Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania|Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May|Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program|Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop|Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia |The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje|Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:58, 28. Mai 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: June 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 6 • June 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Albanian high school students at the Wikimedia Youth Conference 2025 in Prague|Albanian high school students at the Wikimedia Youth Conference 2025 in Prague]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Bolivia has 20 new teachers graduated from the Let's Read Wikipedia in the Classroom program|Bolivia has 20 new teachers graduated from the Let's Read Wikipedia in the Classroom program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Brazil was present at the EduWiki Conference 2025 in Bogota|Brazil was present at the EduWiki Conference 2025 in Bogota]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Does Wikipedia has future in the times of Chat-GPT|Does Wikipedia has future in the times of Chat-GPT]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/PhilWiki Community promotes accessible multilingual stories for children|PhilWiki Community promotes accessible multilingual stories for children]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Reading and Editing Wikipedia in a Bangladeshi College|Reading and Editing Wikipedia in a Bangladeshi College]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Wikimedia MKD's Workshops in June|Wikimedia MKD's Workshops in June]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Wikipedia meets 2500 Ukrainian educators at the country’s biggest education festival|Wikipedia meets 2500 Ukrainian educators at the country’s biggest education festival]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:19, 27. Jun. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: July 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 7 • July 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Crafting Impactful Education Newsletters: Shared Insights from EduWiki 2025|Crafting Impactful Education Newsletters: Shared Insights from EduWiki 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Educational Outreach with Youth Centers in Albania|Educational Outreach with Youth Centers in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Discussing educational resources at WikiCon Brasil 2025|Discussing educational resources at WikiCon Brasil 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Enhancing Mobile-Friendly Contribution in Wikimedia Education Programs|Enhancing Mobile-Friendly Contribution in Wikimedia Education Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/The second semester of Leamos Wikipedia begins in Bolivia with challenges and learning|The second semester of Leamos Wikipedia begins in Bolivia with challenges and learning]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/When Travel Fails, Learning Continues: A Reflection from EduWiki 2025 |When Travel Fails, Learning Continues: A Reflection from EduWiki 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Wiki club in Kumanovo - the newest Wiki club of Wikimedia MKD|Wiki club in Kumanovo - the newest Wiki club of Wikimedia MKD]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Jaroslav Mašek: How KISK FF MU students used AI to write Wikipedia|Jaroslav Mašek: How KISK FF MU students used AI to write Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Various programmes up and rolling with Charles University Prague|Various programmes up and rolling with Charles University Prague]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 05:01, 1. Aug. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 8 • August 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Bootcamp Wikipedia in Classroom|Bootcamp Wikipedia in Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Brazil launches campaign about Open Science on Wiki|Brazil launches campaign about Open Science on Wiki]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Breaking Barriers: Yoruba Wikipedia Fan Club Offa's Historic Wins|Breaking Barriers: Yoruba Wikipedia Fan Club Offa's Historic Wins]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Emerging Voices in Free Knowledge: The Journey of Wiki Club SATI|Emerging Voices in Free Knowledge: The Journey of Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/From a Curious Student to a Wikimedia Leader|From a Curious Student to a Wikimedia Leader]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/From webinars to conferences: Wikimedia Ukraine’s approach to events for educators|From webinars to conferences: Wikimedia Ukraine’s approach to events for educators]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Higher education with Wikipedia in Spain|Higher education with Wikipedia in Spain]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Scientific Contribution from Serbia: Wikipedia in Education Research Published in a Prestigious Journal|Scientific Contribution from Serbia: Wikipedia in Education Research Published in a Prestigious Journal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Teachers with Wikipedia. What if we create a Spanish-speaking collaboration network|Teachers with Wikipedia. What if we create a Spanish-speaking collaboration network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/The brains behind Wikipedia|The brains behind Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Why EduWiki Should Be Considered by Policymakers|Why EduWiki Should Be Considered by Policymakers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikimedia Chile in Visviri: Free knowledge and education at Chile’s starting point|Wikimedia Chile in Visviri: Free knowledge and education at Chile’s starting point]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikipedia as a tool presented at Media Education Summer School for Teachers|Wikipedia as a tool presented at Media Education Summer School for Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikipedia vs AI at La Trobe University|Wikipedia vs AI at La Trobe University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/St Aloysius University – Wikipedia training session for newcomers|St Aloysius University – Wikipedia training session for newcomers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wiki Loves Academics, WUGN Kaduna|Wiki Loves Academics, WUGN Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/In Just 3 Minutes: The Power of Wiki Education|In Just 3 Minutes: The Power of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Sensing Cebu: Fieldnotes of an Academic as a Wiki Volunteer|Sensing Cebu: Fieldnotes of an Academic as a Wiki Volunteer]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:16, 2. Sep. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: September 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 9 • September 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Brazil organizes seminar to discuss open science and scientific dissemination|Brazil organizes seminar to discuss open science and scientific dissemination]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/CBSUA Recognizes Wiki Training Completers, Awards Feminism & Folklore 2025 Winners|CBSUA Recognizes Wiki Training Completers, Awards Feminism & Folklore 2025 Winners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/2nd International Conference on Wikimedia, Education, and Digital Cultures Mexico 2025|2nd International Conference on Wikimedia, Education, and Digital Cultures Mexico 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Accredited seminar for teachers in Veliko Gradište|Accredited seminar for teachers in Veliko Gradište]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Breaking Barriers, Why open Knowledge matters|Breaking Barriers, Why open Knowledge matters]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Cross-Continental Knowledge Exchange: Offa Youth Impact Initiative and St Aloysius University in 3D Education Outreach |Cross-Continental Knowledge Exchange: Offa Youth Impact Initiative and St Aloysius University in 3D Education Outreach]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Igbo Language Audio Project in the Igbo Wiki Fan Club IMSU & Alvan|Igbo Language Audio Project in the Igbo Wiki Fan Club IMSU & Alvan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Let's Read Wikipedia reached teachers of the Weenhayek indigenous nation in Bolivia|Let's Read Wikipedia reached teachers of the Weenhayek indigenous nation in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Monográfico sobre Wikipedia en el aula, Revista Docere|Monograph on Wikipedia in the classroom, Docere Magazine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/The Third Training Course of the “Reading Wikipedia in the Classroom” Program in Jordan|The Third Training Course of the “Reading Wikipedia in the Classroom” Program in Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/The Ukrainian Educators’ Wikimedia Conference 2025|The Ukrainian Educators’ Wikimedia Conference 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Wikimedia MKD's edit-a-thon: Lakes|Wikimedia MKD's edit-a-thon: Lakes]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Cultura libre en las aulas|Free culture in the classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Wikimedia Rwanda Wiki clubs|Wikimedia Rwanda Wiki clubs]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:10, 2. Okt. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: October 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 10 • October 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/"WikiDonne Internship: Wikimedia Platforms for Open Education and Inclusive Culture!" winner at the Open Education Awards 2025|"WikiDonne Internship: Wikimedia Platforms for Open Education and Inclusive Culture!" winner at the Open Education Awards 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/A Proud Chapter in My Wikimedia Journey 🇳🇬: From Editor to Organizer|A Proud Chapter in My Wikimedia Journey 🇳🇬: From Editor to Organizer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Debating open science and scientific dissemination in Brazil|Debating open science and scientific dissemination in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Enhancing Academic Articles on Wikipedia with the State University of Jakarta|Enhancing Academic Articles on Wikipedia with the State University of Jakarta]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/India’s Students and Educators Lead the Way in the Wiki Science Competition 2025|India’s Students and Educators Lead the Way in the Wiki Science Competition 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/JDACA & Amman Arab University|JDACA & Amman Arab University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/New starting page for Wikipedia users had been launched in September|New starting page for Wikipedia users had been launched in September]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Teaching Evidence Synthesis Automation with the Wikipedia–Kaggle Dataset|Teaching Evidence Synthesis Automation with the Wikipedia–Kaggle Dataset]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikimedia MKD’s Education Program activities for October|Wikimedia MKD’s Education Program activities for October]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikimedia Serbia prepares eight annual Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia prepares eight annual Edu Wiki camp]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikivoyage editathon in Peshkopia, Albania|Wikivoyage editathon in Peshkopia, Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:05, 2. Nov. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: November 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 11 • November 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Auckland Museum's Wiki Summer Student Programme is back for 2025 & 2026|Auckland Museum's Wiki Summer Student Programme is back for 2025 & 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Edu Wiki camp 2025 in Belgrade, Serbia|Edu Wiki camp 2025 in Belgrade, Serbia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wikidata na Escola: estudantes da zona rural de Minas Gerais contribuem com dados sobre mulheres negras brasileiras|Wikidata na Escola: estudantes da zona rural de Minas Gerais contribuem com dados sobre mulheres negras brasileiras]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/190 students from Oteitza Lizeoa create 48 articles on the history of the Basque Country for Txikipedia in one day|190 students from Oteitza Lizeoa create 48 articles on the history of the Basque Country for Txikipedia in one day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/2nd International Congress Wikimedia, 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Highlights from Loyola College, Karnataka|Kannada Wikipedia Asian Month 2025: Edit-a-thon & Workshop Highlights from Loyola College, Karnataka]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Kosovo Wikivoyage Editathons in Gjakova and Krusha e Madhe|Kosovo Wikivoyage Editathons in Gjakova and Krusha e Madhe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Ukrainian educators create open lesson plans based on the «Reading Wikipedia in the Classroom» course|Ukrainian educators create open lesson plans based on the «Reading Wikipedia in the Classroom» course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/United Architects of the Philippines Student Auxiliary – University of Nueva Caceres joins Wikisource Training|United Architects of the Philippines Student Auxiliary – University of Nueva Caceres joins Wikisource Training]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Videos on Teaching Experiences with Wikipedia, Wikidata, Commons, and OSM|Videos on Teaching Experiences with Wikipedia, Wikidata, Commons, and OSM]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki as a tool for technological empowerment of indigenous knowledge|Wiki as a tool for technological empowerment of indigenous knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki Science Competition in Albania and Kosovo|Wiki Science Competition in Albania and Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki Workshop 2026 Call for Contributions|Wiki Workshop 2026 Call for Contributions]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wikipedia Contribution with Faculty of Mathematical and Natural Sciences Students in Kosovo|Wikipedia Contribution with Faculty of Mathematical and Natural Sciences Students in Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Impact of Wikimedia Rwanda Wiki Clubs in Growth of Wikimedia User Group Rwanda Community|Impact of Wikimedia Rwanda Wiki Clubs in Growth of Wikimedia User Group Rwanda Community]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 14:47, 30. Nov. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: December 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 12 • December 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WikiLatih Wiktionary with the Goethe-Institut: Strengthening the Digital Presence of Indonesia’s Local Languages|WikiLatih Wiktionary with the Goethe-Institut: Strengthening the Digital Presence of Indonesia’s Local Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Wiki in schools - Architecture and Open Heritage|Wiki in schools - Architecture and Open Heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/What are the challenges and opportunities in scientific dissemination? Reflecting on the topic in the Brazilian context|What are the challenges and opportunities in scientific dissemination? Reflecting on the topic in the Brazilian context]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WikipediaxAI: Wikipedia, AI, and the future of knowledge|WikipediaxAI: Wikipedia, AI, and the future of knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Wikipedia at University Another year of working alongside higher education institutions in Argentina|Wikipedia at University Another year of working alongside higher education institutions in Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WAM - Tulu Edit-a-thon & Workshop in St Aloysius University |WAM - Tulu Edit-a-thon & Workshop in St Aloysius University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Visibilizando memórias negras: estudantes da UFRGS ampliam a Wikipédia com foco na imprensa e no associativismo pós-abolição|Visibilizando memórias negras: estudantes da UFRGS ampliam a Wikipédia com foco na imprensa e no associativismo pós-abolição]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Transforming Education Through Wikimedia in Kosovo: 2025|Transforming Education Through Wikimedia in Kosovo: 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/New WikiClubs and educational partnership in Albania|New WikiClubs and educational partnership in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/New WikiClub with the Dibra Youth Center in Albania|New WikiClub with the Dibra Youth Center in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Landmark Educational Initiatives and Wikimedia Programs Transform Learning in 2025|Landmark Educational Initiatives and Wikimedia Programs Transform Learning in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Knowledge in the Digital Age: A WMUK Collaborative Workshop|Knowledge in the Digital Age: A WMUK Collaborative Workshop]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:22, 17. Dez. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: January 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 1 • January 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026|Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan|Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia Education Program - Train The Trainer in Nepal|Wikipedia Education Program – Train The Trainer in Nepal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU|Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program|CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth|WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Updates on Auckland Museum Summer Student Programme|Updates on Auckland Museum Summer Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network|Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge|Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025|Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme|Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Envisioning an Open Future together - WikiForAll|Envisioning an Open Future together – WikiForAll]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025|A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge|A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/¡Celebrando 25 años de conocimiento libre! El Proyecto "25x25" llega a las aulas de Córdoba, Argentina|Celebrating 25 years of free knowledge! The '25x25' Project reaches the classrooms of Córdoba, Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A atuação em rede da Universidade Federal de Juiz de Fora para a difusão do conhecimento livre na Wikipédia|The collaborative efforts of the Federal University of Juiz de Fora for the dissemination of free knowledge on Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:26, 28. Jan. 2026 (CET)</div> </div> == This Month in Education: February 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 2 • February 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces|Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan|Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Encontro da Rede Latino Americana de Inteligência Artificial Feminista: construindo futuros possíveis|Meeting of the Latin American Network of Feminist Artificial Intelligence: building possible futures]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Farewelling the Auckland Museum Summer Students|Farewelling the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi|Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana |Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade|Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics|Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia|LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/New online workshops for the German language Wikipedia|New online workshops for the German language Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors|Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects|The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day|Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages|Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026|Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity|Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia|WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops|Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiPatrimoine Senghor : Valorisation du patrimoine culturel africain à l'Université Senghor|WikiPatrimoine Senghor : Valuation of African cultural heritage at the University Senghor]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future|Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:56, 3. Mär. 2026 (CET)</div> </div> == This Month in Education: March 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 3 • March 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona|Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG|Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources|Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe|Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Inside Wikimedia Ukraine's education program|Inside Wikimedia Ukraine's education program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026|Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/One School, One Article Campaign Wrap Up|One School, One Article Campaign Wrap Up]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN|Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology|Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries|The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia CR published updated guide for beginners|Wikimedia CR published updated guide for beginners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia goes back to the classroom in Brazil|Wikimedia goes back to the classroom in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI|Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities|“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikipedia & Libraries: Building New Contributors|Wikipedia & Libraries: Building New Contributors]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:21, 1. Apr. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: April 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 4 • April 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update|Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh|WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War|Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course|Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools|Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia|University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania|Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan|Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria|Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites|Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/A month full of encounters with students in Brazil|A month full of encounters with students in Brazil]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 27. Apr. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: May 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 5 • May 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities|Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania|Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Debating free license in Brazil|Debating free license in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India|Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects|Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges|Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem|Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria|Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia MKD's Education News & Activities|Wikimedia MKD's Education News & Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year|Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:53, 1. Jun. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: June 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 6 • June 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wikipedia Editathon at Dinajpur Govt. College: Empowering Graduate Students in the Open Knowledge Movement|Wikipedia Editathon at Dinajpur Govt. College: Empowering Graduate Students in the Open Knowledge Movement]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wikimedia Serbia prepares for Edu Wiki camp 2026|Wikimedia Serbia prepares for Edu Wiki camp 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wiki Digi-Youth Clubs pilot explores challenge-based learning across three countries|Wiki Digi-Youth Clubs pilot explores challenge-based learning across three countries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Why the EduWiki Hub Starter Kit Matters for the Future of Education|Why the EduWiki Hub Starter Kit Matters for the Future of Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Portuguese Universities adopt free knowledge tools: Wikipedia is the favorite|Portuguese Universities adopt free knowledge tools: Wikipedia is the favorite]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Translating on Wikipedia used as extra – credit assignment in University of Prishtina, Kosovo|Translating on Wikipedia used as extra – credit assignment in University of Prishtina, Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Strengthening Wikimedia Education Through Community Learning and Digital Literacy Initiatives|Strengthening Wikimedia Education Through Community Learning and Digital Literacy Initiatives]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Small Group, Big Impact: Building Skills Through the Wikimedia Volunteer Focus Group in Botswana|Small Group, Big Impact: Building Skills Through the Wikimedia Volunteer Focus Group in Botswana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/"25x25 Project – Celebrating Wikipedia" in Córdoba, Argentina|"25x25 Project – Celebrating Wikipedia" in Córdoba, Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Mapping and gathering educational activities on Wiki in Brazilian universities|Mapping and gathering educational activities on Wiki in Brazilian universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Growing Wiki Education in the Philippines: Highlights from Bikol WikiConference 2026|Growing Wiki Education in the Philippines: Highlights from Bikol WikiConference 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/From Mentee to Builder: Six Months in the EduWiki Hub Mentorship Program|From Mentee to Builder: Six Months in the EduWiki Hub Mentorship Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/EduWiki Hub publishes its first Community Newsletter|EduWiki Hub publishes its first Community Newsletter]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Click, Capture, and Contribute: Scaling Open Knowledge Through Mobile Photography|Click, Capture, and Contribute: Scaling Open Knowledge Through Mobile Photography]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Education in Action: Limkokwing School Adoption Program 2026 and Wikimedia Learning Outcomes|Education in Action: Limkokwing School Adoption Program 2026 and Wikimedia Learning Outcomes]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Impact of Wiki Digi youth Clubs initiative in education of Rwanda|Impact of Wiki Digi youth Clubs initiative in education of Rwanda]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 06:15, 28. Jun. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: July 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 7 • July 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Practical Wikipedia Training for Teachers Held in Tetovo, Macedonia|Practical Wikipedia Training for Teachers Held in Tetovo, Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Wikimedia Ukraine at the Teachers of the Future Festival|Wikimedia Ukraine at the Teachers of the Future Festival]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Six Months of Growth, Learning, and Impact: My Journey as an EduWiki Mentor|Six Months of Growth, Learning, and Impact: My Journey as an EduWiki Mentor]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/PhilWiki Community pays homage to Antoine de Saint-Exupéry at Wikimania Paris 2026|PhilWiki Community pays homage to Antoine de Saint-Exupéry at Wikimania Paris 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Google25 Expands Tamil Wikipedia Community|Google25 Expands Tamil Wikipedia Community]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Edu Wiki camp gathers Serbian youth around the topic of open knowledge|Edu Wiki camp gathers Serbian youth around the topic of open knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Cátedra Glaciares: A Collaborative Experience for the Study and Conservation of Colombia’s Cryosphere|Cátedra Glaciares: A Collaborative Experience for the Study and Conservation of Colombia’s Cryosphere]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Continuing Wiki education partnerships in Brazil|Continuing Wiki education partnerships in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Building EduWiki in Albania: From school outreach to student contributions in Wikimedia projects|Building EduWiki in Albania: From school outreach to student contributions in Wikimedia projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/1Lib1Ref WUGN Kaduna, 2026|1Lib1Ref WUGN Kaduna, 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/We create the first master class on access to knowledge and open technology in collaboration with National Autonomous University of Mexico, UNAM|We create the first master class on access to knowledge and open technology in collaboration with National Autonomous University of Mexico, UNAM]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 21:48, 30. Jul. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 8 • August 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Coordinating Wikimedia's Presence in Iraqi Universities|Coordinating Wikimedia's Presence in Iraqi Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/The EduWiki Hub Starter Kit Is Now Available in Spanish|The EduWiki Hub Starter Kit Is Now Available in Spanish]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Wiki and democracy campaign launches in Brazil|Wiki and democracy campaign launches in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Wiki Clubs strengthen youth participation in open knowledge in the Philippines|Wiki Clubs strengthen youth participation in open knowledge in the Philippines]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Wikidata for research in the UI1|Wikidata for research in the UI1]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Nupe Wikipedia Hits 1,000 Articles: The Next Chapter in Our Knowledge Journey |Nupe Wikipedia Hits 1,000 Articles: The Next Chapter in Our Knowledge Journey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Recruiting newcomers to preserve Yiddish using Wiktionary as a tool|Recruiting newcomers to preserve Yiddish using Wiktionary as a tool]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Voices in Our Hands: How Nigerian Kids are Documenting Nigerian Sign Language for the World|Voices in Our Hands: How Nigerian Kids are Documenting Nigerian Sign Language for the World]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Wiki in Schools, Architecture and Open Heritage|Wiki in Schools, Architecture and Open Heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/More than 200 registrations, 22 speakers, and seven hours of shared experience: Wikimedia Ukraine’s Education Community Conference 2026|More than 200 registrations, 22 speakers, and seven hours of shared experience: Wikimedia Ukraine’s Education Community Conference 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Launch of Wikifying a Conference handbook|Launch of Wikifying a Conference handbook]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/EduWiki Hub Updates: Working Groups Feedback Session and a New Roundtable for Program Officers|EduWiki Hub Updates: Working Groups Feedback Session and a New Roundtable for Program Officers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2026/Curiosity through academic inquiry - learning by writing Wikipedia articles in Serbia|Curiosity through academic inquiry - learning by writing Wikipedia articles in Serbia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:54, 1. Sep. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: September 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 9 • September 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Wikipedia Writing Training at Universitas Terbuka. WikiRempah Welcomes Wikimedians in Ternate|Wikipedia Writing Training at Universitas Terbuka. WikiRempah Welcomes Wikimedians in Ternate]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Wikimedia MKD’s Wiki Camp & Team Building 2026|Wikimedia MKD’s Wiki Camp & Team Building 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Wikimedia Commons Training for Students at Universitas Nurul Hasan Bacan: Mobilizing Bacan's Youth with WikiRempah|Wikimedia Commons Training for Students at Universitas Nurul Hasan Bacan: Mobilizing Bacan's Youth with WikiRempah]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Wikidata integration in the Library & Information Science course|Wikidata integration in the Library & Information Science course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Translating the EduWiki Newcomer's Starter Kit in Albanian language|Translating the EduWiki Newcomer's Starter Kit in Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Training Wikimedia Commons WikiRempah in Bacan, Bringing Digital Education to an Island Without Electricity|Training Wikimedia Commons WikiRempah in Bacan, Bringing Digital Education to an Island Without Electricity]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Synergy Between WikiRempah, the West Halmahera Regency Education and Culture Office, and the Sultanate of Jailolo in Documenting Spice Route Cultural Sites|Synergy Between WikiRempah, the West Halmahera Regency Education and Culture Office, and the Sultanate of Jailolo in Documenting Spice Route Cultural Sites]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/St Aloysius Wiki Club Celebrates 10th Anniversary of Tulu Wikipedia|St Aloysius Wiki Club Celebrates 10th Anniversary of Tulu Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Road to Open Source: bringing open source contribution into Indian engineering classrooms|Road to Open Source: bringing open source contribution into Indian engineering classrooms]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Photography and education: initiatives in Brazil|Photography and education: initiatives in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Open Knowledge Initiatives Summer Internship 2026 – Project Workflow & Learnings|Open Knowledge Initiatives Summer Internship 2026 – Project Workflow & Learnings]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Media Literacy Teacher Training with Wikimedia UK and Thoughtful|Media Literacy Teacher Training with Wikimedia UK and Thoughtful]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Heritage Across Borders: St Aloysius Wiki Club Students Celebrate Cultural Heritage Through Wikipedia|Heritage Across Borders: St Aloysius Wiki Club Students Celebrate Cultural Heritage Through Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/From Bandung's Street Signs to Wikipedia: Rediscovering Sundanese Script|From Bandung's Street Signs to Wikipedia: Rediscovering Sundanese Script]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/CSPC Wiki Club launches student community for open knowledge and youth leadership|CSPC Wiki Club launches student community for open knowledge and youth leadership]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Amplifying Underrepresented Voices: Lessons from the Language Diversity Hub 2026|Amplifying Underrepresented Voices: Lessons from the Language Diversity Hub 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2026/Education activity: Can I trust Wikipedia?|Education activity: Can I trust Wikipedia?]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:36, 30. Sep. 2026 (CEST)</div> </div> 0jdlwxktua870lst2nxs7besaveuea7 0 94616 1114981 1114055 2026-10-01T07:18:41Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - komplexe Differenzierbarkeit */ 1114981 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) als Eigenschaft von bestimmten [[w:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] besitzt äquivalente Bedingungen, wie z.B. in reellen Analysis nicht gelten. Die Lernressource dient dazu, die in der [[w:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mathematik]] mit einzelnen Aufgaben zu behandeln und die Unterschiede zu reellen Analysis aufzuzeigen. === Wiki2Reveal === Diese Seite zum Thema ''Holomorphie'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. === Holomorphe Abbildung === Holomorphe Abbildungen als differenzierbar Deformation <math>f</math> der Ebene: [[Datei:Conformal map.svg|150px|zentriert|Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt.]] === Komplex differenzierare Funktionen === In dieser Lerneinheit werden Funktion <math>f: U \rightarrow \mathbb{C}</math> von einer [[w:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> in die komplexen Zahlen betrachtet <math></math>, die nach unten angegebener Definition holomorph sind. === Holomorphie als Umgebungseigenschaft === Im Gegensatz zur Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math> ist die Holomorphie keine punktuelle Eigenschaft in <math>z_o \in \mathbb{C}</math>, sondern eine Eigenschaft einer Umgebung <math>U_o\subset U</math> von <math>z_o</math> muss existieren, in der <math>f:U\to \mathbb{C}</math> in jedem Punkt <math>z \in U_o</math> komplex differenzierbar sein muss (und nicht nur im <math>z_o</math> selbst). === Bezug zu reellen Differenzierbarkeit === Auch wenn die Definition in <math>\mathbb{C}</math> analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln.<ref>„Holomorphe Funktion“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 20. April 2018, 16:16 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Holomorphe_Funktion&oldid=176709493 (Abgerufen: 26. Juli 2018, 09:15 UTC) </ref> == Unterkapitel == * [[/Kriterien/|Holomorphiekriterien]] == Definition - komplexe Differenzierbarkeit == Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]]<ref>Remmert, R. (1991) Funktionentheorie 1 - 4. Auflage, Springer-Verlag, S. 38 ff.</ref> :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> und <math>z_o+h \in U</math> existiert. Man bezeichnet den Grenzwert dann als <math>f'(z_0)</math>. == Definition (Alternative)- komplexe Differenzierbarkeit == Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{z \to z_o}\frac{f(z)-f(z_o)}{z-z_o}</math> mit <math>z\in U</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. == Definition - Holomorphie in einem Punkt == Die Funktion <math> f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. == Definition - Holomorphe Funktion == Ist <math>f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''holomorph''', wenn diese auf dem ganzen Definitionsbereich <math>U</math> holomorph ist. == Definition - Ganze Funktion == Eine Funktion <math> f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''[[w:ganze Funktion|ganze Funktion]]''', wenn <math>f</math> holomorph und <math>U=\mathbb{C}</math> ist. == Beispiele für ganze Funktionen == Die folgenden Funktionen sind Beispiel für ganze Funktionen: * Polynome <math>p(z)=\sum_{k=0}^n p_k \cdot z^k </math>, * Trigonometrische Funktionen <math> \sin(z) </math> und <math> \cos(z) </math>, * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. == Gegenbeispiele für ganze Funktionen == Die folgenden Funktionen sind keine ganzen Funktionen: * <math>f_1(z)=\frac{1}{z}</math> ist keine ganze Funktion, da <math>f_1</math> eine Singularität in 0 besitzt. * <math>f_2(z)=\frac{z+2i}{z^2+4}</math> ist keine ganze Funktion, da <math>f_2</math> eine Singularität bei <math>+2i</math> und <math>-2i</math> besitzt. == Aufgaben == Berechnen Sie den Limes des Differenzenquotienten (Differential) für die Funktionen: * <math>f_{0}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{0}(z)=c \in \mathbb{C}</math> * <math>f_{1}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{1}(z)=z</math> * <math>f_{2}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{2}(z)=z^2</math> (3. binomische Formel) * <math>f_{n}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{n}(z)=z^n</math> (vollständige Induktion) == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Holomorphie/Kriterien#Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterien]] * [[w:de:Holomorphe_Funktion|Holomorphe Funktion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]], * [[w:de:Wirtinger-Kalkül#Wirtinger-Kalk.C3.BCl|Wirtinger-Ableitungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]], == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphie https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sz4fd00wrrura709vjppkweey314ne1 1114982 1114981 2026-10-01T07:20:57Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele für ganze Funktionen */ 1114982 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) als Eigenschaft von bestimmten [[w:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] besitzt äquivalente Bedingungen, wie z.B. in reellen Analysis nicht gelten. Die Lernressource dient dazu, die in der [[w:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mathematik]] mit einzelnen Aufgaben zu behandeln und die Unterschiede zu reellen Analysis aufzuzeigen. === Wiki2Reveal === Diese Seite zum Thema ''Holomorphie'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. === Holomorphe Abbildung === Holomorphe Abbildungen als differenzierbar Deformation <math>f</math> der Ebene: [[Datei:Conformal map.svg|150px|zentriert|Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt.]] === Komplex differenzierare Funktionen === In dieser Lerneinheit werden Funktion <math>f: U \rightarrow \mathbb{C}</math> von einer [[w:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> in die komplexen Zahlen betrachtet <math></math>, die nach unten angegebener Definition holomorph sind. === Holomorphie als Umgebungseigenschaft === Im Gegensatz zur Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math> ist die Holomorphie keine punktuelle Eigenschaft in <math>z_o \in \mathbb{C}</math>, sondern eine Eigenschaft einer Umgebung <math>U_o\subset U</math> von <math>z_o</math> muss existieren, in der <math>f:U\to \mathbb{C}</math> in jedem Punkt <math>z \in U_o</math> komplex differenzierbar sein muss (und nicht nur im <math>z_o</math> selbst). === Bezug zu reellen Differenzierbarkeit === Auch wenn die Definition in <math>\mathbb{C}</math> analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln.<ref>„Holomorphe Funktion“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 20. April 2018, 16:16 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Holomorphe_Funktion&oldid=176709493 (Abgerufen: 26. Juli 2018, 09:15 UTC) </ref> == Unterkapitel == * [[/Kriterien/|Holomorphiekriterien]] == Definition - komplexe Differenzierbarkeit == Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]]<ref>Remmert, R. (1991) Funktionentheorie 1 - 4. Auflage, Springer-Verlag, S. 38 ff.</ref> :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> und <math>z_o+h \in U</math> existiert. Man bezeichnet den Grenzwert dann als <math>f'(z_0)</math>. == Definition (Alternative)- komplexe Differenzierbarkeit == Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{z \to z_o}\frac{f(z)-f(z_o)}{z-z_o}</math> mit <math>z\in U</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. == Definition - Holomorphie in einem Punkt == Die Funktion <math> f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. == Definition - Holomorphe Funktion == Ist <math>f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''holomorph''', wenn diese auf dem ganzen Definitionsbereich <math>U</math> holomorph ist. == Definition - Ganze Funktion == Eine Funktion <math> f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''[[w:ganze Funktion|ganze Funktion]]''', wenn <math>f</math> holomorph und <math>U=\mathbb{C}</math> ist. == Beispiele für ganze Funktionen == Die folgenden Funktionen sind Beispiel für ganze Funktionen: * Polynome <math>p(z)=\sum_{k=0}^n p_k \cdot z^k </math>, * Trigonometrische Funktionen <math> \sin(z) </math> und <math> \cos(z) </math>, * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. * [[Normalverteilung#Dichte|Dichte der Normalverteilung]] ist mit komplexen Definitionsbreich <math>\mathbb{C}</math> eine ganze Funktion. == Gegenbeispiele für ganze Funktionen == Die folgenden Funktionen sind keine ganzen Funktionen: * <math>f_1(z)=\frac{1}{z}</math> ist keine ganze Funktion, da <math>f_1</math> eine Singularität in 0 besitzt. * <math>f_2(z)=\frac{z+2i}{z^2+4}</math> ist keine ganze Funktion, da <math>f_2</math> eine Singularität bei <math>+2i</math> und <math>-2i</math> besitzt. == Aufgaben == Berechnen Sie den Limes des Differenzenquotienten (Differential) für die Funktionen: * <math>f_{0}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{0}(z)=c \in \mathbb{C}</math> * <math>f_{1}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{1}(z)=z</math> * <math>f_{2}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{2}(z)=z^2</math> (3. binomische Formel) * <math>f_{n}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{n}(z)=z^n</math> (vollständige Induktion) == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Holomorphie/Kriterien#Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterien]] * [[w:de:Holomorphe_Funktion|Holomorphe Funktion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]], * [[w:de:Wirtinger-Kalkül#Wirtinger-Kalk.C3.BCl|Wirtinger-Ableitungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]], == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphie https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fhjug0awc0swx3pyi8xmjozmuuhca3u 1114984 1114982 2026-10-01T07:22:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele für ganze Funktionen */ 1114984 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) als Eigenschaft von bestimmten [[w:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]] besitzt äquivalente Bedingungen, wie z.B. in reellen Analysis nicht gelten. Die Lernressource dient dazu, die in der [[w:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mathematik]] mit einzelnen Aufgaben zu behandeln und die Unterschiede zu reellen Analysis aufzuzeigen. === Wiki2Reveal === Diese Seite zum Thema ''Holomorphie'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. === Holomorphe Abbildung === Holomorphe Abbildungen als differenzierbar Deformation <math>f</math> der Ebene: [[Datei:Conformal map.svg|150px|zentriert|Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt.]] === Komplex differenzierare Funktionen === In dieser Lerneinheit werden Funktion <math>f: U \rightarrow \mathbb{C}</math> von einer [[w:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> in die komplexen Zahlen betrachtet <math></math>, die nach unten angegebener Definition holomorph sind. === Holomorphie als Umgebungseigenschaft === Im Gegensatz zur Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math> ist die Holomorphie keine punktuelle Eigenschaft in <math>z_o \in \mathbb{C}</math>, sondern eine Eigenschaft einer Umgebung <math>U_o\subset U</math> von <math>z_o</math> muss existieren, in der <math>f:U\to \mathbb{C}</math> in jedem Punkt <math>z \in U_o</math> komplex differenzierbar sein muss (und nicht nur im <math>z_o</math> selbst). === Bezug zu reellen Differenzierbarkeit === Auch wenn die Definition in <math>\mathbb{C}</math> analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln.<ref>„Holomorphe Funktion“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 20. April 2018, 16:16 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Holomorphe_Funktion&oldid=176709493 (Abgerufen: 26. Juli 2018, 09:15 UTC) </ref> == Unterkapitel == * [[/Kriterien/|Holomorphiekriterien]] == Definition - komplexe Differenzierbarkeit == Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]]<ref>Remmert, R. (1991) Funktionentheorie 1 - 4. Auflage, Springer-Verlag, S. 38 ff.</ref> :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> und <math>z_o+h \in U</math> existiert. Man bezeichnet den Grenzwert dann als <math>f'(z_0)</math>. == Definition (Alternative)- komplexe Differenzierbarkeit == Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{z \to z_o}\frac{f(z)-f(z_o)}{z-z_o}</math> mit <math>z\in U</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. == Definition - Holomorphie in einem Punkt == Die Funktion <math> f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. == Definition - Holomorphe Funktion == Ist <math>f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''holomorph''', wenn diese auf dem ganzen Definitionsbereich <math>U</math> holomorph ist. == Definition - Ganze Funktion == Eine Funktion <math> f:U\to \mathbb{C} </math> heißt '''[[w:ganze Funktion|ganze Funktion]]''', wenn <math>f</math> holomorph und <math>U=\mathbb{C}</math> ist. == Beispiele für ganze Funktionen == Die folgenden Funktionen sind Beispiel für ganze Funktionen: * Polynome <math>p(z)=\sum_{k=0}^n p_k \cdot z^k </math>, * Trigonometrische Funktionen <math> \sin(z) </math> und <math> \cos(z) </math>, * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. * [[Dichte der Normalverteilung]] ist mit komplexen Definitionsbreich <math>\mathbb{C}</math> eine ganze Funktion. == Gegenbeispiele für ganze Funktionen == Die folgenden Funktionen sind keine ganzen Funktionen: * <math>f_1(z)=\frac{1}{z}</math> ist keine ganze Funktion, da <math>f_1</math> eine Singularität in 0 besitzt. * <math>f_2(z)=\frac{z+2i}{z^2+4}</math> ist keine ganze Funktion, da <math>f_2</math> eine Singularität bei <math>+2i</math> und <math>-2i</math> besitzt. == Aufgaben == Berechnen Sie den Limes des Differenzenquotienten (Differential) für die Funktionen: * <math>f_{0}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{0}(z)=c \in \mathbb{C}</math> * <math>f_{1}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{1}(z)=z</math> * <math>f_{2}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{2}(z)=z^2</math> (3. binomische Formel) * <math>f_{n}:\mathbb{C} \to f:\mathbb{C}</math> mit <math>f_{n}(z)=z^n</math> (vollständige Induktion) == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Holomorphie/Kriterien#Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterien]] * [[w:de:Holomorphe_Funktion|Holomorphe Funktion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]], * [[w:de:Wirtinger-Kalkül#Wirtinger-Kalk.C3.BCl|Wirtinger-Ableitungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]], == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphie https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphie * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2zv3eo74oq5w4g8hg77k8ruar93fd2r 106 99563 1115015 1114184 2026-10-01T08:33:36Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Kette */ 1115015 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] den Begriff der Kette und des Zyklus. <span id="Definition"></span> == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>. Mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> als Bildmenge von <math>\Gamma</math>, * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette_von_orientierten_Flächen|Kette von orientierten Flächen]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] svcc774nel5ywp66yppmsqdqy4u70vc 1115016 1115015 2026-10-01T08:33:45Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115016 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] den Begriff der Kette und des Zyklus. <span id="Definition"></span> == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>. Mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> als Bildmenge von <math>\Gamma</math>, * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette_von_orientierten_Flächen|Kette von orientierten Flächen]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] lujh4x53bu1u021r1gmqhic39muvmpa 1115018 1115016 2026-10-01T08:35:28Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115018 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] den Begriff der Kette und des Zyklus. <span id="Definition"></span> == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>. Mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> als Bildmenge von <math>\Gamma</math>, * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette_von_orientierten_Flächen|Kette von orientierten Flächen]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] e7hrf7buajjqomcgy53l4c4rseyxni5 1115039 1115018 2026-10-01T09:09:08Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Kette */ 1115039 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] den Begriff der Kette und des Zyklus. <span id="Definition"></span> == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>. Mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> als Bildmenge von <math>\Gamma</math>, * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette_von_orientierten_Flächen|Kette von orientierten Flächen]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] ruaczpes8s52obvz2yrggpoxb7s9zlx 0 99954 1114969 1114056 2026-10-01T06:44:20Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphiekriterien */ 1114969 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden die Punkte <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === (H1) 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>G</math>. === (H2) beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>G</math>. === (H3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>G</math>. === (H4) Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === (H5) Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über jeden beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === (H6) Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === (H7) Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. <span id="StammfunktionOrdnung"></span> === (H8) Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. <span id="LokaleStammfunktionOrdnung"></span> === (H9) Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> ncn46wcemcxijjxq9tw0j2dwleo2wlh 1114970 1114969 2026-10-01T06:45:08Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphiekriterien */ 1114970 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden die Punkte <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === H1 - 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>G</math>. === H2 - beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>G</math>. === H3 - Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>G</math>. === H4 - Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === H5 - Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über jeden beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === H6 - Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === H7 - Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. <span id="StammfunktionOrdnung"></span> === H8 - Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. <span id="LokaleStammfunktionOrdnung"></span> === H9 - Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> khr6e4eguffi72gfex1z1o5w2bfjfbt 1114971 1114970 2026-10-01T06:45:17Z Bert Niehaus 20843 /* H6 - Cauchysche Integralformel */ 1114971 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden die Punkte <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === H1 - 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>G</math>. === H2 - beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>G</math>. === H3 - Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>G</math>. === H4 - Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === H5 - Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über jeden beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === H6 - Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === H7 - Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. <span id="StammfunktionOrdnung"></span> === H8 - Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. <span id="LokaleStammfunktionOrdnung"></span> === H9 - Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> tt76k249f00sow19qfudice3hwgh16x 1114972 1114971 2026-10-01T06:45:40Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1114972 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden die Punkte <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === H1 - 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>G</math>. === H2 - beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>G</math>. === H3 - Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>G</math>. === H4 - Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === H5 - Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über jeden beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === H6 - Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === H7 - Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. <span id="StammfunktionOrdnung"></span> === H8 - Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. <span id="LokaleStammfunktionOrdnung"></span> === H9 - Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> 5wr0itskqphpdl5mdbkfxo8it1zmwqq 0 102059 1114966 1113363 2026-10-01T06:29:44Z Bert Niehaus 20843 /* Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen */ 1114966 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften gleichwertig: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>D_\varepsilon(z_0)</math>. * '''(H4)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> == Beispiele == === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> p4mzai8w3fzep8e2lup49d6sjtlshqs 1114967 1114966 2026-10-01T06:36:03Z Bert Niehaus 20843 /* Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen */ 1114967 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften H1-H8 äquivalent. Der Bezug zur Umgebung ist dabei wesentlich, da Holomorphie in Gegensatz zur komplexen Differenzierbarkeit als Punkteigenschaft eine Umgebungseigenschaft ist. === Kriterien H1-H4 === Die Holomorphiekriterien H1-H4 beziehen sich direkt auf Differentialeigenschaften: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>D_\varepsilon(z_0)</math>. * '''(H4)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === Kriterien H5-H8 === Die Holomorphiekriterien H5-H8 beziehen sich auf Darstellungseigenschaften einer Funktion <math>f</math>: * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> == Beispiele == === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> ph79wxaxgv3pdzj47dfx64rqzi6evs9 1114968 1114967 2026-10-01T06:39:17Z Bert Niehaus 20843 /* Kriterien H1-H4 */ 1114968 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften H1-H8 äquivalent. Der Bezug zur Umgebung ist dabei wesentlich, da Holomorphie in Gegensatz zur komplexen Differenzierbarkeit als Punkteigenschaft eine Umgebungseigenschaft ist. === Kriterien H1-H4 === Die Holomorphiekriterien H1-H4 beziehen sich direkt auf Differentialeigenschaften: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf einer Umgebung von <math>z_0</math>. * '''(H4)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt <math>\tfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0</math>, wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === Kriterien H5-H8 === Die Holomorphiekriterien H5-H8 beziehen sich auf Darstellungseigenschaften einer Funktion <math>f</math>: * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> == Beispiele == === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> nv86hr7z22j3ys2q88p6dqczjpk4syl 1114973 1114968 2026-10-01T06:47:21Z Bert Niehaus 20843 /* Kriterien H5-H8 */ 1114973 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften H1-H8 äquivalent. Der Bezug zur Umgebung ist dabei wesentlich, da Holomorphie in Gegensatz zur komplexen Differenzierbarkeit als Punkteigenschaft eine Umgebungseigenschaft ist. === Kriterien H1-H4 === Die Holomorphiekriterien H1-H4 beziehen sich direkt auf Differentialeigenschaften: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf einer Umgebung von <math>z_0</math>. * '''(H4)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt <math>\tfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0</math>, wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === Kriterien H5-H9 === Die Holomorphiekriterien H5-H8 beziehen sich auf Darstellungseigenschaften einer Funktion <math>f</math>: * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> * '''(H9)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Beispiele == === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> t2fsw00p4cssj7tqz0b7mj0ilxr0l8z 1114974 1114973 2026-10-01T06:51:15Z Bert Niehaus 20843 /* Kriterien H5-H9 */ 1114974 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften H1-H8 äquivalent. Der Bezug zur Umgebung ist dabei wesentlich, da Holomorphie in Gegensatz zur komplexen Differenzierbarkeit als Punkteigenschaft eine Umgebungseigenschaft ist. === Kriterien H1-H4 === Die Holomorphiekriterien H1-H4 beziehen sich direkt auf Differentialeigenschaften: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf einer Umgebung von <math>z_0</math>. * '''(H4)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt <math>\tfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0</math>, wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === Kriterien H5-H9 === Die Holomorphiekriterien H5-H9 beziehen sich auf Darstellungseigenschaften einer Funktion <math>f</math>: * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> * '''(H9)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Beispiele == === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> tqpzwnsaw3e9o92r23sp6kmfs6zqox9 1114975 1114974 2026-10-01T06:52:17Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1114975 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften H1-H8 äquivalent. Der Bezug zur Umgebung ist dabei wesentlich, da Holomorphie in Gegensatz zur komplexen Differenzierbarkeit als Punkteigenschaft eine Umgebungseigenschaft ist. === Kriterien H1-H4 === Die Holomorphiekriterien H1-H4 beziehen sich direkt auf Differentialeigenschaften: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf einer Umgebung von <math>z_0</math>. * '''(H4)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt <math>\tfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0</math>, wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === Kriterien H5-H9 === Die Holomorphiekriterien H5-H9 beziehen sich auf Darstellungseigenschaften einer Funktion <math>f</math>: * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> * '''(H9)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Beispiele == === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> 9gu4sushdxd9hafi35jpp29itt0mbto 1114976 1114975 2026-10-01T06:53:32Z Bert Niehaus 20843 /* Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen */ 1114976 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften H1-H8 äquivalent. Der Bezug zur Umgebung ist dabei wesentlich, da Holomorphie in Gegensatz zur komplexen Differenzierbarkeit als Punkteigenschaft eine Umgebungseigenschaft ist. Die [[Holomorphiekriterien]] formuliert man in der Regel für das gesamte Gebiet <math>G</math> und nicht als Punkt bzw. Umgebungseigenschaft. === Kriterien H1-H4 === Die Holomorphiekriterien H1-H4 beziehen sich direkt auf Differentialeigenschaften: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf einer Umgebung von <math>z_0</math>. * '''(H4)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt <math>\tfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0</math>, wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === Kriterien H5-H9 === Die Holomorphiekriterien H5-H9 beziehen sich auf Darstellungseigenschaften einer Funktion <math>f</math>: * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> * '''(H9)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Beispiele == === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> e8clsn4qzapwgvspzo1mfm7wjucw3xv 1114977 1114976 2026-10-01T06:56:03Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele */ 1114977 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften H1-H8 äquivalent. Der Bezug zur Umgebung ist dabei wesentlich, da Holomorphie in Gegensatz zur komplexen Differenzierbarkeit als Punkteigenschaft eine Umgebungseigenschaft ist. Die [[Holomorphiekriterien]] formuliert man in der Regel für das gesamte Gebiet <math>G</math> und nicht als Punkt bzw. Umgebungseigenschaft. === Kriterien H1-H4 === Die Holomorphiekriterien H1-H4 beziehen sich direkt auf Differentialeigenschaften: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf einer Umgebung von <math>z_0</math>. * '''(H4)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt <math>\tfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0</math>, wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === Kriterien H5-H9 === Die Holomorphiekriterien H5-H9 beziehen sich auf Darstellungseigenschaften einer Funktion <math>f</math>: * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> * '''(H9)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Beispiele == Die folgenden Beispiel listen einige relevante Funktionen auf, die die obigen Eigenschaften erfüllen. === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. === Komplex differenzierbar und nicht holomorph in Punkt === Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. === Dichte der Normalverteilung === == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> g4pr4bpfcnh55vxot2hi7xp9tc06mmk 1114978 1114977 2026-10-01T06:59:20Z Bert Niehaus 20843 /* Dichte der Normalverteilung */ 1114978 wikitext text/x-wiki == Holomorphie == '''Holomorphie''' (von [[w:de:Griechische Sprache|gr.]] ὅλος ''holos,'' „ganz“ und μορφή ''morphe,'' „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten [[w:de:Komplexwertige Funktion|komplexwertigen Funktionen]], die in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] als [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] behandelt werden. Eine Funktion <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{C}</math> mit einer [[w:de:offene Menge|offenen Menge]] <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von <math>U</math> komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch ''regulär'' genannt. == Reelle und komplexe Differenzierbarkeit == Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion beliebig oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === Definition: Komplexe Differenzierbarkeit === Es sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Definition: Holomorphie in einem Punkt === Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Menge (Bereich) und <math>f:U\to \mathbb{C}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0\in U</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. === Bemerkung - Holomorphie in einem Punkt === Im Gegensatz zu der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math> als Eigenschaft der Funktion in einem Punkt ist die Holomophie in einem Punkt eine Umgebungseigenschaft von dem Punkt, denn es muss für die Holomophie in <math>z_o \in \mathbb{C} </math> eine Umgebung existieren, in der die Funktion <math>f</math> komplex differenziebar ist. Holomorphie in einem Punkt unterscheidet sich daher von der Eigenschaft der komplexen Differenzierbarkeit in einem Punkt <math>z_o \in \mathbb{C} </math>. <span id="ganzeFunktion"></span> === Definition: Ganze Funktion === Ist <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> komplex differnzierbar, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' == Erläuterungen == === Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit === <math>\mathbb{C}</math> ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> und so kann man eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> auch auf ihre [[w:de:totale Differenzierbarkeit|totale Differenzierbarkeit]] im Sinne der [[w:de:Mehrdimensionale Analysis#Mehrdimensionale reelle Analysis|mehrdimensionalen reellen Analysis]] untersuchen. Bekanntlich heißt <math>f</math> ([[w:de:Totale Differenzierbarkeit|total]]) [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]] in <math>z_0</math>, falls eine <math>\mathbb{R}</math>-lineare Abbildung <math>L</math> existiert, sodass :<math>f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)</math> gilt, wobei <math>r</math> eine Funktion mit :<math>\lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0</math> ist. === Darstellende Matrix === Nun sieht man, dass die Funktion <math>f</math> genau dann in <math>z_0</math> komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und <math>L</math> sogar <math>\mathbb{C}</math>-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die [[w:de:Darstellungsmatrix|Darstellungsmatrix]] von <math>L</math> bezüglich der kanonischen Basis <math>\{1, i\}</math> die Form :<math>L(z_1+i z_2) = C\left(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}\right)</math> mit <math>C\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} := y_1 + iy_2</math> hat. === Jacobi-Matrix === Zerlegt man nun eine Funktion <math>f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)</math> in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen <math>u, v</math>, so hat die totale Ableitung <math>L</math> als Darstellungsmatrix die [[w:de:Jacobi-Matrix|Jacobi-Matrix]] :<math>\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.</math> === Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Folglich ist die Funktion <math>f</math> genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für <math>u, v</math> die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind. :<math>\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}</math> :<math>\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math> == Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C}</math> eine Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. In einer offenen Kreisscheibe <math>D_\varepsilon(z_0) \subseteq G</math> als Umgebung einer komplexen Zahl <math>z_0</math> sind folgende Eigenschaften H1-H8 äquivalent. Der Bezug zur Umgebung ist dabei wesentlich, da Holomorphie in Gegensatz zur komplexen Differenzierbarkeit als Punkteigenschaft eine Umgebungseigenschaft ist. Die [[Holomorphiekriterien]] formuliert man in der Regel für das gesamte Gebiet <math>G</math> und nicht als Punkt bzw. Umgebungseigenschaft. === Kriterien H1-H4 === Die Holomorphiekriterien H1-H4 beziehen sich direkt auf Differentialeigenschaften: * '''(H1)''' Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H2)''' Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math>. * '''(H3)''' Real- und Imaginärteil erfüllen die [[w:de:Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf einer Umgebung von <math>z_0</math>. * '''(H4)''' <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt <math>\tfrac{\partial f}{\partial \bar z}=0</math>, wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:de:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. === Kriterien H5-H9 === Die Holomorphiekriterien H5-H9 beziehen sich auf Darstellungseigenschaften einer Funktion <math>f</math>: * '''(H5)''' Die Funktion ist stetig und das [[Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. * '''(H6)''' Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:de:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:de:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. * '''(H7)''' Die Funktion lässt sich in eine komplexe [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] auf auf einer Kreisscheibe um <math>z_0</math> entwickeln. * '''(H8)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt [[lokale Stammfunktionen]] auf einer Umgebung von <math>z_0</math> * '''(H9)''' Die Funktion <math>f</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. == Beispiele == Die folgenden Beispiel listen einige relevante Funktionen auf, die die obigen Eigenschaften erfüllen. === Ganze Funktionen === Ganze Funktionen sind auf ganz <math>\mathbb{C}</math> holomorph. Beispiele dafür sind * jedes Polynom <math>\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j</math> mit Koeffizienten <math>a_j \in \mathbb{C}</math>, * die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp</math>, * die [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] <math>\sin</math> und <math>\cos</math>, * die [[w:de:Hyperbelfunktion|hyperbolischen Funktionen]] <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>. === Holomorphe, nichtganze Funktionen === * [[w:de:Gebrochen rationale Funktion|Gebrochen rationale Funktion]]en sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie [[w:de:Isolierte Singularität|isolierte]] [[w:de:Polstelle|Polstelle]]n und sind damit auch Beispiele für [[w:de:meromorphe Funktion|meromorphe Funktion]]en. * Die [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]]funktion <math>\log</math> lässt sich in allen Punkten aus <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge <math>\Complex \setminus {]{-\infty},0]}</math> holomorph. === Nirgends holomorphe Funktionen === In ''keinem'' <math>z\in\mathbb{C}</math> komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise * die Betragsfunktion <math>z\mapsto |z|</math>, * die Projektionen auf den Realteil <math>z\mapsto\mathrm{Re}(z)</math> beziehungsweise auf den Imaginärteil <math>z\mapsto\mathrm{Im}(z)</math>, * die komplexe Konjugation <math>z\mapsto\overline{z}</math>. === Komplex differenzierbar und nicht holomorph in Punkt === Die Funktion <math>z \mapsto |z|^2</math> ist nur an der Stelle <math>z = 0</math> komplex differenzierbar, aber dort ''nicht'' holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von <math>0</math> komplex differenzierbar ist. === Dichte der Normalverteilung === Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte|Dichtefunktion]] der [[Normalverteilung]] ist mit dem erweiterten Definitionsbereich auf <math>\mathbb{C}</math> eine ganze Funktion, die nicht nur lokale Stammfunktionen besitzt, sondern Stammfunktionen, die auf ganz <math>\mathbb{C}</math> definiert sind. == Eigenschaften == Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb{C}</math> an einer Stelle <math>z \in U</math> komplex differenzierbar, so auch <math>f+g</math>, <math>f-g</math> und <math>f\cdot g</math>. Das gilt auch für <math>\tfrac{f}{g}</math>, wenn <math>z</math> keine [[w:de:Nullstelle|Nullstelle]] von <math>g</math> ist. Es gelten ferner [[w:de:Summenregel|Summen-]], [[w:de:Produktregel|Produkt-]], [[w:de:Quotientenregel|Quotienten-]] und [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]]. Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die alle keine Entsprechung in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f\colon U \to \mathbb C</math> holomorph. === Cauchyscher Integralsatz === {{Hauptartikel|Cauchyscher Integralsatz}} Ist <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Zyklus (Funktionentheorie)|Zyklus]] in <math>U</math>, so gilt der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|cauchysche Integralsatz]] :<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0.</math> Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn <math>U</math> ein [[w:de:Sterngebiet|Sterngebiet]] und <math>\gamma</math> ein [[w:de:Weg (Mathematik)|geschlossener Weg]] ist. === Cauchysche Integralformel === {{Hauptartikel|Cauchysche Integralformel}} Sei <math>D := U_r(a)</math> die offene Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> um den Punkt <math>a \in U</math>. Liegt der [[w:de:Abschluss (Topologie)|Abschluss]] von <math>D</math> noch ganz in <math>U</math>, so gilt für alle <math>z \in D</math> und <math>k \in\N_0</math> die cauchysche Integralformel :<math>f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.</math> Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab. === Holomorphie und Analytizität === Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der [[w:de:Analytische Funktion|Analytizität]] äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in <math>z_0</math> holomorphe Funktion ist in <math>z_0</math> [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]]. Umgekehrt lässt sich jede in <math>z_0</math> analytische Funktion zu einer in <math>z_0</math> holomorphen Funktion fortsetzen. Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung. === Identitätssatz === Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \Complex</math> bereits dann auf ganz <math>G</math> identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten ''echten'' Teilmenge <math>M \subset G</math> übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge <math>M</math> noch nicht einmal ein kontinuierlicher [[w:de:Weg (Mathematik)|Weg]] sein: Es reicht aus, dass <math>M</math> einen [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] in <math>G</math> besitzt. [[w:de:Diskrete Menge|Diskrete Teilmengen]] reichen hierfür hingegen nicht aus. === Weiteres === * Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] besagt, dass jede [[w:de:Beschränktheit|beschränkte]] [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]. * [[w:de:Offenheitssatz|Satz von der Gebietstreue]]: Ist <math>U \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> nicht konstant, dann ist <math>f(U) \subseteq \mathbb C</math> wieder ein Gebiet. * Eine Folgerung der Gebietstreue ist das [[w:de:Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]]. * [[w:de:Weierstraßscher Konvergenzsatz|Satz von Weierstraß]]: Konvergiert eine Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt]] auf <math>U</math> gegen die Grenzfunktion <math>f</math>, so ist <math>f</math> wieder holomorph und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge <math>(f'_n)</math> konvergiert kompakt gegen <math>f'</math>. * [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]]: Ist die Folge <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> holomorpher Funktionen auf <math>U</math> lokal beschränkt, so existiert eine [[w:de:Kompakte Konvergenz|kompakt konvergente]] Teilfolge. * Jede auf einem [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden Gebiet]] <math>D \subseteq \mathbb{R}^2</math> zweimal stetig differenzierbare [[w:de:harmonische Funktion|harmonische Funktion]] <math>u</math> ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion <math>\textstyle f (x+\mathrm{i} y) = u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)</math>. Die reelle Funktion <math>v=\operatorname{Im} f</math> erfüllt ebenfalls <math>\Delta v=0</math>. Sie wird als konjugiert harmonisch zu <math>u</math> bezeichnet und <math>f</math> als komplexes Potential. == Biholomorphe Funktionen == {{Hauptartikel|Biholomorphe Funktion}} Eine Funktion, die holomorph, [[w:de:Bijektive Funktion|bijektiv]] und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man ''biholomorph.'' Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und [[w:de:Konforme Abbildung|konform]] ist. Aus dem [[w:de:Satz über implizite Funktionen|Satz über implizite Funktionen]] folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der [[w:de:Satz von Osgood (Funktionentheorie)|Satz von Osgood]] diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind. Aus Sicht der [[w:de:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] ist eine biholomorphe Abbildung ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]]. == Holomorphie mehrerer Veränderlicher == === Im n-dimensionalen komplexen Raum === Sei <math>D \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung <math>f \colon D \to \mathbb{C}^m</math> heißt holomorph, falls <math>f = (f_1, \dotsc, f_m)</math> in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem [[w:de:Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]] <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}</math> und <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}</math> steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher nicht mehr so viele schöne Eigenschaften. So gilt für Funktionen <math>f \colon D \to \Complex</math> der cauchysche Integralsatz nicht und der [[w:de:Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. [[w:de:Salomon Bochner|Salomon Bochner]] konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der <math>n</math>-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === In der komplexen Geometrie === Auch in der [[w:de:Komplexe Geometrie|komplexen Geometrie]] werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen [[w:de:Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]] beziehungsweise zwischen [[w:de:Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen [[w:de:Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den [[w:de:Differentialform|glatten Differentialformen]], die [[w:de:holomorphe Differentialform|holomorphe Differentialform]]en heißen. == Literatur == '''Einführungen''' * [[w:de:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich ''deutlich'' von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier ''„Stern“''-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.<!--Der Autor selbst schreibt im Vorwort zur dritten Auflage, sie sei „eigentlich ein unter Benutzung der zweiten Auflage neu verfasstes Buch.“-->) :* {{Literatur |Titel=Einführung in die Funktionentheorie |Auflage=2. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=1980 |ISBN=3-540-10032-6}} :* {{Literatur |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Eine Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20392-3}} * {{Literatur |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb |Titel=Funktionentheorie&nbsp;– Komplexe Analysis in einer Veränderlichen |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig/Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-77247-6}} '''Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie''' * {{Literatur |Autor=[[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]], Rolf Busam |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=3-540-67641-4}} * {{Literatur |Autor=Eberhard Freitag |Titel=Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-87899-5}} * {{Literatur |Autor=[[w:de:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 1 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2002 |ISBN=3-540-41855-5}} * {{Literatur |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher |Titel=Funktionentheorie 2 |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-40432-3}} [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Siehe auch == * [[w:de:Holomorphie einer Gruppe|Holomorphie einer Gruppe]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion Holomorphe Funktion] https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe%20Funktion * Datum: 8.11.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Holomorphic function]]</noinclude> tuv7rqoul7cxr0md9h8euwcclk2yplr 106 103705 1114979 1081408 2026-10-01T07:05:01Z Bert Niehaus 20843 /* Verteilungsfunktion - Normalverteilung */ 1114979 wikitext text/x-wiki == Einführung == <!-- {{Infobox Verteilung | name = | type = density | pdf_image = [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px]] Dichtefunktionen der Normalverteilung <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün) | cdf_image = [[Datei:Normal-distribution-cumulative-density-function-many.svg|350px]] Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0,1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0,5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2,\,0{,}5)</math> (grün) | notation = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> | parameters = <math>\mu \in \R</math> – Erwartungswert<br /><math>\sigma^2 > 0</math> – Varianz | pdf = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}</math> | cdf = <math>\frac12\left(1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right) </math><br />– mit [[w:de:Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}(x)</math> | mean = <math>\mu</math> | median = <math>\mu</math> | variance = <math>\sigma^2\,</math> | mgf = <math>\exp\left\{\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\right\}</math> | char = <math>\exp\left\{i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\right\}</math> | conjugate prior = Normal distribution }} --> Die '''Normal-''' oder '''Gauß-Verteilung''' (nach [[w:de: Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]) ist in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] ein wichtiger Typ stetiger [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Ihre [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] wird auch Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. <br> === Bedeutung der Normalverteilung === Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem [[w:de:Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von [[stochastische Unabhängigkeit|unabhängigen]] Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. === Normalverteilte Abweichung vom Erwartungswert === Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] lassen sich durch die Normalverteilung (bei biologischen Prozessen oft [[w:de:logarithmische Normalverteilung|logarithmische Normalverteilung]]) entweder exakt oder zumindest in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken). === Beispiele für die Beschreibung zufälliger Vorgänge === Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie: * '''(Messung fehlerhaft)''' zufällige [[w:de:Messabweichung|Messfehler]], * '''(Werkstücke fehlerhaft)'''zufällige Abweichungen vom [[w:de:Sollmaß|Sollmaß]] bei der Fertigung von Werkstücken, * '''(Bewegung zufällig)''' Beschreibung der [[w:de:Brownsche Bewegung|brownschen Molekularbewegung]]. === Versicherungsmathematik - Schadensdaten === In der [[w:de:Versicherungsmathematik|Versicherungsmathematik]] wird die Normalverteilung zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen verwenden. Dabei ist allerdings zu berücksichtigten, dass die Normalverteilung als [[Ergebnisraum]] <math>\Omega = \mathbb{R}</math> === Interpretation Erwartungswert und Standardabweichung === Somit kann neben dem [[Erwartungswert]] <math>\mu</math>, der als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden kann, auch der [[w:de:Standardabweichung|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> eine einfache Bedeutung im Hinblick auf die Größenordnungen der auftretenden Abweichungen der normalverteilten Messwerte vom [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> zugeordnet werden. === Glockenkurve === Der Graph dieser Dichtefunktion hat eine [[Glockenkurve|„glockenförmige Gestalt“]] und ist [[w:de:Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] mit dem [[w:de:Parameter (Statistik)|Parameter]] <math>\mu</math> als ''Symmetriezentrum'', der auch den [[w:de:ErwartungswertErwartungswert]] und den [[w:de:Median (Stochastik)|Median]] der Verteilung darstellt. Die Varianz von <math>X</math> ist der Parameter <math>\sigma^2</math>. Weiterhin hat die Wahrscheinlichkeitsdichte [[w:de:Wendepunkt|Wendepunkte]] bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>. === Graph der Dichtefunktion === [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px|zentriert|Dichtefunktion der Normalverteiung]] == Definition - Normalverteilung== Eine [[w:de:stetige Zufallsvariable|stetige Zufallsvariable]] <math>X</math> hat eine (''Gauß-'' oder) ''Normalverteilung mit [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math>'' (<math>-\infty<\mu<\infty, \sigma^2>0</math>), oft geschrieben als <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math>, wenn <math>X</math> die folgende [[w:de:Dichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]] hat:<ref>Bei <math>e^x</math> handelt es sich um die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der Basis <math>e.</math></ref><ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 47.</ref> <br> :<math> \begin{array}{rcl} f(x \mid\mu,\sigma^2) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \ \ \ -\infty < x < +\infty \\ & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2 \cdot \sigma^{2})^n} \cdot (x-\mu)^{2n} \\ \end{array} </math> === Alternative Notation der Dichtefunktion === Die Transformation der [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] in die Normalverteilung mit dem Verteilungsparameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> erfolgt über den Term <math display="inline">\frac{x-\mu}{\sigma}</math>. Wenn man diese Transformation in der Dichtefunktion sichtbar machen möchte, eignet sich die folgende Umformung der obigen Dichtefunktion: :<math> \begin{array}{rcl} f(x \mid\mu,\sigma^2) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma} \cdot \operatorname{exp}\left(-\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \\ \end{array} </math> === Verteilungsfunktion - Normalverteilung === Bei integrablen Wahrscheinlichkeitsdichten <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{o}^{+}</math> ist die eindimensionale Verteilungsfunktion wie folgt definiert : <math> \begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt , \quad x \in \mathbb{R} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2 \cdot \sigma^{2})^n} \cdot \frac{(x-\mu)^{2n+1}}{2n+1} \\ \end{array} </math> === Bemerkung Reihendarstellung === Die Reihendarstellung ergibt sich durch summandenweise Intergration der Taylorreihe für die Dichtefunktion <math>\varphi</math> der [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] und der Transformation in eine Normalverteilung mit [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[Varianz]] <math>\sigma</math> (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie]] - [[lokale Stammfunktionen|Stammfunktion]] der Dichte der [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung]]): === Graph der Verteilungsfunktion === [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] === Numerische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten === Die Funktionswert der [[Verteilungsfunktion]] kann man über die [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] der [[Verteilungsfunktion]] numerisch berechnen. === Standardnormalverteilungstabelle === Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer [[w:de:Standardnormalverteilungstabelle|Standardnormalverteilungstabelle]] berechnet werden, die eine [[w:de:Standardisierung (Statistik)|Standardform]] verwendet. Um das zu sehen, benutzt man die Tatsache, dass eine [[w:de:lineare Funktion|lineare Funktion]] einer normalverteilten Zufallsvariablen selbst wieder normalverteilt ist. == Lineare Transformation normalverteilter Zufallsvariablen== Konkret heißt das, wenn <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math> und <math>Y=aX+b</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> Konstanten sind mit <math>a \ne 0</math>, dann gilt <math>Y\sim\mathcal{N}\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)</math>. Als Folgerung daraus ergibt sich die Zufallsvariable<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 48.</ref> <br> :<math>Z=\frac{1}{\sigma}(X-\mu)\sim\mathcal{N}(0,1),</math> die auch ''standardnormalverteilte Zufallsvariable'' <math>Z</math> genannt wird. == Definition - Standardnormalverteilung== Die ''Standardnormalverteilung'' ist also die Normalverteilung mit Parametern <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math>. Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist gegeben durch :<math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}, - \infty < x < \infty . </math> Ihr Verlauf ist nachfolgend graphisch dargestellt. <br> === Mehrdimensionale Normalverteilung === Die mehrdimensionale Verallgemeinerung ist im Artikel [[w:de:mehrdimensionale Normalverteilung|mehrdimensionale Normalverteilung]] zu finden. [[Datei:Multivariate_Gaussian.png|zentriert|rahmenlos|450px|mehrdimensionale (multivariate) Normalverteilung]] <span id="Funktionentheorie"></span> == Normalverteilung in der Funktionentheorie == Die Dichte der Normalverteilung kann man als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] in der Funktionen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandeln und dann mit den allgemeinen Eigenschaften einer Verteilungsfunktion mit dem Identitätssatz und der gleichmäßigen Konvergenz auf Kreisscheiben in <math>\mathbb{C}</math> die Reihendarstellung der [[Verteilungsfunktion]] herleiten. Mit <math>\mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math> erhält man damit auch eine Reihendarstellung der [[Verteilungsfunktion]] auf <math>\mathbb{R}</math>. === Taylorentwicklung der Verteilungsfunktion === Zunächst betrachtet man die Reihendarstellung der Standardnormalverteilung als komplexe [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, wobei man den Definitionsbereich von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dieser Schritt erfolgt, um Sätze aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] für die Verteilungsfunktion verwenden zu können. === Voraussetzung === Um die Resultate aus der [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] verwenden zu können betrachtet man die Dichtefunktion mit der Erweiterung des Definitionsbereiches auf <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \begin{array}{rrcl} \varphi : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle \varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{z^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \underbrace{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot z^{2n} }_{=e^{-\frac{z^2}{2}}} \end{array} </math> === Dichtefunktion als holomorphe Funktion === <math>\varphi</math> ist als Verkettung von zwei auf ganz <math>\mathbb{C}</math> [[Holomorphie|holomorphen]] Funktion <math>f(x)=e^x</math> und <math display="inline">g(x)=-\frac{x^2}{2}</math> wieder eine [[w:de:Ganze_Funktion|ganze Funktion]] <math>\varphi=f\circ g</math>, die eine Reihendarstellung für alle <math>x\in\mathbb{C}</math> besitzt und damit insbesondere für alle <math>x\in\mathbb{R}</math>. Der Konvergenzradius der [[Taylorreihe]] von [[w:de:Ganze_Funktion|ganzen Funktion]] ist unendlich. === Partialsummen der Potenzreihe === Man betrachtet nun die Funktionenfolge <math>\varphi_n:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> der Partialsummen mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \varphi_n : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!\cdot 2^k} \cdot z^{2k} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|konvergiert]] auf jeder abgeschlossenen Einheitskreisscheibe <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen <math>\varphi</math>. === Gleichmäßige Konvergenz auf Kreisscheiben === Da die Partialsummenfolgen <math>(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> der [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] auf abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> für beliebige <math>r > 0</math> gegen die <math>\varphi</math> konvergieren, kann man [[w:de:Integration (Mathematik)|Integration]] und Grenzwertprozess der [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] vertauschen. und bei der [[w:de:Integration (Mathematik)|Integration]] summandenweise integrieren. === Stammfunktion auf Kreisscheiben === Damit erhält man eine Stammfunktion <math>\widehat{\Phi}_r</math> von <math>\varphi</math> auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(0)} \subset \mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi}_r : & \overline{D_r(0)} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}_r(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot z^{2n+1} \end{array} </math> === Stammfunktion der Dichtefunktion === Nach dem [[Identitätssatz]] stimmt die Potenzreihe <math>\widehat{\Phi}_r</math> auf einer nicht diskreten Teilmenge <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> mit <math>\widehat{\Phi}</math> auf <math>\overline{D_r(0)}</math> überein, damit muss die ganze Funktion <math>\widehat{\Phi}_r</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\widehat{\Phi}</math> übereinstimmen. Damit erhält man folgende [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\varphi</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi} : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot z^{2n+1} \end{array} </math> Weitere Stammfunktionen <math>\widetilde{\Phi}</math> von <math>\varphi</math> unterscheiden sich von <math>\widehat{\Phi}</math> lediglich um eine Konstante <math>c</math> mit <math>\widetilde{\Phi}(x) = \widehat{\Phi}(x) + c</math>. ==== Eigenschaften der Verteilungsfunktion ==== Die gesuchte Potenzreihe der [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math>\Phi</math> ist insbesondere eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] der Dichte <math>\varphi</math>, aber nicht jede [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widetilde{\Phi}</math> ist auch eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]], da eine Verteilungsfunktion weitere Eigenschaften folgende charakterisierende erfüllen muss: :<math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. ==== Grenzwerteigenschaften der komplexwertigen Einbettung der Verteilungsfunktion ==== Für die Stammfunktion müsste daher auf der reellen Achse das folgende Grenzwertverhalten gelten: : <math>\lim_{x \to -\infty} \Phi(x+0\cdot i) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} \Phi(x+0\cdot i) = 1</math> Um die nun weitere in den reellen Zahlen die Eigenschaften der Stammfunktion untersuchen zu können, betrachtet man nun noch die Einschränkung der Potenzreihe <math>\widehat{\Phi}</math> auf die reellen Zahlen. ==== Stammfunktion auf den reellen Zahlen ==== Wenn <math>\widehat{\Phi}</math> eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\varphi</math> auf <math>\mathbb{C}</math> ist, dann ist <math>\widehat{\Phi}</math> insbesondere eine Stammfunktion von <math>\varphi</math> auf <math>\mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi} : &\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} \end{array} </math> ==== Funktionswert der Stammfunktion in 0 ==== Man betrachtet nun den Funktionswert der Stammfunktion in 0 und nutzt die [[w:de:Achsensymmetrie|Achsensymmetrie]] der Standardnormalverteilung zur <math>y</math>-Achse aus. :<math> \widehat{\Phi}(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot 0^{2n+1} = 0 </math> Gleichzeitig gilt <math>\widehat{\Phi}(-x) = - \widehat{\Phi}(x)</math>, weil die Potenzreihe nur ungerade Exponenten <math>x^{2n+1} </math> besitzt. ==== Uneigentliches Integral und Normierung ==== Weil die [[Standardnormalverteilung]] eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] ist, gilt für das [[w:de:uneigentliches Integral|uneigentliche Integral]] und der Normierung der [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]: :<math> \begin{array}{rcl} 1 & = & P(\Omega) = P(\mathbb{R}) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx \\ & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \lim_{r\to +\infty} \int_{-r}^{+r} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx \\ \end{array} </math> ==== Zerlegung des uneigentlichen Integrals ==== Man zerlegt nun das uneigentlichen Integral in zwei Teilintegrale nutzt dann die Symmetrie von <math>\varphi</math> mit <math>\varphi(x)=\varphi(-x)</math> aus. :<math> \begin{array}{rcl} \Phi(0) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx = \displaystyle \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx + \int_{-\infty}^{0} \underbrace{\varphi(x)}_{=\varphi(-x)} \, dx \bigg) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx + \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \, dx \bigg) = \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \, dx }_{=1} \end{array} </math> Damit muss bei der Verteilungsfunktion der [[Standardnormalverteilung]] <math> \Phi(0)=\frac{1}{2}</math> gelten. ==== Konstante für die Verteilungsfunktion ==== Damit ist die Konstante <math>c=\frac{1}{2}</math> der [[Verteilungsfunktion]] <math> \Phi</math> festgelegt und man erhält: :<math> \Phi(0)=\frac{1}{2}+\underbrace{\widehat{\Phi}(0)}_{=0} \mbox{ mit } \Phi(x)= c + \widehat{\Phi}(x) </math> Die darstellende Potenzreihe der Verteilungsfunktion ist damit: :<math> \Phi(x)= \frac{1}{2} + \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} </math> === Alternative Taylorentwicklung der Verteilungsfunktion === Über [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] erhält man die folgende Darstellung der Verteilungsfunktion: :<math> \Phi(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3\cdot 5} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!} + \cdots\right)\,. </math> Dabei bezeichnet <math>n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4) \cdot ...</math> die [[w:de:Doppelfakultät|Doppelfakultät]] von <math>n</math>. === Bemerkung zur Taylordarstellung === Die Addition von <math>\frac{1}{2}</math> sorgt dafür, dass die Verteilungsfunktion für <math>x\to -\infty </math> jeweils gegen 0 bzw. 1 konvergiert. Der Vorfaktor <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> sorgt für die Normierung des Flächeninhaltes und damit auf für das Grenzwertverhalten <math>x\to +\infty </math> gegen 1. == Eigenschaften == === Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] der Normalverteilung ist durch :<math>F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt</math> gegeben. ==== Symmetrie Standardnormalverteilung ==== * Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist symmetrisch zur <math>y</math>-Achse und * die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt <math display="inline">\left(0,\frac{1}{2}\right)\in \mathbb{R}^2</math> ==== Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ==== Betrachtet man die Verteilungsfunktion für die Dichte der Standardnormalverteilung mit <math>\mu=0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math> erhält man die folgende mit <math>\Phi</math> bezeichnete Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: :<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt.</math> ==== Transformation - Integral Standardnormalverteilung ==== Wenn man durch die [[w:de:Substitutionsregel|Substitution]] <math>t=\sigma z + \mu</math> statt <math>t</math> eine neue Integrationsvariable <math>z := \tfrac{t-\mu}{\sigma}</math> einführt, ergibt sich ein Integral über die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: :<math>F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{(x-\mu)/\sigma} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm d z = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math> === Symmetrie === Der [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] der Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f\colon\ \mathbb R\to\mathbb R</math> ist eine Gaußsche Glockenkurve, deren Höhe und Breite von <math>\sigma</math> abhängt. Sie ist [[w:de:Achsensymmetrie#Achsensymmetrie von Funktionsgraphen|achsensymmetrisch]] zur Geraden mit der Gleichung <math>x = \mu</math> und somit eine [[w:de:symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung]] um ihren Erwartungswert. Der Graph der Verteilungsfunktion <math>F</math> ist [[w:de:Punktsymmetrie#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum Punkt <math>(\mu ; 0{,}5).</math> Für <math>\mu=0</math> gilt insbesondere <math>\varphi(-x) =\varphi(x)</math> und <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math>. === Maximalwert und Wendepunkte der Dichtefunktion === Mit Hilfe der ersten und zweiten [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] lassen sich der Maximalwert und die Wendepunkte bestimmen. Die erste Ableitung ist :<math>f'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} f(x).</math> Das Maximum der Dichtefunktion der Normalverteilung liegt demnach bei <math>x_\mathrm{max} = \mu</math> und beträgt dort <math>f_\mathrm{max} = \tfrac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}</math>. <br> Die zweite Ableitung lautet :<math>f' '(x) = \frac 1{ \sigma ^2} \left ( \frac 1{ \sigma ^2}(x- \mu )^2 -1 \right ) f(x). </math> Somit liegen die [[w:de:Wendepunkt|Wendestellen]] der Dichtefunktion bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>. Die Dichtefunktion hat dort den Wert <math>\tfrac 1{\sigma\sqrt{2\pi e}}</math>. <span id="Normierung"></span> == Normierung der Normalverteilung == Um nachzuweisen das die Verteilung mit der obigen Dichtefunktion tatsächlich ein Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, muss man das Axiom der Normiertheit für das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P: \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> zeigen. Dies wird für die Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math> umgesetzt. :<math> P(\Omega) = P(\mathbb{R}) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} z^2} \mathrm dz </math> === Normierung (1) === Wichtig ist, dass die gesamte Fläche unter der [[w:de:Funktionsgraph|Kurve]] gleich <math>1</math>, also gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisses]], ist. Somit folgt, dass, wenn zwei Gaußsche Glockenkurven dasselbe <math>\mu</math>, aber unterschiedliches <math>\sigma</math> haben, die Kurve mit dem größeren <math>\sigma</math> breiter und niedriger ist (da ja beide zugehörigen Flächen jeweils den Wert <math>1</math> haben und nur die Standardabweichung größer ist). Zwei Glockenkurven mit gleichem <math>\sigma,</math> aber unterschiedlichem <math>\mu</math> haben kongruente Graphen, die um die Differenz der <math>\mu</math>-Werte parallel zur <math>x</math>-Achse gegeneinander verschoben sind. === Normierung (2) === Jede Normalverteilung ist tatsächlich normiert, denn mit Hilfe der linearen [[w:de:Integration durch Substitution|Substitution]] <math>z= \tfrac{x-\mu}\sigma</math> erhalten wir :<math> \int_{-\infty}^\infty \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac 12 \left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \mathrm dx= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 z^2} \mathrm dz=1.</math> === Normierung (3) === Um die Normiertheit <math>\Phi( \infty )=1</math> nachzuweisen, berechnet man das Quadrat <math>I^2</math> des folgenden :<math>I := \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt.</math> Da die Dichtefunktion im Integranden eine positive Funktion ist, muss <math>I\geq 0</math>. Daher kann man aus <math>I^2=1</math> auch auf <math>I=1</math> === Normierung (4) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === Man kann die [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] des Integranden als [[w:de:elementare Funktion|elementare Funktion]] angeben, gibt es trotzdem mehr als ein halbes Dutzend Lösungswege, seinen Wert zu bestimmen, angefangen bei ersten Näherungen [[w:de:Abraham de Moivre|De Moivres]] aus dem Jahr 1733 über die Arbeiten von [[w:de:Pierre-Simon Laplace|Laplace]] und [[w:de:Siméon Denis Poisson|Poisson]] aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem gänzlich neuen Lösungsansatz S. P. Evesons aus dem Jahr 2005.<ref>[https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf Peter M. Lee: ''The probability integral''; University of York, Department of Mathematics, 2011], zuletzt abgerufen am 14. Mai 2016.</ref> === Normierung (5) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === Einer der entscheidenden Tricks für seine Berechnung (angeblich von Poisson<ref>[https://ems.press/content/serial-article-files/4007 Denis Bell: ''Poisson’s remarkable calculation - a method or a trick?''; Elemente der Mathematik 65, 2010] (PDF; 248&nbsp;kB)</ref>) ist es, auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet über Polarkoordinaten zu parametrisieren. === Normierung (6) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === :<math>\begin{align} I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)\cdot \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dy\right)\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2} \cdot e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dx\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(x^2 + y^2\right)}\mathrm dx\,\mathrm dy. \end{align}</math> Grundlage für die erste Umformung ist die [[Lineare Abbildung|Linearität]] des Integrals. === Normierung (7) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Statt längs kartesischer Koordinaten wird über <math>\mathbb{R}^2</math> nun längs [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] integriert, was der Substitution <math> x = r \cos(\varphi), y = r \sin (\varphi) </math> und daraus <math>r^2 = x^2 + y^2</math> entspricht. === Normierung (8) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Nun erhält man das Integral über die Verwendung der [[Transformationsformel|Transformationssatz]] :<math>\begin{align} I^2 &= \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dr\\ &= 2 \pi \int_0^\infty e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm dr\\ &= -2 \pi \left[e^{-\frac 12 r^2}\right]_{r=0}^\infty\\ &= 2 \pi. \end{align}</math> === Normierung (9) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Damit erhält man das gesuchte Integral mit der Voraussetzung <math>I \geq 0</math>: :<math>\lim_{z \to \infty} \Phi(z) = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt=\frac 1{\sqrt{2\pi}}I = 1.</math> === Berechnung === Da sich <math>\Phi(z)</math> nicht auf eine elementare [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen zurückgegriffen (siehe [[w:de:Standardnormalverteilungstabelle|Standardnormalverteilungstabelle]]). Heutzutage sind in statistischen Programmiersprachen wie zum Beispiel [[w:de:R (Programmiersprache)|R]] Funktionen verfügbar, die auch die Transformation auf beliebige <math> \mu </math> und <math> \sigma </math> beherrschen. == Erwartungswert == Der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] der Standardnormalverteilung ist <math>0</math>. Es sei <math>X \sim \mathcal N\left(0,1\right)</math>, so gilt :<math> \operatorname{E}(X) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\ e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx = 0,</math> da der Integrand [[w:de:Uneigentliches Integral|integrierbar]] und [[w:de:Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] ist. === Stammfunktion des Integranden === Der Integrand beim Erwartungswert <math>f(x)=x\cdot e^{-x^2}</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F(x)=-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^2}</math>, denn es gilt: :<math> f(x)=x\cdot e^{-x^2} = -\frac{1}{2} \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2} </math> Mit dieser kleinen Transformation ist <math>-2x</math> die innere Ableitung von <math>-x^2</math>. Mit der Anwendung der Substitutionregel in der Integralrechnung erhält man eine Stammfunktion <math>F(x)=-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^2}</math>. === Lineare Transformation - Linearität des Erwartungswertes === Ist nun <math>Y \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)</math>, so gilt <math>X=(Y-\mu)/\sigma</math> ist standardnormalverteilt, und somit kann man mit der [[Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] :<math> \operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(\sigma X + \mu)=\sigma \underbrace{\operatorname{E}(X)}_{=0} + \mu=\mu.</math> == Varianz == Die [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] der <math>(\mu, \sigma^2)</math>-normalverteilten Zufallsvariablen entspricht dem Parameter <math>\sigma^2</math> :<math>\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2 e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\sigma^2.</math> === Berechnung der Varianz (1) === Die Berechnung der Varianz erfolgt über [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] für den Integranden <math>x^2 \cdot e^{-x^2}</math> der Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. Für die Varianz gilt: :<math>Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - {\underbrace{E(X)}_{=0}}^2 = E(X^2)</math> Also muss man für die Berechnung der Varianz nur das zweite Moment <math> E(X^2) </math> berechnen. === Berechnung der Varianz (2) === Die Berechnung des zweiten Momentes nutzt die [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] und die [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] für die Verkettung von Funktionen bei der Berechnung von <math>g'(x)</math> :<math> \begin{align} f(x) & = x \\ f\,'\!(x) & = 1 \\ g(x) & = e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ g\,'\!(x) & = -x\cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \end{align} </math> === Berechnung der Varianz (2) === Mit der obigen Definition der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> erhält man mit der partiellen Integrationregel :<math> \lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{+r} f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{r \to +\infty}\Big[f(x)\cdot g(x)\Big]_{-r}^{+r} - \lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{+r} f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x </math> für uneigentliche Integral. === Berechnung der Varianz (3) === Die Berechnung des 2. Momentes ergibt daher über: :<math> \begin{align} E(X^2) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! x^2 \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2}\mathrm dx = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \underbrace{x}_{=:f(x)} \cdot \underbrace{ \left( -x \cdot e^{- \frac{1}{2} x^2} \right) }_{=:g\,'(x)} \mathrm dx \\ & = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \underbrace{ \bigg[ \underbrace{x}_{=:f(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2} x^2}}_{=:g(x)} \bigg]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} + \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \underbrace{1}_{=f\,'(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2} x^2} }_{=g(x)} \mathrm dx }_{=P(\mathbb{R})=1} = 1 \\ \end{align} </math> === Berechnung der Varianz (4) === Insgesamt ergibt sich damit die Berechnung der Varianz für die Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. :<math>Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - {\underbrace{E(X)}_{=0}}^2 = E(X^2) = 1</math> == Wahrscheinlichkeitsdichte als Taylorreihe == Für Taylorreihen kann man für Wert <math>x</math> aus dem Konvergenzbereich die Dichtefunktion als Potenzreihe darstellen und von Potenzreihen kann man eine Stammfunktion direkt über die Integration der Summanden der Taylorreihe (Polynome <math>n</math>-ten Grades) bilden. Dazu muss man die Taylorkoeffizienten <math>a_n= \frac{f^{(n)}(0)}{n!} </math> berechnen. === Taylorkoeffizienten der Standardnormalverteilungsdichte === Zunächst müssen die Ableitungen der Dichtefunktion <math>f^{(n)}(x)</math> mit der mit der [[w:de:Produktregel|Produktregel]] gebildet werden. :<math> \begin{align} f^{(0)}(x) & = f(x) = e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(1)}(x) & = -x \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(2)}(x) & = (x^2 - 1) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(3)}(x) & = (-x^3 - 3x) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(4)}(x) & = (x^4 - 6x^2 + 3) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \vdots \,\,\, & = \,\,\, \vdots \\ f^{(n)}(x) & = p^{(n)}(x) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \end{align} </math> <math>p^{(n)}</math> ist ein Polynom <math>n</math>-ten Grades. Siehe auch [[Maxima CAS/Taylorkoeffizienten]] === Aufgabe für Studierende === * Bestimmen Sie die Ableitungen der Dichtefunktion in einer expliziten Form für das führende Polynom <math>p^{(n)}(x)</math> * Zeigen Sie, dass <math>p^{(2n+1)}(0) = 0</math> für ungeradzahlige Ableitungen gilt! * Berechnen Sie explizit <math>p^{(2n)}(0)</math> für geradzahlige Ableitungen! === Entwicklungspunkt 0 === Mit dem Entwicklungspunkt 0 verschwindet viele Summand aus dem vorangestellten ersten Polynom. Insbesondere sind die Koeffizienten mit ungeradem Summanden 0. Die fortgesetzten Ableitung wurden mit der [[w:de:Produktregel|Produktregel]] berechnet. == Charakteristische Funktion == Die [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> ist :<math>\varphi_Z(t) = e^{-\frac 12 t^2}.</math> Für eine Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)</math> erhält man daraus mit <math>X = \sigma Z + \mu</math>: :<math>\varphi_X(t)=\operatorname E(e^{it(\sigma Z + \mu)})=\operatorname E(e^{it\sigma Z}e^{it\mu})= e^{it\mu}\operatorname{E}(e^{it\sigma Z})</math> :<math>=e^{it\mu}\varphi_Z(\sigma t)= \exp\left\{it\mu-\tfrac 12 \sigma^2 t^2\right\}.</math> == Faltung von Wahrscheinlichkeitsdichten == Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsdichten <math>f_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_o^+ </math>, <math>f_2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_o^+ </math> für zwei normalverteilten [[stochastisch unabhängig|stochastisch unabhängigen]] Zufallfallsgrößen <math>X_1, X_2</math> liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f_1 \ast f_2</math> der Summenverteilung <math>X_1+X_2</math>. === Invarianz gegenüber Faltung (1)=== Die Normalverteilung ist [[w:de:invariant|invariant]] gegenüber der [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltung]], d.&nbsp;h., die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt (siehe dazu auch unter [[w:de:Alpha-stabile Verteilungen|stabile Verteilungen]] bzw. unter [[w:de:Unendliche Teilbarkeit|unendliche teilbare Verteilungen]]). Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Die Faltung einer Gaußkurve der [[w:de:Halbwertsbreite|Halbwertsbreite]] <math>\Gamma_a</math> mit einer Gaußkurve der Halbwertsbreite <math>\Gamma_b</math> ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Halbwertsbreite :<math>\Gamma_c = \sqrt{\Gamma_a^2 + \Gamma_b^2}.</math> === Invarianz gegenüber Faltung (2)=== Sind also <math>X, Y</math> zwei unabhängige Zufallsvariablen mit :<math>X \sim \mathcal N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y \sim \mathcal N(\mu_Y,\sigma_Y^2),</math> so ist deren Summe ebenfalls normalverteilt: :<math>X+Y \sim \mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)</math> Das kann beispielsweise mit Hilfe von charakteristischen Funktionen gezeigt werden, indem man verwendet, dass die charakteristische Funktion der Summe das Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist (vgl. [[w:de:Faltungssatz|Faltungssatz]] der Fouriertransformation). === Invarianz gegenüber Faltung (3)=== Gegeben seien allgemeiner <math>n</math> unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen <math>X_i \sim \mathcal N(\mu_i, \sigma_i^2)</math>.<br> Dann ist deren Summe wieder normalverteilt :<math>\sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal N\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right)</math> und das arithmetische Mittel ebenfalls :<math>\frac 1n \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal N\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n \mu_i, \frac 1{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right).</math> Nach dem [[w:de:Satz von Cramér|Satz von Cramér]] gilt sogar die Umkehrung. == Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen == === Transformation zur Standardnormalverteilung (1)=== Eine Normalverteilung mit beliebigen <math> \mu </math> und <math> \sigma </math> und der Verteilungsfunktion <math>F</math> hat, wie oben erwähnt, die nachfolgende Beziehung zur <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-Verteilung: :<math>F(x) = \Phi \left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right).</math> Darin ist <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.<br> === Transformation zur Standardnormalverteilung (2)=== Wenn <math>X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>, dann führt die [[w:de:Standardisierung (Statistik)|Z-Transformation]] :<math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math> zu einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math>, denn :<math>P(Z\le z)=P\left(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\le z\right)=P\left(X\le \sigma z+\mu\right)=F(\sigma z+\mu)=\Phi(z).</math> Geometrisch betrachtet entspricht die durchgeführte Substitution einer flächentreuen Transformation der Glockenkurve von <math> \mathcal{N}(\mu;\sigma^2) </math> zur Glockenkurve von <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (1)=== <!--{{Hauptartikel|Normal-Approximation}}--> Die Normalverteilung kann zur Approximation der [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]] verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil der gesuchten Eigenschaft weder zu groß noch zu klein ist ([[w:de:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]], [[w:de:zentraler Grenzwertsatz|zentraler Grenzwertsatz]], zur experimentellen Bestätigung siehe auch unter [[w:de:Galtonbrett|Galtonbrett]]).<br> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (2)=== Ist ein Bernoulli-Versuch mit <math>n</math> voneinander unabhängigen Stufen (bzw. [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]]) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge allgemein berechnen mittels :<math>P(X=k) = \tbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\quad k = 0, 1, \dotsc, n.</math> Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn <math>n</math> hinreichend groß und <math>p</math> weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt <math>np(1-p)\geq 9</math>. Für den Erwartungswert <math>\mu</math> und die Standardabweichung <math>\sigma</math> gilt dann: === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (3)=== :<math>\mu=n\cdot p </math> und <math>\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}</math>.<br> Damit gilt für die Standardabweichung <math>\sigma\geq 3</math>. Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: <math>np\geq 4</math> und zugleich <math>n(1-p)\geq 4</math>.<br> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (4)=== Folgende Näherung ist dann brauchbar: :<math>P(x_1 \leq X \leq x_2) = \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}}</math> :<math> \approx \underbrace { \Phi \left( \frac {x_2 + 0,5 - \mu }{ \sigma } \right ) - \Phi \left ( \frac { x_1 - 0,5 - \mu }{ \sigma } \right) }_{ \mathrm { NV } }.</math> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (5)=== Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn <math>\sigma</math> einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.<br> Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte geachtet werden: === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (6)=== * Der Unterschied zwischen <math><</math> oder <math>\leq</math> (sowie zwischen ''größer'' und ''größer gleich'') muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei <math> P(X_\text{BV} < x) </math> die nächstkleinere natürliche Zahl gewählt werden, d.&nbsp;h. :<math> P(X_\text{BV} < x) = P(X_\text{BV} \leq x-1) </math> bzw. <math>P(X_\text{BV}>x)=P(X_\text{BV}\geq x+1)</math>, :damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann. :Zum Beispiel: <math>P(X_\text{BV}<70) = P(X_\text{BV}\leq 69)</math> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (7)=== Außerdem ist * <math> P(X_\text{BV} \leq x) = P(0 \leq X_\text{BV} \leq x) </math> * <math> P(X_\text{BV} \geq x) = P(x \leq X_\text{BV} \leq n) </math> * <math> P(X_\text{BV} = x) = P(x \leq X_\text{BV} \leq x) </math> (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur) und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.<br> Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können. === Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung === Ist die Zufallsvariable <math>X</math> normalverteilt mit <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})</math>, dann ist die Zufallsvariable <math>Y=e^{X}</math> [[w:de:Logarithmische Normalverteilung|logarithmisch-normalverteilt]], also <math>Y \sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^{2})</math>. Die Entstehung einer [[w:de:Logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilung]] ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen. == Rechnen mit der Standardnormalverteilung (1) == Bei Aufgabenstellungen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für <math>\mu</math>-<math>{\sigma}^2</math>-normalverteilte Zufallsvariablen durch die Standardnormalverteilung ermittelt werden soll, ist es nicht nötig, die oben angegebene Transformation jedes Mal durchzurechnen. Stattdessen wird einfach die Transformation :<math>Z = \frac {X-\mu}{\sigma}</math> verwendet, um eine <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-verteilte Zufallsvariable <math>Z</math> zu erzeugen. == Rechnen mit der Standardnormalverteilung (2) == Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass z.&nbsp;B. <math>X</math> im Intervall <math>[x,y]</math> liegt, ist durch folgende Umrechnung gleich einer Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung: <math> \begin{align} P(x \leq X \leq y) &= P\left(\frac {x-\mu}{\sigma} \leq \frac {X-\mu}{\sigma} \leq \frac {y-\mu}{\sigma}\right)\\ &=P\left(\frac {x-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac {y-\mu}{\sigma}\right)\\ &=\Phi\left(\frac {y-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac {x-\mu}{\sigma}\right) \end{align} </math>. === Grundlegende Fragestellungen (1) === Allgemein gibt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert <math>x</math> an, d.&nbsp;h., es wird das [[w:de:bestimmtes Integral|bestimmte Integral]] von <math>-\infty</math> bis <math>x</math> berechnet. Dies entspricht in Aufgabenstellungen einer gesuchten [[w:de:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]], bei der die Zufallsvariable <math>X</math> ''kleiner'' oder ''nicht größer'' als eine bestimmte Zahl <math>x</math> ist. Wegen der [[w:de:Stetigkeit|Stetigkeit]] der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob nun <math><</math> oder <math>\leq</math> verlangt ist, weil z.&nbsp;B. :<math>P(X = 3) = \int_3^3 f(x)\mathrm dx = 0</math> und somit <math>P(X<3) = P(X \leq 3)</math>. Analoges gilt für „größer“ und „nicht kleiner“. === Grundlegende Fragestellungen (2) === Dadurch, dass <math>X</math> nur kleiner oder größer als eine Grenze sein (oder innerhalb oder außerhalb zweier Grenzen liegen) kann, ergeben sich für Aufgaben bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen zu Normalverteilungen zwei grundlegende Fragestellungen: * Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> ''höchstens'' den Wert <math>z</math> annimmt? * <math>P(Z \leq z)=\Phi(z)</math> In der Schulmathematik wird für diese Aussage gelegentlich auch die Bezeichnung ''linker Spitz'' verwendet, da die [[w:de:Flächeninhalt|Fläche]] unter der Gaußkurve von links bis zur Grenze verläuft. Für <math>z</math> sind auch negative Werte erlaubt. === Grundlegende Fragestellungen (3) === Allerdings haben viele Tabellen der Standardnormalverteilung nur positive Einträge –&nbsp;wegen der Symmetrie der Kurve und der Negativitätsregel ::<math>\Phi(-z)\ =\ 1-\Phi(z)</math> :des „linken Spitzes“ stellt dies aber keine Einschränkung dar. === Grundlegende Fragestellungen (4) === Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> ''mindestens'' den Wert <math>z</math> annimmt? :<math>P(Z \geq z) = 1 - \Phi(z)</math> Hier wird gelegentlich die Bezeichnung ''rechter Spitz'' verwendet, mit :<math>P(Z \geq -z)= 1- \Phi(-z)= 1-(1-\Phi(z)) = \Phi(z)</math> gibt es auch hier eine Negativitätsregel.<br> Da jede Zufallsvariable <math>X</math> mit der allgemeinen Normalverteilung sich in die Zufallsvariable <math>Z = \frac{X -\mu}{\sigma}</math> mit der Standardnormalverteilung umwandeln lässt, gelten die Fragestellungen für beide Größen gleichbedeutend. === Streubereich und Antistreubereich (1)=== Häufig ist die Wahrscheinlichkeit für einen ''Streubereich'' von Interesse, d.&nbsp;h. die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> Werte zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> annimmt: :<math>P(z_1 \le Z \le z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)</math> Beim Sonderfall des symmetrischen Streubereiches (<math>z_1=-z_2</math>, mit <math>z_2>0</math>) gilt: <math> \begin{align} P(-z\le Z\le z ) &= P (|Z|\le z)\\ &= \Phi(z)-\Phi(-z)\\ &= \Phi(z)-(1-\Phi(z))\\ &= 2\Phi(z)-1 \end{align} </math> === Streubereich und Antistreubereich (2)=== Für den entsprechenden ''Antistreubereich'' ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> Werte außerhalb des Bereichs zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> annimmt, zu: :<math>P(Z\le z_1\text{ oder }Z\ge z_2) = \Phi(z_1) + (1-\Phi(z_2)).</math> Somit folgt bei einem symmetrischen Antistreubereich <math> \begin{align} P(Z\le -z\text{ oder }Z\ge z) &= P(|Z|\ge z)\\ &=\Phi(-z)+1-\Phi(z)\\ &= 1-\Phi(z)+1-\Phi(z)\\ &=2-2 \Phi(z). \end{align} </math> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (1)=== Besondere Bedeutung haben beide Streubereiche z.&nbsp;B. bei der [[w:de:Qualitätssicherung|Qualitätssicherung]] von technischen oder wirtschaftlichen [[w:de:Produktion|Produktionsprozessen]]. Hier gibt es einzuhaltende [[w:de:Toleranz (Technik)|Toleranzgrenzen]] <math>x_1</math> und <math>x_2</math>, wobei es meist einen größten noch akzeptablen Abstand <math>\epsilon</math> vom Erwartungswert <math>\mu</math> (=&nbsp;dem optimalen Sollwert) gibt. Die Standardabweichung <math>\sigma</math> kann hingegen [[w:de:empirisch|empirisch]] aus dem Produktionsprozess gewonnen werden.<br> Wurde <math>[x_1;x_2]=[\mu-\epsilon;\mu+\epsilon]</math> als einzuhaltendes Toleranzintervall angegeben, so liegt (je nach Fragestellung) ein symmetrischer Streu- oder Antistreubereich vor.<br> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (2)=== Im Falle des Streubereiches gilt: <math>\begin{align} P(x_1 \leq X \leq x_2) &= P(|X-\mu|\leq\epsilon)\\ &= P(\mu-\epsilon \leq X \leq \mu+\epsilon)\\ &= P\left(\frac{-\epsilon}{\sigma} \leq Z \leq \frac{\epsilon}{\sigma}\right)\\ &= \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\epsilon}{\sigma}\right)\\ &= 2 \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-1\\ &= \gamma \end{align} </math> Der Antistreubereich ergibt sich dann aus <math> P( | X - \mu | \geq \epsilon ) = 1 - \gamma. \,</math> <br> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (3)=== Wenn kein Streubereich berechnet wurde durch <math>P(|X- \mu|\geq \epsilon )=2\cdot\left(1- \Phi\left(\frac{\epsilon} {\sigma}\right)\right)=\alpha.</math> <br> Das Ergebnis <math> \gamma </math> ist also die Wahrscheinlichkeit für verkaufbare Produkte, während <math> \alpha </math> die Wahrscheinlichkeit für Ausschuss bedeutet, wobei beides von den Vorgaben von <math> \mu </math>, <math> \sigma </math> und <math> \epsilon </math> abhängig ist. Ist bekannt, dass die maximale Abweichung <math> \epsilon </math> symmetrisch um den Erwartungswert liegt, so sind auch Fragestellungen möglich, bei denen die Wahrscheinlichkeit vorgegeben und eine der anderen Größen zu berechnen ist. == Testen auf Normalverteilung (1)== [[Datei:Quantile graph.svg|mini|300px|]] Die Abbildung zeigt die [[w:de:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] einer Normalverteilung und einer [[w:de:Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-Verteilung]]. == Testen auf Normalverteilung (2)== [[Datei:Anpassungstests.svg|mini|300px|]] Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt. == Testen auf Normalverteilung (3)== Überprüfungen auf Normalverteilungen sind möglich mittels: * [[w:de:Chi-Quadrat-Test|Chi-Quadrat-Test]] * [[w:de:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] * [[w:de:Anderson-Darling-Test|Anderson-Darling-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests) * [[w:de:Lilliefors-Test|Lilliefors-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests) * [[w:de:Cramér-von-Mises-Test|Cramér-von-Mises-Test]] * [[w:de:Shapiro-Wilk-Test|Shapiro-Wilk-Test]] * [[w:de:Jarque-Bera-Test|Jarque-Bera-Test]] * [[w:de:Q-Q-Plot|Q-Q-Plot]] (deskriptive Überprüfung) * [[w:de:Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Methode]] (deskriptive Überprüfung) == Testen auf Normalverteilung (4)== Die Tests haben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich der Art der Abweichungen von der Normalverteilung, die sie erkennen. So erkennt der Kolmogorov-Smirnov-Test Abweichungen in der Mitte der Verteilung eher als Abweichungen an den Rändern, während der Jarque-Bera-Test ziemlich sensibel auf stark abweichende Einzelwerte an den Rändern („[[w:de:Heavy-tailed-Verteilung|heavy tails]]“) reagiert. == Testen auf Normalverteilung (5)== Beim Lilliefors-Test muss im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test nicht standardisiert werden, d.&nbsp;h., <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der angenommenen Normalverteilung dürfen unbekannt sein.<br> Mit Hilfe von [[w:de:Q-Q-Plot|Quantil-Quantil-Plots]] (auch Normal-Quantil-Plots oder kurz Q-Q-Plots) ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.<br />Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (1)== <!--{{Hauptartikel|Normalverteilungsmodell}}--> Viele der statistischen Fragestellungen, in denen die Normalverteilung vorkommt, sind gut untersucht. Wichtigster Fall ist das sog. Normalverteilungsmodell, in dem man von der Durchführung von <math>n</math> unabhängigen und normalverteilten Versuchen ausgeht. Es existieren drei Fälle: * der Erwartungswert ist unbekannt und die Varianz bekannt * die Varianz ist unbekannt und der Erwartungswert ist bekannt * Erwartungswert und Varianz sind unbekannt. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (2)== Je nachdem, welcher dieser Fälle auftritt, ergeben sich verschiedene [[w:de:Schätzfunktion|Schätzfunktionen]], [[w:de:Konfidenzbereich|Konfidenzbereiche]] oder Tests. Diese sind detailliert im Hauptartikel Normalverteilungsmodell zusammengefasst. Dabei kommt den folgenden Schätzfunktionen eine besondere Bedeutung zu: == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (3)== Das [[w:de:Stichprobenmittel|Stichprobenmittel]] :<math> \overline X =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i </math> ist ein [[w:de:Erwartungstreue|erwartungstreuer]] [[w:de:Punktschätzer|Schätzer]] für den unbekannten Erwartungswert sowohl für den Fall einer bekannten als auch einer unbekannten Varianz. Er ist sogar der [[w:de:Bester erwartungstreuer Schätzer|beste erwartungstreue Schätzer]], d.&nbsp;h. der Schätzer mit der kleinsten Varianz. Sowohl die [[w:de:Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Methode]] als auch die [[w:de:Momentenmethode|Momentenmethode]] liefern das Stichprobenmittel als Schätzfunktion. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (4)== Die unkorrigierte [[w:de:Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]] :<math>V(X)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2</math> ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei gegebenem Erwartungswert <math>\mu_0 </math>. Auch sie kann sowohl aus der Maximum-Likelihood-Methode als auch aus der Momentenmethode gewonnen werden. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (5)== Die [[w:de:korrigierte Stichprobenvarianz|korrigierte Stichprobenvarianz]] :<math>V^*(X)=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2</math> ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei unbekanntem Erwartungswert. == Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen == Alle folgenden Verfahren erzeugen standardnormalverteilte Zufallszahlen. Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Ist die Zufallsvariable <math>x \sim \mathcal{N}(0,1)</math>-verteilt, so ist <math>a \cdot x + b</math> schließlich <math>\mathcal{N}(b,a^2)</math>-verteilt. === Box-Muller-Methode === Nach der [[w:de:Box-Muller-Methode|Box-Muller-Methode]] lassen sich zwei unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> aus zwei unabhängigen, [[w:de:Gleichverteilung|gleichverteilten]] Zufallsvariablen <math>U_1,U_2 \sim U(0,1)</math>, sogenannten [[w:de:Standardzufallszahl|Standardzufallszahlen]], simulieren: :<math>X= \cos( 2 \pi U_1) \sqrt{-2\ln U_2}</math> und :<math>Y = \sin ( 2 \pi U_1 ) \sqrt{-2 \ln U_2}.</math> === Polar-Methode === <!--{{Hauptartikel|Polar-Methode}}--> Die Polar-Methode von [[w:de:George Marsaglia|George Marsaglia]] ist auf einem Computer noch schneller, da sie keine Auswertungen von trigonometrischen Funktionen benötigt: * Erzeuge zwei voneinander unabhängige, im Intervall <math> [ -1, 1 ] </math> gleichverteilte Zufallszahlen <math>u_1</math> und <math>u_2</math> * Berechne <math>q=u_1^2+u_2^2</math>. Falls <math>q = 0</math> oder <math>q \geq 1</math>, gehe zurück zu Schritt 1. * Berechne <math>p = \sqrt {\frac{-2 \cdot \ln q}{q}}</math>. * <math>x_i=u_i \cdot p</math> für <math>i=1,2</math> liefert zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>. <!-- #Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen <math>u_1,u_2 = U(0,1)</math> #Berechne <math>v=(2u_1-1)^2+(2u_2-1)^2</math>. Falls <math>v \ge 1</math> wiederhole 1. #<math>x=(2u_1-1)(-2\log v /v)^{1/2}</math> --> === Zwölferregel (1)=== Der [[w:de:Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] besagt, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen die Verteilung der Summe [[w:de:Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig, identisch verteilter Zufallszahlen]] einer Normalverteilung nähert. Ein Spezialfall ist die [[w:de:Zwölferregel|Zwölferregel]], die sich auf die Summe von zwölf Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] beschränkt und bereits zu passablen Verteilungen führt. === Zwölferregel (2)=== Allerdings ist die geforderte Unabhängigkeit der zwölf Zufallsvariablen <math>X_i</math> bei den immer noch häufig verwendeten [[w:de:Kongruenzgenerator#Linearer Kongruenzgenerator|Linearen Kongruenzgeneratoren (LKG)]] nicht garantiert. Im Gegenteil wird vom [[w:de:Spektraltest|Spektraltest]] für LKG meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der <math>X_i</math> garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich und sollte, wenn überhaupt, dann ausschließlich mit aufwändigeren, aber besseren Pseudo-Zufallsgeneratoren wie z.&nbsp;B. dem [[w:de:Mersenne-Twister|Mersenne-Twister]] (Standard in [[w:de:Python (Programmiersprache)|Python]], [[w:de:GNU R|GNU R]]) oder [[w:de:WELL|WELL]] genutzt werden. Andere, sogar leichter zu programmierende Verfahren, sind daher i.&nbsp;d.&nbsp;R. der Zwölferregel vorzuziehen. === Verwerfungsmethode === Normalverteilungen lassen sich mit der [[w:de:Verwerfungsmethode|Verwerfungsmethode]] (siehe dort) simulieren. == Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung == Die Normalverteilung lässt sich auch zur Beschreibung nicht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, etwa in der [[w:de:Physik|Physik]] für das [[w:de:Amplitude|Amplitudenprofil]] der [[w:de:Gauß-Strahl|Gauß-Strahlen]] und andere Verteilungsprofile. Zudem findet sie Verwendung in der [[w:de:Gabor-Transformation|Gabor-Transformation]]. == Siehe auch == * [[w:de:Additives weißes gaußsches Rauschen|Additives weißes gaußsches Rauschen]] * [[w:de:Lineare Regression|Lineare Regression]] * [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] * [[w:de:Produktregel|Produktregel]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Literatur == * Stephen M. Stigler: ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900.'' Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 9780674403413. == Weblinks == {{Commonscat|Normal distribution|Normalverteilung}} {{Wikibooks|Statistik: Normalverteilung|Anschauliche Darstellung der Normalverteilung}} * [http://matheguru.com/stochastik/normalverteilung.html Anschauliche Erklärung der Normalverteilung mit interaktivem Graphen] * [http://www.madeasy.de/2/gauss.htm Darstellung mit Programmcode] in [[w:de:Visual Basic|Visual Basic]] * [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php?language=deutsch Online-Rechner Normalverteilung] == Einzelnachweise == <references> </references> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Normalverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung * Datum: 15.1.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 979vuw2xdiy4bb0i72235lwu0ft8xpf 1114980 1114979 2026-10-01T07:14:43Z Bert Niehaus 20843 /* Graph der Verteilungsfunktion */ 1114980 wikitext text/x-wiki == Einführung == <!-- {{Infobox Verteilung | name = | type = density | pdf_image = [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px]] Dichtefunktionen der Normalverteilung <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün) | cdf_image = [[Datei:Normal-distribution-cumulative-density-function-many.svg|350px]] Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0,1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0,5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2,\,0{,}5)</math> (grün) | notation = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> | parameters = <math>\mu \in \R</math> – Erwartungswert<br /><math>\sigma^2 > 0</math> – Varianz | pdf = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}</math> | cdf = <math>\frac12\left(1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right) </math><br />– mit [[w:de:Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}(x)</math> | mean = <math>\mu</math> | median = <math>\mu</math> | variance = <math>\sigma^2\,</math> | mgf = <math>\exp\left\{\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\right\}</math> | char = <math>\exp\left\{i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\right\}</math> | conjugate prior = Normal distribution }} --> Die '''Normal-''' oder '''Gauß-Verteilung''' (nach [[w:de: Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]) ist in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] ein wichtiger Typ stetiger [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Ihre [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] wird auch Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. <br> === Bedeutung der Normalverteilung === Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem [[w:de:Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von [[stochastische Unabhängigkeit|unabhängigen]] Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. === Normalverteilte Abweichung vom Erwartungswert === Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] lassen sich durch die Normalverteilung (bei biologischen Prozessen oft [[w:de:logarithmische Normalverteilung|logarithmische Normalverteilung]]) entweder exakt oder zumindest in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken). === Beispiele für die Beschreibung zufälliger Vorgänge === Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie: * '''(Messung fehlerhaft)''' zufällige [[w:de:Messabweichung|Messfehler]], * '''(Werkstücke fehlerhaft)'''zufällige Abweichungen vom [[w:de:Sollmaß|Sollmaß]] bei der Fertigung von Werkstücken, * '''(Bewegung zufällig)''' Beschreibung der [[w:de:Brownsche Bewegung|brownschen Molekularbewegung]]. === Versicherungsmathematik - Schadensdaten === In der [[w:de:Versicherungsmathematik|Versicherungsmathematik]] wird die Normalverteilung zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen verwenden. Dabei ist allerdings zu berücksichtigten, dass die Normalverteilung als [[Ergebnisraum]] <math>\Omega = \mathbb{R}</math> === Interpretation Erwartungswert und Standardabweichung === Somit kann neben dem [[Erwartungswert]] <math>\mu</math>, der als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden kann, auch der [[w:de:Standardabweichung|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> eine einfache Bedeutung im Hinblick auf die Größenordnungen der auftretenden Abweichungen der normalverteilten Messwerte vom [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> zugeordnet werden. === Glockenkurve === Der Graph dieser Dichtefunktion hat eine [[Glockenkurve|„glockenförmige Gestalt“]] und ist [[w:de:Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] mit dem [[w:de:Parameter (Statistik)|Parameter]] <math>\mu</math> als ''Symmetriezentrum'', der auch den [[w:de:ErwartungswertErwartungswert]] und den [[w:de:Median (Stochastik)|Median]] der Verteilung darstellt. Die Varianz von <math>X</math> ist der Parameter <math>\sigma^2</math>. Weiterhin hat die Wahrscheinlichkeitsdichte [[w:de:Wendepunkt|Wendepunkte]] bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>. === Graph der Dichtefunktion === [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px|zentriert|Dichtefunktion der Normalverteiung]] == Definition - Normalverteilung== Eine [[w:de:stetige Zufallsvariable|stetige Zufallsvariable]] <math>X</math> hat eine (''Gauß-'' oder) ''Normalverteilung mit [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math>'' (<math>-\infty<\mu<\infty, \sigma^2>0</math>), oft geschrieben als <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math>, wenn <math>X</math> die folgende [[w:de:Dichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]] hat:<ref>Bei <math>e^x</math> handelt es sich um die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der Basis <math>e.</math></ref><ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 47.</ref> <br> :<math> \begin{array}{rcl} f(x \mid\mu,\sigma^2) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \ \ \ -\infty < x < +\infty \\ & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2 \cdot \sigma^{2})^n} \cdot (x-\mu)^{2n} \\ \end{array} </math> === Alternative Notation der Dichtefunktion === Die Transformation der [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] in die Normalverteilung mit dem Verteilungsparameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> erfolgt über den Term <math display="inline">\frac{x-\mu}{\sigma}</math>. Wenn man diese Transformation in der Dichtefunktion sichtbar machen möchte, eignet sich die folgende Umformung der obigen Dichtefunktion: :<math> \begin{array}{rcl} f(x \mid\mu,\sigma^2) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma} \cdot \operatorname{exp}\left(-\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \\ \end{array} </math> === Verteilungsfunktion - Normalverteilung === Bei integrablen Wahrscheinlichkeitsdichten <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{o}^{+}</math> ist die eindimensionale Verteilungsfunktion wie folgt definiert : <math> \begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt , \quad x \in \mathbb{R} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2 \cdot \sigma^{2})^n} \cdot \frac{(x-\mu)^{2n+1}}{2n+1} \\ \end{array} </math> === Bemerkung Reihendarstellung === Die Reihendarstellung ergibt sich durch summandenweise Intergration der Taylorreihe für die Dichtefunktion <math>\varphi</math> der [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] und der Transformation in eine Normalverteilung mit [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[Varianz]] <math>\sigma</math> (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie]] - [[lokale Stammfunktionen|Stammfunktion]] der Dichte der [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung]]): === Graph der Verteilungsfunktion === [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] === Bezug zur Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man jede [[holomorphe Funktion]] lokal in Potenzreihen darstellen, da diese holomorphen Funktionen im Gegensatz zur reellen Differenzierbarkeit unendlich oft differenzierbar sind (z.B. die Funktion <math>f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> mit <math>f_n(x)=x\cdot |x|^n</math> ist <math>n</math>-fach reell differenzierbar, aber nicht mehr <math>n+1</math>. Wenn <math>f</math> in den komplexen Zahlen unendlich oft differenzierbar ist, kann die Taylor-Reihe bilden und erhält so eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihendarstellung]] der Funktion auf Kreissscheiben. Der [[Identitätssatz]] liefert dann eine Stammfunktion auf ganz <math>\mathbb{C}</math> definiert. Ist gibt mehrere Stammfunktionen <math>F</math> der Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung. Durch <math>F(0)=\tfrac{1}{2}</math> ist die [[Verteilungsfunktion]] allerdings auch Konstante der Stammfunktion eindeutig festgelegt. === Numerische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten === Die Funktionswert der [[Verteilungsfunktion]] kann man über die [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] der [[Verteilungsfunktion]] numerisch berechnen. === Standardnormalverteilungstabelle === Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer [[w:de:Standardnormalverteilungstabelle|Standardnormalverteilungstabelle]] berechnet werden, die eine [[w:de:Standardisierung (Statistik)|Standardform]] verwendet. Um das zu sehen, benutzt man die Tatsache, dass eine [[w:de:lineare Funktion|lineare Funktion]] einer normalverteilten Zufallsvariablen selbst wieder normalverteilt ist. == Lineare Transformation normalverteilter Zufallsvariablen== Konkret heißt das, wenn <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math> und <math>Y=aX+b</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> Konstanten sind mit <math>a \ne 0</math>, dann gilt <math>Y\sim\mathcal{N}\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)</math>. Als Folgerung daraus ergibt sich die Zufallsvariable<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 48.</ref> <br> :<math>Z=\frac{1}{\sigma}(X-\mu)\sim\mathcal{N}(0,1),</math> die auch ''standardnormalverteilte Zufallsvariable'' <math>Z</math> genannt wird. == Definition - Standardnormalverteilung== Die ''Standardnormalverteilung'' ist also die Normalverteilung mit Parametern <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math>. Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist gegeben durch :<math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}, - \infty < x < \infty . </math> Ihr Verlauf ist nachfolgend graphisch dargestellt. <br> === Mehrdimensionale Normalverteilung === Die mehrdimensionale Verallgemeinerung ist im Artikel [[w:de:mehrdimensionale Normalverteilung|mehrdimensionale Normalverteilung]] zu finden. [[Datei:Multivariate_Gaussian.png|zentriert|rahmenlos|450px|mehrdimensionale (multivariate) Normalverteilung]] <span id="Funktionentheorie"></span> == Normalverteilung in der Funktionentheorie == Die Dichte der Normalverteilung kann man als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] in der Funktionen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandeln und dann mit den allgemeinen Eigenschaften einer Verteilungsfunktion mit dem Identitätssatz und der gleichmäßigen Konvergenz auf Kreisscheiben in <math>\mathbb{C}</math> die Reihendarstellung der [[Verteilungsfunktion]] herleiten. Mit <math>\mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math> erhält man damit auch eine Reihendarstellung der [[Verteilungsfunktion]] auf <math>\mathbb{R}</math>. === Taylorentwicklung der Verteilungsfunktion === Zunächst betrachtet man die Reihendarstellung der Standardnormalverteilung als komplexe [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, wobei man den Definitionsbereich von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dieser Schritt erfolgt, um Sätze aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] für die Verteilungsfunktion verwenden zu können. === Voraussetzung === Um die Resultate aus der [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] verwenden zu können betrachtet man die Dichtefunktion mit der Erweiterung des Definitionsbereiches auf <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \begin{array}{rrcl} \varphi : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle \varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{z^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \underbrace{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot z^{2n} }_{=e^{-\frac{z^2}{2}}} \end{array} </math> === Dichtefunktion als holomorphe Funktion === <math>\varphi</math> ist als Verkettung von zwei auf ganz <math>\mathbb{C}</math> [[Holomorphie|holomorphen]] Funktion <math>f(x)=e^x</math> und <math display="inline">g(x)=-\frac{x^2}{2}</math> wieder eine [[w:de:Ganze_Funktion|ganze Funktion]] <math>\varphi=f\circ g</math>, die eine Reihendarstellung für alle <math>x\in\mathbb{C}</math> besitzt und damit insbesondere für alle <math>x\in\mathbb{R}</math>. Der Konvergenzradius der [[Taylorreihe]] von [[w:de:Ganze_Funktion|ganzen Funktion]] ist unendlich. === Partialsummen der Potenzreihe === Man betrachtet nun die Funktionenfolge <math>\varphi_n:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> der Partialsummen mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \varphi_n : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!\cdot 2^k} \cdot z^{2k} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|konvergiert]] auf jeder abgeschlossenen Einheitskreisscheibe <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen <math>\varphi</math>. === Gleichmäßige Konvergenz auf Kreisscheiben === Da die Partialsummenfolgen <math>(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> der [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] auf abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> für beliebige <math>r > 0</math> gegen die <math>\varphi</math> konvergieren, kann man [[w:de:Integration (Mathematik)|Integration]] und Grenzwertprozess der [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] vertauschen. und bei der [[w:de:Integration (Mathematik)|Integration]] summandenweise integrieren. === Stammfunktion auf Kreisscheiben === Damit erhält man eine Stammfunktion <math>\widehat{\Phi}_r</math> von <math>\varphi</math> auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(0)} \subset \mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi}_r : & \overline{D_r(0)} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}_r(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot z^{2n+1} \end{array} </math> === Stammfunktion der Dichtefunktion === Nach dem [[Identitätssatz]] stimmt die Potenzreihe <math>\widehat{\Phi}_r</math> auf einer nicht diskreten Teilmenge <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> mit <math>\widehat{\Phi}</math> auf <math>\overline{D_r(0)}</math> überein, damit muss die ganze Funktion <math>\widehat{\Phi}_r</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\widehat{\Phi}</math> übereinstimmen. Damit erhält man folgende [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\varphi</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi} : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot z^{2n+1} \end{array} </math> Weitere Stammfunktionen <math>\widetilde{\Phi}</math> von <math>\varphi</math> unterscheiden sich von <math>\widehat{\Phi}</math> lediglich um eine Konstante <math>c</math> mit <math>\widetilde{\Phi}(x) = \widehat{\Phi}(x) + c</math>. ==== Eigenschaften der Verteilungsfunktion ==== Die gesuchte Potenzreihe der [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math>\Phi</math> ist insbesondere eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] der Dichte <math>\varphi</math>, aber nicht jede [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widetilde{\Phi}</math> ist auch eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]], da eine Verteilungsfunktion weitere Eigenschaften folgende charakterisierende erfüllen muss: :<math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. ==== Grenzwerteigenschaften der komplexwertigen Einbettung der Verteilungsfunktion ==== Für die Stammfunktion müsste daher auf der reellen Achse das folgende Grenzwertverhalten gelten: : <math>\lim_{x \to -\infty} \Phi(x+0\cdot i) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} \Phi(x+0\cdot i) = 1</math> Um die nun weitere in den reellen Zahlen die Eigenschaften der Stammfunktion untersuchen zu können, betrachtet man nun noch die Einschränkung der Potenzreihe <math>\widehat{\Phi}</math> auf die reellen Zahlen. ==== Stammfunktion auf den reellen Zahlen ==== Wenn <math>\widehat{\Phi}</math> eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\varphi</math> auf <math>\mathbb{C}</math> ist, dann ist <math>\widehat{\Phi}</math> insbesondere eine Stammfunktion von <math>\varphi</math> auf <math>\mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi} : &\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} \end{array} </math> ==== Funktionswert der Stammfunktion in 0 ==== Man betrachtet nun den Funktionswert der Stammfunktion in 0 und nutzt die [[w:de:Achsensymmetrie|Achsensymmetrie]] der Standardnormalverteilung zur <math>y</math>-Achse aus. :<math> \widehat{\Phi}(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot 0^{2n+1} = 0 </math> Gleichzeitig gilt <math>\widehat{\Phi}(-x) = - \widehat{\Phi}(x)</math>, weil die Potenzreihe nur ungerade Exponenten <math>x^{2n+1} </math> besitzt. ==== Uneigentliches Integral und Normierung ==== Weil die [[Standardnormalverteilung]] eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] ist, gilt für das [[w:de:uneigentliches Integral|uneigentliche Integral]] und der Normierung der [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]: :<math> \begin{array}{rcl} 1 & = & P(\Omega) = P(\mathbb{R}) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx \\ & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \lim_{r\to +\infty} \int_{-r}^{+r} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx \\ \end{array} </math> ==== Zerlegung des uneigentlichen Integrals ==== Man zerlegt nun das uneigentlichen Integral in zwei Teilintegrale nutzt dann die Symmetrie von <math>\varphi</math> mit <math>\varphi(x)=\varphi(-x)</math> aus. :<math> \begin{array}{rcl} \Phi(0) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx = \displaystyle \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx + \int_{-\infty}^{0} \underbrace{\varphi(x)}_{=\varphi(-x)} \, dx \bigg) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx + \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \, dx \bigg) = \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \, dx }_{=1} \end{array} </math> Damit muss bei der Verteilungsfunktion der [[Standardnormalverteilung]] <math> \Phi(0)=\frac{1}{2}</math> gelten. ==== Konstante für die Verteilungsfunktion ==== Damit ist die Konstante <math>c=\frac{1}{2}</math> der [[Verteilungsfunktion]] <math> \Phi</math> festgelegt und man erhält: :<math> \Phi(0)=\frac{1}{2}+\underbrace{\widehat{\Phi}(0)}_{=0} \mbox{ mit } \Phi(x)= c + \widehat{\Phi}(x) </math> Die darstellende Potenzreihe der Verteilungsfunktion ist damit: :<math> \Phi(x)= \frac{1}{2} + \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} </math> === Alternative Taylorentwicklung der Verteilungsfunktion === Über [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] erhält man die folgende Darstellung der Verteilungsfunktion: :<math> \Phi(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3\cdot 5} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!} + \cdots\right)\,. </math> Dabei bezeichnet <math>n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4) \cdot ...</math> die [[w:de:Doppelfakultät|Doppelfakultät]] von <math>n</math>. === Bemerkung zur Taylordarstellung === Die Addition von <math>\frac{1}{2}</math> sorgt dafür, dass die Verteilungsfunktion für <math>x\to -\infty </math> jeweils gegen 0 bzw. 1 konvergiert. Der Vorfaktor <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> sorgt für die Normierung des Flächeninhaltes und damit auf für das Grenzwertverhalten <math>x\to +\infty </math> gegen 1. == Eigenschaften == === Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] der Normalverteilung ist durch :<math>F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt</math> gegeben. ==== Symmetrie Standardnormalverteilung ==== * Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist symmetrisch zur <math>y</math>-Achse und * die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt <math display="inline">\left(0,\frac{1}{2}\right)\in \mathbb{R}^2</math> ==== Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ==== Betrachtet man die Verteilungsfunktion für die Dichte der Standardnormalverteilung mit <math>\mu=0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math> erhält man die folgende mit <math>\Phi</math> bezeichnete Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: :<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt.</math> ==== Transformation - Integral Standardnormalverteilung ==== Wenn man durch die [[w:de:Substitutionsregel|Substitution]] <math>t=\sigma z + \mu</math> statt <math>t</math> eine neue Integrationsvariable <math>z := \tfrac{t-\mu}{\sigma}</math> einführt, ergibt sich ein Integral über die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: :<math>F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{(x-\mu)/\sigma} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm d z = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math> === Symmetrie === Der [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] der Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f\colon\ \mathbb R\to\mathbb R</math> ist eine Gaußsche Glockenkurve, deren Höhe und Breite von <math>\sigma</math> abhängt. Sie ist [[w:de:Achsensymmetrie#Achsensymmetrie von Funktionsgraphen|achsensymmetrisch]] zur Geraden mit der Gleichung <math>x = \mu</math> und somit eine [[w:de:symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung]] um ihren Erwartungswert. Der Graph der Verteilungsfunktion <math>F</math> ist [[w:de:Punktsymmetrie#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum Punkt <math>(\mu ; 0{,}5).</math> Für <math>\mu=0</math> gilt insbesondere <math>\varphi(-x) =\varphi(x)</math> und <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math>. === Maximalwert und Wendepunkte der Dichtefunktion === Mit Hilfe der ersten und zweiten [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] lassen sich der Maximalwert und die Wendepunkte bestimmen. Die erste Ableitung ist :<math>f'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} f(x).</math> Das Maximum der Dichtefunktion der Normalverteilung liegt demnach bei <math>x_\mathrm{max} = \mu</math> und beträgt dort <math>f_\mathrm{max} = \tfrac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}</math>. <br> Die zweite Ableitung lautet :<math>f' '(x) = \frac 1{ \sigma ^2} \left ( \frac 1{ \sigma ^2}(x- \mu )^2 -1 \right ) f(x). </math> Somit liegen die [[w:de:Wendepunkt|Wendestellen]] der Dichtefunktion bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>. Die Dichtefunktion hat dort den Wert <math>\tfrac 1{\sigma\sqrt{2\pi e}}</math>. <span id="Normierung"></span> == Normierung der Normalverteilung == Um nachzuweisen das die Verteilung mit der obigen Dichtefunktion tatsächlich ein Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, muss man das Axiom der Normiertheit für das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P: \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> zeigen. Dies wird für die Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math> umgesetzt. :<math> P(\Omega) = P(\mathbb{R}) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} z^2} \mathrm dz </math> === Normierung (1) === Wichtig ist, dass die gesamte Fläche unter der [[w:de:Funktionsgraph|Kurve]] gleich <math>1</math>, also gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisses]], ist. Somit folgt, dass, wenn zwei Gaußsche Glockenkurven dasselbe <math>\mu</math>, aber unterschiedliches <math>\sigma</math> haben, die Kurve mit dem größeren <math>\sigma</math> breiter und niedriger ist (da ja beide zugehörigen Flächen jeweils den Wert <math>1</math> haben und nur die Standardabweichung größer ist). Zwei Glockenkurven mit gleichem <math>\sigma,</math> aber unterschiedlichem <math>\mu</math> haben kongruente Graphen, die um die Differenz der <math>\mu</math>-Werte parallel zur <math>x</math>-Achse gegeneinander verschoben sind. === Normierung (2) === Jede Normalverteilung ist tatsächlich normiert, denn mit Hilfe der linearen [[w:de:Integration durch Substitution|Substitution]] <math>z= \tfrac{x-\mu}\sigma</math> erhalten wir :<math> \int_{-\infty}^\infty \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac 12 \left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \mathrm dx= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 z^2} \mathrm dz=1.</math> === Normierung (3) === Um die Normiertheit <math>\Phi( \infty )=1</math> nachzuweisen, berechnet man das Quadrat <math>I^2</math> des folgenden :<math>I := \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt.</math> Da die Dichtefunktion im Integranden eine positive Funktion ist, muss <math>I\geq 0</math>. Daher kann man aus <math>I^2=1</math> auch auf <math>I=1</math> === Normierung (4) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === Man kann die [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] des Integranden als [[w:de:elementare Funktion|elementare Funktion]] angeben, gibt es trotzdem mehr als ein halbes Dutzend Lösungswege, seinen Wert zu bestimmen, angefangen bei ersten Näherungen [[w:de:Abraham de Moivre|De Moivres]] aus dem Jahr 1733 über die Arbeiten von [[w:de:Pierre-Simon Laplace|Laplace]] und [[w:de:Siméon Denis Poisson|Poisson]] aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem gänzlich neuen Lösungsansatz S. P. Evesons aus dem Jahr 2005.<ref>[https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf Peter M. Lee: ''The probability integral''; University of York, Department of Mathematics, 2011], zuletzt abgerufen am 14. Mai 2016.</ref> === Normierung (5) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === Einer der entscheidenden Tricks für seine Berechnung (angeblich von Poisson<ref>[https://ems.press/content/serial-article-files/4007 Denis Bell: ''Poisson’s remarkable calculation - a method or a trick?''; Elemente der Mathematik 65, 2010] (PDF; 248&nbsp;kB)</ref>) ist es, auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet über Polarkoordinaten zu parametrisieren. === Normierung (6) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === :<math>\begin{align} I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)\cdot \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dy\right)\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2} \cdot e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dx\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(x^2 + y^2\right)}\mathrm dx\,\mathrm dy. \end{align}</math> Grundlage für die erste Umformung ist die [[Lineare Abbildung|Linearität]] des Integrals. === Normierung (7) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Statt längs kartesischer Koordinaten wird über <math>\mathbb{R}^2</math> nun längs [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] integriert, was der Substitution <math> x = r \cos(\varphi), y = r \sin (\varphi) </math> und daraus <math>r^2 = x^2 + y^2</math> entspricht. === Normierung (8) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Nun erhält man das Integral über die Verwendung der [[Transformationsformel|Transformationssatz]] :<math>\begin{align} I^2 &= \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dr\\ &= 2 \pi \int_0^\infty e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm dr\\ &= -2 \pi \left[e^{-\frac 12 r^2}\right]_{r=0}^\infty\\ &= 2 \pi. \end{align}</math> === Normierung (9) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Damit erhält man das gesuchte Integral mit der Voraussetzung <math>I \geq 0</math>: :<math>\lim_{z \to \infty} \Phi(z) = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt=\frac 1{\sqrt{2\pi}}I = 1.</math> === Berechnung === Da sich <math>\Phi(z)</math> nicht auf eine elementare [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen zurückgegriffen (siehe [[w:de:Standardnormalverteilungstabelle|Standardnormalverteilungstabelle]]). Heutzutage sind in statistischen Programmiersprachen wie zum Beispiel [[w:de:R (Programmiersprache)|R]] Funktionen verfügbar, die auch die Transformation auf beliebige <math> \mu </math> und <math> \sigma </math> beherrschen. == Erwartungswert == Der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] der Standardnormalverteilung ist <math>0</math>. Es sei <math>X \sim \mathcal N\left(0,1\right)</math>, so gilt :<math> \operatorname{E}(X) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\ e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx = 0,</math> da der Integrand [[w:de:Uneigentliches Integral|integrierbar]] und [[w:de:Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] ist. === Stammfunktion des Integranden === Der Integrand beim Erwartungswert <math>f(x)=x\cdot e^{-x^2}</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F(x)=-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^2}</math>, denn es gilt: :<math> f(x)=x\cdot e^{-x^2} = -\frac{1}{2} \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2} </math> Mit dieser kleinen Transformation ist <math>-2x</math> die innere Ableitung von <math>-x^2</math>. Mit der Anwendung der Substitutionregel in der Integralrechnung erhält man eine Stammfunktion <math>F(x)=-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^2}</math>. === Lineare Transformation - Linearität des Erwartungswertes === Ist nun <math>Y \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)</math>, so gilt <math>X=(Y-\mu)/\sigma</math> ist standardnormalverteilt, und somit kann man mit der [[Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] :<math> \operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(\sigma X + \mu)=\sigma \underbrace{\operatorname{E}(X)}_{=0} + \mu=\mu.</math> == Varianz == Die [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] der <math>(\mu, \sigma^2)</math>-normalverteilten Zufallsvariablen entspricht dem Parameter <math>\sigma^2</math> :<math>\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2 e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\sigma^2.</math> === Berechnung der Varianz (1) === Die Berechnung der Varianz erfolgt über [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] für den Integranden <math>x^2 \cdot e^{-x^2}</math> der Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. Für die Varianz gilt: :<math>Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - {\underbrace{E(X)}_{=0}}^2 = E(X^2)</math> Also muss man für die Berechnung der Varianz nur das zweite Moment <math> E(X^2) </math> berechnen. === Berechnung der Varianz (2) === Die Berechnung des zweiten Momentes nutzt die [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] und die [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] für die Verkettung von Funktionen bei der Berechnung von <math>g'(x)</math> :<math> \begin{align} f(x) & = x \\ f\,'\!(x) & = 1 \\ g(x) & = e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ g\,'\!(x) & = -x\cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \end{align} </math> === Berechnung der Varianz (2) === Mit der obigen Definition der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> erhält man mit der partiellen Integrationregel :<math> \lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{+r} f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{r \to +\infty}\Big[f(x)\cdot g(x)\Big]_{-r}^{+r} - \lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{+r} f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x </math> für uneigentliche Integral. === Berechnung der Varianz (3) === Die Berechnung des 2. Momentes ergibt daher über: :<math> \begin{align} E(X^2) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! x^2 \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2}\mathrm dx = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \underbrace{x}_{=:f(x)} \cdot \underbrace{ \left( -x \cdot e^{- \frac{1}{2} x^2} \right) }_{=:g\,'(x)} \mathrm dx \\ & = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \underbrace{ \bigg[ \underbrace{x}_{=:f(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2} x^2}}_{=:g(x)} \bigg]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} + \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \underbrace{1}_{=f\,'(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2} x^2} }_{=g(x)} \mathrm dx }_{=P(\mathbb{R})=1} = 1 \\ \end{align} </math> === Berechnung der Varianz (4) === Insgesamt ergibt sich damit die Berechnung der Varianz für die Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. :<math>Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - {\underbrace{E(X)}_{=0}}^2 = E(X^2) = 1</math> == Wahrscheinlichkeitsdichte als Taylorreihe == Für Taylorreihen kann man für Wert <math>x</math> aus dem Konvergenzbereich die Dichtefunktion als Potenzreihe darstellen und von Potenzreihen kann man eine Stammfunktion direkt über die Integration der Summanden der Taylorreihe (Polynome <math>n</math>-ten Grades) bilden. Dazu muss man die Taylorkoeffizienten <math>a_n= \frac{f^{(n)}(0)}{n!} </math> berechnen. === Taylorkoeffizienten der Standardnormalverteilungsdichte === Zunächst müssen die Ableitungen der Dichtefunktion <math>f^{(n)}(x)</math> mit der mit der [[w:de:Produktregel|Produktregel]] gebildet werden. :<math> \begin{align} f^{(0)}(x) & = f(x) = e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(1)}(x) & = -x \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(2)}(x) & = (x^2 - 1) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(3)}(x) & = (-x^3 - 3x) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(4)}(x) & = (x^4 - 6x^2 + 3) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \vdots \,\,\, & = \,\,\, \vdots \\ f^{(n)}(x) & = p^{(n)}(x) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \end{align} </math> <math>p^{(n)}</math> ist ein Polynom <math>n</math>-ten Grades. Siehe auch [[Maxima CAS/Taylorkoeffizienten]] === Aufgabe für Studierende === * Bestimmen Sie die Ableitungen der Dichtefunktion in einer expliziten Form für das führende Polynom <math>p^{(n)}(x)</math> * Zeigen Sie, dass <math>p^{(2n+1)}(0) = 0</math> für ungeradzahlige Ableitungen gilt! * Berechnen Sie explizit <math>p^{(2n)}(0)</math> für geradzahlige Ableitungen! === Entwicklungspunkt 0 === Mit dem Entwicklungspunkt 0 verschwindet viele Summand aus dem vorangestellten ersten Polynom. Insbesondere sind die Koeffizienten mit ungeradem Summanden 0. Die fortgesetzten Ableitung wurden mit der [[w:de:Produktregel|Produktregel]] berechnet. == Charakteristische Funktion == Die [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> ist :<math>\varphi_Z(t) = e^{-\frac 12 t^2}.</math> Für eine Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)</math> erhält man daraus mit <math>X = \sigma Z + \mu</math>: :<math>\varphi_X(t)=\operatorname E(e^{it(\sigma Z + \mu)})=\operatorname E(e^{it\sigma Z}e^{it\mu})= e^{it\mu}\operatorname{E}(e^{it\sigma Z})</math> :<math>=e^{it\mu}\varphi_Z(\sigma t)= \exp\left\{it\mu-\tfrac 12 \sigma^2 t^2\right\}.</math> == Faltung von Wahrscheinlichkeitsdichten == Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsdichten <math>f_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_o^+ </math>, <math>f_2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_o^+ </math> für zwei normalverteilten [[stochastisch unabhängig|stochastisch unabhängigen]] Zufallfallsgrößen <math>X_1, X_2</math> liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f_1 \ast f_2</math> der Summenverteilung <math>X_1+X_2</math>. === Invarianz gegenüber Faltung (1)=== Die Normalverteilung ist [[w:de:invariant|invariant]] gegenüber der [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltung]], d.&nbsp;h., die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt (siehe dazu auch unter [[w:de:Alpha-stabile Verteilungen|stabile Verteilungen]] bzw. unter [[w:de:Unendliche Teilbarkeit|unendliche teilbare Verteilungen]]). Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Die Faltung einer Gaußkurve der [[w:de:Halbwertsbreite|Halbwertsbreite]] <math>\Gamma_a</math> mit einer Gaußkurve der Halbwertsbreite <math>\Gamma_b</math> ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Halbwertsbreite :<math>\Gamma_c = \sqrt{\Gamma_a^2 + \Gamma_b^2}.</math> === Invarianz gegenüber Faltung (2)=== Sind also <math>X, Y</math> zwei unabhängige Zufallsvariablen mit :<math>X \sim \mathcal N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y \sim \mathcal N(\mu_Y,\sigma_Y^2),</math> so ist deren Summe ebenfalls normalverteilt: :<math>X+Y \sim \mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)</math> Das kann beispielsweise mit Hilfe von charakteristischen Funktionen gezeigt werden, indem man verwendet, dass die charakteristische Funktion der Summe das Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist (vgl. [[w:de:Faltungssatz|Faltungssatz]] der Fouriertransformation). === Invarianz gegenüber Faltung (3)=== Gegeben seien allgemeiner <math>n</math> unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen <math>X_i \sim \mathcal N(\mu_i, \sigma_i^2)</math>.<br> Dann ist deren Summe wieder normalverteilt :<math>\sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal N\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right)</math> und das arithmetische Mittel ebenfalls :<math>\frac 1n \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal N\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n \mu_i, \frac 1{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right).</math> Nach dem [[w:de:Satz von Cramér|Satz von Cramér]] gilt sogar die Umkehrung. == Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen == === Transformation zur Standardnormalverteilung (1)=== Eine Normalverteilung mit beliebigen <math> \mu </math> und <math> \sigma </math> und der Verteilungsfunktion <math>F</math> hat, wie oben erwähnt, die nachfolgende Beziehung zur <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-Verteilung: :<math>F(x) = \Phi \left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right).</math> Darin ist <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.<br> === Transformation zur Standardnormalverteilung (2)=== Wenn <math>X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>, dann führt die [[w:de:Standardisierung (Statistik)|Z-Transformation]] :<math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math> zu einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math>, denn :<math>P(Z\le z)=P\left(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\le z\right)=P\left(X\le \sigma z+\mu\right)=F(\sigma z+\mu)=\Phi(z).</math> Geometrisch betrachtet entspricht die durchgeführte Substitution einer flächentreuen Transformation der Glockenkurve von <math> \mathcal{N}(\mu;\sigma^2) </math> zur Glockenkurve von <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (1)=== <!--{{Hauptartikel|Normal-Approximation}}--> Die Normalverteilung kann zur Approximation der [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]] verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil der gesuchten Eigenschaft weder zu groß noch zu klein ist ([[w:de:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]], [[w:de:zentraler Grenzwertsatz|zentraler Grenzwertsatz]], zur experimentellen Bestätigung siehe auch unter [[w:de:Galtonbrett|Galtonbrett]]).<br> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (2)=== Ist ein Bernoulli-Versuch mit <math>n</math> voneinander unabhängigen Stufen (bzw. [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]]) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge allgemein berechnen mittels :<math>P(X=k) = \tbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\quad k = 0, 1, \dotsc, n.</math> Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn <math>n</math> hinreichend groß und <math>p</math> weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt <math>np(1-p)\geq 9</math>. Für den Erwartungswert <math>\mu</math> und die Standardabweichung <math>\sigma</math> gilt dann: === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (3)=== :<math>\mu=n\cdot p </math> und <math>\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}</math>.<br> Damit gilt für die Standardabweichung <math>\sigma\geq 3</math>. Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: <math>np\geq 4</math> und zugleich <math>n(1-p)\geq 4</math>.<br> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (4)=== Folgende Näherung ist dann brauchbar: :<math>P(x_1 \leq X \leq x_2) = \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}}</math> :<math> \approx \underbrace { \Phi \left( \frac {x_2 + 0,5 - \mu }{ \sigma } \right ) - \Phi \left ( \frac { x_1 - 0,5 - \mu }{ \sigma } \right) }_{ \mathrm { NV } }.</math> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (5)=== Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn <math>\sigma</math> einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.<br> Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte geachtet werden: === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (6)=== * Der Unterschied zwischen <math><</math> oder <math>\leq</math> (sowie zwischen ''größer'' und ''größer gleich'') muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei <math> P(X_\text{BV} < x) </math> die nächstkleinere natürliche Zahl gewählt werden, d.&nbsp;h. :<math> P(X_\text{BV} < x) = P(X_\text{BV} \leq x-1) </math> bzw. <math>P(X_\text{BV}>x)=P(X_\text{BV}\geq x+1)</math>, :damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann. :Zum Beispiel: <math>P(X_\text{BV}<70) = P(X_\text{BV}\leq 69)</math> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (7)=== Außerdem ist * <math> P(X_\text{BV} \leq x) = P(0 \leq X_\text{BV} \leq x) </math> * <math> P(X_\text{BV} \geq x) = P(x \leq X_\text{BV} \leq n) </math> * <math> P(X_\text{BV} = x) = P(x \leq X_\text{BV} \leq x) </math> (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur) und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.<br> Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können. === Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung === Ist die Zufallsvariable <math>X</math> normalverteilt mit <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})</math>, dann ist die Zufallsvariable <math>Y=e^{X}</math> [[w:de:Logarithmische Normalverteilung|logarithmisch-normalverteilt]], also <math>Y \sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^{2})</math>. Die Entstehung einer [[w:de:Logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilung]] ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen. == Rechnen mit der Standardnormalverteilung (1) == Bei Aufgabenstellungen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für <math>\mu</math>-<math>{\sigma}^2</math>-normalverteilte Zufallsvariablen durch die Standardnormalverteilung ermittelt werden soll, ist es nicht nötig, die oben angegebene Transformation jedes Mal durchzurechnen. Stattdessen wird einfach die Transformation :<math>Z = \frac {X-\mu}{\sigma}</math> verwendet, um eine <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-verteilte Zufallsvariable <math>Z</math> zu erzeugen. == Rechnen mit der Standardnormalverteilung (2) == Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass z.&nbsp;B. <math>X</math> im Intervall <math>[x,y]</math> liegt, ist durch folgende Umrechnung gleich einer Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung: <math> \begin{align} P(x \leq X \leq y) &= P\left(\frac {x-\mu}{\sigma} \leq \frac {X-\mu}{\sigma} \leq \frac {y-\mu}{\sigma}\right)\\ &=P\left(\frac {x-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac {y-\mu}{\sigma}\right)\\ &=\Phi\left(\frac {y-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac {x-\mu}{\sigma}\right) \end{align} </math>. === Grundlegende Fragestellungen (1) === Allgemein gibt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert <math>x</math> an, d.&nbsp;h., es wird das [[w:de:bestimmtes Integral|bestimmte Integral]] von <math>-\infty</math> bis <math>x</math> berechnet. Dies entspricht in Aufgabenstellungen einer gesuchten [[w:de:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]], bei der die Zufallsvariable <math>X</math> ''kleiner'' oder ''nicht größer'' als eine bestimmte Zahl <math>x</math> ist. Wegen der [[w:de:Stetigkeit|Stetigkeit]] der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob nun <math><</math> oder <math>\leq</math> verlangt ist, weil z.&nbsp;B. :<math>P(X = 3) = \int_3^3 f(x)\mathrm dx = 0</math> und somit <math>P(X<3) = P(X \leq 3)</math>. Analoges gilt für „größer“ und „nicht kleiner“. === Grundlegende Fragestellungen (2) === Dadurch, dass <math>X</math> nur kleiner oder größer als eine Grenze sein (oder innerhalb oder außerhalb zweier Grenzen liegen) kann, ergeben sich für Aufgaben bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen zu Normalverteilungen zwei grundlegende Fragestellungen: * Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> ''höchstens'' den Wert <math>z</math> annimmt? * <math>P(Z \leq z)=\Phi(z)</math> In der Schulmathematik wird für diese Aussage gelegentlich auch die Bezeichnung ''linker Spitz'' verwendet, da die [[w:de:Flächeninhalt|Fläche]] unter der Gaußkurve von links bis zur Grenze verläuft. Für <math>z</math> sind auch negative Werte erlaubt. === Grundlegende Fragestellungen (3) === Allerdings haben viele Tabellen der Standardnormalverteilung nur positive Einträge –&nbsp;wegen der Symmetrie der Kurve und der Negativitätsregel ::<math>\Phi(-z)\ =\ 1-\Phi(z)</math> :des „linken Spitzes“ stellt dies aber keine Einschränkung dar. === Grundlegende Fragestellungen (4) === Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> ''mindestens'' den Wert <math>z</math> annimmt? :<math>P(Z \geq z) = 1 - \Phi(z)</math> Hier wird gelegentlich die Bezeichnung ''rechter Spitz'' verwendet, mit :<math>P(Z \geq -z)= 1- \Phi(-z)= 1-(1-\Phi(z)) = \Phi(z)</math> gibt es auch hier eine Negativitätsregel.<br> Da jede Zufallsvariable <math>X</math> mit der allgemeinen Normalverteilung sich in die Zufallsvariable <math>Z = \frac{X -\mu}{\sigma}</math> mit der Standardnormalverteilung umwandeln lässt, gelten die Fragestellungen für beide Größen gleichbedeutend. === Streubereich und Antistreubereich (1)=== Häufig ist die Wahrscheinlichkeit für einen ''Streubereich'' von Interesse, d.&nbsp;h. die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> Werte zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> annimmt: :<math>P(z_1 \le Z \le z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)</math> Beim Sonderfall des symmetrischen Streubereiches (<math>z_1=-z_2</math>, mit <math>z_2>0</math>) gilt: <math> \begin{align} P(-z\le Z\le z ) &= P (|Z|\le z)\\ &= \Phi(z)-\Phi(-z)\\ &= \Phi(z)-(1-\Phi(z))\\ &= 2\Phi(z)-1 \end{align} </math> === Streubereich und Antistreubereich (2)=== Für den entsprechenden ''Antistreubereich'' ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> Werte außerhalb des Bereichs zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> annimmt, zu: :<math>P(Z\le z_1\text{ oder }Z\ge z_2) = \Phi(z_1) + (1-\Phi(z_2)).</math> Somit folgt bei einem symmetrischen Antistreubereich <math> \begin{align} P(Z\le -z\text{ oder }Z\ge z) &= P(|Z|\ge z)\\ &=\Phi(-z)+1-\Phi(z)\\ &= 1-\Phi(z)+1-\Phi(z)\\ &=2-2 \Phi(z). \end{align} </math> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (1)=== Besondere Bedeutung haben beide Streubereiche z.&nbsp;B. bei der [[w:de:Qualitätssicherung|Qualitätssicherung]] von technischen oder wirtschaftlichen [[w:de:Produktion|Produktionsprozessen]]. Hier gibt es einzuhaltende [[w:de:Toleranz (Technik)|Toleranzgrenzen]] <math>x_1</math> und <math>x_2</math>, wobei es meist einen größten noch akzeptablen Abstand <math>\epsilon</math> vom Erwartungswert <math>\mu</math> (=&nbsp;dem optimalen Sollwert) gibt. Die Standardabweichung <math>\sigma</math> kann hingegen [[w:de:empirisch|empirisch]] aus dem Produktionsprozess gewonnen werden.<br> Wurde <math>[x_1;x_2]=[\mu-\epsilon;\mu+\epsilon]</math> als einzuhaltendes Toleranzintervall angegeben, so liegt (je nach Fragestellung) ein symmetrischer Streu- oder Antistreubereich vor.<br> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (2)=== Im Falle des Streubereiches gilt: <math>\begin{align} P(x_1 \leq X \leq x_2) &= P(|X-\mu|\leq\epsilon)\\ &= P(\mu-\epsilon \leq X \leq \mu+\epsilon)\\ &= P\left(\frac{-\epsilon}{\sigma} \leq Z \leq \frac{\epsilon}{\sigma}\right)\\ &= \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\epsilon}{\sigma}\right)\\ &= 2 \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-1\\ &= \gamma \end{align} </math> Der Antistreubereich ergibt sich dann aus <math> P( | X - \mu | \geq \epsilon ) = 1 - \gamma. \,</math> <br> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (3)=== Wenn kein Streubereich berechnet wurde durch <math>P(|X- \mu|\geq \epsilon )=2\cdot\left(1- \Phi\left(\frac{\epsilon} {\sigma}\right)\right)=\alpha.</math> <br> Das Ergebnis <math> \gamma </math> ist also die Wahrscheinlichkeit für verkaufbare Produkte, während <math> \alpha </math> die Wahrscheinlichkeit für Ausschuss bedeutet, wobei beides von den Vorgaben von <math> \mu </math>, <math> \sigma </math> und <math> \epsilon </math> abhängig ist. Ist bekannt, dass die maximale Abweichung <math> \epsilon </math> symmetrisch um den Erwartungswert liegt, so sind auch Fragestellungen möglich, bei denen die Wahrscheinlichkeit vorgegeben und eine der anderen Größen zu berechnen ist. == Testen auf Normalverteilung (1)== [[Datei:Quantile graph.svg|mini|300px|]] Die Abbildung zeigt die [[w:de:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] einer Normalverteilung und einer [[w:de:Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-Verteilung]]. == Testen auf Normalverteilung (2)== [[Datei:Anpassungstests.svg|mini|300px|]] Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt. == Testen auf Normalverteilung (3)== Überprüfungen auf Normalverteilungen sind möglich mittels: * [[w:de:Chi-Quadrat-Test|Chi-Quadrat-Test]] * [[w:de:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] * [[w:de:Anderson-Darling-Test|Anderson-Darling-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests) * [[w:de:Lilliefors-Test|Lilliefors-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests) * [[w:de:Cramér-von-Mises-Test|Cramér-von-Mises-Test]] * [[w:de:Shapiro-Wilk-Test|Shapiro-Wilk-Test]] * [[w:de:Jarque-Bera-Test|Jarque-Bera-Test]] * [[w:de:Q-Q-Plot|Q-Q-Plot]] (deskriptive Überprüfung) * [[w:de:Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Methode]] (deskriptive Überprüfung) == Testen auf Normalverteilung (4)== Die Tests haben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich der Art der Abweichungen von der Normalverteilung, die sie erkennen. So erkennt der Kolmogorov-Smirnov-Test Abweichungen in der Mitte der Verteilung eher als Abweichungen an den Rändern, während der Jarque-Bera-Test ziemlich sensibel auf stark abweichende Einzelwerte an den Rändern („[[w:de:Heavy-tailed-Verteilung|heavy tails]]“) reagiert. == Testen auf Normalverteilung (5)== Beim Lilliefors-Test muss im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test nicht standardisiert werden, d.&nbsp;h., <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der angenommenen Normalverteilung dürfen unbekannt sein.<br> Mit Hilfe von [[w:de:Q-Q-Plot|Quantil-Quantil-Plots]] (auch Normal-Quantil-Plots oder kurz Q-Q-Plots) ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.<br />Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (1)== <!--{{Hauptartikel|Normalverteilungsmodell}}--> Viele der statistischen Fragestellungen, in denen die Normalverteilung vorkommt, sind gut untersucht. Wichtigster Fall ist das sog. Normalverteilungsmodell, in dem man von der Durchführung von <math>n</math> unabhängigen und normalverteilten Versuchen ausgeht. Es existieren drei Fälle: * der Erwartungswert ist unbekannt und die Varianz bekannt * die Varianz ist unbekannt und der Erwartungswert ist bekannt * Erwartungswert und Varianz sind unbekannt. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (2)== Je nachdem, welcher dieser Fälle auftritt, ergeben sich verschiedene [[w:de:Schätzfunktion|Schätzfunktionen]], [[w:de:Konfidenzbereich|Konfidenzbereiche]] oder Tests. Diese sind detailliert im Hauptartikel Normalverteilungsmodell zusammengefasst. Dabei kommt den folgenden Schätzfunktionen eine besondere Bedeutung zu: == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (3)== Das [[w:de:Stichprobenmittel|Stichprobenmittel]] :<math> \overline X =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i </math> ist ein [[w:de:Erwartungstreue|erwartungstreuer]] [[w:de:Punktschätzer|Schätzer]] für den unbekannten Erwartungswert sowohl für den Fall einer bekannten als auch einer unbekannten Varianz. Er ist sogar der [[w:de:Bester erwartungstreuer Schätzer|beste erwartungstreue Schätzer]], d.&nbsp;h. der Schätzer mit der kleinsten Varianz. Sowohl die [[w:de:Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Methode]] als auch die [[w:de:Momentenmethode|Momentenmethode]] liefern das Stichprobenmittel als Schätzfunktion. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (4)== Die unkorrigierte [[w:de:Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]] :<math>V(X)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2</math> ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei gegebenem Erwartungswert <math>\mu_0 </math>. Auch sie kann sowohl aus der Maximum-Likelihood-Methode als auch aus der Momentenmethode gewonnen werden. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (5)== Die [[w:de:korrigierte Stichprobenvarianz|korrigierte Stichprobenvarianz]] :<math>V^*(X)=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2</math> ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei unbekanntem Erwartungswert. == Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen == Alle folgenden Verfahren erzeugen standardnormalverteilte Zufallszahlen. Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Ist die Zufallsvariable <math>x \sim \mathcal{N}(0,1)</math>-verteilt, so ist <math>a \cdot x + b</math> schließlich <math>\mathcal{N}(b,a^2)</math>-verteilt. === Box-Muller-Methode === Nach der [[w:de:Box-Muller-Methode|Box-Muller-Methode]] lassen sich zwei unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> aus zwei unabhängigen, [[w:de:Gleichverteilung|gleichverteilten]] Zufallsvariablen <math>U_1,U_2 \sim U(0,1)</math>, sogenannten [[w:de:Standardzufallszahl|Standardzufallszahlen]], simulieren: :<math>X= \cos( 2 \pi U_1) \sqrt{-2\ln U_2}</math> und :<math>Y = \sin ( 2 \pi U_1 ) \sqrt{-2 \ln U_2}.</math> === Polar-Methode === <!--{{Hauptartikel|Polar-Methode}}--> Die Polar-Methode von [[w:de:George Marsaglia|George Marsaglia]] ist auf einem Computer noch schneller, da sie keine Auswertungen von trigonometrischen Funktionen benötigt: * Erzeuge zwei voneinander unabhängige, im Intervall <math> [ -1, 1 ] </math> gleichverteilte Zufallszahlen <math>u_1</math> und <math>u_2</math> * Berechne <math>q=u_1^2+u_2^2</math>. Falls <math>q = 0</math> oder <math>q \geq 1</math>, gehe zurück zu Schritt 1. * Berechne <math>p = \sqrt {\frac{-2 \cdot \ln q}{q}}</math>. * <math>x_i=u_i \cdot p</math> für <math>i=1,2</math> liefert zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>. <!-- #Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen <math>u_1,u_2 = U(0,1)</math> #Berechne <math>v=(2u_1-1)^2+(2u_2-1)^2</math>. Falls <math>v \ge 1</math> wiederhole 1. #<math>x=(2u_1-1)(-2\log v /v)^{1/2}</math> --> === Zwölferregel (1)=== Der [[w:de:Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] besagt, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen die Verteilung der Summe [[w:de:Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig, identisch verteilter Zufallszahlen]] einer Normalverteilung nähert. Ein Spezialfall ist die [[w:de:Zwölferregel|Zwölferregel]], die sich auf die Summe von zwölf Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] beschränkt und bereits zu passablen Verteilungen führt. === Zwölferregel (2)=== Allerdings ist die geforderte Unabhängigkeit der zwölf Zufallsvariablen <math>X_i</math> bei den immer noch häufig verwendeten [[w:de:Kongruenzgenerator#Linearer Kongruenzgenerator|Linearen Kongruenzgeneratoren (LKG)]] nicht garantiert. Im Gegenteil wird vom [[w:de:Spektraltest|Spektraltest]] für LKG meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der <math>X_i</math> garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich und sollte, wenn überhaupt, dann ausschließlich mit aufwändigeren, aber besseren Pseudo-Zufallsgeneratoren wie z.&nbsp;B. dem [[w:de:Mersenne-Twister|Mersenne-Twister]] (Standard in [[w:de:Python (Programmiersprache)|Python]], [[w:de:GNU R|GNU R]]) oder [[w:de:WELL|WELL]] genutzt werden. Andere, sogar leichter zu programmierende Verfahren, sind daher i.&nbsp;d.&nbsp;R. der Zwölferregel vorzuziehen. === Verwerfungsmethode === Normalverteilungen lassen sich mit der [[w:de:Verwerfungsmethode|Verwerfungsmethode]] (siehe dort) simulieren. == Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung == Die Normalverteilung lässt sich auch zur Beschreibung nicht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, etwa in der [[w:de:Physik|Physik]] für das [[w:de:Amplitude|Amplitudenprofil]] der [[w:de:Gauß-Strahl|Gauß-Strahlen]] und andere Verteilungsprofile. Zudem findet sie Verwendung in der [[w:de:Gabor-Transformation|Gabor-Transformation]]. == Siehe auch == * [[w:de:Additives weißes gaußsches Rauschen|Additives weißes gaußsches Rauschen]] * [[w:de:Lineare Regression|Lineare Regression]] * [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] * [[w:de:Produktregel|Produktregel]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Literatur == * Stephen M. Stigler: ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900.'' Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 9780674403413. == Weblinks == {{Commonscat|Normal distribution|Normalverteilung}} {{Wikibooks|Statistik: Normalverteilung|Anschauliche Darstellung der Normalverteilung}} * [http://matheguru.com/stochastik/normalverteilung.html Anschauliche Erklärung der Normalverteilung mit interaktivem Graphen] * [http://www.madeasy.de/2/gauss.htm Darstellung mit Programmcode] in [[w:de:Visual Basic|Visual Basic]] * [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php?language=deutsch Online-Rechner Normalverteilung] == Einzelnachweise == <references> </references> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Normalverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung * Datum: 15.1.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] h3zwrlc5n46p1f8d7zbwj64qqyv9lyu 1114983 1114980 2026-10-01T07:21:29Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Normalverteilung */ 1114983 wikitext text/x-wiki == Einführung == <!-- {{Infobox Verteilung | name = | type = density | pdf_image = [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px]] Dichtefunktionen der Normalverteilung <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün) | cdf_image = [[Datei:Normal-distribution-cumulative-density-function-many.svg|350px]] Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0,1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0,5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2,\,0{,}5)</math> (grün) | notation = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> | parameters = <math>\mu \in \R</math> – Erwartungswert<br /><math>\sigma^2 > 0</math> – Varianz | pdf = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}</math> | cdf = <math>\frac12\left(1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right) </math><br />– mit [[w:de:Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}(x)</math> | mean = <math>\mu</math> | median = <math>\mu</math> | variance = <math>\sigma^2\,</math> | mgf = <math>\exp\left\{\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\right\}</math> | char = <math>\exp\left\{i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\right\}</math> | conjugate prior = Normal distribution }} --> Die '''Normal-''' oder '''Gauß-Verteilung''' (nach [[w:de: Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]) ist in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] ein wichtiger Typ stetiger [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Ihre [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] wird auch Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. <br> === Bedeutung der Normalverteilung === Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem [[w:de:Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von [[stochastische Unabhängigkeit|unabhängigen]] Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. === Normalverteilte Abweichung vom Erwartungswert === Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] lassen sich durch die Normalverteilung (bei biologischen Prozessen oft [[w:de:logarithmische Normalverteilung|logarithmische Normalverteilung]]) entweder exakt oder zumindest in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken). === Beispiele für die Beschreibung zufälliger Vorgänge === Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie: * '''(Messung fehlerhaft)''' zufällige [[w:de:Messabweichung|Messfehler]], * '''(Werkstücke fehlerhaft)'''zufällige Abweichungen vom [[w:de:Sollmaß|Sollmaß]] bei der Fertigung von Werkstücken, * '''(Bewegung zufällig)''' Beschreibung der [[w:de:Brownsche Bewegung|brownschen Molekularbewegung]]. === Versicherungsmathematik - Schadensdaten === In der [[w:de:Versicherungsmathematik|Versicherungsmathematik]] wird die Normalverteilung zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen verwenden. Dabei ist allerdings zu berücksichtigten, dass die Normalverteilung als [[Ergebnisraum]] <math>\Omega = \mathbb{R}</math> === Interpretation Erwartungswert und Standardabweichung === Somit kann neben dem [[Erwartungswert]] <math>\mu</math>, der als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden kann, auch der [[w:de:Standardabweichung|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> eine einfache Bedeutung im Hinblick auf die Größenordnungen der auftretenden Abweichungen der normalverteilten Messwerte vom [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> zugeordnet werden. === Glockenkurve === Der Graph dieser Dichtefunktion hat eine [[Glockenkurve|„glockenförmige Gestalt“]] und ist [[w:de:Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] mit dem [[w:de:Parameter (Statistik)|Parameter]] <math>\mu</math> als ''Symmetriezentrum'', der auch den [[w:de:ErwartungswertErwartungswert]] und den [[w:de:Median (Stochastik)|Median]] der Verteilung darstellt. Die Varianz von <math>X</math> ist der Parameter <math>\sigma^2</math>. Weiterhin hat die Wahrscheinlichkeitsdichte [[w:de:Wendepunkt|Wendepunkte]] bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>. === Graph der Dichtefunktion === [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px|zentriert|Dichtefunktion der Normalverteiung]] <span id="Dichte"></span> == Definition - Normalverteilung== Eine [[w:de:stetige Zufallsvariable|stetige Zufallsvariable]] <math>X</math> hat eine (''Gauß-'' oder) ''Normalverteilung mit [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math>'' (<math>-\infty<\mu<\infty, \sigma^2>0</math>), oft geschrieben als <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math>, wenn <math>X</math> die folgende [[w:de:Dichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]] hat:<ref>Bei <math>e^x</math> handelt es sich um die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der Basis <math>e.</math></ref><ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 47.</ref> <br> :<math> \begin{array}{rcl} f(x \mid\mu,\sigma^2) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \ \ \ -\infty < x < +\infty \\ & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2 \cdot \sigma^{2})^n} \cdot (x-\mu)^{2n} \\ \end{array} </math> === Alternative Notation der Dichtefunktion === Die Transformation der [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] in die Normalverteilung mit dem Verteilungsparameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> erfolgt über den Term <math display="inline">\frac{x-\mu}{\sigma}</math>. Wenn man diese Transformation in der Dichtefunktion sichtbar machen möchte, eignet sich die folgende Umformung der obigen Dichtefunktion: :<math> \begin{array}{rcl} f(x \mid\mu,\sigma^2) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma} \cdot \operatorname{exp}\left(-\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \\ \end{array} </math> === Verteilungsfunktion - Normalverteilung === Bei integrablen Wahrscheinlichkeitsdichten <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{o}^{+}</math> ist die eindimensionale Verteilungsfunktion wie folgt definiert : <math> \begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt , \quad x \in \mathbb{R} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2 \cdot \sigma^{2})^n} \cdot \frac{(x-\mu)^{2n+1}}{2n+1} \\ \end{array} </math> === Bemerkung Reihendarstellung === Die Reihendarstellung ergibt sich durch summandenweise Intergration der Taylorreihe für die Dichtefunktion <math>\varphi</math> der [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] und der Transformation in eine Normalverteilung mit [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[Varianz]] <math>\sigma</math> (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie]] - [[lokale Stammfunktionen|Stammfunktion]] der Dichte der [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung]]): === Graph der Verteilungsfunktion === [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] === Bezug zur Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man jede [[holomorphe Funktion]] lokal in Potenzreihen darstellen, da diese holomorphen Funktionen im Gegensatz zur reellen Differenzierbarkeit unendlich oft differenzierbar sind (z.B. die Funktion <math>f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> mit <math>f_n(x)=x\cdot |x|^n</math> ist <math>n</math>-fach reell differenzierbar, aber nicht mehr <math>n+1</math>. Wenn <math>f</math> in den komplexen Zahlen unendlich oft differenzierbar ist, kann die Taylor-Reihe bilden und erhält so eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihendarstellung]] der Funktion auf Kreissscheiben. Der [[Identitätssatz]] liefert dann eine Stammfunktion auf ganz <math>\mathbb{C}</math> definiert. Ist gibt mehrere Stammfunktionen <math>F</math> der Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung. Durch <math>F(0)=\tfrac{1}{2}</math> ist die [[Verteilungsfunktion]] allerdings auch Konstante der Stammfunktion eindeutig festgelegt. === Numerische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten === Die Funktionswert der [[Verteilungsfunktion]] kann man über die [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] der [[Verteilungsfunktion]] numerisch berechnen. === Standardnormalverteilungstabelle === Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer [[w:de:Standardnormalverteilungstabelle|Standardnormalverteilungstabelle]] berechnet werden, die eine [[w:de:Standardisierung (Statistik)|Standardform]] verwendet. Um das zu sehen, benutzt man die Tatsache, dass eine [[w:de:lineare Funktion|lineare Funktion]] einer normalverteilten Zufallsvariablen selbst wieder normalverteilt ist. == Lineare Transformation normalverteilter Zufallsvariablen== Konkret heißt das, wenn <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math> und <math>Y=aX+b</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> Konstanten sind mit <math>a \ne 0</math>, dann gilt <math>Y\sim\mathcal{N}\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)</math>. Als Folgerung daraus ergibt sich die Zufallsvariable<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 48.</ref> <br> :<math>Z=\frac{1}{\sigma}(X-\mu)\sim\mathcal{N}(0,1),</math> die auch ''standardnormalverteilte Zufallsvariable'' <math>Z</math> genannt wird. == Definition - Standardnormalverteilung== Die ''Standardnormalverteilung'' ist also die Normalverteilung mit Parametern <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math>. Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist gegeben durch :<math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}, - \infty < x < \infty . </math> Ihr Verlauf ist nachfolgend graphisch dargestellt. <br> === Mehrdimensionale Normalverteilung === Die mehrdimensionale Verallgemeinerung ist im Artikel [[w:de:mehrdimensionale Normalverteilung|mehrdimensionale Normalverteilung]] zu finden. [[Datei:Multivariate_Gaussian.png|zentriert|rahmenlos|450px|mehrdimensionale (multivariate) Normalverteilung]] <span id="Funktionentheorie"></span> == Normalverteilung in der Funktionentheorie == Die Dichte der Normalverteilung kann man als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] in der Funktionen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandeln und dann mit den allgemeinen Eigenschaften einer Verteilungsfunktion mit dem Identitätssatz und der gleichmäßigen Konvergenz auf Kreisscheiben in <math>\mathbb{C}</math> die Reihendarstellung der [[Verteilungsfunktion]] herleiten. Mit <math>\mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math> erhält man damit auch eine Reihendarstellung der [[Verteilungsfunktion]] auf <math>\mathbb{R}</math>. === Taylorentwicklung der Verteilungsfunktion === Zunächst betrachtet man die Reihendarstellung der Standardnormalverteilung als komplexe [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, wobei man den Definitionsbereich von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dieser Schritt erfolgt, um Sätze aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] für die Verteilungsfunktion verwenden zu können. === Voraussetzung === Um die Resultate aus der [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] verwenden zu können betrachtet man die Dichtefunktion mit der Erweiterung des Definitionsbereiches auf <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \begin{array}{rrcl} \varphi : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle \varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{z^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \underbrace{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot z^{2n} }_{=e^{-\frac{z^2}{2}}} \end{array} </math> === Dichtefunktion als holomorphe Funktion === <math>\varphi</math> ist als Verkettung von zwei auf ganz <math>\mathbb{C}</math> [[Holomorphie|holomorphen]] Funktion <math>f(x)=e^x</math> und <math display="inline">g(x)=-\frac{x^2}{2}</math> wieder eine [[w:de:Ganze_Funktion|ganze Funktion]] <math>\varphi=f\circ g</math>, die eine Reihendarstellung für alle <math>x\in\mathbb{C}</math> besitzt und damit insbesondere für alle <math>x\in\mathbb{R}</math>. Der Konvergenzradius der [[Taylorreihe]] von [[w:de:Ganze_Funktion|ganzen Funktion]] ist unendlich. === Partialsummen der Potenzreihe === Man betrachtet nun die Funktionenfolge <math>\varphi_n:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> der Partialsummen mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \varphi_n : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!\cdot 2^k} \cdot z^{2k} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|konvergiert]] auf jeder abgeschlossenen Einheitskreisscheibe <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen <math>\varphi</math>. === Gleichmäßige Konvergenz auf Kreisscheiben === Da die Partialsummenfolgen <math>(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> der [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] auf abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> für beliebige <math>r > 0</math> gegen die <math>\varphi</math> konvergieren, kann man [[w:de:Integration (Mathematik)|Integration]] und Grenzwertprozess der [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] vertauschen. und bei der [[w:de:Integration (Mathematik)|Integration]] summandenweise integrieren. === Stammfunktion auf Kreisscheiben === Damit erhält man eine Stammfunktion <math>\widehat{\Phi}_r</math> von <math>\varphi</math> auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(0)} \subset \mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi}_r : & \overline{D_r(0)} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}_r(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot z^{2n+1} \end{array} </math> === Stammfunktion der Dichtefunktion === Nach dem [[Identitätssatz]] stimmt die Potenzreihe <math>\widehat{\Phi}_r</math> auf einer nicht diskreten Teilmenge <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> mit <math>\widehat{\Phi}</math> auf <math>\overline{D_r(0)}</math> überein, damit muss die ganze Funktion <math>\widehat{\Phi}_r</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\widehat{\Phi}</math> übereinstimmen. Damit erhält man folgende [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\varphi</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi} : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot z^{2n+1} \end{array} </math> Weitere Stammfunktionen <math>\widetilde{\Phi}</math> von <math>\varphi</math> unterscheiden sich von <math>\widehat{\Phi}</math> lediglich um eine Konstante <math>c</math> mit <math>\widetilde{\Phi}(x) = \widehat{\Phi}(x) + c</math>. ==== Eigenschaften der Verteilungsfunktion ==== Die gesuchte Potenzreihe der [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math>\Phi</math> ist insbesondere eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] der Dichte <math>\varphi</math>, aber nicht jede [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widetilde{\Phi}</math> ist auch eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]], da eine Verteilungsfunktion weitere Eigenschaften folgende charakterisierende erfüllen muss: :<math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. ==== Grenzwerteigenschaften der komplexwertigen Einbettung der Verteilungsfunktion ==== Für die Stammfunktion müsste daher auf der reellen Achse das folgende Grenzwertverhalten gelten: : <math>\lim_{x \to -\infty} \Phi(x+0\cdot i) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} \Phi(x+0\cdot i) = 1</math> Um die nun weitere in den reellen Zahlen die Eigenschaften der Stammfunktion untersuchen zu können, betrachtet man nun noch die Einschränkung der Potenzreihe <math>\widehat{\Phi}</math> auf die reellen Zahlen. ==== Stammfunktion auf den reellen Zahlen ==== Wenn <math>\widehat{\Phi}</math> eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\varphi</math> auf <math>\mathbb{C}</math> ist, dann ist <math>\widehat{\Phi}</math> insbesondere eine Stammfunktion von <math>\varphi</math> auf <math>\mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi} : &\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} \end{array} </math> ==== Funktionswert der Stammfunktion in 0 ==== Man betrachtet nun den Funktionswert der Stammfunktion in 0 und nutzt die [[w:de:Achsensymmetrie|Achsensymmetrie]] der Standardnormalverteilung zur <math>y</math>-Achse aus. :<math> \widehat{\Phi}(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot 0^{2n+1} = 0 </math> Gleichzeitig gilt <math>\widehat{\Phi}(-x) = - \widehat{\Phi}(x)</math>, weil die Potenzreihe nur ungerade Exponenten <math>x^{2n+1} </math> besitzt. ==== Uneigentliches Integral und Normierung ==== Weil die [[Standardnormalverteilung]] eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] ist, gilt für das [[w:de:uneigentliches Integral|uneigentliche Integral]] und der Normierung der [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]: :<math> \begin{array}{rcl} 1 & = & P(\Omega) = P(\mathbb{R}) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx \\ & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \lim_{r\to +\infty} \int_{-r}^{+r} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx \\ \end{array} </math> ==== Zerlegung des uneigentlichen Integrals ==== Man zerlegt nun das uneigentlichen Integral in zwei Teilintegrale nutzt dann die Symmetrie von <math>\varphi</math> mit <math>\varphi(x)=\varphi(-x)</math> aus. :<math> \begin{array}{rcl} \Phi(0) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx = \displaystyle \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx + \int_{-\infty}^{0} \underbrace{\varphi(x)}_{=\varphi(-x)} \, dx \bigg) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx + \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \, dx \bigg) = \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \, dx }_{=1} \end{array} </math> Damit muss bei der Verteilungsfunktion der [[Standardnormalverteilung]] <math> \Phi(0)=\frac{1}{2}</math> gelten. ==== Konstante für die Verteilungsfunktion ==== Damit ist die Konstante <math>c=\frac{1}{2}</math> der [[Verteilungsfunktion]] <math> \Phi</math> festgelegt und man erhält: :<math> \Phi(0)=\frac{1}{2}+\underbrace{\widehat{\Phi}(0)}_{=0} \mbox{ mit } \Phi(x)= c + \widehat{\Phi}(x) </math> Die darstellende Potenzreihe der Verteilungsfunktion ist damit: :<math> \Phi(x)= \frac{1}{2} + \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} </math> === Alternative Taylorentwicklung der Verteilungsfunktion === Über [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] erhält man die folgende Darstellung der Verteilungsfunktion: :<math> \Phi(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3\cdot 5} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!} + \cdots\right)\,. </math> Dabei bezeichnet <math>n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4) \cdot ...</math> die [[w:de:Doppelfakultät|Doppelfakultät]] von <math>n</math>. === Bemerkung zur Taylordarstellung === Die Addition von <math>\frac{1}{2}</math> sorgt dafür, dass die Verteilungsfunktion für <math>x\to -\infty </math> jeweils gegen 0 bzw. 1 konvergiert. Der Vorfaktor <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> sorgt für die Normierung des Flächeninhaltes und damit auf für das Grenzwertverhalten <math>x\to +\infty </math> gegen 1. == Eigenschaften == === Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] der Normalverteilung ist durch :<math>F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt</math> gegeben. ==== Symmetrie Standardnormalverteilung ==== * Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist symmetrisch zur <math>y</math>-Achse und * die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt <math display="inline">\left(0,\frac{1}{2}\right)\in \mathbb{R}^2</math> ==== Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ==== Betrachtet man die Verteilungsfunktion für die Dichte der Standardnormalverteilung mit <math>\mu=0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math> erhält man die folgende mit <math>\Phi</math> bezeichnete Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: :<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt.</math> ==== Transformation - Integral Standardnormalverteilung ==== Wenn man durch die [[w:de:Substitutionsregel|Substitution]] <math>t=\sigma z + \mu</math> statt <math>t</math> eine neue Integrationsvariable <math>z := \tfrac{t-\mu}{\sigma}</math> einführt, ergibt sich ein Integral über die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: :<math>F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{(x-\mu)/\sigma} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm d z = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math> === Symmetrie === Der [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] der Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f\colon\ \mathbb R\to\mathbb R</math> ist eine Gaußsche Glockenkurve, deren Höhe und Breite von <math>\sigma</math> abhängt. Sie ist [[w:de:Achsensymmetrie#Achsensymmetrie von Funktionsgraphen|achsensymmetrisch]] zur Geraden mit der Gleichung <math>x = \mu</math> und somit eine [[w:de:symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung]] um ihren Erwartungswert. Der Graph der Verteilungsfunktion <math>F</math> ist [[w:de:Punktsymmetrie#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum Punkt <math>(\mu ; 0{,}5).</math> Für <math>\mu=0</math> gilt insbesondere <math>\varphi(-x) =\varphi(x)</math> und <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math>. === Maximalwert und Wendepunkte der Dichtefunktion === Mit Hilfe der ersten und zweiten [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] lassen sich der Maximalwert und die Wendepunkte bestimmen. Die erste Ableitung ist :<math>f'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} f(x).</math> Das Maximum der Dichtefunktion der Normalverteilung liegt demnach bei <math>x_\mathrm{max} = \mu</math> und beträgt dort <math>f_\mathrm{max} = \tfrac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}</math>. <br> Die zweite Ableitung lautet :<math>f' '(x) = \frac 1{ \sigma ^2} \left ( \frac 1{ \sigma ^2}(x- \mu )^2 -1 \right ) f(x). </math> Somit liegen die [[w:de:Wendepunkt|Wendestellen]] der Dichtefunktion bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>. Die Dichtefunktion hat dort den Wert <math>\tfrac 1{\sigma\sqrt{2\pi e}}</math>. <span id="Normierung"></span> == Normierung der Normalverteilung == Um nachzuweisen das die Verteilung mit der obigen Dichtefunktion tatsächlich ein Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, muss man das Axiom der Normiertheit für das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P: \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> zeigen. Dies wird für die Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math> umgesetzt. :<math> P(\Omega) = P(\mathbb{R}) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} z^2} \mathrm dz </math> === Normierung (1) === Wichtig ist, dass die gesamte Fläche unter der [[w:de:Funktionsgraph|Kurve]] gleich <math>1</math>, also gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisses]], ist. Somit folgt, dass, wenn zwei Gaußsche Glockenkurven dasselbe <math>\mu</math>, aber unterschiedliches <math>\sigma</math> haben, die Kurve mit dem größeren <math>\sigma</math> breiter und niedriger ist (da ja beide zugehörigen Flächen jeweils den Wert <math>1</math> haben und nur die Standardabweichung größer ist). Zwei Glockenkurven mit gleichem <math>\sigma,</math> aber unterschiedlichem <math>\mu</math> haben kongruente Graphen, die um die Differenz der <math>\mu</math>-Werte parallel zur <math>x</math>-Achse gegeneinander verschoben sind. === Normierung (2) === Jede Normalverteilung ist tatsächlich normiert, denn mit Hilfe der linearen [[w:de:Integration durch Substitution|Substitution]] <math>z= \tfrac{x-\mu}\sigma</math> erhalten wir :<math> \int_{-\infty}^\infty \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac 12 \left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \mathrm dx= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 z^2} \mathrm dz=1.</math> === Normierung (3) === Um die Normiertheit <math>\Phi( \infty )=1</math> nachzuweisen, berechnet man das Quadrat <math>I^2</math> des folgenden :<math>I := \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt.</math> Da die Dichtefunktion im Integranden eine positive Funktion ist, muss <math>I\geq 0</math>. Daher kann man aus <math>I^2=1</math> auch auf <math>I=1</math> === Normierung (4) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === Man kann die [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] des Integranden als [[w:de:elementare Funktion|elementare Funktion]] angeben, gibt es trotzdem mehr als ein halbes Dutzend Lösungswege, seinen Wert zu bestimmen, angefangen bei ersten Näherungen [[w:de:Abraham de Moivre|De Moivres]] aus dem Jahr 1733 über die Arbeiten von [[w:de:Pierre-Simon Laplace|Laplace]] und [[w:de:Siméon Denis Poisson|Poisson]] aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem gänzlich neuen Lösungsansatz S. P. Evesons aus dem Jahr 2005.<ref>[https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf Peter M. Lee: ''The probability integral''; University of York, Department of Mathematics, 2011], zuletzt abgerufen am 14. Mai 2016.</ref> === Normierung (5) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === Einer der entscheidenden Tricks für seine Berechnung (angeblich von Poisson<ref>[https://ems.press/content/serial-article-files/4007 Denis Bell: ''Poisson’s remarkable calculation - a method or a trick?''; Elemente der Mathematik 65, 2010] (PDF; 248&nbsp;kB)</ref>) ist es, auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet über Polarkoordinaten zu parametrisieren. === Normierung (6) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === :<math>\begin{align} I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)\cdot \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dy\right)\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2} \cdot e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dx\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(x^2 + y^2\right)}\mathrm dx\,\mathrm dy. \end{align}</math> Grundlage für die erste Umformung ist die [[Lineare Abbildung|Linearität]] des Integrals. === Normierung (7) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Statt längs kartesischer Koordinaten wird über <math>\mathbb{R}^2</math> nun längs [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] integriert, was der Substitution <math> x = r \cos(\varphi), y = r \sin (\varphi) </math> und daraus <math>r^2 = x^2 + y^2</math> entspricht. === Normierung (8) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Nun erhält man das Integral über die Verwendung der [[Transformationsformel|Transformationssatz]] :<math>\begin{align} I^2 &= \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dr\\ &= 2 \pi \int_0^\infty e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm dr\\ &= -2 \pi \left[e^{-\frac 12 r^2}\right]_{r=0}^\infty\\ &= 2 \pi. \end{align}</math> === Normierung (9) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Damit erhält man das gesuchte Integral mit der Voraussetzung <math>I \geq 0</math>: :<math>\lim_{z \to \infty} \Phi(z) = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt=\frac 1{\sqrt{2\pi}}I = 1.</math> === Berechnung === Da sich <math>\Phi(z)</math> nicht auf eine elementare [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen zurückgegriffen (siehe [[w:de:Standardnormalverteilungstabelle|Standardnormalverteilungstabelle]]). Heutzutage sind in statistischen Programmiersprachen wie zum Beispiel [[w:de:R (Programmiersprache)|R]] Funktionen verfügbar, die auch die Transformation auf beliebige <math> \mu </math> und <math> \sigma </math> beherrschen. == Erwartungswert == Der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] der Standardnormalverteilung ist <math>0</math>. Es sei <math>X \sim \mathcal N\left(0,1\right)</math>, so gilt :<math> \operatorname{E}(X) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\ e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx = 0,</math> da der Integrand [[w:de:Uneigentliches Integral|integrierbar]] und [[w:de:Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] ist. === Stammfunktion des Integranden === Der Integrand beim Erwartungswert <math>f(x)=x\cdot e^{-x^2}</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F(x)=-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^2}</math>, denn es gilt: :<math> f(x)=x\cdot e^{-x^2} = -\frac{1}{2} \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2} </math> Mit dieser kleinen Transformation ist <math>-2x</math> die innere Ableitung von <math>-x^2</math>. Mit der Anwendung der Substitutionregel in der Integralrechnung erhält man eine Stammfunktion <math>F(x)=-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^2}</math>. === Lineare Transformation - Linearität des Erwartungswertes === Ist nun <math>Y \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)</math>, so gilt <math>X=(Y-\mu)/\sigma</math> ist standardnormalverteilt, und somit kann man mit der [[Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] :<math> \operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(\sigma X + \mu)=\sigma \underbrace{\operatorname{E}(X)}_{=0} + \mu=\mu.</math> == Varianz == Die [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] der <math>(\mu, \sigma^2)</math>-normalverteilten Zufallsvariablen entspricht dem Parameter <math>\sigma^2</math> :<math>\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2 e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\sigma^2.</math> === Berechnung der Varianz (1) === Die Berechnung der Varianz erfolgt über [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] für den Integranden <math>x^2 \cdot e^{-x^2}</math> der Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. Für die Varianz gilt: :<math>Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - {\underbrace{E(X)}_{=0}}^2 = E(X^2)</math> Also muss man für die Berechnung der Varianz nur das zweite Moment <math> E(X^2) </math> berechnen. === Berechnung der Varianz (2) === Die Berechnung des zweiten Momentes nutzt die [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] und die [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] für die Verkettung von Funktionen bei der Berechnung von <math>g'(x)</math> :<math> \begin{align} f(x) & = x \\ f\,'\!(x) & = 1 \\ g(x) & = e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ g\,'\!(x) & = -x\cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \end{align} </math> === Berechnung der Varianz (2) === Mit der obigen Definition der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> erhält man mit der partiellen Integrationregel :<math> \lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{+r} f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{r \to +\infty}\Big[f(x)\cdot g(x)\Big]_{-r}^{+r} - \lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{+r} f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x </math> für uneigentliche Integral. === Berechnung der Varianz (3) === Die Berechnung des 2. Momentes ergibt daher über: :<math> \begin{align} E(X^2) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! x^2 \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2}\mathrm dx = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \underbrace{x}_{=:f(x)} \cdot \underbrace{ \left( -x \cdot e^{- \frac{1}{2} x^2} \right) }_{=:g\,'(x)} \mathrm dx \\ & = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \underbrace{ \bigg[ \underbrace{x}_{=:f(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2} x^2}}_{=:g(x)} \bigg]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} + \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \underbrace{1}_{=f\,'(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2} x^2} }_{=g(x)} \mathrm dx }_{=P(\mathbb{R})=1} = 1 \\ \end{align} </math> === Berechnung der Varianz (4) === Insgesamt ergibt sich damit die Berechnung der Varianz für die Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. :<math>Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - {\underbrace{E(X)}_{=0}}^2 = E(X^2) = 1</math> == Wahrscheinlichkeitsdichte als Taylorreihe == Für Taylorreihen kann man für Wert <math>x</math> aus dem Konvergenzbereich die Dichtefunktion als Potenzreihe darstellen und von Potenzreihen kann man eine Stammfunktion direkt über die Integration der Summanden der Taylorreihe (Polynome <math>n</math>-ten Grades) bilden. Dazu muss man die Taylorkoeffizienten <math>a_n= \frac{f^{(n)}(0)}{n!} </math> berechnen. === Taylorkoeffizienten der Standardnormalverteilungsdichte === Zunächst müssen die Ableitungen der Dichtefunktion <math>f^{(n)}(x)</math> mit der mit der [[w:de:Produktregel|Produktregel]] gebildet werden. :<math> \begin{align} f^{(0)}(x) & = f(x) = e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(1)}(x) & = -x \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(2)}(x) & = (x^2 - 1) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(3)}(x) & = (-x^3 - 3x) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(4)}(x) & = (x^4 - 6x^2 + 3) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \vdots \,\,\, & = \,\,\, \vdots \\ f^{(n)}(x) & = p^{(n)}(x) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \end{align} </math> <math>p^{(n)}</math> ist ein Polynom <math>n</math>-ten Grades. Siehe auch [[Maxima CAS/Taylorkoeffizienten]] === Aufgabe für Studierende === * Bestimmen Sie die Ableitungen der Dichtefunktion in einer expliziten Form für das führende Polynom <math>p^{(n)}(x)</math> * Zeigen Sie, dass <math>p^{(2n+1)}(0) = 0</math> für ungeradzahlige Ableitungen gilt! * Berechnen Sie explizit <math>p^{(2n)}(0)</math> für geradzahlige Ableitungen! === Entwicklungspunkt 0 === Mit dem Entwicklungspunkt 0 verschwindet viele Summand aus dem vorangestellten ersten Polynom. Insbesondere sind die Koeffizienten mit ungeradem Summanden 0. Die fortgesetzten Ableitung wurden mit der [[w:de:Produktregel|Produktregel]] berechnet. == Charakteristische Funktion == Die [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> ist :<math>\varphi_Z(t) = e^{-\frac 12 t^2}.</math> Für eine Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)</math> erhält man daraus mit <math>X = \sigma Z + \mu</math>: :<math>\varphi_X(t)=\operatorname E(e^{it(\sigma Z + \mu)})=\operatorname E(e^{it\sigma Z}e^{it\mu})= e^{it\mu}\operatorname{E}(e^{it\sigma Z})</math> :<math>=e^{it\mu}\varphi_Z(\sigma t)= \exp\left\{it\mu-\tfrac 12 \sigma^2 t^2\right\}.</math> == Faltung von Wahrscheinlichkeitsdichten == Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsdichten <math>f_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_o^+ </math>, <math>f_2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_o^+ </math> für zwei normalverteilten [[stochastisch unabhängig|stochastisch unabhängigen]] Zufallfallsgrößen <math>X_1, X_2</math> liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f_1 \ast f_2</math> der Summenverteilung <math>X_1+X_2</math>. === Invarianz gegenüber Faltung (1)=== Die Normalverteilung ist [[w:de:invariant|invariant]] gegenüber der [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltung]], d.&nbsp;h., die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt (siehe dazu auch unter [[w:de:Alpha-stabile Verteilungen|stabile Verteilungen]] bzw. unter [[w:de:Unendliche Teilbarkeit|unendliche teilbare Verteilungen]]). Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Die Faltung einer Gaußkurve der [[w:de:Halbwertsbreite|Halbwertsbreite]] <math>\Gamma_a</math> mit einer Gaußkurve der Halbwertsbreite <math>\Gamma_b</math> ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Halbwertsbreite :<math>\Gamma_c = \sqrt{\Gamma_a^2 + \Gamma_b^2}.</math> === Invarianz gegenüber Faltung (2)=== Sind also <math>X, Y</math> zwei unabhängige Zufallsvariablen mit :<math>X \sim \mathcal N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y \sim \mathcal N(\mu_Y,\sigma_Y^2),</math> so ist deren Summe ebenfalls normalverteilt: :<math>X+Y \sim \mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)</math> Das kann beispielsweise mit Hilfe von charakteristischen Funktionen gezeigt werden, indem man verwendet, dass die charakteristische Funktion der Summe das Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist (vgl. [[w:de:Faltungssatz|Faltungssatz]] der Fouriertransformation). === Invarianz gegenüber Faltung (3)=== Gegeben seien allgemeiner <math>n</math> unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen <math>X_i \sim \mathcal N(\mu_i, \sigma_i^2)</math>.<br> Dann ist deren Summe wieder normalverteilt :<math>\sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal N\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right)</math> und das arithmetische Mittel ebenfalls :<math>\frac 1n \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal N\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n \mu_i, \frac 1{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right).</math> Nach dem [[w:de:Satz von Cramér|Satz von Cramér]] gilt sogar die Umkehrung. == Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen == === Transformation zur Standardnormalverteilung (1)=== Eine Normalverteilung mit beliebigen <math> \mu </math> und <math> \sigma </math> und der Verteilungsfunktion <math>F</math> hat, wie oben erwähnt, die nachfolgende Beziehung zur <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-Verteilung: :<math>F(x) = \Phi \left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right).</math> Darin ist <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.<br> === Transformation zur Standardnormalverteilung (2)=== Wenn <math>X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>, dann führt die [[w:de:Standardisierung (Statistik)|Z-Transformation]] :<math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math> zu einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math>, denn :<math>P(Z\le z)=P\left(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\le z\right)=P\left(X\le \sigma z+\mu\right)=F(\sigma z+\mu)=\Phi(z).</math> Geometrisch betrachtet entspricht die durchgeführte Substitution einer flächentreuen Transformation der Glockenkurve von <math> \mathcal{N}(\mu;\sigma^2) </math> zur Glockenkurve von <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (1)=== <!--{{Hauptartikel|Normal-Approximation}}--> Die Normalverteilung kann zur Approximation der [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]] verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil der gesuchten Eigenschaft weder zu groß noch zu klein ist ([[w:de:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]], [[w:de:zentraler Grenzwertsatz|zentraler Grenzwertsatz]], zur experimentellen Bestätigung siehe auch unter [[w:de:Galtonbrett|Galtonbrett]]).<br> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (2)=== Ist ein Bernoulli-Versuch mit <math>n</math> voneinander unabhängigen Stufen (bzw. [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]]) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge allgemein berechnen mittels :<math>P(X=k) = \tbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\quad k = 0, 1, \dotsc, n.</math> Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn <math>n</math> hinreichend groß und <math>p</math> weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt <math>np(1-p)\geq 9</math>. Für den Erwartungswert <math>\mu</math> und die Standardabweichung <math>\sigma</math> gilt dann: === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (3)=== :<math>\mu=n\cdot p </math> und <math>\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}</math>.<br> Damit gilt für die Standardabweichung <math>\sigma\geq 3</math>. Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: <math>np\geq 4</math> und zugleich <math>n(1-p)\geq 4</math>.<br> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (4)=== Folgende Näherung ist dann brauchbar: :<math>P(x_1 \leq X \leq x_2) = \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}}</math> :<math> \approx \underbrace { \Phi \left( \frac {x_2 + 0,5 - \mu }{ \sigma } \right ) - \Phi \left ( \frac { x_1 - 0,5 - \mu }{ \sigma } \right) }_{ \mathrm { NV } }.</math> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (5)=== Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn <math>\sigma</math> einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.<br> Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte geachtet werden: === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (6)=== * Der Unterschied zwischen <math><</math> oder <math>\leq</math> (sowie zwischen ''größer'' und ''größer gleich'') muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei <math> P(X_\text{BV} < x) </math> die nächstkleinere natürliche Zahl gewählt werden, d.&nbsp;h. :<math> P(X_\text{BV} < x) = P(X_\text{BV} \leq x-1) </math> bzw. <math>P(X_\text{BV}>x)=P(X_\text{BV}\geq x+1)</math>, :damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann. :Zum Beispiel: <math>P(X_\text{BV}<70) = P(X_\text{BV}\leq 69)</math> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (7)=== Außerdem ist * <math> P(X_\text{BV} \leq x) = P(0 \leq X_\text{BV} \leq x) </math> * <math> P(X_\text{BV} \geq x) = P(x \leq X_\text{BV} \leq n) </math> * <math> P(X_\text{BV} = x) = P(x \leq X_\text{BV} \leq x) </math> (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur) und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.<br> Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können. === Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung === Ist die Zufallsvariable <math>X</math> normalverteilt mit <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})</math>, dann ist die Zufallsvariable <math>Y=e^{X}</math> [[w:de:Logarithmische Normalverteilung|logarithmisch-normalverteilt]], also <math>Y \sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^{2})</math>. Die Entstehung einer [[w:de:Logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilung]] ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen. == Rechnen mit der Standardnormalverteilung (1) == Bei Aufgabenstellungen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für <math>\mu</math>-<math>{\sigma}^2</math>-normalverteilte Zufallsvariablen durch die Standardnormalverteilung ermittelt werden soll, ist es nicht nötig, die oben angegebene Transformation jedes Mal durchzurechnen. Stattdessen wird einfach die Transformation :<math>Z = \frac {X-\mu}{\sigma}</math> verwendet, um eine <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-verteilte Zufallsvariable <math>Z</math> zu erzeugen. == Rechnen mit der Standardnormalverteilung (2) == Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass z.&nbsp;B. <math>X</math> im Intervall <math>[x,y]</math> liegt, ist durch folgende Umrechnung gleich einer Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung: <math> \begin{align} P(x \leq X \leq y) &= P\left(\frac {x-\mu}{\sigma} \leq \frac {X-\mu}{\sigma} \leq \frac {y-\mu}{\sigma}\right)\\ &=P\left(\frac {x-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac {y-\mu}{\sigma}\right)\\ &=\Phi\left(\frac {y-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac {x-\mu}{\sigma}\right) \end{align} </math>. === Grundlegende Fragestellungen (1) === Allgemein gibt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert <math>x</math> an, d.&nbsp;h., es wird das [[w:de:bestimmtes Integral|bestimmte Integral]] von <math>-\infty</math> bis <math>x</math> berechnet. Dies entspricht in Aufgabenstellungen einer gesuchten [[w:de:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]], bei der die Zufallsvariable <math>X</math> ''kleiner'' oder ''nicht größer'' als eine bestimmte Zahl <math>x</math> ist. Wegen der [[w:de:Stetigkeit|Stetigkeit]] der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob nun <math><</math> oder <math>\leq</math> verlangt ist, weil z.&nbsp;B. :<math>P(X = 3) = \int_3^3 f(x)\mathrm dx = 0</math> und somit <math>P(X<3) = P(X \leq 3)</math>. Analoges gilt für „größer“ und „nicht kleiner“. === Grundlegende Fragestellungen (2) === Dadurch, dass <math>X</math> nur kleiner oder größer als eine Grenze sein (oder innerhalb oder außerhalb zweier Grenzen liegen) kann, ergeben sich für Aufgaben bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen zu Normalverteilungen zwei grundlegende Fragestellungen: * Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> ''höchstens'' den Wert <math>z</math> annimmt? * <math>P(Z \leq z)=\Phi(z)</math> In der Schulmathematik wird für diese Aussage gelegentlich auch die Bezeichnung ''linker Spitz'' verwendet, da die [[w:de:Flächeninhalt|Fläche]] unter der Gaußkurve von links bis zur Grenze verläuft. Für <math>z</math> sind auch negative Werte erlaubt. === Grundlegende Fragestellungen (3) === Allerdings haben viele Tabellen der Standardnormalverteilung nur positive Einträge –&nbsp;wegen der Symmetrie der Kurve und der Negativitätsregel ::<math>\Phi(-z)\ =\ 1-\Phi(z)</math> :des „linken Spitzes“ stellt dies aber keine Einschränkung dar. === Grundlegende Fragestellungen (4) === Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> ''mindestens'' den Wert <math>z</math> annimmt? :<math>P(Z \geq z) = 1 - \Phi(z)</math> Hier wird gelegentlich die Bezeichnung ''rechter Spitz'' verwendet, mit :<math>P(Z \geq -z)= 1- \Phi(-z)= 1-(1-\Phi(z)) = \Phi(z)</math> gibt es auch hier eine Negativitätsregel.<br> Da jede Zufallsvariable <math>X</math> mit der allgemeinen Normalverteilung sich in die Zufallsvariable <math>Z = \frac{X -\mu}{\sigma}</math> mit der Standardnormalverteilung umwandeln lässt, gelten die Fragestellungen für beide Größen gleichbedeutend. === Streubereich und Antistreubereich (1)=== Häufig ist die Wahrscheinlichkeit für einen ''Streubereich'' von Interesse, d.&nbsp;h. die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> Werte zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> annimmt: :<math>P(z_1 \le Z \le z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)</math> Beim Sonderfall des symmetrischen Streubereiches (<math>z_1=-z_2</math>, mit <math>z_2>0</math>) gilt: <math> \begin{align} P(-z\le Z\le z ) &= P (|Z|\le z)\\ &= \Phi(z)-\Phi(-z)\\ &= \Phi(z)-(1-\Phi(z))\\ &= 2\Phi(z)-1 \end{align} </math> === Streubereich und Antistreubereich (2)=== Für den entsprechenden ''Antistreubereich'' ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> Werte außerhalb des Bereichs zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> annimmt, zu: :<math>P(Z\le z_1\text{ oder }Z\ge z_2) = \Phi(z_1) + (1-\Phi(z_2)).</math> Somit folgt bei einem symmetrischen Antistreubereich <math> \begin{align} P(Z\le -z\text{ oder }Z\ge z) &= P(|Z|\ge z)\\ &=\Phi(-z)+1-\Phi(z)\\ &= 1-\Phi(z)+1-\Phi(z)\\ &=2-2 \Phi(z). \end{align} </math> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (1)=== Besondere Bedeutung haben beide Streubereiche z.&nbsp;B. bei der [[w:de:Qualitätssicherung|Qualitätssicherung]] von technischen oder wirtschaftlichen [[w:de:Produktion|Produktionsprozessen]]. Hier gibt es einzuhaltende [[w:de:Toleranz (Technik)|Toleranzgrenzen]] <math>x_1</math> und <math>x_2</math>, wobei es meist einen größten noch akzeptablen Abstand <math>\epsilon</math> vom Erwartungswert <math>\mu</math> (=&nbsp;dem optimalen Sollwert) gibt. Die Standardabweichung <math>\sigma</math> kann hingegen [[w:de:empirisch|empirisch]] aus dem Produktionsprozess gewonnen werden.<br> Wurde <math>[x_1;x_2]=[\mu-\epsilon;\mu+\epsilon]</math> als einzuhaltendes Toleranzintervall angegeben, so liegt (je nach Fragestellung) ein symmetrischer Streu- oder Antistreubereich vor.<br> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (2)=== Im Falle des Streubereiches gilt: <math>\begin{align} P(x_1 \leq X \leq x_2) &= P(|X-\mu|\leq\epsilon)\\ &= P(\mu-\epsilon \leq X \leq \mu+\epsilon)\\ &= P\left(\frac{-\epsilon}{\sigma} \leq Z \leq \frac{\epsilon}{\sigma}\right)\\ &= \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\epsilon}{\sigma}\right)\\ &= 2 \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-1\\ &= \gamma \end{align} </math> Der Antistreubereich ergibt sich dann aus <math> P( | X - \mu | \geq \epsilon ) = 1 - \gamma. \,</math> <br> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (3)=== Wenn kein Streubereich berechnet wurde durch <math>P(|X- \mu|\geq \epsilon )=2\cdot\left(1- \Phi\left(\frac{\epsilon} {\sigma}\right)\right)=\alpha.</math> <br> Das Ergebnis <math> \gamma </math> ist also die Wahrscheinlichkeit für verkaufbare Produkte, während <math> \alpha </math> die Wahrscheinlichkeit für Ausschuss bedeutet, wobei beides von den Vorgaben von <math> \mu </math>, <math> \sigma </math> und <math> \epsilon </math> abhängig ist. Ist bekannt, dass die maximale Abweichung <math> \epsilon </math> symmetrisch um den Erwartungswert liegt, so sind auch Fragestellungen möglich, bei denen die Wahrscheinlichkeit vorgegeben und eine der anderen Größen zu berechnen ist. == Testen auf Normalverteilung (1)== [[Datei:Quantile graph.svg|mini|300px|]] Die Abbildung zeigt die [[w:de:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] einer Normalverteilung und einer [[w:de:Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-Verteilung]]. == Testen auf Normalverteilung (2)== [[Datei:Anpassungstests.svg|mini|300px|]] Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt. == Testen auf Normalverteilung (3)== Überprüfungen auf Normalverteilungen sind möglich mittels: * [[w:de:Chi-Quadrat-Test|Chi-Quadrat-Test]] * [[w:de:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] * [[w:de:Anderson-Darling-Test|Anderson-Darling-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests) * [[w:de:Lilliefors-Test|Lilliefors-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests) * [[w:de:Cramér-von-Mises-Test|Cramér-von-Mises-Test]] * [[w:de:Shapiro-Wilk-Test|Shapiro-Wilk-Test]] * [[w:de:Jarque-Bera-Test|Jarque-Bera-Test]] * [[w:de:Q-Q-Plot|Q-Q-Plot]] (deskriptive Überprüfung) * [[w:de:Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Methode]] (deskriptive Überprüfung) == Testen auf Normalverteilung (4)== Die Tests haben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich der Art der Abweichungen von der Normalverteilung, die sie erkennen. So erkennt der Kolmogorov-Smirnov-Test Abweichungen in der Mitte der Verteilung eher als Abweichungen an den Rändern, während der Jarque-Bera-Test ziemlich sensibel auf stark abweichende Einzelwerte an den Rändern („[[w:de:Heavy-tailed-Verteilung|heavy tails]]“) reagiert. == Testen auf Normalverteilung (5)== Beim Lilliefors-Test muss im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test nicht standardisiert werden, d.&nbsp;h., <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der angenommenen Normalverteilung dürfen unbekannt sein.<br> Mit Hilfe von [[w:de:Q-Q-Plot|Quantil-Quantil-Plots]] (auch Normal-Quantil-Plots oder kurz Q-Q-Plots) ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.<br />Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (1)== <!--{{Hauptartikel|Normalverteilungsmodell}}--> Viele der statistischen Fragestellungen, in denen die Normalverteilung vorkommt, sind gut untersucht. Wichtigster Fall ist das sog. Normalverteilungsmodell, in dem man von der Durchführung von <math>n</math> unabhängigen und normalverteilten Versuchen ausgeht. Es existieren drei Fälle: * der Erwartungswert ist unbekannt und die Varianz bekannt * die Varianz ist unbekannt und der Erwartungswert ist bekannt * Erwartungswert und Varianz sind unbekannt. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (2)== Je nachdem, welcher dieser Fälle auftritt, ergeben sich verschiedene [[w:de:Schätzfunktion|Schätzfunktionen]], [[w:de:Konfidenzbereich|Konfidenzbereiche]] oder Tests. Diese sind detailliert im Hauptartikel Normalverteilungsmodell zusammengefasst. Dabei kommt den folgenden Schätzfunktionen eine besondere Bedeutung zu: == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (3)== Das [[w:de:Stichprobenmittel|Stichprobenmittel]] :<math> \overline X =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i </math> ist ein [[w:de:Erwartungstreue|erwartungstreuer]] [[w:de:Punktschätzer|Schätzer]] für den unbekannten Erwartungswert sowohl für den Fall einer bekannten als auch einer unbekannten Varianz. Er ist sogar der [[w:de:Bester erwartungstreuer Schätzer|beste erwartungstreue Schätzer]], d.&nbsp;h. der Schätzer mit der kleinsten Varianz. Sowohl die [[w:de:Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Methode]] als auch die [[w:de:Momentenmethode|Momentenmethode]] liefern das Stichprobenmittel als Schätzfunktion. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (4)== Die unkorrigierte [[w:de:Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]] :<math>V(X)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2</math> ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei gegebenem Erwartungswert <math>\mu_0 </math>. Auch sie kann sowohl aus der Maximum-Likelihood-Methode als auch aus der Momentenmethode gewonnen werden. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (5)== Die [[w:de:korrigierte Stichprobenvarianz|korrigierte Stichprobenvarianz]] :<math>V^*(X)=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2</math> ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei unbekanntem Erwartungswert. == Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen == Alle folgenden Verfahren erzeugen standardnormalverteilte Zufallszahlen. Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Ist die Zufallsvariable <math>x \sim \mathcal{N}(0,1)</math>-verteilt, so ist <math>a \cdot x + b</math> schließlich <math>\mathcal{N}(b,a^2)</math>-verteilt. === Box-Muller-Methode === Nach der [[w:de:Box-Muller-Methode|Box-Muller-Methode]] lassen sich zwei unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> aus zwei unabhängigen, [[w:de:Gleichverteilung|gleichverteilten]] Zufallsvariablen <math>U_1,U_2 \sim U(0,1)</math>, sogenannten [[w:de:Standardzufallszahl|Standardzufallszahlen]], simulieren: :<math>X= \cos( 2 \pi U_1) \sqrt{-2\ln U_2}</math> und :<math>Y = \sin ( 2 \pi U_1 ) \sqrt{-2 \ln U_2}.</math> === Polar-Methode === <!--{{Hauptartikel|Polar-Methode}}--> Die Polar-Methode von [[w:de:George Marsaglia|George Marsaglia]] ist auf einem Computer noch schneller, da sie keine Auswertungen von trigonometrischen Funktionen benötigt: * Erzeuge zwei voneinander unabhängige, im Intervall <math> [ -1, 1 ] </math> gleichverteilte Zufallszahlen <math>u_1</math> und <math>u_2</math> * Berechne <math>q=u_1^2+u_2^2</math>. Falls <math>q = 0</math> oder <math>q \geq 1</math>, gehe zurück zu Schritt 1. * Berechne <math>p = \sqrt {\frac{-2 \cdot \ln q}{q}}</math>. * <math>x_i=u_i \cdot p</math> für <math>i=1,2</math> liefert zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>. <!-- #Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen <math>u_1,u_2 = U(0,1)</math> #Berechne <math>v=(2u_1-1)^2+(2u_2-1)^2</math>. Falls <math>v \ge 1</math> wiederhole 1. #<math>x=(2u_1-1)(-2\log v /v)^{1/2}</math> --> === Zwölferregel (1)=== Der [[w:de:Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] besagt, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen die Verteilung der Summe [[w:de:Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig, identisch verteilter Zufallszahlen]] einer Normalverteilung nähert. Ein Spezialfall ist die [[w:de:Zwölferregel|Zwölferregel]], die sich auf die Summe von zwölf Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] beschränkt und bereits zu passablen Verteilungen führt. === Zwölferregel (2)=== Allerdings ist die geforderte Unabhängigkeit der zwölf Zufallsvariablen <math>X_i</math> bei den immer noch häufig verwendeten [[w:de:Kongruenzgenerator#Linearer Kongruenzgenerator|Linearen Kongruenzgeneratoren (LKG)]] nicht garantiert. Im Gegenteil wird vom [[w:de:Spektraltest|Spektraltest]] für LKG meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der <math>X_i</math> garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich und sollte, wenn überhaupt, dann ausschließlich mit aufwändigeren, aber besseren Pseudo-Zufallsgeneratoren wie z.&nbsp;B. dem [[w:de:Mersenne-Twister|Mersenne-Twister]] (Standard in [[w:de:Python (Programmiersprache)|Python]], [[w:de:GNU R|GNU R]]) oder [[w:de:WELL|WELL]] genutzt werden. Andere, sogar leichter zu programmierende Verfahren, sind daher i.&nbsp;d.&nbsp;R. der Zwölferregel vorzuziehen. === Verwerfungsmethode === Normalverteilungen lassen sich mit der [[w:de:Verwerfungsmethode|Verwerfungsmethode]] (siehe dort) simulieren. == Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung == Die Normalverteilung lässt sich auch zur Beschreibung nicht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, etwa in der [[w:de:Physik|Physik]] für das [[w:de:Amplitude|Amplitudenprofil]] der [[w:de:Gauß-Strahl|Gauß-Strahlen]] und andere Verteilungsprofile. Zudem findet sie Verwendung in der [[w:de:Gabor-Transformation|Gabor-Transformation]]. == Siehe auch == * [[w:de:Additives weißes gaußsches Rauschen|Additives weißes gaußsches Rauschen]] * [[w:de:Lineare Regression|Lineare Regression]] * [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] * [[w:de:Produktregel|Produktregel]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Literatur == * Stephen M. Stigler: ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900.'' Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 9780674403413. == Weblinks == {{Commonscat|Normal distribution|Normalverteilung}} {{Wikibooks|Statistik: Normalverteilung|Anschauliche Darstellung der Normalverteilung}} * [http://matheguru.com/stochastik/normalverteilung.html Anschauliche Erklärung der Normalverteilung mit interaktivem Graphen] * [http://www.madeasy.de/2/gauss.htm Darstellung mit Programmcode] in [[w:de:Visual Basic|Visual Basic]] * [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php?language=deutsch Online-Rechner Normalverteilung] == Einzelnachweise == <references> </references> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Normalverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung * Datum: 15.1.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] j4n8l212wgsjf8ga8o7412ilz5c8bko 106 119495 1115011 1114203 2026-10-01T08:31:14Z Bert Niehaus 20843 /* Definitionen */ 1115011 wikitext text/x-wiki == Einführung== '''Kette''' und '''Zyklus''' sind mathematische Objekte, die in der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachtet werden, aber auch als Spezialfälle in der [[w:de:Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] auftreten. Die Kette ist eine Verallgemeinerung einer [[w:de:Weg (Mathematik)|Kurve]] und der Zyklus ist eine Verallgemeinerung einer geschlossenen Kurve. Sie werden in Funktionentheorie vor allem im Bereich der Integration verwendet. == Definitionen == Bei den folgenden Definition werden mehrere stetig differenzierbare Wege zu einer Kette zusammengefasst. Wenn diese analog zu einem geschlossenen Weg aus mehreren geschlossenen Wegen zu einem [[Zyklus]] zusammengesetzt werden können. === Definition - Kette === Unter einer Kette auf einer Menge <math>G \subset \mathbb{C}</math> versteht man eine endliche ganzzahlige Linearkombination von Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> :<math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i \quad n_i \in \mathbb{Z}</math> mit <math></math>. <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> sind allgemein stetige [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurven]] in <math>G</math> === Integration über eine Kette === Sei <math>f:G \to \mathbb{C}</math> integrabel und <math>\Gamma</math> eine Kette von stückweise stetig differenzierbaren Wegen (Integrationswegen) <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> in <math>G \subset \mathbb{C}</math>, dann ist das Integral über die Kette <math>\Gamma</math> durch :<math>\int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{i = 1}^k n_i \int_{\gamma_i} f(z) \, dz</math> definiert. <span id="Zyklus"></span> === Definition - Zyklus === '''Version 1:''' Ein Zyklus ist eine Kette <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i</math>, bei der jeder Punkt <math>a\in\mathbb{C}</math> unter Berücksichtigung der Vielfachheit <math>n_i</math> genauso oft als Anfangs- wie als Endpunkt der Kurven <math>\gamma_i</math> auftritt. '''Version 2:''' Ein Zyklus ist eine Kette <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i</math> von geschlossenen Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math>. ===Zusammenhange Version 1 - Version 2 === Version 2 ist für die Funktionentheorie eine wesentliche Eigenschaft. Mit den Eigenschaften von Version 1 lässt sich jeder Zyklus <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\cdot \gamma_i</math> in eine Kette <math>\hat{\Gamma} := \sum_{i=1}^m \hat{n}_i \hat{\gamma}_i</math> aus geschlossenen Wegen <math>\hat{\gamma}_1,\ldots \hat{\gamma}_m</math> unwandeln. Besteht der Zyklus <math>\Gamma</math> in Version 1 aus stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math>, so sind auch die geschlossenen Wege <math>\hat{\gamma}_1,\ldots \hat{\gamma}_m</math> stückweise stetig differenzierbar und es gilt für alle holomorphen Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\Gamma f(z) \, dz = \int_{\hat{\Gamma}} f(z) \, dz </math> === Spur eines Weges === Die '''Spur''' ist eines Weges <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{G}</math> ist definiert als :<math>\operatorname{Spur}(\gamma) := \operatorname{Bild}(\gamma) := \{ \gamma(t) \,| \, t \in [a,b] \}</math> === Spur eines Zyklus/Kette === Die Spur eine Kette <math>\Gamma</math> ist die Vereinigung der [[w:de:Bild (Mathematik)|Bilder]] der einzelnen Kurven, d.h. :<math>\operatorname{Spur}(\Gamma) :=\bigcup_{i=1}^N\operatorname{Bild}(\gamma_i)</math>. Ist <math>\operatorname{Spur}(\Gamma) \subset \mathbb{C}</math> eine Teilmenge von <math>G\subset \mathbb{C}</math>, dann heißt <math>\Gamma</math> ein Zyklus '''in''' <math>G</math> genau dann, wenn die Spur <math>\operatorname{Spur}\,\Gamma \subseteq G</math> in <math>G</math> liegt. === Umlaufzahl === Die '''[[w:de:Umlaufzahl (Mathematik)|Umlaufzahl]]''' wird analog zu der einer geschlossenen Kurve definiert, nur unter Verwendung des oben definierten Integrals, d.&nbsp;h. für <math>z \not\in \operatorname{Spur}\,\Gamma</math> schreibt man :<math>n(\Gamma , z) :=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}\in\mathbb{Z}</math>. === Innere umrundete Punkte eines Zyklus === Das '''Innere''' (Interior) eines Zyklus sind genau diejenigen Punkte, für die die Windungszahl nicht verschwindet: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> === Äußere Punkte eines Zyklus === Analog dazu ist das '''Äußere''' (Exterior) genau die Menge der Punkte, für die die Windungszahl verschwindet: :<math>\operatorname{Ext}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) =0\}</math> ===Nullhomologer Zyklus === Ein Zyklus heißt '''null[[homolog]]''' für eine Menge <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> genau dann, wenn das Innere <math>\operatorname{Int}\,\Gamma</math> vollständig in <math>G</math> liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Umlaufzahl für alle Punkte aus <math>\mathbb{C} \setminus G</math> verschwindet. === Homologe Zyklen === Zwei Zyklen <math>\Gamma_1</math>, <math>\Gamma_2</math> heißen '''homolog''' in <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> genau dann, wenn ihre formale Differenz <math>\Gamma_1-\Gamma_2</math> nullhomolog in <math>G</math> ist. == Integralsätze == Die Ketten und Zyklen sind in der Funktionentheorie deshalb wichtig, weil man wie schon angesprochen mit ihnen das Kurvenintegral verallgemeinern kann. Insbesondere kann das Integral über einen Zyklus als Verallgemeinerung des geschlossenen Kurvenintegrals verstanden werden. Der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Cauchysche Integralsatz]], die [[w:de:Cauchysche Integralformel|Cauchysche Integralformel]] und der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]] können für Zyklen bewiesen werden. == Bezug zur Homologietheorie == Um anzudeuten, dass Kette und Zyklus Spezialfälle aus der [[w:de:Homologietheorie|Homologietheorie]] der algebraischen Topologie sind, spricht man auch von der 1-Kette und dem 1-Zyklus<ref>[[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer 1977, englisch ''Lectures on Riemann surfaces'', Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20</ref>. In der algebraischen Topologie selbst hat sich anstatt des Begriffs 1-Zyklus der Begriff 1-Zykel beziehungsweise p-Zykel durchgesetzt.<ref>{{Literatur| Autor=Wolfgang Lück| Titel=Algebraische Topologie : Homologie und Mannigfaltigkeiten| Verlag=Vieweg| Jahr=2005}}</ref> Außerdem ist zu beachten, dass der Plural von der Zyklus ''die Zyklen'', der Plural von der Zykel jedoch ''die Zykel'' heißt. === Einordnung in die Homologietheorie === Bei den Begriffen der Kette und des Zyklus handelt es sich um Spezialfälle von [[w:de:Mathematisches Objekt|Objekten]] der [[w:de:Topologie (Mathematik)|Topologie]]. In der [[w:de:Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] betrachtet man [[w:de:Kettenkomplex|Komplexe von p-Ketten]] und bildet daraus [[w:de:Homologiegruppe|Homologiegruppe]]n. Diese Gruppen sind [[w:de:Invariante (Mathematik)|Invarianten]] in der Topologie. Eine sehr wichtige [[w:de:Homologietheorie|Homologietheorie]] ist die der [[w:de:Singuläre Homologie|singulären Homologiegruppen]]. === 1-Kette des singulären Komplexes === Eine Kette, wie sie hier definiert wurde, ist eine 1-Kette des [[w:de:Singulärer Komplex|singulären Komplexes]], der ein bestimmter Kettenkomplex ist. Der im Abschnitt zum Zyklus definierte Operator <math>\partial \colon C_1(X) \to \operatorname{Div}(X)</math> ist der erste [[w:de:Randoperator|Randoperator]] des singulären Komplexes und die Gruppe der Divisoren ist daher identisch mit der Gruppe der 0-Ketten. Die Gruppe der Zyklen definiert als der Kern des Randoperators <math>\partial</math> ist ein 1-[[w:de:Kettenkomplex|Zykel]] im Sinn des singulären Komplexes. === Algebraischen Topologie === Neben dem Kern des Randoperators betrachte man in der algebraischen Topologie auch das Bild dieses Operators und konstruiert aus diesen beiden Mengen eine entsprechende Homologiegruppe. Im Fall des singulären Komplexes erhält man die [[w:de:singuläre Homologie|singuläre Homologie]]. In diesem Kontext haben auch die zuvor definierten Begriffe homologe Kette und nullhomologe Kette eine abstraktere Bedeutung. == Siehe auch == * [[Globaler Cauchy-Integralsatz]] * [[w:de:Satz von Stokes|Satz von Stokes]] * [[w:de:Glatte Funktion|glatte Funktion]] == Quellen == * {{Literatur | Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb | Titel=Funktionentheorie | Auflage=8. | Verlag=Vieweg | Ort=Braunschweig | Jahr=2003 | ISBN=3-528-77247-6 }} * [[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer 1977, englisch ''Lectures on Riemann surfaces'', Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20 == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Zyklus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) Zyklus (Funktionentheorie)] https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) * Datum: 23.4.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Zyklus%20(Funktionentheorie) Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Zyklus%20(Funktionentheorie) Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Complex Analysis/cycle]]</noinclude> oww5vkfj3dqtedagyron6e7adfv80zr 1115013 1115011 2026-10-01T08:32:18Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115013 wikitext text/x-wiki == Einführung== '''Kette''' und '''Zyklus''' sind mathematische Objekte, die in der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] betrachtet werden, aber auch als Spezialfälle in der [[w:de:Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] auftreten. Die Kette ist eine Verallgemeinerung einer [[w:de:Weg (Mathematik)|Kurve]] und der Zyklus ist eine Verallgemeinerung einer geschlossenen Kurve. Sie werden in Funktionentheorie vor allem im Bereich der Integration verwendet. == Definitionen == Bei den folgenden Definition werden mehrere stetig differenzierbare Wege zu einer Kette zusammengefasst. Wenn diese analog zu einem geschlossenen Weg aus mehreren geschlossenen Wegen zu einem [[Zyklus]] zusammengesetzt werden können. === Definition - Kette === Unter einer Kette auf einer Menge <math>G \subset \mathbb{C}</math> versteht man eine endliche ganzzahlige Linearkombination von Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> :<math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i \quad n_i \in \mathbb{Z}</math> mit <math></math>. <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> sind allgemein stetige [[w:de:Kurve (Mathematik)|Kurven]] in <math>G</math> === Integration über eine Kette === Sei <math>f:G \to \mathbb{C}</math> integrabel und <math>\Gamma</math> eine Kette von stückweise stetig differenzierbaren Wegen (Integrationswegen) <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math> in <math>G \subset \mathbb{C}</math>, dann ist das Integral über die Kette <math>\Gamma</math> durch :<math>\int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{i = 1}^k n_i \int_{\gamma_i} f(z) \, dz</math> definiert. <span id="Zyklus"></span> === Definition - Zyklus === '''Version 1:''' Ein Zyklus ist eine Kette <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i</math>, bei der jeder Punkt <math>a\in\mathbb{C}</math> unter Berücksichtigung der Vielfachheit <math>n_i</math> genauso oft als Anfangs- wie als Endpunkt der Kurven <math>\gamma_i</math> auftritt. '''Version 2:''' Ein Zyklus ist eine Kette <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\gamma_i</math> von geschlossenen Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math>. ===Zusammenhange Version 1 - Version 2 === Version 2 ist für die Funktionentheorie eine wesentliche Eigenschaft. Mit den Eigenschaften von Version 1 lässt sich jeder Zyklus <math>\Gamma := \sum_{i=1}^k n_i\cdot \gamma_i</math> in eine Kette <math>\hat{\Gamma} := \sum_{i=1}^m \hat{n}_i \hat{\gamma}_i</math> aus geschlossenen Wegen <math>\hat{\gamma}_1,\ldots \hat{\gamma}_m</math> unwandeln. Besteht der Zyklus <math>\Gamma</math> in Version 1 aus stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma_1,\ldots \gamma_k</math>, so sind auch die geschlossenen Wege <math>\hat{\gamma}_1,\ldots \hat{\gamma}_m</math> stückweise stetig differenzierbar und es gilt für alle holomorphen Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\Gamma f(z) \, dz = \int_{\hat{\Gamma}} f(z) \, dz </math> === Spur eines Weges === Die '''Spur''' ist eines Weges <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{G}</math> ist definiert als :<math>\operatorname{Spur}(\gamma) := \operatorname{Bild}(\gamma) := \{ \gamma(t) \,| \, t \in [a,b] \}</math> === Spur eines Zyklus/Kette === Die Spur eine Kette <math>\Gamma</math> ist die Vereinigung der [[w:de:Bild (Mathematik)|Bilder]] der einzelnen Kurven, d.h. :<math>\operatorname{Spur}(\Gamma) :=\bigcup_{i=1}^N\operatorname{Bild}(\gamma_i)</math>. Ist <math>\operatorname{Spur}(\Gamma) \subset \mathbb{C}</math> eine Teilmenge von <math>G\subset \mathbb{C}</math>, dann heißt <math>\Gamma</math> ein Zyklus '''in''' <math>G</math> genau dann, wenn die Spur <math>\operatorname{Spur}\,\Gamma \subseteq G</math> in <math>G</math> liegt. === Umlaufzahl === Die '''[[w:de:Umlaufzahl (Mathematik)|Umlaufzahl]]''' wird analog zu der einer geschlossenen Kurve definiert, nur unter Verwendung des oben definierten Integrals, d.&nbsp;h. für <math>z \not\in \operatorname{Spur}\,\Gamma</math> schreibt man :<math>n(\Gamma , z) :=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z}\in\mathbb{Z}</math>. === Innere umrundete Punkte eines Zyklus === Das '''Innere''' (Interior) eines Zyklus sind genau diejenigen Punkte, für die die Windungszahl nicht verschwindet: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> === Äußere Punkte eines Zyklus === Analog dazu ist das '''Äußere''' (Exterior) genau die Menge der Punkte, für die die Windungszahl verschwindet: :<math>\operatorname{Ext}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) =0\}</math> ===Nullhomologer Zyklus === Ein Zyklus heißt '''null[[homolog]]''' für eine Menge <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> genau dann, wenn das Innere <math>\operatorname{Int}\,\Gamma</math> vollständig in <math>G</math> liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Umlaufzahl für alle Punkte aus <math>\mathbb{C} \setminus G</math> verschwindet. === Homologe Zyklen === Zwei Zyklen <math>\Gamma_1</math>, <math>\Gamma_2</math> heißen '''homolog''' in <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> genau dann, wenn ihre formale Differenz <math>\Gamma_1-\Gamma_2</math> nullhomolog in <math>G</math> ist. == Integralsätze == Die Ketten und Zyklen sind in der Funktionentheorie deshalb wichtig, weil man wie schon angesprochen mit ihnen das Kurvenintegral verallgemeinern kann. Insbesondere kann das Integral über einen Zyklus als Verallgemeinerung des geschlossenen Kurvenintegrals verstanden werden. Der [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Cauchysche Integralsatz]], die [[w:de:Cauchysche Integralformel|Cauchysche Integralformel]] und der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]] können für Zyklen bewiesen werden. == Bezug zur Homologietheorie == Um anzudeuten, dass Kette und Zyklus Spezialfälle aus der [[w:de:Homologietheorie|Homologietheorie]] der algebraischen Topologie sind, spricht man auch von der 1-Kette und dem 1-Zyklus<ref>[[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer 1977, englisch ''Lectures on Riemann surfaces'', Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20</ref>. In der algebraischen Topologie selbst hat sich anstatt des Begriffs 1-Zyklus der Begriff 1-Zykel beziehungsweise p-Zykel durchgesetzt.<ref>{{Literatur| Autor=Wolfgang Lück| Titel=Algebraische Topologie : Homologie und Mannigfaltigkeiten| Verlag=Vieweg| Jahr=2005}}</ref> Außerdem ist zu beachten, dass der Plural von der Zyklus ''die Zyklen'', der Plural von der Zykel jedoch ''die Zykel'' heißt. === Einordnung in die Homologietheorie === Bei den Begriffen der Kette und des Zyklus handelt es sich um Spezialfälle von [[w:de:Mathematisches Objekt|Objekten]] der [[w:de:Topologie (Mathematik)|Topologie]]. In der [[w:de:Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] betrachtet man [[w:de:Kettenkomplex|Komplexe von p-Ketten]] und bildet daraus [[w:de:Homologiegruppe|Homologiegruppe]]n. Diese Gruppen sind [[w:de:Invariante (Mathematik)|Invarianten]] in der Topologie. Eine sehr wichtige [[w:de:Homologietheorie|Homologietheorie]] ist die der [[w:de:Singuläre Homologie|singulären Homologiegruppen]]. === 1-Kette des singulären Komplexes === Eine Kette, wie sie hier definiert wurde, ist eine 1-Kette des [[w:de:Singulärer Komplex|singulären Komplexes]], der ein bestimmter Kettenkomplex ist. Der im Abschnitt zum Zyklus definierte Operator <math>\partial \colon C_1(X) \to \operatorname{Div}(X)</math> ist der erste [[w:de:Randoperator|Randoperator]] des singulären Komplexes und die Gruppe der Divisoren ist daher identisch mit der Gruppe der 0-Ketten. Die Gruppe der Zyklen definiert als der Kern des Randoperators <math>\partial</math> ist ein 1-[[w:de:Kettenkomplex|Zykel]] im Sinn des singulären Komplexes. === Algebraischen Topologie === Neben dem Kern des Randoperators betrachte man in der algebraischen Topologie auch das Bild dieses Operators und konstruiert aus diesen beiden Mengen eine entsprechende Homologiegruppe. Im Fall des singulären Komplexes erhält man die [[w:de:singuläre Homologie|singuläre Homologie]]. In diesem Kontext haben auch die zuvor definierten Begriffe homologe Kette und nullhomologe Kette eine abstraktere Bedeutung. == Siehe auch == * [[Globaler Cauchy-Integralsatz]] * [[w:de:Satz von Stokes|Satz von Stokes]] * [[w:de:Glatte Funktion|glatte Funktion]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] == Quellen == * {{Literatur | Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb | Titel=Funktionentheorie | Auflage=8. | Verlag=Vieweg | Ort=Braunschweig | Jahr=2003 | ISBN=3-528-77247-6 }} * [[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Springer 1977, englisch ''Lectures on Riemann surfaces'', Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20 == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. === Wiki2Reveal === <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Zyklus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) Zyklus (Funktionentheorie)] https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklus%20(Funktionentheorie) * Datum: 23.4.2020 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Zyklus%20(Funktionentheorie) Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Zyklus%20(Funktionentheorie) Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity <noinclude>[[en:Complex Analysis/cycle]]</noinclude> p59uubigpun2f3jpkvskkxgvep78cip 0 119695 1115012 631833 2026-10-01T08:31:41Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus#Zyklus]] geändert 1115012 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus#Zyklus]] 4ag5ydlo8v6tcp59krt5o257fcers4q 0 167256 1114986 1114017 2026-10-01T07:24:38Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Substitutionsregel */ 1114986 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. === == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jm4see90o6jf2a6e5o3d7scr41qu4bb 1114987 1114986 2026-10-01T07:28:35Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Substitutionsregel */ 1114987 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>z_0</math> sich zu einem Punkt <math>z_1</math> bewegt. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. === == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] h44ivto4atpbjb9c8dfymyulc6wwvkf 1114988 1114987 2026-10-01T07:29:02Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Substitutionsregel */ 1114988 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> sich zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. === == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 24m0ppxr1yxctv6n06kyzr555ly8qdx 1114989 1114988 2026-10-01T07:29:48Z Bert Niehaus 20843 /* = */ 1114989 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> sich zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2gwedg1hs60ntuvi2lxyyjgikqjvkwa 1114990 1114989 2026-10-01T07:31:09Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie */ 1114990 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> Der [[Korrespondenzsatz für Wegintegrale]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liefert === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> sich zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] h42idtg3ygwpqinv8wc7q4qiuc1m78j 1114991 1114990 2026-10-01T07:31:27Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie */ 1114991 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> sich zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2gwedg1hs60ntuvi2lxyyjgikqjvkwa 1114992 1114991 2026-10-01T07:35:18Z Bert Niehaus 20843 /* Wegabhängigkeit - Risikofunktion */ 1114992 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> sich zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Korrespondenzsatz für Wegintegral ==== Der [[Korrespondenzsatz für Wegintegrale]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Integral mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math> und ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei Weg-Zeit-Risikointegralen. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3ymbhat1k6gwjgbzyh2vw4h7tijaff5 1114993 1114992 2026-10-01T07:36:51Z Bert Niehaus 20843 /* Korrespondenzsatz für Wegintegral */ 1114993 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> sich zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Korrespondenzsatz für Wegintegral ==== Der [[Korrespondenzsatz für Wegintegrale]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Wegintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math> und ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei Weg-Zeit-Risikointegralen, wenn <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]] ist. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rx1m1f5nj1m8kzt70mg0t9w3bcutgvd 1114994 1114993 2026-10-01T07:41:51Z Bert Niehaus 20843 /* Korrespondenzsatz für Wegintegral */ 1114994 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktiontheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> sich zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Korrespondenzsatz für Wegintegral ==== Der [[Integralkorrespondenzsatz|Integralkorrespondenzsatz für Wege]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Wegintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math> und ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei Weg-Zeit-Risikointegralen, wenn <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]] ist. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math>. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nn2byf5pqqzutlv5zvnot1gwylpypw0 106 167799 1115034 1068631 2026-10-01T08:58:08Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115034 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Lerneinheit gliedert sich in die folgenden Teile * Definition der Wegunabhängigkeit * Konstruktion eine geschlossenes Weg: * Integral über zwei Wege mit gleichem Anfangs und Endpunkt * Wegunabhängigkeit und Integral über geschlossene Weg === Ausgangssituation === Gegeben ist eine integrable Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, für die man jeweils die Eigenschaft der Wegunabhängigkeit für ein Gebiet <math>G</math> in der komplexen Ebene und die Integrale über geschlossene Wege betrachtet. == Definition - Wegunabhängigkeit == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine integrable Funktion auf <math>G</math> und seien <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G</math> und <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to G</math> zwei beliebige [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationswege]] in <math>G</math> mit gleichem Anfangspunkt <math>z_1 = \gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2)</math> und Endpunkt <math>z_2 = \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2)</math>. Wenn für alle <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> die folgende Eigenschaft :<math> \int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{\gamma_2} f(z) \, dz </math> gilt, nennt man das Integral über <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wegunabhängig. === Bemerkung - Wegunabhängigkeit === Die Wegunabhängigkeit ist eine Eigenschaft der Funktion <math>f: G \to \mathbb{C}</math>, die dazu führt, dass <math>f</math> eine Stammfunktion besitzt. == Satz - Wegunabhängigkeit == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine integrable Funktion auf <math>G</math>, dann sind folgende zwei Bedingungen äquivalent: * '''(WU1)''' das Integral über <math>f</math> ist wegunabhängig, * '''(WU2)''' für das Integral über einen beliebigen geschlossenen Weg gilt ::<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = 0 </math> == Beweis - Wegunabhängigkeit == Der Beweis ist eine Äquvalenzaussage und daher gliedert dieser sich in zwei Beweisteile: * '''Beweisteil 1:''' (WU1)<math>\Longrightarrow</math>(WU2) - Dabei wird die (WU2) gezeigt, indem man einen beliebigen geschlossenen Wege zerlegt, die den gleichen Anfangs- und Endpunkt haben. * '''Beweisteil 2:''' (WU2)<math>\Longrightarrow</math>(WU1) - In diesem Beweisteil werden zwei Wege zu einem geschlossenen Weg zusammengesetzt, um (WU2) darauf anzuwenden. === Beweisteil 1 === Gegeben ist (WU1), dass das Integral über <math>f</math> wegunabhängig ist. Seien nun <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G</math> und <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to G</math> zwei beliebige [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationswege]] in <math>G</math> mit gleichem Anfangspunkt <math>z_1 = \gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2)</math> und Endpunkt <math>z_2 = \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2)</math>, für die gilt: :<math> \int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{\gamma_2} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 1.1 - Definitionbereich der Wege ==== Falls <math>a_1\not=0</math> bzw. <math>a_2\not=0</math> wählt man als neuen Weg <math>\widehat{\gamma_i}(t):= \gamma_i(t+a_i)</math> und erhält einen Definitionsbereich <math>[0,c_i]</math> wobei <math>c_i=b_i-a_i</math>. Also kann man ohne Einschränkung für die [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationwege]] die folgenden Definitionsbereiche voraussetzen: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [0,c_1] & \rightarrow & G \\ \gamma_2 : & [0,c_2] & \rightarrow & G \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 1.2 - Parametertransformation ==== Mit den Parametertransformationen <math>\Phi_1(t)=t+a_1 </math> bzw. <math>\Phi_2(t)=t+a_2 </math>. und <math>\Phi_1'(t)=\Phi_2'(t)=1 </math> ändert sich bei Anwendung der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] der Wert des Wegintegrals nicht, denn mit gegebenen <math> \widetilde{\gamma_1} : [a_1,b_1] \rightarrow G </math> und <math> \widetilde{\gamma_2} : [a_2,b_2] \rightarrow G </math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{\gamma_k} : & [0,c_k] & \rightarrow & G \\ & t : &\mapsto & \gamma_k(t) = \widetilde{\gamma_k}(\Phi_k(t)) = \widetilde{\gamma_k}(t+a_k) \\ \end{array} </math>. ==== Beweisschritt 1.3 - Substitutionsregel ==== Die [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] liefert dann mit <math>\Phi_k'(t)=1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \int_{\gamma_k} f(z)\, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{c_k} f(\gamma_k(t)) \cdot \gamma_k{\,}\!\!'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{c_k} f(\widetilde{\gamma_k}(\Phi_k(t))) \cdot \widetilde{\gamma_k}'(\Phi_k(t)) \cdot \Phi_k'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{a_k}^{b_k} f(\widetilde{\gamma_k}(\widetilde{t}))) \cdot \widetilde{\gamma_k}'(\widetilde{t}) \, d\widetilde{t} = \int_{\widetilde{\gamma_k}} f(z)\, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 1.4 - Beliebiger geschlossener Weg ==== Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> eine beliebiger geschlossener Weg mit <math>c:=\frac{a+b}{2}</math> und man zerlegt den Weg <math>\gamma</math> in zwei Teilwege <math> \widetilde{\gamma_1} : [0,1] \rightarrow G </math> und <math> \widetilde{\gamma_2} : [0,1] \rightarrow G </math> mit <math>a_1=a</math>, <math>b_1=c=a_2</math> und <math>b_2=b</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widetilde{\gamma_k} : & [0,1] & \rightarrow & G \\ & t : &\mapsto & \widetilde{\gamma_k}(t) := \gamma\left((b_k-a_k) \cdot t +a_k\right) \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung 1.5 - Wegzerlegung ==== Die Wegzerlegung teilt den Parameterraum <math>[a,b]</math> durch Halbierung in zwei Teilintervalle <math>[a_1,b_1]:=[a,c]</math> und <math>[a_2,b_2]:=[c,b]</math>. Die Normalisierung des Parameterraumes auf <math>[0,1]</math> erleichtert die formale Darstellung der Umkehrung der Laufrichtung. ==== Beweisschritt 1.5 - Umkehrung der Laufrichtung ==== Wenn man die Laufrichtung der Integrale umkehrt, verändert sich das Vorzeichen des Integrals. Mit <math> \gamma_1(t) = \widetilde{\gamma_1}(t) </math> und <math> \gamma_2(t) = \widetilde{\gamma_2}(1-t) </math> erhält man über <math>\gamma_2{\,}\!\!'(t) = - \widetilde{\gamma_2}{\,}'(t)</math> die Gleichung: :<math> \int_{\gamma_2} f(z)\, dz = -\int_{0}^{1} f(\gamma_2(t)) \cdot \gamma_2{\,}\!\!'(t) \cdot (-1) \, dt = - \int_{\widetilde{\gamma_2}} f(z)\, dz </math> Mit der Kettenregel gilt <math> \gamma_2{\,}'(t) = \widetilde{\gamma_2}'(1-t) \cdot (-1)</math> und die [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] liefert die obige Gleichung. ==== Beweisschritt 1.6 - Anfangs- und Endpunkt ==== Die [[Integrationsweg|Integrationwege]] <math>\gamma_1 </math> und <math>\gamma_2</math> haben den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=\gamma(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(1)=\gamma_2(1)=\gamma(c)</math>. Nun kann man die Voraussetzung der Wegunabhängigkeit auf die beiden Wege <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> anwenden und erhält: :<math> \int_{\gamma_1} f(z)\, dz = \int_{\gamma_2} f(z)\, dz </math> ==== Beweisschritt 1.7 - Wegintegral über geschlossenen Weg ==== Nun kann man das Wegintegral über geschlossenen Weg berechnen: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{\gamma_1} f(z)\, dz - \int_{\gamma_2} f(z)\, dz = 0 </math> === Beweisteil 2 - (WU2) nach (WU1) === Als Voraussetzung (WU2) gilt nun, dass das Integral über einen beliebigen geschlossenen Weg <math>\gamma : [a,b] \to G</math> die folgende Eigenschaft erfüllt: ::<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = 0 </math> Es ist zu zeigen, dass für das gegebene <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die Wegunabhängigkeit gilt. ==== Beweisschritt 2.1 - Wahl der Wege mit gleichen Anfangs- und Endpunkt ==== Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die gegebene integrable Funktion auf <math>G</math>, die (WU2) erfüllt. Man wählt nun zwei beliebige [[Integrationsweg|Integrationswege]] <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G</math> und <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to G</math> in <math>G</math> mit gleichem Anfangspunkt <math>z_1 = \gamma_1(a_1) = \gamma_2(a_2)</math> und gleichem Endpunkt <math>z_2 = \gamma_1(b_1) = \gamma_2(b_2)</math>. Zu zeigen ist nun die folgende Eigenschaft: :<math> \int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{\gamma_2} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 2.2 - Umparametrisierung ==== In Analogie zum Beweisteil 1 sei nun ohne Einschränkung der Definitionsbereich beider Wege <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> das Intervall <math>[0,1]</math>. Falls der Parameterraum <math>[a_k,b_k]</math> diese Eigenschaft nicht hat, verwendet man die folgenden Parametertransformation mit [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]]: :<math> \begin{array}{rrcl} \Phi_k: & [a_k,b_k] & \rightarrow & [0,1] \\ & t & \mapsto & \Phi_k(t) = \frac{ t - a_k }{b_k - a_k } \\ \Phi_k^{-1}: & [0,1] & \rightarrow & [a_k,b_k] \\ & t & \mapsto & \Phi_k^{-1}(t) = (b_k- a_k) \cdot t + a_k \end{array} </math> mit <math>\Phi_k'(t) = \frac{ 1 }{b_k - a_k } </math> und <math>\Phi_k^{-1}{\,}\!'(t) = b_k - a_k </math>. ==== Beweisschritt 2.3 - Definition eines geschlossenen Weges ==== Man definiert nun einen geschlossenen Weg <math>\gamma = \gamma_1 - \gamma_2</math> für diesen Weg gilt: :<math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{\gamma_1} f(z) \, dz - \int_{\gamma_2} f(z) \, dz = 0 </math> Mit Beweisteil 1 folgt die Äquivalenz der Behauptung aus dem Satz über Wegunabhängigkeit. <math>\Box</math> === Zusammenfassung - Satz zur Wegunabhängigkeit === Insgesamt wurde gezeigt, dass die Bedingung <math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0 </math> für jeden geschlossenen Weg äquivalent zur Wegunabhängigkeit ist. Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird das für spezielle geschlossene Integrationsweg über den Rand eines Dreiecks untersucht. === Anmerkung - Holomorphie und Stammfunktionen === Eine äquivalente Bedingung für die Wegunabhängigkeit ist, dass die komplexe Funktion <math>f: G \to \mathbb{C} </math> analytisch ist und sich lokal in Potenzreihen entwickeln lässt auf <math>G</math>, die wiederum die Holomorphie liefern. Dabei existiert auf konvexen (oder sternförmigen) Gebieten für ein festes <math>z_o\in G</math> auch Stammfunktion <math>F_{z_o}(z):=\int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi</math> gibt, sodass <math>f(z) = F'(z)</math>. In diesem Fall ist der Weg <math>\langle z_o,z\rangle</math> eine [[Konvexkombination]]: :<math>\gamma(t) := \langle z_o,z\rangle(t) := (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3lfv26v0ydysxzstcsloexb3keaegi1 106 170112 1115053 1114092 2026-10-01T11:40:44Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115053 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{z}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert ist. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>). Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math> geben. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 85c57mdkj9erq2crinzzuelxn8an04q 0 170294 1115017 1078548 2026-10-01T08:34:38Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Kurs:Funktionentheorie/Kette]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Definition]] geändert 1115017 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Definition]] exf6o825mzyptdtxh2zqrxf2mdi0p7i 106 170330 1115055 1106307 2026-10-01T11:53:39Z Bert Niehaus 20843 /* Spur eines gesuchten Weges */ 1115055 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfeld]] in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. Numerische Berechnungen besitzen durch die Diskretisierung einen Fehler. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] ==== Bemerkung - Lösung von Differentialgleichungen ==== Wenn der Weg <math>\gamma</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Lösung einer Differentialleichung]] bestimmt werden kann, kann man die Spur des Weges <math>\gamma</math> ohne numerischen Näherung [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|plotten]]. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Plot des Weges für die Lösung ==== Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5ikh7pi700nzggjjr1dnn9slv1ykzvk 1115056 1115055 2026-10-01T11:58:59Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung von Vektorfelder */ 1115056 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfeld]] in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. <span id="Abbildung"></span> === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. Numerische Berechnungen besitzen durch die Diskretisierung einen Fehler. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] ==== Bemerkung - Lösung von Differentialgleichungen ==== Wenn der Weg <math>\gamma</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Lösung einer Differentialleichung]] bestimmt werden kann, kann man die Spur des Weges <math>\gamma</math> ohne numerischen Näherung [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|plotten]]. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Plot des Weges für die Lösung ==== Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fjz3qyk3fsnccg1spcx9xwbf7v75i1e 106 171941 1115054 1114535 2026-10-01T11:49:53Z Bert Niehaus 20843 /* Paramtrisch unbeschränkte Wege */ 1115054 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lerneinheit startet mit einem Beispiel für das Lösen einer [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]] mit <math>\gamma{\,}'(t)={\gamma(t)}^n</math> mit <math>n\in \mathbb{N}</math>, wobei der Weg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in dem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^n</math> gesucht ist, der für den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> die Gleichung <math>z_a= \gamma(a)</math> erfüllt. === Geometrische Grundidee === Ein Punkt <math>z_a \in G</math> wird in einem durch eine holomorphe Funktion <math>f: G\to\mathbb{C}</math> definierten [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] ausgesetzt. Die Ableitung <math>f{\,}'(z_a)</math> wird dabei als ein Kraftvektor interpretiert, der einen Punkt (Partikel) an der Stelle <math>z_a</math> in die Richtung <math>f{\,}'(z_a)</math> bewegt. Die geometrische Grundidee sucht also für beliebige Startpunkte <math>z_a </math> und einer gegebenen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f: G \to \mathbb{C}</math> nach dem Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math>, den ein Punkt <math>z_a = \gamma(a) \in G</math> in <math>G</math> beschreibt. === Veranschaulichung Vektorfeld === Die folgende Abbildung zeigt ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> aus der Gaußschen Zahlenbene. Der zugehörigen Funktionswert <math>f(z)= z^2</math> zum Argument <math>z\in G</math> wird als (grün markierter) Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] === Holomorphe Weg in Vektorfeldern === Wenn man versucht <math>\gamma{\,}'(t)=\gamma(t)^2</math> mit einem [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphen Weg]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> und <math>\gamma (a)=z_a</math> in einem [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^3</math> zu lösen, so stellt man fest, das nur <math>\gamma(t):= z_a</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> als konstanter Weg die Differentialgleichung löst. Daher geht man zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] <math>\gamma_{_U} : U \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma(t):=\gamma_{_U}(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math> über, die dann allerdings keine Pole auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzen darf. == Lösung der Differentialgleichung == Die Lösung der Differentialgleichung mit Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a \in \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_a} </math>. === Meromorphe Lösung === Damit ist <math>\gamma_{_G}</math> eine [[meromorphe Funktion]] auf <math>G:=\mathbb{C} \setminus\left\{ \tfrac{1+a}{z_a} \right\}</math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit Definitionsbereich <math>[a,b]</math> darf der Pol <math>t_o:=\tfrac{1+a}{z_a}</math> nicht im Definitionsbereich <math>[a,b]</math> des Weges <math>\gamma</math> liegen (d.h.<math>t_o \notin [a,b]</math>), da sonst <math>\gamma</math> an der Stelle <math>t_o=\tfrac{1+a}{z_a} \in [a,b]</math> nicht definiert ist. === Pol auf der Spur des Weges === Für <math>z_a:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>t_0:=\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math> und damit wäre der Weg an dieser Stelle <math>t_0</math> nicht definiert. === Lösungsweg für Differentialgleichungen === Über die Trennung der Variablen kann man die Differentialgleichung lösen: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2 </math> Man betrachtet dazu die folgende Gleichung nach Äquivalenzumformung: :<math> \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) = 1 \quad (\ast) </math>. Dabei ist es wesentlich, dass <math>\gamma(t)^2</math> bzw. <math>\gamma(t)</math> keine Nullstellen für <math>t\in [a,b]</math> besitzt. ==== Schritt 1: Trennung der Variablen ==== Durch Integration über die Gleichung <math>(\ast)</math> erhält man: :<math> \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt \quad (\ast\ast) </math> Auf der linken Seite der Gleichung erhält man die Defintion des [[Wegintegral|Wegintegrals]]. ==== Schritt 2: Definition des Wegintegrals ==== Die Integration der Gleichung <math>(\ast\ast)</math> liefert dann: :<math> \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = \int_a^b \frac{1}{\gamma(t)^2} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b 1 \, dt = b-a </math> Die Stammfunktion von <math> \widehat{f}(z)=z^{-2}</math> ist <math> \widehat{F}(z)=\tfrac{1}{-1}\cdot z^{-1} = -\tfrac{1}{z}</math>. ==== Schritt 3 - Berechnung des Wegintegrals über Stammfunktionen ==== Das Integral <math> \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz = \widehat{F}\big(\gamma(b)\big)- \widehat{F}\big(\gamma(a)\big)</math> kann über die Stammfunktion <math>\widehat{F}</math> berechnet werden. :<math> b-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(b)} + \frac{1}{\gamma(a)} </math> ==== Schritt 4 - Endpunkt des Wegintegrals als Variable ==== Man betrachtet nun das Wegintegral über das Intervall <math>[a,t]</math> mit <math>t > a</math> und erhält mit dem Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math>: :<math> t-a = \int_\gamma \frac{1}{z^2} \, dz = -\frac{1}{\gamma(t)} + \frac{1}{z_a} </math> ==== Schritt 5 - Berechnung des Weges ==== Man erhält den Weg <math>\gamma(t) =\tfrac{z_a}{1-z_a(t-a)}</math> über folgende Umformung: :<math> \begin{array}{rclc} - \frac{1}{z_a} + t-a & = & -\frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1}{z_a} - \frac{z_a(t-a)}{z_a} = & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \Longleftrightarrow \\ \frac{1-z_a(t-a)}{z_a} & = & \frac{1}{\gamma(t)} & \\ \end{array} </math> == Darstellung des Weges in Geogebra == Um die Spur des Weges in Geogebra zu zeichnen, zerlegt man <math>\gamma(t)=\gamma_1(t)+i\cdot \gamma_2(t)</math> in die Realteilfunktion <math>\gamma_1 : [a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>\gamma_2 : [a,b]\to \mathbb{R}</math>, um den Pfad in <math>\mathbb{R}^2</math> als Ortslinie zeichnen zu können. === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 1=== In der Definition der Lösung <math>\gamma(t)</math> muss man zunächst den Nenner reellwertig machen, um die Real- und Imaginärteilfunktion bestimmen zu können. Dies erfolgt über: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} = \frac{z_a\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot \overline{(1 - z_a \cdot (t-a))}} \\ & = & \frac{z_a\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))}{(1 - z_a \cdot (t-a))\cdot (1 - \overline{z_a} \cdot (t-a))} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{(1 - z_a \cdot (t-a) - \overline{z_a} \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 2=== Mit <math>\gamma(a)=z_a=z_{a,1}+i\cdot z_{a,2}</math> als Anfangswert des Weges erhält mit dem reellwertigen Nenner aus Schritt 1: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma(t) & = & \frac{z_a - |z_a|^2 \cdot (t-a)}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}} +i\cdot \overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{\underbrace{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2}_{\in\mathbb{R}}} \\ \end{array} </math> === Realteil- und Imaginärteilfunktion - Schritt 3=== Damit erhält man nun die Realteilfunktion <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> für den Anfangswert des Weges <math>z_a</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_1}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,1} - |z_a|^2 \cdot (t-a)}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \gamma_{_2}(t) & = & \frac{\overbrace{z_{a,2}}^{\in\mathbb{R}}}{1 - 2\cdot \mathfrak{Re}(z_a) \cdot (t-a) + |z_a|^2\cdot (t-a)^2} \\ \end{array} </math> === Aufgabe 1 - Plot des Weges === Plotten Sie nun den Weg durch Festlegung des Punktes <math>(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\in \mathbb{R}^2</math> in Abhängigkeit des Schiebereglers für <math>t\in [a,b]</math>. ==== Animation zur Aufgabe 1 ==== [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Anmerkungen zur Animation ==== Wenn <math> z_0 = 0\in \mathbb{C}</math> der Startpunkt des Weges <math>\gamma</math> ist, dann ist der Weg <math>\gamma(t)=0</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. An einer Stelle <math>\gamma(a)\notin \mathbb{R}</math>, ist liegt die Spur des Weges <math>\mathrm{Spur}(\gamma)</math> auf einem Kreis liegt. ==== Beweisaufgabe - Spur ==== Sei <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> ein Weg mit mit <math>\gamma(a)\notin \mathbb{R}</math> und <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))</math>. Zeigen Sie, dass die Spur des Weges <math> \gamma(a)\not= 0</math> Spur des Weges <math>\mathrm{Spur}(\gamma)</math> auf einem Kreis liegt. === Aufgabe 2 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie den Weg <math> \gamma</math> für ein Vektorfeld <math>f(z)=z^n</math> allgemein, das durch die meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist, die keine Nullstellen in dem Intervall <math>[a,b]\subset G</math> auf der reellen Achse besitzt. === Aufgabe 3 - Verallgemeinerung === Bestimmen Sie den Weg allgemein für ein Vektorfeld, das durch eine meromorphe Funktion <math>f:G\to\mathbb{R}</math> gegeben ist und <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt. Warum ist es wichtig für die Lösbarkeit der Differentialgleichung, dass <math>\gamma</math> keine Nullstellen auf dem Intervall <math>[a,b]</math> besitzt? == Parametrisch unendliche Wege == Im obigen Fall hat man lediglich den Startpunkt <math>z_a</math> vorgegeben und man sucht nach einem Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, der den Weg des Punktes <math>z_a</math> in dem durch die Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> definierten Vektorfeld beschreibt. Für die obere Intervallgrenze stellt sich prinzipiell die Frage, ob * <math>\gamma(t)</math> das Gebiet <math>G</math> "verlässt" oder * für beliebige <math>t\in [a,\infty)</math> bzw. sogar <math>t\in\mathbb{R}</math> der Bildpunkt <math>\gamma(t)</math> immer in <math>G</math> liegt. Diese Fragestellung führt zu [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|paramterisch unendlichen Wegen]]. === Obere Grenze und paramtrisch unbeschränkte Wege === Betrachtet man [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig|rechtsseitig paramterisch unendliche Wege]] der Form <math>\gamma : [a,+\infty)\to G</math>, so stellt sich ferner die Frage, ob ein solcher Weg <math>\gamma</math> existiert oder eine kleinste obere Schranke <math>b > a</math> bestimmt werden kann, wobei ein Randpunkt <math>z_b\in\partial G</math> existiert, bei der folgende Grenzwerteigenschaft erfüllt ist: :<math>\lim_{n\to\infty}\gamma\left(b-\tfrac{1}{n}\right) = z_b</math> Geometrisch bedeutet das, dass der Weg <math>\gamma</math> bei <math>b</math> den Definitionsbereich <math>G</math> der holorphen Funktion <math>G</math> verlässt. === Beispiel 1 - paramtrisch unbeschränkte Wege === In der Animation zu Aufgabe 1 kann man einen beidseitig parametrisch unbeschränkten Weg <math>\gamma : \mathbb{R}\to\mathbb{C}</math> angeben, für den <math>\gamma(a)=z_a\notin \mathbb{R}</math> eine Kreisbahn als Spur erzeugt für <math>f(z)=z^2</math> erzeugt, wobei man den Mittelpunkt des Kreises als Schnittpunkt * der [[orthogonalprojektion|Orthogonale]] zu <math>f{\,}'(z_a)</math> durch <math>z_a</math> * mit der imaginären Achse <math>\{iy \in \mathbb{C} \, : \, y\in \mathbb{R} \}</math> erhält. Die Frage, ob <math>\gamma(t)</math> für einen Wert <math>t\in \mathbb{R} </math> stellt sich in diesem vereinfachten Fall noch nicht, da <math>f(z)=z^n</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist. === Aufgabe 5 - Mittelpunkt der Kreisbahn === Bestimmen Sie für <math>z_a = 2+3i \notin \mathbb{R}</math> den Mittelpunkt des Kreises der <math>Spur(\gamma)</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. == Siehe auch == * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unbeschränkt|paramterisch unbeschränkte Wege]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] 6d46t3dt1ouvuakgciqpw9r6d7992wr 106 172585 1115004 1114536 2026-10-01T08:09:44Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115004 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für die Wegableitung Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> erfüllt folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] tnn63ztbqxb9cu35y85xp31ah5qotss 1115008 1115004 2026-10-01T08:16:06Z Bert Niehaus 20843 /* Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege */ 1115008 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für die Wegableitung Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> erfüllt folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] 9lb54c9xehlugryn8607a2kr274qiix 1115009 1115008 2026-10-01T08:16:51Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115009 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für die Wegableitung Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> erfüllt folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] 9jjwm7pxyq1raap65vo6dlohdp6ya8t 1115010 1115009 2026-10-01T08:17:14Z Bert Niehaus 20843 /* Kurse */ 1115010 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für die Wegableitung Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> erfüllt folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] a2mw7weu4sz38ue4x2eaccg07flzyo2 1115025 1115010 2026-10-01T08:48:20Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für die Wegableitung Spurpunkten */ 1115025 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für Wegableitung in Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> erfüllt folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] 6m5g5hyi5hltv9ic8iw1qq83m0g9ibd 1115026 1115025 2026-10-01T08:51:02Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 */ 1115026 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für Wegableitung in Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> erfüllt folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Aufgabe 3 == Warum kann die Funktion <math>g</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] besitzen? Begründen Sie Ihre Anwort == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] 9da4aqvhg71aqpruvv83dtojj6011gu 1115027 1115026 2026-10-01T08:51:48Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 3 */ 1115027 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für Wegableitung in Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> erfüllt folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Aufgabe 3 == Warum kann die Funktion <math>g</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] besitzen? Begründen Sie Ihre Anwort unter Verwendung der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math>. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] kfx4egmp38y09c06jhkzb1a8anj82rs 1115028 1115027 2026-10-01T08:53:33Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg */ 1115028 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für Wegableitung in Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> einen positiven Konvergenzradius und erfüllt zusätzlich folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Aufgabe 3 == Warum kann die Funktion <math>g</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] besitzen? Begründen Sie Ihre Anwort unter Verwendung der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math>. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] cuulmfvwoztzu9lnb3keeo77hefydnl 1115029 1115028 2026-10-01T08:54:11Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg */ 1115029 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für Wegableitung in Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> einen positiven [[Konvergenzradius]] und erfüllt zusätzlich folgende Abschätzung für den [[Konvergenzradius]]: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Aufgabe 3 == Warum kann die Funktion <math>g</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] besitzen? Begründen Sie Ihre Anwort unter Verwendung der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math>. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] 63qst9q2jvc4w8p949kiw33i9p8nqh0 1115030 1115029 2026-10-01T08:55:04Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg */ 1115030 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für Wegableitung in Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> einen positiven [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] und erfüllt zusätzlich folgende Abschätzung für den [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]]: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Aufgabe 3 == Warum kann die Funktion <math>g</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] besitzen? Begründen Sie Ihre Anwort unter Verwendung der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math>. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] gmhz31wvztkt9l9y591hnx0xh4840hi 1115031 1115030 2026-10-01T08:55:23Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115031 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit dem Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege erzeugt man in der komplexen Analysis einen Bezug zwischen '''Wegintegralen ohne Wegableitung''' und '''Wegintegralen mit Wegableitung''' hergestellt, bei denen man wieder die Werkzeuge für die Berechnung von Wegintegralen, Ketten von Wegen oder Zyklen bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] verwenden kann (wie z.B. dem [[Residuensatz]]). Dabei geht man von holomorphen Wegen <math>\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}</math> aus, wobei über eine [[holomorphe Funktion|holomorphe]] bzw. [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> integriert. Das Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege verbindet diese beiden Integrationen. === Konstruktiver Beweis === Der Beweis ist konstruktiv und zeigt, wie man für einen gegebenen Weg <math>\gamma</math> und eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math> eine Ersatzfunktion <math>\widehat{f\,}</math> findet, wobei man bei Integration über Ersatzfunktion wieder die zentralen Werkzeuge in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] anwenden kann. Die Ersatzfunktion <math> \widehat{f\,}(z)</math> ist auch bei einer [[holomorphe Funktion|holomorphen]] Ausgangsfunktion <math>f</math> eine [[meromorphe Funktion]]: :<math> \widehat{f\,}(z) = \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} </math> Kern des konstruktiven Beweises ist es, die Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> für einen gegeben holomorphen Weg mit der Funktion <math>g</math> zu lösen. <span id="holomorpherWeg"></span> == Definition - holomorpher Weg == Ein '''holomorpher Weg''' ist eine stetig differenzierbare Abbildung :<math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit der Eigenschaft, dass es eine offene Menge <math> U \subset \mathbb{C} </math> gibt, sodass * <math> [a,b] \subset U </math>, * und eine '''holomorphe Funktion''' <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math> existiert, * sodass <math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) </math> für alle <math> t \in [a,b] </math>. === Potenzreihendarstellung des Weges === Da <math> \gamma_{_U} </math> holomorph ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar (siehe [[Cauchy-Integralformel]]). Insbesondere gibt es als Konsequenz eine Darstellung als Potenzreihe für alle <math> t_0 \in [a,b]\subset G </math> und <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r_o > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math>. === Wegableitung === Für alle abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(t_0)}</math> konvergiert die Potenzreihe <math>\gamma_{_U}</math> auf <math>\overline{D_r(t_0)}</math> gleichmäßig mit <math>0 < r <r_0</math>. Daher kann man die Potenzreihe der Wegableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!'</math> summandenweise ableiten und man erhält folgende Darstellung: :<math> \gamma'(t) = {\gamma_{_U}}\!\!'(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Beispiele für holomorphe Wege === Fast alle verwendete stetig differenzierbaren Wege im [[Kurs:Funktionentheorie]] sind holomorphe Wege: * '''(Weg über Kreisrand)''' <math>\gamma_{1}(t)= z_o+r\cdot e^{it} = {z_0 +1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{i^n}{n}\cdot t^n </math> * '''(Weg über Ellipsenrand)''' <math>\gamma_{1}(t)=r_1\cdot \cos(t) + i\cdot r_2\cdot \sin(t)</math>, wobei <math>r_1,r_2 > 0</math> die Halbachsen der Ellipsen sind und Kosinus und Sinus ganze Funktionen sind, die sich jeweils in Potenzreihen entwickeln lassen. * '''(Weg als Konvexkombination )''' <math>\gamma_{3}(t) = \sum_{k=0}^n c_k\cdot (1-t)^{n-k}\cdot t^k</math>, wobei <math>c_0=\gamma_3(0)</math> der Anfangspunkt der Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> ist und <math>c_n=\gamma_3(1)</math> der Endpunkt. Die Punkte <math>c_1,\ldots , c_{n-1}</math> sind die Hilfspunkte der Konvexkombination, mit der man den Weg stetig differenzierbar deformieren kann (siehe auch [[Konvexkombination]] und [[w:de:Bersteinpolynom|Bersteinpolynom]]) == Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege == Sei <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], <math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein [[holomorpher Weg]] mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> und holomorpher Funktion <math>\gamma_{_G}</math> und <math> \gamma = \gamma_{_U}|_{[a,b]} </math> für eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U}: U \to \mathbb{C} </math>. Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann gibt es eine [[meromorphe Funktion]] <math>g:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math>, sodass folgende korrespondierende Integrale den gleichen Wert: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Bemerkung - korrespondierende Integrale === Das linke Integral über <math>f</math> kann durch das Korrespondenzlemma in ein Integral überführt werden, das über die Wegableitung <math> \gamma'(t) </math> enthält und die Anwendung von dem [[Residuensatz]] für [[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]] ermöglicht. Diese Bezüge zwischen beiden Integraltypen sind für die Berechnung von reellen [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en hilfreich, um reelle Integrale mit Resultaten aus der komplexen Analysis berechnen zu können (siehe [[Mathematische Modellbildung]]). == Beweis - IKL für holomorphe Wege == Der Beweis erfolgt in den folgenden Schritten: * Erweiterung des Integranden zu einer [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]], * Umformulierung der Aussage in eine [[w:de:Differentialgleichung|Differentialgleichung]], * Darstellung der Funktion <math>g</math> als [[Laurent-Reihe]] und Bestimmung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]]. <span id="Schritt1"></span> === Schritt 1 - Erweiterung des Integranden === Nach Voraussetzung, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Hat man diese meromorphe Funktion <math>g:G\to\mathbb{C}</math> gefunden, dann hätte man das Ausgangsintegral über <math>f</math> in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Schritt 2 - Formulierung als Differentialgleichung === Betrachtet man den Nenner auf der obigen Integralgleichung in Schritt 1, so sucht man nach einer Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math>, die folgende Eigenschaft für alle <math>t\in [a,b]</math> erfüllt: :<math> (g\circ \gamma)(t) = g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> Diese Funktion <math>g</math> wirkt wie ein Differentialoperator auf <math>\gamma</math>. <math>g</math> ist aber kein Differentialoperator, da diese Funktion <math>g</math> für unterschiedliche Wege <math>\gamma</math> unterschiedlich ist und als Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math> g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> bei gegebenem <math>\gamma</math> aufgefasst wird. === Schritt 3 - Ableitung der Differentialgleichung === Die Ableitung der Differentialgleichung lautet: :<math> (g\circ \gamma)'(t) = g'(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}''(t) </math> Damit lässt sich die Ableitung <math>g'</math> von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> wie folgt darstellen: :<math> g'(\gamma(t)) = \frac{\gamma{\,}''(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> Bei der Definition des Quotienten ist die Voraussetzung wesentllich, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. === Schritt 4 - höhere Ableitung der Differentialgleichung === Betrachtet man nun höhere Ableitung der Differentialgleichung geht wieder die Voraussetzung ein, dass <math>\gamma{\,}'(t)\not= 0</math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Man erhält dann für die <math>n</math>-te Ableitung von <math>g</math> in dem Punkt <math>\gamma(t)</math> die folgende Darstellung: :<math> (g\circ \gamma)^{(n)}(t) = g^{(n)}(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) = \gamma{\,}^{(n+1)}(t) </math> Analog zu Schritt 3 lassen sich so allgemein die Ableitungen von <math>g</math> in einem Punkt <math>z_o\in Spur(\gamma)</math> beschreiben: :<math> g^{(n)}(\gamma(t)) = \frac{\gamma^{(n+1)}(t)}{\gamma{\,}'(t)} </math> === Schritt 5 - Taylorreihe für g === Man betrachtet nun unter Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] von <math>g</math> in einem festen Spurpunkt <math>z_o:=\gamma(t_o)</math> mit <math>t_o \in [a,b]</math>. Dies lautet unter Anwendung der Cauchyintegralformel und der [[Potenzreihe|Potenzreihenentwicklung]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] mit <math>z = \gamma(t)\in D_\varepsilon(z_o)</math>: :<math> g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_o)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} (t-t_o)^n </math> === Schritt 6 - Darstellung des Weges als Potenzreihe === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, ist <math> \gamma </math> automatisch stetig differenzierbar, denn holomorphe Funktionen sind [[Holomorphie/Kriterien|beliebig oft differenzierbar]] und um jeden Punkt <math>z_o\in U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickelbar. Also gilt dies insbesondere für <math>t_0\in [a,b]\subset U </math> für alle <math>|t-t_0| < r</math>: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (t-t_0)^n </math> Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der darstellenden Potenzreihe für <math>\gamma_{_U}</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty c_n \cdot n\cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 7 - Taylorreihendarstellung in Spurpunkten === Da <math> \gamma_{_U} :U\to \mathbb{C}</math> ein [[holomorpher Weg]] ist und <math> [a,b] \subset U\subset \mathbb{C} </math> gilt, kann man nun auch <math> \gamma </math> in jedem <math>t_o\in [a,b] U</math> über [[Cauchy-Integralformel]] in eine [[Potenzreihe]] entwickeln. Diese lautet: :<math> \gamma(t) = \gamma_{_U}(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!} \cdot (t-z_0)^n </math> === Schritt 8 - Taylorreihendarstellung für Wegableitung in Spurpunkten === Dabei ist <math>r > 0 </math> der Konvergenzradius der Taylorreihe für <math>\gamma_{_U}</math> in <math>t_o\in [a,b]</math> und für die Ableitung erhält man: :<math> \gamma'(t) = {\gamma{\,}'\!\!_{_U}}(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n-1)!} \cdot (t-t_0)^{n-1}. </math> === Schritt 9 - Cauchy-Hadamard für g === Die darstellende Reihe für die gesuchte Lösung <math>g</math> der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> hat für alle <math>t_0\in [a,b] </math> und <math>z_0=\gamma(t_0)</math> folgenden Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_g & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{g^{(n)}(z_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 10 - Cauchy-Hadamard für den Weg === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> hat ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> einen positiven [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] und erfüllt zusätzlich folgende Abschätzung für den [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]]: :<math> \begin{array}{rcl} \rho_\gamma & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma^{(n)}(t_0)}{n!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ \end{array} </math> === Schritt 11 - Abschätzung für Cauchy-Hadamard === Die darstellende Reihe für den holomorphen Weg <math>\gamma</math> erfüllt ebenfalls für alle <math>t_0\in [a,b] </math> die folgende Abschätzung für den Konvergenzradius: :<math> \begin{array}{rcl} \underbrace{\gamma{\,}'(t_o)}_{ > 0 } \cdot \underbrace{\rho_\gamma }_{ > 0 } & = & \left( \frac{1}{\gamma{\,}'(t_o)} \cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!} \right|} \, \right)^{-1} \\ & = & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{(n+1)!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} \\ & \leq & \left(\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} \right|} \, \right)^{-1} = \rho_g \\ \end{array} </math> === Schritt 12 - Darstellende Potenzreihe für g === Damit lässt sich <math>g</math> in jedem Spurpunkt <math>z_0=\gamma(t_0) \in Spur(\gamma)</math> in einer Umgebung von <math>z_0</math> lokal in eine Potenzreihe entwickeln (siehe [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Beweis ist konstruktiv, da die Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>g</math> aus dem gegebenen holomorphen Weg <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> und den jeweiligen Potenzreihendarstellungen in den Entwicklungspunkten <math>t_0\in [a,b]</math> bestimmt wurden. Mit Schritt 11 wurde schließlich gezeigt, dass alle Taylorentwicklungen für <math>g</math> einen positiven Konvergenzradius <math>\rho_g\geq \rho_\gamma \cdot \gamma{\,}'(t_0) > 0</math> besitzen. <math>\quad \Box</math> == Bell-Polynome - Verkettung von Potenzreihen == Bell-Polynome sind Kontext des Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Wege wesentlich, um die Verkettung von zwei Potenzreihendarstellung für <math>g</math> und eine holomorphen Weg <math>\gamma</math> zu beschreiben. Diese Anforderung ergibt sich aus der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t) </math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Auf der linke Seite der Gleichung steht ein Term, der als Verkettung von zwei darstellenden Potenzreihen aufgefasst werden kann. === Bell-Polynome und Koeffizienten einer Potenzreihen === Die folgenden [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynome]] (nach [[w:de:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]]) hat die folgende Definition von [[w:de:Polynom|Polynomen]]: :<math>B_{n,k} (x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) =\sum\frac{n!}{j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left(\frac{x_1}{1!}\right)^{j_1} \left(\frac{x_2}{2!}\right)^{j_2} \cdots \left(\frac{x_{n-k+1}}{(n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} </math> , wobei die Summe über alle Sequenzen <math>j_1, j_2, \dots , j_{n-k+1}</math> von nicht-negativen ganzen Zahlen <math>j_i </math> gebildet wird, so dass :<math>j_1+j_2+j_3+\cdots = k </math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; und &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math> 1\,j_1\;+\;2\,j_2\;+\;3\,j_3\;+\cdots=n </math> . Das Bell-Polynom <math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math> ist ein [[w:de:Polynom#Polynome in mehreren Unbestimmten|Polynom]] in den Variablen <math>x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}</math>. Seine Koeffizienten sind [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahlen]]. === Ableitungen für Taylorkoeffizienten für Potenzreihen === Die [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] wird nun mit [[w:de:Bell-Polynom|Bell-Polynomen]] verwendet, um Ableitungen von [[Taylorreihe|Taylordarstellungen]] wie folgt ausdrückt werden: :<math>{d^n \over dx^n} g(\gamma(t)) = \sum_{k=0}^n g^{(k)}(\gamma(t)) \cdot B_{n,k}\left(\gamma{\,}'(t),\gamma{\,}''(t),\dots,\gamma^{(n-k+1)}(t)\right).</math> === Potenzreihe für Verkettung von Potenzreihen === Für die Verkettung von zwei Funktionen lässt sich nun eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihen]]-Version der Formel von [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Faà di Bruno]] aufstellen. Mit <math>t\in[a,b]</math> und <math>z_0 := \gamma(t_0)</math> erhält man: :<math>g(z)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} (z-z_0)^n \qquad \mathrm{und} \qquad \gamma(t)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} (t-t_0)^n.</math> Dann erhält man für alle <math>z\in U</math> eine Potenzreihe der Verkettung :<math>g(\gamma(t)) = \sum_{n=1}^\infty \underbrace{ {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} }_{=\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)}} \cdot (t-t_0)^n.</math> === Identitätssatz - Vergleich von Potenzreihendarstellungen === In der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math> stehen auf beiden Gleichungsseiten Potenzreihen, die auf einer nicht-diskreten Menge <math>[a,b]</math> übereinstimmen. Daher ist nach dem [[Identitätssatz]] die Potenzreihendarstellung für beide Gleichungsseiten auch auf dem Gebiet <math>U</math> identisch. Dabei betrachtet man eigentlich die holomorphen Erweiterung von <math>\gamma</math> auf <math>\gamma_{_U}</math> für ein Gebiet <math>U</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> und <math>\gamma_{_U}(t) = \gamma(t)</math> für alle <math>t\in [a,b]</math>. Ferner muss man für <math>g:G\to \mathbb{C}</math> für die Verkettung verlangen, dass <math>\gamma_{_U}(U)\subset G</math> gilt. Die eigentlich Differentialgleichung lautet dann alle <math>z\in U</math>: :<math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> === Identitätssatz - Koeffizientenvergleich === Über den Koeffizientenvergleich erhält man: :<math> {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{n!\cdot \gamma{\,}'(t_o)} </math> bzw. durch Multiplikation der Gleichung mit <math>n!</math> den Zusammenhang mit den Bell-Polynomen: :<math> \sum_{k=1}^{n} b_k \cdot B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) =\frac{\gamma(t_o)^{(n+1)}(t_0)}{\gamma{\,}'(t_o)} </math> === Interpretation der Differentialgleichung === Die Gleichung <math>g(\gamma_{_U}(z)) = {\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> besagt, dass die Funktionswerte von <math> g </math> an jeder Stelle <math>w\in U</math> auf die Ableitung <math>{\gamma_{_U}}\!\!\!'(z)</math> abgebildet wird. Das heißt insbesondere, dass <math>g</math> entlang des Weges <math> \gamma </math> bzw. auf der <math>Spur(\gamma)</math> über <math>g</math> dem Punkt <math>w=\gamma(t)</math> auf die Richtungsableitung des Weges <math>\gamma{\,}'(t)\in \mathbb{C}</math> an der Stelle <math>w\in G</math> zuordnet. == Aufgabe 1 == Berechnen Sie die Potenzreihe für <math>g</math> bei einem Weg <math>\gamma{\,}'(t)=(t-1)\cdot (t-i)\cdot (t-5)</math>. * Wählen Sie einen Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math>, wobei <math>\gamma{\,}'</math> die obige Darstellung besitzt. * Bestimmen Sie zusätzlich die Eigenschaften für mögliche Intervalle <math>[a,b]</math>, damit Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege für holomorphe Weg verwendet werden können. == Aufgabe 2 == Wählen Sie als holomorphe Funktion <math>f(z):=\cos(z)</math> für die in [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege#Schritt1|Schritt 1]] dargestellt Erweiterung des Integranden. * Erzeugen Sie dann einen Weg <math>\gamma_\circ</math> als Konvexkombination 3. Ordnung, der einen geschlossenen Weg darstellt (d.h. <math>\gamma_\circ(a)= \gamma_\circ(b)</math> ). * Berechnen Sie das Integral über den geschlossenen Weg <math>\gamma_\circ</math> mit dem [[Residuensatz]]. == Aufgabe 3 == Warum kann die Funktion <math>g</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten]] besitzen? Begründen Sie Ihre Anwort unter Verwendung der Differentialgleichung <math>g(\gamma(t)) = \gamma{\,}'(t)</math>. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] feat1s95l1ra24rouend15a038h0ufi 0 172696 1115000 1114876 2026-10-01T07:56:43Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115000 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der polynomiale Nullstellensatz erweitert den [[Satz von Liouville]] in Bezug auf die Existenz von Nullstellen in Polynomen. === Anwendung des polynomialen Nullstellensatzes === Der polynomiale Nullstellensatz wird für den [[Integralkorrespondenzsatz]] für Wege benötigt, damit auf den [[Integrationsweg|Integrationswegen]] über eine [[meromorphe Funktion]] keine Singulariäten auf dem verwendeten Integrationsweg liegen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiv|rekursiver Logarithmus]] reclb3414rfeutw828fgccy2r550sss 1115001 1115000 2026-10-01T07:57:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115001 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der polynomiale Nullstellensatz erweitert den [[Satz von Liouville]] in Bezug auf die Existenz von Nullstellen in Polynomen. === Anwendung des polynomialen Nullstellensatzes === Der polynomiale Nullstellensatz wird für den [[Integralkorrespondenzsatz]] für Wege benötigt, damit auf den [[Integrationsweg|Integrationswegen]] über eine [[meromorphe Funktion]] keine Singulariäten auf dem verwendeten Integrationsweg liegen. == Siehe auch == * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Integrationsweg|Integrationswegen]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/rekursiv|rekursiver Logarithmus]] * [[Wegintegral]] 75z28gdhcuwg9uzexlkeat41axfjf41 0 172707 1114985 2026-10-01T07:22:35Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Dichte]] erstellt 1114985 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Dichte]] 460jbo2k9wr68bkmj5nnvijptmv2qe0 106 172708 1114995 2026-10-01T07:49:52Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1114995 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D} = f_\mathbb{D}</math>. nzm9lzorbhwaku6jg0hjh64ax08o7g5 1114996 1114995 2026-10-01T07:51:18Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1114996 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_\mathbb{D}</math>. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorophiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Wegintegral]] a3aoc7s2vx33z0wcfbdesxus4nzw8hu 1114997 1114996 2026-10-01T07:51:31Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1114997 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_\mathbb{D}</math>. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Wegintegral]] a81o1989tni6v68dec2d4azd9xq3x7h 1114998 1114997 2026-10-01T07:52:04Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1114998 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Wegintegral]] iyg0cysdq958mlqav4qx2c0tcs70jwc 1114999 1114998 2026-10-01T07:52:34Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1114999 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] tt0po9vf61rhjomyxbzvu4uy728iape 1115003 1114999 2026-10-01T08:08:05Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115003 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein wegunabhängiger Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) Wegintegral. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] jek2xi0gj324684lqih2gsfgbtuh2xb 1115005 1115003 2026-10-01T08:10:30Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation */ 1115005 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein wegunabhängiger Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) Wegintegral. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem == Siehe auch == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] 8layd3483b4an6proqh6z0xmv01lhkj 1115006 1115005 2026-10-01T08:10:58Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115006 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein wegunabhängiger Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) Wegintegral. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem == Siehe auch == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] il10e1l4vybvdqt5ofefg37kdkuoi9k 1115007 1115006 2026-10-01T08:12:25Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115007 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein wegunabhängiger Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) Wegintegral. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem == Siehe auch == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] ce8ayyo947hs49073cckictb0l09isk 1115014 1115007 2026-10-01T08:33:00Z Bert Niehaus 20843 /* Integralkorrespondenzlemma */ 1115014 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein wegunabhängiger Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) Wegintegral. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] 40shgsyy3q7maxz63d6rj1x4r0y0bie 1115019 1115014 2026-10-01T08:41:42Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung des Residuensatzes */ 1115019 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein wegunabhängiger Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) Wegintegral. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch Taylorpolynome auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] 6wpvzdgk2agb3u8br7m77zlm3vjc2z6 1115020 1115019 2026-10-01T08:43:16Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation */ 1115020 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) [[Wegintegral]]. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch Taylorpolynome auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] n8wvcue98qwjcpy58n2q6v2wctrpd1d 1115022 1115020 2026-10-01T08:44:52Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomialer Nullstellensatz */ 1115022 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) [[Wegintegral]]. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] ocsp0schf8444yg8j68fhgmppc50g92 1115023 1115022 2026-10-01T08:45:34Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115023 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) [[Wegintegral]]. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylor-Polynom|Taylor-Polynome]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] r32h6gqp2621p30376ixn35je5waw7s 1115024 1115023 2026-10-01T08:46:46Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115024 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) [[Wegintegral]]. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] q8h80ec37vm1azg1jc5ms26pdkwje7r 1115032 1115024 2026-10-01T08:55:57Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115032 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) [[Wegintegral]]. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] kc1hdyvwt9363z6ol2ds27cxw2lw087 1115035 1115032 2026-10-01T08:58:45Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115035 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung für das (i.d.R. reelle) [[Wegintegral]]. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] 3t9wqb99v0uljeplvdnnuq2zdrrj903 1115036 1115035 2026-10-01T09:07:19Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation */ 1115036 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] ee5i11jjvrmbvokvmpgh59yr8mb1t91 1115037 1115036 2026-10-01T09:08:08Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115037 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] r1ix804tt5nxi8h4sy2wzntsyzyklo1 1115038 1115037 2026-10-01T09:08:29Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115038 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] g2oxk790rx9418y8eqrvg0pk29qb4we 1115040 1115038 2026-10-01T09:16:33Z Bert Niehaus 20843 /* Integralkorrespondenzsatz */ 1115040 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz == Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> eine Kette <math>\Gamma</math> von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> und <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]]. Die Integration über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] <math>\Gamma := \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> in <math>G</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: :<math> \sum_{i=1}^n n_i\cdot \int_{a_i}^{b_i} f(\gamma_i(t)) \, dt = </math> == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] begrsfp7j1p42uh7rvroqcylt1bmwli 1115041 1115040 2026-10-01T09:22:59Z Bert Niehaus 20843 /* Integralkorrespondenzsatz */ 1115041 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz == Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> eine Kette <math>\Gamma</math> von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> und <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]]. Die Integration über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] <math>\Gamma := \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> in <math>G</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: :<math> \sum_{i=1}^n n_i\cdot \int_{a_i}^{b_i} f(\gamma_i(t)) \, dt = </math> === Bemerkung - Weg-Zeit-Risikointegral === Im Integralkorrespondenzsatz seht auf linken ein Integrationsterm, der sich Ansammlung von zu berechnenden [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] zusammensetzt (z.B. mehrere Rettungsaktionen über die Wege <math>\gamma_i</math>). :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} </math> Auf der rechten Seite steht dann ein Integrationsterm, der sich über die Anwendung des [[Residuensatz|Residuensatzes]] und dem [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] ergibt. == Beweis - IKS == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] oqzq2lpv5ggk0xez9so64d1izhznb7n 1115042 1115041 2026-10-01T09:23:56Z Bert Niehaus 20843 /* Integralkorrespondenzsatz */ 1115042 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz - IKS== Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> eine Kette <math>\Gamma</math> von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> und <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]]. Die Integration über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] <math>\Gamma := \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> in <math>G</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: :<math> \sum_{i=1}^n n_i\cdot \int_{a_i}^{b_i} f(\gamma_i(t)) \, dt = </math> === Bemerkung - Weg-Zeit-Risikointegral === Im Integralkorrespondenzsatz seht auf linken ein Integrationsterm, der sich Ansammlung von zu berechnenden [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] zusammensetzt (z.B. mehrere Rettungsaktionen über die Wege <math>\gamma_i</math>). :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} </math> Auf der rechten Seite steht dann ein Integrationsterm, der sich über die Anwendung des [[Residuensatz|Residuensatzes]] und dem [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] ergibt. == Beweis - IKS == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] 83gejxuklrh8h5g4zozcjsxkdsiwypd 1115043 1115042 2026-10-01T09:25:29Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Weg-Zeit-Risikointegral */ 1115043 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> im [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz - IKS== Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> eine Kette <math>\Gamma</math> von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> und <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]]. Die Integration über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] <math>\Gamma := \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> in <math>G</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: :<math> \sum_{i=1}^n n_i\cdot \int_{a_i}^{b_i} f(\gamma_i(t)) \, dt = </math> === Bemerkung - Weg-Zeit-Risikointegral === Im Integralkorrespondenzsatz seht auf linken ein Integrationsterm, der man als Zusammenfassung von zu berechnenden [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] auffassen kann (z.B. mehrere Rettungsaktionen über die Wege <math>\gamma_i</math>). :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} </math> Auf der rechten Seite steht dann ein Integrationsterm, der sich über die Anwendung des [[Residuensatz|Residuensatzes]] und dem [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] ergibt. == Beweis - IKS == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] jbmfpc02ylpdzwjoda3p49y2b9y25ka 1115050 1115043 2026-10-01T11:35:45Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115050 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktionen]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen Grundraum an Wegen, bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglich klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz - IKS== Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> eine Kette <math>\Gamma</math> von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> und <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]]. Die Integration über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] <math>\Gamma := \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> in <math>G</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: :<math> \sum_{i=1}^n n_i\cdot \int_{a_i}^{b_i} f(\gamma_i(t)) \, dt = </math> === Bemerkung - Weg-Zeit-Risikointegral === Im Integralkorrespondenzsatz seht auf linken ein Integrationsterm, der man als Zusammenfassung von zu berechnenden [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] auffassen kann (z.B. mehrere Rettungsaktionen über die Wege <math>\gamma_i</math>). :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} </math> Auf der rechten Seite steht dann ein Integrationsterm, der sich über die Anwendung des [[Residuensatz|Residuensatzes]] und dem [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] ergibt. == Beweis - IKS == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] qwrpe0giccc55sotr2hd02weqxsiegj 1115051 1115050 2026-10-01T11:37:20Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation */ 1115051 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktionen]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen [[Funktionenraum]] von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]], bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglichst klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten ein möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg, mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz - IKS== Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> eine Kette <math>\Gamma</math> von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> und <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]]. Die Integration über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] <math>\Gamma := \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> in <math>G</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: :<math> \sum_{i=1}^n n_i\cdot \int_{a_i}^{b_i} f(\gamma_i(t)) \, dt = </math> === Bemerkung - Weg-Zeit-Risikointegral === Im Integralkorrespondenzsatz seht auf linken ein Integrationsterm, der man als Zusammenfassung von zu berechnenden [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] auffassen kann (z.B. mehrere Rettungsaktionen über die Wege <math>\gamma_i</math>). :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} </math> Auf der rechten Seite steht dann ein Integrationsterm, der sich über die Anwendung des [[Residuensatz|Residuensatzes]] und dem [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] ergibt. == Beweis - IKS == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] h9nwn8r55kfu2uioar8c1urjbysajla 1115052 1115051 2026-10-01T11:38:43Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation */ 1115052 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Motivation für die Behandlung des Integralkorrespondenzsatz für Wege in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liegt in der Berechenbarkeit von Wegintegralen ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei [[Weg-Zeit-Risikointegral]]en über Wegintegrale mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math>, so wie diese bei [[meromorphe Funktion|meromorphen Funktionen]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandeln wurden. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches <math>\mathbb{D}\subset \mathbb{D}</math> von <math>f_{_\mathbb{R}}</math> auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math> für eine meromorphe Funktion <math>f</math> mit <math>f|_{\mathbb{D}} = f_{_\mathbb{R}}</math>. === Motivation === Die Motivation der Behandlung von [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] ist die Optimierung über einen [[Funktionenraum]] von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]], bei dem man nach Wegen aus dem Grundraum sucht, bei dem das Risiko über das Wegintegral ausgedrückt wird und der Weg nach Möglichkeit so ausgewählt wird, dass das Risiko möglichst klein wird. Im Anwendungsfall wäre das ein havariertes Kernkraftwerk, das schädliche radioaktive Strahlung aussendet. Dann muss man einen Weg von Punkt <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wählen, um Personen von Punkt <math>v_1</math> zu evakuieren und damit bei dieser Rettungsaktion für die Beteiligten eine möglichst geringe Strahlenexposition zu ermöglichen. Der kürzeste Weg <math>\gamma_0</math> direkt am Kernkraftwerk vorbei ist dann nicht notwendigerweise der Weg mit der geringste Strahlungsexposition für das Rettungsteam. Ein [[Wegunabhängigkeit für Integrale|wegunabhängiger]] Integralbegriff ermöglicht keine Optimierung über eine Grundgesamtheit an Wegen. === Reellwertige Funktionen und komplexe Analysis === Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von reellen Integralen über Werkzeuge, die in der komplexen Analysis zur Verfügung stehen. Im Anwendungsfall beschäftigt man sich i.d.R. reellwertigen [[Wegintegral]]. Wenn die Grundmenge der Wege aus [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] besteht (z.B. [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>), so kann man diese als Wege im <math>\mathbb{R}^2</math> interpretieren und so Werkzeuge aus der komplexen Analysis anwenden. === Integralkorrespondenzlemma === Bei dem vorbereitenden Integralkorrespondenzlemma hat man zwei [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] <math> U,G \subset \mathbb{C} </math> und einen [[holomorpher Weg]] <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gegeben. Für die Integration über eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ersetzt man das Integral durch ein Wegintegral über eine [[meromorphe Funktion]] <math>\widehat{f}:G\to\mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{f}:=\tfrac{f}{g}</math> durch die Bestimmung der holomorphen Funktion <math>g</math>, wobei die korrespondierenden Integrale den gleichen Wert besitzen: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_\gamma \widehat{f}(z) \,dz = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma'(t)\,dt </math> === Anwendung des Residuensatzes === Bei Integralkorrespondenzsatz können nun die Resultate des Residuensatzes angewendet werden, die im ersten Teil der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] noch nicht verfügbar waren. Als Erweiterung von des [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege|Integralkorrespondenzlemmas für holomorphe Weg]] kann man nun nicht nur für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math>, sondern auch für [[Zyklus|Zyklen]] und [[Kette (Mathematik)|Ketten von Wegen]] === Polynomialer Nullstellensatz === Wenn Funktionen näherungsweise durch [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynome]] auf Kreissscheiben approximiert werden, ist notwendig, die Nullstellen von einer Funktion <math>g</math> zu kennen, wenn diese als Nenner in einer meromorphen Funktion <math>\widehat{f\,}=\tfrac{f}{g}</math> auftritt, denn diese sind dann die Singularitäten der Funktion <math>\widehat{f\,}</math>. Ein Integral über Integrationsweg <math>\gamma</math> ist aber nur dann definiert, wenn keine Singularitäten auf dem Integationsweg liegen (siehe allgemeine [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]]) == Integralkorrespondenzsatz - IKS== Sei <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> eine Kette <math>\Gamma</math> von [[holomorpher Weg|holomorphen Wegen]] <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> und <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]]. Die Integration über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] <math>\Gamma := \sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> in <math>G</math> lässt sich dann wie folgt berechnen: :<math> \sum_{i=1}^n n_i\cdot \int_{a_i}^{b_i} f(\gamma_i(t)) \, dt = </math> === Bemerkung - Weg-Zeit-Risikointegral === Im Integralkorrespondenzsatz seht auf linken ein Integrationsterm, der man als Zusammenfassung von zu berechnenden [[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegralen]] auffassen kann (z.B. mehrere Rettungsaktionen über die Wege <math>\gamma_i</math>). :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} </math> Auf der rechten Seite steht dann ein Integrationsterm, der sich über die Anwendung des [[Residuensatz|Residuensatzes]] und dem [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] ergibt. == Beweis - IKS == == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integralkorrespondenzlemma für holomorphe Wege]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Residuensatz]] * [[w:de:Taylorpolynom|Taylorpolynom]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung|Wegintegral ohne Wegableitung]] * [[Wegintegral]] * [[Weg-Zeit-Risikointegral]] mz3l4mbk8082ykk5jfkg454nr06rjk6 0 172709 1115002 2026-10-01T07:58:13Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzsatz]] erstellt 1115002 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Integralkorrespondenzsatz]] qnkk4ttivrv5xfds99l5xewtv0haswt 0 172710 1115021 2026-10-01T08:43:58Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen]] erstellt 1115021 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Integralformel_von_Cauchy#CIF4Zyklen]] il7xz55ge4ovbt9s5n9wtwrgnm8ejz5 0 172711 1115033 2026-10-01T08:57:09Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit]] erstellt 1115033 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit]] c9x1cpvh9p9vppkci9jdnoahpqvu2hc 0 172712 1115046 2026-10-01T11:32:19Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115046 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Funktionenräume <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eingführt und betrachtet, welche Eigenschaften dieser Funktionenraum besitzt, wenn der Definitionsbereich <math> X </math> und Wertebereich <math> Y </math> topologische Räume. Abschließend wird noch eine multiplikative Verknüpfung einführend auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> betrachtet, wodurch der Funktionenraum zu einer [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] wird. == Definition - Funktionenraum == Seien <math> X </math> und <math> Y </math> zwei beliebige Mengen. Der '''Funktionenraum''' von <math> X </math> nach <math> Y </math> ist die Menge aller Funktionen von <math> X </math> nach <math> Y </math>: :<math> \mathcal{F}(X, Y) := \{ f \mid f: X \to Y \text{ Funktion} \} </math> Dieser Raum enthält alle möglichen Abbildungen von <math> X </math> in <math> Y </math>, unabhängig von zusätzlichen Strukturen. === Beispiele für Funktionenräume === Sei <math> X = \mathbb{R} </math>, <math> Y = \mathbb{R} </math>. Dann ist <math> \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) </math> die Menge aller reellen Funktionen auf <math> \mathbb{R} </math>. Dieser Raum enthält u.a. alle Polynome bzw. allgemeiner alle differzierbaren, alle stetige Funktionen, alle integrierbaren Funktionen, aber Funktionen, die nicht integrabel bzw. messbar sind. == Funktionenraum zwischen topologischen Räumen == Wenn der Definitionsbereich <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und der Wertebereich <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> jeweils ein topologischer Raum ist, kann man erst Konvergenz in beiden Räumen sprechen und damit auch erst funktionale Eigenschaften (wie z.B. die [[Stetigkeit]]) untersuchen. Dabei sind * <math> X </math> und <math> Y </math> nicht-leere Menge und * <math> \mathcal{T\!}_X \subseteq \mathcal{P}(X) </math> und <math> \mathcal{T\!\!}_Y \subseteq \mathcal{P}(Y) </math> Mengensystem, die als Topologie das System aller offenen Mengen festlegt. === Definition - Raum der stetigen Funktionen === Wenn <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> [[Normen, Metriken, Topologie|topologische Räume]] sind, ist der Funktionenraum <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> als Menge aller '''stetigen Funktionen''' von <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> nach <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> ein Teilraum von <math>\mathcal{F}(X, Y) </math>: :<math> \mathcal{C}(X, Y) := \{ f \in \mathcal{F}(X, Y) \mid f \text{ stetig} \} </math> ==== Bemerkung - Stetigkeit ==== Eine Funktion <math> f: X \to Y </math> ist stetig, wenn für jede offene Menge <math> U \in \mathcal{T\!}_Y </math> das Urbild <math> f^{-1}(U) \in \mathcal{T\!\!}_X </math> ebenfalls eine offene Menge in <math>Y</math> ist (siehe auch [[Stetigkeit]] und [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]]). === Funktionenraum als topologischer Vektorraum === Wenn <math> Y </math> zusätzlich zu der '''topologischen Struktur''' noch eine [[w:de:Vektorraum|Vektorraumstruktur]] besitzt (z.B. sogar ein [[topologischer Vektorraum]] ist mit stetigen Verknüpfungen), kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> bzw. <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> wird der Funktionenraum mit Topologie selbst zu einem Vektorraum. Damit ist noch nicht gesagt, dass die additive Verknüpfung <math>f+g</math> und <math>\lambda \cdot f</math> selbst stetige Abbildungen sind. Erst die Eigenschaft, dass <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> ein [[topologischer Vektorraum]] ist, sicher auch die [[Stetigkeit]] der algebraischen Verknüpfungen auf dem Funktionenraum. === Reellwertiger Funktionenraum === Ein klassisches Beispiel ist die '''Topologie der punktweisen Konvergenz''' auf der Menge aller Funktionen <math> \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) </math> von <math>\mathbb{R} </math> nach <math>\mathbb{R} </math>. Dieser Raum ist mit dem Halbnormen <math>\|\cdot \|_x : \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}_0^+</math> mit <math>x\in\mathbb{R}</math> als [[lokalkonvex|lokalkonvexer Raum]] ein topologischer Vektorraum: :<math> \|f\|_x := |f(x)| </math> ==== Topologie der punktweisen Konvergenz ==== Seien <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> topologische Räume. Die '''Topologie der punktweisen Konvergenz''' auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ist die kleinste Topologie, sodass für jedes <math> x \in X </math> die Auswertungsabbildung :<math> \text{ev}_x: \mathcal{F}(X, Y) \to Y, \quad f \mapsto f(x) </math> stetig ist. === Verknüpfungen im Funktionenraum als Vektorraum === Sei <math> Y </math> ein '''Vektorraum''' über einem Körper <math> \mathbb{K} </math> (z. B. <math> \mathbb{R} </math> oder <math> \mathbb{C} </math>). Dann kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eine '''Vektorraumstruktur''' definieren: ==== Vektorraumoperationen auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ==== Für <math> f, g \in \mathcal{F}(X, Y) </math> und <math> \lambda \in \mathbb{K} </math> definiert man die Vektoraumverknüpfungen <math>\oplus</math> und <math>\odot</math> punktweise über die Verknüpfungen in <math>Y</math>: * '''Punktweise Addition:''' ::<math> (f \oplus g)(x) := f(x) + g(x), \quad \forall x \in X </math> * '''Punktweise Skalarmultiplikation:''' ::<math> (\lambda \odot f)(x) := \lambda \cdot f(x), \quad \forall x \in X </math> === Aufgabe für Studierende === * Wie erhält man das neutrale Element der Addition im Funktionenraum? * Überprüfen Sie die Gültigkeit der Vektorraumaxiome auf <math>\mathcal{F}(X, Y)</math>! ==== Hinweis ==== Da <math> Y </math> ein Vektorraum ist, sind die Verknüpfungen in <math> Y </math> assoziativ, kommutativ, es gibt eine Nullvektor und zu jedem Element <math>y\in Y</math> ein inverses Element <math>y^-</math> und verwenden Sie die Eigenschaften Skalarmultiplikation in <math>Y</math> für die Gültigkeit der Axiome in <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. === Topologischer Vektorraum - punktweise Konvergenz=== Nun sei <math> Y </math> nicht nur ein Vektorraum, sondern ein [[topologischer Vektorraum]], d. h. dass die folgenden Vektorraumverknüpfungen stetig sind: * Die Addition <math> +: Y \times Y \to Y </math> stetig ist, * Die Skalarmultiplikation <math> \cdot: \mathbb{K} \times Y \to Y </math> stetig ist. ==== Beispielfunktionenraum als topologischer Vektorraum ==== Nun wird der Funktionenraum <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> selbst mit eine Topologie versehen, damit die Vektorraumoperationen nun auch auf dem Funktionenraum stetig sind. ==== Topologie der punktweisen Konvergenz ==== Die Topologie der punktweisen Konvergenz macht <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> zu einem topologischen Vektorraum, damit die Vektorraumverknüpfungen stetig sind: * Die Addition <math> +: \mathcal{F}(X, Y) \times \mathcal{F}(X, Y) \to \mathcal{F}(X, Y) </math> ist stetig, weil für jedes <math> x \in X </math> die Abbildung ::<math> \oplus : (f, g) \mapsto f(x) + g(x) </math> : stetig ist (da <math> +: Y \times Y \to Y </math> stetig ist). * Die Skalarmultiplikation <math> \cdot: \mathbb{K} \times \mathcal{F}(X, Y) \to \mathcal{F}(X, Y) </math> ist stetig, weil für jedes <math> x \in X </math> die Abbildung ::<math> \odot : (\lambda, f) \mapsto \lambda \cdot f(x) </math> : stetig ist (da <math> \cdot: \mathbb{K} \times Y \to Y </math> stetig ist). Insgesamt ist mit der Topologie der punktweisen Konvergenz <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ein [[topologischer Vektorraum]], wenn <math> Y </math> als Wertebereich des Funktionenraums ein [[topologischer Vektorraum]] ist. == Topologische Algebren == Auch die Multiplikation <math>f\otimes g</math> kann man auf Funktionenräumen punktweise definieren. Das muss aber nicht sein. Eine [[w:de:Faltung|Faltung von Funktionen]] von zwei Funktionen kann man als multiplikative Verknüpfung definieren. === Definition - Algebra im Wertebereich Y === Eine '''Algebra''' über einem Körper <math> \mathbb{K} </math> ist ein Vektorraum <math> Y </math> zusammen mit einer '''multiplikativen Verknüpfung''' (Multiplikation). Die Multiplikation auf <math>Y</math> wird später punktweise auf den Funktionenraum übertragen. Nach Definition einer [[topologische Algebra|Algebra]] gelten im Wertebereich <math>Y</math> des Funktionenraumes die folgenden Eigenschaften :<math> \cdot: Y \times Y \to Y, \quad (y_1, y_2) \mapsto y_1 \cdot y_2 </math> die bilinear ist, d. h. für alle <math> y_1, y_2, y_3 \in A </math>, <math> \lambda \in \mathbb{K} </math>: * <math> (y_1 + y_2) \cdot y_3 = y_1 \cdot y_3 + y_2 \cdot y_3 </math> * <math> y_1 \cdot (y_2 + y_3) = y_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot y_3 </math> * <math> (\lambda y_1) \cdot y_2 = \lambda (y_1 \cdot y_2) = y_1 \cdot (\lambda y_2) </math> ==== Beispiel - Algebra ==== Der Raum <math> \mathcal{F}(X, \mathbb{K}) </math> mit punktweiser Multiplikation ist eine Algebra. ::<math> \otimes : (f, g) \mapsto f(x) \cdot g(x) </math> Dabei wird in diesem Fall wieder das Multiplikationszeichen "<math>\cdot</math>" wie bei der Multiplikation mit Skalaren verwendet, wobei es sich zwei unterschiedliche Verknüpfungen handelt. === Topologische Algebra === Eine '''topologische Algebra''' ist eine Algebra, die zusätzlich mit einer Topologie versehen ist, sodass: * Die Addition und Skalarmultiplikation stetig sind (also ein topologischer Vektorraum), * Die Multiplikation <math> \cdot: Y \times Y \to Y </math> stetig ist. === Funktionenraum als topologische Algebra === Sei <math> Y </math> ein '''topologischer Vektorraum''', der zugleich eine '''Algebra''' ist (z. B. <math> \mathbb{R} </math>, <math> \mathbb{C} </math>, oder der Raum stetiger Funktionen mit punktweiser Multiplikation). Dann kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eine '''Multiplikation''' definieren: ==== Punktweise Multiplikation ==== Für <math> f, g \in \mathcal{F}(X, Y) </math> definiere: :<math> (f \otimes g)(x) := f(x) \cdot g(x), \quad \forall x \in X </math> Da <math> Y </math> eine Algebra ist, ist <math> f(x) \cdot g(x) \in Y </math>, also ist <math> f \cdot g \in \mathcal{F}(X, Y) </math>. ==== Eigenschaften der Multiplikation ==== * '''Bilinearität:''' Folgt aus der Bilinearität der Multiplikation in <math> Y </math>. * '''Assoziativität:''' Falls die Multiplikation in <math> Y </math> assoziativ ist, dann auch in <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. * '''Kommutativität:''' Falls <math> Y </math> kommutativ ist, dann auch <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. ==== Stetigkeit der Multiplikation ==== Wenn <math> Y </math> eine '''topologische Algebra''' ist, dann ist die Multiplikation <math> \cdot: Y \times Y \to Y </math> stetig. Damit ist dann auch die Multiplikation auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> stetig bezüglich der Topologie der punktweisen Konvergenz: ==== Aufgabe - punktweise Konvergenz ==== Beweisen Sie die obige Aussage und verwenden Sie dabei Funktionenfolgen <math> (f_n) \to f </math> und <math> (g_n) \to g </math>, die jeweils punktweise gegen die Grenzfunktionen konvergieren. Weisen Sie dann nach, dass für jedes <math> x \in X </math> gilt: :<math> f_n(x) \to f(x), \quad g_n(x) \to g(x) \quad \text{in } Y </math> Da die Multiplikation in <math> Y </math> stetig ist, gilt ferner: :<math> f_n(x) \cdot g_n(x) \to f(x) \cdot g(x) </math> Also <math> f_n \otimes g_n \to f \otimes g </math> punktweise. Führen Sie den Beweis vollständig mit Teilschritten aus. ==== Beispiel - topologische Algebra ==== Sei <math> X = [0,1] </math>, <math> Y = \mathbb{C} </math> mit der euklidischen [[Relativtopologie]] auf <math>X</math>. Dann ist <math> \mathcal{F}([0,1], \mathbb{C}) </math> mit punktweiser Multiplikation und Topologie der punktweisen Konvergenz eine topologische Algebra. Der Unterraum <math> \mathcal{C}([0,1], \mathbb{C}) </math> der stetigen Funktionen ist sogar eine '''topologische Algebra'''. == Zusammenfassung == | Struktur | Definition | Bedingung | Ergebnis | |--------|------------|----------|---------| | Funktionenraum | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> | <math> X, Y </math> Mengen | Menge aller Funktionen | | Topologischer Raum | <math> (X, \mathcal{T}_X), (Y, \mathcal{T}_Y) </math> | Topologien gegeben | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> mit punktweiser Topologie | | Vektorraumstruktur | <math> Y </math> Vektorraum | Punktweise Operationen | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> Vektorraum | | Topologischer Vektorraum | <math> Y </math> topologischer Vektorraum | Topologie der punktweisen Konvergenz | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> TVR | | Algebra | <math> Y </math> Algebra | Punktweise Multiplikation | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> Algebra | | Topologische Algebra | <math> Y </math> topologische Algebra | Stetige Multiplikation | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> topologische Algebra | --- == Anwendung und weiterführende Themen == * '''[[Stetigkeit|Stetige Funktionenräume]]:''' <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> mit kompakt-offener Topologie (z. B. für <math> X </math> kompakt). * '''[[Normen, Metriken, Topologie|Normierte Räume]]:''' Wenn <math> Y </math> ein normierter Raum ist, kann man <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> mit Supremumsnorm versehen. * '''[[w:de:Banachraum|Banachräume]]:''' Wenn <math> Y </math> ein Banachraum ist, dann ist <math> \mathcal{C}_b(X, Y) </math> (beschränkte stetige Funktionen) ein Banachraum. * '''[[w:de:Operatoralgebra|Algebren von Operatoren]]:''' In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] betrachtet man Funktionenräume von Operatoren, die selbst Algebren bilden. == Siehe auch == * [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]] * [[Stetigkeit]] *[[topologische Algebra]] * [[topologischer Vektorraum]] my2czsbz9o01m3knrmvubinkjhx3buu 1115047 1115046 2026-10-01T11:32:49Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115047 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Funktionenräume <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eingführt und betrachtet, welche Eigenschaften dieser Funktionenraum besitzt, wenn der Definitionsbereich <math> X </math> und Wertebereich <math> Y </math> topologische Räume. Abschließend wird noch eine multiplikative Verknüpfung einführend auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> betrachtet, wodurch der Funktionenraum zu einer [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] wird. == Definition - Funktionenraum == Seien <math> X </math> und <math> Y </math> zwei beliebige Mengen. Der '''Funktionenraum''' von <math> X </math> nach <math> Y </math> ist die Menge aller Funktionen von <math> X </math> nach <math> Y </math>: :<math> \mathcal{F}(X, Y) := \{ f \mid f: X \to Y \text{ Funktion} \} </math> Dieser Raum enthält alle möglichen Abbildungen von <math> X </math> in <math> Y </math>, unabhängig von zusätzlichen Strukturen. === Beispiele für Funktionenräume === Sei <math> X = \mathbb{R} </math>, <math> Y = \mathbb{R} </math>. Dann ist <math> \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) </math> die Menge aller reellen Funktionen auf <math> \mathbb{R} </math>. Dieser Raum enthält u.a. alle Polynome bzw. allgemeiner alle differzierbaren, alle stetige Funktionen, alle integrierbaren Funktionen, aber Funktionen, die nicht integrabel bzw. messbar sind. == Funktionenraum zwischen topologischen Räumen == Wenn der Definitionsbereich <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und der Wertebereich <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> jeweils ein topologischer Raum ist, kann man erst Konvergenz in beiden Räumen sprechen und damit auch erst funktionale Eigenschaften (wie z.B. die [[Stetigkeit]]) untersuchen. Dabei sind * <math> X </math> und <math> Y </math> nicht-leere Menge und * <math> \mathcal{T\!}_X \subseteq \mathcal{P}(X) </math> und <math> \mathcal{T\!\!}_Y \subseteq \mathcal{P}(Y) </math> Mengensystem, die als Topologie das System aller offenen Mengen festlegt. === Definition - Raum der stetigen Funktionen === Wenn <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> [[Normen, Metriken, Topologie|topologische Räume]] sind, ist der Funktionenraum <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> als Menge aller '''stetigen Funktionen''' von <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> nach <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> ein Teilraum von <math>\mathcal{F}(X, Y) </math>: :<math> \mathcal{C}(X, Y) := \{ f \in \mathcal{F}(X, Y) \mid f \text{ stetig} \} </math> ==== Bemerkung - Stetigkeit ==== Eine Funktion <math> f: X \to Y </math> ist stetig, wenn für jede offene Menge <math> U \in \mathcal{T\!}_Y </math> das Urbild <math> f^{-1}(U) \in \mathcal{T\!\!}_X </math> ebenfalls eine offene Menge in <math>Y</math> ist (siehe auch [[Stetigkeit]] und [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]]). === Funktionenraum als topologischer Vektorraum === Wenn <math> Y </math> zusätzlich zu der '''topologischen Struktur''' noch eine [[w:de:Vektorraum|Vektorraumstruktur]] besitzt (z.B. sogar ein [[topologischer Vektorraum]] ist mit stetigen Verknüpfungen), kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> bzw. <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> wird der Funktionenraum mit Topologie selbst zu einem Vektorraum. Damit ist noch nicht gesagt, dass die additive Verknüpfung <math>f+g</math> und <math>\lambda \cdot f</math> selbst stetige Abbildungen sind. Erst die Eigenschaft, dass <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> ein [[topologischer Vektorraum]] ist, sicher auch die [[Stetigkeit]] der algebraischen Verknüpfungen auf dem Funktionenraum. === Reellwertiger Funktionenraum === Ein klassisches Beispiel ist die '''Topologie der punktweisen Konvergenz''' auf der Menge aller Funktionen <math> \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) </math> von <math>\mathbb{R} </math> nach <math>\mathbb{R} </math>. Dieser Raum ist mit dem Halbnormen <math>\|\cdot \|_x : \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}_0^+</math> mit <math>x\in\mathbb{R}</math> als [[lokalkonvex|lokalkonvexer Raum]] ein topologischer Vektorraum: :<math> \|f\|_x := |f(x)| </math> ==== Topologie der punktweisen Konvergenz ==== Seien <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> topologische Räume. Die '''Topologie der punktweisen Konvergenz''' auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ist die kleinste Topologie, sodass für jedes <math> x \in X </math> die Auswertungsabbildung :<math> \text{ev}_x: \mathcal{F}(X, Y) \to Y, \quad f \mapsto f(x) </math> stetig ist. === Verknüpfungen im Funktionenraum als Vektorraum === Sei <math> Y </math> ein '''Vektorraum''' über einem Körper <math> \mathbb{K} </math> (z. B. <math> \mathbb{R} </math> oder <math> \mathbb{C} </math>). Dann kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eine '''Vektorraumstruktur''' definieren: ==== Vektorraumoperationen auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ==== Für <math> f, g \in \mathcal{F}(X, Y) </math> und <math> \lambda \in \mathbb{K} </math> definiert man die Vektoraumverknüpfungen <math>\oplus</math> und <math>\odot</math> punktweise über die Verknüpfungen in <math>Y</math>: * '''Punktweise Addition:''' ::<math> (f \oplus g)(x) := f(x) + g(x), \quad \forall x \in X </math> * '''Punktweise Skalarmultiplikation:''' ::<math> (\lambda \odot f)(x) := \lambda \cdot f(x), \quad \forall x \in X </math> === Aufgabe für Studierende === * Wie erhält man das neutrale Element der Addition im Funktionenraum? * Überprüfen Sie die Gültigkeit der Vektorraumaxiome auf <math>\mathcal{F}(X, Y)</math>! ==== Hinweis ==== Da <math> Y </math> ein Vektorraum ist, sind die Verknüpfungen in <math> Y </math> assoziativ, kommutativ, es gibt eine Nullvektor und zu jedem Element <math>y\in Y</math> ein inverses Element <math>y^-</math> und verwenden Sie die Eigenschaften Skalarmultiplikation in <math>Y</math> für die Gültigkeit der Axiome in <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. === Topologischer Vektorraum - punktweise Konvergenz=== Nun sei <math> Y </math> nicht nur ein Vektorraum, sondern ein [[topologischer Vektorraum]], d. h. dass die folgenden Vektorraumverknüpfungen stetig sind: * Die Addition <math> +: Y \times Y \to Y </math> stetig ist, * Die Skalarmultiplikation <math> \cdot: \mathbb{K} \times Y \to Y </math> stetig ist. ==== Beispielfunktionenraum als topologischer Vektorraum ==== Nun wird der Funktionenraum <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> selbst mit eine Topologie versehen, damit die Vektorraumoperationen nun auch auf dem Funktionenraum stetig sind. ==== Topologie der punktweisen Konvergenz ==== Die Topologie der punktweisen Konvergenz macht <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> zu einem topologischen Vektorraum, damit die Vektorraumverknüpfungen stetig sind: * Die Addition <math> +: \mathcal{F}(X, Y) \times \mathcal{F}(X, Y) \to \mathcal{F}(X, Y) </math> ist stetig, weil für jedes <math> x \in X </math> die Abbildung ::<math> \oplus : (f, g) \mapsto f(x) + g(x) </math> : stetig ist (da <math> +: Y \times Y \to Y </math> stetig ist). * Die Skalarmultiplikation <math> \cdot: \mathbb{K} \times \mathcal{F}(X, Y) \to \mathcal{F}(X, Y) </math> ist stetig, weil für jedes <math> x \in X </math> die Abbildung ::<math> \odot : (\lambda, f) \mapsto \lambda \cdot f(x) </math> : stetig ist (da <math> \cdot: \mathbb{K} \times Y \to Y </math> stetig ist). Insgesamt ist mit der Topologie der punktweisen Konvergenz <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ein [[topologischer Vektorraum]], wenn <math> Y </math> als Wertebereich des Funktionenraums ein [[topologischer Vektorraum]] ist. == Topologische Algebren == Auch die Multiplikation <math>f\otimes g</math> kann man auf Funktionenräumen punktweise definieren. Das muss aber nicht sein. Eine [[w:de:Faltung|Faltung von Funktionen]] von zwei Funktionen kann man als multiplikative Verknüpfung definieren. === Definition - Algebra im Wertebereich Y === Eine '''Algebra''' über einem Körper <math> \mathbb{K} </math> ist ein Vektorraum <math> Y </math> zusammen mit einer '''multiplikativen Verknüpfung''' (Multiplikation). Die Multiplikation auf <math>Y</math> wird später punktweise auf den Funktionenraum übertragen. Nach Definition einer [[topologische Algebra|Algebra]] gelten im Wertebereich <math>Y</math> des Funktionenraumes die folgenden Eigenschaften :<math> \cdot: Y \times Y \to Y, \quad (y_1, y_2) \mapsto y_1 \cdot y_2 </math> die bilinear ist, d. h. für alle <math> y_1, y_2, y_3 \in A </math>, <math> \lambda \in \mathbb{K} </math>: * <math> (y_1 + y_2) \cdot y_3 = y_1 \cdot y_3 + y_2 \cdot y_3 </math> * <math> y_1 \cdot (y_2 + y_3) = y_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot y_3 </math> * <math> (\lambda y_1) \cdot y_2 = \lambda (y_1 \cdot y_2) = y_1 \cdot (\lambda y_2) </math> ==== Beispiel - Algebra ==== Der Raum <math> \mathcal{F}(X, \mathbb{K}) </math> mit punktweiser Multiplikation ist eine Algebra. ::<math> \otimes : (f, g) \mapsto f(x) \cdot g(x) </math> Dabei wird in diesem Fall wieder das Multiplikationszeichen "<math>\cdot</math>" wie bei der Multiplikation mit Skalaren verwendet, wobei es sich zwei unterschiedliche Verknüpfungen handelt. === Topologische Algebra === Eine '''topologische Algebra''' ist eine Algebra, die zusätzlich mit einer Topologie versehen ist, sodass: * Die Addition und Skalarmultiplikation stetig sind (also ein topologischer Vektorraum), * Die Multiplikation <math> \cdot: Y \times Y \to Y </math> stetig ist. === Funktionenraum als topologische Algebra === Sei <math> Y </math> ein '''topologischer Vektorraum''', der zugleich eine '''Algebra''' ist (z. B. <math> \mathbb{R} </math>, <math> \mathbb{C} </math>, oder der Raum stetiger Funktionen mit punktweiser Multiplikation). Dann kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eine '''Multiplikation''' definieren: ==== Punktweise Multiplikation ==== Für <math> f, g \in \mathcal{F}(X, Y) </math> definiere: :<math> (f \otimes g)(x) := f(x) \cdot g(x), \quad \forall x \in X </math> Da <math> Y </math> eine Algebra ist, ist <math> f(x) \cdot g(x) \in Y </math>, also ist <math> f \cdot g \in \mathcal{F}(X, Y) </math>. ==== Eigenschaften der Multiplikation ==== * '''Bilinearität:''' Folgt aus der Bilinearität der Multiplikation in <math> Y </math>. * '''Assoziativität:''' Falls die Multiplikation in <math> Y </math> assoziativ ist, dann auch in <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. * '''Kommutativität:''' Falls <math> Y </math> kommutativ ist, dann auch <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. ==== Stetigkeit der Multiplikation ==== Wenn <math> Y </math> eine '''topologische Algebra''' ist, dann ist die Multiplikation <math> \cdot: Y \times Y \to Y </math> stetig. Damit ist dann auch die Multiplikation auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> stetig bezüglich der Topologie der punktweisen Konvergenz: ==== Aufgabe - punktweise Konvergenz ==== Beweisen Sie die obige Aussage und verwenden Sie dabei Funktionenfolgen <math> (f_n) \to f </math> und <math> (g_n) \to g </math>, die jeweils punktweise gegen die Grenzfunktionen konvergieren. Weisen Sie dann nach, dass für jedes <math> x \in X </math> gilt: :<math> f_n(x) \to f(x), \quad g_n(x) \to g(x) \quad \text{in } Y </math> Da die Multiplikation in <math> Y </math> stetig ist, gilt ferner: :<math> f_n(x) \cdot g_n(x) \to f(x) \cdot g(x) </math> Also <math> f_n \otimes g_n \to f \otimes g </math> punktweise. Führen Sie den Beweis vollständig mit Teilschritten aus. ==== Beispiel - topologische Algebra ==== Sei <math> X = [0,1] </math>, <math> Y = \mathbb{C} </math> mit der euklidischen [[Relativtopologie]] auf <math>X</math>. Dann ist <math> \mathcal{F}([0,1], \mathbb{C}) </math> mit punktweiser Multiplikation und Topologie der punktweisen Konvergenz eine topologische Algebra. Der Unterraum <math> \mathcal{C}([0,1], \mathbb{C}) </math> der stetigen Funktionen ist sogar eine '''topologische Algebra'''. == Zusammenfassung == | Struktur | Definition | Bedingung | Ergebnis | |--------|------------|----------|---------| | Funktionenraum | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> | <math> X, Y </math> Mengen | Menge aller Funktionen | | Topologischer Raum | <math> (X, \mathcal{T}_X), (Y, \mathcal{T}_Y) </math> | Topologien gegeben | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> mit punktweiser Topologie | | Vektorraumstruktur | <math> Y </math> Vektorraum | Punktweise Operationen | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> Vektorraum | | Topologischer Vektorraum | <math> Y </math> topologischer Vektorraum | Topologie der punktweisen Konvergenz | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> TVR | | Algebra | <math> Y </math> Algebra | Punktweise Multiplikation | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> Algebra | | Topologische Algebra | <math> Y </math> topologische Algebra | Stetige Multiplikation | <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> topologische Algebra | --- == Anwendung und weiterführende Themen == * '''[[Stetigkeit|Stetige Funktionenräume]]:''' <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> mit kompakt-offener Topologie (z. B. für <math> X </math> kompakt). * '''[[Normen, Metriken, Topologie|Normierte Räume]]:''' Wenn <math> Y </math> ein normierter Raum ist, kann man <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> mit Supremumsnorm versehen. * '''[[w:de:Banachraum|Banachräume]]:''' Wenn <math> Y </math> ein Banachraum ist, dann ist <math> \mathcal{C}_b(X, Y) </math> (beschränkte stetige Funktionen) ein Banachraum. * '''[[w:de:Operatoralgebra|Algebren von Operatoren]]:''' In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] betrachtet man Funktionenräume von Operatoren, die selbst Algebren bilden. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]] * [[Stetigkeit]] * [[topologische Algebra]] * [[topologischer Vektorraum]] d6mffe9156aq6lj0bfujra1rmeyvtxp 1115048 1115047 2026-10-01T11:33:12Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenfassung */ 1115048 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Funktionenräume <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eingführt und betrachtet, welche Eigenschaften dieser Funktionenraum besitzt, wenn der Definitionsbereich <math> X </math> und Wertebereich <math> Y </math> topologische Räume. Abschließend wird noch eine multiplikative Verknüpfung einführend auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> betrachtet, wodurch der Funktionenraum zu einer [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] wird. == Definition - Funktionenraum == Seien <math> X </math> und <math> Y </math> zwei beliebige Mengen. Der '''Funktionenraum''' von <math> X </math> nach <math> Y </math> ist die Menge aller Funktionen von <math> X </math> nach <math> Y </math>: :<math> \mathcal{F}(X, Y) := \{ f \mid f: X \to Y \text{ Funktion} \} </math> Dieser Raum enthält alle möglichen Abbildungen von <math> X </math> in <math> Y </math>, unabhängig von zusätzlichen Strukturen. === Beispiele für Funktionenräume === Sei <math> X = \mathbb{R} </math>, <math> Y = \mathbb{R} </math>. Dann ist <math> \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) </math> die Menge aller reellen Funktionen auf <math> \mathbb{R} </math>. Dieser Raum enthält u.a. alle Polynome bzw. allgemeiner alle differzierbaren, alle stetige Funktionen, alle integrierbaren Funktionen, aber Funktionen, die nicht integrabel bzw. messbar sind. == Funktionenraum zwischen topologischen Räumen == Wenn der Definitionsbereich <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und der Wertebereich <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> jeweils ein topologischer Raum ist, kann man erst Konvergenz in beiden Räumen sprechen und damit auch erst funktionale Eigenschaften (wie z.B. die [[Stetigkeit]]) untersuchen. Dabei sind * <math> X </math> und <math> Y </math> nicht-leere Menge und * <math> \mathcal{T\!}_X \subseteq \mathcal{P}(X) </math> und <math> \mathcal{T\!\!}_Y \subseteq \mathcal{P}(Y) </math> Mengensystem, die als Topologie das System aller offenen Mengen festlegt. === Definition - Raum der stetigen Funktionen === Wenn <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> [[Normen, Metriken, Topologie|topologische Räume]] sind, ist der Funktionenraum <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> als Menge aller '''stetigen Funktionen''' von <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> nach <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> ein Teilraum von <math>\mathcal{F}(X, Y) </math>: :<math> \mathcal{C}(X, Y) := \{ f \in \mathcal{F}(X, Y) \mid f \text{ stetig} \} </math> ==== Bemerkung - Stetigkeit ==== Eine Funktion <math> f: X \to Y </math> ist stetig, wenn für jede offene Menge <math> U \in \mathcal{T\!}_Y </math> das Urbild <math> f^{-1}(U) \in \mathcal{T\!\!}_X </math> ebenfalls eine offene Menge in <math>Y</math> ist (siehe auch [[Stetigkeit]] und [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]]). === Funktionenraum als topologischer Vektorraum === Wenn <math> Y </math> zusätzlich zu der '''topologischen Struktur''' noch eine [[w:de:Vektorraum|Vektorraumstruktur]] besitzt (z.B. sogar ein [[topologischer Vektorraum]] ist mit stetigen Verknüpfungen), kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> bzw. <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> wird der Funktionenraum mit Topologie selbst zu einem Vektorraum. Damit ist noch nicht gesagt, dass die additive Verknüpfung <math>f+g</math> und <math>\lambda \cdot f</math> selbst stetige Abbildungen sind. Erst die Eigenschaft, dass <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> ein [[topologischer Vektorraum]] ist, sicher auch die [[Stetigkeit]] der algebraischen Verknüpfungen auf dem Funktionenraum. === Reellwertiger Funktionenraum === Ein klassisches Beispiel ist die '''Topologie der punktweisen Konvergenz''' auf der Menge aller Funktionen <math> \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) </math> von <math>\mathbb{R} </math> nach <math>\mathbb{R} </math>. Dieser Raum ist mit dem Halbnormen <math>\|\cdot \|_x : \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}_0^+</math> mit <math>x\in\mathbb{R}</math> als [[lokalkonvex|lokalkonvexer Raum]] ein topologischer Vektorraum: :<math> \|f\|_x := |f(x)| </math> ==== Topologie der punktweisen Konvergenz ==== Seien <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> topologische Räume. Die '''Topologie der punktweisen Konvergenz''' auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ist die kleinste Topologie, sodass für jedes <math> x \in X </math> die Auswertungsabbildung :<math> \text{ev}_x: \mathcal{F}(X, Y) \to Y, \quad f \mapsto f(x) </math> stetig ist. === Verknüpfungen im Funktionenraum als Vektorraum === Sei <math> Y </math> ein '''Vektorraum''' über einem Körper <math> \mathbb{K} </math> (z. B. <math> \mathbb{R} </math> oder <math> \mathbb{C} </math>). Dann kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eine '''Vektorraumstruktur''' definieren: ==== Vektorraumoperationen auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ==== Für <math> f, g \in \mathcal{F}(X, Y) </math> und <math> \lambda \in \mathbb{K} </math> definiert man die Vektoraumverknüpfungen <math>\oplus</math> und <math>\odot</math> punktweise über die Verknüpfungen in <math>Y</math>: * '''Punktweise Addition:''' ::<math> (f \oplus g)(x) := f(x) + g(x), \quad \forall x \in X </math> * '''Punktweise Skalarmultiplikation:''' ::<math> (\lambda \odot f)(x) := \lambda \cdot f(x), \quad \forall x \in X </math> === Aufgabe für Studierende === * Wie erhält man das neutrale Element der Addition im Funktionenraum? * Überprüfen Sie die Gültigkeit der Vektorraumaxiome auf <math>\mathcal{F}(X, Y)</math>! ==== Hinweis ==== Da <math> Y </math> ein Vektorraum ist, sind die Verknüpfungen in <math> Y </math> assoziativ, kommutativ, es gibt eine Nullvektor und zu jedem Element <math>y\in Y</math> ein inverses Element <math>y^-</math> und verwenden Sie die Eigenschaften Skalarmultiplikation in <math>Y</math> für die Gültigkeit der Axiome in <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. === Topologischer Vektorraum - punktweise Konvergenz=== Nun sei <math> Y </math> nicht nur ein Vektorraum, sondern ein [[topologischer Vektorraum]], d. h. dass die folgenden Vektorraumverknüpfungen stetig sind: * Die Addition <math> +: Y \times Y \to Y </math> stetig ist, * Die Skalarmultiplikation <math> \cdot: \mathbb{K} \times Y \to Y </math> stetig ist. ==== Beispielfunktionenraum als topologischer Vektorraum ==== Nun wird der Funktionenraum <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> selbst mit eine Topologie versehen, damit die Vektorraumoperationen nun auch auf dem Funktionenraum stetig sind. ==== Topologie der punktweisen Konvergenz ==== Die Topologie der punktweisen Konvergenz macht <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> zu einem topologischen Vektorraum, damit die Vektorraumverknüpfungen stetig sind: * Die Addition <math> +: \mathcal{F}(X, Y) \times \mathcal{F}(X, Y) \to \mathcal{F}(X, Y) </math> ist stetig, weil für jedes <math> x \in X </math> die Abbildung ::<math> \oplus : (f, g) \mapsto f(x) + g(x) </math> : stetig ist (da <math> +: Y \times Y \to Y </math> stetig ist). * Die Skalarmultiplikation <math> \cdot: \mathbb{K} \times \mathcal{F}(X, Y) \to \mathcal{F}(X, Y) </math> ist stetig, weil für jedes <math> x \in X </math> die Abbildung ::<math> \odot : (\lambda, f) \mapsto \lambda \cdot f(x) </math> : stetig ist (da <math> \cdot: \mathbb{K} \times Y \to Y </math> stetig ist). Insgesamt ist mit der Topologie der punktweisen Konvergenz <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ein [[topologischer Vektorraum]], wenn <math> Y </math> als Wertebereich des Funktionenraums ein [[topologischer Vektorraum]] ist. == Topologische Algebren == Auch die Multiplikation <math>f\otimes g</math> kann man auf Funktionenräumen punktweise definieren. Das muss aber nicht sein. Eine [[w:de:Faltung|Faltung von Funktionen]] von zwei Funktionen kann man als multiplikative Verknüpfung definieren. === Definition - Algebra im Wertebereich Y === Eine '''Algebra''' über einem Körper <math> \mathbb{K} </math> ist ein Vektorraum <math> Y </math> zusammen mit einer '''multiplikativen Verknüpfung''' (Multiplikation). Die Multiplikation auf <math>Y</math> wird später punktweise auf den Funktionenraum übertragen. Nach Definition einer [[topologische Algebra|Algebra]] gelten im Wertebereich <math>Y</math> des Funktionenraumes die folgenden Eigenschaften :<math> \cdot: Y \times Y \to Y, \quad (y_1, y_2) \mapsto y_1 \cdot y_2 </math> die bilinear ist, d. h. für alle <math> y_1, y_2, y_3 \in A </math>, <math> \lambda \in \mathbb{K} </math>: * <math> (y_1 + y_2) \cdot y_3 = y_1 \cdot y_3 + y_2 \cdot y_3 </math> * <math> y_1 \cdot (y_2 + y_3) = y_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot y_3 </math> * <math> (\lambda y_1) \cdot y_2 = \lambda (y_1 \cdot y_2) = y_1 \cdot (\lambda y_2) </math> ==== Beispiel - Algebra ==== Der Raum <math> \mathcal{F}(X, \mathbb{K}) </math> mit punktweiser Multiplikation ist eine Algebra. ::<math> \otimes : (f, g) \mapsto f(x) \cdot g(x) </math> Dabei wird in diesem Fall wieder das Multiplikationszeichen "<math>\cdot</math>" wie bei der Multiplikation mit Skalaren verwendet, wobei es sich zwei unterschiedliche Verknüpfungen handelt. === Topologische Algebra === Eine '''topologische Algebra''' ist eine Algebra, die zusätzlich mit einer Topologie versehen ist, sodass: * Die Addition und Skalarmultiplikation stetig sind (also ein topologischer Vektorraum), * Die Multiplikation <math> \cdot: Y \times Y \to Y </math> stetig ist. === Funktionenraum als topologische Algebra === Sei <math> Y </math> ein '''topologischer Vektorraum''', der zugleich eine '''Algebra''' ist (z. B. <math> \mathbb{R} </math>, <math> \mathbb{C} </math>, oder der Raum stetiger Funktionen mit punktweiser Multiplikation). Dann kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eine '''Multiplikation''' definieren: ==== Punktweise Multiplikation ==== Für <math> f, g \in \mathcal{F}(X, Y) </math> definiere: :<math> (f \otimes g)(x) := f(x) \cdot g(x), \quad \forall x \in X </math> Da <math> Y </math> eine Algebra ist, ist <math> f(x) \cdot g(x) \in Y </math>, also ist <math> f \cdot g \in \mathcal{F}(X, Y) </math>. ==== Eigenschaften der Multiplikation ==== * '''Bilinearität:''' Folgt aus der Bilinearität der Multiplikation in <math> Y </math>. * '''Assoziativität:''' Falls die Multiplikation in <math> Y </math> assoziativ ist, dann auch in <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. * '''Kommutativität:''' Falls <math> Y </math> kommutativ ist, dann auch <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. ==== Stetigkeit der Multiplikation ==== Wenn <math> Y </math> eine '''topologische Algebra''' ist, dann ist die Multiplikation <math> \cdot: Y \times Y \to Y </math> stetig. Damit ist dann auch die Multiplikation auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> stetig bezüglich der Topologie der punktweisen Konvergenz: ==== Aufgabe - punktweise Konvergenz ==== Beweisen Sie die obige Aussage und verwenden Sie dabei Funktionenfolgen <math> (f_n) \to f </math> und <math> (g_n) \to g </math>, die jeweils punktweise gegen die Grenzfunktionen konvergieren. Weisen Sie dann nach, dass für jedes <math> x \in X </math> gilt: :<math> f_n(x) \to f(x), \quad g_n(x) \to g(x) \quad \text{in } Y </math> Da die Multiplikation in <math> Y </math> stetig ist, gilt ferner: :<math> f_n(x) \cdot g_n(x) \to f(x) \cdot g(x) </math> Also <math> f_n \otimes g_n \to f \otimes g </math> punktweise. Führen Sie den Beweis vollständig mit Teilschritten aus. ==== Beispiel - topologische Algebra ==== Sei <math> X = [0,1] </math>, <math> Y = \mathbb{C} </math> mit der euklidischen [[Relativtopologie]] auf <math>X</math>. Dann ist <math> \mathcal{F}([0,1], \mathbb{C}) </math> mit punktweiser Multiplikation und Topologie der punktweisen Konvergenz eine topologische Algebra. Der Unterraum <math> \mathcal{C}([0,1], \mathbb{C}) </math> der stetigen Funktionen ist sogar eine '''topologische Algebra'''. == Anwendung und weiterführende Themen == * '''[[Stetigkeit|Stetige Funktionenräume]]:''' <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> mit kompakt-offener Topologie (z. B. für <math> X </math> kompakt). * '''[[Normen, Metriken, Topologie|Normierte Räume]]:''' Wenn <math> Y </math> ein normierter Raum ist, kann man <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> mit Supremumsnorm versehen. * '''[[w:de:Banachraum|Banachräume]]:''' Wenn <math> Y </math> ein Banachraum ist, dann ist <math> \mathcal{C}_b(X, Y) </math> (beschränkte stetige Funktionen) ein Banachraum. * '''[[w:de:Operatoralgebra|Algebren von Operatoren]]:''' In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] betrachtet man Funktionenräume von Operatoren, die selbst Algebren bilden. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]] * [[Stetigkeit]] * [[topologische Algebra]] * [[topologischer Vektorraum]] ks712vi2f81ywmr8x0au5x16yu8tabf 1115049 1115048 2026-10-01T11:34:20Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115049 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird in Funktionenräume <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eingführt und betrachtet, welche Eigenschaften dieser Funktionenraum besitzt, wenn der Definitionsbereich <math> X </math> und Wertebereich <math> Y </math> topologische Räume. Abschließend wird noch eine multiplikative Verknüpfung einführend auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> betrachtet, wodurch der Funktionenraum zu einer [[topologische Algebra|topologischen Algebren]] wird. == Definition - Funktionenraum == Seien <math> X </math> und <math> Y </math> zwei beliebige Mengen. Der '''Funktionenraum''' von <math> X </math> nach <math> Y </math> ist die Menge aller Funktionen von <math> X </math> nach <math> Y </math>: :<math> \mathcal{F}(X, Y) := \{ f \mid f: X \to Y \text{ Funktion} \} </math> Dieser Raum enthält alle möglichen Abbildungen von <math> X </math> in <math> Y </math>, unabhängig von zusätzlichen Strukturen. === Beispiele für Funktionenräume === Sei <math> X = \mathbb{R} </math>, <math> Y = \mathbb{R} </math>. Dann ist <math> \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) </math> die Menge aller reellen Funktionen auf <math> \mathbb{R} </math>. Dieser Raum enthält u.a. alle Polynome bzw. allgemeiner alle differzierbaren, alle stetige Funktionen, alle integrierbaren Funktionen, aber Funktionen, die nicht integrabel bzw. messbar sind. == Funktionenraum zwischen topologischen Räumen == Wenn der Definitionsbereich <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und der Wertebereich <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> jeweils ein topologischer Raum ist, kann man erst Konvergenz in beiden Räumen sprechen und damit auch erst funktionale Eigenschaften (wie z.B. die [[Stetigkeit]]) untersuchen. Dabei sind * <math> X </math> und <math> Y </math> nicht-leere Menge und * <math> \mathcal{T\!}_X \subseteq \mathcal{P}(X) </math> und <math> \mathcal{T\!\!}_Y \subseteq \mathcal{P}(Y) </math> Mengensystem, die als Topologie das System aller offenen Mengen festlegt. === Definition - Raum der stetigen Funktionen === Wenn <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> [[Normen, Metriken, Topologie|topologische Räume]] sind, ist der Funktionenraum <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> als Menge aller '''stetigen Funktionen''' von <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> nach <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> ein Teilraum von <math>\mathcal{F}(X, Y) </math>: :<math> \mathcal{C}(X, Y) := \{ f \in \mathcal{F}(X, Y) \mid f \text{ stetig} \} </math> ==== Bemerkung - Stetigkeit ==== Eine Funktion <math> f: X \to Y </math> ist stetig, wenn für jede offene Menge <math> U \in \mathcal{T\!}_Y </math> das Urbild <math> f^{-1}(U) \in \mathcal{T\!\!}_X </math> ebenfalls eine offene Menge in <math>Y</math> ist (siehe auch [[Stetigkeit]] und [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]]). === Funktionenraum als topologischer Vektorraum === Wenn <math> Y </math> zusätzlich zu der '''topologischen Struktur''' noch eine [[w:de:Vektorraum|Vektorraumstruktur]] besitzt (z.B. sogar ein [[topologischer Vektorraum]] ist mit stetigen Verknüpfungen), kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> bzw. <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> wird der Funktionenraum mit Topologie selbst zu einem Vektorraum. Damit ist noch nicht gesagt, dass die additive Verknüpfung <math>f+g</math> und <math>\lambda \cdot f</math> selbst stetige Abbildungen sind. Erst die Eigenschaft, dass <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> ein [[topologischer Vektorraum]] ist, sicher auch die [[Stetigkeit]] der algebraischen Verknüpfungen auf dem Funktionenraum. === Reellwertiger Funktionenraum === Ein klassisches Beispiel ist die '''Topologie der punktweisen Konvergenz''' auf der Menge aller Funktionen <math> \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) </math> von <math>\mathbb{R} </math> nach <math>\mathbb{R} </math>. Dieser Raum ist mit dem Halbnormen <math>\|\cdot \|_x : \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \to \mathbb{R}_0^+</math> mit <math>x\in\mathbb{R}</math> als [[lokalkonvex|lokalkonvexer Raum]] ein topologischer Vektorraum: :<math> \|f\|_x := |f(x)| </math> ==== Topologie der punktweisen Konvergenz ==== Seien <math> (X, \mathcal{T\!\!}_X) </math> und <math> (Y, \mathcal{T\!\!}_Y) </math> topologische Räume. Die '''Topologie der punktweisen Konvergenz''' auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ist die kleinste Topologie, sodass für jedes <math> x \in X </math> die Auswertungsabbildung :<math> \text{ev}_x: \mathcal{F}(X, Y) \to Y, \quad f \mapsto f(x) </math> stetig ist. === Verknüpfungen im Funktionenraum als Vektorraum === Sei <math> Y </math> ein '''Vektorraum''' über einem Körper <math> \mathbb{K} </math> (z. B. <math> \mathbb{R} </math> oder <math> \mathbb{C} </math>). Dann kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eine '''Vektorraumstruktur''' definieren: ==== Vektorraumoperationen auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ==== Für <math> f, g \in \mathcal{F}(X, Y) </math> und <math> \lambda \in \mathbb{K} </math> definiert man die Vektoraumverknüpfungen <math>\oplus</math> und <math>\odot</math> punktweise über die Verknüpfungen in <math>Y</math>: * '''Punktweise Addition:''' ::<math> (f \oplus g)(x) := f(x) + g(x), \quad \forall x \in X </math> * '''Punktweise Skalarmultiplikation:''' ::<math> (\lambda \odot f)(x) := \lambda \cdot f(x), \quad \forall x \in X </math> === Aufgabe für Studierende === * Wie erhält man das neutrale Element der Addition im Funktionenraum? * Überprüfen Sie die Gültigkeit der Vektorraumaxiome auf <math>\mathcal{F}(X, Y)</math>! ==== Hinweis ==== Da <math> Y </math> ein Vektorraum ist, sind die Verknüpfungen in <math> Y </math> assoziativ, kommutativ, es gibt eine Nullvektor und zu jedem Element <math>y\in Y</math> ein inverses Element <math>y^-</math> und verwenden Sie die Eigenschaften Skalarmultiplikation in <math>Y</math> für die Gültigkeit der Axiome in <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. === Topologischer Vektorraum - punktweise Konvergenz=== Nun sei <math> Y </math> nicht nur ein Vektorraum, sondern ein [[topologischer Vektorraum]], d. h. dass die folgenden Vektorraumverknüpfungen stetig sind: * Die Addition <math> +: Y \times Y \to Y </math> stetig ist, * Die Skalarmultiplikation <math> \cdot: \mathbb{K} \times Y \to Y </math> stetig ist. ==== Beispielfunktionenraum als topologischer Vektorraum ==== Nun wird der Funktionenraum <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> selbst mit eine Topologie versehen, damit die Vektorraumoperationen nun auch auf dem Funktionenraum stetig sind. ==== Topologie der punktweisen Konvergenz ==== Die Topologie der punktweisen Konvergenz macht <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> zu einem topologischen Vektorraum, damit die Vektorraumverknüpfungen stetig sind: * Die Addition <math> +: \mathcal{F}(X, Y) \times \mathcal{F}(X, Y) \to \mathcal{F}(X, Y) </math> ist stetig, weil für jedes <math> x \in X </math> die Abbildung ::<math> \oplus : (f, g) \mapsto f(x) + g(x) </math> : stetig ist (da <math> +: Y \times Y \to Y </math> stetig ist). * Die Skalarmultiplikation <math> \cdot: \mathbb{K} \times \mathcal{F}(X, Y) \to \mathcal{F}(X, Y) </math> ist stetig, weil für jedes <math> x \in X </math> die Abbildung ::<math> \odot : (\lambda, f) \mapsto \lambda \cdot f(x) </math> : stetig ist (da <math> \cdot: \mathbb{K} \times Y \to Y </math> stetig ist). Insgesamt ist mit der Topologie der punktweisen Konvergenz <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> ein [[topologischer Vektorraum]], wenn <math> Y </math> als Wertebereich des Funktionenraums ein [[topologischer Vektorraum]] ist. == Topologische Algebren == Auch die Multiplikation <math>f\otimes g</math> kann man auf Funktionenräumen punktweise definieren. Das muss aber nicht sein. Eine [[w:de:Faltung|Faltung von Funktionen]] von zwei Funktionen kann man als multiplikative Verknüpfung definieren. === Definition - Algebra im Wertebereich Y === Eine '''Algebra''' über einem Körper <math> \mathbb{K} </math> ist ein Vektorraum <math> Y </math> zusammen mit einer '''multiplikativen Verknüpfung''' (Multiplikation). Die Multiplikation auf <math>Y</math> wird später punktweise auf den Funktionenraum übertragen. Nach Definition einer [[topologische Algebra|Algebra]] gelten im Wertebereich <math>Y</math> des Funktionenraumes die folgenden Eigenschaften :<math> \cdot: Y \times Y \to Y, \quad (y_1, y_2) \mapsto y_1 \cdot y_2 </math> die bilinear ist, d. h. für alle <math> y_1, y_2, y_3 \in A </math>, <math> \lambda \in \mathbb{K} </math>: * <math> (y_1 + y_2) \cdot y_3 = y_1 \cdot y_3 + y_2 \cdot y_3 </math> * <math> y_1 \cdot (y_2 + y_3) = y_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot y_3 </math> * <math> (\lambda y_1) \cdot y_2 = \lambda (y_1 \cdot y_2) = y_1 \cdot (\lambda y_2) </math> ==== Beispiel - Algebra ==== Der Raum <math> \mathcal{F}(X, \mathbb{K}) </math> mit punktweiser Multiplikation ist eine Algebra. ::<math> \otimes : (f, g) \mapsto f(x) \cdot g(x) </math> Dabei wird in diesem Fall wieder das Multiplikationszeichen "<math>\cdot</math>" wie bei der Multiplikation mit Skalaren verwendet, wobei es sich zwei unterschiedliche Verknüpfungen handelt. === Topologische Algebra === Eine '''topologische Algebra''' ist eine Algebra, die zusätzlich mit einer Topologie versehen ist, sodass: * Die Addition und Skalarmultiplikation stetig sind (also ein topologischer Vektorraum), * Die Multiplikation <math> \cdot: Y \times Y \to Y </math> stetig ist. === Funktionenraum als topologische Algebra === Sei <math> Y </math> ein '''topologischer Vektorraum''', der zugleich eine '''Algebra''' ist (z. B. <math> \mathbb{R} </math>, <math> \mathbb{C} </math>, oder der Raum stetiger Funktionen mit punktweiser Multiplikation). Dann kann man auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> eine '''Multiplikation''' definieren: ==== Punktweise Multiplikation ==== Für <math> f, g \in \mathcal{F}(X, Y) </math> definiere: :<math> (f \otimes g)(x) := f(x) \cdot g(x), \quad \forall x \in X </math> Da <math> Y </math> eine Algebra ist, ist <math> f(x) \cdot g(x) \in Y </math>, also ist <math> f \cdot g \in \mathcal{F}(X, Y) </math>. ==== Eigenschaften der Multiplikation ==== * '''Bilinearität:''' Folgt aus der Bilinearität der Multiplikation in <math> Y </math>. * '''Assoziativität:''' Falls die Multiplikation in <math> Y </math> assoziativ ist, dann auch in <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. * '''Kommutativität:''' Falls <math> Y </math> kommutativ ist, dann auch <math> \mathcal{F}(X, Y) </math>. ==== Stetigkeit der Multiplikation ==== Wenn <math> Y </math> eine '''topologische Algebra''' ist, dann ist die Multiplikation <math> \cdot: Y \times Y \to Y </math> stetig. Damit ist dann auch die Multiplikation auf <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> stetig bezüglich der Topologie der punktweisen Konvergenz: ==== Aufgabe - punktweise Konvergenz ==== Beweisen Sie die obige Aussage und verwenden Sie dabei Funktionenfolgen <math> (f_n) \to f </math> und <math> (g_n) \to g </math>, die jeweils punktweise gegen die Grenzfunktionen konvergieren. Weisen Sie dann nach, dass für jedes <math> x \in X </math> gilt: :<math> f_n(x) \to f(x), \quad g_n(x) \to g(x) \quad \text{in } Y </math> Da die Multiplikation in <math> Y </math> stetig ist, gilt ferner: :<math> f_n(x) \cdot g_n(x) \to f(x) \cdot g(x) </math> Also <math> f_n \otimes g_n \to f \otimes g </math> punktweise. Führen Sie den Beweis vollständig mit Teilschritten aus. ==== Beispiel - topologische Algebra ==== Sei <math> X = [0,1] </math>, <math> Y = \mathbb{C} </math> mit der euklidischen [[Relativtopologie]] auf <math>X</math>. Dann ist <math> \mathcal{F}([0,1], \mathbb{C}) </math> mit punktweiser Multiplikation und Topologie der punktweisen Konvergenz eine topologische Algebra. Der Unterraum <math> \mathcal{C}([0,1], \mathbb{C}) </math> der stetigen Funktionen ist sogar eine '''topologische Algebra'''. == Anwendung und weiterführende Themen == * '''[[Stetigkeit|Stetige Funktionenräume]]:''' <math> \mathcal{C}(X, Y) </math> mit kompakt-offener Topologie (z. B. für <math> X </math> kompakt). * '''[[Normen, Metriken, Topologie|Normierte Räume]]:''' Wenn <math> Y </math> ein normierter Raum ist, kann man <math> \mathcal{F}(X, Y) </math> mit Supremumsnorm versehen. * '''[[w:de:Banachraum|Banachräume]]:''' Wenn <math> Y </math> ein Banachraum ist, dann ist <math> \mathcal{C}_b(X, Y) </math> (beschränkte stetige Funktionen) ein Banachraum. * '''[[w:de:Operatoralgebra|Algebren von Operatoren]]:''' In der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] betrachtet man Funktionenräume von Operatoren, die selbst Algebren bilden. == Siehe auch == * [[Banachalgebra]] * [[Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]] * [[Integralkorrespondenzsatz]] * [[Stetigkeit]] * [[topologische Algebra]] * [[topologischer Vektorraum]] aa87t6tas219qpl3u4yw8ixbgt1sv9k