Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1115071 1114924 2026-10-01T12:42:32Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist */ 1115071 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|Diskussion]])</bdi> 19:12, 23. Jun. 2026 (CEST) == Einbindung des Links zu den Rechts- und Sicherheitskontakten in die Fußzeile Ihres Wikis == <section begin="Message"/> '''Rechtliche Hinweise und Sicherheitshinweise''' Hallo Community, die Wikimedia Foundation hat eine [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|zentrale Kontaktseite für Rechts- und Sicherheitsfragen]] bereitgestellt, die in der Fußzeile eures Wikis verlinkt werden soll, um den Zugriff auf korrekte rechtliche Informationen zu gewährleisten. Dies ist eine gesetzliche Vorgabe. Wir haben bereits Links zu den englischen, deutschen, italienischen, spanischen und anderen Wikis eingerichtet und werden diese in Kürze auch in eurem Wiki einrichten. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Bitte lest mehr dazu auf der Projektseite]] und hinterlasst eure Kommentare in diesem Thread oder auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|Diskussionsseite]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25. Jun. 2026 (CEST) == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}} You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 14:25, 24. Jul. 2026 (CEST) </bdi> == Server-Wechsel - Euer Wiki wird bald kurzzeitig im nur-lesbaren Modus sein == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|In einer anderen Sprache lesen]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] Die [[foundation:|Wikimedia-Foundation]] wird den Datenverkehr zwischen ihren Rechenzentren wechseln. Dadurch sollen Wikipedia und die anderen Wikimedia-Wikis auch nach einem Notfall erreichbar bleiben. Der gesamte Datenverkehr wird am '''{{#time:j. F Y|2026-09-23|de}}''' umgeleitet. Der Test wird um '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-09-23T14:00|en}} {{#time:H:i e|2026-09-23T14:00}}]''' (17:00 MESZ) beginnen. Leider können aufgrund einiger Einschränkungen der [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]]-Software keine Bearbeitungen vorgenommen werden, während die Umschaltung duchgeführt wird. Wir entschuldigen uns für diese Unterbrechung, und wir werden uns bemühen, derartige Einschränkungen in der Zukunft auf ein Minimum zu beschränken. Auf allen Wikis wird 30 Minuten im Voraus ein Banner erscheinen. Dieses Banner bleibt bis zum Ende des Vorgangs sichtbar. Du kannst zur [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate Übersetzung oder zum Korrekturlesen] dieses Bannertextes beitragen. '''Für eine kurze Zeit können zwar alle Wikis gelesen, aber nicht bearbeitet werden.''' * Am {{#time:j. F Y|2026-09-23|de}} wird bis zu eine Stunde lang das Bearbeiten nicht möglich sein. * In dieser Zeit wird beim Versuch, Bearbeitungen zu speichern, eine Fehlermeldung ausgegeben. Wir hoffen, dass dadurch keine Bearbeitungen verloren gehen, können das aber leider nicht garantieren. Falls eine Fehlermeldung erscheint, warte bitte, bis alles wieder normal ist. Dann sollte es möglich sein, die Bearbeitungen zu speichern. Sicherheitshalber empfehlen wir jedoch, dass du zunächst eine Kopie deiner Änderungen machst. ''Weitere Folgen:'' * Im Hintergrund ablaufende Prozesse (eingebundene Skripte beispielsweise) werden langsamer als sonst ablaufen, einige werden möglicherweise gar nicht ausgeführt. Es kann vorkommen, dass Rotlinks nicht so schnell wie üblich aktualisiert werden. Falls du einen Artikel erstellst, der bereits an einer anderen Stelle verlinkt ist, dann wird der Link an dieser Stelle länger rot bleiben als üblich. Einige lang laufende Skripte werden wir stoppen müssen. * Wir gehen davon aus, dass die Codebereitstellung wie in jeder anderen Woche erfolgen wird. Allerdings kann es von Fall zu Fall zu einem Code-Freeze kommen, wenn der Vorgang dies erfordert. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] wird für etwa 90 Minuten nicht verfügbar sein. Falls nötig, kann der Test verschoben werden. Der Zeitplan ist [[wikitech:Switch_Datacenter|unter wikitech.wikimedia.org zu finden]]. Einzelheiten sind dem Plan zu entnehmen. '''Bitte gib diese Benachrichtigung an deine Community weiter!'''</div><section end="server-switch"/> [[m:user:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] 14:58, 15. Sep. 2026 (CEST) == Your feedback wanted: Remove ''(Language link added:) and similar'' edits from Special:RecentChanges == ''(Apologies for posting in English. You can help by translating it)'' Hello, I’m Danny from [[:en:w:Wikimedia_Deutschland|Wikimedia Deutschland’s]] [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects|Wikidata For Wikimedia Projects]] team.<br/> We have been investigating and examining how Wikidata’s use in the [[Special:RecentChanges]] and [[Special:Watchlist]] pages can be made to be more useful, or less ‘noisy’ (fewer edits that have little value to the reader). We are currently exploring to make a change in the volume and the type of Wikidata edits that appear in these pages, and '''we need your feedback''' to help us ensure this is a positive change for the Wikis and won’t disrupt your workflows.<br/> Language links are also known as sitelinks or interlanguage links and describe when a Wikidata item is connected to a Wiki, adding it to the language dropdown tool for other connected Wikis. [[File:Types of Lang Link changes.png|x350px|frame|A variety of "Language Link" edits as seen in the Recent Changes feed]] The request for feedback is whether you support the removal of these language link edits from the Recent Changes and Watchlist feed, or would you oppose such a change and if so, why? Please share you thoughts on the dedicated '''[[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|metawiki Talk page]]'''. Further information about this change: [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Hide_Language_Link_edits]] Thank you for any participation or feedback you give, -- [[m:User:Danny_Benjafield_(WMDE)|User:Danny Benjafield (WMDE)]] 14:23, 25. Sep. 2026 (CEST) == Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist == ''(Apologies for cross-posting in English, translating it will help spread the message)'' Editors on group 1 wikis, including Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage, and Wikisource, will no longer see notifications on [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. This change will begin on '''October 5 at 07:00 UTC''' as a two-week trial to reduce high-volume, low-value notifications and make higher-value changes easier to identify. Editors who rely on these notifications should be aware of the change and can share feedback or concerns on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project]] or [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]].<br/>Please reach out if you have any questions, thank you! -- [[User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] ([[User_talk:Danny_Benjafield_(WMDE)|talk]]) sent via [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 14:42, 1. Okt. 2026 (CEST) dtya50u011v1j7gwcnmgznz4z4nly5l 1115077 1115071 2026-10-01T22:00:03Z TaxonBot 19115 Bot: 1 Abschnitt nach [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2026]] archiviert – letzte Bearbeitung: [[user:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] (01.10.2026 14:42:32) 1115077 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Einbindung des Links zu den Rechts- und Sicherheitskontakten in die Fußzeile Ihres Wikis == <section begin="Message"/> '''Rechtliche Hinweise und Sicherheitshinweise''' Hallo Community, die Wikimedia Foundation hat eine [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|zentrale Kontaktseite für Rechts- und Sicherheitsfragen]] bereitgestellt, die in der Fußzeile eures Wikis verlinkt werden soll, um den Zugriff auf korrekte rechtliche Informationen zu gewährleisten. Dies ist eine gesetzliche Vorgabe. Wir haben bereits Links zu den englischen, deutschen, italienischen, spanischen und anderen Wikis eingerichtet und werden diese in Kürze auch in eurem Wiki einrichten. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Bitte lest mehr dazu auf der Projektseite]] und hinterlasst eure Kommentare in diesem Thread oder auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|Diskussionsseite]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25. Jun. 2026 (CEST) == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}} You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 14:25, 24. Jul. 2026 (CEST) </bdi> == Server-Wechsel - Euer Wiki wird bald kurzzeitig im nur-lesbaren Modus sein == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|In einer anderen Sprache lesen]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] Die [[foundation:|Wikimedia-Foundation]] wird den Datenverkehr zwischen ihren Rechenzentren wechseln. Dadurch sollen Wikipedia und die anderen Wikimedia-Wikis auch nach einem Notfall erreichbar bleiben. Der gesamte Datenverkehr wird am '''{{#time:j. F Y|2026-09-23|de}}''' umgeleitet. Der Test wird um '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-09-23T14:00|en}} {{#time:H:i e|2026-09-23T14:00}}]''' (17:00 MESZ) beginnen. Leider können aufgrund einiger Einschränkungen der [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]]-Software keine Bearbeitungen vorgenommen werden, während die Umschaltung duchgeführt wird. Wir entschuldigen uns für diese Unterbrechung, und wir werden uns bemühen, derartige Einschränkungen in der Zukunft auf ein Minimum zu beschränken. Auf allen Wikis wird 30 Minuten im Voraus ein Banner erscheinen. Dieses Banner bleibt bis zum Ende des Vorgangs sichtbar. Du kannst zur [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate Übersetzung oder zum Korrekturlesen] dieses Bannertextes beitragen. '''Für eine kurze Zeit können zwar alle Wikis gelesen, aber nicht bearbeitet werden.''' * Am {{#time:j. F Y|2026-09-23|de}} wird bis zu eine Stunde lang das Bearbeiten nicht möglich sein. * In dieser Zeit wird beim Versuch, Bearbeitungen zu speichern, eine Fehlermeldung ausgegeben. Wir hoffen, dass dadurch keine Bearbeitungen verloren gehen, können das aber leider nicht garantieren. Falls eine Fehlermeldung erscheint, warte bitte, bis alles wieder normal ist. Dann sollte es möglich sein, die Bearbeitungen zu speichern. Sicherheitshalber empfehlen wir jedoch, dass du zunächst eine Kopie deiner Änderungen machst. ''Weitere Folgen:'' * Im Hintergrund ablaufende Prozesse (eingebundene Skripte beispielsweise) werden langsamer als sonst ablaufen, einige werden möglicherweise gar nicht ausgeführt. Es kann vorkommen, dass Rotlinks nicht so schnell wie üblich aktualisiert werden. Falls du einen Artikel erstellst, der bereits an einer anderen Stelle verlinkt ist, dann wird der Link an dieser Stelle länger rot bleiben als üblich. Einige lang laufende Skripte werden wir stoppen müssen. * Wir gehen davon aus, dass die Codebereitstellung wie in jeder anderen Woche erfolgen wird. Allerdings kann es von Fall zu Fall zu einem Code-Freeze kommen, wenn der Vorgang dies erfordert. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] wird für etwa 90 Minuten nicht verfügbar sein. Falls nötig, kann der Test verschoben werden. Der Zeitplan ist [[wikitech:Switch_Datacenter|unter wikitech.wikimedia.org zu finden]]. Einzelheiten sind dem Plan zu entnehmen. '''Bitte gib diese Benachrichtigung an deine Community weiter!'''</div><section end="server-switch"/> [[m:user:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] 14:58, 15. Sep. 2026 (CEST) == Your feedback wanted: Remove ''(Language link added:) and similar'' edits from Special:RecentChanges == ''(Apologies for posting in English. You can help by translating it)'' Hello, I’m Danny from [[:en:w:Wikimedia_Deutschland|Wikimedia Deutschland’s]] [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects|Wikidata For Wikimedia Projects]] team.<br/> We have been investigating and examining how Wikidata’s use in the [[Special:RecentChanges]] and [[Special:Watchlist]] pages can be made to be more useful, or less ‘noisy’ (fewer edits that have little value to the reader). We are currently exploring to make a change in the volume and the type of Wikidata edits that appear in these pages, and '''we need your feedback''' to help us ensure this is a positive change for the Wikis and won’t disrupt your workflows.<br/> Language links are also known as sitelinks or interlanguage links and describe when a Wikidata item is connected to a Wiki, adding it to the language dropdown tool for other connected Wikis. [[File:Types of Lang Link changes.png|x350px|frame|A variety of "Language Link" edits as seen in the Recent Changes feed]] The request for feedback is whether you support the removal of these language link edits from the Recent Changes and Watchlist feed, or would you oppose such a change and if so, why? Please share you thoughts on the dedicated '''[[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|metawiki Talk page]]'''. Further information about this change: [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Hide_Language_Link_edits]] Thank you for any participation or feedback you give, -- [[m:User:Danny_Benjafield_(WMDE)|User:Danny Benjafield (WMDE)]] 14:23, 25. Sep. 2026 (CEST) == Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist == ''(Apologies for cross-posting in English, translating it will help spread the message)'' Editors on group 1 wikis, including Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage, and Wikisource, will no longer see notifications on [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. This change will begin on '''October 5 at 07:00 UTC''' as a two-week trial to reduce high-volume, low-value notifications and make higher-value changes easier to identify. Editors who rely on these notifications should be aware of the change and can share feedback or concerns on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project]] or [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]].<br/>Please reach out if you have any questions, thank you! -- [[User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] ([[User_talk:Danny_Benjafield_(WMDE)|talk]]) sent via [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 14:42, 1. Okt. 2026 (CEST) m5zb7nf32b413j8e1dh3eeb9i70707y 0 93482 1115125 1114024 2026-10-02T10:57:45Z Bert Niehaus 20843 /* Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen */ 1115125 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref> in einem [[Funktionenraum]]. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>, <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra dar mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,...) für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nun auf Farbbilder, wobei die Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]). Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> p2z718h3jiseekhbv3fvdzffxdpig83 1115126 1115125 2026-10-02T11:00:07Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115126 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref> in einem [[Funktionenraum]]. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>, <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra dar mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,...) für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nun auf Farbbilder, wobei die Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]). Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Funktionenraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> 7g6dry6era6lnuteyzs9az7p2tcljnm 1115127 1115126 2026-10-02T11:01:25Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115127 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref> in einem [[Funktionenraum]]. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math> her. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3. Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>, <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra dar mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,...) für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nun auf Farbbilder, wobei die Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]). Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Funktionenraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[/konvexe Hülle/]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> 6ldlih35s346li4eihstswdvnta4v4i 0 112532 1115093 1077003 2026-10-02T09:08:38Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1115093 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ;Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Division :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ;Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Subtraktion :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b a</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== ==== Produkte ==== Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. ==== Quotienten ==== Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y</math> angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Insbesondere ergibt sich daraus (da <math>\log 1 = 0</math>): :<math>\log_b \frac 1x = - \log_b x</math> Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]]<nowiki />gesetz: :<math>\log_b \frac{x}{y} = - \log_b \frac{y}{x}</math> ==== Summen und Differenzen (selten genutzt)==== Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> ==== Potenzen ==== Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. ==== Wurzeln ==== Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x. </math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> # Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> # Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] 389ji991sg6kns8zjovd7s002s6fa58 1115094 1115093 2026-10-02T09:08:51Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115094 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ;Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Division :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ;Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Subtraktion :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b a</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== ==== Produkte ==== Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. ==== Quotienten ==== Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y</math> angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Insbesondere ergibt sich daraus (da <math>\log 1 = 0</math>): :<math>\log_b \frac 1x = - \log_b x</math> Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]]<nowiki />gesetz: :<math>\log_b \frac{x}{y} = - \log_b \frac{y}{x}</math> ==== Summen und Differenzen (selten genutzt)==== Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> ==== Potenzen ==== Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. ==== Wurzeln ==== Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x. </math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> # Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> # Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] jzfb9rdhrmt9c4n7kg91k7yv9ospjfn 1115095 1115094 2026-10-02T09:13:07Z Bert Niehaus 20843 /* Bezug zum Potenzfunktion */ 1115095 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b a</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== ==== Produkte ==== Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. ==== Quotienten ==== Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y</math> angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Insbesondere ergibt sich daraus (da <math>\log 1 = 0</math>): :<math>\log_b \frac 1x = - \log_b x</math> Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]]<nowiki />gesetz: :<math>\log_b \frac{x}{y} = - \log_b \frac{y}{x}</math> ==== Summen und Differenzen (selten genutzt)==== Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> ==== Potenzen ==== Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. ==== Wurzeln ==== Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x. </math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> # Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> # Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] eg6828qzmtlxd91yri18rh9rc9iw3sc 1115096 1115095 2026-10-02T09:13:24Z Bert Niehaus 20843 /* Schreibweise */ 1115096 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== ==== Produkte ==== Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. ==== Quotienten ==== Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y</math> angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Insbesondere ergibt sich daraus (da <math>\log 1 = 0</math>): :<math>\log_b \frac 1x = - \log_b x</math> Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]]<nowiki />gesetz: :<math>\log_b \frac{x}{y} = - \log_b \frac{y}{x}</math> ==== Summen und Differenzen (selten genutzt)==== Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> ==== Potenzen ==== Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. ==== Wurzeln ==== Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x. </math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> # Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> # Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] g28vmy38ar2x6vico0np8byu9plrnf3 1115097 1115096 2026-10-02T09:21:49Z Bert Niehaus 20843 /* Quotienten */ 1115097 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== ==== Produkte ==== Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. ==== Quotienten ==== Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b (x) - \log_b(y)</math> angegeben. ==== Bemerkung - Quotient ==== Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Dabei wird ein multiplikative Verknüpfung im Argument des Logarithmus in eine additive Verknüpfung transformiert. ==== Multiplikativ inverse Element ==== Möchte man zu einer gegeben reellen Zahl <math>x > 0 </math> den Logarithmus des multiplikativ inversen Elementes <math>\tfrac{1}{x}</math> bestimmen, so erhält man insbesondere wegen <math>\log_b( 1) = 0</math> die Gleichung: :<math>\log_b \left(\frac{1}{x}\right) = - \log_b(x)</math> ==== Logarithmus des Kehrwertes ==== Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]]<nowiki />gesetz: :<math>\log_b \left( \frac{x}{y}\right) = - \log_b \left( \frac{y}{x}\right) </math> ==== Summen und Differenzen (selten genutzt)==== Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> ==== Potenzen ==== Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. ==== Wurzeln ==== Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x. </math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> # Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> # Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] n5e8xn15gtaeb9ram30a0nxqi5swl1x 1115098 1115097 2026-10-02T09:22:44Z Bert Niehaus 20843 /* Logarithmus des Kehrwertes */ 1115098 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== ==== Produkte ==== Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. ==== Quotienten ==== Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b (x) - \log_b(y)</math> angegeben. ==== Bemerkung - Quotient ==== Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Dabei wird ein multiplikative Verknüpfung im Argument des Logarithmus in eine additive Verknüpfung transformiert. ==== Multiplikativ inverse Element ==== Möchte man zu einer gegeben reellen Zahl <math>x > 0 </math> den Logarithmus des multiplikativ inversen Elementes <math>\tfrac{1}{x}</math> bestimmen, so erhält man insbesondere wegen <math>\log_b( 1) = 0</math> die Gleichung: :<math>\log_b \left(\frac{1}{x}\right) = - \log_b(x)</math> ==== Logarithmus des Kehrwertes ==== Allgemeiner ergibt sich für den [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]] direkt aus der obigen Quotientenregel das folgende Kehrwertgesetz: :<math>\log_b \left( \frac{x}{y}\right) = - \log_b \left( \frac{y}{x}\right) </math> ==== Summen und Differenzen (selten genutzt)==== Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> ==== Potenzen ==== Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. ==== Wurzeln ==== Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x. </math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> # Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> # Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] smdls5rgbq05nlfvmgtd8xkk5q3c6xh 1115099 1115098 2026-10-02T09:37:02Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregeln */ 1115099 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== Im folgenden werden die Rechenregeln für den Logarithmus für Rechenoperationen behandelt: * '''Multiplikative Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Produkte|Produkte]], [[Logarithmus#Quotienten|Quotienten]] und [[Logarithmus#Inverse|inverses Element]] * '''Additive Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Transformation|Transformation von Summe in Produktdarstellung]], * '''Potenzen und Wurzeln''' [[Logarithmus#Potenzen|Potenzen]], [[Logarithmus#Wurzeln|Wurzel]] und [[Logarithmus#Basisumrechnung|Basisumrechnung]] für den natürlichen Logarithmus <span id="Produkte"></span> === Produkte === Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. <span id=""></span> === Quotienten === Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b (x) - \log_b(y)</math> angegeben. ==== Bemerkung - Quotient ==== Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Dabei wird ein multiplikative Verknüpfung im Argument des Logarithmus in eine additive Verknüpfung transformiert. <span id="Inverse"></span> === Multiplikativ inverses Elemente === Möchte man zu einer gegeben reellen Zahl <math>x > 0 </math> den Logarithmus des multiplikativ inversen Elementes <math>\tfrac{1}{x}</math> bestimmen, so erhält man insbesondere wegen <math>\log_b( 1) = 0</math> die Gleichung: :<math>\log_b \left(\frac{1}{x}\right) = - \log_b(x)</math> ==== Logarithmus des Kehrwertes ==== Allgemeiner ergibt sich für den [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]] direkt aus der obigen Quotientenregel das folgende Kehrwertgesetz: :<math>\log_b \left( \frac{x}{y}\right) = - \log_b \left( \frac{y}{x}\right) </math> <span id="Transformation"></span> === Transformation von Summen in Produkte === Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> <span id="Potenzen"></span> === Potenzen === Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. <span id="Wurzeln"></span> === Wurzeln === Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac{1}{x}\log_b (x). </math> ===Aufgaben=== * Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> * Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> * Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] 2cu341lfpidbptwc4uuvar4cisuyqlf 1115100 1115099 2026-10-02T09:44:58Z Bert Niehaus 20843 /* Basisumrechnung */ 1115100 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== Im folgenden werden die Rechenregeln für den Logarithmus für Rechenoperationen behandelt: * '''Multiplikative Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Produkte|Produkte]], [[Logarithmus#Quotienten|Quotienten]] und [[Logarithmus#Inverse|inverses Element]] * '''Additive Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Transformation|Transformation von Summe in Produktdarstellung]], * '''Potenzen und Wurzeln''' [[Logarithmus#Potenzen|Potenzen]], [[Logarithmus#Wurzeln|Wurzel]] und [[Logarithmus#Basisumrechnung|Basisumrechnung]] für den natürlichen Logarithmus <span id="Produkte"></span> === Produkte === Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. <span id=""></span> === Quotienten === Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b (x) - \log_b(y)</math> angegeben. ==== Bemerkung - Quotient ==== Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Dabei wird ein multiplikative Verknüpfung im Argument des Logarithmus in eine additive Verknüpfung transformiert. <span id="Inverse"></span> === Multiplikativ inverses Elemente === Möchte man zu einer gegeben reellen Zahl <math>x > 0 </math> den Logarithmus des multiplikativ inversen Elementes <math>\tfrac{1}{x}</math> bestimmen, so erhält man insbesondere wegen <math>\log_b( 1) = 0</math> die Gleichung: :<math>\log_b \left(\frac{1}{x}\right) = - \log_b(x)</math> ==== Logarithmus des Kehrwertes ==== Allgemeiner ergibt sich für den [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]] direkt aus der obigen Quotientenregel das folgende Kehrwertgesetz: :<math>\log_b \left( \frac{x}{y}\right) = - \log_b \left( \frac{y}{x}\right) </math> <span id="Transformation"></span> === Transformation von Summen in Produkte === Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> <span id="Potenzen"></span> === Potenzen === Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. <span id="Wurzeln"></span> === Wurzeln === Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac{1}{x}\log_b (x). </math> ===Aufgaben=== * Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> * Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> * Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] ajcstqqubhtlpzpnshy6w0t24vuvm5m 1115101 1115100 2026-10-02T10:20:09Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben */ 1115101 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== Im folgenden werden die Rechenregeln für den Logarithmus für Rechenoperationen behandelt: * '''Multiplikative Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Produkte|Produkte]], [[Logarithmus#Quotienten|Quotienten]] und [[Logarithmus#Inverse|inverses Element]] * '''Additive Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Transformation|Transformation von Summe in Produktdarstellung]], * '''Potenzen und Wurzeln''' [[Logarithmus#Potenzen|Potenzen]], [[Logarithmus#Wurzeln|Wurzel]] und [[Logarithmus#Basisumrechnung|Basisumrechnung]] für den natürlichen Logarithmus <span id="Produkte"></span> === Produkte === Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. <span id=""></span> === Quotienten === Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b (x) - \log_b(y)</math> angegeben. ==== Bemerkung - Quotient ==== Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Dabei wird ein multiplikative Verknüpfung im Argument des Logarithmus in eine additive Verknüpfung transformiert. <span id="Inverse"></span> === Multiplikativ inverses Elemente === Möchte man zu einer gegeben reellen Zahl <math>x > 0 </math> den Logarithmus des multiplikativ inversen Elementes <math>\tfrac{1}{x}</math> bestimmen, so erhält man insbesondere wegen <math>\log_b( 1) = 0</math> die Gleichung: :<math>\log_b \left(\frac{1}{x}\right) = - \log_b(x)</math> ==== Logarithmus des Kehrwertes ==== Allgemeiner ergibt sich für den [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]] direkt aus der obigen Quotientenregel das folgende Kehrwertgesetz: :<math>\log_b \left( \frac{x}{y}\right) = - \log_b \left( \frac{y}{x}\right) </math> <span id="Transformation"></span> === Transformation von Summen in Produkte === Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> <span id="Potenzen"></span> === Potenzen === Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. <span id="Wurzeln"></span> === Wurzeln === Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac{1}{x}\log_b (x). </math> === Aufgaben 1 - Rechenregeln === Berechnen Sie die folgenden Logarithmen durch Anwendung von Rechenregeln: * <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> * <math>(\log_{12}(24))^2</math> * <math>\ln(e)</math> und <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b (x) = \frac{\log_a (x)}{\log_a (b)}</math> === Umformung für Basiswechsel === Die obige Rechenregel für die Basisumrechnung gilt, denn mit <math>y = \log_b(x)</math> gelten die Umformungen: :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a \left( b^y \right) &= \log_a (x) \\ y \cdot \log_a (b) &= \log_a (x) \\ y &= \frac{\log_a (x)}{\log_a (b)} \end{align} </math> ==== Umrechnungsfaktor für den natürlichen Logarithmus ==== Für die Berechnung von Logarithmen zu Basis 10 und beliebige gewählten positiven Zahlen <math>x</math> gilt: :<math>\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}</math> Der Umrechnungsfaktor im Quotienten ist näherungsweise <math> \ln(10) \approx 2{,}302585</math>. === Tausch von Basis und Argument für Logarithmen === Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a(b) = \frac{1}{\log_b (a)}</math> oder <math>\log_a (b) \cdot \log_b (a)=1</math> ==== Nachweis der Rechenregel ==== Der Nachweis der Rechenregel erfolgt durch Einsetzen in die obige Gleichung: :<math> \begin{align} b^1 &= b\\ \log_b(b) &= 1\\ \log_a (b) & = \frac{\overbrace{\log_b (b)}^{=1}}{\log_b (a)} = \frac{1}{\log_b (a)} \\ \end{align} </math> ==== Beispiel für Umrechnung in natürlichen Logarithmus ==== Die folgende Beispielrechnung wandelt eine Logaritmus zu Basis 10 in den natürlichen Logarithmus um: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> ===Aufgaben 2 - Basisumrechnung=== * Berechne <math>\log_4(10)</math> * Berechne <math>\log_{12}(36)</math> * Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] te36mpudruyp6zkir5ojh5j1lsrrtln 1115102 1115101 2026-10-02T10:23:24Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1115102 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition Für den Logarithmen in den [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ist die Definition nicht mehr eindeutig (siehe [[Kurs:Funktionentheorie]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]). === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== Im folgenden werden die Rechenregeln für den Logarithmus für Rechenoperationen behandelt: * '''Multiplikative Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Produkte|Produkte]], [[Logarithmus#Quotienten|Quotienten]] und [[Logarithmus#Inverse|inverses Element]] * '''Additive Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Transformation|Transformation von Summe in Produktdarstellung]], * '''Potenzen und Wurzeln''' [[Logarithmus#Potenzen|Potenzen]], [[Logarithmus#Wurzeln|Wurzel]] und [[Logarithmus#Basisumrechnung|Basisumrechnung]] für den natürlichen Logarithmus <span id="Produkte"></span> === Produkte === Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. <span id=""></span> === Quotienten === Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b (x) - \log_b(y)</math> angegeben. ==== Bemerkung - Quotient ==== Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Dabei wird ein multiplikative Verknüpfung im Argument des Logarithmus in eine additive Verknüpfung transformiert. <span id="Inverse"></span> === Multiplikativ inverses Elemente === Möchte man zu einer gegeben reellen Zahl <math>x > 0 </math> den Logarithmus des multiplikativ inversen Elementes <math>\tfrac{1}{x}</math> bestimmen, so erhält man insbesondere wegen <math>\log_b( 1) = 0</math> die Gleichung: :<math>\log_b \left(\frac{1}{x}\right) = - \log_b(x)</math> ==== Logarithmus des Kehrwertes ==== Allgemeiner ergibt sich für den [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]] direkt aus der obigen Quotientenregel das folgende Kehrwertgesetz: :<math>\log_b \left( \frac{x}{y}\right) = - \log_b \left( \frac{y}{x}\right) </math> <span id="Transformation"></span> === Transformation von Summen in Produkte === Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> <span id="Potenzen"></span> === Potenzen === Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. <span id="Wurzeln"></span> === Wurzeln === Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac{1}{x}\log_b (x). </math> === Aufgaben 1 - Rechenregeln === Berechnen Sie die folgenden Logarithmen durch Anwendung von Rechenregeln: * <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> * <math>(\log_{12}(24))^2</math> * <math>\ln(e)</math> und <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b (x) = \frac{\log_a (x)}{\log_a (b)}</math> === Umformung für Basiswechsel === Die obige Rechenregel für die Basisumrechnung gilt, denn mit <math>y = \log_b(x)</math> gelten die Umformungen: :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a \left( b^y \right) &= \log_a (x) \\ y \cdot \log_a (b) &= \log_a (x) \\ y &= \frac{\log_a (x)}{\log_a (b)} \end{align} </math> ==== Umrechnungsfaktor für den natürlichen Logarithmus ==== Für die Berechnung von Logarithmen zu Basis 10 und beliebige gewählten positiven Zahlen <math>x</math> gilt: :<math>\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}</math> Der Umrechnungsfaktor im Quotienten ist näherungsweise <math> \ln(10) \approx 2{,}302585</math>. === Tausch von Basis und Argument für Logarithmen === Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a(b) = \frac{1}{\log_b (a)}</math> oder <math>\log_a (b) \cdot \log_b (a)=1</math> ==== Nachweis der Rechenregel ==== Der Nachweis der Rechenregel erfolgt durch Einsetzen in die obige Gleichung: :<math> \begin{align} b^1 &= b\\ \log_b(b) &= 1\\ \log_a (b) & = \frac{\overbrace{\log_b (b)}^{=1}}{\log_b (a)} = \frac{1}{\log_b (a)} \\ \end{align} </math> ==== Beispiel für Umrechnung in natürlichen Logarithmus ==== Die folgende Beispielrechnung wandelt eine Logaritmus zu Basis 10 in den natürlichen Logarithmus um: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> ===Aufgaben 2 - Basisumrechnung=== * Berechne <math>\log_4(10)</math> * Berechne <math>\log_{12}(36)</math> * Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] jcaos72bco4imlja5d2po30ncfbtpzp 1115103 1115102 2026-10-02T10:24:09Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115103 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition Für den Logarithmen in den [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ist die Definition nicht mehr eindeutig (siehe [[Kurs:Funktionentheorie]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]). === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== Im folgenden werden die Rechenregeln für den Logarithmus für Rechenoperationen behandelt: * '''Multiplikative Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Produkte|Produkte]], [[Logarithmus#Quotienten|Quotienten]] und [[Logarithmus#Inverse|inverses Element]] * '''Additive Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Transformation|Transformation von Summe in Produktdarstellung]], * '''Potenzen und Wurzeln''' [[Logarithmus#Potenzen|Potenzen]], [[Logarithmus#Wurzeln|Wurzel]] und [[Logarithmus#Basisumrechnung|Basisumrechnung]] für den natürlichen Logarithmus <span id="Produkte"></span> === Produkte === Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. <span id=""></span> === Quotienten === Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b (x) - \log_b(y)</math> angegeben. ==== Bemerkung - Quotient ==== Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Dabei wird ein multiplikative Verknüpfung im Argument des Logarithmus in eine additive Verknüpfung transformiert. <span id="Inverse"></span> === Multiplikativ inverses Elemente === Möchte man zu einer gegeben reellen Zahl <math>x > 0 </math> den Logarithmus des multiplikativ inversen Elementes <math>\tfrac{1}{x}</math> bestimmen, so erhält man insbesondere wegen <math>\log_b( 1) = 0</math> die Gleichung: :<math>\log_b \left(\frac{1}{x}\right) = - \log_b(x)</math> ==== Logarithmus des Kehrwertes ==== Allgemeiner ergibt sich für den [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]] direkt aus der obigen Quotientenregel das folgende Kehrwertgesetz: :<math>\log_b \left( \frac{x}{y}\right) = - \log_b \left( \frac{y}{x}\right) </math> <span id="Transformation"></span> === Transformation von Summen in Produkte === Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> <span id="Potenzen"></span> === Potenzen === Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. <span id="Wurzeln"></span> === Wurzeln === Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac{1}{x}\log_b (x). </math> === Aufgaben 1 - Rechenregeln === Berechnen Sie die folgenden Logarithmen durch Anwendung von Rechenregeln: * <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> * <math>(\log_{12}(24))^2</math> * <math>\ln(e)</math> und <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b (x) = \frac{\log_a (x)}{\log_a (b)}</math> === Umformung für Basiswechsel === Die obige Rechenregel für die Basisumrechnung gilt, denn mit <math>y = \log_b(x)</math> gelten die Umformungen: :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a \left( b^y \right) &= \log_a (x) \\ y \cdot \log_a (b) &= \log_a (x) \\ y &= \frac{\log_a (x)}{\log_a (b)} \end{align} </math> ==== Umrechnungsfaktor für den natürlichen Logarithmus ==== Für die Berechnung von Logarithmen zu Basis 10 und beliebige gewählten positiven Zahlen <math>x</math> gilt: :<math>\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}</math> Der Umrechnungsfaktor im Quotienten ist näherungsweise <math> \ln(10) \approx 2{,}302585</math>. === Tausch von Basis und Argument für Logarithmen === Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a(b) = \frac{1}{\log_b (a)}</math> oder <math>\log_a (b) \cdot \log_b (a)=1</math> ==== Nachweis der Rechenregel ==== Der Nachweis der Rechenregel erfolgt durch Einsetzen in die obige Gleichung: :<math> \begin{align} b^1 &= b\\ \log_b(b) &= 1\\ \log_a (b) & = \frac{\overbrace{\log_b (b)}^{=1}}{\log_b (a)} = \frac{1}{\log_b (a)} \\ \end{align} </math> ==== Beispiel für Umrechnung in natürlichen Logarithmus ==== Die folgende Beispielrechnung wandelt eine Logaritmus zu Basis 10 in den natürlichen Logarithmus um: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> ===Aufgaben 2 - Basisumrechnung=== * Berechne <math>\log_4(10)</math> * Berechne <math>\log_{12}(36)</math> * Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] 2goqtkone4frf07hiyt38he7d8gpkbb 1115104 1115103 2026-10-02T10:25:03Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Logarithmus */ 1115104 wikitext text/x-wiki == Einführung == In dieser Lerneinheit wird der reelle Logarithmus <math>log_b(x)</math> mit <math>x > 0</math> und die zugehörigen Rechenregeln behandelt. * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition Für den Logarithmen in den [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ist die Definition nicht mehr eindeutig (siehe [[Kurs:Funktionentheorie]] und [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]]). === Bezug zum Potenzfunktion === Denn es gilt für den Zusammenhang des Logarithmus mit der [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] :<math>x = \log_b(a)</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Division ==== Die folgende Umformung stellt den Bezug zur Umkehrung der Division mit der Multiplikation her. :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ==== Bemerkung - Analogie zur Umkehrung der Subtraktion ==== Analog kann die Subtraktion als Umkehrung als Addition algebraisch betrachtet werden. :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b (a)</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== Im folgenden werden die Rechenregeln für den Logarithmus für Rechenoperationen behandelt: * '''Multiplikative Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Produkte|Produkte]], [[Logarithmus#Quotienten|Quotienten]] und [[Logarithmus#Inverse|inverses Element]] * '''Additive Verknüpfungen:''' [[Logarithmus#Transformation|Transformation von Summe in Produktdarstellung]], * '''Potenzen und Wurzeln''' [[Logarithmus#Potenzen|Potenzen]], [[Logarithmus#Wurzeln|Wurzel]] und [[Logarithmus#Basisumrechnung|Basisumrechnung]] für den natürlichen Logarithmus <span id="Produkte"></span> === Produkte === Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. <span id=""></span> === Quotienten === Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b (x) - \log_b(y)</math> angegeben. ==== Bemerkung - Quotient ==== Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Dabei wird ein multiplikative Verknüpfung im Argument des Logarithmus in eine additive Verknüpfung transformiert. <span id="Inverse"></span> === Multiplikativ inverses Elemente === Möchte man zu einer gegeben reellen Zahl <math>x > 0 </math> den Logarithmus des multiplikativ inversen Elementes <math>\tfrac{1}{x}</math> bestimmen, so erhält man insbesondere wegen <math>\log_b( 1) = 0</math> die Gleichung: :<math>\log_b \left(\frac{1}{x}\right) = - \log_b(x)</math> ==== Logarithmus des Kehrwertes ==== Allgemeiner ergibt sich für den [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]] direkt aus der obigen Quotientenregel das folgende Kehrwertgesetz: :<math>\log_b \left( \frac{x}{y}\right) = - \log_b \left( \frac{y}{x}\right) </math> <span id="Transformation"></span> === Transformation von Summen in Produkte === Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> <span id="Potenzen"></span> === Potenzen === Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. <span id="Wurzeln"></span> === Wurzeln === Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac{1}{x}\log_b (x). </math> === Aufgaben 1 - Rechenregeln === Berechnen Sie die folgenden Logarithmen durch Anwendung von Rechenregeln: * <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> * <math>(\log_{12}(24))^2</math> * <math>\ln(e)</math> und <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b (x) = \frac{\log_a (x)}{\log_a (b)}</math> === Umformung für Basiswechsel === Die obige Rechenregel für die Basisumrechnung gilt, denn mit <math>y = \log_b(x)</math> gelten die Umformungen: :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a \left( b^y \right) &= \log_a (x) \\ y \cdot \log_a (b) &= \log_a (x) \\ y &= \frac{\log_a (x)}{\log_a (b)} \end{align} </math> ==== Umrechnungsfaktor für den natürlichen Logarithmus ==== Für die Berechnung von Logarithmen zu Basis 10 und beliebige gewählten positiven Zahlen <math>x</math> gilt: :<math>\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}</math> Der Umrechnungsfaktor im Quotienten ist näherungsweise <math> \ln(10) \approx 2{,}302585</math>. === Tausch von Basis und Argument für Logarithmen === Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a(b) = \frac{1}{\log_b (a)}</math> oder <math>\log_a (b) \cdot \log_b (a)=1</math> ==== Nachweis der Rechenregel ==== Der Nachweis der Rechenregel erfolgt durch Einsetzen in die obige Gleichung: :<math> \begin{align} b^1 &= b\\ \log_b(b) &= 1\\ \log_a (b) & = \frac{\overbrace{\log_b (b)}^{=1}}{\log_b (a)} = \frac{1}{\log_b (a)} \\ \end{align} </math> ==== Beispiel für Umrechnung in natürlichen Logarithmus ==== Die folgende Beispielrechnung wandelt eine Logaritmus zu Basis 10 in den natürlichen Logarithmus um: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> ===Aufgaben 2 - Basisumrechnung=== * Berechne <math>\log_4(10)</math> * Berechne <math>\log_{12}(36)</math> * Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[w:de:Potenzfunktion|Potenzfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] j7cxxa0ji2vjlxnp1gtt1cwj9kp00gk 106 118356 1115073 1109909 2026-10-01T14:23:03Z Nicole.pander 39567 /* SOSE 2026 */ 1115073 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs zur räumlichen Modellbildung wurde im Sommersemester 2020 erstellt und nutzt den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation im eigenen Browser erhalten und sind bei nächsten Aufruf der Seite nicht mehr sichtbar. == Hinweis == Diese Seite wird während der [[COVID-19|COVID-19-Pandemie]] aufgebaut. Es ist eine Lerneinheit zur räumliche Modellbildung. Bitte informieren Sie sich bzgl. [https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html COVID-19] immer auf * offiziellen Seite von internationalen Gesundheitsbehörden - '''[https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019 Weltgesundheitsorganisation - WHO]''' oder * offiziellen nationalen Einrichtungen - '''[https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html Robert Koch Institut - RKI]<ref>Robert Koch Institut (2020) Informationen zum neuartigen Corona-Virus COVID-19 - URL: https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html - (accessed 2020/03/27)</ref>''' - [https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/about/index.html CDC] über aktuelle Empfehlungen und Hinweise. ::: '''<div style="color:red">Eine Lerneinheit kann nie die Informationen der offiziellen Behörden ersetzen!!!</div>'''. == Wesentliche Begriffsdefinitionen == * [[w:de:Partielle_Ableitung|Partielle Ableitung]], [[ w:Richtungsableitung |Richtungsableitung]] <br> * [[w:de:Gewöhnliche_Differentialgleichung|Gewöhnliche Differentialgleichung]] * [[w:de:Partielle_Differentialgleichung|Partielle Differentialgleichung]] <!-- [[File:Video Gradient.webm|thumb|Gradient und Tangentialebende, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth interaktivem Geogebra-Applet Gradient], Autor L. Sittinger und S. Schmitz ]] [[File:Video Richtungsableitung.webm|thumb|Richtungsableitung, geometrische Darstellung, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Geogebra-Applet Richtungsableitung], Autor L. Sittinger und S. Schmitz]] --> Zu geometrischer Darstellung der partiellen Ableitungen als Komponenten vom Gradientvektor, Tangentialebende, des steilsten Anstiegs siehe [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient], der Richtungsableitung und ihre Approximation durch Differenzenquotient siehe [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (Autor L. Sittinger und S. Schmitz). {| class="wikitable" |+ |- ! Gradient und Tangentialebene !! Richtungsableitung |- | [[File:Video Gradient.webm|500px|Gradient und Tangentialebende]] || [[File:Video Richtungsableitung.webm|500px|Tichtungsableitung]] |- | [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient] (L. Sittinger und S. Schmitz)|| [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (L. Sittinger und S. Schmitz) |} == Lernressourcen == <!-- Kommentartext * [[/Aufgaben Tutorium SS2020/]]--> * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung|Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung ]] * [[COVID-19]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] * [[/Deterministisches Kontaktmodell/]] === Kontinuerliche Modellierung === In diesem Teil des Kurses werden kontinuerliche Modelle für räumliche (Verbreitungs)Prozesse mithilfe Differentialgleichungen studiert und in der Modellierung der Coronaverbreitung angewendet. In solchem Modellen sind die gesuchte Größen (Konzentration eines Stoffes oder der Corona-Infizierten Menschen) als makroskopische Größen betrachtet und als unbekannte Dichtefunktion der Raum- und Zeitveränderlichen <math display="block"> {\bf u} (x,t), x \in \mathbb R^n, \ t \in \mathbb R^+</math> beschrieben.<br> Die Anzahl der Infizierten auf einer Fläche <math>S</math> im Zeitpunkt <math>t</math> ergibt sich als Integral der Dichtefunktion über diese Fläche, <math>I(t)=\int_S f(x,t) \ dx.</math> <br> Es werden dynamische Populationsmodelle wie [https://de.wikiversity.org/wiki/COVID-19/Mathematische_Modellierung exponenzielle und logistische], Kompartimentmodelle wie [https://de.wikipedia.org/wiki/SIR-Modell SIR-Modell] im Kursteil [[Kurs:Räumliche Modellbildung#Epidemiologie_-_Modellbildung|Epidemiologie - Modellbildung]] vorgestellt und in diesem Kursteil mit räumlichen Diffusionsprozessen verknüpft. Das resultierende [https://de.wikipedia.org/wiki/Reaktionsdiffusionsgleichung Reaktion-Difussionsmodell] wird in diesem Kursteil näher studiert. Die numerische Diskretisierung mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Differenzen-Methode Finite-Differenzen-Methode] wird implementiert und praktisch angewendet. Inhalte des Kurses Kontinuerliche Modellierung: ==== Einstieg in die räumliche Modellierung ==== * [[/Deterministisches Kontaktmodell/| Deterministisches Kontakt-Modell]] ==== [[Reaktion-Diffusionsprozess|Reaktionsdiffusiongleichung ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Reaktion-Diffusionsprozess&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&audioslide=yes Folien 06.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== [[Modelle der Populationsdynamik|Modelle der Populationsdynamik ]] ==== * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], (Anna Hundertmark - 2020) ==== [[Numerische Modellierung der Diffusion| Numerische Modellierung des Reaktionsdiffusionsprozesses ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Numerische%20Modellierung%20der%20Diffusion&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 16.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], <br> ==== Tutorium zu kontinuerlichen Modellierung ==== <!-- ===== Kontakt-Modell ===== --> <!-- Kommentartext * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|1. Tutoriumaufgabe.]]- Kontaktmodell. --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#1._Übungsaufgabe_SW1%3A_Kontaktmodell |1. Tutoriumaufgabe]]- Kontaktmodell <!-- ===== Reaktion-Diffusionsprozess ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|2. Tutoriumaufgabe.]]- Fundamentallösungen der Poisson und der Diffusionsgleichung. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|3. Tutoriumaufgabe.]]- Kompartimentmodelle für die dynamische Beschreibung der Infektionsverbreitung und die Datenlage --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#2._Übungsaufgabe_SW2_- Fundamentallösungen |2. Tutoriumaufgabe]]- Fundamenallösunen der Diffusionsgleichung <!-- ===== Populationsmodelle ===== --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#3._Übungsaufgabe_SW5:_Kompartimentmodelle|3. Tutoriumaufgabe]]- SIR Populationsmodell <!-- ===== Numerischen Modellierung ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|4. Tutoriumaufgabe.]]- Randwertaufgabe für Poissongleichung mit Finite-Differenzen-Verfahren. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|5. Tutoriumaufgabe.]]- Epidemiologische Modellierung durch numerische Diskretisierung --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#4._Übungsaufgabe_SW7:_Poissongleichung_mit_FDM|4. Tutoriumaufgabe]]- FDM für Poisongleichung * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#5._Übungsaufgabe_SW11:_Epidemiologische_Modellierung_als_Reaktionsdiffusionsprozess_mit_FDM|5. Tutoriumaufgabe]] - Räumliche Epidemieausbreitung mit FDM ==== Studentische Arbeiten zur kontinuerlichen Modellierung SOSE 2020==== * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_1#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 1]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_4| Gruppe 4]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_6#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 6]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_8#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 8 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_11 | Gruppe 11]] ==== Studentische Arbeiten SOSE 2021==== Sie können sich einem dieser Gruppenseiten zuordnen: * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_2#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 2]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_3| Gruppe 3]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_5#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 5]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_7#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 7 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_9 | Kirstin, Erika, Moritz, Erik]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_10 | Gruppe 10]] oder eine neue Gruppe bilden: * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_13| Gruppe 13]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_14| Gruppe 14]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_15| Gruppe 15]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_16| Gruppe 16]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr |Gruppe 17]] ==== Studentische Arbeiten Thema Fluiddynamik ==== ===== SOSE 2022 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr18 |Gruppe 18]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr19 |Gruppe 19]] ===== SOSE 2023 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr1 |Gruppe 1: Simulation des Luftstroms in einer Blockflöte]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr2 |Gruppe 2: Simulation einer Ölverschmutzung des Rheins]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr3 |Gruppe 3: Simulation der Aerodynamik verschiedener Autoformen]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr4 |Gruppe 4: Simulation eines Windrades in 2D und 3D]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr5 |Gruppe 5: Simulation des Windschattens bei Radfahrern in 2D]] * [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung#Modellierungszyklus_4_-_Implementierung_in_Comsol_2D| Gruppe 6: Simulation Aerosolen im Klassenzimmer]] ===== SOSE 2026 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_1|Gruppe_1: Ausbreitung von Zigarettenrauch]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_2|Gruppe_2: Strömungssimulation von Lachs und Wal]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_3|Gruppe_3: Die Simulation einer Flussrinne]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_4|Gruppe_4: Strohhalm]] * Gruppe_5: Stenose - Verengung der Halsschlagader === Diskrete Modellbildung === In diesem Kursteil gehen wir von der epidemiologischen Situation<ref>„Epidemiologie“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. April 2021, 13:41 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Epidemiologie&oldid=210784660 (Abgerufen: 22. April 2021, 10:25 UTC) </ref> aus und versuchen daraus schrittweise die mathematischen Anforderungen und Rahmenbedingungen für die Modellbildung abzuleiten. Die folgenden Wiki2Reveal-Folien können für die Portfolioprüfung verwendet und angepasst werden. Ob Erweiterungen vorgenommen werden oder eine eigen Wiki2Reveal-Präsentation verwendet wird, wir jeweils in der Lehrveranstaltung besprochen * '''[[/COVID-19/|COVID-19 Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung/COVID-19&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 15.04.2021]) - EN - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== Mathematische Modellbildung COVID-19 ==== Unter der Lernressource '''[[COVID-19/Mathematische_Modellbildung|Mathematische Modellbildung COVID-19]]''' finden Sie einführende Informationen zur mathematischen Modellbildung von COVID-19, die als mathematische Werkzeuge untersucht werden, aber nicht zur tatsächlichen Risikoabschätzung verwendet werden sollten (dazu bitte RKI, WHO, Gesundheitsbehörden, ...) * '''[[Epidemiologische Distanz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Epidemiologische%20Distanz&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellierung&language=de&audioslide=yes Folien 22.04.2021]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum:]]''' Zeitspanne über die die Krankheitsentwicklung modelliert wird. === Beiträge zu Wikiversity === In dem folgenden Dokument werden die Beiträge gelistet, die einzelne Gruppe/Studierende zu der kollaborativen Entwicklung von Inhalten beigetragen haben. Verweisen Sie auf den entsprechenden Artikel in Wikiversity den Sie optimiert haben, bzw. den Sie in Absprache in der Lehrveranstaltungen selbst oder in der Gruppe erstellt haben. * [[/SoSe 2021/]] * [[/Arbeitsaufträge/|Arbeitsaufträge diskrete Modellbildung]] === Zitieren von Vorarbeiten === Auch in Wikiversity kann man und sollte man Vorarbeiten von anderen Studierende oder anderen Mitgliedern der Wiki-Gemeinschaft in anderen Artikeln zitieren. Dies ist auf jeder Seite in Wikipedia und Wikiversity mit dem Menüpunkt "Diese Seite zitieren" möglich. ==== Gruppenarbeit in Videokonferenz ==== In einem [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Videokonferenzsystem kann Gruppenarbeit]] abbgebildet werden (Breakouträume in BigBlueButton). Es wird versucht die Gruppengröße an die Schwierigkeit der Aufgaben für die Gruppenarbeit anzupassen. == Zeiten Flipped Classroom == In Breakout-Räumen in BigBlueButton werden die individuellen Arbeiten in den Gruppen besprochen. Es werden Zeit-Slots in Breakouträumen für die Gruppen angeboten ('''Termin 15.04.2021 12c.t.'''): Die Breakouträume sind mit Links hinterlegt, auf denen Sie vorab Kernfragen für die individuelle Betreuung in den Breakouträumen definieren können. Das erlaubt die Planung bestimmte Gruppen mit gleichen Themen zusammenzufassen. Die Nummern der Breakouträume werden in der Regel konsistent zu den Gruppennummer gewählt. Es kann aber auch sein, dass sich Gruppe 1 (VN) und Gruppe 7 (HP) gemeinsam im Breakoutraum 1 treffen sollen, weil ein bestimmtes Thema beide Gruppen betrifft. Dann würde das jeweils angegeben. === Gruppenseiten === Wenn Sie auf den Gruppenlink klicken kommen Sie auf Ihre Wikiversity-Gruppenseite, auf der Sie Informationen aus Ihren Portfolio zusammentragen können. Diese Informationen sind die Grundlage für die Prüfung. Sie können bei anderen Gruppen schauen und ihre Arbeit anpassen. Verwenden Sie die Option "Seite zitieren", um wie bei einer wissenschaftlichen Veröffentlichung auf die Arbeiten anderer Gruppen zu verweisen {| class="wikitable sortable" |+ Projektdokumentation |- ! Gruppe (Kürzel) !! Doku !! Funktionen !! Implementation !! Octave-Tut !! Script-URL !! Fertig |- | '''[[/Gruppe 1/|Gruppe 1:]]''' - (NWG) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 1/Script/|Script 1]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 2/|Gruppe 2:]]''' - (GLP) || Dok100% || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 2/Script/|Script 2]] || JA |- | '''[[/Gruppe 3/|Gruppe 3:]]''' - (D) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 3/Script/|Script 3]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 4/|Gruppe 4:]]''' - (HHL) || Dok || Fkt || Imp75% || || [[/Gruppe 4/Script/|Script 4]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 5/|Gruppe 5:]]''' - (CGL) || Dok || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 5/Script/|Script 5]] || JA |- | '''[[/Gruppe 6/|Gruppe 6:]]''' - (KWS) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 6/Script/|Script 6]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 7/|Gruppe 7:]]''' - (HP) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 7/Script/|Script 7]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 8/|Gruppe 8:]]''' - (ST) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 8/Script/|Script 8]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 9/|Gruppe 9:]]''' - (OK) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 9/Script/|Script 9]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 10/|Gruppe 10:]]''' - (VT) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 10/Script/|Script 10]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 11/|Gruppe 11:]]''' - (BSM) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 11/Script/|Script 11]] || JA |- | '''[[/Gruppe 12/|Gruppe 12:]]''' - (KKS) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 12/Script/|Script 12]] || NEIN |} === Zeitplanung 15.04.2021 === * Wenn Breakoutzeiten unbelegt bleiben, beginnt die Gruppenphase später. * Definition von mathematischen Funktionen: Wählen Sie in Ihrem Projekt eine kleine Funktion aus der Implementierung der Modellbildung aus und dokumentieren Sie diese. Auf den Gruppenseiten sollten die Funktionen ** sowohl in einer mathematischen Schreibweise als Funktion definiert sein und ** als dokumentierter Code in Octave mit Eingabeparametern (Definitionsbereich) und Rückgabewerten (Wertebereich ** Passen Sie dazu die bereitgestellten Textblöcke auf Ihren Gruppenseiten an. ** Für die Prüfung benötigen Sie keine LibreOffice-Impress-Folien. Ein exportiertes PDF-Dokument reicht. {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15-12:30 min (EN) |- | '''Breakoutraum 5:''' || [[/Gruppe 5/]] || Gruppenphase 0:00 - 15min (CGL) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 12/]] - || Gruppenphase +0:15 - 15min (KKS) |- | '''Breakoutraum 4:''' ||[[/Gruppe 4/]] || Gruppenphase +0:30 - 15min (HHL) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 2 /]] || Gruppenphase +0:45 - 15min (GLP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Gruppenphase +1:00 - 15min (DJ) |} === Zeitplanung 22.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15- 12:30min (EN) |- | '''Breakoutraum 7:''' ||[[/Gruppe 7/]] || Do 12:30-12:45 - 15min (HP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Do 12:45-13:00 - 15min (DJ) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 9/]] || Do 13:00-13:15 - 15min (OK) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 1/]] - Nachholtermin || Do 13:15-13:30 - 15min (VN) |- | '''Breakoutraum 8:''' || [[/Gruppe 8/]] - Nachholtermin || Do 13:30-13:45 - 15min (ST) |} === Zeitplanung 29.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[/Plenum/|Zusammenfassung der Rückmeldung]] || Do 12:15-12:45 - 30min (EN) |- | '''[[/Gruppe 6/|Breakoutraum 6:]]''' || Gruppentermin 6 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 12:45-13:00 - 15min - (KWS) |- | '''[[/Gruppe 7/|Breakoutraum 7:]]''' || Gruppentermin 7 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 13:00-13:15 - 15min - (HP) |- | '''[[/Gruppe 1/|Breakoutraum 1:]]''' || Gruppentermin 1 || Do 13:15-13:30 - 15min - (VN) |- | '''[[/Gruppe 8/|Breakoutraum 8:]]''' || Neue Gruppe 8 - ohne Vorstellung in der Übung || Do 13:30-13:45 - 15min - (ST) |} Bitte dokumentieren Sie Ihr Projekt auf den Gruppenseiten und kennzeichnen Sie Ihre Gruppe durch ein selbst gewähltes eindeutiges '''<div style="color:red">Namenskürzel der Gruppe</div>''', z.B. wenn sich Ihre Gruppe zu einem bestimmten Zeitfenster in einem Breakoutroum trifft '''<div style="color:red">(ABC) 22.06.2020 Breakoutroom 5</div>''' ein * z.B. wie bei (EN) bei Plenum * Nennen Sie die Gruppe und das Gruppenkürzel und belegen Sie die freien Beratungsplätze. * Sie können den Breakoutraum während der gesamten Gruppenarbeitsphase verwenden. Die angegebenen Zeiten beziehen sich auf die geplante Besuchszeit des Dozenten in der Gruppe. * Speichern Sie die geteilten Dokumente vor dem Verlassen der Breakouträume ab bzw. machen Sie Screenshots von den Skizzen. [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf Leere Arbeitsblätter]<ref>Bert Niehaus (2020) [https://niebert.github.io/wikiversity_files Leere Arbeitsblätter für Gruppenarbeit in Breakouträumen von BigBlueButton] - URL: https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf - Enthalten im GitHub-ZIP File </ref> können * Besuch des Dozenten in den Breakouträume findet ungefähr in dem angegebenen Zeitfenster statt * Wenn z.B. die Zeiten für die individuelle Arbeitsruppenberatung nicht ausreichend sind. == Siehe auch == * [[Graph einer Funktion]] * [[w:de:Optimierung_(Mathematik)|Optimierung in der Mathematik]] * [[Räumliche Diffusion]] * [[/Explizte-implizite Modelle/]] * [[COVID-19/Mathematische_Modellierung]] * [[Octave-Tutorial]] * [[Octave-Tutorial/Funktionsdefinition|Funktionsdefinition in Octave]] * [[b:Octave_Programming_Tutorial|Wikibook zu Octave]] * [[Humanitarian Open Streetmap]] - Kartenerstellung für humanitäre Zwecke - Räumliche Modellbildung für die Erstellung von Risikokarten. * [[Kontinuitätsgleichung]] == Externe Links == * [https://www.hotosm.org/impact-areas/public-health/ HOT-OSM Public Health] == Quellen/Literatur == [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Epidemiologie]] [[Kategorie:Mathematische Modellierung]] 74gpeil845rj7qo2p6qjp03k5sz2hwr 1115074 1115073 2026-10-01T14:24:43Z Nicole.pander 39567 /* SOSE 2026 */ 1115074 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs zur räumlichen Modellbildung wurde im Sommersemester 2020 erstellt und nutzt den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation im eigenen Browser erhalten und sind bei nächsten Aufruf der Seite nicht mehr sichtbar. == Hinweis == Diese Seite wird während der [[COVID-19|COVID-19-Pandemie]] aufgebaut. Es ist eine Lerneinheit zur räumliche Modellbildung. Bitte informieren Sie sich bzgl. [https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html COVID-19] immer auf * offiziellen Seite von internationalen Gesundheitsbehörden - '''[https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019 Weltgesundheitsorganisation - WHO]''' oder * offiziellen nationalen Einrichtungen - '''[https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html Robert Koch Institut - RKI]<ref>Robert Koch Institut (2020) Informationen zum neuartigen Corona-Virus COVID-19 - URL: https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html - (accessed 2020/03/27)</ref>''' - [https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/about/index.html CDC] über aktuelle Empfehlungen und Hinweise. ::: '''<div style="color:red">Eine Lerneinheit kann nie die Informationen der offiziellen Behörden ersetzen!!!</div>'''. == Wesentliche Begriffsdefinitionen == * [[w:de:Partielle_Ableitung|Partielle Ableitung]], [[ w:Richtungsableitung |Richtungsableitung]] <br> * [[w:de:Gewöhnliche_Differentialgleichung|Gewöhnliche Differentialgleichung]] * [[w:de:Partielle_Differentialgleichung|Partielle Differentialgleichung]] <!-- [[File:Video Gradient.webm|thumb|Gradient und Tangentialebende, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth interaktivem Geogebra-Applet Gradient], Autor L. Sittinger und S. Schmitz ]] [[File:Video Richtungsableitung.webm|thumb|Richtungsableitung, geometrische Darstellung, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Geogebra-Applet Richtungsableitung], Autor L. Sittinger und S. Schmitz]] --> Zu geometrischer Darstellung der partiellen Ableitungen als Komponenten vom Gradientvektor, Tangentialebende, des steilsten Anstiegs siehe [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient], der Richtungsableitung und ihre Approximation durch Differenzenquotient siehe [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (Autor L. Sittinger und S. Schmitz). {| class="wikitable" |+ |- ! Gradient und Tangentialebene !! Richtungsableitung |- | [[File:Video Gradient.webm|500px|Gradient und Tangentialebende]] || [[File:Video Richtungsableitung.webm|500px|Tichtungsableitung]] |- | [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient] (L. Sittinger und S. Schmitz)|| [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (L. Sittinger und S. Schmitz) |} == Lernressourcen == <!-- Kommentartext * [[/Aufgaben Tutorium SS2020/]]--> * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung|Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung ]] * [[COVID-19]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] * [[/Deterministisches Kontaktmodell/]] === Kontinuerliche Modellierung === In diesem Teil des Kurses werden kontinuerliche Modelle für räumliche (Verbreitungs)Prozesse mithilfe Differentialgleichungen studiert und in der Modellierung der Coronaverbreitung angewendet. In solchem Modellen sind die gesuchte Größen (Konzentration eines Stoffes oder der Corona-Infizierten Menschen) als makroskopische Größen betrachtet und als unbekannte Dichtefunktion der Raum- und Zeitveränderlichen <math display="block"> {\bf u} (x,t), x \in \mathbb R^n, \ t \in \mathbb R^+</math> beschrieben.<br> Die Anzahl der Infizierten auf einer Fläche <math>S</math> im Zeitpunkt <math>t</math> ergibt sich als Integral der Dichtefunktion über diese Fläche, <math>I(t)=\int_S f(x,t) \ dx.</math> <br> Es werden dynamische Populationsmodelle wie [https://de.wikiversity.org/wiki/COVID-19/Mathematische_Modellierung exponenzielle und logistische], Kompartimentmodelle wie [https://de.wikipedia.org/wiki/SIR-Modell SIR-Modell] im Kursteil [[Kurs:Räumliche Modellbildung#Epidemiologie_-_Modellbildung|Epidemiologie - Modellbildung]] vorgestellt und in diesem Kursteil mit räumlichen Diffusionsprozessen verknüpft. Das resultierende [https://de.wikipedia.org/wiki/Reaktionsdiffusionsgleichung Reaktion-Difussionsmodell] wird in diesem Kursteil näher studiert. Die numerische Diskretisierung mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Differenzen-Methode Finite-Differenzen-Methode] wird implementiert und praktisch angewendet. Inhalte des Kurses Kontinuerliche Modellierung: ==== Einstieg in die räumliche Modellierung ==== * [[/Deterministisches Kontaktmodell/| Deterministisches Kontakt-Modell]] ==== [[Reaktion-Diffusionsprozess|Reaktionsdiffusiongleichung ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Reaktion-Diffusionsprozess&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&audioslide=yes Folien 06.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== [[Modelle der Populationsdynamik|Modelle der Populationsdynamik ]] ==== * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], (Anna Hundertmark - 2020) ==== [[Numerische Modellierung der Diffusion| Numerische Modellierung des Reaktionsdiffusionsprozesses ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Numerische%20Modellierung%20der%20Diffusion&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 16.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], <br> ==== Tutorium zu kontinuerlichen Modellierung ==== <!-- ===== Kontakt-Modell ===== --> <!-- Kommentartext * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|1. Tutoriumaufgabe.]]- Kontaktmodell. --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#1._Übungsaufgabe_SW1%3A_Kontaktmodell |1. Tutoriumaufgabe]]- Kontaktmodell <!-- ===== Reaktion-Diffusionsprozess ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|2. Tutoriumaufgabe.]]- Fundamentallösungen der Poisson und der Diffusionsgleichung. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|3. Tutoriumaufgabe.]]- Kompartimentmodelle für die dynamische Beschreibung der Infektionsverbreitung und die Datenlage --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#2._Übungsaufgabe_SW2_- Fundamentallösungen |2. Tutoriumaufgabe]]- Fundamenallösunen der Diffusionsgleichung <!-- ===== Populationsmodelle ===== --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#3._Übungsaufgabe_SW5:_Kompartimentmodelle|3. Tutoriumaufgabe]]- SIR Populationsmodell <!-- ===== Numerischen Modellierung ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|4. Tutoriumaufgabe.]]- Randwertaufgabe für Poissongleichung mit Finite-Differenzen-Verfahren. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|5. Tutoriumaufgabe.]]- Epidemiologische Modellierung durch numerische Diskretisierung --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#4._Übungsaufgabe_SW7:_Poissongleichung_mit_FDM|4. Tutoriumaufgabe]]- FDM für Poisongleichung * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#5._Übungsaufgabe_SW11:_Epidemiologische_Modellierung_als_Reaktionsdiffusionsprozess_mit_FDM|5. Tutoriumaufgabe]] - Räumliche Epidemieausbreitung mit FDM ==== Studentische Arbeiten zur kontinuerlichen Modellierung SOSE 2020==== * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_1#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 1]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_4| Gruppe 4]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_6#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 6]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_8#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 8 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_11 | Gruppe 11]] ==== Studentische Arbeiten SOSE 2021==== Sie können sich einem dieser Gruppenseiten zuordnen: * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_2#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 2]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_3| Gruppe 3]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_5#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 5]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_7#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 7 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_9 | Kirstin, Erika, Moritz, Erik]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_10 | Gruppe 10]] oder eine neue Gruppe bilden: * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_13| Gruppe 13]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_14| Gruppe 14]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_15| Gruppe 15]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_16| Gruppe 16]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr |Gruppe 17]] ==== Studentische Arbeiten Thema Fluiddynamik ==== ===== SOSE 2022 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr18 |Gruppe 18]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr19 |Gruppe 19]] ===== SOSE 2023 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr1 |Gruppe 1: Simulation des Luftstroms in einer Blockflöte]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr2 |Gruppe 2: Simulation einer Ölverschmutzung des Rheins]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr3 |Gruppe 3: Simulation der Aerodynamik verschiedener Autoformen]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr4 |Gruppe 4: Simulation eines Windrades in 2D und 3D]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr5 |Gruppe 5: Simulation des Windschattens bei Radfahrern in 2D]] * [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung#Modellierungszyklus_4_-_Implementierung_in_Comsol_2D| Gruppe 6: Simulation Aerosolen im Klassenzimmer]] ===== SOSE 2026 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_1|Gruppe_1: Ausbreitung von Zigarettenrauch]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_2|Gruppe_2: Strömungssimulation von Lachs und Wal]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_3|Gruppe_3: Die Simulation einer Flussrinne]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_4|Gruppe_4: Strohhalm]] *[[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_5|Gruppe_5: Stenose - Verengung der Halsschlagader]] === Diskrete Modellbildung === In diesem Kursteil gehen wir von der epidemiologischen Situation<ref>„Epidemiologie“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. April 2021, 13:41 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Epidemiologie&oldid=210784660 (Abgerufen: 22. April 2021, 10:25 UTC) </ref> aus und versuchen daraus schrittweise die mathematischen Anforderungen und Rahmenbedingungen für die Modellbildung abzuleiten. Die folgenden Wiki2Reveal-Folien können für die Portfolioprüfung verwendet und angepasst werden. Ob Erweiterungen vorgenommen werden oder eine eigen Wiki2Reveal-Präsentation verwendet wird, wir jeweils in der Lehrveranstaltung besprochen * '''[[/COVID-19/|COVID-19 Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung/COVID-19&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 15.04.2021]) - EN - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== Mathematische Modellbildung COVID-19 ==== Unter der Lernressource '''[[COVID-19/Mathematische_Modellbildung|Mathematische Modellbildung COVID-19]]''' finden Sie einführende Informationen zur mathematischen Modellbildung von COVID-19, die als mathematische Werkzeuge untersucht werden, aber nicht zur tatsächlichen Risikoabschätzung verwendet werden sollten (dazu bitte RKI, WHO, Gesundheitsbehörden, ...) * '''[[Epidemiologische Distanz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Epidemiologische%20Distanz&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellierung&language=de&audioslide=yes Folien 22.04.2021]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum:]]''' Zeitspanne über die die Krankheitsentwicklung modelliert wird. === Beiträge zu Wikiversity === In dem folgenden Dokument werden die Beiträge gelistet, die einzelne Gruppe/Studierende zu der kollaborativen Entwicklung von Inhalten beigetragen haben. Verweisen Sie auf den entsprechenden Artikel in Wikiversity den Sie optimiert haben, bzw. den Sie in Absprache in der Lehrveranstaltungen selbst oder in der Gruppe erstellt haben. * [[/SoSe 2021/]] * [[/Arbeitsaufträge/|Arbeitsaufträge diskrete Modellbildung]] === Zitieren von Vorarbeiten === Auch in Wikiversity kann man und sollte man Vorarbeiten von anderen Studierende oder anderen Mitgliedern der Wiki-Gemeinschaft in anderen Artikeln zitieren. Dies ist auf jeder Seite in Wikipedia und Wikiversity mit dem Menüpunkt "Diese Seite zitieren" möglich. ==== Gruppenarbeit in Videokonferenz ==== In einem [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Videokonferenzsystem kann Gruppenarbeit]] abbgebildet werden (Breakouträume in BigBlueButton). Es wird versucht die Gruppengröße an die Schwierigkeit der Aufgaben für die Gruppenarbeit anzupassen. == Zeiten Flipped Classroom == In Breakout-Räumen in BigBlueButton werden die individuellen Arbeiten in den Gruppen besprochen. Es werden Zeit-Slots in Breakouträumen für die Gruppen angeboten ('''Termin 15.04.2021 12c.t.'''): Die Breakouträume sind mit Links hinterlegt, auf denen Sie vorab Kernfragen für die individuelle Betreuung in den Breakouträumen definieren können. Das erlaubt die Planung bestimmte Gruppen mit gleichen Themen zusammenzufassen. Die Nummern der Breakouträume werden in der Regel konsistent zu den Gruppennummer gewählt. Es kann aber auch sein, dass sich Gruppe 1 (VN) und Gruppe 7 (HP) gemeinsam im Breakoutraum 1 treffen sollen, weil ein bestimmtes Thema beide Gruppen betrifft. Dann würde das jeweils angegeben. === Gruppenseiten === Wenn Sie auf den Gruppenlink klicken kommen Sie auf Ihre Wikiversity-Gruppenseite, auf der Sie Informationen aus Ihren Portfolio zusammentragen können. Diese Informationen sind die Grundlage für die Prüfung. Sie können bei anderen Gruppen schauen und ihre Arbeit anpassen. Verwenden Sie die Option "Seite zitieren", um wie bei einer wissenschaftlichen Veröffentlichung auf die Arbeiten anderer Gruppen zu verweisen {| class="wikitable sortable" |+ Projektdokumentation |- ! Gruppe (Kürzel) !! Doku !! Funktionen !! Implementation !! Octave-Tut !! Script-URL !! Fertig |- | '''[[/Gruppe 1/|Gruppe 1:]]''' - (NWG) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 1/Script/|Script 1]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 2/|Gruppe 2:]]''' - (GLP) || Dok100% || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 2/Script/|Script 2]] || JA |- | '''[[/Gruppe 3/|Gruppe 3:]]''' - (D) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 3/Script/|Script 3]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 4/|Gruppe 4:]]''' - (HHL) || Dok || Fkt || Imp75% || || [[/Gruppe 4/Script/|Script 4]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 5/|Gruppe 5:]]''' - (CGL) || Dok || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 5/Script/|Script 5]] || JA |- | '''[[/Gruppe 6/|Gruppe 6:]]''' - (KWS) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 6/Script/|Script 6]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 7/|Gruppe 7:]]''' - (HP) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 7/Script/|Script 7]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 8/|Gruppe 8:]]''' - (ST) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 8/Script/|Script 8]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 9/|Gruppe 9:]]''' - (OK) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 9/Script/|Script 9]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 10/|Gruppe 10:]]''' - (VT) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 10/Script/|Script 10]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 11/|Gruppe 11:]]''' - (BSM) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 11/Script/|Script 11]] || JA |- | '''[[/Gruppe 12/|Gruppe 12:]]''' - (KKS) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 12/Script/|Script 12]] || NEIN |} === Zeitplanung 15.04.2021 === * Wenn Breakoutzeiten unbelegt bleiben, beginnt die Gruppenphase später. * Definition von mathematischen Funktionen: Wählen Sie in Ihrem Projekt eine kleine Funktion aus der Implementierung der Modellbildung aus und dokumentieren Sie diese. Auf den Gruppenseiten sollten die Funktionen ** sowohl in einer mathematischen Schreibweise als Funktion definiert sein und ** als dokumentierter Code in Octave mit Eingabeparametern (Definitionsbereich) und Rückgabewerten (Wertebereich ** Passen Sie dazu die bereitgestellten Textblöcke auf Ihren Gruppenseiten an. ** Für die Prüfung benötigen Sie keine LibreOffice-Impress-Folien. Ein exportiertes PDF-Dokument reicht. {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15-12:30 min (EN) |- | '''Breakoutraum 5:''' || [[/Gruppe 5/]] || Gruppenphase 0:00 - 15min (CGL) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 12/]] - || Gruppenphase +0:15 - 15min (KKS) |- | '''Breakoutraum 4:''' ||[[/Gruppe 4/]] || Gruppenphase +0:30 - 15min (HHL) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 2 /]] || Gruppenphase +0:45 - 15min (GLP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Gruppenphase +1:00 - 15min (DJ) |} === Zeitplanung 22.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15- 12:30min (EN) |- | '''Breakoutraum 7:''' ||[[/Gruppe 7/]] || Do 12:30-12:45 - 15min (HP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Do 12:45-13:00 - 15min (DJ) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 9/]] || Do 13:00-13:15 - 15min (OK) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 1/]] - Nachholtermin || Do 13:15-13:30 - 15min (VN) |- | '''Breakoutraum 8:''' || [[/Gruppe 8/]] - Nachholtermin || Do 13:30-13:45 - 15min (ST) |} === Zeitplanung 29.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[/Plenum/|Zusammenfassung der Rückmeldung]] || Do 12:15-12:45 - 30min (EN) |- | '''[[/Gruppe 6/|Breakoutraum 6:]]''' || Gruppentermin 6 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 12:45-13:00 - 15min - (KWS) |- | '''[[/Gruppe 7/|Breakoutraum 7:]]''' || Gruppentermin 7 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 13:00-13:15 - 15min - (HP) |- | '''[[/Gruppe 1/|Breakoutraum 1:]]''' || Gruppentermin 1 || Do 13:15-13:30 - 15min - (VN) |- | '''[[/Gruppe 8/|Breakoutraum 8:]]''' || Neue Gruppe 8 - ohne Vorstellung in der Übung || Do 13:30-13:45 - 15min - (ST) |} Bitte dokumentieren Sie Ihr Projekt auf den Gruppenseiten und kennzeichnen Sie Ihre Gruppe durch ein selbst gewähltes eindeutiges '''<div style="color:red">Namenskürzel der Gruppe</div>''', z.B. wenn sich Ihre Gruppe zu einem bestimmten Zeitfenster in einem Breakoutroum trifft '''<div style="color:red">(ABC) 22.06.2020 Breakoutroom 5</div>''' ein * z.B. wie bei (EN) bei Plenum * Nennen Sie die Gruppe und das Gruppenkürzel und belegen Sie die freien Beratungsplätze. * Sie können den Breakoutraum während der gesamten Gruppenarbeitsphase verwenden. Die angegebenen Zeiten beziehen sich auf die geplante Besuchszeit des Dozenten in der Gruppe. * Speichern Sie die geteilten Dokumente vor dem Verlassen der Breakouträume ab bzw. machen Sie Screenshots von den Skizzen. [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf Leere Arbeitsblätter]<ref>Bert Niehaus (2020) [https://niebert.github.io/wikiversity_files Leere Arbeitsblätter für Gruppenarbeit in Breakouträumen von BigBlueButton] - URL: https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf - Enthalten im GitHub-ZIP File </ref> können * Besuch des Dozenten in den Breakouträume findet ungefähr in dem angegebenen Zeitfenster statt * Wenn z.B. die Zeiten für die individuelle Arbeitsruppenberatung nicht ausreichend sind. == Siehe auch == * [[Graph einer Funktion]] * [[w:de:Optimierung_(Mathematik)|Optimierung in der Mathematik]] * [[Räumliche Diffusion]] * [[/Explizte-implizite Modelle/]] * [[COVID-19/Mathematische_Modellierung]] * [[Octave-Tutorial]] * [[Octave-Tutorial/Funktionsdefinition|Funktionsdefinition in Octave]] * [[b:Octave_Programming_Tutorial|Wikibook zu Octave]] * [[Humanitarian Open Streetmap]] - Kartenerstellung für humanitäre Zwecke - Räumliche Modellbildung für die Erstellung von Risikokarten. * [[Kontinuitätsgleichung]] == Externe Links == * [https://www.hotosm.org/impact-areas/public-health/ HOT-OSM Public Health] == Quellen/Literatur == [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Epidemiologie]] [[Kategorie:Mathematische Modellierung]] q1k3c9d68r4ez2wmhcdb6gchug29tqv 106 164665 1115072 1114886 2026-10-01T14:01:17Z Bert Niehaus 20843 /* Vertiefende Lerneinheiten */ 1115072 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Vertiefende Lerneinheiten === * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen == Zweig des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> D </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in D </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Eulersche Formel ==== Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. === Zusammenfassung === * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> ii53xgjcckot4u8kq903y72z9ijxyra 1115079 1115072 2026-10-02T06:12:27Z Bert Niehaus 20843 /* Vertiefende Lerneinheiten */ 1115079 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Vertiefende Lerneinheiten === * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen == Zweig des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> D </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in D </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Eulersche Formel ==== Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. === Zusammenfassung === * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> 66l2n3vfe1rl56hmn1bmjw26xt18smo 1115105 1115079 2026-10-02T10:25:56Z Bert Niehaus 20843 1115105 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Vertiefende Lerneinheiten === * [[/Argumentfunktion/|Argumentfunktion und Polarkoordinatendarstellung]] * [[/generalisiert/|generalisierter Logarithmus]] auf beliebigen [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]], * [[/logmod/|logmod-Funktion]] und Periodizität der Exponentionalfunktion * [[/rlog/|rlog-Funktion]], beschreibt wie oft kann man einen Logarithmus als Verkettung "rekursiv" anwenden kann. * [[/rekursiver Logarithmus/]] als Mehrfachverkettung des Logarithmus mit sich selbst. * [[/Eulersche Nullstellen/]] * [[/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete/]] === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. Diese Konzept der Suche nach potentiellen Umgekehrfunktionen kann in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] nicht eindeutig beantwortet werden. In den komplexen Zahlen gibt unabhängig von der Wahl der Konstanten einer Stammfunktion von <math>\tfrac{1}{z}</math> unterschiedliche Möglichkeiten Logarithmen zu definieren. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen == Zweig des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> D </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in D </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Eulersche Formel ==== Mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] kann die Exponentialfunktion mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> wie folgt zerlegen: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot e^{iy} = e^x\cdot (\cos(y) + i \cdot \sin(y) ) </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \mathbb{D} := \mathbb{R} + i\cdot (-\pi,+\pi) := \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} \subset \mathbb{C} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion <math>\exp : \mathbb{D} \to \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> den "Streifen" <math> \mathbb{D} </math> der Höhe <math>2\pi i</math> bijektiv auf auf den Wertebereich <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ab. === Zusammenfassung === * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive [[holomorphe Funktion]] zu erhalten, muss man den Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und den Wertebereich <math>\mathbb{W}</math> der Logarithmusfunktion <math>\log_G : \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> so einschränken, dass eine bijektive Abbildung. * für die offene Menge <math>\mathbb{D}</math> muss im Allgemeinen nur [[einfach zusammenhängend]] mit <math>0\notin \mathbb{D}</math> sein (siehe auch [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]]). * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math> ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>, wenn <math>w</math> die folgende Gleichung bzgl. einem gegebenen <math>z</math> erfüllt: : <math>\mathrm{e}^w = z</math> === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg(z)}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg(z)</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse <math>\mathcal{N}</math>, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Algebraisch vollständige Logarithmus === Für den [[Polynomialer Nullstellensatz|polynomialen Nullstellensatz]] === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[/generalisiert/|generalisierte Logarithmen]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 30qtv2kec6ft3bvltwryjf51tfe1fyu 0 168221 1115065 1078616 2026-10-01T12:30:58Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115065 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich/|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] g4fi3hhba539jiu74vxgwhjhgrrel40 1115067 1115065 2026-10-01T12:33:10Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115067 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] e5hcwvdkb7cvi3x92xhu95cq45ybvhs 1115068 1115067 2026-10-01T12:33:50Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115068 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] opfrbks8tjmrikggogwoq67ewyb4ct6 1115069 1115068 2026-10-01T12:34:21Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115069 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[holomorphe Funktionen als Vektorfelder]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] tcr7ee8l6x4xgf7odrta92xwl4fndu7 1115070 1115069 2026-10-01T12:35:00Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115070 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] 9xgk81oh5c19hih5ajco2pklelyv2d6 1115122 1115070 2026-10-02T10:56:42Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115122 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] === Folien === * '''[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] mxld20op8tqu9oae4e8wfdzp657k6gm 1115123 1115122 2026-10-02T10:57:14Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115123 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Funktionenraum]] * [[holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] === Folien === * '''[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] eus5tewq6net6qghszscheszpzoamwm 1115124 1115123 2026-10-02T10:57:29Z Bert Niehaus 20843 /* Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen */ 1115124 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref> in einem [[Funktionenraum]]. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Funktionenraum]] * [[holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] === Folien === * '''[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] 5e425pcg97x2zd8ji9sr1es4t5t5ley 106 170330 1115059 1115056 2026-10-01T12:10:01Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115059 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein [[Kurs:Funktionentheorie#Vektorfelder|Vektorfeld]] in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. <span id="Abbildung"></span> === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. <math>\Delta t = \tfrac{b-a}{n}</math> ist die Iterationsschrittweite und <math>t_k := a+ \tfrac{b-a}{n}\cdot k</math> und der Iterationsvorschrift: :<math> \gamma(t_{k+1}):= \gamma(t_k) + f(x)\cdot \Delta t </math> Zerlegen Sie dazu <math>f(z)=z^2</math> in die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math> f=f_1 + i\cdot f_2</math>. === Datei für Aufgabe === Die Lerneinheit folgt dem [[Open Community Approach]]. Daher wird für die Lerneinheit OpenSource-Software verwendet. Die folgende Datei <tt>[https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Funktionentheorie/Weg_in_Vektorfeld.ods Weg_in_Vektorfeld.ods]</tt><ref>Niehaus, Bert (2026) wikiversity_files - File: Weg_in_Vektorfeld.ods - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/wikiversity_files/blob/main/de/Weg_in_Vektorfeld.ods - (accessed 2026-07-02)</ref> aus dem <tt>'''wikiversity_files'''</tt>-[https://niebert.github.io/wikiversity_files Github-Repository]. Die grün markierten Spalten stellen die Iterationsschritte für die numerische Berechnung des Weges dar. Gelb markierte Felder können als Werte angepasst werden. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Spur eines gesuchten Weges === In der folgenden Abbildung ist eine mögliche Spur eines gesuchten Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> eingezeichnet. Numerische Berechnungen besitzen durch die Diskretisierung einen Fehler. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z mit weg.png|350px|center|path of curve visualization - solution of differential equation]] ==== Bemerkung - Lösung von Differentialgleichungen ==== Wenn der Weg <math>\gamma</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Lösung einer Differentialleichung]] bestimmt werden kann, kann man die Spur des Weges <math>\gamma</math> ohne numerischen Näherung [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|plotten]]. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>g(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>g'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math>. Die lineare Funktion <math>f(z)=c\cdot z</math> definiert das Vektorfeld in der Gaußschen Zahlenebene. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung für <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> c \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_a}{1 - z_a \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für einen wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_a} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_a} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Plot des Weges für die Lösung ==== Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Lösung als meromorphe Funktion ==== In einem quadratischen Vektorfeld ist die Lösung <math>\gamma</math> der Differentialgleichung <math>\gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2</math> eine meromorphe Funktion mit Pol <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,}(a) := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] * [[Konvexkombination]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] * [[meromorphe Funktion]] * [[orientierte Fläche]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[Potenzreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen|Wege als Lösungen von Differentialleichungen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dnoatkbojul9wk0zimrbe0lj3vxqx1a 4 170347 1115078 1114925 2026-10-01T22:00:09Z TaxonBot 19115 Bot: 1 Abschnitt aus [[Wikiversity:Cafeteria]] archiviert 1115078 wikitext text/x-wiki {{Archiv|Wikiversity:Cafeteria}} == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:44, 16. Jan. 2026 (CET) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 19:11, 3. Apr. 2026 (CEST) == Jährliche Überprüfung des Universal Code of Conduct und der Durchsetzungsrichtlinien == <section begin="announcement-content" /> Ich möchte euch gerne darüber informieren, dass die jährliche Überprüfungsphase für den Universal Code of Conduct und die Durchsetzungsrichtlinien nun begonnen hat. Ihr könnt bis zum 9. Februar 2026 Änderungsvorschläge einreichen. Dies ist der erste von mehreren Teilschritten, die im Rahmen der jährlichen Überprüfung unternommen werden. Weitere Informationen und eine Diskussion, an der ihr teilnehmen könnt, finden sich auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|UCoC-Seite auf Meta]]. Das [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und einheitliche Umsetzung des UCoC einsetzt. Diese jährliche Überprüfung wird vom U4C geplant und durchgeführt. Weitere Informationen und die Aufgaben des U4C findet ihr in der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|U4C-Satzung]]. Bitte leitet diese Informationen an andere Mitglieder aus eurer Community weiter, wo immer dies angemessen ist. -- In Zusammenarbeit mit dem U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|Diskussion]])<section end="announcement-content" /> 22:02, 19. Jan. 2026 (CET) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == [[Benutzer:Methodios]]‘ Sperre in Wikipedia == Da der entsprechende Benutzer [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Vandalismusmeldung&diff=prev&oldid=264177803 in der Wikipedia wegen klarem Rassismus (11. Februar 2026) gesperrt] wurde, sollte man auch hier darüber nachdenken, ob man dem Benutzer die Schreibrechte entzieht. Ich meine, er ist ja auch hier oft wegen ähnlicher Aussagen aufgefallen. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-94362-3|&#126;2026-94362-3]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-94362-3|Diskussion]]) 13:43, 11. Feb. 2026 (CET) : Was hätte man anderes erwarten sollen? Das musste ja so kommen. -[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-12113-21|&#126;2026-12113-21]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-12113-21|Diskussion]]) 19:21, 23. Feb. 2026 (CET) :: Anscheinend versucht Herr Methodios die Diskussion zu stören. Kein Wunder, wo man jetzt seine Gesinnung entlarvt hat. Die falsche Unterschrift habe ich jedenfalls entfernt, da es Vandalismus war.-[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-19907-85|&#126;2026-19907-85]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-19907-85|Diskussion]]) 16:42, 31. Mär. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == Jährliche Überprüfung des Universal Code of Conduct und der Durchsetzungsrichtlinien == <section begin="announcement-content" /> Ich möchte euch gerne darüber informieren, dass die jährliche Überprüfungsphase für den Universal Code of Conduct und die Durchsetzungsrichtlinien nun begonnen hat. Ihr könnt bis zum 9. Februar 2026 Änderungsvorschläge einreichen. Dies ist der erste von mehreren Teilschritten, die im Rahmen der jährlichen Überprüfung unternommen werden. Weitere Informationen und eine Diskussion, an der ihr teilnehmen könnt, finden sich auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|UCoC-Seite auf Meta]]. Das [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und einheitliche Umsetzung des UCoC einsetzt. Diese jährliche Überprüfung wird vom U4C geplant und durchgeführt. Weitere Informationen und die Aufgaben des U4C findet ihr in der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|U4C-Satzung]]. Bitte leitet diese Informationen an andere Mitglieder aus eurer Community weiter, wo immer dies angemessen ist. -- In Zusammenarbeit mit dem U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|Diskussion]])<section end="announcement-content" /> 22:02, 19. Jan. 2026 (CET) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == [[Benutzer:Methodios]]‘ Sperre in Wikipedia == Da der entsprechende Benutzer [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Vandalismusmeldung&diff=prev&oldid=264177803 in der Wikipedia wegen klarem Rassismus (11. Februar 2026) gesperrt] wurde, sollte man auch hier darüber nachdenken, ob man dem Benutzer die Schreibrechte entzieht. Ich meine, er ist ja auch hier oft wegen ähnlicher Aussagen aufgefallen. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-94362-3|&#126;2026-94362-3]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-94362-3|Diskussion]]) 13:43, 11. Feb. 2026 (CET) : Was hätte man anderes erwarten sollen? Das musste ja so kommen. -[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-12113-21|&#126;2026-12113-21]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-12113-21|Diskussion]]) 19:21, 23. Feb. 2026 (CET) :: Anscheinend versucht Herr Methodios die Diskussion zu stören. Kein Wunder, wo man jetzt seine Gesinnung entlarvt hat. Die falsche Unterschrift habe ich jedenfalls entfernt, da es Vandalismus war.-[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-19907-85|&#126;2026-19907-85]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-19907-85|Diskussion]]) 16:42, 31. Mär. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) ::::::Vielen Dank an [[Benutzer:DerHexer|DerHexer]], alleine hätte ich das nie geschafft. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 16:45, 11. Jun. 2026 (CEST) :::::::Gut! [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 16:05, 12. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|Diskussion]])</bdi> 19:12, 23. Jun. 2026 (CEST) auo89cs2th664j4cih4afwesx5rol26 0 172713 1115057 2026-10-01T12:00:09Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder#Abbildung]] erstellt 1115057 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder#Abbildung]] cg3piyij63rww3sjuxhvlqrfxaspz6c 0 172714 1115058 2026-10-01T12:09:07Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115058 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === === Rechtsseitig parametrisch unendliche Wege === == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] 373yc1j2xmthmr60bbyc7bd0bqqh2lf 1115060 1115058 2026-10-01T12:17:54Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung - Funktion als Vektorfeld */ 1115060 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: [-\infty,b)\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> === Rechtsseitig parametrisch unendliche Wege === == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] kiizno8iywopjjx5wjz0sllmzljfb08 1115061 1115060 2026-10-01T12:18:59Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung - Funktion als Vektorfeld */ 1115061 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: [-\infty,b)\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> === Rechtsseitig parametrisch unendliche Wege === == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] lrgzm9sp5xivhpokt4k66fvt4a2u8kj 1115062 1115061 2026-10-01T12:24:40Z Bert Niehaus 20843 /* Rechtsseitig parametrisch unendliche Wege */ 1115062 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: [-\infty,b)\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] qugjv41s8dnyv4regjb60e8nu2oesse 1115063 1115062 2026-10-01T12:27:46Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115063 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: [-\infty,b)\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgabe == Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] a2ievdrzuu1ve3vy8jwo6q76hgk0xgx 1115064 1115063 2026-10-01T12:28:19Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115064 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: [-\infty,b)\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgabe == Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] 34l82b04kjyzyyelldr9gyginz0flht 1115066 1115064 2026-10-01T12:31:50Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe */ 1115066 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: [-\infty,b)\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgabe == Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] 2n6dlkb66r4diszap1qxemp6lmlnc5e 1115110 1115066 2026-10-02T10:35:43Z Bert Niehaus 20843 /* Parametrische Konvergenz */ 1115110 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> ==== Aufgabe für Studierende ==== Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgabe == Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] dhf7q8ayfdge9i44417jpdvp9gy12jv 1115111 1115110 2026-10-02T10:36:03Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1115111 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgabe == Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] fyc7cknkzpkpoive9k78tgnmp1zwquy 1115112 1115111 2026-10-02T10:38:14Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe */ 1115112 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld entstehen. ==== Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege ==== Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. ==== Aufgabe 2 - Grenzwertverhalten und Geometrie der Spur ==== Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] 8vaxtpggen0q7b1oe4x436w9wzxhuw4 1115113 1115112 2026-10-02T10:41:42Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1115113 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. ==== Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege ==== Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. ==== Aufgabe 2 - Geometrie der Spur ==== Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. ==== Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten ==== == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] jm91bnzn3eovq2fuw6v8diz7w23yx8s 1115114 1115113 2026-10-02T10:43:33Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten */ 1115114 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. ==== Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege ==== Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. ==== Aufgabe 2 - Geometrie der Spur ==== Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. ==== Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten ==== Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem Vektorfeld das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] 7mxli8m90ddabtvsccwece5mqf1ld2o 1115115 1115114 2026-10-02T10:44:04Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115115 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. ==== Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege ==== Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. ==== Aufgabe 2 - Geometrie der Spur ==== Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. ==== Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten ==== Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem Vektorfeld das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] r9cks4ygkw3h62rzxyatc5xm87bz6cu 1115116 1115115 2026-10-02T10:44:22Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten */ 1115116 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. ==== Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege ==== Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. ==== Aufgabe 2 - Geometrie der Spur ==== Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. ==== Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten ==== Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] cpxday4pf2ewi08vbmkv8k2bjopw8sn 1115117 1115116 2026-10-02T10:45:00Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1115117 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] ps0zihgytan78scqngqgqelt68azqvj 1115118 1115117 2026-10-02T10:48:06Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1115118 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === Grün ist das Vektorfeld von <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] 1opq4cs02684fvtecwi6608nh85hqr1 1115119 1115118 2026-10-02T10:50:59Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung - Funktion als Vektorfeld */ 1115119 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] g0l9nq70d8dkdogwoel5jdjxr0izddp 1115120 1115119 2026-10-02T10:54:20Z Bert Niehaus 20843 /* Erläuterung zur Animation */ 1115120 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] 9d9d55vwyp75oye0uo9dzl7088enpcf 1115121 1115120 2026-10-02T10:55:20Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115121 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gaj1sstoo5aziywng8glmp6cmm2x7tz 106 172715 1115075 2026-10-01T14:26:38Z Coc39ked 40763 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115075 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Therese Heitele * Nicole Pander jvdd9yznvaxerrqm29zull5t4zoz70d 106 172716 1115076 2026-10-01T14:45:11Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115076 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''natürliche Logarithmus''' <math> \ln: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} </math> ist eine wohldefinierte Funktion auf den positiven reellen Zahlen. Im '''komplexen Bereich''' ist die Situation komplizierter: Die Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht injektiv''', da sie periodisch im Imaginärteil mit einer Periode <math>2\pi i</math> ist: :<math> \exp(z + 2\pi i) = \exp(z) </math> === Umkehrfunktion === Daher kann man keine eindeutige Umkehrfunktion als Logarithmus auf ganz <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definieren. Vielmehr existiert für jedes [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ein Logarithmus. Um den komplexen Logarithmus <math> \log: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> dennoch sinnvoll zu definieren, muss man den Wertebereich <math>\mathbb{W} </math> einschränken und aus dem Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> eine „Verzweigungslinie“ (Branch Cut) aus <math>\mathbb{C} </math> entfernen, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen und dennoch [[Stetigkeit]] und insbesondere die [[Holomorphie]] für den [[Logarithmus]] zu erhalten. ==== Beispiel - geschlitzte Ebene ==== Man kann z.B. die negativen reellen Zahlen <math>\mathbb{R}_0^- = (-\infty, 0]</math> aus <math>\mathbb{C}</math> entfernen. ==== Verallgemeinerung des Beispiels ==== In dieser Lerneinheit werden beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> verwendet, auf denen der komplexe Logarithmus eindeutig und [[holomorphe Funktion|holomorph]] definiert werden kann. Dabei wird für <math>\mathbb{C}</math> die Spur eines injektiven [[rechtseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a)=0</math> entfernt. == Grundidee == Wenn ein Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist, ist die [[Umlaufzahl]] allen geschlossenen Wegen <math>\gamma_o : [a,b]\to G</math> für Element auf dem Komplement <math> G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> von <math> G </math> immer 0 (d.h. <math>\gamma_o</math> ist nullhomolog in <math>G</math>). === Beispiele === * <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht''' einfach zusammenhängend, da der Integrationsweg <math>\gamma_o [0,2\pi]\to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\gamma_o(t)=e^{it}</math> die Zahl 0 umrundet. * <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> (die komplexe Ebene ohne die negative reelle Achse) ist einfach zusammenhängend. * Jede konvexe Menge ist einfach zusammenhängend. === Definition - Weg und Spur === Sei <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> eine stetige Abbildung. Die '''Spur''' (oder Bild) des Weges ist die Menge: :<math> \text{Spur}(\gamma) := \gamma([a, +\infty)) = \{ \gamma(t) \mid t \in [a, +\infty) \} </math> Dies erweitert den Begriff der Spur auf [[rechtsseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendliche Wege]]. | == Konstruktionsansatz == Ein '''injektiver''' Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math>, also: * <math> \gamma </math> ist stetig, * <math> \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) </math> für alle <math> t_1 \neq t_2 </math>, * <math> \gamma(a) = 0 </math>, * <math> \gamma </math> ist '''parametrisch rechtsseitig unendlich''', d. h. der Definitionsbereich ist <math> [a, +\infty) </math>. === Beispiel - parametrisch rechtsseitig unendlich === * <math> \gamma(t) = t </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat als Spur die positive reelle Achse mit 0. * <math> \gamma(t) = t e^{i t} </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat eine logarithmische Spirale als Spur, die sich unendlich oft um den Ursprung windet. Entfernt man die zugehörige Spur des Weges von <math>\mathbb{C}</math> erhält man ein einfach zusammenhängendes Gebiet. === Konstruktion des Definitionsbereichs: === Definiere das Gebiet: :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass <math>G</math> nach Entfernen der Spur eines injektiven Weges <math> \gamma </math> aus der komplexen Ebene ein einfach zusammenhängendes Weg. == Kernfrage == Wann ist <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend? == Zielsetzung == Sei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver, stetiger Weg''' mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \gamma(t) \to \infty </math> für <math> t \to \infty </math> (d. h. <math> |\gamma(t)| \to \infty </math>). Dann ist das Gebiet :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend. knejdsxyue0wxrwxon02w840ndlr0vx 1115106 1115076 2026-10-02T10:26:47Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Weg und Spur */ 1115106 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''natürliche Logarithmus''' <math> \ln: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} </math> ist eine wohldefinierte Funktion auf den positiven reellen Zahlen. Im '''komplexen Bereich''' ist die Situation komplizierter: Die Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht injektiv''', da sie periodisch im Imaginärteil mit einer Periode <math>2\pi i</math> ist: :<math> \exp(z + 2\pi i) = \exp(z) </math> === Umkehrfunktion === Daher kann man keine eindeutige Umkehrfunktion als Logarithmus auf ganz <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definieren. Vielmehr existiert für jedes [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ein Logarithmus. Um den komplexen Logarithmus <math> \log: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> dennoch sinnvoll zu definieren, muss man den Wertebereich <math>\mathbb{W} </math> einschränken und aus dem Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> eine „Verzweigungslinie“ (Branch Cut) aus <math>\mathbb{C} </math> entfernen, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen und dennoch [[Stetigkeit]] und insbesondere die [[Holomorphie]] für den [[Logarithmus]] zu erhalten. ==== Beispiel - geschlitzte Ebene ==== Man kann z.B. die negativen reellen Zahlen <math>\mathbb{R}_0^- = (-\infty, 0]</math> aus <math>\mathbb{C}</math> entfernen. ==== Verallgemeinerung des Beispiels ==== In dieser Lerneinheit werden beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> verwendet, auf denen der komplexe Logarithmus eindeutig und [[holomorphe Funktion|holomorph]] definiert werden kann. Dabei wird für <math>\mathbb{C}</math> die Spur eines injektiven [[rechtseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a)=0</math> entfernt. == Grundidee == Wenn ein Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist, ist die [[Umlaufzahl]] allen geschlossenen Wegen <math>\gamma_o : [a,b]\to G</math> für Element auf dem Komplement <math> G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> von <math> G </math> immer 0 (d.h. <math>\gamma_o</math> ist nullhomolog in <math>G</math>). === Beispiele === * <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht''' einfach zusammenhängend, da der Integrationsweg <math>\gamma_o [0,2\pi]\to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\gamma_o(t)=e^{it}</math> die Zahl 0 umrundet. * <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> (die komplexe Ebene ohne die negative reelle Achse) ist einfach zusammenhängend. * Jede konvexe Menge ist einfach zusammenhängend. === Definition - Weg und Spur === Sei <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> eine stetige Abbildung. Die '''Spur''' (oder Bild) des Weges ist die Menge: :<math> \text{Spur}(\gamma) := \gamma([a, +\infty)) = \{ \gamma(t) \mid t \in [a, +\infty) \} </math> Dies erweitert den Begriff der Spur auf [[rechtsseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendliche Wege]]. == Konstruktionsansatz == Ein '''injektiver''' Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math>, also: * <math> \gamma </math> ist stetig, * <math> \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) </math> für alle <math> t_1 \neq t_2 </math>, * <math> \gamma(a) = 0 </math>, * <math> \gamma </math> ist '''parametrisch rechtsseitig unendlich''', d. h. der Definitionsbereich ist <math> [a, +\infty) </math>. === Beispiel - parametrisch rechtsseitig unendlich === * <math> \gamma(t) = t </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat als Spur die positive reelle Achse mit 0. * <math> \gamma(t) = t e^{i t} </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat eine logarithmische Spirale als Spur, die sich unendlich oft um den Ursprung windet. Entfernt man die zugehörige Spur des Weges von <math>\mathbb{C}</math> erhält man ein einfach zusammenhängendes Gebiet. === Konstruktion des Definitionsbereichs: === Definiere das Gebiet: :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass <math>G</math> nach Entfernen der Spur eines injektiven Weges <math> \gamma </math> aus der komplexen Ebene ein einfach zusammenhängendes Weg. == Kernfrage == Wann ist <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend? == Zielsetzung == Sei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver, stetiger Weg''' mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \gamma(t) \to \infty </math> für <math> t \to \infty </math> (d. h. <math> |\gamma(t)| \to \infty </math>). Dann ist das Gebiet :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend. bwnn7ic9rbg03gt89yck7vvbkyrepg2 1115108 1115106 2026-10-02T10:28:05Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Weg und Spur */ 1115108 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''natürliche Logarithmus''' <math> \ln: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} </math> ist eine wohldefinierte Funktion auf den positiven reellen Zahlen. Im '''komplexen Bereich''' ist die Situation komplizierter: Die Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht injektiv''', da sie periodisch im Imaginärteil mit einer Periode <math>2\pi i</math> ist: :<math> \exp(z + 2\pi i) = \exp(z) </math> === Umkehrfunktion === Daher kann man keine eindeutige Umkehrfunktion als Logarithmus auf ganz <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definieren. Vielmehr existiert für jedes [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ein Logarithmus. Um den komplexen Logarithmus <math> \log: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> dennoch sinnvoll zu definieren, muss man den Wertebereich <math>\mathbb{W} </math> einschränken und aus dem Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> eine „Verzweigungslinie“ (Branch Cut) aus <math>\mathbb{C} </math> entfernen, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen und dennoch [[Stetigkeit]] und insbesondere die [[Holomorphie]] für den [[Logarithmus]] zu erhalten. ==== Beispiel - geschlitzte Ebene ==== Man kann z.B. die negativen reellen Zahlen <math>\mathbb{R}_0^- = (-\infty, 0]</math> aus <math>\mathbb{C}</math> entfernen. ==== Verallgemeinerung des Beispiels ==== In dieser Lerneinheit werden beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> verwendet, auf denen der komplexe Logarithmus eindeutig und [[holomorphe Funktion|holomorph]] definiert werden kann. Dabei wird für <math>\mathbb{C}</math> die Spur eines injektiven [[rechtseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a)=0</math> entfernt. == Grundidee == Wenn ein Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist, ist die [[Umlaufzahl]] allen geschlossenen Wegen <math>\gamma_o : [a,b]\to G</math> für Element auf dem Komplement <math> G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> von <math> G </math> immer 0 (d.h. <math>\gamma_o</math> ist nullhomolog in <math>G</math>). === Beispiele === * <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht''' einfach zusammenhängend, da der Integrationsweg <math>\gamma_o [0,2\pi]\to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\gamma_o(t)=e^{it}</math> die Zahl 0 umrundet. * <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> (die komplexe Ebene ohne die negative reelle Achse) ist einfach zusammenhängend. * Jede konvexe Menge ist einfach zusammenhängend. === Definition - Weg und Spur === Sei <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> eine stetige Abbildung. Die '''Spur''' (oder Bild) des Weges ist die Menge: :<math> \text{Spur}(\gamma) := \gamma([a, +\infty)) = \{ \gamma(t) \mid t \in [a, +\infty) \} </math> Dies erweitert den Begriff der Spur auf [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig unendliche Wege]]. == Konstruktionsansatz == Ein '''injektiver''' Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math>, also: * <math> \gamma </math> ist stetig, * <math> \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) </math> für alle <math> t_1 \neq t_2 </math>, * <math> \gamma(a) = 0 </math>, * <math> \gamma </math> ist '''parametrisch rechtsseitig unendlich''', d. h. der Definitionsbereich ist <math> [a, +\infty) </math>. === Beispiel - parametrisch rechtsseitig unendlich === * <math> \gamma(t) = t </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat als Spur die positive reelle Achse mit 0. * <math> \gamma(t) = t e^{i t} </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat eine logarithmische Spirale als Spur, die sich unendlich oft um den Ursprung windet. Entfernt man die zugehörige Spur des Weges von <math>\mathbb{C}</math> erhält man ein einfach zusammenhängendes Gebiet. === Konstruktion des Definitionsbereichs: === Definiere das Gebiet: :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass <math>G</math> nach Entfernen der Spur eines injektiven Weges <math> \gamma </math> aus der komplexen Ebene ein einfach zusammenhängendes Weg. == Kernfrage == Wann ist <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend? == Zielsetzung == Sei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein '''injektiver, stetiger Weg''' mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \gamma(t) \to \infty </math> für <math> t \to \infty </math> (d. h. <math> |\gamma(t)| \to \infty </math>). Dann ist das Gebiet :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend. 6dp9kdt37p9s9tdo62f07ftatgg4ipg 106 172717 1115080 2026-10-02T06:27:47Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115080 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist mittels <math>0 \not= z = a + b\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (a+b\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(a,\,b) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{b}{\sqrt{a^2 \!+\! b^2} + a} &\text{falls } b \neq 0 \text{ oder } a > 0, \\ \pi &\text{falls } b = 0 \text{ und } a < 0 \end{cases}</math> möglich. Setzt man <math>\ \varphi = \arg z</math>, ergo <math>\ \sin\varphi \!=\! \tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ </math> und <math>\ \cos\varphi \!=\! \tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]] : <math>\tan \frac{\varphi}{2} = \frac{\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} = \frac{\tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}{1+\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2} + a} \qquad ( \text{falls } b \neq 0 \text{ oder } a > 0).</math> Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] rkv63dmlcvp752b53oc194ee0vpl5fn 1115081 1115080 2026-10-02T07:38:20Z Bert Niehaus 20843 /* Winkel bzw. Phasenfaktor */ 1115081 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist mittels <math>0 \not= z = a + b\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (a+b\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(a,\,b) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{b}{\sqrt{a^2 \!+\! b^2} + a} &\text{falls } b \neq 0 \text{ oder } a > 0, \\ \pi &\text{falls } b = 0 \text{ und } a < 0 \end{cases}</math> möglich. Setzt man <math>\ \varphi = \arg z</math>, ergo <math>\ \sin\varphi \!=\! \tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ </math> und <math>\ \cos\varphi \!=\! \tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]] : <math>\tan \frac{\varphi}{2} = \frac{\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} = \frac{\tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}{1+\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2} + a} \qquad ( \text{falls } b \neq 0 \text{ oder } a > 0).</math> Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] pr3111jphp8cjitzza7npqx6wdfbga0 1115082 1115081 2026-10-02T08:00:38Z Bert Niehaus 20843 /* Schreibweisen */ 1115082 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist mittels <math>0 \not= z = a + b\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (a+b\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(a,\,b) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{b}{\sqrt{a^2 \!+\! b^2} + a} &\text{falls } b \neq 0 \text{ oder } a > 0, \\ \pi &\text{falls } b = 0 \text{ und } a < 0 \end{cases}</math> möglich. Setzt man <math>\ \varphi = \arg z</math>, ergo <math>\ \sin\varphi \!=\! \tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ </math> und <math>\ \cos\varphi \!=\! \tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]] : <math>\tan \frac{\varphi}{2} = \frac{\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} = \frac{\tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}{1+\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2} + a} \qquad ( \text{falls } b \neq 0 \text{ oder } a > 0).</math> Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] n5oo4ua04bu7gsrrc1tbzn3zvi030fd 1115083 1115082 2026-10-02T08:06:42Z Bert Niehaus 20843 /* Umwandlung von Koordinatendarstellung */ 1115083 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>0 \not= z = a + b\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (a+b\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(a,\,b) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{b}{\sqrt{a^2 \!+\! b^2} + a} &\text{falls } b \neq 0 \text{ oder } a > 0, \\ \pi &\text{falls } b = 0 \text{ und } a < 0 \end{cases}</math> möglich. Setzt man <math>\ \varphi = \arg z</math>, ergo <math>\ \sin\varphi \!=\! \tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ </math> und <math>\ \cos\varphi \!=\! \tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]] : <math>\tan \frac{\varphi}{2} = \frac{\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} = \frac{\tfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}{1+\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}= \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2} + a} \qquad ( \text{falls } b \neq 0 \text{ oder } a > 0).</math> Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] t9e8cjl5ryac5bn7crcu2yhdr46k4qu 1115084 1115083 2026-10-02T08:29:38Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Argumentfunktion */ 1115084 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2 \!+\! z_2^2} + z_1} &\text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0, \\ \pi &\text{falls } z_2 = 0 \text{ und } z_1 < 0 \end{cases}</math> möglich. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, ergo <math>\ \sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]] : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}}}{1+\tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}}}= \frac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2} + z_1} \qquad ( \text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0).</math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] osjw8qnip47y0kyivae3sjnatx94hmj 1115085 1115084 2026-10-02T08:49:47Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115085 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2 \!+\! z_2^2} + z_1} &\text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0, \\ \pi &\text{falls } z_2 = 0 \text{ und } z_1 < 0 \end{cases}</math> möglich. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, ergo <math>\ \sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]] : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}}}{1+\tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}}}= \frac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2} + z_1} \qquad ( \text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0).</math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] ggg8knr2qcewl1wo9mj6c9kyiyuictq 1115086 1115085 2026-10-02T08:50:01Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115086 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2 \!+\! z_2^2} + z_1} &\text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0, \\ \pi &\text{falls } z_2 = 0 \text{ und } z_1 < 0 \end{cases}</math> möglich. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, ergo <math>\ \sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]] : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}}}{1+\tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}}}= \frac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2} + z_1} \qquad ( \text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0).</math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] bcwhhffrroenbx7rtrqv3km5w5m0nm1 1115087 1115086 2026-10-02T08:53:01Z Bert Niehaus 20843 /* Halbwinkelformel */ 1115087 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2 \!+\! z_2^2} + z_1} &\text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0, \\ \pi &\text{falls } z_2 = 0 \text{ und } z_1 < 0 \end{cases}</math> möglich. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, ergo <math>\ \sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] p1wk4eac360ffj18g7eofc8g9vca5zo 1115088 1115087 2026-10-02T08:53:59Z Bert Niehaus 20843 /* Halbwinkelformel */ 1115088 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Es gibt mehrere Möglichkeiten der Darstellung von komplexen Zahlen: * Darstellung in kartesischen Koordinaten <math>(z_1,z_2)\in \mathbb{R}^2</math>, gelegentlich auch ''algebraische Form'' genannt,<ref name="bronstein34">Bronstein, Semendjajew et al., S. 34</ref> als Summe des reellen <math>a</math> und des rein imaginären Anteils <math>b</math> mit folgenden Schreibweisen, also<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 4. Auflage. Springer, S. 4.</ref> :: <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i}</math> oder auch <math>z = z_1 + \mathrm{i}\,z_2\ </math>. * Darstellung in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] bzw. in '''Polardarstellung''' <math>(r,\varphi)</math> als Produkt des absoluten Betrages <math>r=|z|</math> gedreht um den Winkel <math>\varphi = \mathrm{arg}(z)</math>. === Schreibweisen === Die Polarkoordinatendarstellung hat dabei die folgenden Schreibweisen: * <math>z = r\, \underbrace{\big( \cos(\varphi) + \mathrm{i}\,\sin(\varphi)\big)}_{=e^{i\phi}}</math>, * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} </math> mit <math>r\geq 0</math>. * <math>z = r\; \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = e^{\ln(r)+i\, \varphi} </math> für <math>z\not= 0</math> und <math>r > 0</math>. In der dritten Darstellung tritt im Exponenten der reelle [[Logarithmus]] mit <math>\ln(r)</math> und <math> r > 0 </math> auf (siehe auch weitere Schreibweise<ref>John B. Conway: ''Functions of One Complex Variable I'', Second Edition, Springer, S. 4. <math>z = r\, \operatorname{cis}\varphi </math></ref>. === Winkel bzw. Phasenfaktor === Hierbei wird der Faktor <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> als '''Phasenfaktor''' und der Winkel <math>\varphi </math> auch als ''Argument'' <math>\varphi = \arg(z) </math> der komplexen Zahl (in Polardarstellung) bezeichnet. Hintergrund dieser Darstellung ist die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]], die über die komplexen Zahlen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen herstellt. Alle oberen Schreibweisen stellen demnach exakt die gleiche komplexe Zahl dar. Es ist zu beachten, dass die komplexe Zahl <math>z=0</math> kein Argument besitzt, weshalb hier keine Darstellung in Polarkoordinaten im oberen Sinne möglich ist. === Umwandlung von Koordinatendarstellung === Eine Umwandlung von kartesischer Form in Polarform ist für die Argumentfunktion <math>\mathbb{arg}(z)</math> nur für <math>z\not= 0</math> eindeutig für <math>\varphi \in (-\pi,+\pi]</math> möglich. == Definition - Argumentfunktion == Sei <math> z\not= 0</math> mittels <math>z = z_1 + z_2\,\mathrm{i} = |z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi}</math> und : <math>\varphi = \arg (z_1+z_2\,\mathrm{i}) = \operatorname{arctan2}(z_1,\,z_2) = \begin{cases} 2 \arctan \dfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2 \!+\! z_2^2} + z_1} &\text{falls } z_2 \neq 0 \text{ oder } z_1 > 0, \\ \pi &\text{falls } z_2 = 0 \text{ und } z_1 < 0 \end{cases}</math> möglich. === Halbwinkelformel === Setzt man <math>\ \varphi = \mathrm{arg}(z)</math>, erhält man für trigonometrischen Funktionen <math>\sin(\varphi) \!=\! \tfrac{z_2}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_2}{|z|}\ </math> und <math>\ \cos(\varphi) \!=\! \tfrac{z_1}{\sqrt{z_1^2+z_2^2}} = \tfrac{z_1}{|z|}</math>, so ist die Gleichheit zur [[w:de:arctan2|arctan2]]-Funktion eine Konsequenz aus der [[w:de:Formelsammlung Trigonometrie#Halbwinkelformeln|Halbwinkelformel]], falls <math>z_2 \neq 0 </math> oder <math> z_1 > 0 </math>. : <math>\tan \left( \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{\tfrac{z_2}{|z|}}{1+\tfrac{z_1}{|z|}}= \frac{z_2}{|z| + z_1} </math> === Bemerkung - Winkelbereich === Die linke Seite lässt sich im „vollen Winkelbereich des Hauptarguments“ <math>-\pi < \varphi < \pi</math> unter Anwendung des Arkustangens zu <math>\tfrac{\varphi}{2}</math> umformen. Ist hingegen <math>- \tfrac{\pi}{2} < \varphi < \tfrac{\pi}{2}</math>, also <math>z</math> auf der rechten Halbebene, so kann die Gleichung <math>\tan \varphi = \tfrac{b}{a}</math> vereinfachend auch zu <math>\,\varphi = \arg z = \arctan \tfrac{b}{a} </math> aufgelöst werden. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 55h4ry18wbgoemxlw3cjleb1jsp1pjc 106 172718 1115089 2026-10-02T08:56:01Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115089 wikitext text/x-wiki == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion]] 221nzr9f7p011mtkrlh19t38j31ajcz 1115090 1115089 2026-10-02T08:56:28Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115090 wikitext text/x-wiki == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 3qjctw0wxbbpbx2orn6u91ru9q5pmbx 106 172719 1115091 2026-10-02T08:56:44Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115091 wikitext text/x-wiki == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 3qjctw0wxbbpbx2orn6u91ru9q5pmbx 106 172720 1115092 2026-10-02T08:57:16Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115092 wikitext text/x-wiki == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/Argumentfunktion|Argumentfunktion]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 3qjctw0wxbbpbx2orn6u91ru9q5pmbx 0 172721 1115107 2026-10-02T10:27:12Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich]] erstellt 1115107 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich]] 7qwsmdz43vzyzyhj2ac0o30qxfvzu75 0 172722 1115109 2026-10-02T10:28:43Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich]] erstellt 1115109 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich]] 7qwsmdz43vzyzyhj2ac0o30qxfvzu75