Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 108 6304 1115141 210656 2026-10-03T06:25:03Z ~2026-53343-68 41913 /* Web-Links */ Links funktionierten nicht 1115141 wikitext text/x-wiki {{Navigation:Projekt:FE Auswerteverfahren 1/Wettersatelliten}} Welche aktuellen Satellitensysteme dienen der Wetter- bzw. Erdbeobachtung? [[Bild:CALIPSO - Artist Concept 2.jpg|thumb|250px|right|CALIPSO (Cloud-Aerosol Lidar and Infrared Pathfinder Satellite Observations)]] =[[Projekt:FE Auswerteverfahren 1/Wettersatelliten/Einführung|Einführung]]= *Hinführung zum Thema: Warum ist Satellitenfernerkundung so wichtig? *Wissenswertes: Was gibt es über Fernerkundungssatelliten zu sagen? *Ziel: Was soll dieses Projekt erreichen? =[[Projekt:FE Auswerteverfahren 1/Wettersatelliten/Strahlungstheoretische Grundlagen|Strahlungstheoretische Grundlagen]]= * Elektromagnetische Strahlung * Relevante Strahlungsgesetze * Wechselwirkungen von Strahlung mit der Atmosphäre * Emission und Reflektion von Strahlung durch die Erdoberfläche =[[Projekt:FE Auswerteverfahren 1/Wettersatelliten/Satellitensysteme|Satellitensysteme]]= *Aktive und passive Aufnahmesysteme *Aufnahmeverfahren der Satelliten *Umlaufbahnen der Satelliten *Geometrische Aspekte *Wettersatelliten **Definition **Aufgaben **Arten & internationales Wettersatellitensystem **Aufbau und Funktion einzelner Satelliten *Erdbeobachtungssatelliten =[[Projekt:FE Auswerteverfahren 1/Wettersatelliten/Messsysteme|Messsysteme]]= *Scannsysteme *Messinstrumente LANDSAT *Messinstrumente NOAA, TIROS *Messinstrumente GOES *Messinstrumente MFG *Messinstrumente MSG *Messinstrumente MetOp *Messinstrumente AQUA =Bearbeiter/-innen= *[[Benutzer:einfachwah|einfachwah]] *[[Benutzer:greta|greta]] *[[Benutzer:DieFranzi|DieFranzi]] *[[Benutzer:suzzie|suzzie]] *[[Benutzer:Juli|Juli]] *[[Benutzer:TanteKäthe|TanteKäthe]] *[[Benutzer:DERosterhase|DERosterhase]] - Sebastian Dittrich (Geographie) *[[Benutzer:chinomoreno|chinomoreno]] *[[Benutzer:Fearan|Fearan]] =Literatur= === Schmetz 2002 (''Article'') === Schmetz, J.; Pili, P.; Tjemkes, S.; Just, D.; Kerkmann, J.; Rota, S. & Ratier, A. An introduction to Meteosat Second Generation (MSG). ''Bulletin of the American Meteorological Society'', '''2002''', 83, 977-992 ([http://ams.allenpress.com/perlserv/?request=get-abstract&doi=10.1175%2F1520-0477(2002)083%3C0977%3AAITMSG%3E2.3.CO%3B2 Abstract + pdf]) * Einführung in die neue Generation der Meteosat Satelliten, Meteosat Second Generation * geostationärer Satellit * Seviri Instrument, Spectrale Kanäle und deren Verwendung werden erläutert * Einführung der unterschiedlichen SAF (Satellite Application Facilities) === Albertz (2001) === Albertz, J. (2001): Eine Einführung in die Fernerkundung - Grundlagen der Interpretaton von Luft- und Satellitenbildern. 2. Auflage. Wissenschaftliche Buchgesellschaft. Darmstadt. * Einführung in die Fernerkundung und ihre Anwendungsmöglichkeiten * Entstehung, Eigenschaften, Verarbeitung, Interpretation und Anwendungen von Satellitenbildern * Beispiele aus den Bereichen Geographie, Kartographie, Geologie, und Geomorphologie, Bodenkunde, Land- und Forstwirtschaft, Tierkunde, Regionalplanung, Archäologie, Gewässerkunde, Meteorologie, Klimatologie und Planetenforschung === Barrett & Curtis (1992) === Barrett EC., Curtis F. (1992): Introduction to environmental remote sensing. 3rd Edition. Chapman and Hall. London. * Physikalische Grundlagen der Fernerkundung * Sensoren jeweiliger Plattformen * Anwendungen von Fernerkundungsdaten === Neumeister (1972) === Neumeister, H. (1972): Das Wetter aus kosmischer Sicht. 1. Auflage. Haack, VEB * Einführung in die Grundlagen der Satellitenfernerkundung * Zeigt die Bedeutung von Wettersatelliten für die Meteorologie * Geht auf die Satellitenprojekte {{w|TIROS}}, Meteor und Oshumi ein * Beschreibt Satelliten und Messsysteme, sowie die dazugehörgen Bodenstationen * Es ist zu beachten, dass das Buch von 1972 ist, somit auch nur den damaligen Stand der Technik einbezieht * Relevant daher eher für Einleitung und Strahlungstheoretische Grundlagen, da die Aufmerksamkeit bei den anderen Punkten eher auf den aktuellen Stand der Technik gerichtet sein sollte === Hildebrandt,1996 === Hildebrandt, G. (1996): Fernerkundung und Luftbildmessung. 1. Auflage. Wichmann Verlag * Aufnahme und Auswertung von Luftbildern * Aufnahme und Auswertung elektro- optischer Daten * Aufnahme und Auswertung von Radar- Aufzeichnungen * Satelliten als Plattform * Satellitenbahnen * Wetter-/Erdbeobachtungssatelliten === Barth, 2003 === Barth, H. (2003) : Umwelt im Raumzeitalter. überarbeitete und erweiterte Neuauflage von "Weltraumtechnik für die Umwelt" (1997) * Umfassende Beschreibung von Anwendung und Nutzen der Weltraumtechnik für die Umwelt * Zusammenfassung des europäischen Wetterbeobachtungssystems * online unter: http://www.liamis.com/raumzeitalter/Raumzeitalter.pdf. === Löffler, 1994 === Löffler, E. (1994) : "Geographie und Fernerkundung; Eine Einführung in die geographische Interpretation von Luftbildern und modernen fernerkundungsdaten" (1994), teubner-verlag * Technische Grundlagen der Fernerkundung (physikalische Grundlagen, Fernerkundungsplattformen, Fernerkundungssysteme) ===Kappas, 1994=== Kappas, M. (1994):Fernerkundung nah gebracht; Leitfaden für Geowissenschaftler, Dümmler Verlag, Bonn *Einführung in die Fernerkundung *Physikalische Grundlagen *Optische Sensoren *Übersicht über bekannte operationelle Satelitensysteme ===Bähr/Vögtle, 1998=== Bähr, H.-P., Vögtle, Thomas (1998): Digitale Bildverarbeitung. Anwendung in Photogrammetrie, Kartographie und Fernerkundung, Wichmann Verlag, Heidelberg Teil I *physikalischen Grundlagen *Aufnahmesysteme *Qualitätsaspekte Teil II *Anwendungsbeispiele für Bildanalyse *Einsatzgebiete digitaler Bildbearbeitung Teil III *Hard-und Softwaresysteme =Web-Links= * [http://www.eumetsat.int Eumetsat], die Betreibergesellschaft der europäischen Wettersatelliten, 2007-04-02 *[http://www.pt-dlr.de/caf/ Deutsches Zentrum für Luft und Raumfahrt], Deutsches zentrum für Luft und Raumfahrt e.V. Cluster Angewandte Fernerkundung [[Benutzer:einfachwah|einfachwah]] 17:54, 28. Jun. 2007 (CEST) *[http://www.astronews.com/news/artikel/2002/08/0208-021.shtml Deutschlands modernster Wettersatellit], Deutschlands modernster Wettersatellit [[Benutzer:DieFranzi|DieFranzi]] 12:05, 01. Jul. 2007 (CEST) *[http://wdrblog.de/raumfahrt/archives/2006/10/wettersatellit_2.html Wettersatellit METOP], [[Benutzer:DieFranzi|DieFranzi]] 12:05, 01. Jul. 2007 (CEST) *[http://www.tech-faq.com/lang/de/weather-satellite.shtml Definitionen zu Wettersatelliten], [[Benutzer:DieFranzi|DieFranzi]] 12:06, 01. Jul. 2007 (CEST) *[http://www.dwd.de/de/SundL/Freizeit/Hobbymeteorologen/Wetterlexikon/index.htm?ID=W&DAT=Wettersatellit Wetterlexikon, Definitionen], [[Benutzer:DieFranzi|DieFranzi]] 12:08, 01. Jul. 2007 (CEST) *[http://de.allmetsat.com/wetter-satelliten.php Wettersatelliten,Aufbau,Funktion], [[Benutzer:DieFranzi|DieFranzi]] 12:08, 01. Jul. 2007 (CEST) *[http://www.raumfahrer.net/news/astronomie/03102006163212.shtml METOP], [[Benutzer:DieFranzi|DieFranzi]] 12:08, 01. Jul. 2007 (CEST) *[http://www.sofia-stuttgart.de/skript/RA1/RA1-SS060714_www.pdf Wettersatelliten und Wettervorhersage], [[Benutzer:DieFranzi|DieFranzi]] 12:08, 01. Jul. 2007 (CEST) *[http://www.raumfahrer.net/raumfahrt/envisat/weiter.shtml ENVISAT], [[Benutzer:Greta|Greta]] 23:45, 01. Jul. 2007 (CEST) *[http://www.spaltenberger.de/geograph/seminar_um.pdf Envisat-Was können Umweltsatelliten leisten], Geschichte , Nutzung und aktueller Stand der Satellitenfernerkundung am Beispiel von ENVISAT [[Benutzer:einfachwah|einfachwah]], 16:49, 02. Jul. 2007 *[http://www.esa.int/esaLP/SEMN1FAATME_LPmetop_0.html ESA - Living Planet Programme - MetOp], - englische Seite der ESA zu MetOp, [[Benutzer:Fearan|Fearan]], 9:24, 02. Jul. 2007 *[http://www.ifp.uni-stuttgart.de/lehre/vorlesungen/GIS1/Lernmodule/Fernerkundung/gfe_MO_FE_de_4.html Einführung in die Fernerkundung- Ein Überblick], [[Benutzer:Greta|Greta]] 18:32, 03. Jul. 2007 (CEST) *[http://www.fe-lexikon.info/lexikon-a.htm kleines Fernerkundungslexikon], [[Benutzer:Greta|Greta]] 18:34, 03. Jul. 2007 (CEST) *[http://www.dlr.de/iaa.symp/archive/PDF_Files/IAA-B4-1507P.pdf A-Train (engl.)],[[Benutzer:Greta|Greta]] 18:40, 03. Jul. 2007 (CEST) *[http://satgeo.zum.de/satgeo/methoden/noaa.htm NOAA],[[Benutzer:suzzie|suzzie]] 00:28, 4. Jul. 2007 (CEST) *[http://de.allmetsat.com/satellit-meteosat.php METEOSAT],[[Benutzer:suzzie|suzzie]]00:30, 4.Jul. 2007 (CEST) ==Wikipedia-Links== ''Hier die Links zu relevanten Wikipedia-Artikeln sammeln.'' * {{w|Fernerkundung}} * {{w|Satellit (Raumfahrt)}} * {{w|Landsat}} ** {{w|Thematic_Mapper#Enhanced_Thematic_Mapper_.28ETM.29|ETM}} * {{w|NOAA#NOAA-Satelliten|NOAA-Satelliten}} * {{w|Aqua_(Satellit)|Aqua/MODIS}} * {{w|Metop}} * {{w|Meteosat}} * {{w|Erdbeobachtungssatellit}} * {{w|Wettersatellit}} * {{w|Tiros}} * {{w|Eumetsat}} * {{w|ESA}} * {{w|ADM-Aeolus}} [[Kategorie:Projekt:FE Auswerteverfahren 1|W]] * k22zel7lgrwwyygl5bbc6qbl22zo1fu 4 141067 1115139 1114917 2026-10-02T17:32:08Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1115139 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Diese Daten stammen aus dem Cache. Der Zeitpunkt der letzten Aktualisierung: 2026-10-01, 05:57:46Z Uhr. Maximal {{PLURAL:5000|ein Ergebnis ist|5000 Ergebnisse sind}} im Cache verfügbar. {| class="sortable wikitable" ! 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Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. Ferner wird in dieser Lerneinheit auch die klassische Wegdefinition auf einem Intervall <math>[a,b]</math> [[parametrisch unendlicher Weg|parametrisch unendliche Wege]] ausgedehnt, um das Grenzwertverhalten für <math>t\to +\infty </math> bzw. <math>t\to -\infty </math> untersuchen zu können. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref> in einem [[Funktionenraum]]. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Funktionenraum]] * [[holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Konvexkombination]] * [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] === Folien === * '''[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich|parametrisch unendliche Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ayr8hcpyuirxgv1xof5pvfrcja16iz2 108 170334 1115140 1080145 2026-10-02T20:28:59Z ChristianSW 15793 ... 1115140 wikitext text/x-wiki == RollBot == === Version 1=== <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub RollBot with SuperBit.jpg </gallery> === Version 2=== <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub RollBot V2.jpg Tüftlerclub RollBot V2 Detail.jpg </gallery> == Steuerung == === SG-EMIB-01A Erweiterungsplatine === <gallery mode=packed heights=360> SG-EMIB-01A Board.jpg </gallery> Das ''SG-EMIB-01A'' ist ein Breakout Board (eine Erweiterungsplatine) für den ''Micro:bit''. Auf dem Board sind unter anderem mehrfarbige LEDs, ein Lautsprecher und Anschlüsse für verschiedene Motoren montiert. * Seengreat: [https://seengreat.com/wiki/122/micro-bit-expansion-board?srsltid=AfmBOorhERFPouHC00kujtbJ6Ro4uEoLgqKDoBWflXtDZyMT6CzhVRp0 Dokumentation des Herstellers] mit Erläuterungen und Übungen === Programmieren === Wir nutzen die Entwicklungsumgebung ''Microsoft MakeCode''. * Microsoft: [https://www.microsoft.com/de-de/makecode/about Was ist Microsoft MakeCode?] Um die ''SG-EMIB-01A'' Erweiterungsplatine nutzen zu können, muss in [https://makecode.microbit.org Microsoft MakeCode for micro:bit] zuerst die passende Erweiterung geladen werden. * Erstelle dazu ein neues Projekt, um in den Editor zu gelangen. * Wähle "Erweiterungen" unter dem Zahnrad-Menü oder unter der Kategorie "Fortgeschritten". * Kopiere folgende Zeile in das Suchfeld: <code><nowiki>https://github.com/seengreat/SG-EMIB-01A</nowiki></code> * Klicke auf "server - Javascript version demo codes for SG-EMIB-01A board". Im Editor erscheinen nun die Kategorien ''sound_volume'', ''ServoMotor'' und ''NeoPixel''. === Fernsteuerung === <gallery mode=packed heights=360> Tüftlerclub Fernsteuerung.jpg </gallery> Wir nutzen eine Gaming-Halterung mit einem weiteren ''Micro:bit'' als [[Projekt:Tüftlerclub/Fernsteuerung|Fernsteuerung]]. Zwischen beiden ''Micro:bits'' wird eine Funkverbindung aufgebaut. === Programmiercodes === * Fernsteuerung: [https://makecode.microbit.org/S05165-70354-29816-95292 Makecode für Micro:bit] 2b8gsx9tm6y737reaak1phhxfcg7qry 0 172714 1115135 1115121 2026-10-02T12:52:28Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - parametrisch unendlicher Weg */ 1115135 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 776qwzhn71fmao2pzbf3j6ciwwxs3gy 106 172716 1115128 1115108 2026-10-02T12:04:06Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung */ 1115128 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''natürliche Logarithmus''' <math> \ln: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} </math> ist eine wohldefinierte Funktion auf den positiven reellen Zahlen. Im '''komplexen Bereich''' ist die Situation komplizierter: Die Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht injektiv''', da sie periodisch im Imaginärteil mit einer Periode <math>2\pi i</math> ist: :<math> \exp(z + 2\pi i) = \exp(z) </math> === Umkehrfunktion === Daher kann man keine eindeutige Umkehrfunktion als Logarithmus auf ganz <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definieren. Vielmehr existiert für jedes [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ein Logarithmus. Um den komplexen Logarithmus <math> \log: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> dennoch sinnvoll zu definieren, muss man den Wertebereich <math>\mathbb{W} </math> einschränken und aus dem Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> eine „Verzweigungslinie“ (Branch Cut) aus <math>\mathbb{C} </math> entfernen, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen und dennoch [[Stetigkeit]] und insbesondere die [[Holomorphie]] für den [[Logarithmus]] zu erhalten. ==== Beispiel - geschlitzte Ebene ==== Man kann z.B. die negativen reellen Zahlen <math>\mathbb{R}_0^- = (-\infty, 0]</math> aus <math>\mathbb{C}</math> entfernen. ==== Verallgemeinerung des Beispiels ==== In dieser Lerneinheit werden beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> verwendet, auf denen der komplexe Logarithmus eindeutig und [[holomorphe Funktion|holomorph]] definiert werden kann. Dabei wird für <math>\mathbb{C}</math> die Spur eines injektiven [[rechtseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a)=0</math> entfernt. == Grundidee == Wenn ein Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist, ist die [[Umlaufzahl]] allen geschlossenen Wegen <math>\gamma_o : [a,b]\to G</math> für Element auf dem Komplement <math> G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> von <math> G </math> immer 0 (d.h. <math>\gamma_o</math> ist nullhomolog in <math>G</math>). === Beispiele === * <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht''' einfach zusammenhängend, da der Integrationsweg <math>\gamma_o [0,2\pi]\to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\gamma_o(t)=e^{it}</math> die Zahl 0 umrundet. * <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> (die komplexe Ebene ohne die negative reelle Achse) ist einfach zusammenhängend. * Jede konvexe Menge ist einfach zusammenhängend. === Definition - Weg und Spur === Sei <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> eine stetige Abbildung. Die '''Spur''' (oder Bild) des Weges ist die Menge: :<math> \text{Spur}(\gamma) := \gamma([a, +\infty)) = \{ \gamma(t) \mid t \in [a, +\infty) \} </math> Dies erweitert den Begriff der Spur auf [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig unendliche Wege]]. == Konstruktionsansatz == Ein '''injektiver''' Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math>, also: * <math> \gamma </math> ist stetig, * <math> \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) </math> für alle <math> t_1 \neq t_2 </math>, * <math> \gamma(a) = 0 </math>, * <math> \gamma </math> ist '''parametrisch rechtsseitig unendlich''', d. h. der Definitionsbereich ist <math> [a, +\infty) </math>. === Beispiel - parametrisch rechtsseitig unendlich === * <math> \gamma(t) = t </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat als Spur die positive reelle Achse mit 0. * <math> \gamma(t) = t e^{i t} </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat eine logarithmische Spirale als Spur, die sich unendlich oft um den Ursprung windet. Entfernt man die zugehörige Spur des Weges von <math>\mathbb{C}</math> erhält man ein einfach zusammenhängendes Gebiet. === Konstruktion des Definitionsbereichs: === Definiere das Gebiet: :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass <math>G</math> nach Entfernen der Spur eines injektiven Weges <math> \gamma </math> aus der komplexen Ebene ein einfach zusammenhängendes Weg. == Kernfrage == Wann ist <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend? <span id="Zusammenhangslemma"></span> == Zusammenhangslemma für injektive Wege == Sei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektive Weg mit <math> \gamma(a) = z_0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>). Dann ist das Gebiet :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> [[einfach zusammenhängend]]. === Motivation für den Satz === Für die Definition von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] gibt es durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der imaginären Periode <math>2\pi i</math> unterschiedliche Logarithmenzweige. Die Möglichkeit weitere Logarithmen zu definieren werden in der Regel über geschlitzte Ebene z.B. durch Entfernung der negativen reellen Achse definiert. Bei [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] kann man aber die Spur von injektiven Wegen mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>) aus dem Definitionsbereich entfernen und den Zweig des Logarithmus auf dem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> definieren. == Beweisidee - Zusammenhangslemma == Zunächst werden die Veraussetzungen des Lemmas geometrisch für die Beweisidee erläutert. === Schritt 1 - Anfangspunkt des Weges === Die Spur von <math> \gamma </math> hat den Anfangspunkt <math>z_a:=\gamma(a)</math> und läuft wegen <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gegen <math>\infty</math> (auf der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]]) === Veranschaulichung zu Schritt 1 === [[Datei:RiemannKugel.svg|350px|center|riemannschen Zahlenkugel]] === Schritt 2 - Weg ohne Schleifen === Die Eigenschaft, dass der Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> injektiv und stetig ist, liefert die Eigenschaft, das der Weg "schleifenfrei" ist. Denn gäbe es zwei Punkte <math> t_1,t_2 \geq a </math> mit <math> t_1 < t_2 </math> und <math> \gamma(t_1) = \gamma(t_2) </math>, dann wäre der Weg <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> ein geschlossener Weg und der Weg <math>\gamma</math> hätte damit eine Schleifen. Da aber <math> \gamma </math> injektiv ist, gilt für alle <math> t_1 < t_2 </math>, dass <math> \gamma(t_1) \not= \gamma(t_2) </math> erfüllt ist. === Schritt 3 - Zusammenhangskomponenten === Wenn der Weg eine Schleife besitzen würde, dann könnte man Punkte im Inneren des geschlossenen Weges <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> nicht über eine stetig Weg mit Punkten aus dem Äußeren der Spur verbinden. Damit besteht die Menge <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten und die Menge <math>G</math> wäre damit nicht zusammenhängend. Die Injektivität von <math>\gamma</math> garantiert also die Eigenschaft, dass <math>G</math> [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] ist. === Schritt 4 - geschlossener Weg === Sei nun <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G </math> ein geschlossener Weg in <math>G</math>, der einen Spurpunkt <math>z_1 = \gamma(t_1)\in Spur(\gamma)</math> umrundet. Bei dem Umlauf des geschlossenen Weges <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> muss die Spur von <math>\gamma_1</math> aber die Spur des injektiven Weges <math>\gamma</math> aber mindestens einmal schneiden, da <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gilt und die Spur von <math>\gamma_1 </math> Punkte mit <math>\gamma_1(t)</math> mit <math>|\gamma_1(t)| > |z_1| </math> enthalten muss. === Veranschaulichung zu Schritt 4 === Betrachtet man den injektiven [[rechtsseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen]] grünen Weg aus der Abbildung in Schritt 1, der von <math>\gamma(a)=0</math> nach <math>\infty</math> läuft. Der Punkt, der umlaufend wird, sei <math>z_1 = -i</math>. Ein geschlossener Weg <math>\gamma_1</math>, der <math>z_1 = -i</math> umrundet, müsste die grün markierte Spur von <math>\gamma</math> in der oberen Hemisphäre passieren und damit wäre <math>\gamma</math> kein Weg mehr in <math>G</math>, weil die Spur von dem geschlossenen Weg <math>\gamma_1</math> Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> enthält. === Zusammenfassung - Zusammenhangslemma=== Die Menge <math> \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> ist zusammenhängend, weil die Spur schleifenfrei und damit <math>G</math> keine „Löcher“ besitzt. Die Injektivität ist entscheidend, denn wenn <math> \gamma </math> sich selbst schneidet, entstehen in <math> G </math> mehrere [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammnenhangskomponenten]]. == Satz - Existenz eines eindeutigen Logarithmus == Sei <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math>, wobei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektiver Weg mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>), dann existiert eine eindeutig bestimmte holomorphe Funktion <math> \log_{_\gamma}: G \to \mathbb{C} </math>, sodass :<math> \exp(\log_{_\gamma}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in G </math> gilt und <math> \log_{_\gamma} </math> ist holomorph auf <math> G </math> ist. 1y9m16qjwslwwort86yua3ny6rydipj 1115129 1115128 2026-10-02T12:04:27Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Existenz eines eindeutigen Logarithmus */ 1115129 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''natürliche Logarithmus''' <math> \ln: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} </math> ist eine wohldefinierte Funktion auf den positiven reellen Zahlen. Im '''komplexen Bereich''' ist die Situation komplizierter: Die Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht injektiv''', da sie periodisch im Imaginärteil mit einer Periode <math>2\pi i</math> ist: :<math> \exp(z + 2\pi i) = \exp(z) </math> === Umkehrfunktion === Daher kann man keine eindeutige Umkehrfunktion als Logarithmus auf ganz <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definieren. Vielmehr existiert für jedes [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ein Logarithmus. Um den komplexen Logarithmus <math> \log: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> dennoch sinnvoll zu definieren, muss man den Wertebereich <math>\mathbb{W} </math> einschränken und aus dem Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> eine „Verzweigungslinie“ (Branch Cut) aus <math>\mathbb{C} </math> entfernen, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen und dennoch [[Stetigkeit]] und insbesondere die [[Holomorphie]] für den [[Logarithmus]] zu erhalten. ==== Beispiel - geschlitzte Ebene ==== Man kann z.B. die negativen reellen Zahlen <math>\mathbb{R}_0^- = (-\infty, 0]</math> aus <math>\mathbb{C}</math> entfernen. ==== Verallgemeinerung des Beispiels ==== In dieser Lerneinheit werden beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> verwendet, auf denen der komplexe Logarithmus eindeutig und [[holomorphe Funktion|holomorph]] definiert werden kann. Dabei wird für <math>\mathbb{C}</math> die Spur eines injektiven [[rechtseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a)=0</math> entfernt. == Grundidee == Wenn ein Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist, ist die [[Umlaufzahl]] allen geschlossenen Wegen <math>\gamma_o : [a,b]\to G</math> für Element auf dem Komplement <math> G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> von <math> G </math> immer 0 (d.h. <math>\gamma_o</math> ist nullhomolog in <math>G</math>). === Beispiele === * <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht''' einfach zusammenhängend, da der Integrationsweg <math>\gamma_o [0,2\pi]\to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\gamma_o(t)=e^{it}</math> die Zahl 0 umrundet. * <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> (die komplexe Ebene ohne die negative reelle Achse) ist einfach zusammenhängend. * Jede konvexe Menge ist einfach zusammenhängend. === Definition - Weg und Spur === Sei <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> eine stetige Abbildung. Die '''Spur''' (oder Bild) des Weges ist die Menge: :<math> \text{Spur}(\gamma) := \gamma([a, +\infty)) = \{ \gamma(t) \mid t \in [a, +\infty) \} </math> Dies erweitert den Begriff der Spur auf [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig unendliche Wege]]. == Konstruktionsansatz == Ein '''injektiver''' Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math>, also: * <math> \gamma </math> ist stetig, * <math> \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) </math> für alle <math> t_1 \neq t_2 </math>, * <math> \gamma(a) = 0 </math>, * <math> \gamma </math> ist '''parametrisch rechtsseitig unendlich''', d. h. der Definitionsbereich ist <math> [a, +\infty) </math>. === Beispiel - parametrisch rechtsseitig unendlich === * <math> \gamma(t) = t </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat als Spur die positive reelle Achse mit 0. * <math> \gamma(t) = t e^{i t} </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat eine logarithmische Spirale als Spur, die sich unendlich oft um den Ursprung windet. Entfernt man die zugehörige Spur des Weges von <math>\mathbb{C}</math> erhält man ein einfach zusammenhängendes Gebiet. === Konstruktion des Definitionsbereichs: === Definiere das Gebiet: :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass <math>G</math> nach Entfernen der Spur eines injektiven Weges <math> \gamma </math> aus der komplexen Ebene ein einfach zusammenhängendes Weg. == Kernfrage == Wann ist <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend? <span id="Zusammenhangslemma"></span> == Zusammenhangslemma für injektive Wege == Sei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektive Weg mit <math> \gamma(a) = z_0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>). Dann ist das Gebiet :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> [[einfach zusammenhängend]]. === Motivation für den Satz === Für die Definition von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] gibt es durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der imaginären Periode <math>2\pi i</math> unterschiedliche Logarithmenzweige. Die Möglichkeit weitere Logarithmen zu definieren werden in der Regel über geschlitzte Ebene z.B. durch Entfernung der negativen reellen Achse definiert. Bei [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] kann man aber die Spur von injektiven Wegen mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>) aus dem Definitionsbereich entfernen und den Zweig des Logarithmus auf dem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> definieren. == Beweisidee - Zusammenhangslemma == Zunächst werden die Veraussetzungen des Lemmas geometrisch für die Beweisidee erläutert. === Schritt 1 - Anfangspunkt des Weges === Die Spur von <math> \gamma </math> hat den Anfangspunkt <math>z_a:=\gamma(a)</math> und läuft wegen <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gegen <math>\infty</math> (auf der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]]) === Veranschaulichung zu Schritt 1 === [[Datei:RiemannKugel.svg|350px|center|riemannschen Zahlenkugel]] === Schritt 2 - Weg ohne Schleifen === Die Eigenschaft, dass der Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> injektiv und stetig ist, liefert die Eigenschaft, das der Weg "schleifenfrei" ist. Denn gäbe es zwei Punkte <math> t_1,t_2 \geq a </math> mit <math> t_1 < t_2 </math> und <math> \gamma(t_1) = \gamma(t_2) </math>, dann wäre der Weg <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> ein geschlossener Weg und der Weg <math>\gamma</math> hätte damit eine Schleifen. Da aber <math> \gamma </math> injektiv ist, gilt für alle <math> t_1 < t_2 </math>, dass <math> \gamma(t_1) \not= \gamma(t_2) </math> erfüllt ist. === Schritt 3 - Zusammenhangskomponenten === Wenn der Weg eine Schleife besitzen würde, dann könnte man Punkte im Inneren des geschlossenen Weges <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> nicht über eine stetig Weg mit Punkten aus dem Äußeren der Spur verbinden. Damit besteht die Menge <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten und die Menge <math>G</math> wäre damit nicht zusammenhängend. Die Injektivität von <math>\gamma</math> garantiert also die Eigenschaft, dass <math>G</math> [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] ist. === Schritt 4 - geschlossener Weg === Sei nun <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G </math> ein geschlossener Weg in <math>G</math>, der einen Spurpunkt <math>z_1 = \gamma(t_1)\in Spur(\gamma)</math> umrundet. Bei dem Umlauf des geschlossenen Weges <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> muss die Spur von <math>\gamma_1</math> aber die Spur des injektiven Weges <math>\gamma</math> aber mindestens einmal schneiden, da <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gilt und die Spur von <math>\gamma_1 </math> Punkte mit <math>\gamma_1(t)</math> mit <math>|\gamma_1(t)| > |z_1| </math> enthalten muss. === Veranschaulichung zu Schritt 4 === Betrachtet man den injektiven [[rechtsseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen]] grünen Weg aus der Abbildung in Schritt 1, der von <math>\gamma(a)=0</math> nach <math>\infty</math> läuft. Der Punkt, der umlaufend wird, sei <math>z_1 = -i</math>. Ein geschlossener Weg <math>\gamma_1</math>, der <math>z_1 = -i</math> umrundet, müsste die grün markierte Spur von <math>\gamma</math> in der oberen Hemisphäre passieren und damit wäre <math>\gamma</math> kein Weg mehr in <math>G</math>, weil die Spur von dem geschlossenen Weg <math>\gamma_1</math> Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> enthält. === Zusammenfassung - Zusammenhangslemma=== Die Menge <math> \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> ist zusammenhängend, weil die Spur schleifenfrei und damit <math>G</math> keine „Löcher“ besitzt. Die Injektivität ist entscheidend, denn wenn <math> \gamma </math> sich selbst schneidet, entstehen in <math> G </math> mehrere [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammnenhangskomponenten]]. == Satz - Existenz eines eindeutigen Logarithmus == Sei <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math>, wobei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektiver Weg mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>), dann existiert eine eindeutig bestimmte holomorphe Funktion <math> \log_{_\gamma}: G \to \mathbb{C} </math>, sodass :<math> \exp(\log_{_\gamma}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in G </math> gilt und <math> \log_{_\gamma} </math> ist holomorph auf <math> G </math> ist. == Beweis == cwiz7l3z2hl7u1ujlqlfmkb6sgjplt9 1115130 1115129 2026-10-02T12:46:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1115130 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''natürliche Logarithmus''' <math> \ln: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} </math> ist eine wohldefinierte Funktion auf den positiven reellen Zahlen. Im '''komplexen Bereich''' ist die Situation komplizierter: Die Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht injektiv''', da sie periodisch im Imaginärteil mit einer Periode <math>2\pi i</math> ist: :<math> \exp(z + 2\pi i) = \exp(z) </math> === Umkehrfunktion === Daher kann man keine eindeutige Umkehrfunktion als Logarithmus auf ganz <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definieren. Vielmehr existiert für jedes [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ein Logarithmus. Um den komplexen Logarithmus <math> \log: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> dennoch sinnvoll zu definieren, muss man den Wertebereich <math>\mathbb{W} </math> einschränken und aus dem Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> eine „Verzweigungslinie“ (Branch Cut) aus <math>\mathbb{C} </math> entfernen, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen und dennoch [[Stetigkeit]] und insbesondere die [[Holomorphie]] für den [[Logarithmus]] zu erhalten. ==== Beispiel - geschlitzte Ebene ==== Man kann z.B. die negativen reellen Zahlen <math>\mathbb{R}_0^- = (-\infty, 0]</math> aus <math>\mathbb{C}</math> entfernen. ==== Verallgemeinerung des Beispiels ==== In dieser Lerneinheit werden beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> verwendet, auf denen der komplexe Logarithmus eindeutig und [[holomorphe Funktion|holomorph]] definiert werden kann. Dabei wird für <math>\mathbb{C}</math> die Spur eines injektiven [[rechtseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a)=0</math> entfernt. == Grundidee == Wenn ein Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist, ist die [[Umlaufzahl]] allen geschlossenen Wegen <math>\gamma_o : [a,b]\to G</math> für Element auf dem Komplement <math> G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> von <math> G </math> immer 0 (d.h. <math>\gamma_o</math> ist nullhomolog in <math>G</math>). === Beispiele === * <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht''' einfach zusammenhängend, da der Integrationsweg <math>\gamma_o [0,2\pi]\to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\gamma_o(t)=e^{it}</math> die Zahl 0 umrundet. * <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> (die komplexe Ebene ohne die negative reelle Achse) ist einfach zusammenhängend. * Jede konvexe Menge ist einfach zusammenhängend. === Definition - Weg und Spur === Sei <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> eine stetige Abbildung. Die '''Spur''' (oder Bild) des Weges ist die Menge: :<math> \text{Spur}(\gamma) := \gamma([a, +\infty)) = \{ \gamma(t) \mid t \in [a, +\infty) \} </math> Dies erweitert den Begriff der Spur auf [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig unendliche Wege]]. == Konstruktionsansatz == Ein '''injektiver''' Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math>, also: * <math> \gamma </math> ist stetig, * <math> \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) </math> für alle <math> t_1 \neq t_2 </math>, * <math> \gamma(a) = 0 </math>, * <math> \gamma </math> ist '''parametrisch rechtsseitig unendlich''', d. h. der Definitionsbereich ist <math> [a, +\infty) </math>. === Beispiel - parametrisch rechtsseitig unendlich === * <math> \gamma(t) = t </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat als Spur die positive reelle Achse mit 0. * <math> \gamma(t) = t e^{i t} </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat eine logarithmische Spirale als Spur, die sich unendlich oft um den Ursprung windet. Entfernt man die zugehörige Spur des Weges von <math>\mathbb{C}</math> erhält man ein einfach zusammenhängendes Gebiet. === Konstruktion des Definitionsbereichs: === Definiere das Gebiet: :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass <math>G</math> nach Entfernen der Spur eines injektiven Weges <math> \gamma </math> aus der komplexen Ebene ein einfach zusammenhängendes Weg. == Kernfrage == Wann ist <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend? <span id="Zusammenhangslemma"></span> == Zusammenhangslemma für injektive Wege == Sei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektive Weg mit <math> \gamma(a) = z_0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>). Dann ist das Gebiet :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> [[einfach zusammenhängend]]. === Motivation für den Satz === Für die Definition von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] gibt es durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der imaginären Periode <math>2\pi i</math> unterschiedliche Logarithmenzweige. Die Möglichkeit weitere Logarithmen zu definieren werden in der Regel über geschlitzte Ebene z.B. durch Entfernung der negativen reellen Achse definiert. Bei [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] kann man aber die Spur von injektiven Wegen mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>) aus dem Definitionsbereich entfernen und den Zweig des Logarithmus auf dem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> definieren. == Beweisidee - Zusammenhangslemma == Zunächst werden die Veraussetzungen des Lemmas geometrisch für die Beweisidee erläutert. === Schritt 1 - Anfangspunkt des Weges === Die Spur von <math> \gamma </math> hat den Anfangspunkt <math>z_a:=\gamma(a)</math> und läuft wegen <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gegen <math>\infty</math> (auf der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]]) === Veranschaulichung zu Schritt 1 === [[Datei:RiemannKugel.svg|350px|center|riemannschen Zahlenkugel]] === Schritt 2 - Weg ohne Schleifen === Die Eigenschaft, dass der Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> injektiv und stetig ist, liefert die Eigenschaft, das der Weg "schleifenfrei" ist. Denn gäbe es zwei Punkte <math> t_1,t_2 \geq a </math> mit <math> t_1 < t_2 </math> und <math> \gamma(t_1) = \gamma(t_2) </math>, dann wäre der Weg <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> ein geschlossener Weg und der Weg <math>\gamma</math> hätte damit eine Schleifen. Da aber <math> \gamma </math> injektiv ist, gilt für alle <math> t_1 < t_2 </math>, dass <math> \gamma(t_1) \not= \gamma(t_2) </math> erfüllt ist. === Schritt 3 - Zusammenhangskomponenten === Wenn der Weg eine Schleife besitzen würde, dann könnte man Punkte im Inneren des geschlossenen Weges <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> nicht über eine stetig Weg mit Punkten aus dem Äußeren der Spur verbinden. Damit besteht die Menge <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten und die Menge <math>G</math> wäre damit nicht zusammenhängend. Die Injektivität von <math>\gamma</math> garantiert also die Eigenschaft, dass <math>G</math> [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] ist. === Schritt 4 - geschlossener Weg === Sei nun <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G </math> ein geschlossener Weg in <math>G</math>, der einen Spurpunkt <math>z_1 = \gamma(t_1)\in Spur(\gamma)</math> umrundet. Bei dem Umlauf des geschlossenen Weges <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> muss die Spur von <math>\gamma_1</math> aber die Spur des injektiven Weges <math>\gamma</math> aber mindestens einmal schneiden, da <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gilt und die Spur von <math>\gamma_1 </math> Punkte mit <math>\gamma_1(t)</math> mit <math>|\gamma_1(t)| > |z_1| </math> enthalten muss. === Veranschaulichung zu Schritt 4 === Betrachtet man den injektiven [[rechtsseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen]] grünen Weg aus der Abbildung in Schritt 1, der von <math>\gamma(a)=0</math> nach <math>\infty</math> läuft. Der Punkt, der umlaufend wird, sei <math>z_1 = -i</math>. Ein geschlossener Weg <math>\gamma_1</math>, der <math>z_1 = -i</math> umrundet, müsste die grün markierte Spur von <math>\gamma</math> in der oberen Hemisphäre passieren und damit wäre <math>\gamma</math> kein Weg mehr in <math>G</math>, weil die Spur von dem geschlossenen Weg <math>\gamma_1</math> Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> enthält. === Zusammenfassung - Zusammenhangslemma=== Die Menge <math> \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> ist zusammenhängend, weil die Spur schleifenfrei und damit <math>G</math> keine „Löcher“ besitzt. Die Injektivität ist entscheidend, denn wenn <math> \gamma </math> sich selbst schneidet, entstehen in <math> G </math> mehrere [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammnenhangskomponenten]]. == Satz - Existenz eines eindeutigen Logarithmus == Sei <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math>, wobei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektiver Weg mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>), dann existiert eine eindeutig bestimmte holomorphe Funktion <math> \log_{_\gamma}: G \to \mathbb{C} </math>, sodass :<math> \exp(\log_{_\gamma}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in G </math> gilt und <math> \log_{_\gamma} </math> ist holomorph auf <math> G </math> ist. == Beweis == Über das [[Zusammenhangslemma für injektive Wege]] <math> G </math> ist einfach zusammenhängend und mit <math>\gamma(a)=0</math> gilt ferner <math> 0 \notin G </math>. Also erhält man <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Man wählt einen beliebigen Punkt <math>z_0\in G</math> und definiert für eine Integrationsweg <math>\gamma_z:[a_1,b_1]\to G </math> mit <math>\gamma_z(b_1)=z\in G</math> : :<math> \widehat{F}(z):=\int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi </math> Die Funktion <math>\widehat{F}</math> ist damit eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math>. Damit ist <math>\widehat{F}</math> aber noch nicht notwendig eine Zweig des Logarithmus, da <math>\widehat{F}(1)=0</math> gelten muss. === Schritt 2 - Startpunkt des Weges === Wenn <math>1\in G</math> erhält man den Zweig des Logarithmus, indem man als festen Startpunkt der Wege <math>\gamma_z</math> den Punkt <math>z_0=1</math> wählt. Liegt der Punkt <math>1</math> nicht in <math>G</math>, so definiert man: :<math> c:= \lim_{t \searrow 0} \widehat{F}(1+i\cdot{t}) </math> Da die Funktion <math>\widehat{F}</math> imaginär rechtsseitig stetig fortgesetzt werden kann (aber nicht stetig fortsetzbar wegen <math>2\pi i</math>-Periodizität), existiert der Grenzwert <math>c</math>. === Schritt 3 - Definition der Konstante === Das Wegintegrale aus Schritt 1 wird nun für den Fall <math>1 \notin G</math> wie folgt definiert. :<math> F(z):=\int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi - c = \widehat{F}(z) - c </math> Damit erhält man die Eigenschaft :<math> \lim_{t \searrow 0} F(1+i\cdot{t}) = \lim_{t \searrow 0} \widehat{F}(1+i\cdot{t}) - c = 0 </math> === Schritt 4 - G einfach zusammenhängend === Auf einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math> ist mit der [[Cauchy-Integralformel]] existieren für holomorphe Funktionen Stammfunktionen. Da das Gebiet <math>G</math> enthält nach Voraussetzung nicht die <math> 0 </math>. Diese Eigenschaft ist wesentlich, da für <math>z=0</math> ein Logarithmus nicht existiert, das 0 nicht als Bild der Exponentialfunktion auftritt. Durch Schritt 3 ist die Konstante sogar eindeutig definiert, wenn der Punkt <math>0\notin G</math> nicht in dem Gebiet <math>G</math> enthalten ist. === Schritt 5 - Identitätssatz === Jede holomorphe Funktion lässt sich auf Kreisscheiben in Potenzreihen entwickeln. Die Stammfunktion lässt sich wegen gleichmäßiger Konvergenz summandenweise integrieren. Wenn <math>1\in G</math> liegt, wählt man als Entwicklungspunkt die Potenzreihenentwicklung um <math>z_0=1</math>. Durch den [[Identitätssatz]] ist die Stammfunktion als [[holomorphe Funktion]] damit schon eindeutig auch ganz <math>G</math> festgelegt. Liegt <math>1\notin G</math> wählt man eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math>, wobei 1 im Rand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. In einem solchen Fall bestimmt man nach Schritt 3 die Konstante <math>c</math> und es existiert mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige holomorphe Logarithmusfunktion auf ganz <math>G</math>. === Schritt 6 - Potenzreihenentwicklung === Damit ist der komplexe Logarithmus ist auf <math> G </math> wohldefiniert, stetig und sogar holomorph, da die Stammfunktion lokal in Potenzreihen entwicklelt werden können und diese immer summandenweise abgeleitet werden können. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Zusammenhangslemma für injektive Wege]] 415w7qja55db02xt1ladnbf8u3pwq2k 1115132 1115130 2026-10-02T12:48:04Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115132 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''natürliche Logarithmus''' <math> \ln: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} </math> ist eine wohldefinierte Funktion auf den positiven reellen Zahlen. Im '''komplexen Bereich''' ist die Situation komplizierter: Die Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht injektiv''', da sie periodisch im Imaginärteil mit einer Periode <math>2\pi i</math> ist: :<math> \exp(z + 2\pi i) = \exp(z) </math> === Umkehrfunktion === Daher kann man keine eindeutige Umkehrfunktion als Logarithmus auf ganz <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definieren. Vielmehr existiert für jedes [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ein Logarithmus. Um den komplexen Logarithmus <math> \log: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> dennoch sinnvoll zu definieren, muss man den Wertebereich <math>\mathbb{W} </math> einschränken und aus dem Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> eine „Verzweigungslinie“ (Branch Cut) aus <math>\mathbb{C} </math> entfernen, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen und dennoch [[Stetigkeit]] und insbesondere die [[Holomorphie]] für den [[Logarithmus]] zu erhalten. ==== Beispiel - geschlitzte Ebene ==== Man kann z.B. die negativen reellen Zahlen <math>\mathbb{R}_0^- = (-\infty, 0]</math> aus <math>\mathbb{C}</math> entfernen. ==== Verallgemeinerung des Beispiels ==== In dieser Lerneinheit werden beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> verwendet, auf denen der komplexe Logarithmus eindeutig und [[holomorphe Funktion|holomorph]] definiert werden kann. Dabei wird für <math>\mathbb{C}</math> die Spur eines injektiven [[rechtseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a)=0</math> entfernt. == Grundidee == Wenn ein Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist, ist die [[Umlaufzahl]] allen geschlossenen Wegen <math>\gamma_o : [a,b]\to G</math> für Element auf dem Komplement <math> G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> von <math> G </math> immer 0 (d.h. <math>\gamma_o</math> ist nullhomolog in <math>G</math>). === Beispiele === * <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht''' einfach zusammenhängend, da der Integrationsweg <math>\gamma_o [0,2\pi]\to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\gamma_o(t)=e^{it}</math> die Zahl 0 umrundet. * <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> (die komplexe Ebene ohne die negative reelle Achse) ist einfach zusammenhängend. * Jede konvexe Menge ist einfach zusammenhängend. === Definition - Weg und Spur === Sei <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> eine stetige Abbildung. Die '''Spur''' (oder Bild) des Weges ist die Menge: :<math> \text{Spur}(\gamma) := \gamma([a, +\infty)) = \{ \gamma(t) \mid t \in [a, +\infty) \} </math> Dies erweitert den Begriff der Spur auf [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig unendliche Wege]]. == Konstruktionsansatz == Ein '''injektiver''' Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math>, also: * <math> \gamma </math> ist stetig, * <math> \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) </math> für alle <math> t_1 \neq t_2 </math>, * <math> \gamma(a) = 0 </math>, * <math> \gamma </math> ist '''parametrisch rechtsseitig unendlich''', d. h. der Definitionsbereich ist <math> [a, +\infty) </math>. === Beispiel - parametrisch rechtsseitig unendlich === * <math> \gamma(t) = t </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat als Spur die positive reelle Achse mit 0. * <math> \gamma(t) = t e^{i t} </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat eine logarithmische Spirale als Spur, die sich unendlich oft um den Ursprung windet. Entfernt man die zugehörige Spur des Weges von <math>\mathbb{C}</math> erhält man ein einfach zusammenhängendes Gebiet. === Konstruktion des Definitionsbereichs: === Definiere das Gebiet: :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass <math>G</math> nach Entfernen der Spur eines injektiven Weges <math> \gamma </math> aus der komplexen Ebene ein einfach zusammenhängendes Weg. == Kernfrage == Wann ist <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend? <span id="Zusammenhangslemma"></span> == Zusammenhangslemma für injektive Wege == Sei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektive Weg mit <math> \gamma(a) = z_0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>). Dann ist das Gebiet :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> [[einfach zusammenhängend]]. === Motivation für den Satz === Für die Definition von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] gibt es durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der imaginären Periode <math>2\pi i</math> unterschiedliche Logarithmenzweige. Die Möglichkeit weitere Logarithmen zu definieren werden in der Regel über geschlitzte Ebene z.B. durch Entfernung der negativen reellen Achse definiert. Bei [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] kann man aber die Spur von injektiven Wegen mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>) aus dem Definitionsbereich entfernen und den Zweig des Logarithmus auf dem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> definieren. == Beweisidee - Zusammenhangslemma == Zunächst werden die Veraussetzungen des Lemmas geometrisch für die Beweisidee erläutert. === Schritt 1 - Anfangspunkt des Weges === Die Spur von <math> \gamma </math> hat den Anfangspunkt <math>z_a:=\gamma(a)</math> und läuft wegen <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gegen <math>\infty</math> (auf der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]]) === Veranschaulichung zu Schritt 1 === [[Datei:RiemannKugel.svg|350px|center|riemannschen Zahlenkugel]] === Schritt 2 - Weg ohne Schleifen === Die Eigenschaft, dass der Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> injektiv und stetig ist, liefert die Eigenschaft, das der Weg "schleifenfrei" ist. Denn gäbe es zwei Punkte <math> t_1,t_2 \geq a </math> mit <math> t_1 < t_2 </math> und <math> \gamma(t_1) = \gamma(t_2) </math>, dann wäre der Weg <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> ein geschlossener Weg und der Weg <math>\gamma</math> hätte damit eine Schleifen. Da aber <math> \gamma </math> injektiv ist, gilt für alle <math> t_1 < t_2 </math>, dass <math> \gamma(t_1) \not= \gamma(t_2) </math> erfüllt ist. === Schritt 3 - Zusammenhangskomponenten === Wenn der Weg eine Schleife besitzen würde, dann könnte man Punkte im Inneren des geschlossenen Weges <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> nicht über eine stetig Weg mit Punkten aus dem Äußeren der Spur verbinden. Damit besteht die Menge <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten und die Menge <math>G</math> wäre damit nicht zusammenhängend. Die Injektivität von <math>\gamma</math> garantiert also die Eigenschaft, dass <math>G</math> [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] ist. === Schritt 4 - geschlossener Weg === Sei nun <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G </math> ein geschlossener Weg in <math>G</math>, der einen Spurpunkt <math>z_1 = \gamma(t_1)\in Spur(\gamma)</math> umrundet. Bei dem Umlauf des geschlossenen Weges <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> muss die Spur von <math>\gamma_1</math> aber die Spur des injektiven Weges <math>\gamma</math> aber mindestens einmal schneiden, da <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gilt und die Spur von <math>\gamma_1 </math> Punkte mit <math>\gamma_1(t)</math> mit <math>|\gamma_1(t)| > |z_1| </math> enthalten muss. === Veranschaulichung zu Schritt 4 === Betrachtet man den injektiven [[rechtsseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen]] grünen Weg aus der Abbildung in Schritt 1, der von <math>\gamma(a)=0</math> nach <math>\infty</math> läuft. Der Punkt, der umlaufend wird, sei <math>z_1 = -i</math>. Ein geschlossener Weg <math>\gamma_1</math>, der <math>z_1 = -i</math> umrundet, müsste die grün markierte Spur von <math>\gamma</math> in der oberen Hemisphäre passieren und damit wäre <math>\gamma</math> kein Weg mehr in <math>G</math>, weil die Spur von dem geschlossenen Weg <math>\gamma_1</math> Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> enthält. === Zusammenfassung - Zusammenhangslemma=== Die Menge <math> \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> ist zusammenhängend, weil die Spur schleifenfrei und damit <math>G</math> keine „Löcher“ besitzt. Die Injektivität ist entscheidend, denn wenn <math> \gamma </math> sich selbst schneidet, entstehen in <math> G </math> mehrere [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammnenhangskomponenten]]. == Satz - Existenz eines eindeutigen Logarithmus == Sei <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math>, wobei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektiver Weg mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>), dann existiert eine eindeutig bestimmte holomorphe Funktion <math> \log_{_\gamma}: G \to \mathbb{C} </math>, sodass :<math> \exp(\log_{_\gamma}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in G </math> gilt und <math> \log_{_\gamma} </math> ist holomorph auf <math> G </math> ist. == Beweis == Über das [[Zusammenhangslemma für injektive Wege]] <math> G </math> ist einfach zusammenhängend und mit <math>\gamma(a)=0</math> gilt ferner <math> 0 \notin G </math>. Also erhält man <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Man wählt einen beliebigen Punkt <math>z_0\in G</math> und definiert für eine Integrationsweg <math>\gamma_z:[a_1,b_1]\to G </math> mit <math>\gamma_z(b_1)=z\in G</math> : :<math> \widehat{F}(z):=\int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi </math> Die Funktion <math>\widehat{F}</math> ist damit eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math>. Damit ist <math>\widehat{F}</math> aber noch nicht notwendig eine Zweig des Logarithmus, da <math>\widehat{F}(1)=0</math> gelten muss. === Schritt 2 - Startpunkt des Weges === Wenn <math>1\in G</math> erhält man den Zweig des Logarithmus, indem man als festen Startpunkt der Wege <math>\gamma_z</math> den Punkt <math>z_0=1</math> wählt. Liegt der Punkt <math>1</math> nicht in <math>G</math>, so definiert man: :<math> c:= \lim_{t \searrow 0} \widehat{F}(1+i\cdot{t}) </math> Da die Funktion <math>\widehat{F}</math> imaginär rechtsseitig stetig fortgesetzt werden kann (aber nicht stetig fortsetzbar wegen <math>2\pi i</math>-Periodizität), existiert der Grenzwert <math>c</math>. === Schritt 3 - Definition der Konstante === Das Wegintegrale aus Schritt 1 wird nun für den Fall <math>1 \notin G</math> wie folgt definiert. :<math> F(z):=\int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi - c = \widehat{F}(z) - c </math> Damit erhält man die Eigenschaft :<math> \lim_{t \searrow 0} F(1+i\cdot{t}) = \lim_{t \searrow 0} \widehat{F}(1+i\cdot{t}) - c = 0 </math> === Schritt 4 - G einfach zusammenhängend === Auf einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math> ist mit der [[Cauchy-Integralformel]] existieren für holomorphe Funktionen Stammfunktionen. Da das Gebiet <math>G</math> enthält nach Voraussetzung nicht die <math> 0 </math>. Diese Eigenschaft ist wesentlich, da für <math>z=0</math> ein Logarithmus nicht existiert, das 0 nicht als Bild der Exponentialfunktion auftritt. Durch Schritt 3 ist die Konstante sogar eindeutig definiert, wenn der Punkt <math>0\notin G</math> nicht in dem Gebiet <math>G</math> enthalten ist. === Schritt 5 - Identitätssatz === Jede holomorphe Funktion lässt sich auf Kreisscheiben in Potenzreihen entwickeln. Die Stammfunktion lässt sich wegen gleichmäßiger Konvergenz summandenweise integrieren. Wenn <math>1\in G</math> liegt, wählt man als Entwicklungspunkt die Potenzreihenentwicklung um <math>z_0=1</math>. Durch den [[Identitätssatz]] ist die Stammfunktion als [[holomorphe Funktion]] damit schon eindeutig auch ganz <math>G</math> festgelegt. Liegt <math>1\notin G</math> wählt man eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math>, wobei 1 im Rand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. In einem solchen Fall bestimmt man nach Schritt 3 die Konstante <math>c</math> und es existiert mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige holomorphe Logarithmusfunktion auf ganz <math>G</math>. === Schritt 6 - Potenzreihenentwicklung === Damit ist der komplexe Logarithmus ist auf <math> G </math> wohldefiniert, stetig und sogar holomorph, da die Stammfunktion lokal in Potenzreihen entwicklelt werden können und diese immer summandenweise abgeleitet werden können. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Zusammenhangslemma für injektive Wege]] 27ndfp7zxtzkgs0eawgwn4x46secigk 1115133 1115132 2026-10-02T12:50:47Z Bert Niehaus 20843 /* Verallgemeinerung des Beispiels */ 1115133 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der '''natürliche Logarithmus''' <math> \ln: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} </math> ist eine wohldefinierte Funktion auf den positiven reellen Zahlen. Im '''komplexen Bereich''' ist die Situation komplizierter: Die Exponentialfunktion <math> \exp: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht injektiv''', da sie periodisch im Imaginärteil mit einer Periode <math>2\pi i</math> ist: :<math> \exp(z + 2\pi i) = \exp(z) </math> === Umkehrfunktion === Daher kann man keine eindeutige Umkehrfunktion als Logarithmus auf ganz <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definieren. Vielmehr existiert für jedes [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] ein Logarithmus. Um den komplexen Logarithmus <math> \log: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} </math> dennoch sinnvoll zu definieren, muss man den Wertebereich <math>\mathbb{W} </math> einschränken und aus dem Definitionsbereich <math>G\subset \mathbb{C}\setminus \{0\} </math> eine „Verzweigungslinie“ (Branch Cut) aus <math>\mathbb{C} </math> entfernen, um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen und dennoch [[Stetigkeit]] und insbesondere die [[Holomorphie]] für den [[Logarithmus]] zu erhalten. ==== Beispiel - geschlitzte Ebene ==== Man kann z.B. die negativen reellen Zahlen <math>\mathbb{R}_0^- = (-\infty, 0]</math> aus <math>\mathbb{C}</math> entfernen. ==== Verallgemeinerung des Beispiels ==== In dieser Lerneinheit werden beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> verwendet, auf denen der komplexe Logarithmus eindeutig und [[holomorphe Funktion|holomorph]] definiert werden kann. Dabei wird für <math>\mathbb{C}</math> die Spur eines injektiven [[parametrisch rechtsseitig unendlicher Weg|parametrisch rechtsseitig unendlichen Weges]] <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(a)=0</math> entfernt. == Grundidee == Wenn ein Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene und einfach zusammenhängende Menge ist, ist die [[Umlaufzahl]] allen geschlossenen Wegen <math>\gamma_o : [a,b]\to G</math> für Element auf dem Komplement <math> G^c := \mathbb{C}\setminus G </math> von <math> G </math> immer 0 (d.h. <math>\gamma_o</math> ist nullhomolog in <math>G</math>). === Beispiele === * <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> ist '''nicht''' einfach zusammenhängend, da der Integrationsweg <math>\gamma_o [0,2\pi]\to \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> mit <math>\gamma_o(t)=e^{it}</math> die Zahl 0 umrundet. * <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math> (die komplexe Ebene ohne die negative reelle Achse) ist einfach zusammenhängend. * Jede konvexe Menge ist einfach zusammenhängend. === Definition - Weg und Spur === Sei <math>\gamma : [a,+\infty) \to \mathbb{C}</math> eine stetige Abbildung. Die '''Spur''' (oder Bild) des Weges ist die Menge: :<math> \text{Spur}(\gamma) := \gamma([a, +\infty)) = \{ \gamma(t) \mid t \in [a, +\infty) \} </math> Dies erweitert den Begriff der Spur auf [[rechtsseitig parametrisch unendlicher Weg|rechtsseitig unendliche Wege]]. == Konstruktionsansatz == Ein '''injektiver''' Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math>, also: * <math> \gamma </math> ist stetig, * <math> \gamma(t_1) \neq \gamma(t_2) </math> für alle <math> t_1 \neq t_2 </math>, * <math> \gamma(a) = 0 </math>, * <math> \gamma </math> ist '''parametrisch rechtsseitig unendlich''', d. h. der Definitionsbereich ist <math> [a, +\infty) </math>. === Beispiel - parametrisch rechtsseitig unendlich === * <math> \gamma(t) = t </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat als Spur die positive reelle Achse mit 0. * <math> \gamma(t) = t e^{i t} </math> für <math> t \in [0, \infty) </math> hat eine logarithmische Spirale als Spur, die sich unendlich oft um den Ursprung windet. Entfernt man die zugehörige Spur des Weges von <math>\mathbb{C}</math> erhält man ein einfach zusammenhängendes Gebiet. === Konstruktion des Definitionsbereichs: === Definiere das Gebiet: :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass <math>G</math> nach Entfernen der Spur eines injektiven Weges <math> \gamma </math> aus der komplexen Ebene ein einfach zusammenhängendes Weg. == Kernfrage == Wann ist <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> einfach zusammenhängend? <span id="Zusammenhangslemma"></span> == Zusammenhangslemma für injektive Wege == Sei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektive Weg mit <math> \gamma(a) = z_0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>). Dann ist das Gebiet :<math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> [[einfach zusammenhängend]]. === Motivation für den Satz === Für die Definition von [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] gibt es durch die Periodizität der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der imaginären Periode <math>2\pi i</math> unterschiedliche Logarithmenzweige. Die Möglichkeit weitere Logarithmen zu definieren werden in der Regel über geschlitzte Ebene z.B. durch Entfernung der negativen reellen Achse definiert. Bei [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmen]] kann man aber die Spur von injektiven Wegen mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>) aus dem Definitionsbereich entfernen und den Zweig des Logarithmus auf dem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> definieren. == Beweisidee - Zusammenhangslemma == Zunächst werden die Veraussetzungen des Lemmas geometrisch für die Beweisidee erläutert. === Schritt 1 - Anfangspunkt des Weges === Die Spur von <math> \gamma </math> hat den Anfangspunkt <math>z_a:=\gamma(a)</math> und läuft wegen <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gegen <math>\infty</math> (auf der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]]) === Veranschaulichung zu Schritt 1 === [[Datei:RiemannKugel.svg|350px|center|riemannschen Zahlenkugel]] === Schritt 2 - Weg ohne Schleifen === Die Eigenschaft, dass der Weg <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> injektiv und stetig ist, liefert die Eigenschaft, das der Weg "schleifenfrei" ist. Denn gäbe es zwei Punkte <math> t_1,t_2 \geq a </math> mit <math> t_1 < t_2 </math> und <math> \gamma(t_1) = \gamma(t_2) </math>, dann wäre der Weg <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> ein geschlossener Weg und der Weg <math>\gamma</math> hätte damit eine Schleifen. Da aber <math> \gamma </math> injektiv ist, gilt für alle <math> t_1 < t_2 </math>, dass <math> \gamma(t_1) \not= \gamma(t_2) </math> erfüllt ist. === Schritt 3 - Zusammenhangskomponenten === Wenn der Weg eine Schleife besitzen würde, dann könnte man Punkte im Inneren des geschlossenen Weges <math>\gamma_o : [t_1,t_2]\to \mathbb{C} </math> nicht über eine stetig Weg mit Punkten aus dem Äußeren der Spur verbinden. Damit besteht die Menge <math> G := \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten und die Menge <math>G</math> wäre damit nicht zusammenhängend. Die Injektivität von <math>\gamma</math> garantiert also die Eigenschaft, dass <math>G</math> [[w:de:wegzusammenhängend|wegzusammenhängend]] ist. === Schritt 4 - geschlossener Weg === Sei nun <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to G </math> ein geschlossener Weg in <math>G</math>, der einen Spurpunkt <math>z_1 = \gamma(t_1)\in Spur(\gamma)</math> umrundet. Bei dem Umlauf des geschlossenen Weges <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> muss die Spur von <math>\gamma_1</math> aber die Spur des injektiven Weges <math>\gamma</math> aber mindestens einmal schneiden, da <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math> gilt und die Spur von <math>\gamma_1 </math> Punkte mit <math>\gamma_1(t)</math> mit <math>|\gamma_1(t)| > |z_1| </math> enthalten muss. === Veranschaulichung zu Schritt 4 === Betrachtet man den injektiven [[rechtsseitig unendlicher Weg|rechtsseitig unendlichen]] grünen Weg aus der Abbildung in Schritt 1, der von <math>\gamma(a)=0</math> nach <math>\infty</math> läuft. Der Punkt, der umlaufend wird, sei <math>z_1 = -i</math>. Ein geschlossener Weg <math>\gamma_1</math>, der <math>z_1 = -i</math> umrundet, müsste die grün markierte Spur von <math>\gamma</math> in der oberen Hemisphäre passieren und damit wäre <math>\gamma</math> kein Weg mehr in <math>G</math>, weil die Spur von dem geschlossenen Weg <math>\gamma_1</math> Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> enthält. === Zusammenfassung - Zusammenhangslemma=== Die Menge <math> \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math> ist zusammenhängend, weil die Spur schleifenfrei und damit <math>G</math> keine „Löcher“ besitzt. Die Injektivität ist entscheidend, denn wenn <math> \gamma </math> sich selbst schneidet, entstehen in <math> G </math> mehrere [[w:de:Zusammenhangskomponente|Zusammnenhangskomponenten]]. == Satz - Existenz eines eindeutigen Logarithmus == Sei <math> G = \mathbb{C} \setminus \text{Spur}(\gamma) </math>, wobei <math> \gamma: [a, +\infty) \to \mathbb{C} </math> ein injektiver Weg mit <math> \gamma(a) = 0 </math> und <math> \lim_{t \to \infty} \gamma(t) = \infty </math> (d. h. <math>\lim_{t \to \infty} |\gamma(t)| = \infty </math>), dann existiert eine eindeutig bestimmte holomorphe Funktion <math> \log_{_\gamma}: G \to \mathbb{C} </math>, sodass :<math> \exp(\log_{_\gamma}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in G </math> gilt und <math> \log_{_\gamma} </math> ist holomorph auf <math> G </math> ist. == Beweis == Über das [[Zusammenhangslemma für injektive Wege]] <math> G </math> ist einfach zusammenhängend und mit <math>\gamma(a)=0</math> gilt ferner <math> 0 \notin G </math>. Also erhält man <math> G \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Man wählt einen beliebigen Punkt <math>z_0\in G</math> und definiert für eine Integrationsweg <math>\gamma_z:[a_1,b_1]\to G </math> mit <math>\gamma_z(b_1)=z\in G</math> : :<math> \widehat{F}(z):=\int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi </math> Die Funktion <math>\widehat{F}</math> ist damit eine Stammfunktion von <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math>. Damit ist <math>\widehat{F}</math> aber noch nicht notwendig eine Zweig des Logarithmus, da <math>\widehat{F}(1)=0</math> gelten muss. === Schritt 2 - Startpunkt des Weges === Wenn <math>1\in G</math> erhält man den Zweig des Logarithmus, indem man als festen Startpunkt der Wege <math>\gamma_z</math> den Punkt <math>z_0=1</math> wählt. Liegt der Punkt <math>1</math> nicht in <math>G</math>, so definiert man: :<math> c:= \lim_{t \searrow 0} \widehat{F}(1+i\cdot{t}) </math> Da die Funktion <math>\widehat{F}</math> imaginär rechtsseitig stetig fortgesetzt werden kann (aber nicht stetig fortsetzbar wegen <math>2\pi i</math>-Periodizität), existiert der Grenzwert <math>c</math>. === Schritt 3 - Definition der Konstante === Das Wegintegrale aus Schritt 1 wird nun für den Fall <math>1 \notin G</math> wie folgt definiert. :<math> F(z):=\int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi - c = \widehat{F}(z) - c </math> Damit erhält man die Eigenschaft :<math> \lim_{t \searrow 0} F(1+i\cdot{t}) = \lim_{t \searrow 0} \widehat{F}(1+i\cdot{t}) - c = 0 </math> === Schritt 4 - G einfach zusammenhängend === Auf einfach zusammenhängenden Gebieten <math>G</math> ist mit der [[Cauchy-Integralformel]] existieren für holomorphe Funktionen Stammfunktionen. Da das Gebiet <math>G</math> enthält nach Voraussetzung nicht die <math> 0 </math>. Diese Eigenschaft ist wesentlich, da für <math>z=0</math> ein Logarithmus nicht existiert, das 0 nicht als Bild der Exponentialfunktion auftritt. Durch Schritt 3 ist die Konstante sogar eindeutig definiert, wenn der Punkt <math>0\notin G</math> nicht in dem Gebiet <math>G</math> enthalten ist. === Schritt 5 - Identitätssatz === Jede holomorphe Funktion lässt sich auf Kreisscheiben in Potenzreihen entwickeln. Die Stammfunktion lässt sich wegen gleichmäßiger Konvergenz summandenweise integrieren. Wenn <math>1\in G</math> liegt, wählt man als Entwicklungspunkt die Potenzreihenentwicklung um <math>z_0=1</math>. Durch den [[Identitätssatz]] ist die Stammfunktion als [[holomorphe Funktion]] damit schon eindeutig auch ganz <math>G</math> festgelegt. Liegt <math>1\notin G</math> wählt man eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)\subset G</math>, wobei 1 im Rand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. In einem solchen Fall bestimmt man nach Schritt 3 die Konstante <math>c</math> und es existiert mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige holomorphe Logarithmusfunktion auf ganz <math>G</math>. === Schritt 6 - Potenzreihenentwicklung === Damit ist der komplexe Logarithmus ist auf <math> G </math> wohldefiniert, stetig und sogar holomorph, da die Stammfunktion lokal in Potenzreihen entwicklelt werden können und diese immer summandenweise abgeleitet werden können. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexer Logarithmus]] * [[Zusammenhangslemma für injektive Wege]] qazwsn0m4qgt7r3qlcye5m7kgkgzm3r 0 172723 1115131 2026-10-02T12:47:07Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete#Zusammenhangslemma]] erstellt 1115131 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus/einfach zusammenhängende LOG-Gebiete#Zusammenhangslemma]] p62xgwtb0ovqmmfykp126i5nrdfhkt2 0 172724 1115134 2026-10-02T12:51:31Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig]] erstellt 1115134 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#rechtsseitig]] 8sj9o0tt3a3owi6yfo2y47kbl1r55we 0 172725 1115136 2026-10-02T12:53:10Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich]] erstellt 1115136 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich]] 7qwsmdz43vzyzyhj2ac0o30qxfvzu75 1115138 1115136 2026-10-02T12:54:19Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich]] nach [[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#Definition]] geändert 1115138 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Weg (Mathematik)/parametrisch unendlich#Definition]] jrp4xo3ni8kxamofb1tzx13iuk4fwkh 1 172726 1115142 2026-10-03T11:25:35Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* b */ 1115142 wikitext text/x-wiki == b == Hallo, ist das b nicht überflüssig? Es wird doch nur das a verwendet. MfG Lars [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 13:25, 3. Okt. 2026 (CEST) dofxqqwqtczd1p3vnvu6w7dx6uq56mc