Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 60193 1115176 559923 2026-10-04T20:24:02Z DieHenkels 22627 /* Anführungszeichen */ Tippfehler "coeur" 1115176 wikitext text/x-wiki :''Die Seite begleitet den Kurs „Gute Typografie“ an der VHS&nbsp;Frankfurt am Main, 11.&nbsp;und 18.&nbsp;April 2013. Die Seite wird im Laufe des Kurses vervollständigt und steht den Teilnehmerinnen und Teilnehmern sowie anderen Interessierten auch danach weiterhin als Referenz zur Verfügung. == Einführung == === Was ist Typografie? === * Herkunft des Begriffs [[w:Typografie|Typografie]]: Aus dem Griechischen: typos („Figur“) und graphia („schreiben“). * Das „richtige“ und schöne [[w:Satz (Druck)|Setzen (Drucken)]] von Schrift. ↔ Kalligraphie: Das schöne Schreiben. * Zweck: Dient dazu, Inhalte leichter lesbar zu machen, damit sie besser aufgenommen werden können. * Kunst und Handwerk: Eine Kunstform neben Malerei, Skulptur, Architektur . . . , die bestimmten Regeln folgt und die man erlernen kann. === Was ist digitale Typografie? === * Aufbereitung von Texten mithilfe von Software: ** Texteingabe ** Textauszeichnung ** Textsatz, Layout, Grafik * Werkzeuge: [[w:Auszeichnungssprache|Auszeichnungssprachen]], *[[w:Satz (Druck)|Textsatz]], [[w:Desktop-Publishing|Desktop-Publishing]], [[w:Textverarbeitung|Textverarbeitung]]. * Ausgabe in digitale Medien: [[w:PostScript|PS]]/[[w:Portable Document Format|PDF-Datei]], Web → Druck(erei)/Webbrowser/App. Neben der digitalen Typografie ist auch der Digitaldruck ein wesentlicher Bestandteil. Dabei werden beim Digitaldruck fertigen Druckvorlagen direkt vom Computer in die entsprechende Druckmaschine übertragen.<ref>[https://www.norddisplay.de/magazin/digitaldruck-was-genau-ist-das-eigentlich-und-welche-vorteile-bietet-er.html Erklärung zum Digitaldruck und dessen Vorteilen]</ref> === Zitate === * „Wenn die Typographie eine Kunst ist, dann nur die, sich in den Leser hineinzuversetzen und ihm einen Text so wenig aufdringlich wie möglich, so angenehm wie möglich zu offerieren . . . Das Auge reagiert extrem empfindlich auf das Leseangebot. Nicht wohlwollend angebotene Texte läßt es liegen.“ – Otl Aicher, Schriftgestalter. * How do we persuade new users that spreading fonts across the page like peanut butter across hot toast is not necessarily the route to typographic excellence? – Peter Flynn. === Beispiele === <gallery> File:Gutenberg bible Old Testament Epistle of St Jerome.jpg|Gutenberg-Bibel File:Wikipedia macht Schule WMDE Flyer.pdf|Werbung – Flyer File:Smart ForTwo GenII BR451 from 2007 LIDL frontleft 2008-04-11 U.jpg|Werbung – Beschriftungen File:Nasen Spray-ratiopharm.jpg|Werbung – Beschriftungen File:Autobahn Overhead Sign.jpg|Verkehrsschilder File:Workspace 300.jpg|Grafische Bedienoberflächen </gallery> === Grundbedingungen für Typografie === Worauf ist Rücksicht zu nehmen? * Historische Prägungen: Traditionen, Konventionen, Gewohnheiten. * Biologische Grundlagen: Augen, Nerven, Gehirn – wie liest man? * Wahrnehmungspsychologie: Aufnehmen und Verarbeitung des Gesehenen. * Erwartungen der Leser an das jeweilige Schriftstück. === Technische Grundlagen im Überblick === Heute übliche Software für die Arbeit mit Texten: * Textsatz: TeX/LaTeX * Desktop-Publishing/Layout: Adobe InDesign, QuarkXPress, Scribus. * Textverarbeitung: LibreOffice Writer, Microsoft Word. Anwendungen zur Grafikbearbeitung: Adobe Photoshop, Gimp. === Vom Text zur Druckvorstufe === * Trennung von Inhalt und Form: * Inhalt: Die Texterfassung im Editor. * Form: Der Satz im Layout-Programm. ** Mikrotypographie: Das Setzen des Texts, der Schrift, mit allen Feinheiten. ** Makrotypographie: Das Seitenlayout. Das Anordnen von Texten und Bildern auf der Seite. [[w:Druckvorstufe|Druckvorstufe]]: PS/PDF-Datei → Druck. === Die Arbeitsweise im einzelnen === ==== Textsatz mit LaTeX ==== * Texteingabe mit Markup in einem beliebigem Editor. * Format: TEX. * In der Regel keine Änderungen am Layout. * Das Layout wird von einer Vorlage bestimmt. * Kompilieren des LaTeX-Dokuments → PS/PDF. * Kontrolle im Previewer → Druck. ==== Desktop-Publishing ==== * Texteingabe in Editor oder Textverarbeitung. * Formate: TXT oder ODT/DOC/RTF. * Im Layout-Programm: ** Verwenden einer Vorlage; sonst händisch: ** Festlegen von Seite, Satzspiegel, Schrift, Raster. ** Textrahmen aufziehen und ggf. verketten. ** Text in Textrahmen einfügen. ** Bilder in Bildrahmen einfügen. ** Position und Größe der Rahmen experimentell bestimmen. Text ggf. passend umformulieren. * PS/PDF-Export → Druck. ==== Textverarbeitung ==== * Texteingabe in die Textverarbeitung: Keine gesonderte Anwendung zur Texterfassung. * Formate: ODT/DOC/RTF. * Formatierung des Texts, bei Laien oft schon bei der Eingabe. * Möglich, aber nicht zwingend: Rahmen, Raster, PS/PDF-Export. * Drucken oft direkt aus der Textverarbeitung. ==== Empfehlung ==== Trennen von Form und Inhalt: * Inhalt: Erst den Text in einen Editor eingeben. * Dabei mikrotypographische Feinheiten berücksichtigen. * Form: Dann den Text setzen (Formatieren mit: LaTeX, DTP, Textverarbeitung). * Export in PS/PDF als Ausgabeformat für den Druck. * Drucken: Druckerei oder eigener Drucker. === Regeln === Welche typographischen Regeln gibt es? * Ausgangspunkt: Klassische Regeln des Buchdrucks. * Lehren von Schriftgestaltern und Typographen (Tschichold, Forssman, Willberg, Spiekermann… ) * Hausschreibung und -typographie von Verlagen, Zeitungen, Redaktionen, Wikipedia . . . * Problematisch: Duden und DIN-Normen, insbesondere DIN 5008 – „Typographie“? Fragen: * In welchem Verhältnis stehen diese Regeln zueinander? * Regelwidrige Erwartungen bei Adressaten „bedienen“? == Detailtypografie == === Definition === In der Typografie wird zwischen Mikro- und Makrotypografie unterschieden. Makrotypografie umfasst die Fragen des groben Layouts. Angefangen bei den Trägermaterialien über die Druckverfahren bis hin zur Schriftfarbe wird in der Makrotypografie auch über das Gestaltungsraster als wohl wichtigstes Gestaltungselement entschieden. Grundfrage ist die Positionierung von Grafik und Text, wobei bereits Überlegungen zu den einzelnen Schriftarten, genauer, der Auswahl der Schriftfamilien, einfließen. Die Mikrotypografie befasst sich hingegen nur mit der Schrift selbst. Hierbei werden Schriften im Detail angepasst, um eine optimale Lesbarkeit zu erreichen. Dies umfasst beispielsweise das Sperren oder Kerning von Schriften oder auch die Anpassung der Abstände zwischen Wörtern und Zeilen. Beim Sperren werden Abstände (Spatien) eingefügt, um den Abstand zwischen Buchstaben zu vergrößern. Kerning meint das Gegenteil, also die Verringerung der Weißräume zwischen Buchstaben. <ref>[http://blog.flyerpilot.de blog.flyerpilot.de]</ref> === Wortzwischenräume und Abstände === Auf den richtigen Wortzwischenraum ist vor allem bei Abkürzungen zu achten: * Normaler Zwischenraum: z.&nbsp;B. S.&nbsp;15&nbsp;ff. * Schmaler Zwischenraum, Spatium: z.&thinsp;B. §&thinsp;157 SGB&thinsp;VII * Kein Zwischenraum: z.B. Es ist jeweils ein [[w:Geschütztes Leerzeichen|geschütztes Leerzeichen]] einzufügen. === Zahlen und Ziffern === ;Kleine Zahlen :ausschreiben: In fünf Minuten fertig. ;Nicht exakte Zahlen :ausschreiben: Etwa tausend Zuschauer. ;Bis zu vier Ziffern :werden ohne Abstand gesetzt: 9000. ;Ab fünf Ziffern :darf man die mit schmalen Zwischenräumen gliedern: 90&thinsp;000, 100&thinsp;000, 1&thinsp;000&thinsp;000. ;Telefonnummern :von hinten in Zweiergruppen gliedern: 0&thinsp;69/12&thinsp;34&thinsp;56&thinsp;78. Neuerdings: 069/12&thinsp;34&thinsp;56&thinsp;78. ;Kontonummern :von hinten in Dreiergruppen gliedern: Konto 123&thinsp;456&thinsp;789. ;Bankleitzahlen :von vorne in Dreiergruppen gliedern: BLZ&nbsp;123&thinsp;123&thinsp;12. ;Postleitzahlen :ohne Gliederung: 63263. === Striche === Der Gedanken- und der Streckenstrich sind auseinanderzuhalten: * Geviertstrich: 3,—&nbsp;Euro * Halbgeviertstrich: 1–2&nbsp;mal * Viertelgeviertstrich: Trenn-, Binde-Strich Häufig zu sehen (DIN 5008): 11&nbsp;-&nbsp;12&nbsp;Uhr === Anführungszeichen === Bei deutschen Texten sollten „Gänsefüßchen“ bevorzugt werden: :''„Innerhalb von Zitaten kann man ‚solche Stellen‘ mit ‚halben Anführungszeichen‘ kennzeichnen.“'' :''In English, use “quoted ‘text’ like this”.'' In französischen Texten werden Guillemets verwendet, die mit einem schmalen Zwischenraum umgeben sind: :''«&nbsp;On ne voit bien qu’avec le cœur.&nbsp;»'' (Saint-Exupéry) === Exkurs: Eingabe von Sonderzeichen === Wie kann man Anführungszeichen, Striche, schmale und geschützte Leerzeichen, diakritische Zeichen usw. eingeben? * Mac: Alle relevanten Zeichen sind über die Tastatur direkt zu erreichen. Dreifache Belegung über Alt- und Shift-Taste verwenden. Ggf. die Tastaturübersicht einblenden/Zeichenübersicht zum Einfügen verwenden. Direkte „Unicode Hex-Eingabe“. * Linux/Unix: Compose Key + Mehrfachbelegung verwenden („Tottaste“). * Microsoft Windows: Alt + Zahlencode über Ziffernblock (abhängig von der Codepage des Systems). === Hervorheben von Text === Text wird durch ''kursiven Satz'' hervorgehoben. ''Innerhalb einer Hervorhebung wird'' auf die Kursive verzichtet,'' um einen Textteil noch weiter hervorzugeben. Bei serifenlosen Schriften kann auch '''fett''' hervorgehoben werden (bitte sparsam verwenden). Bitte ''nicht'' kursive und fette Auszeichnung kombinieren! Bitte auf Unterstreichungen verzichten. === Tabellen === Tabellen sollten keine vertikalen Linien enthalten. Der Trennstrich zwischen den Spalten-Überschriften und der darunterliegenden Tabellenzeile kann weggelassen werden, wenn man an dieser Stelle den Zeilenabstand leicht vergrößert. Die Ausführung einer Tabelle hängt vor allem von ihrem Inhalt und dem zur Verfügung stehenden Raum ab. === Zeile === Zeilenabstand: Hängt von Schriftart und Schriftgrad ab. * Zeilenabstand: Abstand zwischen zwei Grundlinien. * Durchschuß: Abstand zwischen Unter- und Oberlänge. * Muß jeweils ermittelt werden. Es gibt keinen festen Zeilenabstand. Vorgaben in Textverarbeitungen („1- oder 11-zeilig“) nehmen keine Rücksicht auf die jeweilige Schrift. „Ideale“ Zeilenlänge? * Lesbarkeitsforschung: Wie liest man? Nicht Wort für Wort: Saccaden. * Bei deutschen Texten: 50–70 Zeichen je Zeile. === Absatz === Blocksatz oder Flattersatz? Abstellen auf: * Kolumnenbreite * Laufweite der Schrift * Grauwert der Schriftfläche Je enger die Kolumne und je größer die Laufweite der Schrift, desto schlechter ist der Grauwert beim Blocksatz. Bei Flattersatz bitte die Silbentrennung aktivieren. === Schusterjungen und Hurenkinder === [[File:Hurenkind.jpg|thumb|Links ein „Schusterjunge“, rechts ein „Hurenkind“.]] Eine einzelne Zeile die z.B am Anfang einer Seite bzw. Spalte steht, nennt man in der Typografie ein "Hurenkind". Ein Schusterjunge ist das Gegenteil von einem "Hurenkind" und bedeutet, dass am Ende einer Seite bzw einer Spalte eine einzelne Zeile steht. === Symbole === Bei kleinen Formaten können statt Wörtern auch Symbole verwendet werden,um Platz zu sparen. Beispielsweise wird ✉ leicht als Anschrift erkannt. Weitere: * ☏ = Telefon * 📱 = Mobil * ♿ = behindertengerecht Symbole werden z.B. bei Visitenkarten <ref>[http://www.overnightprints.de/visitenkarten Mikrotypografie auf Visitenkarten]</ref> interessant, auf denen ohnehin wenig Platz vorhanden ist, um z.B. auch den Weißraum möglichst groß zu halten. == Seitenlayout == Einige typographische Grundbegriffe: * Seite – Höhe, Breite des typographisch nutzbaren Raums * Satzspiegel – Raum zwischen „Seitenrändern“/Stegen, in den der Text gesetzt wird * Kolumne – eine Spalte des gesetzten Texts; der Satzspiegel kann mehrere Spalten enthalten * Zeile – so breit wie die Kolumne; bei einspaltigem Satz ist die Zeile so breit wie der Satzspiegel * Schrift – Schriftarten, Schnitte, Dickten, Schriftgrade, Laufweiten, Schriftfamilien . . . === Satzspiegel und Stege === [[Datei:Satzspiegel Beschreibung.png|thumb|Satzspiegel und Stege.]] === Satzspiegelkonstruktion im Überblick === Wie konstruiert man den Satzspiegel/die Ränder einer Seite? * Klassisch: Goldener Schnitt – im Verhältnis 2:3:5:8. * Modern: Gestaltungsraster und Grundlinienraster (Satzspiegel und Plazierung von Text und Bildern auf einer Seite). * Faustregel für DIN-Formate: 2:3:4:5 bzw. 3:3:3:5. * Trivial/Microsoft: Alle Ränder auf 2 od. 2,5 cm einstellen… === Erweiterung: Satzspiegel und Schrift === Die Schrift soll den Satzspiegel vollständig ausfüllen. Die Höhe des Satzspiegels hängt ab von: * der Satzspiegelkonstruktion, * der Schriftgröße (genauer: der „Versalhöhe“ der Schrift), * dem Zeilenabstand (bzw. dem „Durchschuß“) === Wie beschreibt man eine Schrift? === [[Datei:Typografische Begriffe.svg|thumb|Begriffe zur Beschreibung einer Schrift.]] === Beispiele === <gallery> File:Gutenberg bible Old Testament Epistle of St Jerome.jpg|Klassischer Satzspiegel: Gutenberg-Bibel Datei:Satzspiegel-4.svg|Goldener Schnitt als Satzspiegelkonstruktion Datei:Satzspiegel-neunerteilung.svg|Gestaltungsraster: Satzspiegel nach Neunerrasteraufteilung Datei:Golden canon of page construction.svg|„Goldener Kanon“ nach Tschichold; rechts eine Rasterkontruktion Datei:Gestaltungsraster1.jpg|Gestaltungsraster Datei:Grundlinienraster Musterseite.pdf|Grundlinienraster/Registerhaltiger Satz Datei:Grid2aib.svg|Seitenlayout anhand eines Rasters Datei:Balance-line-method1.png|Geometrische vs. optische Mitte </gallery> === Erneut: Wie beschreibt man eine Schrift? === * Schriftart: Garamond, Times, Helvetica . . . * Schriftform/-stil: Antiqua (mit normalen Serifen), Serifenlose/Grotesk, Egyptienne (mit betonten Serifen), Schreibschrift, dekorative Schrift, Fraktur. * Schriftfamilie: zusammengehörige Schriftarten und Schnitte. * Schriftschnitte: konkrete Ausformung, in der eine Schriftart als Font vorliegt (die Schriftart als solche; aber auch: gerade, kursiv, halbfett, fett . . . ). * Schriftstärke: mager, normal, halbfett, fett. * Schriftbreite/Laufweite: schmal, normal, breit. * Schriftlage: gerade, kursiv, ggf. auch: schräg. * Schriftgröße/Schriftgrad: 5–9, 10–12, ab 12 pt. === Exkurs: Schriften auf dem eigenen Rechner === * Installation von Schriften === Schriften einsetzen === Wie sollte man Schriften einsetzen? * Empfehlungen der „Neuen Typographie“ (Jan Tschichold) ** Möglichst wenige Schriftarten/Schnitte verwenden. ** Kursiv und halbfett zur Schriftauszeichnung benutzen. ** Versalien nur selten gebrauchen; wenn man sie verwendet, immer SPERREN. * Empfehlungen der „Schweizer Typographie“ (Max Bill, Adrian Frutiger) ** Hauptsächlich Verwendung von Groteskschriften. ** Möglichst wenige Schriftgrade. ** „Extreme Weißräume“. ** Gestaltungsraster. Sachliche Anordnung. Keine Schmuckelemente. Empfehlungen: * Mengentext in der Brotschrift setzen. Möglichst eine Antiqua wählen. * Überschriften in einem größeren Schriftgrad als den Mengentext; halbfett absetzen; ggf. eine Grotesk. * Fußnoten, Marginalien und Bild-/Tabellenunterschriften in einem kleineren Schriftgrad als den Mengentext setzen. * Möglichst nur eine Schriftart verwenden. * Eher mehr Weißraum lassen. Text und Grafik nicht zu eng setzen. * Hervorhebungen ''kursiv'' oder '''halbfett'''. == Webtypografie == === Digitales Publizieren in Print und Online === Einheitlichen Workflow vor Beginn des Projekts bedenken: * „Content“ eingeben… * …für Print… * …und weiter verarbeiten für Online… Der Weg: Konvertieren, parallel verarbeiten… Problem: Jede Konvertierung ist verlustbehaftet. Lösung: Export aus Office-Paketen; Zusammenspiel von Anwendungen in der Adobe Creative Suite; HTML/XML-Konverter für LaTeX. === Hinweise zur Webtypographie === Worauf sollte man vor allem achten? * Betriebssysteme und Webbrowser: Verschiedene Clients führen zu einer unterschiedlichen Ausgabe bei Layout, Farben, Auflösung, Fonts, Usability… * Detailtypographie auch hier beachten: Geschützte Leerzeichen, Striche, Anführungszeichen, Hervorheben von Text, Zeilenumbrüche . . . * Sonderzeichen escapen mithilfe von HTML-Entitäten; wenn möglich, Unicode einsetzen. * Auf Lesbarkeit achten: F-Muster beim Lesen im Web. * Standardlayouts von CMS vs. eigene Lösungen in CSS/Flash. * Möglichst zurückhaltender Einsatz von Schriften. * Eher serifenlose Schriftarten auswählen. Akzente bei Überschriften setzen. * Auf Usability und Barrierefreiheit achten. * Lokale Fonts vs. Webfonts. * Mathematische Formeln: Grafik vs. MathJax. == Literatur == * Christoph Bier: ''[http://zvisionwelt.files.wordpress.com/2012/01/typokurz.pdf typokurz – Einige wichtige typografische Regeln]''. Version 1.7 vom 21.&nbsp;Mai 2009. * Ralf Hermann: ''[http://www.typografie.info/3/page/artikel.htm/_/wissen/din1450-leserlichkeit?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+typowiki+%28Typografie.info+Artikel%29 DIN 1450 – warum eine Norm zur Leserlichkeit von Schrift sinnvoll ist]''. In: Typografie.info. 17.&nbsp;April 2013. * Markus Knigge: ''Buchstaben-Dressur. Regeln und Tipps für bessere Typografie im Web''. In: [[:w:c’t|ct – magazin für computertechnik]]. 9/2010, S.&nbsp;164–169. * Markus Kohm: ''[http://www.dante.de/DTK/Ausgaben/komoedie20032.pdf Moderne Briefe mit KOMA-Script]''. [[:w:Die TeXnische Komödie|Die TeXnische Komödie]] 2/2003, S.&nbsp;32–51. Überarbeitete Fassung wiederabgedruckt in: Markus Kohm, Jens-Uwe Morawski: ''KOMA-Script: Eine Sammlung von Klassen und Paketen für LaTeX2e. Anleitung zur Version&nbsp;3.00''. 3.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Lehmanns Media. Berlin. 2008. S.&nbsp;493–513. ISBN 978-3-86541-291-1 (19,95&nbsp;Euro). * Markus Kohm: ''[http://www.kohm.name/markus/komasatzspiegel.pdf Satzspiegelkonstruktionen im Vergleich]''. Nachdruck aus: [[:w:Die TeXnische Komödie|Die TeXnische Komödie]] 4/2002, S.&nbsp;28–48. Überarbeitete Fassung wiederabgedruckt in: Markus Kohm, Jens-Uwe Morawski: ''KOMA-Script: Eine Sammlung von Klassen und Paketen für LaTeX2e. Anleitung zur Version&nbsp;3.00''. 3.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Lehmanns Media. Berlin. 2008. S.&nbsp;445–463. ISBN 978-3-86541-291-1 (19,95&nbsp;Euro). * Peter König: ''[http://www.heise.de/download/special-der-eigene-flyer-150591.html Themen-Special: Der eigene Flyer]''. In: c't&nbsp;10/2009. Heise-Software-Verzeichnis (zehn&nbsp;Seiten). * Marion Neubauer: ''Feinheiten bei wissenschaftlichen Publikationen – Mikrotypographie-Regeln'': [http://www.dante.de/tex/Dokumente/dtk-neubauer-Teil1.pdf Teil&nbsp;1] und [http://www.dante.de/tex/Dokumente/NeubauerII.pdf Teil&nbsp;2]. Nachdruck aus: [[:w:Die TeXnische Komödie|Die TeXnische Komödie]] 4/1996, S.&nbsp;23–40; 1/1997, S. 25–44. Überarbeitete Fassung wiederabgedruckt in: Klaus Braune, Joachim Lammarsch, Marion Lammarsch: ''LaTeX. Basissystem, Layout, Formelsatz''. Springer. Berlin, Heidelberg. 2006. S.&nbsp;545–576. ISBN 3-540-00718-0 (64,95&nbsp;Euro). * Claudia Runk: ''Grundkurs Grafik und Gestaltung. Mit konkreten Praxislösungen''. Bonn. Galileo Press. 2010. ISBN 978-3-8362-1437-7 (24,90&nbsp;Euro). * Axel Reichert: ''[http://dante.ctan.org/tex-archive/help/Catalogue/entries/typografie.html Typografie – Gestaltung einer Beispielklasse]''. Tutorium für LaTeX-Anwender. 24.&nbsp;Februar 1999. * Jürgen F. Schopp: ''[http://www.uta.fi/~trjusc/tt-lesbk.htm Lesbarkeit]''. Universität Tampere. 3.&nbsp;Version. 28.&nbsp;Juli 2003. * [[:w:Jan Tschichold|Jan Tschichold]]: ''Erfreuliche Drucksachen durch gute Typographie. Eine Fibel für jedermann''. Maro. 2001 (Reprint von: Otto Maier-Verlag, Ravensburg, 1960). ISBN 978-3-87512-413-2 (12,–&nbsp;Euro). * [[:w:Hans Peter Willberg|Hans Peter Willberg]], [[:w:Friedrich Forssman|Friedrich Forssman]]: ''Erste Hilfe in Typografie: Ratgeber für den Umgang mit Schrift''. Mainz. Schmidt. 2009. ISBN 978-3-87439-474-1 (12,80&nbsp;Euro). * [[:w:Hans Peter Willberg|Hans Peter Willberg]]: ''Wegweiser Schrift. Erste Hilfe für den Umgang mit Schriften, was paßt, was wirkt, was stört''. Verlag Hermann Schmidt. Mainz. 2001. ISBN 3-87439-569-3 == Vorschläge für praktische Übungen und Beispiele == === Aushang === * „Verkaufe: Für das Söhne Mannheims Konzert in der Hugenottenhalle am 13. Oktober habe ich 1 Eintrittskarte abzugeben. Bitte anrufen: 06102/123456 oder 0160/123456789.“ * „Einladung zum öffentlichen Gastvortrag im Rahmen des Wikipedia-Schulprojekts: „Wikipedia im Unterricht&nbsp;– Chancen und Herausforderungen“ – Hans Maier, Wikimedia Deutschland e.&nbsp;V. – Di, 10.&nbsp;Mai 2011, 16&nbsp;Uhr (s.t.), RW&nbsp;1.“ === Flyer === * „Einladung zum öffentlichen Gastvortrag im Rahmen des Wikipedia-Schulprojekts: „Wikipedia im Unterricht&nbsp;– Chancen und Herausforderungen“ – Hans Maier, Wikimedia Deutschland e.&nbsp;V. – Di, 10.&nbsp;Mai 2011, 16&nbsp;Uhr (s.t.), RW 1.“ * [[Kurs:Scribus]] – Einführung zu dem freien DTP-Programm Scribus; es wird gezeigt, wie man einen Flyer mit Scribus erstellt (2009) === Briefe und Bewerbungen === * [[:w:Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] – [[:w:DIN 5008|DIN 5008]] * [[:w:Bewerbung|Bewerbung]] * [[:b:Bewerbungshandbuch|Bewerbungshandbuch]] – auf Wikibooks == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs an einer Volkshochschule]] 8oz9qn4lu4lf5xu9rpj6cfe5jqn4f6c 1115177 1115176 2026-10-04T20:26:04Z DieHenkels 22627 /* Symbole */ Leerzeichen fehlte 1115177 wikitext text/x-wiki :''Die Seite begleitet den Kurs „Gute Typografie“ an der VHS&nbsp;Frankfurt am Main, 11.&nbsp;und 18.&nbsp;April 2013. Die Seite wird im Laufe des Kurses vervollständigt und steht den Teilnehmerinnen und Teilnehmern sowie anderen Interessierten auch danach weiterhin als Referenz zur Verfügung. == Einführung == === Was ist Typografie? === * Herkunft des Begriffs [[w:Typografie|Typografie]]: Aus dem Griechischen: typos („Figur“) und graphia („schreiben“). * Das „richtige“ und schöne [[w:Satz (Druck)|Setzen (Drucken)]] von Schrift. ↔ Kalligraphie: Das schöne Schreiben. * Zweck: Dient dazu, Inhalte leichter lesbar zu machen, damit sie besser aufgenommen werden können. * Kunst und Handwerk: Eine Kunstform neben Malerei, Skulptur, Architektur . . . , die bestimmten Regeln folgt und die man erlernen kann. === Was ist digitale Typografie? === * Aufbereitung von Texten mithilfe von Software: ** Texteingabe ** Textauszeichnung ** Textsatz, Layout, Grafik * Werkzeuge: [[w:Auszeichnungssprache|Auszeichnungssprachen]], *[[w:Satz (Druck)|Textsatz]], [[w:Desktop-Publishing|Desktop-Publishing]], [[w:Textverarbeitung|Textverarbeitung]]. * Ausgabe in digitale Medien: [[w:PostScript|PS]]/[[w:Portable Document Format|PDF-Datei]], Web → Druck(erei)/Webbrowser/App. Neben der digitalen Typografie ist auch der Digitaldruck ein wesentlicher Bestandteil. Dabei werden beim Digitaldruck fertigen Druckvorlagen direkt vom Computer in die entsprechende Druckmaschine übertragen.<ref>[https://www.norddisplay.de/magazin/digitaldruck-was-genau-ist-das-eigentlich-und-welche-vorteile-bietet-er.html Erklärung zum Digitaldruck und dessen Vorteilen]</ref> === Zitate === * „Wenn die Typographie eine Kunst ist, dann nur die, sich in den Leser hineinzuversetzen und ihm einen Text so wenig aufdringlich wie möglich, so angenehm wie möglich zu offerieren . . . Das Auge reagiert extrem empfindlich auf das Leseangebot. Nicht wohlwollend angebotene Texte läßt es liegen.“ – Otl Aicher, Schriftgestalter. * How do we persuade new users that spreading fonts across the page like peanut butter across hot toast is not necessarily the route to typographic excellence? – Peter Flynn. === Beispiele === <gallery> File:Gutenberg bible Old Testament Epistle of St Jerome.jpg|Gutenberg-Bibel File:Wikipedia macht Schule WMDE Flyer.pdf|Werbung – Flyer File:Smart ForTwo GenII BR451 from 2007 LIDL frontleft 2008-04-11 U.jpg|Werbung – Beschriftungen File:Nasen Spray-ratiopharm.jpg|Werbung – Beschriftungen File:Autobahn Overhead Sign.jpg|Verkehrsschilder File:Workspace 300.jpg|Grafische Bedienoberflächen </gallery> === Grundbedingungen für Typografie === Worauf ist Rücksicht zu nehmen? * Historische Prägungen: Traditionen, Konventionen, Gewohnheiten. * Biologische Grundlagen: Augen, Nerven, Gehirn – wie liest man? * Wahrnehmungspsychologie: Aufnehmen und Verarbeitung des Gesehenen. * Erwartungen der Leser an das jeweilige Schriftstück. === Technische Grundlagen im Überblick === Heute übliche Software für die Arbeit mit Texten: * Textsatz: TeX/LaTeX * Desktop-Publishing/Layout: Adobe InDesign, QuarkXPress, Scribus. * Textverarbeitung: LibreOffice Writer, Microsoft Word. Anwendungen zur Grafikbearbeitung: Adobe Photoshop, Gimp. === Vom Text zur Druckvorstufe === * Trennung von Inhalt und Form: * Inhalt: Die Texterfassung im Editor. * Form: Der Satz im Layout-Programm. ** Mikrotypographie: Das Setzen des Texts, der Schrift, mit allen Feinheiten. ** Makrotypographie: Das Seitenlayout. Das Anordnen von Texten und Bildern auf der Seite. [[w:Druckvorstufe|Druckvorstufe]]: PS/PDF-Datei → Druck. === Die Arbeitsweise im einzelnen === ==== Textsatz mit LaTeX ==== * Texteingabe mit Markup in einem beliebigem Editor. * Format: TEX. * In der Regel keine Änderungen am Layout. * Das Layout wird von einer Vorlage bestimmt. * Kompilieren des LaTeX-Dokuments → PS/PDF. * Kontrolle im Previewer → Druck. ==== Desktop-Publishing ==== * Texteingabe in Editor oder Textverarbeitung. * Formate: TXT oder ODT/DOC/RTF. * Im Layout-Programm: ** Verwenden einer Vorlage; sonst händisch: ** Festlegen von Seite, Satzspiegel, Schrift, Raster. ** Textrahmen aufziehen und ggf. verketten. ** Text in Textrahmen einfügen. ** Bilder in Bildrahmen einfügen. ** Position und Größe der Rahmen experimentell bestimmen. Text ggf. passend umformulieren. * PS/PDF-Export → Druck. ==== Textverarbeitung ==== * Texteingabe in die Textverarbeitung: Keine gesonderte Anwendung zur Texterfassung. * Formate: ODT/DOC/RTF. * Formatierung des Texts, bei Laien oft schon bei der Eingabe. * Möglich, aber nicht zwingend: Rahmen, Raster, PS/PDF-Export. * Drucken oft direkt aus der Textverarbeitung. ==== Empfehlung ==== Trennen von Form und Inhalt: * Inhalt: Erst den Text in einen Editor eingeben. * Dabei mikrotypographische Feinheiten berücksichtigen. * Form: Dann den Text setzen (Formatieren mit: LaTeX, DTP, Textverarbeitung). * Export in PS/PDF als Ausgabeformat für den Druck. * Drucken: Druckerei oder eigener Drucker. === Regeln === Welche typographischen Regeln gibt es? * Ausgangspunkt: Klassische Regeln des Buchdrucks. * Lehren von Schriftgestaltern und Typographen (Tschichold, Forssman, Willberg, Spiekermann… ) * Hausschreibung und -typographie von Verlagen, Zeitungen, Redaktionen, Wikipedia . . . * Problematisch: Duden und DIN-Normen, insbesondere DIN 5008 – „Typographie“? Fragen: * In welchem Verhältnis stehen diese Regeln zueinander? * Regelwidrige Erwartungen bei Adressaten „bedienen“? == Detailtypografie == === Definition === In der Typografie wird zwischen Mikro- und Makrotypografie unterschieden. Makrotypografie umfasst die Fragen des groben Layouts. Angefangen bei den Trägermaterialien über die Druckverfahren bis hin zur Schriftfarbe wird in der Makrotypografie auch über das Gestaltungsraster als wohl wichtigstes Gestaltungselement entschieden. Grundfrage ist die Positionierung von Grafik und Text, wobei bereits Überlegungen zu den einzelnen Schriftarten, genauer, der Auswahl der Schriftfamilien, einfließen. Die Mikrotypografie befasst sich hingegen nur mit der Schrift selbst. Hierbei werden Schriften im Detail angepasst, um eine optimale Lesbarkeit zu erreichen. Dies umfasst beispielsweise das Sperren oder Kerning von Schriften oder auch die Anpassung der Abstände zwischen Wörtern und Zeilen. Beim Sperren werden Abstände (Spatien) eingefügt, um den Abstand zwischen Buchstaben zu vergrößern. Kerning meint das Gegenteil, also die Verringerung der Weißräume zwischen Buchstaben. <ref>[http://blog.flyerpilot.de blog.flyerpilot.de]</ref> === Wortzwischenräume und Abstände === Auf den richtigen Wortzwischenraum ist vor allem bei Abkürzungen zu achten: * Normaler Zwischenraum: z.&nbsp;B. S.&nbsp;15&nbsp;ff. * Schmaler Zwischenraum, Spatium: z.&thinsp;B. §&thinsp;157 SGB&thinsp;VII * Kein Zwischenraum: z.B. Es ist jeweils ein [[w:Geschütztes Leerzeichen|geschütztes Leerzeichen]] einzufügen. === Zahlen und Ziffern === ;Kleine Zahlen :ausschreiben: In fünf Minuten fertig. ;Nicht exakte Zahlen :ausschreiben: Etwa tausend Zuschauer. ;Bis zu vier Ziffern :werden ohne Abstand gesetzt: 9000. ;Ab fünf Ziffern :darf man die mit schmalen Zwischenräumen gliedern: 90&thinsp;000, 100&thinsp;000, 1&thinsp;000&thinsp;000. ;Telefonnummern :von hinten in Zweiergruppen gliedern: 0&thinsp;69/12&thinsp;34&thinsp;56&thinsp;78. Neuerdings: 069/12&thinsp;34&thinsp;56&thinsp;78. ;Kontonummern :von hinten in Dreiergruppen gliedern: Konto 123&thinsp;456&thinsp;789. ;Bankleitzahlen :von vorne in Dreiergruppen gliedern: BLZ&nbsp;123&thinsp;123&thinsp;12. ;Postleitzahlen :ohne Gliederung: 63263. === Striche === Der Gedanken- und der Streckenstrich sind auseinanderzuhalten: * Geviertstrich: 3,—&nbsp;Euro * Halbgeviertstrich: 1–2&nbsp;mal * Viertelgeviertstrich: Trenn-, Binde-Strich Häufig zu sehen (DIN 5008): 11&nbsp;-&nbsp;12&nbsp;Uhr === Anführungszeichen === Bei deutschen Texten sollten „Gänsefüßchen“ bevorzugt werden: :''„Innerhalb von Zitaten kann man ‚solche Stellen‘ mit ‚halben Anführungszeichen‘ kennzeichnen.“'' :''In English, use “quoted ‘text’ like this”.'' In französischen Texten werden Guillemets verwendet, die mit einem schmalen Zwischenraum umgeben sind: :''«&nbsp;On ne voit bien qu’avec le cœur.&nbsp;»'' (Saint-Exupéry) === Exkurs: Eingabe von Sonderzeichen === Wie kann man Anführungszeichen, Striche, schmale und geschützte Leerzeichen, diakritische Zeichen usw. eingeben? * Mac: Alle relevanten Zeichen sind über die Tastatur direkt zu erreichen. Dreifache Belegung über Alt- und Shift-Taste verwenden. Ggf. die Tastaturübersicht einblenden/Zeichenübersicht zum Einfügen verwenden. Direkte „Unicode Hex-Eingabe“. * Linux/Unix: Compose Key + Mehrfachbelegung verwenden („Tottaste“). * Microsoft Windows: Alt + Zahlencode über Ziffernblock (abhängig von der Codepage des Systems). === Hervorheben von Text === Text wird durch ''kursiven Satz'' hervorgehoben. ''Innerhalb einer Hervorhebung wird'' auf die Kursive verzichtet,'' um einen Textteil noch weiter hervorzugeben. Bei serifenlosen Schriften kann auch '''fett''' hervorgehoben werden (bitte sparsam verwenden). Bitte ''nicht'' kursive und fette Auszeichnung kombinieren! Bitte auf Unterstreichungen verzichten. === Tabellen === Tabellen sollten keine vertikalen Linien enthalten. Der Trennstrich zwischen den Spalten-Überschriften und der darunterliegenden Tabellenzeile kann weggelassen werden, wenn man an dieser Stelle den Zeilenabstand leicht vergrößert. Die Ausführung einer Tabelle hängt vor allem von ihrem Inhalt und dem zur Verfügung stehenden Raum ab. === Zeile === Zeilenabstand: Hängt von Schriftart und Schriftgrad ab. * Zeilenabstand: Abstand zwischen zwei Grundlinien. * Durchschuß: Abstand zwischen Unter- und Oberlänge. * Muß jeweils ermittelt werden. Es gibt keinen festen Zeilenabstand. Vorgaben in Textverarbeitungen („1- oder 11-zeilig“) nehmen keine Rücksicht auf die jeweilige Schrift. „Ideale“ Zeilenlänge? * Lesbarkeitsforschung: Wie liest man? Nicht Wort für Wort: Saccaden. * Bei deutschen Texten: 50–70 Zeichen je Zeile. === Absatz === Blocksatz oder Flattersatz? Abstellen auf: * Kolumnenbreite * Laufweite der Schrift * Grauwert der Schriftfläche Je enger die Kolumne und je größer die Laufweite der Schrift, desto schlechter ist der Grauwert beim Blocksatz. Bei Flattersatz bitte die Silbentrennung aktivieren. === Schusterjungen und Hurenkinder === [[File:Hurenkind.jpg|thumb|Links ein „Schusterjunge“, rechts ein „Hurenkind“.]] Eine einzelne Zeile die z.B am Anfang einer Seite bzw. Spalte steht, nennt man in der Typografie ein "Hurenkind". Ein Schusterjunge ist das Gegenteil von einem "Hurenkind" und bedeutet, dass am Ende einer Seite bzw einer Spalte eine einzelne Zeile steht. === Symbole === Bei kleinen Formaten können statt Wörtern auch Symbole verwendet werden, um Platz zu sparen. Beispielsweise wird ✉ leicht als Anschrift erkannt. Weitere: * ☏ = Telefon * 📱 = Mobil * ♿ = behindertengerecht Symbole werden z.B. bei Visitenkarten <ref>[http://www.overnightprints.de/visitenkarten Mikrotypografie auf Visitenkarten]</ref> interessant, auf denen ohnehin wenig Platz vorhanden ist, um z.B. auch den Weißraum möglichst groß zu halten. == Seitenlayout == Einige typographische Grundbegriffe: * Seite – Höhe, Breite des typographisch nutzbaren Raums * Satzspiegel – Raum zwischen „Seitenrändern“/Stegen, in den der Text gesetzt wird * Kolumne – eine Spalte des gesetzten Texts; der Satzspiegel kann mehrere Spalten enthalten * Zeile – so breit wie die Kolumne; bei einspaltigem Satz ist die Zeile so breit wie der Satzspiegel * Schrift – Schriftarten, Schnitte, Dickten, Schriftgrade, Laufweiten, Schriftfamilien . . . === Satzspiegel und Stege === [[Datei:Satzspiegel Beschreibung.png|thumb|Satzspiegel und Stege.]] === Satzspiegelkonstruktion im Überblick === Wie konstruiert man den Satzspiegel/die Ränder einer Seite? * Klassisch: Goldener Schnitt – im Verhältnis 2:3:5:8. * Modern: Gestaltungsraster und Grundlinienraster (Satzspiegel und Plazierung von Text und Bildern auf einer Seite). * Faustregel für DIN-Formate: 2:3:4:5 bzw. 3:3:3:5. * Trivial/Microsoft: Alle Ränder auf 2 od. 2,5 cm einstellen… === Erweiterung: Satzspiegel und Schrift === Die Schrift soll den Satzspiegel vollständig ausfüllen. Die Höhe des Satzspiegels hängt ab von: * der Satzspiegelkonstruktion, * der Schriftgröße (genauer: der „Versalhöhe“ der Schrift), * dem Zeilenabstand (bzw. dem „Durchschuß“) === Wie beschreibt man eine Schrift? === [[Datei:Typografische Begriffe.svg|thumb|Begriffe zur Beschreibung einer Schrift.]] === Beispiele === <gallery> File:Gutenberg bible Old Testament Epistle of St Jerome.jpg|Klassischer Satzspiegel: Gutenberg-Bibel Datei:Satzspiegel-4.svg|Goldener Schnitt als Satzspiegelkonstruktion Datei:Satzspiegel-neunerteilung.svg|Gestaltungsraster: Satzspiegel nach Neunerrasteraufteilung Datei:Golden canon of page construction.svg|„Goldener Kanon“ nach Tschichold; rechts eine Rasterkontruktion Datei:Gestaltungsraster1.jpg|Gestaltungsraster Datei:Grundlinienraster Musterseite.pdf|Grundlinienraster/Registerhaltiger Satz Datei:Grid2aib.svg|Seitenlayout anhand eines Rasters Datei:Balance-line-method1.png|Geometrische vs. optische Mitte </gallery> === Erneut: Wie beschreibt man eine Schrift? === * Schriftart: Garamond, Times, Helvetica . . . * Schriftform/-stil: Antiqua (mit normalen Serifen), Serifenlose/Grotesk, Egyptienne (mit betonten Serifen), Schreibschrift, dekorative Schrift, Fraktur. * Schriftfamilie: zusammengehörige Schriftarten und Schnitte. * Schriftschnitte: konkrete Ausformung, in der eine Schriftart als Font vorliegt (die Schriftart als solche; aber auch: gerade, kursiv, halbfett, fett . . . ). * Schriftstärke: mager, normal, halbfett, fett. * Schriftbreite/Laufweite: schmal, normal, breit. * Schriftlage: gerade, kursiv, ggf. auch: schräg. * Schriftgröße/Schriftgrad: 5–9, 10–12, ab 12 pt. === Exkurs: Schriften auf dem eigenen Rechner === * Installation von Schriften === Schriften einsetzen === Wie sollte man Schriften einsetzen? * Empfehlungen der „Neuen Typographie“ (Jan Tschichold) ** Möglichst wenige Schriftarten/Schnitte verwenden. ** Kursiv und halbfett zur Schriftauszeichnung benutzen. ** Versalien nur selten gebrauchen; wenn man sie verwendet, immer SPERREN. * Empfehlungen der „Schweizer Typographie“ (Max Bill, Adrian Frutiger) ** Hauptsächlich Verwendung von Groteskschriften. ** Möglichst wenige Schriftgrade. ** „Extreme Weißräume“. ** Gestaltungsraster. Sachliche Anordnung. Keine Schmuckelemente. Empfehlungen: * Mengentext in der Brotschrift setzen. Möglichst eine Antiqua wählen. * Überschriften in einem größeren Schriftgrad als den Mengentext; halbfett absetzen; ggf. eine Grotesk. * Fußnoten, Marginalien und Bild-/Tabellenunterschriften in einem kleineren Schriftgrad als den Mengentext setzen. * Möglichst nur eine Schriftart verwenden. * Eher mehr Weißraum lassen. Text und Grafik nicht zu eng setzen. * Hervorhebungen ''kursiv'' oder '''halbfett'''. == Webtypografie == === Digitales Publizieren in Print und Online === Einheitlichen Workflow vor Beginn des Projekts bedenken: * „Content“ eingeben… * …für Print… * …und weiter verarbeiten für Online… Der Weg: Konvertieren, parallel verarbeiten… Problem: Jede Konvertierung ist verlustbehaftet. Lösung: Export aus Office-Paketen; Zusammenspiel von Anwendungen in der Adobe Creative Suite; HTML/XML-Konverter für LaTeX. === Hinweise zur Webtypographie === Worauf sollte man vor allem achten? * Betriebssysteme und Webbrowser: Verschiedene Clients führen zu einer unterschiedlichen Ausgabe bei Layout, Farben, Auflösung, Fonts, Usability… * Detailtypographie auch hier beachten: Geschützte Leerzeichen, Striche, Anführungszeichen, Hervorheben von Text, Zeilenumbrüche . . . * Sonderzeichen escapen mithilfe von HTML-Entitäten; wenn möglich, Unicode einsetzen. * Auf Lesbarkeit achten: F-Muster beim Lesen im Web. * Standardlayouts von CMS vs. eigene Lösungen in CSS/Flash. * Möglichst zurückhaltender Einsatz von Schriften. * Eher serifenlose Schriftarten auswählen. Akzente bei Überschriften setzen. * Auf Usability und Barrierefreiheit achten. * Lokale Fonts vs. Webfonts. * Mathematische Formeln: Grafik vs. MathJax. == Literatur == * Christoph Bier: ''[http://zvisionwelt.files.wordpress.com/2012/01/typokurz.pdf typokurz – Einige wichtige typografische Regeln]''. Version 1.7 vom 21.&nbsp;Mai 2009. * Ralf Hermann: ''[http://www.typografie.info/3/page/artikel.htm/_/wissen/din1450-leserlichkeit?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+typowiki+%28Typografie.info+Artikel%29 DIN 1450 – warum eine Norm zur Leserlichkeit von Schrift sinnvoll ist]''. In: Typografie.info. 17.&nbsp;April 2013. * Markus Knigge: ''Buchstaben-Dressur. Regeln und Tipps für bessere Typografie im Web''. In: [[:w:c’t|ct – magazin für computertechnik]]. 9/2010, S.&nbsp;164–169. * Markus Kohm: ''[http://www.dante.de/DTK/Ausgaben/komoedie20032.pdf Moderne Briefe mit KOMA-Script]''. [[:w:Die TeXnische Komödie|Die TeXnische Komödie]] 2/2003, S.&nbsp;32–51. Überarbeitete Fassung wiederabgedruckt in: Markus Kohm, Jens-Uwe Morawski: ''KOMA-Script: Eine Sammlung von Klassen und Paketen für LaTeX2e. Anleitung zur Version&nbsp;3.00''. 3.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Lehmanns Media. Berlin. 2008. S.&nbsp;493–513. ISBN 978-3-86541-291-1 (19,95&nbsp;Euro). * Markus Kohm: ''[http://www.kohm.name/markus/komasatzspiegel.pdf Satzspiegelkonstruktionen im Vergleich]''. Nachdruck aus: [[:w:Die TeXnische Komödie|Die TeXnische Komödie]] 4/2002, S.&nbsp;28–48. Überarbeitete Fassung wiederabgedruckt in: Markus Kohm, Jens-Uwe Morawski: ''KOMA-Script: Eine Sammlung von Klassen und Paketen für LaTeX2e. Anleitung zur Version&nbsp;3.00''. 3.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Lehmanns Media. Berlin. 2008. S.&nbsp;445–463. ISBN 978-3-86541-291-1 (19,95&nbsp;Euro). * Peter König: ''[http://www.heise.de/download/special-der-eigene-flyer-150591.html Themen-Special: Der eigene Flyer]''. In: c't&nbsp;10/2009. Heise-Software-Verzeichnis (zehn&nbsp;Seiten). * Marion Neubauer: ''Feinheiten bei wissenschaftlichen Publikationen – Mikrotypographie-Regeln'': [http://www.dante.de/tex/Dokumente/dtk-neubauer-Teil1.pdf Teil&nbsp;1] und [http://www.dante.de/tex/Dokumente/NeubauerII.pdf Teil&nbsp;2]. Nachdruck aus: [[:w:Die TeXnische Komödie|Die TeXnische Komödie]] 4/1996, S.&nbsp;23–40; 1/1997, S. 25–44. Überarbeitete Fassung wiederabgedruckt in: Klaus Braune, Joachim Lammarsch, Marion Lammarsch: ''LaTeX. Basissystem, Layout, Formelsatz''. Springer. Berlin, Heidelberg. 2006. S.&nbsp;545–576. ISBN 3-540-00718-0 (64,95&nbsp;Euro). * Claudia Runk: ''Grundkurs Grafik und Gestaltung. Mit konkreten Praxislösungen''. Bonn. Galileo Press. 2010. ISBN 978-3-8362-1437-7 (24,90&nbsp;Euro). * Axel Reichert: ''[http://dante.ctan.org/tex-archive/help/Catalogue/entries/typografie.html Typografie – Gestaltung einer Beispielklasse]''. Tutorium für LaTeX-Anwender. 24.&nbsp;Februar 1999. * Jürgen F. Schopp: ''[http://www.uta.fi/~trjusc/tt-lesbk.htm Lesbarkeit]''. Universität Tampere. 3.&nbsp;Version. 28.&nbsp;Juli 2003. * [[:w:Jan Tschichold|Jan Tschichold]]: ''Erfreuliche Drucksachen durch gute Typographie. Eine Fibel für jedermann''. Maro. 2001 (Reprint von: Otto Maier-Verlag, Ravensburg, 1960). ISBN 978-3-87512-413-2 (12,–&nbsp;Euro). * [[:w:Hans Peter Willberg|Hans Peter Willberg]], [[:w:Friedrich Forssman|Friedrich Forssman]]: ''Erste Hilfe in Typografie: Ratgeber für den Umgang mit Schrift''. Mainz. Schmidt. 2009. ISBN 978-3-87439-474-1 (12,80&nbsp;Euro). * [[:w:Hans Peter Willberg|Hans Peter Willberg]]: ''Wegweiser Schrift. Erste Hilfe für den Umgang mit Schriften, was paßt, was wirkt, was stört''. Verlag Hermann Schmidt. Mainz. 2001. ISBN 3-87439-569-3 == Vorschläge für praktische Übungen und Beispiele == === Aushang === * „Verkaufe: Für das Söhne Mannheims Konzert in der Hugenottenhalle am 13. Oktober habe ich 1 Eintrittskarte abzugeben. Bitte anrufen: 06102/123456 oder 0160/123456789.“ * „Einladung zum öffentlichen Gastvortrag im Rahmen des Wikipedia-Schulprojekts: „Wikipedia im Unterricht&nbsp;– Chancen und Herausforderungen“ – Hans Maier, Wikimedia Deutschland e.&nbsp;V. – Di, 10.&nbsp;Mai 2011, 16&nbsp;Uhr (s.t.), RW&nbsp;1.“ === Flyer === * „Einladung zum öffentlichen Gastvortrag im Rahmen des Wikipedia-Schulprojekts: „Wikipedia im Unterricht&nbsp;– Chancen und Herausforderungen“ – Hans Maier, Wikimedia Deutschland e.&nbsp;V. – Di, 10.&nbsp;Mai 2011, 16&nbsp;Uhr (s.t.), RW 1.“ * [[Kurs:Scribus]] – Einführung zu dem freien DTP-Programm Scribus; es wird gezeigt, wie man einen Flyer mit Scribus erstellt (2009) === Briefe und Bewerbungen === * [[:w:Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] – [[:w:DIN 5008|DIN 5008]] * [[:w:Bewerbung|Bewerbung]] * [[:b:Bewerbungshandbuch|Bewerbungshandbuch]] – auf Wikibooks == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs an einer Volkshochschule]] mu2cfwcuur1l1ie5trru77x8uq40q6n 106 80515 1115217 1107737 2026-10-05T11:03:10Z Falko Wilms 8588 /* Lehrender */ 1115217 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2026/27</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835376 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835401 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835377<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835402 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835379 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835404 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] l0w1l0z9ug0ljam8u9zgobd9prn4qfc 1115218 1115217 2026-10-05T11:04:13Z Falko Wilms 8588 /* Das persönliche Kurslogbuch */ 1115218 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2026/27</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835376 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835401 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835377<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835402 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835379 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835404 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] o9sfq38wmcloixcjtbqj6ekcpuh1i4y 1115219 1115218 2026-10-05T11:09:42Z Falko Wilms 8588 /* Was ist zu tun? */ 1115219 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2026/27</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835376 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835401 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835377&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835402 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835379 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835404 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] tif9eyekh0u40u29ijpntztvzojvp8l 1115220 1115219 2026-10-05T11:11:28Z Falko Wilms 8588 /* benotete Prüfungsleistung */ 1115220 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2026/27</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835376 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835401 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835377&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835402 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [ https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835379&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835404 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] spgp1wojqivevam7zi1bm4vcdhled4a 1115221 1115220 2026-10-05T11:13:01Z Falko Wilms 8588 /* benotete Prüfungsleistung */ 1115221 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2026/27</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835376 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835401 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835377&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835402 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [ https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835379&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835404&item_ref_id=0<span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] suht957u9xkkydn0ua32s9bbgo4l6r4 1115222 1115221 2026-10-05T11:14:30Z Falko Wilms 8588 /* Was ist zu tun? */ 1115222 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2026/27</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835376 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835401 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835377&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835402&item_ref_id=0 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [ https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835379&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835404&item_ref_id=0<span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] s1vcetkn0b8dnw3o1wgdms3xapuohvm 1115223 1115222 2026-10-05T11:15:18Z Falko Wilms 8588 /* Das persönliche Kurslogbuch */ 1115223 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2026/27</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=835376 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835401&item_ref_id=0 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835377&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835402&item_ref_id=0 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [ https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835379&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835404&item_ref_id=0<span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] tujs7ex8cz0zlze0hkx2u261uyk0wiw 1115224 1115223 2026-10-05T11:16:03Z Falko Wilms 8588 /* Das persönliche Kurslogbuch */ 1115224 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2026/27</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [mailto:office@falko-wilms.de klick & mail] <big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort ==<span style="color:blue;">'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie * <span style="color:blue;">die Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für Abweichungen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835376&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835401&item_ref_id=0 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835377&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835402&item_ref_id=0 <span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' => in [ https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835379&item_ref_id=0 <span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&cmdNode=yu:oi&cmdClass=ilobjfoldergui&ref_id=835404&item_ref_id=0<span style="color:brown;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] purk0chyrem4l76zkzrg7wffxy52ejy 0 97229 1115181 913049 2026-10-04T21:18:14Z DieHenkels 22627 Stichpunkte zum Bloch-Lorenz-Modell inhaltlich korrigiert. 1115181 wikitext text/x-wiki Die Quantenoptik ist ein Zweig der Optik, in dem die Quantenphysik eine wichtige Rolle spielt. Typische Begriffe sind Photonen, ihre Wechselwirkung mit Systemen wie Atomen, Molekülen, Festkörpern und die Quantenzustände dieser Systeme. Auf dieser Seite können kleinere Projekte verlinkt werden, die im Rahmen von Lehrveranstaltungen an deutsch-sprachigen Instituten entstanden sind. Ein längerfristiges Ziel könnte sein, den deutschen Wikipedia-Bereich zur Quantenoptik zu ergänzen. * [[Hilfe:Seiten bearbeiten|Bearbeitungshilfe]] für wikiversity Seiten * [[w:Hilfe:TeX|Setzen von mathematischen Formeln]] * [[Wikiversity:Liste der Vorlagen]] === [[Der Bloch-Vektor]] === liefert eine geometrische Darstellung der Zustände eines zwei-Niveau-Systems (Atom, Molekül, Spin, qBit). Gemeinschaftsarbeit von Studierenden der Universität Potsdam. === [[Die optischen Bloch-Gleichungen]] === beschreiben die Wechselwirkung zwischen Licht und Energie-Niveaus in einem Atom oder Molekül. Entstanden aus einer Vorlesung an der Universität Potsdam. === [[Quasi-Verteilungen im Phasenraum]] === charakterisieren einen Zustand graphisch durch eine Funktion auf der Phasenraum-Ebene (von zwei Quadraturen <math>x</math> und <math>p</math> aufgespannt). Hausarbeiten von Studierenden der Universität Potsdam. === Das [[Bloch-Lorenz-Modell]] === ist eine semiklassische Beschreibung eines Lasers mit Besetzungen und Inversion, gekoppelt an die Maxwellgleichungen für Licht. Dabei wird lediglich eine Lasermode und die globale Dynamik des Mediums (nicht ortsaufgelöst) berücksichtigt. [[Kategorie:Fach:Physik]] jpbhtwypqvm57nrv4s96ukh9dn3an3b 0 100998 1115179 701701 2026-10-04T20:51:39Z DieHenkels 22627 div nicht kursiv, sondern aufrecht gesetzt, kleinere Tippfehler korrigiert. Ein falsches Minuszeichen in der Kontinuitätsgleichung. 1115179 wikitext text/x-wiki Unter räumlicher [[:en:Diffusion_and_osmosis|Diffusion]], auch passiver Transport genannt, versteht man die zufällige Bewegung der Molekule eines Stoffes (Brownsche Bewegung). Das System bemüht sich in ein Gleichgewicht (Equilibrium) zu kommen. Mathematisch wird dieses Gleichgewicht durch die partielle Differentiagleichung <math display="block" id="GL1">\mathop{\rm div} (c(x)\nabla u(x))=0 </math> beschrieben, wobei die Funktion <math>u:{\mathbb R}^n \to {\mathbb R}</math> die unbekannte Konzentration und <math>c:{\mathbb R}^n \to {\mathbb R} </math> den ortsabhängigen Diffusionskoeffizienten beschreibt. Speziell ergibt sich für <math>c(x)=1 </math> die bekannte [[w:Laplace-Gleichung|Laplace Gleichung]] <math>\Delta u(x)=0.</math> Sie auch die Definitionen von Differentialoperatoren [[w:Divergenz_eines_Vektorfeldes|Divergenz <math>\mathop{\rm div}</math>]] , [[w:Nabla-Operator|Gradient <math>\nabla </math>]] und [[Laplace-Operator/R^n/Definition/Begriff/Inhalt|Laplace]] <math>\Delta </math> . Diese Gleichung modelliert zugleich auch die stationäre Wärmeverbreitung in einem Stoff, in diesem Fall ist die unbekannte Funktion <math>u</math> die Temperatur. == Zeitabhängige Diffusion == Im Prozess der Diffusion ist neben der räumlicher Veränderung auch die zeitliche Konzentrationsveränderung zu beachten. Die Teilchen diffundieren aus den dicht-besiedelten Bereichen mit hoher Konzentration in die dünn-besiedelte Gebiete mit niedriger Konzentration; die Konzentration ändert sich mit der Zeit, solange das Gleichgewicht nicht erreicht ist. Dies modelliert man mathematisch mit der Abhängigkeit der gesuchten Funktion von der Zeit <math>t,</math><math>u=u(x,t).</math> Diese Funktion erfüllt die (instationäre) inhomogene Diffusionsgleichung<math display="block">\partial_t u(x,t) - \mathop{\rm div} [c(x)\nabla u(x,t)]=0. </math> Im Falle einer extern eingebrachten Konzentrationsquelle erfüllt <math id="GL1">u(x,t)</math> die inhomogene Gleichung <math display="block">\partial_t u(x,t) - \mathop{\rm div} [c(x)\nabla u(x,t)]=f(x,t), </math> wobei die externe Flussrate <math>f(x,t) </math> den Teilchenzufluss modelliert. Wird der diffundierende Stoff zusätzlich durch eine Hintergrundgeschwindigkeit <math>\vec{v} </math> bewegt (gerichteter Transsport), so erfüllt die Konzentration die [[w:Konvektions-Diffusions-Gleichung|Konvektion-Diffusionsgleichung]] <math display="block">\partial_t u(x,t) - \mathop{\rm div} [c(x)\nabla u(x,t)] + \mathop{\rm div} [u(x,t) \vec{v}(x,t)]=0. </math>Für ein konstantes Geschwindigkeitsfeld <math>\vec{v} </math> und konstanten Diffusionskoefizient <math>c </math> lautet die Konvektion-Diffusionsgleichung <math display="block">\partial_t u(x,t) -c\Delta u(x,t)+ \vec{v}\cdot \nabla u(x,t)=0. </math> === Physikalische Herleitung === Die instationäre Diffusionsgleichung beschreibt das Bewegungsprinzip der Teilchen oder Moleküle, die vom Ort mit höherer Konzentration in Orte mit niedriger Konzentration diffundieren. Betrachtet wird ein dünner horizontaler Stab der Länge L, wobei die Stoffkonzentration in vertikaler Richtung homogen ist. Mathematisch wird daher die Konzentration in einer räumlichen Dimension untersucht, auf einem Intervall <math>[0,L].</math> Man bezeichnet mit <math>q(x,t)</math> die Diffusionsflussrate (auch Teilchenstromdichte genannt), mit der die Teilchen den Punkt <math>x\in[0,L] </math> in Zeit <math>t\in(0,T) </math> von links nach rechts überqueren. [[Datei:Diffusion_bild.pdf|mini|Teilchendiffusion]] Die Gesamtkonzentration in einem Abschnitt des Intervalls zwischen <math>x </math> und <math>x+\Delta x</math> zur Zeit <math>t</math> ist <math>\int_x^{x+\Delta x}u(s,t) ds </math> Folgende zwei physikalische Gesetze werden benutzt, um die Diffusionsgleichung herzuleiten: # Erhaltungsgesetz: Der Stoff in einem Volumen entsteht oder verschwindet nicht, sondern bleibt erhalten (sofern nicht von außen zugefügt oder weggenommen). #[[:en:Diffusion_and_osmosis#Fick's_Law_of_Diffusion|Fick'sches Gesetz]]: Die Diffusionsflussrate (Teilchenstromdichte) <math>q(x,t) </math> ist proportional zum Konzentrationsgradient, die Proportionalitätskonstante ist der negative Diffusionskoeffizient <math>-c(x), </math><math display="block">q(x,t)=-c(x) \partial_x u(x,t). </math> Dieses Gesetz drückt die Tatsache aus, dass sich die Teilchen in der Richtung des Konzentrationsabstiegs bewegen. Bei der [[w:Wärmeleitung|Wärmeleitung]] wird das [[w:Wärmeleitung#Fouriersches_Gesetz|Fourier'sche Gesetz]] angewendet, welches besagt, dass der Wärmestrom entgegen dem Temperaturgradient fliesst. Aus dem Erhaltungsgesetz 1. folgt, dass die zeitliche Veränderung der Konzentration im Stababschnitt <math>[x, x+\Delta x]</math> durch die Teilchenbewegung, also durch den Massenfluss durch die Querschnittsflächen in <math>x</math> und <math>x+\Delta x</math> erzeugt wird, <math display="block">\frac{\partial}{\partial t}\int_{x}^{x+\Delta x} u(s,t)ds=q(x,t)-q(x+\Delta x,t).</math>Nach dem Teilen der obigen Gleichung durch <math>\Delta x</math> und dem Grenzübergang <math>\Delta x \to 0</math> erhält man die sogenannte [[w:Kontinuitätsgleichung|Kontinuitätsgleichung]] <math display="block">\partial_t u(x,t)+\partial_x q(x,t) = 0.</math> Ersetzt man nun die Diffusionsflussrate <math>q(x,t)</math> über das Fick'sche Gesetz, so erhält man die homogene Diffusionsgleichung <math display="block">\partial_t u(x,t) -\partial_x[c(x)\partial_x u(x,t)]=0. </math> Ist der Diffusionskoeffizient konstant, wie bei [[w:Isotropie|isotropen]] Materialien, lautet die Diffusionsgleichung in einer räumlichen Dimension<math display="block">\partial_t u(x,t) -c \partial_{xx} u(x,t)=0. </math> Im Diffusionsprozess mit gerichtetem Transport trägt außer der Teilchenbewegung durch Diffusion auch noch die Bewegung durch das Geschwindigkeitsfeld <math>\vec{v} </math> zum Materialtransport bei. Also setzt sich der gesamte Materialfluss <math>j</math> aus dem Diffusionsfluss <math>q=-c\partial_x u </math> und dem zusätzlichen Konvektionsfluss <math>\vec v u</math> zusammen, <math display="block">j=-c\partial_x u+\vec v u.</math> Aus der Erhaltungsgleichung <math display="block">\frac{\partial}{\partial t}\int_{x}^{x+\Delta x} u(s,t)ds=j(x,t)-j(x+\Delta x,t)</math> erhält man nach dem Teilen mit <math>\Delta x</math> und dem Grenzübergang <math>\Delta x \to 0</math> die Konvektion-Diffusionsgleichung (für konstanten Diffusionskoeffizienten): <math display="block">\partial_t u(x,t) -c \partial_{xx} u(x,t)+\partial_x[\vec v(x,t) u(x,t)]=0. </math> == Explizite Lösungen == Die Lösung der Laplace-Gleichung <math>\Delta u(x)=0</math> und der inhomogenen Poissongleichung <math>\Delta u(x)=f(x), x \in \mathbb R ^n, n \geq 2 </math> lässt sich durch eine Integralformel formulieren. Diese Lösungsformel enthält die sogennante [[w:Laplace-Gleichung#L%C3%B6sung_der_Laplace-Gleichung|Fundamentallösung]], die sich anhand der Rotationsinvarianz des Laplace-Operators finden lässt. Die Lösung eines [[w:Laplace-Gleichung#Dirichlet-Problem|Dirichletproblems]] (Randwertaufgabe) für die Laplace und die Poissongleichung auf einem beschränkten Gebiet <math>\Omega \subset \mathbb R^n</math> lässt sich auch mittels Integralformen ausdrücken, hier wird jedoch die [[w:Laplace-Gleichung#L%C3%B6sung_mittels_Greenscher_Funktionhttps://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Gleichung#L%C3%B6sung_mittels_Greenscher_Funktion|Greensche Funktion]] benötigt. Die Konstruktion der Greenschen Funktion ist in einigen Spezialfälllen wie beispielsweise <math>\Omega=\mathbb R^n_{\pm} </math>(Halbraum) oder Kugel <math>B_r(x)\subset \mathbb R ^n </math>bekannt. Explizite Lösungsformeln für allgemeine Gebiete oder ortsabhängige Diffusionskoeffizienten sind nicht bekannt. Auch für die instationäre Diffusionsgleichung in <math> \mathbb R ^n </math> mit konstanten Koeffizienten existiert eine Formel für die [[w:Wärmeleitungsgleichung#Fundamentall%C3%B6sung|Fundamentallösung]] und entsprechende [[w:Wärmeleitungsgleichung#L%C3%B6sungsformel_f%C3%BCr_das_homogene_Cauchyproblem|Lösungsformel für das Cauchy-Problem]] (Anfangswertaufgabe), sogenannte [[w:Wärmeleitungsgleichung#Klassische_L%C3%B6sungen|Klassiche Lösungen]]. Allerdings sind diese klassischen Formeln auch nur in Spezialfällen einsetzbar. Oft werden deswegen andere Lösungsmethoden verwendet, wie zum Beispiel [https://www.youtube.com/watch?v=VWakJNuUZ_o der Separationsansatz] oder die [[w:Fourier-Transformation#Partielle_Differentialgleichungen|Fourier Transformation]]. Eine populäre und intensiv untersuchte Methode der Berechnung einer Annäherung der Lösung partieller Differentialgleichungen sind numerische Diskretisierungsmethoden. == Numerische Lösung == Der einfachste Lösungszugang ist etwa die '''[[w:Finite-Differenzen-Methode|Methode der finiten Differenzen]]'''. In diesem Verfahren werden die Ableitungen durch [[w:Differenzenquotient|Differenzenquotienten]] ersetzt. Im Falle eindimensionaler Poissongleichung <math>\Delta u(x)=f(x), \, x \in I\subset \mathbb R , </math> entsteht nach der numerischen Diskretisierung durch Ersetzen von <math>u^{''}(x)</math> durch [[w:Differenzenquotient#H%C3%B6here_Differenzenquotienten|zweiten Differenzenquotienten]] ein lineares System der Form <math>A_h u_h=f_h </math>, mit einer tridiagonaler Systemmatrix <math>A_h </math>, siehe ein Beispiel für die [[w:Finite-Differenzen-Methode#Beispiel_zur_numerischen_L%C3%B6sungen_einer_gew%C3%B6hnlichen_DGL|Diskretisierung der Poisson- und Wärmeleitungsgleichung am Intervall]] . Bei zweidimensionaler [[w:Laplace-Gleichung#Dirichlet-Problem|Randwertaufgabe]] mit homogenen Randbedingungen: <math display="block">\begin{align} \Delta u(x)&=f(x)\ \ \mbox{in }\ D\subset \mathbb R ^2, \\ u&=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{auf}\ \ \partial D \end{align} </math> wobei <math>u=u(x,y), \ (x,y) \in D:=[a,b]\times [c,d] </math> entsteht dagegen unter Verwendung eines äquidistanten [[w:Gitter_(Geometrie)|Gitters]] mit konstanter Gittergröße <math>h=x_i-x_{i-1}=\frac{b-a}{n+1}=y_j-y_{j-1},\ i=1, \ldots n, \,j=1,\ldots m </math> nach der numerischen Diskretisierung ein lineares System mit [[w:Blockmatrix#Blocktridiagonalmatrix|Blocktridiagonaler Matrix]] <math> A_h=\frac{1}{h^2}\begin{pmatrix} B&I& &\ldots &0\\ I & B& I &&\vdots\\\vdots & \ddots &\ddots&\ddots &\\0& &\ldots& I&B\end{pmatrix} </math> mit Diagonalblock <math>B=\begin{pmatrix} -4& 1& 0 & \ldots &0 \\ 1 & -4& 1& \ldots &0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots & 1\\0&\ldots &0& 1&-4\end{pmatrix} </math>und der [[Einheitsmatrix/Definition/Begriff/Inhalt|Einheitsmatrix]] <math>I=E_n </math> auf der Nebendiagonale. Der Vektor der Unbekannten besteht aus den Approximationen der Lösung in den Gitterpunkten<math>(x_i,y_j),\ u_{i,j}\approx u(x_i,y_j),\ i=1, \ldots n,\ j=1, \ldots m, </math>wobei man in den Vektor in der Reihenfolge aufstellt, die zuerst in der ersten Zeile des Gitters (<math>y_1 </math>ist fest) die Gitterpunkte von links nach rechts einordnet, <math>x_1 \to x_n </math>, dann in der zweite Zeile u.s.w. Die Approximationswerte sind in dem unbekannten Vektor dann wie folgt geordnet,<math display="block">u_h=(u_{1,1}, u_{2,1}, \ldots u_{n,1}|\ldots |u_{1,n},\ldots u_{m,n})^T. </math>In derselben Reihenfolge ist auch der Vektor der rechten Seite aufgestellt,<math display="block">f_h=(f_{1,1}, f_{2,1}, \ldots f_{n,1}|\ldots |f_{1,n},\ldots f_{m,n})^T, \ f_{i,j}=f(x_i,y_j). </math>Sind die Randwerte der gesuchten Funktion unterschiedlich von Null, <math>u|_{\partial D}\neq 0 </math>, muss der Vektor der rechten Seite entsprechend angepasst werden. Folgende Simulationen mithilfe der Konvektionsdiffusionsgleichung beschreiben die Verbreitung der ausgestoßenen KFZ-Schadstoffe in einer Kreuzung. Die Vermischung der Abgase ist durch den Hintergrundtransport (modelliert durch laminare Strömung) und durch die Bewegung der Fahrzeuge (technisch umgesetzt durch Gitterbewegung und remeshing) verursacht. [[Datei:Conv diff deformedmesh wireframe.gif|links|mini|390x390px|Simulation of exhaust gases spread of two stagnant and two moving cars with background airflow, mesh movement and remeshing]] [[Datei:Car exhaust Simulation.gif|rand|mini|392x392px|Simulation der Verbreitung von KFZ-Abgasen mit Hintergrundströmung]] Autor: A. Hundertmark == Siehe auch == * [[Diffusion/Animationen]] == Literatur == * Martin Keller-Resse: Stochastische Analysis'', Vorlesungsskript Stochastic Calculus,'' Institute of Mathematical Stochastics of TU Dresden''.'' *Lawrence C. Evans: ''Partial Differential Equations.'' American Mathematical Society, Providence RI 1998, <nowiki>ISBN 0-8218-0772-2</nowiki> (''Graduate studies in mathematics'' 19). *siehe auch [[Diffusion|Diffusion.]] 3sdy832zqgwe6waqqqskka367iqporm 0 106832 1115180 587806 2026-10-04T20:52:43Z DieHenkels 22627 /* Schadstoffverteilung mit Triangulation als Gitter */ Tippfehler "Triagulation" 1115180 wikitext text/x-wiki [[Datei:Graph Laplacian Diffusion Example.gif|mini|Beispiel für eine Laplace-Diffusion]] == Veranschaulichung == [[Datei:Diffusion v2 20101120.ogv|mini|Diffusion eines in Wasser gelösten Farbstoffs in ein [[w:de:Gel|Gel]].]]Ein oft genanntes [[w:de:Experiment|Experiment]] zur Veranschaulichung der Ausbreitung durch Diffusion ist die allmähliche Einfärbung von lauwarmem [[w:de:Wasser|Wasser]] durch einen Tropfen Tinte, den man hineingibt, das Wasser aber weder umrührt noch den Behälter schüttelt. Nach einiger Zeit hat sich die Tintenfarbe im ganzen Wasser gleichmäßig verteilt. Die Ausbreitung der Tinte im Wasser kann allerdings auch durch [[w:de:Dichte|Dichte]]- und Temperaturunterschiede begünstigt werden. Diese Einflüsse lassen sich verringern, indem man eine farbige Flüssigkeit mit höherer Dichte mit einer Flüssigkeit mit niedrigerer Dichte überschichtet und sehr [[w:de:Viskosität|viskose]] Flüssigkeiten verwendet, z.&nbsp;B. farbigen Sirup und Honig. Die dann beobachtete allmähliche Einfärbung des Honigs erklärt sich nahezu ausschließlich durch Diffusion, wobei sowohl Sirup in den Honig als auch Honig in den Sirup diffundiert. == Siehe auch == * [[Räumliche Diffusion]] * [[Systemisches Denken]] == Schadstoffverteilung mit Triangulation als Gitter == '''Aufgaben:''' Analysieren Sie das sich stetig ändernde Dreiecksgitter!. * Was fällt bei der Veränderung des Dreiecksgitters in der Zeit auf und warum gibt es an bestimmten Stellen feinere Dreiecksgitter und an anderen Stellen gröbere Dreiecksgitter? * Welche Aspekte der mathematischen Modellbildung sprechen für eine feinmaschiges Gitternetz und welche Gründen gibt es dafür, ein möglichst grobes Gitternetz zu verwenden? Wann sollte man ein Gitternetz dynamisch verfeinern und wann kann in der mathematischen Modellbildung auch mit einem groben Gitternetz auskommen? [[Datei:Conv diff deformedmesh wireframe.gif|300px|gerahmt|zentriert|Animation Schadstoffverteilung von 2 stehenden und 2 sich bewegenden Pkw - Triangulation der Ebene - Anna Hundertmark 2019]] == Vektorfelder und Höhenlinien == In der folgenden Animation (Anna Hundertmark 2019b) ist ein Vektorfeld angegeben. * '''(Vektorfeld)''' Welche Bedeutung hat das Vektorfeld für den Transport von Schadstoffen und wie kann man das Vektorfeld berechnen? * '''(Höhenlinien)''' Aus geografischen Karten kennen Sie die Höhenlinien. Wie sind Höhenlininen mathematisch definiert und welche Bedeutung haben Höhenlinen in der folgenden Animation? [[Datei:Car exhaust Simulation.gif|300px|gerahmt|zentriert|Vektorfeld und Transport von Schadstoffen - Abgas / Feinstaubpartikel - Anna Hundertmark 2019]] 57i9b758t6xycr9ogxrwziuu4bs8xd8 106 111212 1115225 1079995 2026-10-05T11:50:37Z ~2026-47548-34 41860 /* Konvergenz */ 1115225 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die folgenden Inhalte sind Grundlagen der Vorlesung und sollten beherrscht werden. Die Aufgaben dienen zur Überprüfung, ob Sie diese Inhalte derzeit beherrschen. Mit den Links können Sie Ihr Wissen wieder auffrischen. ==[[w:de:Komplexe Zahl| Grundlagen der Komplexen Zahlen]]== (Vertiefung folgt in der Vorlesung) 1) Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Rechenregeln für komplexe Zahlen gelten, indem Sie Rechenregeln aus den reellen Zahlen verwenden. <math display="inline">z_j = x_j + i y_j</math> mit <math display="inline">j = 1,2</math> seien dabei komplexe Zahlen und es gelte <math display="inline">i^2=-1</math>. ; Addition : <math display="inline">z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)</math> ; Subtraktion : <math display="inline">z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i (y_1 - y_2)</math> ; Multiplikation : <math display="inline">z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2-y_1 y_2) + i (x_1y_2 + x_2y_1)</math> ; Kehrwert : Sei <math display="inline">z \neq 0</math>.<br /> <math display="inline">\frac 1 z = \frac{x}{x^2+y^2} - i \frac{y}{x^2+y^2}</math> ; Quadratische Gleichung : Begründen Sie, weshalb die Lösung für Gleichungen der Form <math display="inline">x^2+ax+b = 0</math> mit <math display="inline">a,b \in \mathbb{C}</math> auch im Komplexen <math display="inline">x_{1,2} = - \frac a 2 \pm \sqrt{(\frac a 2)^2 - b}</math> lautet. 2) Berechnen Sie die folgenden Aufgaben # <math display="inline">x^2 = -7</math> # <math display="inline">c^2 +15 = 5</math> # <math display="inline">(1+i)^4</math> # <math display="inline">(\frac{-1-i\sqrt3}{2})^3</math> # <math display="inline">(-1 + i ) \cdot( \overline{3 - 2i}) + (-1+i)</math> # <math display="inline">| (4-3i) \cdot (1 - 2i) |</math> # <math display="inline">| 3 \cdot (\cos 60 \mathrm{^\circ} - i \cdot \sin 60 \mathrm{^\circ})|</math> # Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein. ## <math display="inline">z = 2,5 \cdot e^{ i \cdot \frac 3 4 \pi}</math> ## <math display="inline">y = \frac { 6 i } {i - 1}</math> ==[[w:de:Grenzwert(Funktion)|Konvergenz]]== # Definieren Sie die Konvergenz für Folgen, Funktionen und Reihen. # Sei <math display="inline">n \in \mathbb{N}</math>. Geben Sie zu <math display="inline">\epsilon = \frac 1 {10^5}</math> ein <math display="inline">n_0</math> an, sodass <math display="inline">| a_n | = | \frac n {2n+1} - \frac 1 2| < \epsilon \;\;\; \forall n >n_0</math> und <math display="inline">| b_n | = | \frac {3n + 1 } { n + 1} - 3 | < \epsilon\;\;\; \forall n > n_0</math> gilt. Interpretieren Sie die Aussage. # Begründen Sie anhand der Definition jeweils die (Nicht-)Existenz des Grenzwertes. Geben Sie ggf. den Grenzwert und ein zu <math display="inline">\epsilon > 0</math> passendes <math display="inline">\delta > 0</math> an. Sei <math display="inline">x \in \mathbb{R}</math>. ## <math display="inline">f(x) = 2x-1 \;\;\; x_0 = 3</math> ## <math display="inline">g(x) = \cos( \frac 1 x) \;\;\; x_0 = 0, x \to x_0^+</math> # Zeigen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen ## <math display="inline">\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n ^2 + 3 n \cdot e^{-n}}{2^n(2 + \cos(n))}</math> ## <math display="inline">\sum_{n = 1}^{\infty} \frac {2 + \cos(n)}{n}</math> ==[[w:de:Stetige Funktion| Stetigkeit von Funktionen]]== # Geben Sie die Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle <math display="inline">x_0</math> an. # Zeigen Sie mithilfe der <math display="inline">\epsilon</math>-<math display="inline">\delta</math>-Definition, dass die Funktion <math display="inline">f(x) = 2x+1</math> bei <math display="inline">a = 2</math> stetig ist. ==[[w:de: Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]]== # Geben Sie die Definition für die Differenzierbarkeit einer Funktion an. # Bestimmen sie anhand der Definition die erste Ableitung der Funktion <math display="inline">f(x) = x^2+3x-2</math> (<math display="inline">x_0</math> beliebig). ==[[w:de: Riemannsches Integral| Integrierbarkeit]]== # Geben Sie die Definition für die Integrierbarkeit einer Funktion an. # Bestimmen Sie das unbestimmte Integral <math display="inline">\int sin(x^3) \cdot 3 x^2 dx</math>. ==[[w:de: Potenzreihe|Potenzreihen]]== # Geben Sie die Definition der Potenzreihe an. # Nennen Sie die Potenzreihenentwicklung von <math display="inline">sin(x)</math> und <math display="inline">cos(x)</math>. # Entwickeln Sie die Funktion <math display="inline">f(x) = ln(1+x)</math>. Für welche <math display="inline">x</math> gilt diese? ==[[w:de: Taylorreihe|Taylorreihen]]== # Definieren Sie das Taylorpolynom der Ordnung <math display="inline">m</math> zu <math display="inline">f</math> im Entwicklungszentrum <math display="inline">a</math>. # Entwickeln Sie die Taylorreihe zu <math display="inline">f(x) = x^3+7x^2-18x+5</math> mit dem Entwicklungszentrum <math display="inline">a = 1</math> und der Ordnung <math display="inline">m = 3</math>. 42h417m5ljd36k16rrx5elq8604cle3 1115226 1115225 2026-10-05T11:51:12Z ~2026-47548-34 41860 /* Integrierbarkeit */ 1115226 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die folgenden Inhalte sind Grundlagen der Vorlesung und sollten beherrscht werden. Die Aufgaben dienen zur Überprüfung, ob Sie diese Inhalte derzeit beherrschen. Mit den Links können Sie Ihr Wissen wieder auffrischen. ==[[w:de:Komplexe Zahl| Grundlagen der Komplexen Zahlen]]== (Vertiefung folgt in der Vorlesung) 1) Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Rechenregeln für komplexe Zahlen gelten, indem Sie Rechenregeln aus den reellen Zahlen verwenden. <math display="inline">z_j = x_j + i y_j</math> mit <math display="inline">j = 1,2</math> seien dabei komplexe Zahlen und es gelte <math display="inline">i^2=-1</math>. ; Addition : <math display="inline">z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)</math> ; Subtraktion : <math display="inline">z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i (y_1 - y_2)</math> ; Multiplikation : <math display="inline">z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2-y_1 y_2) + i (x_1y_2 + x_2y_1)</math> ; Kehrwert : Sei <math display="inline">z \neq 0</math>.<br /> <math display="inline">\frac 1 z = \frac{x}{x^2+y^2} - i \frac{y}{x^2+y^2}</math> ; Quadratische Gleichung : Begründen Sie, weshalb die Lösung für Gleichungen der Form <math display="inline">x^2+ax+b = 0</math> mit <math display="inline">a,b \in \mathbb{C}</math> auch im Komplexen <math display="inline">x_{1,2} = - \frac a 2 \pm \sqrt{(\frac a 2)^2 - b}</math> lautet. 2) Berechnen Sie die folgenden Aufgaben # <math display="inline">x^2 = -7</math> # <math display="inline">c^2 +15 = 5</math> # <math display="inline">(1+i)^4</math> # <math display="inline">(\frac{-1-i\sqrt3}{2})^3</math> # <math display="inline">(-1 + i ) \cdot( \overline{3 - 2i}) + (-1+i)</math> # <math display="inline">| (4-3i) \cdot (1 - 2i) |</math> # <math display="inline">| 3 \cdot (\cos 60 \mathrm{^\circ} - i \cdot \sin 60 \mathrm{^\circ})|</math> # Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein. ## <math display="inline">z = 2,5 \cdot e^{ i \cdot \frac 3 4 \pi}</math> ## <math display="inline">y = \frac { 6 i } {i - 1}</math> ==[[w:de:Grenzwert(Funktion)|Konvergenz]]== # Definieren Sie die Konvergenz für Folgen, Funktionen und Reihen. # Sei <math display="inline">n \in \mathbb{N}</math>. Geben Sie zu <math display="inline">\epsilon = \frac 1 {10^5}</math> ein <math display="inline">n_0</math> an, sodass <math display="inline">| a_n | = | \frac n {2n+1} - \frac 1 2| < \epsilon \;\;\; \forall n >n_0</math> und <math display="inline">| b_n | = | \frac {3n + 1 } { n + 1} - 3 | < \epsilon\;\;\; \forall n > n_0</math> gilt. Interpretieren Sie die Aussage. # Begründen Sie anhand der Definition jeweils die (Nicht-)Existenz des Grenzwertes. Geben Sie ggf. den Grenzwert und ein zu <math display="inline">\epsilon > 0</math> passendes <math display="inline">\delta > 0</math> an. Sei <math display="inline">x \in \mathbb{R}</math>. ## <math display="inline">f(x) = 2x-1 \;\;\; x_0 = 3</math> ## <math display="inline">g(x) = \cos( \frac 1 x) \;\;\; x_0 = 0, x \to x_0^+</math> # Zeigen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen ## <math display="inline">\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n ^2 + 3 n \cdot e^{-n}}{2^n(2 + \cos(n))}</math> ## <math display="inline">\sum_{n = 1}^{\infty} \frac {2 + \cos(n)}{n}</math> ==[[w:de:Stetige Funktion| Stetigkeit von Funktionen]]== # Geben Sie die Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle <math display="inline">x_0</math> an. # Zeigen Sie mithilfe der <math display="inline">\epsilon</math>-<math display="inline">\delta</math>-Definition, dass die Funktion <math display="inline">f(x) = 2x+1</math> bei <math display="inline">a = 2</math> stetig ist. ==[[w:de: Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]]== # Geben Sie die Definition für die Differenzierbarkeit einer Funktion an. # Bestimmen sie anhand der Definition die erste Ableitung der Funktion <math display="inline">f(x) = x^2+3x-2</math> (<math display="inline">x_0</math> beliebig). ==[[w:de: Riemannsches Integral| Integrierbarkeit]]== # Geben Sie die Definition für die Integrierbarkeit einer Funktion an. # Bestimmen Sie das unbestimmte Integral <math display="inline">\int \sin(x^3) \cdot 3 x^2 dx</math>. ==[[w:de: Potenzreihe|Potenzreihen]]== # Geben Sie die Definition der Potenzreihe an. # Nennen Sie die Potenzreihenentwicklung von <math display="inline">sin(x)</math> und <math display="inline">cos(x)</math>. # Entwickeln Sie die Funktion <math display="inline">f(x) = ln(1+x)</math>. Für welche <math display="inline">x</math> gilt diese? ==[[w:de: Taylorreihe|Taylorreihen]]== # Definieren Sie das Taylorpolynom der Ordnung <math display="inline">m</math> zu <math display="inline">f</math> im Entwicklungszentrum <math display="inline">a</math>. # Entwickeln Sie die Taylorreihe zu <math display="inline">f(x) = x^3+7x^2-18x+5</math> mit dem Entwicklungszentrum <math display="inline">a = 1</math> und der Ordnung <math display="inline">m = 3</math>. 7l0gbcb61f7k5srn762pl2pa1ow9fpy 1115227 1115226 2026-10-05T11:51:46Z ~2026-47548-34 41860 /* Potenzreihen */ 1115227 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die folgenden Inhalte sind Grundlagen der Vorlesung und sollten beherrscht werden. Die Aufgaben dienen zur Überprüfung, ob Sie diese Inhalte derzeit beherrschen. Mit den Links können Sie Ihr Wissen wieder auffrischen. ==[[w:de:Komplexe Zahl| Grundlagen der Komplexen Zahlen]]== (Vertiefung folgt in der Vorlesung) 1) Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Rechenregeln für komplexe Zahlen gelten, indem Sie Rechenregeln aus den reellen Zahlen verwenden. <math display="inline">z_j = x_j + i y_j</math> mit <math display="inline">j = 1,2</math> seien dabei komplexe Zahlen und es gelte <math display="inline">i^2=-1</math>. ; Addition : <math display="inline">z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)</math> ; Subtraktion : <math display="inline">z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i (y_1 - y_2)</math> ; Multiplikation : <math display="inline">z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2-y_1 y_2) + i (x_1y_2 + x_2y_1)</math> ; Kehrwert : Sei <math display="inline">z \neq 0</math>.<br /> <math display="inline">\frac 1 z = \frac{x}{x^2+y^2} - i \frac{y}{x^2+y^2}</math> ; Quadratische Gleichung : Begründen Sie, weshalb die Lösung für Gleichungen der Form <math display="inline">x^2+ax+b = 0</math> mit <math display="inline">a,b \in \mathbb{C}</math> auch im Komplexen <math display="inline">x_{1,2} = - \frac a 2 \pm \sqrt{(\frac a 2)^2 - b}</math> lautet. 2) Berechnen Sie die folgenden Aufgaben # <math display="inline">x^2 = -7</math> # <math display="inline">c^2 +15 = 5</math> # <math display="inline">(1+i)^4</math> # <math display="inline">(\frac{-1-i\sqrt3}{2})^3</math> # <math display="inline">(-1 + i ) \cdot( \overline{3 - 2i}) + (-1+i)</math> # <math display="inline">| (4-3i) \cdot (1 - 2i) |</math> # <math display="inline">| 3 \cdot (\cos 60 \mathrm{^\circ} - i \cdot \sin 60 \mathrm{^\circ})|</math> # Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein. ## <math display="inline">z = 2,5 \cdot e^{ i \cdot \frac 3 4 \pi}</math> ## <math display="inline">y = \frac { 6 i } {i - 1}</math> ==[[w:de:Grenzwert(Funktion)|Konvergenz]]== # Definieren Sie die Konvergenz für Folgen, Funktionen und Reihen. # Sei <math display="inline">n \in \mathbb{N}</math>. Geben Sie zu <math display="inline">\epsilon = \frac 1 {10^5}</math> ein <math display="inline">n_0</math> an, sodass <math display="inline">| a_n | = | \frac n {2n+1} - \frac 1 2| < \epsilon \;\;\; \forall n >n_0</math> und <math display="inline">| b_n | = | \frac {3n + 1 } { n + 1} - 3 | < \epsilon\;\;\; \forall n > n_0</math> gilt. Interpretieren Sie die Aussage. # Begründen Sie anhand der Definition jeweils die (Nicht-)Existenz des Grenzwertes. Geben Sie ggf. den Grenzwert und ein zu <math display="inline">\epsilon > 0</math> passendes <math display="inline">\delta > 0</math> an. Sei <math display="inline">x \in \mathbb{R}</math>. ## <math display="inline">f(x) = 2x-1 \;\;\; x_0 = 3</math> ## <math display="inline">g(x) = \cos( \frac 1 x) \;\;\; x_0 = 0, x \to x_0^+</math> # Zeigen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen ## <math display="inline">\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{n ^2 + 3 n \cdot e^{-n}}{2^n(2 + \cos(n))}</math> ## <math display="inline">\sum_{n = 1}^{\infty} \frac {2 + \cos(n)}{n}</math> ==[[w:de:Stetige Funktion| Stetigkeit von Funktionen]]== # Geben Sie die Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle <math display="inline">x_0</math> an. # Zeigen Sie mithilfe der <math display="inline">\epsilon</math>-<math display="inline">\delta</math>-Definition, dass die Funktion <math display="inline">f(x) = 2x+1</math> bei <math display="inline">a = 2</math> stetig ist. ==[[w:de: Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]]== # Geben Sie die Definition für die Differenzierbarkeit einer Funktion an. # Bestimmen sie anhand der Definition die erste Ableitung der Funktion <math display="inline">f(x) = x^2+3x-2</math> (<math display="inline">x_0</math> beliebig). ==[[w:de: Riemannsches Integral| Integrierbarkeit]]== # Geben Sie die Definition für die Integrierbarkeit einer Funktion an. # Bestimmen Sie das unbestimmte Integral <math display="inline">\int \sin(x^3) \cdot 3 x^2 dx</math>. ==[[w:de: Potenzreihe|Potenzreihen]]== # Geben Sie die Definition der Potenzreihe an. # Nennen Sie die Potenzreihenentwicklung von <math display="inline">\sin(x)</math> und <math display="inline">\cos(x)</math>. # Entwickeln Sie die Funktion <math display="inline">f(x) = \ln(1+x)</math>. Für welche <math display="inline">x</math> gilt diese? ==[[w:de: Taylorreihe|Taylorreihen]]== # Definieren Sie das Taylorpolynom der Ordnung <math display="inline">m</math> zu <math display="inline">f</math> im Entwicklungszentrum <math display="inline">a</math>. # Entwickeln Sie die Taylorreihe zu <math display="inline">f(x) = x^3+7x^2-18x+5</math> mit dem Entwicklungszentrum <math display="inline">a = 1</math> und der Ordnung <math display="inline">m = 3</math>. nd4ma4ejvx0fmw9q0w3i835lr7z1obw 106 128303 1115188 1114372 2026-10-05T06:41:35Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume */ 1115188 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * [[Orthogonalprojektion|Orthogonalität]] bzw. * genauer: Winkel zwischen Vektoren können definiert werden und Längenbegriffe bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] . === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Häufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt, wesentlich für die Struktur ist, dass in einem der Argumente komplex konjugiert wird: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen. Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot \cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math>. [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math>. Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. Ferner kann man in den folgenden Räumen [[Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektionen]] berechnen. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum mit dem Skalarprodukt <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra sondern eine [[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]. === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\rangle = 1</math>), so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math> [[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismus]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[Orthogonalprojektion]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] e2di4bvbuedaprpephzurixw3trr4nt 0 168277 1115228 1113996 2026-10-05T11:55:09Z ~2026-47548-34 41860 /* Definition - gleichmäßige Konvergenz */ 1115228 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 8d1trsu2vnk92hocuoicsv3ffvox0ub 1115229 1115228 2026-10-05T11:58:11Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz */ 1115229 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> gilt <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 9lo965q0rh0z29jqay0z0mjb4fqeawz 106 171930 1115172 1114295 2026-10-04T17:48:27Z ~2026-44663-93 41823 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1115172 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenrauch, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im teils geöffneten Raum verglichen. Der Nebenstromrauch (das Glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von 7 · 10⁻⁶ m²/s (entspricht 0,07 cm²/s) verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |} == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge <math>l</math> problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl und (In-)Kompressibilität ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Mach-Zahl ist in dieser Modellierung von Bedeutung, da es einen Zusammenhang zwischen der Mach-Zahl und der strömungsbedingten Dichteänderung in einem Fluid gibt. Ab einer Machzahl von <math> Ma > 0,3 </math> können Dichteänderung nicht mehr vernachlässigt werden, gelten als relevant und das Fluid sollte als kompressibel betrachtet werden (vgl. XXX). Die Schallgeschwindigkeit kann sich verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird und entsprechend für unsere Modellierung die Annahme eines kompressiblen Fluides nicht passend ist. (Dennoch musste diese Auswahl in COMSOL für die Modellierung 1 getroffen werden.) ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die nachfolgende Navier-Stokes-Gleichung basiert auf der in den Vorlesungswoche 6.1 vorgestellten Version: <math> \mathit \underbrace{ \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} }_{\text{Lokale Beschleunigung}} + \underbrace{ \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} }_{\text{Konvektive Beschleunigung}} + \underbrace{ \nabla p }_{\text{Druckgradient}} - \underbrace{ \text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) }_{\text{Reibungsterm (Viskosität)}} = \underbrace{ \rho\vec{f}^{\,b} }_{\text{Äußere Kräfte}} </math> Unter Annahme, dass es sich bei Luft um ein Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosität handelt, darf man <math>\mu</math> als konstanter Faktor aus dem Divergenz-Operator <math>div</math> herausziehen. Dadurch ergibt : <math> \mathit -\text{div}\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) \; \xrightarrow{\mu = \text{konst.}} \; -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] \; </math> Da die für die Modellierung relevanten Geschwindigkeiten eine Mach-Zahl Ma<0,3 aufweisen, können Kompressibilitätseffekte vernachlässigt und die Luft für die vorliegende Modellierung näherungsweise als inkompressibel betrachtet werden. Aus der Inkompressibilität folgt, dass <math> \mathit \text{div} \vec{u} = 0 </math>. Dadurch vereinfacht sich der Reibungsterm folgendermaßen <math> \mathit -\mu \left[ \text{div}(\nabla\vec{u}) + \text{div}(\nabla\vec{u}^{T}) \right] = -\mu \left( \Delta\vec{u} + \nabla(\text{div}\,\vec{u}) \right) = -\mu \Delta\vec{u} + 0 = -\mu \Delta\vec{u} </math> Die Navier-Stokes-Gleichung für die getroffenen Annahmen (inkompressibles, newtonsches Fluid) lautet somit: <math> \mathit \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p - \mu \Delta\vec{u} = \rho\vec{f}^{\,b} </math> Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Diese Rauchquelle hat einen Durchmesser von <math>0,0355m</math>, also <math>3,55cm</math>. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Ein offener Rand wurde für das Fenster definiert. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld <math> u(t) </math> über eine vordefinierte Funktion <math> pw_1(x) </math> für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Dabei ist die <math> pw_1(x) </math>-Funktion folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> Das Geschwindigkeitsfeld ist durch folgende Vorschrift gegeben: <math> \vec{u}(t) = \begin{pmatrix} 1 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \\ 0{,}01 \cdot pw_1(t) \end{pmatrix} </math> Zur Bestimmung der Reynolds-Zahl wurde für die Geschwindigkeit der Betrag der maximalen Strömungsgeschwindigkeit eingesetzt. Da die Geschwindigkeit über ein Vektorfeld mit einer abschnittweise definierten Funktion bestimmt ist, wurde zunächst der maximale Funktionswert in das Geschwindigkeitsfeld eingesetzt und dann, wie nachfolgend gezeigt, die euklidische Norm bestimmt: <math> v = \vert\vec{u}_{\max}\vert = \sqrt{1^2 + 0{,}01^2 + 0{,}01^2} = \sqrt{1{,}0002} \approx 1{,}0001 \, \text{m/s} </math> Mit den typischen Parametern für den Ausatemprozess (Munddurchmesser als charakteristische Länge <math>l = 0{,}0355 \, \text{m}</math>, Dichte der Atemluft <math>\rho = 1{,}20 \, \text{kg/m}^3 </math> und dynamische Viskosität <math>\nu = 1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}</math>) ergibt sich für die Reynolds-Zahl: <math> \mathit Re = \frac{\rho \cdot v \cdot L}{\nu} = \frac{1{,}20 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1{,}0001 \, \text{m/s} \cdot 0{,}0355 \, \text{m}}{1{,}8 \cdot 10^{-5} \, \text{Pa}\cdot\text{s}} \approx 2367 </math> Diese liegt über dem kritischen Wert, sodass die Annahme der laminaren Strömung nicht passend ist. Allerdings ist die turbulente Strömung nicht in der zur Verfügung stehenden COMSOL-Lizenz enthalten. ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Sonstiges zur Auswertung == ===Konzentration des Rauches bei Passivraucher=== Es wird die mittlere Konzentration des Rauches an der Vorderseite des Kopfes des Passivrauchers bestimmt. Die Bestimmung der mittleren Konzentration erfolgt durch Berechnung des Mittelwertes (über die in COMSOL integrierte Funktion hierzu) der Konzentrationen über der entsprechenden Fläche. Außerdem wird die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person bestimmt mithilfe der zuvor definierten Funktion <math>\text{maxop1}</math>. Diese Funktion bestimmt das Maximum über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, hier bezogen auf die Konzentration. Diese Auswertungen erfolgen anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. ===Auswertung des Volumenstroms=== Nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 68) gibt der Volumenstrom das Fluidvolumen an, das pro Zeiteinheit durch die Fläche A (in Richtung der Flächennormalen) hindurchströmt und kann wie folgt berechnet werden: <math> \mathit \dot{V} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \iint_{A} \vec{u} \cdot \vec{n} \, \mathrm{d}A</math> Dabei ist <math>V</math> das Volumen, <math>t</math> die Zeit, <math>A</math> die durchströmte Fläche, <math>\vec{u}</math> der Geschwindigkeitsvektor des Fluids ist, <math>\vec{n}</math> der Normalenvektor auf der Fläche und <math>\mathrm{d}A</math> das Flächenelement. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^3/s}</math>. In COMSOL verwendeter Ausdruck: <math> \mathit -\text{intop1}(\text{spf.nx}*u + \text{spf.ny}*v + \text{spf.nz}*w)</math> [[File:Pfeiloberfläche Passivraucher Normale.png|thumb|Normalenvektor auf Gesicht des Passivrauchers]] Dabei ist <math>\text{intop1}</math> eine Integral-Funktion über die Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person, <math>\text{spf.nx, spf.ny, spf.nz}</math> die Komponenten des Normalenvektors der Grenzfläche und <math>u, v, w</math> die Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung. Diese Auswertungen erfolgt anhand der Ergebnisse mit "no slip"-Randbedinung. In COMSOL ist der Normalenvektor einer Geometrieoberfläche standardmäßig nach außen, also vom Körper weg in den Raum, gerichtet (siehe Abbildung). Betrachtet man nun die Strömung des Rauches, die bei einer Person ankommt und auf das Gesicht trifft, ergibt sich folgende Situation: * Die Strömung bewegt sich auf das Gesicht zu, also nach innen * Der Normalenvektor zeigt vom Gesicht weg, also nach außen Da die beiden Vektoren somit entgegengesetzt gerichtet sind, ist ihr Skalarprodukt negativ. Das Integral misst die Einströmung als negativen Fluss. Um den ankommenden Volumenstrom als positive Größe anzugeben, muss daher das Vorzeichen umgekehrt werden. Deswegen wird vor das Integral ein Minuszeichen gesetzt. === Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen === Zur Bestimmung des Unterschiedes der Ergebnisse bei unterschiedlichen Randbedingungen (no slip und slip) wurden die Geschwindigkeitsvektoren verglichen. '''Geschwindigkeitsunterschiede''' Dies erfolgte zum einen über folgende Formel, die die euklidische Norm aus der Differenz der Geschwindigkeitsvektoren ist: <math> \mathit \sqrt{(u - u_2)^2 + (v - v_2)^2 + (w - w_2)^2} </math> Dabei gilt: <math> \begin{aligned} \vec{v} &= (u, v, w) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit No-Slip-Randbedingung} \\ \vec{v}_2 &= (u_2, v_2, w_2) \widehat{=} \text{Geschwindigkeitsvektor mit Slip-Randbedingung} \end{aligned} </math> Der Volumendurchschnitt wurde über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreitet, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert auch als globaler mittlerer Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit ist <math>\mathrm{m/s}</math>. Außerdem wurde die Volumenintegration über den gesamten Innenraum, in dem sich das Fluid ausbreiten, für diese Formel bestimmt. Nachfolgend wird dieser Wert als globale Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied bezeichnet. Die Einheit des Volumenstroms ist <math>\mathrm{m^5/s^2}</math>. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration oF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der Passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passivrauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math> 6{,}869000607291196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}785764584756463 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ====Konzentration des Rauches bei Passivraucher==== Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers beträgt <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. Die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person beträgt <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> zum Zeitpunkt <math>t=5s</math>. [[File:Absolute Rauchkonzentration mF.gif|thumb|Animation absolute Rauchkonzentration]] Damit sind die Maximalwerte der Konzentrationen immer am Ende der Simulation zum Zeitpunkt <math>t=5s</math> zu finden. Die verschiedenen Konzentrationswerte auf der Vorderseite des Kopfes der passivrauchenden Person sind dabei sehr klein und <math> \approx 0 </math>. Daraus kann gefolgert werden, dass die Aussetzung mit dem schädlichen Zigarettenrauch unter den modellierten Bedingungen sehr gering ist und nahezu nichts bei der passiv rauchenden Person ankommt. Dies passt auch zur Animation, die die absolute Rauchkonzentration zeigt. Erkennbar ist dabei, dass der Rauch aus der Rauchquelle austritt und sich in Richtung der passivrauchenden Person ausbreitet. Während des Ausstoßes wird der Rauch "länger" und "breiter", also dehnt sich aus. Nach 5 Sekunden erreicht der Rauchstrom die passiv rauchende Person allerdings nicht. ====Auswertung des Volumenstroms==== Der Volumenstrom an der Vorderseite des Kopfes der passiv rauchenden Person ist über das gesamte Zeitintervall von 5 Sekunden 0. Das bedeutet, dass durch die Raumströmung kein Luftvolumen aktiv gegen den Kopf der passiv rauchenden Person gedrückt wird und keine Strömung bei der potentiell passiv rauchenden Person ankommt. ==== Auswertung der Unterschiede bei unterschiedlichen Randbedingungen und ansonsten identischen Voraussetzungen ==== Das Maximum des globalen mittleren Geschwindigkeitsunterschiedes beträgt <math>7{,}46196 \times 10^{-5} \, \text{m/s}</math> zum Zeitpunkt <math>t=3,15s</math>. Das Maximum der globalen Gesamtabweichung für den Geschwindigkeitsunterschied beträgt <math>5{,}792999512921209 \times 10^{-5} \, \text{m}^5/\text{s}^2</math> zum Zeitpunkt <math>t=2,85s</math>. Die Unterschiede sind sehr gering, sodass die Auswahl der Randbedingung in dieser Modellierung mit den getroffenen Annahmen einen nur sehr geringen Einfluss auf Geschwindigkeitsunterschiede hat. ===Vergleich der Modellierung 1 und 2 === Das Maximum für die mittlere Konzentration des Rauches an der Kopfvorderseite des Passivrauchers ist im Falle des geschlossenen Raumes höher als im Falle des Raumes mit Fenster, so wie man es erwarten würde. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>9{,}9595 \times 10^{-13} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>1{,}2972 \times 10^{-12} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 3{,}0125 \cdot 10^{-13} \, \text{mol/m}^3 </math>. Betrachtet man die maximale Konzentration auf der Vorderseite des Kopfes der rauchenden Person, kommt man in diesem Fall zu einem unerwarteten Befund: Diese ist im Falle des geschlossenen Raumes niedriger als im Raum mit geöffnetem Fenster und steht der typischen Erwartung entgegen. Allerdings sind die Werte generell sehr niedrig ebenso wie die Differenz. Konkret beträgt der Wert für den geschlossenen Raum <math>2{,}0098 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math> und im Raum mit Fenster <math>3{,}8859 \times 10^{-11} \, \text{mol/m}^3</math>. Somit beträgt die Differenz <math> 1{,}8761 \cdot 10^{-11} \, \text{mol/m}^3 </math>. Hinsichtlich der Stromlinien ist in beiden Fällen erkennbar, dass die Konzentration entlang der Wege abnimmt. Die stärkste Konzentration ist unmittelbar in der Nähe der rauchenden Person, wobei gerade dort im Quellbereich Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen (siehe Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum & Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster). Im Falle des Raumes mit Fenster ist im Bereich der Fensteröffnung außerdem erkennbar, dass sich die Strömung stark in den hinteren Teil des Raumes verschiebt (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster). Diese "einseitige Verlagerung" ist im Falle des geschlossenen Raumes so nicht erkennbar (siehe Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum). <gallery> File:Konzentration Stromlinien oF.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für geschlossenen Raum File:Animation Konzentration Stromlinien.gif|thumb|Animation Konzentration Stromlinien für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Konzentration Stromlinien in Datei mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Konzentration Stromlinien bei t=5s für Raum mit Fenster </gallery> Im Hinblick auf die Geschwindigkeitsfelder (siehe nachfolgende Animationen und Abbildungen) lässt sich erkennen, dass der Ausatemstrom in beiden Fällen auf die potentiell passiv rauchende Person gerichtet ist. Dabei erzeugt das Fenster in den betrachteten 5 Sekunden keinen sichtbaren Unterschied zur Simulation ohne Fenster. <gallery> File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohneFenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen ohne Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für geschlossenen Raum File:Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen mit Fenster.gif|thumb|Animation Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster File:Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld mit Fenster.png|thumb|Vogelperspektive Geschwindigkeitsfeld Pfeilvolumen für Raum mit Fenster </gallery> ==Beantwortung der Fragestellung == ===Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus?=== Der Rauch breitet sich durch Konvektion und Diffusion aus. Die Simulation zeigt, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt. Dort entstehen auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen. ===Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet?=== Unter den Bedingungen der Simulation, also einmaliges Ausatmen für ein Zeitintervall von 5 Sekunden, führt der Vergleich zwischen geschlossenem Raum und einem Raum mit geöffnetem Fenster zu folgenden Erkenntnissen: *In dem untersuchten Zeitintervall von 5 Sekunden lassen sich für beide Modellierungen keine nennenswerten Rauchkonzentrationen bei der passiv rauchenden Person messen. * Die mittlere Rauchkonzentration bei der passiv rauchenden Person ist im geschlossenen Raum zwar etwas höher als bei geöffnetem Fenster, die Werte sind jedoch nahe 0 und die Differenz ist sehr klein. * Das geöffnete Fenster führt zu einer Veränderung der Strömungslinien im ganzen Raum, indem die Strömung verstärkt in den hinteren Teil des Raumes abgelenkt wird. * Die Modellierung zeigt aber auch, dass der quantitative Unterschied in der Belastung der passiv rauchenden Person innerhalb der ersten 5 Sekunden durch das Fenster noch nicht nennenswert wird. == Diskussion == Der rausstehendste Aspekt, der im Rahmen einer Modelloptimierung berücksichtigt werden sollte, besteht in dem betrachteten Zeitintervall. Es scheint sinnvoll, ein längeres Zeitintervall mit mehreren Atemzyklen und nicht nur den einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch zu betrachten. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung darauf verzichtet, die Dateien haben so auch schon etwa 40 Minuten zur Berechnung gebraucht. Allerdings wurde anhand der Ergebnisse deutlich, dass es sinnvoll scheint, für aussagekräftige Ergebnisse mehrere Atemzyklen zu betrachten, dass die Rauchwolke überhaupt erstmal bei der passiv rauchenden Person ankommt und dann signifikante Unterschiede zwischen den beiden Modellierungen (ohne und mit Fenster) visuell und quantitativ erkennbar werden. Die quantitativen Auswertungen verweisen so auf sehr geringe Messwerte nahe 0, die kaum nennenswerte Ergebnisse liefern. Außerdem wurde laminare Strömung als gewählte Physik ausgewählt. Dies ist aber nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Um dennoch mögliche Verwirbelungen besser erkennen und in das Modell einfließen lassen zu können, wurde mit einer lokalen Gitterverfeinerung in der Nähe der Rauchquelle gearbeitet. Eine Optimierung des Projekts könnte allerdings in der Verwendung einer turbulenten Strömung bestehen. Des Weiteren könnte es eine sinnvolle Ergänzung sein, den Nebenstromrauch der glimmenden Zigarette als zusätzliche Rauchquelle hinzunehmen, da dies letztlich auch zur Rauchkonzentration im Raum beiträgt. Weitere Optimierungen könnten in einer realistischeren Personengeometrie bestehen. Hierzu könnten auch Kreisoberflächen für spezifischere Messwerte an Nase und Mund anstelle der gesamten Kopfvorderseite betrachtet werden. Da eine komplexere Geometrie aber auch einen erhöhten Rechenaufwand bedeutet, wurde auch hierauf zunächst verzichtet. Dennoch kann man dafür argumentieren, dass die Rauchkonzentration an Nase und Mund genauer ist, als die Rauchkonzentration an der gesamten Kopfvorderseite. Ebenso könnten andere Werte für Parameter eingestellt werden, so auch für das Geschwindigkeitsfeld des Einflusses an der Rauchquelle. Eine Ausatemgeschwindigkeit von maximal 1 m/s ist eher gering und könnte auch höher angesetzt werden. Darüber hinaus sind unterschiedlichen Grundsituationen spannend, also verschiedene Raumgeometrien und Positionen der Menschen im Raum. Dies bedeutet aber auch einen deutlich höheren Arbeitsaufwand, was mit diesem Projekt und dem dafür angesetzten Arbeitsaufwand nicht zu leisten ist. == Fazit == In dem Projekt wurde die Ausbreitung von Zigarettenrauch untersucht. Dabei standen folgende beiden Forschungsfragen im Vordergrund: Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? Es konnte gezeigt werden, dass die stärkste Konzentration unmittelbar in Nähe der Rauchquelle auftritt, wo auch lokale Verwirbelungen und Rückströmungen entstehen. Im Vergleich der beiden Modellierungen waren Unterschiede zwar erkennbar, insbesondere die Werte der qualitativen Auswertung waren allerdings so klein und nahe 0, dass innerhalb der untersuchten 5 Sekunden eigentlich noch keine nennenswerten Ergebnisse und Unterschiede hinsichtlich der Belastung der passiv rauchenden Person mit Zigarettenrauch erkennbar sind. Dadurch wurde eine Limitation und zugleich eine mögliche Optimierung der Modellierung deutlich: Eine gegenwärtige Schwäche der Modellierung besteht in der kurzen Zeitspanne mit dem einmaligen Ausatemzyklus. Diese Simulation umfasst eine Zeitspanne von 5 Sekunden. Eine Optimierung könnte in der Betrachtung mehrerer Atemzyklen bestehen, was auch zu aussagekräftigeren Ergebnissen führen könnte und dem realen Prozess des Rauchens mehr entspricht. == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). p8bikou5nvbivonomg86lbex7xjc7fa 106 172004 1115203 1109723 2026-10-05T09:34:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115203 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|24|35|Kurs=|}} mjb88w1krhsslmy4m4srvej0olsyzbi 106 172013 1115214 1109060 2026-10-05T09:36:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115214 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|25|Kurs=|}} nf0cz4sqesmw9nqq10ltwga2t70l3s7 106 172076 1115202 1109722 2026-10-05T09:34:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115202 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|24|33|Kurs=|}} 0e3epi0n4x99czjetzh15mdhmq6jdz6 106 172077 1115204 1109724 2026-10-05T09:34:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115204 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|24|36|Kurs=|}} ioa7wp9yd5yfkvs2jpjr3le6ewzn5jo 106 172081 1115201 1109721 2026-10-05T09:34:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115201 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|24|16|Kurs=|}} nyingvr9bzv2sbel9ez5vfilviak7vz 106 172083 1115212 1108720 2026-10-05T09:35:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115212 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|25|Kurs=|}} pdakthpp6f1uujihi2qh6x6f4imydg5 106 172084 1115209 1108721 2026-10-05T09:35:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115209 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|18|Kurs=|}} ftfrg5vnp391vufumns83fc7o85qr58 106 172085 1115210 1108722 2026-10-05T09:35:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115210 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|19|Kurs=|}} g00cvqs146o0bjg3js65kmhqgcixlg9 106 172086 1115208 1108723 2026-10-05T09:35:13Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115208 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|17|Kurs=|}} 7thhd8wzl7728qqudfdkuk8rzfxkqub 106 172087 1115207 1108724 2026-10-05T09:35:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115207 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|16|Kurs=|}} e1tgpkmhbbhjdo2ufezzplv71cm5f21 106 172088 1115206 1108725 2026-10-05T09:34:53Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115206 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|15|Kurs=|}} 0kg5njg597rg745uhs1ki1jv1udzrqj 106 172091 1115213 1108728 2026-10-05T09:36:03Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115213 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|31|Kurs=|}} 8r0fanls8upfvmftubtb1qxmd2om0pp 106 172104 1115211 1108741 2026-10-05T09:35:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115211 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|20|Kurs=|}} ttht84je2ndtojm6qfkmyu6qxn125z2 106 172115 1115215 1109061 2026-10-05T09:36:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115215 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|37|Kurs=|}} opg5f5bn06dzv1d4c2b4m6j1bcw20jz 106 172153 1115178 1114718 2026-10-04T20:30:56Z DieHenkels 22627 /* Endresultat */ Tippfehler korrigiert 1115178 wikitext text/x-wiki ==Begriffsklärung== === Was ist mathematische Modellbildung?=== ''Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten.''<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref> === Was ist ein Modell? === Ein Modell ist dabei gegeben durch innere Scheinbilder oder Repräsentatonen, die nicht zum Bereich der äußeren Gegenstände, sondern zu Vorstellungen von einem solchen realen Gegenstand gehören und ihnen daher auch in gewissen Grenzen etwas Willkürliches anhaftet (Sinngemäß nach Hertz, zitiert von Ortlieb<ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>). ==== Eigenschaften von Modellen ==== Somit lassen sich vereinfacht und verkürzt folgende Eigenschaften ableiten (Stachowiak, zitiert nach Saam <ref> Saam, N. J. (2009). Modellbildung. In Handbuch Methoden der Organisationsforschung: Quantitative und Qualitative Methoden (pp. 517-532). Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. </ref>): * '''Abbildungsmerkmal:''' Modelle repräsentieren die Realität, existieren jedoch nicht in der Realität * '''Verkürzungsmerkmal:''' Modelle beschreiben das Objekt nicht exakt, sondern stets vereinfacht * '''Pragmatisches Merkmal:''' Modelle verfolgen einen gewissen Zweck: Sie ersetzen eine nicht abbildbare Realität um Fragestellungen zu beantwortbar zu machen ==== Typisches Beispiele ==== * Betrachtungen in der Physik (Federpendel, Bewegungsgesetze,...) - Physik und Mathematische Modellbildung sind sehr eng miteinander verwoben * Populationsdynamiken und Ausbreitugnsschemata in der Biologie (vgl. Lotka-Volterra Modell) * Bewegungsanalysen und Optimierungen in den Sportwissenschaften * Untersuchungen von Transport- und Umweltprozessen in Biologie, Chemie, Physik, Technik,... * Bedarfs- und Verbrauchs- und Verhaltensanalysen in Geisteswissenschaften === Mathematische Modelle === Mathematische Modelle werden gemessen und bewertet anhand <ref> Ortlieb, C. P., von Dresky, C., Gasser, I., & Günzel, S. (2013). Mathematische Modellierung. Springer Fachmedien Wiesbaden. </ref>: * '''Zulässigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte in sich widerspruchsfrei sein. * '''Richtigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte im Vergleich mit der Realität keine Widersprüche zu offensichtlich richtigen Tatsachen aufweisen. * '''Zweckmäßigkeit:''' Ein (mathematisches) Modell sollte genau den Detailgrad beinhalten, den es zum Erfüllen des Zwecks benötigt, nicht mehr und nicht weniger. ==== Gegenbeispiele für mathematische Modelle ==== Gegenbeispiele wären: * Ein nicht zulässiges Modell könnte bei einer Betrachtung einer Punktmasse im Raum dennoch Luftwiederstände berücksichtigen (Punkte haben kein Volumen) * Ein nicht richtiges Modell könnte bei der Modellierung von Transportprozessen von Schadstoffen die Massenerhaltung vernachlässigen. * Ein nicht zweckmäßiges Modell könnte bei dem Versuch den perfekten Abwurfwinkel beim Speerwurf die Krümmung der Erdpberfläche berücksichtigen. ==== Bemerkung - Kriterien ==== Die Kriterien, insbesondere Richtigkeit und Zweckmäßigkeit, sind nicht 100% operational. Einerseits fordert die Richtigkeit, keine bekannten Tatsachen auszulassen, andererseits dürfen hinsichtlich einer passenden Zweckmäßigkeit auch nur ausreichend viele Details integriert werden). ==Der Modellbildungszyklus== Wie kommt man nun von einer Realen Situation, die ein Problem aufwirft zu einem adäquaten mathematischen Modell? Dazu hat sich als (möglichst allgemeine Vorgehensweise) der Modellbildungszyklus ergeben: [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] ===Verlauf des MBZ === Der Modellbildugnszyklus beschreibt schematisch die iterative Erstellung einer mathematischen Modellbildung: * Ausgangspunkt ist eine reale Situation, die ein Problem aufwirft, die von dem mathematischen Modell adressiert werden soll * Dieses Problem wird inhaltlich erfasst, anschliessend mathematisch Übersetzt (Betrachten von Gleichungen, Funktionen, Geometrischen Objekten,...) * Durch das Betrachten von mathematischen Objekten können über passende Operationen deduktiv Resultate geschlussfolgert werden * Diese Resultate werden mit der Realsituation abgeglichen * Aus dem Vergleich werden mögliche Optimierungen und Limitationen des Modells abgeleitet * Durch die Limitationen werden kann das Modell weiterentwickelt werden Diese Schritte können/müssen dabei mehrfach durchlaufen werden. Die Integration von computergestützter Software ist in der mathematischen Modellbildung definitionsgemäss nicht zwigend erforderlich, für die meisten anwendungsbezogenen Modellierungen jedoch unumgänglich. ==Konkretes Beispiel einer Mathematischen Modellbildung== [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Radioaktivit%C3%A4t_und_Risikoliteralit%C3%A4t]] [[Datei:Screenshot 2D Ansicht Resultate.png|miniatur|alternativtext=Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags|Ansicht der möglichen Auftreffpunkte des radioaktiven Niederschlags]] [[File:Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion.gif|thumb|Das GIF zeigt die Zeitliche Abhängigkeit der Risikofunktion]] === Ziel der Modellierung === Ziel in dieser Modellierung war es, ein Modell zur räumlichen und zeitlichen Ausbreitung einer radioaktiv belasteten Wolke, sowie dessen Rain-Out, infolge einer Reaktorkatastrophe am (mittlerweile abgeschalteten) Kernkraftwerk in Philippsburg zu beschreiben. Unter zu Hilfenahme von Messwerten von dem Reaktorunglück in Tschernobyl und den Halbwertszeiten des radioaktiven Materials wurde der zeitliche Zerfall erfasst. Der Transport von radioaktiven Material wurde durch eine Kugel im <math> \mathbb{R}^3 </math> modelliert. Diese bewegt sich gemäss einer variablen Windrichtung (gegeben durch Winkel <math> \alpha </math>) und regnet sich nach einer gewissen Durchschnittsdauer ab. === Endresultat === Es wurde in drei Modellbildungszyklen eine Funktion zur Beschreibung der radioaktiven Belastung (repräsentativ für das Risiko) abgeleitet: <math>u(x,y,t,\alpha)=\frac{1480\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{7}{10.000}\cdot (x^2+y^2)}+\frac{40\cdot e^{-\frac{ln(2)}{30a} \cdot t}}{1+\frac{1}{7.500}\cdot ((x-1080cos(\alpha))^2+(y-1080sin(\alpha))^2)}</math> Letztlich erhält man also eine Funktion die in ihrem Ausgabewert <math>z=u(x,y,t,\alpha)</math> abhängig von 4 Eingabewerten <math>x, y, t, \alpha </math> ist. ==Modellbildung in der Schule== ===Einbindung in den Lehrplan=== Die mathematische Modellbildung ist stark in den Mathematik-Lehrplan für Schulen in Rheinland-Pfalz integriert (hier wird sich an dem Lehrplan für Sekundarstufe II orientiert <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref>). Im Bezug zu Problemlösen im Mathematikunterricht und Mathematik im fachübergreifenden Kontext, sollen Anwendungsbeispiele Einzug halten, die Schülerinnen und Schülern aus anderen Fächern bekannt sind. In diesem Zusammenhang wird mathematische Modellbildung als Methode zur Lösung von solchen Anwendungsproblemen genannt. ===Konkreter Themenbezug=== Zu folgenden mathematischen Themengebieten wird explizit Mathematischen Modellbildung zur unterrichtlichen Umsetzung erwähnt: *Exponentialfunktionen (Wachstums- und Zerfallsprozesse *Matrizenrechnung (Input-Output-Analysen, Zustandsübergangsprozesse, Populationsentwicklung,...) *Differential- und Integralrechnung (lineare oder logistische Wachstumsprozesse) Auch der Einsatz von computergestützten Hilfs- und Lösungsmitteln im Zuge der Modellbildung wird betont. (Bemerke: Auch im Lehrplan wird ein vergleichbarer Modellbildungszyklus vorgestellt und beschrieben. Bei Bedarf kann dieser auf Seite 15-16 <ref> Ministerium für Bildung, Wissensachft, Weiterbildung und Kultur (2015), Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe) </ref> nachgelesen werden) ===Zugang zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung=== Durch die Möglichkeit fachübergreifende Fragestellungen zu behandeln und Prozesse der Realität in den Blick zu nehmen, kann mathematische Modellbildung die Brücke zur Bildung für Nachhaltigen Entwicklung (BNE) schlagen. "Die BNE zielt grundsätzlich darauf ab, es jedem und jeder Einzelnen zu ermöglichen, die Folgen des eigenen Handelns auf die Welt sowie intra- und intergenerationell zu verstehen, verantwortungsvolle Entscheidungen zu treffen und aktiv zu werden." <ref> Ministerium für Bildung. Bildung für nachhaltige Entwicklung. Online abrufbar unter: https://bm.rlp.de/unsere-schwerpunkte/bildung-fuer-nachhaltige-entwicklung </ref> Mathematische Modellbildung kann unter praktischer Anwendung von gelernten Inhalten im Schulunterricht zu BNE beitragen, indem eben gezielt Probleme adressiert werden und von Schülerinnen und Schülern eigenständig untersucht werden. ==Ziel und Organisation des Seminars== ===Ziel und Aufgabe=== In Kleingruppen (3-4 Personen) sollen aussermathematische Fragestellungen mit einer eigenen mathematischen Modellbildung behandelt werden. Dazu sollen drei Modellbildungszyklen mit unterschiedlichem Grad an Vereinfachung und unterschiedlicher Mathematischen Grundlage erstellt werden: * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 1 (Mittelstufe) * Zyklus: Mathematik der Sekundarstufe 2 (Oberstufe) * Zyklus: Universitätsmathematik In jedem Zyklus sollen computergestützte Untersuchungen und Betrachtungen Einzug erhalten. Somit bietet es sich an in insgesamt auch drei verschiedene Programme (Tabellenkalkulation, GeoGebra, RStudio, Maxima,...) zu integrieren - an manchen stellen lässt sich dies gar nicht vermeiden. ===Themenwahl=== Das Thema sollte einen weltlichen Bezug haben. Am besten eigenen sich Themen aus dem jeweiligen Zweitfach (s. Verbindung zu anderen Schulfächern im Lehrplan). Das Thema sollte nachhaltige Entwicklung im Rahmen der Sustainable Development Goals adressieren. Siehe dazu: https://www.bundesumweltministerium.de/themen/nachhaltigkeit/nachhaltigkeitsziele-sdgs Vorzugsweise: Räumliche Risikobetrachtungen in Desaster- und Katastrophenszenarien. Das Thema sollte sich nicht mit denen der vergangenen Semestern doppeln. Zur Orientierung und Inspiration finden sich hier die Projekte der vergangenen Semester: :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' ===Portfolio=== Während des Semesters soll in Gruppenarbeit die Modellbildung durchgeführt werden. Diese wird schriftlich in einem Portfolio festgehalten. Dies Portfolio wird, genau wie dieser Artikel auch, in einem Wikiversity Artikel dokumentiert. Dieser sollte folgendes enthalten: * Einleitung: Beschreibung und Einordnung des Themas & welche(s) SDG wird adressiert und warum? * Ziel der Modellierung: Welches Problem wird in der Modellierung / den einzelnen Zyklen konkret angegangen? * Zyklus 1-3 ** Mathematisches Modell (welche Mathematischen Objekte werden betrachtet, wie ergeben die sich,...) ** Ergebnisse (Ableiten von Resultaten aus dem Modell) ** Bewertung der Ergebnisse ** Grenzen und Limitationen ** Ausblick für nächsten Zyklus (welche Limitationen und Probleme aus dem Zyklus werden im folgenden adressiert?) In allen Punkten der Modellzyklen können Programme computergestützte Tools verwendet werden. Zur Erstellung von Wiki-Seiten ist folgende Seite hilfreich: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung ===Prüfung=== Die Prüfung gliedert sich in zwei Aspekte: * '''Vorstellung von ausgewählten Teilen aus dem eigenen Portfolio''' - diese werden von den Prüfer:innen aus dem Portfolio der Studierenden ausgewählt. * '''Diskussion und Fragen''' der Prüfer:innen zu dem Portfolio, z.B. zu Teilen des Portfolios, die in der Vorstellung nicht behandelt werden können. Ein Portfolio kann aus Zeitgründen nie vollständig in der Prüfung dargestellt werden. In der mündlichen Portfolio-Prüfung wird geprüft, ob *das eigene Modell verstanden ist, *das eigene Modell kritisch hinterfragt werden kann, *die Limitationen des Modells begründet und nachvollziehbar wiedergegeben werden können, *die Übergänge zwischen den Zyklen beschrieben und begründet werden können, *die technische Umsetzung reproduziert und erklärt werden kann, *... . Es ist also wichtig zu wissen, was wie an welcher Stelle und mit welchem Zweck in der Modellierung gemacht wurde! Das Portfolio (Wiki-Seite) wird somit konkret vorgestellt. Eine Präsentation des Portfolio kann automatisch mit Wiki2Reveal erstellt werden. === Unterstützungsangebot === * Das Unterstützungsangebot erfolgt in der Lehrveranstaltung zur "Mathematischen Modellbildung". * Eine individuelle Sonderbehandlung für einzelne Studierende, die das Angebot der Vorlesung nicht nutzen und kurz vor Prüfungsbeginn noch "schnell" ein Portfolio zusammenstellen wollen, ist aus zeitlichen Gründen kurz vor der Prüfung nicht möglich. * Portfolioprüfungen der Lehrveranstaltung beziehen sich immer auf das erstellte Portfolio im laufende Semester und bei Wiederholungsprüfungen auf das Semester, in dem Portfolio erstellt wurde. * Eine Prüfung kann nur zu dem eigenen erstellten Portfolio in der Lehrveranstaltung abgelegt werden, an dessen Erstellung man aktiv mitgearbeitet hat. ===Ablauf des Seminars=== Der Seminarablauf über das Semester gestaltet sich grob wie folgt: * 1. Woche (19.10.): Einführungsveranstaltung + Gruppenfindung * 2. Woche (26.10.): Themenfindung * 3. Woche (02.11.): Themenfindung + Zyklen festlegen * 4. Woche (09.11.): Zyklen festlegen * 5. Woche (16.11.): Kurzvorstellung der Themen und Zyklen (5 Minuten pro Gruppe) Ab Woche 6 (23.11.) bis Ende des Semesters wird gemeinsam an den Modellen und dem Portfolio gearbeitet. Empfehlenswert wäre es, die letzten 2-3 Wochen für Finalisierungsarbeiten zu nutzen und entsprechend frühzeitig zu planen! Ausschliesslich während der Seminarzeiten an dem Modell und Portfolio zu arbeiten wird nicht ausreichen! Die Kurzpräsentationen am 16.11. umfassen den aktuellen Stand der Überlegungen und sind noch unter keinen Umständen verbindlich. Stattdessen dient es einfach zur Grundlage von gemeinsamer Diskussion und zur Einbringung von weiteren Ideen. =Hilfreiche Links= ===Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. ===Editierungshilfen=== * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] * Textgestaltung in Wikis: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Textgestaltung =Wiki2Reveal= * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung2627|Kurs:Mathematische Modellbildung2627]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&author=&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung2627&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2026-27%20Wintersemester&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2026-27%20Wintersemester&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2lpdj5pb2n0q85dbcmmp0mb8z6c586z 106 172191 1115205 1109399 2026-10-05T09:34:43Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115205 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|14|Kurs=|}} n9l4bm8hd6ttrx6rtu05vgohvtvnnc9 106 172192 1115216 1109400 2026-10-05T09:36:33Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1115216 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|38|Kurs=|}} 8w4tf9og69a6ksj4wzxqydmg1ns5y4j 108 172705 1115170 1115167 2026-10-04T16:49:44Z Erfurth 5878 /* Orte */ 1115170 wikitext text/x-wiki ===Personen=== [[Wikipedia:de:Gertrud Lincke|Gertrud Lincke]] (1888–1976) war eine Dresdner Architektin und Pionierin des bezahlbaren Wohnungsbaus für alleinstehende und berufstätige Frauen. Sie entwarf funktionale Wohnungen mit flexibel nutzbaren Räumen und setzte sich mit der „Frauenwohnungshilfe“ für neue Wege der Finanzierung ein. Ihr wichtigstes erhaltenes Bauwerk ist das 1928 eingeweihte und 1931 erweiterte Rentnerinnenheim in der Dresdner Gabelsbergerstraße [[Wikipedia:de:Rainer Fetscher|Rainer Fetscher]] (1895–1945) war ein Arzt und Hochschullehrer, der ab 1922 in Dresden zu Hygiene und Erbbiologie arbeitete. Er leitete eine Ehe- und Sexualberatungsstelle und legte eine umfangreiche „erbbiologische Kartei“ an. Nach Konflikten mit dem NS-Regime verlor er seine Hochschulstellung; später unterstützte er nachweislich Verfolgte. Am 8. Mai 1945 wurde er in Dresden erschossen. Wer ihn erschoss, ist nicht zweifelsfrei geklärt. '''Die problematische Ehrung''': Nach dem Krieg wurde Fetscher vor allem als humanistischer Arzt und Antifaschist gewürdigt; in Dresden tragen unter anderem die Fetscherstraße und der Fetscherplatz seinen Namen. Dieses Bild lässt einen wesentlichen Teil seiner Biografie aus: Fetscher vertrat eugenische Vorstellungen, befürwortete Sterilisationen und begrüßte zunächst das NS-Gesetz zur Verhütung „erbkranken Nachwuchses“. ===Orte=== 1. Seniorinnenheim "Frauenwohungshilfe Ortsgruppe Dresden" (Gabelsberger Straße 27a–29): Das Haus ist ein Beispiel für die Neue Sachlichkeit im Dresden der 1920er Jahre: nicht dekorativ-repräsentativ, sondern funktional, wirtschaftlich, hygienisch und auf soziale Bedürfnisse ausgerichtet. In dieser Zeit entstanden in Dresden zahlreiche Wohn-, Verwaltungs-, Schul- und Industriebauten, die diese Prinzipien vertraten 2. Goldenes Dach Das auffällige goldene Dach an der Dürerstraße 102a in der Dresdner Johannstadt erinnert an die ehemalige Blattgoldschlägerei Ferdinand Müller, die seit 1936 hier ansässig war und deren Vorgängerbetrieb auf das Jahr 1830 zurückging. Nach der Einstellung der Produktion im Jahr 2002 erwarb die Wohnungsgenossenschaft Johannstadt (WGJ) das Gebäude 2008/2009 und ließ es umfassend zu einem reinen Wohnhaus im Niedrigenergie- beziehungsweise KfW-40-Standard umbauen. Zugleich bewahrte die WGJ die Erinnerung an den Ort: Neben dem goldenen Dach erinnern kleine Fassadendetails und vor dem Haus aufgestellte Steine, auf denen früher Blattgold geschlagen wurde, an die Tradition der Blattgoldschlägerei. Das aus dem Gold der Firma gefertigte Blattgold wurde unter anderem für die Krone am Zwinger, die Fama auf der Kunstakademie und Teile des Frauenkirchenaltars verwendet. 3. Dürerstraße 90 4. Volksbad Johannstadt Das Volksbad Johannstadt in der Kreutzerstraße 9 war eine öffentliche Badeanstalt zur regelmäßigen Körperpflege. Es verfügte über 12 Wannen und 12 Brausen und bot vor allem Menschen ohne eigenes Bad in der Wohnung die Möglichkeit, sich mit warmem Wasser zu waschen. Für die dicht bebaut gewachsene Johannstadt war das Bad damit ein wichtiger sozialer und hygienischer Ort: Es machte Körperpflege für breite Bevölkerungskreise erschwinglich und trug zur öffentlichen Gesundheitsvorsorge bei. 5. Jasmatzi Zigarettenfabrik Die Blasewitzer Straße war nicht der spätere Hauptbau, sondern die Gründungs- und Wachstumsstätte von Jasmatzi – der Ort, an dem aus dem Zigarettenmacher Georg Jasmatzi, nachdem seine Sperrfrist von 10 Jahren bei der Compagnie Laferme abgelaufen war, ein industrieller Fabrikant wurde und an dem die Firma unter dem Namen „Georg Jasmatzi & Söhne“ mit seinen Söhnen als Gebrüdern firmierte. 6. Trinitatiskirche Die Trinitatiskirche am Trinitatisplatz ist eines der eindrucksvollsten Zeugnisse der Kriegszerstörung in Dresden-Johannstadt. Erbaut wurde sie 1891 bis 1894 im Stil der Neorenaissance; ihr rund 65 Meter hoher Turm prägt bis heute das Stadtbild des Stadtteils. Nach einer umfassenden Sanierung von 2019 bis 2021 wurde die Ruine 2022 als Jugendzentrum Jugendkirche Dresden wiedereröffnet. Die erhaltenen Mauern, der Turm sowie die gerettete Uhr und das Geläut machen den Ort zu einem lebendigen Mahnmal 7. Johannstadt auf Stehlen „Johannstadt auf Tafeln“ ist ein von Bewohnerinnen und Bewohnern initiiertes Stadtteilprojekt, das die wechselvolle Geschichte der nördlichen Johannstadt an zwölf Informationstafeln erlebbar macht. Ausgangs- und Zielpunkt des zugehörigen historischen Rundwegs ist der Trinitatisplatz. Eine offene Arbeitsgruppe aus Anwohnerinnen und Anwohnern, dem Johannstadtarchiv, dem Quartiersmanagement und Landschaftsarchitektinnen und -architekten sammelte Texte, Fotos und historische Informationen. Die Inhalte sind online auch in Englisch, Russisch und Arabisch zugänglich. 8. Carolahaus Das Carolahaus war das erste öffentliche Krankenhaus in der Dresdner Johannstadt. Es wurde 1876 auf Initiative des Albertvereins begonnen und 1878 eröffnet; benannt war es nach dessen Präsidentin, der sächsischen Königin Carola. Der von Stadtbaurat Theodor Friedrich entworfene Gebäudekomplex galt für seine Zeit als modern: Mehrere Funktionsgebäude waren durch lange, überdachte Wandelgänge verbunden. So konnten Patientinnen und Patienten sowie Personal geschützt und trocken zwischen den Häusern, Sälen und Nebenräumen des weitläufigen Geländes zwischen Gerokstraße, Stephanienstraße, Tatzberg und Arnoldstraße wechseln. 9. Römmler & Jonas 10. Zigarettenfabrik KOSMOS ===Medien=== <gallery mode="packed" widths="220" heights="160"> File:Dresden%2C_Fetscherstraße_67%2C_17.6.2.40-060886.jpg File:Plaza_de_Striesen_bella_época_Dresde.jpg File:20070404030DR_Dresden-Johannstadt_Blasewitzer_Straße_9_Entree.jpg File:Trinitatiskirche_Dresden.JPG </gallery> 0ufjow8rz7etq3u82cy2zj9rn1pqqqo 1115171 1115170 2026-10-04T17:33:14Z Erfurth 5878 1115171 wikitext text/x-wiki ===Personen=== [[Wikipedia:de:Gertrud Lincke|Gertrud Lincke]] (1888–1976) war eine Dresdner Architektin und Pionierin des bezahlbaren Wohnungsbaus für alleinstehende und berufstätige Frauen. Sie entwarf funktionale Wohnungen mit flexibel nutzbaren Räumen und setzte sich mit der „Frauenwohnungshilfe“ für neue Wege der Finanzierung ein. Ihr wichtigstes erhaltenes Bauwerk ist das 1928 eingeweihte und 1931 erweiterte Rentnerinnenheim in der Dresdner Gabelsbergerstraße [[Wikipedia:de:Rainer Fetscher|Rainer Fetscher]] (1895–1945) war ein Arzt und Hochschullehrer, der ab 1922 in Dresden zu Hygiene und Erbbiologie arbeitete. Er leitete eine Ehe- und Sexualberatungsstelle und legte eine umfangreiche „erbbiologische Kartei“ an. Nach Konflikten mit dem NS-Regime verlor er seine Hochschulstellung; später unterstützte er nachweislich Verfolgte. Am 8. Mai 1945 wurde er in Dresden erschossen. Wer ihn erschoss, ist nicht zweifelsfrei geklärt. '''Die problematische Ehrung''': Nach dem Krieg wurde Fetscher vor allem als humanistischer Arzt und Antifaschist gewürdigt; in Dresden tragen unter anderem die Fetscherstraße und der Fetscherplatz seinen Namen. Dieses Bild lässt einen wesentlichen Teil seiner Biografie aus: Fetscher vertrat eugenische Vorstellungen, befürwortete Sterilisationen und begrüßte zunächst das NS-Gesetz zur Verhütung „erbkranken Nachwuchses“. ===Orte=== '''1. Gebäude "Frauenwohungshilfe Ortsgruppe Dresden" (Gabelsberger Straße 27a–29):''': Das Haus ist ein Beispiel für die Neue Sachlichkeit im Dresden der 1920er Jahre: nicht dekorativ-repräsentativ, sondern funktional, wirtschaftlich, hygienisch und auf soziale Bedürfnisse ausgerichtet. In dieser Zeit entstanden in Dresden zahlreiche Wohn-, Verwaltungs-, Schul- und Industriebauten, die diese Prinzipien vertraten '''2. Goldenes Dach''': Das auffällige goldene Dach an der Dürerstraße 102a in der Dresdner Johannstadt erinnert an die ehemalige Blattgoldschlägerei Ferdinand Müller, die seit 1936 hier ansässig war und deren Vorgängerbetrieb auf das Jahr 1830 zurückging. Nach der Einstellung der Produktion im Jahr 2002 erwarb die Wohnungsgenossenschaft Johannstadt (WGJ) das Gebäude 2008/2009 und ließ es umfassend zu einem reinen Wohnhaus im Niedrigenergie- beziehungsweise KfW-40-Standard umbauen. Zugleich bewahrte die WGJ die Erinnerung an den Ort: Neben dem goldenen Dach erinnern kleine Fassadendetails und vor dem Haus aufgestellte Steine, auf denen früher Blattgold geschlagen wurde, an die Tradition der Blattgoldschlägerei. Das aus dem Gold der Firma gefertigte Blattgold wurde unter anderem für die Krone am Zwinger, die Fama auf der Kunstakademie und Teile des Frauenkirchenaltars verwendet. '''3. Dürerstraße 90''': '''4. Volksbad Johannstadt''': Das Volksbad Johannstadt in der Kreutzerstraße 9 war eine öffentliche Badeanstalt zur regelmäßigen Körperpflege. Es verfügte über 12 Wannen und 12 Brausen und bot vor allem Menschen ohne eigenes Bad in der Wohnung die Möglichkeit, sich mit warmem Wasser zu waschen. Für die dicht bebaut gewachsene Johannstadt war das Bad damit ein wichtiger sozialer und hygienischer Ort: Es machte Körperpflege für breite Bevölkerungskreise erschwinglich und trug zur öffentlichen Gesundheitsvorsorge bei. '''5. Jasmatzi Zigarettenfabrik''': Die Blasewitzer Straße war nicht der spätere Hauptbau, sondern die Gründungs- und Wachstumsstätte von Jasmatzi – der Ort, an dem aus dem Zigarettenmacher Georg Jasmatzi, nachdem seine Sperrfrist von 10 Jahren bei der Compagnie Laferme abgelaufen war, ein industrieller Fabrikant wurde und an dem die Firma unter dem Namen „Georg Jasmatzi & Söhne“ mit seinen Söhnen als Gebrüdern firmierte. '''6. Trinitatiskirche''': Die Trinitatiskirche am Trinitatisplatz ist eines der eindrucksvollsten Zeugnisse der Kriegszerstörung in Dresden-Johannstadt. Erbaut wurde sie 1891 bis 1894 im Stil der Neorenaissance; ihr rund 65 Meter hoher Turm prägt bis heute das Stadtbild des Stadtteils. Nach einer umfassenden Sanierung von 2019 bis 2021 wurde die Ruine 2022 als Jugendzentrum Jugendkirche Dresden wiedereröffnet. Die erhaltenen Mauern, der Turm sowie die gerettete Uhr und das Geläut machen den Ort zu einem lebendigen Mahnmal '''7. Johannstadt auf Stehlen''': „Johannstadt auf Tafeln“ ist ein von Bewohnerinnen und Bewohnern initiiertes Stadtteilprojekt, das die wechselvolle Geschichte der nördlichen Johannstadt an zwölf Informationstafeln erlebbar macht. Ausgangs- und Zielpunkt des zugehörigen historischen Rundwegs ist der Trinitatisplatz. Eine offene Arbeitsgruppe aus Anwohnerinnen und Anwohnern, dem Johannstadtarchiv, dem Quartiersmanagement und Landschaftsarchitektinnen und -architekten sammelte Texte, Fotos und historische Informationen. Die Inhalte sind online auch in Englisch, Russisch und Arabisch zugänglich. '''8. Carolahaus''': Das Carolahaus war das erste öffentliche Krankenhaus in der Dresdner Johannstadt. Es wurde 1876 auf Initiative des Albertvereins begonnen und 1878 eröffnet; benannt war es nach dessen Präsidentin, der sächsischen Königin Carola. Der von Stadtbaurat Theodor Friedrich entworfene Gebäudekomplex galt für seine Zeit als modern: Mehrere Funktionsgebäude waren durch lange, überdachte Wandelgänge verbunden. So konnten Patientinnen und Patienten sowie Personal geschützt und trocken zwischen den Häusern, Sälen und Nebenräumen des weitläufigen Geländes zwischen Gerokstraße, Stephanienstraße, Tatzberg und Arnoldstraße wechseln. '''9. Römmler & Jonas''': Römmler & Jonas war eine 1871 von Emil Römmler und Leopold Erasmus Jonas in Dresden gegründete Kunstdruckanstalt mit Licht- und Buchdruckerei. Sie wurde vor allem durch hochwertige Lichtdrucke bekannt: Stadtansichten, Architekturaufnahmen, Kunst-Reproduktionen, Bildmappen, Kalender und frühe Postkarten. '''10. Zigarettenfabrik KOSMOS''': ===Medien=== <gallery mode="packed" widths="220" heights="160"> File:Dresden%2C_Fetscherstraße_67%2C_17.6.2.40-060886.jpg File:Plaza_de_Striesen_bella_época_Dresde.jpg File:20070404030DR_Dresden-Johannstadt_Blasewitzer_Straße_9_Entree.jpg File:Trinitatiskirche_Dresden.JPG </gallery> hjyyeker1389im66qvgwdin1hkqoc9m 1115173 1115171 2026-10-04T18:02:34Z Erfurth 5878 /* Orte */ 1115173 wikitext text/x-wiki ===Personen=== [[Wikipedia:de:Gertrud Lincke|Gertrud Lincke]] (1888–1976) war eine Dresdner Architektin und Pionierin des bezahlbaren Wohnungsbaus für alleinstehende und berufstätige Frauen. Sie entwarf funktionale Wohnungen mit flexibel nutzbaren Räumen und setzte sich mit der „Frauenwohnungshilfe“ für neue Wege der Finanzierung ein. Ihr wichtigstes erhaltenes Bauwerk ist das 1928 eingeweihte und 1931 erweiterte Rentnerinnenheim in der Dresdner Gabelsbergerstraße [[Wikipedia:de:Rainer Fetscher|Rainer Fetscher]] (1895–1945) war ein Arzt und Hochschullehrer, der ab 1922 in Dresden zu Hygiene und Erbbiologie arbeitete. Er leitete eine Ehe- und Sexualberatungsstelle und legte eine umfangreiche „erbbiologische Kartei“ an. Nach Konflikten mit dem NS-Regime verlor er seine Hochschulstellung; später unterstützte er nachweislich Verfolgte. Am 8. Mai 1945 wurde er in Dresden erschossen. Wer ihn erschoss, ist nicht zweifelsfrei geklärt. '''Die problematische Ehrung''': Nach dem Krieg wurde Fetscher vor allem als humanistischer Arzt und Antifaschist gewürdigt; in Dresden tragen unter anderem die Fetscherstraße und der Fetscherplatz seinen Namen. Dieses Bild lässt einen wesentlichen Teil seiner Biografie aus: Fetscher vertrat eugenische Vorstellungen, befürwortete Sterilisationen und begrüßte zunächst das NS-Gesetz zur Verhütung „erbkranken Nachwuchses“. ===Orte=== '''1. Gebäude "Frauenwohungshilfe Ortsgruppe Dresden" (Gabelsberger Straße 27a–29)''': Das Haus ist ein Beispiel für die Neue Sachlichkeit im Dresden der 1920er Jahre: nicht dekorativ-repräsentativ, sondern funktional, wirtschaftlich, hygienisch und auf soziale Bedürfnisse ausgerichtet. In dieser Zeit entstanden in Dresden zahlreiche Wohn-, Verwaltungs-, Schul- und Industriebauten, die diese Prinzipien vertraten '''2. Goldenes Dach''': Das auffällige goldene Dach an der Dürerstraße 102a in der Dresdner Johannstadt erinnert an die ehemalige Blattgoldschlägerei Ferdinand Müller, die seit 1936 hier ansässig war und deren Vorgängerbetrieb auf das Jahr 1830 zurückging. Nach der Einstellung der Produktion im Jahr 2002 erwarb die Wohnungsgenossenschaft Johannstadt (WGJ) das Gebäude 2008/2009 und ließ es umfassend zu einem reinen Wohnhaus im Niedrigenergie- beziehungsweise KfW-40-Standard umbauen. Zugleich bewahrte die WGJ die Erinnerung an den Ort: Neben dem goldenen Dach erinnern kleine Fassadendetails und vor dem Haus aufgestellte Steine, auf denen früher Blattgold geschlagen wurde, an die Tradition der Blattgoldschlägerei. Das aus dem Gold der Firma gefertigte Blattgold wurde unter anderem für die Krone am Zwinger, die Fama auf der Kunstakademie und Teile des Frauenkirchenaltars verwendet. '''3. Dürerstraße 96''': Das Kulturdenkmal Dürerstraße 96 ist ein um 1895 errichteter Historismusbau. Die halboffene Bebauung ist dabei kein Zufall, sondern Ausdruck der damaligen städtebaulichen Ordnung: Die historische Bausatzung ermöglichte bzw. verlangte die Nutzung der Grundstückstiefe. Während das Vorderhaus repräsentativ zur Straße ausgerichtet war, konnten in Hof und Seitenflügeln Wohnungen, Lager, Werkstätten und kleine Gewerbebetriebe entstehen. Gerade in der Johannstadt gehörten solche Hinterhofnutzungen zum gewöhnlichen Stadtbild: Hinter den straßenseitigen Mietshäusern entstanden häufig kleine Betriebe, die Handwerk, Handel und Versorgung der Wohnbevölkerung sicherten. Das Vorderhaus mit Läden an der Dürerstraße und gewerblichen Flächen im Hof bildete somit eine funktionale Einheit aus Wohnen, Konsum und Arbeit. '''4. Volksbad Johannstadt''': Das Volksbad Johannstadt in der Kreutzerstraße 9 war eine öffentliche Badeanstalt zur regelmäßigen Körperpflege. Es verfügte über 12 Wannen und 12 Brausen und bot vor allem Menschen ohne eigenes Bad in der Wohnung die Möglichkeit, sich mit warmem Wasser zu waschen. Für die dicht bebaut gewachsene Johannstadt war das Bad damit ein wichtiger sozialer und hygienischer Ort: Es machte Körperpflege für breite Bevölkerungskreise erschwinglich und trug zur öffentlichen Gesundheitsvorsorge bei. '''5. Jasmatzi Zigarettenfabrik''': Die Blasewitzer Straße war nicht der spätere Hauptbau, sondern die Gründungs- und Wachstumsstätte von Jasmatzi – der Ort, an dem aus dem Zigarettenmacher Georg Jasmatzi, nachdem seine Sperrfrist von 10 Jahren bei der Compagnie Laferme abgelaufen war, ein industrieller Fabrikant wurde und an dem die Firma unter dem Namen „Georg Jasmatzi & Söhne“ mit seinen Söhnen als Gebrüdern firmierte. '''6. Trinitatiskirche''': Die Trinitatiskirche am Trinitatisplatz ist eines der eindrucksvollsten Zeugnisse der Kriegszerstörung in Dresden-Johannstadt. Erbaut wurde sie 1891 bis 1894 im Stil der Neorenaissance; ihr rund 65 Meter hoher Turm prägt bis heute das Stadtbild des Stadtteils. Nach einer umfassenden Sanierung von 2019 bis 2021 wurde die Ruine 2022 als Jugendzentrum Jugendkirche Dresden wiedereröffnet. Die erhaltenen Mauern, der Turm sowie die gerettete Uhr und das Geläut machen den Ort zu einem lebendigen Mahnmal '''7. Johannstadt auf Stehlen''': „Johannstadt auf Tafeln“ ist ein von Bewohnerinnen und Bewohnern initiiertes Stadtteilprojekt, das die wechselvolle Geschichte der nördlichen Johannstadt an zwölf Informationstafeln erlebbar macht. Ausgangs- und Zielpunkt des zugehörigen historischen Rundwegs ist der Trinitatisplatz. Eine offene Arbeitsgruppe aus Anwohnerinnen und Anwohnern, dem Johannstadtarchiv, dem Quartiersmanagement und Landschaftsarchitektinnen und -architekten sammelte Texte, Fotos und historische Informationen. Die Inhalte sind online auch in Englisch, Russisch und Arabisch zugänglich. '''8. Carolahaus''': Das Carolahaus war das erste öffentliche Krankenhaus in der Dresdner Johannstadt. Es wurde 1876 auf Initiative des Albertvereins begonnen und 1878 eröffnet; benannt war es nach dessen Präsidentin, der sächsischen Königin Carola. Der von Stadtbaurat Theodor Friedrich entworfene Gebäudekomplex galt für seine Zeit als modern: Mehrere Funktionsgebäude waren durch lange, überdachte Wandelgänge verbunden. So konnten Patientinnen und Patienten sowie Personal geschützt und trocken zwischen den Häusern, Sälen und Nebenräumen des weitläufigen Geländes zwischen Gerokstraße, Stephanienstraße, Tatzberg und Arnoldstraße wechseln. '''9. Römmler & Jonas''': Römmler & Jonas war eine 1871 von Emil Römmler und Leopold Erasmus Jonas in Dresden gegründete Kunstdruckanstalt mit Licht- und Buchdruckerei. Sie wurde vor allem durch hochwertige Lichtdrucke bekannt: Stadtansichten, Architekturaufnahmen, Kunst-Reproduktionen, Bildmappen, Kalender und frühe Postkarten. '''10. Zigarettenfabrik KOSMOS''': Die Zigarettenfabrik Kosmos in der Fetscherstraße 70 ging aus der 1886 gegründeten „Kosmos-Tabak- & Cigarettenfabrik H. F. Wolf“ hervor. Ab 1927 firmierte sie als Kosmos AG, ab 1930 als Zigarettenfabrik Kosmos GmbH. Weltgeschichtlich bemerkenswert: Hier entstand 1934 die F 58, die erste in Deutschland zur Marktreife gebrachte Filterzigarette. Sie beruhte auf einem ungarischen Patent von Boris Aivaz aus dem Jahr 1924 und markierte einen Wendepunkt in der Zigarettenproduktion, die bis dahin überwiegend Filter und Mundstücke aus Kork oder Stroh verwendete. Nach Krieg und Enteignung wurde der stark zerstörte Betrieb als VEB Zigarettenfabrik Kosmos weitergeführt und gehörte ab 1959 als Werk IV zu den Vereinigten Dresdner Zigarettenfabriken. 1960 endete die Produktion in Dresden ===Medien=== <gallery mode="packed" widths="220" heights="160"> File:Dresden%2C_Fetscherstraße_67%2C_17.6.2.40-060886.jpg File:Plaza_de_Striesen_bella_época_Dresde.jpg File:20070404030DR_Dresden-Johannstadt_Blasewitzer_Straße_9_Entree.jpg File:Trinitatiskirche_Dresden.JPG </gallery> qr47x976j7eotuj40igkz8h83om4w55 1115174 1115173 2026-10-04T18:25:47Z Erfurth 5878 /* Orte */ 1115174 wikitext text/x-wiki ===Personen=== [[Wikipedia:de:Gertrud Lincke|Gertrud Lincke]] (1888–1976) war eine Dresdner Architektin und Pionierin des bezahlbaren Wohnungsbaus für alleinstehende und berufstätige Frauen. Sie entwarf funktionale Wohnungen mit flexibel nutzbaren Räumen und setzte sich mit der „Frauenwohnungshilfe“ für neue Wege der Finanzierung ein. Ihr wichtigstes erhaltenes Bauwerk ist das 1928 eingeweihte und 1931 erweiterte Rentnerinnenheim in der Dresdner Gabelsbergerstraße [[Wikipedia:de:Rainer Fetscher|Rainer Fetscher]] (1895–1945) war ein Arzt und Hochschullehrer, der ab 1922 in Dresden zu Hygiene und Erbbiologie arbeitete. Er leitete eine Ehe- und Sexualberatungsstelle und legte eine umfangreiche „erbbiologische Kartei“ an. Nach Konflikten mit dem NS-Regime verlor er seine Hochschulstellung; später unterstützte er nachweislich Verfolgte. Am 8. Mai 1945 wurde er in Dresden erschossen. Wer ihn erschoss, ist nicht zweifelsfrei geklärt. '''Die problematische Ehrung''': Nach dem Krieg wurde Fetscher vor allem als humanistischer Arzt und Antifaschist gewürdigt; in Dresden tragen unter anderem die Fetscherstraße und der Fetscherplatz seinen Namen. Dieses Bild lässt einen wesentlichen Teil seiner Biografie aus: Fetscher vertrat eugenische Vorstellungen, befürwortete Sterilisationen und begrüßte zunächst das NS-Gesetz zur Verhütung „erbkranken Nachwuchses“. ===Orte=== '''1. Gebäude "Frauenwohungshilfe Ortsgruppe Dresden" (Gabelsberger Straße 27a–29)''': Das Haus ist ein Beispiel für die Neue Sachlichkeit im Dresden der 1920er Jahre: nicht dekorativ-repräsentativ, sondern funktional, wirtschaftlich, hygienisch und auf soziale Bedürfnisse ausgerichtet. In dieser Zeit entstanden in Dresden zahlreiche Wohn-, Verwaltungs-, Schul- und Industriebauten, die diese Prinzipien vertraten '''2. Goldenes Dach''': Das auffällige goldene Dach an der Dürerstraße 102a in der Dresdner Johannstadt erinnert an die ehemalige Blattgoldschlägerei Ferdinand Müller, die seit 1936 hier ansässig war und deren Vorgängerbetrieb auf das Jahr 1830 zurückging. Nach der Einstellung der Produktion im Jahr 2002 erwarb die Wohnungsgenossenschaft Johannstadt (WGJ) das Gebäude 2008/2009 und ließ es umfassend zu einem reinen Wohnhaus im Niedrigenergie- beziehungsweise KfW-40-Standard umbauen. Zugleich bewahrte die WGJ die Erinnerung an den Ort: Neben dem goldenen Dach erinnern kleine Fassadendetails und vor dem Haus aufgestellte Steine, auf denen früher Blattgold geschlagen wurde, an die Tradition der Blattgoldschlägerei. Das aus dem Gold der Firma gefertigte Blattgold wurde unter anderem für die Krone am Zwinger, die Fama auf der Kunstakademie und Teile des Frauenkirchenaltars verwendet. '''3. Dürerstraße 96''': Das Kulturdenkmal Dürerstraße 96 ist ein um 1895 errichteter Historismusbau. Die halboffene Bebauung ist dabei kein Zufall, sondern Ausdruck der damaligen städtebaulichen Ordnung: Die historische Bausatzung ermöglichte bzw. verlangte die Nutzung der Grundstückstiefe. Während das Vorderhaus repräsentativ zur Straße ausgerichtet war, konnten in Hof und Seitenflügeln Wohnungen, Lager, Werkstätten und kleine Gewerbebetriebe entstehen. Gerade in der Johannstadt gehörten solche Hinterhofnutzungen zum gewöhnlichen Stadtbild: Hinter den straßenseitigen Mietshäusern entstanden häufig kleine Betriebe, die Handwerk, Handel und Versorgung der Wohnbevölkerung sicherten. Das Vorderhaus mit Läden an der Dürerstraße und gewerblichen Flächen im Hof bildete somit eine funktionale Einheit aus Wohnen, Konsum und Arbeit. '''4. Volksbad Johannstadt''': Das Volksbad Johannstadt in der Kreutzerstraße 9 war eine öffentliche Badeanstalt zur regelmäßigen Körperpflege. Es verfügte über 12 Wannen und 12 Brausen und bot vor allem Menschen ohne eigenes Bad in der Wohnung die Möglichkeit, sich mit warmem Wasser zu waschen. Für die dicht bebaut gewachsene Johannstadt war das Bad damit ein wichtiger sozialer und hygienischer Ort: Es machte Körperpflege für breite Bevölkerungskreise erschwinglich und trug zur öffentlichen Gesundheitsvorsorge bei. '''5. Jasmatzi Zigarettenfabrik''': Die Blasewitzer Straße war nicht der spätere Hauptbau, sondern die Gründungs- und Wachstumsstätte von Jasmatzi – der Ort, an dem aus dem Zigarettenmacher Georg Jasmatzi, nachdem seine Sperrfrist von 10 Jahren bei der Compagnie Laferme abgelaufen war, ein industrieller Fabrikant wurde und an dem die Firma unter dem Namen „Georg Jasmatzi & Söhne“ mit seinen Söhnen als Gebrüdern firmierte. '''6. Trinitatiskirche''': Die Trinitatiskirche am Trinitatisplatz ist eines der eindrucksvollsten Zeugnisse der Kriegszerstörung in Dresden-Johannstadt. Erbaut wurde sie 1891 bis 1894 im Stil der Neorenaissance; ihr rund 65 Meter hoher Turm prägt bis heute das Stadtbild des Stadtteils. Nach einer umfassenden Sanierung von 2019 bis 2021 wurde die Ruine 2022 als Jugendzentrum Jugendkirche Dresden wiedereröffnet. Die erhaltenen Mauern, der Turm sowie die gerettete Uhr und das Geläut machen den Ort zu einem lebendigen Mahnmal '''7. Johannstadt auf Stehlen''': „Johannstadt auf Tafeln“ ist ein von Bewohnerinnen und Bewohnern initiiertes Stadtteilprojekt, das die wechselvolle Geschichte der nördlichen Johannstadt an zwölf Informationstafeln erlebbar macht. Ausgangs- und Zielpunkt des zugehörigen historischen Rundwegs ist der Trinitatisplatz. Eine offene Arbeitsgruppe aus Anwohnerinnen und Anwohnern, dem Johannstadtarchiv, dem Quartiersmanagement und Landschaftsarchitektinnen und -architekten sammelte Texte, Fotos und historische Informationen. Die Inhalte sind online auch in Englisch, Russisch und Arabisch zugänglich. '''8. Carolahaus''': Das Carolahaus war das erste öffentliche Krankenhaus in der Dresdner Johannstadt. Es wurde 1876 auf Initiative des Albertvereins begonnen und 1878 eröffnet; benannt war es nach dessen Präsidentin, der sächsischen Königin Carola. Der von Stadtbaurat Theodor Friedrich entworfene Gebäudekomplex galt für seine Zeit als modern: Mehrere Funktionsgebäude waren durch lange, überdachte Wandelgänge verbunden. So konnten Patientinnen und Patienten sowie Personal geschützt und trocken zwischen den Häusern, Sälen und Nebenräumen des weitläufigen Geländes zwischen Gerokstraße, Stephanienstraße, Tatzberg und Arnoldstraße wechseln. '''9. Römmler & Jonas''': Römmler & Jonas war eine 1871 von Emil Römmler und Leopold Erasmus Jonas in Dresden gegründete Kunstdruckanstalt mit Licht- und Buchdruckerei. Sie wurde vor allem durch hochwertige Lichtdrucke bekannt: Stadtansichten, Architekturaufnahmen, Kunst-Reproduktionen, Bildmappen, Kalender und frühe Postkarten. '''10. Zigarettenfabrik KOSMOS''': Die Zigarettenfabrik Kosmos in der Fetscherstraße 70 ging aus der 1886 gegründeten „Kosmos-Tabak- & Cigarettenfabrik H. F. Wolf“ hervor. Ab 1927 firmierte sie als Kosmos AG, ab 1930 als Zigarettenfabrik Kosmos GmbH. Weltgeschichtlich bemerkenswert: Hier entstand 1934 die F 58, die erste in Deutschland zur Marktreife gebrachte Filterzigarette. Sie beruhte auf einem ungarischen Patent von Boris Aivaz aus dem Jahr 1924 und markierte einen Wendepunkt in der Zigarettenproduktion, die bis dahin überwiegend Filter und Mundstücke aus Kork oder Stroh verwendete. Nach Krieg und Enteignung wurde der stark zerstörte Betrieb als VEB Zigarettenfabrik Kosmos weitergeführt und gehörte ab 1959 als Werk IV zu den Vereinigten Dresdner Zigarettenfabriken. 1960 endete die Produktion in Dresden. Gegenüber ein WHH 17 mit 52m Höhe- ein Mittelganghaus: Um einen T-förmigen Flur gruppieren sich je Geschoss fünf Einraumwohnungen, insgesamt bis zu 240 Wohnungen pro Haus. Küche und Bad wurden als komplette, vorgefertigte Raumzellen eingebaut – ein typisches Beispiel für die industrialisierte DDR-Bauweise. ===Medien=== <gallery mode="packed" widths="220" heights="160"> File:Dresden%2C_Fetscherstraße_67%2C_17.6.2.40-060886.jpg File:Plaza_de_Striesen_bella_época_Dresde.jpg File:20070404030DR_Dresden-Johannstadt_Blasewitzer_Straße_9_Entree.jpg File:Trinitatiskirche_Dresden.JPG </gallery> qqmx30klfrtk1qeda15ik9e3fpqn2zx 1115175 1115174 2026-10-04T18:30:28Z Erfurth 5878 /* Orte */ 1115175 wikitext text/x-wiki ===Personen=== [[Wikipedia:de:Gertrud Lincke|Gertrud Lincke]] (1888–1976) war eine Dresdner Architektin und Pionierin des bezahlbaren Wohnungsbaus für alleinstehende und berufstätige Frauen. Sie entwarf funktionale Wohnungen mit flexibel nutzbaren Räumen und setzte sich mit der „Frauenwohnungshilfe“ für neue Wege der Finanzierung ein. Ihr wichtigstes erhaltenes Bauwerk ist das 1928 eingeweihte und 1931 erweiterte Rentnerinnenheim in der Dresdner Gabelsbergerstraße [[Wikipedia:de:Rainer Fetscher|Rainer Fetscher]] (1895–1945) war ein Arzt und Hochschullehrer, der ab 1922 in Dresden zu Hygiene und Erbbiologie arbeitete. Er leitete eine Ehe- und Sexualberatungsstelle und legte eine umfangreiche „erbbiologische Kartei“ an. Nach Konflikten mit dem NS-Regime verlor er seine Hochschulstellung; später unterstützte er nachweislich Verfolgte. Am 8. Mai 1945 wurde er in Dresden erschossen. Wer ihn erschoss, ist nicht zweifelsfrei geklärt. '''Die problematische Ehrung''': Nach dem Krieg wurde Fetscher vor allem als humanistischer Arzt und Antifaschist gewürdigt; in Dresden tragen unter anderem die Fetscherstraße und der Fetscherplatz seinen Namen. Dieses Bild lässt einen wesentlichen Teil seiner Biografie aus: Fetscher vertrat eugenische Vorstellungen, befürwortete Sterilisationen und begrüßte zunächst das NS-Gesetz zur Verhütung „erbkranken Nachwuchses“. ===Orte=== '''1. Gebäude "Frauenwohungshilfe Ortsgruppe Dresden" (Gabelsberger Straße 27a–29)''': Das Haus ist ein Beispiel für die Neue Sachlichkeit im Dresden der 1920er Jahre: nicht dekorativ-repräsentativ, sondern funktional, wirtschaftlich, hygienisch und auf soziale Bedürfnisse ausgerichtet. In dieser Zeit entstanden in Dresden zahlreiche Wohn-, Verwaltungs-, Schul- und Industriebauten, die diese Prinzipien vertraten '''2. Goldenes Dach''': Das auffällige goldene Dach an der Dürerstraße 102a in der Dresdner Johannstadt erinnert an die ehemalige Blattgoldschlägerei Ferdinand Müller, die seit 1936 hier ansässig war und deren Vorgängerbetrieb auf das Jahr 1830 zurückging. Nach der Einstellung der Produktion im Jahr 2002 erwarb die Wohnungsgenossenschaft Johannstadt (WGJ) das Gebäude 2008/2009 und ließ es umfassend zu einem reinen Wohnhaus im Niedrigenergie- beziehungsweise KfW-40-Standard umbauen. Zugleich bewahrte die WGJ die Erinnerung an den Ort: Neben dem goldenen Dach erinnern kleine Fassadendetails und vor dem Haus aufgestellte Steine, auf denen früher Blattgold geschlagen wurde, an die Tradition der Blattgoldschlägerei. Das aus dem Gold der Firma gefertigte Blattgold wurde unter anderem für die Krone am Zwinger, die Fama auf der Kunstakademie und Teile des Frauenkirchenaltars verwendet. '''3. Dürerstraße 96''': Das Kulturdenkmal Dürerstraße 96 ist ein um 1895 errichteter Historismusbau. Die halboffene Bebauung ist dabei kein Zufall, sondern Ausdruck der damaligen städtebaulichen Ordnung: Die historische Bausatzung ermöglichte bzw. verlangte die Nutzung der Grundstückstiefe. Während das Vorderhaus repräsentativ zur Straße ausgerichtet war, konnten in Hof und Seitenflügeln Wohnungen, Lager, Werkstätten und kleine Gewerbebetriebe entstehen. Gerade in der Johannstadt gehörten solche Hinterhofnutzungen zum gewöhnlichen Stadtbild: Hinter den straßenseitigen Mietshäusern entstanden häufig kleine Betriebe, die Handwerk, Handel und Versorgung der Wohnbevölkerung sicherten. Das Vorderhaus mit Läden an der Dürerstraße und gewerblichen Flächen im Hof bildete somit eine funktionale Einheit aus Wohnen, Konsum und Arbeit. '''4. Volksbad Johannstadt''': Das Volksbad Johannstadt in der Kreutzerstraße 9 war eine öffentliche Badeanstalt zur regelmäßigen Körperpflege. Es verfügte über 12 Wannen und 12 Brausen und bot vor allem Menschen ohne eigenes Bad in der Wohnung die Möglichkeit, sich mit warmem Wasser zu waschen. Für die dicht bebaut gewachsene Johannstadt war das Bad damit ein wichtiger sozialer und hygienischer Ort: Es machte Körperpflege für breite Bevölkerungskreise erschwinglich und trug zur öffentlichen Gesundheitsvorsorge bei. '''5. Jasmatzi Zigarettenfabrik''': Die Blasewitzer Straße war nicht der spätere Hauptbau, sondern die Gründungs- und Wachstumsstätte von Jasmatzi – der Ort, an dem aus dem Zigarettenmacher Georg Jasmatzi, nachdem seine Sperrfrist von 10 Jahren bei der Compagnie Laferme abgelaufen war, ein industrieller Fabrikant wurde und an dem die Firma unter dem Namen „Georg Jasmatzi & Söhne“ mit seinen Söhnen als Gebrüdern firmierte. '''6. Trinitatiskirche''': Die Trinitatiskirche am Trinitatisplatz ist eines der eindrucksvollsten Zeugnisse der Kriegszerstörung in Dresden-Johannstadt. Erbaut wurde sie 1891 bis 1894 im Stil der Neorenaissance; ihr rund 65 Meter hoher Turm prägt bis heute das Stadtbild des Stadtteils. Nach einer umfassenden Sanierung von 2019 bis 2021 wurde die Ruine 2022 als Jugendzentrum Jugendkirche Dresden wiedereröffnet. Die erhaltenen Mauern, der Turm sowie die gerettete Uhr und das Geläut machen den Ort zu einem lebendigen Mahnmal '''7. Johannstadt auf Stehlen''': „Johannstadt auf Tafeln“ ist ein von Bewohnerinnen und Bewohnern initiiertes Stadtteilprojekt, das die wechselvolle Geschichte der nördlichen Johannstadt an zwölf Informationstafeln erlebbar macht. Ausgangs- und Zielpunkt des zugehörigen historischen Rundwegs ist der Trinitatisplatz. Eine offene Arbeitsgruppe aus Anwohnerinnen und Anwohnern, dem Johannstadtarchiv, dem Quartiersmanagement und Landschaftsarchitektinnen und -architekten sammelte Texte, Fotos und historische Informationen. Die Inhalte sind online auch in Englisch, Russisch und Arabisch zugänglich. '''8. Carolahaus''': Das Carolahaus war das erste öffentliche Krankenhaus in der Dresdner Johannstadt. Es wurde 1876 auf Initiative des Albertvereins begonnen und 1878 eröffnet; benannt war es nach dessen Präsidentin, der sächsischen Königin Carola. Der von Stadtbaurat Theodor Friedrich entworfene Gebäudekomplex galt für seine Zeit als modern: Mehrere Funktionsgebäude waren durch lange, überdachte Wandelgänge verbunden. So konnten Patientinnen und Patienten sowie Personal geschützt und trocken zwischen den Häusern, Sälen und Nebenräumen des weitläufigen Geländes zwischen Gerokstraße, Stephanienstraße, Tatzberg und Arnoldstraße wechseln. '''9. Römmler & Jonas''': Römmler & Jonas war eine 1871 von Emil Römmler und Leopold Erasmus Jonas in Dresden gegründete Kunstdruckanstalt mit Licht- und Buchdruckerei. Sie wurde vor allem durch hochwertige Lichtdrucke bekannt: Stadtansichten, Architekturaufnahmen, Kunst-Reproduktionen, Bildmappen, Kalender und frühe Postkarten. '''10. Zigarettenfabrik KOSMOS''': Die Zigarettenfabrik Kosmos in der Fetscherstraße 70 ging aus der 1886 gegründeten „Kosmos-Tabak- & Cigarettenfabrik H. F. Wolf“ hervor. Ab 1927 firmierte sie als Kosmos AG, ab 1930 als Zigarettenfabrik Kosmos GmbH. Weltgeschichtlich bemerkenswert: Hier entstand 1934 die F 58, die erste in Deutschland zur Marktreife gebrachte Filterzigarette. Sie beruhte auf einem ungarischen Patent von Boris Aivaz aus dem Jahr 1924 und markierte einen Wendepunkt in der Zigarettenproduktion, die bis dahin überwiegend Filter und Mundstücke aus Kork oder Stroh verwendete. Nach Krieg und Enteignung wurde der stark zerstörte Betrieb als VEB Zigarettenfabrik Kosmos weitergeführt und gehörte ab 1959 als Werk IV zu den Vereinigten Dresdner Zigarettenfabriken. 1960 endete die Produktion in Dresden. Gegenüber ein WHH 15 mit 46m Höhe- ein Mittelganghaus: Um einen T-förmigen Flur gruppieren sich je Geschoss fünf Einraumwohnungen, insgesamt bis zu 240 Wohnungen pro Haus. Küche und Bad wurden als komplette, vorgefertigte Raumzellen eingebaut – ein typisches Beispiel für die industrialisierte DDR-Bauweise. ===Medien=== <gallery mode="packed" widths="220" heights="160"> File:Dresden%2C_Fetscherstraße_67%2C_17.6.2.40-060886.jpg File:Plaza_de_Striesen_bella_época_Dresde.jpg File:20070404030DR_Dresden-Johannstadt_Blasewitzer_Straße_9_Entree.jpg File:Trinitatiskirche_Dresden.JPG </gallery> aa15xhozrctnso3vco7ria0vf004mkd 0 172714 1115182 1115135 2026-10-05T06:27:14Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte */ 1115182 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2n9umqy0c4yr8o4ce2dqjmd5zh1shqr 1115183 1115182 2026-10-05T06:33:32Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten */ 1115183 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen Orthogonalen zum Richtungsvektor <math>\gamma{\,}'(t)</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qr1d1cvmq2vu2voul8fbk9iu55x6tvr 1115184 1115183 2026-10-05T06:34:32Z Bert Niehaus 20843 /* Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises */ 1115184 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen Orthogonalen zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bvzu33r3vjtcwb49swlxs7j9mryoo5r 1115185 1115184 2026-10-05T06:35:36Z Bert Niehaus 20843 /* Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises */ 1115185 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen Orthogonalen zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] onbu79p0gkkm6rhq9sf6h535c8t05m7 1115186 1115185 2026-10-05T06:38:28Z Bert Niehaus 20843 /* Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises */ 1115186 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen Orthogonalen zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das Skalarprodukt in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]]. == Siehe auch == * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5y2k3pz3dt48vy74umbatc3axy37nz3 1115187 1115186 2026-10-05T06:38:42Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115187 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen Orthogonalen zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das Skalarprodukt in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] to68u88t7ox9xk2jtph2v2xqd6yi9nw 1115189 1115187 2026-10-05T06:42:10Z Bert Niehaus 20843 /* Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises */ 1115189 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen Orthogonalen zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das Skalarprodukt in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem Skalarprodukt <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 143k88ckahn3hlllz5b7478xkuqekn0 1115190 1115189 2026-10-05T06:43:24Z Bert Niehaus 20843 /* Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises */ 1115190 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lqq6xsy760c8f6wq42lwx32pi7unl82 1115191 1115190 2026-10-05T06:43:41Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115191 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bp17e7u5bu4l9levwx9hytom3msxf78 1115192 1115191 2026-10-05T06:45:16Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115192 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fsid6n0t9hg7t21urlk55kpxrkpok3s 1115193 1115192 2026-10-05T06:46:03Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1115193 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jkswu3fjopklwwcs401m5te3af93hm6 1115194 1115193 2026-10-05T06:52:56Z Bert Niehaus 20843 /* Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten */ 1115194 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. ==== Injektivität des Weges ==== Man hat in dem obigen Beispiel die Möglichkeit, <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}</math> zu einem beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{\gamma\,}|_{[a,b]} = \gamma</math> zu erweitern, dessen Spur <math>\widehat{\gamma\,}</math> aber eine [[beschränkte Menge]] in <math>\mathbb{C}</math> ist (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]]). === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] eg6yqrt5c4whao7hvu9gb38ueo8a9nt 1115195 1115194 2026-10-05T06:57:38Z Bert Niehaus 20843 /* Injektivität des Weges */ 1115195 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. ==== Injektivität des Weges ==== Man hat in dem obigen Beispiel die Möglichkeit, <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}</math> zu einem beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{\gamma\,}|_{[a,b]} = \gamma</math> zu erweitern, dessen Spur <math>\widehat{\gamma\,}</math> aber eine [[beschränkte Menge]] in <math>\mathbb{C}</math> ist (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]]). === Aufgabe 4 - reeller Startwert=== Wählen Sie nun als Startwert von <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>. Bestimmen nun die Funktionsvorschrift des beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math>. === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8jm9fv6mkglcnu1dsxyulxou98ze20h 1115196 1115195 2026-10-05T06:58:01Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 4 - reeller Startwert */ 1115196 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. ==== Injektivität des Weges ==== Man hat in dem obigen Beispiel die Möglichkeit, <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}</math> zu einem beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{\gamma\,}|_{[a,b]} = \gamma</math> zu erweitern, dessen Spur <math>\widehat{\gamma\,}</math> aber eine [[beschränkte Menge]] in <math>\mathbb{C}</math> ist (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]]). === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] auiswbggr5f6bwh84hbjtrh47x2adxo 1115197 1115196 2026-10-05T06:59:16Z Bert Niehaus 20843 /* Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises */ 1115197 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. ==== Injektivität des Weges ==== Man hat in dem obigen Beispiel die Möglichkeit, <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}</math> zu einem beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{\gamma\,}|_{[a,b]} = \gamma</math> zu erweitern, dessen Spur <math>\widehat{\gamma\,}</math> aber eine [[beschränkte Menge]] in <math>\mathbb{C}</math> ist (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]]). === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. === Aufgabe 4 - reeller Startwert=== Wählen Sie nun als Startwert von <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>. Bestimmen nun die Funktionsvorschrift des beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math>. Betimmen Sie ferne das Grenwertverhalten von <math>t\to +\infty</math> und <math>t\to -\infty</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] swmb5s545zwhxndpuidqorwpe04qoh7 1115198 1115197 2026-10-05T06:59:53Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 4 - reeller Startwert */ 1115198 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. ==== Injektivität des Weges ==== Man hat in dem obigen Beispiel die Möglichkeit, <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}</math> zu einem beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{\gamma\,}|_{[a,b]} = \gamma</math> zu erweitern, dessen Spur <math>\widehat{\gamma\,}</math> aber eine [[beschränkte Menge]] in <math>\mathbb{C}</math> ist (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]]). === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. === Aufgabe 4 - reeller Startwert=== Wählen Sie nun als Startwert von <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>. Bestimmen nun die Funktionsvorschrift des beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^2</math>. Betimmen Sie ferne das Grenwertverhalten von <math>t\to +\infty</math> und <math>t\to -\infty</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] prmodgv703m06xgz7yv4nfe2chkyl79 1115199 1115198 2026-10-05T07:00:24Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 4 - reeller Startwert */ 1115199 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. ==== Injektivität des Weges ==== Man hat in dem obigen Beispiel die Möglichkeit, <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}</math> zu einem beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{\gamma\,}|_{[a,b]} = \gamma</math> zu erweitern, dessen Spur <math>\widehat{\gamma\,}</math> aber eine [[beschränkte Menge]] in <math>\mathbb{C}</math> ist (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]]). === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. === Aufgabe 4 - reeller Startwert=== Wählen Sie nun als Startwert von <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>. Bestimmen nun die Funktionsvorschrift des beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weges <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^2</math>. Betimmen Sie ferne das Grenwertverhalten von <math>t\to +\infty</math> und <math>t\to -\infty</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fvmec3n99gotvi9xusx6pw51iihkie0 3 172727 1115169 2026-10-04T15:55:27Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1115169 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|name=Glied des Priapos}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 17:55, 4. Okt. 2026 (CEST) r76ua3pc8qjokv8gjrofyjv9oqy5l1j 106 172728 1115200 2026-10-05T09:33:53Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115200 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|25|12|Kurs=|}} hmnvcest8uq1mdz2u4a4f0tlp4446ez