Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.22 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 18738 1115247 1051825 2026-10-05T12:40:31Z Bocardodarapti 2041 1115247 wikitext text/x-wiki {{:Fachbereich Mathematik/Kurse/Kurs|TITEL=[[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)|Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)]] |KURZBESCHREIBUNG= Diese Vorlesung ist eine Einführung in die algebraische Geometrie mit dem Hauptgewicht auf algebraischen Kurven. |ZIELGRUPPE=Mathematik-Student(inn)en in mittleren Semestern |DOZENT=[[Benutzer:Holger Brenner|Holger Brenner]] }} {{:Fachbereich Mathematik/Kurse/Kurs|TITEL=[[Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)|Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)]] |KURZBESCHREIBUNG= Diese Vorlesung ist eine Einführung in die algebraische Invariantentheorie. |ZIELGRUPPE=Mathematik-Student(inn)en in höheren Semestern |DOZENT=[[Benutzer:Holger Brenner|Holger Brenner]] }} {{:Fachbereich Mathematik/Kurse/Kurs|TITEL=[[Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)|Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)]] |KURZBESCHREIBUNG= Diese Vorlesung ist eine Einführung in die Singularitätentheorie mit dem Hauptgewicht auf algebraische Flächensingularitäten. |ZIELGRUPPE=Mathematik-Student(inn)en in höheren Semestern |DOZENT=[[Benutzer:Holger Brenner|Holger Brenner]] }} {{:Fachbereich Mathematik/Kurse/Kurs|TITEL=[[Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)|Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)]] |KURZBESCHREIBUNG= Diese Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der Vektorbündel und der Garben, insbesondere auf Schemata, einschließlich ihrer Kohomologie. |ZIELGRUPPE=Mathematik-Student(inn)en in höheren Semestern |DOZENT=[[Benutzer:Holger Brenner|Holger Brenner]] }} {{:Fachbereich Mathematik/Kurse/Kurs|TITEL=[[Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)|Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)]] |KURZBESCHREIBUNG= Diese Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der elliptischen Kurven. |ZIELGRUPPE=Mathematik-Student(inn)en in höheren Semestern |DOZENT=[[Benutzer:Holger Brenner|Holger Brenner]] }} <noinclude>[[Kategorie:Fachbereich Mathematik/Strukturierung]]</noinclude> 829cdfz5ru09pglo9ojia7p5zitz2ja 10 61524 1115248 1109261 2026-10-05T12:41:48Z Bocardodarapti 2041 1115248 wikitext text/x-wiki * '''[[Fachbereich_Mathematik|Mathematik]]''': Prof. Dr. Holger Brenner (Uni Osnabrück) hat [[Benutzer:Holger_Brenner/Lehre|sämtliche Mathematikvorlesungen]] inklusive Übungsaufgaben und Lösungen, die er seit 2008 gehalten hat, hier dokumentiert. ** '''Erstes Studienjahr''': [[Kurs:Vorkurs_Mathematik_(Osnabrück_2021)|Vorkurs Mathematik]], [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I|Analysis I]], [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II|Analysis II]], [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I|Lineare Algebra I]], [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II|Lineare Algebra II]], [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I|Grundkurs I (Mathematik für Grund-, Haupt- und Realschullehramt)]], [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil II|Grundkurs II]], [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I|Mathematik für Anwender I]], [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II|Mathematik für Anwender II]], [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)|Diskrete Mathematik]] ** '''Fortgeschrittene''': [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III|Analysis III (Maßtheorie, Mannigfaltigkeiten)]], [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)|Analysis III (Maß- und Integrationstheorie)]], [[Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)|Differentialgeometrie]], [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)|Funktionentheorie]], [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)|Elemente der Algebra]], [[Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)|Einführung in die Algebra]], [[Kurs:{{Körper-_und_Galoistheorie/Standardkurs}}|Körper- und Galoistheorie]], [[Kurs:{{Algebraische Kurven/Standardkurs}}|Algebraische Kurven]], [[Kurs:{{Zahlentheorie/Standardkurs}}|Zahlentheorie]], [[Kurs:{{Einführung in die mathematische Logik/Standardkurs}}|Mathematische Logik]] ** '''Masterstudiengang''': [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)|Algebraische Zahlentheorie]], [[Kurs:Invariantentheorie_(Osnabrück_2025-2026)|Invariantentheorie]], [[Kurs:Singularitätentheorie_(Osnabrück_2026-2027)|Singularitätentheorie]], [[Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)|Vektorbündel und Garben]], [[Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)|Elliptische Kurven]], [[Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)|Riemannsche Flächen]]. Ebenfalls in der Mathematik hat Prof. Dr. Bert Niehaus (Universität Koblenz-Landau) die Kurse [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], [[Kurs:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]], [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen|Maßtheorie auf topologischen Räumen]] erstellt, die mit [[Wiki2Reveal]] arbeiten. [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] (Prof. Dr. Anna Hundertmark von der Universität Koblenz-Landau) * '''[[Fachbereich_Informatik|Informatik]]''' [[Kurs:Wie funktioniert eigentlich ein Computer|Wie funktioniert eigentlich ein Computer?]] (Kurs an der Schülerakademie von [[Benutzer:Renepick|Rene Pickhardt]] und [[Benutzer:Lkastler|Lkastler]]), [[Kurs:Algorithmen_und_Datenstrukturen/Vorlesung|Algorithmen und Datenstrukturen]], [[Kurs:Blendertutorium Dresden|Blendertutorium Dresden]], [[Kurs:Robotik mit Lego Mindstorms EV3|Robotik mit Lego Mindstorms]] (Kurs von [[Benutzer:Kdkeller|Klaus-Dieter Keller]] für Sekundarstufe 1, in Zusammenarbeit mit Zukunftsakademie Heidenheim) * '''Kommunikationswissenschaften''': [[Kurs:Europaforum_Wachau_(SS_2021)|Europaforum Wachau]] (durchgeführt von Prof. Dr. Friedrich Schipper an der Uni Wien) * '''Gesellschaftswissenschaften''': [[Kurs:Theorien_der_Internationalen_Beziehungen|Internationale Beziehungen]] * '''[[Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre|Wirtschaftswissenschaften]]''': Prof. Dr. Michael Kempe der Universität Wien/Universität Hildesheim: hat drei Kurse [[Kurs:Internet-Marketing]], [[Kurs:E-Marketing 2]] und [[Kurs:Digital Marketing]]. Prof. Dr.-Ing. Roland Alton, FH&nbsp;Vorarlberg: [[Kurs:Gründung und Leitung eines Kreativunternehmens]] * '''Sozialwissenschaften''': [[Kurs:Sozialwissenschaften/Einführung BWL (h da)|Einführung]] von Prof. Dr. Jan Barkmann an der Hochschule Darmstadt * '''Sprachen''': [[Kurs:Mittelhochdeutsch|Mittelhochdeutsch]] * '''Islamwissenschaft''': [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)]] (Vorlesung von Prof. Dr. Patrick Franke), [[Kurs:Zwischen Grundgesetz und Scharia]], [[Kurs:Gott im islamischen Denken]] Eine vollständige Liste aller Kurse findet man in der [[:Kategorie:Kurs|Kategorie Kurs]]. Erweitere einen unserer Kurse! f93fkatvlzyfre1p5xcs1nsdm8fjkgy 106 104555 1115232 1019901 2026-10-05T12:27:38Z Bocardodarapti 2041 1115232 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Nullstellengebilde von Polynomen}} Wir legen, ausgehend von der Situation des Satzes über implizite Abbildungen, die geometrischen Objekte und die Funktionen darauf fest, mit denen wir uns hauptsächlich in dieser Vorlesung beschäftigen wollen. {{:Polynome/Nullstellengebilde/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Der Hilbertsche Nullstellensatz}} {{:Hilbertscher Nullstellensatz/Singularitätentheorie/Zusammenfassung/Textabscgnitt}} {{Zwischenüberschrift|Der affine Koordinatenring}} Wie in der ersten Vorlesung erwähnt gehört zu einem geometrischen Objekt {{math|term= X |SZ=}} eine adäquate Klasse von darauf definierten Funktionen mit Werten in einem geeigneten Körper. Da man Funktionen von einer Menge in einen Körper unmittelbar addieren und multiplizieren kann, bilden solche Funktionenmengen einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ=. }} In der algebraischen Geometrie und insbesondere in der Theorie der Schemata ist die Beziehung zwischen geometrischen Objekten und kommutativen Ringen besonders eng. Andere typische Beispiele für solche {{Stichwort|beringten Räume|msw=Beringter Raum|SZ=}} sind. {{ Aufzählung4 |Topologische Räume und {{math|term= \R |SZ=-}}wertige {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktionen| |Kontext=top| |SZ=. }} |Reelle Mannigfaltigkeiten und {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=Funktion, Mannigfaltigkeit|msw=| |SZ= }} {{math|term= \R |SZ=-}}wertige Funktionen. |Reell-analytische Mannigfaltigkeiten und reell-analytische Funktionen. |Komplexe Mannigfaltigkeiten und holomorphe Funktionen. }} {{:Affin-algebraische Menge/Affiner Koordinatenring/Einführung/Textabschnitt}} }} 6f4oijfdqp9shhja81aysma0h6ajq6y 1115235 1115232 2026-10-05T12:29:55Z Bocardodarapti 2041 1115235 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Nullstellengebilde von Polynomen}} Wir legen, ausgehend von der Situation des Satzes über implizite Abbildungen, die geometrischen Objekte und die Funktionen darauf fest, mit denen wir uns hauptsächlich in dieser Vorlesung beschäftigen wollen. {{:Polynome/Nullstellengebilde/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Der Hilbertsche Nullstellensatz}} {{:Hilbertscher Nullstellensatz/Singularitätentheorie/Zusammenfassung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Der affine Koordinatenring}} Wie in der ersten Vorlesung erwähnt gehört zu einem geometrischen Objekt {{math|term= X |SZ=}} eine adäquate Klasse von darauf definierten Funktionen mit Werten in einem geeigneten Körper. Da man Funktionen von einer Menge in einen Körper unmittelbar addieren und multiplizieren kann, bilden solche Funktionenmengen einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ=. }} In der algebraischen Geometrie und insbesondere in der Theorie der Schemata ist die Beziehung zwischen geometrischen Objekten und kommutativen Ringen besonders eng. Andere typische Beispiele für solche {{Stichwort|beringten Räume|msw=Beringter Raum|SZ=}} sind. {{ Aufzählung4 |Topologische Räume und {{math|term= \R |SZ=-}}wertige {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktionen| |Kontext=top| |SZ=. }} |Reelle Mannigfaltigkeiten und {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=Funktion, Mannigfaltigkeit|msw=| |SZ= }} {{math|term= \R |SZ=-}}wertige Funktionen. |Reell-analytische Mannigfaltigkeiten und reell-analytische Funktionen. |Komplexe Mannigfaltigkeiten und holomorphe Funktionen. }} {{:Affin-algebraische Menge/Affiner Koordinatenring/Einführung/Textabschnitt}} }} etbqo3cbs8d2uuv63xytvxtyusr6r0o 106 104557 1115239 1107894 2026-10-05T12:34:07Z Bocardodarapti 2041 1115239 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Glatte Punkte auf Achsenraumkonfigurationen}} {{:Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Glattheit/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Stanley-Reisner-Ringe}} Wie in der ersten Vorlesung angekündigt, wollen wir einen singulären Raum immer auch über die auf ihm definierten Funktionen verstehen. Im algebraischen Kontext werden diese im affinen Koordinatenring zusammengefasst. Für die simplizialen Komplexe und ihre geometrische Realisierung als Achsenraumkonfigurationen führt das zu den Stanley-Reisner-Ringen. {{:Stanley-Reisner-Ring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Lokale Ringe}} {{:Lokaler Ring/Singularitätentheorie/Einführung/Textabschnitt}} }} jfnno9zant6s5el7xilzzkv00h0okpj 106 104558 1115242 991499 2026-10-05T12:37:21Z Bocardodarapti 2041 1115242 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Binomiale Gleichungen}} {{:Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=siehe allerdings die [[Kurs:Singularitätentheorie_(Osnabrück_2019)/Vorlesung_11|elfte Vorlesung]], wo topologische Eigenschaften besprochen werden, die mit der Einbettung zusammenhängen, aber nicht mit der intrinsischen topologischen Struktur der Kurve| |ISZ=|ESZ=. }} }} {{ inputbeispiel |Binomiale Gleichung/x^2-x/xy-y/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Minoren/2x2/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Monoidstruktur auf binomialen Nullstellengebilden}} Der affine Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| n | K }} |SZ=}} ist ein Vektorraum und insbesondere mit der komponentenweisen Addition eine kommutative Gruppe. Es gibt aber auch die komponentenweise Multiplikation, mit der der affine Raum allerdings nur ein Monoid und keine Gruppe ist. Andererseits ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Einheiten|K}} |}}^n || D {{makl| X_1 \cdots X_n |}} || D {{makl| X_1 |}} {{capdots}} D {{makl| X_n |}} || || |SZ= }} eine Gruppe. {{ inputfaktbeweis |Binomiale Gleichungen/Nullstellengebilde/Monoidstruktur/Fakt|Lemma|| }} }} 1xtv8864d2y3gqzgl7eqth5rw4ruz5g 106 104559 1115244 971691 2026-10-05T12:38:58Z Bocardodarapti 2041 1115244 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Von binomialen Gleichungen zu Exponentengleichungen}} {{:Binomiale Gleichungen/Exponentengleichungen/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Monoidringe}} {{:Monoidring/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Allgemeine Hyperbel/Laurentring/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} Die folgende Aussage knüpft an {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} an. {{ inputfaktbeweis |Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Das {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines Monoidringes}} {{inputdefinition |Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Definition|}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung|}} }} rzkiid9sp2n0rjq1d9c3dz61w3yuo8i 106 104563 1115326 1107945 2026-10-06T10:27:35Z Bocardodarapti 2041 1115326 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|10| {{Zwischenüberschrift|Die lokale Fundamentalgruppe von Monoidringen}} In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass im Falle der ADE-Singularitäten die operierende Gruppe als lokale Fundamentalgruppe des Invariantenringens, also als Fundamentalgruppe des punktierten Quotientenraumes wiederkehrt. Die A-Singularitäten sind Monoidringe der Form {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^n |}} |SZ=,}} die operierende Gruppe ist die zyklische Gruppe {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=}} und dies ist auch die lokale Fundamentalgruppe. In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns generell mit der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen, wobei wir diese {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} als Invariantenringe zu einer kommutativen Gruppe und als Ringe der neutralen Stufe einer Gradierung auf einem Polynomring auffassen. {{:Monoidring/Lokale Fundamentalgruppe/Grundidee/Textabschnitt}} {{:Monoidringe/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/2/Textabschnitt|n=r|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} mdvgn0smxpw9dfxunuw0hn4fqi0z3t9 106 104565 1115329 1019927 2026-10-06T10:30:11Z Bocardodarapti 2041 1115329 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|12| {{Zwischenüberschrift|Der Modul der Kähler-Differentiale}} Der Tangentialraum zu einer polynomialen Abbildung {{ Abbildung |name=f | {{op:Affiner Raum| n | K |}} | {{op:Affiner Raum| m | K |}} || |SZ= }} mit dem Nullstellengebilde {{ Relationskette | V || V {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_m |}} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K |}} || || |SZ= }} an einem Punkt {{ Relationskette | P | \in | V || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | T_P V | {{defeq|}} | {{op:Kern(| \operatorname{Jak} {{makl| f_1 {{ kommadots|}} f_m |}}_P |}} ||{{Mengebed| v \in {{op:Affiner Raum| n | K |}} | \operatorname{Jak} {{makl| f_1 {{ kommadots|}} f_m |}}_P (v) {{=|}} 0 }} || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= P |SZ=}} ein regulärer Punkt der Abbildung ist und man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so handelt es sich um einen linearen Unterraum, dessen Dimension mit der (Mannigfaltigkeits-)Dimension von {{math|term= V|SZ=}} übereinstimmt. Diese Konstruktion ist extrinsisch, sie hängt von der Einbettung von {{math|term= V|SZ=}} in den affinen Raum ab. Wir möchten eine intrinsische Version des Tangentialraumes vorstellen, der nur von {{math|term= V |SZ=}} bzw. dem affinen Koordinatenring abhängt. Dazu führen wir den Modul der Kähler-Differentiale ein, der für jede {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |SZ= }} {{math|term= A |SZ=}} eine duale Version des Tangentialraumes liefert. {{:Algebraische Derivationen und Differentiale/1/Einführung/Textabschnitt}} }} cxy2ez5e2as04y6abil4mxyskf61v21 106 104575 1115347 1069793 2026-10-06T10:35:22Z Bocardodarapti 2041 1115347 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|22| {{Zwischenüberschrift|Schnittverhalten von Untervarietäten}} {{:Varietät/Glatter Punkt/Durchschnitt/Dimensionsverhalten/Textabschnitt|zusatz1= {{ inputfaktbeweisaufgabe |Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt|Lemma|| }}|}} {{ inputfaktbeweis |Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt|Korollar|| }} Die vorstehende Aussage ermöglicht eine weitere Definition für die Dimension einer affinen Varietät {{ Relationskette/display | V | \subseteq | {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ=, }} nämlich als {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Krulldimension| V |}} || n - \max {{Mengebed| c|\text{es gibt lineare Unterräume der Dimension } c \text{ durch } P, \text{ die den Punkt } P \text{ isolieren} }} || || || |SZ=. }} Man betrachte unter diesem Aspekt {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= A-Singularitäten/Schnitt mit Ebenen/Mit Geraden/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monomialer Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Algebraisch Abgeschlossener Körper/Hyperfläche/Geradenschnitt/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Minorenring/3x2/K/Schnitt mit linearen Räumen/Dimensionstest/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} mdboyxxkp02nigryjw46f1ei1fizsne 106 104592 1115374 1069475 2026-10-06T10:43:57Z Bocardodarapti 2041 1115374 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Wand/Kette/Zwei Nägel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homotope Wege/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Wege/Verknüpfung/Homotopieklasse/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstanter Weg/Neutrales Element in Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fundamentalgruppe/Inverses Element/Nullhomotop/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fundamentalgruppe/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/Weg/Nullhomotop/Fortsetzbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/Kontrahierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Abbildung/Geschlossener Weg/Auf Homotopieklasse wohldefiniert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/n_geq_3/Ohne_Punkt/Einfach_zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C^2/Punktiert/Umdrehung/Nullhomotopie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reell-projektiver Raum/Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R und S^1/Überlagerung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C und C^x/Überlagerung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C^2/Operation durch zyklische Gruppe/Abstand in Bahn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Z nach Z/Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene monomiale Kurve/Lokale Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Positiv graduierter Ring/C/Kontrahierbar auf Sphäre/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/C/Standardgraduiert/Zugehörige Kontraktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/C/Positiv graduiert/Zugehörige Kontraktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/C^n/Linear/C-Spektrum/Bahnenraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |A-Singularität/Punktiert/Teiler/Fundamentalgruppe/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE-Singularität/C/Nicht homöomorph/Aufgabe|| |zusatz=Folgere daraus, dass es auch keinen {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |Algebraisomorphismus| |SZ= }} zwischen den entsprechenden {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |Algebren| |SZ= }} geben kann. |tipp= }} Zur folgenden Aufgabe siehe auch {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche unitäre Gruppe/n/Offener Ball/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |ADE/Gruppenoperation/Offener Ball/Einschränkung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} l0tf0qz3srst3wadcej36yjkiflpomi 2 105063 1115268 1052152 2026-10-05T16:09:47Z Bocardodarapti 2041 1115268 wikitext text/x-wiki {{ inputbeispiel |Fermatquintik/Kohomologieklasse/Negativer Grad/Charakteristik 2/Beispiel|| }} [[Fermat-Gleichungen/Erzwingende Algebra/Lokale Kohomologie/Textabschnitt]] {{ inputfaktbeweis |Endlicher Ringhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Algebra/Körper/Endlicher Typ/Hyperfläche/Gleichdimensional/Fakt|Satz|| }} [[Affine Kurve/Differentialmodul/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt]] [[Monoidring/Normalisierung/Eigenschaften dafür/Textabschnitt]] [[Resultante/Einführung/Textabschnitt]] [[Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertfunktion/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Standardgraduierung/Endliche Graduierung/Aufteilung/Textabschnitt]] [[Invariantenring/Tangentialbündel/Abschluss/Beispiele/Textabschnitt]] [[Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Modul/Filtration/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutativer Ring/Aufblasung/Textabschnitt]] [[Lokaler Ring/Modul/Tiefe/Beispiele zu Potenzsingularitäten/Textabschnitt]] [[Lokaler Ring/Modul/Tiefe/Beispiele zu Hyperflächensingularitäten/Textabschnitt]] [[Tiefe/Lokale Kohomologie/Zusammenhang/Textabschnitt]] [[Syzygien/Initialpotenzgrad/Textabschnitt]] 2hbia0ghxtj8v86dcph4gh79bfxqtxw 0 128943 1115275 1114961 2026-10-05T19:22:56Z Jeb 26942 6. Oktober 1115275 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 6. Oktober == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter - Titel]] ; Fertig [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], bis auf die geschützten Texte ; Zweitkorrektur {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} == 29. September == [[Datei:Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde.jpg|mini|Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde]] * Dundee City Archives: Burns Supper, Scotland-GDR Society, In The Red Flag, https://nearby.hypotheses.org/6524 * Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band - mindestens einmal korrigiert: {{Wikisource|Index:Mitteilungen_des_Vereins_für_Chemnitzer_Geschichte_Dritter_und_Vierter_Band.pdf}} * Geschichtswettbwerb: [[w:Lotte Hahm]] ; Neu {{Wikisource|Zur Kipper- und Wipperzeit in Kursachsen}} ; Handwerker-Heft (Dresdner Hefte) {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden}} * [[c:Category:Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks Dresden 1896]] * Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks 1896 baute einen kleinen Event-Erlebnis-Park im Stile einer frühneuzeitlichen Stadt auf das Areal der Güntzwiese, heutige Cockerwiese. "Die Alte Stadt" zog mehr Besucher an als die Ausstellungen des Handwerks im Ausstellungspalast. Wer möchte kann per Georeferenzierung die Bilder des Leporellos der Cockerwiese zuordnen, hier ist der genaue Plan aus dem Ausstellungskatalog: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/124455/24 == 22. September == * Leseholz transkribiert und in der Wikisource: {{Wikisource|Leseholz-Zettel_No_33}} * Korrekturlesen erwünscht: {{Wikisource|Index:Goldenes_Buch_Hotel_Bellevue_Dresden.pdf}} == 15. September == [[Datei:Leseholz-Zettel.pdf|Leseholz-Zettel, 1861|mini]] ; Leseholz-Zettel Neu: [[s:Leseholz-Zettel No 33]] ; Sächsisches Gaffee-Lied!, circa 1909 <poem>Und nimmt der Deifel einst mich beim Schlaffiddchen, Und trägt im Flug mich nach der Helle fort, So trink ich schnell vom Gaffee noch ä Schniddchen, Denn keenen giebts an jenem dunklen Ort. Nur trinkt mer Schwefelbliemchen Nur mit des Deifels Miehmchen; Kee Gaffee dort, o welche Hellenpein, Ich bin ä Sachse, will ä Sachse sein. (...)</poem> Quelle: Stadtarchiv Leipzig: 0290 (Handwerkerinnungen), Schornsteinfegerinnung Nr. C 13, 200-jähriges Bestehen [Jubelfeier!] der Schornsteinfegerkreisinnung Leipzig, (Dokument 81), Transkript: https://nearby.hypotheses.org/6448. Vielleicht von Lene Voigt? Vgl. https://www.mdr.de/kultur/literatur/lene-voigt-gedichte,lene-voigt-leipzig-sachsen-mundart-dichtung-104.html == 8. September == [[Datei:Typographen-Lied 1846.jpg|mini|Typographen-Lied 1846]] ; SPRECHSAAL ; Handwerksheft {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden|Tafellied bei dem zur 400jährigen Jubelfeier der Erfindung der Buchdruckerkunst den 21. Juni 1840 in Dresden stattfindenden Festmahle im Saale der Harmonie}} == 1. September == ; Elektrische-Tafellied-Archiv-Bibliothek (ETAB) : Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? ; 3 x Leipzig 1866 {{Wikisource|Tafellieder der Bäcker und Müller 1866}} == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 3kvaa6ez10y6tv7htr07mftngjwjx4t 1115278 1115275 2026-10-06T08:42:37Z Jeb 26942 /* 6. Oktober */ wish lists = Ephemera 1115278 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 6. Oktober == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter - Titel.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter - Titel]] ; Fertig [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], bis auf die geschützten Texte ; Zweitkorrektur {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} ; Wunschzettel [[d:Q4112660]], [[c:Category:Wish lists]] == 29. September == [[Datei:Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde.jpg|mini|Exposición "El casco antiguo" escuela bella época dresde]] * Dundee City Archives: Burns Supper, Scotland-GDR Society, In The Red Flag, https://nearby.hypotheses.org/6524 * Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band - mindestens einmal korrigiert: {{Wikisource|Index:Mitteilungen_des_Vereins_für_Chemnitzer_Geschichte_Dritter_und_Vierter_Band.pdf}} * Geschichtswettbwerb: [[w:Lotte Hahm]] ; Neu {{Wikisource|Zur Kipper- und Wipperzeit in Kursachsen}} ; Handwerker-Heft (Dresdner Hefte) {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden}} * [[c:Category:Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks Dresden 1896]] * Ausstellung des sächsischen Kunstgewerbes und Handwerks 1896 baute einen kleinen Event-Erlebnis-Park im Stile einer frühneuzeitlichen Stadt auf das Areal der Güntzwiese, heutige Cockerwiese. "Die Alte Stadt" zog mehr Besucher an als die Ausstellungen des Handwerks im Ausstellungspalast. Wer möchte kann per Georeferenzierung die Bilder des Leporellos der Cockerwiese zuordnen, hier ist der genaue Plan aus dem Ausstellungskatalog: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/124455/24 == 22. September == * Leseholz transkribiert und in der Wikisource: {{Wikisource|Leseholz-Zettel_No_33}} * Korrekturlesen erwünscht: {{Wikisource|Index:Goldenes_Buch_Hotel_Bellevue_Dresden.pdf}} == 15. September == [[Datei:Leseholz-Zettel.pdf|Leseholz-Zettel, 1861|mini]] ; Leseholz-Zettel Neu: [[s:Leseholz-Zettel No 33]] ; Sächsisches Gaffee-Lied!, circa 1909 <poem>Und nimmt der Deifel einst mich beim Schlaffiddchen, Und trägt im Flug mich nach der Helle fort, So trink ich schnell vom Gaffee noch ä Schniddchen, Denn keenen giebts an jenem dunklen Ort. Nur trinkt mer Schwefelbliemchen Nur mit des Deifels Miehmchen; Kee Gaffee dort, o welche Hellenpein, Ich bin ä Sachse, will ä Sachse sein. (...)</poem> Quelle: Stadtarchiv Leipzig: 0290 (Handwerkerinnungen), Schornsteinfegerinnung Nr. C 13, 200-jähriges Bestehen [Jubelfeier!] der Schornsteinfegerkreisinnung Leipzig, (Dokument 81), Transkript: https://nearby.hypotheses.org/6448. Vielleicht von Lene Voigt? Vgl. https://www.mdr.de/kultur/literatur/lene-voigt-gedichte,lene-voigt-leipzig-sachsen-mundart-dichtung-104.html == 8. September == [[Datei:Typographen-Lied 1846.jpg|mini|Typographen-Lied 1846]] ; SPRECHSAAL ; Handwerksheft {{Wikisource|Tafellied 400 Jahre Buchdruckerkunst in Dresden|Tafellied bei dem zur 400jährigen Jubelfeier der Erfindung der Buchdruckerkunst den 21. Juni 1840 in Dresden stattfindenden Festmahle im Saale der Harmonie}} == 1. September == ; Elektrische-Tafellied-Archiv-Bibliothek (ETAB) : Neu 1913 {{Wikisource|Eröffnung Bahn Hohenstein–Gersdorf–Lugau–Oelsnitz}} Gesucht: Tafellieder der Textilindustrie, vielleicht auch mit Damast? ; 3 x Leipzig 1866 {{Wikisource|Tafellieder der Bäcker und Müller 1866}} == 25. August == [[Datei:Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895.jpg|mini|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895]] {{Wikisource|Tafellieder Eröffnungsfeier der Eisenbahn Wolkenstein-Jöhstadt 1892}} {{Wikisource|Kraftspeise zur Tafel in Liegnitz 1895}} ; Digitalladen Aschaffenburg CF berichtet: ''Bürgerbeteiligung und Digitalladen der Stadt Aschaffenburg'', https://digital.aschaffenburg.de/digitalladen/ : ''Kommen Sie vorbei! Wir freuen uns darauf, Sie kennenzulernen.'' ; ''Anschließend'' [[meta:Event:Global GLAM call 2026-08-25]] : https://etherpad.wikimedia.org/p/Global_GLAM_Calls_%E2%80%94_2026_Notes == 18. August == Wir sprachen über KI-Fotos auf Einladungen von Gesichtsvereinen, über das attraktive Ambiente für gelegentlichen DatenlabeJam in der Zebradiele nahe dem [[w:Universitätsarchiv der Technischen Universität Dresden]] ... ; Neu ist ... die [[s:Forsche Naturforscherei]] aus Chemnitz. == 11. August == [[Datei:In Memoriam Moreauschaenke Liedtext.JPG|mini|In Memoriam ''Moreauschaenke'', Liedtext]] ; [[w:Moreauschänke|Moreauschänke]] in Dresden : In memoriam Moreauschänke <poem> 1. Schänke wir Dich grüßen, o Gambrinus hilf, Bald wirst Du Dich schließen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 2. Quelle unsrer Freude, o Gambrinus hilf, Trösterin in Leiden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 3. Kneipe ohnegleichen, o Gambrinus hilf, Mußt vom Platze weichen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 4. Stoff tat'st Du uns spenden, o Gambrinus hilf, Traurig mußt Du enden, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 5. Gedenkt es miteinander, o Gambrinus hilf, Man rieb hier Salamander, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 6. Lieder hier erklangen, o Gambrinus hilf, Mützen wir hier schwangen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 7. Uns bleibt nur zu hoffen, o Gambrinus hilf, Du einst wieder offen, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 8. Jetzt mit diesem Tranke, o Gambrinus hilf, Sagen wir Dir "Danke", o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! 9. Altem Brauch gemäße, o Gambrinus hilf, Leert nun die Gefäße, o Gambrinus hilf, Gambrinus hilf uns allen aus der tiefen Not! </poem> : Worte: AH. Jürgen Modrzynski x S! xx O! zum 4. November 1988 : Melodie: altes fränkisches Wallfahrtslied ''Anmerkungen'' : "Man rieb hier Salamander", ein Ritus vor dem Ex-Trinken eines Glases Bieres, vgl. [[w:Salamander (Ritual)]]. : Parodie auf das katholische Marienlied "Meerstern, ich Dich grüße", [[w:Ave maris stella]] == 4. August == [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] {{Wikisource|Alt-Dresdner Gelegenheitsdichtung}} : "Ein fruchtbarer Boden für diese Erzeugnisse war unser Sachsen. In Dresden blühte die Gelegenheitsdichtung. Noch finden sich in alten Papieren wertvolle Reste. Das beste davon sollte gesammelt werden; ich bitte, mir solche Gedichte, ob gedruckt oder handschriftlich, zugänglich machen zu wollen." [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop).jpg|mini|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-2 crop)]] {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} : {{Wikisource|Gottlob Daniel Staberoh}} {{Wikisource|Tafellied der Abend-Zeitung 13.07.1842}} : "Dieses Zitat (''Die erste Strophe des Tafellieds'') stammt aus dem Gedicht „Die Kochkunst“ von Friedrich von Hagedorn (1708–1754), einem bekannten Dichter der deutschen Aufklärung", behauptet eine Suchmaschine. Stimmt das? Wer findet ggf.? : zur 2. Strophe: "Dieses Zitat stammt aus dem Gedicht „Der Küchengarten“ von Christian Fürchtegott Gellert (1715–1769), einem bedeutenden deutschen Dichter und Moralphilosophen der Aufklärungszeit." : zur 3. Strophe: "Ein wunderbarer Vierzeiler, der die perfekte Balance zwischen Trank und Schmaus beschreibt! Die Verse fangen das klassische Lebensgefühl von Genuss und Geselligkeit perfekt ein." : Tafellied gesamt mit Google: "Das ist ein wunderbares, historisches Gedicht, das die Kochkunst gegenüber dem Weinloben verteidigt! Es stammt aus dem Kochbuch-Klassiker „Praktisches Kochbuch“ von Henriette Davidis (erstmals erschienen 1844). Dort dient es traditionell als feierliches Entree (Einleitung) für das Kapitel über die Kochkunst." ; Notizen zur Methode ''DatenlaubeJam'' Was noch? * 2026: ''See the Unseen'': [[s:Chemnitzer Geschichtsverein|Verein für Chemnitzer Geschichte]] mit [[s:Kunsthütte Chemnitz]] :: Lern- und Lehrmittel (OER): [[s:Tafellieder#Sekundärliteratur]] :: Tafellieder und andere Gelegenheitsdichtung in sächsischen Sammlungen :: Neu: DatenlaubeJam [[d:Q140833912]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode DatenlaubeJam]] * 2023: [[DieDatenlaube/Lehre]] * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|GeNeMe]] == 27. Juli == ; Tatort Dresden Läuft gut, [[d:Q140136012]], https://www.dresdner-geschichtsverein.de/hefte/aktuelles-heft. ; Tafellieder : [[s:Tafellied Jubelfeier Schnellpresse König und Bauer|Tafellied bei der Jubelfeier zur Erbauung der 1000. Schnellpresse im König und Bauer’schen Etablissement Kloster Oberzell am 23. März 1865]] : [[s:Orthographisches Tafellied 1876|Orthographisches Tafellied]] == 21. Juli == [[Datei:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop).jpg|thumb|Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran-Seri 1 (page 26-1 crop)]] * [[s:Tafellied bei dem Hebeschmause Waldenburg 1878|Tafellied bei dem Hebeschmause des Seminar-Umbaues zu Waldenburg den 10. August 1878]] * feine Piktogramme [[c:Category:Menggunakan Wikipedia dalam Pembelajaran]] ; Sind Turmvasen = Turmknöpfe mit anderer Form? [[s:Der alte und neue urkundliche Inhalt der Turmvase des alten Rathauses zu Dresden]], in: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]], 1915 == 14. Juli == * [[s:Aus dem religiösen und kirchlichen Leben Dresdens mit besonderer Berücksichtigung früherer Kriegszeiten]], Dresdner Geschichtsblätter, 1916 * ''Ein Ausflug nach Waldenburg'' samt ''Volkslied, am Tauftage des erstgeborenen Durchlauchtigen Prinzen von Schönburg Waldenburg, gesungen den 5. November 1819'', 11. Juli 2026, https://www.museum-waldenburg.de/blog/detail/ein-ausflug-nach-waldenburg == 7. Juli == ; Mission Blüher 2.0 Janosch (SLUB) zeigt Kulinaria: https://www.slub-dresden.de/entdecken/deutsches-archiv-der-kulinarik/digitalisierung-und-erschliessung-kulinarischer-quellen/ocr-blueher * Blueher OCR Korrektur App https://blueher-korrektur.culinaria-online.de/ * Vokabulartdaten für https://skosmos.org/, https://demo.skosmos.org/euro/de/, Skosmos [[d:Q130281770]] ; Schon gewusst? [[w:Tafellied|Tafellied]] in der Wikipedia Dazu Saxorum: https://saxorum.hypotheses.org/15983, Zugriffsstatistik: https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikipedia.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-30&pages=Tafellied == 30. Juni == [[Datei:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf|mini|Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt, 1914]] ; [[v:de:Kurs:Wikisource ASpB 2026|Spezialbestände aus Spezialbibliotheken]] {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914|''Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens (§§ 36 bis 43 des Versicherungsgesetzes für Angestellte)''}} == 23. Juni == ; Stadtansichten Alexander Winkler entdeckt (in & für) Berlin ''Wikidata Bildpositionen'': https://wd-image-positions.toolforge.org/, vgl. [[c:User:Awinkler3/Annotating_the_City]]. Austausch willkommen! ; Geschichtsvereinsbibliotheken linked open JB: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026|Projekt]] mit Daniel F. == 16. Juni == [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter 1915 Nr. 1 Seite 110 Grafik.jpg|mini|Dresdner Geschichtsblätter 1915, Nr. 1, [[s:Seite:Dresdner Geschichtsblätter Sechster Band.pdf/113|S. 110]]]] Neu ist der Artikel [[w:Tafellied]]. ; Lied der Töpfer Altstadtwaldenburg: https://nearby.hypotheses.org/6053 == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource DDB im Wikiversum q.jpg|[[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Deutsche Digitale Bibliothek im Wikiversum]]]] </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 26o8fn99t9isi00i7vpubc2j9y3hw99 106 157136 1115280 1114677 2026-10-06T09:09:38Z Schreibzentrum 39232 1115280 wikitext text/x-wiki {{RoundBoxTop|theme=2}}<div align="center"><span style="font-size: 150%; font-weight: bold;">WikiCLIMATEchange</span> </div><div align="center"><small>Beiträge zum Klimawandel, zu Nachhaltigkeit und zu Handlungsmöglichkeiten</small></div><div align="center"><small>''Entdecken, schreiben, gestalten und mitmachen''</small></div>{{RoundBoxBottom}} __NOTOC__ __NOEDITSECTION__ ==Beiträge entdecken== ===Suche=== <inputbox> type=search width=30 namespaces=Kurs** prefix=Kurs:WikiCLIMATEchange searchbuttonlabel=Beiträge suchen bgcolor=transparent break=no </inputbox> ===Rubriken=== <div align="center"> {| class="wikitable" |- ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|Fiktionale Texte]] ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|Persönliche Texte]] ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]] |- ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen|Visuelle Darstellungen]] ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Video- und Audio-Beiträge|Video- und Audio-Beiträge]] ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements]] |} </div> ==Über WikiCLIMATEchange== {{RoundBoxTop|theme=14}}''WikiCLIMATEchange'' ist eine transnationale und multilinguale Sammlung von Ideen zum lokalen Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels rund um den Globus. Alle weiteren Infos findest du auf unserer [[Kurs:WikiCLIMATEchange|Startseite von WikiCLIMATEchange]]{{RoundBoxBottom}} ==Teilnehmen – Wie geht das?== ===Einen Beitrag erstellen === # Den lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton oder anderen Medien beschreiben. # Die Ursachen lokaler Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären. # Wege für den lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen des Klimawandels entwerfen und gegebenenfalls bereits vorhandene Aktionen zeigen. ===Einen Beitrag veröffentlichen=== Du kannst deinen Beitrag selbst auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen oder ihn uns zukommen lassen. Wenn du deinen Beitrag selbstständig veröffentlichen möchtest, kannst du dich zunächst mit einem [[Spezial:Benutzerkonto_anlegen|Wiki-Account]] anmelden und anschließend eine passende Rubrik unter [[Kurs:WikiCLIMATEchange#Topics|Topics]] auswählen. Wenn du Unterstützung bei der Veröffentlichung brauchst, kannst du deinen Beitrag einfach an '''infoSCHREIBZENTRUM@ph-freiburg.de''' schicken. Das Team des Schreibzentrums unterstützt dich bei der Einbettung auf WikiCLIMATEchange. <!-- ==Aktuelle Beiträge== Diese Seite ist gerade im Umbau. Die bereits auf Wikiversity veröffentlichten Beiträge findest du in den folgenden Rubriken: * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|Fiktionale Texte]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|Persönliche Texte]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen|Visuelle Darstellungen]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Video- und Audio-Beiträge|Video- und Audio-Beiträge]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium]] --> ==Weiterführende Informationen== Alle weiteren Infos findest du auf unserer [[Kurs:WikiCLIMATEchange|Startseite von WikiCLIMATEchange]] [[Kategorie:Kurs]] ltjevrcuaijlpy0rorwv2z6nrutdyfi 1115281 1115280 2026-10-06T09:12:58Z Schreibzentrum 39232 1115281 wikitext text/x-wiki {{RoundBoxTop|theme=2}}<div align="center"><span style="font-size: 150%; font-weight: bold;">WikiCLIMATEchange</span> </div><div align="center"><small>Beiträge zum Klimawandel, zu Nachhaltigkeit und zu Handlungsmöglichkeiten</small></div><div align="center"><small>''Entdecken, schreiben, gestalten und mitmachen''</small></div>{{RoundBoxBottom}} __NOTOC__ ==Beiträge entdecken== ===Suche=== <inputbox> type=search width=30 namespaces=Kurs** prefix=Kurs:WikiCLIMATEchange searchbuttonlabel=Beiträge suchen bgcolor=transparent break=no </inputbox> ===Rubriken=== <div align="center"> {| class="wikitable" |- ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|Fiktionale Texte]] ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|Persönliche Texte]] ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]] |- ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen|Visuelle Darstellungen]] ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Video- und Audio-Beiträge|Video- und Audio-Beiträge]] ! [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements]] |} </div> ==Über WikiCLIMATEchange== {{RoundBoxTop|theme=14}}''WikiCLIMATEchange'' ist eine transnationale und multilinguale Sammlung von Ideen zum lokalen Umgang mit den Ursachen und Auswirkungen des Klimawandels rund um den Globus. Alle weiteren Infos findest du auf unserer [[Kurs:WikiCLIMATEchange|Startseite von WikiCLIMATEchange]]{{RoundBoxBottom}} ==Teilnehmen – Wie geht das?== ===Einen Beitrag erstellen === # Den lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton oder anderen Medien beschreiben. # Die Ursachen lokaler Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären. # Wege für den lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen des Klimawandels entwerfen und gegebenenfalls bereits vorhandene Aktionen zeigen. ===Einen Beitrag veröffentlichen=== Du kannst deinen Beitrag selbst auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen oder ihn uns zukommen lassen. Wenn du deinen Beitrag selbstständig veröffentlichen möchtest, kannst du dich zunächst mit einem [[Spezial:Benutzerkonto_anlegen|Wiki-Account]] anmelden und anschließend eine passende Rubrik unter [[Kurs:WikiCLIMATEchange##Rubriken|Rubriken]] auswählen. Wenn du Unterstützung bei der Veröffentlichung brauchst, kannst du deinen Beitrag einfach an '''infoSCHREIBZENTRUM@ph-freiburg.de''' schicken. Das Team des Schreibzentrums unterstützt dich bei der Einbettung auf WikiCLIMATEchange. <!-- ==Aktuelle Beiträge== Diese Seite ist gerade im Umbau. Die bereits auf Wikiversity veröffentlichten Beiträge findest du in den folgenden Rubriken: * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|Fiktionale Texte]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Persönliche Texte|Persönliche Texte]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Visuelle Darstellungen|Visuelle Darstellungen]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Video- und Audio-Beiträge|Video- und Audio-Beiträge]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium|Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium]] ==Weiterführende Informationen== Alle weiteren Infos findest du auf unserer [[Kurs:WikiCLIMATEchange|Startseite von WikiCLIMATEchange]] --> [[Kategorie:Kurs]] b643h6x5c5g7ijqiaqcbegr0zk2ypwd 1115282 1115281 2026-10-06T09:16:52Z Schreibzentrum 39232 1115282 wikitext text/x-wiki {{RoundBoxTop|theme=2}}<div align="center"><span style="font-size: 150%; font-weight: bold;">WikiCLIMATEchange</span> </div><div align="center"><small>Beiträge zum Klimawandel, zu Nachhaltigkeit und zu Handlungsmöglichkeiten</small></div><div align="center"><small>''Entdecken, schreiben, gestalten und mitmachen''</small></div>{{RoundBoxBottom}} __NOTOC__ ==Beiträge entdecken== ===Suche=== <inputbox> type=search width=30 namespaces=Kurs** prefix=Kurs:WikiCLIMATEchange searchbuttonlabel=Beiträge suchen bgcolor=transparent break=no </inputbox> ===Rubriken=== <div align="center"> {| class="wikitable" |- ! 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Alle weiteren Infos findest du auf unserer [[Kurs:WikiCLIMATEchange|Startseite von WikiCLIMATEchange]]{{RoundBoxBottom}} ==Teilnehmen – Wie geht das?== ===Einen Beitrag erstellen === # Den lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton oder anderen Medien beschreiben. # Die Ursachen lokaler Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären. # Wege für den lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen des Klimawandels entwerfen und gegebenenfalls bereits vorhandene Aktionen zeigen. ===Einen Beitrag veröffentlichen=== Du kannst deinen Beitrag selbst auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen oder ihn uns zukommen lassen. Wenn du deinen Beitrag selbstständig veröffentlichen möchtest, kannst du dich zunächst mit einem [[Spezial:Benutzerkonto_anlegen|Wiki-Account]] anmelden und anschließend eine passende Rubrik unter [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge#Rubriken|Rubriken]] auswählen. 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''Hinweis: Zur besseren Übersicht ist auf der Wiki-Seite lediglich jeweils die erste Seite der Dokumente groß dargestellt. Über einen Klick auf die Darstellung gelangt man zum Media Viewer. Dort kann entweder mittels Pfeiltasten durch alle Seiten geklickt oder per Klick auf die große Darstellung das komplette PDF-Dokument abgerufen werden. == Fleisch, das Klima und Wir == [[Datei:Klimaplan "Fleisch, das Klima und Wir".pdf|page=1|gerahmt|links|Klimaplan zum Thema "Fleisch, das Klima und Wir" (Seite 1 von 5)]]. == Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla: Eine Umweltreportage aus México == [[Datei:Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla.pdf|page=1|gerahmt|Umweltreportage aus Mexiko (Seite 1 von 3)]]. {{clear}} == Wer hat Angst vorm Klimawandel? == {{clear}} == Nature Writing für ein Wiki - ein Widerspruch in sich? == {{clear}} == Climate Action Plan 2.0 == [[Datei:Climate Action Plan 2.0.pdf|page=1|gerahmt|links|"Climate Action Plan 2.0"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Ballona Wetlands Ecological Reserve: Los Angeles’s Last Large Marsh and Its Fight for Restoration == [[Datei:Sophie Sinor LA's Last Large Marsh and its Fight for Restoration.pdf|page=1|gerahmt|links|"Ballona Wetlands Ecological Reserve: Los Angeles’s Last Large Marsh and Its Fight for Restoration"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Hillsboro Electric Avenue== [[Datei:Hillsboro Electric Avenue.pdf|page=1|gerahmt|links|"Hillsboro Electric Avenue"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Bull Kelp Loss on The Oregon Coast== [[Datei:Bull Kelp Loss on the Oregon Coast.pdf|page=1|gerahmt|links|"Bull Kelp Loss on The Oregon Coast"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Environmental Effects of the 2020 Labor Day Weekend Oregon Wildfires== [[Datei:Environmental effects of the 2020 LDW Oregon Wildfires.pdf|page=1|gerahmt|links|"Environmental Effects of the 2020 Labor Day Weekend Oregon Wildfires"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==How to prepare residents for wildfires== [[Datei:How to prepare residents for wildfires.pdf||page=1|gerahmt|links|How to prepare residents for wildfires"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Wetland Project== [[Datei:Wetland project.pdf||page=1|gerahmt|links|"Wetland Project"(Seite 1 von 7)]] {{clear}} ==KWSO and Wildfire Smoke Coverage in Warm Springs== [[Datei:KWSO and Wildfire Smoke Coverage in Warm Springs OR.pdf||page=1|gerahmt|links|"KWSO and Wildfire Smoke Coverage"(Seite 1 von 10)]] {{clear}} == Responding to wildfires== [[Datei:Responding to wildfires.pdf|page=1|gerahmt|links|"Responding to wildfires"(Seite 1 von 8)]] {{clear}} --> k8npvwlvo7ktwb1pknvhajv7cbred4v 1115464 1115288 2026-10-06T11:14:52Z Schreibzentrum 39232 1115464 wikitext text/x-wiki ''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Sachtexte'' {{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC|Rand=#E6B800|RandLinks=#E6B800}} == Sachtexte == * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte/Fleisch, das Klima und Wir|Fleisch, das Klima und Wir]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte/Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla|Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla: Eine Umweltreportage aus México]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte/Climate Action Plan 2.0|Climate Action Plan 2.0]] <!-- #alte Seite - wird derzeit umgebaut ''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Sachtexte'' {{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFCCCC |Rand=#FF0000 |RandLinks=#FF6666}}. ''Hinweis: Zur besseren Übersicht ist auf der Wiki-Seite lediglich jeweils die erste Seite der Dokumente groß dargestellt. Über einen Klick auf die Darstellung gelangt man zum Media Viewer. Dort kann entweder mittels Pfeiltasten durch alle Seiten geklickt oder per Klick auf die große Darstellung das komplette PDF-Dokument abgerufen werden. == Fleisch, das Klima und Wir == [[Datei:Klimaplan "Fleisch, das Klima und Wir".pdf|page=1|gerahmt|links|Klimaplan zum Thema "Fleisch, das Klima und Wir" (Seite 1 von 5)]]. == Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla: Eine Umweltreportage aus México == [[Datei:Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla.pdf|page=1|gerahmt|Umweltreportage aus Mexiko (Seite 1 von 3)]]. {{clear}} == Wer hat Angst vorm Klimawandel? == {{clear}} == Nature Writing für ein Wiki - ein Widerspruch in sich? == {{clear}} == Climate Action Plan 2.0 == [[Datei:Climate Action Plan 2.0.pdf|page=1|gerahmt|links|"Climate Action Plan 2.0"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Ballona Wetlands Ecological Reserve: Los Angeles’s Last Large Marsh and Its Fight for Restoration == [[Datei:Sophie Sinor LA's Last Large Marsh and its Fight for Restoration.pdf|page=1|gerahmt|links|"Ballona Wetlands Ecological Reserve: Los Angeles’s Last Large Marsh and Its Fight for Restoration"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Hillsboro Electric Avenue== [[Datei:Hillsboro Electric Avenue.pdf|page=1|gerahmt|links|"Hillsboro Electric Avenue"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Bull Kelp Loss on The Oregon Coast== [[Datei:Bull Kelp Loss on the Oregon Coast.pdf|page=1|gerahmt|links|"Bull Kelp Loss on The Oregon Coast"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Environmental Effects of the 2020 Labor Day Weekend Oregon Wildfires== [[Datei:Environmental effects of the 2020 LDW Oregon Wildfires.pdf|page=1|gerahmt|links|"Environmental Effects of the 2020 Labor Day Weekend Oregon Wildfires"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==How to prepare residents for wildfires== [[Datei:How to prepare residents for wildfires.pdf||page=1|gerahmt|links|How to prepare residents for wildfires"(Seite 1 von 6)]] {{clear}} ==Wetland Project== [[Datei:Wetland project.pdf||page=1|gerahmt|links|"Wetland Project"(Seite 1 von 7)]] {{clear}} ==KWSO and Wildfire Smoke Coverage in Warm Springs== [[Datei:KWSO and Wildfire Smoke Coverage in Warm Springs OR.pdf||page=1|gerahmt|links|"KWSO and Wildfire Smoke Coverage"(Seite 1 von 10)]] {{clear}} == Responding to wildfires== [[Datei:Responding to wildfires.pdf|page=1|gerahmt|links|"Responding to wildfires"(Seite 1 von 8)]] {{clear}} --> jkwl5wfptkj9ro31gqp6p4stmswaify 106 158100 1115512 1114524 2026-10-06T11:54:50Z Schreibzentrum 39232 1115512 wikitext text/x-wiki ''Bislang veröffentlichte Beiträge im Bereich Fiktionale Texte'' {{Achtung |[[Kurs:WikiCLIMATEchange/Beiträge|Zurück zur Übersichtsseite der Beiträge]] |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC|Rand=#E6B800|RandLinks=#E6B800}} == Fiktionale Texte == === Gedichte === * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte/Gedicht: Freiburg, unsere Fahrradstadt|Gedicht: „Freiburg, unsere Fahrradstadt“]] === Kurzgeschichten === * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte/Kurzgeschichte: Die Reise des Plastikmülls|Kurzgeschichte: „Die Reise des Plastikmülls“]] * [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte/Kurzgeschichte: Wer hat Angst vorm Klimawandel|Kurzgeschichte: „Wer hat Angst vorm Klimawandel?“]] kv8v5e6753zhuvopfbtqbkbj10jdxpm 0 168277 1115230 1115229 2026-10-05T11:59:40Z ~2026-47548-34 41860 /* K2.7 - Supremum der Abweichung */ 1115230 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|stochastischen bzw. wahrscheinlichkeitstheoretische]] Konvergenzeigenschaft sich in die folgenden Eigenschaften gegeneinander ab ([[Konvergesiehe Übersicht]]und stellt in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaft Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] ip7eksoezmq1g1zk1p9x068do5gqvvo 106 170031 1115233 1108903 2026-10-05T12:28:46Z ~2026-53307-89 41916 /* Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis */ 1115233 wikitext text/x-wiki == Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Das Rechteck <math>R</math> sei mit <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{R}</math> als <math>R:= [a_1 ,b_1] +i\cdot [a_2,b_2]</math> gegeben. Dann wird das Doppelintegral über Real- und Imaginärteil von <math> f: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math id="Doppelintegral"> \iint_{R} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\, dy </math> === Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis === Die Integration in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet integrable Funktionen <math>g: U \to \mathbb{R} </math>, die von <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> nach <math>\mathbb{R}</math> abbilden. Wenn <math>g \geq 0</math> gilt, kann man das mehrdimensional Integral zwischen :<math>R:= [a_1 ,b_1] \times \ldots \times [b_n,b_n] \subset U</math> und dem Graph von <math>g</math> eingeschlossene Volumen interpretieren. Allgemein ist das oben genannte Doppelintegral ein Spezialfall des Mehrfachintegral in der reellen Analysis: :<math> \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots ,x_n) \, dx_1\, \ldots \, dx_n </math> === Bemerkung 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion === Um den Bezug zur reellen Analysis deutlich zu machen, wird <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math> identifiziert und die Funktion <math>f</math> in die Realteilfunktion <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> zerlegt: :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei gilt <math> f_{_{\mathbb{R}}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> und die Funktionen <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> sind klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. <span id="Rechtecke"></span> == Beispiel 1 - Doppelintegral über Rechtecke == Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R \!\!\! f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left[\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i x^2y \right]_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left[ \left[ \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right]_{-1}^{+2} \right]_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> <span id="Kreisschreiben"></span> == Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben == Wendet man die Definition des Doppelintegrals für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an. Im Beispiel erhält man als Integral auf der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit der [[Transformationsformel]] für den Mittelpunkt <math>z_0 := 2+i \not=0</math> und [[Transformationsformel/Polarkoordinaten|Polarkoordinatentransformation]] der Kreisscheibe und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> den Wert über die folgende Berechnung. === Berechnung des Doppelintegrals === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} f(x+iy) \, dx \, dy & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \!\!\!\! z_0^2 \cdot r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \!\!\!\! \tfrac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \cdot \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. == Aufgabe für Studierende == Erläutern Sie die Unterschiede in der Integraldefinition von folgenden 3 Integralbegriffen für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math> f : G \to \mathbb{C} </math> auf einem Gebiet <math>G</math>: * [[Wegintegral]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil#Doppelintegral|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Wegintegrale und Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] l7hekmiuiz4rqsmavyjj2la0cjrvpp0 1115237 1115233 2026-10-05T12:31:17Z ~2026-53307-89 41916 /* Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis */ 1115237 wikitext text/x-wiki == Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Das Rechteck <math>R</math> sei mit <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{R}</math> als <math>R:= [a_1 ,b_1] +i\cdot [a_2,b_2]</math> gegeben. Dann wird das Doppelintegral über Real- und Imaginärteil von <math> f: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math id="Doppelintegral"> \iint_{R} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\, dy </math> === Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis === Die Integration in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet integrable Funktionen <math>g: U \to \mathbb{R} </math>, die von <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> nach <math>\mathbb{R}</math> abbilden. Wenn <math>g \geq 0</math> gilt, kann man das mehrdimensional Integral zwischen :<math>R:= [a_1 ,b_1] \times \ldots \times [a_n,b_n] \subset U</math> und dem Graph von <math>g</math> als eingeschlossenes Volumen interpretieren. Allgemein ist das oben genannte Doppelintegral ein Spezialfall des Mehrfachintegral in der reellen Analysis: :<math> \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots ,x_n) \, dx_1\, \ldots \, dx_n </math> === Bemerkung 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion === Um den Bezug zur reellen Analysis deutlich zu machen, wird <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math> identifiziert und die Funktion <math>f</math> in die Realteilfunktion <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> zerlegt: :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei gilt <math> f_{_{\mathbb{R}}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> und die Funktionen <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> sind klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. <span id="Rechtecke"></span> == Beispiel 1 - Doppelintegral über Rechtecke == Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R \!\!\! f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left[\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i x^2y \right]_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left[ \left[ \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right]_{-1}^{+2} \right]_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> <span id="Kreisschreiben"></span> == Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben == Wendet man die Definition des Doppelintegrals für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an. Im Beispiel erhält man als Integral auf der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit der [[Transformationsformel]] für den Mittelpunkt <math>z_0 := 2+i \not=0</math> und [[Transformationsformel/Polarkoordinaten|Polarkoordinatentransformation]] der Kreisscheibe und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> den Wert über die folgende Berechnung. === Berechnung des Doppelintegrals === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} f(x+iy) \, dx \, dy & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \!\!\!\! z_0^2 \cdot r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \!\!\!\! \tfrac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \cdot \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. == Aufgabe für Studierende == Erläutern Sie die Unterschiede in der Integraldefinition von folgenden 3 Integralbegriffen für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math> f : G \to \mathbb{C} </math> auf einem Gebiet <math>G</math>: * [[Wegintegral]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil#Doppelintegral|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Wegintegrale und Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 2z6o2amy27upi5d5xb59bwme9il7qbf 106 170061 1115284 1076812 2026-10-06T09:20:42Z Kaan Bauer 38603 /* Taylorentwicklung der Funktionen */ 1115284 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F(z_2)\, dz_2 = \underset{\langle z_o,z_2\rangle}{\int} \,\,\, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\, dz_2 </math> Dabei ist <math>\gamma_z =\langle z_o,z\rangle</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math>. === Bemerkung - Stammfunktion höherer Ordnung === Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box = F_{(2)}</math> ist ein Spezialfall von [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math> F_{(n)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|der Ordnung]] <math>n\in\mathbb{N}</math> für <math>n=2</math>. Die Ordnung <math>n</math> bestimmt die Anzahl der gebildeten Mehrfachintegrale: :<math> F_{(n)}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F_{(n-1)}(z_n)\, dz_n = \underset{\langle z_o,z_n\rangle}{\int} \,\ldots \, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\ldots \, dz_n </math> == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] erhält man über summandenweise Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Sei <math>F(z) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{f^{(n)}(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> die [[Holomorphiekriterum für lokale Stammfunktionen| lokale Stammfunktion]] von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration: :<math> F_\Box(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> Die Taylorentwicklung der [[Flächenstammfunktion]] ist ein Spezialfall für [[Stammfunktionen höherer Ordnung]], die durch den [[Satz über lokale Stammfunktionen]] behandelt wird. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterum für lokale Stammfunktionen]] * [[Konvexkombination]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] beca0lbqpgtqea0k0xfv38pcc462ube 106 170544 1115266 1114900 2026-10-05T13:55:54Z Bocardodarapti 2041 1115266 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Navigation}}[https://studip.uni-osnabrueck.de/dispatch.php/course/overview?cid=1dab5ea5a5b85d5d2a4eaa6590fee433] Kursseite auf Stud.IP (zugangsbeschränkt) <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]</noinclude> https://ems.press/content/serial-article-files/54073 bmtjuxddp1e8zh5iq6uzeuzo36jw263 106 170557 1115264 1109262 2026-10-05T13:53:28Z Bocardodarapti 2041 1115264 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet|Griechisches Alphabet]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T1/Klausur|Beispiel für eine erste 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eine erste Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T3/Klausur|Beispiel für eine erste Testklausur]] *[[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/Klausuren|Beispielklausuren]] *[[Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear|Klausurbewertung]] <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]]</noinclude> n3k8pcocnrnke3m7nk9hap5wnytj7rq 106 170983 1115255 1080621 2026-10-05T13:38:18Z Bocardodarapti 2041 1115255 wikitext text/x-wiki {{Aktuellbox|Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Aktuelles}} {{:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Navigation}} {{ inputbild |Whitney unbrella|png| 200px {{!}} right {{!}} |Zusname= Whitney unbrella |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} [[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)]] [[Kategorie:Kurs an einer Universität]] 4mysxfw3jg3i4ofh7iyotg7ftewi7pc 106 170999 1115256 1080638 2026-10-05T13:39:05Z Bocardodarapti 2041 1115256 wikitext text/x-wiki {{Vorlesungsaufzählung |Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)| |V1=Der Satz über implizite Abbildungen |V2=Algebraische Nullstellengebilde |V3=Monomiale Gleichungen und simpliziale Komplexe |V4=Stanley-Reisner-Ringe |V5=Binomiale Gleichungen |V6=Monoidringe |V7=Gruppenoperationen |V8=Quotientensingularitäten |V9=Die lokale Fundamentalgruppe |V10=Die lokale Fundamentalgruppe für Monoidringe |V11=Knoten |V12=Derivationen und Differentiale |V13=Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix |V14=Jacobiideal und Milnorzahl |V15=Die Multiplizität |V16=Die Hilbertfunktion graduierter Moduln |V17=Die Hilbert-Samuel-Multiplizität |V18=Die Krulldimension |V19=Dimension von Varietäten |V20=Produktvarietäten |V21=Reguläre Ringe |V22=Schnitttheorie in glatten Punkten |V23=Freie Auflösungen |V24=Homologische Charakterisierung |V25=Faktorialität |V26= |V27= |V28= |V29= |V30= }}<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungen]]</noinclude> mxrxfowh5q83rpcu4vl8girm8jshzwb 106 171005 1115503 1080645 2026-10-06T11:35:54Z Bocardodarapti 2041 1115503 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Überkreuzrelation/Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt|Nenneraufnahme]] *[[Hilbertscher Nullstellensatz/Algebraisch und geometrisch/Textabschnitt|Hilbertscher Nullstellensatz]] *[[K-Spektrum/Einführung/Textabschnitt|Das K-Spektrum]] *[[Invariantentheorie/Galoistheorie/Beziehung_für_Integritätsbereich/Textabschnitt|Invariantentheorie und Galoistheorie]] *[[Spezielle unitäre Gruppe/Realisierung/Dimension 2/Textabschnitt|Spezielle unitäre Gruppe]] *[[Singularitätentheorie/Tensorprodukt/Textabschnitt|Tensorprodukt von Moduln]] *[[Kommutativer Ring/Lemma von Nakayama/Textabschnitt|Das Lemma von Nakayama]] *[[Modultheorie (kommutative Algebra)/Kurze exakte Sequenz/Einführung/Textabschnitt|Exakte Sequenzen]] *[[Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Textabschnitt|Stetigkeit der Nullstellen]] *[[Ganzwertige Polynome/Q/Einführung/Textabschnitt|Ganzwertige Polynome]] *[[Tensorprodukt/Kommutative Ringe/Affine Schemata/Einführung/Textabschnitt|Tensorprodukt von Algebren]] *[[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Textabschnitt|Dimension bei Ganzheit]] *[[Modultheorie/Assoziierte_Primideale/Einführung/Textabschnitt|Assoziierte Primideale]] *[[Algebra/Endlicher Typ/Noethersche Normalisierung/Textabschnitt|Noethersche Normalisierung]] *[[Primideal/Vermeidung/Textabschnitt|Primidealvermeidung]] *[[Körpererweiterung/Separabel/Textabschnitt|Separable nicht endliche Körpererweiterungen]] *[[Kommutative_Algebra/Projektiver_Modul/Einführung/Textabschnitt|Projektive Moduln]] *[[Kommutativer Ring/Modul/Global und lokal/Test/Textabschnitt|Lokale Tests]] <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Hilfsstruktur]]</noinclude> lae1s081g26ne8zxu2uouh0ai13j6fx 106 171017 1115231 1080659 2026-10-05T12:23:27Z Bocardodarapti 2041 1115231 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Der Satz über implizite Abbildungen}} {{:Singularitäten/Implizite Funktionen/Motivation/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Singularitäten}} {{:Singularitäten/Implizite Funktionen/Motivation/Einführung/2/Textabschnitt}} }} 0b6mqe1nf20cyou10u4zpcjsl3cx81y 106 171018 1115236 1080660 2026-10-05T12:30:10Z Bocardodarapti 2041 1115236 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Nullstellengebilde von Polynomen}} Wir legen, ausgehend von der Situation des Satzes über implizite Abbildungen, die geometrischen Objekte und die Funktionen darauf fest, mit denen wir uns hauptsächlich in dieser Vorlesung beschäftigen wollen. {{:Polynome/Nullstellengebilde/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Der Hilbertsche Nullstellensatz}} {{:Hilbertscher Nullstellensatz/Singularitätentheorie/Zusammenfassung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Der affine Koordinatenring}} Wie in der ersten Vorlesung erwähnt gehört zu einem geometrischen Objekt {{math|term= X |SZ=}} eine adäquate Klasse von darauf definierten Funktionen mit Werten in einem geeigneten Körper. Da man Funktionen von einer Menge in einen Körper unmittelbar addieren und multiplizieren kann, bilden solche Funktionenmengen einen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ=. }} In der algebraischen Geometrie und insbesondere in der Theorie der Schemata ist die Beziehung zwischen geometrischen Objekten und kommutativen Ringen besonders eng. Andere typische Beispiele für solche {{Stichwort|beringten Räume|msw=Beringter Raum|SZ=}} sind. {{ Aufzählung4 |Topologische Räume und {{math|term= \R |SZ=-}}wertige {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktionen| |Kontext=top| |SZ=. }} |Reelle Mannigfaltigkeiten und {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=Funktion, Mannigfaltigkeit|msw=| |SZ= }} {{math|term= \R |SZ=-}}wertige Funktionen. |Reell-analytische Mannigfaltigkeiten und reell-analytische Funktionen. |Komplexe Mannigfaltigkeiten und holomorphe Funktionen. }} {{:Affin-algebraische Menge/Affiner Koordinatenring/Einführung/Textabschnitt}} }} btigrgramilsviildi79lkn3dqvfibb 106 171019 1115238 1080661 2026-10-05T12:32:05Z Bocardodarapti 2041 1115238 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Simpliziale Komplexe}} {{:Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Glatte Punkte}} Bei einer Achsenraumkonfiguration, die zu einem simplizialen Komplex gehört, erwartet man, dass die Punkte, die auf genau einer irreduziblen Komponente liegen und daher die anderen Komponenten nicht treffen, sich lokal wie Punkte auf einem affinen Raum der entsprechenden Dimension verhalten, also glatt sind. Um dies zu bestätigen, müssen wir zuerst allgemein für einen beliebigen Körper die Glattheit definieren. Dieses Konzept hängt zwar im Allgemeinen auch von der Dimension der affin-algebraischen Mengen ab, die wir noch nicht eingeführt haben, doch ist bei den Achsenraumkonfigurationen klar, dass die Dimension einfach die maximale Dimension einer irreduziblen Komponente ist, die ja alle affine Räume sind, deren Dimension aus der Elementanzahl der zugehörigen Facette ablesbar ist. {{:Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbild |Tangentialvektor|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=TN |Domäne=de Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir definieren den Tangentialraum für einen Punkt einer affin-algebraischen Menge, wobei wir uns an der {{ Definitionslink |Prämath= |entsprechenden Definition| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |SZ= }} aus der Analysis orientieren. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung eine ganze Reihe von weiteren Konzepten für den Tangentialraum und den Kotangentialraum kennenlernen. Der Nachteil der gegebenen Definition ist, dass sie extrinsisch ist, also vom umgebenden Raum abhängt, und nicht intrinsisch ist. Eine intrinsische Realisierung werden wir in der zwölften Vorlesung kennenlernen. {{ inputdefinition |Polynomiale Abbildung/Nullstellenmenge/Punkt/Tangentialraum/Definition|| }} Oft nennt man auch den affinen Raum {{mathl|term= P + T_PY |SZ=}} den Tangentialraum an {{math|term= P |SZ=}} von {{math|term= V |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Dimensionsformel|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} für lineare Abbildungen gilt {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| T_PV |}} || m - {{op:Rang(|\operatorname{Jak} {{makl| f_1 {{ kommadots|}} f_m |}}_P |}} || || || |SZ=. }} In einem glatten Punkt stimmt somit die Vektorraumdimension des Tangentialraumes mit der Dimension von {{math|term= V|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} überein. Bei einem singulären Punkt einer Hyperfläche ist der gesamte umgebende Raum der Tangentialraum. {{ inputdefinition |Affine Varietät/Isolierte Singularität/Definition|| }} }} kuow400hnpnkklj4ymkwlcc8rjc2l6n 106 171020 1115241 1080662 2026-10-05T12:34:59Z Bocardodarapti 2041 1115241 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Glatte Punkte auf Achsenraumkonfigurationen}} {{:Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Glattheit/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Stanley-Reisner-Ringe}} Wie in der ersten Vorlesung angekündigt, wollen wir einen singulären Raum immer auch über die auf ihm definierten Funktionen verstehen. Im algebraischen Kontext werden diese im affinen Koordinatenring zusammengefasst. Für die simplizialen Komplexe und ihre geometrische Realisierung als Achsenraumkonfigurationen führt das zu den Stanley-Reisner-Ringen. {{:Stanley-Reisner-Ring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Lokale Ringe}} {{:Lokaler Ring/Singularitätentheorie/Einführung/Textabschnitt}} }} hnd5dkhqbmhkxz42ldhzn01vgvtyycq 106 171021 1115243 1080663 2026-10-05T12:37:40Z Bocardodarapti 2041 1115243 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Binomiale Gleichungen}} {{:Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=siehe allerdings die [[Kurs:Singularitätentheorie_(Osnabrück_2019)/Vorlesung_11|elfte Vorlesung]], wo topologische Eigenschaften besprochen werden, die mit der Einbettung zusammenhängen, aber nicht mit der intrinsischen topologischen Struktur der Kurve| |ISZ=|ESZ=. }} }} {{ inputbeispiel |Binomiale Gleichung/x^2-x/xy-y/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Minoren/2x2/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Monoidstruktur auf binomialen Nullstellengebilden}} Der affine Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| n | K }} |SZ=}} ist ein Vektorraum und insbesondere mit der komponentenweisen Addition eine kommutative Gruppe. Es gibt aber auch die komponentenweise Multiplikation, mit der der affine Raum allerdings nur ein Monoid und keine Gruppe ist. Andererseits ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Einheiten|K}} |}}^n || D {{makl| X_1 \cdots X_n |}} || D {{makl| X_1 |}} {{capdots}} D {{makl| X_n |}} || || |SZ= }} eine Gruppe. {{ inputfaktbeweis |Binomiale Gleichungen/Nullstellengebilde/Monoidstruktur/Fakt|Lemma|| }} }} nkp4la3ieicwqtwwgfeqxfn55omb44q 1115246 1115243 2026-10-05T12:39:46Z Bocardodarapti 2041 1115246 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Binomiale Gleichungen}} {{:Singularitäten/Binomiale Gleichungen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=siehe allerdings die [[Kurs:Singularitätentheorie_(Osnabrück_2026-2027)/Vorlesung_11|elfte Vorlesung]], wo topologische Eigenschaften besprochen werden, die mit der Einbettung zusammenhängen, aber nicht mit der intrinsischen topologischen Struktur der Kurve| |ISZ=|ESZ=. }} }} {{ inputbeispiel |Binomiale Gleichung/x^2-x/xy-y/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Minoren/2x2/Glattheit/Dimension/Diskussion/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Monoidstruktur auf binomialen Nullstellengebilden}} Der affine Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| n | K }} |SZ=}} ist ein Vektorraum und insbesondere mit der komponentenweisen Addition eine kommutative Gruppe. Es gibt aber auch die komponentenweise Multiplikation, mit der der affine Raum allerdings nur ein Monoid und keine Gruppe ist. Andererseits ist {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Einheiten|K}} |}}^n || D {{makl| X_1 \cdots X_n |}} || D {{makl| X_1 |}} {{capdots}} D {{makl| X_n |}} || || |SZ= }} eine Gruppe. {{ inputfaktbeweis |Binomiale Gleichungen/Nullstellengebilde/Monoidstruktur/Fakt|Lemma|| }} }} ha09brfbok5tn75siczms7tth0l6v1u 106 171022 1115245 1080664 2026-10-05T12:39:22Z Bocardodarapti 2041 1115245 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Von binomialen Gleichungen zu Exponentengleichungen}} {{:Binomiale Gleichungen/Exponentengleichungen/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Monoidringe}} {{:Monoidring/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Allgemeine Hyperbel/Laurentring/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Universelle Eigenschaft der Monoidringe}} {{inputfaktbeweis|Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz|}} Die folgende Aussage bedeutet, in Zusammenhang mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass bei fixiertem Grundring {{math|term= R |SZ=}} die Zuordnung, die einem Monoid {{math|term= M |SZ=}} den Monoidring {{math|term= R[M] |SZ=}} zuordnet, ein {{Stichwort|Funktor|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar||}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Polynomring als Spezialfall/Bemerkung||}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar||}} {{Zwischenüberschrift|Monoidring und binomiales Ideal}} {{ inputfaktbeweis |Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt|Lemma|| }} Die folgende Aussage knüpft an {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} an. {{ inputfaktbeweis |Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Ideal/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Das {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum eines Monoidringes}} {{inputdefinition |Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Definition|}} {{inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung|}} }} 5eax6ggv9jjbp5big1x3wcqfpapz0oe 106 171023 1115249 1080665 2026-10-05T12:44:05Z Bocardodarapti 2041 1115249 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|7| In den folgenden beiden Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term= K[U,V]^G |SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Die ADE-Singularitäten treten in vielen verschiedenen Kontexten immer wieder auf. {{Zwischenüberschrift|Gruppenoperationen}} {{:Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Lineare Gruppenoperationen auf dem {{math|term= K^d |SZ=}} }} {{:Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Invariantenringe}} {{:Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Invariantenring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Eine Liste von Untergruppen der {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=}}}} Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}}}} |SZ=.}} Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist. {{:Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Liste/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Beziehung zwischen {{mathlk|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} und {{mathlk|term= {{op:SOG| 3 | \R }} |SZ=}} }} Für die Klassifikation der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }}|SZ=}} werden wir die platonische Klassifikation der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SOG| 3 | \R }} |SZ=}} heranziehen. Die Beziehung zwischen diesen beiden Fragestellungen beruht darauf, dass einerseits die {{mathl|term= {{op:SLG| 2 | {{CC}} }} |SZ=}} auf der komplex-projektiven Geraden {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} }} |SZ=}} und andererseits die Isometrien des {{math|term= \R^3 |SZ=}} auf der 2-Sphäre {{ Relationskette/display | S^2 |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} operiert. Die Homöomorphie {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade| {{CC}} }} | \cong | S^2 || || || || |SZ= }} ermöglicht einen Zusammenhang zwischen diesen Gruppen und ihren endlichen Untergruppen. {{:SL2C und SO3R/Vorbereitungen/2/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Quotientensingularitäten}} {{ inputdefinition |Quotientensingularität/Endlich/Definition|| }} {{ inputdefinition |Spezielle Quotientensingularität/Endlich/Definition|| }} Diese beiden Definitionen umfassen als Extremfall auch die Situation, wo der Invariantenring regulär ist, also im strengen Sinn überhaupt keine Singularität vorliegt. Es kann sein, dass ein kommutativer Ring sowohl zum Invariantenring zu {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG| n | K }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |G | \not\subseteq | {{op:SLG| n | K }} || || || |SZ=, }} als auch zum Invariantenring zu {{ Relationskette/display | H | \subseteq | {{op:SLG| n | K }} || || || |SZ= }} isomorph ist. Ein Beispiel dafür ist der Polynomring selbst. Ein Beispiel für eine Quotientensingularität, die keine spezielle Quotientensingularität ist, ist der Veronesering {{ Relationskette/display | K [U,V]^{( \ell)} || K[U^\ell, U^{\ell -1} V, U^{\ell -2} V^2 {{kommadots}} UV^ {\ell -1}, V^ \ell ] | \subseteq | K[U,V] || || |SZ= }} bei {{ Relationskette | \ell |\geq| 3 || || || |SZ=. }} }} laojaof6cgamfyrh4mqjwgbuuivjt9c 106 171024 1115324 1080666 2026-10-06T10:26:19Z Bocardodarapti 2041 1115324 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|8| Wir möchten typische Methoden beschreiben, mit denen man die Invariantenringe zu den Operationen der endlichen Untergruppen der speziellen linearen Gruppe berechnen kann. Berechnen heißt, invariante Polynome zu finden, davon ein endliches Algebraerzeugendensystem auszuwählen und Relationen zwischen diesen Erzeugern zu finden. Eine typische Besonderheit der speziellen Quotientensingularitäten in der Dimension zwei ist, dass sie sich mit einer einzigen Gleichung in drei Variablen beschreiben lassen. Diese Gleichungen wollen wir im Folgenden bestimmen. {{Zwischenüberschrift|Graduierungen}} {{ inputdefinition |Graduierte Algebra/Ring/Gruppe beliebig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} Die Ringe {{ Relationskette/display | K[U^n,V^n,UV] |\cong| K[X,Y,Z] {{makl| XY-Z^n |}} || || || |SZ= }} nennt man {{math|term= A_{n-1} |SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=A-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte die Indizierung| |ISZ=|ESZ=! }} {{Zwischenüberschrift|Der Invariantenring der binären Diedergruppe}} Aufbauend auf die Berechnung des Invariantenringes zur zyklischen Gruppe können wir den Invariantenring zur binären Diedergruppen {{mathl|term= BD_{m}|SZ=}} bestimmen. {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Untergruppe/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Binäre Diedergruppe/Invariantenring über xy-z^n/Beispiel|| }} Man spricht von den {{math|term= D_{m+2} |SZ=-}}{{Stichwort|Singularitäten|msw=D-Singularität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man beachte die Indizierung| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= D_3 |SZ=}} isomorph zu {{math|term= A_3 |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| X^2 + YZ^2+Y^2 |}} |\cong| {{CC}}[S,T,U]/ {{makl| ST+U^4 |}} || || || |SZ=, }} so dass man diese {{math|term= D |SZ=-}}Liste bei {{math|term= D_4 |SZ=}} beginnen lässt. In den ursprünglichen Variablen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} sind {{ Math/display|term= U^{2m}+V^{2m}, \, U^2V^2 \text{ und } UV {{makl| U^{2m} - V^{2m} |}} |SZ= }} ein Algebraerzeugendensystem aus invarianten Polynomen. In Charakteristik {{mathl|term=\neq 2,3 |SZ=}} kann man die {{math|term= D_4 |SZ=-}}Gleichung, also {{ Relationskette | X^2 + YZ^2+Y^3 || 0 || || || |SZ= }} in {{ Relationskette | X^2 + Y^3+Z^3 || 0 || || || |SZ= }} transformieren. {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Tetraedergruppe}} {{ inputbeispiel |Binäre Tetraedergruppe/Binäre Diedergruppe als Normalteiler/Charakter/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Oktaedergruppe}} Wir setzen die Berechnung der Invariantenringe zu den Operationen der endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=}} fort. {{ inputbeispiel |Binäre Oktaedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring mittels Tetraeder/Beispiel|| }} Diesen Invariantenring bezeichnet man als {{math|term= E_7|SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw=E7-Singularität|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Die Invarianten der binären Ikosaedergruppe}} Der Invariantenring zur binären Ikosaedergruppe verhält sich in vielerlei Hinsicht anders als die bisher besprochenen Invariantenringe. Man braucht andere Methoden, um letztlich zu zeigen, dass der Invariantenring gleich {{ Math/display|term= K[X,Y,Z]/ {{makl| X^2+Y^3+Z^5 |}} |SZ= }} ist. Man spricht von der {{math|term= E_8|SZ=-}}{{Stichwort|Singularität|msw=E8-Singularität|SZ=.}} }} n9yu5d6kko7ugodx7i4vknnhyots68g 106 171025 1115325 1080667 2026-10-06T10:26:54Z Bocardodarapti 2041 1115325 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|9| Zu einer endlichen Untergruppe {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SUG|2|{{CC}}}} || || || |SZ= }} liegt im Quotienten {{ Relationskette | X || {{CC}}^2 / G || || || |SZ= }} im Bildpunkt {{math|term= P |SZ=}} von {{ Relationskette | 0 |\in| {{CC}}^2 || || || |SZ= }} eine Singularität vor, dagegen ist {{mathl|term= X \setminus \{P\} |SZ=}} glatt. Wir stellen uns die folgenden Fragen: Kann man es dieser glatten offenen Menge ansehen, dass sie nur durch einen singulären Punkt zu einer affinen Varietät abgeschlossen wird {{ Zusatz/Klammer |text=oder könnte man sie auch durch einen glatten Punkt abschließen| |ISZ=|ESZ=? }} Kann man die Gruppe {{math|term= G |SZ=,}} mit der wir {{math|term= X |SZ=}} definiert haben, aus intrinsischen Eigenschaften von {{math|term= X |SZ=}} oder von {{mathl|term= X \setminus \{P\} |SZ=}} rekonstruieren? Sind die zu den unterschiedlichen {{math|term= G |SZ=}} auftretenden Quotienten untereinander verschieden? Wir werden all diese Fragen positiv beantworten, wobei wir eine wichtige topologische Konstruktion einsetzen, nämlich die Fundamentalgruppe. {{Zwischenüberschrift|Die Fundamentalgruppe}} {{:Fundamentalgruppe/Hinblick auf ADE/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Zur Fundamentalgruppe der Quotientensingularitäten}} Es sei {{ Relationskette | X || {{CC}}^2 \backslash G || {{makl| {{op:Spek|{{CC}}[U,V]|}}^G |}}_{{CC}} || || |SZ=. }} Wir wollen zeigen, dass man die operierende Gruppe {{math|term= G |SZ=}} im Quotienten {{math|term= X |SZ=}} wiederfinden kann, und zwar als Fundamentalgruppe der punktierten Singularität, also des Quotienten ohne den singulären Punkt. Zuerst zeigen wir, dass die Fundamentalgruppe {{ Zusatz/Klammer |text=des Spektrums| |ISZ=|ESZ= }} einer positiv-graduierten Algebra trivial ist. {{ inputfaktbeweis |Positiv graduierte Algebra/C/Kontrahierbar/Triviale Fundamentalgruppe/Fakt|Lemma|| }} Zu einer endlich erzeugten zusammenhängenden {{math|term={{CC}}|SZ=-}}Algebra {{math|term= R|SZ=,}} einem maximalen Ideal {{ Relationskette | {{idealm|}} | \subseteq | R || || || || |SZ= }} und dem zugehörigen Punkt {{ Relationskette |P |\in| X || {{makl| {{op:Spek|R|}} |}}_{{CC}} || || |SZ= }} nennt man die {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalgruppe| |SZ= }} von {{mathl|term= X \setminus \{P\} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Fundamentalgruppe| |Definitionsseitenname= |SZ= }} von {{math|term= X |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=.}} Bei einer positiv graduierten {{math|term= {{CC}} |SZ=-}}Algebra meint man mit der lokalen Fundamentalgruppe die lokale Fundamentalgruppe im Punkt, der zum {{ Definitionslink |Prämath= |irrelevanten Ideal| |SZ= }} {{math|term= R_+ |SZ=}} gehört. Bei einer {{ Definitionslink |Prämath= |isolierten Singularität| |SZ= }} versteht man unter der lokalen Fundamentalgruppe die Fundamentalgruppe des Komplementes der Singularität. Im Fall der ADE-Singularitäten ist {{ Relationskette | (0,0) |\in | {{CC}}^2 || || || || |SZ= }} der Fixpunkt der Gruppenoperation und sein Bildpunkt im Quotienten ist der singuläre Punkt {{ Relationskette | P |\in| X || || || |SZ=. }} Wenn man die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (0,0) |und|term2= P |SZ= }} herausnimmt, so erhält man eine Gruppenoperation von {{math|term= G |SZ=}} auf {{mathl|term={{CC}}^2 \setminus \{(0,0)\} |SZ=}} mit dem Quotienten {{mathl|term= X \setminus \{P\} |SZ=.}} Wir werden gleich begründen, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{CC}}^2 \setminus\{(0,0)\} | X \setminus\{P\} || |SZ= }} eine Überlagerung ist und dass die Fundamentalgruppe von {{mathl|term= X \setminus\{P\} |SZ=}} isomorph zu {{math|term= G|SZ=}} ist. Dazu zitieren wir ohne Beweis den folgenden Satz. {{ inputfakt |Endliche Gruppe/Fixpunktfreie Operation/Hausdorffraum und einfach zusammenhängend/Überlagerung und Fundamentalgruppe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |ADE/Zweidimensional/Fixpunktfreie Operation/Lokale Fundamentalgruppe/Fakt|Satz|| }} Dies beantwortet die eingangs erwähnten Fragen positiv. Für die erste Frage muss man wissen, dass eine komplex-zweidimensionale affine glatte Varietät in jedem ihrer Punkte eine triviale lokale Fundamentalgruppe besitzt, da eine offene Umgebung des glatten Punktes diffeomorph zu einem offenen Ball im {{ Relationskette | {{CC}}^2 | \cong | \R^4 || || || || |SZ= }} ist und ein solcher punktierter Ball eine triviale Fundamentalgruppe besitzt. }} beapjnfs83i921sx33iiwyzp637c6zo 106 171026 1115327 1080668 2026-10-06T10:27:52Z Bocardodarapti 2041 1115327 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|10| {{Zwischenüberschrift|Die lokale Fundamentalgruppe von Monoidringen}} In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, dass im Falle der ADE-Singularitäten die operierende Gruppe als lokale Fundamentalgruppe des Invariantenringens, also als Fundamentalgruppe des punktierten Quotientenraumes wiederkehrt. Die A-Singularitäten sind Monoidringe der Form {{mathl|term= {{CC}}[X,Y,Z]/ {{makl| XY-Z^n |}} |SZ=,}} die operierende Gruppe ist die zyklische Gruppe {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=}} und dies ist auch die lokale Fundamentalgruppe. In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns generell mit der lokalen Fundamentalgruppe von Monoidringen, wobei wir diese {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Graduierter Ring/Körper/Endliche Gruppe/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} als Invariantenringe zu einer kommutativen Gruppe und als Ringe der neutralen Stufe einer Gradierung auf einem Polynomring auffassen. {{:Monoidring/Lokale Fundamentalgruppe/Grundidee/Textabschnitt}} {{:Monoidringe/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/2/Textabschnitt|n=r|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} agfknmgarrfkh8evpqb85klkkdx71li 106 171027 1115328 1080669 2026-10-06T10:28:17Z Bocardodarapti 2041 1115328 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|11| {{Zwischenüberschrift|Ebene monomiale Kurven und Knoten}} In den letzten beiden Vorlesungen haben wir {{ Zusatz/Klammer |text=hauptsächlich im Zweidimensionalen| |ISZ=|ESZ= }} gezeigt, inwiefern sich eine isolierte Singularität in der lokalen Fundamentalgruppe niederschlägt. Die lokale Fundamentalgruppe ist eine intrinsische topologische Invariante der affin-algebraischen Menge {{math|term= V |SZ=}} und unabhängig von der Einbettung von {{math|term= V |SZ=}} in einen {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=.}} In dieser Vorlesung werden wir eine Beispielklasse anschauen, bei der die Singularität keine Auswirkung auf die intrinsische topologische Gestalt von {{math|term= V |SZ=}} hat, bei der aber die Singularität eine starke topologische Auswirkung auf Invarianten der Einbettung besitzt. {{:Monomiale Kurve/z^a ist w^b/C/Link/Topologie/Textabschnitt}} }} 53amuwg4i7kqrxtheovyj46q413apok 106 171028 1115330 1080670 2026-10-06T10:30:26Z Bocardodarapti 2041 1115330 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|12| {{Zwischenüberschrift|Der Modul der Kähler-Differentiale}} Der Tangentialraum zu einer polynomialen Abbildung {{ Abbildung |name=f | {{op:Affiner Raum| n | K |}} | {{op:Affiner Raum| m | K |}} || |SZ= }} mit dem Nullstellengebilde {{ Relationskette | V || V {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_m |}} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K |}} || || |SZ= }} an einem Punkt {{ Relationskette | P | \in | V || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | T_P V | {{defeq|}} | {{op:Kern(| \operatorname{Jak} {{makl| f_1 {{ kommadots|}} f_m |}}_P |}} ||{{Mengebed| v \in {{op:Affiner Raum| n | K |}} | \operatorname{Jak} {{makl| f_1 {{ kommadots|}} f_m |}}_P (v) {{=|}} 0 }} || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= P |SZ=}} ein regulärer Punkt der Abbildung ist und man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so handelt es sich um einen linearen Unterraum, dessen Dimension mit der (Mannigfaltigkeits-)Dimension von {{math|term= V|SZ=}} übereinstimmt. Diese Konstruktion ist extrinsisch, sie hängt von der Einbettung von {{math|term= V|SZ=}} in den affinen Raum ab. Wir möchten eine intrinsische Version des Tangentialraumes vorstellen, der nur von {{math|term= V |SZ=}} bzw. dem affinen Koordinatenring abhängt. Dazu führen wir den Modul der Kähler-Differentiale ein, der für jede {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |SZ= }} {{math|term= A |SZ=}} eine duale Version des Tangentialraumes liefert. {{:Algebraische Derivationen und Differentiale/1/Einführung/Textabschnitt}} }} p34vywoxo9l6xhrdul44wqy3nnbkzly 106 171029 1115331 1080671 2026-10-06T10:31:06Z Bocardodarapti 2041 1115331 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix}} {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbemerkung |Kähler-Differentiale/Jacobi-Matrix/Kokern-Darstellung/Bemerkung|| }} {{:Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Textabschnitt|}} }} 70ahp04k4kz8tmtq81343s0eve43que 106 171030 1115332 1080672 2026-10-06T10:31:36Z Bocardodarapti 2041 1115332 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|Das Jacobiideal und die Milnorzahl}} {{:Hyperfläche/Jacobiideal/Milnorzahl/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Häufig kann man die Milnorzahl auch direkt als Dimension der Restklassenalgebra des Polynomrings ausrechnen und muss nicht in der Lokalisierung arbeiten. Dies beruht auf dem folgenden allgemeinen Resultat. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Ideal/Maximales Ideal/Radikal/Restklassenring/Fakt|Lemma|| }} }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Lineare Abbildung/Jacobiideal/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Hesse-Matrix}} Wir erinnern an die Hesse-Matrix. Deren Definitheitseigenschaften sind im reellen Fall entscheidend, ob in einem kritischen Punkt ein lokales Extrema der Funktion vorliegt oder nicht, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Zweimal stetig differenzierbar/Hesse-Matrix bzgl. Basis/K/Definition|| }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Funktion/Koordinaten/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition|| }} {{ inputdefinition |Polynom/K/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition|| }} Die folgende Aussage brauchen wir, um Milnorzahl {{math|term= 1 |SZ=}} charakterisieren zu können. {{ inputfaktbeweis |Polynomring/n Polynome/Ableitungen/Differentialmodul/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Algebraische Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/Fakt|Lemma|| }} }} 5zfomnzl4llefq2tk895pnxt88v6ovn 106 171031 1115333 1080673 2026-10-06T10:31:57Z Bocardodarapti 2041 1115333 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Die Multiplizität}} {{:Hyperfläche/Multiplizität/Generischer Schnitt/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Hyperfläche/Multiplizität/Generischer Schnitt/Bemerkung|| }} }} irbgmqq1jn90i594oduc0tkyqvkioj6 106 171032 1115334 1080674 2026-10-06T10:32:24Z Bocardodarapti 2041 1115334 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|16| Wir besprechen in dieser Vorlesung Vorbereitungen, um die Multiplizität einer Singularität als Eigenschaft des lokalen Ringes algebraisch erfassen zu können. {{Zwischenüberschrift|Graduierte Moduln}} {{:Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Die Hilbertfunktion}} {{:Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Einführung/Textabschnitt|zusatz1= {{ inputdefinition |Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition|| }} }} {{:Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Einführung/Textabschnitt|}} }} 28cb4gikosucvp5e0qw2p703343lu3p 106 171033 1115335 1080675 2026-10-06T10:32:56Z Bocardodarapti 2041 1115335 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Assoziierter graduierter Ring}} {{:Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Modul/Einführung/Textabschnitt}} Zumeist wird das Ideal ein maximales Ideal sein, insbesondere das maximale Ideal eines lokalen Ringes. Die beiden folgenden Lemmata zeigen, dass man bei der Bestimmung des assoziierten graduierten Ringes die Lokalisierung umgehen kann. {{ inputfaktbeweis |Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Idealpotenz mal Modul/Restklassenmodul/Direkt und lokal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Lokalisierung/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines lokalen Ringes}} {{:Lokaler noetherscher Ring/Maximales Ideal/Modul/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Einführung/Textabschnitt|}} Wegen des letzten Satzes und wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Geradenschnitt durch Punkt/Vielfachheit/Fakt |Nr= |SZ= }} stimmt die Hilbert-Samuel-Multiplizität eines Hyperflächenringes mit der über das Schnittverhalten mit einer generischen Gerade definierten Multiplizität überein. Die Beziehung zwischen Multiplizität und Glattheit werden wir in {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Multiplizität/Fakt |Nr= |SZ= }} diskutieren. }} iwscdphd7o3umo6hbwri72vbviosyty 106 171034 1115337 1080676 2026-10-06T10:33:19Z Bocardodarapti 2041 1115337 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Die Krulldimension}} {{:Krulldimension/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Wichtige strukturelle Eigenschaften für einen sinnvollen Dimensionsbegriff haben wir schon in der dritten Vorlesung formuliert.}} {{:Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Sein Beweis verwendet unter Anderem symbolische Potenzen. {{:Kommutativer Ring/Primideal/Symbolische Potenz/Definition|}} }} }} swawmfanr3jlmf4von60glcz4pm5ysg 106 171035 1115339 1080677 2026-10-06T10:33:44Z Bocardodarapti 2041 1115339 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Dimension von endlich erzeugten Algebren}} {{:Algebra/Körper/Endlicher Typ/Dimensionseigenschaften/Textabschnitt|zusatz1=Ohne Beweis erwähnen wir den folgenden Satz. {{ inputfakt |Krulldimension/Dimension des Polynomringes/Noetherscher Ring/Fakt|Satz|| }} }} Die folgende Aussage setzt die Dimension einer integren Algebra vom endlichen Typ in Beziehung zum Transzendengrad des zugehörigen Quotientenkörpers. Für den Begriff Transzendenzgrad und seine wichtigsten Eigenschaften siehe die [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 28|Vorlesung]] zur Galoistheorie. {{ inputfaktbeweis |Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Nenneraufnahme/Dimension/Fakt|Korollar|| }} {{Zwischenüberschrift|Der Grad des Hilbert-Samuel Polynoms}} {{:Lokaler Ring/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad und Dimension/Textabschnitt|}} }} 0q7arwkk7or0zahhjip4k4kxjkmu32v 106 171036 1115342 1080678 2026-10-06T10:34:10Z Bocardodarapti 2041 1115342 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Produktvarietäten}} {{:Affine Varietäten/Produkt/Dimension/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Einbettungsdimension}} {{:Lokaler noetherscher Ring/Einbettungsdimension/Einführung/Textabschnitt}} }} 0o2g5ksw31qvvmb9i2lubjt4403o1mb 106 171037 1115344 1080679 2026-10-06T10:34:36Z Bocardodarapti 2041 1115344 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Reguläre Ringe}} {{:Lokaler regulärer Ring/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Reguläre Ringe und glatte Punkte}} {{:Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Reguläre Ringe und Multiplizität}} {{ inputfaktbeweis |Lokaler Ring/Assoziierter graduierter Ring/Regularität/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Lokaler Ring/Regulär/Multiplizität/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Ebene und senkrechte Achse/Multiplizität/1/Beispiel|| }} }} mbyom8iozgk7vdr2hh156tgj5jjxdrh 106 171038 1115349 1080680 2026-10-06T10:35:36Z Bocardodarapti 2041 1115349 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|22| {{Zwischenüberschrift|Schnittverhalten von Untervarietäten}} {{:Varietät/Glatter Punkt/Durchschnitt/Dimensionsverhalten/Textabschnitt|zusatz1= {{ inputfaktbeweisaufgabe |Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt|Lemma|| }}|}} {{ inputfaktbeweis |Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt|Korollar|| }} Die vorstehende Aussage ermöglicht eine weitere Definition für die Dimension einer affinen Varietät {{ Relationskette/display | V | \subseteq | {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ=, }} nämlich als {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Krulldimension| V |}} || n - \max {{Mengebed| c|\text{es gibt lineare Unterräume der Dimension } c \text{ durch } P, \text{ die den Punkt } P \text{ isolieren} }} || || || |SZ=. }} Man betrachte unter diesem Aspekt {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= A-Singularitäten/Schnitt mit Ebenen/Mit Geraden/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monomialer Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Algebraisch Abgeschlossener Körper/Hyperfläche/Geradenschnitt/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Minorenring/3x2/K/Schnitt mit linearen Räumen/Dimensionstest/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} 3gebpmrjq0wjuceqjvuz5mpvo4bcnqu 106 171039 1115358 1080681 2026-10-06T10:38:17Z Bocardodarapti 2041 1115358 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Komplexe}} In der nächsten Vorlesung wollen wir die homologische Charakterisierung von regulären Ringen beweisen. Dazu geben wir hier eine Einführung in die homologische Algebra und insbesondere zu freien Auflösungen. {{:Kommutativer Ring/Komplex/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Diese Indizierung wählen wir in Hinblick auf die freien Auflösungen weiter unten| |ISZ=.|ESZ= }}}} In der Form von kurzen exakten Sequenzen haben wir dieses Konzept bereits kennengelernt. {{Zwischenüberschrift|Flache Moduln}} {{:Kommutative Algebra/Flacher Modul/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Projektive Moduln}} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition|| }} Ähnlich wie flache Moduln werden projektive Moduln unter Bezug auf eine universelle Eigenschaft innerhalb der Kategorie aller Moduln definiert. Dies ist innerhalb der homologischen Algebra eine weitverbreitete Vorgehensweise. Eine unmittelbare Konsequenz der universellen Eigenschaft, die von projektiven Moduln gefordert wird, ergibt sich aus dem folgenden Spezialfall. Wir betrachten die Identität {{ Abbildung/display |name=\varphi |M|M || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ Relationskette | B || M || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und eine surjektive Abbildung {{ Abbildung/display |name=p | F | M || |SZ= }} mit einem freien Modul {{math|term= F |SZ=.}} Für {{math|term= M |SZ=}} projektiv gibt es dann ein {{ Abbildung/display |name= \psi | M | F || |SZ= }} mit {{ Relationskette | p \circ \psi || {{op:Identität|M|}} || || || |SZ=. }} Dies bedeutet {{ Relationskette/display | M \oplus {{op:Kern|p|}} || F || || || |SZ= }} und das heißt, dass ein projektiver Modul ein direkter Summand eines freien Moduls ist. Umgekehrt ist ein direkter Summand eines freien Moduls selbst projektiv, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Lokal frei/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Varietät/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Zweidimensionale Sphäre/Kählermodul/Lokal frei/Nicht frei/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Freie Auflösungen}} {{:Kommutativer Ring/Freie Auflösung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Endliche projektive Dimension}} {{ inputdefinition |Lokaler Ring/Modul/Projektive Dimension/Definition|| }} Die projektive Dimension eines Moduls ist also das Maximum des Indexes, wo in jeder freien Auflösung ein Modul {{math|term=\neq 0 |SZ=}} stehen muss. Ein endlich erzeugter freier Modul {{math|term= \neq 0 |SZ=}} besitzt demnach die projektive Dimension {{math|term= 0 |SZ=,}} der Nullmodul die projektive Dimension {{math|term= -1 |SZ=.}} Zu einem Nichtnullteiler {{ Relationskette | f | \in | {{idealm}} || || || |SZ= }} besitzt der Restklassenmodul {{math|term= R/(f) |SZ=}} die projektive Dimension {{math|term= 1 |SZ=,}} da eine freie Auflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow R \stackrel{f}{ \longrightarrow} R \longrightarrow R/(f) \longrightarrow 0 |SZ= }} vorliegt, und {{mathl|term= R/(f) |SZ=}} selbst nicht frei ist. {{ inputbeispiel |Regulärer Ring/Zweidimensional/Koszul-Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt|Lemma|| }} {{Fußnotenliste|}} }} c4mybp8sr4g2xxwxz2ukr9tzdz85kba 106 171040 1115362 1080682 2026-10-06T10:38:49Z Bocardodarapti 2041 1115362 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Die homologische Charakterisierung von regulären Ringen}} {{:Lokaler regulärer Ring/Homologische Charakterisierung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die analytische Situation}} Wenn man sich auf Polynome und die durch sie definierten Singularitäten beschränkt, so ergibt sich ein gewisses Defizit dadurch, dass der Satz über implizite Abbildungen nicht in dieser Kategorie gilt. In den regulären Punkten zu polynomialen Abbildungen gibt es gemäß dem Satz lokal Diffeomorphismen zwischen den Fasern und offenen Bällen im {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=,}} aber diese Diffeomorphismen sind nur sehr selten durch Polynome gegeben. Insbesondere gibt es zwischen zwei glatten Punkten {{ mathkor|term1= P_1 \in V_1 |und|term2= P_2 \in V_2 |SZ= }} gleicher Dimension keinen polynomialen Isomorphismus, obwohl es einen Diffeomorphismus gibt. Das ist nicht immer befriedigend, und es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten, dies zu umgehen. Man kann mit formalen Potenzreihen arbeiten, mit denen man formale Isomorphismen ausdrücken kann und wofür die {{ Definitionslink |Prämath= |Komplettierung| |SZ= }} von lokalen Ringen entscheidend ist. Oder man kann, bei {{ Relationskette | K || {{CC|}} || || || |SZ=, }} holomorph arbeiten und ausnutzen, dass es eine holomorphe Version des Satzes über implizite Abbildungen gibt, so dass die Diffeomorphismen, wenn die definierenden Funktionen holomorph sind, lokal durch konvergente Potenzreihen beschrieben werden können. {{:Singularitäten/Analytische Situation/Lokaler Ring/Textabschnitt}} Ohne Beweis erwähnen wir den folgenden Satz. {{ inputfakt |Konvergenter_Potenzreihenring/Regulär/Fakt|Satz|| }} {{:Singularitäten/Analytische Situation/Verschiedene Beziehungen/Textabschnitt}} }} lil9jt9ge5ffuzr3ambmls3su6yt0vn 106 171041 1115365 1080683 2026-10-06T10:39:21Z Bocardodarapti 2041 1115365 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Vorlesungsgestaltung|25| {{Zwischenüberschrift|Faktorielle Ringe}} {{:Kommutativer Ring/Faktoriell/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Faktorzerlegung in noetherschen Integritätsbereichen}} {{ inputfaktbeweis |Noetherscher Integritätsbereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Fakt|Lemma|| }} Mit einem ähnlichen Argument kann man die folgende Aussage beweisen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Stetige Funktionen/R/Teilbarkeitseigenschaften/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Noetherscher Integritätsbereich/Faktoriell/Primideale der Höhe 1/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Rückübersetzung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Integritätsbereich/Primelement/Nenneraufnahme/Faktoriell/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Polynomring/Über faktoriellem Ring/Ist faktoriell/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Faktorialität regulärer Ringe}} {{:Lokaler regulärer Ring/Faktoriell/Textabschnitt}} In der Dimension {{math|term=1|SZ=}} ist faktoriell und regulär äquivalent, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt |Nr= |SZ=. }} In der Dimension {{math|term=2|SZ=}} gibt es neben den regulären Ringen nur noch einen {{ Zusatz/Klammer |text=nach Komplettierung| |ISZ=|ESZ= }} weiteren faktoriellen Ring. {{ inputfakt |E8-Singularität/Faktoriell/Fakt|Satz|| }} {{ inputbemerkung |Isolierte Singularität/Ideal/Invertierbar/Bemerkung||zusatz1=, siehe die 9. und die 10. Vorlesung. }} }} phcb684m0g8ts8usdji54ni10i7nhqt 106 171048 1115257 1080690 2026-10-05T13:40:14Z Bocardodarapti 2041 1115257 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Blatt Papier/Verkleben/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mathematik/Osnabrück/Galerie/Singularitäten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fasern/(x,y) nach xy/Differenzierbare Parametrisierungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fasern/(x,y) nach x^2+y^2/Differenzierbare Parametrisierungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz über implizite Abbildungen/R/Beweis im linearen surjektiven Fall/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene Kurven/Lokale Diffeomorphie/Beispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/R nach R/Faser und Regularität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fasern/f(x)+g(y)/Beide positive Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz über implizite Abbildungen/R/Gleichdimensional/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz über implizite Abbildungen/R/Gleichdimensional/n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/x^2+y^4+z^6 ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Faserrealisierung/Andere Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implizite Abbildung/(x,y) nach x^2-y^3/Faser überall stetig bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halboffenes Intervall/Einheitskreis/Nicht homöomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R nach R/Homöomorph/Umkehrabbildung nicht differenzierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Brieskorn/3 Variablen/R/Nur gerade Exponenten/Zusammenhangseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Brieskorn/3 Variablen/Ungerader Exponent/Reelle Realisierung/Aufgabe||zusatz1= &nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=also stetig bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |A1Singularität/Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Brieskorn/236/Glatter Weg/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bemerkung: Die beiden vorstehenden Aufgaben kann man so interpretieren, dass man die durch {{mathl|term= X^2+Y^2-Z^2 |SZ=}} und die durch {{mathl|term= X^2+Y^3+Z^6 |SZ=}} gegebene Singularität entlang einer glatten Kurve durchwandern kann. Die durch {{mathl|term= X^2+Y^3+Z^5 |SZ=}} gegebene Singularität kann nicht längs einer glatten Kurve durchwandert werden. {{ inputaufgabe |A1-Singularität/Quotientenkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ffoj5k98ftrhyiorbgl92ju5b957vl0 1115390 1115257 2026-10-06T10:48:21Z Bocardodarapti 2041 1115390 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|1| {{ inputaufgabe |Blatt Papier/Verkleben/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mathematik/Osnabrück/Galerie/Singularitäten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fasern/(x,y) nach xy/Differenzierbare Parametrisierungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fasern/(x,y) nach x^2+y^2/Differenzierbare Parametrisierungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz über implizite Abbildungen/R/Beweis im linearen surjektiven Fall/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene Kurven/Lokale Diffeomorphie/Beispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/R nach R/Faser und Regularität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fasern/f(x)+g(y)/Beide positive Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz über implizite Abbildungen/R/Gleichdimensional/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz über implizite Abbildungen/R/Gleichdimensional/n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/x^2+y^4+z^6 ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Faserrealisierung/Andere Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implizite Abbildung/(x,y) nach x^2-y^3/Faser überall stetig bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halboffenes Intervall/Einheitskreis/Nicht homöomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R nach R/Homöomorph/Umkehrabbildung nicht differenzierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Brieskorn/3 Variablen/R/Nur gerade Exponenten/Zusammenhangseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Brieskorn/3 Variablen/Ungerader Exponent/Reelle Realisierung/Aufgabe||zusatz1= &nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=also stetig bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |A1Singularität/Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Brieskorn/236/Glatter Weg/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bemerkung: Die beiden vorstehenden Aufgaben kann man so interpretieren, dass man die durch {{mathl|term= X^2+Y^2-Z^2 |SZ=}} und die durch {{mathl|term= X^2+Y^3+Z^6 |SZ=}} gegebene Singularität entlang einer glatten Kurve durchwandern kann. Die durch {{mathl|term= X^2+Y^3+Z^5 |SZ=}} gegebene Singularität kann nicht längs einer glatten Kurve durchwandert werden. {{ inputaufgabe |A1-Singularität/Quotientenkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 7u38kc98u26cgugfxto7w5lbk65e7o3 106 171049 1115258 1080692 2026-10-05T13:40:50Z Bocardodarapti 2041 1115258 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Mengen/Finde Beschreibung als Nullstellenmenge zu Bild/Fläche und senkrechte Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Y^n-X^n/Reelle Nullstelle und beschreibendes Ideal der regulären n-Strahlen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexer affiner Raum/Affin-algebraisch/Reell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Geradenschnitte/Anschauung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Menge/Hyperebenenschnitt/Anschauung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Mengen/Produktmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Mengen/Disjunkte Realisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Menge/Komplement/C/Zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/C/Ist nicht kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Vase-rotationsfl-cos|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Wenn man die rote Kurve um die {{math|term=y|SZ=-}}Achse rotieren lässt, entsteht die Vasenoberfläche. Wenn die Kurve algebraisch ist, so ist auch die Fläche algebraisch. |Autor= |Benutzer=Ag2gaeh |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir erinnern an die Definition einer Rotationsmenge. {{:Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition|}} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Man untersuche zuerst den Fall, dass {{math|term=y|SZ=}} in {{math|term=f|SZ=}} nur mit geradzahligen Exponenten vorkommt. }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Beispiele/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ball/R^n/Zariski-Topologie/Nicht offen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zariski-Topologie/Affiner Raum/Offene Mengen sind dicht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zariski-Topologie/Vergleich zu anderen Topologien/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Nullstellengebilde/Maß 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zariski-Topologie/Affiner Raum/Polynomiale Abbildungen sind Zariski-stetig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zariski-Topologie/Affine Gerade/Nicht polynomial, aber Zariski stetig/Finde Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hilbertscher Nullstellensatz/Nullstellenfrei/Einheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hilbertscher Nullstellensatz/Ebene algebraische Kurven/R und C/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hilbertscher Nullstellensatz/Eindimensional/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affiner Raum/Punktideal/Maximal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Hyperbel/Irreduzible Komponenten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadrik in zwei Variablen/Kreis/Rationale Zahlen/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primideal/Verschwindungsmenge/R/Primpolynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affiner Raum/Irreduzibilität/Schnitt von Zylinder und Kugel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Zahlen/Topologie/Mit metrischer Topologie irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Irreduzible Teilmengen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Punktmenge/3/Koordinatenring/Realisierungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affine Ebene/Endlich viele Punkte/Beliebige Wertvorgabe/Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Punktmenge/Koordinatenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affine Ebene/Gerade/Koordinatenring/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Unendlicher Körper/F nicht null/Nicht Nullfunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Irreduzible Varietät/Verschwindungsideal ist prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hilbertscher Nullstellensatz/Affin-algebraische Menge/Korrespondenz/Minimale Primideale/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Schnitt/x^2+y^2-2 und x^2+2y^2-1/Über Z mod 7/Punkte in Erweiterungskörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} hqw4enj5t1eeftiaiihqgb398e2wdz7 1115391 1115258 2026-10-06T10:48:32Z Bocardodarapti 2041 1115391 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|2| {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Mengen/Finde Beschreibung als Nullstellenmenge zu Bild/Fläche und senkrechte Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Y^n-X^n/Reelle Nullstelle und beschreibendes Ideal der regulären n-Strahlen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexer affiner Raum/Affin-algebraisch/Reell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Geradenschnitte/Anschauung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Menge/Hyperebenenschnitt/Anschauung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Mengen/Produktmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Mengen/Disjunkte Realisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Menge/Komplement/C/Zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/C/Ist nicht kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Vase-rotationsfl-cos|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Wenn man die rote Kurve um die {{math|term=y|SZ=-}}Achse rotieren lässt, entsteht die Vasenoberfläche. Wenn die Kurve algebraisch ist, so ist auch die Fläche algebraisch. |Autor= |Benutzer=Ag2gaeh |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir erinnern an die Definition einer Rotationsmenge. {{:Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition|}} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Man untersuche zuerst den Fall, dass {{math|term=y|SZ=}} in {{math|term=f|SZ=}} nur mit geradzahligen Exponenten vorkommt. }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/R/Rotationsfläche/Beispiele/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ball/R^n/Zariski-Topologie/Nicht offen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zariski-Topologie/Affiner Raum/Offene Mengen sind dicht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zariski-Topologie/Vergleich zu anderen Topologien/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Nullstellengebilde/Maß 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|Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenebenen/Schnitt mit Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Reelle Sphäre/Schnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Reelle Sphäre/Schnitt/Rekonstruktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/K/Multiplikative Struktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Kegel über Schnitt mit affiner Standardhyperebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/V oder 1 bis n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Charakteristik 2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Definition|}} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Achsenraumkonfiguration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/Drei Geraden in Ebene/Beziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Triangulación|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Der ursprüngliche Ausgangspunkt für simpliziale Komplexe war es, komplizierte topologische Gebilde durch einfachere Gebilde zu approximieren, deren Kombinatorik die topologischen Eigenschaften widerspiegeln soll. Man spricht von einer {{Stichwort|Triangulierung|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Magister Mathematicae |Domäne= |Lizenz=CC0 1.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Triangulierung/Simplizialer Komplex/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formales Ableiten/Zwei Variablen/Positive Charakteristik/Eine partielle Ableitung und beide sind null/Charakterisiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Formales partielles Ableiten/Satz von Schwarz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/Formales partielles Ableiten/Produktregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/Kettenregel/Formal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/Als Bild des impliziten Differentials/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/(x,y,z) nach (x^2 e^z-y^3, x durch e^(zy))/(2,-1,3)/Gleichungen und Parametrisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faser/(x,y,z) nach (x^2+y^2+z^2,2x+3y+4z)/(1,-2,1)/Reguläre Punkte, Tangentialraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implizit/x^2+y^2+z^2/(1,-1,2)/Senkrecht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Singularität/X^2+Y^3Z^2+Z^2/Nicht isoliert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} tkfxgvebnksj0qj1i51m6b94rl6c2k8 1115393 1115259 2026-10-06T10:48:42Z Bocardodarapti 2041 1115393 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{ inputaufgabe |Träger/Tupel/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Bis 3/Achsenraumkonfiguration/R/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenebenen/Schnitt mit Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Reelle Sphäre/Schnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Reelle Sphäre/Schnitt/Rekonstruktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/K/Multiplikative Struktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/R/Kegel über Schnitt mit affiner Standardhyperebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/V oder 1 bis n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Charakteristik 2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Definition|}} {{ inputaufgabe |Simplizialer Komplex/Smashprodukt/Achsenraumkonfiguration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/Drei Geraden in Ebene/Beziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Triangulación|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Der ursprüngliche Ausgangspunkt für simpliziale Komplexe war es, komplizierte topologische Gebilde durch einfachere Gebilde zu approximieren, deren Kombinatorik die topologischen Eigenschaften widerspiegeln soll. Man spricht von einer {{Stichwort|Triangulierung|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Magister Mathematicae |Domäne= |Lizenz=CC0 1.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Triangulierung/Simplizialer Komplex/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formales Ableiten/Zwei Variablen/Positive Charakteristik/Eine partielle Ableitung und beide sind null/Charakterisiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Formales partielles Ableiten/Satz von Schwarz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/Formales partielles Ableiten/Produktregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Abbildung/Kettenregel/Formal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/Als Bild des impliziten Differentials/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/(x,y,z) nach (x^2 e^z-y^3, x durch e^(zy))/(2,-1,3)/Gleichungen und Parametrisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faser/(x,y,z) nach (x^2+y^2+z^2,2x+3y+4z)/(1,-2,1)/Reguläre Punkte, Tangentialraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implizit/x^2+y^2+z^2/(1,-1,2)/Senkrecht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Singularität/X^2+Y^3Z^2+Z^2/Nicht isoliert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} rzk3ijrih5ebc8alwdgg3ap1j9svqwv 106 171051 1115260 1080694 2026-10-05T13:42:09Z Bocardodarapti 2041 1115260 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Monome/xy,xz/Glatte Punkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Radikal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ideal/Primideal zu Seite/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenraumkonfiguration/Singulärer Ort/Achsenraumkonfiguration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogene Polynome/n 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Einige der folgenden Aufgaben beruhen auf dieser Sichtweise. Man überprüfe diesen Ansatz auch für die Achsenraumkonfigurationen. {{ inputaufgabe |A-Singularitäten/Schnitt mit Ebenen/Mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/R/Topologischer Homöomorphietyp/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/Standardkegel/R/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraisch Abgeschlossener Körper/Hyperfläche/Geradenschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/3 Variablen/Glattheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir besprechen eine andere Sichtweise auf {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Elimination/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^2/Irreduzible Komponenten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Raumkurven/Monomial/u^5-v^3,u^11-w^3,v^11-w^5/w-u^2v im Radikal/Realisierung in zwei Variablen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidringe/Idealerzeuger für Neilsche Parabel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Abbildung/S,ST^2,ST/Gleichung für Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/K/Zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/K/Schnitt mit linearen Räumen/Dimensionstest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/Einbettung in vierdimensionalen Polynomring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel/Gruppenisomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} o54q9a6a7z4thxdphznl26no0nraulh 1115396 1115261 2026-10-06T10:49:07Z Bocardodarapti 2041 1115396 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/2 Variablen/Gleich 1/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/2 Variablen/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitswurzeln/Binomiale Gleichung/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affine ebene Kurven/x^d+1 ist y^d/Parametrisierung mit Nullpunkt und Gerade x ist 1/Erläutert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Lokale Ringe/Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Dimensionstheorie/Varietät/Lokal/Lineares Schnittverhalten/Bemerkung|}} Dieser Ansatz wird in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt |Nr= |SZ= }} begründet. Einige der folgenden Aufgaben beruhen auf dieser Sichtweise. Man überprüfe diesen Ansatz auch für die Achsenraumkonfigurationen. {{ inputaufgabe |A-Singularitäten/Schnitt mit Ebenen/Mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/R/Trennende Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/R/Topologischer Homöomorphietyp/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomialer Standardkegel/Standardkegel/R/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraisch Abgeschlossener Körper/Hyperfläche/Geradenschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Gleichung/3 Variablen/Glattheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir besprechen eine andere Sichtweise auf {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Elimination/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^2/Irreduzible Komponenten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Raumkurven/Monomial/u^5-v^3,u^11-w^3,v^11-w^5/w-u^2v im Radikal/Realisierung in zwei Variablen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidringe/Idealerzeuger für Neilsche Parabel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Abbildung/S,ST^2,ST/Gleichung für Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/K/Zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/K/Schnitt mit linearen Räumen/Dimensionstest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/Einbettung in vierdimensionalen Polynomring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minorenring/3x2/Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel/Gruppenisomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ju69x5egnm2ja4qnaslmlhmkijzk0ak 106 171053 1115262 1080696 2026-10-05T13:43:34Z Bocardodarapti 2041 1115262 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Quadrik in vier Variablen/ux-vy/Finde Realisierung als Monoidring/Aufgabe|| }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben mit dem {{math|term=K|SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term=M|SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term=M|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term=M \mapsto 1|SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe|}} }} c5wuzi3jr7cqs0676441xiwq3gi0fx2 1115397 1115262 2026-10-06T10:49:17Z Bocardodarapti 2041 1115397 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|6| {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Monoidhomomorphismus/Verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Verträgliche Äquivalenzrelation/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Eine Relation/Kleinste verträgliche Äquivalenzrelation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Obermonoid/Endlicher Abschluss/ist Monoid/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Untermonoid/N^2/Nicht endlich erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 5/Gruppenring/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Assoziativ und distributiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Idempotentes Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Monoidring/Idempotente Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenring/Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardkegel/C/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Quadrik in vier Variablen/ux-vy/Finde Realisierung als Monoidring/Aufgabe|| }} Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids. {{ inputaufgabe |Monoid/Einheit/Ring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Funktorialität/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Ideal auf Monoidebene/Ergibt Ideal in R M/Aufgabe||}} {{inputaufgabe |Kommutative Monoidringe/Zu Z^n ist Laurentring/Beweis mit universeller Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Homomorphismus/Endlich Charakterisierung/Aufgabe|}} Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind. {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Polynom in Wurzel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über R/Zerlegung von X^2+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über C/Keine irreduziblen Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q geq 0/Über K/Teiler von X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Q/Über K/Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben mit dem {{math|term=K|SZ=-}}Spektrum eines kommutativen Monoids {{math|term=M|SZ=,}} also der Menge aller Monoidhomomorphismen von {{math|term=M|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der multiplikativen Struktur| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/ef ist 5g/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches kommutatives Monoid/K-Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/N^2 nach Z/e_1,e_2 nach 1,-1/Interpretiere/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Zyklische Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel/Monoidring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidringe/Funktorialität/K-Spektrum/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Rationale und reelle Zahlen als Monoid/Monoidhomomorphismen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch Matrix über N zwischen N^r und N^s/Aufgabe||zusatz=Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?}} {{ inputaufgabe |Monoidring/Abbildung durch quadratische Matrix über N/Determinante und generisch surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoidring/Faser über 1 als Monoidring/Aufgabe|| |zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung {{math|term=M \mapsto 1|SZ=}} entspricht| |ISZ=|ESZ= }}|}} {{inputaufgabe |Kommutatives Monoid/M und N/Beschreibung der Produktmorphismen/Aufgabe||}} Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun. {{ inputaufgabe |Kommutative Monoidtheorie/Differenzengruppe/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Universelle Eigenschaft/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Monoid/Zugehörige Differenzengruppe/Charakterisierungen Kürzungsregel/Aufgabe|}} }} akqv90i9x6drpkgb3x9ud2xxnzy7ga6 106 171054 1115263 1080697 2026-10-05T13:44:27Z Bocardodarapti 2041 1115263 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Einheitswurzeln/Operation/Bahnen und Isotropiegruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine quadratische Algebra/Gruppenoperation/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation auf Ring/Invariantes Ideal/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendlicher Körper/Endliche lineare Gruppe/Bahnen/Offene Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ Aufgabelink |Präwort=Gemäß||Aufgabeseitenname= Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ergibt eine Gruppenoperation für jedes {{ Relationskette | g | \in | G || || || |SZ= }} eine Bijektion {{mathl|term=x \mapsto gx|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wenn {{math|term=M|SZ=}} zusätzliche Strukturen besitzt, so verlangt man häufig, dass diese Bijektionen diese Strukturen respektieren, also beispielsweise linear oder stetig sind. Man spricht dann von einer linearen oder von einer stetigen Operation oder sagt, dass die Gruppe als Gruppe von Automorphismen oder als Gruppe von Homöomorphismen operiert. {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Gruppenoperation/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/C nach C/Respektiert alle Einheitswurzeln/S^1/Durch Betrag/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/Diskriminante/Verträglich mit Operation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe||zusatz= Bemerkung: {{math|term=\rho|SZ=}} heißt dann eine {{Stichwort|Darstellung}} von {{math|term=G|SZ=.}} Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als {{math|term=G|SZ=}} und man kann mit Hilfe von {{math|term=\rho|SZ=}} oft hilfreiche Erkenntnisse über {{math|term=G|SZ=}} selbst gewinnen.}} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/SL2C/Wirkung auf Punkten und Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/1/Zyklisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Matrix B erzeugt keinen Normalteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Diedergruppe/Wirkung auf Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppen/SL2C/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Erzeugende Matrix der Ordnung 4/Unitär/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gruppenoperation/C^n/Endlich/Neues Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unitäre Abbildung/Charakterisierung mit Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/C/Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Oktaedergruppe/1 durch sqrt 2i -i zeta -i/Gehört dazu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/120 Elemente/Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene reelle Drehungen/Komplex/Konjugiert zu Z_n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Operation/Körperwechsel/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Ebene/Vierteldrehung/Reeller und Komplexer Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle unitäre Matrix/2/Eigenvektoren/Auf S^2 antipodal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche unitäre Gruppe/n/Offener Ball/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle lineare Matrix/2/Eigenvektoren auf S^2 nicht antipodal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplex-projektive Gerade/S^2/Explizite Homöomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Operation der SL2C/Auf P^1/Nicht längentreu/Nicht linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |SU2C nach SO3R/Matrix/Determinante 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |SU2C nach SO3R/Komplexe Konjugation/Konjugation mit Spiegelungsmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleinsche Vierergruppe/Nicht in SL2C/GL2C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/GL2C/Isomorph/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/SL3C/Isomorph/Nicht konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Nicht isomorph zu S5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Ikosaedergruppe/Ordnungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre Gruppen/Urbild der reellen Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenoperation/R^2 oder C^2/Hyperbolisch/Bahnen und Quotient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} rdgmjcfn1ineol0dfhhzi3nak1gapcd 106 171055 1115373 1080698 2026-10-06T10:43:33Z Bocardodarapti 2041 1115373 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Quotient/x_1+x_2i durch 1-x_3/Einheitskugel/(x_1,x_2) nach 0/Quotient gegen 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition. {{:Graduierte kommutative Algebra/Homogener Automorphismus/Definition}} {{ inputaufgabe |Graduierte kommutative Algebra/Charakter/Definiert homogenen Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade und ungerade Funktionen/Stetig/Z mod 2 Algebra/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/2 Einheit/Z mod 2 Operation/Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte Körpererweiterung/Homogener Automorphismus/Von Charakter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Graduierung/Neutrale Stufe/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in zwei Variablen/Z-Graduierung aus feiner Graduierung/Invariantenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kein Quadrat/Quadratisches Polynom/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KX,Y,Z/XY-Z^n/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |An+1-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dn-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^2+YZ^2+Z^n/Singulärer Ort/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diedersingularität/Invarianten explizit/Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE bis 7/Glatte Kurve durch singulären Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Abbildung von A_1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe. {{:Kommutativer Ring/Graduierung/Positiv/Definition|}} {{:Kommutativer Ring/Standard-graduiert/Definition|}} {{:Graduierter Ring/N/Irrelevantes Ideal/Definition|}} {{ inputaufgabe |ADE-Singularität/Positive Graduierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an folgende Definition. {{:Kommutatorgruppe/Definition}} Die Kommutatorgruppe ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Normalteiler, die Restklassengruppe {{mathl|term=G/K(G)|SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Abelianisierung|SZ=}} von {{math|term=G|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Binäre Gruppen/Kommutatorgruppe und Abelianisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Operation/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler_Ring/Gruppenoperation/Fixring_lokal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ejmrnhoucxcjmhdd9gretxlzzts5a2j 106 171056 1115375 1080699 2026-10-06T10:44:14Z Bocardodarapti 2041 1115375 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Wand/Kette/Zwei Nägel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homotope Wege/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Wege/Verknüpfung/Homotopieklasse/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konstanter Weg/Neutrales Element in Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fundamentalgruppe/Inverses Element/Nullhomotop/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fundamentalgruppe/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/Weg/Nullhomotop/Fortsetzbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/Kontrahierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Abbildung/Geschlossener Weg/Auf Homotopieklasse wohldefiniert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/n_geq_3/Ohne_Punkt/Einfach_zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C^2/Punktiert/Umdrehung/Nullhomotopie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reell-projektiver Raum/Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R und S^1/Überlagerung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C und C^x/Überlagerung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C^2/Operation durch zyklische Gruppe/Abstand in Bahn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Z nach Z/Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene monomiale Kurve/Lokale Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Positiv graduierter Ring/C/Kontrahierbar auf Sphäre/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/C/Standardgraduiert/Zugehörige Kontraktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/C/Positiv graduiert/Zugehörige Kontraktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/C^n/Linear/C-Spektrum/Bahnenraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |A-Singularität/Punktiert/Teiler/Fundamentalgruppe/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE-Singularität/C/Nicht homöomorph/Aufgabe|| |zusatz=Folgere daraus, dass es auch keinen {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |Algebraisomorphismus| |SZ= }} zwischen den entsprechenden {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |Algebren| |SZ= }} geben kann. |tipp= }} Zur folgenden Aufgabe siehe auch {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endliche unitäre Gruppe/n/Offener Ball/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |ADE/Gruppenoperation/Offener Ball/Einschränkung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} a8aoft3549nyxz9ww1yjby91504pelr 106 171057 1115376 1080700 2026-10-06T10:44:59Z Bocardodarapti 2041 1115376 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|10| {{ inputaufgabe |Z^n/Spektrum/Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^n/Spektrum/Fundamentalgruppe/Matrix/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Gruppentheorie/Kurze exakte Sequenz/Definition|}} {{ inputaufgabe |Multiplikation auf Z/Duale Sequenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Z^n in Z^m/Injektiv/Duale Sequenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die nächste Aufgabe beruht auf {{ Faktlink |Präwort=dem|Elementarteilersatz|Faktseitenname= Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Z^n in Z^n/Injektiv/Duale Sequenz/Isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Untergruppe/Homomorphismus nach Z/Fortsetzung nach Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Modul/Dualer Modul/Definition|}} {{ inputaufgabe |Kurze exakte Sequenz/Modul/Duale Sequenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Torsionsmodul/Integritätsbereich/Definition|}} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Torsionsmodul/Dualer Modul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Nach Z/Induzierter geschlossener Weg/Nach N/Nullhomotop/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidring/Torisch/Nach Z/Induzierter geschlossener Weg/Nach N/Nullhomotop punktiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die vorstehende Aussage lässt sich nicht umkehren. {{ inputaufgabe |Standardquadrik/Vier Variablen/Nach Z/Induzierter geschlossener Weg/Nicht nach N/Nullhomotop/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U^2+V^2 ist Z^2/Punktiert/Erzeuger der Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/Operation auf C^r/Fixpunktfrei gdw Einheitswurzel gleiche Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Veronese-Ring/Polynomring/2 Variablen/Relationen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Veronese-Unterring/Polynomring/Erzeugendenzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N-graduierter Ring/Homogene Gruppenoperation/Veronese-Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/5/Operation auf C^3/1,1,3/Invariantenring/Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Symmetrische Gruppe/2/Fixpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reflektionsgruppe/Fixpunktfreier Ort/Kodimension 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Gruppe/Endliche Untergruppe der GL/Klein/Definition|}} {{ inputaufgabe |Kleine Gruppe/C/Als Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/3/Operation auf C^4/1,1,2,2/Invariantenring/Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |A^2 ist BCD/Singulärer Ort/Fixpunktfreier Ort/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ipqkkwfee1woa0oa0zkasgvkw8hmd6e 106 171058 1115377 1080701 2026-10-06T10:45:27Z Bocardodarapti 2041 1115377 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|11| {{ inputaufgabe |K^2/Graduierung/Operation/Bahnen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale ebene Kurve/Natürliche Operation/Verträglichkeit mit Normalisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Reell/Schnitt mit Sphäre/Eindimensionale Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene monomiale Kurve/Reell/Schnitt mit Sphäre/Eindimensionale Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Whitney-Regenschirm/R/Sphäre/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Kurve/Y^4-Y^2+X^2/Trigonometrische Parametrisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Kurve/Y^4-Y^2+X^2/Fundamentalgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hausdorffraum/Ein Punkt Kompaktifizierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der vorstehenden Aufgabe spricht von der {{Stichwort|Ein-Punkt-Kompaktifizierung|msw=Ein-Punkt-Kompaktifizierung|SZ=}} von {{math|term=X|SZ=.}} {{ inputaufgabe |R^n/Ein Punkt Kompaktifizierung/S^n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreis/Durchlaufrichtung/Knoten/Trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ellipse/Knoten/Trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Rotationsmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} pw22fnxulhict5mciw1jb1aos5yuohh 106 171059 1115380 1080702 2026-10-06T10:46:36Z Bocardodarapti 2041 1115380 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|12| {{ inputaufgabe |Derivation/Potenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Derivation/Allgemeine Produktregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Derivation/Monom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Derivation/R-Modul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Derivation/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Derivation/Lie-Klammer/Multiplikation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Universelle Derivation/Derivation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kähler-Modul/C über R/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kähler-Modul/Endliche Körpererweiterung/Separabel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kähler-Modul/Zi über Z/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 1mkpty6moro19wp9mxgjnoc81ymkijg 106 171060 1115383 1080703 2026-10-06T10:47:05Z Bocardodarapti 2041 1115383 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|13| {{ inputaufgabe |Graph/Kähler-Modul/Frei/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang. {{ inputaufgabe |Z-Moduln/Tensorprodukt/Z mod 5 und Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abelsche Gruppen/Endlich erzeugte/Tensorprodukt/Berechne/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Freie endliche Moduln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Restklassenringe/Tensorprodukt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Nenneraufnahmen/Tensorprodukt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoidringe/Tensorprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme über Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Kähler-Modul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kähler-Modul/C über R/Restklassenbeschreibung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 6smcnq6mz0qcuk863uiayo3d6qjinmb 106 171061 1115385 1080704 2026-10-06T10:47:37Z Bocardodarapti 2041 1115385 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{ inputaufgabe |Polynomring/Jacobiideal/Singuläre Punkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formales Ableiten/Mehrfache Nullstelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Jacobiideal/Singuläre Punkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Milnorzahl/Vielfachheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene monomiale Kurve/Nullpunkt/Milnorzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE-Singularitäten/Milnorzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hyperfläche/Polynom/Plus X^2/Milnorzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Summe von Polynomen/Andere Variablen/Milnorzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Ableitung/Kriterium/Nicht im Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring/Maximales Ideale/Restekörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hesse-Form/Typbestimmung/Jeder Punkt/x^2y-xy^2+x^2-y^3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hesseform/Ist symmetrisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hesseform/Jeder Typ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fermat-Brieskorn-Singularität/Hesse-Matrix/Nullpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE-Singularität/Hesse-Matrix/Nullpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraische Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/R/Beweisvariante/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} l4p7o3gguu9zv3jknpwckyfghg1vo0t 106 171062 1115388 1080705 2026-10-06T10:48:08Z Bocardodarapti 2041 1115388 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/Schnittverhalten mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene monomiale Kurve/Schnittverhalten mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenebenen/Schnittverhalten mit Geraden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |A1-Singularitäten/Geraden durch Nullpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punkt/Gerade darauf/Abgeschlossen im Parameterraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/1/Graph/Tangente/Multiplizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hyperfläche/Glatter Punkt/Gerade/Tangentialraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Man versuche, die folgenden Formulierungen, bei denen das Wort {{Anführung|generisch}} verwendet wird, zu erläutern, zu präzisieren und zu begründen. {{ inputaufgabe |Gerade/Hyperebene/Nicht parallel/Generisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Matrix/Invertierbar/Generisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Einfache Nullstelle/Generisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hyperfläche/Punkt/Generisch glatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionale Ringe/Milnorzahl gleich/Multiplizität verschieden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionale Ringe/Milnorzahl verschieden/Multiplizität gleich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogenes Polynom/Schnittverhalten mit Geraden/Nullpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Im Fall von ebenen Kurven gibt es einige Besonderheiten, da über einem algebraisch abgeschlossenen Körper die homogene Komponente zum Untergrad in Linearfaktoren zerfällt. {{:Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition|}} {{ inputaufgabe |Multiplizität/Tangenten/X^2+5Y^2+.../Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/x^3+xy^2/C/Singularitäten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene Kurve/v^3+u^2v-2uv+2u^2-4u-2v/Bestimme Singularität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Kardioide/Singularitäten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} cbcaxj2xk36shusntkhul1wm1zu6dtm 106 171063 1115400 1080706 2026-10-06T10:49:58Z Bocardodarapti 2041 1115400 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|16| {{ inputaufgabe |Z-graduierter Ring/Verschiebung/Modul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Homomorphismus/Injektiv und surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Kern und Kokern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Homogene Surjektion/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage gibt für die Hilbertfunktion einer Hyperfläche vom Grad {{math|term= d |SZ=}} eine genauere Aussage als {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hilbertfunktion/Fakt |Nr= |SZ=. }} Für {{ Relationskette | m || 3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | H_R(n) || dn + {{op:Bruch|1|2 }} d(3-d) || || || |SZ= }} und für {{ Relationskette | m || 4 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | H_R(n) || {{op:Bruch|d|2 }} n^2 + {{op:Bruch|1|2 }} d(4-d) n + \text{ Konstante} || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hilbertfunktion/Zwei Anfangsterme/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |K/Standard-graduiert/Modul/Jede endliche Hilbert-Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Positiv-graduiert/Ring/Hilbertfunktion/Letztlich 0/Nilpotenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standard-graduiert/Ring/Jede endliche Hilbert-Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z-graduierter Modul/Verschiebung/Hilbertfunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z-graduierter Ring/Veronese/Hilbertfunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Positiv graduierter Ring/Endlich erzeugter Modul/Hilbertfunktion linksseitig 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenring/Hilbertfunktion/Übereinstimmung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modul/Idealannullation/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzwertige Funktion/Polynomialer Typ/Kommutativer Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzwertige Funktion/Polynomialer Typ/Ideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir besprechen noch eine Variante zur Hilbertfunktion. {{:Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Definition|}} Wegen {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Positiv graduierter Ring/Endlich erzeugter Modul/Hilbertfunktion linksseitig 0/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist dabei die Summe stets endlich und die Funktion ist wohldefiniert. Die kumulative Hilbertfunktion ist analog zu einer Stammfunktion im Sinne der Analysis 1. Mit dem Differenzoperator ist {{ Relationskette/display | \Delta \tilde{H} (n) || \tilde{H} (n+1) - \tilde{H} (n) || H(n) || || |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Polynomial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standard-graduierter Ring/K/Endlich erzeugter Modul/Kumulative Hilbertfunktion/Beziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} lev4rlwymr3z2hiutkxxh3fkh0nrztr 106 171064 1115403 1080707 2026-10-06T10:50:24Z Bocardodarapti 2041 1115403 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{ inputaufgabe |Assoziierter graduierter Ring/Multiplikation wohldefiniert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziierter graduierter Ring/Polynomring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziierter graduierter Ring/Z/Lokalisierung/Polynomring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziierter graduierter Ring/Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziierter graduierter Ring/Ebene monomiale Kurve/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziierter graduierter Ring/Restklassenring/Unterform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziierter graduierter Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziierter graduierter Ring/Restklassenring/Hyperfläche/Untergrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutativer Ring/Modul/Untermodul/Ideal/Definition}} {{ inputaufgabe |Modul/Ideal/Produkt/Verträglich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modul/Ideal/Produkt/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modul/Ideal/Produkt/Distributivität im Ideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modul/Ideal/Produkt/Distributivität im Untermodul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modul/Homomorphismus/Assoziierter graduierter Homomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/n/Multiplizität/Multiplikation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Isomorphiesatz für Restklassenringe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Restklassenring/Idealpotenzen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Moduln (kommutative Algebra)/L in M in N/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Ideale/Chinesischer Restsatz/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE-Singularitäten/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hilbert-Samuel-Multiplizität/Freier Modul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stanley-Reisner-Ring/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hyperfläche/Homogene Zerlegung/Obergrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenebenen/Gemischte Fragen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} kqanexrpmmq5bl03fytc3u5fx4h79rv 106 171065 1115405 1080708 2026-10-06T10:50:45Z Bocardodarapti 2041 1115405 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|18| {{ inputaufgabe |Vektorraum/Fahne/Sukzessive Quotienten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/C/Fahne/R/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Krulldimension/Hauptidealbereich, kein Körper/Krulldimension 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Lokaler Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Krulldimension/Noethersch/Charakterisierung von nulldimensional/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereiche/Gleiche Dimension/Surjektiv/Isomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Nakayama/Maximales Ideal/Potenzen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} stlnv74bqb0imedykqy0t1c1synq4qa 106 171066 1115408 1080709 2026-10-06T10:51:11Z Bocardodarapti 2041 1115408 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|19| {{ inputaufgabe |ADE-Singularitäten/Dimension/Primidealkette/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Standardquadrik/Primidealkette/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Krulldimension/Dimension des Polynomringes ist mindestens eins größer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Krulldimension/R/X^2+Y^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Punktideal/Höhe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Maximales Ideal/Punktideal nach Körpererweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Morphismus/xy-z^n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Morphismus/X^2+YZ^2 +Z^(m+1)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Ringhomomorphismus/Injektiv/Nichtnullteiler/Idealschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Ringhomomorphismus/Injektiv/Nilpotente Erweiterung/Idealschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/Endliche Realisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene und Gerade/Noethersche Normalisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Nenneraufnahme/Dimension/Fakt/Groß/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diskreter Bewertungsring/Nenneraufnahme/Dimensionsänderung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hilbert-Samuel-Multiplizität/Modul/Limesbeschreibung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} rhzv8os9hpqc4s3wzagnt1sdl81rc29 106 171067 1115412 1080710 2026-10-06T10:51:42Z Bocardodarapti 2041 1115412 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|20| {{ inputaufgabe |Produktmenge/Geometrische Beispiele/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition|}} {{ inputaufgabe |Produkraum/Stetige Projektionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktraum/Metrischer Raum/Produkttopologie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt diskreter Räume/Diskret/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punktierte Ebene/Produktmannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zwei abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Produkt davon/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Produktdarstellung und Schlauch/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vertauschung/Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Räume/Produkt/Funktionen/Bemerkung/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Produkt/Tensorprodukt von Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |NxN/Tensorprodukt von Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |RxR/Tensorprodukt von stetigen Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |RxR/Tensorprodukt von stetigen Funktionen/Wurzel aus x^2+y^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktvarietät/Faser/Idealbeschreibung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktvarietät/Faser/Einbettung/Ringebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Mengen/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Raumkurve/Verschiedene Einbettungsdimensionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/3/Einbettungsdimension/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Modul/Direkte Summe/Minimale Erzeugendenzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kurze exakte Sequenz/Modul/Erzeugendenzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Modul/Kurze exakte Sequenz/Minimale Erzeugendenzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} abblc1wukx6lewwp6p9zfhqq0yr1a8p 106 171068 1115415 1080711 2026-10-06T10:52:08Z Bocardodarapti 2041 1115415 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|21| {{ inputaufgabe |Ebene monomiale Kurve/Reguläre Ringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Kurve/Lokalisiert/Kein diskreter Bewertungsring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diskreter Bewertungsring/Zwischenringe im Quotientenkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diskreter Bewertungsring/In K(T)/Schnitt mit K T ist K/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bewertungstheorie/Körper mit diskreter Bewertung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diskreter Bewertungsring/Hauptideal/Potenzen/Restklassenmodul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/3/Restklassenring/Regulär/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Regulärer lokaler Ring/Monome/Verschieden/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Standardquadrik/(1,0,0,1)/Maximales Ideal/Erzeuger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affin-algebraische Menge/Punkt/Regulär und transversaler Schnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Polynomring/Maximale Ideale/Erzeugendenzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutativer Ring/Regulär/Definition|}} {{ inputaufgabe |Regulärer lokaler Ring/Polynomring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler noetherscher Integritätsbereich/Erzeuger und linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nichtvollkommener Körper/Regulär/Kählermodul nicht frei/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Transzendente Erweiterung/Separierende Transzendenzbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} sx5lyowtcqczstwhsi1in7uddf9f44u 106 171069 1115417 1080712 2026-10-06T10:52:30Z Bocardodarapti 2041 1115417 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|22| {{ inputaufgabe |Standardquadrik/Höhe 1/Lokalisierung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Blockmatrix/Rang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Diagonale/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hausdorffraum/Diagonale ist abgeschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diagonale/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affiner Raum/Diagonale/n Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Varietät/Diagonale/Abgeschlossene Einbettung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Varietät/Selbstprodukt/Affine offene Teilmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Varietäten/Polynomial/Graph/Abgeschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der Frage, inwiefern eine Eigenschaft, die {{Anführung|lokal}} im lokalen Ring zu einem Punkt {{math|term= P |SZ=}} einer Varietät {{math|term= V |SZ=}} gilt, bereits {{Anführung|global}} in einer {{ Zusatz/Klammer |text=Zariski| |ISZ=|ESZ=- }}offenen affinen Umgebung {{ Relationskette | P | \in | U || D(g) |\subseteq|V || |SZ= }} des Punktes gilt. Wenn {{math|term= R |SZ=}} der Koordinantering zu {{math|term= V |SZ=}} ist, so ist die Nenneraufnahme {{math|term= R_g |SZ=}} der Koordinantering zu {{math|term= D(g) |SZ=.}} Beachte, dass man bei diesem Übergang innerhalb der endlich erzeugten {{math|term= K |SZ=-}}Algebren bleibt und sich nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Nenneraufnahme/Dimension/Fakt |Nr= |SZ= }} auch die Dimension nicht ändert. {{ inputaufgabe |Varietät/Glatter Punkt/Offene Umgebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Modulerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Primideal/Höhe/Parameterrealisierung/Schnitt mit linearem Raum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} otihhwgnw80jba61lxbnm0rtyk2vrjm 106 171070 1115418 1080713 2026-10-06T10:53:06Z Bocardodarapti 2041 1115418 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|23| {{ inputaufgabe |Freier endlich erzeugter Modul/Flach/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Flacher Modul/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Flacher Modul/Ringwechsel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Projektiver Modul/Universell und direkter Summand/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/Körper/Projektiver Modul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Nulldimensional/Nicht projektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z/Q/Nicht projektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektiver Modul/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektiver Modul/Ringwechsel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modul/Endlich erzeugt/Lokal frei/Hauptnenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionale Sphäre/Kählermodul/Lokal frei/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Ränge/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Zyklischer Modul/Ideal/Nicht surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z nach Z mod 2/Ideal surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Modul/Endlich erzeugt/Minimale Darstellung/Untermodul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Hauptideal/Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Injektiv/Kokern/Projektive Dimension/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hyperflächenring/Kähler-Differentiale/Endliche freie Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Tipp: Siehe {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Kähler-Differentiale/Jacobi-Matrix/Kokern-Darstellung/Bemerkung |Nr= |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionale ADE-Singularitäten/Parameter/Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionale ADE-Singularitäten/Maximales Ideal/Auflösung/Anfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Regulärer dreidimensionaler Ring/Koszul-Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche freie Auflösung/Zwischenkerne/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} oqlg4o2j6z0m2wzmau5eqsbqze70645 106 171071 1115421 1080714 2026-10-06T10:53:36Z Bocardodarapti 2041 1115421 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|24| {{ inputaufgabe |Getwistete Kubik/Affin/Zwei Erzeuger/Freie Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KX modulo X^2/Restklassenkörper/Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KX modulo X^n/Restklassenkörper/Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/Restklassenkörper/Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/Restklassenring/Komponente/Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Restklassenkörper/Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diskreter Bewertungsring/Quotientenkörper/Auflösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Artinscher lokaler Ring/Freie Moduln/Homomorphismus/Injektiv und direkter Summand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kartesisches Blatt/Koordinatenring/Komplex/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben zeigen, dass sich der Ring der stetigen Funktionen in verschiedener Hinsicht anders verhält als der Ring der holomorphen oder der Ring der polynomialen Funktionen. Siehe auch {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Stetige Funktionen/R/Teilbarkeitseigenschaften/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |R^n/Punkt/Stetige Funktionen/Einführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/Punkt/Stetige Funktionen/Nullteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Punkt/Stetige Funktionen/Kein Hauptidealbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/n/Lokaler Ring/Stetige Keime/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Punkt/Stetige Funktionen/Keime/Einführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Stetige Funktionen/Ring der stetigen Keime/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Teilmenge/Stetige Funktionen/Keime/Einführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 812gj11q6y3ocm4p3juu5w9t9b5zpvz 106 171072 1115425 1080715 2026-10-06T10:54:08Z Bocardodarapti 2041 1115425 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2026-2027)/Arbeitsblattgestaltung|25| {{ inputaufgabe |Faktorielle Bereiche/Primideal nicht null enthält Primelement/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faktorieller Bereich/ggT und kgV existiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faktorieller Bereich/GgT und KgV/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faktorieller Bereich/GgT und KgV/Potenzen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring über faktoriellem Grundring/Teilerfremd/Teilerfremd über Quotientenkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Beliebige Wurzeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Positiv graduiert/Grad 1/Irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Numerisches Monoid/Nicht N/Irreduzible, nicht prime Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Unterring/Gleicher Wert/Faktoriell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |A-Singularität/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |D-Singularität/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6-Singularität/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7-Singularität/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreidimensionale Standardquadrik/Irreduzibel/Nicht prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebra/Faktoriell und dreidimensional/Schnittverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/Faktorzerlegung/Keine Exponentschranke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Der in der folgenden Aufgabe besprochene Ring zeigt, dass {{ Faktlink |Präwort=der|Krullsche Hauptidealsatz|Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Noetherscher Integritätsbereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt |Nr= |SZ= }} für nichtnoethersche Integritätsbereiche nicht gelten müssen. {{ inputaufgabe |Nichtnoetherscher Integritätsbereich/Unendlich viele Variablen/Produkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ADE-Singularitäten/Faktorielle Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affine Fermatkubik/Regulär/Nicht faktoriell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8-Singularität/Keine glatte Kurve durch singulären Punkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kartesisches Blatt/Irreduzibel/Komplex-analytisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} mzxj01iztuo2gilnbdhmmb2o7rwzso2 0 172714 1115271 1115199 2026-10-05T17:29:54Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 4 - reeller Startwert */ 1115271 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der Regel betrachtet man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] [[Integrationsweg]]e mit einem Intervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich. In Kontext von [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|holomorphen Funktionen als Vektorfelder]] sucht man nach Wegen <math>\gamma</math>, die den Pfad eine Partikels mit Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> beschreibt. === Holomorphe Funktion als Vektorfeld für Kräfte=== Die holomorphe Funktion <math>f</math> definiert dann die Kräfte, die auf ein Teilchen an dem Ort <math>\gamma(a)\in G</math> wirkt. In diesem Zusammenhang kann man den Weg des Teilchens als einen [[holomorpher Weg|holomorphen Weg]] <math>\gamma </math> auffassen und danach fragen, welchen Weg das Teilchen nimmt, wenn man das Argument <math>t</math> gegen <math>+\infty </math> laufen lässt bzw. bei <math>t\to -\infty </math> untersuchen, wie die Funktion <math>f</math> den Weg des Teilchens vor dem Zeitpunkt <math>t=a</math> bestimmt hat. === Abbildung - Funktion als Vektorfeld === [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2 loesung DGL.gif|350px|center|Animation - differential equation - solution plotted as curve in OpenSource Geogebra]] ==== Erläuterung zur Animation ==== Das Vektorfeld für <math>f(z)=z^2</math> dargestellt. Dabei wurde einem Punkt <math>z\in \mathbb{C}</math> der Vektor <math>f(z)=z^2=w</math> zugeordnet und der Anfangspunkt des grünen Vektors <math>w</math> liegt im Punkt <math>z</math>. Der Plot des Weges besitzt den Anfangswert <math>\gamma(a)=z_a\in \mathbb{C}</math> für das Intervall <math>[a,b]=[1,\, 4.5]</math>. In Abhängigkeit von dem Schieberegler <math>t\in [1,\, 4.5]</math> wird <math>\gamma(t)</math> dargestellt. Die <math>Spur(\gamma)</math> ist rot markiert. ==== Definitionsbereich des Weges - Grenzwertverhalten ==== Für die gegebene Abbildungsvorschrift für den Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> fragt man sich nun, ob man die Funktionsvorschrift <math>\gamma(t)</math> ggf. auch für Argumente <math>t\in \mathbb{R}\setminus [a,b] </math> auswerten kann und welches Grenzwertverhalten der Weg in dem gegebenen Vektorfeld besitzt. ==== Injektivität des Weges ==== Man hat in dem obigen Beispiel die Möglichkeit, <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}</math> zu einem beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weg <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> mit <math>\widehat{\gamma\,}|_{[a,b]} = \gamma</math> zu erweitern, dessen Spur <math>\widehat{\gamma\,}</math> aber eine [[beschränkte Menge]] in <math>\mathbb{C}</math> ist (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]]). === Parametrische Konvergenz === In der obigen Abbildung kann man den Parameterbereich von <math>[a,b]</math> auf <math>[a,+\infty)</math> erweitern. Für den rechtsseitig parametrisch unendlichen Integrationsweg <math>\gamma_{_{+\infty}} : [a,+\infty)\to \mathbb{C}</math> konvergiert <math>\gamma_{_{+\infty}}(t)</math> gegen 0 gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{+\infty}}(t) = 0 </math> Dies gilt analog für linksseitig parametrisch unendliche Erweiterung des Definitionsbereiches von <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> auf <math> \gamma_{_{-\infty}}: (-\infty,b]\to \mathbb{C}</math>. Auch in diesem Fall gilt für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{-\infty}}(t) = 0 </math> <span id="rechtsseitig"></span><span id="linksseitig"></span><span id="Definition"></span> == Definition - parametrisch unendlicher Weg == Ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] als stetige Abbildung von <math>\gamma : \mathbb{D} \to X</math> in einen [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] <math>(X,\mathcal{T\!\!}_X)</math> heißt * parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}</math> gilt, * rechtsseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [a,+\infty)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt und * linksseitig parametrisch unendlich, wenn <math>\mathbb{D} = [-\infty, a)</math> mit <math>a\in \mathbb{R}</math> gilt. == Aufgaben für Studierende == Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Wege <math>\gamma_{_\infty}: (-\infty,+\infty)\to \mathbb{C}</math>, die als Lösung einer Bewegung in einem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> entstehen. === Aufgabe 1 - Funktionsvorschrift des Wege === Bestimme die Funktionsvorschrift der obigen Abbildung in dem Vektorfeld <math>f(z)=z^2</math> und weise das obige Grenzwertverhalten nach, wenn <math>\gamma(a) \not= \mathbb{R}</math> gilt. Welches Grenzswertverhalten tritt auch, wenn <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}</math> liegt. Berücksichtigen Sie die Fallunterscheidung <math>\gamma(a)=0</math> und <math>\gamma(a)\not= 0</math>. === Aufgabe 2 - Geometrie der Spur === Weisen Sie nach, dass Spur von <math>\gamma_{_\infty}</math> mit <math>\gamma_{_\infty} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C}</math> in dem Vektorfeld mit <math>\gamma_{_\infty}(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> tatsächlich ein Kreis ohne <math>0</math> ist. Verwenden Sie für den Nachweis die Polarkoordinatendarstellung von <math>\gamma_{_\infty}(a)= r_a \cdot e^{ta}</math>. === Aufgabe 3 - Grenzwertverhalten === Weisen Sie für <math>\gamma(a)\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}</math> nach, dass der Weg in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] das folgende Grenzwertverhalten besitzt: :<math> \lim_{t\to +\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 \mbox{ und } \lim_{t\to -\infty} \gamma_{_{\infty}}(t) = 0 </math> ==== Hinweis 1 - Polarkoordinatendarstellung ==== Verwenden Sie die[[w:de:Polarkoordinatendarstellung|Polarkoordinatendarstellung]] für <math>\gamma(t)</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math>. ==== Hinweis 2 - Mittelpunkt des Kreises ==== Berechnen Sie den Mittelpunkt des Kreises über <math>\gamma{\,}'(t)=\big(\gamma(t)\big)^2</math> als Schnittpunkt von zwei beliebigen [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] zu zwei Richtungsvektoren <math>\gamma{\,}'(t_1)</math> und <math>\gamma{\,}'(t_2)</math> durch die Punkte <math>\gamma(t_1)</math> bzw. <math>\gamma(t_2)</math> mit <math>t_1\not=t_2</math>. Verwenden Sie dazu das [[Skalarprodukt]] in <math>\mathbb{R}^2</math> und interpretieren Sie <math>\mathbb{C}</math> als zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Vektorraum]] mit dem [[Skalarprodukt]] <math>\langle v_1+iv_2, w_1+iw_2 \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2</math>. === Aufgabe 4 - reeller Startwert=== Wählen Sie nun als Startwert von <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma(a) \in \mathbb{R}\setminus\{0\}</math>. Bestimmen nun die Funktionsvorschrift des beidseitig parametrisch unbeschränkten [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|injektiven]] holomorphen Weges <math>\widehat{\gamma\,} : (-\infty,+\infty) \to \mathbb{C} </math> in dem [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld|Vektorfeld]] <math>f(z)=z^2</math>. Betimmen Sie ferner das Grenwertverhalten von <math>t\to +\infty</math> und <math>t\to -\infty</math>. Machen Sie dazu eine Fallunterscheidung für <math>\gamma(a) < 0</math> und <math>\gamma(a) > 0</math>. Behandeln Sie abschließend noch kurz den Fall <math>\gamma(a) = 0</math> mit einer Begründung für das Grenzwertverhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Holomorphe Funktion als Vektorfeld]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Injektivitätslemma für Wege|Injektivitätslemma für Wege]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Orthogonale|Orthogonalen]] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik) Weg (Mathematik)]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg%20(Mathematik)/parametrisch%20unendlich&author=Weg%20(Mathematik)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=parametrisch%20unendlich&coursetitle=Weg%20(Mathematik) Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 10wojz6oxn40ce4xz79jfoajmq27huu 106 172715 1115250 1115075 2026-10-05T13:11:28Z Nicole.pander 39567 /* Gruppenteilnehmer */ 1115250 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Therese Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' pok6wytb0b9idlvx74zbba5xqi77ytg 1115251 1115250 2026-10-05T13:12:08Z Nicole.pander 39567 /* Thema und Fragestellung */ 1115251 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Therese Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' =Relevanz= s4fwjxijx2dogbrn180xucoslktcmlu 1115252 1115251 2026-10-05T13:20:41Z Nicole.pander 39567 /* Relevanz */ 1115252 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Therese Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. 3w8z3wc11hw9893a6u6s880w5tiin9y 1115253 1115252 2026-10-05T13:21:03Z Nicole.pander 39567 /* Relevanz */ 1115253 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Therese Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. =Modellannahmen= 06o3mkbwcihk85096pjpm6bcuqcdu9z 1115254 1115253 2026-10-05T13:21:17Z Nicole.pander 39567 /* Relevanz */ 1115254 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Therese Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. =Modellannahmen= nx5lz36o1u0vpj4nazuhyseo0tse9sa 1115267 1115254 2026-10-05T15:28:48Z Nicole.pander 39567 /* Modellannahmen */ 1115267 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Therese Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als nicht Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die g9sg30gz5iokwpze1j9qtyequ350arg 1115269 1115267 2026-10-05T16:23:46Z Nicole.pander 39567 /* Modellannahmen */ 1115269 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Therese Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als nicht Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. • '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>\mathbf{u}=0</math>. • '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. mysdd1xpbxul92626plmodb7yotjbdh 1115270 1115269 2026-10-05T16:24:16Z Nicole.pander 39567 /* Gruppenteilnehmer */ 1115270 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als nicht Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. • '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>\mathbf{u}=0</math>. • '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. gvb662vw93q5cvkw65r9jc7a71de292 1115272 1115270 2026-10-05T17:36:05Z Nicole.pander 39567 /* Modellannahmen */ 1115272 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. Daraus ergibt sich folgende Fragestellung: '''Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß?''' =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als nicht Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. • '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>\mathbf{u}=0</math>. • '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. =Implementierung in COMSOL= 6izqu68z9fg965n8y1nnu1wkgyhwp03 1115273 1115272 2026-10-05T18:13:43Z Nicole.pander 39567 /* Thema und Fragestellung */ 1115273 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Joey Becker * Marie-Thérèse Heitele * Nicole Pander =Thema und Fragestellung= Gegenstand dieses Projekts ist die numerische Simulation einer lokalen Gefäßverengung, allgemein bekannt unter dem medizinischen Begriff ''Stenose''. Als medizinischer Anwendungsfall wird ein gerader Abschnitt der Arteria carotis communis (Halsschlagader) betrachtet. Um den Einfluss der Gefäßverengung möglichst isoliert untersuchen zu können, wird die reale Gefäßgeometrie bewusst vereinfacht. Bedeutet, dass Gefäßkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische anatomische Strukturen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen wird ein gerade, idealisiertes Gefäß mit einer symmetrischen bzw. im dreidimensionalen Modell rotationssymmetrischen Stenose untersucht. Als Referenz dient zunächst ein gesundes, unverengtes Gefäß, in dem sich die Poiseuille-Strömung mit ihrem charakterischtischen Geschwindigkeitsprofil ausbildet. Diese bildet den Ausgangspunkt für den anschließenden Vergleich verschiedener Stenosegrade. ===Fragestellung=== Wie verändert eine symmetrische bzw. rotationssymmetrische Stenose die stationäre Strömung eines inkompressibelen Newton'schen Fluid in einem idealisierten Abschnitt der Arteria carotis communis hinsichtlich Geschwindigkeitsverteilung, Druckverteilung sowie Strömungsmuster und wie entwickeln sich diese Größen mit zunehmendem Stenosegrad im Vergleich zu einem gesunden Gefäß? =Relevanz= Die Untersuchung von Gefäßverengungen besitzt sowohl eine medizinische als auch eine methodische Bedeutung. Aus medizinischer Sicht sind arterielle Stenosen, etwa in der Halsschlagader kritisch, da sie die Durchblutung beeinträchtigen und durch veränderte Wandschubspannungen sowie die Bildung von Wirbeln weitere Gefäßablagerungen begünstigen. Fachlich überträgt das Projekt damit die Prinzipien der Strömungsmechanik direkt auf eine biomedizinische Anwendung. Der methodische Mehrwert liegt in der Verknüpfung mehrerer Zugänge: Durch den systematischen Abgleich von analytischer Poiseuille-Theorie und Simulationen in COMSOL Multiphysics zeigt das Projekt anschaulich, wie numerische Modelle aufgebaut, verifiziert und an ihren Grenzen bewertet werden. =Modellannahmen= Um den Einfluss des Stenosegrades möglichst isoliert zu untersuchen, werden für die Simulation folgende Modellannahmen getroffen: • '''Idealisierte Gefäßgeometrie''': Betrachtet wird ein gerader Abschnitt der ''Arteria carotis communis''. Gefäßverkrümmungen, Verzweigungen und patientenspezifische Strukturen werden nicht berücksichtigt. • '''Starre Gefäßwand''': Die Gefäßwand wird als unbeweglich und nicht verformbar angenommen. Eine Wechselwirkung zwischen elastischer Gefäßwand und Blutströmung wird nicht modelliert. • '''Stationäre Strömung''': Die Strömungsgrößen werden als zeitlich konstant angenommen. Die im realen Blutkreislauf vorhandene Pulsation durch den Herzschlag wird daher vernachlässigt: <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=0</math>. • '''Inkompressibles Fluid''': Die Dichte des Fluids wird als konstant angenommen. Damit gilt für die Geschwindigkeit <math>\nabla \cdot \mathbf{u}=0</math>. Dies entspricht der in der Vorlesung behandelten Massenerhaltung für inkompressible Fluide: Was in das Gefäß einströmt, muss auch wieder ausströmen. • '''Newton'sche Näherung für Blut''': Reales Blut beseitzt ein nicht-newton'sches Fließverhalten. Hier wird Blut als nicht Newton'sches Fluid behandelt. • '''Konstante Stoffeigenschaften''': Dichte <math>\rho</math> und dynamische Viskosität <math>\mu</math> werden als räumlich und zeitlich konstant angenommen. Temperaturabhängigkeiten werden nicht berücksichtigt. • '''Laminare Strömung''': Die Strömung wird mit dem COMSOL-Modul ''Laminar Flow'' beschrieben. Ein zusätzliches Turbulenzmodell wird nicht verwendet. • '''No-Slip-Bedingung an Gefäßwand''': Aufgrund der Viskosität wird angenommen, dass das Fluid direkt an der Gefäßwand haftet. Somit gilt <math>\mathbf{u}=0</math>. • '''Vernachlässigung der Gravitation''': Gravitation wird nicht berücksichtigt. Die Strömung wird ausschließlich durch die gewählten Ein- und Auslassbedingungen bestimmt. =Implementierung in COMSOL= auu85t5vjlj6bdtszbasiouaio8r584 0 172729 1115234 2026-10-05T12:29:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115234 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Definition|| }} Wenn man mit einem Ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} || K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} startet, so erhält man die Nullstellenmenge {{ Relationskette |V( {{ideala|}} ) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K }} || || || |SZ= }} und dazu wiederum das Verschwindungsideal, das das Ausgangsideal umfasst. Über die reellen Zahlen kann es dabei eine große Diskrepanz geben. Wenn man beispielsweise mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X^2+Y^2 |}} |SZ=}} startet, so ist die Nullstellenmenge allein der Nullpunkt {{math|term= (0,0) |SZ=}} und dessen zugehöriges Verschwindungsideal ist {{mathl|term= (X,Y) |SZ=,}} das deutlich größer ist. Eine solche Diskrepanz kann es über einem algebraisch abgeschlossenen Körper nicht geben. Es gibt aber auch das folgende einfache Phänomen, das über jedem Körper gilt. Wenn das definieren Ideal eine Potenz {{math|term= f^n |SZ=}} besitzt, so verschwindet nicht nur {{math|term= f^n |SZ=}} auf der Nullstellenmenge, sondern auch {{math|term= f |SZ=.}} Diese Beobachtung führt zu dem folgenden idealtheoretischen Begriff. {{ inputdefinition |Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition|| }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Hilbertscher Nullstellensatz|SZ=.}} Man sollte ihn so verstehen, dass über einem algebraisch abgeschlossenen Körper die Nullstellenmengen von Polynomen stets so groß sind, dass man daraus wesentliche algebraische Eigenschaften erschließen kann. Der Übergang von der Algebra zur Geometrie ist also durch keinen {{ Zusatz/Klammer |text=großen| |ISZ=|ESZ= }} Informationsverlust gekennzeichnet. {{ inputfakt |Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt|Satz|| }} Zu einem einzelnen Punkt {{ Relationskette | P || {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n |}} || || || |SZ= }} ist das Verschwindungsideal das {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Ideal| |Definitionsseitenname= |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealm|}}_P || {{makl| X_1-a_1 {{kommadots|}} X_n-a_n |}} || || || |SZ=. }} Es besteht aus allen Polynomen, die im gegebenen Punkt den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} annehmen. Ein Spezialfall des Hilbertschen Nullstellensatzes ist, dass jedes maximale Ideal des Polynomringes diese Form besitzt. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper entsprechen sich also Punkte und maximale Ideale. Ein weiteres wichtiges Konzept für Ideale ist das Primideal. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition|| }} {{ inputdefinition |Affine Varietäten/Affin-algebraische Mengen/Irreduzibel/Definition|| }} Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz ergibt sich die folgende Korrespondenz. {{ inputfakt |Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Primideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Ant jumps log|svg|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Ant_jumps_log |Text=Die bunte Kurve besitzt drei irreduzible Komponenten, den Kreis, den Parabelbogen und die Gerade. |Autor= |Benutzer=KSmrq~commonswiki |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Affin-algebraische Mengen/Irreduzible Komponenten/Definition|| }} Die irreduziblen Komponenten sind die maximalen irreduziblen Teilmengen des Nullstellengebildes. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 8ow647z1pupvcrgjey3dg3pvkik5e1a 0 172730 1115240 2026-10-05T12:34:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115240 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der Satz über implizite Abbildung macht eine Aussage über die {{Stichwort|lokale Gestalt|SZ=}} der Faser in einem regulären Punkt, nämlich, dass lokal eine Mannigfaltigkeit vorliegt. Es wird keine Aussage über die globale Gestalt der Faser gemacht, ob es dort auch noch singuläre Punkte gibt. In der Singularitätentheorie interessiert man sich entsprechend für die lokale Gestalt eines geometrischen Objektes in einem singulären Punkt. Man möchte wissen, wie das geometrische Objekt in einem fixierten Punkt {{math|term= P |SZ=}} aussieht, und damit meint man, wie das geometrische Objekt in der Nachbarschaft des Punktes aussieht, in einer offenen Umgebung. Geometrische Phänomene des Objektes, die keine Auswirkung auf die Nachbarschaft des Punktes haben, sind für das Verständnis der Singularität irrelevant. Bei {{ mathkor|term1= \R |oder|term2= {{CC|}} |SZ= }} versteht man unter einer offenen Umgebung typischerweise eine offene Ballumgebung zu einem {{Anführung|kleinen}} Radius. Bei einem beliebigen Körper meint man eine Zariski-offene Umgebung des Punktes. Das Konzept Nachbarschaft zeigt sich deutlich auch für die Funktionsklassen. Eine {{ Zusatz/Klammer |text=je nach Kontext, stetige, differenzierbare, polynomiale| |ISZ=|ESZ= }} Funktion besitzt in {{math|term= P |SZ=}} den Wert {{math|term= f(P) |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette | f(P) | \neq | 0 || || || |SZ= }} ist, so ist wegen der Stetigkeit von {{math|term= f |SZ=,}} die in allen angesprochenen Beispielklassen gegeben ist, die Funktion auch in einer gewissen Umgebung von {{math|term= P |SZ=}} nullstellenfrei. Auf einer solchen Umgebung ist dann auch die invertierte Funktion {{math|term= 1/f |SZ=}} definiert und wieder stetig oder stetig differenzierbar, auch wenn {{math|term= f|SZ=}} außerhalb der Umgebung Nullstellen hat und dort {{math|term= 1/f |SZ=}} nicht definiert ist. Die im Punkt {{math|term= P |SZ=}} nullstellenfreien Funktionen sind also lokal invertierbar. Für den algebraischen Kontext bedeutet dies, dass zu einem Punkt {{ Relationskette | P | \in | V |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || |SZ= }} und eine durch ein Polynom {{ Relationskette/display | F | \in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} gegebene Funktion des affinen Koordinatenringes {{ Relationskette | R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{op:Verschwindungsideal|V|}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | F(P) | \neq | 0 || || || |SZ= }} die inverse Funktion {{mathl|term= 1/F |SZ=}} zu den in {{math|term= P |SZ=}} definierten Funktionen gehören sollte. Dies wird durch die algebraische Konstruktion Nenneraufnahme und Lokalisierung realisiert. {{:Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Kurze Einführung/Textabschnitt}} {{ inputdefinition |Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ntlhnjohct4s1wc718rftvzrdtdapi4 0 172731 1115274 2026-10-05T18:23:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115274 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=c | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion für {{ Relationskette | n | \geq| 0 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die starke Bedingung, dass {{math|term= c |SZ=}} durch {{math|term= \delta |SZ=}} faktorisiert. Dann ist, für die Moduln {{mathl|term= L_d |SZ=}} zu {{ Relationskette | d | \in | D || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | h_{L_d} (n) || \begin{cases} h (n), \text{ falls } c(n) {{=}} d \, ,\\ 0 \text{ sonst} . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Summe von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= N |SZ=}} ist dann für die einzelnen Koeffizienten {{ Math/display|term= \alpha_i \sum_{ n \in \{1 {{kommadots|}} N\}, \, c(n) {{=}} d } n^i |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} m24ezsee2p8pmih8dgk4nknfbc0wey7 1115276 1115274 2026-10-06T06:17:11Z Bocardodarapti 2041 1115276 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=c | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. Es ist für den Polynomring {{ Relationskette/display | h (n) || {{op:Binomialkoeffizient|n+m-1|m-1}} || \alpha_{m-1} n^{m-1} + \alpha_{m-2} n^{m-2} {{plusdots}} \alpha_1 n+ \alpha_{0} || || |SZ= }} die nichtkumulative Hilbertfunktion für {{ Relationskette | n | \geq| 0 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die starke Bedingung, dass {{math|term= c |SZ=}} durch {{math|term= \delta |SZ=}} faktorisiert. Dann ist, für die Moduln {{mathl|term= L_d |SZ=}} zu {{ Relationskette | d | \in | D || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | h_{L_d} (n) || \begin{cases} h (n), \text{ falls } c(n) {{=}} d \, ,\\ 0 \text{ sonst} . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Summe von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= N |SZ=}} ist dann für die einzelnen Koeffizienten {{ Math/display|term= \alpha_i \sum_{ n \in \{1 {{kommadots|}} N\}, \, c(n) {{=}} d } n^i |SZ=. }} {{ inputbeispiel |A_1-Singularität/Hilbertfunktion/Aufteilung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} mmo0jnqtrkf2m7t2p1c77hegnfs24gm 0 172732 1115277 2026-10-06T07:10:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115277 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{math|term= \N^2 |SZ=}} mit Standardgraduierung und induzierter {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}} Graduierung. Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{math|term= n+1 |SZ=.}} Wir arbeiten mit der induzierten GRaduierung, die keine Standardgraduierung ist. {{ Math/display|term= A(N) = \sum_{n {{=}} 0 {{ kommadots}} N, \, n \text{ gerade } } ( n+1) \text{ und } B(N) = \sum_{n {{=}} 0 {{ kommadots}} N, \, n \text{ ungerade } } ( n+1) |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | A(N) || \begin{cases} {{makl| {{op:Bruch|N|2}} +1 |}}^2 \text{ für } N \text{ gerade } \, , \\ {{makl| {{op:Bruch|N-1|2}} +1 |}}^2 \text{ für } N \text{ ungerade } \, \end{cases} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B(N) || \begin{cases} {{op:Bruch|N^2 +2N |4}} \text{ für } N \text{ gerade } \, , \\ {{op:Bruch|N^2 +4N +3 |4}} \text{ für } N \text{ ungerade } \, \end{cases} || || || |SZ=. }} Die endliche projektive Auflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-3) \longrightarrow \bigoplus_3 S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,UV,V^2 |}} |SZ= }} mit den Frobenius-Versionen {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-3q) \longrightarrow \bigoplus_3 S(-2q) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^{2q},U^qV^q,V^{2q} |}} |SZ=. }} Für {{ Relationskette | q || 1 || || || |SZ= }} erhält man die Pseudoauflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 L(-4) \longrightarrow \bigoplus_3 R(-2) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X,Z,Y |}} |SZ=, }} nicht frei. Charakteristik {{math|term= 2 |SZ=}} ist insofern ein Sonderfall, dass für höheres {{math|term= q |SZ=}} die Pseudoauflösung frei wird. Die Charakteristik sei also ungerade. Die Pseudoauflösung ist dann {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 L( - 3q -1 ) \longrightarrow \bigoplus_3 R(-2q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X^q,Z^q,Y^q |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} phdmb6o9qjfz3wu89w9t1z117gt6mkr 1115279 1115277 2026-10-06T08:58:03Z Bocardodarapti 2041 1115279 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{math|term= \N^2 |SZ=}} mit Standardgraduierung und induzierter {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}} Graduierung. Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{math|term= n+1 |SZ=.}} Wir arbeiten mit der induzierten GRaduierung, die keine Standardgraduierung ist. {{ Math/display|term= A(N) = \sum_{n {{=}} 0 {{ kommadots}} N, \, n \text{ gerade } } ( n+1) \text{ und } B(N) = \sum_{n {{=}} 0 {{ kommadots}} N, \, n \text{ ungerade } } ( n+1) |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | A(N) || \begin{cases} {{makl| {{op:Bruch|N|2}} +1 |}}^2 \text{ für } N \text{ gerade } \, , \\ {{makl| {{op:Bruch|N-1|2}} +1 |}}^2 \text{ für } N \text{ ungerade } \, \end{cases} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B(N) || \begin{cases} {{op:Bruch|N^2 +2N |4}} \text{ für } N \text{ gerade } \, , \\ {{op:Bruch|N^2 +4N +3 |4}} \text{ für } N \text{ ungerade } \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Dimension der Kohomologiegruppen ist {{ Relationskette/display | \sum_{n {{=|}} M}^\infty {{op:Vektorraumdimension|H^1(U,R)_n |}} || A(-M-2) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \sum_{n {{=|}} M}^\infty {{op:Vektorraumdimension|H^1(U,L)_n |}} || B(-M-2) || || || |SZ=. }} Beispielsweise geht es für {{ Relationskette | M || -7 || || || |SZ= }} um die Anzahl der Kohomologieklassen {{mathl|term= {{op:Bruch|1|U^aV^b}} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | a,b | \geq | 1 || || || |SZ= }} und {{mathl|term= -a-b |SZ=}} gerade und mindestens {{math|term= -7 |SZ=,}} also {{mathl|term= 1+3+ 5|SZ=,}} also {{math|term= 9 |SZ=.}} Die endliche projektive Auflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-3) \longrightarrow \bigoplus_3 S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,UV,V^2 |}} |SZ= }} mit den Frobenius-Versionen {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-3q) \longrightarrow \bigoplus_3 S(-2q) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^{2q},U^qV^q,V^{2q} |}} |SZ=. }} Für {{ Relationskette | q || 1 || || || |SZ= }} erhält man die Pseudoauflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 L(-4) \longrightarrow \bigoplus_3 R(-2) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X,Z,Y |}} |SZ=, }} nicht frei. Charakteristik {{math|term= 2 |SZ=}} ist insofern ein Sonderfall, dass für höheres {{math|term= q |SZ=}} die Pseudoauflösung frei wird. Die Charakteristik sei also ungerade. 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Die Pseudoauflösung ist dann {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 L( - 3q -1 ) \longrightarrow \bigoplus_3 R(-2q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X^q,Z^q,Y^q |}} |SZ=. }} Die alternierende Summe ist damit insgesamt {{ Zusatz/Klammer |text=der letzte Summand ist die Dimension der Kohomologie der Strukturgarbe, also {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | HKF(q) || 2 B(3q-1) - 3 A(2q-2) + A (-2) || 2 {{makl| {{op:Bruch|9|4}} q^2 - {{op:Bruch|1|4}} |}} -3 q^2 +1 || {{op:Bruch|3|2}} q^2 + {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} npooa57nf9o2i8d4ap6y3hf9dx7ejpb 1115285 1115283 2026-10-06T09:24:37Z Bocardodarapti 2041 1115285 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{math|term= \N^2 |SZ=}} mit Standardgraduierung und induzierter {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}} Graduierung. Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{math|term= n+1 |SZ=.}} Wir arbeiten mit der induzierten Graduierung, die keine Standardgraduierung ist. Es ist {{ Relationskette | S_0 || R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | S_1 || L || S(1)_0 || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= A(N) = \sum_{n {{=}} 0 {{ kommadots}} N, \, n \text{ gerade } } ( n+1) \text{ und } B(N) = \sum_{n {{=}} 0 {{ kommadots}} N, \, n \text{ ungerade } } ( n+1) |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | A(N) || \begin{cases} {{makl| {{op:Bruch|N|2}} +1 |}}^2 \text{ für } N \text{ gerade } \, , \\ {{makl| {{op:Bruch|N-1|2}} +1 |}}^2 \text{ für } N \text{ ungerade } \, \end{cases} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B(N) || \begin{cases} {{op:Bruch|N^2 +2N |4}} \text{ für } N \text{ gerade } \, , \\ {{op:Bruch|N^2 +4N +3 |4}} \text{ für } N \text{ ungerade } \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Dimension der Kohomologiegruppen ist {{ Relationskette/display | \sum_{n {{=|}} M}^\infty {{op:Vektorraumdimension|H^1(U,R)_n |}} || A(-M-2) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \sum_{n {{=|}} M}^\infty {{op:Vektorraumdimension|H^1(U,L)_n |}} || B(-M-2) || || || |SZ=. }} Beispielsweise geht es für {{ Relationskette | M || -7 || || || |SZ= }} um die Anzahl der Kohomologieklassen {{mathl|term= {{op:Bruch|1|U^aV^b}} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | a,b | \geq | 1 || || || |SZ= }} und {{mathl|term= -a-b |SZ=}} gerade und mindestens {{math|term= -7 |SZ=,}} also {{mathl|term= 1+3+ 5|SZ=,}} also {{math|term= 9 |SZ=.}} Die endliche projektive Auflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-3) \longrightarrow \bigoplus_3 S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,UV,V^2 |}} |SZ= }} mit den Frobenius-Versionen {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-3q) \longrightarrow \bigoplus_3 S(-2q) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^{2q},U^qV^q,V^{2q} |}} |SZ=. }} Für {{ Relationskette | q || 1 || || || |SZ= }} erhält man die Pseudoauflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 L(-4) \longrightarrow \bigoplus_3 R(-2) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X,Z,Y |}} |SZ=, }} nicht frei. Charakteristik {{math|term= 2 |SZ=}} ist insofern ein Sonderfall, dass für höheres {{math|term= q |SZ=}} die Pseudoauflösung frei wird. Die Charakteristik sei also ungerade. Die Pseudoauflösung ist dann {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 L( - 3q -1 ) \longrightarrow \bigoplus_3 R(-2q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X^q,Z^q,Y^q |}} |SZ=. }} Die alternierende Summe ist damit insgesamt {{ Zusatz/Klammer |text=der letzte Summand ist die Dimension der Kohomologie der Strukturgarbe, also {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | HKF(q) || 2 B(3q-1) - 3 A(2q-2) + 0 || 2 {{makl| {{op:Bruch|9|4}} q^2 - {{op:Bruch|1|4}} |}} -3 q^2 || {{op:Bruch|3|2}} q^2 - {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dd4fs89qhnnnnpaqa1arokw9cik3tzq 1115286 1115285 2026-10-06T09:24:47Z Bocardodarapti 2041 1115286 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{math|term= \N^2 |SZ=}} mit Standardgraduierung und induzierter {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}} Graduierung. Die Hilbertfunktion des Polynomringes ist {{math|term= n+1 |SZ=.}} Wir arbeiten mit der induzierten Graduierung, die keine Standardgraduierung ist. Es ist {{ Relationskette | S_0 || R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | S_1 || L || S(1)_0 || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= A(N) = \sum_{n {{=}} 0 {{ kommadots}} N, \, n \text{ gerade } } ( n+1) \text{ und } B(N) = \sum_{n {{=}} 0 {{ kommadots}} N, \, n \text{ ungerade } } ( n+1) |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | A(N) || \begin{cases} {{makl| {{op:Bruch|N|2}} +1 |}}^2 \text{ für } N \text{ gerade } \, , \\ {{makl| {{op:Bruch|N-1|2}} +1 |}}^2 \text{ für } N \text{ ungerade } \, \end{cases} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B(N) || \begin{cases} {{op:Bruch|N^2 +2N |4}} \text{ für } N \text{ gerade } \, , \\ {{op:Bruch|N^2 +4N +3 |4}} \text{ für } N \text{ ungerade } \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Die Dimension der Kohomologiegruppen ist {{ Relationskette/display | \sum_{n {{=|}} M}^\infty {{op:Vektorraumdimension|H^1(U,R)_n |}} || A(-M-2) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \sum_{n {{=|}} M}^\infty {{op:Vektorraumdimension|H^1(U,L)_n |}} || B(-M-2) || || || |SZ=. }} Beispielsweise geht es für {{ Relationskette | M || -7 || || || |SZ= }} um die Anzahl der Kohomologieklassen {{mathl|term= {{op:Bruch|1|U^aV^b}} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | a,b | \geq | 1 || || || |SZ= }} und {{mathl|term= -a-b |SZ=}} gerade und mindestens {{math|term= -7 |SZ=,}} also {{mathl|term= 1+3+ 5|SZ=,}} also {{math|term= 9 |SZ=.}} Die endliche projektive Auflösung ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-3) \longrightarrow \bigoplus_3 S(-2) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^2,UV,V^2 |}} |SZ= }} mit den Frobenius-Versionen {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 S(-3q) \longrightarrow \bigoplus_3 S(-2q) \longrightarrow S \longrightarrow S/ {{makl| U^{2q},U^qV^q,V^{2q} |}} |SZ=. }} Für {{ Relationskette | q || 1 || || || |SZ= }} erhält man die Pseudoauflösung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 L(-4) \longrightarrow \bigoplus_3 R(-2) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X,Z,Y |}} |SZ=, }} nicht frei. Charakteristik {{math|term= 2 |SZ=}} ist insofern ein Sonderfall, dass für höheres {{math|term= q |SZ=}} die Pseudoauflösung frei wird. Die Charakteristik sei also ungerade. Die Pseudoauflösung ist dann {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_2 L( - 3q -1 ) \longrightarrow \bigoplus_3 R(-2q) \longrightarrow R \longrightarrow R/ {{makl| X^q,Z^q,Y^q |}} |SZ=. }} Die alternierende Summe ist damit insgesamt {{ Zusatz/Klammer |text=der letzte Summand ist die Dimension der Kohomologie der Strukturgarbe, also {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | HKF(q) || 2 B(3q-1) - 3 A(2q-2) + 0 || 2 {{makl| {{op:Bruch|9|4}} q^2 - {{op:Bruch|1|4}} |}} -3 q^2 || {{op:Bruch|3|2}} q^2 - {{op:Bruch|1|2}} || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qir9kqnp4eednde4aznvajq936tekhe 106 172733 1115287 2026-10-06T09:58:43Z Schreibzentrum 39232 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115287 wikitext text/x-wiki {{RoundBoxTop|theme=2}}<div align="center"><span style="font-size:150%; font-weight:bold;">Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla: Eine Umweltreportage aus México</span></div>{{RoundBoxBottom}} '''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]] {{Achtung |'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.''' <br /> Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise als bearbeitbaren Wiki-Artikel aufzubereiten. |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC |Rand=#E6B800 }} [[Datei:Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla.pdf|gerahmt|Umweltreportage aus Mexiko]] ''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.'' ---- [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|← Zurück zu den Sachtexten]] halh57zf4vzlv1a7ttjku3wky0cmjr8 106 172734 1115289 2026-10-06T10:17:05Z Schreibzentrum 39232 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115289 wikitext text/x-wiki {{RoundBoxTop|theme=2}}<div align="center"><span style="font-size:150%; font-weight:bold;">Fleisch, das Klima und Wir</span></div>{{RoundBoxBottom}} '''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|Sachtexte]] {{Achtung |'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.''' <br /> Der Beitrag ist momentan noch als PDF eingebunden. Ziel ist es, den Beitrag schrittweise als bearbeitbaren Wiki-Artikel aufzubereiten. |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC |Rand=#E6B800 }} [[Datei:Klimaplan "Fleisch, das Klima und Wir".pdf|gerahmt|Klimaplan zum Thema "Fleisch, das Klima und Wir"]] ''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.'' ---- [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Sachtexte|← Zurück zu den Sachtexten]] g0aza6n65oeoyjb9psjfc3v73hcv6vo 106 172735 1115290 2026-10-06T10:18:52Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115290 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|1|5|Kurs=|}} m6p5lcygeysdtob1ocr6k9wq3revx5f 106 172736 1115291 2026-10-06T10:19:02Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115291 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|4|32|Kurs=|}} 4ctqeo13osekr1jq4khdtjfcxou1naz 106 172737 1115292 2026-10-06T10:19:12Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115292 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Definition|3|15|Kurs=|}} rd82iktz57lfpr8g5x6f2bo9tiymxrx 106 172738 1115293 2026-10-06T10:19:22Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115293 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|5|1|Kurs=|}} folqix3lfwmp7azkpuazirn0mi0btv6 106 172739 1115294 2026-10-06T10:19:32Z Arbota 36910 Bot: 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hcsn0krp3t7lrrdl1jcerl4uzzw4wqv 106 172755 1115310 2026-10-06T10:22:22Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115310 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|2|35|Kurs=|}} qvqzhyztx8zc8441iu8o742r023alcf 106 172756 1115311 2026-10-06T10:22:42Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115311 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|3|12|Kurs=|}} a0kncw7f0518m8byee1wsvl2lgo90zo 106 172757 1115312 2026-10-06T10:23:02Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115312 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|4|Kurs=|}} 6bcrz5ft0z6zwr6d2t9d5nz4zb1bfqu 106 172758 1115313 2026-10-06T10:23:12Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115313 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|22|Kurs=|}} jip4t15x55c7hde4lklqo5ul7ppir1z 106 172759 1115314 2026-10-06T10:23:22Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115314 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|10|Kurs=|}} 3b8wy2pol80u9yrp0pzmenyp8eng4tf 106 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Seite befindet sich derzeit im Aufbau.''' <br /> Der Beitrag wird derzeit schrittweise aus seiner ursprünglichen PDF-Darstellung in einen bearbeitbaren Wiki-Artikel überführt. |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC |Rand=#E6B800 }} == Climate Action Plan 2.0 (Eugene, Oregon) == The Climate Action Plan 2.0 is the City of Eugene, Oregon’s framework for reducing greenhouse gas emissions and preparing the community for climate change. Developed through a process of community engagement and adopted in 2020, the plan contains 115 actions addressing transportation, building energy, fugitive emissions, consumption, and climate resilience. [1] CAP2.0 is an update to Eugene’s 2010 Community Climate and Energy Action Plan and serves as a roadmap for implementing the city’s broader climate goals. [1] A major issue in evaluating CAP2.0 is the difference between simply implementing a climate policy and actually achieving the reduction in emissions that the policies are meant to produce. Out of all the CAP2.0 actions, Eugene reports that 67% have been implemented, as well as that community-wide emissions have declined since 2010. However, the city also acknowledges that its current progress isn’t moving fast enough to meet its climate targets. [2] == Background == The current climate policy in Eugene was primarily developed from the Climate Recovery Ordinance. This was adopted by the City Council in 2014. The ordinance was what established the goal of reducing community fossil-fuel use by 50% of 2010 levels by 2030. It also established a long term goal for reducing community greenhouse-gas emissions. The city estimated that this would require an average annual reduction of 7.6%. [3] CAP2.0 was developed as a roadmap for achieving these goals. Unlike a single, broad regulation, it consists of numerous policies, programs, infrastructure projects, and partnerships. The plan combines mitigation, or reducing greenhouse-gas emissions, with resilience, or preparing the community of Eugene for climate-related effects. [1] == Implementation == The 2024 CAP2.0 Implementation plan organizes the 115 actions into five categories: transportation, building energy, fugitive emissions, consumption, and resilience. For each action, the plan identifies the responsible department or organization, its current status, estimated costs, funding status, and potential climate and community impact. [4] The city reported that CAP2.0 was 61 percent implemented in 2024, four years after its creation. [5] By 2025, the city reported that implementation had reached 67 percent. [2] The reported progress included projects involving transportation, buildings, waste, consumption, and resilience. [2] === Transportation === Transportation is a major component of CAP2.0 because it accounts for a large share of Eugene’s greenhouse-gas emissions. The city’s emissions breakdown identifies transportation as responsible for approximately 54 percent of community greenhouse-gas emissions, followed by building energy at 30 percent and waste and other minor emissions at 16 percent. [6] CAP2.0 transportation actions include public transportation, bicycling and walking infrastructure, compact development, transportation planning, and more electric vehicles. [4] Eugene has also developed an Electric Vehicle Strategy designed to increase electric-vehicle adoption. [7] The city has reported several transportation accomplishments, including protected bikeways and an electric vehicle carshare pilot program at an affordable housing complex. [5] Protected bikeways are one visible example of CAP2.0's transportation strategy. By creating separated spaces for bicycle travel, these projects are intended to make lower-emission transportation options more practical and accessible within Eugene. <!-- Hier soll später Abbildung 1 eingefügt werden. --> ''Figure 1. 13th Avenue Bikeway at 13th and Willamette, Eugene, Oregon. Source: City of Eugene, “13th Avenue Protected Bikeway: 2020.”'' === Building energy === Building energy is another major focus of CAP2.0. The plan seeks to increase energy efficiency and reduce the use of fossil fuels in buildings. [4] One of the most prominent examples of this approach occurred in 2023, when Eugene became the first city in Oregon to prohibit natural-gas infrastructure in newly constructed low-rise residential buildings. The City Council approved the measure by a 5-3 vote. Supporters argued that the policy would reduce carbon emissions and improve indoor air quality, while critics expressed concern that it could discourage housing development. [8] === Resilience and consumption === CAP2.0 addresses climate adaptation as well as emissions reduction. Its resilience actions include natural-hazard planning and urban forestry. Eugene has increased tree planting and has used canopy data to prioritize neighborhoods for additional trees. [9] The city’s tree canopy increased from 22 percent in fiscal year 2022 to 24 percent in fiscal year 2023. [9] The plan also includes actions involving consumption, waste, and fugitive emissions. These address greenhouse gases associated with waste, refrigerants, materials, and other sources not captured by transportation or building energy. [4] In 2024, Eugene reported that more than 28,000 tons of food waste had been composted through curbside programs and that repair programs had diverted additional materials from landfills. [2] == Progress and Effectiveness == Although implementation has increased, Eugene has acknowledged that completing CAP2.0 actions has not yet produced emissions reductions at the pace needed to meet the city's climate targets. Implementation increased from 61 percent in 2024 to 67 percent in 2025, and the city reports that community-wide emissions have declined since 2010. However, Eugene also states that current progress is not moving fast enough to meet its goals. [2] [5] This creates a distinction between implementing climate policies and actually achieving the corresponding outcomes. The Climate Recovery Ordinance established a goal of reducing community fossil-fuel use by 50% from 2010 levels by 2030 and estimated that meeting the city’s broader emissions goals would require an average annual reduction of 7.6 percent. [3] CAP2.0 therefore represents substantial policy progress, but Eugene still faces a gap between the actions it has completed and the emissions reductions required to reach long-term targets. == References == [1] City of Eugene. “Climate Action Plan (CAP) 2.0.” Engage Eugene. City of Eugene. [https://engage.eugene-or.gov/sustainability] [2] City of Eugene. “Eugene's Climate Story.” City of Eugene. [https://www.eugene-or.gov/4284/Eugenes-Climate-Story] [3] City of Eugene. “Climate Recovery Ordinance.” City of Eugene, 2014. [https://www.eugene-or.gov/DocumentCenter/View/19669/Climate-Recovery-Ordinance-ORD-20] [4] City of Eugene. ''CAP2.0 Implementation Plan, 2024''. City of Eugene, March 2024. [https://www.eugene-or.gov/DocumentCenter/View/63918/CAP20-Implementation-Plan-Final] [5] City of Eugene. “Sustainability shares Climate Action Plan 2.0 report.” City of Eugene, 18 July 2024. [https://www.eugene-or.gov/CivicAlerts.aspx?AID=6657] [6] City of Eugene. “Climate Action Plan 2.0: Community Greenhouse Gas Emissions.” City of Eugene. [https://www.eugene-or.gov/] [7] City of Eugene. “Electric Vehicles.” City of Eugene. [https://www.eugene-or.gov/4664/Electric-Vehicles-EVs] [8] Associated Press. “Eugene First Oregon City to Phase out Gas Use in New Homes.” AP News, 8 February 2023. [https://apnews.com/article/6c08022fd6f884a493641754e7da605b] [9] City of Eugene. “Climate Resilience.” City of Eugene. [https://www.eugene-or.gov/5297/Climate-Resilience] [10] Millard-Ball, Adam. “Do City Climate Plans Reduce Emissions?” ''Journal of Urban Economics'', vol. 71, no. 3, 2012, pp. 289–311. [https://doi.org/10.1016/j.jue.2011.12.004] [11] Cohen, Mathew, Miles Baker, Matt Bush, Andres Ospina, and Austin Powell. “A Review of U.S. City Climate Action Plans.” ''Climatic Change'', vol. 178, 2025, article 61. [https://doi.org/10.1007/s10584-025-03887-7] [12] Barrett, James, et al. “Review of Climate Action Plans in 29 Major U.S. Cities: Comparing Current Policies to Research Recommendations.” ''Sustainable Cities and Society'', vol. 41, 2018, pp. 711–727. [https://doi.org/10.1016/j.scs.2018.06.023] [13] City of Eugene. “Sustainability Commission Committee and Commission Updates.” City of Eugene, 2025. [https://www.eugene-or.gov/] == Works Consulted Key == '''[S]''' = Scholarly source '''[P]''' = Direct/primary research source [S] Barrett, James, et al. “Review of Climate Action Plans in 29 Major U.S. Cities: Comparing Current Policies to Research Recommendations.” ''Sustainable Cities and Society'', vol. 41, 2018, pp. 711–727. [https://doi.org/10.1016/j.scs.2018.06.023] [P] City of Eugene. ''CAP2.0 Implementation Plan, 2024''. City of Eugene, March 2024. [https://www.eugene-or.gov/DocumentCenter/View/63918/CAP20-Implementation-Plan-Final] [P] City of Eugene. “Climate Action Plan (CAP) 2.0.” Engage Eugene. City of Eugene. [https://engage.eugene-or.gov/sustainability] [P] City of Eugene. “Climate Action Plan 2.0: Community Greenhouse Gas Emissions.” City of Eugene. [https://www.eugene-or.gov/] [P] City of Eugene. “Climate Recovery Ordinance.” City of Eugene, 2014. [https://www.eugene-or.gov/DocumentCenter/View/19669/Climate-Recovery-Ordinance-ORD-20] [P] City of Eugene. “Climate Resilience.” City of Eugene. [https://www.eugene-or.gov/5297/Climate-Resilience] [P] City of Eugene. “Electric Vehicles.” City of Eugene. [https://www.eugene-or.gov/4664/Electric-Vehicles-EVs] [P] City of Eugene. “Eugene's Climate Story.” City of Eugene. [https://www.eugene-or.gov/4284/Eugenes-Climate-Story] [P] City of Eugene. “Sustainability Commission Committee and Commission Updates.” City of Eugene, 2025. [https://www.eugene-or/] [P] City of Eugene. “Sustainability Shares Climate Action Plan 2.0 Report.” City of Eugene, 18 July 2024. [https://www.eugene-or.gov/CivicAlerts.aspx?AID=6657] [S] Cohen, Mathew, Miles Baker, Matt Bush, Andres Ospina, and Austin Powell. “A Review of U.S. City Climate Action Plans.” ''Climatic Change'', vol. 178, 2025, article 61. [https://doi.org/10.1007/s10584-025-03887-7] [S] Millard-Ball, Adam. “Do City Climate Plans Reduce Emissions?” ''Journal of Urban Economics'', vol. 71, no. 3, 2012, pp. 289–311. 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Ziel ist es, die Beiträge schrittweise als bearbeitbare Wiki-Seiten aufzubereiten. |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC |Rand=#E6B800 }} [[Datei:Kurzgeschichte- Die Reise des Plastikmülls.pdf|gerahmt|links]] ''Das PDF wird hier zunächst als Vorschau der ersten Seite angezeigt. Über die Darstellung kann das vollständige Dokument geöffnet werden.'' ---- [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|← Zurück zu den fiktionalen Texten]] otju8n2x52itl1cx47nenmaj29ekzqb 106 172865 1115467 2026-10-06T11:27:14Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115467 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|10|7|Kurs=|}} bu5rc06hccd6xpc2p4yptqwrnrkyuma 106 172866 1115468 2026-10-06T11:27:24Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115468 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|14|14|Kurs=|}} 9dv5kq00j3cwbba3ioqsb8bidonscao 106 172867 1115469 2026-10-06T11:27:34Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115469 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|16|11|Kurs=|}} 0hppackg1hfl9yhvkldnf9tlvzy8bjx 106 172868 1115470 2026-10-06T11:27:44Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1115470 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Korollar|19|8|Kurs=|}} tomqgqk5z0ir1xw7txwqvv1cawpu0z5 106 172869 1115471 2026-10-06T11:27:54Z 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1115511 2026-10-06T11:49:43Z Schreibzentrum 39232 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1115511 wikitext text/x-wiki {{RoundBoxTop|theme=2}}<div align="center"><span style="font-size:150%; font-weight:bold;">Kurzgeschichte: „Wer hat Angst vorm Klimawandel?“</span></div>{{RoundBoxBottom}} '''Rubrik:''' [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|Fiktionale Texte]] {{Achtung |'''Diese Seite befindet sich derzeit im Aufbau.''' <br /> Der Beitrag wird derzeit schrittweise aus seiner ursprünglichen PDF-Darstellung in einen bearbeitbaren Wiki-Artikel überführt. |Breite=80% |Hintergrund=#FFF2CC |Rand=#E6B800 }} Der Klimawandel ist so eine Sache. Er macht sich in meinem persönlichen Leben bislang lediglich in Form nostalgischer Erinnerungen an die prächtige Winterlandschaft, in die sich mein Heimatdörfchen früher stets verwandelte, oder gelegentlich durch diffuse Schwindelgefühle an überhitzten Sommertagen der heutigen Zeit bemerkbar. An solchen Tagen verwandeln sich Flüsse in Schotterwege. Keine Chance, die Auswirkungen des Klimawandels zu leugnen; aber verlockend einfach, das zu tun, solange es eben doch nur Nostalgie und Schwindel sind – ausgetrocknete Flüsse gab es schließlich schon immer – also keine Panik. Oder doch …? Ich ziehe den Kopf aus dem Sand, nur um sicherzugehen. Man muss sich eben selbst ein Bild machen. Das dürfte am ehesten gelingen, so denke ich mir, indem ich mir rasch und umfangreich Faktenwissen aneigne. Also tauche ich tief ein in die verführerische Kühle des Internets und erschrecke, als ich realisiere, dass ich gerade digitale CO2-Fußabdrücke hinterlasse. Fühle mich wiederum beschämend beruhigt, als ich gleich darauf lese, dass die digitalen Technologien enormes CO2-Einsparpotenzial bergen.<ref name="digitalisierung">https://www.50komma2.de/digitalisierung/bitkom-digitalisierung-kann-2030-mehr-als-70-millionen-tonnen-co2-einsparen/</ref> Ich verabschiede mich für heute von ChatGPT (wobei ich mich dabei wider besseren Wissens unhöflich fühle, weil ich die ständig neu generierten Nachfragen und Floskeln ignoriere, um die Unterhaltung zu beenden) und beschränkte mich auf Google (erst im Laufe der späteren Recherche werde ich von der umweltbewussteren Alternative Ecosia erfahren). Es gab einmal eine Zeit, in der waren Google und Co. keine Begrenzung, sondern ein riesiges Festmahl an Informationen. Aber die KI löffelt sie einem direkt in den Mund, dagegen fühlen sich herkömmliche Suchmaschinen wie Arbeit an. Während die Regenwälder der Erde abgeholzt werden, wuchert im Internet ein aberwitziger Dschungel aus Fakten, überholten Fakten, Fakes und unendlich vielen Meinungen. Paradiesisch bunt, in welche Frucht will ich zuerst beißen? Manche schmecken einem weniger gut, andere sind zu süß, um wahr zu sein. Hier zum Beispiel: Ein sehr seriös und klug wirkender Herr, ehemaliger Unternehmensvorstand und Dozent für Wirtschaftswissenschaften, erklärt, dass die wahre Gefahr nicht etwa von der globalen Erwärmung, sondern von den entsprechenden Klimaschutzmaßnahmen, einer groß angelegten „Sabotage der Biosphäre“,<ref name="popp-klimawandel">https://odysee.com/@Wissensmanufaktur:0/Andreas-Popp-Klimawandel:8</ref> ausgehe. Er leugnet nicht den Klimawandel, aber dass wir Menschen mit unserer Lebensweise zur rasanten Beschleunigung dessen beitragen, davon will er nichts wissen. Wider besseren Wissens fühle ich einen Trost bei diesen Worten – wir können ja doch nichts dafür, niemand hat was falsch gemacht und alles kann weitergehen wie bisher –, doch der Schleier der Leugnung, den man sich allzu bereitwillig wieder über die Augen legen lässt, fällt wie ein Stein zu Boden, als ich an anderer Stelle den gleichen Herrn über Chemtrails und Wettermanipulationen<ref name="popp-wetter">https://odysee.com/@Wissensmanufaktur:0/wettermanipulation-gibt-es-schon-seit:b</ref> sprechen höre. Es gibt keinen menschengemachten Klimawandel, menschengemachte Wettermanipulation hingegen schon? Das macht ja überhaupt keinen Sinn, Herr Popp! Kopfschüttelnd klicke ich mich weiter durch die Seiten, auf der Suche nach verlässlichen Fakten. Oh, das klingt doch ermutigend: „Der Weltklimarat sagt, die Klimakatastrophe findet nicht statt“<ref name="vahrenholt">https://klimanachrichten.de/2026/05/13/fritz-vahrenholt-der-weltklimarat-sagt-dieklimakatastrophe-findet-nicht-statt/</ref>, das wiederum sagt ein gewisser Herr Vahrenholt. Soso! Natürlich möchte ich, dass er recht hat, und lese weiter: „IPCC-Autoren verabschieden sich von den Katastrophenszenarien der letzten beiden Weltklimaberichte“<ref name="vahrenholt" />. Klingt eigentlich super, daher wundere ich mich über den leicht hämischen Ton, in dem Herr Vahrenholt von Katastrophen- und Horrorszenarien des Weltklimarats schreibt, die mit dem jüngsten Bericht „Schnee von gestern“<ref name="vahrenholt" /> geworden seien (sag ich doch, früher gab’s mehr Schnee!). Wieso freut er sich denn nicht darüber? Stattdessen schreibt er sich in Rage über Deutschland, das nicht sofort seine Klimapolitik radikal ändert. Wieso sollten wir das tun, frage ich mich stirnrunzelnd, wenn sie offensichtlich dazu beiträgt, dass die beschriebenen Worst-Case-Szenarien unwahrscheinlich bleiben? Der Mann folgt einer faszinierenden und aberwitzigen Logik. Andere Portale wiederum erklären in seriösem Gewand, „[w]arum Klimaforscher eine Horrorprognose aufgeben“<ref name="nius">https://nius.de/politik/klimaforschung-horrorszenario-unplausibel-ipcc</ref> und „was die[se] Neuorientierung bedeutet“<ref name="nius" />. Na, dann legt mal los, denke ich und meine Augen huschen über die Zeilen. Man erläutert die Tatsache der mangelnden empirischen Überprüfbarkeit langfristiger Modelle; nachvollziehbar, nicke ich. Modelle, die die Zukunft beschreiben, sind in der Gegenwart nicht verifizier- oder falsifizierbar<ref name="nius" /> – macht Sinn, aber Moment mal … Wenn einerseits die letzten Berichte des IPCC für unplausibel erklärt wurden, andererseits aber auch diese Distanzierung nur auf Annahmen beruht, was ist denn nun tatsächlich das Wahrscheinlichste? Ist der Klimawandel nun abgesagt oder ist die Absage abgesagt? Es wird wohl ein bisschen so sein wie mit Schrödingers Katze: Solange wir über die Zukunft sprechen, ist diese zugleich Worst- und Best-Case-Szenario. Übrigens, Herr Vahrenholt, hier bei Nius steht’s: Auch die Klimapolitik trägt ihren Teil dazu bei.<ref name="nius" /> Sind Sie wirklich sicher, dass es eine gute Idee wäre, sie radikal umzumodeln? Zumindest scheinen sich viele hier im Netz einig zu sein, dass der Klimawandel kein besorgniserregendes Thema sei und dass man sich davon nicht beunruhigen lassen solle. Auf der Suche nach weiteren Meinungen ploppt auch Andreas Popp wieder auf. Hello again! „Jeder weiß, der eins und eins zusammenzählen kann, dass hier eine politische Agenda, die ökonomisch konzipiert wurde“,<ref name="popp-video">https://www.youtube.com/watch?v=LdBA7flW_oU</ref> für diese unplausiblen Schreckensszenarien verantwortlich sei. Ich kann zwar eins und eins zusammenzählen, aber die Sache mit der Agenda halte ich nun doch für weit hergeholt. Du liebe Güte. Ich höre trotzdem weiter zu, hoffe auf Erkenntnisse. Als er jedoch erklärt, dass sich wissenschaftliche Theorien stets diskursiv weiterentwickeln (das stimmt natürlich) und sich daher grundsätzlich nicht als Fundament für politische Entscheidungen eignen<ref name="popp-video" /> (wait – what?), wird es mir dann doch zu kafkaesk. Es schwurbelt im Internet und in meinem Kopf. In mir reift die Erkenntnis, dass ich weder wissenschaftliche Hintergründe kennen noch politische Entscheidungen nachvollziehen können muss, um meine ganz persönliche Haltung zu entwickeln und danach zu leben. Und das sind doch gerade die Dinge, die mir niemand erklären muss. Es gibt klimafreundliche Reisemöglichkeiten, um allzu hohe CO2-Emissionen zu vermeiden. Unverpackt-Läden, um unnötigen Plastikmüll zu reduzieren. Wochenmärkte, um regional und saisonal einzukaufen. Nichts online bestellen, was man auch vor Ort kaufen kann. Was man sich dann doch wieder mal zu viel gekauft hat, nicht einfach wegschmeißen, sondern weitergeben. Weniger Fleisch konsumieren. Ökostrom. Das sind doch viele Möglichkeiten, auf die ich immer wieder zurückgreifen kann. Ich beende diesen Fiebertraum und klappe den Laptop zu. == PS == Für diejenigen, die sich die Quellen anschauen wollen, noch eine weitere Seite, um den Algorithmus nicht allzu sehr durcheinanderzubringen … und zur Beruhigung, dass es auch sinnvolle Seiten gibt 😊 [https://dpa-factchecking.com/germany/260515-99-434579/ DPA Factchecking] == Quellen == <references /> ---- [[Kurs:WikiCLIMATEchange/Fiktionale Texte|← Zurück zu den fiktionalen Texten]] 46f9yonhrw5mm66x4lpvs9nm3gm43ns