Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 16574 1115570 1097121 2026-10-07T15:13:08Z Bocardodarapti 2041 1115570 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ= }} und sei {{ Abbildung/display |name=\nu |(K^\times, \cdot,1)| (\Z,+,0) || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |SZ= }} mit {{ Relationskette | \nu(f+g) | \geq | \min\{ \nu(f) , \nu(g)\} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | f,g | \in | {{op:Einheiten| K |}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f+g | \neq | 0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Relationskette/display |R || {{Mengebed|f \in K^\times |\nu(f) \geq 0 }} \cup \{0\} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=8 |Stichwort=Körper |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bkj3gl9ywpoj63k6ozt222hwnl479eo 0 17193 1115572 1099026 2026-10-07T15:15:18Z Bocardodarapti 2041 1115572 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | R || \Z[\sqrt{-6}] | \cong | \Z[X]/ {{makl| X^2+6 |}} || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} zu {{ Relationskette/display |q ||\frac{4}{5} + \frac{2}{3} \sqrt{-6} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-6)) |Punkte=6 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} htrk1esygbnad2w757tom1luyzujjjv 0 17194 1115580 1113451 2026-10-08T09:19:16Z Bocardodarapti 2041 1115580 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | q || \frac{ 12+10 \sqrt{-6} }{15} || \frac{2}{15} {{makl| 6+5 \sqrt{-6} |}} || || |SZ=. }} Wir berechnen zuerst die Primidealzerlegungen von {{math|term= 2 |SZ=,}} {{math|term= 3 |SZ=}} und {{math|term= 5 |SZ=.}} Modulo {{math|term= 2 |SZ=:}} {{ Relationskette | R/(2) || ( {{op:Zmod| 2|}} )[X]/ {{makl| X^2 |}} || || || |SZ=. }} Das führt zum Primideal {{ Relationskette | {{idealp|}} || {{makl| 2,\sqrt{-6} |}} || || || |SZ= }} und zu {{ Relationskette | (2) || {{idealp|}}^2 || || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= 3 |SZ=:}} {{ Relationskette | R/(3) || ({{op:Zmod| 3|}} )[X]/ {{makl| X^2 |}} || || || |SZ=. }} Das führt zum Primideal {{ Relationskette | {{idealq|}} || {{makl| 3,\sqrt{-6} |}} || || || |SZ= }} und zu {{ Relationskette | (3) || {{idealq}}^2 || || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= 5 |SZ=:}} {{ Relationskette | R/(5) || ( {{op:Zmod| 5|}} )[X]/ {{makl| X^2+1 |}} || || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette | X^2+1 || (X+2)(X+3) || || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | {{idealm|}} || {{makl| 5,2 + \sqrt{-6} |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \overline{ {{idealm|}} } || {{makl| 5,2 - \sqrt{-6} |}} || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette | (5) || { {{idealm|}} }\overline{ {{idealm|}} } || || || |SZ=. }} Um die Zerlegung von {{mathl|term= 6+5 \sqrt{-6} |SZ=}} zu erhalten, berechnen wir die Norm. {{ Relationskette/display | {{makl| 6+5 \sqrt{-6} |}} {{makl| 6 -5 \sqrt{-6} |}} || 36 - 25 \cdot (-6) || 186 || 2 \cdot 3 \cdot 31 || || || || |SZ=. }} Modulo {{math|term= 31 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette | R/(31) || {{makl| {{op:Zmod| 31|}} |}}[X]/ {{makl| X^2+6 |}} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette | X^2+6 || (X-5)(X+5) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | {{idealr}} || {{makl| 31, 5+\sqrt{-6} |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \overline{ {{idealr}} } || {{makl| 31, 5 - \sqrt{-6} |}} || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette | (31) || {{idealr}} \overline{ {{idealr}} } || || || |SZ=. }} Für {{mathl|term= 6+5 \sqrt{-6} |SZ=}} muss man schauen, ob es zu {{math|term= {{idealr}} |SZ=}} oder zu {{math|term= \overline{ {{idealr}} } |SZ=}} gehört. In {{math|term= {{idealr}} |SZ=}} kann man bilden {{ Relationskette/display | 31 -5(5 +\sqrt{-6}) || 6-5 \sqrt{-6} || || || || |SZ=. }} Also ist {{ Relationskette | 6-5 \sqrt{-6} | \in | {{idealr}} || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette | 6+5 \sqrt{-6} | \in | \overline{ {{idealr}} } || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette | {{makl| 6+5 \sqrt{-6} |}} || {{idealp|}} {{idealq|}} \overline{ {{idealr}} } || || || |SZ= }} und insgesamt {{ Relationskette/align | (q) || (2) {{makl| 6+5 \sqrt{-6} |}} (15)^{-1} || {{idealp|}}^2 {{idealp|}} {{idealq|}} \overline{ {{idealr}} } {{idealq|}}^{-2} { {{idealm}} }^{-1}\overline{ {{idealm}} }^{-1} || {{idealp|}}^3 \overline{ {{idealr}} } {{idealq|}}^{-1} { {{idealm}} }^{-1}\overline{ {{idealm}} }^{-1} || |SZ= }} oder als Divisor geschrieben: {{ Relationskette/display | \operatorname{div}(q) || 3 {{idealp|}} + \overline{ {{idealr}} } - {{idealq|}} - {{idealm}} -\overline{ {{idealm}} } || || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} faxet2pqcy0amae9nilt02j9p2htd1h 0 111238 1115581 1114001 2026-10-08T09:19:47Z ~2026-47548-34 41860 /* Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum */ 1115581 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == [[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]] == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \operatorname{Re}(z)</math> und <math>b = \operatorname{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + ix_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> q433fqtuvr93jznv73z784y8mtzxniv 1115582 1115581 2026-10-08T09:22:41Z ~2026-47548-34 41860 /* Aufgabe */ 1115582 wikitext text/x-wiki == Erweiterung des Zahlbereiches == Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den [[w:de:Zahlenmenge|Zahlenbereich]] der [[w:de:Reelle Zahl|reellen Zahlen]] derart, dass die Gleichung <math>x^2 = -1</math> lösbar wird, die in <math>\mathbb R</math> nicht lösbar ist, da <math>x^2 \geq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math> gilt. Die Lösbarkeit gelingt durch Einführung einer neuen [[w:de:Imaginäre Zahl|imaginären Zahl]] <math>\mathrm i</math> mit der Eigenschaft <math>\mathrm i^2 = -1</math>. Diese Zahl <math>\mathrm i</math> wird als '''imaginäre Einheit''' bezeichnet. [[Datei:Audio0 komplexe zahl ft.ogg|Erweiterung des Zahlbereiches - 0]] == Darstellung komplexer Zahlen == Komplexe Zahlen können in der Form <math>z=x+y\cdot \mathrm i</math> dargestellt werden, wobei <math>x,y\in \mathbb R</math> jeweils reelle Zahlen sind und <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit ist. Durch die Identifikation mit einem Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> kann man komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene) darstellen. [[Datei:Audio1 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung komplexer Zahlen - 1]] == Realteil und Imaginärteil == Die reellwertigen [[w:de:Koeffizient|Koeffizienten]] <math>x, y</math> werden als '''Real-''' bzw. '''Imaginärteil''' von <math>z=x + y\,\mathrm i</math> bezeichnet. * <math>x = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(x + y\,\mathrm i)</math> und * <math>y = \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(x + y\,\mathrm i)</math> [[Datei:Audio2 komplexe zahl ft.ogg|Realteil und Imaginärteil - 2]] == Gaußsche Zahlenebene == [[Datei:2D Cartesian.svg|mini|Kartesische Koordinatensystem]] == Polarkoordinaten == Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten <math>a = \operatorname{Re}(z)</math> und <math>b = \operatorname{Im}(z)</math> [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r = |z|</math> und <math>\varphi = \arg(z)</math> mit <math>\arg</math> als der ''Argument''-Funktion, kann man die komplexe Zahl <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> auch in der folgenden, auf der [[w:de:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] beruhenden sogenannten ''Polarform'' (auch ''Polardarstellung'')<ref>{{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Analysis Band 1 |Verlag=Springer Spektrum - ISBN: 978-3-658-07122-6 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |Auflage=6 |DOI=10.1007/978-3-658-07123-3}}</ref> :<math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> darstellen, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt. [[Datei:Audio4 komplexe zahl ft.ogg|Polarkoordinaten - 4]] === Darstellung Polarkoordinaten === [[Datei:Polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]] [[Datei:Audio5 komplexe zahl ft.ogg|Darstellung Polarkoordinaten - 5]] === e-Funktion und Trigonometrie === Die Darstellung mit Hilfe der komplexen [[w:de:e-Funktion|e-Funktion]] <math>r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks <math>r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math> trigonometrische Darstellung (der Polarform). [[Datei:Audio6 komplexe zahl ft.ogg|e-Funktion und Trigonometrie - 6]] == Eigenschaften == Der konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen [[w:de:Körpererweiterung|Erweiterungskörper]] der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die in <math>\mathbb R</math> nicht gelten: [[Datei:Audio7 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 7]] === Fundamentalsatz der Algebra === Die komplexen Zahlen sind [[w:de:Algebraisch abgeschlossen|algebraische abgeschlossenen]] in den komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass in <math>\mathbb C</math> jede [[w:de:algebraische Gleichung|algebraische Gleichung]] positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. : <math>x^2 + 4 = 0</math> hat keine Lösung in <math>\mathbb R</math> und in <math>\mathbb C</math> die Lösungsmenge <math>\mathbb L = \{+2\mathrm i, -2\mathrm i\} </math> (siehe [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatzes der Algebra]]). [[Datei:Audio8 komplexe zahl ft.ogg|Fundamentalsatz der Algebra - 8]] === Trigonometrie und Exponentialfunktion === In <math> \mathbb{C} </math> wird der Zusammenhang von [[w:de:Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] deutlich :<math> \mathrm e^{\mathrm it} = \cos(t) + \mathrm i \cdot \sin(t) </math> siehe [[w:de:Eulerformel|Eulerformel]]. [[Datei:Audio9 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrie und Exponentialfunktion - 9]] === Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit === Jede auf einer [[w:de:Offene Menge|offenen Menge]] ''einmal'' [[w:de:Differenzierbarkeit#Komplexe Funktionen|komplex differenzierbare]] Funktion dort auch ''beliebig oft'' differenzierbar. In der [[w:de:Analysis|reellen Analysis]] ist die Funktion : <math> f(x)=x^2\cdot |x| </math> nur 2x reell differenzierbar, während <math>f</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb C</math> lediglich stetig ist und auf keiner Umgebung komplex differenzierbar ist. [[Datei:Audio10 komplexe zahl ft.ogg|Unterschied: komplexe und reelle Differenzierbarkeit - 10]] === Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen === Die reellen Zahlen lassen sich als Teilmenge der komplexen Zahlen im Sinne einer [[w:de:Menge (Mathematik)|Teilmengenbeziehung zwischen Zahlbereichen]] auffassen. Dabei wird eine relle Zahl <math>x\in \mathbb R</math> mit der komplexen Zahl <math>x + 0\mathrm i\in \mathbb C</math> identifiziert. In der Gaußschen Zahlenebene entsprechen die rellen Zahlen den Punkten auf der <math>x</math>-Achse. [[Datei:Audio11 komplexe zahl ft.ogg|Teilmengenbeziehung zwischen reellen und komplexen Zahlen - 11]] == Komplexe Konjugation == Ändert man das [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Imaginärteils <math>b</math> einer komplexen Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i},</math> so erhält man die zu <math>z</math> [[w:de:Konjugation (Mathematik)|konjugiert komplexe]] Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> . [[Datei:Audio12 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Konjugation - 12]] === Rechenregeln Konjugation === Die Konjugation <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C} ,\,z\mapsto \bar z</math> ist ein [[w:de:Involution (Mathematik)|(involutorischer)]] Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.&nbsp;h., für alle <math>y,z\in \mathbb{C} </math> gilt : <math>\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.</math> [[Datei:Audio13 komplexe zahl ft.ogg|Rechenregeln Konjugation - 13]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl <math> \bar z </math> einen unveränderten Abstand zum Koordinatenursprung (also <math> |\bar{z}| = |z| </math>) und besitzt gerade den negativen Winkel von <math>z</math>. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die ''Spiegelung an der reellen Achse'' interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet. [[Datei:Audio14 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 14]] === Geometrische Darstellung der Konjugation === [[Datei:Komplexe konjugation.svg|mini|Konjugation in Gaußschen Zahlenebene]] Eine komplexe Zahl <math>z = a+b\,\mathrm{i}</math> und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z=a-b\,\mathrm{i}</math> [[Datei:Audio15 komplexe zahl ft.ogg|Geometrische Darstellung der Konjugation - 15]] == Betrag == Der Betrag <math>|z|</math> einer komplexen Zahl <math>z</math> ist die [[w:de:Euklidischer Raum|Länge]] ihres Vektors in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]] und lässt sich z.&nbsp;B. zu :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> aus ihrem Realteil <math>\operatorname{Re}(z)=a</math> und Imaginärteil <math>\operatorname{Im}(z)=b</math> berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ. [[Datei:Audio16 komplexe zahl ft.ogg|Betrag - 16]] === Beispiel: Betrag === : <math>|239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}</math> [[Datei:Audio17 komplexe zahl ft.ogg|Beispiel: Betrag 16]] === Pythagoras === Den reellen Betrag vom Realteil <math>a \in \mathbb{R}</math> und Imaginärteil <math>b \in \mathbb{R}</math> kann man als Länge der Katheten in einem [[w:de:Rechtwinkliges_Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] mit Hypotenusenlänge <math>c=|z|</math> auffassen. :<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math> [[Datei:Audio18 komplexe zahl ft.ogg|Pythagoras - 18]] == Eigenschaften == In <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math> gelten die folgenden Eigenschaften: * '''(AG/KG)''' Das [[w:de:Assoziativgesetz|Assoziativgesetz]] und das [[w:de:Kommutativgesetz|Kommutativgesetz]] gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen. * '''(DG)''' Das [[w:de:Distributivgesetz|Distributivgesetz]] gilt. * '''(NE)''' O und 1 sind die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. * '''(IE<math>+</math>)''' Für jede komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>-z</math> mit <math>z+(-z)=0</math>. * '''(IE<math>\cdot</math>)''' Für jede von null verschiedene komplexe Zahl <math>z</math> existiert eine komplexe Zahl <math>z^{-1}</math> mit <math>z\cdot z^{-1}=1</math>. [[Datei:Audio19 komplexe zahl ft.ogg|Eigenschaften - 19]] == Rechnen in der algebraischen Form == Die algebraischen Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der beiden Verknüpfungen. [[Datei:Audio20 komplexe zahl ft.ogg|Rechnen in der algebraischen Form - 20]] === Addition === Für die Addition zweier komplexer Zahlen <math>z_1=a+b\,\mathrm i</math> mit <math>a,b \in \mathbb{R}</math> und <math>z_2=c+d\,\mathrm i</math> mit <math>c,d \in \mathbb{R}</math> gilt :<math>z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio21 komplexe zahl ft.ogg|Addition - 21]] === Vektorielle Veranschaulichung Addition === [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht]] [[Datei:Audio22 komplexe zahl ft.ogg|Vektorielle Veranschaulichung Addition - 22]] === Subtraktion === Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio23 komplexe zahl ft.ogg|Subtraktion - 23]] === Multiplikation === Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> (siehe Addition) gilt :<math>z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.</math> [[Datei:Audio24 komplexe zahl ft.ogg|Multiplikation - 24]] === Division === Für die Division der komplexen Zahl <math>z_1</math> durch die komplexe Zahl <math>z_2</math> (siehe Addition) mit <math>z_2\neq 0</math> [[w:de:Kürzen|erweitert]] man den Bruch mit der zum Nenner <math>z_2</math> [[w:de:#Komplexe Konjugation|konjugiert komplexen]] Zahl <math>\bar z_2=c-d\,\mathrm i</math>. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von <math>c+d\,\mathrm i</math>): : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.</math> [[Datei:Audio25 komplexe zahl ft.ogg|Division - 25]] === Rechenbeispiel Addition: === : <math>(3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i</math> [[Datei:Audio26 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Addition - 26]] === Rechenbeispiel Subtraktion: === : <math>(5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i</math> [[Datei:Audio27 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Subtraktion - 27]] === Rechenbeispiel Multiplikation: === : <math>(3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i</math> [[Datei:Audio28 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Multiplikation - 28]] === Rechenbeispiel Division: === : <math>{\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} } = </math> : <math> = { \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}</math> [[Datei:Audio29 komplexe zahl ft.ogg|Rechenbeispiel Division - 29]] === Aufgabe === * Sei <math>z=z_1 + \mathrm iz_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> gegeben. Lösen Sie das Gleichungssystem: :: <math>z\cdot x = 1 = 1 +0\mathrm i</math> : mit <math>x= x_1 + \mathrm{i}x_2 \in \mathbb{C}</math> und <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> * Zwei komplexe Zahl sind gleich, wenn diese bzgl. Realteil und Imaginärteil übereinstimmen. Dadurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten <math>x_1 , x_2 \in \mathbb{R}</math> [[Datei:Audio30 komplexe zahl ft.ogg|Aufgabe 30]] === Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum === Der Körper <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von <math> \mathbb{R}</math>, andererseits ein zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]]. Der [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2</math> wird auch als [[w:de:natürliche Identifikation|natürliche Identifikation]] bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um <math>\mathbb{C}</math> formell als <math>\mathbb{R}^2</math> mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu ''definieren'' und dann <math>\mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T}</math> zu setzen. Dabei hat die Gleichung <math>z^2=-1</math> in den komplexen Zahlen zwei Lösungen. Dabei kann die Wurzel als Abbildung aber einen definierten Wert (wie in der reellen Analysis) besitzen <math>\sqrt{-1} = + \mathrm{i}</math>. [[Datei:Audio31 komplexe zahl ft.ogg|Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum 31]] === Basis des Vektorraumes === Als <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum besitzt <math> \mathbb{C} </math> die Basis <math>\{1, \mathrm{i}\}</math>. Daneben ist <math> \mathbb{C} </math> wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler <math> \mathbb{C} </math>-Vektorraum mit Basis <math>\{1\}</math>. [[Datei:Audio32 komplexe zahl ft.ogg|Basis des Vektorraumes - 32]] === Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen === <math> \mathbb{C} </math> ist im Gegensatz zu <math>\mathbb{R}</math> kein [[w:de:geordneter Körper|geordneter Körper]], d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf <math> \mathbb{C} </math>. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in <math> \mathbb{C} </math>) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. [[Datei:Audio32a komplexe zahl ft.ogg|Keine Ordnungsrelation in komplexen Zahlen - 32a]] == Zusammenhang Darstellungsformen == [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]] [[Datei:Audio33 komplexe zahl ft.ogg|Zusammenhang Darstellungsformen - 33]] === Algebraische Form - Polarform === Während sich die Menge <math>\mathbb R</math> der [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch Punkte auf einer [[w:de:Zahlengerade|Zahlengerade]]n veranschaulichen lässt, kann man die Menge <math> \mathbb{C} </math> der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von <math> \mathbb{C} </math> als zweidimensionalem reellem Vektorraum. [[Datei:Audio34 komplexe zahl ft.ogg|Algebraische Form - Polarform - 34]] === Punkte - Vektoren === Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren [[w:de:Ortsvektor|Ortsvektor]]en identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine [[w:de:Drehstreckung|Drehstreckung]], was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird (siehe [https://www.geogebra.org/m/ETug55x4 Geogebra-Beispiel]). [[Datei:Audio35 komplexe zahl ft.ogg|Punkte - Vektoren - 35]] === Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform === Für <math>z=a+b\,\mathrm{i}</math> in algebraischer Form ist :<math>r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.</math> Für <math>z = 0</math> kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für <math>z \neq 0</math> kann das Argument <math>\varphi</math> im Intervall <math>(-\pi;\pi]</math> mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des [[w:de:Arkuskosinus|Arkuskosinus]] :<math>\varphi=\arg(z)=\begin{cases} \arccos\frac{a}{r}&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq 0\\-\arccos\frac{a}{r}&\text{sonst} \end{cases} </math> ermittelt werden. [[Datei:Audio36 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: algebraische Form in die Polarform - 36]] === Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form === : <math>a = \mathfrak{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi</math> : <math>b = \mathfrak{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi</math> Wie weiter oben stellt <math>a\in \mathbb{R}</math> den Realteil und <math>b\in \mathbb{R}</math> den Imaginärteil jener komplexen Zahl <math>z = a+ib \in \mathbb{C}</math> dar. [[Datei:Audio37 komplexe zahl ft.ogg|Umrechnungsformeln: Polarform in die algebraische Form - 37]] === Arithmetische Operationen in der Polarform === Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen: :<math>z_1=r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi) = r\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}</math> :<math>z_2=s\cdot (\cos \psi + \mathrm{i}\cdot\sin \psi) = s\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}</math> Bei der Multiplikation werden die Beträge <math>r</math> und <math>s</math> miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen <math>\varphi</math> bzw. <math>\psi</math> addiert. Bei der Division wird der Betrag des [[w:de:Dividend|Dividend]]en durch den Betrag des [[w:de:Division (Mathematik)|Divisors]] geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel: [[Datei:Audio38 komplexe zahl ft.ogg|Arithmetische Operationen in der Polarform - 38]] ==== Trigonometrische Form - Multiplikation ==== [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.]] : <math>{z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \left( \cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right) }</math> [[Datei:Audio39 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Multiplikation - 39]] ==== Trigonometrische Form - Division ==== : <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \left[ \cos (\varphi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi-\psi) \right]</math> [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.]] [[Datei:Audio40 komplexe zahl ft.ogg|Trigonometrische Form - Division - 40]] ==== Exponentialform ==== * <math>z_1 \cdot z_2 = r \cdot s \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math> * <math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math> [[Datei:Audio41 komplexe zahl ft.ogg|Exponentialform - 41]] == Realteil- und Imaginärteilfunktion == Sei <math>f:V\to\mathbb{C}</math> so definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion als reellwertige Abbildung wie folgt. * <math>g:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>g(z):=\mathfrak{Re}(f(z))</math> und <math>h:V\to\mathbb{R}</math> mit <math>h(z):=\mathfrak{Im}(f(z))</math> * <math>f(z)=g(z)+i\cdot h(z)</math> für alle <math>z\in V</math> (siehe auch [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]) == Geschichte == Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von [[w:de:Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]] (''Theoria residuorum biquadraticorum,'' 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker [[w:de:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano]] (''Ars magna,'' Nürnberg 1545) und [[w:de:Rafael Bombelli|Rafael Bombelli]] (''L’Algebra,'' Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.<ref>{{Literatur |Autor=[[w:de:Helmuth Gericke|Helmuth Gericke]] |Titel=Geschichte des Zahlbegriffs |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim |Datum=1970 |Seiten=57–67}}</ref> [[Datei:Audio42 komplexe zahl ft.ogg|Geschichte - 42]] == Literatur == * Paul Nahin: ''An imaginary tale. The story of <math>\sqrt {-1}</math>.'' Princeton University Press, 1998. * Reinhold Remmert: ''Komplexe Zahlen.'' In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): ''Zahlen.'' Springer, 1983. == Siehe auch == * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen]] * [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik/Komplexe_Zahlen|Komplexe Zahl - Kurzfassung]] im [[Kurs:Mathematik der Quantenmechanik]] * [[Quaternion]] * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[w:de:Konjugation (Mathematik)|Konjugation in <math>\mathbb{C}</math>]] * [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] und [[w:de:Isomorphismus|Isomorphie]] für den Bezug zwischen <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math>. * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] == Wiki2Reveal == * '''[[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zahlbereichserweiterung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Verwandte Themen == * [[w:de:Gaußsche Zahlen|Gaußsche Zahlen]] und [[w:de:Eisenstein-Zahlen|Eisenstein-Zahlen]] sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. * [[w:de:Hyperkomplexe Zahlen|Hyperkomplexe Zahlen]] verallgemeinern die algebraische Struktur der komplexen Zahlen. * [[w:de:Komplexwertige Funktion|Komplexwertige Funktion]]en bilden komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen ab. == Literaturquellen == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Komplexe_Zahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahl&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl Komplexe Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%20Zahl * Datum: 16.10.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Zahl]] <noinclude>[[en:Complex numbers]]</noinclude> fg4tkni7yd54y7yrjvq0rwhzqm85zkg 106 111244 1115584 1056586 2026-10-08T09:46:04Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung zur Wurzeln */ 1115584 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel von <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi i</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] jn4op5kj5ujcvpiqjdkmqrzbpvg5vlc 1115585 1115584 2026-10-08T09:46:55Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung zur Wurzeln */ 1115585 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi i</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] o8cbha0i6e0d30vhukuyo3jzzemk137 1115586 1115585 2026-10-08T09:49:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Die endlichen Untergruppen */ 1115586 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] von <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi i</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] aq5t589hneaetwp957spz2cm7p7ylqh 1115587 1115586 2026-10-08T09:50:40Z ~2026-47548-34 41860 /* Die endlichen Untergruppen */ 1115587 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi i</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] 62e142qdkahfq4bfxbrjsdjdj72ong4 1115588 1115587 2026-10-08T09:51:56Z ~2026-47548-34 41860 /* Die endlichen Untergruppen */ 1115588 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen einer solchen Untergruppe gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi i</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] 2wwysrqz31jpfjg3j8fatomfdkldb1h 1115589 1115588 2026-10-08T09:53:05Z ~2026-47548-34 41860 /* Periodizität der e-Funktion */ 1115589 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen einer solchen Untergruppe gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten in einem bestimmten Streifen der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi i</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] 6thxof6v89rz4gwe1ozikvqimwvi291 1115590 1115589 2026-10-08T09:54:00Z ~2026-47548-34 41860 /* Geschlitzte Ebene */ 1115590 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen einer solchen Untergruppe gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten in einem bestimmten Streifen der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi \mathrm{i}</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] 4qh1yr41a4eyc2glbx7m9yk9g2lqsnz 1115591 1115590 2026-10-08T09:54:39Z ~2026-47548-34 41860 /* Hauptzweig des Logarithmus */ 1115591 wikitext text/x-wiki == Rechenoperationen == Im Folgenden werden die Rechenoperationen * [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzieren]], * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelziehen]] (Radizieren) und * [[w:de:Logarithmus|Logarithmieren]] behandelt. == Potenzen == Sei <math>z\in\mathbb{C}</math> und man betrachtet die die Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math>. Dabei hilft u.a. die [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] für die geometrische Interpretation der Operation. === Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten === Für natürliche Zahlen <math>n</math> berechnet sich die <math>n</math>-te Potenz in der polaren Form <math>z=r \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi}</math> zu :<math>z^n = r^n \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i n\varphi} = r^n \cdot (\cos n\varphi + \mathrm i \cdot \sin n \varphi)</math> (siehe auch [[w:de:Moivrescher Satz|Satz von de Moivre]]) === Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung === Für die algebraische Form <math>z=a+b\,\mathrm i</math> mit Hilfe des [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Satzes]] zu :<math>z^n=\sum_{k=0, \atop k\text{ gerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac k2} a^{n-k}b^k + \mathrm i \sum_{k=1, \atop k\text{ ungerade}}^n \binom nk (-1)^{\frac{k-1}2} a^{n-k}b^k.</math> == Wurzeln == Da Potenzen <math>z^n \in\mathbb{C}</math> in der [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinatendarstellung]] die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz <math>|z^n|=|z|^n</math> muss man mit der Periodizität von <math>2\pi</math> und <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm i \varphi} </math> ergeben bei der <math>n</math>-ten Wurzel <math>n</math> verschieden Zahlen <math>z_k\in \mathbb{C}</math> mit <math>z_k^n = z</math>. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden: : <math>z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math> === Bemerkung zur Wurzeln === Der Term <math> k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n} </math> liefert beim Potenzieren mit Exponent <math>n</math> ein Vielfaches von <math>2\pi \mathrm{i}</math>. Der Term <math> \frac{\mathrm i\varphi}{n}</math> erzeugt beim Potenzieren mit <math>n</math> genau den gesuchten Winkel <math>\varphi</math> von <math>z</math> in der Polarkoordinatendarstellung. - siehe auch [[w:de:Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen|Wurzeln aus komplexen Zahlen]] == Die endlichen Untergruppen == Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen [[w:de:Einheitengruppe|Einheitengruppe]] <math> \mathbb{C} ^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> sind [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzeln]]. Unter allen [[w:de:Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnungen]] von Gruppenelementen einer solchen Untergruppe gibt es eine maximale, etwa <math>n\in \N</math>. Da <math> \mathbb{C} </math> kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe [[w:de:Zyklische Gruppe|zyklisch]] ist und genau aus den Elementen :<math>\exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\dotsc, n-1</math> besteht. Alle Elemente liegen auf dem [[w:de:Einheitskreis|Einheitskreis]]. == Logarithmen == Der [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|komplexe natürliche Logarithmus]] ist (anders als der [[w:de:Logarithmus#Definition|reelle]]) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl <math>w</math> heißt Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math>, wenn :<math>\mathrm{e}^w=z.</math> === Periodizität der e-Funktion === Mit <math>w</math> ist auch jede Zahl <math>w + 2m \pi \mathrm i</math> mit beliebigem <math>m\in \Z</math> ein Logarithmus von <math>z</math>. Man arbeitet daher mit [[w:de:Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Zweigen des Logaritmus]], d.&nbsp;h. mit Werten in einem bestimmten Streifen der komplexen Ebene. === Geschlitzte Ebene === Die Periodizität der e-Funktion führt dazu, dass man nicht nur den Nullpunkt <math>0\in\mathbb{C}</math> aus dem Definitionsbereich des komplexen Logarithmus "entfernen" muss, sondern man z.B. ausgehend vom Nullpunkt eine Halbgerade aus dem Definitionsbereich entfernen muss, denn die Periodizität führt ansonsten zu einer Unstetigkeit des Logarithmus mit Sprungstellen von <math>2\pi \mathrm{i}</math> auf einem geschlossenen kreisförmigen Weg um den Nullpunkt. === Hauptzweig des Logarithmus === Der Hauptzweig <math> \ln_{{}_{\mathbb{C}} } </math> des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl :<math>z = re^{\mathrm i \phi}</math> mit <math>r>0</math> und <math>-\pi <\phi \leq \pi</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} }(r) + \mathrm i \phi.</math> === Bemerkung - Notation === Zur Unterscheidung wurde oben bei "ln" als Index <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> bzw. <math>\ln_{{}_{\mathbb{R}} }</math> um den reellwertigen Logarithmus von dem definierten Hauptzweig <math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }</math> zu unterscheiden. === Bemerkung - Hauptzweig === Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl <math>z</math> ist :<math>\ln_{{}_{\mathbb{C}} }(z) = \ln_{{}_{\mathbb{R}} } (|z|) + \mathrm i\, \operatorname{Arg}(z),</math> wobei <math>\operatorname{Arg}(z)=\varphi</math> der Hauptzweig des [[w:de:#Polarform|Arguments]] von <math>z</math> ist. == Siehe auch == * [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] * [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzeln]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionentheorie]] t8xrolhql7372auxpb21d3zt4nmvr5k 106 111816 1115596 1114028 2026-10-08T11:26:15Z ~2026-47548-34 41860 /* Exponentialfunktion */ 1115596 wikitext text/x-wiki == Definition == Unter einer '''Potenzreihe''' <math>p(z)</math> versteht man in der [[w:de:Analysis|Analysis]] eine [[w:de:Reihe (Mathematik)|unendliche Reihe]] der Form :<math>p(z) = \sum_{n=0}^\infty p_n (z-z_0)^n</math> mit * einer beliebigen [[w:de:Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(p_n)_{n \in \mathbb N_0}</math> [[w:de:Reelle Zahl|reeller]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexer]] Zahlen * dem ''Entwicklungspunkt'' <math>z_0 \in \mathbb{R}</math> oder <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> der Potenzreihe. == Bezug zur reellen Analysis == Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und erlauben oft eine sinnvolle Fortsetzung [[w:de:Reelle Funktion|reeller Funktionen]] in die komplexe Zahlenebene. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert. Diese Frage führt zum Begriff des [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]]. == Konvergenzradius == Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt <math>x_0</math> ist die größte Zahl <math>r</math> definiert, für welche die Potenzreihe für alle <math>x</math> mit <math> r > |x-x_0|</math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Die [[w:de:Offene Menge#Metrischer Raum|offene Kugel]] <math>U_r(x_0)</math> mit Radius <math>r</math> um <math>x_0</math> nennt man ''Konvergenzkreis.'' Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle <math>x</math> konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für <math>x_0</math>, so ist der Konvergenzradius 0, die Reihe wird dann manchmal auch ''nirgends konvergent'' genannt. === Berechnung Konvergenzradius - Cauchy-Hadamard === Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius <math>r</math> mit der ''Formel von Cauchy-Hadamard'' berechnen. Es gilt: :<math>r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt[n]{|a_n|}}</math> In diesem Zusammenhang definiert man <math>\tfrac{1}{0} := +\infty</math> und <math>\tfrac{1}{\infty} := 0</math> === Berechnung Konvergenzradius - nichtverschwindenden Koeffizienten === In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nichtverschwindenden Koeffizienten auch einfacher berechnet werden. Es gilt nämlich :<math>r = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,</math> sofern dieser Grenzwert existiert. == Beispiele == Jede [[w:de:Polynom|Polynomfunktion]] lässt sich als Potenzreihe auffassen, bei der [[w:de:fast alle|fast alle]] Koeffizienten <math>a_n</math> gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] und [[w:de:Maclaurinsche Reihe|Maclaurinsche Reihe]]. Funktionen, die sich durch eine Potenzreihe darstellen lassen, werden auch [[w:de:analytische Funktion|analytische Funktion]]en genannt. Hier noch beispielhaft die Potenzreihendarstellung einiger bekannter Funktionen: === Exponentialfunktion === [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>\exp:\mathbb{C} \to \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>: :<math>e^z = \exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} = \frac{z^0}{0!} + \frac{z^1}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dotsb</math> für alle <math>x \in \mathbb{C}</math>, d.h., der Konvergenzradius ist unendlich. === Sinusfunktion/Kosinus === [[w:de:Sinus|Sinus]]: :<math>\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}\mp\dotsb </math> [[w:de:Kosinus|Kosinus]]: :<math>\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\mp\dotsb </math> === Animation der Approximation durch eine Taylor-Polynome === In der folgenden Animation wird gezeigt, wie der [[w:de:Kosinus|Kosinus]] schrittweise mit Taylor-Polynome mit wachsendem Grad approximiert wird. [[File:Taylor cos.gif|450px|center|Approximation of cos(z) with a Taylor sum as animation]] === Konvergenzradius für sin, cos, exp === Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist sowohl für den Sinus, Kosinus als auch für die Exponentialfunktion unendlich. Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der [[w:de:Eulersche Formel|eulerschen Formel]] aus der Exponentialfunktion. === Logarithmus === [[w:de:Logarithmus|Logarithmusfunktion]]: :<math>\ln(1+z) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{z^k}{k}= z-\frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} -\frac{z^4}{4}+ \dotsb</math> für <math>|z| < 1</math>, d.&nbsp;h.: Der Konvergenzradius ist 1, für <math>z=1</math> ist die Reihe konvergent, für <math>z=-1</math> divergent. === Wurzel === [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzelfunktion]]: :<math>\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 \mp \dotsb </math> für <math>-1 \leq x \leq 1</math>, d.h., der Konvergenzradius in <math>\mathbb{R}</math> ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für <math>x=1</math> als auch für <math>x=-1</math>. == Eigenschaften == Die Potenzreihen ist in der Funktionentheorie von Bedeutung, weil holomorphe Funktionen sich immer lokal in Potenzreihen entwickeln lassen. In dem Kurs werden folgende Themen bearbeitet. === Stetigkeit - Differenzierbarkeit === Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzkreises [[w:de:Normale Konvergenz|normal konvergent]]. Daraus folgt direkt, dass jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist. Des Weiteren folgt daraus, dass auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] vorliegt. Dies rechtfertigt das gliedweise Differenzieren und Integrieren einer Potenzreihe und zeigt, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind. === Absolute Konvergenz === Innerhalb des Konvergenzkreises liegt [[w:de:absolute Konvergenz|absolute Konvergenz]] vor. Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Fällen erlaubt aber der [[w:de:Abelscher Grenzwertsatz|abelsche Grenzwertsatz]], eine Aussage zu treffen. === Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung === Die Potenzreihendarstellung einer Funktion um einen Entwicklungspunkt ist eindeutig bestimmt (Identitätssatz für Potenzreihen). Insbesondere ist für einen gegebenen Entwicklungspunkt die Taylorentwicklung die einzig mögliche Potenzreihenentwicklung. == Operationen mit Potenzreihen == Potenzreihen <math>p</math> kann man als Vektoren in einem Vektorraum <math>(\overline{\mathbb{C}[z]},+,\cdot,\mathbb{C})</math> auffassen. === Potenzreihen als Vektoren in einem Funktionenraum === Seien <math>f</math> und <math>g</math> Funktionen, die durch zwei Potenzreihen :<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (z-z_0)^n</math> :<math>g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n \cdot (z-z_0)^n</math> mit dem Konvergenzradien <math>r_f, r_g > 0 </math> dargestellt werden. === Additions und Multiplikation mit Skalaren === Sind <math>f</math> und <math>g</math> durch zwei Potenzreihen und ist <math>c</math> eine feste komplexe Zahl, dann sind <math>f+g</math> und <math>\lambda \cdot f</math> in Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens <math>r</math> entwickelbar und es gilt: :<math>f(z)+g(z) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (z-z_0)^n</math> :<math>\lambda \cdot f(z) = \sum_{n=0}^\infty (\lambda \cdot a_n) (z-z_0)^n</math> === Multiplikation === Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius <math>r</math> ist eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens <math>r</math> ist. Da im Inneren des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vorliegt, gilt nach der [[w:de:Cauchy-Produktformel|Cauchy-Produktformel]]: :<math>\begin{align} f(z)g(z) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_0)^n\right)\\ &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (z-z_0)^{i+j} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left(\textstyle \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (z-z_0)^n \end{align}</math> ==== Bemerkung - Faltung ==== Dabei wird die durch <math>\textstyle c_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> definierte Folge <math>(c_n)</math> als [[w:de:Faltung (Mathematik)#Diskrete Faltung|Faltung]] oder Konvolution der beiden Folgen <math>(a_n)</math> und <math>(b_n)</math> bezeichnet. === Verkettung === Es gebe zu <math>f</math> und <math>g</math> zwei Potenzreihen :<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_1)^n \mbox{ und } g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_0)^n</math> mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft :<math>b_0 = g(z_0) = z_1</math>. Dann ist die Verkettung <math>f\circ g</math> beider Funktionen lokal wieder eine [[w:de:analytische Funktion|analytische Funktion]] und somit um <math>z_0</math> in eine Potenzreihe entwickelbar: :<math>(f\circ g)(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot (z-z_0)^n</math> === Taylorreihe === Nach dem [[w:de:Satz von Taylor|Satz von Taylor]] gilt: :<math>c_n = \frac{(f\circ g)^{(n)}(z_0)}{n!}</math> ==== Anwendung der Formel von Faa die Bruno ==== Mit der [[w:de:Formel von Faà di Bruno|Formel von Faà di Bruno]] kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben, da: :<math> \begin{align} f^{(n)}(g(z_0)) &= f^{(n)}(z_1) \\ &= n!\cdot a_n \\ g^{(m)}(z_0) &= m!\cdot b_m \end{align} </math> ==== Multiindex-Schreibweise ==== Man erhält mit [[w:de:Multiindex|Multiindex]]-Schreibweise: :<math> \begin{align} c_n &=\frac{(f\circ g)^{(n)}(z_0)}{n!} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{f^{(|\boldsymbol{k}|)}(g(z_0))}{\boldsymbol{k}!} \prod_{m=1\atop k_m\ge1}^n \left(\frac{g^{(m)}(z_0)}{m!}\right)^{k_m} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{|\boldsymbol{k}|! \cdot a_{|\boldsymbol{k}|}}{\boldsymbol{k}!} \prod_{ m=1\atop k_m\ge1}^n b_m^{k_m} \\ &=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} {{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}} \, a_{|\boldsymbol{k}|} \prod_{ m=1\atop k_m\ge1}^n b_m^{k_m} \end{align} </math> ==== Multinomialkoeffizient ==== Dabei ist <math>{{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}}</math> der [[w:de:Multinomialkoeffizient|Multinomialkoeffizient]] zu <math>\boldsymbol{k}</math> und <math>T_{n}=\left\{ \boldsymbol{k}\in\mathbb{N}_{0}^{n} \, \Big | \, \sum_{j=1}^{n}j\cdot k_{j}=n\right\}</math> ist die Menge aller Partitionen von <math>n</math> (siehe [[w:de:Partitionsfunktion|Partitionsfunktion]]). === Differentiation und Integration === Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] ergibt sich durch gliedweise Differentiation: :<math> f^\prime(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n} </math> ==== Höhere Ableitungen ==== Hierbei ist <math>f</math> beliebig oft differenzierbar und es gilt: :<math> f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n </math> Der Konvergenzradius der Ableitung entspricht dem Konvergenzradius der ursprünglichen Reihe. ==== Stammfunktionen von Potenzreihen ==== Analog erhält man eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] durch gliedweise Integration einer Potenzreihe: :<math> \int f(x)\,\text{d}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C </math> Der Konvergenzradius der Stammfunktion entspricht dem Konvergenzradius der ursprünglichen Reihe. == Darstellung von Funktionen als Potenzreihen == Oft ist man zu einer gegebenen Funktion an einer Potenzreihendarstellung interessiert&nbsp;– insbesondere, um die Frage zu beantworten, ob die Funktion [[w:de:Analytische Funktion|analytisch]] ist. Es gibt einige Strategien, um eine Potenzreihendarstellung zu bestimmen, die allgemeinste mittels der [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]]. Hier tritt aber oft das Problem auf, dass man eine geschlossene Darstellung für die Ableitungen benötigt, die oft schwer zu bestimmen ist. Für [[w:de:gebrochen rationale Funktion|gebrochen rationale Funktion]]en gibt es jedoch einige leichtere Strategien. Als Beispiel soll die Funktion :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}</math> betrachtet werden. ===Mittels der geometrischen Reihe=== Durch Faktorisieren des Nenners und anschließender Anwendung der Formel für Summe einer [[w:de:Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] erhält man eine Darstellung der Funktion als Produkt von unendlichen Reihen: :<math>f(z)=\frac{z^2}{(1-z)(3-z)}=\frac{z^2}{3}\cdot \frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}} = </math> :<math> = \frac{z^2}{3}\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty z^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right)= \frac{1}{3}\left(\sum_{n=2}^\infty z^n \right)\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right) </math> === Produkt der geometrischen Reihen === Beide Reihen sind Potenzreihen um den Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math> und können daher in der oben genannten Weise multipliziert werden. Dasselbe Ergebnis liefert auch die [[w:de:Cauchy-Produktformel|Cauchy-Produktformel]] :<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \bigg( \underbrace{\sum_{k=0}^n a_k \cdot b_{n-k}}_{c_n} \bigg) \cdot z^n </math> === Koeffizienten der einzelnen Reihen === Es gilt :<math>a_k= \begin{cases} 0 & \text{ für } k\in\{0,1\} \\ 1 & \text{ sonst} \end{cases}</math> und :<math>b_k=\frac{1}{3^k}.</math> === Cauchy-Produktformel === Daraus folgt durch Anwendung der Formel für die Partialsumme einer [[w:de:Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] :<math>c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}= \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{3}\right)^{n-k}=\frac{1}{3^{n-2}}\sum_{k=0}^{n-2} 3^k= -\frac{1-3^{n-1}}{2 \cdot 3^{n-2}}</math> als geschlossene Darstellung für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe. Damit ist die Potenzreihendarstellung der Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gegeben durch :<math>f(z)= \sum_{n=2}^\infty \frac{3}{2} \cdot \left(1-\frac{1}{3^{n-1}} \right) \cdot z^n</math>. === Anwendung geometrischer Reihen oder Koeffizientenvergleich === Alternativ zu geometrische Reihe bietet sich als Alternative der [[w:de:Koeffizientenvergleich|Koeffizientenvergleich]] an: Man nimmt an, dass eine Potenzreihendarstellung für <math>f</math> existiert: :<math>f(z)= \frac{z^2}{z^2-4z+3}= \sum_{n=0}^\infty c_n z^n</math> ==== Unbekannte Koeffizientefolge der Potenzreihe ==== Dabei hat die Funktion <math>f</math> die unbekannte Koeffizientenfolge <math>(c_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>. Nach dem Durchmultiplizieren des Nenners und einer Indexverschiebung ergibt sich die Identität: :<math>\begin{align} z^2 & = (z^2-4z+3) \cdot\sum_{n=0}^\infty c_n z^n \end{align}</math> Dabei wird die Potenzreihe <math>g(z):=z^2=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n</math> als Potenzreihe aufgefasst, bei die Koeffizienten <math>a_n=0</math> für alle <math>n\not=2</math> und <math>a_2=1</math> gilt. ==== Koeffizientenvergleich 1 ==== Zwei Potenzreihen sind gleich, wenn diese koeffizientenweise übereinstimmen. Dies wird unter Anwendung einer Indexverschiebung für die Identität verwendet: :<math>\begin{align} z^2 & = (z^2-4z+3)\sum_{n=0}^\infty c_n z^n \\& = \sum_{n=2}^\infty c_{n-2} z^n - \sum_{n=1}^\infty 4c_{n-1} z^n + \sum_{n=0}^\infty 3c_n z^n \\& = 3c_0+z(3c_1-4c_0) + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2} -4 c_{n-1} +3 c_n)z^n \end{align}</math> ==== Koeffizientenvergleich 2 ==== Dabei wird die Potenzreihe <math>g(z):=z^2</math> mit der Potenzreihe <math>h(z):=3c_0+z(3c_1-4c_0) + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2} -4 c_{n-1} +3 c_n)z^n</math> verglichen. ==== Koeffizientenvergleich 3 - Entwicklungspunkt ==== Beide Potenzreihen haben den gleichen Entwicklungspunkt <math>z_o=0</math>. Daher müssen auch die Koeffizienten beider Potenzreihen übereinstimmen. Also als Kooeffizient von <math>z^0=1</math> muss gelten <math>0=3c_0</math>, für als Kooeffizient von <math>z^1</math> gilt <math>0=3c_1-4c_0</math>, ... ==== Rekursionsformel für Koeffizienten ==== Da aber zwei Potenzreihen genau dann gleich sind, wenn ihre Koeffizientenfolgen übereinstimmen, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich :<math>c_0=0,\ c_1=0,\ c_2=\frac{1}{3}</math> und die Rekursionsgleichung :<math>c_n=\frac{4c_{n-1} - c_{n-2}}{3}</math>, aus der mittels vollständiger Induktion die obige geschlossene Darstellung folgt. === Vorteile Koeffizientenvergleich === Das Vorgehen mittels Koeffizientenvergleiches hat auch den Vorteil, dass andere Entwicklungspunkte als <math>z_0=0</math> möglich sind. Betrachte als Beispiel den Entwicklungspunkt <math>z_1=-1 </math>. Zuerst muss die gebrochen rationale Funktion als Polynom in <math>(z-z_1)=(z+1)</math> dargestellt werden: :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=\frac{(z+1)^2-2(z+1)+1}{(z+1)^2-6(z+1)+8}</math> === Andere Entwicklungspunkte === Analog zu oben nimmt man nun an, dass eine formale Potenzreihe um den Entwicklungspunkt existiert mit unbekannter Koeffizientenfolge und multipliziert mit dem Nenner durch: :<math>\begin{align} (z+1)^2-2(z+1)+1 & = ((z+1)^2 - 6(z+1)+8)\sum_{n=0}^\infty c_n (z+1)^n \\ & = 8c_0+(z+1)(8c_1-6c_0) + \\ & \qquad + \sum_{n=2}^\infty (c_{n-2}-6c_{n-1}+8c_n)(z+1)^n \end{align}</math> Wieder ergibt sich mittels Koeffizientenvergleiches :<math>c_0=\frac{1}{8},\ c_1=-\frac{5}{32},\ c_2=-\frac{1}{128}</math> und als Rekursionsgleichung für die Koeffizienten: :<math>c_n=\frac{-c_{n-2}+6c_{n-1}}{8}</math> === Partialbruchzerlegung === Wendet man auf die gegebene Funktion zuerst [[w:de:Polynomdivision|Polynomdivision]] und dann die [[w:de:Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]] an, so erhält man die Darstellung :<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=1+\frac{4z-3}{(z-1)(z-3)}= 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-z} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}</math>. Durch Einsetzen der geometrischen Reihe ergibt sich: :<math>{f(z)=1+\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty z^n - \frac{3}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}z^n = 1+\sum_{n=0}^\infty \frac{3}{2} \cdot\left( 1- \frac{1}{3^{n-1}} \right) z^n}</math> Die ersten drei Folgenglieder der Koeffizientenfolge sind alle null und damit stimmt die hier gegebene Darstellung mit der oberen überein. == Verallgemeinerungen == Potenzreihen lassen sich nicht nur für <math>x \in \mathbb{R}</math> definieren, sondern sind auch verallgemeinerbar. So sind z.&nbsp;B. das [[w:de:Matrixexponential|Matrixexponential]] und der [[w:de:Matrixlogarithmus|Matrixlogarithmus]] Verallgemeinerungen von Potenzreihen auf dem Raum der [[w:de:Matrix (Mathematik)|quadratischen Matrizen]]. Kommen in einer Reihe auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten vor, so spricht man von einer [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]. Erlaubt man den Exponenten, auch gebrochene Werte anzunehmen, handelt es sich um eine [[w:de:Puiseux-Reihe|Puiseux-Reihe]]. [[w:de:Formale Potenzreihe|Formale Potenzreihe]]n werden beispielsweise als [[w:de:erzeugende Funktion|erzeugende Funktion]]en in der [[w:de:Kombinatorik|Kombinatorik]] und der [[w:de:Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]] (etwa als [[w:de:wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion|wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]]en) verwendet. In der [[w:de:Algebra|Algebra]] werden formale Potenzreihen über allgemeinen [[w:de:Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] untersucht. == Siehe auch == * [[Potenzreihe]] * [[Topologische Algebra#Potenzreihe|Potenzreihen in einer topologischen Algebra]] == Literatur == * Kurt Endl, Wolfgang Luh: ''Analysis II.'' Aula-Verlag 1973, 7. Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85–89, 99. * E. D. Solomentsev: [http://eom.springer.de/P/p074240.htm ''Power series.''] In: ''[[w:de:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]].'' [[Kategorie:Analytische Funktion]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe Potenzreihe] https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe * Datum: 7.11.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Funktionentheorie Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> <noinclude>[[en:Complex Analysis/Power series]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] 3law4rr9o6mzvlgu36din5xgqepo21j 0 122884 1115569 1095677 2026-10-07T15:11:47Z Bocardodarapti 2041 1115569 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= m |SZ=}} der Durchmesser und {{mathl|term= v_1,v_2 {{kommadots|}} v_{m+1} |SZ=}} ein den Durchmesser realisierender Weg. Angenommen, {{mathl|term= v_1 |SZ=}} wäre kein Blatt, d.h. es wäre {{mathl|term= d(v_1) \geq 2 |SZ=.}} Dann besitzt {{mathl|term= v_1 |SZ=}} neben {{mathl|term= v_2 |SZ=}} einen weiteren Nachbarn {{mathl|term= w |SZ=.}} Dieser kann nicht mit einem der {{mathl|term= v_2, {{kommadots|}} v_{m+1} |SZ=}} übereinstimmen, da sonst ein Kreis im Graphen vorläge. Dann ist jedoch {{mathl|term= w,v_1,v_2 {{kommadots|}} v_{m+1} |SZ=}} der nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt |Nr=2 |SZ= }} eindeutige Weg von {{mathl|term= w |SZ=}} nach {{mathl|term= v_{m+1} |SZ=}} ohne Wiederholung. Damit ist jedoch der Durchmesser {{mathl|term= \geq m+1 |SZ=,}} was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} j182fm1jq92z9n4mldlv8fqdtsqj2ap 0 163676 1115592 1056894 2026-10-08T09:57:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Visualisierung - Spur und Graph */ 1115592 wikitext text/x-wiki == Definition - Graph == Sei <math>f:\mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> eine Funktion mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und dem Wertebereich <math>\mathbb{W}</math>, dann ist der <math>Graph(f)</math> eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} </math>, die wie folgt definiert ist: :<math>Graph(f) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{D} \times \mathbb{W} \, : \, f(x)=y \right\} </math> == Beispiel - Schulmathematik == Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren: * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := \mathbb{R}</math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(x)=x^2 - 1 </math> === Standardnotation - Abbildung === In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = x^2 - 1 \end{array} </math> === Graph als Menge === Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^2 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x)=y=x^2 - 1 \right\} \\ & = & \left\{ (x,f(x)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x)=x^2 - 1 \right\} \\ & = & \left\{ (x,x^2-1) \, : \, x \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> === Graph als Plot === In der Regel verbindet man mit Graph einen Plot einer Funktion (z.B. mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=x^2-1</math> ). [[File:F x2-1 plot.png|350px|center|Graph der Funktion ]] In der Abbildung rechts ist der <math>Graph(f)</math> die rot markierte Punktmenge im <math>\mathbb{R}^2</math>. == Mehrdimensionaler Definitionsbereich == Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren: * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := \mathbb{R}^2 </math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(x,y)=\sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) </math> === Standardnotation === In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \end{array} </math> === Graph als Menge === Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^3 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \, : \, z = f(x,y)= \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \right\} \\ & = & \left\{ (x,y,f(x,y)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x,y)= \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \right\} \\ & = & \left\{ \bigg( x,y,\sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \right\} \\ \end{array} </math> === Graph als Plot === Der folgenden Graph der Funktion <math>f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right)</math> wird in der folgenden Abbildung dargestellt [[Datei:Three-dimensional graph.png|350px|center|Graph der Funktion]] == Mehrdimensionaler Wertebereich == Die folgende Funktion ist eine Kurve im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit einem Interval als Defintionsbereich. Der Wertebereich ist in diesem Beispiel zweidimensional gewählt, damit der Graph der Funktion als Teilmenge vom <math> \mathbb{R}^3 </math> in einem 3D-Plot dargestellt werden kann. * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := [0,6\pi] \subset \mathbb{R} </math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}^2</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(t)=(cos(t),sin(t)) </math> In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [0,6\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & f(t) = (cos(t),sin(t)) \end{array} </math> Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^3 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (t,x,y) \in [0,6\pi] \times \mathbb{R}^2 \, : \, (x,y):= f(t) = (cos(t),sin(t)) \right\} \\ & = & \left\{ (t,f(t)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \, : \, \in [0,6\pi] \wedge f(t)= (cos(t),sin(t)) \right\} \\ & = & \left\{ \bigg( t,\cos(t),\sin(t) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, t \in [0,6\pi] \subset \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> === Visualisierung - Spur und Graph === {| class="wikitable" |+ Unterschied - Spur - Graph |- ! Spur !! Graph |- | [[Datei:Unit circle.svg|300px|center|Spur der Funktion]] || [[File:Curve CAS4Wiki for (cos(t) sin(t)).png|300px|center|Graph der Funktion ]] |- | Spur der Funktion <math>f(t)=(\cos(t),\sin(t))</math> ist der Einheitskreis im <math>\mathbb{R}^2 </math> || Graph der Funktion <math>f(t):=(\cos(t) \sin(t))</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}:=[0,6\pi]</math> |} === Unterschied - Spur und Graph === Die Spur <math>Spur(f)</math> einer Kurve <math>f</math> ist die Bildmenge der Funktion <math>f</math>. :<math> \begin{array}{rcl} Spur(f) & = & \left\{ f(t) \in \mathbb{R}^2 \, : \, t \in [0,6\pi] \right\} \\ & = & \left\{ \big(\cos(t),\sin(t)\big) \in \mathbb{R}^2 \, : \, t \in [0,2\pi] \right\} \\ Graph(f) & = & \left\{ \bigg( t,\cos(t),\sin(t) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, t \in [0,6\pi] \subset \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> Wenn man <math>t</math> als Zeitpunkt interpretiert enthält der Graph das Argument <math>t</math> der Funktion. Dadurch kann man mit dem Graphen rekonstruieren, an welchem Zeitpunkt <math>t</math> die Funktion <math>f</math> auf den "Ort" <math>f(t)\in \mathbb{R}^2</math> abgebildet hat. Mit der Spur der Funktion <math>f</math> kann man lediglich feststellen, ob der Bildpunkt <math>(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> als Bildpunkt der Funktion <math>f</math> aufgetreten ist. == Siehe auch == * [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] * [[w:de:Funktion|Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - Graph der Dichte * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b54vk3bk60smvruv1zgjd1c95ay2on8 1115593 1115592 2026-10-08T09:58:36Z ~2026-47548-34 41860 /* Visualisierung - Spur und Graph */ 1115593 wikitext text/x-wiki == Definition - Graph == Sei <math>f:\mathbb{D} \to \mathbb{W} </math> eine Funktion mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math> und dem Wertebereich <math>\mathbb{W}</math>, dann ist der <math>Graph(f)</math> eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} </math>, die wie folgt definiert ist: :<math>Graph(f) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{D} \times \mathbb{W} \, : \, f(x)=y \right\} </math> == Beispiel - Schulmathematik == Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren: * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := \mathbb{R}</math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(x)=x^2 - 1 </math> === Standardnotation - Abbildung === In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = x^2 - 1 \end{array} </math> === Graph als Menge === Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^2 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x)=y=x^2 - 1 \right\} \\ & = & \left\{ (x,f(x)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x)=x^2 - 1 \right\} \\ & = & \left\{ (x,x^2-1) \, : \, x \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> === Graph als Plot === In der Regel verbindet man mit Graph einen Plot einer Funktion (z.B. mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=x^2-1</math> ). [[File:F x2-1 plot.png|350px|center|Graph der Funktion ]] In der Abbildung rechts ist der <math>Graph(f)</math> die rot markierte Punktmenge im <math>\mathbb{R}^2</math>. == Mehrdimensionaler Definitionsbereich == Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren: * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := \mathbb{R}^2 </math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(x,y)=\sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) </math> === Standardnotation === In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \end{array} </math> === Graph als Menge === Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^3 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \, : \, z = f(x,y)= \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \right\} \\ & = & \left\{ (x,y,f(x,y)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \, : \, f(x,y)= \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \right\} \\ & = & \left\{ \bigg( x,y,\sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \right\} \\ \end{array} </math> === Graph als Plot === Der folgenden Graph der Funktion <math>f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cdot \cos\left(y^2\right)</math> wird in der folgenden Abbildung dargestellt [[Datei:Three-dimensional graph.png|350px|center|Graph der Funktion]] == Mehrdimensionaler Wertebereich == Die folgende Funktion ist eine Kurve im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit einem Interval als Defintionsbereich. Der Wertebereich ist in diesem Beispiel zweidimensional gewählt, damit der Graph der Funktion als Teilmenge vom <math> \mathbb{R}^3 </math> in einem 3D-Plot dargestellt werden kann. * Definitionsbereich <math> \mathbb{D} := [0,6\pi] \subset \mathbb{R} </math> * Wertebereich <math> \mathbb{W} := \mathbb{R}^2</math> * Abbildungsvorschrift <math>f(t)=(cos(t),sin(t)) </math> In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & [0,6\pi] & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ & t & \mapsto & f(t) = (cos(t),sin(t)) \end{array} </math> Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{D} \times \mathbb{W} = \mathbb{R}^3 </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} Graph(f) & := & \left\{ (t,x,y) \in [0,6\pi] \times \mathbb{R}^2 \, : \, (x,y):= f(t) = (cos(t),sin(t)) \right\} \\ & = & \left\{ (t,f(t)) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \, : \, \in [0,6\pi] \wedge f(t)= (cos(t),sin(t)) \right\} \\ & = & \left\{ \bigg( t,\cos(t),\sin(t) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, t \in [0,6\pi] \subset \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> === Visualisierung - Spur und Graph === {| class="wikitable" |+ Unterschied - Spur - Graph |- ! Spur !! Graph |- | [[Datei:Unit circle.svg|300px|center|Spur der Funktion]] || [[File:Curve CAS4Wiki for (cos(t) sin(t)).png|300px|center|Graph der Funktion ]] |- | Spur der Funktion <math>f(t)=(\cos(t),\sin(t))</math> ist der Einheitskreis im <math>\mathbb{R}^2 </math> || Graph der Funktion <math>f(t):=(\cos(t),\sin(t))</math> mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}:=[0,6\pi]</math> |} === Unterschied - Spur und Graph === Die Spur <math>Spur(f)</math> einer Kurve <math>f</math> ist die Bildmenge der Funktion <math>f</math>. :<math> \begin{array}{rcl} Spur(f) & = & \left\{ f(t) \in \mathbb{R}^2 \, : \, t \in [0,6\pi] \right\} \\ & = & \left\{ \big(\cos(t),\sin(t)\big) \in \mathbb{R}^2 \, : \, t \in [0,2\pi] \right\} \\ Graph(f) & = & \left\{ \bigg( t,\cos(t),\sin(t) \bigg) \in \mathbb{R}^3 \, : \, t \in [0,6\pi] \subset \mathbb{R} \right\} \\ \end{array} </math> Wenn man <math>t</math> als Zeitpunkt interpretiert enthält der Graph das Argument <math>t</math> der Funktion. Dadurch kann man mit dem Graphen rekonstruieren, an welchem Zeitpunkt <math>t</math> die Funktion <math>f</math> auf den "Ort" <math>f(t)\in \mathbb{R}^2</math> abgebildet hat. Mit der Spur der Funktion <math>f</math> kann man lediglich feststellen, ob der Bildpunkt <math>(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> als Bildpunkt der Funktion <math>f</math> aufgetreten ist. == Siehe auch == * [[w:de:Funktionsgraph|Funktionsgraph]] * [[w:de:Funktion|Funktionen]] * [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - Graph der Dichte * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Graph%20einer%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] np8eehll7ncc64rdl2s6j5mnbadvqyw 0 165041 1115583 1010505 2026-10-08T09:23:38Z Bocardodarapti 2041 1115583 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette | R || \Z[\sqrt{-5}] || \Z[X]/ {{makl| X^2+5 |}} || || |SZ=, }} die Diskriminante ist {{math|term= -20 |SZ=.}} Jede Idealklasse enthält nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Ideal {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} der Norm {{ Relationskette/display | N({{ideala}}) | \leq| \frac{2 \sqrt{20} }{\pi} || || || || |SZ=, }} sodass nur Ideale mit Norm {{math|term= 2 |SZ=}} zu betrachten sind. Oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} ist der Ring gleich {{ Relationskette/display | {{op:Zmod|2|}}[X]/ {{makl| X^2+1 |}} || {{op:Zmod|2|}}[X]/ {{makl| (X+1 )^2|}} || || || |SZ=, }} daher ist {{ Relationskette/display | {{idealp}} || {{makl| 2,1+ \sqrt{-5} |}} || || || |SZ= }} das einzige relevante Primideal und es gilt {{ Relationskette/display | (2) || {{idealp}}^2 || || || |SZ=. }} Da es kein Element der Norm {{math|term= 2 |SZ=}} gibt, ist {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} kein Hauptideal. Daher ist die {{ Definitionslink |Idealklassengruppe| |Kontext=| |SZ= }} isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 36f027lr2nfpryt3xdnfvz1qupefjf4 0 167256 1115594 1114994 2026-10-08T11:00:53Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Substitutionsregel */ 1115594 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktionentheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> sich zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Korrespondenzsatz für Wegintegral ==== Der [[Integralkorrespondenzsatz|Integralkorrespondenzsatz für Wege]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Wegintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math> und ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei Weg-Zeit-Risikointegralen, wenn <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]] ist. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math>. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 40hiz816xqow04b2l8ewqi2h1sbih0c 1115595 1115594 2026-10-08T11:01:47Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung - Substitutionsregel */ 1115595 wikitext text/x-wiki == Einleitung== In vielen Bereichen der Mathematik und Physik spielen Wegintegrale eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen es, die Änderung einer Größe entlang eines Pfades in einem topologischen Vektorraum zu berechnen. === Funktionentheorie === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] geht es um komplexwertige Funktionen <math>f:G \to \mathbb{C}</math> mit <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> offen und Wegen <math>\gamma: [a,b] \to V</math>. Das Wegintegral für [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] ist z.B. wegunabhängig auf konvexen Gebieten <math>G</math> und wird wie folgt definiert: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) , dt </math> === Wegintegral über eine Risikofunktion === In diesem Artikel werden Wegintegrale behandelt, die jedem Zeitpunkt <math>t \in [a,b]</math> aus einem Zeitintervall <math>[a,b]</math> als Definitionsbereich einen "Ort" (Vektor) aus einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>V</math> zuordnet. Ferner betrachtet man Risikofunktionen <math>R: G \to \mathbb{R}</math>, die jedem Vektor in dem Raum <math>G\subseteq V</math> ein [[Risikomanagement|Risiko]] <math>R(v)\in \mathbb{R}</math> zugeordnet. Das Ziel ist es, das aggregierte Risiko auf dem Weg über das Zeitintervall zu berechnen. === Wegabhängigkeit - Risikofunktion === In der Funktionentheorie sind die Wegintegrale auf konvexen Gebieten wegunabhängig und diese hängen nur von dem gewählten Anfangs- und Endpunkt ab. Bei Risikofunktionen sollte das aggregierte Risiko als Integral allerdings wegabhängig sein. Wenn man sich z.B. von einem Ort <math>v_a\in G</math> zu einem Ort <math>v_b\in G</math> über den Weg <math>\gamma</math> bewegt, so sollte sich z.B. die exponierte Gesamtstrahlung mit dem Weg ändern, wenn man bei Beibehaltung des Anfangs- und Endpunktes <math>v_a, \, v_b</math> den Weg nahe an einem havarierten Kernkraftwerk vorbei wählt oder dieses weiträumig umfährt. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ==== Bemerkung - Substitutionsregel ==== Der im Zusammenhang mit der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] in der Funktionentheorie ergänzte Term <math> \gamma{\,}'(t)</math> entfällt für das Risikointegral, da durch diesen Term die Wegunabhängigkeit z.B. auf konvexen oder sternförmigen Gebieten <math>G</math> gewährleistet wird. Die '''Wegabhängigkeit''' ist dabei eine Eigenschaft, die man Risikointegralen nicht verlieren möchte, da man einen Weg <math>\gamma</math> sucht, der bei Integration ein möglichst kleines Risiko besitzt, wenn man sich ausgehend vom Punkt <math>v_0</math> zu einem Punkt <math>v_1</math> bewegt. ==== Korrespondenzsatz für Wegintegral ==== Der [[Integralkorrespondenzsatz|Integralkorrespondenzsatz für Wege]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Wegintegralen mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t) </math> und ohne <math>\gamma{\,}'(t) </math> bei Weg-Zeit-Risikointegralen, wenn <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[meromorphe Funktion]] ist. :<math> \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, \cdot \, \gamma{\,}'(t) \,\, dt}_{\mbox{Funktionentheorie}} \quad \quad \underbrace{\int_{a}^b f(\gamma(t)) \, dt}_{\mbox{Weg-Zeit-Risikointegral}} </math> Dabei liegt die Spur der Wege <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{C}</math> bei reellen Anwendung i.d.R. auch in <math>\mathbb{R}</math> (d.h. <math>Spur(\gamma)\subset \mathbb{R}</math>) und nutzt dabei die komplexe Erweiterung des reellen Definitionbereiches auf eine offene Teilmenge <math>G\subset \mathbb{C}</math>. ==== Mengen von Weg mit fixen Anfangs- und Endpunkten ==== Bei eine Wegoptimierung ist z.B. der Anfangspunkt <math>v_0:=\gamma(a)</math> und der Endpunkt <math>v_1:=\gamma(b)</math> für alle Wege ggf. festgelegt. Nur der Weg mit dem geringsten Risiko von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math> wird gesucht. Dazu definiert man eine Wegmenge als Teilmenge der stetigen Funktionen von <math>v_0</math> nach <math>v_1</math>. :<math> \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V) := \{ \gamma \in \mathcal{C}([a,b], V) \, | \, \gamma(a)= v_1 \wedge \gamma(b)= v_2 \} </math> ==== Optimierungsziel ==== Diese Wegabhängigkeit ist dann ein mathematisches Optimierungsziel, nämlich bezogen auf eine Risikofunktion <math>R:V \to \mathbb{R} </math> das obige Beispiel würde man versuchen den Weg <math>\gamma</math> von <math>v_0, </math> zu <math>v_1</math> so zu wählen, dass man aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> minimiert wird. :<math> \min_{\gamma \in \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)} \int_a^b R(\gamma(t)) \, dt </math> === Aufgabe - Genetische Algorithmen === Wenden Sie genetische Algorithmen für die Wegoptimierung an, wobei Sie eine endliche Menge von Wegen <math>\mathcal{W}_0 \subset \mathcal{W}_{v_0}^{v_1}([a,b], V)</math> nutzen. Die Wege sind parametrisiert (z.B. Kette von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]]). Diese Parameter der Wege werden stochastisch modiziert und als Nachkommen der Wege <math>\mathcal{N}_0 </math> der Wege von <math>\mathcal{W}_0 </math> betrachtet. Aus der Vereinigung <math>\mathcal{W}_0 \cup \mathcal{N}_0 </math> der wählt man nun die Wege aus, die das geringste Risiko besitzen und definiert diese Menge als <math>\mathcal{W}_1</math>. Diese Iterationen von Mutation und Selektion kann das Risiko aus der Ausgangspopulation von Wegen nicht verschlechtern. Begründen Sie Ihre Antwort! == Definitionen und Notationen== * Sei <math>T = [a,b]</math> ein Zeitintervall. * Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]]. * Sei <math>\gamma: T \to V</math> eine stetige Funktion, die ein Pfad in <math>V</math> darstellt. * Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet. === Risikofunktion 2D-Vektorraum === In einem zweidimensionalen Vektorraum <math>V=\mathbb{R}^2</math> ist der Graph der Risikofunktion <math> R:V \to \mathbb{R} </math> dreidimensional. [[Datei:Fuzzy3 function.png|450px|gerahmt|zentriert|Graph einer Risikofunktion auf einem zweidimensionalen Vektorraum ]] Blaue Bereiche im Graphen zeigen ein höheres Risiko während grün markierte Bereich ein geringeres Risiko besitzen. Die z-Achse gibt also zu jedem Punkt <math>(x,y)</math> in der Ebene das Risiko <math>R(x,y)=z</math> an. <math>(x,y,z) \in \mathbb{R}^3</math> ist dann ein Punkt des Graphen von <math>R</math>. == Wegintegral== Das Wegintegral über eine Risikofunktion <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> wird definiert als: :<math> \int_{\gamma} R \, dt = \int_{a}^{b} R(\gamma(t)) \, dt</math> Dieses Integral berechnet das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma : [a,b] \to V </math> über das Zeitintervall <math>T:=[a,b]</math>. == Eigenschaften== * Das Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung des Pfades <math>\gamma : [a,b]\to V</math>. * Wenn <math>R</math> eine konstante Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Produkt der Konstanten und der Länge des Zeitintervalls. * Wenn <math>R</math> eine lineare Funktion ist, dann ist das Wegintegral gleich dem Integral der linearen Funktion über das Zeitintervall. == Beispiel== Sei <math>T = [0,1]</math> ein Zeitintervall und <math>V = \mathbb{R}^2</math> ein topologischer Vektorraum. Sei <math>\gamma: T \to V</math> ein Pfad, der durch <math>\gamma(t) = (t,t^2)</math> definiert ist. Sei <math>R: V \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die jedem Vektor in <math>V</math> ein Risiko zuordnet, definiert durch <math>R(x,y) = x^2 + y^2</math>. Das Wegintegral von <math>R</math> entlang <math>\gamma</math> über <math>T</math> ist dann: <math>\int_{\gamma} R \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 + t^4) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}</math> Dieses Ergebnis stellt das aggregierte Risiko auf dem Weg <math>\gamma</math> über das Zeitintervall <math>T</math> dar. === Datenbasierte Definition von Risikofunktionen === In dem obigen Beispiel wurde die Risikofunktion <math>R: V \to \mathbb{R}</math> algebraisch definiert. In der Praxis entstehen diese Risikofunktionen z.B. durch Messungen, die z.B. die Strahlungsintensität an unterschiedlichen Orten messen und <math>V=\mathbb{R}^2</math> messen und durch [[w:de:Interpolation|Interpolation]] entsteht eine dreidimensionale Karte, wobei die Höhe <math>R(x,y)\in \mathbb{R}</math> das Risiko an dem Ort <math>v=(x,y)\in \mathbb{R}^2</math> angibt. == Fazit== [[Wegintegral|Wegintegrale]] mit [[Risikomanagement|Risikofunktionen]] stellen einen wesentliche Grundlage für Wegoptimierungen zur Minimierung von Risiken dar. Sie ermöglichen es, das aggregierte Risiko auf einem Weg <math>\gamma</math> in einem topologischen Vektorraum <math>V</math> über ein Zeitintervall <math>[a,b]</math> zu berechnen. Durch die Verwendung von Wegintegralen innerhalb von Optimierungsproblemen kann man komplexe räumliche Probleme in verschiedenen Bereichen räumlichen Entscheidungsunterstützungssystemen [[Mathematische Modellbildung|modellieren]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[holomorpher Weg]] * [[Risikomanagement]] * [[Wegintegral]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] * [[Konvexkombination|Konvexkombinationen höherer Ordnung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Weg-Zeit-Risikointegral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9jfy63rcutf2q7t8k6ocx8ho0wn7qck 0 168277 1115563 1115230 2026-10-07T13:43:06Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1115563 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]]) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird eine Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, das gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] trnz2lit4pjmixplxmdsz6vodmckjl0 1115564 1115563 2026-10-07T13:44:31Z ~2026-47548-34 41860 /* Bezeichnung der Funktionenfolge */ 1115564 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]]) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] k63eunaqlr4dkodc3u9qj8jubi3utnu 1115565 1115564 2026-10-07T13:47:40Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz */ 1115565 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]]) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> mit und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] itj75w901x0u46yha53n8964ty12njl 1115566 1115565 2026-10-07T13:48:08Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz */ 1115566 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]]) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren müssen, also die folgenden Grenzwerte existieren: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 2x7qtmsul7naif494bsbtirqksu1qbt 1115567 1115566 2026-10-07T13:51:35Z ~2026-47548-34 41860 /* Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge */ 1115567 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]]) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] opv5mzi103071ll5y2t0taii6cf98ye 1115574 1115567 2026-10-08T08:38:13Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1115574 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]](K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] p34fvdknwdu6q5gpxghyv2yi6f8wqm8 1115575 1115574 2026-10-08T08:38:31Z ~2026-47548-34 41860 /* Einleitung */ 1115575 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 597q63t8sjq7ea3hctvolfzwi48m3sg 1115576 1115575 2026-10-08T08:44:10Z ~2026-47548-34 41860 /* Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz */ 1115576 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+1]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] c6noeqcasjmtz5i2exnklylxpncowby 1115577 1115576 2026-10-08T08:56:32Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte */ 1115577 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+4]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergent Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] l5fj47if6im65xp6pdxii4m9a5qv5xx 1115578 1115577 2026-10-08T08:58:14Z ~2026-47548-34 41860 /* (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit */ 1115578 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+4]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergenten Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P((-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] 171ay1lp0v4aqi50hyxrmyiqyg4viqy 1115579 1115578 2026-10-08T09:04:02Z ~2026-47548-34 41860 /* Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung */ 1115579 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Lerneinheit grenzt bekannte Konvergenzbegriffe aus der Analysis und der [[Kurs:Stochastik#Konvergenzbegriffe|Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie]] gegeneinander ab (siehe [[Konvergenz Übersicht]] (K1)-(K5)) und ordnet diese in einer Hierarchie von starken hin zu schwächeren Konvergenzeigenschaften an. Beispiele, die jeweils die schwächere Eigenschaft erfüllen, aber die stärkere jeweils nicht mehr werden angeführt. <span id="Konvergenzdefinitionen"></span> === Konvergenzeigenschaften === Betrachtet werden die folgenden Konvergenzeigenschaften angefangen von der stärksten bis zur schwächsten Konvergenz: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] === Bezeichnung der Funktionenfolge === Zunächst wird ein Beispiel einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> angegeben, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math> konvergiert. Wenn Konvergenzeigenschaften von Funktionenfolgen nicht in der Analysis, sondern in der Wahrscheinlichkeitstheorie behandelt werden, wird die Funktionenfolge in der Regel mit <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> als Folge von Zufallsgrößen angegeben. == (K1) - Gleichmäßige Konvergenz == Bei der gleichmäßigen [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] betrachtet man um eine Grenzfunktion einen <math>\varepsilon</math>-Streifen, für den ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> der gesamte Graph der Funktionen <math>f_n</math> in dem Streifen liegen muss für alle größeren Indices. <span id="gleichmäßige_Konvergenz"></span> === Definition - gleichmäßige Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Animation K1.1 - gleichmäßige Konvergenz === [[File:Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge mit Epsilonstreifen]] === Bemerkung K1.2 - Gleichmäßige Konvergenz === Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> muss man also ein <math> n_\varepsilon\in \mathbb{N} </math> finden, so dass für alle <math> n \geq n_\varepsilon </math> und alle <math> x \in \mathbb{D} </math> die Ungleichung <math> |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon </math> gilt. === Beispiel K1.3 - Gleichmäßige Konvergenz === Man betrachtet die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R} </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{\sin(x)}{n} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion <math> f_o </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R} </math> gilt. Man wählt dann zu einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> mit <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon} </math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_o(x)| = \left| \frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{|1|}{\left|n \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K1.4 - Gleichmäßige Konvergenz gegen Sinusfunktion === In der Animation wurde eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Funktion <math>f_0</math> mit <math>\varepsilon = 0.6</math> in rot markiert. Ab der Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4</math> liegen die blauen Funktionen <math>f_n</math> komplett im dem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Funktion <math>f_0</math> [[File:Gleichmäßige Konvergenz mit Sinus-Funktion gegen eine konstante Funktion.gif|350px|center|Uniform convergence with sine function against a constant function]] ==== Nicht konstante Grenzfunktion ==== Die folgende Animation zeigt eine gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion <math>f_0</math>, die nicht konstant ist. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebung ist mit <math>\varepsilon = 0.6</math> gleich gewählt. [[File:Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Sinusfunktion.gif|350px|center|Gleichmäßige Konvergenz gegen eine verschobene Sinusfunktion - mit Epsilonstreifen als Umgebung der Funktion - Animation mit Geogebra]] === K1.5 - Konvergenz im Funktionenraum === Die gleichmäßige Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math> mit <math> \|f\|_\infty := \sup_{x\in \mathbb{D}} |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\infty}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_\infty < \varepsilon </math> Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_\mathbb{D} < \varepsilon</math> bedeutet, dass das Supremum der Abweichungen <math> \sup_{x\in \mathbb{D}} |f_n(x) - f_o(x)|</math> zwischen Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. <span id="punktweise_Konvergenz"></span> == (K2) - Punktweise Konvergenz == Die punktweise Konvergenz ist eine schwächere [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzeigenschaft]] im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz. === Definition - punktweise Konvergenz === Eine Folge von Funktionen <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_o </math> auf dem Definitionsbereich <math>\mathbb{D}</math>, wenn gilt: :<math> \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{n\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, |f_n(x) - f_o(x)| < \varepsilon </math> === Bemerkung K2.1 - Punktweise Auswertung der Funktionfolge === Eine Folge von Funktionen wird dabei punktweise für ein festes <math>x\in \mathbb{D}</math> ausgewertet und die reelle Zahlenfolge <math> (f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} </math> betrachtet, die dann für ein festes <math>x</math> jeweils konvergieren muss, also der folgende Grenzwert existiert: :<math> \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f_o(x). </math> Im Vergleich zur gleichmäßigen Konvergenz "wandert" der Allquantor <math>\underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\, ...</math> bei der punktweisen Konvergenz nach vorne und damit muss nicht mehr die gesamte Funktion ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> in einem <math>\varepsilon</math>-Streifen um die Grenzfunktion liegen, sondern nur punktweise die Zahlenfolge in dem <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>]f_o(x)-\varepsilon,f_o(x)+\varepsilon[</math> von <math>f_o(x)</math> liegen. === K2.2 Konvergenz im Funktionenraum === Die punktweisee Konvergenz kann man auch topologisch als Konvergenz einer Funktionenfolgen bgzl. eines Systems von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_\mathbb{D} := \{ \|\cdot \|_x \, : \, x \in \mathbb{D}\}</math> mit <math> \|f\|_x := |f(x)| </math> auffassen: :<math> \stackrel{\|\cdot\|_\mathbb{D}}{\lim_{n\to \infty}} f_n = f_o \,\,\,\, :\Longleftrightarrow \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{n_\varepsilon\in\mathbb{N}}{\exists} \,\,\,\, \underset{m\geq n_\varepsilon}{\forall} \,\,\,\, \|f_n - f_o \|_x < \varepsilon </math> ==== Bemerkung K2.3 - punktweise Konvergenz - gleichmäßige Konvergenz ==== Die Ungleichung <math>\| f_n - f_o\|_x < \varepsilon</math> bedeutet, dass die Abweichungen an einer festen Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> zwischen der Grenzfunktion <math>f_o</math> und dem Folgenglied <math>f_n</math> mit <math> |f_n(x) - f_o(x)|</math> gemessen wird und dieser Abstand nur an einem Punkt durch <math>\varepsilon >0</math> ab einer Indexschranke <math>n_\varepsilon</math> beschränkt ist. ==== K2.4 Einpunktmessungen der Funktionen - lokalkonvexe Topologie ==== Die Ungleichung <math>\| f - f_o\|_x < \varepsilon</math> liefert <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math>. Die <math>\varepsilon</math>-Umgebungen um die Grenzfunktion <math>f_o</math> enthält alle Funktionen <math>f</math>, die an der Stelle <math>x\in \mathbb{D}</math> nicht weiter als <math>\varepsilon</math> von der Grenzfunktion <math>f_o</math> entfernt sind. === Beispiel K2.4 - Punktweise Konvergenz === Man betrachtet folgende Funktionenfolge auf den reellen Zahlen <math>\mathbb{D} = \mathbb{R}^+ </math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} f_n : & \mathbb{R}^+ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f_n(x) = 1+ \frac{1}{n\cdot x} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise gegen eine Funktion <math> f_0 </math>, wobei <math>f_o(x) = 1</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}^+ </math> gilt. Man wählt dann zu einem festen <math>x\in \mathbb{D}= \mathbb{R}^+</math> und einem beliebigen <math>\varepsilon > 0 </math> das <math display="inline">n_\varepsilon > \frac{1}{\varepsilon\cdot x} </math> mit <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N}</math> und man erhält: :<math> |f_n(x) - f_0(x)| = \left| \frac{1}{n\cdot x} \right| \leq \frac{1}{\left|n\cdot x \right|} \leq \frac{1}{n_\varepsilon \cdot x} \leq \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon </math> === Animation K2.5 - punktweise Konvergenz === Die Animation zeigt die punktweise konvergente Funktionenfolgen <math>f_n(x) = \frac{1}{n\cdot x}+1</math> gegen die konstante Funktion mit <math>f_0(x)=1</math>. [[File:Punktweise Konvergenz nicht gleichmäßig konvergent.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz, die aber nicht gleichmäßig konvergiert]] ==== K2.6 Keine gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ==== Die Funktionenfolge konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig, weil es keine Indexschranke <math>n_\varepsilon </math> gibt, ab der eine Funktion <math>f_n</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>\mathbb{R}^+</math> im gesamten <math>\varepsilon</math>-Streifen der konstanten Funktion liegt. Der rot markiert Bereich kenntzeichnet die <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die konstante Funktion <math>f_o</math> mit <math>f_o(x)=1</math> für alle <math>x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math>. ==== K2.7 - Supremum der Abweichung ==== Die [[w:de:Supremumsnorm|Supremumsnorm]] der Abweichung von <math>f_n</math> zu <math>f_o</math> ist für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> unendlich, denn es gilt für <math>x_k = \frac{1}{k} \in \mathbb{D}=\mathbb{R}^+ </math> dass <math>f_n(x_k) = k+1</math> und damit gilt für die Supremumsnorm und alle <math>k\in \mathbb{N}</math>: :<math>\| f_n - f_o\|_\infty = \sup_{x\in\mathbb{D}} | f_n(x) - f_o(x)| \geq | f_n(x_k) - \underbrace{f_o(x_k)}_{=1}| = k </math> Man erhält damit für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> auch <math>\| f_n - f_o\|_\infty = +\infty </math>. Mit dieser Eigenschaft ist gleichmäßige Konvergenz <math>\| f_n - f_o\|_\infty < \varepsilon </math> nicht einmal für ein einziges <math>\varepsilon > 0 </math> möglich. == (K3) P-fast sichere Konvergenz == <span id="P-fast_sichere_Konvergenz"></span> Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P)</math> eine Wahrscheinlichkeitsraum. [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] wird nun in Abhängigkeit von dem Wahrscheinlichkeitsmaß betrachtet. Eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> mit <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> muss im Gegensatz zu punktweisen Konvergenz (K2) nicht mehr in allen Punkten <math>\omega \in \Omega</math> konvergieren, sondern es darf auch Punkte <math>\omega \in \Omega</math> geben, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. === Punktemenge alle nicht konvergenten Folgen === Fasst man alle Punkte <math>\omega</math> zu einer Menge <math>\mathcal{N}</math> zusammen, bei der die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert, dann muss bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz die Wahrscheinlichkeit diese Menge 0 sein, also <math>P(\mathcal{N}) = 0</math>. Weil bei es bei <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz Ausnahmen von dieser punktweisen Konvergenz geben darf, ist die <math>P</math>-fast sicherer Konvergenz eine schwächere Konvergenzeigenschaft als die punkteweise Konvergenz. === Wahrscheinlichkeit - konvergenten Punkte der Funktionenfolge === Die folgende Definition der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz betrachtet das Komplement von <math>\mathcal{N}</math>. Die Menge <math>\Omega \setminus \mathcal{N}</math> besteht aus allen <math>\omega \in \Omega</math>, für die <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert. Die folgende Definition verlangt dann, dass <math>P(\Omega \setminus \mathcal{N}) = 1</math> gilt. === Definition - P-fast sichere Konvergenz === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> X_n </math> konvergiert <math>P</math>-fast sicher gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn: :<math> P\left( \left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\} \right) = 1, </math> wobei <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> als Kurzschreibweise verwendet wird. ==== Schreibweise - P-fast sichere Konvergenz ==== Auch wenn die Kurzschreibweise <math> P\left( \lim_{n \to \infty} X_n = X_0 \right) = 1</math> häufig verwendet wird, klärt die ausführliche Schreibweise :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=A=\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> besser die grundlegende Idee der <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ist auf der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S}</math> definiert. Man berechnet also eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> von einer Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math>, die alle Punkte <math>\omega\in\Omega</math> enthält, für die die reellwertige Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>X_0(\omega)</math> konvergiert. === Beispiele - P-fast sichere Konvergenz === Die <math>P</math>-fast sicheren Konvergenz wird in unterschiedlichen Beispielen untersucht: * '''Beispiel K3.1''' zeigt, dass man mit einen einzelnen Punkt <math>\omega_0 \in \Omega</math> als Ausnahme, in dem die Zahlenfolge <math>(X_n(\omega_o))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>X_0(\omega_0)</math> konvergiert, zwar die punktweise Konvergenz verletzt aber nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz. * '''Beispiel K3.2''' zeigt eine Funktionenfolge von Zufallsgröße <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>, die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math> punktweise konvergiert und außerhalb nicht mehr. Da die [[Rechteckverteilung]] nur innerhalb des Konvergenzbereiches eine positive Dichte hat, konvergiert diese <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> Folge <math>P</math>-fast sicher. * '''Beispiel K3.3''' verwendet die gleiche Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus Beispiel 2 und verändert die [[Rechteckverteilung]], die nur in einem Teilintervall von <math>[-1,4]</math>. Die Wahrscheinlichkeitsmasse von <math>\mathcal{N}</math> der Punkte mit nicht konvergenten Folgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist dort <math>P(\mathcal{N})=\frac{1}{2}\not=0</math>. === Beispiel K3.1 - Animation === Die Animation zeigt die Funktionenfolge <math>f_n(x)=\frac{1}{n\cdot x}+1</math> für <math>x\in \mathbb{R}^+\setminus\{3\}</math> und <math>f_n(3)=\frac{1}{n\cdot 3}+2</math>. Die Funktionenfolge konvergiert. Betrachtet man die [[Rechteckverteilung]] auf dem offenen Interval <math>\Omega := ]0,7[\subset \mathbb{R}^+</math>, dann liegt eine stetige Verteilung vor und Einpunktmengen haben bei stetigen Verteilungen die Wahrscheinlichkeitsmasse 0. Die Funktionfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert punktweise mit Ausnahme der Punktes <math>x_0=3</math> gegen die konstante Funktion <math>f_0</math> mit <math>f_0(x)=1</math> für alle <math>x\in \Omega</math>. In dem <math>(f_n(3))_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht gegen <math>f_0(3)=1</math> konvergiert, verletzt die Eigenschaft (K2) der punktweisen Konvergenz, aber die Funktionenfolge verletzt nicht die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, da <math>P(\mathcal{N})=P(\{3\})=0</math> ist bzw. die folgende Eigenschaft gilt: :<math> P\bigg(\,\, \underbrace{\left\{ \omega \in \Omega \, :\, \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X_0(\omega) \right\}}_{=\mathbb{R}^+\setminus\{3\} =\Omega \setminus \mathcal{N}} \,\,\bigg) = 1 </math> [[File:Punktweise Konvergenz von einer Funktionenfolge mit Ausnahme eines Punkt.gif|center|350px|Punktweise Konvergenz mit Ausnahme von einem Punktes, in dem die Funktionenfolge nicht konvergiert]] ==== Beispiel K3.1 - Verletzung der punktweisen Konvergenz ==== Die Animation zeigt den Graph der Funktion <math>f_n</math>, die für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Unstetigkeitsstelle in <math>x_0=3</math> besitzt. Dies ist die einzige Stelle in dem offenen Intervall <math> \Omega:=]0,7[</math>, in dem die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert. Für alle <math>\varepsilon < 1 </math> kann man keine Indexschranke <math>n_\varepsilon \in \mathbb{N} </math> finden, ab der für alle <math>n\geq n_\varepsilon</math> die Bedingung <math>|f_n(3)-f_0(3)| < \varepsilon </math> gilt. Damit ist die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge verletzt. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ==== Ob eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> <math>P</math>-fast sicher konvergiert hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> in entscheidender Weise ab. Ist <math>P:\Omega \to [0,1]</math> die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfelexperimentes, dann trägt die Einpunktmenge <math>\{3\}\subset \Omega:=]0,7[</math> eine positive Wahrscheinlichkeit mit <math>P(\{3\})=\frac{1}{6}</math>. Damit wäre <math>\mathcal{N}=\{3\}</math> als die Menge der nicht konvergenten Stellen der Funktionenfolge keine <math>P</math>-Nullmenge und damit würde die Funktionenfolge nicht <math>P</math>-fast sicher gegen die <math>f_0</math> konvergieren. ==== Beispiel K3.1 - Abhängigkeit von der Verteilung P ==== Ob dennoch die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz vorliegt, hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math> ab, da <math>P(\{3\})=0</math> für Einpunktmengen bei stetigen Verteilungen gilt und damit die Menge der <math>\mathcal{N}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. === Beispiel K3.2 - Animation === Die folgende Animation zeigt in blauer Farbe eine Funktionenfolge bzw. eine Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math>, die auf einem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßige gegen eine Grenzfunktion konvergiert. ==== Beispiel K3.2 - Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> wird durch die Dichtefunktion der [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-0.5\, ,\, 2]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} P: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{2}{5} & , & x \in [-0.5\, , \,2] \\ 0 & , & x \notin [-0.5\, , \,2] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die Dichtefunktion ist in der nachfolgenden Animation grün markiert. ==== Beispiel K3.2 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem folgenden Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,4]</math>. ==== Beispiel K3.2 - Animierter Grenzwertprozess ==== [[File:P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung.gif|center|350px|P-fast sichere Konvergenz mit Rechteckverteilung - Beispiel - erzeugt als GIF-Export mit OpenSource-Geogebra]] ==== Beispiel K3.2 - Epsilon-Umgebung ==== Der rot markierte Bereich kennzeichnet eine <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. Die Grenzzufallsgröße <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> ist als Graph mit der durchgezogene rote Linie markiert. Die getrichelte rote Linie kennzeichnet jeweils den oberen und unteren Rand der <math>\varepsilon</math>-Umgebung um die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math>. === Beispiel K3.3 - Animation === [[File:Keine Konvergenz bei Rechteckverteilung.gif|center|350px|Keine P-fast sichere Konvergenz bei Rechtverteilung - GIF-Export mit OpenSource Geogebra]] ==== Beispiel K3.3 - verändertes Wahrscheinlichkeitsmaß ==== Die obige Animation zeigt wieder in blauer Farbe die gleiche Folge von Zufallsgrößen <math>X_n:\Omega \to \mathbb{R}</math> aus Beispiel K3.2, die auf dem Interval <math>[-1,4]\subset\Omega</math> sogar gleichmäßig gegen eine rot dargestellte Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> konvergiert. Die Rechteckverteilung hat sich bzgl. des Trägers des Wahrscheinlichkeitsmaßes geändert. ==== Beispiel K3.3 - Dichte des veränderten Wahrscheinlichkeitsmaßes ==== Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> hat nun als [[Rechteckverteilung]] auf dem Intervall <math>[-2\, ,\, 0]</math> definert: :<math> \begin{array}{rrcl} p: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}_0^+ \\ & x & \mapsto & p(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & , & x \in [-2\, , \,0] \\ 0 & , & x \notin [-2\, , \,0] \\ \end{cases} \end{array} </math> Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] ist in der obigen Animation wieder grün markiert. ==== Beispiel K3.3 - Menge der nicht punktweise konvergierenden Punkte ==== Man betrachtet nun wieder die Menge <math>\mathcal{N}</math> der Punkte <math> \omega \in \Omega</math>, für die die reelle Zahlenfolge <math>(X_n(\omega))_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht punktweise gegen <math> X_0(\omega)</math> konvergiert. In dem obigen Animation besteht die Punktmenge aus <math>\mathcal{N}= \mathbb{R}\setminus [-1\, , \,+4]</math>. <span id="Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit"></span> == (K4) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit == Bei der [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit betrachtet man nicht mehr die Wahrscheinlichkeit der Menge der konvergenten Punkte, sondern Wahrscheinlichkeit der Punktmenge, die außerhalb der <math>\varepsilon</math>-Umgebung der Grenzfunktion <math>X_0</math> liegt. Die [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenz]] nach Wahrscheinlichkeit ist schwächer als die <math>P</math>-fast sichere Konvergenz, was in dem nachstehenden Beispiel gezeigt wird. === Definition - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn für jedes <math> \epsilon > 0 </math> gilt: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> === Beispiel (K4) - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit === Die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> bzw. Folge von Zufallsgrößen ist auf dem Einheitsinterval <math>\Omega = [0,1]</math> definiert. Die Funktionenfolge ist als "[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#wandernde_Sprungstelle|wandernde schrumpfenden Sprungstelle]]" definiert. Auf einem Intervall <math>[a_n,b_n]</math> springt die Zufallsgröße von <math>-1</math> auf <math>+2</math>. Die Intervallbreite <math>[a_n,b_n]</math> halbiert sich jeweils nach ein Durchlauf über das Intervall. ==== Definition der Folge von Zufallsgrößen ==== Die folgende Definition legt die Sprungstelle für das Intervall <math>[a_n,b_n]\subset \Omega</math> fest. :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_n(\omega) = \begin{cases} +2 & , & x \in [a_n, b_n] \\ -1 & , & x \notin [a_n, b_n] \\ \end{cases} \end{array} </math> Für die Intervallgrenzen <math>a_n,b_n</math> gilt <math>0\leq a_n < b_n \leq 1 </math> und für die Intervallbreite <math> s_n := b_n-a_n = \frac{1}{2^i} </math> für geeignetes i. ==== Berechnung der Intervallbreiten ==== Die Intervallgrenzen <math>a_n, b_n</math> werden in Abhängigkeit von <math>n</math> durch die fortgesetzte Intervallhalbierung definiert. Der Logarithmus zur Basis 2 ist für die Berechnung notwendig, um die Intervallbreite <math>s_n</math> zu bestimmen: :<math> e_n:= \lfloor \log_2 (n) \rfloor \ \ \ s_n:= \frac{1}{2^{e_n}}= 2^{-e_n}</math> Mit der Anwendung der [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] ist der Exponent <math>e_n\in\mathbb{N}_0</math> ganzzahlig und bleibt zusammen mit der Intervallbreite <math>s_n</math> für einen "''wandernden Durchlauf der Sprungstelle''" konstant. <!-- === Intervallbreiten als Tabelle === Die folgende Tabelle der Exponenten für die ersten <math>n\in\mathbb{N}</math> an: {| class="wikitable" |+ Intervallbreiten |- ! n !! Exponent !! Breite |- | 1 || 0 || <math>2^{0}</math> |- | 2 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 3 || 1 || <math>2^{-1}</math> |- | 4 || 2 || <math>2^{-2}</math> |- | 5 || 2 || <math>2^{-2}</math> |} --> ==== Berechnung der Intervallgrenzen ==== Es gilt <math>e_n=3</math> für alle <math>n=8,\ldots , 15</math> und die Intervallbreite <math>s_n</math> der Sprungstelle ist für diese <math>n\in\{8,\ldots ,15\}</math> jeweils konstant <math display="inline">s_n=\frac{1}{8}</math>. Die Intervalle der Sprungstelle wandern für diese Index von <math display="inline">[a_8,b_8]=\left[\frac{0}{8},\frac{1}{8}\right]</math>, <math display="inline">[a_9,b_9]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>, ... , <math display="inline">[a_{15},b_{15}]=\left[\frac{1}{8},\frac{2}{8}\right]</math>. Allgemein werden die Intervallgrenzen wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} a_n & := & \displaystyle \frac{n-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ b_n & := & \displaystyle \frac{n+1-2^{e_n}}{2^{e_n}} \\ \end{array} </math> <span id="wandernde_Sprungstelle"></span> ==== Animation - Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die folgende Animation zeigt die Zufallsgrößen mit wachsendem <math>n</math> und einer <math>\varepsilon</math>-Umgebung mit <math>\varepsilon:=0,4</math>. Die Grenzfunktion <math>X_0:\Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega := [0,1]</math> ist eine konstante Funktion mit <math>X_0(\omega) = -1</math>. [[File:Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit.gif|350px|center|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit - Beispiel wandernde Sprungstelle]] ==== (K4.1) Wahrscheinlichkeitsverteilung - Rechteckverteilung ==== Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die [[Rechteckverteilung]] auf <math>\Omega = [0,1]</math>. Für <math>\varepsilon = 0.4</math> in der Animation ist die Indexschranke <math>n_\varepsilon = 4 </math> und die Intervallbreite der Sprungstellen <math>s_4 = \frac{1}{4} = 0.25 < \varepsilon </math>. ==== (K4.2) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Für alle <math>\varepsilon </math> mit <math>0 < \varepsilon < 3</math> gilt wegen der "Sprunghöhe" zwischen -1 und 2 für die oben definierte Folge von Zufallsvariablen, dass <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> nach Wahrscheinlichkeit gegen eine konstante Zufallsvariable <math> X_0 </math> konvergiert. :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & \Omega & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = -1 \end{array} </math> Man muss nun die folgende Eigenschaft für das Beispiel nachweisen: :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== (K4.3) Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Bei der Berechnung für <math>0 < \varepsilon < 3 </math> erhält man :<math> \begin{array}{rcl} P( |X_n - X_0| \geq \varepsilon ) & = & P( \{ \omega \in \Omega |X_n(\omega) - X_0(\omega) | \geq \epsilon \} ) \\ & = & P( [a_n,b_n] ) = 2^{-e_n} = \frac{1}{2^{e_n}} \,\,\, \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \,\,\, 0 \\ \end{array} </math> Insgesamt erhält man damit die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. :<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \epsilon) = 0. </math> ==== Keine P-fast sichere Konvergenz ==== Da die Sprungstelle über den Definitionsbereich <math>\Omega</math> wandert, konvergiert die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> für kein <math>\omega \in \Omega = [0,1]</math>, da für jeden Punkt <math> \omega\in \Omega </math> die zugehörige reelle Zahlenfolgen <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> aus der <math>\varepsilon</math>-Umgebung springt. Daher besteht die Menge der Punkte <math>\mathcal{N}</math>, für <math>\big(X_n(\omega)\big)_{n\in \mathbb{N}}</math> nicht konvergiert, aus allen Punkte von <math>\Omega = \mathcal{N}</math>. <span id="Konvergenz_nach_Verteilung"></span> == (K5) Konvergenz nach Verteilung == Unter den 5 [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe#Konvergenzdefinitionen|Konvergenzbegriffen]] wird nun die schwächste Eigenschaft "[[Konvergenz nach Verteilung]]" betrachtet. Diese wird z.B. für die Aussage im [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] für die Konvergenz nach [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] gegen die [[Standardnormalverteilung]] verwendet. === Definition - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math>(\Omega, \mathcal{S}, P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von reellwertigen [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] <math> X_n:\Omega \to \mathbb{R} </math>. Die Folge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergiert ''[[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]]'' gegen eine Zufallsvariable <math> X_0 </math>, wenn die zugehörigen Verteilungsfunktionen <math> F_n(x) </math> an allen [[Stetigkeit|Stetigkeitsstellen]] <math>x\in \mathbb{R}</math> von <math> F_0</math> gegen die [[Verteilungsfunktion]] <math>F_0(x)</math> punktweise für <math>n\to \infty </math> konvergiert. :<math> F_0 \mbox{ stetig in } x\in \mathbb{R} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> ==== Bemerkung - Schwache Konvergenz ==== Die obige Definition macht eine Aussage über die Konvergenz der Folge <math>(F_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Verteilungsfunktionen gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math>. Diese Konvergenz ist schwächer als die [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]], da in der Definition die punktweise Konvergenz nur für die Stetigkeitsstellen von <math>F_0</math> verlangt wird. Ferner ist die Konvergenz nach Verteilung schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit. Dies wird mit einem Beispiel für eine Folge von [[Zufallsgröße|Zufallsgrößen]] gezeigt, deren [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] schwach gegen eine Grenzverteilungsfunktion <math>F_0</math> konvergieren, aber die Zufallsvariablen nicht nach Wahrscheinlichkeit konvergieren. === Beispiel K5.1 - Konvergenz nach Verteilung === Sei <math> (X_n)_{n \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit zugehörigen Verteilungsfunktionen :<math> F_n(x) = P(X_n \leq x) = P(X_n\in (-\infty,x]), </math> für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> und sei <math> X_0 : \Omega \to \mathbb{R}</math> eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion <math> F_0(x) = P(X_0 \leq x) </math> für die Grenzzufallsvariablen <math>X_0</math>. ==== K5.1 - Definition der Zufallsvariablen ==== Betrachte die Folge von Zufallsvariablen <math> X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> mit <math>\Omega = [-1,+1]</math> und <math>P</math> als [[Rechteckverteilung]] auf <math>[-1,+1]</math>. Die reellwertige Grenzzufallsvariable <math>X_0</math> ist definiert durch die [[w:de:Identische Abbildung|identische Abbildung]] auf <math>\Omega</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} X_0 : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & X_0(\omega) = \omega \end{array} </math> Alle Zufallsgrößen <math>X_n : \Omega \to \mathbb{R}</math> sind für <math>n\in \mathbb{N}</math> gleich definiert mit: :<math> \begin{array}{rrcl} X_n : & [-1,+1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & \omega & \mapsto & 1-X_0(\omega) = 1-\omega \end{array} </math> Nun kann man an dem Beispiel zeigen, dass die [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] <math> (X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> [[Konvergenz nach Verteilung|nach Verteilung]] konvergiert, aber nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]]. ==== Hinweis - Stetigkeitsstellen ==== Jede Verteilungsfunktion ist rechtsseitig stetig. Die Stetigkeitsstellen von <math> F_0 </math> sind also alle Punkte <math> x\in \mathbb{R} </math>, an dem <math> F_0 </math> stetig ist. Da die Menge der Unstetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion höchstens abzählbar ist, ist die Bedingung fast überall erfüllt. ==== Unterschiede zu schwacher Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ==== Die [[Konvergenz nach Verteilung]] ist schwächer als die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, da diese sich allein auf die Verteilungsfunktion bezieht und nicht auf die Zufallsgrößen, die die Verteilungsfunktion erzeugen. === Aufgabe zu K5 für Studierende === * Skizzieren Sie den Graph der Zufallsgrößen <math>X_0</math> und <math>X_n</math> und auch zugeörigen Verteilungsfunktion <math>F_0</math> und von <math>F_n</math>! * Begründen Sie, dass <math> F_0</math> stetig ist und <math>F_0 = F_n</math> für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> gilt und damit auch <math> \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F_0(x) </math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math> * Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge <math>(X_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> nicht [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|nach Wahrscheinlichkeit]] gegen <math>X_0</math> konvergiert! Weisen Sie zunächst nach, dass folgende Gleichheit gilt: ::<math> P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 1-\varepsilon. </math> : und damit die folgende Bedingung für die [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] verletzt ist: ::<math> \lim_{n \to \infty} P(|X_n - X_0| \geq \varepsilon) = 0. </math> == Stärke der Konvergenzeigenschaften == Die Konvergenzeigenschaften können nach ihrer Stärke wie folgt geordnet werden: * (K1) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#gleichmäßige_Konvergenz|Gleichmäßige Konvergenz]] * (K2) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#punktweise_Konvergenz|Punktweise Konvergenz]] * (K3) <math>P</math>[[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#P-fast_sichere_Konvergenz|-fast sichere Konvergenz]] * (K4) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Wahrscheinlichkeit|Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit]] * (K5) [[Unterschiede_-_Konvergenzbegriffe#Konvergenz_nach_Verteilung|Konvergenz nach Verteilung]] == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:punktweise Konvergenz|punktweise Konvergenz]] * [[Konvergenz nach Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Konvergenzeigenschaften|Konvergenzeigenschaften]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Rechteckverteilung]] === Kurse === * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] igqm6sqj74r000yfnafvm9vp7xo4xia 106 171334 1115568 1115561 2026-10-07T14:33:49Z Bocardodarapti 2041 1115568 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Körper/Potenzen/Multiplikationen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Teilmengen/Anzahlrelation/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|p||| |Graph/Homomorphismen/Anzahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p||| |Graph/Tensorprodukt/Adjazenzmatrix/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} situ04vlxauym1wiatuzk180d5c09l2 0 171710 1115571 1100915 2026-10-07T15:14:19Z Bocardodarapti 2041 1115571 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Trägheitsgrad| |SZ= }} eines Primideals {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} über einem Primideal {{mathl|term= {{idealp|}} |SZ=}} zu einer endlichen Erweiterung von kommutativen Ringen {{ Relationskette | R | \subseteq | S || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4msi418rp3arln2z5zwnfylxhtmrk66 0 172731 1115573 1115556 2026-10-08T08:12:07Z Bocardodarapti 2041 1115573 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Abbildung/display |name= \delta |\Z^m | \Z || |SZ= }} die Standardgraduierung und {{ Abbildung/display |name=d | \Z^m | D || |SZ= }} mit {{math|term= D |SZ=}} endlich. 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